Nada acontece no universo em que não apareça alguma regra de máximo ou de mínimo.
O conhecimento da derivada permite estudar o comportamento de uma função em um intervalo. O sinal de \(f'\) controla crescimento e decrescimento; o sinal de \(f''\) descreve a concavidade; pontos críticos e extremidades organizam a busca por máximos e mínimos. O Teorema do Valor Médio é o princípio que permite passar da derivada em pontos do intervalo ao comportamento da função como um todo. Essa relação fundamenta critérios para o esboço de curvas e a resolução de problemas de otimização. A regra de L’Hôpital e os polinômios de Taylor fornecem outros usos da derivada no cálculo de limites e de aproximações.
11.1 Valores extremos
11.1.1 Extremos absolutos
Máximos e mínimos dependem do conjunto em que a função é considerada. Um extremo absoluto compara um valor da função com todos os demais valores assumidos no intervalo.
Definição 11.1
Sejam \(I\) um intervalo e \(f:I\to \mathbb {R}\) uma função.
Diremos que \(x_0\in I\) é um ponto de máximo global (ou absoluto) de \(f\), se \(f(x)\leq f(x_0)\), para todo \(x\in I\). Neste caso, diremos que \(f(x_0)\) é máximo global.
Diremos que \(x_0\in I\) é um ponto de mínimo global de \(f\), se \(f(x)\geq f(x_0)\), para todo \(x\in I\). Neste caso, diremos que \(f(x_0)\) é mínimo global.
Um ponto \(x_0\in I\) será dito um ponto extremo global, se \(x_0\) for um ponto de máximo global ou um ponto de mínimo global.
Figura11.1A curva atinge um mínimo global no vale assinalado e um máximo global no pico assinalado.
Exemplo 11.1
Determine os extremos das seguintes funções analisando seus gráficos: a \(x^2\qquad \)b \(x^3\qquad \) c \(1/x \qquad \) d \(\dfrac {x}{\sqrt{x^2+1}}\)
Figura11.2Entre as quatro funções, apenas \(x^2\) atinge um extremo global em \(\mathbb R\): o mínimo \(0\) em \(x=0\).
Solução
a A função \(x^2\) possui mínimo absoluto \(0\) em \(x=0\) e não possui máximo. b A função \(x^3\) não possui máximo nem mínimo. c A função \(1/x\) não possui máximo nem mínimo. d A função \(\dfrac {x}{\sqrt{x^2+1}}\) tem imagem \((-1,1)\): aproxima-se de \(-1\) e de \(1\), mas não atinge esses valores. Portanto, não possui máximo nem mínimo.
Exemplo 11.2
Utilizando os gráficos da figura, determine os extremos das seguintes funções nos intervalos especificados: a \(x^2\) em \([-1,2]\) b \(x^2\) em \((-1,2)\)
Intervalo fechado \([-1,2]\)
\(f(2)=4\): máximo atingido.
Intervalo aberto \((-1,2)\)
\(\sup f=4\), mas não há máximo.
Figura11.3Em \([-1,2]\), \(x^2\) atinge mínimo e máximo; em \((-1,2)\), atinge o mínimo, mas não o supremo \(4\).
Solução
a Pelos gráficos da Figura 11.3, temos que o máximo de \(x^2\) em \([-1,2]\) ocorre em \(x=2\). O valor máximo que a função atinge é \(f(2)=4\). O mínimo é \(f(0)=0\). b Em \((-1,2)\), a função \(x^2\) também possui mínimo \(0\) em \(x=0\), mas não possui máximo: o extremo \(2\) não pertence ao intervalo. Um modo de ver isso é por redução ao absurdo. Suponha que a função tivesse um máximo em \(a\), que podemos supor maior que \(0\). Se tomarmos um valor \(b\) entre \(a\) e \(2\), a função será maior em \(b\), pois é crescente em \([0,2)\). Isso levaria a um absurdo; logo, a função não possui máximo. Por que esse argumento não funciona no item anterior? No intervalo fechado, o candidato \(a=2\) pertence ao domínio e não existe \(b\) do domínio com \(a\lt b\).
11.1.2 Extremos relativos
Um valor pode ser maior que os valores vizinhos sem ser o maior de todo o intervalo. Ao restringir a comparação a uma vizinhança do ponto, obtemos a noção de extremo relativo ou local, mais diretamente ligada ao comportamento descrito pela derivada.
Definição 11.2
Seja \(I\) um intervalo e \(f:I\to \mathbb {R}\) uma função.
Diremos que \(x_0\in I\) é um ponto de máximo local de \(f\), se existir \(\delta \gt 0\) tal que \(f(x)\leq f(x_0)\), para todo \(x\in (x_0-\delta , x_0+ \delta )\cap I\). Neste caso, diremos que \(f(x_0)\) é um máximo local.
Diremos que \(x_0\in I\) é um ponto de mínimo local de \(f\), se existir \(\delta \gt 0\) tal que \(f(x)\geq f(x_0)\), para todo \(x\in (x_0-\delta , x_0+ \delta ) \cap I\). Neste caso, diremos que \(f(x_0)\) é mínimo local.
Um ponto \(x_0\in I\) será dito um ponto extremo local, se \(x_0\) for um ponto de máximo local ou um ponto de mínimo local.
Figura11.4Máximos locais em \(a\) e \(c\) e mínimos locais em \(b\) e \(d\); a comparação é feita apenas em vizinhanças desses pontos.
A função \(f\) possui máximos relativos nos pontos \(a\) e \(c\) e mínimos relativos nos pontos \(b\) e \(d\). Observe que \(f(d)\gt f(a)\), ou seja, o valor de uma função em um mínimo relativo pode ser maior que o valor em um máximo relativo.
A diferenciabilidade fornece uma condição necessária para extremos locais em pontos interiores e, com isso, reduz a busca a um conjunto de candidatos.
Teorema 11.3 (Teorema de Fermat)
Se \(f\) é uma função definida no intervalo aberto \((a,b)\) e \(x\) é um ponto de máximo ou mínimo local de \(f\) em \((a,b)\), então ou \(f\) não é diferenciável em \(x\) ou \(f^{\prime }(x)=0\).
Demonstração▼
Suponha que \(f\) seja diferenciável em \(\displaystyle x_0\) e que \(\displaystyle x_0\) seja um máximo local (uma prova similar pode ser feita quando \( x_0\) é um mínimo local). Então, \(\exists \, \delta \gt 0 \) tal que \((x_0 - \delta ,x_0 + \delta ) \subset (a,b)\) e tal que \(f(x_0) \ge f(x)\) para todo \(x\) satisfazendo \( |x - x_0| \lt \delta \). Logo, para qualquer \(h \in (0,\delta )\), temos que:
\[ \dfrac {f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0. \]
Tomando o limite quando \(h\to 0^+\) e usando a existência de \(f'(x_0)\), obtemos \(f'(x_0)\leq 0\). Por outro lado, para \(h \in (-\delta ,0)\), temos
\[ \dfrac {f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0. \]
Tomando agora o limite quando \(h\to 0^-\), obtemos \(f'(x_0)\geq 0\). Logo, \(f'(x_0)=0\).
Observação 11.4
A recíproca não é necessariamente verdadeira. Seja \(f(x)=x^3\) que está definida em todo \(x \in \mathbb {R}\). Logo \(f^{\prime }(x)= 3 x^2\). Portanto \(f^{\prime }(0) = 0\). Porém \(0\) não é um ponto nem de máximo nem de mínimo para a função \(f\) em qualquer intervalo \((a,b)\) que contenha o \(0\).
Definição 11.3
Seja \(p\) um ponto interior de \(\operatorname {Dom}f\). Dizemos que \(p\) é um ponto crítico de \(f\) se \(f^{\prime }(p)=0\) ou se \(f\) não é diferenciável em \(p\). Neste caso, o valor \(f(p)\) é chamado valor crítico da função \(f\).
Assim, pontos que não pertencem ao domínio não são pontos críticos, e as extremidades de um intervalo fechado são tratadas separadamente na busca por extremos.
Exemplo 11.5
Determine os pontos críticos da função \(y=3x+2\cos (3x)\).
Solução
A derivada é dada por
\[ y'=3-6\operatorname {sen}3x \]
Os pontos críticos ocorrem quando
\[ \operatorname {sen}3x=\frac{1}{2} \]
Ou seja, quando
\[ 3x=\frac{\pi }{6}+2 \pi k \quad 3x=\frac{5\pi }{6}+2 \pi k \quad k\in \mathbb {Z} \]
Logo, os pontos críticos são \(x=-7-5\sqrt2\) e \(x=-7+5\sqrt2\), ambos pertencentes ao domínio. Os pontos \(-2\) e \(3\) não são críticos, pois a função não está definida neles.
11.1.3 Extremos em intervalos fechados
O Teorema de Weierstrass 7.42 garante que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge máximo e mínimo globais. O Teorema de Fermat localiza os extremos interiores entre os pontos críticos. Restam as extremidades do intervalo. Reunindo essas duas observações, obtemos o critério seguinte.
Teorema 11.8
Se \(f\) é contínua no intervalo fechado e limitado \([a,b]\), então \(f\) tem pontos de máximo e de mínimo em \([a,b]\). Mais ainda, os únicos pontos extremais possíveis da função \(f\) são:
pontos críticos de \(f\);
os extremos do intervalo fechado \([a,b]\), isto é, \(a\) ou \(b\).
Figura11.6Os extremos no interior do intervalo devem ocorrer nos pontos onde \(f'\) é zero ou não existe.
Exemplo 11.9
Ache os extremos de \(f(x)=3x^4-4x^3-8\) em \([-1,2]\).
Figura11.7Gráfico de \(f(x)=3x^4-4x^3-8\) no intervalo \([-1,2]\).
Solução
Como \(f\) é diferenciável, os pontos críticos ocorrem quando \(f'(x)=0\). Calculando a derivada, temos:
\[ f'(x)= 12 x^{3} - 12x^{2} \]
Resolvendo,
\[ 12 x^{3} - 12x^{2}=0 \]
temos que a derivada se anula em \(x=0\) e \(x=1\). Logo, os candidatos a pontos extremos são \(-1,0,1,2\). Calculando o valor da função nesses pontos, temos:
Logo, \(x=2\) é o ponto de máximo e \(x=1\) é o ponto de mínimo.
Exemplo 11.10
Um fazendeiro deseja construir um curral retangular e possui 500 m de cerca. O local onde deseja construir o curral faz divisa com um edifício; assim, não será necessária uma cerca desse lado. Quais são as dimensões do curral que encerrará a maior área?
Solução
Se \(x\) é a medida de cada lado perpendicular ao edifício e \(y\) a do lado paralelo, então \(2x+y=500\). Portanto,
O máximo é \(31250\, \mathrm{m}^2\), atingido quando \(x=125\, \mathrm m\) e \(y=250\, \mathrm m\). A derivada \(A'(x)=500-4x\) confirma o crescimento antes de \(125\) e o decrescimento depois desse ponto.
Exemplo 11.11
Determine a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio \(R\gt 0\).
Figura11.8No corte meridiano do cilindro inscrito, o raio \(R\) da esfera é a hipotenusa do triângulo com catetos \(r\) e \(h/2\).
Solução
O volume do cilindro é dado por
\[ V=\pi r^2h \]
e, pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação entre o raio e a altura:
Como o cilindro está contido na esfera, temos que os valores de \(h\) estão no intervalo \([0,2R]\). Assim, temos um problema de extremos em um intervalo fechado e, consequentemente, temos a existência de um máximo. Esse máximo ocorrerá ou nos pontos extremos do intervalo ou nos pontos críticos. Como \(V(h)\) é diferenciável, os pontos críticos são os pontos de derivada iguais a 0. Derivando
A razão pedida é a segunda, pois o diâmetro mede \(2r\). Como \(V(0)=V(2R)=0\) e o volume é positivo no único ponto crítico interior, esse ponto fornece o máximo global.
Exercício 11.1
Suponha que \(f\) seja uma função contínua no intervalo \([a,b]\)
\(f\) possui máximos e mínimos globais nesse intervalo? Justifique.
Como podemos encontrar esses pontos?
Ver solução
Sim. Pelo Teorema de Weierstrass, a continuidade no intervalo fechado e limitado garante que a função atinja seus valores máximo e mínimo.
Compare \(f(a)\), \(f(b)\) e os valores de \(f\) em todos os pontos críticos interiores. Pelo Teorema de Fermat, nenhum extremo interior pode ficar fora desse conjunto. Se houver infinitos pontos críticos, a comparação deve abranger esse conjunto inteiro; o teorema não garante uma lista finita de candidatos.
Exercício 11.2
Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de \(f\) no intervalo dado:
\(f(x)=\frac{x^4-4}{x^2+1}\) no intervalo \(\left[-4,4\right]\)
\(f(x)=x\sqrt{4-x^2}\) no intervalo \(\left[-1, 2\right]\)
\(x e^{-x}\) no intervalo \(\left[0,2\right]\)
\( \frac{\ln (x)}{x}\) no intervalo \(\left[1,3\right]\)
Ver solução
\(f'(x)=2x(x^4+2x^2+4)/(x^2+1)^2\). Máximo \(252/17\) em \(x=-4\) e \(x=4\); mínimo \(-4\) em \(x=0\).
\(f'(x)=(4-2x^2)/\sqrt{4-x^2}\) no interior do domínio. Compare \(f(-1)=-\sqrt3\), \(f(\sqrt2)=2\) e \(f(2)=0\): o máximo é \(2\) em \(x=\sqrt2\), e o mínimo é \(-\sqrt3\) em \(x=-1\).
\(f'(x)=e^{-x}(1-x)\). Máximo \(1/e\) em \(x=1\); mínimo \(0\) em \(x=0\).
\(f'(x)=(1-\ln x)/x^2\). Máximo \(1/e\) em \(x=e\); mínimo \(0\) em \(x=1\).
Exercício 11.3
Prove que a função \(f(x)=x^{101}+x^{51}+x+1\) não tem máximos nem mínimos locais. Ver solução
Como \(f'(x)=101x^{100}+51x^{50}+1\gt 0\) para todo \(x\in \mathbb R\), a função é estritamente crescente. Cada ponto tem valores menores à esquerda e maiores à direita, de modo que não há extremos locais.
Exercício 11.4
Encontre os valores máximos e mínimos globais de \(f\) no intervalo dado:
\(f(x)=x^4-4x^2+2\) no intervalo \([-3,2]\)
\(g(x)=\frac{x}{x+1}\) no intervalo \([1,2]\)
\(h(x)=\sqrt{9-x^2}\) no intervalo \([-1,2]\)
\(f(t)=\operatorname {sen}(t)+\cos (t)\) no intervalo \([0,\pi /3]\)
\(f(x)=x-3\ln (x)\) no intervalo \([1,4]\)
Ver solução
Em cada item, comparam-se os valores nos extremos do intervalo e nos pontos críticos interiores.
\(f'(x)=4x(x^2-2)\). Máximo \(47\) em \(x=-3\); mínimo \(-2\) em \(x=\pm \sqrt2\).
\(g'(x)=1/(x+1)^2\gt 0\). Máximo \(2/3\) em \(x=2\); mínimo \(1/2\) em \(x=1\).
\(h'(x)=-x/\sqrt{9-x^2}\). Máximo \(3\) em \(x=0\); mínimo \(\sqrt5\) em \(x=2\).
\(f'(t)=\cos t-\operatorname {sen}t\). Máximo \(\sqrt2\) em \(t=\pi /4\); mínimo \(1\) em \(t=0\).
\(f'(x)=1-3/x\). Mínimo \(3-3\ln 3\) em \(x=3\). O máximo é \(1\) em \(x=1\), pois \(f(4)=4-3\ln 4\lt 1\).
Exercício 11.5
Suponha que \(f\) seja uma função contínua no intervalo \((a,b)\)
Diga algumas condições para que \(f\) possua máximos e mínimos globais nesse intervalo. Justifique.
Ver solução
Uma condição suficiente é que existam \(a\lt c\lt d\lt b\) tais que todos os valores de \(f\) fora de \([c,d]\) fiquem entre o mínimo e o máximo de \(f\) em \([c,d]\). Weierstrass garante esses dois extremos em \([c,d]\), e a condição os torna globais em \((a,b)\). Em particular, isso ocorre se \(f\) for constante fora de \([c,d]\), com valores já assumidos nesse intervalo. A continuidade em \((a,b)\), sozinha, não basta: \(f(x)=x\) não atinge nenhum dos extremos nesse intervalo.
Exercício 11.6
Encontre os valores máximos e mínimos globais de \(f\) (se existirem) no intervalo dado:
\(f(x)=1+\frac{1}{x}\) no intervalo \((0,\infty )\)
\(g(x)=\sqrt{9+x^2}\) no intervalo \((-\infty , \infty )\)
\(h(x)=x^5-7x^2+2\) no intervalo \((-\infty ,\infty )\)
\(k(x)= \ln (x)-x\) no intervalo \((0,\infty )\)
\(m(x)= 1/(x-x^2)\) no intervalo \((0,1)\)
Ver solução
A imagem é \((1,\infty )\); não há máximo nem mínimo.
Mínimo \(3\) em \(x=0\), pois \(9+x^2\geq 9\). Não há máximo.
Não há extremos globais: \(h(x)\to +\infty \) quando \(x\to +\infty \) e \(h(x)\to -\infty \) quando \(x\to -\infty \).
\(k'(x)=1/x-1\). Máximo \(-1\) em \(x=1\). Não há mínimo, pois \(k(x)\to -\infty \) quando \(x\to 0^+\) ou \(x\to \infty \).
Como \(x-x^2=1/4-(x-1/2)^2\), o mínimo é \(4\) em \(x=1/2\). Não há máximo, pois a função tende a \(+\infty \) nas duas extremidades.
Exercício 11.7
Encontre os pontos da hipérbole \(y^2-x^2=4\) que estão mais próximos do ponto \((2,0)\). Ver solução
Minimizar a distância equivale a minimizar seu quadrado. Usando \(y^2=x^2+4\),
\[ d^2=(x-2)^2+y^2=2(x-1)^2+6. \]
O mínimo ocorre em \(x=1\), para o qual \(y=\pm \sqrt5\). Portanto, os pontos são \((1,\sqrt5)\) e \((1,-\sqrt5)\), ambos à distância \(\sqrt6\) de \((2,0)\).
Exercício 11.8
Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse \(x^2/a^2+y^2/b^2=1\), com \(a,b\gt 0\). Ver solução
A área máxima é \(2ab\), atingida pelo retângulo de vértices \((\pm a/\sqrt2,\pm b/\sqrt2)\), com lados \(\sqrt2a\) e \(\sqrt2b\). Para justificar que nenhuma orientação dá área maior, aplique a transformação \((x,y)\mapsto (x/a,y/b)\). O retângulo transforma-se em um paralelogramo inscrito no círculo unitário, e sua área é dividida por \(ab\). Todo paralelogramo inscrito em um círculo é um retângulo: ângulos opostos são iguais e suplementares. Se os lados do retângulo transformado são \(u,v\), sua diagonal mede \(2\), logo \(u^2+v^2=4\) e \(uv\leq 2\). Assim, a área original é no máximo \(2ab\), como desejado.
A localização de pontos críticos é uma informação local. Para deduzir propriedades válidas em todo um intervalo, é necessário relacionar a variação instantânea, dada pela derivada, com a variação média entre dois pontos.
11.2 Teorema do valor médio
A derivada de uma função constante é zero. A recíproca, em um intervalo, também é verdadeira e é consequência de um resultado mais forte. Sob hipóteses adequadas, existe \(c\in (a,b)\) tal que
\[ f^{\prime }(c)=\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}. \]
O coeficiente angular da tangente em algum ponto interior coincide, portanto, com o coeficiente angular da secante que une as extremidades do gráfico. Em linguagem de movimento, alguma velocidade instantânea coincide com a velocidade média no intervalo. O caso em que \(f(a)=f(b)\) é o Teorema de Rolle.
Teorema 11.12 (Teorema de Rolle)
Sejam \(a\lt b\) e \(f\) uma função contínua no intervalo fechado \([a,b]\), diferenciável no intervalo aberto \((a,b)\) tal que \(f(a) = f(b)\). Então, existe \(c \in (a,b)\) tal que \(f^{\prime }(c) = 0\).
Figura11.9Como \(f(a)=f(b)\), o Teorema de Rolle garante ao menos um ponto \(c\in (a,b)\) em que a tangente é horizontal.
Demonstração▼
Como \(f\) é contínua em \([a,b]\), ela atinge um máximo \(M\) em algum \(x_1\in [a,b]\) e um mínimo \(m\) em algum \(x_2\in [a,b]\). Se \(m=M\), então \(f\) é constante em \([a,b]\) e qualquer \(c\in (a,b)\) satisfaz \(f'(c)=0\). Se \(m\lt M\), pelo menos um dos valores extremos é atingido em um ponto interior: de fato, como \(f(a)=f(b)\), os dois extremos não podem ocorrer apenas em \(a\) e \(b\). Nesse ponto interior, \(f\) possui um extremo local e o Teorema de Fermat fornece \(f'(c)=0\).
Exemplo 11.13
Sem calcular explicitamente a derivada, localize os zeros de \(p'\) para
\[ p(x)=(x+2)(x-1)(x-3)(x-5). \]
Solução
O polinômio \(p\) se anula em \(-2\), \(1\), \(3\) e \(5\). Pelo Teorema de Rolle, \(p'\) possui ao menos um zero em cada um dos intervalos disjuntos
\[ (-2,1),\qquad (1,3),\qquad (3,5). \]
Como \(p'\) tem grau \(3\), não pode ter mais de três zeros reais. Portanto, há exatamente um zero de \(p'\) em cada um desses intervalos.
Teorema 11.14 (Teorema do Valor Médio)
Sejam \(a\lt b\) e \(f\) uma função contínua no intervalo fechado \([a,b]\) e diferenciável no intervalo aberto \((a,b)\). Então, existe \(c \in (a,b)\) tal que
\[ f^{\prime }(c) = \dfrac {f(b) - f(a)}{b-a}. \]
Figura11.10O Teorema do Valor Médio garante um ponto \(c\in (a,b)\) cuja tangente é paralela à secante pelos extremos.
Demonstração▼
A equação da reta que passa pelos pontos \((a,f(a)) \) e \( (b,f(b)) \) é dada por
Começamos observando que \(h(x) \) é contínua em \([a,b]\), pois é soma da função contínua \( f\) e um polinômio de grau 1. Analogamente, temos que a função \( h(x) \) é diferenciável em \((a,b).\) Finalmente, é imediato da definição de \(h\) que \(h(a) = h(b) = 0. \) Logo, pelo teorema de Rolle, existe \( c \in (a,b)\) tal que \( h'(c) = 0. \) Portanto,
Exemplo 11.15 (Uma velocidade que deve ter ocorrido)
Um automóvel percorre \(150\, \mathrm{km}\) entre dois postos de controle em exatamente uma hora. Admitindo que sua posição \(s(t)\) seja contínua em \([0,1]\) e diferenciável em \((0,1)\), o que o Teorema do Valor Médio permite concluir sobre a velocidade instantânea?
Solução
Escolhendo a origem no primeiro posto, temos \(s(0)=0\) e \(s(1)=150\). Pelo Teorema do Valor Médio, existe \(c\in (0,1)\) tal que
O teorema não informa quando isso ocorreu nem afirma que a velocidade foi constante. Ele garante, porém, que em algum instante a velocidade foi exatamente \(150\, \mathrm{km/h}\); em uma via limitada a \(120\, \mathrm{km/h}\), o limite foi ultrapassado.
Teorema 11.16 (Teorema do Valor Médio de Cauchy)
Sejam \(a\lt b\) e \(f\) e \(g\) funções contínuas no intervalo fechado \([a,b]\) e diferenciáveis no intervalo aberto \((a,b)\). Então, existe \(c \in (a,b)\) tal que
e, assim, \(h'(c)=0\) para algum ponto \(c\in (a,b)\). Diferenciando \(h\), o resultado segue.
11.2.1 Consequências do Teorema do Valor Médio
Teorema 11.17
Se \(f^{\prime }(x)=0\) para todo \(x \in (a,b)\), então \(f\) é constante no intervalo \((a,b)\).
Demonstração▼
Sejam \(x_1\) e \(x_2\) \(\in (a,b)\), com \(x_1\lt x_2.\) Como \(f\) é diferenciável em \((a,b)\), ela é contínua nesse intervalo; em particular, é contínua em \([x_1,x_2]\) e diferenciável em \((x_1,x_2)\). Aplicando o Teorema do Valor Médio, temos que existe \(c \in (x_1,x_2)\) tal que
\[ f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1). \]
Como \(f'(x)=0\) para todo \(x\), temos que \(f'(c)=0\) e assim
\[ f(x_2)=f(x_1) \]
A hipótese de que trabalhamos em um intervalo é essencial. Por exemplo, \(f(x)=x/|x|\), definida em \(\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \), satisfaz \(f'(x)=0\) em todo ponto do domínio, mas não é constante: o domínio tem duas componentes. O teorema acima responde de forma explícita e positiva à pergunta feita no começo desta seção: um corpo cuja velocidade instantânea é zero no intervalo de tempo dado encontra-se em repouso.
Corolário 11.18
Sejam \(f\) e \(g\) funções contínuas no intervalo fechado \([a,b]\) e diferenciáveis no intervalo aberto \((a,b)\), tais que \(f^{\prime }(x) = g^{\prime }(x)\) para todo \(x \in (a,b)\). Então, existe \(K \in \mathbb {R}\) tal que
\[ f(x) = g(x) + K \]
para todo \(x \in [a,b]\).
Demonstração▼
Considere a função \(F(x)=f(x)-g(x)\). Então \(F'(x)=f'(x)-g'(x)=0\) para todo \(x\) em \((a,b)\). Logo, \(f-g\) é constante em \((a,b)\); pela continuidade, essa mesma constante é o valor de \(f-g\) também em \(a\) e em \(b\).
Exemplo 11.19
Mostre que \(\operatorname {arcsen}x+\arccos x=\pi /2\) para \(x\in [-1,1]\).
Solução
Calculando a derivada de \(\operatorname {arcsen}x+ \arccos x\), temos:
Use o Teorema do Valor Médio para provar que \(|\operatorname {sen}b-\operatorname {sen}a|\leq |b-a|\) para quaisquer \(a,b\in \mathbb R\). Ver solução
Se \(a\neq b\), o teorema fornece um ponto \(c\) entre \(a\) e \(b\) tal que \(\operatorname {sen}b-\operatorname {sen}a=\cos c\, (b-a)\). Tomando módulos e usando \(|\cos c|\leq 1\), obtemos a desigualdade. Para \(a=b\), ela é imediata.
Exercício 11.11
O Teorema do Valor Médio pode ser aplicado a \(f(x)=|x|\) em \([-1,1]\)? Justifique. Ver solução
Não. Embora \(f\) seja contínua em \([-1,1]\), ela não é diferenciável em \(0\), que pertence ao interior do intervalo.
O Teorema do Valor Médio transforma o sinal da derivada em informação sobre a variação da função em intervalos.
11.3 Funções crescentes e decrescentes
Se \(a\lt b\), o Teorema do Valor Médio escreve a diferença \(f(b)-f(a)\) como \(f'(c)(b-a)\) para algum ponto intermediário \(c\). Como \(b-a\gt 0\), o sinal de \(f'\) determina o sinal da variação de \(f\).
Definição 11.4
Uma função \(f\) é crescente no intervalo dado \(I\) se, para qualquer par \(a,b \in I\) com \(a \lt b\), tem-se que \(f(a) \lt f(b)\). A função \(f\) é decrescente em \(I\) se, para quaisquer \(a,b \in I\) com \(a \lt b\), tem-se que \(f(a) \gt f(b)\).
O sinal da derivada fornece um critério direto para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função.
Proposição 11.20
Seja \(f:D \rightarrow \mathbb {R}\) e seja \(I \subset D\) um intervalo. Se \(f^{\prime }(x) \gt 0\) para todo \(x \in I\), então \(f\) é crescente em \(I\). Por outro lado, se \(f^{\prime }(x) \lt 0\) para todo \(x \in I\), então \(f\) é decrescente em \(I\).
Demonstração▼
Aplicando o Teorema do Valor Médio a \(f\) em \( [x_1,x_2] ,\) existe um \( c \in (x_1,x_2)\) tal que
\[ f(x_2) -f(x_1) = f'(c) (x_2 - x_1) . \]
Como \(f'(c) \gt 0 \) e \( x_2 - x_1 \gt 0 \) devemos ter que \( f(x_2) -f(x_1) \gt 0 \) ou seja, \(f(x_1) \lt f(x_2) .\) Logo \( f \) é crescente. A prova do outro caso é análoga.
Exemplo 11.21
Determine os intervalos em que \(f(x)=\dfrac {1}{3} x^3 - \dfrac {3}{2} x^2 + 2x -1\) é crescente ou decrescente. Utilizando essa informação, esboce o gráfico.
Solução
Seja \(f(x)=\dfrac {1}{3} x^3 - \dfrac {3}{2} x^2 + 2x -1\), então \(f^{\prime }(x) = x^2 -3x + 2 = (x-1) (x-2)\). Como \(f^{\prime }\) é positiva em \(\left(-\infty , 1\right) \cup \left(2, \infty \right)\) e \(f^{\prime }\) é negativa em \((1,2)\) podemos concluir pela proposição anterior que a função \(f\) é
crescente em cada um dos intervalos \((-\infty ,1]\) e \([2,\infty )\);
decrescente em \([1,2]\).
A Figura 11.11 mostra geometricamente esses intervalos de crescimento e decrescimento.
Figura11.11Crescimento e decrescimento de \(f(x)=\frac13x^3-\frac32x^2+2x-1\), com máximo local em \((1,-1/6)\) e mínimo local em \((2,-1/3)\).
Exemplo 11.22
Determine os intervalos em que \(f(x)=\dfrac {x^2}{x^2-1}\) é crescente ou decrescente.
Solução
A função não está definida em \(x=-1\) e \(x=1\). A derivada de \(f\) é:
\[ f'(x)=\frac{-2x}{(x^2-1)^2} \]
Como o denominador é positivo em todos os pontos do domínio, a derivada é positiva quando \(x\lt 0\) e negativa quando \(x\gt 0\). Ou seja:
crescente em cada um dos intervalos \((-\infty ,-1)\) e \((-1,0]\);
decrescente em cada um dos intervalos \([0,1)\) e \((1,\infty )\).
11.3.1 Teste da primeira derivada para máximos e mínimos
O sinal de \(f'\) nos dois lados de um ponto crítico permite distinguir máximos, mínimos e pontos críticos sem extremo.
Teorema 11.23
Seja \(x\) um ponto crítico de \(f:I\to \mathbb R\). Suponha que exista \(\varepsilon \gt 0\) com \((x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\subset I\), que \(f\) seja contínua em \(x\) e diferenciável nos dois intervalos \((x-\varepsilon ,x)\) e \((x,x+\varepsilon )\). Então,
Se \(f^{\prime } \gt 0\) no intervalo \((x-\varepsilon ,x)\) à esquerda de \(x\) e se \(f^{\prime } \lt 0\) no intervalo \((x,x+\varepsilon )\) à direita de \(x\), então \(x\) é um ponto de máximo local.
Se \(f^{\prime } \lt 0\) no intervalo \((x-\varepsilon ,x)\) à esquerda de \(x\) e se \(f^{\prime } \gt 0\) no intervalo \((x,x+\varepsilon )\) à direita de \(x\), então \(x\) é um ponto de mínimo local.
Se \(f^{\prime }\) é estritamente positiva nos dois intervalos ou estritamente negativa nos dois, isto é, tem o mesmo sinal não nulo no intervalo \((x-\varepsilon ,x)\) à esquerda de \(x\) e no intervalo \((x,x+\varepsilon )\) à direita de \(x\), então \(x\) não é nem ponto de máximo nem ponto de mínimo local.
Demonstração▼
Para \(t\lt x\) próximo de \(x\), o Teorema do Valor Médio em \([t,x]\) fornece
\[ f(x)-f(t)=f'(u)(x-t) \]
para algum \(u\in (t,x)\). Como \(x-t\gt 0\), se \(f'\gt 0\) à esquerda de \(x\), então \(f(t)\lt f(x)\); se \(f'\lt 0\), então \(f(t)\gt f(x)\).
Para \(t\gt x\) próximo de \(x\), aplicando o teorema em \([x,t]\), obtemos
\[ f(t)-f(x)=f'(v)(t-x) \]
para algum \(v\in (x,t)\). Como \(t-x\gt 0\), se \(f'\gt 0\) à direita de \(x\), então \(f(t)\gt f(x)\); se \(f'\lt 0\), então \(f(t)\lt f(x)\).
Combinando as comparações dos dois lados, obtemos, respectivamente, máximo local, mínimo local ou ausência de extremo, conforme os três casos do enunciado. A continuidade em \(x\) é o que permite aplicar o Teorema do Valor Médio nos intervalos que têm \(x\) como extremidade, mesmo quando \(f'(x)\) não existe.
Exemplo 11.24
Ache os máximos e mínimos locais de \(f(x)=x^{1/3}(8-x)\).
Solução
Para \(x\neq 0\),
\[ f'(x)=\frac{8-4x}{3x^{2/3}}. \]
Os pontos críticos são \(0\), onde a derivada não existe, e \(2\), onde ela se anula. Como o denominador é positivo, \(f'\gt 0\) para \(x\lt 2\), \(x\neq 0\), e \(f'\lt 0\) para \(x\gt 2\). Pela continuidade em \(0\), a função é crescente em todo \((-\infty ,2]\) e decrescente em \([2,\infty )\). Portanto, \(2\) é ponto de máximo, com valor \(6\sqrt[3]2\); esse máximo é também global. O ponto \(0\) não é extremo, e não há mínimos locais.
Exercício 11.12
Prove que a função \(2x^5+x^3+2x\) é crescente em todos os pontos. Ver solução
A derivada é \(10x^4+3x^2+2\gt 0\) em toda a reta. Pelo Teorema do Valor Médio, a função é estritamente crescente em \(\mathbb R\).
Exercício 11.13
Determine os intervalos nos quais \(f(x)=\dfrac {\ln x}{x}\) é crescente e nos quais é decrescente. Ver solução
O domínio é \((0,\infty )\) e \(f'(x)=(1-\ln x)/x^2\). Portanto, \(f\) é crescente em \((0,e]\) e decrescente em \([e,\infty )\).
Exercício 11.14
Determine os intervalos nos quais \(f(x)=e^{-x^2/2}\) é crescente e nos quais é decrescente. Ver solução
Como \(f'(x)=-xe^{-x^2/2}\), a função é crescente em \((-\infty ,0]\) e decrescente em \([0,\infty )\).
Exercício 11.15
Nos exercícios a seguir uma função é dada. Para essa função
Calcule o domínio de \(f\)
Encontre os pontos e valores críticos.
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento.
Use o teste da primeira derivada para dizer se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local ou nenhuma dessas opções.
\(f(x) = x^2-3x+5\)
\(f(x) = \cos x\)
\(f(x) = \operatorname {tg}x\)
\(f(x) = x^3-5x^2+7x-1\)
\(f(x) = 2x^3-x^2+x-1\)
\(f(x) =x^4-5x^2+4\)
\(\displaystyle f(x) =\frac{1}{x^2+1}\)
\(\displaystyle f(x) =x^2+2x-3\)
\(\displaystyle f(x) =x^3+3x^2+3\)
\(\displaystyle f(x) =\frac{1}{x^2-2x+2}\)
\(\displaystyle f(x) =\frac{x^2-4}{x^2-1}\)
\(\displaystyle f(x) =\frac{x}{x^2-2x-8}\)
\(\displaystyle f(x) =\frac{(x-2)^{2/3}}{x}\)
\(\displaystyle f(x) =\operatorname {sen}x\cos x\) em \((-\pi ,\pi )\).
Ver solução
Usamos \(\uparrow \) e \(\downarrow \) para indicar crescimento e decrescimento, respectivamente. Intervalos separados são considerados individualmente. Os intervalos são abertos nos pontos críticos para facilitar a leitura; quando esses pontos pertencem ao domínio, podem ser incluídos por continuidade. Salvo indicação em contrário, o domínio é \(\mathbb R\).
\(f'=2x-3\). Crítico \(3/2\), mínimo de valor \(11/4\); \(\downarrow \) em \((-\infty ,3/2)\) e \(\uparrow \) em \((3/2,\infty )\).
\(f'=-\operatorname {sen}x\). Para \(k\in \mathbb Z\), \(2k\pi \) é máximo de valor \(1\), e \((2k+1)\pi \) é mínimo de valor \(-1\). Há crescimento em \(((2k-1)\pi ,2k\pi )\) e decrescimento em \((2k\pi ,(2k+1)\pi )\).
Domínio \(\mathbb R\setminus \{ \pi /2+k\pi :k\in \mathbb Z\} \). Como \(f'=\sec ^2x\gt 0\), a função cresce em cada intervalo \((-\pi /2+k\pi ,\pi /2+k\pi )\) e não tem pontos críticos.
\(f'=(x-1)(3x-7)\). Máximo local em \(1\), de valor \(2\), e mínimo local em \(7/3\), de valor \(22/27\). Há crescimento em \((-\infty ,1)\) e \((7/3,\infty )\) e decrescimento em \((1,7/3)\).
\(f'=6x^2-2x+1=6(x-1/6)^2+5/6\gt 0\). Crescente em toda a reta, sem pontos críticos.
Escreva \(r=\sqrt{5/2}\). Como \(f'=2x(2x^2-5)\), há mínimos em \(\pm r\), de valor \(-9/4\), e máximo local em \(0\), de valor \(4\). A função decresce em \((-\infty ,-r)\) e \((0,r)\) e cresce em \((-r,0)\) e \((r,\infty )\).
\(f'=-2x/(x^2+1)^2\). Máximo em \(0\), de valor \(1\); crescente em \((-\infty ,0)\) e decrescente em \((0,\infty )\).
\(f'=2x+2\). Mínimo em \(-1\), de valor \(-4\); decrescente em \((-\infty ,-1)\) e crescente em \((-1,\infty )\).
\(f'=3x(x+2)\). Máximo local em \(-2\), de valor \(7\), e mínimo local em \(0\), de valor \(3\). Crescente em \((-\infty ,-2)\) e \((0,\infty )\); decrescente em \((-2,0)\).
\(f'=-2(x-1)/((x-1)^2+1)^2\). Máximo em \(1\), de valor \(1\); crescente em \((-\infty ,1)\) e decrescente em \((1,\infty )\).
Domínio \(\mathbb R\setminus \{ -1,1\} \). Como \(f'=6x/(x^2-1)^2\), há mínimo local em \(0\), de valor \(4\). Decrescente em \((-\infty ,-1)\) e \((-1,0)\); crescente em \((0,1)\) e \((1,\infty )\).
Domínio \(\mathbb R\setminus \{ -2,4\} \). Como \(f'=-(x^2+8)/(x^2-2x-8)^2\lt 0\), decresce em cada um dos três componentes do domínio, sem pontos críticos.
Domínio \(\mathbb R\setminus \{ 0\} \). Para \(x\neq 0,2\), \(f'=(6-x)/(3x^2\sqrt[3]{x-2})\). O ponto \(2\) é crítico por não diferenciabilidade e é mínimo local de valor \(0\); \(6\) é máximo local de valor \(\sqrt[3]2/3\). Decresce em \((-\infty ,0)\), \((0,2)\) e \((6,\infty )\); cresce em \((2,6)\).
Domínio \((-\pi ,\pi )\) e \(f'=\cos (2x)\). Máximos em \(-3\pi /4\) e \(\pi /4\), de valor \(1/2\); mínimos em \(-\pi /4\) e \(3\pi /4\), de valor \(-1/2\). Cresce em \((-\pi ,-3\pi /4)\), \((-\pi /4,\pi /4)\) e \((3\pi /4,\pi )\); decresce em \((-3\pi /4,-\pi /4)\) e \((\pi /4,3\pi /4)\).
Saber onde a função cresce ou decresce ainda não descreve completamente a forma do gráfico. O passo seguinte é acompanhar como a própria inclinação varia.
11.4 Concavidade
O sinal da derivada indica se os valores da função aumentam ou diminuem. Para compreender melhor a forma do gráfico, interessa também saber como a própria inclinação varia. Essa nova informação conduz ao estudo da concavidade e ao uso da derivada segunda.
Geometricamente, uma função é côncava para cima quando o segmento que une dois pontos de seu gráfico fica acima do gráfico ou coincide com ele; para a concavidade para baixo, ocorre o contrário. Essa descrição pode ser escrita diretamente em termos da altura da corda.
Definição 11.5
Uma função \(f\) é dita côncava para cima no intervalo \(I\) se, para qualquer terna \(a\lt x\lt b\) em \(I\),
Ela é côncava para baixo em \(I\) se, para toda terna \(a\lt x\lt b\), vale a desigualdade inversa.
A expressão do lado direito é exatamente a ordenada, na abscissa \(x\), da corda que liga \((a,f(a))\) a \((b,f(b))\). Para a concavidade para cima, a mesma condição pode ser escrita, de forma equivalente, como
e as desigualdades se invertem para a concavidade para baixo. Para cálculos, o critério por meio de \(f''\) será normalmente mais prático.
Uma função côncava para cima também é chamada convexa; uma função côncava para baixo, simplesmente côncava. Se a desigualdade correspondente for estrita para toda terna \(a\lt x\lt b\), usamos os termos estritamente convexa ou estritamente côncava. Com a convenção não estrita, toda função afim pertence às duas classes. Geometricamente, os segmentos podem coincidir com o gráfico. Equivalentemente, dados \(x,y\in I\) e \(0\leq t\leq 1\), a convexidade se escreve como
\[ f\bigl(tx+(1-t)y\bigr)\leq t f(x)+(1-t)f(y), \]
e a concavidade corresponde à desigualdade inversa. Nas figuras seguintes, \(tx+(1-t)y\) é a abscissa do ponto intermediário, enquanto \(t f(x)+(1-t)f(y)\) é a ordenada do ponto correspondente na corda.
Figura11.12Na concavidade para baixo, o gráfico fica acima da corda entre dois de seus pontos.
Figura11.13Na concavidade para cima, o gráfico fica abaixo da corda entre dois de seus pontos.
Teorema 11.25 (Teste da Concavidade)
Seja \(f\) duas vezes diferenciável em um intervalo aberto \(I\).
Se \(f''\geq 0\) em \(I\), então \(f\) é côncava para cima em \(I\). Se \(f''\gt 0\) em \(I\), a concavidade é estrita.
Se \(f''\leq 0\) em \(I\), então \(f\) é côncava para baixo em \(I\). Se \(f''\lt 0\) em \(I\), a concavidade é estrita.
Demonstração▼
Suponha \(f''\geq 0\). Pelo Teorema do Valor Médio aplicado a \(f'\), a derivada \(f'\) é não decrescente. Para \(a\lt x\lt b\) em \(I\), aplique o mesmo teorema a \(f\) nos intervalos \([a,x]\) e \([x,b]\). Existem \(u\in (a,x)\) e \(v\in (x,b)\) tais que
Multiplicando pelos denominadores positivos e reorganizando, obtemos a desigualdade da definição de convexidade. Se \(f''\gt 0\), \(f'\) é estritamente crescente e a desigualdade é estrita. Os casos \(f''\leq 0\) e \(f''\lt 0\) seguem aplicando o resultado a \(-f\).
Figura11.14As quatro combinações possíveis entre monotonicidade e concavidade.
Exemplo 11.26
Estude a concavidade de \( f(x) = e^{-\dfrac {x^2}{2}}\) e esboce o gráfico.
Solução
Começamos calculando as duas primeiras derivadas \( f'(x) = - x e^{-\dfrac {x^2}{2}} \) e \( f''(x) = (x^2-1) e^{-\dfrac {x^2}{2}}\). Como \( e^{-\dfrac {x^2}{2}} \gt 0 \) para todo \(x,\) o sinal de \(f''\) é dado pelo sinal de \( x^2-1. \) Portanto,
\( f''(x) \gt 0\) em \( (-\infty , -1) \) e \( (1, + \infty ) \Rightarrow f \) é côncava para cima em \( (-\infty , -1) \) e \( (1, + \infty ) ,\)
\( f''(x) \lt 0 \) em \( (-1,1) \Rightarrow f \) é côncava para baixo em \( (-1,1).\)
Assim, os pontos \(x=-1\) e \(x=1\) são pontos de inflexão: neles \(f''\) muda de sinal. A Figura 11.16 exibe a concavidade para baixo entre esses pontos e para cima fora desse intervalo.
Figura11.16Concavidade de \(f(x)=e^{-x^2/2}\) e seus pontos de inflexão em \(x=\pm 1\).
11.4.1 Pontos de inflexão
Intuitivamente, um ponto de inflexão é um ponto do gráfico em que a concavidade muda. A definição seguinte torna essa condição precisa.
Definição 11.6
Seja \(f\) uma função contínua em \(p\in D_f\) . Diremos que \(p\) é ponto de inflexão de \(f\) se existe \(\varepsilon \gt 0\) tal que \(f\) é estritamente côncava para baixo em \((p-\varepsilon ,p)\) e estritamente côncava para cima em \((p,p+\varepsilon )\), ou ocorre a situação inversa. Esses intervalos devem estar contidos no domínio. A exigência de uma mudança efetiva exclui os pontos de um trecho afim.
Figura11.17Os pontos assinalados são pontos de inflexão porque a concavidade muda ao atravessá-los.
Teorema 11.27
Seja \(f:I\to \mathbb R\) contínua em \(a\), com \(b\lt a\lt c\) e \((b,c)\subset I\). Suponha que \(f\) seja duas vezes diferenciável em \((b,a)\) e \((a,c)\), com \(f''\gt 0\) em um desses intervalos e \(f''\lt 0\) no outro. Então \(a\) é um ponto de inflexão de \(f\).
Exemplo 11.28
Mostre que \(f(x)=x^n\) possui um ponto de inflexão na origem se \(n\geq 3\) for um inteiro ímpar.
Solução
Temos \(f''(x)=n(n-1)x^{n-2}\). Como \(n-2\) é ímpar, a derivada segunda é negativa para \(x\lt 0\) e positiva para \(x\gt 0\). A função é contínua em \(0\) e muda de concavidade nesse ponto; portanto, a origem é um ponto de inflexão.
Exemplo 11.29 (Ativação de canais iônicos)
Canais iônicos sensíveis à voltagem são proteínas que podem alternar entre estados fechado e aberto. Quando a membrana é mantida a um potencial \(V\), medido em milivolts, a fração de canais abertos após a estabilização pode ser aproximada pela curva de Boltzmann
Em um experimento, metade dos canais está aberta a \(-40\, \mathrm{mV}\) e \(90\% \) deles está aberta a \(-20\, \mathrm{mV}\). Determine \(V_{1/2}\) e \(k\). Em seguida, encontre os limites de \(m_\infty \) nos extremos, seu ponto de inflexão e a inclinação nesse ponto.
Solução
Como \(m_\infty (V_{1/2})=1/2\), a primeira observação fornece \(V_{1/2}=-40\, \mathrm{mV}\). Usando a segunda,
descrevem a passagem entre uma população quase inteiramente fechada e uma quase inteiramente aberta. Escrevendo \(m=m_\infty (V)\), as derivadas assumem a forma
Como \(0\lt m\lt 1\), a derivada segunda muda de sinal quando \(m=1/2\), isto é, em \(V=V_{1/2}=-40\, \mathrm{mV}\). Esse é o ponto de inflexão e também o potencial de meia-ativação. Nele, a inclinação vale
11.4.2 Teste da segunda derivada para máximos e mínimos
A concavidade permite retomar a classificação dos pontos críticos: perto de uma tangente horizontal, a forma como o gráfico se encurva pode distinguir um máximo de um mínimo. Para uma função \(f:I\rightarrow \mathbb {R}\) duas vezes diferenciável, o sinal da derivada segunda fornece o critério seguinte.
Teorema 11.30
Seja \(f\) duas vezes diferenciável em um intervalo aberto que contém \(a\), com \(f'(a)=0\). Se \(f''(a)\gt 0\), então \(a\) é ponto de mínimo local; se \(f''(a)\lt 0\), então \(a\) é ponto de máximo local.
Demonstração▼
Como \(f'(a)=0\),
\[ f''(a)=\lim _{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}. \]
Se esse limite é positivo, o quociente também é positivo suficientemente perto de \(a\). Logo, \(f'(x)\lt 0\) à esquerda e \(f'(x)\gt 0\) à direita, o que dá um mínimo pelo teste da primeira derivada. Se o limite é negativo, os sinais se invertem e obtemos um máximo.
Exemplo 11.31
Determine os pontos críticos da função \(f\) e classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando possível:
a Temos \(f'(x) = x^3 - 3 x^2 - 4 x = x(x^2-3x-4).\) Portanto, \( x = -1,\, x=0 \) e \( x=4\) são os pontos críticos de \(f.\) Como \(f''(-1) = 5, \, f''(0) = -4 \) e \( f''(4) = 20 \), concluímos que \( 0 \) é ponto de máximo e \( -1 \) e \(4\) são pontos de mínimo. b Temos \(f'(x)=e^{-5x}x(2-5x)\) e \(f''(x)=e^{-5x}(25x^2-20x+2)\). Como \(f''(0)=2\gt 0\) e \(f''(2/5)=-2e^{-2}\lt 0\), \(x=0\) é ponto de mínimo local e \(x=2/5\) é ponto de máximo local.
Exemplo 11.32
Seja a função \(f(x)=\left( x-1\right) ^{3}+1.\) Analise seus pontos críticos.
Solução
Temos
\[ f'(x)=3(x-1)^2, \qquad f''(x)=6(x-1). \]
O único ponto crítico é \(x=1\). Como \(f'(1)=f''(1)=0\), o teste da derivada segunda é inconclusivo. Entretanto, \(f'(x)\gt 0\) para \(x\neq 1\), de modo que \(f\) é crescente em toda a reta e não possui máximos nem mínimos locais. Além disso, \(f''(x)\lt 0\) para \(x\lt 1\) e \(f''(x)\gt 0\) para \(x\gt 1\). Portanto, a concavidade muda em \(x=1\), e \((1,1)\) é um ponto de inflexão com tangente horizontal.
As derivadas são \(2x\), \(4-2x\) e \(8-2x\) nos três trechos. As derivadas segundas são, respectivamente, \(2\), \(-2\) e \(-2\). A mudança de decrescimento para crescimento em \(3\) produz um mínimo com quina, compatível com as condições do enunciado.
Exercício 11.17
Encontre os valores de \(c\) tal que o gráfico de
\[ f(x)=x^4+2x^3+cx^2+2x+2 \]
seja côncavo para cima em todos os pontos. Ver solução
Como \(f''(x)=12x^2+12x+2c=12(x+1/2)^2+2c-3\), temos \(f''\geq 0\) em toda a reta se, e somente se, \(c\geq 3/2\). Esse é o conjunto pedido com a convenção não estrita de concavidade. Para \(c\lt 3/2\), a derivada segunda é negativa em uma vizinhança de \(-1/2\), excluindo a convexidade global.
Exercício 11.18
Mostre que a função \(f(x)=x\left\lvert x\right\rvert \) tem um ponto de inflexão em \((0,0)\) mas que \(f''(0)\) não exista. Ver solução
Temos \(f(x)=-x^2\) para \(x\lt 0\) e \(f(x)=x^2\) para \(x\geq 0\). Logo, \(f''=-2\) à esquerda e \(f''=2\) à direita, e a continuidade na origem garante a inflexão. Além disso, \(f'(x)=2|x|\) em toda a reta; os limites laterais de \([f'(h)-f'(0)]/h\) são \(-2\) e \(2\). Portanto, \(f''(0)\) não existe.
Exercício 11.19
É possível que uma função seja crescente e côncava para cima em \( (0, \infty ) \) com assíntota horizontal \( y = 1 \)? Nesse caso, dê um esboço de tal função. Ver solução
Não. Escolha \(0\lt a\lt b\). Como \(f\) é estritamente crescente, \(m=(f(b)-f(a))/(b-a)\gt 0\). Pela convexidade, para \(x\gt b\),
O lado direito tende a \(+\infty \), o que impede uma assíntota horizontal.
Exercício 11.20
É possível que uma função seja crescente e côncava para baixo em \( (0, \infty ) \) com assíntota horizontal \( y = 1 \)? Nesse caso, dê um esboço de tal função. Ver solução
Sim. A função \(f(x)=1-e^{-x}\) satisfaz \(f'\gt 0\), \(f''\lt 0\) em \((0,\infty )\) e \(\lim _{x\to \infty }f(x)=1\).
Exercício 11.21
Nas próximas questões, determine os pontos de inflexão e os intervalos nos quais as funções são côncavas para cima e para baixo:
A seguir, \(C_\uparrow \) indica intervalos de concavidade para cima e \(C_\downarrow \), para baixo. Cada intervalo é considerado separadamente; os extremos finitos podem ser incluídos quando pertencem ao domínio. Indicamos os pontos de inflexão por suas duas coordenadas.
\(f''=2\). \(C_\uparrow :\mathbb R\); sem inflexões.
\(f''=-2\). \(C_\downarrow :\mathbb R\); sem inflexões.
\(f''=x(3x+2)\). \(C_\uparrow :(-\infty ,-2/3)\) e \((0,\infty )\); \(C_\downarrow :(-2/3,0)\). Inflexões \((-2/3,347/81)\) e \((0,3)\).
Ponha \(r_\pm =(2\pm \sqrt7)/3\). Como \(f''=-12(3x^2-4x-1)\), \(C_\uparrow :(r_-,r_+)\) e \(C_\downarrow :(-\infty ,r_-)\) e \((r_+,\infty )\). Inflexões \((r_-,(-13+80\sqrt7)/27)\) e \((r_+,(-13-80\sqrt7)/27)\).
\(f''=12(x-1)^2\geq 0\). \(C_\uparrow :\mathbb R\); não há inflexão em \(1\), pois a concavidade não muda.
\(f''=2(3x^2-1)/(x^2+1)^3\). Com \(r=1/\sqrt3\), \(C_\uparrow :(-\infty ,-r)\) e \((r,\infty )\); \(C_\downarrow :(-r,r)\). Inflexões \((\pm r,3/4)\).
\(f''=2x(x^2+3)/(x^2-1)^3\). \(C_\uparrow :(-1,0)\) e \((1,\infty )\); \(C_\downarrow :(-\infty ,-1)\) e \((0,1)\). A única inflexão é \((0,0)\); \(\pm 1\) não pertencem ao domínio.
\(f''=(4x^2-2)e^{-x^2}\). Com \(r=1/\sqrt2\), \(C_\uparrow :(-\infty ,-r)\) e \((r,\infty )\); \(C_\downarrow :(-r,r)\). Inflexões \((\pm r,e^{-1/2})\).
Exercício 11.22
Nas próximas questões, é dada uma função \(f (x)\). Encontre os pontos críticos de \(f\) e use o Teste da Segunda Derivada, quando possível, para determinar os extremos relativos.
As derivadas segundas são as calculadas no exercício anterior.
\(f'=2(x-1)\). Mínimo em \(1\), de valor \(0\), pois \(f''(1)=2\).
\(f'=-2x-5\). Máximo em \(-5/2\), de valor \(53/4\), pois \(f''=-2\).
\(f'=3x^2-1\). Máximo local em \(-1/\sqrt3\), de valor \(1+2/(3\sqrt3)\); mínimo local em \(1/\sqrt3\), de valor \(1-2/(3\sqrt3)\).
\(f'=6x^2-6x+9=6(x-1/2)^2+15/2\gt 0\). Não há pontos críticos nem extremos relativos.
\(f'=(x-1)(x^2+2x+2)\). Único crítico \(1\), mínimo de valor \(19/12\), pois \(f''(1)=5\).
\(f'=-12(x+1)(x-1)(x-2)\). Máximos locais em \(-1\) e \(2\), de valores \(21\) e \(-6\), pois \(f''(-1)=-72\) e \(f''(2)=-36\). Mínimo local em \(1\), de valor \(-11\), pois \(f''(1)=24\).
\(f'=4(x-1)^3\). O teste da segunda derivada é inconclusivo em \(1\), mas \(f=(x-1)^4\geq 0\) mostra que esse ponto é mínimo, de valor \(0\).
\(f'=-2x/(x^2+1)^2\). Máximo em \(0\), de valor \(1\), pois \(f''(0)=-2\).
\(f'=-(x^2+1)/(x^2-1)^2\lt 0\) em seu domínio. Não há pontos críticos.
\(f'=\cos x-\operatorname {sen}x\). Máximo em \(\pi /4\), de valor \(\sqrt2\), e mínimo em \(-3\pi /4\), de valor \(-\sqrt2\).
\(f'=e^xx(x+2)\). Máximo local em \(-2\), de valor \(4/e^2\), pois \(f''(-2)=-2/e^2\); mínimo em \(0\), de valor \(0\), pois \(f''(0)=2\).
\(f'=x(2\ln x+1)\). Único crítico \(e^{-1/2}\), mínimo de valor \(-1/(2e)\), pois a derivada segunda vale \(2\) nesse ponto.
\(f'=-2xe^{-x^2}\). Máximo em \(0\), de valor \(1\), pois \(f''(0)=-2\).
Exercício 11.23
Duas funções sigmoidais podem atribuir significados distintos ao ponto de meia-resposta. Para \(x\geq 0\), considere a equação de Hill
\[ H(x)=\frac{x^2}{K^2+x^2},\qquad K\gt 0. \]
Verifique que \(H(K)=1/2\).
Mostre que
\[ H''(x)=\frac{2K^2(K^2-3x^2)}{(K^2+x^2)^3} \]
e determine o ponto de inflexão.
Compare esse resultado com a curva de Boltzmann do exemplo anterior: em qual dos dois modelos a meia-resposta coincide com a inflexão?
Ver solução
A substituição direta fornece \(H(K)=K^2/(2K^2)=1/2\).
Como o denominador é positivo, \(H''\) muda de sinal em \(x=K/\sqrt3\). O ponto de inflexão é
\[ \left(\frac{K}{\sqrt3},\frac14\right). \]
Na curva de Boltzmann, meia-ativação e inflexão coincidem. Para esta equação de Hill, a meia-resposta ocorre em \(x=K\), depois do ponto de inflexão.
Extremos, monotonicidade e concavidade descrevem o gráfico a partir das derivadas. A comparação entre derivadas também fornece um método para certos limites indeterminados.
11.5 Regra de L’Hôpital
A regra de L’Hôpital decorre do Teorema do Valor Médio de Cauchy e compara um quociente de funções com o quociente de suas derivadas. Sua forma básica trata limites do tipo
A lei do quociente para limites não se aplica diretamente a essa situação, pois o limite do denominador é zero.
Um resultado que permite em diversos casos simplificar o cálculo desses limites é conhecido como regra de L’Hôpital e converte a forma indeterminada dada em um limite envolvendo derivadas, que muitas vezes é mais fácil de calcular.
Teorema 11.34 (Regra de L’Hôpital)
Sejam \(a\lt b\) reais e \(f,g:(a,b)\to \mathbb R\) funções diferenciáveis tais que
As funções não precisam estar definidas em \(a\). Como seus limites pela direita são zero, podemos estendê-las continuamente a esse ponto, definindo \(\widetilde f(a)=\widetilde g(a)=0\) e mantendo seus valores em \((a,b)\). As extensões são contínuas em \([a,x]\) e diferenciáveis em \((a,x)\) para cada \(x\in (a,b)\).
Se \(g(x)=0\), o Teorema de Rolle aplicado a \(\widetilde g\) em \([a,x]\) produziria um ponto onde \(g'=0\), contrariando a hipótese. Logo, \(g(x)\neq 0\). O Teorema do Valor Médio de Cauchy, aplicado às duas extensões em \([a,x]\), fornece \(\xi _x\in (a,x)\) tal que
Como \(a\lt \xi _x\lt x\), temos \(\xi _x\to a^+\) quando \(x\to a^+\). A hipótese sobre o limite do quociente das derivadas dá a conclusão, tanto para \(L\) finito quanto para \(L=\pm \infty \).
Observação 11.35 (Outras versões da forma \(0/0\))
O resultado vale também para limites pela esquerda e para \(x\to \pm \infty \), sempre com diferenciabilidade no intervalo lateral ou na semirreta em questão e \(g'\neq 0\) ali. No caso bilateral, as hipóteses devem valer de ambos os lados e os limites obtidos devem coincidir. Essas versões seguem da anterior por uma mudança de variável: uma reflexão trata o limite pela esquerda; \(x=1/t\) ou \(x=-1/t\), com \(t\to 0^+\), trata os limites no infinito. Pela regra da cadeia, os fatores da mudança de variável se cancelam no quociente das derivadas.
Teorema 11.36 (Regra de L’Hôpital: forma \(\infty /\infty \))
Considere um limite quando \(x\) tende a um extremo \(c\), que pode ser um ponto real abordado por um dos lados ou \(\pm \infty \). Suponha que \(f\) e \(g\) sejam diferenciáveis no intervalo lateral ou na semirreta correspondente, que \(g'(x)\neq 0\) ali e que
com \(L\in \mathbb {R}\cup \{ -\infty ,+\infty \} \). Então
\[ \frac{f(x)}{g(x)}\to L. \]
Em particular, o resultado se aplica às formas \(\infty /\infty \), com quaisquer combinações de sinais.
Demonstração▼
Fixe um ponto \(c_0\) suficientemente próximo do extremo considerado. Para \(x\) ainda mais próximo desse extremo, o Teorema do Valor Médio de Cauchy fornece um ponto \(\xi \) entre \(c_0\) e \(x\) tal que
O denominador à esquerda não é zero, pois, caso contrário, o Teorema de Rolle aplicado a \(g\) produziria um ponto onde \(g'=0\). Escolhendo \(c_0\) suficientemente próximo do extremo, o quociente das derivadas fica tão próximo de \(L\) quanto desejarmos em todo o intervalo entre \(c_0\) e \(x\). Além disso,
Como \(|g(x)|\to \infty \), os dois termos que contêm \(g(x)\) no denominador têm os limites esperados, e obtemos \(f(x)/g(x)\to L\). Para \(L=\pm \infty \), o mesmo argumento é feito substituindo uma tolerância por um limiar arbitrariamente grande em módulo.
Antes de aplicar a regra, é necessário verificar a forma indeterminada, a diferenciabilidade e a condição \(g'\neq 0\) no intervalo relevante. A existência de um quociente de derivadas, por si só, não autoriza a conclusão.
Aplicando a Regra de L’Hôpital
Identifique uma forma \(0/0\) ou um denominador cujo módulo tende a infinito; verifique a diferenciabilidade e a condição \(g'\neq 0\) no intervalo relevante.
Derive separadamente o numerador \(f\) e o denominador \(g\).
Calcule o limite de \(f'/g'\). Se ele existir, finito ou infinito, a regra garante o mesmo limite para \(f/g\). Se ele não existir, a regra não decide o limite original.
Observe que \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} (x^2+ 2x) = \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \operatorname {sen}x = 0\) e que as funções envolvidas são diferenciáveis em toda parte. Logo, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Observe que \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} (1-\cos x) = \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} (x \operatorname {sen}x) = 0\) e que as funções envolvidas são diferenciáveis em toda parte. Logo, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Observe que \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \operatorname {sen}x = \displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} (\operatorname {sen}x + x \cos x) = 0\) e que as funções envolvidas são diferenciáveis em toda parte. Logo, podemos aplicar a regra de L’Hôpital novamente.
Figura11.18Comportamento da forma indeterminada quando \(x\to \infty \).
Solução
Observe que \(1 - \cos \left(\dfrac {1}{x}\right)\) e \(\operatorname {sen}\left(\dfrac {1}{x}\right)\) são diferenciáveis para todo \(x \gt 0\) e que ambas as funções convergem para \(0\) quando \(x\rightarrow \infty \). Logo, temos que
No caso de produtos indeterminados utilizamos que \(fg=f/(1/g)\), quando \(g\neq 0\), para transformar o produto em quociente. Essa estratégia é ilustrada nos exemplos a seguir.
Quando temos uma forma indeterminada que envolve uma potência, ou seja, formas indeterminadas da forma \(0^0\), \(1^\infty \) e \(\infty ^0\), em geral a estratégia a ser utilizada é aplicar o logaritmo natural: se \(f(x)\gt 0\) nas proximidades consideradas e \(\displaystyle \lim _{x\to c}\ln \big(f(x)\big)=L\), então \(\displaystyle \lim _{x\to c} f(x) = \lim _{x\to c} e^{\ln (f(x))} = e^L.\)
Figura11.23Convergência de \((1+1/x)^x\) para \(e\).
Solução
Temos uma forma indeterminada do tipo \(1^\infty \). Seja \(f(x) = (1+1/x)^x\). Dessa forma, queremos calcular \(\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)\). Começaremos calculando \(\displaystyle \lim _{x\to \infty }\ln \big(f(x)\big)\).
Logo, \(\displaystyle \lim _{x\to \infty } \ln \big(f(x)\big) = 1.\) Voltando ao limite original, \(\lim _{x\to \infty }\left(1+\dfrac 1x\right)^x = \lim _{x\to \infty } f(x) = \lim _{x\to \infty }e^{\ln (f(x))} = e^1 = e.\) Como no caso de \(\operatorname {sen}x/x\), este cálculo é uma releitura do limite fundamental por meio da regra de L’Hôpital, e não uma demonstração independente: esse mesmo limite foi usado anteriormente na obtenção da derivada do logaritmo.
Exemplo 11.47
\[ \lim _{x\to 0^+} x^x. \]
Figura11.24Comportamento de \(x^x\) quando \(x\to 0^+\).
Solução
Temos uma forma indeterminada do tipo \(0^0\). Seja \(f(x) = x^x\). Começaremos calculando \(\displaystyle \lim _{x\to 0^+} \ln \big(f(x)\big)\).
No item 2 basta substituir \(x=1\): o denominador tende a \(-2\), de modo que não há indeterminação. No item 7, \(a\in \mathbb R\). Nos itens 9, 10 e 12, tome o logaritmo da expressão positiva antes de passar ao limite. No item 11, o numerador tende a \(1\) e o denominador a \(0\) por valores positivos; L’Hôpital não é necessária.
Exercício 11.25
Calcule os seguintes limites usando L’Hôpital quando possível
Um algoritmo exige aproximadamente \(n\ln n\) operações, enquanto outro exige \(n^2\). Para comparar suas ordens de crescimento, estenda a razão a uma variável real \(x\) e calcule \(\displaystyle \lim _{x\to \infty }(x\ln x)/x^2=\lim _{x\to \infty }(\ln x)/x\). Interprete o resultado.
A reta \( y = 1 \) é assíntota horizontal de \(f(x) = \dfrac {x^2-1}{x^2+1}.\)
Definição 11.9
Suponha que o domínio de \(f\) contenha valores arbitrariamente grandes. Dizemos que a reta \(y=ax+b\) é uma assíntota de \(f\) quando \(x\to +\infty \) se
Se \(a=0\), a assíntota é horizontal; se \(a\neq 0\), ela é oblíqua.
A definição em \(-\infty \) é análoga, desde que o domínio contenha valores arbitrariamente negativos. Os coeficientes podem ser diferentes nas duas extremidades.
Como encontrar \(a\) e \(b\)?
Se \(y=ax+b\) é uma assíntota quando \(x\to +\infty \), então seus coeficientes são determinados pelos limites
\[ \frac{f(x)}x = a+\frac bx+\frac{f(x)-ax-b}{x} \longrightarrow a, \]
e então \(f(x)-ax\to b\). Reciprocamente, se esses dois limites existem, temos diretamente \(f(x)-(ax+b)\to 0\), de modo que a reta é uma assíntota. O mesmo argumento vale em \(-\infty \).
Exemplo 11.50
Determine as assíntotas de \(f(x) = \sqrt{9x^2+x+1} \) e esboce o gráfico.
Figura11.25Gráfico e assíntotas de \(f(x)=\sqrt{9x^2+x+1}\).
Solução
Antes de calcular os limites, faremos algumas simplificações
Logo, \( y = 3x+\dfrac {1}{6} \) é assíntota para \( x \to + \infty . \) Analogamente vemos que \( y = -3x - \dfrac {1}{6} \) é assíntota para \( x \to - \infty .\)
Exemplo 11.51
Determine as assíntotas de \(f(x)=\displaystyle \dfrac {x^3}{x^2+1}\).
Figura11.26Gráfico e assíntota oblíqua de \(f(x)=x^3/(x^2+1)\).
Solução
Como \(x^2+1\) nunca se anula, a função está definida e é contínua em toda a reta; portanto, não há assíntotas verticais. Uma vez que \( \displaystyle \lim _{x \to \pm \infty } f(x) = \pm \infty , \) não há assíntotas horizontais. Fazendo a divisão de polinômios obtemos
Portanto, a reta \( y = x \) é uma assíntota oblíqua.
Exercício 11.27
Determine todas as assíntotas de \(f(x)=\dfrac {x^2+1}{x-1}\). Ver solução
Como
\[ \frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}, \]
\(x=1\) é assíntota vertical e \(y=x+1\) é assíntota oblíqua tanto em \(+\infty \) quanto em \(-\infty \).
Exercício 11.28
Determine as assíntotas horizontais de \(g(x)=\dfrac {x}{\sqrt{x^2+1}}\) em cada extremidade da reta. Ver solução
Temos \(\lim _{x\to +\infty }g(x)=1\) e \(\lim _{x\to -\infty }g(x)=-1\). Portanto, \(y=1\) é assíntota horizontal à direita e \(y=-1\) é assíntota horizontal à esquerda.
11.7 Esboço de curvas
Domínio, simetrias, monotonicidade, extremos, concavidade e assíntotas descrevem aspectos complementares de uma função. Reunidos, esses dados determinam a estrutura qualitativa do gráfico. O roteiro a seguir organiza a análise sem substituir o exame das particularidades de cada função.
Roteiro para a construção de gráficos
1
Encontrar o domínio $\Dom f$.
2
Calcular os pontos de intersecção com os eixos.
3
Encontrar os pontos críticos e os valores críticos.
4
Verificar, quando possível, se $f$ é par ou ímpar.
5
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
6
Identificar os máximos e mínimos de $f$.
7
Determinar os intervalos de concavidade.
8
Identificar os pontos de inflexão.
9
Encontrar as assíntotas.
10
Reunir as informações e esboçar o gráfico.
Observação 11.52
Simetrias e periodicidade podem reduzir o trabalho: depois de estudar uma parte do domínio, a informação pode ser transportada para as demais.
Um ponto crítico é apenas um candidato a extremo. O sinal de \(f'\) e a comparação de valores decidem se há máximo ou mínimo, local ou global.
Pontos onde a função não está definida são candidatos a assíntotas verticais, não assíntotas automáticas; os limites laterais devem ser examinados.
Exemplo 11.53
Esboce o gráfico de \(f(x)=x^3-6x^2+9x+4\).
Solução
Como \(f\) é polinomial, seu domínio é \(\mathbb {R}\) e não há assíntotas verticais. As interseções com os eixos são \((0,4)\) e, numericamente, \((-0{,}355,0)\). Essa é a única raiz real.
A derivada
\[ f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3) \]
se anula em \(x=1\) e \(x=3\). Como o coeficiente de \(x^2\) em \(f'\) é positivo, \(f\) cresce em \((-\infty ,1)\) e \((3,\infty )\) e decresce em \((1,3)\). Portanto, \((1,8)\) é um máximo local e \((3,4)\) é um mínimo local.
Como \(f''(x)=6x-12=6(x-2)\), a função é côncava para baixo em \((-\infty ,2)\) e para cima em \((2,\infty )\). O ponto \((2,6)\) é um ponto de inflexão.
quando \(x\to \pm \infty \); portanto, não existe coeficiente angular finito para uma assíntota oblíqua.
Reunimos os pontos críticos e o ponto de inflexão na reta real da Figura 11.27; os sinais de \(f'\) e \(f''\) determinam, respectivamente, a monotonicidade e a concavidade em cada intervalo.
Figura11.27Reta real para a função \(f\) do Exemplo 11.53.
A Figura 11.28 mostra como essas informações conduzem do esquema inicial ao esboço final do gráfico.
Figura11.28Construção do esboço de \(f(x)=x^3-6x^2+9x+4\).
Exemplo 11.54
Esboce o gráfico de \(\displaystyle f(x) = \dfrac {x^2-x-2}{x^2-x-6}\).
Solução
Como \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\), o domínio é \(\mathbb {R}\setminus \{ -2,3\} \). As interseções são \((-1,0)\), \((2,0)\) e \((0,1/3)\).
Temos
\[ f'(x)=\frac{4-8x}{(x-3)^2(x+2)^2}. \]
O denominador é positivo no domínio, de modo que \(f\) cresce em \((-\infty ,-2)\) e \((-2,1/2)\) e decresce em \((1/2,3)\) e \((3,\infty )\). Assim, \((1/2,9/25)\) é um máximo local.
A derivada segunda é
\[ f''(x)=\frac{24x^2-24x+56}{(x-3)^3(x+2)^3}. \]
O numerador é sempre positivo. Portanto, \(f\) é côncava para cima em \((-\infty ,-2)\) e \((3,\infty )\) e para baixo em \((-2,3)\). Não há pontos de inflexão, pois os pontos em que a concavidade muda não pertencem ao domínio.
Os limites laterais confirmam as assíntotas verticais \(x=-2\) e \(x=3\). Como
\[ \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=1, \]
a reta \(y=1\) é assíntota horizontal.
A Figura 11.29 resume os sinais de \(f'\) e \(f''\) nos intervalos determinados por \(-2\), \(1/2\) e \(3\).
Como \(x^2+2x+3=(x+1)^2+2\gt 0\), o domínio é \(\mathbb {R}\). As interseções são \((-1,0)\), \((3,0)\) e \((0,-4)\).
A derivada
\[ f'(x)=\frac{16x(x+3)}{(x^2+2x+3)^2} \]
mostra que \(f\) cresce em \((-\infty ,-3)\) e \((0,\infty )\) e decresce em \((-3,0)\). Logo, há um máximo local em \((-3,8)\) e um mínimo local em \((0,-4)\).
As três raízes do numerador são aproximadamente \(r_1=-4{,}251\), \(r_2=-1{,}161\) e \(r_3=0{,}912\). Assim, \(f\) é côncava para cima em \((-\infty ,r_1)\) e \((r_2,r_3)\), e para baixo em \((r_1,r_2)\) e \((r_3,\infty )\). Os três valores de \(r_i\) fornecem pontos de inflexão.
Não há assíntotas verticais. Como
\[ \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=4, \]
a reta \(y=4\) é assíntota horizontal.
A Figura 11.31 organiza os pontos críticos e os pontos de inflexão e registra os sinais de \(f'\) e \(f''\).
A Figura 11.32 mostra a passagem dessas informações ao esboço, incluindo as raízes \(-1\) e \(3\).
Figura11.32Construção do esboço de \(f(x)=\dfrac {4(x-3)(x+1)}{x^2+2x+3}\).
Exemplo 11.56
Esboce o gráfico da função \(f(x)=x+2x^{\frac{2}{3}}=x+2\sqrt[3]{x^{2}} \).
Solução
A raiz cúbica está definida para todo número real; portanto, \(\operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\). A função é contínua em toda a reta, mas não é par nem ímpar. Suas raízes são \(x=-8\) e \(x=0\).
Para \(x\neq 0\),
\[ f'(x)=1+\frac{4}{3\sqrt[3]{x}}. \]
A derivada se anula em \(x=-64/27\) e não existe em \(x=0\), embora \(f\) esteja definida nesse ponto. O sinal de \(f'\) mostra que \(f\) cresce em \((-\infty ,-64/27)\) e \((0,\infty )\) e decresce em \((-64/27,0)\). Logo,
\[ \left(-\frac{64}{27},\frac{32}{27}\right) \quad \text{é um máximo local, e}\quad (0,0)\quad \text{é um mínimo local.} \]
Para \(x\neq 0\),
\[ f''(x)=-\frac{4}{9x^{4/3}}\lt 0. \]
Assim, o gráfico é côncavo para baixo em \((-\infty ,0)\) e \((0,\infty )\). Como a concavidade não muda ao atravessar \(0\), esse ponto não é um ponto de inflexão.
Não há assíntotas verticais ou horizontais. Tampouco há assíntota oblíqua: embora \(f(x)/x\to 1\), a diferença \(f(x)-x=2x^{2/3}\) não tende a um número real.
A Figura 11.33 reúne essas informações. A janela inclui a raiz \(-8\) e destaca, em \(x=0\), a cúspide onde \(f'\) não existe.
Figura11.33Construção do esboço de \(f(x)=x+2\sqrt[3]{x^2}\).
Exemplo 11.57 (Quando a concentração atinge o pico)
Após uma dose administrada fora da corrente sanguínea, o fármaco precisa ser absorvido antes de alcançá-la e, ao mesmo tempo, começa a ser eliminado pelo organismo. Um modelo simples para a concentração resultante é
em que \(k_a\) e \(k_e\) estão associados, respectivamente, à absorção e à eliminação. Em determinado caso, os tempos para que cada parcela exponencial se reduza à metade são \(0{,}5\) hora para a absorção e \(4\) horas para a eliminação. Determine \(k_a\) e \(k_e\), encontre o instante de concentração máxima e descreva os traços principais do gráfico.
Solução
Para uma parcela da forma \(e^{-kt}\), o tempo \(T\) de redução à metade satisfaz \(e^{-kT}=1/2\); logo, \(k=\ln 2/T\). Portanto,
Como \(C'(0)=A(k_a-k_e)\gt 0\) e, depois desse ponto, a parcela de eliminação predomina, a concentração cresce até \(t_{\max }\) e decresce em seguida. O gráfico parte de zero, possui um único pico e retorna assintoticamente a zero.
Exercício 11.29
Para cada uma das funções seguintes, faça um estudo completo e esboce o gráfico. Para isso:
Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
Encontre as assíntotas horizontais, verticais e inclinadas;
Esboce o gráfico utilizando as informações dos itens anteriores.
Na descrição abaixo, \(\uparrow \) e \(\downarrow \) indicam crescimento e decrescimento; \(C_\uparrow \) e \(C_\downarrow \) indicam concavidade para cima e para baixo. Intervalos separados são considerados individualmente. Podemos incluir por continuidade os extremos finitos que pertencem ao domínio. Quando uma inflexão é indicada apenas pela abscissa \(r\), o ponto do gráfico é \((r,f(r))\). Salvo indicação em contrário, o domínio é \(\mathbb R\) e não há assíntotas.
\(f'=3x^2-4x+4\gt 0\): crescente em toda a reta, sem extremos. Como \(f''=6x-4\), \(C_\downarrow :(-\infty ,2/3)\) e \(C_\uparrow :(2/3,\infty )\); inflexão \((2/3,83/27)\).
\(f'=-(x-3)(3x-1)\): decresce em \((-\infty ,1/3)\) e \((3,\infty )\), cresce em \((1/3,3)\). Mínimo local em \(1/3\), de valor \(41/27\); máximo local em \(3\), de valor \(11\). Como \(f''=10-6x\), \(C_\uparrow :(-\infty ,5/3)\) e \(C_\downarrow :(5/3,\infty )\); inflexão \((5/3,169/27)\).
\(f=(x+1)^3\) cresce em toda a reta. O crítico \(-1\) é inflexão estacionária, com valor \(0\), e não é extremo. \(C_\downarrow :(-\infty ,-1)\); \(C_\uparrow :(-1,\infty )\).
\(f'=(x-1)(3x+1)\). Cresce em \((-\infty ,-1/3)\) e \((1,\infty )\) e decresce em \((-1/3,1)\). Máximo local \(32/27\) em \(-1/3\) e mínimo local \(0\) em \(1\). Como \(f''=6x-2\), \(C_\downarrow :(-\infty ,1/3)\) e \(C_\uparrow :(1/3,\infty )\); inflexão \((1/3,16/27)\).
Domínio \((2,\infty )\). \(f'=\ln (x-2)+1\): decresce até \(2+e^{-1}\) e cresce depois, com mínimo \(-e^{-1}\). Como \(f''=1/(x-2)\gt 0\), é convexa em todo o domínio e não tem inflexões. O limite em \(2^+\) é \(0\), sem assíntota vertical; o ponto \((2,0)\) é aberto.
Domínio \((2,\infty )\). \(f'=(x-2)(2\ln (x-2)+1)\): decresce até \(2+e^{-1/2}\) e cresce depois, com mínimo \(-1/(2e)\). \(f''=2\ln (x-2)+3\): \(C_\downarrow :(2,2+e^{-3/2})\) e \(C_\uparrow :(2+e^{-3/2},\infty )\). Inflexão \((2+e^{-3/2},-3/(2e^3))\); limite \(0\) em \(2^+\).
Domínio \(\mathbb R\setminus \{ 0\} \). \(f'=8/x^3\): decresce em \((-\infty ,0)\) e cresce em \((0,\infty )\), sem extremos. Como \(f''=-24/x^4\lt 0\), é côncava para baixo em cada ramo, sem inflexões. Assíntotas \(x=0\) e \(y=1\).
decresce em cada componente e não tem extremos. Seja \(r=(5+\sqrt[3]9-\sqrt[3]3)/2\), a única raiz de \(2x^3-15x^2+42x-44\), situada em \((2,4)\). A derivada segunda é duas vezes esse polinômio dividida por \((x-2)^3(x-4)^3\). Logo, \(C_\uparrow :(2,r)\) e \((4,\infty )\); \(C_\downarrow :(-\infty ,2)\) e \((r,4)\). A única inflexão é \((r,f(r))\). Assíntotas \(x=2\), \(x=4\) e \(y=1\).
Domínio \(\mathbb R\setminus \{ 2,4\} \). Como \(f'=-2(x-1)(2x-5)/((x-2)^2(x-4)^2)\), decresce em \((-\infty ,1)\), \((5/2,4)\) e \((4,\infty )\), e cresce em \((1,2)\) e \((2,5/2)\). Mínimo local \(0\) em \(1\) e máximo local \(-3\) em \(5/2\). Seja \(r=(7-3\sqrt[3]3-\sqrt[3]9)/4\), a única raiz real de \(4x^3-21x^2+30x-4\). Temos \(r\lt 1\) e
Portanto, \(C_\uparrow :(r,2)\) e \((4,\infty )\); \(C_\downarrow :(-\infty ,r)\) e \((2,4)\). A única inflexão é \((r,f(r))\). Assíntotas \(x=2\), \(x=4\) e \(y=1\).
Domínio \([-1,\infty )\). \(f'=(3x+2)/(2\sqrt{x+1})\): decresce em \((-1,-2/3)\) e cresce em \((-2/3,\infty )\), com mínimo \(-2/(3\sqrt3)\) em \(-2/3\). O extremo do domínio \(-1\) é máximo local relativo ao domínio, de valor \(0\). Como \(f''=(3x+4)/(4(x+1)^{3/2})\gt 0\) para \(x\gt -1\), a função é convexa, sem inflexões.
\(f'=e^xx(x+2)\): cresce em \((-\infty ,-2)\) e \((0,\infty )\) e decresce em \((-2,0)\). Máximo local \(4/e^2\) em \(-2\) e mínimo global \(0\) em \(0\). Com \(r_\pm =-2\pm \sqrt2\), temos \(C_\uparrow :(-\infty ,r_-)\) e \((r_+,\infty )\) e \(C_\downarrow :(r_-,r_+)\). Inflexões \((r_\pm ,r_\pm ^2e^{r_\pm })\). Assíntota \(y=0\) apenas quando \(x\to -\infty \).
Domínio \([-\pi ,\pi ]\). Cresce em \((-\pi ,-3\pi /4)\), \((-\pi /4,\pi /4)\) e \((3\pi /4,\pi )\); decresce nos dois intervalos restantes. Máximos \(1/2\) em \(-3\pi /4,\pi /4\) e mínimos \(-1/2\) em \(-\pi /4,3\pi /4\). Relativamente ao domínio fechado, \(-\pi \) também é mínimo local e \(\pi \) é máximo local, ambos de valor \(0\). Como \(f''=-2\operatorname {sen}(2x)\), \(C_\uparrow :(-\pi /2,0)\) e \((\pi /2,\pi )\) e \(C_\downarrow :(-\pi ,-\pi /2)\) e \((0,\pi /2)\). Inflexões em \(-\pi /2,0,\pi /2\), de ordenada \(0\).
\(f'=2/(3\sqrt[3]{x-3})\) para \(x\neq 3\). Decresce até \(3\) e cresce depois; mínimo global \(2\) no ponto não diferenciável \(3\). A derivada segunda é negativa nos dois lados: côncava para baixo em \((-\infty ,3)\) e \((3,\infty )\), sem inflexão.
\(f'=6x(x^2-1)^2\): decresce em \((-\infty ,0)\) e cresce em \((0,\infty )\). Mínimo global \(-1\) em \(0\); os críticos \(\pm 1\) não são extremos. Como \(f''=6(x^2-1)(5x^2-1)\), \(C_\uparrow :(-\infty ,-1)\), \((-1/\sqrt5,1/\sqrt5)\) e \((1,\infty )\); \(C_\downarrow :(-1,-1/\sqrt5)\) e \((1/\sqrt5,1)\). Inflexões \((\pm 1,0)\) e \((\pm 1/\sqrt5,-64/125)\).
\(f'=2/\sqrt[3]x-1\) para \(x\neq 0\). Decresce em \((-\infty ,0)\) e \((8,\infty )\), e cresce em \((0,8)\). Mínimo local \(0\) em \(0\) e máximo local \(4\) em \(8\). Como \(f''=-2/(3x^{4/3})\lt 0\), é côncava para baixo em cada lado de \(0\), sem inflexões.
Domínio \([-2,\infty )\). \(f'=3\sqrt{x+2}/2\gt 0\) para \(x\gt -2\): crescente, com mínimo global \(1\) no extremo \(-2\). Como \(f''=3/(4\sqrt{x+2})\gt 0\), é convexa, sem inflexões.
Os esboços ao final usam as informações abaixo. As abreviações \(C_\uparrow \) e \(C_\downarrow \) têm o mesmo sentido do exercício anterior. Cada intervalo é considerado separadamente; \(k\in \mathbb Z\) nas fórmulas periódicas.
\(f'=1-\operatorname {sen}x\geq 0\) e só se anula em pontos isolados, portanto \(f\) cresce em toda a reta, sem extremos. \(f''=-\cos x\): \(C_\uparrow :(\pi /2+2k\pi ,3\pi /2+2k\pi )\) e \(C_\downarrow :(-\pi /2+2k\pi ,\pi /2+2k\pi )\). Inflexões \((\pi /2+k\pi ,\pi /2+k\pi )\). Não há assíntota oblíqua: \(f(x)-x=\cos x\) não possui limite no infinito.
Domínio \(\mathbb R\). Para \(x\neq 0\), \(f'=4(x+1)/(3x^{2/3})\). Decresce até \(-1\) e cresce depois, com mínimo global \(-3\). O crítico \(0\) não é extremo. Como \(f''=4(x-2)/(9x^{5/3})\), \(C_\uparrow :(-\infty ,0)\) e \((2,\infty )\); \(C_\downarrow :(0,2)\). Inflexões \((0,0)\) e \((2,6\sqrt[3]2)\). Zeros \(-4\) e \(0\); sem assíntotas.
Domínio \(\mathbb R\), função par. \(f'=4x^3/(x^4+27)\): decresce até \(0\) e cresce depois; mínimo \(\ln 27\). Como
\[ f''=\frac{4x^2(81-x^4)}{(x^4+27)^2}, \]
temos \(C_\uparrow :(-3,3)\) e \(C_\downarrow :(-\infty ,-3)\) e \((3,\infty )\). Inflexões \((\pm 3,\ln 108)\); \(0\) não é inflexão. Sem assíntotas.
Domínio \((0,e)\). \(f'=-1/[x(1-\ln x)]\lt 0\): decrescente, sem extremos. Como \(f''=-\ln x/[x^2(1-\ln x)^2]\), \(C_\uparrow :(0,1)\) e \(C_\downarrow :(1,e)\); inflexão \((1,0)\). Assíntotas \(x=0\) e \(x=e\), com limites \(+\infty \) e \(-\infty \), respectivamente.
Domínio \(\mathbb R\setminus \{ -1\} \). A função cresce em cada ramo, pois \(f'=e^{-1/(x+1)}/(x+1)^2\gt 0\). Como \(f''=-(2x+1)e^{-1/(x+1)}/(x+1)^4\), \(C_\uparrow :(-\infty ,-1)\) e \((-1,-1/2)\); \(C_\downarrow :(-1/2,\infty )\). Inflexão \((-1/2,e^{-2})\). Assíntotas \(y=1\) nas duas extremidades e \(x=-1\) pelo lado esquerdo; pelo lado direito, o limite em \(-1\) é \(0\).
Domínio \(\mathbb R\setminus \{ k\pi /2:k\in \mathbb Z\} \); período \(\pi \). Temos \(f'=4/\operatorname {sen}(2x)\): cresce em \((k\pi ,k\pi +\pi /2)\) e decresce em \((k\pi -\pi /2,k\pi )\), sem extremos. Como \(f''=-8\cos (2x)/\operatorname {sen}^2(2x)\), em cada período \(C_\downarrow :(k\pi ,k\pi +\pi /4)\) e \((k\pi +3\pi /4,k\pi +\pi )\); \(C_\uparrow :(k\pi +\pi /4,k\pi +\pi /2)\) e \((k\pi +\pi /2,k\pi +3\pi /4)\). Inflexões \((\pi /4+k\pi /2,0)\). Assíntotas verticais em todos os pontos excluídos; limite \(-\infty \) em \(k\pi \) e \(+\infty \) em \(\pi /2+k\pi \).
Domínio \(\mathbb R\setminus \{ -3,3\} \). Ponha \(r_\pm =1\pm \sqrt{10}\). Como \(f'=e^x(x^2-2x-9)/(x^2-9)^2\), cresce em \((-\infty ,-3)\), \((-3,r_-)\) e \((r_+,\infty )\), e decresce em \((r_-,3)\) e \((3,r_+)\). Máximo local em \(r_-\) e mínimo local em \(r_+\), com valores \(e^{r_\pm }/(2r_\pm )\). Além disso,
Portanto, \(C_\uparrow :(-\infty ,-3)\) e \((3,\infty )\); \(C_\downarrow :(-3,3)\); sem inflexões. Assíntotas \(x=\pm 3\) e \(y=0\) apenas em \(-\infty \).
Domínio \((-\pi /2,\pi /2)\), função par. \(f'=\operatorname {tg}x+x\sec ^2x\) tem o sinal de \(x\), logo há mínimo global \(0\) em \(0\). Como \(f''=2\sec ^2x(1+x\operatorname {tg}x)\gt 0\), é convexa, sem inflexões. Assíntotas \(x=\pm \pi /2\), com limites \(+\infty \).
Domínio \(\mathbb R\), função par de período \(2\pi \). \(f'=-e^{\cos x}\operatorname {sen}x\): decresce em \((2k\pi ,(2k+1)\pi )\) e cresce em \(((2k-1)\pi ,2k\pi )\). Máximos \(e\) em \(2k\pi \) e mínimos \(e^{-1}\) em \((2k+1)\pi \). Escreva \(\alpha =\arccos ((\sqrt5-1)/2)\). Como \(f''=e^{\cos x}(\operatorname {sen}^2x-\cos x)\), \(C_\downarrow :(2k\pi -\alpha ,2k\pi +\alpha )\) e \(C_\uparrow :(2k\pi +\alpha ,2(k+1)\pi -\alpha )\). Inflexões em \(2k\pi \pm \alpha \), de valor \(e^{(\sqrt5-1)/2}\). Sem assíntotas.
Domínio \((-2\pi ,0)\cup (0,2\pi )\), função par. \(f'=-\operatorname {sen}x/(1-\cos x)^2\): cresce em \((-\pi ,0)\) e \((\pi ,2\pi )\) e decresce em \((-2\pi ,-\pi )\) e \((0,\pi )\). Mínimos \(1/2\) em \(\pm \pi \). Como \(f''=(2+\cos x)/(1-\cos x)^2\gt 0\), é convexa em cada componente, sem inflexões. Assíntotas \(x=-2\pi ,0,2\pi \), com limites \(+\infty \) pelos lados do domínio.
Domínio \(\mathbb R\), função ímpar. Para \(t\neq \pm 2\),
Ponha \(r=\sqrt{12/5}\) e \(s=6/\sqrt5\). Cresce em \((-\infty ,-r)\) e \((r,\infty )\), inclusive através das tangentes verticais em \(\pm 2\), e decresce em \((-r,r)\). Máximo local \(r\sqrt[3]{8/5}\) em \(-r\) e mínimo local \(-r\sqrt[3]{8/5}\) em \(r\). Temos \(C_\uparrow :(-s,-2)\), \((0,2)\) e \((s,\infty )\); \(C_\downarrow :(-\infty ,-s)\), \((-2,0)\) e \((2,s)\). Inflexões em \(-s,-2,0,2,s\), com ordenadas dadas por \(f\); nos pontos \(\pm 2\) a continuidade e a mudança de concavidade bastam, embora a derivada não exista. Zeros \(-2,0,2\); sem assíntotas.
Exercício 11.31
Nas próximas questões, é dada uma função com parâmetros \(a\) e \(b\). Descreva os pontos críticos e os possíveis pontos de inflexão de \(f\) em termos de \(a\) e \(b\).
Se \(b\neq 0\) e \(a\neq 0\), o único ponto crítico é \(0\), com valor \(a/b^2\), e as inflexões são \((\pm |b|/\sqrt3,3a/(4b^2))\). Isso segue de \(f'=-2ax/(x^2+b^2)^2\) e \(f''=2a(3x^2-b^2)/(x^2+b^2)^3\). Se \(b=0\) e \(a\neq 0\), o domínio exclui \(0\), e não há pontos críticos nem inflexões. Se \(a=0\), a função é constante em seu domínio: todo ponto do domínio é crítico e não há inflexões; quando também \(b=0\), o ponto \(0\) continua excluído.
Se \(a\neq 0\), os críticos são \(x=(\pi /2+k\pi -b)/a\), com valores \((-1)^k\), e as inflexões são \(((k\pi -b)/a,0)\), \(k\in \mathbb Z\). Se \(a=0\), a função é constante: todos os pontos são críticos e não há inflexões.
\(f'=2x-a-b\) e \(f''=2\). O único crítico é \((a+b)/2\), mínimo de valor \(-(a-b)^2/4\); não há inflexões.
A análise de curvas mostrou como reconhecer extremos a partir da estrutura de uma função. Em problemas de otimização, a mesma ideia será precedida por uma etapa adicional: construir a função a partir da situação concreta.
11.8 Problemas de otimização
Em um problema de otimização, a função a ser maximizada ou minimizada não costuma vir pronta. Ela precisa ser construída a partir das grandezas do problema e de suas restrições. A modelagem determina tanto a expressão da função quanto o domínio viável; somente depois entram os critérios de máximos e mínimos.
Exemplo 11.58 (Uma caixa sem tampa)
Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de uma folha quadrada de \(60\, \mathrm{cm}\) de lado. Para isso, recortam-se quadrados congruentes nos quatro cantos e dobram-se as abas restantes. Qual deve ser o lado dos quadrados recortados para que o volume da caixa seja máximo?
Figura11.34Ao retirar quadrados de lado \(x\), a altura da caixa é \(x\) e cada lado da base passa a medir \(60-2x\).
Solução
Se \(x\) é o lado de cada quadrado recortado, a caixa resultante tem altura \(x\) e base quadrada de lado \(60-2x\). Portanto,
\[ V(x)=x(60-2x)^2. \]
A geometria também determina o domínio do problema. Para que a construção faça sentido,
\[ 0\leq x\leq 30. \]
Nos extremos, a caixa degenera e seu volume é zero. Para procurar um máximo no interior, derivamos:
\[ V'(x)=(60-2x)(60-6x). \]
O único ponto crítico interior é \(x=10\). Comparando os valores relevantes,
obtido quando recortamos quadrados de lado \(10\, \mathrm{cm}\). A caixa ótima tem, portanto, base \(40\, \mathrm{cm}\times 40\, \mathrm{cm}\) e altura \(10\, \mathrm{cm}\).
Exemplo 11.59
Um fabricante de embalagens deseja fabricar uma lata cujo formato é um cilindro circular reto de volume \(V_0\gt 0\). Quais devem ser as dimensões da lata de modo a minimizar a quantidade de material gasto na fabricação, ou seja, a área total da superfície, incluindo a tampa e a base?
Solução
Sejam \(r\) e \(h\) o raio da base e a altura da lata, respectivamente. O volume da lata é dado por
\begin{equation} V_0=\pi r^2 h \label{vollata} \tag{11.1} \end{equation}
Figura11.35O raio \(r\) e a altura \(h\) determinam a restrição de volume e a área total da lata fechada. e a área total
\begin{equation} A=2\pi r^2+2\pi r h \label{arealata} \tag{11.2} \end{equation}
Como o raio deve ser positivo e a área deve estar definida, temos que \(0\lt r \lt \infty \). A função \(A(r)\) é diferenciável em todos os pontos do domínio. Assim, para calcular os pontos críticos, derivamos:
Como não estamos num intervalo fechado, não temos a garantia de existência de um mínimo. Para analisar o comportamento de \(A(r)\), estudaremos o sinal da derivada. A derivada é positiva para \(r\gt (V_0/(2\pi ))^{1/3}\) e negativa para \(0\lt r\lt (V_0/(2\pi ))^{1/3}\). Assim, o ponto \(r=\left(\dfrac {V_0}{2\pi }\right)^{\frac{1}{3}}\) é um ponto de mínimo global. A altura correspondente é \(h=V_0/(\pi r^2)=2r\): a lata ótima tem altura igual ao diâmetro.
Exemplo 11.60
Encontre as dimensões do triângulo isósceles de maior área que esteja inscrito na circunferência de raio \(R\).
Figura11.36A altura \(x\) e a base \(y\) determinam a área; o triângulo retângulo auxiliar fornece \((y/2)^2+(x-R)^2=R^2\).
Solução
Sejam \( x \) a altura do triângulo, \( y \) a base e \( z \) a medida de um dos lados congruentes. A área do triângulo é \( A = \dfrac {1}{2} xy\) onde \( x \in (0,2R) \) e \(y\in (0,2R]\). Pelo Teorema de Pitágoras, temos que
\[ \Bigl(\dfrac {y}{2}\Bigr)^2 + (x-R)^2 = R^2 \quad \text{ e portanto } \qquad y = 2 \sqrt{2Rx-x^2}. \]
Substituindo obtemos \( A(x) = x \sqrt{2Rx-x^2}.\) Logo, o problema se reduz a maximizar a função
\[ A(x) = x \sqrt{2Rx-x^2} \qquad x \in (0,2R). \]
temos que \(x= \dfrac {3}{2}R \) é o único candidato a ponto de máximo no intervalo \((0,2R).\) Analisando o sinal da derivada primeira, vemos que, de fato, \(x = \dfrac {3}{2}R \) é um ponto de máximo. Portanto as dimensões são
\[ \text{altura } x = \dfrac {3}{2}R \quad \text{ e base } y = \sqrt{3}R \quad \text{ e daí } z^2 = \dfrac {9}{4}R^2 + \dfrac {3}{4} R^2 = 3 R^2. \]
Logo o triângulo é equilátero.
Exemplo 11.61
Uma calha deve ser construída com uma folha de metal de largura \(30\, \mathrm{cm}\) dobrando-se para cima \(1/3\) da folha de cada lado, fazendo-se um ângulo \(\theta \) com a horizontal. Determine o ângulo que vai maximizar a quantidade de água que a calha pode conter.
Solução
Como o comprimento da calha é fixo, maximizar seu volume equivale a maximizar a área da seção transversal. A Figura 11.37 reúne a seção transversal e sua decomposição nas grandezas usadas no cálculo. Figura11.37A seção trapezoidal decompõe-se em um retângulo e dois triângulos, com \(b=10\cos \theta \) e \(h=10\operatorname {sen}\theta \). A área seccional pode ser obtida somando-se a área do retângulo e as áreas dos triângulos. Como \(b=10\cos \theta \) e \(h=10 \operatorname {sen}\theta \), temos:
Logo, a derivada se anula quando \(2 \cos \theta -1=0\), ou seja, \(\cos \theta =1/2\) e, logo, \(\theta =\pi /3\); ou quando \(\cos \theta +1=0\). A segunda equação não possui solução no intervalo \([0,\pi /2]\). Como \(A(0)=0\), \(A(\pi /3)\approx 129{,}9\) e \(A(\pi /2)=100\), temos que a área seccional máxima ocorre quando \(\theta =\pi /3\).
Exemplo 11.62
Um arame de comprimento \(L\) é cortado em duas partes. Com uma dessas partes faz-se um quadrado e com a outra um triângulo equilátero. Em que ponto deve-se cortar o arame para que a soma das áreas seja máxima?
onde \(a^2\) é a área do quadrado de lado \(a\) e \(\dfrac {\sqrt{3}}{4}b^{2}\) é a área do triângulo equilátero de lado \(b\). Como o arame tem comprimento \(L\), temos \(L=4a+3b\Longrightarrow a=\dfrac {L-3b}{4}.\) Substituindo o valor de a na equação 11.3, obtemos \(A\) como função de apenas uma variável:
Como \(A''(b)=(9+4\sqrt3)/8\gt 0\), ele fornece o mínimo global. Nesse caso, \(a=L\sqrt3/(9+4\sqrt3)\). Como a função \(A(b)\) é contínua no intervalo \(\left[ 0,\dfrac {L}{3}\right] \), existem um máximo e um mínimo absolutos em \(\left[ 0,\dfrac {L}{3}\right] \). O único ponto crítico interior é um mínimo. Portanto, o máximo absoluto deve ocorrer em uma das extremidades. Comparando os valores: Se \(b=0\) e, portanto, \(a=\dfrac {L}{4},\) temos \(A(0)=\left( \dfrac {L}{4}\right) ^{2}=\dfrac {1}{16}L^{2};\) Se \(b=\dfrac {L}{3}\) e, portanto, \(a=0,\) temos \(A(\dfrac {L}{3})=\dfrac {\sqrt{3}}{4}\left( \dfrac {L}{3}\right) ^{2}=\dfrac {\sqrt{3}}{36}L^{2}\) Como, \(\dfrac {\sqrt{3}}{36}L^{2}\lt \dfrac {1}{16}L^{2}\) (porque \(\dfrac {4}{9}\sqrt{3}\lt 1\) e \(\sqrt{3}\lt 2),\) segue-se que, admitindo uma das partes com comprimento zero, a área máxima é obtida usando todo o arame no quadrado de lado \(L/4\). Se o corte deve produzir duas partes de comprimento positivo, não existe máximo: a soma das áreas pode aproximar-se de \(L^2/16\) sem atingi-lo.
Exemplo 11.63 (Princípio de Fermat e lei de Snell)
Dois meios homogêneos são separados por uma interface plana. No primeiro, a luz se propaga com velocidade \(v_1\); no segundo, com velocidade \(v_2\). Um raio deve ir de \(A=(0,a)\) a \(B=(L,-b)\), com \(a,b,L\gt 0\), atravessando a interface \(y=0\). Em que ponto deve ocorrer a passagem de um meio para o outro para que o tempo de percurso seja mínimo? Que relação os ângulos do caminho ótimo satisfazem?
Figura11.38O ponto \(P=(x,0)\) pode deslizar pela interface. O princípio de Fermat seleciona o caminho que minimiza o tempo total de percurso.
Solução
Se o raio cruza a interface em \(P=(x,0)\), com \(0\leq x\leq L\), as distâncias percorridas nos dois meios são
Observe que aqui não estamos minimizando a distância total: se as velocidades forem diferentes, pode ser vantajoso percorrer um caminho geometricamente mais longo para permanecer mais tempo no meio mais rápido.
Desse modo, uma lei física surge diretamente de um problema de otimização do tempo de percurso.
Exercício 11.32
Um homem dispõe de \(100\) metros de cerca e deseja construir um cercado retangular de área máxima. Quais devem ser as dimensões do cercado?
Ver solução
Se os lados são \(x\) e \(y\), então \(2x+2y=100\), isto é, \(y=50-x\). Logo,
\[ A(x)=x(50-x),\qquad 0\leq x\leq 50. \]
Como \(A'(x)=50-2x\), o único ponto crítico interior é \(x=25\). Comparando com os extremos, \(A(0)=A(50)=0\) e \(A(25)=625\). Portanto, o cercado ótimo é um quadrado de lado \(25\, \mathrm m\), com área \(625\, \mathrm m^2\).
Exercício 11.33
Quais são as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser desenhada dentro do círculo unitário? Ver solução
Se os lados são \(u,v\), a diagonal mede \(2\), logo \(u^2+v^2=4\). Assim, \(uv\leq (u^2+v^2)/2=2\), com igualdade quando \(u=v=\sqrt2\). O retângulo ótimo é um quadrado de lado \(\sqrt2\) e área \(2\).
Exercício 11.34
Encontre a área máxima de um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento 1. Ver solução
Se os catetos são \(u,v\gt 0\), temos \(u^2+v^2=1\) e \(A=uv/2\leq (u^2+v^2)/4=1/4\). A igualdade ocorre no triângulo retângulo isósceles, com catetos \(1/\sqrt2\).
Exercício 11.35
Uma lata cilíndrica sem topo é feita para receber \(V\, \mathrm{cm}^3\) de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal usado para fazer a lata. Ver solução
Suponha custo constante por unidade de área e \(V\gt 0\). A área de metal é \(A=\pi r^2+2\pi rh\) e o volume impõe \(h=V/(\pi r^2)\). Logo, \(A(r)=\pi r^2+2V/r\) e \(A'(r)=2\pi r-2V/r^2\). A função decresce até \(r=(V/\pi )^{1/3}\) e cresce depois. Portanto, \(r=h=(V/\pi )^{1/3}\), em centímetros.
Exercício 11.36
Uma caixa com tampa conforme a figura abaixo é feita a partir de uma folha de papel de \(12\, \mathrm{cm}\times 12\, \mathrm{cm}\). Na construção indicada, a altura é \(x\). Use a planificação para expressar as dimensões da base em função de \(x\) e encontre as dimensões que maximizam o volume. Ver solução
Na construção indicada, a altura é \(x\), e os lados da base medem \(6-x\) e \(12-2x\), em centímetros. Assim,
Como \(V'(x)=6(x-2)(x-6)\), o volume cresce até \(x=2\) e decresce de \(2\) a \(6\). O máximo é \(64\, \mathrm{cm}^3\), obtido com altura \(2\, \mathrm{cm}\) e base \(4\, \mathrm{cm}\times 8\, \mathrm{cm}\).
Exercício 11.37
Uma fileira de soldados marcha perpendicularmente à própria frente e atravessa obliquamente uma fronteira reta entre dois terrenos. No primeiro terreno, cada soldado marcha com velocidade \(v_1\); no segundo, com velocidade \(v_2\). Quando o primeiro soldado da fileira atinge a fronteira no ponto \(A\), o último ainda está no primeiro terreno, no ponto \(B\). Após um intervalo \(\Delta t\), esse último soldado chega à fronteira no ponto \(C\), enquanto o primeiro chega ao ponto \(D\) no segundo terreno. As fileiras \(AB\) e \(CD\) são, respectivamente, as frentes antes e depois da mudança de direção.
Mostre, usando os dois triângulos retângulos formados e denotando por \(\theta _1\) e \(\theta _2\) os ângulos da direção de marcha com a normal à fronteira, que
Se \(v_2\lt v_1\), então \(\operatorname {sen}\theta _2\lt \operatorname {sen}\theta _1\) e, para ângulos entre \(0\) e \(\pi /2\), temos \(\theta _2\lt \theta _1\): a fileira gira em direção à normal. É exatamente a mesma relação geométrica que apareceu na lei de Snell.
Exercício 11.38
Um projétil é lançado, do nível do solo, com velocidade inicial \(v_0\) e ângulo \(0\leq \theta \leq \pi /2\). Desprezando a resistência do ar, seu alcance horizontal é dado por
O único ponto crítico interior é \(\theta =\pi /4\). Como o alcance é zero nos dois extremos e positivo no interior, esse ponto fornece o máximo: \(R_{\max }=v_0^2/g\).
Exercício 11.39
Em um modelo logístico, o crescimento natural de uma população de peixes de tamanho \(P\), com \(0\leq P\leq K\), é
Uma retirada constante só pode ser sustentável se não exceder esse crescimento. Determine o tamanho da população que produz o maior rendimento sustentável e o valor desse rendimento. Ver solução
Como \(G'(P)=r(1-2P/K)\) e \(G''(P)=-2r/K\lt 0\), o máximo ocorre em \(P=K/2\). Seu valor é \(G(K/2)=rK/4\).
Exercício 11.40
A relação força–velocidade de um músculo é aproximada pela equação de Hill
\[ (F+a)(v+b)=(F_0+a)b, \]
em que \(a,b,F_0\gt 0\), \(F\) é a força e \(v\geq 0\) é a velocidade de encurtamento. A potência mecânica é \(P(v)=vF(v)\).
Escreva \(F\) e \(P\) como funções de \(v\) e determine o intervalo fisicamente relevante em que \(F\geq 0\).
Encontre a velocidade e a força que maximizam a potência.
O primeiro termo representa custo de material e o segundo penaliza a condução lenta em diâmetros pequenos. Determine o diâmetro que minimiza \(J\) e justifique que o ponto encontrado é um mínimo. Ver solução
Temos
\[ J'(d)=2Ad-\frac{B}{2}d^{-3/2}. \]
Logo, o único ponto crítico é
\[ d_*=\left(\frac{B}{4A}\right)^{2/5}. \]
Como \(J''(d)=2A+(3B/4)d^{-5/2}\gt 0\) para \(d\gt 0\), esse ponto é o único mínimo global.
A aproximação linear utiliza apenas o valor de \(f\) e de \(f'\) em um ponto. Derivadas de ordens superiores permitem construir aproximações polinomiais que reproduzem sucessivamente mais informação local.
11.9 Polinômios de Taylor
O polinômio de Taylor de ordem \(n\) em torno de um ponto é construído para concordar com a função e com suas primeiras \(n\) derivadas nesse ponto. O grau da aproximação aumenta juntamente com a quantidade de informação local incorporada; a diferença entre a função e o polinômio é medida pelo erro da aproximação.
11.9.1 Polinômios de Taylor de ordem 1 e 2
O exemplo mais simples de aproximação de uma função por um polinômio é a aproximação linear, que apresentamos na seção 10.7. Naquela seção, utilizamos a aproximação linear
\[ P_1(x) = f(a) + f'(a) (x-a) \]
para aproximar a função \( f(x) \) para \( x \) numa vizinhança de \( a\). Definimos o erro que cometemos ao aproximar \( f(x) \) por \( P_1 \) como
\[ E_1(x) = f(x) - P_1(x). \]
Dessa forma, podemos escrever:
\[ f(x)=f(a) + f'(a) (x-a)+E_1(x) \]
Proposição 11.64
O erro \( E_1(x) \) tende a zero mais rapidamente do que \( (x-a)\). Isto é,
O polinômio de Taylor de ordem 1 de \(f(x)\) ao redor de \(a\) é definido como
\[ P_1(x) = f(a) + f'(a) (x-a) \]
Teorema 11.65
Seja \(f\) diferenciável em \(a\). Então
\[ P_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a) \]
é o único polinômio de grau no máximo \(1\) cujo erro \(E(x)=f(x)-P_1(x)\) satisfaz \(E(x)/(x-a)\to 0\) quando \(x\to a\). É nesse sentido que ele fornece a melhor aproximação afim local.
Demonstração▼
Seja \(q(x)=d+m(x-a)\) uma função afim e defina \(E(x)=f(x)-q(x)\). Suponha que
\[ \lim _{x\to a}\frac{E(x)}{x-a}=0. \]
Para \(x\neq a\), temos \(E(x)=(x-a)\, E(x)/(x-a)\), de modo que \(E(x)\to 0\). Como \(f\) é diferenciável em \(a\), ela é contínua nesse ponto; como \(q\) também é contínua, \(E=f-q\) é contínua em \(a\). Logo, \(E(a)=0\) e, portanto, \(d=f(a)\).
Assim,
\[ f(x)-f(a)=m(x-a)+E(x). \]
Dividindo por \(x-a\) e tomando o limite,
\[ f'(a) = m+\lim _{x\to a}\frac{E(x)}{x-a} = m. \]
Portanto, \(q=P_1\), o que prova a unicidade.
A aproximação linear reproduz o valor e a inclinação de \(f\) no ponto de expansão, mas não incorpora a concavidade. Para registrar também a derivada segunda, suponha que \(f\) seja duas vezes diferenciável e procuremos um polinômio quadrático \(P_2\). Procuramos um polinômio \(P_2(x) \), de grau no máximo \(2\), tal que
Ou seja, quando \( x \rightarrow a ,\) o erro \( E_2(x) \) tende a zero mais rapidamente que \( (x-a)^2.\) Definimos o polinômio de Taylor de ordem 2 de \(f(x)\) ao redor de \(a\) por
Novamente, podemos provar que \(P_2\) é o polinômio de grau no máximo \(2\) que melhor aproxima localmente \(f(x)\) ao redor de \(a.\)
11.9.2 Polinômio de Taylor de ordem \(n\)
As aproximações de primeira e segunda ordem seguem um mesmo princípio: fazer o polinômio concordar com a função e suas derivadas no ponto de referência. Podemos repetir essa construção até uma ordem qualquer, desde que existam as derivadas necessárias.
Suponha que \(f\) tenha derivadas até a ordem \(n\) no ponto \(x = 0\), em que \(n\gt 1\). Encontraremos um polinômio
\[ P_n(x)=c_0+c_1x+\cdots +c_nx^n \]
que concorda com \(f\) e suas primeiras \(n\) derivadas em 0. Há \(n + 1\) condições a serem satisfeitas, ou seja,
\(P_5(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{5}\binom {\alpha }{k}x^k\), com \(\binom {\alpha }{0}=1\).
No item 7, o índice da raiz é a própria variável: \(\sqrt[x]{x}=x^{1/x}\) para \(x\gt 0\). No item 9, os coeficientes também podem ser escritos como \(\binom \alpha k=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)/k!\) para \(k\geq 1\).
Exercício 11.45
Quantos termos do polinômio de Taylor são necessários para aproximar \( e \) com erro inferior a \(10^{-5}\)? Ver solução
São necessários nove termos, de \(1/0!\) até \(1/8!\). O resto satisfaz \(0\lt E_8(1)\lt 3/9!\lt 10^{-5}\). Oito termos não bastam, pois \(E_7(1)\gt 1/8!\gt 10^{-5}\); somas anteriores têm erro ainda maior, porque todos os termos omitidos são positivos.
Exercício 11.46
Usando polinômios de Taylor, calcule \(\cos (1)\) com erro em módulo inferior a \(10^{-4}\) Ver solução
O polinômio de ordem \(7\) coincide com o de ordem \(6\):
Essa aproximação tem precisão limitada: uma calculadora mostra que \(\ln 2 \approx 0{,}693147.\) O gráfico na Figura 11.40 mostra que \(P_6(x)\) fornece aproximações menos precisas de \(\ln x\) quando \(x\) fica próximo de 0 ou 2. O polinômio de ordem \(20\) também pode fornecer aproximações pouco precisas quando \(x\) ultrapassa \(2\), como mostra a Figura 11.41. Para cada \(x\gt 2\) fixo, os termos \((x-1)^n/n\) não tendem a zero; por isso, aumentar a ordem indefinidamente não produz convergência para \(\ln x\). As estimativas de resto a seguir quantificam o erro de cada aproximação finita.
Figura11.40O polinômio de Taylor de ordem 6 aproxima \(\ln x\) perto do centro \(x=1\).
Figura11.41Mesmo em ordem 20, o polinômio centrado em \(x=1\) aproxima \(\ln x\) apenas dentro de seu intervalo de convergência. Para entendermos por que a aproximação acima falha, precisamos entender a precisão com que uma função é aproximada por polinômios de Taylor. Para esse fim, definimos o erro como
\[ E_n(x) = f(x) - P_n(x), \]
sendo \(f(x) \) a função dada e \( P_n(x)\) o polinômio de Taylor de grau \(n\) ao redor de \(a.\) A fórmula de Taylor com resto de Lagrange quantifica esse erro.
Teorema 11.68 (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange)
Seja \(f\) uma função \((n+1)\) vezes diferenciável em um intervalo aberto \(I\) que contém \(a\). Para cada \(x\in I\), \(x\neq a\), existe um ponto \(\xi \) estritamente entre \(a\) e \(x\) tal que
Em particular, se \(|f^{(n+1)}(t)|\leq M\) no segmento entre \(a\) e \(x\), então
\[ |E_n(x)|\leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}. \]
Para \(x=a\), o erro é zero.
Exemplo 11.69
Use o Teorema 11.68 para estimar o erro cometido ao aproximar \(\ln 1{,}5\) e \(\ln 2\) por \(P_6(x)\), o polinômio de Taylor de grau 6 de \(f(x)=\ln x\) centrado em \(x=1\), como calculado no Exemplo 11.67.
Solução
A derivada de ordem \(7\) de \(f(t)=\ln t\) é \(f^{(7)}(t)=6!/t^7\), positiva para \(t\gt 0\). Para as duas avaliações, o segmento entre o centro \(a=1\) e o ponto considerado está contido em \([1,2]\). Nesse segmento, \(0\lt f^{(7)}(t)\leq 6!=720\). Podemos usar esse limite diretamente, sem procurar um máximo em um intervalo aberto.
Como \(P_6(1{,}5)=0{,}4046875\) e \(\ln (1{,}5)\approx 0{,}4054651081\), o erro real é aproximadamente \(0{,}0007776081\), menor que o limite estimado. O sinal do resto também mostra que o polinômio subestima o logaritmo nesse ponto.
O erro real é aproximadamente \(0{,}0764805\). A estimativa é menos precisa que a anterior: embora a derivada tenha o mesmo limite superior, a distância ao centro aumentou de \(1/2\) para \(1\), e aparece elevada à sétima potência na fórmula do resto.
Exemplo 11.70
Quantos termos do polinômio de Taylor são necessários para aproximar \( e \) com um erro inferior a \(10^{-5}\)?
Solução
Queremos que \(E_n(1) \lt 10^{-5} .\) Logo, basta tomar \(n \) tal que \( \dfrac {3}{(n+1)!} \lt 10^{-5}, \) ou seja, tal que \( (n+1)! \gt 3(10^5).\) O menor grau que satisfaz essa estimativa é \(n=8\). Portanto, bastam nove termos, de \(1/0!\) a \(1/8!\), pois \(3/9!\lt 10^{-5}\).
11.9.3 \(\star \) Irracionalidade de e
O controle do erro de Taylor permite ir além do cálculo aproximado. Aplicado à função exponencial, ele fornece uma representação de \(e\) que usaremos para provar sua irracionalidade. Começaremos estabelecendo essa representação:
Como vimos, o polinômio de Taylor de ordem \(n\) ao redor do zero da função \(f(x) = e^x \) é \( \displaystyle P_n(x) = 1 + x + \dfrac {x^2}{2} + \dfrac {x^3}{3!} + \dfrac {x^4}{4!} +\cdots + \dfrac {x^n}{n!}. \) Observe que para \(x\in [0,1],\, 0 \leq e^x = f^{(n+1)}(x) \leq e \lt 3.\) Pelo Teorema 11.68, o erro da aproximação é dado por
O primeiro termo é um número inteiro, e cada fração na soma é realmente um número inteiro porque \( n \leq b \) para cada termo. Portanto, \( x \) é um número inteiro. Agora, demonstraremos que \(0 \lt x \lt 1\). Primeiramente, provaremos que \(x\) é positivo; para isso, utilizaremos a representação de \(e\) em série obtida anteriormente, obtendo
A igualdade ocorre para \(n=b+1\); a desigualdade é estrita para todo \(n\geq b+2\). Por isso, a desigualdade entre as somas será estrita. Alterando o índice de soma para \(k =n-b \) e utilizando a fórmula da série geométrica, obtemos
Como não existe inteiro estritamente entre 0 e 1, chegamos a uma contradição e, assim, \(e\) deve ser irracional.
11.9.4 \(\star \) Demonstração da Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange
As estimativas anteriores dependeram de uma expressão precisa para o resto de Taylor. Nesta subseção reunimos material técnico para a análise de aproximações de ordem superior; ela pode ser omitida em uma primeira leitura.
Antes da demonstração do resto de Lagrange, registramos uma versão de ordem \(n\) do Teorema do Valor Médio de Cauchy. Este é o Teorema do Valor Médio de Cauchy Generalizado, distinto do resultado de primeira ordem usado anteriormente na demonstração da regra de L’Hôpital. Ele organiza, em uma única identidade, a comparação entre restos de Taylor de duas funções.
Teorema 11.73 (Teorema do Valor Médio de Cauchy Generalizado)
Sejam \(a\lt b\), \(n\geq 1\) inteiro e \(f,g\) funções \(n\) vezes diferenciáveis em \((a,b)\), com \(f^{(k)}\) e \(g^{(k)}\) contínuas em \([a,b]\) para \(k=0,\ldots ,n-1\). Nos extremos, as derivadas são entendidas lateralmente. Suponha \(c\in [a,b]\). Então, para cada \(x\in [a,b]\), com \(x\neq c\), existe \(x_1\) entre \(c\) e \(x\) tal que
Substituindo \(t=x_1\) e cancelando o fator não nulo \((x-x_1)^{n-1}/(n-1)!\), obtemos a fórmula desejada. Se \(x\lt c\), aplicamos Cauchy a \(F\) e \(G\) em \([x,c]\); a inversão dos extremos troca o sinal das duas diferenças, e o mesmo cancelamento fornece a identidade. Para \(n=1\), as somas vazias valem zero.
Demonstramos agora a fórmula enunciada no Teorema 11.68.
Rolle aplicado entre \(a\) e \(x\) fornece \(c_1\) estritamente entre esses pontos, com \(\phi ^{\prime }(c_1)=0\). Como também \(\phi ^{\prime }(a)=0\), uma nova aplicação, agora a \(\phi ^{\prime }\), fornece \(c_2\) entre \(a\) e \(c_1\), com \(\phi ^{\prime \prime }(c_2)=0\). Repetindo o argumento, usando \(\phi ^{(j)}(a)=0\) em cada etapa, obtemos \(c_{n+1}\) entre \(a\) e \(x\), com \(\phi ^{(n+1)}(c_{n+1})=0\). Cada aplicação é válida porque a derivada da etapa é contínua no segmento e diferenciável no interior. Tome \(\xi =c_{n+1}\). Portanto,
Determine intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade e pontos de inflexão de \(f(x)=x^3-3x^2-9x+2\). Use essas informações para fazer um esboço qualitativo. Ver solução
\(f'=3(x+1)(x-3)\): a função cresce em \((-\infty ,-1)\) e \((3,\infty )\) e decresce em \((-1,3)\). Há máximo local em \((-1,7)\) e mínimo local em \((3,-25)\). Como \(f''=6(x-1)\), a concavidade é para baixo em \((-\infty ,1)\) e para cima em \((1,\infty )\), com inflexão em \((1,-9)\).
Exercício 11.49
Encontre máximos e mínimos absolutos de \(f(x)=x+4/x\) no intervalo fechado \([1/2,6]\). Explique por que os extremos também exigem a verificação dos extremos do intervalo. Ver solução
Os candidatos são \(x=2\) e os extremos \(1/2\) e \(6\). Como \(f(1/2)=17/2\), \(f(2)=4\) e \(f(6)=20/3\), o máximo absoluto é \(17/2\) em \(x=1/2\) e o mínimo absoluto é \(4\) em \(x=2\). O teorema dos extremos exige comparar também os extremos do intervalo fechado.
Exercício 11.50
Um cartaz deve ter área impressa de \(432\) cm\(^2\), margens laterais de \(3\) cm e margens superior e inferior de \(4\) cm. Determine as dimensões que minimizam a área total de papel.
Ver solução
Se a região impressa mede \(x\) por \(y\), então \(xy=432\) e a área do papel é
\[ A(x)=(x+6)(432/x+8)=480+8x+2592/x. \]
Seu mínimo ocorre em \(x=18\, \mathrm{cm}\), quando \(y=24\, \mathrm{cm}\). Logo, o papel deve medir \(24\, \mathrm{cm}\times 32\, \mathrm{cm}\).
Exercício 11.51
A receita \(R(q)=120q-0{,}4q^2\) e o custo \(C(q)=18q+900\) estão em reais, para \(q\geq 0\) unidades. Determine a produção que maximiza o lucro e o lucro máximo. Ver solução
\(L(q)=R(q)-C(q)=-0{,}4q^2+102q-900\). O vértice ocorre em \(q=127{,}5\) e fornece \(L_{\max }=R\$ \, 5\, 602{,}50\). Se \(q\) precisar ser inteiro, \(127\) e \(128\) devem ser comparados; ambos dão \(R\$ \, 5\, 602{,}40\).
Exercício 11.52
Use a regra de L’Hôpital, quando aplicável, para calcular
No primeiro limite, duas aplicações de L’Hôpital dão \(\lim 4e^{2x}/2=2\). No segundo, uma aplicação fornece \(\lim _{x\to \infty }2/\sqrt{x}=0\).
Exercício 11.53
Um cabo de fibra tem a temperatura, em graus Celsius, \(T(x)=20+7xe^{-x/4}\), onde \(x\geq 0\) está em metros a partir de um conector. Localize o ponto de maior temperatura e interprete o comportamento para valores grandes de \(x\). Ver solução
\(T'(x)=7e^{-x/4}(1-x/4)\), logo a temperatura máxima ocorre a \(4\, \mathrm m\) do conector e vale \(20+28/e\approx 30{,}30\, {}^\circ \mathrm C\). Quando \(x\to \infty \), \(T(x)\to 20\, {}^\circ \mathrm C\).
Exercício 11.54
Obtenha o polinômio de Taylor de grau \(2\) de \(\ln x\) centrado em \(x=1\) e use-o para aproximar \(\ln (1{,}06)\). Ver solução
Para \(f(x)=x^2e^{-x}\), calcule \(f(0)\), \(f'(0)\), \(f''(0)\) e \(f^{(3)}(0)\) e escreva o polinômio de Taylor de grau \(3\) em torno de \(0\). Ver solução
\(f(0)=0\), \(f'(0)=0\), \(f''(0)=2\) e \(f^{(3)}(0)=-6\). Assim, \(P_3(x)=x^2-x^3\).
Exercício 11.56
Explique por que uma função contínua em \([a,b]\), diferenciável em \((a,b)\) e com derivada positiva em todo \((a,b)\) não pode assumir o mesmo valor em dois pontos diferentes do intervalo. Ver solução
Se \(x_1\lt x_2\), o Teorema do Valor Médio fornece \(c\in (x_1,x_2)\) tal que \(f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)\gt 0\). Logo, \(f(x_2)\gt f(x_1)\) e dois pontos distintos não podem ter a mesma imagem.
![Intervalo fechado [-1,2] f(2)=4: máximo atingido. Intervalo aberto (-1,2) sup f=4, mas não há máximo. Figura 11.3 Em [-1,2], x^2 atinge mínimo e máximo; em (-1,2), atinge o mínimo, mas não o supremo 4.](figures/lka1-6d6b7aff.svg)
![Intervalo fechado [-1,2] f(2)=4: máximo atingido. Intervalo aberto (-1,2) sup f=4, mas não há máximo. Figura 11.3 Em [-1,2], x^2 atinge mínimo e máximo; em (-1,2), atinge o mínimo, mas não o supremo 4.](figures/lka2-09cd6a26.svg)
![Figura 11.5 Gráfico de g(x)=x-√[3]x e seus pontos críticos.](figures/inl-c11-aplicacoesdederivadas-007.svg)
![Figura 11.7 Gráfico de f(x)=3x^4-4x^3-8 no intervalo [-1,2].](figures/lka3-1f0edd9f.svg)
![Figura 11.33 Construção do esboço de f(x)=x+2√[3]x^2.](figures/inl-c11-fuvpanel-004-v5-png.png)
