Parte
Integrais

Capítulo 12

Integral indefinida

A vida deve ser compreendida para trás. [...] Mas deve ser vivida para a frente.
Søren Kierkegaard, Diários
A derivada associa a uma função sua taxa de variação. O problema inverso consiste em recuperar uma função a partir de sua derivada. Se conhecemos a velocidade, por exemplo, procuramos reconstruir a posição; se conhecemos uma taxa de crescimento, procuramos a grandeza acumulada. Esse problema conduz às antiderivadas. As regras de derivação, lidas no sentido inverso, fornecem as primeiras fórmulas de integração e explicam por que a resposta envolve uma família de funções.

12.1 Integral indefinida

Dada uma função \(f\), procuramos uma função \(F\) cuja derivada seja \(f\), isto é,

\begin{equation} F^{\prime }(x) = f(x). \label{antider} \tag{12.1} \end{equation}

A equação 12.1 é a forma mais simples de uma equação diferencial. Por exemplo, \(y'=2x\) pergunta quais funções têm derivada \(2x\). Tanto \(x^2\) quanto \(x^2+1\) são soluções e, de modo geral, \(x^2+C\) também é. A constante aparece porque a derivação elimina constantes; inverter esse processo recupera, portanto, uma família inteira de funções.

Definição 12.1
Uma função \(F\) definida num intervalo aberto \(I\) é denominada uma primitiva ou antiderivada de \(f\) se
\begin{equation*} F^{\prime }(x) = f(x) \end{equation*}
para todo \(x \in I\). O conjunto de todas as primitivas de \( f (x)\) é denominado integral indefinida de \( f \), e será denotado por
\[ \displaystyle \int f (x) \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
Se \(F\) for uma primitiva de \(f\), então, por definição, a função \(F\) é derivável e, portanto, contínua. Conhecendo uma antiderivada de \( f \), podemos encontrar outras simplesmente adicionando uma constante. O Corolário 11.18, demonstrado a partir do Teorema do Valor Médio, mostra que, em um intervalo, essa é a forma de obter todas elas.

Figura 12.1 Antiderivadas de x^2 são da forma (x^3)/(3)+C

Figura 12.1 Antiderivadas de \(x^2\) são da forma \(\dfrac {x^3}{3}+C\)

Usando a Definição 12.1, se \(F\) é uma primitiva de \(f\) em um intervalo, todas as primitivas de \(f\) nesse intervalo são dadas por

\begin{equation*} \displaystyle \int f(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x = F(x) + C. \end{equation*}

A descrição é intervalar: se o domínio de \(f\) tem mais de uma componente, a constante pode ser escolhida independentemente em cada uma delas.

Exemplo 12.1
Calcule \(\displaystyle \int x^2\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Solução
Pela regra da potência,
\[ \int x^2\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac{x^3}{3}+C. \]
A verificação é imediata: \(\left(x^3/3+C\right)'=x^2\).

12.1.1 Regras básicas de integração

Uma fórmula de integração indefinida pode ser lida como uma fórmula de derivação invertida. A derivação continua sendo o critério de verificação: uma função \(F\) é primitiva de \(f\) precisamente quando \(F'=f\). As regras básicas a seguir são obtidas dessa maneira.

Proposição 12.2
Para \(n\in \mathbb R\), \(n\neq -1\), e \(x\gt 0\), vale
\[ \displaystyle \int x^{n} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {x^{n+1}}{n+1}+C \quad n\neq -1 \]

Demonstração ▼

Levando em consideração que a regra de derivação de potências consiste em:

  • Diminuir a potência de \(x^n\) por 1 obtendo \(x^{n-1}\).

  • Multiplicar \(x^{n-1}\) pela potência inicial \(n\) obtendo \(nx^{n-1}\).

Revertendo o processo passo a passo, temos:

  • Aumentar a potência de \(x^n\) por 1 obtendo \(x^{n+1}\).

  • Dividir \(x^{n+1}\) pelo novo expoente \(n+1\), obtendo \(x^{n+1}/(n+1)\).

Esse argumento sugere que

\[ \displaystyle \int x^{n} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {x^{n+1}}{n+1}+C \quad n\neq -1 \]

De fato, verificando

\begin{align*} \frac{d }{d x}\left[\dfrac {x^{n+1}}{n+1}+C \right]=\dfrac {n+1}{n+1}x^{n+1-1}=x^n \end{align*}

De maneira similar, as regras de derivação que obtivemos nos capítulos anteriores podem ser convertidas em integrais indefinidas:

Proposição 12.3 (Tabela de Integrais Indefinidas)
As fórmulas valem em intervalos nos quais os integrandos estão definidos. Na regra da potência, \(n\neq -1\); para expoentes reais arbitrários, tomamos \(x\gt 0\). Na fórmula exponencial, \(a\gt 0\) e \(a\neq 1\); nas demais fórmulas que contêm o parâmetro \(a\), supomos \(a\gt 0\). A constante pode ser escolhida independentemente em cada componente do domínio.

  1. \(\displaystyle \displaystyle \int x^n \mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {x^{n+1}}{n+1} + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{x} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \ln \left|x\right| + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \operatorname {sen}x \mathop{}\! \mathrm{d} x = -\cos x + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x = \operatorname {sen}x + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \sec ^2 x \mathop{}\! \mathrm{d} x = \operatorname {tg}x + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{\operatorname {sen}^2 x} \mathop{}\! \mathrm{d} x = -\operatorname {cotg}x + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \operatorname {tg}x \mathop{}\! \mathrm{d} x = -\ln \left|\cos x\right|+ C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int e^x \mathop{}\! \mathrm{d} x = e^x + C\).

  3. \(\displaystyle \displaystyle \int a^x \mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {a^x}{\ln a} + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \ \operatorname {cotg}\ x \mathop{}\! \mathrm{d} x = \ln \left|\operatorname {sen}x \right| + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{1+x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \operatorname {arctg}x + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{a^2 + x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {1}{a} \operatorname {arctg}\left(\dfrac {x}{a}\right) + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{a^2 - x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {1}{2a} \ln \left|\dfrac {a+x}{a-x}\right| + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{\sqrt{1-x^2}} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \operatorname {arcsen}(x) + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{\sqrt{a^2-x^2}} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \operatorname {arcsen}\left(\dfrac {x}{a}\right) + C\).

    \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \, \mathop{}\! \mathrm{d} x\)

    \(\displaystyle {}=\ln \left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|+ C\).

Exemplo 12.4
Calcule as seguintes antiderivadas. a \(\displaystyle \int 1 \mathop{}\! \mathrm{d} x \) b \(\displaystyle \int x^4 \mathop{}\! \mathrm{d} x \) c \(\displaystyle \int \dfrac {1}{x^5} \mathop{}\! \mathrm{d} x \) d \(\displaystyle \int \sqrt{x} \mathop{}\! \mathrm{d} x \)
Solução
Pela regra da potência,

  1. \(\displaystyle \int 1\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=x+C\).

  2. \(\displaystyle \int x^4\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=x^5/5+C\).

  3. \(\displaystyle \int x^{-5}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=-1/(4x^4)+C\), em cada lado de \(0\).

  4. \(\displaystyle \int \sqrt x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=(2/3)x^{3/2}+C\), para \(x\gt 0\); a expressão estende-se continuamente a \(0\).

Das propriedades da derivada 9.16 e 9.18, obtemos as seguintes propriedades da integral indefinida.
Teorema 12.5 (Linearidade da integral indefinida)
Se \(F_1\) e \(F_2\) são primitivas de \(f_1\) e \(f_2\) em um mesmo intervalo e \(a\in \mathbb R\), então \(F_1+F_2\) é uma primitiva de \(f_1+f_2\) e \(aF_1\) é uma primitiva de \(af_1\). Em particular,
\[ \int (f_1(x)+f_2(x))\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=F_1(x)+F_2(x)+C \]
e
\[ \int af_1(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=aF_1(x)+C. \]

Demonstração ▼

Pela linearidade da derivada,

\[ (F_1+F_2)'=F_1'+F_2'=f_1+f_2 \qquad \text{e}\qquad (aF_1)'=aF_1'=af_1. \]

Logo, as expressões exibidas descrevem as famílias de primitivas correspondentes. Quando \(a=0\), a segunda família é precisamente a família das funções constantes.

Exemplo 12.6
Calcule a antiderivada de \(f(x)=3x^4-\operatorname {sen}x+6\dfrac {1}{\sqrt{2x}}\).

Solução
Para \(x\gt 0\), escrevemos
\[ \frac{6}{\sqrt{2x}}=\frac{6}{\sqrt2}\, x^{-1/2}. \]
Assim, pela linearidade e pela regra da potência,
\begin{align*} \int \left(3x^4-\operatorname {sen}x+\frac6{\sqrt{2x}}\right)\mathop{}\! \mathrm{d} x & =3\int x^4\, \mathop{}\! \mathrm{d} x-\int \operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x +\frac6{\sqrt2}\int x^{-1/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\\ & =\frac35x^5+\cos x+6\sqrt{2x}+C. \end{align*}
De fato, \((6\sqrt{2x})'=6/\sqrt{2x}\).

Exemplo 12.7
Calcule a antiderivada de \(f(x)=x^{2/3}-3e^x+6\dfrac {1}{x}\).
Solução
Em cada um dos intervalos \((-\infty ,0)\) e \((0,\infty )\),
\[ \int \left(x^{2/3}-3e^x+\frac6x\right)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac35x^{5/3}-3e^x+6\ln |x|+C. \]
As potências com denominador \(3\) são entendidas por meio da raiz cúbica real.
Proposição 12.8
Se \(F\) é uma primitiva de \(f\) e \(a\neq 0\), então, em cada intervalo no qual \(ax+b\) pertence ao domínio de \(f\),
\begin{equation*} \displaystyle \displaystyle \int f(ax+b) \mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {1}{a} F(ax+b) + C. \end{equation*}

Demonstração ▼

Derivando a expressão do lado direito,

\begin{align*} \left(\frac1aF(ax+b)+C\right)’ & =\frac1aF’(ax+b)\, (ax+b)’\\ & =\frac1a f(ax+b)\, a\\ & =f(ax+b). \end{align*}

Portanto, \(F(ax+b)/a\) é uma primitiva de \(f(ax+b)\).

Exemplo 12.9
Calcule a antiderivada de \(f(x)=\dfrac {1}{x+1}\).

Solução
Utilizando a Proposição 12.8 temos:
\begin{equation*} \displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{x+1} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \ln \left(|x+1|\right)+ C \end{equation*}

Exemplo 12.10
Calcule a antiderivada de \(f(x)=\cos (2x+1)\).

Solução
Utilizando a Proposição 12.8 temos:
\begin{equation*} \displaystyle \displaystyle \int \cos (2x+1) \mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {1}{2} \operatorname {sen}(2x+1) + C \end{equation*}
Exercício 12.1
Calcule as seguintes antiderivadas:

  1. \(\displaystyle \int x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  2. \(\displaystyle \int (3x+1)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  3. \(\displaystyle \int x^n \mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  4. \(\displaystyle \int \left( x^{2}+x+1\right) \mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  5. \(\displaystyle \int \dfrac {1}{x^{2}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  6. \(\displaystyle \int \left( x+\frac{1}{x^{3}}\right) \mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  7. \(\displaystyle \int \sqrt[3]{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  8. \(\displaystyle \int \left( 3\sqrt[7]{x^{2}}+\cos (x)\right) \mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  9. \(\displaystyle \int e^{4x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  10. \(\displaystyle \int \cos (3x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  11. \(\displaystyle \int \left( x+3e^{5x}+\cos (2x)\right) \mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  12. \(\displaystyle \int (1-\cos 4x+\operatorname {sen}(x/7))\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  13. \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  14. \(\displaystyle \int \frac{1}{1+x^{2}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  15. \(\displaystyle \int 3^{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  16. \(\displaystyle \int \sec ^{2}(2x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  17. \(\displaystyle \int \operatorname {sen}^{2}(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

Ver solução
As fórmulas valem em cada intervalo do domínio real do integrando. A constante pode ser diferente em componentes distintos.

  1. \(\frac{x^{2}}{2}+C\).

  2. \(\frac32x^2+x+C\).

  3. \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\).

  4. \(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+C\).

  5. \(-\frac1x+C\).

  6. \(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2x^2}+C\).

  7. \(\frac34x^{4/3}+C\).

  8. \(\frac73x^{9/7}+\operatorname {sen}x+C\).

  9. \(\frac14e^{4x}+C\).

  10. \(\frac13\operatorname {sen}(3x)+C\).

  11. \(\frac{x^2}{2}+\frac35e^{5x}+\frac12\operatorname {sen}(2x)+C\).

  12. \(x-\frac14\operatorname {sen}(4x)-7\cos (x/7)+C\).

  13. \(\operatorname {arcsen}x+C\).

  14. \(\operatorname {arctg}x+C\).

  15. \(\frac{3^x}{\ln 3}+C\).

  16. \(\frac12\operatorname {tg}(2x)+C\).

  17. \(\frac{x}{2}-\frac14\operatorname {sen}(2x)+C\).

No item 3, a fórmula exibida requer \(n\neq -1\) e \(x\gt 0\) para expoente real arbitrário; para \(n=-1\), a resposta é \(\ln |x|+C\), em cada lado de \(0\). Nos itens 7 e 8, as potências com denominadores ímpares designam raízes reais; as fórmulas também valem para \(x\lt 0\) e estendem-se a \(0\). No item 17, usamos \(\operatorname {sen}^2x=(1-\cos 2x)/2\).
Exercício 12.2
Neste problema, investigamos por que \(\displaystyle \int \frac1x\mathop{}\! \mathrm{d} x = \ln |x| + C\).

  1. Qual o domínio de \(y = \ln x\)?

  2. Encontre \(\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)\).

  3. Qual o domínio de \(y = \ln (-x)\)?

  4. Encontre \(\frac{d}{dx}\big(\ln (-x)\big)\).

  5. Você deve ter percebido que \( 1 / x \) tem dois tipos de antiderivadas, dependendo se \( x\gt 0 \) ou \( x \lt 0 \). Em uma expressão, forneça uma fórmula para \( \displaystyle \int \frac{1}{x} \mathop{}\! \mathrm{d} x \) que leve em conta esses diferentes domínios e explique sua resposta.

Ver solução

  1. \((0,\infty )\).

  2. \(1/x\), para \(x\gt 0\).

  3. \((-\infty ,0)\).

  4. Pela regra da cadeia, \((\ln (-x))'=(-1)/(-x)=1/x\), para \(x\lt 0\).

  5. Em cada um dos dois intervalos, \(\int (1/x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\ln |x|+C\). Para descrever todas as primitivas no domínio desconexo \(\mathbb R\setminus \{ 0\} \), podemos escolher constantes independentes \(C_-\) para \(x\lt 0\) e \(C_+\) para \(x\gt 0\).

12.2 Integração por substituição

A integração por substituição é a forma inversa da regra da cadeia. Quando o integrando contém uma composição acompanhada, a menos de um fator constante, pela derivada da função interna, uma mudança de variável pode reduzir a integral a uma forma elementar.

Suponha que \(F(x)\) seja uma antiderivada de \(f(x)\) e que \(g(x)\) seja uma função diferenciável. Logo, \(F(g(x))\) é uma antiderivada de \(f(g(x)) g^{\prime }(x)\), já que

\begin{align*} \left(F(g(x))\right)^{\prime } & = F^{\prime }(g(x)) g^{\prime }(x) \nonumber \\ & = f(g(x)) g^{\prime }(x). \nonumber \end{align*}

Dessa forma, se \(F\) é uma primitiva de \(f\) e \(g\) tem valores no domínio de \(f\), então

\begin{equation*} \displaystyle \displaystyle \int f(g(x))g^{\prime }(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=F(g(x))+C. \end{equation*}

Escrevendo \(u=g(x)\) e observando que \(\displaystyle \displaystyle \int f(u)\mathop{}\! \mathrm{d} u=F(u)+C\), temos que

\begin{equation*} \displaystyle \displaystyle \int f(g(x)) g^{\prime }(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \displaystyle \int f(u) \mathop{}\! \mathrm{d} u. \end{equation*}

A fórmula acima é conhecida como método de substituição.

Teorema 12.11 (Método de Substituição)
Se \(F\) é uma primitiva de \(f\) em um intervalo \(J\) e \(g:I\to J\) é diferenciável em um intervalo aberto \(I\), então
\begin{equation*} \displaystyle \displaystyle \int f(g(x)) g^{\prime }(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \displaystyle \int f(u) \mathop{}\! \mathrm{d} u, \end{equation*}
onde \(u = g(x). \)
Exercício 12.3
Retome os itens 9, 10, 11, 12 e 16 do primeiro bloco de exercícios deste capítulo. Em cada parcela composta, identifique a mudança de variável linear implícita e confira a primitiva já obtida por derivação.
Ver solução

  1. No item 9, use \(u=4x\).

  2. No item 10, use \(u=3x\).

  3. No item 11, a parcela polinomial é direta; nas demais, use \(u=5x\) e \(u=2x\).

  4. No item 12, a constante integra diretamente; nas parcelas trigonométricas, use \(u=4x\) e \(u=x/7\).

  5. No item 16, use \(u=2x\).

Exemplo 12.12 (Integração por Substituição)

Calcule \(\displaystyle \int x\operatorname {sen}(x^2+5)\mathop{}\! \mathrm{d} x\).

Solução
Sabendo que a técnica de substituição está intrinsecamente relacionada à regra da cadeia, escolhemos \( u \) como a função interna de \( \operatorname {sen}(x ^2 + 5) \). (Ressaltamos que essa nem sempre é uma boa escolha, mas muitas vezes é a melhor tentativa inicial.) Fazendo \(u = x^2+5\), temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u = 2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). O integrando possui um termo \(x\mathop{}\! \mathrm{d} x\), mas não um termo da forma \(2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Logo, dividimos ambos os lados da expressão por 2:
\[ \mathop{}\! \mathrm{d} u = 2x\mathop{}\! \mathrm{d} x \quad \Rightarrow \quad \frac12du = x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
Agora substituímos
\begin{align*} \displaystyle \int x\operatorname {sen}(x^2+5)\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int \operatorname {sen}(\underbrace{x^2+5}_{u}) \underbrace{x\mathop{}\! \mathrm{d} x}_{\frac12du} \\ & = \displaystyle \int \frac12\operatorname {sen}u\mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = -\frac12\cos u + C \quad \text{ \scriptsize { (trocando $u$ por $x^2+5$)}} \\ & =-\frac12\cos (x^2+5) + C. \end{align*}
Logo, \(\displaystyle \int x\operatorname {sen}(x^2+5)\mathop{}\! \mathrm{d} x = -\frac12\cos (x^2+5)+C\). Podemos verificar a resolução calculando a derivada do lado direito.

Integração por Substituição

  1. Escolha \(u=g(x)\), geralmente, a “função interna” da função composta \(f(g(x))\).

  2. Calcule \(\mathop{}\! \mathrm{d} u= g'(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x\).

  3. Use a substituição \(u=g(x)\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u= g'(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x\) para transformar a integral em uma expressão que envolva apenas \(u\): \(\displaystyle \int f (u) \mathop{}\! \mathrm{d} u\).

  4. Calcule a integral resultante.

  5. Substitua \(u\) por \(g(x)\), de modo a expressar a solução final somente em termos de \(x\).

Exemplo 12.13 (Integração por Substituição)

Calcule \(\displaystyle \int x\sqrt{x+3}\mathop{}\! \mathrm{d} x\).

Solução
Nesse caso, após reconhecer a função composta, escolhemos \(u=x+3\). Dessa forma, \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\mathop{}\! \mathrm{d} x\). A troca de variável, porém, ainda não terminou: o fator \(x\) também precisa ser escrito em termos de \(u\). Por isso, nesta etapa seria incorreto escrever
\[ \int x\sqrt{x+3}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\; \stackrel{?}{=}\; \int x\sqrt{u}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u, \qquad \text{pois o lado direito mistura $x$ e $u$.} \]
Como \(x\) depende de \(u\), precisamos reescrever esse fator antes de integrar. Como \(u = x+3\), temos \(u-3 = x\). Substituímos \(x\) por \(u-3\) e reescrevemos \(\sqrt{u}\) como \(u^\frac 12\).
\begin{align*} \displaystyle \int x\sqrt{x+3} \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int (u-3)u^\frac 12\mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \displaystyle \int \big(u^\frac 32 - 3u^\frac 12\big) \mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \frac25u^\frac 52 - 2u^\frac 32 + C \\ & = \frac25(x+3)^\frac 52 - 2(x+3)^\frac 32 + C. \end{align*}

Exemplo 12.14 (Integração por Substituição)

Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int \left(2x+2\right) e^{x^2+2x+1} \mathop{}\! \mathrm{d} x.\)

Solução
Após reconhecer a composição, escolhemos \(u=x^2+2x+1\). Logo, \(\frac{d u}{d x} = 2x+2\). Pelo método de substituição, concluímos que
\begin{equation*} \displaystyle \displaystyle \int \left(2x+2\right) e^{x^2+2x+1} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \displaystyle \int e^u\mathop{}\! \mathrm{d} u = e^u + C = e^{x^2+2x+1} + C. \end{equation*}

Exemplo 12.15 (Integração por Substituição)

Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int 15x^2 \sqrt[5]{5x^3+7} \mathop{}\! \mathrm{d} x.\)

Solução
Fazendo a substituição \(u=5x^3+7\), \(\frac{d u}{d x}=15x^2\), temos:
\begin{equation*} \displaystyle \displaystyle \int 15x^2 \sqrt[5]{5x^3+7} \mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \displaystyle \int \sqrt[5]{u}\mathop{}\! \mathrm{d} u = \dfrac {5 u^{6/5}}{6} + C = \dfrac {5 (5x^3+7)^{6/5}}{6} + C. \end{equation*}

Exemplo 12.16 (Integração por Substituição)

Calcule \( \displaystyle \int x^2 \sqrt{x+1} \mathop{}\! \mathrm{d} x\).

Solução
Fazendo a substituição \( u = x+1 ,\) temos \( x = u -1 \) e \( \mathop{}\! \mathrm{d} u = \mathop{}\! \mathrm{d} x .\) Então,
\begin{align*} \displaystyle \int x^2 \sqrt{x+1} \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int (u-1)^2 \sqrt{u} \mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \displaystyle \int (u^2 -2u + 1) u^{1/2} \mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \displaystyle \int \left( u^{5/2} - 2 u^{3/2} + u^{1/2}\right) \mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \dfrac {2}{7} u^{7/2} -2 \dfrac {2}{5} u^{5/2} + \dfrac {2}{3} u^{3/2} + C \\ & = \dfrac {2}{7} (x+1)^{7/2} - \dfrac {4}{5} (x+1)^{5/2} + \dfrac {2}{3} (x+1)^{3/2} + C. \end{align*}

Exemplo 12.17 (Integração por Substituição)

Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int \sqrt{\operatorname {sen}x} \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x.\)

Solução
Fazendo a substituição \(t=\operatorname {sen}x\), \(\frac{d t}{d x} = \cos x\) e, assim, temos que
\begin{align*} \displaystyle \displaystyle \int \sqrt{\operatorname {sen}x} \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \displaystyle \int \sqrt{t} \mathop{}\! \mathrm{d} t \nonumber \\ & = \dfrac {2}{3} t^{3/2} + C \nonumber \\ & = \dfrac {2}{3} \operatorname {sen}^{3/2}(x) + C \nonumber \end{align*}

Exemplo 12.18 (Integração por Substituição)

Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {x}{1+x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x.\)

Solução
Observe que \(\left(1+x^2\right)^{\prime } = 2x\). Utilize a substituição \(t=1+x^2\). Logo, \(\frac{d t}{d x} = 2x\), e temos que
\begin{align*} \displaystyle \displaystyle \int \dfrac {x}{1+x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \dfrac {1}{2} \displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{t} \mathop{}\! \mathrm{d} t \nonumber \\ & = \dfrac {1}{2} \ln (t) + C \nonumber \\ & = \dfrac {1}{2} \ln \left(1+x^2\right) + C \nonumber \end{align*}

12.2.1 Integrais trigonométricas

Nas integrais trigonométricas, uma identidade pode revelar a substituição que a expressão original não deixava evidente. Os próximos exemplos combinam esses dois recursos; as estratégias serão retomadas e ampliadas nas seções 14.3 e 14.4.

Exemplo 12.19
Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int \operatorname {sen}^3(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x.\)

Solução
Observe que \(\operatorname {sen}^3(x) = \operatorname {sen}^2(x) \operatorname {sen}x = \left(1 - \cos ^2(x)\right) \operatorname {sen}x\). Utilize a substituição \(t=\cos x\). Logo, \(\frac{d t}{d x} = -\operatorname {sen}x\) e temos que
\begin{align*} \displaystyle \displaystyle \int \operatorname {sen}^3(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \displaystyle \int \left(1 - \cos ^2(x)\right) \operatorname {sen}x \mathop{}\! \mathrm{d} x \nonumber \\ & = - \displaystyle \displaystyle \int \left(1 - t^2 \right) \mathop{}\! \mathrm{d} t \nonumber \\ & = -t + \dfrac {1}{3} t^3 + C \nonumber \\ & = -\left(\cos x - \dfrac {1}{3} \cos ^3(x)\right) + C \nonumber \\ & = \dfrac {1}{3} \cos ^3(x) - \cos x + C. \nonumber \end{align*}

Exemplo 12.20
Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int \operatorname {tg}x \mathop{}\! \mathrm{d} x.\)

Solução
Como \(\operatorname {tg}x=\operatorname {sen}x/\cos x\), tome \(u=\cos x\), de modo que \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-\operatorname {sen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Então
\begin{align*} \int \operatorname {tg}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x & =\int \frac{\operatorname {sen}x}{\cos x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\\ & =-\int \frac{\mathop{}\! \mathrm{d} u}{u}\\ & =-\ln |u|+C\\ & =-\ln |\cos x|+C. \end{align*}
Como \(|\sec x|=1/|\cos x|\), essa forma é equivalente a \(\ln |\sec x|+C\).

Exemplo 12.21
Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int \sec x \mathop{}\! \mathrm{d} x.\)

Solução
Uma transformação algébrica permite reconhecer a derivada de um logaritmo. Multiplicando o numerador e o denominador por \(\sec x+\operatorname {tg}x\), que não se anula onde \(\cos x\neq 0\) porque \((\sec x+\operatorname {tg}x)(\sec x-\operatorname {tg}x)=1\), temos:
\[ \displaystyle \int \sec x\mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \int \dfrac {\sec ^2 x + \sec x\operatorname {tg}x} {\sec x + \operatorname {tg}x} \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
Fazendo a substituição \(u=\sec x + \operatorname {tg}x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u= (\sec ^2 x + \sec x\operatorname {tg}x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Temos
\[ \displaystyle \int \sec x\mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \int \dfrac {\mathop{}\! \mathrm{d} u}{u}= \ln |u|+C= \ln |\sec x+\operatorname {tg}x|+C. \index{integral!secante} \]
Proposição 12.22 (Integrais das funções Trigonométricas)

  • \(\displaystyle \displaystyle \int \operatorname {tg}u \mathop{}\! \mathrm{d} u=\ln |\sec u|+C\)

  • \(\displaystyle \displaystyle \int \operatorname {cotg}u \mathop{}\! \mathrm{d} u=\ln |\operatorname {sen}u|+C\)

  • \(\displaystyle \displaystyle \int \sec u \mathop{}\! \mathrm{d} u=\ln |\sec u +\operatorname {tg}u|+C\)

  • \(\displaystyle \displaystyle \int \operatorname {cossec}u \mathop{}\! \mathrm{d} u=\ln |\operatorname {cossec}u -\operatorname {cotg}u|+C\)

Observação 12.23
A forma \(\int \operatorname {tg}u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u=\ln |\sec u|+C\) é a mesma que aparece na tabela como \(-\ln |\cos u|+C\), pois \(\sec u=1/\cos u\) onde a tangente está definida.

Exemplo 12.24
Calcule \(\displaystyle \int x^2 \operatorname {cossec}x^3 \mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Solução
Faça \(u=x^3\), de modo que \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=3x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Então,
\[ \int x^2\operatorname {cossec}(x^3)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac13\int \operatorname {cossec}u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u =\frac13\ln |\operatorname {cossec}(x^3)-\operatorname {cotg}(x^3)|+C. \]
A igualdade vale em cada intervalo no qual \(\operatorname {sen}(x^3)\neq 0\).
Proposição 12.25 (Integrais Envolvendo as Funções Trigonométricas Inversas)

  • \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{\sqrt{1-u^2}} \mathop{}\! \mathrm{d} u= \operatorname {arcsen}u +C\)

  • \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{1+u^2} \mathop{}\! \mathrm{d} u= \operatorname {arctg}u +C\)

  • \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{|u|\sqrt{u^2-1}}\mathop{}\! \mathrm{d} u=\operatorname {arcsec} u+C,\quad |u|\gt 1\)

Exemplo 12.26
Calcule a \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{\sqrt{1-4x^2}} \mathop{}\! \mathrm{d} x\) b \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {1}{\sqrt{9-4x^2}} \mathop{}\! \mathrm{d} x\) c \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}} \mathop{}\! \mathrm{d} x\)
Solução

  1. Com \(u=2x\), obtemos \(\frac12\operatorname {arcsen}(2x)+C\), para \(|x|\lt 1/2\).

  2. Com \(u=2x/3\), obtemos \(\frac12\operatorname {arcsen}(2x/3)+C\), para \(|x|\lt 3/2\).

  3. Com \(u=e^x\), obtemos

    \[ \int \frac{\mathop{}\! \mathrm{d} u}{\sqrt{1+u^2}}=\ln \bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr)+C =\ln \bigl(e^x+\sqrt{1+e^{2x}}\bigr)+C. \]

    O argumento do logaritmo é positivo para todo \(x\in \mathbb R\).

Exercício 12.4

  1. \(\displaystyle \int 4x^3(x^4+3)^6\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  2. \(\displaystyle \int (6x+2)(3x^2+2x-4)^4\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  3. \(\displaystyle \int x(x^2+4)^7\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  4. \(\displaystyle \int (10x+21)(5x^2+21x+2)^4\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  5. \(\displaystyle \int (6x^2+10x)(2x^3+5x^2+1)^7\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  6. \(\displaystyle \int \cos ^2(x)\operatorname {sen}(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  7. \(\displaystyle \int \operatorname {sen}(5-2x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  8. \(\displaystyle \int \operatorname {cossec}^2(3-x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  9. \(\displaystyle \int \dfrac 1{5x+3}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  10. \(\displaystyle \int \dfrac 1{\sqrt{3x+1}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  11. \(\displaystyle \int \dfrac {x}{\sqrt{x+5}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  12. \(\displaystyle \int \dfrac {x^2}{(x^3+5)^3}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  13. \(\displaystyle \int \dfrac {x}{\sqrt{4-x^2}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  14. \(\displaystyle \int \sec (3x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  15. \(\displaystyle \int \dfrac {x^4-x^2}{\sqrt x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  16. \(\displaystyle \int \dfrac {e^{2\sqrt x}}{\sqrt x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  17. \(\displaystyle \int \dfrac {x^4}{\sqrt{x^5+3}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  18. \(\displaystyle \int \dfrac {\frac1x-2}{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  19. \(\displaystyle \int \dfrac {\ln (2x)}{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  20. \(\displaystyle \int \operatorname {cotg}^2(x)\operatorname {cossec}^2(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  21. \(\displaystyle \int \dfrac 1{x+8}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  22. \(\displaystyle \int \dfrac 5{2x+9}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  23. \(\displaystyle \int x\operatorname {sen}(x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  24. \(\displaystyle \int x^2\sec ^2(x^3+4)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  25. \(\displaystyle \int \operatorname {cotg}^2(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  26. \(\displaystyle \int \cos (x)\sqrt{\operatorname {sen}(x)}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  27. \(\displaystyle \int 4x^3\operatorname {sen}^2(x^4+1)\cos (x^4+1)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  28. \(\displaystyle \int 2x\operatorname {tg}(x^2)\sec ^2(x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  29. \(\displaystyle \int \dfrac {x^3}{\sqrt{x^2+1}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

Ver solução
As fórmulas valem em cada intervalo do domínio real do integrando. A constante pode ser diferente em componentes distintos.

  1. \(\dfrac {(x^4+3)^7}{7}+C\).

  2. \(\dfrac {(3x^2+2x-4)^5}{5}+C\).

  3. \(\dfrac {(x^2+4)^8}{16}+C\).

  4. \(\dfrac {(5x^2+21x+2)^5}{5}+C\).

  5. \(\dfrac {(2x^3+5x^2+1)^8}{8}+C\).

  6. \(-\dfrac {\cos ^3x}{3}+C\).

  7. \(\dfrac {\cos (5-2x)}{2}+C\).

  8. \(\operatorname {cotg}(3-x)+C\).

  9. \(\dfrac 15\ln |5x+3|+C\).

  10. \(\dfrac 23\sqrt{3x+1}+C\).

  11. \(\dfrac 23(x+5)^{3/2}-10\sqrt{x+5}+C\).

  12. \(-\dfrac 1{6(x^3+5)^2}+C\).

  13. \(-\sqrt{4-x^2}+C\).

  14. \(\dfrac 13\ln |\sec (3x)+\operatorname {tg}(3x)|+C\).

  15. \(\dfrac 29x^{9/2}-\dfrac 25x^{5/2}+C\).

  16. \(e^{2\sqrt x}+C\).

  17. \(\dfrac 25\sqrt{x^5+3}+C\).

  18. \(-\dfrac 1{2x^2}+\dfrac 2x+C\).

  19. \(\dfrac 12\bigl(\ln (2x)\bigr)^2+C\).

  20. \(-\dfrac {\operatorname {cotg}^3x}{3}+C\).

  21. \(\ln |x+8|+C\).

  22. \(\dfrac 52\ln |2x+9|+C\).

  23. \(-\dfrac {\cos (x^2)}{2}+C\).

  24. \(\dfrac 13\operatorname {tg}(x^3+4)+C\).

  25. \(-\operatorname {cotg}(x)-x+C\).

  26. \(\dfrac 23\operatorname {sen}^{3/2}(x)+C\).

  27. \(\dfrac 13\operatorname {sen}^3(x^4+1)+C\) (substitua \(u=\operatorname {sen}(x^4+1)\)).

  28. \(\dfrac 12\operatorname {tg}^2(x^2)+C\) (substitua \(u=\operatorname {tg}(x^2)\)).

  29. \(\dfrac 13(x^2+1)^{3/2}-\sqrt{x^2+1}+C\) (escreva \(x^3=x\bigl[(x^2+1)-1\bigr]\) antes de substituir).

Exercício 12.5

  1. \(\displaystyle \int e^{4x+1}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  2. \(\displaystyle \int x^3e^{x^4}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  3. \(\displaystyle \int (x-2)e^{(x-2)^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  4. \(\displaystyle \int \dfrac {e^x+3}{e^x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  5. \(\displaystyle \int \dfrac {e^x-e^{-x}}{e^{3x}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  6. \(\displaystyle \int 5^{2x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  7. \(\displaystyle \int 2^{3x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  8. \(\displaystyle \int \dfrac {\ln x}{4x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  9. \(\displaystyle \int \dfrac {(\ln x)^3}{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  10. \(\displaystyle \int \dfrac {\ln (x^5)}{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  11. \(\displaystyle \int \dfrac 1{x\ln (x^3)}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  12. \(\displaystyle \int \dfrac {x^2+5x+2}{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  13. \(\displaystyle \int \dfrac {x^3+2x^2+x+3}{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  14. \(\displaystyle \int \dfrac {x^3+1}{x+1}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  15. \(\displaystyle \int \dfrac {x^2+3x-4}{x-2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  16. \(\displaystyle \int \dfrac {2x^2-3x+5}{x+2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  17. \(\displaystyle \int \dfrac {x^2+4x+4}{x^3+6x^2+12x+8}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  18. \(\displaystyle \int \dfrac {2x^3+3x^2+12x+2}{x^2+2x+4}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  19. \(\displaystyle \int \dfrac {8x+24}{x^2+6x+11}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  20. \(\displaystyle \int \dfrac {18x+30}{3x^2+10x+21}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  21. \(\displaystyle \int \dfrac {-x^3+10x^2-5x-25}{x^2-5x+10}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  22. \(\displaystyle \int \dfrac 9{x^2+9}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  23. \(\displaystyle \int \dfrac 4{\sqrt{16-x^2}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  24. \(\displaystyle \int \dfrac {12}{\sqrt{7-x^2}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  25. \(\displaystyle \int \dfrac 3{x\sqrt{x^2-16}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  26. \(\displaystyle \int \dfrac 7{x\sqrt{x^2-25}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  27. \(\displaystyle \int \dfrac {e^{2x}}{1+e^{2x}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  28. \(\displaystyle \int \dfrac {1+\ln x}{x\ln x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

Ver solução
As fórmulas valem em cada intervalo do domínio real do integrando. A constante pode ser diferente em componentes distintos.

  1. \(\dfrac 14e^{4x+1}+C\).

  2. \(\dfrac 14e^{x^4}+C\).

  3. \(\dfrac 12e^{(x-2)^2}+C\).

  4. \(x-3e^{-x}+C\).

  5. \(-\dfrac 12e^{-2x}+\dfrac 14e^{-4x}+C\).

  6. \(\dfrac {5^{2x}}{2\ln 5}+C\).

  7. \(\dfrac {2^{3x}}{3\ln 2}+C\).

  8. \(\dfrac 18(\ln x)^2+C\).

  9. \(\dfrac 14(\ln x)^4+C\).

  10. \(\dfrac 52(\ln x)^2+C\).

  11. \(\dfrac 13\ln |\ln (x^3)|+C\).

  12. \(\dfrac {x^2}{2}+5x+2\ln |x|+C\).

  13. \(\dfrac {x^3}{3}+x^2+x+3\ln |x|+C\).

  14. \(\dfrac {x^3}{3}-\dfrac {x^2}{2}+x+C\).

  15. \(\dfrac {x^2}{2}+5x+6\ln |x-2|+C\).

  16. \(x^2-7x+19\ln |x+2|+C\).

  17. \(\ln |x+2|+C\).

  18. \(x^2-x+3\ln (x^2+2x+4)+C\).

  19. \(4\ln (x^2+6x+11)+C\).

  20. \(3\ln |3x^2+10x+21|+C\).

  21. \(-\dfrac {x^2}{2}+5x+15\ln (x^2-5x+10)+C\).

  22. \(3\operatorname {arctg}\! \left(\dfrac x3\right)+C\).

  23. \(4\operatorname {arcsen}\! \left(\dfrac x4\right)+C\).

  24. \(12\operatorname {arcsen}\! \left(\dfrac x{\sqrt7}\right)+C\).

  25. \(\dfrac 34\arccos \! \left(\dfrac 4{|x|}\right)+C\).

  26. \(\dfrac 75\arccos \! \left(\dfrac 5{|x|}\right)+C\).

  27. \(\dfrac 12\ln (1+e^{2x})+C\) (substitua \(u=1+e^{2x}\)).

  28. \(\ln |x\ln x|+C\) (separe em \(\frac1x+\frac1{x\ln x}\) antes de integrar).

Exercício 12.6

  1. \(\displaystyle \int \dfrac {3x}{\sqrt{1-9x^4}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  2. \(\displaystyle \int \dfrac {x}{x^4+16}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  3. \(\displaystyle \int \dfrac 3{9x^2+4}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  4. \(\displaystyle \int \dfrac 1{x\sqrt{9x^2-1}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  5. \(\displaystyle \int \dfrac 1{\sqrt{25-4x^2}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  6. \(\displaystyle \int \dfrac 1{x^2-4x+13}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  7. \(\displaystyle \int \dfrac 4{\sqrt{-x^2+4x+5}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  8. \(\displaystyle \int \dfrac 5{\sqrt{-x^2+10x+11}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  9. \(\displaystyle \int \dfrac 7{x^2+8x+41}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  10. \(\displaystyle \int \dfrac {5x-3}{x^2-4x+13}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  11. \(\displaystyle \int \dfrac {9-3x}{x^2+8x+41}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  12. \(\displaystyle \int \dfrac {x^2+3x-7}{x^2-6x+15}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  13. \(\displaystyle \int \dfrac {x^3}{x^2+16}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  14. \(\displaystyle \int \dfrac {x^3-2x}{x^2+2x+10}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  15. \(\displaystyle \int \dfrac {\operatorname {sen}(x)}{1+4\cos ^2(x)}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  16. \(\displaystyle \int \dfrac {\cos (x)}{1+4\operatorname {sen}^2(x)}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  17. \(\displaystyle \int \dfrac {\operatorname {sen}(x)}{\operatorname {sen}^2(x)-1}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  18. \(\displaystyle \int \dfrac {5x-10}{\sqrt{x^2-4x-1}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  19. \(\displaystyle \int \dfrac {x-4}{\sqrt{x^2-8x+10}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  20. \(\displaystyle \int \dfrac {x^3}{\sqrt{1-x^8}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  21. \(\displaystyle \int \dfrac {x^4+1}{x^2+1}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  22. \(\displaystyle \int \operatorname {cotg}x\mathop{}\! \mathrm{d} x \). A dica é reescrever \(\operatorname {cotg}x\) como \(\cos x/\operatorname {sen}x\), e fazer \(u=\operatorname {sen}x\).

  23. \(\displaystyle \int \operatorname {cossec}x\mathop{}\! \mathrm{d} x \). A dica é multiplicar \(\operatorname {cossec}x\) por \((\operatorname {cossec}x+\operatorname {cotg}x)/(\operatorname {cossec}x+\operatorname {cotg}x)\).

  24. \(\displaystyle \int \cos ^3(x) \operatorname {sen}(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  25. \(\displaystyle \int \frac{e^x}{e^x+1}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  26. \(\displaystyle \int \operatorname {sen}\big(5x+1\big)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

Ver solução
As fórmulas valem em cada intervalo do domínio real do integrando. A constante pode ser diferente em componentes distintos.

  1. \(\dfrac 12\operatorname {arcsen}(3x^2)+C\).

  2. \(\dfrac 18\operatorname {arctg}\! \left(\dfrac {x^2}{4}\right)+C\).

  3. \(\dfrac 12\operatorname {arctg}\! \left(\dfrac {3x}{2}\right)+C\).

  4. \(\arccos \! \left(\dfrac 1{3|x|}\right)+C\).

  5. \(\dfrac 12\operatorname {arcsen}\! \left(\dfrac {2x}{5}\right)+C\).

  6. \(\dfrac 13\operatorname {arctg}\! \left(\dfrac {x-2}{3}\right)+C\).

  7. \(4\operatorname {arcsen}\! \left(\dfrac {x-2}{3}\right)+C\).

  8. \(5\operatorname {arcsen}\! \left(\dfrac {x-5}{6}\right)+C\).

  9. \(\dfrac 75\operatorname {arctg}\! \left(\dfrac {x+4}{5}\right)+C\).

  10. \(\dfrac 52\ln (x^2-4x+13)+\dfrac 73\operatorname {arctg}\! \left(\dfrac {x-2}{3}\right)+C\).

  11. \(-\dfrac 32\ln (x^2+8x+41)+\dfrac {21}5\operatorname {arctg}\! \left(\dfrac {x+4}{5}\right)+C\).

  12. \(x+\dfrac 92\ln (x^2-6x+15)+\dfrac 5{\sqrt6}\operatorname {arctg}\! \left(\dfrac {x-3}{\sqrt6}\right)+C\).

  13. \(\dfrac {x^2}{2}-8\ln (x^2+16)+C\).

  14. \(\dfrac {x^2}{2}-2x-4\ln (x^2+2x+10)+\dfrac {28}3\operatorname {arctg}\! \left(\dfrac {x+1}{3}\right)+C\).

  15. \(-\dfrac 12\operatorname {arctg}(2\cos x)+C\).

  16. \(\dfrac 12\operatorname {arctg}(2\operatorname {sen}x)+C\).

  17. \(-\sec x+C\).

  18. \(5\sqrt{x^2-4x-1}+C\).

  19. \(\sqrt{x^2-8x+10}+C\).

  20. \(\dfrac 14\operatorname {arcsen}(x^4)+C\) (substitua \(u=x^4\)).

  21. \(\dfrac {x^3}{3}-x+2\operatorname {arctg}(x)+C\) (divida antes: \(\dfrac {x^4+1}{x^2+1}=x^2-1+\dfrac 2{x^2+1}\)).

  22. \(\ln |\operatorname {sen}x|+C\).

  23. \(\ln |\operatorname {cossec}x-\operatorname {cotg}x|+C\).

  24. \(-\dfrac 14\cos ^4x+C\).

  25. \(\ln (1+e^x)+C\).

  26. \(-\dfrac 15\cos (5x+1)+C\).

12.3 Integração por partes

A regra do produto fornece uma segunda técnica fundamental. Escrita ao contrário, ela permite transferir a derivação de um fator para outro e substituir a integral original por uma nova integral. Essa é a integração por partes; sua eficiência depende da escolha dos fatores.

Teorema 12.27
Sejam \(f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}\) diferenciáveis em \((a,b)\). Se existir uma antiderivada de \(f'(x)g(x)\), então também existirá uma antiderivada de \(f(x)g'(x)\) e valerá a fórmula de integração por partes:

\begin{equation} \label{equa-i} \displaystyle \int f(x) g'(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x = f(x) g(x) - \displaystyle \int f'(x) g(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x \tag{12.2} \end{equation}

Demonstração ▼

Para cada \(x\in (a,b)\), a regra do produto fornece

\[ [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x), \]

ou, equivalentemente,

\[ f(x)g'(x)=[f(x)g(x)]'-f'(x)g(x). \]

Como \(f(x)g(x)\) é uma antiderivada de \([f(x)g(x)]'\), integrar essa identidade dá a Equação (12.2).

Notação 12.28
Se denotarmos \(u=f(x)\)  e  \(v=g(x)\) , temos
\[ \mathop{}\! \mathrm{d} u=f'(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\qquad \text{e}\qquad \mathop{}\! \mathrm{d} v=g'(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
e podemos reescrever a Equação (12.2) como
\[ \displaystyle \int u\mathop{}\! \mathrm{d} v = uv - \displaystyle \int v\mathop{}\! \mathrm{d} u \]

Exemplo 12.29 (Integração por Partes)

Calcule \(\displaystyle \int x\cos {x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\).

Solução
A chave para a integração por partes é identificar uma parte do integrando como “\( u \)” e outra como “\( \mathop{}\! \mathrm{d} v \)”. A prática ajudará a fazer boas escolhas; mais adiante, apresentaremos alguns princípios que auxiliam nesse processo. Nesse exemplo, escolheremos \( u = x \), pois sua derivada é uma constante (e, assim, esperamos que a integral do lado direito seja mais simples); consequentemente, escolhemos \( \mathop{}\! \mathrm{d} v = \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x \). Em geral, é útil fazer uma pequena tabela de valores, como abaixo. Inicialmente, conhecemos apenas \( u \) e \( \mathop{}\! \mathrm{d} v\), como mostrado no lado esquerdo da Figura 12.2; à direita, preenchemos os valores restantes. Se \( u = x \), então \( \mathop{}\! \mathrm{d} u = \mathop{}\! \mathrm{d} x \). Como \( \mathop{}\! \mathrm{d} v = \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x \), \( v \) é uma antiderivada de \( \cos x \). Logo, podemos escolher \(v=\operatorname {sen}x\).
\begin{align*} u & = x & v & =\text{?} \\ \mathop{}\! \mathrm{d} u & = \text{?} & \mathop{}\! \mathrm{d} v & =\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x \end{align*}
\(\Rightarrow \)
\begin{align*} u & = x & v & =\operatorname {sen}x \\ \mathop{}\! \mathrm{d} u & = \mathop{}\! \mathrm{d} x & \mathop{}\! \mathrm{d} v & =\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x \end{align*}
Figura 12.2 Montando a Integração por Partes

Fazendo as substituições na integral por partes, temos
\[ \displaystyle \int x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x = x\operatorname {sen}x - \displaystyle \int \operatorname {sen}x \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
Integrando \(\operatorname {sen}x\), temos \(-\cos x + C\) e, assim,
\[ \displaystyle \int x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x = x\operatorname {sen}x + \cos x + C. \]
O exemplo acima demonstra como a integração por partes funciona de modo geral. Tentamos identificar \( u \) e \( \mathop{}\! \mathrm{d} v \) na integral dada, e o ponto crucial é que geralmente queremos escolhê-los de modo que \( \mathop{}\! \mathrm{d} u \) seja mais simples do que \( u \) e que \( v \) não seja muito mais complicado do que \(\mathop{}\! \mathrm{d} v \). Isso significa que a integral do lado direito da fórmula de integração por partes, \( \displaystyle \int v \mathop{}\! \mathrm{d} u \), será mais simples do que o integrando original \( \displaystyle \int u \mathop{}\! \mathrm{d} v \). No exemplo acima, nós escolhemos \( u = x \) e \( \mathop{}\! \mathrm{d} v = \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x \). Então \( \mathop{}\! \mathrm{d} u = \mathop{}\! \mathrm{d} x \) era mais simples do que \( u \) e \( v = \operatorname {sen}x \) não é mais complicado do que \( \mathop{}\! \mathrm{d} v \). Portanto, em vez de integrar \( x \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x \), poderíamos integrar \( \operatorname {sen}x \mathop{}\! \mathrm{d} x \), o que sabemos fazer.

Exemplo 12.30 (Integração por Partes)

Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int x e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\).

Solução

Fazemos \(u=x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Logo \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v=e^x\).

Logo, utilizando integração por partes, temos

\[ \displaystyle \int x e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x = xe^x - \displaystyle \int e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
\[ \displaystyle \int xe^x\mathop{}\! \mathrm{d} x = xe^x - e^x + C. \]

Exemplo 12.31 (Integração por Partes)

Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int x^2\cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x\).

Solução

Faremos \(u=x^2\) e, logo, \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Assim, \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v=\operatorname {sen}x\).

A fórmula de integração por partes fornece então:

\[ \displaystyle \int x^2\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x = x^2\operatorname {sen}x - \displaystyle \int 2x\operatorname {sen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

Neste ponto, podemos constatar que a integral à direita é realmente mais simples do que aquela com que começamos, mas, para calculá-la, precisaremos fazer novamente uma integração por partes. Agora, escolhemos \( u = 2x \) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\operatorname {sen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\).

Como

\[ \int 2x\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=-2x\cos x+2\int \cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x, \]

temos

\[ \int x^2\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =x^2\operatorname {sen}x+2x\cos x-2\int \cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

Logo,

\[ \displaystyle \int x^2\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x = x^2\operatorname {sen}x + 2x\cos x - 2\operatorname {sen}x + C. \]

Exemplo 12.32 (Integração por Partes)

Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int e^x\cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x\).

Solução

Essa é uma integral clássica. Faremos \(u=e^x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v = \cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Então, \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v=\operatorname {sen}x\):

Neste caso, \(\mathop{}\! \mathrm{d} u\) não é mais simples do que \(u\). Ainda assim, a repetição da integração por partes permite obter uma equação para a integral procurada. A primeira aplicação fornece

\[ \displaystyle \int e^x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x = e^x\operatorname {sen}x - \displaystyle \int e^x\operatorname {sen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

A integral à direita tem estrutura semelhante à inicial. Aplicando novamente a integração por partes, agora com \( u = e ^x \) e \( \mathop{}\! \mathrm{d} v = \operatorname {sen}x \mathop{}\! \mathrm{d} x \), obtemos:

Na segunda aplicação,

\[ \int e^x\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=-e^x\cos x+\int e^x\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

Substituindo essa expressão na primeira integração por partes,

\begin{align*} \int e^x\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x & =e^x\operatorname {sen}x-\left(-e^x\cos x+\int e^x\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\right)\\ & =e^x\operatorname {sen}x+e^x\cos x-\int e^x\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \end{align*}

O lado direito contém novamente \(\displaystyle \int e^x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Essa igualdade permite isolar a integral e determinar seu valor.

Adicionando \(\displaystyle \int e^x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\) a ambos os lados, obtemos, para uma escolha de primitivas,

\begin{align*} 2\displaystyle \int e^x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x & = e^x\operatorname {sen}x + e^x\cos x \\ \text{Dividindo ambos os lados por $2$:} \displaystyle \int e^x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \frac{1}{2}\big(e^x\operatorname {sen}x + e^x\cos x\big). \end{align*}

Simplificando, temos

\[ \displaystyle \int e^x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x = \frac12e^x\left(\operatorname {sen}x + \cos x\right)+C. \]

Exemplo 12.33 (Integração por Partes)

Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int \ln x\mathop{}\! \mathrm{d} x\).

Solução

Até este ponto, obtivemos regras para integrar as funções trigonométricas familiares e \( e^x \), mas ainda não apresentamos uma regra para integrar \( \ln x \). Isso porque \( \ln x \) não podia ser facilmente integrado com nenhuma das regras que apresentamos até aqui. A integração por partes também se aplica a um integrando escrito como produto de uma função pelo fator constante um. Escolhendo \( u = \ln x \) e \( \mathop{}\! \mathrm{d} v = \mathop{}\! \mathrm{d} x \), obtemos \( \mathop{}\! \mathrm{d} u =(1 / x) \mathop{}\! \mathrm{d} x \) e \( v =x \).

Logo, por integração por partes

\[ \displaystyle \int \ln x\mathop{}\! \mathrm{d} x = x\ln x - \displaystyle \int x\, \frac1x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

Essa expressão pode ser simplificada para:

\[ \displaystyle \int \ln x\mathop{}\! \mathrm{d} x = x\ln {x} - x + C. \]

Exemplo 12.34 (Integração por Partes)

Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int \operatorname {arctg}x \mathop{}\! \mathrm{d} x\).

Solução
Utilizaremos o mesmo procedimento da integral anterior. Faça \(u=\operatorname {arctg}x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Então, \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=1/(1+x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v=x\). Por integração por partes, temos:
\[ \displaystyle \int \operatorname {arctg}x \mathop{}\! \mathrm{d} x = x\operatorname {arctg}x - \displaystyle \int \frac x{1+x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
A última integral pode ser calculada por substituição. Para não reutilizar a variável já empregada na integração por partes, faça \(w=1+x^2\), de modo que \(\ \mathop{}\! \mathrm{d} w=2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Assim, \(\displaystyle \int \operatorname {arctg}x \mathop{}\! \mathrm{d} x = x\operatorname {arctg}x - \frac12\displaystyle \int \frac1{w}\ \mathop{}\! \mathrm{d} w.\) Logo
\[ \displaystyle \int \operatorname {arctg}x\mathop{}\! \mathrm{d} x = x\operatorname {arctg}x - \frac12\ln (1+x^2) + C. \]
Exercício 12.7
Em cada integral, escolha \(u\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v\) de modo que a nova integral seja mais simples. Não é necessário concluir o cálculo.

  1. \(\int x^3e^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  2. \(\int x\cos (2x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  3. \(\int \ln x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\)

Ver solução
Uma escolha natural é, respectivamente: \(u=x^3\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\); \(u=x\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos (2x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\); e \(u=\ln x\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Exercício 12.8
Calcule \(\int x\cos (2x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Ver solução
\[ \int x\cos (2x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac{x}{2}\operatorname {sen}(2x)+\frac14\cos (2x)+C. \]
Exercício 12.9
Calcule \(\int x^2e^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) usando integração por partes duas vezes.
Ver solução
\[ \int x^2e^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=e^x(x^2-2x+2)+C. \]

12.3.1 Fórmulas de recorrência

Às vezes, a integração por partes não encerra o cálculo, mas reduz um expoente e produz uma integral da mesma família. Ao registrar essa relação, obtemos uma fórmula de recorrência, que permite reduzir o problema sucessivamente até um caso conhecido.

Teorema 12.35 (Recorrências para potências de seno e cosseno)
Para todo inteiro \(n\geq 2\), valem as identidades entre primitivas:
  1. \[ \int \operatorname {sen}^n x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=-\frac{\cos x\, \operatorname {sen}^{n-1}x}{n} +\frac{n-1}{n}\int \operatorname {sen}^{n-2}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x; \]
  2. \[ \int \cos ^n x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac{\operatorname {sen}x\, \cos ^{n-1}x}{n} +\frac{n-1}{n}\int \cos ^{n-2}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
As constantes de integração podem ser incorporadas à primitiva do segundo membro. Os casos iniciais são \(\int 1\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=x+C\), \(\int \operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=-\cos x+C\) e \(\int \cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\operatorname {sen}x+C\).

Demonstração ▼

Para o item 1., escreva \(S_n=\int \operatorname {sen}^n x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e integre por partes com \(u=\operatorname {sen}^{n-1}x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Como \(v=-\cos x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=(n-1)\operatorname {sen}^{n-2}x\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), obtemos

\begin{align*} S_n& =-\operatorname {sen}^{n-1}x\cos x +(n-1)\int \operatorname {sen}^{n-2}x\cos ^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\\ & =-\operatorname {sen}^{n-1}x\cos x+(n-1)S_{n-2}-(n-1)S_n. \end{align*}

Na segunda igualdade usamos \(\cos ^2x=1-\operatorname {sen}^2x\). Reunindo os termos em \(S_n\) e dividindo por \(n\), chegamos à primeira recorrência.

Para o item 2., escreva \(C_n=\int \cos ^n x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e tome \(u=\cos ^{n-1}x\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Então \(v=\operatorname {sen}x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-(n-1)\cos ^{n-2}x\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), de modo que

\begin{align*} C_n& =\cos ^{n-1}x\operatorname {sen}x +(n-1)\int \cos ^{n-2}x\operatorname {sen}^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\\ & =\cos ^{n-1}x\operatorname {sen}x+(n-1)C_{n-2}-(n-1)C_n. \end{align*}

Agora usamos \(\operatorname {sen}^2x=1-\cos ^2x\). Isolando \(C_n\), obtemos a segunda recorrência.

Proposição 12.36 (Recorrência para \(x^ne^x\))
Para todo inteiro \(n\geq 1\),
\[ \int x^ne^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=x^ne^x-n\int x^{n-1}e^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

Demonstração ▼

Fazendo \(u=x^n\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\), temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=nx^{n-1}\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v=e^x\). Aplicando a integração por partes, obtemos:

\begin{align*} \int x^n e^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x & =x^n e^x-\int e^x\, nx^{n-1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\\ & =x^n e^x-n\int x^{n-1}e^x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \end{align*}

Proposição 12.37 (Recorrência para potências da secante)
Para todo inteiro \(n\geq 2\),
\[ \int \sec ^n x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac{\operatorname {tg}x\, \sec ^{n-2}x}{n-1} +\frac{n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

Demonstração ▼

A prova é por integração por partes:

\begin{align*} \displaystyle \int \sec ^n(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \int \sec ^2(x)\sec ^{n-2}(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \operatorname {tg}(x)\sec ^{n-2}(x) - \int \operatorname {tg}(x)\frac{d\sec ^{n-2}(x)}{dx}\mathop{}\! \mathrm{d} x .\end{align*}

Como a derivada de \(\sec ^{n-2}(x) = (\sec (x))^{n-2}\) é \((n-2)\sec ^{n-3}(x)\sec (x)\operatorname {tg}(x)\), temos:

\[ \displaystyle \int \sec ^n(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x = \operatorname {tg}(x)\sec ^{n-2}(x) - (n-2)\int \operatorname {tg}^2 (x)\sec ^{n-2}(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x \]

Agora, usando a identidade \(\operatorname {tg}^2(x) = \sec ^2(x) - 1\), temos:

\begin{align*} \int \sec ^n x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x& =\operatorname {tg}x\sec ^{n-2}x-(n-2)\int \sec ^n x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\\ & \quad +(n-2)\int \sec ^{n-2}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \end{align*}

ou seja,

\[ I_n = \operatorname {tg}(x)\sec ^{n-2}(x) - (n-2)I_n + (n-2)I_{n-2} \]

Adicionando \((n-2)I_{n}\) a ambos os lados, temos:

\[ (n-1)I_n = \operatorname {tg}(x)\sec ^{n-2}(x) + (n-2)I_{n-2} \]

Como \(n\geq 2\), temos \(n-1\neq 0\); dividindo por \(n-1\), obtemos a fórmula anunciada.


Exercício 12.10
Calcule as seguintes integrais indefinidas:

  1. \(\displaystyle \int x\operatorname {sen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  2. \(\displaystyle \int xe^{-x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  3. \(\displaystyle \int x^2\operatorname {sen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  4. \(\displaystyle \int x^3\operatorname {sen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  5. \(\displaystyle \int xe^{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  6. \(\displaystyle \int x^3e^{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  7. \(\displaystyle \int xe^{-2x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  8. \(\displaystyle \int e^{2x}\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  9. \(\displaystyle \int e^{2x}\operatorname {sen}(3x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  10. \(\displaystyle \int e^{5x}\cos (5x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  11. \(\displaystyle \int \operatorname {sen}x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  12. \(\displaystyle \int \operatorname {arcsen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  13. \(\displaystyle \int \operatorname {arctg}(2x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  14. \(\displaystyle \int x\operatorname {arctg}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  15. \(\displaystyle \int \operatorname {arcsen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  16. \(\displaystyle \int x\cosh x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  17. \(\displaystyle \int x\operatorname {senh}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  18. \(\displaystyle \int x\ln x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  19. \(\displaystyle \int (x-2)\ln x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  20. \(\displaystyle \int x\ln (x-1)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  21. \(\displaystyle \int x\ln (x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  22. \(\displaystyle \int x^2\ln x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  23. \(\displaystyle \int \left(\ln x\right)^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  24. \(\displaystyle \int \left(\ln (x+1)\right)^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  25. \(\displaystyle \int x\sec ^2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  26. \(\displaystyle \int x\operatorname {cossec}^2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

Ver solução
As fórmulas valem em cada intervalo do domínio real do integrando. A constante pode ser diferente em componentes distintos.

  1. \(-x\cos x+\operatorname {sen}x+C\).

  2. \(-(x+1)e^{-x}+C\).

  3. \(-x^2\cos x+2x\operatorname {sen}x+2\cos x+C\).

  4. \(-x^3\cos x+3x^2\operatorname {sen}x+6x\cos x-6\operatorname {sen}x+C\).

  5. \(\dfrac 12e^{x^2}+C\).

  6. \(e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C\).

  7. \(-\dfrac 14(2x+1)e^{-2x}+C\).

  8. \(\dfrac 15e^{2x}(2\cos x+\operatorname {sen}x)+C\).

  9. \(\dfrac 1{13}e^{2x}\bigl(2\operatorname {sen}(3x)-3\cos (3x)\bigr)+C\).

  10. \(\dfrac 1{10}e^{5x}\bigl(\cos (5x)+\operatorname {sen}(5x)\bigr)+C\).

  11. \(\dfrac 12\operatorname {sen}^2x+C\).

  12. \(x\operatorname {arcsen}x+\sqrt{1-x^2}+C\).

  13. \(x\operatorname {arctg}(2x)-\dfrac 14\ln (1+4x^2)+C\).

  14. \(\dfrac 12(1+x^2)\operatorname {arctg}x-\dfrac x2+C\).

  15. \(x\operatorname {arcsen}x+\sqrt{1-x^2}+C\).

  16. \(x\operatorname {senh}x-\cosh x+C\).

  17. \(x\cosh x-\operatorname {senh}x+C\).

  18. \(\dfrac {x^2}{2}\ln x-\dfrac {x^2}{4}+C\).

  19. \(\left(\dfrac {x^2}{2}-2x\right)\ln x-\dfrac {x^2}{4}+2x+C\).

  20. \(\dfrac {x^2-1}{2}\ln (x-1)-\dfrac {x^2}{4}-\dfrac x2+C\).

  21. \(\dfrac {x^2}{2}\ln (x^2)-\dfrac {x^2}{2}+C\).

  22. \(\dfrac {x^3}{3}\ln x-\dfrac {x^3}{9}+C\).

  23. \(x\bigl((\ln x)^2-2\ln x+2\bigr)+C\).

  24. \((x+1)\bigl((\ln (x+1))^2-2\ln (x+1)+2\bigr)+C\).

  25. \(x\operatorname {tg}x+\ln |\cos x|+C\).

  26. \(-x\operatorname {cotg}x+\ln |\operatorname {sen}x|+C\).

Os itens 12 e 15 retomam a mesma integral: no segundo, pode-se conferir diretamente a primitiva por diferenciação. Nos itens 5 e 11, uma substituição simples resolve o cálculo mesmo estando o exercício na seção de integração por partes.
Exercício 12.11

  1. \(\displaystyle \int x\sec ^2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  2. \(\displaystyle \int x\operatorname {tg}^2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  3. \(\displaystyle \int x\operatorname {cotg}^2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  4. \(\displaystyle \int \operatorname {cossec}x\operatorname {cotg}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

Ver solução
As fórmulas valem em cada intervalo do domínio real do integrando. A constante pode ser diferente em componentes distintos.

  1. \(x\operatorname {tg}x+\ln |\cos x|+C\).

  2. \(x\operatorname {tg}x+\ln |\cos x|-\dfrac {x^2}2+C\).

  3. \(-x\operatorname {cotg}x+\ln |\operatorname {sen}x|-\dfrac {x^2}2+C\).

  4. \(-\operatorname {cossec}x+C\).

Exercício 12.12
Calcule a integral indefinida depois de fazer uma substituição.

  1. \(\displaystyle \int \cos (\ln x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  2. \(\displaystyle \int \cos (\sqrt{x})\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  3. \(\displaystyle \int \ln \bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  4. \(\displaystyle \int e^{3\sqrt{x}}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

  5. \(\displaystyle \int e^{-\ln x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)

Ver solução
As fórmulas valem em cada intervalo do domínio real do integrando. A constante pode ser diferente em componentes distintos.

  1. \(\dfrac x2\bigl(\cos (\ln x)+\operatorname {sen}(\ln x)\bigr)+C\).

  2. \(2\sqrt x\, \operatorname {sen}(\sqrt x)+2\cos (\sqrt x)+C\).

  3. \(\dfrac x3(\ln x-1)+C\).

  4. \(\dfrac 23\sqrt x\, e^{3\sqrt x}-\dfrac 29e^{3\sqrt x}+C\).

  5. \(\ln x+C\).

As substituições dos itens 1, 2 e 4 são \(u=\ln x\), \(u=\sqrt x\) e \(u=\sqrt x\), respectivamente. No item 3, \(\ln \bigl(\sqrt[3]x\bigr)=\frac13\ln x\); no item 5, \(e^{-\ln x}=1/x\), sempre com \(x\gt 0\).

Exercício 12.13
Encontre a família de primitivas de
\[ 6x^5-\frac4{x^3}+3\cos x-2e^x. \]
Diferencie a resposta para conferi-la.
Ver solução
\(x^6+2/x^2+3\operatorname {sen}x-2e^x+C\), em cada intervalo que não contém \(0\). A derivada dessa expressão é o integrando dado.
Exercício 12.14
Determine a função \(s(t)\) sabendo que \(s'(t)=3t^2-8t+6\), \(s(0)=14\). Interprete a constante de integração no contexto de posição.
Ver solução
\(s(t)=t^3-4t^2+6t+14\). A constante \(14\) é a posição inicial \(s(0)\).
Exercício 12.15
Calcule \(\int x\sqrt{5-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) por substituição e explicite a escolha de variável nova.
Ver solução
Com \(u=5-x^2\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\),
\[ \int x\sqrt{5-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=-\frac13(5-x^2)^{3/2}+C. \]
Exercício 12.16
Calcule \(\int \operatorname {sen}^3x\cos ^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) sem usar uma tabela de integrais. Indique a identidade e a substituição empregadas.
Ver solução
Escreva \(\operatorname {sen}^3x=\operatorname {sen}x(1-\cos ^2x)\) e faça \(u=\cos x\). Então
\[ \int \operatorname {sen}^3x\cos ^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=-\frac13\cos ^3x+\frac15\cos ^5x+C. \]
Exercício 12.17
A taxa de entrada de água num reservatório é \(r(t)=40+12\operatorname {sen}(\pi t/6)\) L/min. Determine uma expressão para a quantidade acumulada após \(t\) minutos se havia \(250\) L inicialmente.
Ver solução
\[ Q(t)=250+40t+\frac{72}{\pi }\left(1-\cos \frac{\pi t}{6}\right) \quad \text{litros}. \]
Exercício 12.18
Use integração por partes para calcular \(\int x\ln (x+1)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Justifique a escolha de \(u\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v\).
Ver solução
Escolhendo \(u=\ln (x+1)\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), o logaritmo é simplificado ao derivar. Para \(x\gt -1\),
\[ \int x\ln (x+1)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac{x^2}{2}\ln (x+1)-\frac{x^2}{4}+\frac x2 -\frac12\ln (x+1)+C. \]
Exercício 12.19
Encontre uma fórmula de recorrência para \(K_n=\int x^ne^{2x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), \(n\geq 1\), e use-a para obter \(K_2\).
Ver solução
Integração por partes (\(u=x^n\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^{2x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)) fornece \(K_n=\dfrac {x^ne^{2x}}2-\dfrac n2K_{n-1}\). Portanto, \(K_2=\dfrac {e^{2x}}4\bigl(2x^2-2x+1\bigr)+C\).
Exercício 12.20
Dois estudantes propõem expressões diferentes como primitivas de um mesmo integrando. Formule um teste, baseado em derivadas, que permita decidir se ambas estão corretas e, em caso afirmativo, se são equivalentes.
Ver solução
Calcule a derivada de cada expressão e verifique se ambas coincidem com o integrando dado. Se isso ocorre, a derivada da diferença é zero; portanto, em cada intervalo do domínio, as duas primitivas diferem por uma constante. Por exemplo, \(x^2/2\) e \((x^2+1)/2\) são primitivas de \(x\) e diferem pela constante \(1/2\).

12.4 Equações diferenciais e problemas de valor inicial

Em muitos problemas, a informação disponível não é a própria função, mas sua taxa de variação. Antiderivar significa, nesse contexto, reconstruir uma função a partir de sua derivada.

Definição 12.2
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas. Neste capítulo, consideraremos apenas o caso mais simples,
\[ \frac{dy}{dx}=f(x), \]
em que \(f\) é conhecida e a função \(y\) deve ser determinada.

Resolver essa equação significa encontrar as funções cuja derivada é \(f\). Se \(F\) é uma antiderivada de \(f\) em um intervalo, então

\[ y(x)=F(x)+C, \qquad C\in \mathbb R, \]

é uma solução. Reciprocamente, todas as soluções nesse intervalo são obtidas dessa forma. Assim, uma equação diferencial determina, em geral, uma família de curvas, e não uma única curva. Por exemplo, as soluções de \(y'(x)=3x^2\) são

\[ y(x)=x^3+C, \qquad C\in \mathbb R. \]

Os diferentes valores de \(C\) correspondem às translações verticais do gráfico de \(y=x^3\).

Para selecionar uma curva dessa família, podemos prescrever o valor da função em determinado ponto. Uma condição da forma

\[ y(x_0)=y_0 \]

é chamada de condição inicial. A equação diferencial acompanhada dessa condição constitui um problema de valor inicial, ou simplesmente um PVI:

\[ \begin{cases} y’(x)=f(x),\\ y(x_0)=y_0. \end{cases} \]

Se \(F\) é uma antiderivada de \(f\), a condição inicial exige que

\[ F(x_0)+C=y_0. \]

Portanto, \(C=y_0-F(x_0)\) e, neste caso simples, o PVI possui a única solução

\[ y(x)=F(x)+y_0-F(x_0). \]

Geometricamente, entre todas as curvas da família \(y=F(x)+C\), a condição inicial seleciona aquela que passa pelo ponto \((x_0,y_0)\).

Exemplo 12.38
Resolva o problema de valor inicial
\[ \begin{cases} y’(x)=2x+3,\\ y(1)=2. \end{cases} \]

Solução
Integrando a equação diferencial, obtemos
\[ y(x)=x^2+3x+C. \]
Impor \(y(1)=2\) determina a constante:
\[ 2=y(1)=1+3+C, \]
de modo que \(C=-2\). A solução do PVI é, portanto,
\[ y(x)=x^2+3x-2. \]

Nos exemplos anteriores, as antiderivadas foram obtidas diretamente das regras básicas. O procedimento não se altera quando o cálculo exige uma técnica de integração: primeiro determinamos a família de soluções e, em seguida, usamos a condição inicial para encontrar a constante.

Exemplo 12.39
Resolva o problema de valor inicial
\[ \begin{cases} y’(x)=2x\cos (x^2),\\ y(0)=3. \end{cases} \]

Solução
Para calcular a antiderivada, fazemos
\[ u=x^2, \qquad \mathop{}\! \mathrm{d} u=2x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
Assim,
\[ y(x)=\displaystyle \int 2x\cos (x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\int \cos u\mathop{}\! \mathrm{d} u =\operatorname {sen}(x^2)+C. \]
Como \(y(0)=3\),
\[ 3=\operatorname {sen}0+C=C. \]
Logo,
\[ y(x)=\operatorname {sen}(x^2)+3. \]

Exemplo 12.40
Resolva o problema de valor inicial
\[ \begin{cases} y’(x)=xe^x,\\ y(0)=1. \end{cases} \]

Solução
Aplicamos integração por partes, escolhendo
\[ u=x \qquad \text{e}\qquad \mathop{}\! \mathrm{d} v=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x, \]
temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v=e^x\). Assim,
\begin{align*} y(x) & =xe^x-\displaystyle \int e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\\ & =xe^x-e^x+C\\ & =(x-1)e^x+C. \end{align*}
Agora, \(y(0)=1\) implica
\[ 1=y(0)=-1+C, \]
e, portanto, \(C=2\). A solução procurada é
\[ y(x)=(x-1)e^x+2. \]

Exemplo 12.41 (Da taxa ao total acumulado)
Um ajuste simplificado para os dados de um surto localizado descreve a taxa de aparecimento de novos casos por
\[ N'(t)=200t e^{-t^2/25}, \qquad t\geq 0, \]
em que \(N(t)\) é o número acumulado de casos após \(t\) dias. Suponha que \(N(0)=0\). Determine \(N(t)\), o número total de casos previsto pelo modelo e o instante em que a taxa de novos casos é máxima.

Solução

O número acumulado satisfaz o PVI

\[ \begin{cases} N’(t)=200t e^{-t^2/25},\\ N(0)=0. \end{cases} \]

Usando

\[ u=\frac{t^2}{25}, \qquad \mathop{}\! \mathrm{d} u=\frac{2t}{25}\mathop{}\! \mathrm{d} t, \]

obtemos

\begin{align*} N(t) & =\displaystyle \int 200t e^{-t^2/25}\mathop{}\! \mathrm{d} t\\ & =2500\int e^{-u}\mathop{}\! \mathrm{d} u\\ & =-2500e^{-u}+C\\ & =-2500e^{-t^2/25}+C. \end{align*}

Como \(N(0)=0\), segue que \(C=2500\) e, portanto,

\[ N(t)=2500\left(1-e^{-t^2/25}\right). \]

No longo prazo, o modelo prevê

\[ \lim _{t\to \infty }N(t)=2500. \]

Já a taxa de novos casos é

\[ r(t)=N'(t)=200t e^{-t^2/25}. \]

Derivando,

\[ r'(t)=200e^{-t^2/25}\left(1-\frac{2t^2}{25}\right). \]

Como o fator exponencial é sempre positivo, \(r'(t)=0\) quando

\[ t=\frac{5}{\sqrt2}\approx 3{,}54. \]

A taxa cresce antes desse instante e decresce depois dele. Assim, o modelo prevê \(2500\) casos no total e incidência máxima aproximadamente três dias e meio após o início do período considerado.

12.4.1 Movimento retilíneo

Uma aplicação direta dessas ideias aparece na descrição do movimento. Considere uma partícula que se desloca ao longo de um eixo. Se \(x(t)\) representa sua posição no instante \(t\), então a velocidade e a aceleração são dadas por

\[ v(t)=x'(t), \qquad a(t)=v'(t). \]

Quando conhecemos a aceleração \(a(t)\), a posição inicial \(x(0)=x_0\) e a velocidade inicial \(v(0)=v_0\), o movimento pode ser reconstruído resolvendo sucessivamente dois problemas de valor inicial:

\[ \begin{cases} v’(t)=a(t),\\ v(0)=v_0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x’(t)=v(t),\\ x(0)=x_0. \end{cases} \]

Primeiro determinamos a velocidade a partir da aceleração; em seguida, determinamos a posição a partir da velocidade.

Exemplo 12.42
Uma partícula move-se ao longo de uma reta com aceleração
\[ a(t)=18t. \]
No instante \(t=0\), ela está em \(x=5\) e encontra-se em repouso. Determine sua velocidade e sua posição no instante \(t\).

Solução
Integrando \(v'(t)=18t\), obtemos
\[ v(t)=9t^2+C_1. \]
O repouso inicial implica \(C_1=0\); assim,
\[ v(t)=9t^2. \]
Em seguida, \(x'(t)=9t^2\) fornece
\[ x(t)=3t^3+C_2. \]
De \(x(0)=5\), resulta \(C_2=5\). Logo,
\[ x(t)=3t^3+5. \]

O exemplo anterior mostra o procedimento geral: a aceleração determina a velocidade, e a velocidade determina a posição. Quando a aceleração não depende do tempo, essas duas etapas levam a fórmulas especialmente simples.

12.4.2 Aceleração constante

Um caso particularmente importante ocorre quando a aceleração é constante:

\[ a(t)=a. \]

Integrando \(v'(t)=a\), temos

\[ v(t)=at+C_1. \]

Usando a condição \(v(0)=v_0\), obtemos

\[ v(t)=at+v_0. \]

Antiderivando novamente e usando \(x(0)=x_0\), encontramos

\[ x(t)=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0. \]

Portanto, para um movimento com aceleração constante,

\[ \boxed {v(t)=at+v_0}, \qquad \boxed {x(t)=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0}. \]

Observação 12.43
A hipótese de aceleração constante é essencial. Quando \(a\) varia com o tempo, é necessário antiderivar a função \(a(t)\); não se pode simplesmente substituir uma aceleração variável nas fórmulas anteriores.

Exemplo 12.44
Ao final de uma reta, um carro de Fórmula 1 percorre \(250\, \mathrm{m}\) desde o início da frenagem até parar. Suponha, em um modelo simplificado, que sua aceleração tenha permanecido constante e igual a
\[ -20\, \mathrm{m/s^2}. \]
Qual era a velocidade do carro no instante em que os freios foram acionados?

Ilustração: Aceleração constante

Solução
Tomamos \(t=0\) no início da frenagem e \(x_0=0\). Se \(v_0\) é a velocidade procurada, então
\[ v(t)=-20t+v_0, \qquad x(t)=-10t^2+v_0t. \]
Se \(T\gt 0\) é o instante em que o carro para, temos \(v(T)=0\) e \(x(T)=250\). Consequentemente,
\begin{align*} -20T+v_0& =0,\\ -10T^2+v_0T& =250. \end{align*}
Da primeira equação, \(v_0=20T\). Substituindo esse valor na segunda,
\[ 10T^2=250, \]
de onde \(T=5\, \mathrm{s}\). Assim,
\[ v_0=20\cdot 5 =100\, \mathrm{m/s} =360\, \mathrm{km/h}. \]
Esse valor é uma previsão do modelo de desaceleração constante. Em uma frenagem real, a aceleração varia ao longo do tempo.

Exemplo 12.45
Um elevador parte do repouso e percorre \(12\, \mathrm{m}\) em \(4\, \mathrm{s}\) com aceleração constante. Determine a aceleração e a velocidade ao final desse intervalo.
Solução
Tomamos \(x_0=0\) e \(v_0=0\). Como \(x(4)=12\),
\[ 12=\frac12a(4)^2=8a, \]
de modo que \(a=1{,}5\, \mathrm{m/s^2}\). Portanto,
\[ v(4)=a\cdot 4=6\, \mathrm{m/s}. \]
O exemplo mostra como uma informação de posição pode determinar a aceleração do modelo e, em seguida, a velocidade.

A queda livre fornece um caso físico importante de aceleração aproximadamente constante.

12.4.3 Movimento vertical sob a ação da gravidade

Perto da superfície da Terra, e desprezando a resistência do ar, a aceleração de um corpo em queda livre pode ser considerada constante. Seu módulo é

\[ g\approx 9{,}8\, \mathrm{m/s^2}, \]

e sua direção é vertical, apontando para baixo.

Se escolhemos o eixo \(y\) positivo para cima, então \(a=-g\). As fórmulas do movimento com aceleração constante tornam-se

\[ v(t)=-gt+v_0, \qquad y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+y_0. \]

Usando \(g=9{,}8\, \mathrm{m/s^2}\),

\[ v(t)=-9{,}8t+v_0, \qquad y(t)=-4{,}9t^2+v_0t+y_0. \]

Exemplo 12.46
Um dardo é lançado verticalmente para cima a partir do solo e retorna ao chão \(10\, \mathrm{s}\) depois. Desprezando a resistência do ar, determine sua velocidade inicial e a altura máxima prevista pelo modelo.

Ilustração: Movimento vertical sob a ação da gravidade

Solução
Como \(y_0=0\),
\[ y(t)=-4{,}9t^2+v_0t. \]
O dardo retorna ao chão no instante \(t=10\), de modo que
\[ 0=y(10)=-4{,}9(10)^2+10v_0. \]
Logo,
\[ v_0=49\, \mathrm{m/s}. \]
A altura máxima é atingida quando a velocidade se anula:
\[ v(t)=-9{,}8t+49=0. \]
Isso ocorre em \(t=5\, \mathrm{s}\). Portanto,
\[ y_{\max }=y(5) =-4{,}9(5)^2+49(5) =122{,}5\, \mathrm{m}. \]
A resistência do ar reduziria a altura atingida; o valor obtido corresponde ao modelo idealizado de queda livre.

Exercício 12.21
Uma partícula se desloca sobre o eixo \(x\) com uma função posição \(x=x(t).\) Determine \(x=x(t)\) sabendo que:

  1. \(\dfrac {dx}{dt}=2t-1\) e \(x(0)=2\)

  2. \(\dfrac {dx}{dt}=\dfrac {1}{1+t^{2}}\) e \(x(0)=0\)

  3. \(\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}=3\) e \(v(0)=1\) e \(x(0)=1\)

  4. \(\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}=e^{-t}\) e \(v(0)=0\) e \(x(0)=1\)

  5. \(\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}=\cos (3t)\) e \(v(0)=1\) e \(x(0)=0\)

Ver solução

  1. \(x(t)=t^2-t+2\).

  2. \(x(t)=\operatorname {arctg}t\).

  3. \(x(t)=\frac32t^2+t+1\).

  4. \(x(t)=e^{-t}+t\).

  5. \(x(t)=t+\frac{1-\cos (3t)}9\).

Exercício 12.22
Resolva os seguintes problemas de valores iniciais.

  1. \(f'(x) = 5x-1\) e \(f(0)= 3\)

  2. \(f'(x) = \cos x\) e \(f(0)= -2\)

  3. \(f'(x) = 3e^x\) e \(f(0)= 1\)

  4. \(f'(x) = 6x^2-4x\) e \(f(1)= 5\)

  5. \(f'(x) = \operatorname {cossec}^2 x\) e \(f(\pi /4)= 2\)

  6. \(f'(x) = 3^x\) e \(f(1)= 2\)

  7. \(f''(x) = 8\) e \(f'(0)= 3\), \(f(0) = 5\)

  8. \(f''(x) = 12x\) e \(f'(0)= -2\), \(f(0) = 4\)

  9. \(f''(x) = 3e^x\) e \(f'(0)= 1\), \(f(0) = 2\)

  10. \(f''(\theta ) = \cos \theta \) e \(f'(0)= 1\), \(f(0) = 3\)

  11. \(f''(x) = 6x+3^x-\operatorname {sen}x\) e \(f'(0)= 4\), \(f(0) = 0\)

  12. \(f''(x) = 0\) e \(f'(2)= 5\), \(f(2) = 1\)

  13. \(f'(x) = xe^{-x^2}\) e \(f(0)=1\)

  14. \(f''(x) = \dfrac 1{x^2}\) (\(x\gt 0\)) e \(f'(1)= 0\), \(f(1) = 2\)

Ver solução

  1. \(f(x)=\dfrac 52x^2-x+3\).

  2. \(f(x)=\operatorname {sen}x-2\).

  3. \(f(x)=3e^x-2\).

  4. \(f(x)=2x^3-2x^2+5\).

  5. \(f(x)=3-\operatorname {cotg}x\).

  6. \(f(x)=\dfrac {3^x}{\ln 3}+2-\dfrac 3{\ln 3}\).

  7. \(f(x)=4x^2+3x+5\).

  8. \(f(x)=2x^3-2x+4\).

  9. \(f(x)=3e^x-2x-1\).

  10. \(f(\theta )=-\cos \theta +\theta +4\).

  11. \(f(x)=x^3+\dfrac {3^x-1}{(\ln 3)^2}+\operatorname {sen}x+\left(3-\dfrac 1{\ln 3}\right)x\).

  12. \(f(x)=5x-9\).

  13. \(f(x)=\dfrac 32-\dfrac 12e^{-x^2}\) (substitua \(u=x^2\)).

  14. \(f(x)=x-\ln x+1\).

Exercício 12.23
Um móvel parte de \(x_0=4\, \mathrm m\) com velocidade \(v_0=3\, \mathrm{m/s}\) e aceleração constante \(a=2\, \mathrm{m/s^2}\). Determine \(v(5)\) e \(x(5)\).
Ver solução
\(v(5)=13\, \mathrm{m/s}\) e \(x(5)=44\, \mathrm m\).
Exercício 12.24
Um carro reduz uniformemente sua velocidade de \(30\, \mathrm{m/s}\) a \(10\, \mathrm{m/s}\) em \(5\, \mathrm s\). Determine a aceleração e o deslocamento nesse intervalo.
Ver solução
\(a=-4\, \mathrm{m/s^2}\) e o deslocamento é \(100\, \mathrm m\).
Exercício 12.25
Uma pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial \(19{,}6\, \mathrm{m/s}\) a partir de uma altura de \(5\, \mathrm m\). Desprezando a resistência do ar, determine o instante em que atinge a altura máxima e essa altura.
Ver solução
A velocidade é \(v(t)=19{,}6-9{,}8t\), portanto o máximo ocorre em \(t=2\, \mathrm s\). A altura é
\[ y(2)=5+19{,}6(2)-4{,}9(2)^2=24{,}6\, \mathrm m. \]