Capítulo 4

Funções exponenciais e logarítmicas

Embora mudada, ressurjo a mesma.
Jakob Bernoulli

Uma grandeza pode variar por acréscimos iguais ou por multiplicações pelo mesmo fator. Uma função afim, por exemplo, acrescenta sempre a mesma quantidade quando a variável aumenta uma unidade. Já uma população que dobra a cada período é multiplicada por 2 em cada etapa: os acréscimos aumentam, mas o fator permanece o mesmo.

As funções exponenciais descrevem esse segundo tipo de variação. Nelas, a base é fixa e a variável ocupa o expoente. Essa posição distingue, por exemplo, $2^x$ de $x^2$: na primeira, varia o expoente; na segunda, varia a base.

O logaritmo responde à pergunta inversa: qual expoente $x$ produz o valor $y$ na igualdade $a^x=y$? Estudaremos essas duas funções usando as potências de expoente real construídas na Seção 1.6.

4.1 Da potência à função exponencial

Fixada uma base positiva, podemos estudar como o valor da potência varia com o expoente real. A função assim obtida é a função exponencial.

Definição 4.1 (Função exponencial)

Fixe $a\gt 0$, com $a\neq 1$. A função exponencial de base $a$ é

\[ f:\mathbb {R}\longrightarrow (0,+\infty ), \qquad f(x)=a^x. \]

Quatro fatos orientam a leitura de qualquer gráfico exponencial:

$a^x\gt 0$ para todo $x\in \mathbb {R}$;
$a^0=1$, portanto o gráfico passa por $(0,1)$;
se $a\gt 1$, a função é estritamente crescente;
se $0\lt a\lt 1$, a função é estritamente decrescente.

O sentido da variação pode ser explicado comparando dois valores da função. Se $y\gt x$, então $a^y/a^x=a^{y-x}$; esse quociente é maior que $1$ quando $a\gt 1$ e está entre $0$ e $1$ quando $0\lt a\lt 1$, o que explica, respectivamente, o crescimento e o decrescimento.

Usaremos também um fato sobre essa extensão das potências, admitido aqui sem demonstração: todo número positivo é atingido por $x\mapsto a^x$. Esse resultado será demonstrado na Seção 8.3. Portanto,

\[ \operatorname {Im}(x\mapsto a^x)=(0,+\infty ). \]

A monotonicidade garante que cada valor é atingido no máximo uma vez; a afirmação sobre a imagem garante que todo valor positivo é atingido. Juntas, essas duas propriedades permitem inverter a função exponencial.

Geometricamente, o segundo caso é uma reflexão do primeiro. Se $0\lt a\lt 1$, então $1/a\gt 1$ e

\[ a^x=\left(\frac1a\right)^{-x}. \]

Assim, para $0\lt a\lt 1$, o gráfico de $a^x$ é a reflexão do gráfico de $(1/a)^x$ em relação ao eixo vertical.

Figura 4.1 Para $a\gt 1$, $a^x$ cresce; para $0\lt a\lt 1$, decresce. Em ambos os casos, o gráfico permanece acima do eixo horizontal e passa por $(0,1)$.

O eixo $x$ funciona como assíntota horizontal. Para $a\gt 1$, os valores de $a^x$ se aproximam de zero quando $x$ assume valores negativos de módulo cada vez maior; quando $x$ cresce sem limite, $a^x$ também cresce sem limite. Para $0\lt a\lt 1$, esses comportamentos se invertem. A linguagem de limites tornará essas afirmações precisas mais adiante.

10-exponenciais-refletidasO caso $a=2$. Os gráficos de $2^x$ e $2^{-x}$ são reflexos um do outro em relação ao eixo vertical e se encontram em $(0,1)$.

Exemplo 4.1 (Comparando $a^x$ e $a^{-x}$)

Fixe $a\gt 0$, $a\neq 1$. Compare os gráficos de $a^x$ e $a^{-x}$.

Solução

Substituir $x$ por $-x$ reflete um gráfico em relação ao eixo $y$. Portanto, os gráficos de

\[ f(x)=a^x \qquad \text{e}\qquad g(x)=a^{-x}=f(-x) \]

são simétricos em relação a esse eixo e se encontram em $(0,1)$. Se $a\gt 1$, $f$ é crescente e $g$ é decrescente; se $0\lt a\lt 1$, ocorre o contrário.

4.1.1 Transformações do gráfico exponencial

As transformações estudadas na Seção 2.8 permitem deslocar, refletir e mudar as escalas do gráfico de $y=a^x$. Na expressão

\[ F(x)=A\, a^{B(x-h)}+k, \qquad A\neq 0,\quad B\neq 0, \]

o parâmetro $h$ produz uma translação horizontal e $k$, uma translação vertical. O módulo de $A$ controla a escala vertical; se $A\lt 0$, o gráfico é refletido verticalmente em relação à reta $y=k$. O módulo de $B$ controla a escala horizontal, com fator $1/|B|$; se $B\lt 0$, há também uma reflexão horizontal em relação à reta $x=h$. Por exemplo, os gráficos de $a^{x-h}+k$ e $a^{-(x-h)}+k$ são reflexos um do outro em relação a essa reta e têm sentidos de variação opostos.

Como $A\neq 0$ e $a^{B(x-h)}\gt 0$, temos $F(x)\neq k$ para todo $x$. Portanto, o gráfico não intersecta a reta $y=k$, que é sua assíntota horizontal.

11-exponencial-transladadaEm verde, $f(x)=2^{x-1}+3$; em cinza, $y=2^x$. O ponto $(0,1)$ é levado a $P=(1,4)$, e a assíntota passa a ser $y=3$.

Exemplo 4.2

Determine domínio, imagem e assíntota horizontal de

\[ f(x)=2^{x-1}+3. \]

Descreva seu gráfico a partir de $y=2^x$.

Solução

Temos $\operatorname {Dom}f=\mathbb {R}$. Como $2^{x-1}\gt 0$, segue $f(x)\gt 3$, e todo valor maior que $3$ é atingido. Logo,

\[ \operatorname {Im}f=(3,+\infty ). \]

O gráfico de $y=2^x$ é deslocado uma unidade para a direita e três para cima; a assíntota horizontal passa de $y=0$ para $y=3$.

Exemplo 4.3 (Reflexões, escalas e deslocamentos)

Considere

\[ f(x)=4-3\, 2^{-2(x-1)}. \]

Descreva seu gráfico a partir de $y=2^x$ e determine domínio, imagem, monotonicidade e assíntota horizontal.

Solução

A expressão é construída em etapas: de $x$ passamos a $-2(x-1)$, aplicamos a exponencial, multiplicamos por $-3$ e somamos $4$. Para acompanhar o gráfico sem confundir os deslocamentos, tome um ponto $(t,2^t)$ da curva original. Como $t=-2(x-1)$ equivale a $x=1-t/2$, o ponto correspondente no novo gráfico é

\[ \left(1-\frac t2,\ 4-3\, 2^t\right). \]

12-exponencial-transformacoesCada ponto $(t,2^t)$ passa a $(1-t/2,\, 4-3\, 2^t)$. As escalas verticais dos dois painéis são diferentes; as coordenadas exatas aparecem no quadro.

Ponto inicial	Ponto transformado	Correspondência
$P=(-2,1/4)$	$P'=(2,13/4)$	$P\mapsto P'$
$Q=(0,1)$	$Q'=(1,1)$	$Q\mapsto Q'$
$R=(2,4)$	$R'=(0,-8)$	$R\mapsto R'$

A ordem horizontal dos três pontos é invertida, pois $x=1-t/2$ diminui quando $t$ aumenta. A transformação vertical também inverte a ordem das alturas, pois $y=4-3\, 2^t$. Essas duas inversões explicam por que a função transformada continua crescente.

O domínio é $\mathbb {R}$. A potência assume todos os valores positivos; multiplicar por $-3$ e somar $4$ produz exatamente os valores menores que $4$. Assim, $\operatorname {Im}f=(-\infty ,4)$.

Quando $x$ aumenta, $-2(x-1)$ diminui e a potência de $2$ também diminui. A multiplicação por $-3$ inverte novamente a desigualdade: $f$ é estritamente crescente. Para valores positivos cada vez maiores de $x$, a potência se aproxima de zero, e $f(x)$ se aproxima de $4$ por baixo. A assíntota horizontal é, portanto, $y=4$.

Exercício 4.1 (O valor entre duas marcas)

O gráfico representa uma função $f(x)=a^x$, com $a\gt 0$ e $a\neq 1$. Os pontos destacados têm coordenadas exatas.

Determine a base e explique, a partir dela, o sentido de variação do gráfico.
Um leitor situa $f(1/2)$ exatamente a meio caminho entre $f(0)$ e $f(1)$. Essa leitura é correta? Determine o valor exato e explique que tipo de média aparece.

Ilustração: Transformações do gráfico exponencial

Ver solução

a) $a=f(1)=1/2$; como $0\lt a\lt 1$, $f$ é estritamente decrescente. b) Não. $f(1/2)=1/\sqrt2$, enquanto a média aritmética é $3/4$. A lei das potências dá $f(1/2)^2=f(0)f(1)$: o valor intermediário é a média geométrica dos dois valores positivos.

Exercício 4.2

Para $f(x)=(3/2)^x$, calcule e compare $f(-2)$, $f(0)$ e $f(3)$. Justifique a monotonicidade da função pela sua base.

Ver solução

\[ f(-2)=\frac49,\qquad f(0)=1,\qquad f(3)=\frac{27}{8}. \]

Temos $f(-2)\lt f(0)\lt f(3)$. Como a base é maior que $1$, a função é crescente.

Exercício 4.3

Compare $2^x$ e $4^x$ nos casos $x\lt 0$, $x=0$ e $x\gt 0$.

Ver solução

Como $4^x=2^{2x}$, para $x\gt 0$ temos $4^x\gt 2^x$; para $x=0$, ambas valem $1$; para $x\lt 0$, $4^x\lt 2^x$.

Exercício 4.4

Resolva sem usar logaritmos:

\[ 2^x=\frac18. \]

Ver solução

Como $1/8=2^{-3}$, temos $x=-3$.

Exercício 4.5

Determine domínio, imagem, monotonicidade e assíntota horizontal de

\[ g(x)=-2^x. \]

Ver solução

\[ \operatorname {Dom}g=\mathbb {R},\qquad \operatorname {Im}g=(-\infty ,0). \]

Como $2^x$ é crescente, $-2^x$ é decrescente. A assíntota horizontal é $y=0$.

Exercício 4.6

Para $a\gt 0$, mostre que $a^{-x}=1/a^x$ e use isso para explicar a simetria entre os gráficos de $a^x$ e $a^{-x}$.

Ver solução

Da lei $a^{x+(-x)}=a^xa^{-x}=a^0=1$, segue $a^{-x}=1/a^x$. Como $a^{-x}=f(-x)$, a segunda função é a reflexão horizontal da primeira.

Exercício 4.7

Para cada função, determine domínio, imagem, monotonicidade e assíntota horizontal.

$f(x)=3^x$.
$g(x)=(1/4)^x$.
$h(x)=2^{x+2}-1$.
$q(x)=5-3^{-x}$.

Ver solução

$\operatorname {Dom}f=\mathbb {R}$, $\operatorname {Im}f=(0,\infty )$, crescente, assíntota $y=0$.
$\operatorname {Dom}g=\mathbb {R}$, $\operatorname {Im}g=(0,\infty )$, decrescente, assíntota $y=0$.
$\operatorname {Dom}h=\mathbb {R}$, $\operatorname {Im}h=(-1,\infty )$, crescente, assíntota $y=-1$.
$\operatorname {Dom}q=\mathbb {R}$, $\operatorname {Im}q=(-\infty ,5)$, crescente, assíntota $y=5$.

Exercício 4.8

Descreva as transformações que levam $y=2^x$ ao gráfico de

\[ h(x)=3\, 2^{x-1}-4 \]

e determine sua imagem.

Ver solução

O gráfico é deslocado uma unidade para a direita, esticado verticalmente por fator $3$ e deslocado quatro unidades para baixo. Como $3\, 2^{x-1}\gt 0$,

\[ \operatorname {Im}h=(-4,\infty ). \]

4.2 Variação multiplicativa e modelos exponenciais

A igualdade $a^{x+1}=a\cdot a^x$ explica a variação multiplicativa. Para a função $f(x)=a^x$,

\[ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a. \]

Portanto, aumentar a entrada uma unidade multiplica a saída pelo fator constante $a$.

Se uma quantidade inicialmente igual a $Q_0\gt 0$ é multiplicada por $r\gt 0$ a cada unidade de tempo, os valores nos instantes inteiros são

\[ Q_0,\qquad Q_0r,\qquad Q_0r^2,\qquad \ldots . \]

Um modelo exponencial para os demais instantes é

\[ Q(t)=Q_0r^t,\qquad t\ge 0. \]

Ao estender o modelo a todos os instantes $t\geq 0$, supomos que a mesma regra multiplicativa vale também entre as observações. Se $r\gt 1$, a quantidade cresce; se $0\lt r\lt 1$, decai; se $r=1$, permanece constante.

Uma taxa percentual deve ser convertida em fator multiplicativo. Se $p$ é a taxa escrita na forma decimal, um aumento de $100p\% $ transforma $Q$ em $Q+pQ=(1+p)Q$; uma redução de $100p\% $, com $0\lt p\lt 1$, transforma $Q$ em $Q-pQ=(1-p)Q$. Assim, crescer $8\% $ corresponde ao fator $1{,}08$, e perder $12\% $ corresponde ao fator $0{,}88$. Aplicar a mesma taxa em períodos sucessivos significa multiplicar repetidamente pelo mesmo fator. Nos juros compostos, por exemplo, um capital $C_0$ à taxa decimal $p$ por período torna-se $C_n=C_0(1+p)^n$ após $n$ períodos, pois cada rendimento é calculado sobre o saldo atualizado.

Exemplo 4.4 (Crescimento por duplicação)

Uma cultura contém inicialmente $250$ bactérias e dobra a cada $3$ horas. Construa um modelo exponencial e determine a população após $12$ horas.

Solução

Em $t$ horas ocorrem $t/3$ períodos de duplicação. Assim,

\[ N(t)=250\, 2^{t/3}, \qquad t\geq 0. \]

Logo,

\[ N(12)=250\, 2^4=4000. \]

O modelo supõe recursos e espaço suficientes; não deve ser extrapolado indefinidamente.

Exercício 4.9

Qual dos modelos abaixo representa variação exponencial? Explique.

\[ A(t)=100+20t, \qquad B(t)=100(1{,}2)^t. \]

Ver solução

$A$ tem acréscimo constante de $20$ por unidade de tempo, portanto é afim. $B$ tem fator multiplicativo constante $1{,}2$, portanto é exponencial.

Exercício 4.10

Uma população inicial de $1200$ indivíduos cresce $8\% $ ao ano. Escreva o modelo e calcule a população prevista após cinco anos.

Ver solução

\[ P(t)=1200(1{,}08)^t, \qquad P(5)\approx 1763. \]

Exercício 4.11

Uma substância perde $12\% $ de sua massa a cada hora. Se a massa inicial é $50$ g, determine a massa prevista após seis horas.

Ver solução

\[ M(t)=50(0{,}88)^t, \qquad M(6)\approx 23{,}22\text{ g}. \]

Exercício 4.12

Uma grandeza varia exponencialmente e satisfaz $Q(0)=80$ e $Q(3)=640$. Sabendo que o fator multiplicativo é constante a cada unidade de tempo, determine $Q(t)$.

Ver solução

Se $Q(t)=80r^t$, então $80r^3=640$, logo $r^3=8$ e $r=2$. Portanto,

\[ Q(t)=80\, 2^t. \]

Exercício 4.13

Interprete um modelo de decaimento exponencial. Uma quantidade é modelada por $N(t)=800(1/2)^{t/4}$, com $t\geq 0$. Calcule $N(12)$ e interprete o resultado.

Ver solução

$N(12)=800(1/2)^3=100$: após $12$ unidades de tempo, resta um oitavo da quantidade inicial.

Exercício 4.14 (O que três medições permitem concluir)

Em um ensaio idealizado, foram registrados os seguintes valores de uma quantidade $Q$:

\[ \begin{array}{c|ccc} t\text{ (horas)}& 0& 2& 4\\ \hline Q(t)& 400& 300& 225 \end{array} \]

Compare as perdas absolutas e os fatores multiplicativos nos dois intervalos. Qual desses padrões é compatível com um modelo exponencial?
Admitindo que $Q(t)=Q_0r^t$ para todo $t\geq 0$, obtenha o modelo e a previsão para $t=1$.
As três medições, por si sós, obrigam a quantidade a seguir esse modelo entre os instantes observados? Descreva outra interpolação possível.

Ver solução

a) As perdas são $100$ e $75$; o fator é $3/4$ em ambos os intervalos de duas horas. b) $Q(t)=400(3/4)^{t/2}$ e $Q(1)=200\sqrt3$. c) Não. Por exemplo, os segmentos que ligam consecutivamente os três pontos também passam pelos dados, mas dão $Q(1)=350$. O comportamento entre medições depende da hipótese de modelagem.

Exercício 4.15 (Porcentagens que se compõem)

Um preço aumenta $20\% $ e, em seguida, diminui $20\% $.

O preço volta ao valor inicial? Qual deveria ser a redução percentual, depois do aumento, para recuperar exatamente o preço inicial?
Uma aplicação rende $1\% $ ao mês, com juros compostos. Qual é seu rendimento percentual em um ano? Explique por que não é exatamente $12\% $.
Explique as duas situações em termos dos fatores multiplicativos de cada etapa.

Ver solução

Se o preço inicial é $P\gt 0$, depois das duas etapas ele vale $1{,}2\cdot 0{,}8P=0{,}96P$, isto é, $4\% $ abaixo do inicial. Para voltar a $P$ depois da alta, o fator da redução deve ser $1/1{,}2=5/6$, o que corresponde a uma queda de $1/6$, aproximadamente $16{,}7\% $.
O fator anual é $(1{,}01)^{12}\approx 1{,}1268$. Logo, o rendimento é aproximadamente $12{,}68\% $. Somar doze vezes $1\% $ ignoraria que a base de cada aumento inclui os rendimentos anteriores.
Variações percentuais sucessivas correspondem à multiplicação dos fatores associados. Suas porcentagens não podem ser somadas diretamente porque, em geral, as bases de referência são diferentes.

Exercício 4.16 (A soma de exponenciais)

Duas populações são modeladas, para $t\ge 0$, por

\[ A(t)=100\cdot 2^t,\qquad B(t)=100\cdot 4^t. \]

A população total é $Q(t)=A(t)+B(t)$.

Calcule $Q(0)$, $Q(1)$ e $Q(2)$. Compare os fatores de crescimento nos dois intervalos sucessivos.
A população total pode ser descrita por $Q(t)=Cr^t$, com constantes $C,r\gt 0$? Justifique.
Explique por que o fator de crescimento do total muda com o tempo, embora cada população tenha um fator de crescimento constante.

Ver solução

$Q(0)=200$, $Q(1)=600$ e $Q(2)=2000$. Os fatores sucessivos são $600/200=3$ e $2000/600=10/3$, que são diferentes.
Não. Se $Q(t)=Cr^t$ para todo $t\ge 0$, teríamos $C=200$ e $r=3$ a partir dos dois primeiros valores. Isso daria $Q(2)=1800$, contrariando o valor $2000$.
A primeira população dobra em cada unidade de tempo, enquanto a segunda quadruplica. Além disso,

\[ \frac{Q(t+1)}{Q(t)} =2\frac{A(t)}{Q(t)}+4\frac{B(t)}{Q(t)}. \]

Esse fator é uma média dos fatores $2$ e $4$, ponderada pelas proporções das duas populações. Como $B(t)/A(t)=2^t$ cresce, a população de crescimento mais rápido passa a ter maior peso no total. Por isso, o fator do total não permanece constante.

Exercício 4.17

Duas populações são modeladas por

\[ A(t)=1000(1{,}05)^t, \qquad B(t)=1500(1{,}02)^t. \]

Explique por que descobrir quando $A(t)=B(t)$ é um problema inverso da exponenciação.

Ver solução

A incógnita aparece no expoente. Isolá-la exige desfazer uma exponenciação; essa operação inversa será precisamente o logaritmo.

4.3 Função logarítmica

Considere a equação

\[ 2^x=10. \]

Não há uma potência inteira de $2$ igual a $10$, mas a função $2^x$ é estritamente crescente e sua imagem é $(0,+\infty )$. Existe, portanto, um único número real $x$ que resolve a equação.

Esse número é, por definição, $\log _2 10$.

De modo geral, em uma igualdade $a^x=y$, com $a\gt 0$, $a\neq 1$ e $y\gt 0$, o logaritmo fornece o expoente $x$. Trata-se, portanto, da operação inversa da exponenciação.

Definição 4.2 (Função logarítmica)

Fixe $a\gt 0$, com $a\neq 1$. A função logarítmica de base $a$ é a inversa da função exponencial de base $a$:

\[ \log _a:(0,+\infty )\longrightarrow \mathbb {R}. \]

Por definição,

\[ \boxed {\log _a y=x\quad \Longleftrightarrow \quad a^x=y}, \qquad y\gt 0. \]

A definição já contém duas informações fundamentais: o argumento do logaritmo precisa ser positivo, e o valor de um logaritmo é um expoente. Por exemplo,

\[ \log _2 8=3,\qquad \log _{10}(0{,}01)=-2,\qquad \log _3 1=0, \]

porque

\[ 2^3=8,\qquad 10^{-2}=0{,}01,\qquad 3^0=1. \]

Como exponencial e logaritmo são inversas,

\[ a^{\log _a x}=x\qquad (x\gt 0) \]

\[ \log _a(a^x)=x\qquad (x\in \mathbb {R}). \]

Figura 4.5 Os gráficos de y=a^x e y=log _a x são reflexos um do outro em relação à reta y=x. — Figura 4.5 Os gráficos de $y=a^x$ e $y=\log _a x$ são reflexos um do outro em relação à reta $y=x$.

A inversão troca domínio e imagem:

\[ \operatorname {Dom}(\log _a)=(0,+\infty ), \qquad \operatorname {Im}(\log _a)=\mathbb {R}. \]

Também troca o comportamento horizontal e vertical: a assíntota horizontal $y=0$ da exponencial corresponde à assíntota vertical $x=0$ do logaritmo. Quando $a\gt 1$, as duas funções são crescentes; quando $0\lt a\lt 1$, ambas são decrescentes.

Exemplo 4.5

Calcule

\[ \log _2 32,\qquad \log _{10}(0{,}001),\qquad \log _3\left(\frac1{27}\right). \]

Solução

Perguntamos a que expoente devemos elevar a base:

\[ 2^5=32,\qquad 10^{-3}=0{,}001,\qquad 3^{-3}=\frac1{27}. \]

Logo,

\[ \log _2 32=5,\qquad \log _{10}(0{,}001)=-3,\qquad \log _3(1/27)=-3. \]

Domínios com logaritmos

O domínio da função logarítmica é $(0,+\infty )$. Por isso, quando o argumento é uma expressão em $x$, devemos determinar para quais valores essa expressão é positiva. Se houver mais de um logaritmo, cada um deles precisa estar definido.

Exemplo 4.6 (Uma soma e um quociente de logaritmos)

Compare os domínios naturais das funções

\[ f(x)=\log _2(x+1)+\log _2(4-x) \]

\[ g(x)=\frac{\log _2(x+1)}{\log _2(4-x)}. \]

Solução

Para que os dois logaritmos estejam definidos, precisamos de

\[ x+1\gt 0\qquad \text{e}\qquad 4-x\gt 0, \]

ou seja, $x\gt -1$ e $x\lt 4$. Portanto,

\[ \operatorname {Dom}f=(-1,+\infty )\cap (-\infty ,4)=(-1,4). \]

Na expressão de $g$, essas condições continuam necessárias. Além disso, o denominador não pode ser zero. Pela definição de logaritmo,

\[ \log _2(4-x)=0\quad \Longleftrightarrow \quad 4-x=2^0=1. \]

Devemos, então, excluir também $x=3$. Logo,

\[ \operatorname {Dom}g=(-1,4)\setminus \{ 3\} =(-1,3)\cup (3,4). \]

Os argumentos dos logaritmos são os mesmos nas duas expressões, mas a divisão exige um cuidado adicional: o valor do logaritmo no denominador não pode ser zero.

Quando o argumento de um logaritmo contém outro logaritmo, examinamos a expressão de dentro para fora. Primeiro verificamos quando o logaritmo interno está definido; depois, quando o argumento do externo é positivo.

Exemplo 4.7 (Um logaritmo dentro de outro)

Determine os domínios naturais de

\[ \begin{aligned} h(x)& =\log _2\bigl(1+\log _2 x\bigr),\\ k(x)& =\log _2\bigl(1+\log _2 x\bigr)+\log _2(3-x). \end{aligned} \]

Solução

Para calcular $h(x)$, precisamos primeiro de $x\gt 0$, de modo que $\log _2 x$ esteja definido. Nesse conjunto, o logaritmo externo exige

\[ 1+\log _2 x\gt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \log _2 x\gt -1. \]

Como $2^{-1}=1/2$, temos $\log _2(1/2)=-1$. A função $\log _2$ é crescente; portanto, a última desigualdade equivale a $x\gt 1/2$. Essa condição já garante que $x\gt 0$. Assim,

\[ \operatorname {Dom}h=(0,+\infty )\cap (1/2,+\infty )=(1/2,+\infty ). \]

Não é necessário que $\log _2 x$ seja positivo: o argumento do logaritmo externo é a soma $1+\log _2 x$, e é essa soma que deve ser positiva.

Para calcular $k(x)$, precisamos ainda que

\[ 3-x\gt 0\quad \Longleftrightarrow \quad x\lt 3. \]

Reunindo essa condição com a anterior, obtemos

\[ \operatorname {Dom}k=(1/2,+\infty )\cap (-\infty ,3)=(1/2,3). \]

Exercício 4.18

Reescreva cada afirmação na forma exponencial.

$\log _2 16=4$.
$\log _5(1/25)=-2$.
$\log _{10}1000=3$.

Ver solução

$2^4=16$, $5^{-2}=1/25$ e $10^3=1000$.

Exercício 4.19

Reescreva cada afirmação na forma logarítmica.

$3^4=81$.
$10^{-5}=0{,}00001$.
$7^0=1$.

Ver solução

$\log _3 81=4$, $\log _{10}(10^{-5})=-5$ e $\log _7 1=0$.

Exercício 4.20

Para $a\gt 0$ e $a\ne 1$, use apenas a definição de logaritmo para mostrar que

\[ \log _a1=0 \qquad \text{e}\qquad \log _a a=1. \]

Ver solução

Como $a^0=1$, temos $\log _a1=0$. Como $a^1=a$, temos $\log _a a=1$.

Exercício 4.21

Calcule diretamente pela definição.

$\log _4 64$.
$\log _9(1/3)$.
$\log _{1/2}8$.

Ver solução

$3$, $-1/2$ e $-3$, respectivamente.

Exercício 4.22

Calcule ou resolva, indicando as restrições necessárias.

$\log _2 64$.
$\log _{10}(0{,}0001)$.
$3^{x-1}=27$.
$\log _3(x-1)=2$.
$2^{x+1}=5$.

Ver solução

$6$.
$-4$.
$x=4$.
É necessário $x\gt 1$; a equação fornece $x-1=9$, logo $x=10$.
$x=\log _2 5-1$.

Exercício 4.23

Determine domínio, imagem, monotonicidade e assíntota vertical de $f(x)=\log _{1/3}x$.

Ver solução

\[ \operatorname {Dom}f=(0,\infty ),\qquad \operatorname {Im}f=\mathbb {R}. \]

A função é decrescente e sua assíntota vertical é $x=0$.

Exercício 4.24

Explique por que $\log _a(-2)$ não é um número real para nenhuma base real admissível $a$.

Ver solução

Para $a\gt 0$, toda potência real $a^x$ é positiva. Portanto não existe expoente real $x$ com $a^x=-2$.

Exercício 4.25

Determine domínio, imagem e assíntota vertical de

\[ f(x)=\log _2(x-3)+1. \]

Ver solução

É preciso $x-3\gt 0$, portanto

\[ \operatorname {Dom}f=(3,\infty ),\qquad \operatorname {Im}f=\mathbb {R}. \]

A assíntota vertical é $x=3$.

Exercício 4.26

Relacione a exponencial e sua função inversa. Explique a relação de inversão entre $f(x)=3^x$ e $g(x)=\log _3x$, indicando domínio e imagem de cada uma.

Ver solução

$f:\mathbb {R}\to (0,+\infty )$ e $g:(0,+\infty )\to \mathbb {R}$ são inversas; por isso, seus gráficos são simétricos em relação a $y=x$.

Exercício 4.27 (Uma leitura negativa)

Um instrumento idealizado recebe uma quantidade positiva $q$ e mostra $L(q)=\log _2q$. O gráfico representa essa calibração.

Uma leitura negativa significa que a quantidade medida é negativa? Explique o significado das leituras $-1$, $0$ e $1$.
O visor informa apenas que $-1\leq L(q)\leq 1$. Qual intervalo contém $q$? Explique por que os extremos desse intervalo não são simétricos em torno de $q=1$.

Ver solução

a) Não: $L(q)\lt 0$ significa $0\lt q\lt 1$. As três leituras correspondem, respectivamente, a $q=1/2$, $q=1$ e $q=2$. b) $q\in [1/2,2]$. Deslocamentos iguais no visor correspondem a fatores multiplicativos iguais: a partir de $1$, divide-se ou multiplica-se por $2$, em vez de subtrair ou somar a mesma quantidade.

Exercício 4.28

Escreva a solução de $5^x=17$ usando logaritmos.

Ver solução

\[ x=\log _5 17. \]

4.4 Propriedades dos logaritmos

As leis dos logaritmos são traduções das leis das potências. Fixe uma base $a\gt 0$, $a\neq 1$. Suponha $x,y\gt 0$ e escreva

\[ u=\log _a x,\qquad v=\log _a y. \]

Então $x=a^u$ e $y=a^v$. Multiplicando,

\[ xy=a^{u+v}, \]

e, pela definição de logaritmo,

\[ \boxed {\log _a(xy)=\log _a x+\log _a y}. \]

Do mesmo modo,

\[ \boxed {\log _a\left(\frac{x}{y}\right)=\log _a x-\log _a y}. \]

Para potências,

\[ x^r=(a^u)^r=a^{ru}, \]

de onde

\[ \boxed {\log _a(x^r)=r\log _a x}, \]

sempre que as expressões reais envolvidas estejam definidas.

A mudança de base decorre da mesma ideia. Se $u=\log _a x$, então $a^u=x$. Aplicando $\log _b$,

\[ u\log _b a=\log _b x, \]

e portanto

\[ \boxed {\log _a x=\frac{\log _b x}{\log _b a}}. \]

Essa identidade permite calcular logaritmos em qualquer base usando, por exemplo, $\log _{10}$.

A base $e$ e o logaritmo natural

Considere um capital aplicado à taxa nominal anual de $100\% $, repartida igualmente entre $n$ períodos de capitalização. A taxa de cada período é $1/n$, e o capital é multiplicado por $(1+1/n)^n$ ao fim de um ano. Para $n=1$, $12$ e $365$, esse fator vale $2$, cerca de $2{,}613$ e cerca de $2{,}715$. Quando $n$ aumenta, os fatores se aproximam de um número $e\approx 2{,}71828$, cuja construção como limite será apresentada na Seção 8.3. A função $f(x)=e^x$ é a exponencial natural; sua inversa é o logaritmo natural, denotado por $\ln x=\log _e x$. No estudo de derivadas, veremos o que distingue essa base: a taxa instantânea de variação de $e^x$ é igual ao próprio valor da função. As propriedades já obtidas valem também para essa base. Em particular,

\[ \ln (e^x)=x\quad (x\in \mathbb {R}),\qquad e^{\ln x}=x\quad (x\gt 0). \]

As condições são diferentes porque o domínio do logaritmo é $(0,\infty )$, enquanto o da exponencial é $\mathbb {R}$. Após o Teorema Fundamental do Cálculo, retomaremos o logaritmo natural e a exponencial por meio da integração.

Aplicando as propriedades

As propriedades dos logaritmos permitem reescrever expressões, mas devemos conservar as condições em que cada igualdade é válida. Esse é o mesmo cuidado que tivemos com o cancelamento de fatores na Seção 2.3.

Exemplo 4.8 (A propriedade do produto e o domínio)

Considere as funções com contradomínio $\mathbb {R}$ dadas por

\[ \begin{aligned} f(x)& =\log _2(x-1)+\log _2(x+1),\\ g(x)& =\log _2(x^2-1), \end{aligned} \]

ambas com seus domínios naturais. Determine esses domínios e decida se $f$ e $g$ são a mesma função.

Solução

Para calcular $f(x)$, os dois argumentos devem ser positivos:

\[ x-1\gt 0\qquad \text{e}\qquad x+1\gt 0. \]

Logo, $\operatorname {Dom}f=(1,+\infty )$.

Para $g$, precisamos de $x^2-1\gt 0$. Como $x^2-1=(x-1)(x+1)$, o produto é positivo quando os fatores têm o mesmo sinal: ambos são positivos para $x\gt 1$ e ambos são negativos para $x\lt -1$. Portanto,

\[ \operatorname {Dom}g=(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty ). \]

Se $x\gt 1$, podemos aplicar a propriedade do produto aos números positivos $x-1$ e $x+1$, obtendo $f(x)=g(x)$. Para $x\lt -1$, porém, apenas $g(x)$ está definido: o produto é positivo, mas seus fatores são negativos. Por exemplo, $g(-2)=\log _2 3$ existe, enquanto $f(-2)$ não está definido.

As funções não são iguais, pois seus domínios são diferentes. A fórmula $\log _2(x^2-1)$ também pode ser usada para calcular $f(x)$, desde que se mantenha a condição $x\gt 1$.

Exemplo 4.9 (Simplificação de expressões logarítmicas)

Determine o domínio de cada expressão e reescreva-a usando as propriedades dos logaritmos:

$\displaystyle \log _2\left(\frac{x^2+1}{2^x}\right)$;
$\displaystyle \ln \left(\frac{x^2\sqrt{x^2-1}}{e^x}\right)$.

Solução

(a) Como $x^2+1\gt 0$ e $2^x\gt 0$ para todo $x\in \mathbb {R}$, o argumento do logaritmo é sempre positivo. Portanto, o domínio é $\mathbb {R}$. Pela propriedade do quociente e pela relação entre logaritmo e exponencial,

\[ \log _2\left(\frac{x^2+1}{2^x}\right) =\log _2(x^2+1)-\log _2(2^x) =\log _2(x^2+1)-x. \]

O termo $\log _2(x^2+1)$ permanece assim: a propriedade do produto não se aplica a uma soma.

(b) A raiz exige $x^2-1\geq 0$. Nos extremos $x=\pm 1$, porém, o argumento do logaritmo é zero. Como $e^x\gt 0$, a expressão está definida exatamente quando $x^2-1\gt 0$, isto é,

\[ D=(-\infty ,-1)\cup (1,\infty ). \]

Nesse domínio, $x^2$ e $x^2-1$ são positivos. Aplicando as propriedades do produto, do quociente e da potência, obtemos

\begin{align*} \ln \left(\frac{x^2\sqrt{x^2-1}}{e^x}\right) & =\ln (x^2)+\frac12\ln (x^2-1)-\ln (e^x)\\ & =2\ln |x|+\frac12\ln (x^2-1)-x. \end{align*}

Usamos $\ln (x^2)=\ln (|x|^2)=2\ln |x|$, pois o domínio também contém valores negativos de $x$. Escrever $2\ln x$ excluiria esses valores.

Exemplo 4.10 (Uma composição exponencial–logarítmica)

Considere

\[ G(x)=\log _2(4-2^x). \]

Determine o domínio, a imagem, a monotonicidade e as assíntotas de $G$. Em seguida, encontre sua inversa.

Solução

O primeiro cuidado é com a ordem da composição. Para que o logaritmo exista, seu argumento deve ser positivo:

\[ 4-2^x\gt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 2^x\lt 4=2^2. \]

Como $2^x$ é crescente,

\[ \operatorname {Dom}G=(-\infty ,2). \]

Nesse domínio, $2^x$ percorre $(0,4)$; portanto, $4-2^x$ percorre também $(0,4)$, mas no sentido contrário. Como $\log _2$ transforma $(0,4)$ em $(-\infty ,2)$,

\[ \operatorname {Im}G=(-\infty ,2). \]

A função $x\mapsto 4-2^x$ é estritamente decrescente, enquanto $\log _2$ é estritamente crescente. Logo, $G$ é estritamente decrescente.

Quando $x$ se aproxima de $2$ pela esquerda, o argumento $4-2^x$ permanece positivo e se aproxima de zero; os valores de $G(x)$ decrescem sem limite. Assim, $x=2$ é uma assíntota vertical. Para valores negativos de $x$ com módulo cada vez maior, $2^x$ se aproxima de zero e $G(x)$ se aproxima de $\log _2 4=2$ por valores menores. Portanto, $y=2$ é uma assíntota horizontal.

Para inverter a função, escrevemos

\[ y=\log _2(4-2^x). \]

Então

\[ 2^y=4-2^x \quad \Longleftrightarrow \quad 2^x=4-2^y, \]

e portanto

\[ x=\log _2(4-2^y). \]

Como $y$ percorre $(-\infty ,2)$,

\[ G^{-1}(y)=\log _2(4-2^y),\qquad y\lt 2. \]

Curiosamente, a inversa tem a mesma regra de $G$: neste domínio, $G$ é sua própria inversa. Isso também significa que seu gráfico é simétrico em relação à reta $y=x$.

Exercício 4.29

Para $x,y\gt 0$, expanda

\[ \log _2\left(\frac{8x^3}{y}\right). \]

Ver solução

\[ 3+3\log _2x-\log _2y. \]

Exercício 4.30

Para $x\gt 0$, escreva como um único logaritmo:

\[ 2\ln x-\frac12\ln (x+1). \]

Ver solução

\[ \ln \left(\frac{x^2}{\sqrt{x+1}}\right). \]

Exercício 4.31

Simplifique, indicando antes o domínio.

$\log _2(8x)$.
$\ln (x^2)$.
$\ln \left(\sqrt{x}/e^{2x}\right)$.

Ver solução

Domínio $x\gt 0$; $3+\log _2x$.
Domínio $x\neq 0$; $2\ln |x|$.
Domínio $x\gt 0$; $\frac12\ln x-2x$.

Exercício 4.32

Considere uma base $a\gt 0$, com $a\ne 1$. Decida quais afirmações são verdadeiras e corrija as falsas.

$\log _a(xy)=\log _a x+\log _a y$ para $x,y\gt 0$.
$\log _a(x+y)=\log _a x+\log _a y$ para $x,y\gt 0$.
$\log _a(x^2)=2\log _a|x|$ para $x\neq 0$.

Ver solução

A primeira e a terceira são verdadeiras. A segunda é falsa. Por exemplo, tomando $a=2$ e $x=y=1$, temos $\log _2(x+y)=\log _2 2=1$, enquanto $\log _2 x+\log _2 y=0$. As leis dos logaritmos correspondem a produtos, quocientes e potências, não a somas.

Exercício 4.33

Use mudança de base para escrever $\log _7 20$ em termos de logaritmo natural.

Ver solução

\[ \log _7 20=\frac{\ln 20}{\ln 7}. \]

Exercício 4.34

Resolva a equação $\ln (e^{2x-1})=5$, indicando antes seu domínio.

Ver solução

O domínio é $\mathbb {R}$, pois $e^{2x-1}\gt 0$ para todo $x\in \mathbb {R}$. Como $\ln (e^{2x-1})=2x-1$, temos $2x-1=5$, logo $x=3$.

Exercício 4.35 (A referência muda a leitura)

Dois instrumentos medem a mesma grandeza positiva, mas usam referências diferentes:

\[ S(q)=\log _2\! \left(\frac{q}{q_0}\right),\qquad T(q)=\log _2\! \left(\frac{q}{8q_0}\right),\qquad q_0\gt 0. \]

Relacione $S(q)$ e $T(q)$. A diferença entre as leituras depende de $q$?
Uma amostra $A$ produz $S(q_A)=5$ e uma amostra $B$ produz $T(q_B)=5$. As quantidades são iguais? Determine a razão $q_B/q_A$.
Se $T(q_2)-T(q_1)=2$, por qual fator as quantidades diferem? A diferença entre as leituras seria a mesma na escala $S$? Justifique.

Ver solução

a) $T(q)=S(q)-3$, independentemente de $q$. b) $q_A=32q_0$ e $q_B=256q_0$, logo $q_B/q_A=8$. c) A quantidade com leitura maior é quatro vezes a outra, pois $2^2=4$. A diferença entre duas leituras é preservada ao mudar de $T$ para $S$.

Exercício 4.36

Considere

\[ E(x)=\log _2(x-1)+\log _2(x+2)-\log _2(x+1). \]

Determine o domínio da expressão original.
Nesse domínio, escreva $E(x)$ como um único logaritmo.
Determine o domínio natural da expressão obtida e explique por que a simplificação não autoriza ampliar o domínio de $E$.

Ver solução

A expressão original exige simultaneamente $x-1\gt 0$, $x+2\gt 0$ e $x+1\gt 0$; portanto,

\[ \operatorname {Dom}E=(1,\infty ). \]

Nesse domínio,

\[ E(x)=\log _2\left(\frac{(x-1)(x+2)}{x+1}\right). \]

A expressão isolada à direita está definida quando

\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x+1}\gt 0, \]

isto é, em

\[ (-2,-1)\cup (1,\infty ). \]

O intervalo $(-2,-1)$ aparece apenas depois de combinar os logaritmos: nele, os logaritmos da expressão original não existem separadamente. Logo, a igualdade entre as duas fórmulas vale somente no domínio original $(1,\infty )$.

Exercício 4.37

Reescreva

\[ \ln \! \left(\frac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-3)^3}\right) \]

como combinação de logaritmos. Determine antes o domínio da expressão original.

Ver solução

O domínio é $(3,\infty )$. Nesse intervalo,

\[ \ln \left(\frac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-3)^3}\right) =2\ln x+\frac12\ln (x+1)-3\ln (x-3). \]

Exercício 4.38

Sejam $f(x)=\log _2x$ e $g(x)=2^{x-1}$. Determine as duas composições com seus domínios. Explique por que as expressões simplificadas não tornam esses domínios iguais.

Ver solução

$(f\circ g)(x)=x-1$, com domínio $\mathbb {R}$; $(g\circ f)(x)=x/2$, com domínio $(0,\infty )$. Na segunda ordem é necessário calcular primeiro $\log _2x$.

Exercício 4.39

Considere $L(x)=\ln (1+\sqrt{4-x^2})$.

Descreva as etapas que compõem $L$ e determine seu domínio.
Determine a imagem de $L$ e os pontos em que seus valores extremos são atingidos.

Ver solução

As etapas são $x\mapsto 4-x^2$, a raiz quadrada, a soma de $1$ e o logaritmo natural. A raiz exige $-2\leq x\leq 2$; nesse intervalo o argumento do logaritmo está em $[1,3]$. Portanto, $\operatorname {Dom}L=[-2,2]$ e $\operatorname {Im}L=[0,\ln 3]$. O mínimo $0$ ocorre em $x=\pm 2$ e o máximo $\ln 3$ em $x=0$.

Exercício 4.40

$\star $ Seja

\[ F(x)=\log _{1/2}(3-2^x)+1. \]

Determine o domínio e justifique a monotonicidade pela ordem das operações.
Determine a imagem e as assíntotas vertical e horizontal.
Encontre a inversa de $F$ sobre sua imagem, indicando o domínio da inversa.

Ver solução

A condição $3-2^x\gt 0$ fornece $x\lt \log _2 3$. A função $3-2^x$ é decrescente e o logaritmo de base $1/2$ também; a composição é crescente. O argumento percorre $(0,3)$, de modo que

\[ \operatorname {Im}F=(1-\log _2 3,\infty ). \]

Quando $x$ se aproxima de $\log _2 3$ pela esquerda, o argumento positivo se aproxima de zero e $F(x)$ cresce sem limite: a assíntota vertical é $x=\log _2 3$. Quando $x$ assume valores negativos de módulo cada vez maior, $2^x$ se aproxima de zero e $F(x)$ se aproxima de $1-\log _2 3$: essa é a assíntota horizontal. Por fim,

\[ y-1=\log _{1/2}(3-2^x) \quad \Longleftrightarrow \quad 2^{1-y}=3-2^x, \]

portanto

\[ F^{-1}(y)=\log _2(3-2^{1-y}),\qquad y\gt 1-\log _2 3. \]

4.5 Escalas logarítmicas e aplicações

O logaritmo transforma o quociente entre dois valores positivos na diferença entre seus logaritmos. Essa propriedade permite construir escalas que comparam valores distribuídos por muitas ordens de grandeza.

Exemplo 4.11 (Decibéis)

O nível de intensidade sonora, medido em decibéis, pode ser modelado por

\[ L=10\log _{10}\left(\frac{I}{I_0}\right), \qquad I_0=10^{-12}\, \mathrm{W/m^2}, \]

em que $I$ é a intensidade do som e $I_0$ é uma intensidade de referência. Se a intensidade é multiplicada por $100$, qual é a variação do nível?

Solução

Se o nível inicial é $L$, o novo nível é

\[ 10\log _{10}\left(\frac{100I}{I_0}\right) =10\left(2+\log _{10}\frac{I}{I_0}\right)=L+20. \]

Portanto, multiplicar a intensidade por $100$ acrescenta $20$ decibéis. A fórmula descreve a variação do nível de intensidade sonora, mas não permite concluir como varia a sensação auditiva.

Exemplo 4.12 (pH)

Uma solução tem concentração de íons hidrogênio

\[ [H^+]=2{,}5\times 10^{-6}\ \mathrm{mol/L}. \]

Usando

\[ \mathrm{pH}=-\log _{10}[H^+], \]

calcule o pH. O argumento do logaritmo é o valor numérico da concentração em mol/L. Neste modelo, quanto maior a concentração de íons hidrogênio, maior a acidez e menor o pH.

Solução

\[ \mathrm{pH} =-\log _{10}(2{,}5\times 10^{-6}) =6-\log _{10}(2{,}5) \approx 5{,}60. \]

Nesse modelo, aumentar o pH em uma unidade equivale a dividir por $10$ a concentração de $H^+$; diminuí-lo em uma unidade equivale a multiplicá-la por $10$.

Gráficos semilogarítmicos e log–log

Uma escala logarítmica em um eixo representa um valor positivo $y$ na posição correspondente a $\log _b y$, para uma base fixa $b\gt 1$. As marcas podem continuar rotuladas por $y$: em base $10$, por exemplo, $1$, $10$, $100$ e $1000$ ficam igualmente espaçados. Distâncias iguais nesse eixo representam fatores iguais, e não diferenças iguais. Zero e valores negativos não podem ser representados por essa escala.

Num gráfico semilogarítmico, apenas um eixo é logarítmico. Com o eixo horizontal usual e o vertical logarítmico, o modelo $y=Ca^x$, com $C\gt 0$, $a\gt 0$, transforma-se em

\[ Y=\log _b y=\log _b C+x\log _b a. \]

Portanto, seu desenho é uma reta nas coordenadas $(x,Y)$: a inclinação é $\log _b a$, e não a variação absoluta de $y$ por unidade de $x$. Por exemplo, $y=10\cdot 2^x$ produz a reta $Y=1+x\log _{10}2$ em escala vertical de base $10$.

Num gráfico log–log, ambos os eixos são logarítmicos e exigimos $x\gt 0$, $y\gt 0$. O modelo potência $y=Cx^\alpha $, com $C\gt 0$, transforma-se em

\[ Y=\log _b y=\log _b C+\alpha X,\qquad X=\log _b x. \]

A inclinação da reta é agora o expoente $\alpha $. Por exemplo, na base $10$, $y=10x^2$ produz $Y=1+2X$. Assim, uma reta com eixo horizontal usual e eixo vertical logarítmico indica um modelo exponencial, enquanto uma reta em escala log–log indica um modelo potência. Antes de interpretar o desenho, é indispensável ler as escalas dos dois eixos.

Exercício 4.41

A intensidade de dois ruídos é, respectivamente, $I_1=10^{-6}$ W/m$^2$ e $I_2=4\cdot 10^{-5}$ W/m$^2$. Usando $\beta =10\log _{10}(I/10^{-12})$, compare seus níveis em decibéis e explique por que a diferença entre eles não é proporcional à diferença das intensidades.

Ver solução

$\beta _1=60\, \mathrm{dB}$ e $\beta _2\approx 76{,}02\, \mathrm{dB}$. A diferença é $10\log _{10}(I_2/I_1)=10\log _{10}40\approx 16{,}02\, \mathrm{dB}$. A escala é logarítmica: ela transforma razões de intensidades em diferenças de níveis.

Exercício 4.42

Uma solução tem concentração de íons hidrogênio $[H^+]=2{,}5\times 10^{-6}$ mol/L; outra tem pH $5{,}1$. Qual delas é mais ácida? Determine a razão entre a maior e a menor concentração de $H^+$.

Ver solução

Para a primeira solução, temos $\mathrm{pH}\approx 5{,}60$. A solução de pH $5{,}1$ é mais ácida, e a razão entre suas concentrações de $H^+$ é

\[ \frac{10^{-5{,}1}}{2{,}5\times 10^{-6}}\approx 3{,}18. \]

Exercício 4.43 (Comparações em escalas logarítmicas)

Corrija as afirmações.

“Um som de $80$ dB é duas vezes mais intenso que um som de $40$ dB.”
“Uma solução de pH $4$ tem o dobro da concentração de $H^+$ de uma solução de pH $8$.”

Em seguida, determine quantos decibéis aumenta o nível sonoro quando a intensidade é dobrada. Use $\beta =10\log _{10}(I/I_0)$ e $\mathrm{pH}=-\log _{10}[H^+]$, com $[H^+]$ tomado numericamente em mol/L.

Ver solução

$\beta _1-\beta _2=10\log _{10}(I_1/I_2)=40$; logo, $I_1/I_2=10^4$.
A diferença de $4$ unidades de pH corresponde a um fator $10^4$ na concentração.

Dobrar a intensidade aumenta o nível em $10\log _{10}2\approx 3$ dB, qualquer que seja o nível inicial: em escala logarítmica, fatores multiplicativos tornam-se acréscimos constantes.

Exercício 4.44

Após uma fonte sonora ser desligada, a intensidade do som em uma sala é modelada por

\[ I(t)=I_0e^{-kt},\qquad I_0\gt 0,\quad k\gt 0. \]

O tempo de reverberação $T_{60}$ é o instante em que a intensidade se reduz a $10^{-6}$ de seu valor inicial. Mostre que

\[ T_{60}=\frac{6\ln 10}{k}. \]

Ver solução

A condição $I(T_{60})=10^{-6}I_0$ fornece

\[ e^{-kT_{60}}=10^{-6}. \]

Aplicando o logaritmo natural, obtemos $-kT_{60}=-6\ln 10$ e, portanto, $T_{60}=6\ln (10)/k$. Quanto maior for $k$, mais rapidamente o som decai.

Exercício 4.45

O valor de um equipamento é modelado por $V(t)=48\, 000(0{,}82)^t$, em reais, $t$ anos após a compra. Determine o valor após cinco anos e o menor número inteiro de anos após a compra para o qual esse valor é inferior a $15\, 000$ reais.

Ver solução

$V(5)\approx R\$ \, 17\, 795{,}51$. Como

\[ \frac{\log (15000/48000)}{\log (0{,}82)}\approx 5{,}861, \]

o primeiro ano inteiro com valor inferior a $R\$ \, 15\, 000{,}00$ é o sexto.

Exercício 4.46 (Retas em uma escala diferente)

O eixo vertical usa escala logarítmica de base $10$: marcas igualmente espaçadas representam $1$, $10$, $100$ e $1000$. As retas representam dois modelos exponenciais positivos $A(t)$ e $B(t)$.

Leia os valores iniciais e o instante em que as quantidades se igualam.
Qual quantidade tem maior fator de crescimento por unidade de tempo? Explique por que as retas desenhadas não indicam acréscimos absolutos constantes em $A$ e $B$.

Ilustração: Gráficos semilogarítmicos e log–log

Ver solução

a) $A(0)=10$, $B(0)=1$ e $A(2)=B(2)=100$. b) $B$ tem o maior fator: multiplica por $10$ a cada unidade de tempo, enquanto $A$ multiplica por $\sqrt{10}$. As ordenadas desenhadas são $\log _{10}A(t)=1+t/2$ e $\log _{10}B(t)=t$; variações verticais iguais representam razões iguais das quantidades.

Exercício 4.47 (A mesma reta, eixos diferentes)

Dois pesquisadores estudam grandezas positivas em função de $x\gt 0$. Seus gráficos apresentam retas de mesma aparência geométrica, mas empregam escalas diferentes. No gráfico A, os dois eixos são logarítmicos; no gráfico B, apenas o eixo vertical é logarítmico. Em cada eixo logarítmico, marcas igualmente espaçadas representam valores multiplicados por $10$, e não aumentados por uma quantidade fixa.

Nas coordenadas transformadas, as retas têm equações

\[ \begin{aligned} \text{A:}\quad & V=2U+1, & U& =\log _{10}x, & V& =\log _{10}f(x),\\ \text{B:}\quad & Y=2X+1, & X& =x, & Y& =\log _{10}g(x). \end{aligned} \]

As marcas dos eixos nas figuras indicam os valores das grandezas, e não os valores de seus logaritmos.

Figura não resolvida: figuras/exercicio-escalas-loglog-semilog.tex

Determine as expressões de $f(x)$ e $g(x)$. As duas funções pertencem à mesma família?
Calcule

\[ \frac{f(2x)}{f(x)} \qquad \text{e}\qquad \frac{g(x+1)}{g(x)}. \]

Explique o significado dessas razões e relacione cada uma ao tipo de escala utilizado.
$\star $ É possível que uma função positiva e não constante, definida em $(0,\infty )$, tenha um gráfico retilíneo tanto em escala log–log quanto em escala semilogarítmica em todo o seu domínio? Justifique.

Ver solução

No primeiro caso, $\log _{10}f(x)=2\log _{10}x+1$, portanto $f(x)=10x^2$, uma função potência. No segundo, $\log _{10}g(x)=2x+1$, logo $g(x)=10\cdot 100^x$, uma função exponencial.
Temos

\[ \frac{f(2x)}{f(x)}=4,\qquad \frac{g(x+1)}{g(x)}=100. \]

Na lei de potência, multiplicar a entrada por $2$ multiplica a saída por $4$; na exponencial, acrescentar uma unidade à entrada multiplica a saída por $100$.
Se uma função positiva tivesse ambos os gráficos retilíneos em todo $(0,\infty )$, poderíamos escrevê-la como

\[ h(x)=Ax^p=Ba^x \]

para constantes $A,B,a\gt 0$ e $p\in \mathbb R$. A forma de potência exige $h(2)/h(1)=h(4)/h(2)$; a forma exponencial dá, respectivamente, $a$ e $a^2$. Portanto, $a=a^2$ e, como $a\gt 0$, segue $a=1$. Assim, $h$ seria constante, contrariando a hipótese.

Funções exponenciais e logarítmicas

4.1 Da potência à função exponencial

4.1.1 Transformações do gráfico exponencial

4.2 Variação multiplicativa e modelos exponenciais

4.3 Função logarítmica

Domínios com logaritmos

4.4 Propriedades dos logaritmos

A base \(e\) e o logaritmo natural

Aplicando as propriedades

4.5 Escalas logarítmicas e aplicações

Gráficos semilogarítmicos e log–log