1. O mínimo é \(0\), atingido em \(x=0\) e \(x=4\). Não há máximo: todos os valores são menores que \(4\), mas valores arbitrariamente próximos de \(4\) são obtidos quando \(x\to 2\), \(x\neq 2\). Assim, \(4\) é o supremo da imagem e não é um valor da função.

2. Não. A imagem de \(g\) continua sendo \([0,4)\), pois o valor \(3\) já era assumido em \(x=1\) e \(x=3\). Embora o domínio seja fechado e limitado, \(g\) não é contínua em \(2\): seu limite ali é \(4\), enquanto \(g(2)=3\).

1. Para \(f\), o máximo é \(2\) em \(x=3\). Para \(-f\), é \(3\) em \(x=1\). Como \(-3\leq f\leq 2\), o máximo de \(f^2\) é \(9\), também apenas em \(x=1\).

2. O mínimo de \(f^2\) é \(0\), atingido em \(x=0,2,4\). O quadrado mede o tamanho do desvio e elimina seu sinal. A transformação \(u\mapsto u^2\) não preserva a ordem em um intervalo que contém valores negativos e positivos.

1. Sim. Pelo Teorema de Weierstrass, a continuidade no intervalo fechado e limitado garante que a função atinja seus valores máximo e mínimo.

2. Compare \(f(a)\), \(f(b)\) e os valores de \(f\) em todos os pontos críticos interiores. Pelo Teorema de Fermat, nenhum extremo interior pode ficar fora desse conjunto. Se houver infinitos pontos críticos, a comparação deve abranger esse conjunto inteiro; o teorema não garante uma lista finita de candidatos.

1. \(f'(x)=2x(x^4+2x^2+4)/(x^2+1)^2\). Máximo \(252/17\) em \(x=-4\) e \(x=4\); mínimo \(-4\) em \(x=0\).

2. \(f'(x)=(4-2x^2)/\sqrt{4-x^2}\) no interior do domínio. Compare \(f(-1)=-\sqrt3\), \(f(\sqrt2)=2\) e \(f(2)=0\): o máximo é \(2\) em \(x=\sqrt2\), e o mínimo é \(-\sqrt3\) em \(x=-1\).

3. \(f'(x)=e^{-x}(1-x)\). Máximo \(1/e\) em \(x=1\); mínimo \(0\) em \(x=0\).

4. \(f'(x)=(1-\ln x)/x^2\). Máximo \(1/e\) em \(x=e\); mínimo \(0\) em \(x=1\).

1. \(f'(x)=4x(x^2-2)\). Máximo \(47\) em \(x=-3\); mínimo \(-2\) em \(x=\pm \sqrt2\).

2. \(g'(x)=1/(x+1)^2\gt 0\). Máximo \(2/3\) em \(x=2\); mínimo \(1/2\) em \(x=1\).

3. \(h'(x)=-x/\sqrt{9-x^2}\). Máximo \(3\) em \(x=0\); mínimo \(\sqrt5\) em \(x=2\).

4. \(f'(t)=\cos t-\operatorname {sen}t\). Máximo \(\sqrt2\) em \(t=\pi /4\); mínimo \(1\) em \(t=0\).

5. \(f'(x)=1-3/x\). Mínimo \(3-3\ln 3\) em \(x=3\). O máximo é \(1\) em \(x=1\), pois \(f(4)=4-3\ln 4\lt 1\).

Pelo Teorema de Weierstrass, \(f\) atinge um mínimo \(m\) e um máximo \(M\) em \([c,d]\). Pela hipótese, temos \(m\leq f(x)\leq M\) também para \(x\in (a,b)\setminus [c,d]\). Portanto, os mesmos valores são o mínimo e o máximo globais em \((a,b)\).

A continuidade, por si só, não garante isso: \(f(x)=x\) é contínua em \((a,b)\), mas não atinge máximo nem mínimo nesse intervalo.

1. A imagem é \((1,\infty )\); não há máximo nem mínimo.

2. Mínimo \(3\) em \(x=0\), pois \(9+x^2\geq 9\). Não há máximo.

3. Não há extremos globais: \(h(x)\to +\infty \) quando \(x\to +\infty \) e \(h(x)\to -\infty \) quando \(x\to -\infty \).

4. \(k'(x)=1/x-1\). Máximo \(-1\) em \(x=1\). Não há mínimo, pois \(k(x)\to -\infty \) quando \(x\to 0^+\) ou \(x\to \infty \).

5. Como \(x-x^2=1/4-(x-1/2)^2\), o mínimo é \(4\) em \(x=1/2\). Não há máximo, pois a função tende a \(+\infty \) nas duas extremidades.

1. A diferença \(d=s_A-s_B\) é contínua em \([0,6]\), derivável em \((0,6)\) e satisfaz \(d(0)=d(6)=10\). Por Rolle, \(d'(c)=0\) para algum \(c\), ou seja, \(s_A'(c)=s_B'(c)\). Aplicações separadas do valor médio dão velocidade \(4\, \mathrm{m/s}\) em instantes possivelmente distintos.

2. Não. No exemplo, \(s_A-s_B=10+\operatorname {sen}(\pi t/3)\geq 9\gt 0\), de modo que não há encontro. As velocidades se igualam em \(t=3/2\) e \(t=9/2\), quando o cosseno se anula.

1. Dois: um em \((0,2)\) e outro em \((2,5)\).

2. Um, em \((0,5)\): aplicando Rolle a \(f'\) entre os dois zeros obtidos.

3. Três zeros de \(f'\) e dois de \(f''\).

4. Sim: os teoremas dão apenas uma quantidade mínima. Por exemplo, \(f(x)=x(x-2)(x-5)\bigl(2+\operatorname {sen}(10x)\bigr)\) tem esses zeros e \(f'\) oscila muitas vezes.

1. Em \((-1,1)\), a derivada de \(h(x)=\operatorname {arcsen}(-x)+\operatorname {arcsen}x\) é zero. Como \(h(0)=0\), temos \(h(x)=0\). A continuidade estende a identidade a \(x=\pm 1\).

2. Para \(h(x)=\operatorname {arctg}(-x)+\operatorname {arctg}x\), vale \(h'(x)=-1/(1+x^2)+1/(1+x^2)=0\) em \(\mathbb {R}\). Como \(h(0)=0\), segue a identidade.

3. Em \((-1,1)\), a função \(h(x)=\arccos (-x)+\arccos x\) satisfaz \(h'(x)=0\). Como \(h(0)=\pi \), segue \(h(x)=\pi \), também nos extremos pela continuidade.

1. \(s_A'=1\) e \(s_B'=1+2e^{-t}\gt 1\): \(B\) é sempre mais rápido. Entretanto, \(d(t)=1+2e^{-t}\gt 1\), logo \(B\) permanece atrás e nunca alcança \(A\).

2. A derivada negativa garante diminuição da distância, não que ela percorra todos os valores menores que o inicial. Temos \(d(t)\to 1\, \mathrm m\) quando \(t\to \infty \); a vantagem diminui de \(3\) metros para uma distância limite positiva.

1. \(A\), \(B\) e \(A+B\) são estritamente crescentes. Já

   \[ \begin{gathered} p'(t)=\frac{10(200+40t)-40(100+10t)}{(200+40t)^2}\\ =\frac{-2000}{(200+40t)^2}\lt 0. \end{gathered} \]

   A participação compara a quantidade com um total que cresce em outra proporção.

2. \(p(0)=1/2\) e \(p(t)\to 1/4\). Apesar disso, \(A(t)\to +\infty \): perder participação relativa não significa diminuir em tamanho absoluto.

1. \(f'=2x-3\). Crítico \(3/2\), mínimo de valor \(11/4\); \(\downarrow \) em \((-\infty ,3/2)\) e \(\uparrow \) em \((3/2,\infty )\).

2. \(f'=-\operatorname {sen}x\). Para \(k\in \mathbb Z\), \(2k\pi \) é máximo de valor \(1\), e \((2k+1)\pi \) é mínimo de valor \(-1\). Há crescimento em \(((2k-1)\pi ,2k\pi )\) e decrescimento em \((2k\pi ,(2k+1)\pi )\).

3. Domínio \(\mathbb R\setminus \{ \pi /2+k\pi :k\in \mathbb Z\} \). Como \(f'=\sec ^2x\gt 0\), a função cresce em cada intervalo \((-\pi /2+k\pi ,\pi /2+k\pi )\) e não tem pontos críticos.

4. \(f'=(x-1)(3x-7)\). Máximo local em \(1\), de valor \(2\), e mínimo local em \(7/3\), de valor \(22/27\). Há crescimento em \((-\infty ,1)\) e \((7/3,\infty )\) e decrescimento em \((1,7/3)\).

5. \(f'=6x^2-2x+1=6(x-1/6)^2+5/6\gt 0\). Crescente em toda a reta, sem pontos críticos.

6. Escreva \(r=\sqrt{5/2}\). Como \(f'=2x(2x^2-5)\), há mínimos em \(\pm r\), de valor \(-9/4\), e máximo local em \(0\), de valor \(4\). A função decresce em \((-\infty ,-r)\) e \((0,r)\) e cresce em \((-r,0)\) e \((r,\infty )\).

7. \(f'=-2x/(x^2+1)^2\). Máximo em \(0\), de valor \(1\); crescente em \((-\infty ,0)\) e decrescente em \((0,\infty )\).

8. \(f'=2x+2\). Mínimo em \(-1\), de valor \(-4\); decrescente em \((-\infty ,-1)\) e crescente em \((-1,\infty )\).

9. \(f'=3x(x+2)\). Máximo local em \(-2\), de valor \(7\), e mínimo local em \(0\), de valor \(3\). Crescente em \((-\infty ,-2)\) e \((0,\infty )\); decrescente em \((-2,0)\).

10. \(f'=-2(x-1)/((x-1)^2+1)^2\). Máximo em \(1\), de valor \(1\); crescente em \((-\infty ,1)\) e decrescente em \((1,\infty )\).

11. Domínio \(\mathbb R\setminus \{ -1,1\} \). Como \(f'=6x/(x^2-1)^2\), há mínimo local em \(0\), de valor \(4\). Decrescente em \((-\infty ,-1)\) e \((-1,0)\); crescente em \((0,1)\) e \((1,\infty )\).

12. Domínio \(\mathbb R\setminus \{ -2,4\} \). Como \(f'=-(x^2+8)/(x^2-2x-8)^2\lt 0\), decresce em cada um dos três componentes do domínio, sem pontos críticos.

13. Domínio \(\mathbb R\setminus \{ 0\} \). Para \(x\neq 0,2\), \(f'=(6-x)/(3x^2\sqrt[3]{x-2})\). O ponto \(2\) é crítico por não diferenciabilidade e é mínimo local de valor \(0\); \(6\) é máximo local de valor \(\sqrt[3]2/3\). Decresce em \((-\infty ,0)\), \((0,2)\) e \((6,\infty )\); cresce em \((2,6)\).

14. Domínio \((-\pi ,\pi )\) e \(f'=\cos (2x)\). Máximos em \(-3\pi /4\) e \(\pi /4\), de valor \(1/2\); mínimos em \(-\pi /4\) e \(3\pi /4\), de valor \(-1/2\). Cresce em \((-\pi ,-3\pi /4)\), \((-\pi /4,\pi /4)\) e \((3\pi /4,\pi )\); decresce em \((-3\pi /4,-\pi /4)\) e \((\pi /4,3\pi /4)\).

1. \(f'=3x(x-2)\): cresce em \((-\infty ,0]\) e \([2,\infty )\), decresce em \([0,2]\); máx. local \(f(0)=1\), mín. local \(f(2)=-3\); \(f\to \pm \infty \) quando \(x\to \pm \infty \).

2. \(f'=(x+1)(3x+1)\): cresce em \((-\infty ,-1]\) e \([-\tfrac 13,\infty )\), decresce em \([-1,-\tfrac 13]\); máx. local \(1\), mín. local \(\tfrac {23}{27}\).

3. \(f'=(x^2-1)/x^2\): cresce em \((-\infty ,-1]\) e \([1,\infty )\), decresce em \([-1,0)\) e \((0,1]\); \(f(\pm 1)=\pm 2\); \(f\to \pm \infty \) quando \(x\to 0^\pm \); assíntota \(y=x\).

4. \(y'=(2x^3-1)/x^2\): decresce em \((-\infty ,0)\) e em \((0,2^{-1/3}]\), cresce em \([2^{-1/3},\infty )\); mín. local \(\tfrac 32\sqrt[3]2\) em \(x=2^{-1/3}\); \(y\to \pm \infty \) quando \(x\to 0^\pm \); \(y\to +\infty \) quando \(x\to \pm \infty \).

5. \(y'=(x^3-2)/x^3\): cresce em \((-\infty ,0)\) e \([\sqrt[3]2,\infty )\), decresce em \((0,\sqrt[3]2]\); mín. local \(\tfrac 32\sqrt[3]2\); \(y\to +\infty \) quando \(x\to 0\); assíntota \(y=x\).

6. \(f'=15x^2(x^2-1)\): cresce em \((-\infty ,-1]\) e \([1,\infty )\), decresce em \([-1,1]\); máx. local \(f(-1)=2\), mín. local \(f(1)=-2\); em \(0\) não há extremo.

7. \(x'=(1-t^2)/(1+t^2)^2\): decresce em \((-\infty ,-1]\) e \([1,\infty )\), cresce em \([-1,1]\); extremos \(\mp \tfrac 12\) em \(t=\mp 1\); \(x\to 0\) quando \(t\to \pm \infty \).

8. \(x'=2t/(1+t^2)^2\): decresce em \((-\infty ,0]\), cresce em \([0,\infty )\); mín. \(0\); assíntota horizontal \(x=1\) (no plano \(tx\)) nos dois sentidos.

9. \(x'=e^{-t}\gt 0\): crescente em \(\mathbb {R}\); \(x\to 2\) quando \(t\to +\infty \) e \(x\to -\infty \) quando \(t\to -\infty \).

10. \(f'=e^x(2e^x-1)\): decresce em \((-\infty ,-\ln 2]\), cresce em \([-\ln 2,\infty )\); mín. \(-\tfrac 14\); \(f\to 0\) quando \(x\to -\infty \).

11. \(f'=(x-1)(2x^2+x+1)/x^2\): decresce em \((-\infty ,0)\) e \((0,1]\), cresce em \([1,\infty )\); mín. local \(f(1)=1\); \(f\to \pm \infty \) quando \(x\to 0^\pm \).

12. \(f'=-2(x-2)(2x+1)/(1+x^2)^2\): decresce em \((-\infty ,-\tfrac 12]\) e \([2,\infty )\), cresce em \([-\tfrac 12,2]\); mín. \(-1\), máx. \(4\); assíntota \(y=3\).

13. \(g'=(x+1)e^x\): decresce em \((-\infty ,-1]\), cresce em \([-1,\infty )\); mín. \(-1/e\); \(g\to 0\) quando \(x\to -\infty \).

14. \(f'=-4x(x-1)(x-2)\): cresce em \((-\infty ,0]\) e \([1,2]\), decresce em \([0,1]\) e \([2,\infty )\); máx. locais \(f(0)=f(2)=2\), mín. local \(f(1)=1\).

15. \(f'=(x-1)e^x/x^2\): decresce em \((-\infty ,0)\) e \((0,1]\), cresce em \([1,\infty )\); mín. local \(e\); \(f\to \pm \infty \) quando \(x\to 0^\pm \); \(f\to 0\) quando \(x\to -\infty \).

16. \(g'=x(x-2)/[2(x-1)^2]\): cresce em \((-\infty ,0]\) e \([2,\infty )\), decresce em \([0,1)\) e \((1,2]\); máx. local \(-\tfrac 12\), mín. local \(\tfrac 32\); \(g\to \pm \infty \) quando \(x\to 1^\pm \); assíntota \(y=\tfrac x2\).

17. \(g'=1-e^x\): cresce em \((-\infty ,0]\), decresce em \([0,\infty )\); máx. \(-1\); \(g\to -\infty \) nos dois sentidos.

1. Temos \(-1\lt 1\), mas \(f(-1)=1\gt -1=f(1)\): a função não é crescente no domínio inteiro.

2. A derivada é positiva em cada um dos intervalos \((-\infty ,0)\) e \((0,\infty )\), onde a função é estritamente crescente.

3. Para aplicar o Teorema do Valor Médio entre dois pontos, todo o intervalo entre eles deve pertencer ao domínio. O conjunto \(\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \) não é um intervalo: entre \(-1\) e \(1\) há um ponto em que \(f\) não está definida.

1. Como \(R\) é estritamente côncava para baixo, \(R(4)\gt [R(1)+R(7)]/2\). Logo, \(2R(4)\gt R(1)+R(7)\): a distribuição \((4,4)\) produz mais. Aqui, os totais são \(6\) e \(39/8=4{,}875\), respectivamente.

2. O sentido se inverte: a corda fica estritamente acima do gráfico no ponto médio, e \(R(1)+R(7)\gt 2R(4)\). Nessa comparação, a vantagem da distribuição equilibrada decorre da concavidade para baixo.

1. \(r(t)=1/(2\sqrt{1+t})\) e \(r'(t)=-1/[4(1+t)^{3/2}]\lt 0\). A taxa relativa diminui.

2. Para \(t\gt 0\), \(P''(t)\gt 0\), portanto a taxa absoluta \(P'\) aumenta e o gráfico de \(P\) é estritamente côncavo para cima. Contudo, \((\ln P)''=r'\lt 0\), e o gráfico logarítmico é estritamente côncavo para baixo. A diminuição do percentual instantâneo é compatível com acréscimos absolutos cada vez maiores.

1. \(A\): \(f'\gt 0\), \(f''\lt 0\). \(B\): \(f'=0\), \(f''\lt 0\). \(C\): \(f'\lt 0\), \(f''=0\). \(D\): \(f'=0\), \(f''\gt 0\). \(E\): \(f'\gt 0\), \(f''\gt 0\).

2. Em \(C\): a concavidade passa de para baixo a para cima, isto é, \(f'\) deixa de decrescer e passa a crescer. Neste ponto de inflexão, a derivada tem um mínimo local.

3. \(f'(x)=1+2\cos x\) e \(f''(x)=-2\operatorname {sen}x\): \(B=(2\pi /3,\ldots )\) e \(D=(4\pi /3,\ldots )\) são os zeros de \(f'\), e \(C=(\pi ,\pi )\) é o zero de \(f''\), onde \(f'(\pi )=-1\) é o menor valor de \(f'\).

1. A derivada é negativa em \((-\infty ,-2)\), positiva em \((-2,\infty )\), exceto em \(x=1\), onde se anula sem trocar de sinal. Portanto, \(f\) decresce em \((-\infty ,-2]\) e cresce em \([-2,\infty )\). Tem mínimo global em \(x=-2\); em \(x=1\), tem derivada zero, mas não um extremo local.

2. A função \(f'\) cresce em \((-\infty ,-1)\), decresce em \((-1,1)\) e volta a crescer em \((1,\infty )\). Assim, \(f\) é côncava para cima em \((-\infty ,-1)\) e \((1,\infty )\), e côncava para baixo em \((-1,1)\). As inflexões têm abscissas \(-1\) e \(1\).

3. A afirmação é falsa: \(f'(-1)=4\gt 0\), logo \(f\) está crescendo nesse ponto. O máximo local de \(f'\) corresponde à passagem de concavidade para cima a concavidade para baixo no gráfico de \(f\). Para conferir os cálculos, uma expressão compatível com o gráfico é

   \[ f'(x)=(x+2)(x-1)^2,\qquad f''(x)=3(x+1)(x-1). \]

1. A periodicidade dá, por derivação, \(F'(x+T)=F'(x)\). Se \(F''\ge 0\) em toda a reta, \(F'\) é não decrescente. Para \(x\le y\le x+T\),

   \[ F'(x)\le F'(y)\le F'(x+T)=F'(x). \]

   Assim, \(F'\) seria constante em cada intervalo de comprimento \(T\), logo em toda a reta. Pelo Teorema do Valor Médio, \(F(x)=mx+b\); a periodicidade implica \(mT=0\), isto é, \(m=0\), contra a hipótese de que \(F\) não é constante. O caso \(F''\le 0\) é análogo.

2. Derivando duas vezes a identidade, obtemos \(F''(x+T)=F''(x)\). Se em algum intervalo \([a,a+T]\) não houvesse valores negativos, a periodicidade implicaria \(F''\ge 0\) em toda a reta, contradizendo a). O mesmo raciocínio mostra que devem existir valores positivos.

1. \(f''=2\). \(C_\uparrow :\mathbb R\); sem inflexões.

2. \(f''=-2\). \(C_\downarrow :\mathbb R\); sem inflexões.

3. \(f''=6x\). \(C_\downarrow :(-\infty ,0)\); \(C_\uparrow :(0,\infty )\); inflexão \((0,1)\).

4. \(f''=12x-6\). \(C_\downarrow :(-\infty ,1/2)\); \(C_\uparrow :(1/2,\infty )\); inflexão \((1/2,9)\).

5. \(f''=x(3x+2)\). \(C_\uparrow :(-\infty ,-2/3)\) e \((0,\infty )\); \(C_\downarrow :(-2/3,0)\). Inflexões \((-2/3,347/81)\) e \((0,3)\).

6. Ponha \(r_\pm =(2\pm \sqrt7)/3\). Como \(f''=-12(3x^2-4x-1)\), \(C_\uparrow :(r_-,r_+)\) e \(C_\downarrow :(-\infty ,r_-)\) e \((r_+,\infty )\). Inflexões \((r_-,(-13+80\sqrt7)/27)\) e \((r_+,(-13-80\sqrt7)/27)\).

7. \(f''=12(x-1)^2\geq 0\). \(C_\uparrow :\mathbb R\); não há inflexão em \(1\), pois a concavidade não muda.

8. \(f''=2(3x^2-1)/(x^2+1)^3\). Com \(r=1/\sqrt3\), \(C_\uparrow :(-\infty ,-r)\) e \((r,\infty )\); \(C_\downarrow :(-r,r)\). Inflexões \((\pm r,3/4)\).

9. \(f''=2x(x^2+3)/(x^2-1)^3\). \(C_\uparrow :(-1,0)\) e \((1,\infty )\); \(C_\downarrow :(-\infty ,-1)\) e \((0,1)\). A única inflexão é \((0,0)\); \(\pm 1\) não pertencem ao domínio.

10. \(f''=-\operatorname {sen}x-\cos x\). \(C_\uparrow :(-\pi ,-\pi /4)\) e \((3\pi /4,\pi )\); \(C_\downarrow :(-\pi /4,3\pi /4)\). Inflexões \((-\pi /4,0)\) e \((3\pi /4,0)\).

11. \(f''=e^x(x^2+4x+2)\). Com \(r_\pm =-2\pm \sqrt2\), \(C_\uparrow :(-\infty ,r_-)\) e \((r_+,\infty )\); \(C_\downarrow :(r_-,r_+)\). Inflexões \((r_\pm ,r_\pm ^2e^{r_\pm })\).

12. Domínio \((0,\infty )\) e \(f''=2\ln x+3\). \(C_\downarrow :(0,e^{-3/2})\); \(C_\uparrow :(e^{-3/2},\infty )\). Inflexão \((e^{-3/2},-3/(2e^3))\).

13. \(f''=(4x^2-2)e^{-x^2}\). Com \(r=1/\sqrt2\), \(C_\uparrow :(-\infty ,-r)\) e \((r,\infty )\); \(C_\downarrow :(-r,r)\). Inflexões \((\pm r,e^{-1/2})\).

1. \(f'=2(x-1)\). Mínimo em \(1\), de valor \(0\), pois \(f''(1)=2\).

2. \(f'=-2x-5\). Máximo em \(-5/2\), de valor \(53/4\), pois \(f''=-2\).

3. \(f'=3x^2-1\). Máximo local em \(-1/\sqrt3\), de valor \(1+2/(3\sqrt3)\); mínimo local em \(1/\sqrt3\), de valor \(1-2/(3\sqrt3)\).

4. \(f'=6x^2-6x+9=6(x-1/2)^2+15/2\gt 0\). Não há pontos críticos nem extremos relativos.

5. \(f'=(x-1)(x^2+2x+2)\). Único crítico \(1\), mínimo de valor \(19/12\), pois \(f''(1)=5\).

6. \(f'=-12(x+1)(x-1)(x-2)\). Máximos locais em \(-1\) e \(2\), de valores \(21\) e \(-6\), pois \(f''(-1)=-72\) e \(f''(2)=-36\). Mínimo local em \(1\), de valor \(-11\), pois \(f''(1)=24\).

7. \(f'=4(x-1)^3\). O teste da segunda derivada é inconclusivo em \(1\), mas \(f=(x-1)^4\geq 0\) mostra que esse ponto é mínimo, de valor \(0\).

8. \(f'=-2x/(x^2+1)^2\). Máximo em \(0\), de valor \(1\), pois \(f''(0)=-2\).

9. \(f'=-(x^2+1)/(x^2-1)^2\lt 0\) em seu domínio. Não há pontos críticos.

10. \(f'=\cos x-\operatorname {sen}x\). Máximo em \(\pi /4\), de valor \(\sqrt2\), e mínimo em \(-3\pi /4\), de valor \(-\sqrt2\).

11. \(f'=e^xx(x+2)\). Máximo local em \(-2\), de valor \(4/e^2\), pois \(f''(-2)=-2/e^2\); mínimo em \(0\), de valor \(0\), pois \(f''(0)=2\).

12. \(f'=x(2\ln x+1)\). Único crítico \(e^{-1/2}\), mínimo de valor \(-1/(2e)\), pois a derivada segunda vale \(2\) nesse ponto.

13. \(f'=-2xe^{-x^2}\). Máximo em \(0\), de valor \(1\), pois \(f''(0)=-2\).

1. A substituição direta fornece \(H(K)=K^2/(2K^2)=1/2\).

2. Como o denominador é positivo, \(H''\) muda de sinal em \(x=K/\sqrt3\). O ponto de inflexão é

   \[ \left(\frac{K}{\sqrt3},\frac14\right). \]

3. Na curva de Boltzmann, meia-ativação e inflexão coincidem. Para esta equação de Hill, a meia-resposta ocorre em \(x=K\), depois do ponto de inflexão.

1. Como \(|F(x)-1|=|\operatorname {sen}x|/x\leq 1/x\to 0\), o limite é \(1\).

2. Não: \(D(2\pi n)=2\) e \(D((2n+1)\pi )=0\). A existência de um limite para o quociente das derivadas é uma hipótese suficiente para concluir pela regra, não uma condição necessária para a existência do limite original. Aqui, numerador e denominador tendem a \(+\infty \) e o denominador tem derivada não nula; é o limite de \(D\) que não existe, tornando essa aplicação inconclusiva.

1. \(2\).

2. \(0\).

3. \(\infty \).

4. \(\infty \).

5. \(\infty \).

6. \(5\).

7. \(a\).

8. \(0\).

9. \(1\).

10. \(1\).

11. \(\infty \).

12. \(0\).

13. \(0\).

14. \(0\).

15. \(0\).

1. \(3\).

2. \(- \frac{5}{3}\).

3. \(-1\).

4. \(- \frac{\sqrt{2}}{2}\).

5. \(5\).

6. \(0\).

7. \(\frac{2}{3}\).

8. \(\frac{a}{b}\).

9. \(\infty \).

10. \(\dfrac 92\).

11. \(0\).

12. \(0\).

13. \(0\).

14. \(\infty \).

15. \(\infty \).

16. \(0\).

17. \(2\).

18. \(-2\).

19. \(0\). Assim, \((n\ln n)/n^2\to 0\): assintoticamente, o crescimento \(n\ln n\) é desprezível em comparação com \(n^2\).

20. \(0\).

21. \(0\).

22. \(0\).

23. \(0\).

24. \(\infty \).

25. \(\infty \).

26. \(0\).

1. \(0\).

2. \(e\).

3. \(1\).

4. \(1\).

5. \(1\).

6. \(1\).

7. \(1\).

8. \(0\).

9. \(1\).

10. \(1\).

11. \(1\).

12. \(1\).

13. \(2\).

14. \(\frac{1}{2}\).

15. \(-\infty \).

16. \(1\).

17. \(0\).

18. \(3\).

19. \(\infty \).

1. \(+\infty \): com \(u=1/x\), \(x^2e^{1/x}=e^u/u^2\to +\infty \).

2. \(\dfrac {\operatorname {sen}x-x}{x\operatorname {sen}x}\) é do tipo \(0/0\); aplicando L’Hôpital duas vezes, o limite é \(0\).

3. \(0\): \(\operatorname {sen}x\ln x=\dfrac {\operatorname {sen}x}x\cdot x\ln x\to 1\cdot 0\).

4. \(e^2\): o logaritmo da expressão é \(\dfrac {\ln (x^2+1)}{\ln x}\to 2\).

5. \(+\infty \): a base tende a \(0^+\) e o expoente a \(-\infty \); não há indeterminação.

6. \(0\): ponha \(u=x^{-2}\), de modo que \(u\to 0^+\). Pela regra de L’Hôpital,

   \[ \lim _{u\to 0^+}\frac{1-(1-u)^{1/3}}u=\frac13. \]

   Portanto,

   \[ x-\sqrt[3]{x^3-x} =\frac1x\, \frac{1-(1-u)^{1/3}}u\longrightarrow 0. \]

7. \(1\): tomando o logaritmo da potência, obtemos

   \[ \operatorname {tg}(x^2)\ln x=\frac{\operatorname {tg}(x^2)}{x^2}\, x^2\ln x \longrightarrow 1\cdot 0=0. \]

   Pela continuidade da exponencial, a potência tende a \(e^0=1\).

1. Para \(g\), \(g(x)-x=1/\sqrt x\to 0\), logo \(y=x\) é assíntota. Para \(f\), a diferença até \(y=x+b\) é \(\sqrt x-b\to +\infty \), qualquer que seja \(b\); não há assíntota dessa forma.

2. \(f'=1+1/(2\sqrt x)\to 1\) e \(g'=1-1/(2x^{3/2})\to 1\). As inclinações se aproximam da mesma direção, mas a existência da assíntota exige que a diferença de ordenadas até uma reta fixa tenda a zero. Para \(f\), a diferença \(\sqrt x\) cresce sem limite, embora a derivada dessa diferença, \(1/(2\sqrt x)\), tenda a zero.

1. Verdadeira: \(f(x)=x+\dfrac {\operatorname {sen}x}x\) tem assíntota \(y=x\) e vale \(x\) em cada \(k\pi \), com \(k\in \mathbb {Z}\setminus \{ 0\} \).

2. Falsa: há no máximo uma em \(+\infty \) e uma em \(-\infty \).

3. Verdadeira: \(\operatorname {tg}x\) tem as assíntotas \(x=\pi /2+k\pi \).

4. Falsa: \(f(x)=x+\sqrt x\) satisfaz \(f(x)/x\to 1\), mas \(f(x)-x=\sqrt x\to +\infty \). Para a assíntota \(y=mx+b\) é preciso que \(m=\lim f(x)/x\) e que \(b=\lim (f(x)-mx)\) exista e seja finito.

Temos

A derivada muda de positiva para negativa em \(-0{,}1\) e de negativa para positiva em \(0{,}1\). Logo,

A diferença entre essas alturas é apenas \(0{,}004\), invisível numa janela com altura total de \(2000\) unidades. Uma janela como \([-0{,}2,0{,}2]\times [-0{,}005,0{,}005]\) revela os extremos. Já \(g(x)=x^3\) é estritamente crescente, embora pareça plana numa janela vertical muito grande para os valores exibidos. De fato, se \(u\lt v\), então \(v^3-u^3=(v-u)(v^2+uv+u^2)\gt 0\); portanto, \(g\) não é constante nesse intervalo.

Um gráfico em computador é evidência visual, não uma prova de monotonicidade. A escala precisa ser escolhida em função do fenômeno que queremos observar.

1. Ambos. Para \(F_c(x)=x/\sqrt{c+x^2}\), \(c\gt 0\),

   \[ F_c'(x)=\frac{c}{(c+x^2)^{3/2}}\gt 0,\qquad F_c''(x)=\frac{-3cx}{(c+x^2)^{5/2}}. \]

   A função é ímpar, tem as concavidades pedidas e limites \(-1\) e \(1\). Os valores \(c=1\) e \(c=4\) já dão duas funções distintas com todos esses traços.

2. \(F_c'(0)=1/\sqrt c\). Entre as duas propostas, apenas \(A\) tem inclinação \(1\) na origem; \(B\) tem inclinação \(1/2\). O dado especifica a inclinação da tangente, além do sentido do crescimento e da concavidade. A escolha é feita entre as duas propostas; não se afirma unicidade entre todas as funções possíveis.

1. \(f'=3x^2-4x+4\gt 0\): crescente em toda a reta, sem extremos. Como \(f''=6x-4\), \(C_\downarrow :(-\infty ,2/3)\) e \(C_\uparrow :(2/3,\infty )\); inflexão \((2/3,83/27)\).

2. \(f'=-(x-3)(3x-1)\): decresce em \((-\infty ,1/3)\) e \((3,\infty )\), cresce em \((1/3,3)\). Mínimo local em \(1/3\), de valor \(41/27\); máximo local em \(3\), de valor \(11\). Como \(f''=10-6x\), \(C_\uparrow :(-\infty ,5/3)\) e \(C_\downarrow :(5/3,\infty )\); inflexão \((5/3,169/27)\).

3. \(f=(x+1)^3\) cresce em toda a reta. O crítico \(-1\) é inflexão estacionária, com valor \(0\), e não é extremo. \(C_\downarrow :(-\infty ,-1)\); \(C_\uparrow :(-1,\infty )\).

4. \(f'=(x-1)(3x+1)\). Cresce em \((-\infty ,-1/3)\) e \((1,\infty )\) e decresce em \((-1/3,1)\). Máximo local \(32/27\) em \(-1/3\) e mínimo local \(0\) em \(1\). Como \(f''=6x-2\), \(C_\downarrow :(-\infty ,1/3)\) e \(C_\uparrow :(1/3,\infty )\); inflexão \((1/3,16/27)\).

5. Domínio \((2,\infty )\). \(f'=\ln (x-2)+1\): decresce até \(2+e^{-1}\) e cresce depois, com mínimo \(-e^{-1}\). Como \(f''=1/(x-2)\gt 0\), é convexa em todo o domínio e não tem inflexões. O limite em \(2^+\) é \(0\), sem assíntota vertical; o ponto \((2,0)\) é aberto.

6. Domínio \((2,\infty )\). \(f'=(x-2)(2\ln (x-2)+1)\): decresce até \(2+e^{-1/2}\) e cresce depois, com mínimo \(-1/(2e)\). \(f''=2\ln (x-2)+3\): \(C_\downarrow :(2,2+e^{-3/2})\) e \(C_\uparrow :(2+e^{-3/2},\infty )\). Inflexão \((2+e^{-3/2},-3/(2e^3))\); limite \(0\) em \(2^+\).

7. Domínio \(\mathbb R\setminus \{ 0\} \). \(f'=8/x^3\): decresce em \((-\infty ,0)\) e cresce em \((0,\infty )\), sem extremos. Como \(f''=-24/x^4\lt 0\), é côncava para baixo em cada ramo, sem inflexões. Assíntotas \(x=0\) e \(y=1\).

8. Domínio \(\mathbb R\setminus \{ 2,4\} \). Como

   \[ f'=-\frac{2(x^2-5x+7)}{(x-2)^2(x-4)^2}\lt 0, \]

   decresce em cada componente e não tem extremos. Seja \(r=(5+\sqrt[3]9-\sqrt[3]3)/2\), a única raiz de \(2x^3-15x^2+42x-44\), situada em \((2,4)\). A derivada segunda é duas vezes esse polinômio dividida por \((x-2)^3(x-4)^3\). Logo, \(C_\uparrow :(2,r)\) e \((4,\infty )\); \(C_\downarrow :(-\infty ,2)\) e \((r,4)\). A única inflexão é \((r,f(r))\). Assíntotas \(x=2\), \(x=4\) e \(y=1\).

9. Domínio \(\mathbb R\setminus \{ 2,4\} \). Como \(f'=-2(x-1)(2x-5)/((x-2)^2(x-4)^2)\), decresce em \((-\infty ,1)\), \((5/2,4)\) e \((4,\infty )\), e cresce em \((1,2)\) e \((2,5/2)\). Mínimo local \(0\) em \(1\) e máximo local \(-3\) em \(5/2\). Seja \(r=(7-3\sqrt[3]3-\sqrt[3]9)/4\), a única raiz real de \(4x^3-21x^2+30x-4\). Temos \(r\lt 1\) e

   \[ f''=\frac{2(4x^3-21x^2+30x-4)}{(x-2)^3(x-4)^3}. \]

   Portanto, \(C_\uparrow :(r,2)\) e \((4,\infty )\); \(C_\downarrow :(-\infty ,r)\) e \((2,4)\). A única inflexão é \((r,f(r))\). Assíntotas \(x=2\), \(x=4\) e \(y=1\).

10. Domínio \([-1,\infty )\). \(f'=(3x+2)/(2\sqrt{x+1})\): decresce em \((-1,-2/3)\) e cresce em \((-2/3,\infty )\), com mínimo \(-2/(3\sqrt3)\) em \(-2/3\). O extremo do domínio \(-1\) é máximo local relativo ao domínio, de valor \(0\). Como \(f''=(3x+4)/(4(x+1)^{3/2})\gt 0\) para \(x\gt -1\), a função é convexa, sem inflexões.

11. \(f'=e^xx(x+2)\): cresce em \((-\infty ,-2)\) e \((0,\infty )\) e decresce em \((-2,0)\). Máximo local \(4/e^2\) em \(-2\) e mínimo global \(0\) em \(0\). Com \(r_\pm =-2\pm \sqrt2\), temos \(C_\uparrow :(-\infty ,r_-)\) e \((r_+,\infty )\) e \(C_\downarrow :(r_-,r_+)\). Inflexões \((r_\pm ,r_\pm ^2e^{r_\pm })\). Assíntota \(y=0\) apenas quando \(x\to -\infty \).

12. Domínio \([-\pi ,\pi ]\). Cresce em \((-\pi ,-3\pi /4)\), \((-\pi /4,\pi /4)\) e \((3\pi /4,\pi )\); decresce nos dois intervalos restantes. Máximos \(1/2\) em \(-3\pi /4,\pi /4\) e mínimos \(-1/2\) em \(-\pi /4,3\pi /4\). Relativamente ao domínio fechado, \(-\pi \) também é mínimo local e \(\pi \) é máximo local, ambos de valor \(0\). Como \(f''=-2\operatorname {sen}(2x)\), \(C_\uparrow :(-\pi /2,0)\) e \((\pi /2,\pi )\) e \(C_\downarrow :(-\pi ,-\pi /2)\) e \((0,\pi /2)\). Inflexões em \(-\pi /2,0,\pi /2\), de ordenada \(0\).

13. \(f'=2/(3\sqrt[3]{x-3})\) para \(x\neq 3\). Decresce até \(3\) e cresce depois; mínimo global \(2\) no ponto não derivável \(3\). A derivada segunda é negativa nos dois lados: côncava para baixo em \((-\infty ,3)\) e \((3,\infty )\), sem inflexão.

14. \(f'=6x(x^2-1)^2\): decresce em \((-\infty ,0)\) e cresce em \((0,\infty )\). Mínimo global \(-1\) em \(0\); os críticos \(\pm 1\) não são extremos. Como \(f''=6(x^2-1)(5x^2-1)\), \(C_\uparrow :(-\infty ,-1)\), \((-1/\sqrt5,1/\sqrt5)\) e \((1,\infty )\); \(C_\downarrow :(-1,-1/\sqrt5)\) e \((1/\sqrt5,1)\). Inflexões \((\pm 1,0)\) e \((\pm 1/\sqrt5,-64/125)\).

15. \(f'=2/\sqrt[3]x-1\) para \(x\neq 0\). Decresce em \((-\infty ,0)\) e \((8,\infty )\), e cresce em \((0,8)\). Mínimo local \(0\) em \(0\) e máximo local \(4\) em \(8\). Como \(f''=-2/(3x^{4/3})\lt 0\), é côncava para baixo em cada lado de \(0\), sem inflexões.

16. Domínio \([-2,\infty )\). \(f'=3\sqrt{x+2}/2\gt 0\) para \(x\gt -2\): crescente, com mínimo global \(1\) no extremo \(-2\). Como \(f''=3/(4\sqrt{x+2})\gt 0\), é convexa, sem inflexões.

17. Ímpar; zeros \(-1\), \(0\), \(1\), com tangentes verticais; \(f'=\dfrac {3x^2-1}{3\sqrt[3]{(x^3-x)^2}}\): máx. local em \(x=-1/\sqrt3\) e mín. local em \(x=1/\sqrt3\), valores \(\pm \sqrt[3]{2\sqrt3/9}\approx \pm 0{,}73\); côncava para cima em \((-\infty ,-1)\) e \((0,1)\), para baixo em \((-1,0)\) e \((1,\infty )\). A função cresce em \((-\infty ,-1/\sqrt3)\) e \((1/\sqrt3,\infty )\) e decresce em \((-1/\sqrt3,1/\sqrt3)\), respeitando os pontos de derivada inexistente. A concavidade muda nos três zeros \(x=-1,0,1\), que são pontos de inflexão com tangentes verticais. A assíntota é \(y=x\) nos dois sentidos.

18. Ímpar; assíntotas \(x=\pm 1\) e \(y=x\); \(y'=\dfrac {x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}\): máx. local \(-\tfrac {3\sqrt3}2\) em \(-\sqrt3\), mín. local \(\tfrac {3\sqrt3}2\) em \(\sqrt3\); inflexão em \(0\) (tangente horizontal, sem extremo). A função cresce em \((-\infty ,-\sqrt3)\) e \((\sqrt3,\infty )\), e decresce em \((-\sqrt3,-1)\), \((-1,1)\) e \((1,\sqrt3)\). É côncava para cima em \((-1,0)\) e \((1,\infty )\), e para baixo em \((-\infty ,-1)\) e \((0,1)\).

19. Zero em \(0\); \(y\to 0\) quando \(x\to -\infty \) e \(y\to -\infty \) quando \(x\to +\infty \); máximo em \(x=-\tfrac 12\ln 3\), valor \(\tfrac 2{3\sqrt3}\); inflexão em \(x=-\ln 3\), valor \(\tfrac 8{27}\). Cresce em \((-\infty ,-\tfrac 12\ln 3)\) e decresce em \((-\tfrac 12\ln 3,\infty )\). Como \(y''=e^x-9e^{3x}\), é côncava para cima em \((-\infty ,-\ln 3)\) e para baixo em \((-\ln 3,\infty )\).

20. \(y=\sqrt{(x+1)^2+4}\): mínimo \(2\) em \(x=-1\); sempre côncava para cima; assíntotas \(y=x+1\) em \(+\infty \) e \(y=-x-1\) em \(-\infty \) (ramo de hipérbole). A função decresce em \((-\infty ,-1)\) e cresce em \((-1,\infty )\). Como

    \[ y''=\frac4{((x+1)^2+4)^{3/2}}\gt 0, \]

    é côncava para cima em toda a reta e não tem pontos de inflexão.

21. Assíntotas \(x=-1\), \(x=2\) e \(y=1\); \(f'=\dfrac {-x(x+4)}{(x-2)^2(x+1)^2}\): mín. local \(\tfrac 89\) em \(x=-4\), máx. local \(0\) em \(x=0\); cruza \(y=1\) em \(x=-2\); inflexão em \(x\approx -6{,}11\). A função cresce em \((-4,-1)\) e \((-1,0)\), e decresce em \((-\infty ,-4)\), \((0,2)\) e \((2,\infty )\). Seja \(r\approx -6{,}107\) a única raiz real de \(x^3+6x^2+4=0\). Como

    \[ f''=\frac{2(x^3+6x^2+4)}{(x-2)^3(x+1)^3}, \]

    ela é côncava para baixo em \((-\infty ,r)\) e \((-1,2)\), e para cima em \((r,-1)\) e \((2,\infty )\). O ponto de inflexão é \((r,f(r))\).

1. \(f'=1-\operatorname {sen}x\geq 0\) e só se anula em pontos isolados, portanto \(f\) cresce em toda a reta, sem extremos. \(f''=-\cos x\): \(C_\uparrow :(\pi /2+2k\pi ,3\pi /2+2k\pi )\) e \(C_\downarrow :(-\pi /2+2k\pi ,\pi /2+2k\pi )\). Inflexões \((\pi /2+k\pi ,\pi /2+k\pi )\). Não há assíntota oblíqua: \(f(x)-x=\cos x\) não possui limite no infinito.

2. Domínio \(\mathbb R\). Para \(x\neq 0\), \(f'=4(x+1)/(3x^{2/3})\). Decresce até \(-1\) e cresce depois, com mínimo global \(-3\). O crítico \(0\) não é extremo. Como \(f''=4(x-2)/(9x^{5/3})\), \(C_\uparrow :(-\infty ,0)\) e \((2,\infty )\); \(C_\downarrow :(0,2)\). Inflexões \((0,0)\) e \((2,6\sqrt[3]2)\). Zeros \(-4\) e \(0\); sem assíntotas.

3. Domínio \(\mathbb R\), função par. \(f'=4x^3/(x^4+27)\): decresce até \(0\) e cresce depois; mínimo \(\ln 27\). Como

   \[ f''=\frac{4x^2(81-x^4)}{(x^4+27)^2}, \]

   temos \(C_\uparrow :(-3,3)\) e \(C_\downarrow :(-\infty ,-3)\) e \((3,\infty )\). Inflexões \((\pm 3,\ln 108)\); \(0\) não é inflexão. Sem assíntotas.

4. Domínio \((0,e)\). \(f'=-1/[x(1-\ln x)]\lt 0\): decrescente, sem extremos. Como \(f''=-\ln x/[x^2(1-\ln x)^2]\), \(C_\uparrow :(0,1)\) e \(C_\downarrow :(1,e)\); inflexão \((1,0)\). Assíntotas \(x=0\) e \(x=e\), com limites \(+\infty \) e \(-\infty \), respectivamente.

5. Domínio \(\mathbb R\setminus \{ -1\} \). A função cresce em cada ramo, pois \(f'=e^{-1/(x+1)}/(x+1)^2\gt 0\). Como \(f''=-(2x+1)e^{-1/(x+1)}/(x+1)^4\), \(C_\uparrow :(-\infty ,-1)\) e \((-1,-1/2)\); \(C_\downarrow :(-1/2,\infty )\). Inflexão \((-1/2,e^{-2})\). Assíntotas \(y=1\) nas duas extremidades e \(x=-1\) pelo lado esquerdo; pelo lado direito, o limite em \(-1\) é \(0\).

6. Domínio \(\mathbb R\setminus \{ k\pi /2:k\in \mathbb Z\} \); período \(\pi \). Temos \(f'=4/\operatorname {sen}(2x)\): cresce em \((k\pi ,k\pi +\pi /2)\) e decresce em \((k\pi -\pi /2,k\pi )\), sem extremos. Como \(f''=-8\cos (2x)/\operatorname {sen}^2(2x)\), em cada período \(C_\downarrow :(k\pi ,k\pi +\pi /4)\) e \((k\pi +3\pi /4,k\pi +\pi )\); \(C_\uparrow :(k\pi +\pi /4,k\pi +\pi /2)\) e \((k\pi +\pi /2,k\pi +3\pi /4)\). Inflexões \((\pi /4+k\pi /2,0)\). Assíntotas verticais em todos os pontos excluídos; limite \(-\infty \) em \(k\pi \) e \(+\infty \) em \(\pi /2+k\pi \).

7. Domínio \(\mathbb R\setminus \{ -3,3\} \). Ponha \(r_\pm =1\pm \sqrt{10}\). Como \(f'=e^x(x^2-2x-9)/(x^2-9)^2\), cresce em \((-\infty ,-3)\), \((-3,r_-)\) e \((r_+,\infty )\), e decresce em \((r_-,3)\) e \((3,r_+)\). Máximo local em \(r_-\) e mínimo local em \(r_+\), com valores \(e^{r_\pm }/(2r_\pm )\). Além disso,

   \[ f''=\frac{e^x\bigl((x^2-2x-9)^2+2x^2+18\bigr)}{(x^2-9)^3}. \]

   Portanto, \(C_\uparrow :(-\infty ,-3)\) e \((3,\infty )\); \(C_\downarrow :(-3,3)\); sem inflexões. Assíntotas \(x=\pm 3\) e \(y=0\) apenas em \(-\infty \).

8. Domínio \((-\pi /2,\pi /2)\), função par. \(f'=\operatorname {tg}x+x\sec ^2x\) tem o sinal de \(x\), logo há mínimo global \(0\) em \(0\). Como \(f''=2\sec ^2x(1+x\operatorname {tg}x)\gt 0\), é convexa, sem inflexões. Assíntotas \(x=\pm \pi /2\), com limites \(+\infty \).

9. Domínio \(\mathbb R\), função par de período \(2\pi \). \(f'=-e^{\cos x}\operatorname {sen}x\): decresce em \((2k\pi ,(2k+1)\pi )\) e cresce em \(((2k-1)\pi ,2k\pi )\). Máximos \(e\) em \(2k\pi \) e mínimos \(e^{-1}\) em \((2k+1)\pi \). Escreva \(\alpha =\arccos ((\sqrt5-1)/2)\). Como \(f''=e^{\cos x}(\operatorname {sen}^2x-\cos x)\), \(C_\downarrow :(2k\pi -\alpha ,2k\pi +\alpha )\) e \(C_\uparrow :(2k\pi +\alpha ,2(k+1)\pi -\alpha )\). Inflexões em \(2k\pi \pm \alpha \), de valor \(e^{(\sqrt5-1)/2}\). Sem assíntotas.

10. Domínio \((-2\pi ,0)\cup (0,2\pi )\), função par. \(f'=-\operatorname {sen}x/(1-\cos x)^2\): cresce em \((-\pi ,0)\) e \((\pi ,2\pi )\) e decresce em \((-2\pi ,-\pi )\) e \((0,\pi )\). Mínimos \(1/2\) em \(\pm \pi \). Como \(f''=(2+\cos x)/(1-\cos x)^2\gt 0\), é convexa em cada componente, sem inflexões. Assíntotas \(x=-2\pi ,0,2\pi \), com limites \(+\infty \) pelos lados do domínio.

11. Domínio \(\mathbb R\), função ímpar. Para \(t\neq \pm 2\),

    \[ f'(t)=\frac{5t^2-12}{3\sqrt[3]{(t^2-4)^2}},\qquad f''(t)=\frac{2t(5t^2-36)}{9\sqrt[3]{(t^2-4)^5}}. \]

    Ponha \(r=\sqrt{12/5}\) e \(s=6/\sqrt5\). Cresce em \((-\infty ,-r)\) e \((r,\infty )\), inclusive através das tangentes verticais em \(\pm 2\), e decresce em \((-r,r)\). Máximo local \(r\sqrt[3]{8/5}\) em \(-r\) e mínimo local \(-r\sqrt[3]{8/5}\) em \(r\). Temos \(C_\uparrow :(-s,-2)\), \((0,2)\) e \((s,\infty )\); \(C_\downarrow :(-\infty ,-s)\), \((-2,0)\) e \((2,s)\). Inflexões em \(-s,-2,0,2,s\), com ordenadas dadas por \(f\); nos pontos \(\pm 2\) a continuidade e a mudança de concavidade bastam, embora a derivada não exista. Zeros \(-2,0,2\); sem assíntotas.

1. Se \(b\neq 0\) e \(a\neq 0\), o único ponto crítico é \(0\), com valor \(a/b^2\), e as inflexões são \((\pm |b|/\sqrt3,3a/(4b^2))\). Isso segue de \(f'=-2ax/(x^2+b^2)^2\) e \(f''=2a(3x^2-b^2)/(x^2+b^2)^3\). Se \(b=0\) e \(a\neq 0\), o domínio exclui \(0\), e não há pontos críticos nem inflexões. Se \(a=0\), a função é constante em seu domínio: todo ponto do domínio é crítico e não há inflexões; quando também \(b=0\), o ponto \(0\) continua excluído.

2. Se \(a\neq 0\), os críticos são \(x=(\pi /2+k\pi -b)/a\), com valores \((-1)^k\), e as inflexões são \(((k\pi -b)/a,0)\), \(k\in \mathbb Z\). Se \(a=0\), a função é constante: todos os pontos são críticos e não há inflexões.

3. \(f'=2x-a-b\) e \(f''=2\). O único crítico é \((a+b)/2\), mínimo de valor \(-(a-b)^2/4\); não há inflexões.

1. Para \(m=2\), o mínimo ocorre em \(x=4\), com custo \(4\). Para \(m=6\), \(C\) é crescente em todo o conjunto admissível, e o mínimo ocorre na extremidade \(x=6\), com custo \(8\). Ali, \(C'(6)=4\neq 0\); a condição de Fermat se refere a extremos interiores, não a uma extremidade imposta pela restrição.

2. \(x_*(m)=4\) para \(0\leq m\leq 4\) e \(x_*(m)=m\) para \(m\gt 4\). Até \(m=4\), a escolha sem restrição continua disponível; acima disso, a melhor escolha acompanha o menor valor permitido.

1. \(C'(x)=10-61/x^2\) muda de negativo para positivo em \(x_* =\sqrt{61/10}\). O valor mínimo é \(C(x_*)=2\sqrt{610}\). Como \(4\lt 61/10\lt 25/4\), temos \(2\lt x_*\lt 2{,}5\); o arredondamento escolheria \(2\).

2. \(C\) decresce antes de \(x_*\) e cresce depois. Entre os inteiros à esquerda, \(2\) é o melhor; entre os à direita, \(3\) é o melhor. Contudo,

   \[ C(2)=\frac{101}{2}=50{,}5,\qquad C(3)=\frac{151}{3}\approx 50{,}333, \]

   e \(C(3)\lt C(2)\). O ótimo inteiro é \(3\), embora \(2\) esteja mais perto do ótimo contínuo. Proximidade na variável não é o mesmo que proximidade no custo.

O raio da circunferência impõe uma relação entre a altura e a base do triângulo. Se \(x\) é a altura, \(y\) a base e \(z\) um dos lados congruentes, então \(0\lt x\lt 2R\) e a área vale \(A=xy/2\). Pelo triângulo retângulo auxiliar da figura,

Portanto, devemos maximizar

Sua derivada é

Nesse intervalo, \(x\) e o denominador são positivos. O sinal de \(A'\) é, portanto, o de \(3R-2x\): a área cresce em \((0,3R/2)\) e decresce em \((3R/2,2R)\). Além disso, tende a zero nas duas extremidades. Concluímos que \(x=3R/2\) fornece efetivamente a maior área.

Substituindo na expressão da base, obtemos \(y=\sqrt3R\). Pelo Teorema de Pitágoras,

Logo, \(z=y=\sqrt3R\): o triângulo ótimo é equilátero. Sua área máxima é

1. Escrevendo \(\delta =0{,}06\), em metros, temos

   \[ H=\frac{16}{R^2},\qquad r=R-\delta ,\qquad h=\frac{16}{R^2}-2\delta . \]

   Logo, a capacidade é

   \[ V_{\mathrm{int}}(R)=\pi (R-\delta )^2 \left(\frac{16}{R^2}-2\delta \right), \]

   com domínio \(\delta \lt R\lt \sqrt{8/\delta }\), pois precisamos de \(r\gt 0\) e \(h\gt 0\).

2. A derivada é

   \[ V_{\mathrm{int}}'(R)=4\pi \delta (R-\delta ) \left(\frac8{R^3}-1\right). \]

   No domínio físico, ela é positiva para \(R\lt 2\) e negativa para \(R\gt 2\). Além disso, a capacidade tende a zero nas duas extremidades do domínio. O máximo global ocorre, portanto, em \(R=2\, \mathrm m\) e \(H=4\, \mathrm m\). As dimensões internas são \(r=1{,}94\, \mathrm m\) e \(h=3{,}88\, \mathrm m\), e a capacidade máxima é \(\pi (1{,}94)^2(3{,}88)\, \mathrm{m^3}\).

3. O domínio é não vazio se e somente se \(\delta \lt \sqrt{8/\delta }\), isto é, \(0\lt \delta \lt 2\), com \(\delta \) em metros. Nesse caso, \(R=2\) pertence ao domínio e a mesma análise da derivada fornece as dimensões externas ótimas \(R=2\, \mathrm m\) e \(H=4\, \mathrm m\), independentes de \(\delta \). A capacidade máxima, porém, diminui com a espessura:

   \[ V_{\max }=\pi (2-\delta )^2(4-2\delta ) =2\pi (2-\delta )^3, \]

   em metros cúbicos.

Derivando,

O ponto crítico satisfaz

ou, equivalentemente,

Logo,

O instante encontrado é positivo, pois o numerador e o denominador têm o mesmo sinal. Além disso, a concentração de \(B\) começa em zero, é positiva para \(t\gt 0\) e volta a tender a zero quando \(t\to \infty \). Como esse é o único ponto crítico positivo, ele corresponde à concentração máxima do produto intermediário. Interromper a reação antes ou depois desse instante significa obter menos \(B\).

Se \(k_1=k_2=k\), o modelo limite é \([B](t)=[A]_0kt\, e^{-kt}\), cujo máximo ocorre em \(t=1/k\).

1. \(P(R)=\dfrac {V^2R}{(R+r)^2}\), para \(R\gt 0\).

2. \(P'(R)=V^2\, \dfrac {(R+r)^2-2R(R+r)}{(R+r)^4}=\dfrac {V^2(r-R)}{(R+r)^3}\). Assim, \(P\) cresce para \(R\lt r\) e decresce para \(R\gt r\); o máximo global ocorre em \(R=r\) e vale \(P(r)=\dfrac {V^2}{4r}\).

1. No corte axial, a esfera determina a circunferência inscrita em um triângulo isósceles de base \(2R\), altura \(h\) e lados \(\ell =\sqrt{R^2+h^2}\). Decompondo o triângulo em três triângulos de altura \(r\), obtemos a relação entre sua área e seu semiperímetro:

   \[ Rh=r(R+\ell ). \]

   Como \(\ell \gt R\), segue que \(h\gt 2r\). Isolando a raiz e elevando ao quadrado, encontramos

   \[ R^2=\frac{r^2h}{h-2r},\qquad h\gt 2r. \]

   Portanto,

   \[ V(h)=\frac{\pi r^2h^2}{3(h-2r)}. \]

   Reciprocamente, cada \(h\gt 2r\) fornece um raio \(R\gt 0\) que satisfaz a relação geométrica.

2. Temos

   \[ V'(h)=\frac{\pi r^2h(h-4r)}{3(h-2r)^2}. \]

   Assim, \(V\) decresce em \((2r,4r)\) e cresce em \((4r,\infty )\). Além disso, \(V(h)\to \infty \) tanto quando \(h\to 2r^+\) quanto quando \(h\to \infty \). O mínimo é global e ocorre em

   \[ \begin{gathered} h=4r,\qquad R=\sqrt2\, r,\\ V_{\min }=\frac{8\pi r^3}{3}. \end{gathered} \]

1. O resto satisfaz \(|f(x)-P_2(x)|\leq 6x^3/3!=x^3\) para \(0\leq x\leq 0{,}4\). Como \(P_2(0{,}4)=0{,}52\) e \((0{,}4)^3=0{,}064\), obtemos

   \[ 0{,}456\leq f(0{,}4)\leq 0{,}584. \]

2. A primeira afirmação é garantida, pois \(0{,}456\gt 0{,}45\). A segunda não: as funções \(f_-(x)=P_2(x)-x^3\) e \(f_+(x)=P_2(x)+x^3\) têm os dados iniciais indicados e terceiras derivadas de módulo \(6\), mas dão \(0{,}456\lt 0{,}52\) e \(0{,}584\gt 0{,}52\), respectivamente.

1. Temos \(P_n(x)=\sum _{k=1}^n(-1)^{k+1}(x-1)^k/k\). Assim,

   \[ P_1(10)=9,\qquad P_2(10)=-31{,}5,\qquad P_3(10)=211{,}5. \]

   Para comparação, \(\ln 10\approx 2{,}303\). As três aproximações pioram e se alternam entre valores acima e abaixo do valor exato.

2. Em \(x=10\), o módulo do termo de ordem \(k\) é \(9^k/k\). O quociente entre o módulo do próximo termo e o atual é \(9k/(k+1)\gt 1\), para \(k\geq 1\). Assim, os termos acrescentados crescem, em vez de representarem pequenas correções. A concordância das derivadas em \(1\) não garante uma boa aproximação em \(10\).

3. Podemos usar

   \[ \ln 10=-3\ln (0{,}5)+\ln (1{,}25) \approx -3P_n(0{,}5)+P_n(1{,}25). \]

   Os dois argumentos estão mais próximos do centro. O erro dessa combinação é, em módulo, no máximo \(3|E_n(0{,}5)|+|E_n(1{,}25)|\) e deve ser estimado antes de escolher \(n\).

1. \(h=x-1\): \(P_2=h-h^2/2\).

2. \(h=x\): \(P_2=1+h+h^2/2\).

3. \(h=x\): \(P_2=h\).

4. \(h=x\): \(P_2=1-h^2/2\).

5. \(h=x\): \(P_2=h\).

6. \(h=x\): \(P_2=1+h^2/2\).

7. \(h=x-1\): \(P_2=1+h/3-h^2/9\).

8. \(h=x-4\): \(P_2=2+h/4-h^2/64\).

9. \(h=x\): \(P_2=1+h^2\).

1. Com \(a=1\), obtemos \(\ln (1{,}2)\approx 0{,}18\). Como \(f'''(t)=2/t^3\leq 2\) em \([1,1{,}2]\), \(0\lt E_2\leq 1/375\lt 0{,}002667\).

2. Com \(a=4\), temos

   \[ \sqrt{3{,}8}\approx 2-\frac{0{,}2}{4}-\frac{0{,}2^2}{64} =1{,}949375. \]

   Em \([3{,}8,4]\), \(f'''(t)=3/(8t^{5/2})\leq 3/(8(3{,}8)^{5/2})\). Logo, \(|E_2|\leq 0{,}0005/(3{,}8)^{5/2}\lt 0{,}0000178\).

3. Com \(a=0\), temos \(\operatorname {sen}(0{,}1)\approx 0{,}1\). Como \(|f'''|=|\cos |\leq 1\), o erro é, em módulo, no máximo \(0{,}1^3/6=1/6000\).

4. Novamente com \(a=0\), temos \(\operatorname {sen}(\pi /25)\approx \pi /25\), com \(|E_2|\leq \pi ^3/93750\lt 0{,}000331\).

5. Com \(a=0\), obtemos

   \[ e^{0{,}003}\approx 1+0{,}003+\frac{0{,}003^2}{2}=1{,}0030045. \]

   Em \([0,0{,}003]\), podemos usar \(f'''(t)=e^t\lt 3\). Portanto, \(0\lt E_2\lt 3(0{,}003)^3/6=1{,}35\cdot 10^{-8}\).

1. \(h=x-1\): \(P_5=h-h^2/2+h^3/3-h^4/4+h^5/5\).

2. \(h=x\): \(P_5=1+h+h^2/2+h^3/6+h^4/24+h^5/120\).

3. \(h=x\): \(P_5=h-h^3/6+h^5/120\).

4. \(h=x\): \(P_5=1-h^2/2+h^4/24\).

5. \(h=x\): \(P_5=h+h^3/6+h^5/120\).

6. \(h=x\): \(P_5=1+h^2/2+h^4/24\).

7. \(h=x-1\): \(P_5=1+h-h^2+h^3/2+h^4/6-3h^5/4\).

8. Para \(h=x-4\),

   \[ P_5=2+\frac h4-\frac{h^2}{64}+\frac{h^3}{512} -\frac{5h^4}{16384}+\frac{7h^5}{131072}. \]

9. \(P_5(x)=\sum _{k=0}^{5}\binom \alpha k x^k\), onde

   \[ \binom \alpha 0=1,\qquad \binom \alpha k=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)}{k!} \quad (k\geq 1). \]

1. A expressão de \(P_2\) e o cálculo \(f^{(3)}(0)=1\) estão corretos. O erro está em tratar a derivada no centro como majorante válido em todo o segmento. O resto de Lagrange garante que, para algum \(\xi \in (0,1)\),

   \[ e-P_2(1)=\frac{e^\xi }{3!}, \]

   e \(e^\xi \gt 1\), não \(e^\xi \le 1\).

2. Para \(0\le s\le 1\), \(e^s\le e\lt 3\). Assim,

   \[ 0\lt e-P_2(1)=e-\frac52\lt \frac36=\frac12. \]

   Essa cota é correta, ainda que menos precisa que a cota apresentada no argumento.

3. Como

   \[ P_3(1)=1+1+\frac12+\frac16=\frac83 \]

   e o resto é \(e^\eta /24\gt 0\), para algum \(\eta \in (0,1)\), temos

   \[ e=\frac83+\frac{e^\eta }{24}\gt \frac83. \]

   Portanto, a conclusão examinada é falsa.