Capítulo 16

Integrais impróprias

O infinito! Nenhuma outra questão comoveu tão profundamente o espírito humano.
David Hilbert, Sobre o Infinito

A integral definida foi construída em intervalos finitos para funções limitadas. Há, porém, problemas de acumulação em que uma dessas condições falha: o intervalo pode se estender indefinidamente, ou o integrando pode tornar-se ilimitado próximo de um ponto. Em ambos os casos, a integral é definida por aproximação. Substituímos o problema impróprio por integrais definidas usuais e examinamos o limite dessas integrais. A existência de um valor finito é, portanto, uma questão de convergência.

16.1 Intervalos infinitos

Em um intervalo infinito, truncamos primeiro o domínio. A integral imprópria existe quando as integrais sobre esses intervalos finitos convergem para um número real à medida que a extremidade se afasta indefinidamente.

Definição 16.1 (Integrais impróprias em intervalos infinitos)

Seja $f$ uma função contínua em $[a,\infty )$. Definimos

\[ \int _a^\infty f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \coloneqq \lim _{b\to \infty }\int _a^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
Seja $f$ uma função contínua em $(-\infty ,b]$. Definimos

\[ \int _{-\infty }^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \coloneqq \lim _{a\to -\infty }\int _a^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
Seja $f$ uma função contínua em $(-\infty ,\infty )$. Seja $c$ um número real; então, definimos

\[ \int _{-\infty }^\infty f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \coloneqq \lim _{a\to -\infty }\int _a^c f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x + \lim _{b\to \infty }\int _c^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

Uma integral imprópria é dita convergente se o limite correspondente existe e é finito; caso contrário, ela é dita divergente. A integral imprópria do item 3 converge se e somente se ambos os limites existem e são finitos. A soma de divergências de sinais opostos não define uma integral; em particular, não se deve substituir esses dois limites independentes por um único limite com extremos simétricos. A escolha de $c$ não altera o resultado, pois mudar $c$ acrescenta uma integral em intervalo finito a uma parcela e a subtrai da outra.

Exemplo 16.1 (Calculando integrais impróprias)

Calcule as seguintes integrais impróprias.

$\displaystyle \int _1^\infty \frac1{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _1^\infty \frac1x\mathop{}\! \mathrm{d} x$

$\displaystyle \int _{-\infty }^0 e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _{-\infty }^\infty \frac1{1+x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x$

Solução

$\begin{aligned} [t] \int _1^\infty \frac{1}{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\ =\ \lim _{b\to \infty } \int _1^b\frac1{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\ & =\ \lim _{b\to \infty } \frac{-1}{x}\Big|_1^b \\ & = \lim _{b\to \infty } \frac{-1}{b} + 1 \\ & = 1.\end{aligned}$O gráfico da área definida por essa integral é apresentado na Figura 16.1.

Figura 16.1 A cauda positiva de $1/x^2$ em $[1,\infty )$ tem área total finita, igual a $1$.
$\begin{aligned} [t]\int _1^\infty \frac1x\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \lim _{b\to \infty }\int _1^b\frac1x\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \lim _{b\to \infty } \ln |x|\Big|_1^b \\ & = \lim _{b\to \infty } \ln (b) \\ & = \infty . \end{aligned}$

O limite não é finito; logo, a integral imprópria $\displaystyle \int _1^\infty \frac1x\mathop{}\! \mathrm{d} x$ diverge. Compare os gráficos das Figuras 16.1 e 16.2; observe que $1/x$ decresce mais lentamente. Os limites calculados mostram que sua área acumulada cresce sem limite, enquanto a de $1/x^2$ permanece finita.

Figura 16.2 A cauda de $1/x$ decresce lentamente, e sua área acumulada em $[1,b]$ cresce sem limite.
$\begin{aligned} [t]\int _{-\infty }^0 e^x \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \lim _{a\to -\infty } \int _a^0e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \lim _{a\to -\infty } e^x\Big|_a^0 \\ & = \lim _{a\to -\infty } e^0-e^a \\ & = 1. \end{aligned}$

O gráfico da área definida por essa integral é apresentado na Figura 16.3.

Figura 16.3 Embora se estenda até $-\infty $, a região sob $e^x$ à esquerda de $0$ tem área finita, igual a $1$.
Devemos separar a integral em duas integrais impróprias, como na Definição 16.1. A escolha do ponto de separação é livre; tomemos $c=0$.

\begin{align*} \int _{-\infty }^\infty \frac1{1+x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \lim _{a\to -\infty } \int _a^0\frac{1}{1+x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x + \lim _{b\to \infty } \int _0^b\frac{1}{1+x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \lim _{a\to -\infty } \operatorname {arctg}x\Big|_a^0 + \lim _{b\to \infty } \operatorname {arctg}x\Big|_0^b \\ & = \lim _{a\to -\infty } \left(\operatorname {arctg}0-\operatorname {arctg}a\right) + \lim _{b\to \infty } \left(\operatorname {arctg}b-\operatorname {arctg}0\right) \\ & = \left(0-\frac{-\pi }2\right) + \left(\frac{\pi }2-0\right). \\ \text{Cada limite existe; portanto, a integral original converge e vale} & = \pi . \end{align*}

O gráfico da área definida por essa integral é apresentado na Figura 16.4.

Figura 16.4 As duas caudas de $1/(1+x^2)$ devem ser integradas separadamente; juntas, têm área $\pi $.

Exemplo 16.2 (A Corneta de Gabriel: volume finito e área infinita)

Considere a região sob a curva

\[ y=\frac1x,\qquad x\geq 1, \]

e o sólido obtido ao girá-la em torno do eixo $x$. Determine o volume do sólido e decida se a área de sua superfície de revolução é finita.

Figura 16.5 A Corneta de Gabriel é obtida pela rotação de y=1/x, x≥ 1, em torno do eixo x. O desenho mostra apenas uma porção finita da superfície; a cauda continua indefinidamente. — Figura 16.5 A Corneta de Gabriel é obtida pela rotação de $y=1/x$, $x\geq 1$, em torno do eixo $x$. O desenho mostra apenas uma porção finita da superfície; a cauda continua indefinidamente.

Solução

Para o volume, usamos o método dos discos:

\[ V =\pi \int _1^\infty \left(\frac1x\right)^2\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\pi \int _1^\infty \frac1{x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\pi . \]

Portanto, apesar de se estender indefinidamente, a corneta possui volume finito.

Para a área da superfície de revolução, como $y=1/x$ e $y'=-1/x^2$, obtemos

\[ S =2\pi \int _1^\infty \frac1x\sqrt{1+\frac1{x^4}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

Como

\[ \frac1x\sqrt{1+\frac1{x^4}}\geq \frac1x \qquad (x\geq 1), \]

e $\int _1^\infty \frac1x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ diverge, o teste da comparação mostra que $S=\infty $.

Assim, a Corneta de Gabriel tem volume finito e área superficial infinita. Não há contradição: no volume, o raio aparece ao quadrado, produzindo a integral de $1/x^2$; na área, o termo dominante decai como $1/x$. É exatamente a diferença entre as duas integrais que acabamos de estudar no Exemplo 16.1.

Exemplo 16.3 (Integração imprópria e a regra de L’Hôpital)

Calcule a integral imprópria $\displaystyle \int _1^\infty \frac{\ln x}{x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$.

Solução

Para calculá-la, aplicamos integração por partes. Tome $u=\ln x$ e $\mathop{}\! \mathrm{d} v=x^{-2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$. Então,

Figura 16.6 A função (ln x)/x^2 é não negativa em [1,∞ ) e decai o bastante para produzir área finita. — Figura 16.6 A função $(\ln x)/x^2$ é não negativa em $[1,\infty )$ e decai o bastante para produzir área finita.

\begin{align*} \int _1^\infty \frac{\ln x}{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \lim _{b\to \infty }\int _1^b\frac{\ln x}{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \lim _{b\to \infty }\left(-\frac{\ln x}{x}\Big|_1^b +\int _1^b \frac{1}{x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x \right) \\ & = \lim _{b\to \infty } \left.\left(-\frac{\ln x}{x} -\frac1x\right)\right|_1^b \\ & = \lim _{b\to \infty } \left(-\frac{\ln b}{b}-\frac1b - \left(-\ln 1-1\right)\right). \\ \text{O termo $1/b$ tende a zero e $\ln 1=0$, deixando $\displaystyle \lim _{b\to \infty } -\frac{\ln b}b + 1.$ Precisamos calcular $\displaystyle \lim _{b\to \infty } \frac{\ln b}{b}$ pela Regra de L'Hôpital. Temos:} \lim _{b\to \infty }\frac{\ln b}b & \stackrel{\ \text{ por L'Hôpital \rule[-5pt]{0pt}{3pt}} \ }{=} \lim _{b\to \infty } \frac{1/b}{1} \\ & = 0. \text{Logo a integral imprópria vale: } \int _1^\infty \frac{\ln x}{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x & = 1. \end{align*}

Exercício 16.1

Calcule as integrais impróprias.

$\displaystyle \int _1^\infty \dfrac {1}{(x+1)^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^\infty e^{-3x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-|x|}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^\infty xe^{-x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^\infty \dfrac {1}{1+x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\dfrac {1}{1+x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$

Ver solução

Na ordem dada, os valores são:

$1/2$, usando a primitiva $-1/(x+1)$.
$1/3$, usando a primitiva $-e^{-3x}/3$.
$2$, pela paridade: $2\int _0^\infty e^{-x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=2$.
$1$, por integração por partes.
$\pi /2$, pois $\operatorname {arctg}b\to \pi /2$.
$\pi $: cada semirreta contribui com $\pi /2$.

Exercício 16.2

Determine se cada integral converge ou diverge. Calcule seu valor quando houver convergência.

$\displaystyle \int _0^\infty \operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^\infty \dfrac {1}{x+1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\dfrac {1}{x^2+4x+9}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _2^\infty \dfrac {1}{x^2-1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$

Ver solução

Diverge por oscilação: $\int _0^b\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=1-\cos b$ não possui limite quando $b\to \infty $.
Diverge para $+\infty $, pois $\int _0^b1/(x+1)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\ln (b+1)$.
Converge e vale $\pi /\sqrt5$. Complete o quadrado, escrevendo $x^2+4x+9=(x+2)^2+5$.
Converge e vale $\tfrac 12\ln 3$, usando a primitiva $\tfrac 12\ln |(x-1)/(x+1)|$.

16.2 Integrandos descontínuos

A dificuldade pode estar no próprio integrando, mesmo quando o intervalo é finito. Perto de uma assíntota vertical, a função deixa de ser limitada. A ideia de aproximação permanece: integramos até pontos anteriores à singularidade e estudamos os limites correspondentes em cada lado relevante.

Definição 16.2 (Integração imprópria com integrandos descontínuos)

Seja $f(x)$ uma função contínua em $[a,b]$, exceto em $c$, $a\leq c\leq b$, em que o integrando é ilimitado nas proximidades de $c$ (em particular, $x=c$ pode ser uma assíntota vertical). Definimos

Se $a\lt c\lt b$, então

\[ \int _a^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x = \lim _{t\to c^-}\int _a^t f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x + \lim _{t\to c^+}\int _t^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
Se $c=a$, então

\[ \int _a^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\lim _{t\to a^+}\int _t^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
Se $c=b$, então

\[ \int _a^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\lim _{t\to b^-}\int _a^t f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

A integral converge se todos os limites correspondentes existem e são finitos; ela diverge caso contrário. Se houver várias singularidades, inclusive nos dois extremos, dividimos o intervalo em trechos com apenas uma singularidade em cada extremo e exigimos a convergência de todos os limites. O mesmo procedimento se aplica quando também há extremos infinitos.

Exemplo 16.4 (Integração imprópria de funções descontínuas)

Calcule as seguintes integrais impróprias:

$\displaystyle \int _0^1\frac1{\sqrt{x}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _{-1}^1\frac{1}{x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$

Solução

O gráfico de $f(x) = 1/\sqrt{x}$ é apresentado na Figura 16.7. Observe que $f$ tem uma assíntota vertical em $x=0$; em certo sentido, estamos tentando calcular a área de uma região que não tem “topo”.

\begin{align*} \int _0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \lim _{a\to 0^+}\int _a^1 \frac1{\sqrt{x}}\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \lim _{a\to 0^+} 2\sqrt{x}\Big|_a^1 \\ & = \lim _{a\to 0^+} 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{a}\right) \\ & = 2. \end{align*}

A região é ilimitada em altura, mas sua área é finita. Não há contradição: a altura cresce sem limite apenas perto de um ponto, e a largura da faixa correspondente tende a zero.
Observação 16.5
Na Definição 16.2, $c$ pode ser um dos extremos ($a$ ou $b$). Nesse caso, há apenas um limite a ser considerado.

Figura 16.7 A assíntota em $x=0$ torna a região ilimitada em altura, mas sua área em $(0,1]$ é finita.
A função $f(x) = 1/x^2$ tem uma assíntota vertical em $x=0$, como apresentado na Figura 16.8; logo, esta integral é imprópria. A aplicação direta da regra de avaliação por primitivas, sem considerar a singularidade, produziria o seguinte cálculo incorreto:

\begin{align*} \int _{-1}^1\frac1{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x & = -\frac1x\Big|_{-1}^1 \\ & = -1 - (1) \\ & =-2. \ (!) \end{align*}

Figura 16.8 Em $x=0$, as duas parcelas de $1/x^2$ têm áreas positivas divergentes; por isso a integral em $[-1,1]$ diverge.

O integrando é positivo, portanto uma área negativa já revela que o cálculo anterior não pode representar a integral. A falha ocorreu ao aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo através de um ponto em que a função não é contínua. Devemos dividir o intervalo em $x=0$ e usar a Definição 16.2.

\begin{align*} \int _{-1}^1\frac1{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \lim _{t\to 0^-}\int _{-1}^t \frac1{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x + \lim _{t\to 0^+}\int _t^1\frac1{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \lim _{t\to 0^-}-\frac1x\Big|_{-1}^t + \lim _{t\to 0^+}-\frac1x\Big|_t^1 \\ & = \lim _{t\to 0^-}-\frac1t-1 + \lim _{t\to 0^+} -1+\frac1t \\ & \Rightarrow \Big(\infty -1\Big)\ + \ \Big(- 1+\infty \Big). \end{align*}

Nenhum dos limites é finito, de modo que a integral imprópria diverge. O valor $-2$ obtido anteriormente resulta de uma aplicação indevida da fórmula de Newton–Leibniz e não é o valor da integral.

Exercício 16.3

Calcule as integrais impróprias convergentes e identifique as divergentes.

$\displaystyle \int _0^1\ln x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^1\dfrac {1}{\sqrt{x}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _{-1}^1\dfrac {1}{\sqrt{|x|}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^{\pi /2}\dfrac {1}{\operatorname {sen}^2x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$

Ver solução

$-1$, pois $[x\ln x-x]_\varepsilon ^1\to -1$ e $\varepsilon \ln \varepsilon \to 0$.
$2$, pois $\lim _{a\to 0^+}2(1-\sqrt a)=2$.
$4$: a função é par e cada integral unilateral em torno de $0$ vale $2$.
Diverge para $+\infty $: $\int _a^{\pi /2}1/\operatorname {sen}^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\operatorname {cotg}a\to +\infty $ quando $a\to 0^+$.

Exercício 16.4

Determine se cada integral converge ou diverge. Quando houver convergência, calcule seu valor.

$\displaystyle \int _0^2\dfrac {1}{(x-1)^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^{1/2}\dfrac {1}{x\ln x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^{1/2}\dfrac {1}{x\ln ^2x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$

Ver solução

Diverge para $+\infty $. A singularidade em $1$ exige duas integrais, e ambas divergem.
Diverge para $-\infty $: uma primitiva é $\ln |\ln x|$.
Converge e vale $1/\ln 2$: uma primitiva é $-1/\ln x$, cujo limite em $0^+$ é zero.

16.3 Convergência e divergência

Para uma integral imprópria, a primeira pergunta é se ela converge. O valor exato pode ser secundário ou mesmo inacessível por primitivas elementares. Testes de comparação permitem decidir a convergência a partir de funções-modelo; a família fundamental é $1/x^p$.

Exemplo 16.6 (Integração imprópria de $1/x^p$)

Determine os valores de $p$ para os quais $\displaystyle \int _1^\infty \frac1{x^p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ converge.

Solução

Integrando e calculando o limite:

\begin{align*} \int _1^\infty \frac1{x^p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \lim _{b\to \infty }\int _1^b\frac1{x^p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \lim _{b\to \infty }\int _1^b x^{-p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \qquad (p\neq 1) \\ & = \lim _{b\to \infty } \frac{1}{-p+1}x^{-p+1}\Big|_1^b \\ & = \lim _{b\to \infty } \frac{1}{1-p}\big(b^{1-p}-1\big). \end{align*}

Se $p\gt 1$, então $b^{1-p}\to 0$, e a integral converge. Se $p\lt 1$, então $b^{1-p}\to \infty $, e a integral diverge. O caso $p=1$, excluído do cálculo acima, é a integral de $1/x$ e também diverge.

Figura 16.9 A curva tracejada 1/x separa visualmente os comportamentos: 1/x^p converge para p> 1 e diverge para p≤ 1. — Figura 16.9 A curva tracejada $1/x$ separa visualmente os comportamentos: $1/x^p$ converge para $p\gt 1$ e diverge para $p\leq 1$.

Portanto, $\int _1^\infty x^{-p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ converge exatamente quando $p\gt 1$. Na Figura 16.9, o gráfico tracejado de $1/x$ separa visualmente os dois regimes: expoentes maiores que $1$ produzem decaimento mais rápido; expoentes menores que $1$, decaimento mais lento.

O resultado do Exemplo 16.6 fornece uma ferramenta importante na determinação da convergência de outras integrais. Um resultado similar sobre integrais impróprias da forma $\displaystyle \int _0^1\frac1{x^p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ é provado nos exercícios. Esses resultados estão resumidos no quadro a seguir.

Convergência das integrais de $1/x^p$

A integral imprópria $\displaystyle \int _1^\infty \frac1{x^p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ converge quando $p\gt 1$ e diverge quando $p\leq 1$.
A integral imprópria $\displaystyle \int _0^1\frac1{x^p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ converge quando $p\lt 1$ e diverge quando $p\geq 1$.

Exercício 16.5

Determine para quais valores de $p\gt 0$ cada integral converge e, nos casos de convergência, calcule seu valor.

$\displaystyle \int _0^1\dfrac {1}{x^p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _1^\infty \dfrac {1}{x^p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$

Ver solução

Converge para $0\lt p\lt 1$ e vale $1/(1-p)$. Para $p\geq 1$, diverge.
Converge para $p\gt 1$ e vale $1/(p-1)$. Para $0\lt p\leq 1$, diverge.

A técnica básica para determinar a convergência de uma integral imprópria é comparar seu integrando com outro cujo comportamento seja conhecido. As integrais de $1/x^p$ fornecerão os modelos de comparação mais frequentes.

Teorema 16.7 (Teste da comparação direta para integrais impróprias)

Intervalo infinito. Sejam $f$ e $g$ contínuas em $[a,\infty )$, com $0\leq f(x)\leq g(x)$. Se $\int _a^\infty g(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ converge, então $\int _a^\infty f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ converge. Se $\int _a^\infty f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ diverge, então $\int _a^\infty g(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ diverge.

Singularidade finita. Sejam $f$ e $g$ não negativas e contínuas nos lados relevantes de $c\in [a,b]$, com $f(x)\leq g(x)$ para $x\neq c$. Em cada integral unilateral determinada por $c$ valem as mesmas duas conclusões. Se $a\lt c\lt b$, é preciso aplicá-las separadamente em $[a,c)$ e $(c,b]$.

Demonstração ▼

Para $t\geq a$, ponha $F(t)=\int _a^tf(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ e $G(t)=\int _a^tg(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$. Pela não negatividade, ambas as funções são não decrescentes e $0\leq F(t)\leq G(t)$. Se $\int _a^\infty g$ converge a $M$, então $F(t)\leq M$; o limite de $F$ existe e é finito, pois é o supremo de seus valores. Isso prova a primeira conclusão para um intervalo infinito. A segunda é sua contrapositiva: se a integral de $g$ convergisse, a de $f$ também convergiria. Para uma singularidade finita, aplicamos o mesmo argumento às integrais truncadas em cada lado de $c$, cujos valores crescem à medida que a região de integração aumenta. Se $c$ é interior, as duas parcelas devem convergir separadamente.

Exemplo 16.8 (Convergência de integrais impróprias)

Determine a convergência das seguintes integrais impróprias. 1. $\displaystyle \int _1^\infty e^{-x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x$ 2. $\displaystyle \int _3^\infty \frac{1}{\sqrt{x^2-x}}\mathop{}\! \mathrm{d} x$

Solução

A função $f(x)=e^{-x^2}$ não tem antiderivada elementar, portanto não podemos calcular a integral diretamente por uma primitiva. Compare-a com $g(x)=1/x^2$: como mostra a Figura 16.10, $0\lt e^{-x^2}\lt 1/x^2$ em $[1,\infty )$. Pelo Exemplo 16.1, $\displaystyle \int _1^\infty x^{-2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ converge; logo, $\displaystyle \int _1^\infty e^{-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ também converge.

Figura 16.10 Em $[1,\infty )$, $0\lt e^{-x^2}\lt 1/x^2$; a comparação com a curva superior garante a convergência.
Observe que, para grandes valores de $x$, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-x}} \approx \frac{1}{\sqrt{x^2}} =\frac{1}{x}$. Como $\displaystyle \int _3^\infty \frac1x\mathop{}\! \mathrm{d} x$ diverge, isso sugere comparar o integrando original com $1/x$. Quando $x\geq 3$, temos $x=\sqrt{x^2}\gt \sqrt{x^2-x}$ e, logo,

\[ \frac1x \lt \frac1{\sqrt{x^2-x}}. \]

Pelo Teorema 16.7, a divergência de $\int _3^\infty x^{-1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ implica a divergência de

\[ \int _3^\infty \frac1{\sqrt{x^2-x}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

A Figura 16.11 ilustra isso.

Figura 16.11 Para $x\geq 3$, $1/\sqrt{x^2-x}\gt 1/x$; a área sob a curva maior também diverge.

Nem sempre a comparação direta aponta na direção necessária. Por exemplo,

\[ \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}\lt \frac1x\qquad (x\gt 0), \]

mas estar abaixo de uma função cuja integral diverge não permite concluir nada: uma função menor ainda pode ter integral convergente. Nesse caso, é mais informativo comparar a razão entre os integrandos.

Teorema 16.9 (Teste da comparação pelo limite para integrais impróprias)

Sejam $f$ e $g$ funções contínuas em $[a,\infty )$, com $f(x)\gt 0$ e $g(x)\gt 0$ para todo $x$. Se

\[ \lim _{x\to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} = L, \qquad 0\lt L\lt \infty , \]

então as integrais

\[ \int _a^\infty f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \qquad \text{e}\qquad \int _a^\infty g(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]

ambas convergem ou ambas divergem.

Demonstração ▼

Como $L\gt 0$, existe $A\geq a$ tal que, para $x\geq A$, $L/2\lt f(x)/g(x)\lt 3L/2$. Logo,

\[ \frac L2g(x)\leq f(x)\leq \frac{3L}{2}g(x),\qquad x\geq A. \]

Pela comparação direta, a integral de $g$ converge se e somente se a de $f$ converge em $[A,\infty )$. As integrais em $[a,A]$ são finitas por continuidade, portanto não alteram a convergência das integrais originais.

Exemplo 16.10 (Comparação pelo limite)

Determine a convergência de $\displaystyle \int _3^{\infty } \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}\mathop{}\! \mathrm{d} x$.

Solução

Para valores grandes de $x$, o termo dominante no denominador é $x^2$; por isso, a função deve se comportar como $1/x$. Calculamos a razão:

\[ \lim _{x\to \infty } \frac{1/\sqrt{x^2+2x+5}}{1/x} = \lim _{x\to \infty }\frac{x}{\sqrt{x^2+2x+5}}. \]

Para $x\gt 0$, podemos dividir o numerador e o denominador por $x$:

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+2x+5}}=\frac1{\sqrt{1+2/x+5/x^2}}\longrightarrow 1, \]

pela continuidade da raiz quadrada e da função recíproca em $1$. Assim, os dois integrandos são assintoticamente equivalentes. Como $\int _3^\infty x^{-1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ diverge, o teste da comparação pelo limite mostra que

\[ \int _3^\infty \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]

também diverge. A Figura 16.12 ilustra a aproximação entre as duas curvas para valores crescentes de $x$.

Figura 16.12 As funções 1/√x^2+2x+5 e 1/x se tornam assintoticamente equivalentes: a razão entre elas tende a 1. — Figura 16.12 As funções $1/\sqrt{x^2+2x+5}$ e $1/x$ se tornam assintoticamente equivalentes: a razão entre elas tende a $1$.

Exercício 16.6

Determine se cada integral converge ou diverge. Calcule seu valor quando houver convergência.

$\displaystyle \int _1^\infty \dfrac {\ln x}{x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _2^\infty \dfrac {1}{x\sqrt{\ln x}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _2^\infty \dfrac {1}{x\ln x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^\infty \dfrac {1}{x(1+\ln ^2x)}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^\infty \left(\dfrac {\cos x}{x}-\dfrac {\operatorname {sen}x}{x^2}\right)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^\infty \dfrac {1}{x^2-x+1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _2^\infty \dfrac {1}{(x^2-1)^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$

Ver solução

Converge e vale $1$, por integração por partes.
Diverge para $+\infty $, pois uma primitiva é $2\sqrt{\ln x}$.
Diverge para $+\infty $, pois uma primitiva é $\ln (\ln x)$.
Converge e vale $\pi $. Com $u=\ln x$, separe a integral em $x=1$; as duas parcelas valem $\pi /2$.
Converge e vale $-1$. O integrando é a derivada de $\operatorname {sen}x/x$, e os limites dessa função nos extremos são $1$ e $0$.
Converge e vale $4\pi /(3\sqrt3)$, após completar o quadrado.
Converge e vale $\frac13-\frac14\ln 3$.

Exercício 16.7

Use o teste da comparação direta ou o teste da comparação pelo limite para decidir se cada integral converge. Indique a função de comparação.

$\displaystyle \int _{10}^\infty \dfrac {3}{\sqrt{3x^2+2x-5}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _2^\infty \dfrac {4}{\sqrt{7x^3-x}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^\infty \dfrac {\sqrt{x+3}}{\sqrt{x^3-x^2+x+1}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _1^\infty e^{-x}\ln x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _5^\infty e^{-x^2+3x+1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$
$\displaystyle \int _0^\infty \dfrac {\sqrt{x}}{e^x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$

Ver solução

Diverge pelo teste de comparação pelo limite com $g(x)=1/x$: a razão tende a $\sqrt3\gt 0$.
Converge pelo teste de comparação pelo limite com $g(x)=x^{-3/2}$: a razão tende a $4/\sqrt7\gt 0$.
Diverge pelo teste de comparação pelo limite com $g(x)=1/x$, a partir de $x=1$: a razão tende a $1$. Não há singularidade em $[0,1]$, pois $x^3-x^2+x+1=x(x^2-x+1)+1\gt 0$ para $x\geq 0$.
Converge por comparação direta: $0\leq e^{-x}\ln x\leq xe^{-x}$ para $x\geq 1$, e $\int _1^\infty xe^{-x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=2/e$.
Converge por comparação direta com $e^{-x}$. Para $x\geq 5$, $x^2-4x-1\gt 0$, de modo que $-x^2+3x+1\leq -x$.
Converge por comparação direta. O integrando é contínuo em $[0,1]$; para $x\geq 1$, $0\leq \sqrt x\, e^{-x}\leq xe^{-x}$, cuja integral converge.

16.4 Probabilidade

Até aqui, a convergência de uma integral imprópria determinava se uma área ou uma quantidade acumulada possuía valor finito. Em probabilidade, a mesma questão adquire um significado estrutural: uma função só pode descrever como a probabilidade se distribui sobre a reta se sua massa total for finita e puder ser normalizada para valer $1$. A convergência de outras integrais determinará, por sua vez, se essa distribuição possui média ou momentos de ordem superior.

Uma variável aleatória pode representar, por exemplo, o tempo de duração de uma lâmpada ou a altura de uma pessoa escolhida em uma população. Seus valores não precisam pertencer a $[0,1]$; são as probabilidades dos eventos que ficam entre $0$ e $1$. Consideraremos modelos descritos por densidades.

Definição 16.3 (Densidade de probabilidade)

Uma função $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$ é uma densidade de probabilidade quando

\[ f(x)\geq 0\quad \text{para todo $x\in \mathbb {R}$} \qquad \text{e}\qquad \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=1. \]

Se uma variável aleatória $X$ possui densidade $f$, definimos, para $a\leq b$,

\[ P(a\leq X\leq b)=\int _a^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

A segunda condição é chamada normalização: a área total sob o gráfico de $f$ representa a probabilidade do evento certo $X\in \mathbb {R}$. Como $f$ é não negativa, sua integral sobre qualquer intervalo está entre $0$ e $1$. Além disso, $P(X=x)=0$ para cada ponto $x$, pois a integral sobre um intervalo de comprimento zero é nula. Por isso, em modelos com densidade, incluir ou excluir os extremos de um intervalo não altera sua probabilidade.

Nem toda função não negativa pode ser normalizada. Por exemplo, se $c\gt 0$, então

\[ \int _0^\infty \frac{c}{1+x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\infty ; \]

logo, nenhuma escolha de $c$ transforma $c/(1+x)$, em $[0,\infty )$, numa densidade.

16.4.1 Função de distribuição acumulada

As probabilidades de todos os intervalos podem ser reunidas numa única função. A função de distribuição acumulada de $X$ é

\[ F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t. \]

Ela mede a massa acumulada à esquerda de $x$. Como $f\geq 0$, a função $F$ é não decrescente e satisfaz

\[ 0\leq F(x)\leq 1, \qquad \lim _{x\to -\infty }F(x)=0, \qquad \lim _{x\to \infty }F(x)=1. \]

Quando $f$ é contínua, o Teorema Fundamental do Cálculo fornece $F'(x)=f(x)$. Assim, a densidade descreve a taxa com que a probabilidade se acumula. Também podemos calcular

\[ P(a\lt X\leq b)=F(b)-F(a). \]

16.4.2 Valor esperado e momentos

A densidade também permite construir uma média dos valores possíveis, ponderada por suas probabilidades. Para que essa média não dependa de um cancelamento entre duas integrais divergentes, exigimos convergência absoluta.

Definição 16.4 (Valor esperado)

\[ \int _{-\infty }^{\infty }|x|f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\lt \infty , \]

o valor esperado de $X$ é

\[ \mathbb {E}[X]=\int _{-\infty }^{\infty }x f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

Mais geralmente, a existência do momento de ordem $r\gt 0$ é determinada pela convergência de $\int _{-\infty }^{\infty }|x|^r f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$.

O cancelamento entre as parcelas sobre os dois semieixos, quando ambas divergem, não produz um valor esperado. Introduziremos ainda o segundo momento

\[ \mathbb {E}[X^2]=\int _{-\infty }^{\infty }x^2f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x. \]

Quando ele é finito, a variância é

\[ \operatorname {Var}(X) =\mathbb {E}\! \left[(X-\mathbb {E}[X])^2\right] =\mathbb {E}[X^2]-\mathbb {E}[X]^2. \]

Uma densidade pode ser interpretada como uma distribuição de massa total $1$. Nessa analogia, quando a integral correspondente converge, $\mathbb {E}[X]$ fornece a abscissa do centro de massa da distribuição; compare com a Seção 15.7.

Exemplo 16.11 (Duração da queima de uma lâmpada)

A duração $T$, em horas, de uma lâmpada é modelada por uma distribuição exponencial de parâmetro $\lambda \gt 0$, com densidade

\[ f(t)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t},& t\geq 0,\\ 0,& t\lt 0. \end{cases} \]

Verifique a normalização, calcule a probabilidade de a lâmpada durar mais que $t$ horas e determine sua média e sua variância.

Solução

A função é não negativa e está normalizada, pois

\[ \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t =\int _0^\infty \lambda e^{-\lambda t}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t=1. \]

Para $t\geq 0$,

\[ P(T\gt t)=\int _t^\infty \lambda e^{-\lambda u}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u=e^{-\lambda t}. \]

Essa é a probabilidade de a lâmpada continuar acesa depois de $t$ horas. Integrações por partes fornecem

\[ \mathbb {E}[T]=\int _0^\infty t\lambda e^{-\lambda t}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t=\frac1\lambda , \qquad \mathbb {E}[T^2]=\int _0^\infty t^2\lambda e^{-\lambda t}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t =\frac{2}{\lambda ^2}. \]

Logo,

\[ \operatorname {Var}(T)=\frac{2}{\lambda ^2}-\frac{1}{\lambda ^2} =\frac{1}{\lambda ^2}. \]

Se a duração média é de $1000$ horas, então $\lambda =1/1000$ por hora.

Figura 16.13 O eixo horizontal representa o tempo, e a área sombreada em [t,∞ ) é P(T> t)=e^(-λ t). O desenho usa λ =1 apenas para ilustrar a forma do gráfico. — Figura 16.13 O eixo horizontal representa o tempo, e a área sombreada em $[t,\infty )$ é $P(T\gt t)=e^{-\lambda t}$. O desenho usa $\lambda =1$ apenas para ilustrar a forma do gráfico.

Exemplo 16.12 (Média finita e variância infinita)

Considere

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac 32x^{-5/2},& x\geq 1,\\ 0,& x\lt 1. \end{cases} \]

Verifique que $f$ é uma densidade e examine seus dois primeiros momentos.

Solução

Temos

\[ \int _1^\infty \frac32x^{-5/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=1, \]

de modo que $f$ está normalizada. Além disso,

\[ \mathbb {E}[X]=\frac32\int _1^\infty x^{-3/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=3, \qquad \mathbb {E}[X^2]=\frac32\int _1^\infty x^{-1/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=+\infty . \]

A média existe e é finita, mas a variância não existe como número finito.

Exemplo 16.13 (Uma densidade sem valor esperado)

A função

\[ f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)},\qquad x\in \mathbb {R}, \]

é a densidade de Cauchy. Verifique sua normalização e mostre que seu valor esperado finito não existe.

Solução

Como $f(x)\geq 0$ e

\[ \int _{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\pi (1+x^2)}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac1\pi \left[\operatorname {arctg}x\right]_{-\infty }^{\infty }=1, \]

temos uma densidade. Embora $xf(x)$ seja ímpar, a simetria não autoriza escrever $\mathbb {E}[X]=0$. De fato,

\[ \int _0^b\frac{x}{\pi (1+x^2)}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac{1}{2\pi }\ln (1+b^2)\longrightarrow \infty , \]

e, portanto, $\int _{-\infty }^{\infty }|x|f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x$ diverge. O cancelamento obtido com limites simétricos fornece um valor principal, não uma esperança. Assim, a esperança finita não existe e, consequentemente, a variância também não está definida.

Exercício 16.8

Determine a constante $c$ para que

\[ f(x)=\frac{c}{(1+x^2)^2},\qquad x\in \mathbb {R}, \]

seja uma densidade de probabilidade.

Ver solução

Com $x=\tan \theta $,

\[ \int _{-\infty }^{\infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^2\theta \, \mathop{}\! \mathrm{d}\theta =\frac\pi 2. \]

Logo, a condição de normalização é $c\pi /2=1$, isto é, $c=2/\pi $.

Exercício 16.9

Se $X$ tem distribuição exponencial de parâmetro $\lambda \gt 0$, calcule $\mathbb {E}[X^2]$ e $\operatorname {Var}(X)=\mathbb {E}[X^2]-\mathbb {E}[X]^2$.

Ver solução

Integrando por partes e usando $\mathbb {E}[X]=1/\lambda $,

\[ \mathbb {E}[X^2]=\int _0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =2\int _0^\infty xe^{-\lambda x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac{2}{\lambda ^2}. \]

Portanto,

\[ \operatorname {Var}(X)=\frac{2}{\lambda ^2}-\frac{1}{\lambda ^2} =\frac{1}{\lambda ^2}. \]

Exercício 16.10

Mostre que $f(x)=\tfrac 12e^{-|x|}$, $x\in \mathbb {R}$, é uma densidade e justifique que $\mathbb {E}[X]=0$. Compare essa justificativa com o caso da densidade de Cauchy.

Ver solução

A função é não negativa e, por simetria,

\[ \int _{-\infty }^{\infty }\frac12e^{-|x|}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\int _0^\infty e^{-x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=1. \]

Além disso,

\[ \int _{-\infty }^{\infty }|x|\frac12e^{-|x|}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\int _0^\infty xe^{-x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=1\lt \infty . \]

Assim, o valor esperado existe; como $xf(x)$ é ímpar, $\mathbb {E}[X]=0$. Para a densidade de Cauchy, a integral de $|x|f(x)$ diverge, de modo que a simetria não legitima o cancelamento e o valor esperado não existe.

Exercício 16.11

Para a densidade de Pareto

\[ f_\alpha (x)=\frac{\alpha }{x^{\alpha +1}},\qquad x\geq 1, \]

com $\alpha \gt 0$, determine:

quando a esperança é finita;
quando o segundo momento é finito;
para quais valores de $\alpha $ a esperança é finita e a variância é infinita.

Ver solução

Pelo cálculo dos momentos,

\[ \mathbb {E}[X]=\frac{\alpha }{\alpha -1}\quad \text{se $\alpha >1$}, \qquad \mathbb {E}[X^2]=\frac{\alpha }{\alpha -2}\quad \text{se $\alpha >2$}. \]

Assim:

a esperança é finita para $\alpha \gt 1$;
o segundo momento é finito para $\alpha \gt 2$;
a esperança é finita e a variância é infinita exatamente quando $1\lt \alpha \leq 2$.

Exercício 16.12

A duração $T$, em horas, de uma lâmpada é modelada por uma distribuição exponencial com vida média de $1200$ horas. Para este exercício, a mediana $m$ é definida por $F(m)=1/2$ e, quando $P(B)\gt 0$,

\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. \]

Determine o parâmetro $\lambda $ e calcule $P(T\gt 1000)$.
Calcule $P(500\leq T\leq 1500)$.
Determine a mediana da duração.
Calcule $P(T\gt 1800\mid T\gt 600)$ e interprete o resultado.

Ver solução

Como $\mathbb {E}[T]=1/\lambda =1200$, temos $\lambda =1/1200$. A função de sobrevivência é $P(T\gt t)=e^{-t/1200}$, logo

\[ P(T\gt 1000)=e^{-5/6}, \qquad P(500\leq T\leq 1500)=e^{-5/12}-e^{-5/4}. \]

A mediana $m$ satisfaz $1-e^{-m/1200}=1/2$, portanto $m=1200\ln 2$ horas. Por fim,

\[ P(T\gt 1800\mid T\gt 600) =\frac{P(T\gt 1800)}{P(T\gt 600)}=e^{-1}. \]

Esse é também o valor de $P(T\gt 1200)$: no modelo exponencial, o tempo de vida adicional não depende da idade já alcançada.

As integrais impróprias encerram este percurso retomando uma ideia presente em todo o cálculo: aproximar uma quantidade por objetos finitos e estudar o limite dessas aproximações. Aqui, a existência do limite não é um detalhe técnico; ela decide se a área, a massa ou o momento considerado possui significado finito.

Há várias continuidades naturais. As séries aplicam a mesma pergunta de convergência a somas infinitas; o cálculo em várias variáveis estende derivadas e integrais a fenômenos com mais de uma coordenada; e a probabilidade contínua desenvolve, a partir das densidades, outros modelos e outras medidas de comportamento. Em todos esses caminhos, permanecem centrais as relações entre aproximação, variação e acumulação estudadas neste livro.