A vida deve ser compreendida para trás. [...] Mas deve ser vivida para a frente.
Conhecer a velocidade de um móvel permite descrever como sua posição varia, mas não informa de onde ele partiu. Da mesma forma, a vazão de uma tubulação descreve a variação do volume de água de um reservatório, sem determinar quanto havia nele inicialmente. Nos dois casos, conhecemos uma derivada e procuramos recuperar a função que lhe deu origem. Esse problema conduz às antiderivadas. As regras de derivação fornecem as primeiras fórmulas; a regra da cadeia e a regra do produto, lidas no sentido inverso, dão origem a duas técnicas fundamentais de integração. Ao longo do capítulo, veremos como reconhecer essas estruturas e como uma informação adicional seleciona uma função entre todas as que têm a mesma derivada.
12.1 Integral indefinida
O problema inverso da diferenciação é recuperar uma função a partir de sua derivada. Dada uma função \(f\), procuramos uma função \(F\) tal que
\begin{equation*} F’(x)=f(x). \end{equation*}
Por exemplo, a equação \(F'(x)=2x\) é satisfeita por \(F(x)=x^2\), mas também por \(F(x)=x^2+1\) e por \(F(x)=x^2-3\). A derivação elimina as constantes; por isso, ao inverter esse processo, encontramos uma família de funções, e não uma única resposta.
Definição 12.1
Uma função \(F\) definida em um intervalo aberto \(I\) é uma primitiva, ou antiderivada, de \(f\) em \(I\) se
\[ F'(x)=f(x)\qquad \text{para todo }x\in I. \]
O conjunto de todas as primitivas de \(f\) em \(I\) é denominado integral indefinida de \(f\) e é denotado por
\[ \int f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
A expressão \(f(x)\) é o integrando, e \(x\) é a variável de integração. A igualdade \(F'=f\) é também o critério para conferir uma resposta: basta derivar a função encontrada e recuperar o integrando. Em particular, uma primitiva é necessariamente derivável e, portanto, contínua.
Nem toda função possui uma primitiva em um intervalo. Mais adiante, o Teorema Fundamental do Cálculo garantirá a existência de primitivas para as funções contínuas.
Figura12.1Três primitivas de \(x^2\). A translação vertical altera os valores da função, mas preserva as inclinações das tangentes.
Se \(F\) é uma primitiva de \(f\), então \(F+C\) também é, para qualquer constante \(C\). Há ainda uma afirmação importante: em um intervalo, não existem outras possibilidades. De fato, se \(G'=F'\), então \((G-F)'=0\). Pelo Corolário 11.18, obtido do Teorema do Valor Médio, a diferença \(G-F\) é constante nesse intervalo. Assim, escrevemos
Geometricamente, os gráficos das primitivas são translações verticais uns dos outros. A função \(f\) determina suas inclinações em cada abscissa; a constante \(C\) determina a posição vertical do gráfico.
A constante descreve a família representada na Figura 12.1. Todas essas funções têm tangente horizontal em \(x=0\), pois a derivada se anula nesse ponto; seus valores em \(0\), porém, podem ser diferentes.
12.1.1 Regras básicas de integração
O raciocínio do exemplo anterior se estende às potências. Aumentamos o expoente em uma unidade para compensar a diminuição produzida pela derivação e, em seguida, dividimos pelo novo expoente para compensar o fator que surgirá.
Proposição 12.2
Para \(n\in \mathbb R\), \(n\neq -1\), e \(x\gt 0\), vale
A divisão é possível porque \(n+1\neq 0\). Como a adição de uma constante não altera a derivada, a expressão descreve todas as primitivas no intervalo considerado.
O caso \(n=-1\) não cabe nessa fórmula: o denominador seria zero. A primitiva de \(1/x\) vem de outra regra de derivação, a do logaritmo. Para expoentes inteiros, ou racionais com denominador ímpar, a regra da potência também pode ser utilizada em intervalos negativos nos quais as expressões estejam definidas.
As demais fórmulas básicas são obtidas da mesma maneira. A tabela a seguir reúne tanto as fórmulas imediatas quanto algumas formas que serão reconhecidas mais facilmente depois de uma mudança de variável.
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Proposição 12.3 (Tabela de integrais indefinidas)
As fórmulas valem em intervalos nos quais os integrandos estão definidos. Na regra da potência, \(n\neq -1\); para expoentes reais arbitrários, tomamos \(x\gt 0\). Na fórmula exponencial, \(a\gt 0\) e \(a\neq 1\); nas demais fórmulas que contêm o parâmetro \(a\), supomos \(a\gt 0\).
Cada identidade pode ser verificada por derivação. Por exemplo, o fator \(1/\ln a\) na primitiva de \(a^x\) compensa o fator \(\ln a\) que aparece ao derivar a exponencial. Mais adiante, a substituição explicará os fatores de escala das fórmulas com \(a\).
Exemplo 12.4 (Conferir uma primitiva proposta)
As igualdades abaixo foram propostas como respostas a integrais indefinidas. Verifique cada uma por derivação, sem refazer a integração. Nos casos corretos, explique como respostas aparentemente diferentes podem representar a mesma família de primitivas.
Logo, a fórmula é falsa. A derivação refuta a fórmula nos dois intervalos em que a expressão proposta está definida.
Uma primitiva pode existir sem que seja possível escrevê-la por meio de funções elementares. Mais adiante, o Teorema Fundamental do Cálculo garantirá a existência de primitivas para funções contínuas.
Ideia
Uma forma algébrica diferente não torna uma resposta errada. Podemos verificar uma primitiva derivando a expressão proposta, mesmo sem saber como encontrá-la.
Exemplo 12.5
Calcule as seguintes antiderivadas. a \(\displaystyle \int 1\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) b \(\displaystyle \int x^4\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) c \(\displaystyle \int \frac1{x^5}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) d \(\displaystyle \int \sqrt x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\)
Solução
As quatro integrais são casos da regra da potência. Para reconhecer os dois últimos, convém escrever o quociente e a raiz como potências de \(x\).
Como \(1=x^0\), obtemos \(\displaystyle \int 1\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=x+C\). Uma função com derivada constantemente igual a \(1\) tem gráfico retilíneo, de inclinação \(1\).
Para \(n=4\), a regra fornece \(\displaystyle \int x^4\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=x^5/5+C\).
A expressão encontrada admite extensão contínua a \(0\).
A derivação preserva somas e fatores constantes. Ao recuperar uma função a partir de sua derivada, podemos usar essas mesmas propriedades para separar um integrando em parcelas conhecidas.
Teorema 12.6 (Linearidade da integral indefinida)
Se \(F_1\) e \(F_2\) são primitivas de \(f_1\) e \(f_2\) em um mesmo intervalo e \(a\in \mathbb R\), então \(F_1+F_2\) é uma primitiva de \(f_1+f_2\) e \(aF_1\) é uma primitiva de \(af_1\). Em particular,
Assim, as expressões exibidas descrevem as famílias de primitivas correspondentes. Quando \(a=0\), a segunda família é precisamente a das funções constantes.
As constantes que surgiriam ao integrar cada parcela podem ser reunidas em uma única constante final. A linearidade, entretanto, não fornece uma regra análoga para produtos: integrar separadamente os fatores e multiplicar as respostas não é, em geral, válido.
Exemplo 12.7
Calcule a antiderivada de \(f(x)=3x^4-\operatorname {sen}x+6/\sqrt{2x}\).
Solução
As duas primeiras parcelas já aparecem na tabela. Na terceira, precisamos separar a constante que está dentro da raiz e escrever o restante como potência. Para \(x\gt 0\),
O termo \(\cos x\) aparece com sinal positivo porque sua derivada é \(-\operatorname {sen}x\). Para conferir o fator da última parcela, usamos a regra da cadeia: \((6\sqrt{2x})'=6/\sqrt{2x}\).
Exemplo 12.8
Calcule a antiderivada de \(f(x)=x^{2/3}-3e^x+6/x\).
Solução
Novamente integramos termo a termo. O primeiro termo usa a regra da potência, o segundo usa a primitiva da exponencial e o terceiro exige o logaritmo, pois tem expoente \(-1\):
\[ \int \left(x^{2/3}-3e^x+\frac6x\right)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac35x^{5/3}-3e^x+6\ln |x|+C. \]
As potências com denominador \(3\) são entendidas por meio da raiz cúbica real. A restrição de domínio vem do termo \(1/x\): trabalhamos em \((-\infty ,0)\) ou em \((0,\infty )\). A constante escolhida em um desses intervalos não determina a do outro.
Até aqui, as fórmulas foram usadas diretamente. Quando o argumento é uma expressão afim \(ax+b\), a regra da cadeia introduz o fator constante \(a\). Compensar esse fator permite estender imediatamente a tabela.
Proposição 12.9
Se \(F\) é uma primitiva de \(f\) e \(a\neq 0\), então, em cada intervalo no qual \(ax+b\) pertence ao domínio de \(f\),
O fator \(1/a\) compensa exatamente a derivada da função interna.
Exemplo 12.10
Calcule a antiderivada de \(f(x)=1/(x+1)\).
Solução
A expressão tem a mesma forma de \(1/x\), mas seu argumento é \(x+1\). Como a derivada desse argumento é \(1\), nenhuma correção multiplicativa é necessária:
O módulo permite usar a fórmula tanto para \(x\gt -1\) quanto para \(x\lt -1\). A verificação é \((\ln |x+1|)'=1/(x+1)\), em cada um desses intervalos.
Exemplo 12.11
Calcule a antiderivada de \(f(x)=\cos (2x+1)\).
Solução
A primitiva de \(\cos x\) é \(\operatorname {sen}x\), o que sugere tentar \(\operatorname {sen}(2x+1)\). Sua derivada, porém, é \(2\cos (2x+1)\). Precisamos dividir por \(2\):
O termo constante \(1\) não altera a derivada do argumento; é a multiplicação de \(x\) por \(2\) que exige a compensação. Essa observação será ampliada no método de substituição.
As primitivas também permitem reconstruir uma grandeza quando conhecemos sua taxa de variação. Nesse contexto, a constante de integração guarda uma informação que não está contida na taxa.
Exemplo 12.12 (A vazão e o volume de um reservatório)
Um reservatório contém inicialmente \(40\) litros de água. Durante os primeiros cinco minutos, uma bomba fornece \(6\) litros por minuto, enquanto outra retira água à taxa de \(2t\) litros por minuto, sendo \(t\) o tempo, em minutos, desde o início da operação. Determine o volume de água no instante \(t\) e o instante em que esse volume é máximo.
Figura12.2O volume varia de acordo com a diferença entre a vazão de entrada e a de saída.
Solução
Se \(V(t)\) representa o volume, sua taxa de variação é a vazão líquida, isto é, a entrada menos a saída:
\[ V'(t)=6-2t,\qquad 0\leq t\leq 5. \]
Procuramos, portanto, uma primitiva dessa função. Pela linearidade,
\[ V(t)=6t-t^2+C. \]
A taxa determina as parcelas que dependem do tempo, mas não o volume inicial. A informação \(V(0)=40\) fornece \(C=40\); logo,
\[ V(t)=40+6t-t^2. \]
Enquanto \(t\lt 3\), a entrada supera a saída e \(V'(t)\gt 0\); depois de \(t=3\), ocorre o contrário. Assim, o volume máximo é
\[ V(3)=49\ \text{litros}. \]
Ao final dos cinco minutos, ainda há \(V(5)=45\) litros. A vazão líquida negativa depois do terceiro minuto significa que o reservatório está perdendo água, não que seu volume seja negativo. O modelo foi especificado somente para os primeiros cinco minutos; não há motivo para prolongar automaticamente essa operação para tempos posteriores.
Exercício 12.1
Considere duas funções deriváveis \(F\) e \(G\) propostas como primitivas de uma mesma função \(f\) em um intervalo \(I\). Como verificar se ambas estão corretas? Caso estejam, que relação deve existir entre elas? Ver solução
Calcule a derivada de cada expressão e verifique se ambas coincidem com o integrando dado. Se isso ocorre, a derivada da diferença é zero; portanto, em cada intervalo do domínio, as duas primitivas diferem por uma constante. Por exemplo, \(x^2/2\) e \((x^2+1)/2\) são primitivas de \(x\) e diferem pela constante \(1/2\).
Exercício 12.2 (Uma condição inicial alcança todo o domínio?)
No conjunto \(D=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )\), duas funções satisfazem \(F'(x)=G'(x)=2x\). Sabe-se ainda que \(F(1)=G(1)=1\).
Essas informações obrigam \(F\) e \(G\) a coincidir em todo \(D\)? Construa um exemplo que sustente sua resposta.
Que informação adicional seria suficiente para garantir que \(F\) e \(G\) coincidam também em \((-\infty ,0)\)?
Ver solução
Em \((0,\infty )\), ambas são \(x^2\). No outro intervalo, a constante é independente: podemos tomar \(F(x)=x^2\) em todo \(D\) e \(G(x)=x^2+3\) para \(x\lt 0\), mantendo \(G(x)=x^2\) para \(x\gt 0\). Basta impor igualdade em um ponto negativo, por exemplo \(F(-1)=G(-1)\): a diferença tem derivada nula em cada intervalo, mas o ponto \(1\) não determina a constante do intervalo negativo.
Exercício 12.3 (Uma primitiva a partir do gráfico de sua derivada)
A figura mostra o gráfico de uma função \(f\) em \([0,4]\). Seja \(F\) uma antiderivada de \(f\), isto é, \(F'=f\).
Em que intervalos \(F\) é crescente? E decrescente?
Em que pontos \(F\) tem extremos locais? Classifique-os.
Onde o gráfico de \(F\) é côncavo para cima? Onde há inflexão?
Um estudante afirma que \(F\) tem mínimo em \(x=2\), porque é aí que \(f\) tem mínimo. Explique o erro.
Esboce dois gráficos possíveis para \(F\). Como eles se relacionam?
Ver solução
Crescente em \([0,1]\) e \([3,4]\), onde \(f\ge 0\); decrescente em \([1,3]\).
Máximo local em \(x=1\) e mínimo local em \(x=3\), onde \(f\) muda de sinal.
\(F''=f'\): côncavo para baixo em \([0,2]\) (onde \(f\) decresce) e para cima em \([2,4]\); inflexão em \(x=2\).
Os extremos de \(F\) estão onde \(f=F'\) muda de sinal, não onde \(f\) é mínima. O mínimo de \(f\) corresponde ao ponto de inflexão de \(F\), onde \(F\) decresce mais depressa.
Duas antiderivadas diferem por uma constante; seus gráficos são translações verticais um do outro. (Aqui \(F(x)=\tfrac {x^3}3-2x^2+3x+C\).)
Exercício 12.4
Calcule as integrais indefinidas. No item com expoente \(n\), considere \(n\in \mathbb R\), trabalhe inicialmente em \(x\gt 0\) e trate \(n=-1\) separadamente.
No item 3, a fórmula exibida requer \(n\neq -1\) e \(x\gt 0\) para expoente real arbitrário; para \(n=-1\), a resposta é \(\ln |x|+C\), em cada lado de \(0\). Nos itens 7 e 8, as potências com denominadores ímpares designam raízes reais; as fórmulas também valem para \(x\lt 0\) e estendem-se a \(0\). No item 17, usamos \(\operatorname {sen}^2x=(1-\cos 2x)/2\).
Exercício 12.5
Neste problema, investigamos por que \(\displaystyle \int \frac1x\mathop{}\! \mathrm{d} x = \ln |x| + C\).
Qual o domínio de \(y = \ln x\)?
Encontre \(\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)\).
Qual o domínio de \(y = \ln (-x)\)?
Encontre \(\frac{d}{dx}\big(\ln (-x)\big)\).
Use os resultados anteriores para escrever uma única fórmula para \(\displaystyle \int \frac1x\mathop{}\! \mathrm{d} x\), válida tanto para \(x\gt 0\) quanto para \(x\lt 0\). Explique como interpretar a constante de integração nos dois intervalos.
Ver solução
\((0,\infty )\).
\(1/x\), para \(x\gt 0\).
\((-\infty ,0)\).
Pela regra da cadeia, \((\ln (-x))'=(-1)/(-x)=1/x\), para \(x\lt 0\).
Em cada um dos dois intervalos, \(\int (1/x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\ln |x|+C\). Para descrever todas as primitivas no domínio desconexo \(\mathbb R\setminus \{ 0\} \), podemos escolher constantes independentes \(C_-\) para \(x\lt 0\) e \(C_+\) para \(x\gt 0\).
Exercício 12.6 (Uma taxa com salto tem primitiva?)
Uma bomba transfere líquido a uma taxa idealizada (em litros por minuto) dada por
Existe algum valor de \(a\) para o qual \(q\) tenha uma primitiva no intervalo \((0,2)\)? Justifique.
Construa uma função contínua \(V:[0,2]\to \mathbb {R}\), com \(V(0)=0\), cuja derivada seja \(q(t)\) para todo \(t\in (0,2)\), \(t\ne 1\). Ela pode representar o volume acumulado transferido até o instante \(t\)? O que ocorre no instante \(t=1\)?
pois duas funções com a mesma derivada num intervalo diferem por uma constante. Para ser derivável em \(1\), \(F\) deve ser contínua, de modo que \(F(1)=2+C_1=4+C_2\). Mas suas derivadas laterais seriam, respectivamente, \(2\) e \(4\). Logo, \(F'(1)\) não existe, qualquer que seja o valor escolhido para \(a\).
A função é contínua, satisfaz \(V(0)=0\) e, fora de \(t=1\), tem derivada \(q\). Ela representa a quantidade acumulada do modelo. Embora seja contínua na mudança instantânea de regime, não possui derivada nesse instante.
Exercício 12.7
Encontre a família de primitivas, em cada intervalo do domínio, de
\[ 6x^5-\frac4{x^3}+3\cos x-2e^x. \]
Diferencie a resposta para conferi-la. Ver solução
\(x^6+2/x^2+3\operatorname {sen}x-2e^x+C\), em cada intervalo que não contém \(0\). A derivada dessa expressão é o integrando dado.
Exercício 12.8 (Uma taxa periódica produz uma quantidade periódica?)
Seja \(F:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) derivável e suponha que \(F'\) tenha período \(T\gt 0\).
Mostre que existe uma constante \(k\) tal que
\[ F(x+T)-F(x)=k\qquad (x\in \mathbb {R}). \]
Mostre que \(T\) é período de \(F\) se, e somente se, \(F(T)=F(0)\). Somar uma constante a \(F\) pode torná-la periódica com esse período?
Compare as primitivas de \(f(x)=\cos x\) e \(g(x)=2+\cos x\) para \(T=2\pi \). No segundo caso, alguma primitiva pode ter outro período positivo?
Ver solução
A função \(D(x)=F(x+T)-F(x)\) satisfaz \(D'(x)=F'(x+T)-F'(x)=0\). Pelo Teorema do Valor Médio, \(D\) é constante em toda a reta, com valor \(k=D(0)=F(T)-F(0)\).
Por a), a periodicidade de \(F\) com período \(T\) equivale a \(k=0\), ou seja, \(F(T)=F(0)\). Somar uma constante não modifica a diferença \(F(x+T)-F(x)\).
Na primeira família, \(2\pi \) é período. Na segunda, \(k=4\pi \ne 0\). Além disso, \(2x+\operatorname {sen}x+C\) é ilimitada quando \(x\to +\infty \); não pode ter outro período positivo, pois toda função contínua e periódica na reta é limitada.
12.2 Integração por substituição
Como encontrar uma primitiva quando o integrando combina uma função composta com a derivada da função interna? A regra da cadeia, lida no sentido inverso, sugere uma mudança de variável que torna essa estrutura mais simples.
A regra da cadeia explica por que, ao derivar uma composição, aparece a derivada da função interna. Por exemplo,
\[ \bigl(e^{x^2}\bigr)'=e^{x^2}\, 2x. \]
Lendo essa igualdade no sentido inverso, reconhecemos uma primitiva de \(2xe^{x^2}\). A integração por substituição organiza esse reconhecimento: damos um novo nome à função interna e transformamos, junto com ela, o fator que acompanha a composição.
Figura12.3Se \(F'=f\), a regra da cadeia fornece \((F\circ g)'(x)=f(g(x))g'(x)\). A substituição percorre essa relação no sentido inverso.
Portanto, a presença de \(g'(x)\) no integrando permite recuperar a composição \(F\circ g\). Um fator constante a mais ou a menos pode ser compensado pela linearidade, como já fizemos com argumentos lineares.
Teorema 12.13 (Método de substituição)
Se \(F\) é uma primitiva de \(f\) em um intervalo \(J\) e \(g:I\to J\) é derivável em um intervalo aberto \(I\), então
com a substituição de \(u\) por \(g(x)\) na resposta final.
Demonstração▼
A identidade obtida pela regra da cadeia mostra que \(F\circ g\) é uma primitiva do integrando em \(I\). Como \(I\) é um intervalo, todas as primitivas diferem dessa função por uma constante.
A notação \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=g'(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\) registra a transformação que a regra da cadeia justifica. Ela não autoriza trocar somente o nome de uma parte do integrando: é preciso reescrever a integral inteira na nova variável.
O argumento do seno é \(x^2+5\), cuja derivada é \(2x\). O fator \(x\) que aparece fora do seno difere dessa derivada apenas por uma constante; por isso, a escolha x^2+52x d x é conveniente. Como \(x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac12\mathop{}\! \mathrm{d} u\), obtemos
Nem toda substituição serve apenas para reconhecer a derivada de uma composição. Às vezes, sua utilidade está em simplificar uma raiz ou outra expressão, mesmo que ainda seja necessário reorganizar o restante do integrando.
O ganho não foi eliminar imediatamente todos os fatores, mas transformar o produto em uma soma de potências. Deixar \(x\sqrt u\) na integral intermediária não concluiria a mudança de variável, pois \(x\) também depende de \(u\). A fórmula vale para \(x\gt -3\) e se estende continuamente a \(-3\).
Nos próximos exemplos, essas duas possibilidades reaparecem: reconhecer uma derivada já presente ou reescrever os fatores restantes depois da substituição.
Embora o expoente também possa ser escrito como \((x+1)^2\), não é necessário desenvolvê-lo nem fatorá-lo: o que importa é a correspondência entre ele e sua derivada.
Como a raiz é de ordem ímpar, o integrando é real para todo \(x\). A potência \(u^{6/5}\) é entendida como \((\sqrt[5]u)^6\); a fórmula também é válida quando \(u\) é negativo ou nulo.
A raiz sugere \(u=x+1\). Como no exemplo com \(x\sqrt{x+3}\), precisamos transformar o fator polinomial inteiro: \(x^2=(u-1)^2\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=\mathop{}\! \mathrm{d} u\). Só então desenvolvemos o quadrado:
A expressão final é uma primitiva para \(x\gt -1\), com extensão contínua a \(-1\). O aumento do grau do polinômio acrescentou parcelas à conta, mas não mudou a escolha da substituição.
A raiz real exige \(\operatorname {sen}x\geq 0\). Trabalhamos inicialmente em um intervalo \((2k\pi ,(2k+1)\pi )\), com \(k\in \mathbb {Z}\), no qual \(\operatorname {sen}x\gt 0\). O fator \(\cos x\) é a derivada da expressão sob a raiz. Com \(u=\operatorname {sen}x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\),
\[ \int \sqrt{\operatorname {sen}x}\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\int \sqrt u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u =\frac23(\operatorname {sen}x)^{3/2}+C. \]
A mudança de sinal de \(\cos x\) dentro do intervalo não invalida o cálculo: a regra da cadeia continua valendo dos dois lados de \(\pi /2+2k\pi \). A fórmula se estende continuamente às extremidades; as constantes podem ser escolhidas independentemente nos diferentes intervalos do domínio.
A derivada do denominador é \(2x\). Como o numerador contém \(x\), fazemos \(u=1+x^2\), de modo que \(x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac12\mathop{}\! \mathrm{d} u\). Assim,
\[ \int \frac{x}{1+x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac12\int \frac1u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u =\frac12\ln (1+x^2)+C. \]
Não é necessário escrever o módulo na resposta porque \(1+x^2\gt 0\). Esse cálculo revela um padrão útil: quando o numerador é proporcional à derivada do denominador, convém procurar uma primitiva logarítmica.
A mesma técnica permite recuperar uma quantidade acumulada a partir de uma taxa variável. Nesse caso, além de calcular a primitiva, precisamos distinguir o comportamento da taxa do comportamento da quantidade que ela descreve.
Exemplo 12.21 (Da taxa ao total acumulado)
Um modelo simplificado para um surto localizado descreve a taxa de aparecimento de novos casos por
\[ N'(t)=200t e^{-t^2/25},\qquad t\geq 0, \]
em que \(N(t)\) é o número acumulado de casos após \(t\) dias. Suponha que \(N(0)=0\). Determine \(N(t)\), o número total de casos previsto pelo modelo e o instante em que a taxa de novos casos é máxima.
Figura12.4O pico da taxa ocorre quando o total acumulado cresce mais depressa. Depois do pico, o total ainda aumenta, mas cada vez mais lentamente.
Solução
O expoente depende de \(t^2\), e o fator externo é proporcional a sua derivada. Escolhemos
\[ u=\frac{t^2}{25},\qquad \mathop{}\! \mathrm{d} u=\frac{2t}{25}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Dessa relação, \(200t\, \mathop{}\! \mathrm{d} t=2500\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\). Portanto,
e decresce depois desse instante. Por outro lado, \(N'(t)\gt 0\) para todo \(t\gt 0\): o total acumulado não começa a diminuir quando a taxa passa pelo pico. Seu gráfico muda de concavidade nesse instante e depois se aproxima de \(2500\), como mostra a Figura 12.4. Trata-se de uma descrição contínua e idealizada da contagem de casos, não de uma previsão baseada em dados apresentados aqui.
12.2.1 Integrais trigonométricas
Em algumas integrais, a função interna e sua derivada não aparecem juntas de imediato. Uma identidade trigonométrica pode revelar essa estrutura. A escolha da identidade, portanto, não é um passo separado da escolha da substituição: procuramos reescrever o integrando de modo que uma derivada conveniente fique disponível. As estratégias serão retomadas e ampliadas nas seções 15.1 e 15.2.
Se tomássemos \(u=\operatorname {sen}x\) diretamente, precisaríamos de um fator \(\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), que não está presente. Em vez disso, separamos um fator \(\operatorname {sen}x\) para acompanhar a substituição \(u=\cos x\) e reescrevemos os dois fatores restantes:
A identidade foi escolhida para deixar um fator responsável por \(\mathop{}\! \mathrm{d} u\) e escrever todo o restante em termos de \(u\). Essa é a razão da decomposição, e não apenas uma manipulação algébrica possível.
vemos que o numerador é o oposto da derivada do denominador. A substituição \(u=\cos x\), com \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), fornece
\[ \int \operatorname {tg}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =-\int \frac1u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u =-\ln |\cos x|+C. \]
A fórmula vale em cada intervalo no qual \(\cos x\neq 0\). Como \(|\sec x|=1/|\cos x|\), podemos escrevê-la também como \(\ln |\sec x|+C\); as duas expressões são iguais, e não respostas diferentes.
Escrever apenas \(\sec x=1/\cos x\) não revela o fator \(\operatorname {sen}x\) necessário à substituição anterior. Procuramos então uma função \(H\) que satisfaça \(H'=\sec x\, H\). Nesse caso, \(\sec x=H'/H\) e sua primitiva será \(\ln |H|\).
As derivadas da secante e da tangente sugerem considerar sua soma:
garante isso em todo intervalo em que \(\cos x\neq 0\). Portanto,
\[ \int \sec x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\int \frac{H'(x)}{H(x)}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\ln |\sec x+\operatorname {tg}x|+C. \]
O fator \(\sec x+\operatorname {tg}x\) surge, assim, de uma tentativa de reconhecer a derivada de um logaritmo, não de uma multiplicação sem motivo aparente.
Os cálculos anteriores, juntamente com os análogos para cotangente e cossecante, completam as fórmulas básicas dessas funções.
Proposição 12.25 (Integrais das funções trigonométricas)
As formas logarítmicas podem variar. Além de \(\ln |\sec u|=-\ln |\cos u|\), a identidade \((\operatorname {cossec}u-\operatorname {cotg}u)(\operatorname {cossec}u+\operatorname {cotg}u)=1\) permite escrever a última primitiva como \(-\ln |\operatorname {cossec}u+\operatorname {cotg}u|+C\). A derivação é sempre um modo de conferir a equivalência em um intervalo.
A função interna é \(x^3\), e sua derivada é \(3x^2\). Com \(u=x^3\), temos \(x^2\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac13\mathop{}\! \mathrm{d} u\). A tabela pode ser aplicada depois dessa transformação:
A restrição é \(\operatorname {sen}(x^3)\neq 0\); portanto, a igualdade deve ser entendida em cada intervalo que não contém um desses zeros.
Outros integrandos não contêm funções trigonométricas, mas têm primitivas expressas por suas inversas. Nesses casos, a substituição deve transformar o denominador em uma das formas abaixo. soleira base/.append style=breakable=false
Os sinais e a presença da raiz fazem parte da estrutura da fórmula. Em particular, \(\sqrt{1-u^2}\) e \(\sqrt{1+u^2}\) não conduzem à mesma primitiva.
Exemplo 12.29
Calcule a \(\displaystyle \int \frac1{\sqrt{1-4x^2}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) b \(\displaystyle \int \frac1{\sqrt{9-4x^2}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) c \(\displaystyle \int \frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Solução
Como \(4x^2=(2x)^2\), fazemos \(u=2x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac12\mathop{}\! \mathrm{d} u\). Então
\[ \int \frac1{\sqrt{1-4x^2}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac12\int \frac1{\sqrt{1-u^2}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u =\frac12\operatorname {arcsen}(2x)+C. \]
O denominador exige \(|x|\lt 1/2\).
Primeiro colocamos o fator \(9\) em evidência dentro da raiz:
\[ \sqrt{9-4x^2}=3\sqrt{1-(2x/3)^2}. \]
A escolha \(u=2x/3\) produz \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac32\mathop{}\! \mathrm{d} u\). O fator \(1/3\) do denominador se combina com esse \(3/2\), e resulta
\[ \int \frac1{\sqrt{9-4x^2}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac12\int \frac1{\sqrt{1-u^2}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u =\frac12\operatorname {arcsen}\left(\frac{2x}{3}\right)+C, \]
para \(|x|\lt 3/2\).
Agora a escolha natural é \(u=e^x\), pois o numerador fornece \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). No entanto, a integral resultante contém \(1+u^2\) sob a raiz, e não \(1-u^2\). Usamos a forma logarítmica da tabela de integrais:
O argumento do logaritmo é positivo para todo \(x\in \mathbb R\). Reconhecer o sinal dentro da raiz é essencial para não aplicar indevidamente a fórmula do arco-seno.
Exercício 12.9 (Uma substituição que vai e volta)
Seja \(H\) uma primitiva de \(q(u)=1/(1+u^2)\) em \(\mathbb R\) e defina \(F(x)=H(x^2)\). A figura mostra \(f(x)=2x/(1+x^4)\).
Explique por que \(F\) é uma primitiva de \(f\) em toda a reta, embora \(x\mapsto x^2\) não seja injetora.
Sem determinar uma fórmula para \(H\), decida se \(F\) é par e onde atinge seu mínimo. Acrescentar uma constante pode mudar essas conclusões?
Ver solução
A regra da cadeia fornece \(F'(x)=H'(x^2)\, 2x=2x/(1+x^4)\); não exige que a função interna seja injetora. Temos \(F(-x)=F(x)\), e o sinal de \(f\) mostra que \(F\) decresce até \(0\) e cresce depois de \(0\). Assim, \(0\) é seu único ponto de mínimo absoluto. Uma translação vertical preserva a paridade e o local do mínimo.
Faça corretamente a substituição \(u=x^2\) em \(I_2\), restringindo-se a \(x\gt 0\). Escreva a integral resultante em \(u\). Ela simplificou o problema?
Ver solução
Como \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\),
\[ I_1=\frac12\int e^u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u =\frac12e^{x^2}+C. \]
A derivada de \(e^{x^2}+C\) é \(2xe^{x^2}\), não \(e^{x^2}\). A resolução substituiu \(x^2\) por \(u\), mas deixou de transformar corretamente o diferencial \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Para \(x\gt 0\), valem \(x=\sqrt u\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=\mathop{}\! \mathrm{d} u/(2\sqrt u)\). Portanto,
\[ I_2=\int \frac{e^u}{2\sqrt u}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u. \]
A substituição é válida nesse intervalo, mas não tornou a integral mais simples.
Exercício 12.11
Retome os itens 9, 10, 11, 12 e 16 do Exercício 12.4. Em cada parcela composta, identifique a mudança de variável linear implícita e confira a primitiva já obtida por derivação. Ver solução
No item 9, use \(u=4x\).
No item 10, use \(u=3x\).
No item 11, a parcela polinomial é direta; nas demais, use \(u=5x\) e \(u=2x\).
No item 12, a constante integra diretamente; nas parcelas trigonométricas, use \(u=4x\) e \(u=x/7\).
No item 16, use \(u=2x\).
Exercício 12.12
Calcule \(\int x\sqrt{5-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) por substituição e explicite a escolha de variável nova. Ver solução
Com \(u=5-x^2\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\),
Calcule as integrais. Procure uma substituição adequada, mas verifique antes se uma simplificação do integrando permite usar diretamente uma primitiva conhecida.
\(\dfrac 13(x^2+1)^{3/2}-\sqrt{x^2+1}+C\) (escreva \(x^3=x\bigl[(x^2+1)-1\bigr]\) antes de substituir).
Exercício 12.14
Calcule as integrais abaixo, simplificando o integrando ou escolhendo uma substituição adequada. Nas respostas com logaritmos, respeite o domínio original da função.
\(\displaystyle \int \operatorname {cotg}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). A dica é reescrever \(\operatorname {cotg}x\) como \(\cos x/\operatorname {sen}x\), e fazer \(u=\operatorname {sen}x\).
\(\displaystyle \int \operatorname {cossec}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). A dica é multiplicar \(\operatorname {cossec}x\) por \((\operatorname {cossec}x+\operatorname {cotg}x)/(\operatorname {cossec}x+\operatorname {cotg}x)\).
O módulo mantém a expressão válida também no intervalo \(x\lt -1/3\), onde a derivada deve ser negativa.
Exercício 12.16
Calcule \(\int \operatorname {sen}^3x\cos ^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) sem usar uma tabela de integrais. Indique a identidade e a substituição empregadas. Ver solução
Escreva \(\operatorname {sen}^3x=\operatorname {sen}x(1-\cos ^2x)\) e faça \(u=\cos x\). Então
Como encontrar uma primitiva de um produto, como \(x\cos x\), que não se resolve por uma substituição direta? Vamos usar a regra do produto no sentido inverso para trocar essa busca pela de uma primitiva mais simples.
A substituição reconhece a regra da cadeia no integrando. Uma segunda técnica nasce da regra do produto. Para perceber a diferença, consideremos a derivada
Assim, uma primitiva de \(x\cos x\) pode ser construída a partir do produto \(x\operatorname {sen}x\) e de uma primitiva de \(\operatorname {sen}x\). A integração por partes generaliza esse procedimento.
Teorema 12.30
Sejam \(f,g:I\to \mathbb R\) funções deriváveis em um intervalo aberto \(I\). Se \(f'g\) possui uma primitiva em \(I\), então \(fg'\) também possui uma primitiva em \(I\), e vale nesse intervalo a fórmula de integração por partes:
Logo, \(fg-H\) é uma primitiva de \(fg'\), o que demonstra a fórmula. A liberdade na escolha das primitivas fica incorporada à constante de integração.
Ao escolher \(u\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v\), precisamos calcular \(\mathop{}\! \mathrm{d} u\) e obter \(v\) por integração. A escolha é útil quando conseguimos obter \(v\) e a nova integral \(\int v\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\) é mais acessível que a original. O fato de um integrando ser um produto, por si só, não determina a melhor escolha.
O fator \(x\) se transforma em uma constante ao ser derivado, enquanto \(\cos x\) tem primitiva imediata. Escolhemos, por isso, xx d xd xsenx Com essa escolha, a nova integral perde o fator \(x\):
vemos o cancelamento da parcela que a regra do produto havia acrescentado.
Figura não resolvida: figuras/antiderivadas-partes.tex
Figura12.5Na escolha \(u=x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), derivamos o fator algébrico e antiderivamos o trigonométrico.
A escolha contrária também seria legítima, mas pouco vantajosa: tomar \(u=\cos x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) produziria uma integral com \(x^2\operatorname {sen}x\), aumentando o grau do fator polinomial. Comparar as integrais antes e depois da transformação ajuda a decidir se houve progresso.
A situação é semelhante à anterior. Derivar \(x\) elimina o fator algébrico; antiderivar \(e^x\) preserva a exponencial. Registramos a escolha: xe^x d xd xe^x Portanto,
Não basta multiplicar \(x\) por uma primitiva de \(e^x\): a derivada de \(xe^x\) seria \((x+1)e^x\). O termo \(-e^x\) corrige exatamente a parcela extra.
Escolhemos novamente o fator polinomial para \(u\), pois sua derivada tem grau menor. Com \(u=x^2\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\),
A integral restante ainda não é imediata, mas houve uma simplificação: o grau caiu de \(2\) para \(1\). Repetimos a estratégia, agora com \(u=2x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Como \(v=-\cos x\),
A primeira aplicação reduziu o grau do polinômio; a segunda eliminou a dependência polinomial da integral restante. Esse mecanismo também funciona para produtos de polinômios com exponenciais.
Nem sempre o progresso consiste em tornar cada nova integral mais simples. Às vezes, duas aplicações da fórmula fazem reaparecer a integral inicial, e essa repetição fornece uma equação que permite determiná-la.
A derivada de \(e^x\) não simplifica a exponencial. Entretanto, as primitivas de seno e cosseno alternam entre essas duas funções, o que sugere procurar uma relação após duas integrações por partes. Denotemos por \(I\) e \(J\) primitivas de \(e^x\cos x\) e \(e^x\operatorname {sen}x\), respectivamente. Na primeira aplicação, usamos \(u=e^x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\):
\[ I=e^x\operatorname {sen}x-J+C_1. \]
Na segunda, mantemos a exponencial como \(u\) e tomamos \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Como uma primitiva de \(\operatorname {sen}x\) é \(-\cos x\),
A integral retornou com sinal negativo; por isso foi possível isolá-la. Uma segunda escolha que simplesmente desfizesse a primeira integração produziria apenas \(I=I\), sem acrescentar informação.
Embora não haja um produto explícito, podemos escrever \(\ln x=(\ln x)\cdot 1\). Derivar o logaritmo produz \(1/x\); antiderivar o fator \(1\) produz \(x\). Esses fatores se cancelam na integral restante, o que torna conveniente a escolha
A escolha foi orientada pelo efeito conjunto de derivar um fator e antiderivar o outro. A presença de um logaritmo não exige, por si só, uma substituição.
Escrevemos novamente o integrando como produto pelo fator \(1\). A derivada do arco-tangente é racional, de modo que a escolha \(u=\operatorname {arctg}x\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\mathop{}\! \mathrm{d} x\) transforma o problema:
A integral restante já tem o padrão de uma derivada dividida pela própria função. Com \(w=1+x^2\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} w=2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\),
\[ \int \frac{x}{1+x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac12\ln (1+x^2)+C. \]
A integração por partes revelou uma integral adequada à substituição. As técnicas não competem entre si: podem resolver etapas diferentes do mesmo cálculo.
Exemplo 12.38 (Potência e energia fornecida)
Um dispositivo fornece energia com potência modelada por
onde \(P_0\gt 0\) é medido em watts e \(\tau \gt 0\) em segundos. A energia fornecida desde o instante inicial satisfaz \(E'(t)=P(t)\) e \(E(0)=0\). Determine \(E(t)\) e a energia total prevista pelo modelo. Compare o instante de potência máxima com a evolução da energia acumulada.
Figura não resolvida: figuras/antiderivadas-energia.tex
Figura12.6Potência e energia em escalas relativas. A potência atinge seu máximo em \(t=\tau \), mas a energia continua aumentando.
Solução
O fator \(t\) sugere integração por partes: sua derivada é constante, enquanto uma primitiva de \(e^{-t/\tau }\) é \(-\tau e^{-t/\tau }\). Separando o fator \(P_0/\tau \), calculamos
O fator \(P_0\tau \) tem unidade watt-segundo, isto é, joule, como deve ocorrer para uma energia. Além disso, \((1+t/\tau )e^{-t/\tau }\to 0\) quando \(t\to \infty \), de modo que
\[ \lim _{t\to \infty }E(t)=P_0\tau . \]
Para localizar a potência máxima, derivamos a função dada:
Ela cresce até \(t=\tau \) e decresce depois desse instante. Entretanto, \(E'(t)=P(t)\gt 0\) para todo \(t\gt 0\), e a energia continua aumentando. No instante de potência máxima, a fração da energia total já fornecida é
Por exemplo, com \(P_0=100\, \mathrm W\) e \(\tau =10\, \mathrm s\), a energia total prevista é \(1000\, \mathrm J\), e apenas cerca de \(264\, \mathrm J\) foram fornecidos nos primeiros dez segundos. O máximo da potência indica quando a energia cresce mais depressa, não quando ela deixa de crescer.
12.3.1 Fórmulas de recorrência
No cálculo de \(\int x^2\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), cada integração por partes reduziu o grau do fator polinomial. Quando esse padrão se repete em uma família de integrais, podemos registrá-lo por uma fórmula que relaciona um caso ao anterior. Essa é a utilidade de uma fórmula de recorrência: evitar que a mesma escolha seja refeita desde o início para cada expoente.
Para potências de seno e cosseno, a redução será de duas unidades. Portanto, os expoentes pares conduzem ao caso de expoente zero, enquanto os ímpares conduzem ao caso de expoente um. Na figura, \(S_n\) representa uma primitiva de \(\operatorname {sen}^n x\); a cadeia indica quais integrais precisamos calcular, sem exibir os coeficientes e os termos que a recorrência acrescenta.
32mm
Figura não resolvida: figuras/antiderivadas-recorrencias.tex
Figura12.7A recorrência reduz o expoente de dois em dois. A paridade determina qual caso inicial encerra o cálculo.
Teorema 12.39 (Recorrências para potências de seno e cosseno)
Para todo inteiro \(n\geq 2\), valem as identidades entre primitivas:
As constantes podem ser incorporadas à primitiva do segundo membro. Os casos iniciais são \(\int 1\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=x+C\), \(\int \operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=-\cos x+C\) e \(\int \cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\operatorname {sen}x+C\).
Demonstração▼
Para o item 1., escrevemos \(\operatorname {sen}^n x=\operatorname {sen}^{n-1}x\, \operatorname {sen}x\). Escolher \(u=\operatorname {sen}^{n-1}x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) produz \(v=-\cos x\) e
O fator \(\cos x\) surgido na derivada se combina com o de \(v\), permitindo usar \(\cos ^2x=1-\operatorname {sen}^2x\). Denotando as primitivas por \(S_n\) e incorporando as constantes ao final,
Reunindo os termos em \(C_n\) e dividindo por \(n\), obtemos a segunda recorrência. Aqui, \(C_n\) representa uma função primitiva de \(\cos ^n x\), enquanto \(C\) representa uma constante de integração.
Exemplo 12.40 (Usar a recorrência até o caso inicial)
Calcule \(\displaystyle \int \operatorname {sen}^4x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) por meio da recorrência.
Solução
Como o expoente é par, a redução seguirá a cadeia \(4\to 2\to 0\). Para \(n=4\), a fórmula fornece
A recorrência não é a resposta final enquanto ainda contém uma integral desconhecida. Neste caso, foram necessárias duas etapas para chegar à primitiva de \(1\).
Para produtos de uma potência de \(x\) com \(e^x\), o grau diminui de uma unidade em cada etapa; a exponencial permanece inalterada.
A escolha \(u=x^n\) aproveita a redução do expoente pela derivação; com \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), temos \(v=e^x\). Portanto,
O caso inicial é \(\int e^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=e^x+C\). Por exemplo, a integral com \(n=2\) se reduz à de \(xe^x\), já calculada, e esta à de \(e^x\). Assim, uma família inteira de cálculos fica organizada por uma única relação.
Para potências da secante, separamos um fator \(\sec ^2x\), cuja primitiva é \(\operatorname {tg}x\). A identidade \(\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x-1\) permitirá novamente reduzir o expoente de duas unidades.
Proposição 12.42 (Recorrência para potências da secante)
Para todo inteiro \(n\geq 2\), em cada intervalo no qual \(\cos x\neq 0\),
Como \(n\geq 2\), podemos dividir por \(n-1\). As constantes ficam incorporadas à primitiva final.
Para expoentes pares, a redução pode ser encerrada em \(\int \sec ^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\operatorname {tg}x+C\). Para expoentes ímpares, ela termina em \(\int \sec x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\ln |\sec x+\operatorname {tg}x|+C\). Em todas essas recorrências, o método tem três componentes: uma escolha de fatores, uma redução efetiva do expoente e um caso inicial conhecido.
Exercício 12.17 (A constante escolhida no meio da conta)
Para integrar \(xe^x\), uma estudante escolhe \(u=x\) e \(v=e^x\). Outro estudante observa que também poderia escolher \(v=e^x+k\), com \(k\) constante, e escreve
\[ x(e^x+k)-\int (e^x+k)\, dx. \]
A escolha de \(k\) produz novas primitivas além da constante final habitual?
Explique por que se pode escolher uma única primitiva para \(v\) ao aplicar integração por partes.
Ver solução
A expressão é \(xe^x+kx-e^x-kx+C=e^x(x-1)+C\). Os termos com \(k\) se cancelam. Em geral, substituir \(v\) por \(v+k\) acrescenta \(ku-k\int du\), que é uma constante no intervalo considerado. Logo, essa liberdade já está absorvida na constante final; escolher uma primitiva de \(dv\) não perde soluções.
Exercício 12.18 (Uma conta correta, uma conclusão falsa)
Considere, num intervalo contido em \((0,\infty )\), a integração por partes
podem ser primitivas de \(\operatorname {sen}x\cos x\)? Confira e explique sua relação.
Ver solução
As contas por partes estão corretas. O erro é cancelar os símbolos de integral indefinida como se representassem um número ou uma função fixa, quando indicam famílias com constantes arbitrárias.
À esquerda temos \(\{ \ln x+C:C\in \mathbb {R}\} \), e à direita, \(\{ 1+\ln x+C:C\in \mathbb {R}\} \). São a mesma família: a parcela \(1\) é absorvida na constante de integração.
ambas são primitivas do integrando. Além disso, \(F(x)-G(x)=1/4\), isto é, elas diferem por uma constante.
Exercício 12.19 (Uma integração por partes que não avança)
Para calcular \(I=\displaystyle \int e^x\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), um estudante integrou por partes com \(u=\operatorname {sen}x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Na segunda integração, escolheu \(u=e^x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e chegou a \(I=I\).
Reproduza as contas e explique por que a segunda escolha desfez a primeira.
Refaça a segunda integração escolhendo \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e calcule \(I\).
Ver solução
A primeira integração dá \(I=e^x\operatorname {sen}x-\int e^x\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Com \(u=e^x\) na segunda, \(\int e^x\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=e^x\operatorname {sen}x-\int e^x\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\); substituindo, \(I=I\). A segunda escolha devolve exatamente a integral de partida.
Com \(u=\cos x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\): \(\int e^x\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=e^x\cos x+I\). Logo, \(I=e^x\operatorname {sen}x-e^x\cos x-I\) e \(I=\tfrac 12e^x(\operatorname {sen}x-\cos x)+C\).
Exercício 12.20
Em cada integral, escolha \(u\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v\) de modo que a nova integral seja mais simples. Não é necessário concluir o cálculo.
\(\int x^3e^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\)
\(\int x\cos (2x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\)
\(\int \ln x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\)
Ver solução
Uma escolha natural é, respectivamente: \(u=x^3\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\); \(u=x\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos (2x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\); e \(u=\ln x\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Exercício 12.21
Calcule \(\int x\cos (2x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Ver solução
Nos itens 12 e 15, a identidade \(\operatorname {arcsen}x+\arccos x=\pi /2\) permite conferir a compatibilidade das duas primitivas. Nos itens 5 e 11, uma substituição simples resolve o cálculo mesmo estando o exercício na seção de integração por partes.
Exercício 12.24
Calcule as integrais, combinando identidades trigonométricas e integração por partes quando necessário. Nem todos os itens exigem os dois recursos.
As substituições dos itens 1, 2 e 4 são \(u=\ln x\), \(u=\sqrt x\) e \(u=\sqrt x\), respectivamente. No item 3, \(\ln \bigl(\sqrt[3]x\bigr)=\frac13\ln x\); no item 5, \(e^{-\ln x}=1/x\), sempre com \(x\gt 0\).
Exercício 12.26
Use integração por partes para calcular \(\int x\ln (x+1)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Justifique a escolha de \(u\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v\). Ver solução
Escolhendo \(u=\ln (x+1)\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), o logaritmo é simplificado ao derivar. Para \(x\gt -1\),
Para \(n\in \mathbb N_0\), seja \(K_n=\int x^ne^{2x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Obtenha uma relação de recorrência entre \(K_n\) e \(K_{n-1}\), válida para \(n\ge 1\), e use-a para calcular \(K_2\). Entenda as igualdades a menos de uma constante aditiva. Ver solução
Integração por partes (\(u=x^n\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^{2x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)) fornece \(K_n=\dfrac {x^ne^{2x}}2-\dfrac n2K_{n-1}\). Portanto, \(K_2=\dfrac {e^{2x}}4\bigl(2x^2-2x+1\bigr)+C\).
12.4 Equações diferenciais e problemas de valor inicial
Nos problemas do reservatório, do surto e da energia fornecida, a função desconhecida foi descrita por sua derivada. O cálculo da primitiva produziu uma família de possibilidades; uma informação sobre o instante inicial selecionou a função desejada. Esse procedimento é um caso particular da resolução de equações diferenciais.
Definição 12.2
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas. Começaremos pelo caso
\[ \frac{dy}{dx}=f(x), \]
em que \(f\) é conhecida e a função \(y\) deve ser determinada.
Se \(F\) é uma primitiva de \(f\) em um intervalo \(I\), todas as soluções dessa equação em \(I\) são
\[ y(x)=F(x)+C,\qquad C\in \mathbb R. \]
Por exemplo, as soluções de \(y'(x)=3x^2\) são \(y(x)=x^3+C\). Elas têm as mesmas inclinações nas mesmas abscissas, mas podem passar por alturas diferentes.
Uma condição da forma \(y(x_0)=y_0\), com \(x_0\in I\), é chamada de condição inicial. A equação diferencial acompanhada dessa condição constitui um problema de valor inicial, ou PVI:
A palavra “inicial” não exige que \(x_0=0\), nem que \(x\) represente tempo. Trata-se do valor conhecido da função em um ponto de referência.
Substituindo \(x=x_0\) na família de soluções, obtemos \(F(x_0)+C=y_0\). Assim, a constante é \(C=y_0-F(x_0)\), e a solução fica determinada:
\[ y(x)=F(x)+y_0-F(x_0). \]
A existência dessa solução foi obtida a partir da primitiva \(F\); sua unicidade, no intervalo \(I\), vem do fato de duas primitivas diferirem por uma constante. Essa conclusão diz respeito às equações da forma \(y'=f(x)\) aqui consideradas, e não dispensa o estudo de existência e unicidade para equações diferenciais mais gerais.
Figura não resolvida: figuras/antiderivadas-condicao-inicial.tex
Figura12.8A condição \(y(1)=2\) seleciona, entre as curvas \(y=x^2+3x+C\), a que passa por \((1,2)\).
Solução
Integramos primeiro a equação, sem usar ainda a condição inicial:
\[ y(x)=x^2+3x+C. \]
Agora impomos a passagem pelo ponto \((1,2)\):
\[ 2=y(1)=1+3+C, \]
de onde \(C=-2\). Portanto,
\[ y(x)=x^2+3x-2. \]
A resposta deve satisfazer duas exigências: sua derivada é \(2x+3\), e seu valor em \(1\) é \(2\). Observe que a constante não é igual ao valor inicial prescrito; é preciso levar em conta também o valor da primitiva no ponto de referência.
O procedimento não muda quando a primitiva exige uma técnica de integração. A escolha do método resolve a equação diferencial; a condição inicial determina qual de suas soluções interessa.
Como \(\operatorname {sen}0=0\), a condição \(y(0)=3\) fornece \(C=3\); logo,
\[ y(x)=\operatorname {sen}(x^2)+3. \]
Neste exemplo, a constante coincide com o valor inicial porque a primitiva escolhida se anula em \(0\). Geometricamente, o gráfico de \(\operatorname {sen}(x^2)\) foi transladado três unidades para cima.
Desta vez, a primitiva \((x-1)e^x\) vale \(-1\) em \(0\). Portanto,
\[ 1=y(0)=-1+C, \]
o que determina \(C=2\). A solução é
\[ y(x)=(x-1)e^x+2. \]
A comparação com o exemplo anterior reforça que a constante depende da primitiva escolhida, enquanto a função que resolve o PVI é a mesma, qualquer que seja essa escolha.
12.4.1 Movimento retilíneo
Considere uma partícula que se desloca ao longo de um eixo. Se \(x(t)\) representa sua posição no instante \(t\), então
\[ v(t)=x'(t),\qquad a(t)=v'(t). \]
Essas relações podem ser percorridas nos dois sentidos. Derivar a posição fornece a velocidade e, em seguida, a aceleração. Quando a aceleração é conhecida, fazemos o caminho inverso por duas antiderivações sucessivas.
Cada etapa introduz uma constante. A primeira é determinada pela velocidade inicial \(v(0)=v_0\); a segunda, pela posição inicial \(x(0)=x_0\). Assim, resolvemos
Conhecer apenas a aceleração não basta para reconstruir o movimento: dois móveis podem ter a mesma aceleração e partir de posições diferentes, com velocidades diferentes.
Exemplo 12.46
Uma partícula move-se ao longo de uma reta com aceleração
\[ a(t)=18t. \]
No instante \(t=0\), ela está em \(x=5\) e encontra-se em repouso. Determine sua velocidade e sua posição no instante \(t\), considerando o tempo em segundos e a posição em metros.
35mm
Figura não resolvida: figuras/antiderivadas-movimento.tex
Figura12.9Para o movimento do exemplo, a aceleração é linear, a velocidade é quadrática e a posição é cúbica. Os três painéis usam o mesmo eixo de tempo.
Solução
Começamos pela velocidade, pois sua derivada é a função conhecida. Integrando \(v'(t)=18t\),
\[ v(t)=9t^2+C_1. \]
Estar inicialmente em repouso significa \(v(0)=0\), portanto \(C_1=0\) e \(v(t)=9t^2\). Essa informação não determina ainda onde a partícula está: precisamos antiderivar novamente e usar a posição inicial.
Para \(t\gt 0\), a velocidade é positiva e crescente, de modo que a partícula se desloca no sentido positivo do eixo e percorre distâncias cada vez maiores em intervalos de tempo de mesma duração. A Figura 12.9 distingue os três gráficos: a ordenada de \(v\) dá a inclinação de \(x\), e a ordenada de \(a\) dá a inclinação de \(v\).
12.4.2 Aceleração constante
Quando a aceleração não depende do tempo, as duas antiderivações levam a fórmulas especialmente simples. Se \(a(t)=a\), então
\[ v(t)=at+C_1. \]
A condição \(v(0)=v_0\) dá \(C_1=v_0\). Integrando essa velocidade,
Na expressão da posição, \(x_0\) fixa o ponto de partida, \(v_0t\) é a contribuição da velocidade inicial e \(at^2/2\) registra o efeito da aceleração. Quando \(a=0\), recuperamos o movimento com velocidade constante.
Observação 12.47
A hipótese de aceleração constante é essencial. Se \(a\) varia com o tempo, devemos antiderivar a função \(a(t)\); não podemos simplesmente substituí-la no lugar da constante nas fórmulas anteriores. No exemplo precedente, por exemplo, integrar \(18t\) forneceu \(9t^2\), e não \(18t^2\).
Exemplo 12.48
Ao final de uma reta, um carro de Fórmula 1 percorre \(250\, \mathrm m\) desde o início da frenagem até parar. Suponha, em um modelo simplificado, que sua aceleração tenha permanecido constante e igual a
\[ -20\, \mathrm{m/s^2}. \]
Qual era a velocidade do carro no instante em que os freios foram acionados?
Solução
Escolhemos o sentido positivo como o do movimento e tomamos \(t=0\) e \(x_0=0\) no início da frenagem. O sinal negativo da aceleração indica que a velocidade positiva diminui. Se \(v_0\) é a velocidade procurada,
\[ v(t)=-20t+v_0,\qquad x(t)=-10t^2+v_0t. \]
Não conhecemos o tempo de frenagem. Denotando-o por \(T\gt 0\), traduzimos as duas informações do enunciado: o carro para quando \(v(T)=0\) e terá então percorrido \(x(T)=250\). Logo,
\[ -20T+v_0=0,\qquad -10T^2+v_0T=250. \]
A primeira equação fornece \(v_0=20T\). Substituindo na segunda,
\[ -10T^2+20T^2=250, \]
de modo que \(T=5\, \mathrm s\). Escolhemos a raiz positiva porque \(T\) é uma duração. Portanto,
O resultado depende da hipótese de desaceleração constante. As fórmulas descrevem o intervalo de frenagem \(0\leq t\leq 5\); prolongá-las além dele faria a velocidade ficar negativa, o que não representa um carro que permanece parado após frear.
Exemplo 12.49
Um elevador parte do repouso e percorre \(12\, \mathrm m\) em \(4\, \mathrm s\) com aceleração constante. Determine a aceleração e a velocidade ao final desse intervalo.
Solução
Tomamos o sentido positivo como o do deslocamento e escolhemos \(x_0=0\). O repouso inicial fornece \(v_0=0\), de modo que
\[ x(t)=\frac12at^2,\qquad v(t)=at. \]
A informação sobre o deslocamento determina a aceleração:
\[ 12=x(4)=\frac12a\cdot 16=8a, \]
portanto \(a=1{,}5\, \mathrm{m/s^2}\). Em seguida,
\[ v(4)=1{,}5\cdot 4=6\, \mathrm{m/s}. \]
O elevador não está em repouso ao final dos quatro segundos. O modelo descreve uma fase de aceleração; uma viagem que termine com o elevador parado precisaria incluir também uma fase de desaceleração.
12.4.3 Movimento vertical sob a ação da gravidade
Perto da superfície da Terra, desprezando a resistência do ar, modelamos a aceleração da gravidade como constante, de módulo \(g\approx 9{,}8\, \mathrm{m/s^2}\), direção vertical e sentido para baixo. Escolhendo o eixo \(y\) positivo para cima, temos \(a=-g\), tanto na subida quanto na descida. Assim,
A escolha do eixo determina os sinais. Na subida, \(v\) é positiva e diminui; no ponto mais alto, ela se anula; na descida, torna-se negativa. A aceleração continua sendo \(-g\) durante todo o movimento idealizado.
Exemplo 12.50
Um dardo é lançado verticalmente para cima a partir do solo e retorna ao chão \(10\, \mathrm s\) depois. Desprezando a resistência do ar, determine sua velocidade inicial e a altura máxima prevista pelo modelo.
Solução
Tomamos o solo como nível \(y_0=0\) e usamos \(g=9{,}8\, \mathrm{m/s^2}\). Então
\[ y(t)=-4{,}9t^2+v_0t. \]
Retornar ao chão significa ter novamente altura zero. Como isso ocorre em \(t=10\),
\[ 0=y(10)=-4{,}9\cdot 100+10v_0, \]
e obtemos \(v_0=49\, \mathrm{m/s}\).
Para encontrar a altura máxima, precisamos do instante em que o dardo deixa de subir e começa a descer, e não do instante em que sua altura se anula. A velocidade é
\[ v(t)=-9{,}8t+49, \]
portanto \(v(t)=0\) em \(t=5\, \mathrm s\). Ela muda de positiva para negativa nesse instante, confirmando o máximo. Substituindo na posição,
\[ y_{\max }=y(5)=-4{,}9\cdot 25+49\cdot 5=122{,}5\, \mathrm m. \]
No ponto mais alto, a velocidade é nula, mas a aceleração não: continua dirigida para baixo. Os valores encontrados correspondem ao modelo sem resistência do ar; para a mesma velocidade inicial, a resistência reduziria a altura atingida.
Nesses problemas, cada antiderivação introduz uma constante, cujo valor é determinado por uma condição adicional. Conhecer a velocidade exige uma posição de referência para determinar \(x\); conhecer a aceleração exige também uma velocidade de referência. As constantes de integração expressam precisamente essas liberdades.
Determine \(s_B(t)-s_A(t)\) sem descobrir as duas funções posição nem conhecer \(a(t)\).
Em que instante os móveis se encontram? Explique por que os gráficos das posições não são simples translações verticais um do outro.
Ver solução
Como \((v_B-v_A)'=0\), a diferença das velocidades é constantemente \(2\, \mathrm{m/s}\). Portanto, \(s_B(t)-s_A(t)=-3+2t\), em metros. O encontro ocorre em \(t=3/2\, \mathrm s\). A diferença das posições varia com o tempo, enquanto uma translação vertical exigiria diferença constante. A aceleração comum não elimina a liberdade nas duas condições iniciais.
Exercício 12.29
A posição de uma partícula no instante \(t\) é \(s(t)\). Determine \(s\) sabendo que \(s'(t)=3t^2-8t+6\) e \(s(0)=14\). Que informação sobre o movimento é dada pela constante de integração? Ver solução
\(s(t)=t^3-4t^2+6t+14\). A constante \(14\) é a posição inicial \(s(0)\).
Exercício 12.30
Uma partícula se desloca sobre o eixo \(x\) com uma função posição \(x=x(t)\). Determine \(x=x(t)\) sabendo que:
\(\dfrac {dx}{dt}=2t-1\) e \(x(0)=2\)
\(\dfrac {dx}{dt}=\dfrac 1{1+t^2}\) e \(x(0)=0\). Para \(t\geq 0\), a velocidade tende a zero quando \(t\to \infty \). A posição tende à origem? Calcule seu limite e explique.
\(\dfrac {d^2x}{dt^2}=3\) e \(v(0)=1\) e \(x(0)=1\)
\(\dfrac {d^2x}{dt^2}=e^{-t}\) e \(v(0)=0\) e \(x(0)=1\)
\(\dfrac {d^2x}{dt^2}=\cos (3t)\) e \(v(0)=1\) e \(x(0)=0\)
Ver solução
\(x(t)=t^2-t+2\).
\(x(t)=\operatorname {arctg}t\). Embora \(x'(t)\to 0\), temos \(\lim _{t\to \infty }x(t)=\pi /2\), e não \(0\). A velocidade descreve a taxa de variação da posição; seu limite nulo não determina o limite da posição. Neste caso, a partícula avança cada vez mais devagar e se aproxima da posição \(\pi /2\).
\(x(t)=\frac32t^2+t+1\).
\(x(t)=e^{-t}+t\).
\(x(t)=t+\frac{1-\cos (3t)}9\).
Exercício 12.31
Resolva os problemas de valores iniciais a seguir. Em cada caso, trabalhe no maior intervalo que contém o ponto inicial e no qual a derivada dada está definida.
\(f'(x)=5x-1\) e \(f(0)=3\)
\(f'(x)=\cos x\) e \(f(0)=-2\)
\(f'(x)=3e^x\) e \(f(0)=1\)
\(f'(x)=6x^2-4x\) e \(f(1)=5\)
\(f'(x)=\operatorname {cossec}^2x\) e \(f(\pi /4)=2\)
\(f'(x)=3^x\) e \(f(1)=2\)
\(f''(x)=8\) e \(f'(0)=3\), \(f(0)=5\)
\(f''(x)=12x\) e \(f'(0)=-2\), \(f(0)=4\)
\(f''(x)=3e^x\) e \(f'(0)=1\), \(f(0)=2\)
\(f''(\theta )=\cos \theta \) e \(f'(0)=1\), \(f(0)=3\)
\(f''(x)=6x+3^x-\operatorname {sen}x\) e \(f'(0)=4\), \(f(0)=0\)
\(f''(x)=0\) e \(f'(2)=5\), \(f(2)=1\)
\(f'(x)=xe^{-x^2}\) e \(f(0)=1\)
\(f''(x)=\dfrac 1{x^2}\) (\(x\gt 0\)) e \(f'(1)=0\), \(f(1)=2\)
Ver solução
O intervalo é \(\mathbb {R}\), exceto no item 5, em que é \((0,\pi )\), e no item 14, em que é \((0,\infty )\).
\(f(x)=\dfrac 52x^2-x+3\).
\(f(x)=\operatorname {sen}x-2\).
\(f(x)=3e^x-2\).
\(f(x)=2x^3-2x^2+5\).
\(f(x)=3-\operatorname {cotg}x\), no intervalo \((0,\pi )\) que contém \(\pi /4\). Nos demais intervalos do domínio de \(\operatorname {cossec}^2x\), a condição inicial não determina a constante de integração.
A taxa de entrada de água num reservatório é \(r(t)=40+12\operatorname {sen}(\pi t/6)\) L/min. Determine uma expressão para a quantidade de água no reservatório após \(t\) minutos, supondo que havia \(250\) L inicialmente e que não há saída de água. Ver solução
Um móvel parte de \(x_0=4\, \mathrm m\) com velocidade \(v_0=3\, \mathrm{m/s}\) e aceleração constante \(a=2\, \mathrm{m/s^2}\). Determine \(v(5)\) e \(x(5)\). Ver solução
\(v(5)=13\, \mathrm{m/s}\) e \(x(5)=44\, \mathrm m\).
Exercício 12.34
Um carro reduz uniformemente sua velocidade de \(30\, \mathrm{m/s}\) a \(10\, \mathrm{m/s}\) em \(5\, \mathrm s\). Determine a aceleração e o deslocamento nesse intervalo. Ver solução
\(a=-4\, \mathrm{m/s^2}\) e o deslocamento é \(100\, \mathrm m\).
Exercício 12.35
Uma pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial \(19{,}6\, \mathrm{m/s}\) a partir de uma altura de \(5\, \mathrm m\). Desprezando a resistência do ar, determine o instante em que atinge a altura máxima e essa altura. Ver solução
A velocidade é \(v(t)=19{,}6-9{,}8t\), portanto o máximo ocorre em \(t=2\, \mathrm s\). A altura é
\[ y(2)=5+19{,}6(2)-4{,}9(2)^2=24{,}6\, \mathrm m. \]
Exercício 12.36
Uma população de peixes \(P(t)\), medida em número de indivíduos, obedece ao modelo logístico com retirada proporcional
Os equilíbrios são \(P=0\) e \(P=P_c(1-\beta /r_0)\). O segundo é positivo exatamente quando \(\beta \lt r_0\). Com os valores dados, ele vale \(10000(1-0{,}04/0{,}05)=2000\) peixes.
Se \(\beta =r_0\), o modelo se reduz a \(P'=-(r_0/P_c)P^2\). Escrevendo \(k=r_0/P_c\gt 0\), a função dada satisfaz
\[ P'(t)=-\frac{kP_0^2}{(1+kP_0t)^2}=-kP(t)^2 \]
e \(P(0)=P_0\). Como o denominador é positivo e cresce com \(t\), a população permanece positiva e decresce para \(t\geq 0\). Além disso,
\[ \lim _{t\to +\infty }\frac{P_0}{1+kP_0t}=0. \]
Assim, nessa solução, a população tende a zero a longo prazo, sem atingir zero em um tempo finito.
