O infinito! Nenhuma outra questão comoveu tão profundamente o espírito humano.
Uma região pode se estender indefinidamente e ainda ter área finita. Também pode ter área finita quando o gráfico que a delimita sobe sem limite perto de um ponto. Como calcular essas áreas, se a integral definida foi construída em intervalos finitos para funções limitadas?
A resposta retoma uma ideia familiar: aproximar. Em vez de integrar de uma só vez em todo o intervalo, calculamos integrais definidas usuais e examinamos o que acontece quando o extremo se afasta ou se aproxima do ponto problemático. Quando essas integrais tendem a um valor finito, dizemos que a integral imprópria converge. O limite, aqui, não serve apenas para calcular um valor: ele decide se esse valor existe.
16.1 Integrais definidas por truncamento
Como decidir se uma acumulação tem valor finito quando o intervalo é ilimitado ou o integrando cresce sem limite perto de um ponto? Vamos aproximá-la por integrais usuais em intervalos que evitam essas dificuldades e estudar o limite dos valores obtidos.
Começamos pelo caso em que o intervalo se estende até o infinito. Escolhemos um extremo finito, calculamos a integral até esse ponto e depois deixamos o extremo avançar. Esse procedimento é chamado de truncamento. Não estamos tratando \(\infty \) como um número a ser substituído numa primitiva; estamos estudando um limite de integrais.
16.1.1 Intervalos infinitos
Definição 16.1 (Integrais em intervalos infinitos)
\[ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
converge quando, para algum \(c\in \mathbb {R}\), as duas integrais
\[ \int _{-\infty }^{c}f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \qquad \text{e}\qquad \int _{c}^{\infty }f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
convergem. Nesse caso, seu valor é a soma das duas.
As mesmas definições valem para funções contínuas por partes em cada intervalo fechado e limitado. Nesse caso, as integrais truncadas continuam sendo integrais definidas usuais, e a convergência é determinada pelos mesmos limites.
A escolha de \(c\) não altera a convergência: mudar o ponto de separação apenas acrescenta ou retira uma integral sobre um intervalo finito, no qual \(f\) é integrável.
Quando o limite que define uma das integrais não existe como número real, dizemos que ela diverge. Isso inclui tanto os limites infinitos quanto a ausência de limite por oscilação. Para um integrando não negativo, a integral truncada é não decrescente; nesse caso, a questão é saber se ela permanece limitada.
Exemplo 16.1
A região sob o gráfico de \(y=e^{-2x}\), à direita do eixo \(y\), estende-se indefinidamente. Determine sua área, calculando
Portanto, a integral diverge para \(+\infty \). Embora a altura do gráfico tenda a zero, a área acumulada cresce sem limite. O fato de o integrando tender a zero, por si só, não garante a convergência da integral.
Exemplo 16.3 (Por que limites simétricos não bastam)
Considere \(f(x)=x/(1+x^2)\). Mostre que \(\int _{-R}^{R}f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=0\) para todo \(R\gt 0\), mas que a integral imprópria sobre toda a reta diverge.
A cauda à esquerda diverge para \(-\infty \) e a da direita, para \(+\infty \). Não podemos somar essas divergências para obter zero: a integral imprópria sobre toda a reta diverge. O limite por truncamentos simétricos é chamado valor principal e não substitui a definição de integral imprópria.
16.1.2 Singularidades em pontos finitos
Um intervalo pode ser finito e ainda conter um ponto perto do qual o integrando se torna ilimitado. Queremos saber se a acumulação permanece finita ao nos aproximarmos desse ponto; para isso, afastamos temporariamente o extremo da singularidade e depois tomamos o limite.
Definição 16.2 (Integrais com integrando ilimitado)
Se \(c\in (a,b)\) é o único ponto de singularidade e \(f\) é contínua em \([a,c)\) e em \((c,b]\), escrevemos
\[ \int _a^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x = \int _a^c f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x+\int _c^b f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
somente quando as duas integrais unilaterais convergem separadamente.
Se os dois extremos forem problemáticos, escolhemos um ponto no interior e aplicamos a mesma regra: uma integral para cada extremo, com limites independentes. Havendo várias singularidades, separamos o intervalo em cada uma delas. A convergência precisa ser verificada em todos os lados que se aproximam de um ponto problemático.
Exemplo 16.4
A função \(x^{-1/3}\) cresce sem limite quando \(x\to 0^+\). Decida se a área sob seu gráfico, entre \(0\) e \(1\), é finita, examinando
Para \(0\lt t\lt 1\), o integrando é contínuo em \([t,1]\), e
\[ \int _t^1x^{-1/3}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac32(1-t^{2/3}). \]
Fazendo \(t\to 0^+\), obtemos o limite \(3/2\). Portanto, a integral converge: a altura torna-se ilimitada perto de zero, mas a área total é finita.
Exemplo 16.5 (Uma primitiva não atravessa uma singularidade)
Explique por que a avaliação
\[ \left[-\frac1x\right]_{-1}^{1}=-2 \]
não calcula a integral imprópria \(\displaystyle \int _{-1}^{1}\frac1{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Solução
O resultado negativo já merece desconfiança, pois o integrando é positivo. O erro está em atravessar a singularidade ao avaliar a primitiva: o ponto \(0\) divide a integral em duas:
e a segunda diverge da mesma forma. Logo a integral diverge. O valor \(-2\) resulta de aplicar Newton–Leibniz através de um ponto em que o integrando nem sequer está definido.
Exemplo 16.6 (A corneta de Gabriel)
Ao girar a região sob \(y=1/x\), \(x\geq 1\), em torno do eixo \(x\), obtemos um sólido que se estende indefinidamente. Mostre que seu volume é finito, mas a área de sua superfície lateral é infinita.
Solução
Comecemos por uma parte finita do sólido, entre \(x=1\) e \(x=b\), com \(b\gt 1\). Pelo método dos discos, seu volume é
\[ V(b)=\pi \int _1^b\frac1{x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\pi \left(1-\frac1b\right). \]
Logo, \(V(b)\to \pi \) quando \(b\to \infty \): o volume total é \(V=\pi \).
Para a área lateral, usamos \(y'= -1/x^2\) na fórmula de superfície de revolução. A área da parte truncada é
O lado direito cresce sem limite; portanto, \(S(b)\to +\infty \). O volume é finito, mas a área lateral é infinita. Não há contradição: as duas quantidades são descritas por integrais diferentes, com comportamentos diferentes no infinito.
Exemplo 16.7 (Um trompete de volume e área finitos)
A região sob \(y=e^{-x}\), para \(x\ge 0\), gira em torno do eixo \(x\), formando um sólido ilimitado. Determine seu volume e a área de sua superfície lateral. Compare os resultados com os da corneta de Gabriel, construída com \(y=1/x\), para \(x\ge 1\).
Solução
Figura16.1Sólido obtido pela rotação da região sob \(y=e^{-x}\), para \(x\geq 0\), em torno do eixo \(x\).
Os volumes das partes truncadas convergem para um limite finito, que define o volume total:
Na corneta de Gabriel, o raio \(1/x\) decai mais lentamente: o volume é finito, mas a área lateral diverge. Aqui, o decaimento exponencial torna ambas as integrais convergentes.
Exercício 16.1 (Olhar para as integrais parciais)
Para \(R\geq 1\), sejam \(A(R)=\int _1^R f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(B(R)=\int _1^R g(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) as integrais parciais de duas funções não negativas. Sabe-se que
\[ A(R)=1-\frac1R,\qquad B(R)=\ln R. \]
Seus gráficos aparecem abaixo.
Quais dessas duas integrais impróprias convergem? Justifique com o comportamento de \(A\) e \(B\) para todos os \(R\), não apenas com o trecho desenhado.
Temos \(A'(R)\to 0\) e \(B'(R)\to 0\). Por que isso não resolve a questão da convergência? Interprete derivada e altura nesses dois gráficos.
Ver solução
A primeira converge para \(1\); a segunda diverge, pois \(\ln R\to +\infty \). As derivadas \(A'(R)=R^{-2}\) e \(B'(R)=R^{-1}\) são os integrandos, enquanto as alturas \(A(R)\) e \(B(R)\) representam áreas já acumuladas. A taxa adicional pode tender a zero sem que a quantidade acumulada fique limitada. Um trecho finito de gráfico também não prova a existência de uma assíntota.
e afirma que \(\int _0^2 f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=F(2)-F(0)=4\), “pelo TFC, diretamente”.
O cálculo pode ser justificado diretamente pelo TFC usual no intervalo inteiro? Identifique o ponto que exige cuidado.
Separe a integral em dois limites e decida se o resultado \(4\) se conserva. Há cancelamento de divergências?
Ver solução
O integrando é ilimitado perto de \(1\) e não está definido nesse ponto; não se aplica diretamente a versão usual do TFC em \([0,2]\). É preciso calcular separadamente \(\lim _{b\uparrow 1}\int _0^b f=2\) e \(\lim _{a\downarrow 1}\int _a^2 f=2\). Ambas convergem, logo a integral imprópria é \(4\). O resultado estava correto, mas exigia essa verificação; não há cancelamento, pois as contribuições são positivas e finitas.
Exercício 16.3
Em cada item, identifique o extremo ou o ponto que torna a integral imprópria e escreva o limite correspondente. Decida se a integral converge e, quando convergir, calcule seu valor. No último item, examine os dois lados da singularidade separadamente.
Temos \(\int _1^b x^{-1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\ln b\to +\infty \). A integral diverge.
Para \(t\gt 0\), \(\int _t^1x^{-2/3}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=3(1-t^{1/3})\to 3\) quando \(t\to 0^+\). Portanto, converge e vale \(3\).
Por partes, \(\int _t^1\ln x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=-1-t\ln t+t\). Como \(t\ln t\to 0\) quando \(t\to 0^+\), a integral converge e vale \(-1\).
Separamos a integral em \(0\). À direita, \(\int _t^1x^{-1/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=2(1-\sqrt t)\to 2\). A mudança \(u=-x\) mostra que a integral à esquerda também converge e vale \(2\). Somando os dois limites finitos, obtemos \(4\).
Reconheça o integrando como a derivada de uma função conhecida. Verifique a convergência separadamente em \(0\) e no infinito e calcule \(I\).
Seria válido escrever \(I\) como a diferença entre as integrais impróprias de \(\cos x/x\) e \(\operatorname {sen}x/x^2\)? Examine cada parcela junto de zero.
As duas parcelas têm integrais divergentes para \(+\infty \) nesse extremo. A linearidade não autoriza subtrair essas divergências. O cancelamento deve ocorrer no integrando, antes de tomar os limites de integração. De fato, o integrando combinado tem uma singularidade removível na origem:
pela regra de L’Hôpital. Assim, a dificuldade perto de zero desaparece após reunir as parcelas, embora nenhuma delas seja integrável isoladamente nesse extremo.
Exercício 16.5 (Esvaziando um tanque)
Um tanque cilíndrico de área transversal \(A\) escoa por um pequeno orifício segundo a lei idealizada \(A\, \frac{\mathop{}\! \mathrm{d} h}{\mathop{}\! \mathrm{d} t}=-k\sqrt h\), em que \(h\) é a altura da água e \(k\gt 0\). O tanque começa com altura \(H\gt 0\).
Mostre que o tempo de esvaziamento é a integral imprópria \(T=\int _0^H A/(k\sqrt h)\, \mathop{}\! \mathrm{d} h\) e calcule-o.
Que fração de \(T\) é gasta para baixar de \(H\) a \(H/2\)? Explique por que a metade final do esvaziamento demora mais.
Figura não resolvida: figuras/fuv-tanque-escoamento
Ver solução
Enquanto \(h\gt 0\), a altura diminui e podemos considerar o tempo como função da altura. Da lei dada, obtemos
O tempo necessário para baixar de \(H\) até \(\varepsilon \gt 0\) é, portanto,
\[ T_{\varepsilon }=-\frac Ak\int _H^{\varepsilon }h^{-1/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} h =\frac Ak\int _{\varepsilon }^Hh^{-1/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} h. \]
Fazendo \(\varepsilon \downarrow 0\), encontramos a integral imprópria pedida e seu valor:
\[ T=\frac Ak\int _0^Hh^{-1/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} h =\frac{2A\sqrt H}k. \]
O tempo para baixar de \(H\) até \(H/2\) corresponde à fração \(1-1/\sqrt2\) de \(T\). A metade final leva a fração \(1/\sqrt2\): com menos água, a vazão diminui, e a redução da altura fica mais lenta.
Exercício 16.6 (A área do toro e uma singularidade aparente)
Um toro é formado pela rotação da circunferência \((x-R)^2+y^2=r^2\), com \(R\gt r\gt 0\), em torno do eixo \(y\). Escreva a área da superfície como uma integral em relação a \(x\) e mostre que ela vale \(4\pi ^2Rr\). Explique por que aparece uma integral imprópria, apesar de o toro ser uma superfície limitada.
Figura não resolvida: figuras/lista-ap-toro-secao
Ver solução
As metades superior e inferior da circunferência são
Com \(u=x-R\), as parcelas \(u/\sqrt{r^2-u^2}\) e \(R/\sqrt{r^2-u^2}\) têm integrais impróprias convergentes, pois suas primitivas \(-\sqrt{r^2-u^2}\) e \(R\operatorname {arcsen}(u/r)\) têm limites finitos nos extremos. A primeira parcela é ímpar e tem integral nula; assim,
O denominador se anula em \(x=R\pm r\). São singularidades integráveis associadas à representação da circunferência como gráficos de funções de \(x\).
Exercício 16.7 (Tempo de colapso)
Uma partícula parte do repouso a distância \(R\) do centro de uma massa pontual \(M\gt 0\). Seja \(G\gt 0\) a constante gravitacional. Pela conservação da energia,
A singularidade é integrável, logo o tempo é finito.
Exercício 16.8 (Atração de uma haste semi-infinita)
Uma haste uniforme, de densidade linear \(\delta \gt 0\), ocupa a semirreta \(x\ge 0\). Uma massa pontual \(m\gt 0\) encontra-se em \((-a,0)\), \(a\gt 0\). Determine o módulo da força gravitacional total exercida pela haste. Explique por que uma haste de comprimento infinito produz uma força finita neste modelo.
Figura não resolvida: figuras/lista-ap-haste
Ver solução
Todas as contribuições apontam na mesma direção. Pela lei de Newton,
A influência das porções distantes cai como o inverso do quadrado da distância, cuja integral na cauda converge.
Exercício 16.9 (Atração de uma haste infinita transversal)
Uma haste infinita, de densidade linear constante \(\delta \gt 0\), coincide com o eixo \(y\). Uma massa pontual \(m\gt 0\) está em \((a,0)\), com \(a\gt 0\). Denote por \(G\gt 0\) a constante gravitacional.
Compare as forças produzidas por dois elementos da haste situados em posições simétricas em relação ao eixo \(x\). Explique por que as componentes verticais se anulam e indique o sentido da resultante.
Um elemento de comprimento \(\mathop{}\! \mathrm{d} y\) tem massa \(\delta \, \mathop{}\! \mathrm{d} y\). Escreva a integral da componente horizontal da força, usando a distância entre o elemento e \(m\) e o fator de projeção adequado.
Verifique a convergência das duas caudas separadamente e calcule o módulo da força resultante.
Ver solução
Os elementos em \(y\) e \(-y\) produzem componentes verticais de mesmo módulo e sentidos opostos. As componentes horizontais têm o mesmo sentido, o negativo do eixo \(x\): a resultante aponta para a haste.
A distância é \(\sqrt{a^2+y^2}\) e o fator de projeção horizontal tem módulo \(a/\sqrt{a^2+y^2}\). Portanto, o módulo da contribuição horizontal é
\[ \mathop{}\! \mathrm{d} F=\frac{Gm\delta \, a}{(a^2+y^2)^{3/2}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} y. \]
Quando \(c\to a^-\), o numerador tende a \(a(b-a)\gt 0\) e o denominador tende a zero por valores positivos. Logo, \(T(c)\to +\infty \) e \(T=+\infty \). A concentração \(a\) é um limite quando \(t\to \infty \), e não um valor atingido em tempo finito.
16.2 Modelos de convergência
Os exemplos anteriores sugerem que não basta saber se uma função tende a zero ou se cresce sem limite: importa também a rapidez desse comportamento. As potências permitem tornar essa ideia precisa. Elas fornecerão modelos com os quais poderemos comparar integrandos mais complicados.
Proposição 16.8 (Integrais de potência)
Para \(p\in \mathbb {R}\),
\[ \int _1^\infty \frac1{x^p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \quad \text{converge se e somente se}\quad p\gt 1, \]
e
\[ \int _0^1\frac1{x^p}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \quad \text{converge se e somente se}\quad p\lt 1. \]
Demonstração▼
Para \(p\neq 1\), calculamos primeiro em intervalos que não contêm o ponto problemático:
Na primeira expressão, \(B\to \infty \). Se \(p\gt 1\), o expoente \(1-p\) é negativo, e \(B^{1-p}\to 0\); o limite é \(1/(p-1)\). Se \(p\lt 1\), \(B^{1-p}\to +\infty \), e a integral diverge.
Na segunda expressão, \(\varepsilon \to 0^+\). Agora é preciso que \(1-p\) seja positivo para que \(\varepsilon ^{1-p}\to 0\). Isso ocorre quando \(p\lt 1\), e o limite é \(1/(1-p)\). Se \(p\gt 1\), a integral diverge para \(+\infty \).
Assim, no caso crítico há divergência nos dois extremos.
O expoente crítico é o mesmo, mas as condições são opostas. No infinito, aumentar \(p\) faz \(x^{-p}\) decair mais depressa, favorecendo a convergência. Perto de zero, aumentar \(p\) torna a singularidade mais intensa, favorecendo a divergência. Por isso, antes de usar o critério, é importante identificar em qual extremo estamos trabalhando.
Exercício 16.11 (As duas extremidades fazem exigências diferentes)
Existe algum \(p\) para o qual \(I_p\) converge? Separe as exigências na origem e no infinito.
O fator \(1/\max \{ 1,x\} \) altera qual dessas exigências? Determine o intervalo de valores de \(p\) para o qual \(J_p\) converge, sem calcular seu valor.
Ver solução
Para \(I_p\), a origem exige \(p\lt 1\), e o infinito exige \(p\gt 1\): não há \(p\) admissível. Em \(J_p\), o denominador é exatamente \(1\) para \(0\lt x\leq 1\), preservando a condição \(p\lt 1\). Para \(x\geq 1\), o integrando é exatamente \(x^{-(p+1)}\), que exige \(p\gt 0\). Logo, \(J_p\) converge precisamente para \(0\lt p\lt 1\). Nos extremos \(p=0\) e \(p=1\) reaparece uma divergência logarítmica.
Exercício 16.12 (Calculando por truncamento)
Determine quais integrais convergem e calcule as convergentes. Em cada caso, escreva o limite que define a integral imprópria.
As mudanças de variável \(u=1-x\) e \(u=x-1\) reduzem-nas a \(\int _0^1u^{-p}\mathop{}\! \mathrm{d} u\) e \(\int _0^3u^{-p}\mathop{}\! \mathrm{d} u\). Na segunda parcela, a decomposição \(\int _0^3=\int _0^1+\int _1^3\) separa a singularidade de uma integral própria. Pelo critério das potências, ambas convergem exatamente quando \(p\lt 1\). Como \(p\gt 0\),
o que mostra que fatores logarítmicos refinam o limiar de convergência na escala \(1/x\).
Exercício 16.16 (Uma atmosfera sem topo)
No Exercício 14.5, calculamos a massa de uma coluna de ar de altura finita. Retome o mesmo modelo, agora deixando a altura crescer sem limite. A densidade à altitude \(h\), em metros, é \(\rho (h)=\rho _0e^{-h/H}\), com \(\rho _0=1{,}2\, \mathrm{kg/m^3}\) e \(H=8400\, \mathrm m\). A coluna tem base de área \(1\, \mathrm{m^2}\). O modelo é isotérmico, isto é, considera a temperatura constante.
Calcule a massa da coluna até a altura \(L\) e determine seu limite quando \(L\to \infty \).
Que fração da massa total fica acima de \(100\) km? Compare com aproximar a coluna por uma de altura \(100\) km, como naquele exercício.
Determine a altura média do ar, ponderada pela densidade.
Ver solução
A massa até a altura \(L\) é
\[ M(L)=\int _0^L\rho _0e^{-h/H}\, \mathop{}\! \mathrm{d} h =\rho _0H(1-e^{-L/H}). \]
Quando \(L\to \infty \), obtemos \(M=\rho _0H=10\, 080\, \mathrm{kg}\). A fração da massa acima de \(100\) km é \(e^{-100000/8400}\approx 6{,}76\times 10^{-6}\); portanto, a coluna truncada a \(100\) km já contém mais de \(99{,}999\% \) da massa total. A altura média, ponderada pela densidade, é
Uma aplicação financeira paga continuamente \(P\gt 0\) reais por ano. Com taxa de desconto contínua \(r\gt 0\), um pagamento recebido no instante \(t\) equivale hoje a \(e^{-rt}\) vezes o seu valor. Somando as contribuições de todos os instantes, obtemos o valor presente:
\[ \mathrm{VP}=\int _0^\infty Pe^{-rt}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Calcule o valor presente.
Se a taxa de pagamento passa a crescer linearmente, \(p(t)=P+Bt\), com \(B\ge 0\), mostre que \(\mathrm{VP}=P/r+B/r^2\).
Com \(P=1000\), \(B=50\) e \(r=0{,}05\) (unidades anuais compatíveis), calcule a contribuição de cada parcela.
Ver solução
A integral exponencial dá \(P/r\); por partes, \(\int _0^\infty te^{-rt}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t=1/r^2\). Logo, com os valores propostos, \(\mathrm{VP}=20\, 000+20\, 000=40\, 000\) reais. Metade provém do crescimento linear da taxa de pagamentos.
Exercício 16.18 (Energia do campo de uma esfera carregada)
Uma esfera condutora de raio \(R\gt 0\) tem carga total \(Q\). Fora dela, o módulo do campo elétrico é \(E(r)=|Q|/(4\pi \varepsilon _0r^2)\), em que \(\varepsilon _0\gt 0\) é a permissividade elétrica do vácuo, uma constante física. Em uma casca fina de raio \(r\) e espessura \(\mathop{}\! \mathrm{d} r\), a energia é \(\frac{\varepsilon _0}{2}E(r)^2\, 4\pi r^2\, \mathop{}\! \mathrm{d} r\). Mostre que a energia total fora da esfera é \(U=Q^2/(8\pi \varepsilon _0R)\). O que ocorre quando \(R\to 0^+\), com \(Q\ne 0\) fixo?
Mostre que o integrando da fórmula de comprimento de arco é \(\sqrt{x'(\theta )^2+y'(\theta )^2} =\frac{\sqrt{101}}{10}e^{-\theta /10}\).
Encontre o comprimento total da curva.
Qual é o menor número inteiro de voltas completas necessário para percorrer pelo menos \(99\% \) desse comprimento?
Figura não resolvida: figuras/lista-ap-espiral
Ver solução
Se \(r=e^{-\theta /10}\), então \(x'^2+y'^2=r'^2+r^2=(101/100)r^2\). Assim, \(L=\frac{\sqrt{101}}{10}\int _0^\infty e^{-\theta /10}\, \mathop{}\! \mathrm{d}\theta =\sqrt{101}\). A fração percorrida até \(\Theta \) é \(1-e^{-\Theta /10}\). Para \(99\% \), pede-se \(\Theta \ge 10\ln 100\) rad, isto é, \(\Theta /(2\pi )\approx 7{,}33\) voltas: são necessárias \(8\) voltas completas.
16.3 Testes de comparação
Em muitos problemas, decidir a convergência é mais simples do que calcular a integral. Se uma função não negativa fica abaixo de outra cuja área total é finita, sua área também será finita. Para provar divergência, precisamos da desigualdade no sentido oposto: uma área já infinita deve caber sob o gráfico que estamos estudando.
Se \(0\leq f(x)\leq g(x)\) para \(x\) suficientemente grande e \(\int _a^\infty g(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) converge, então \(\int _a^\infty f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) converge.
Se \(0\leq f(x)\leq g(x)\) para \(x\) suficientemente grande e \(\int _a^\infty f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) diverge, então \(\int _a^\infty g(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) diverge.
As mesmas afirmações valem perto de uma singularidade finita, usando integrais unilaterais.
Demonstração▼
Escolha \(A\geq a\) de modo que \(0\leq f(x)\leq g(x)\) para todo \(x\geq A\). Para \(t\geq A\), temos
Como \(f\geq 0\), os valores \(F(n)\), para inteiros \(n\geq A\), formam uma sequência não decrescente e limitada. Portanto, \(F(n)\) converge para algum número \(L\). Se \(n\leq t\leq n+1\), então
\[ F(n)\leq F(t)\leq F(n+1). \]
Como os dois extremos tendem a \(L\), também \(F(t)\) tende a \(L\) quando \(t\to \infty \). Somar a integral própria em \([a,A]\) mostra que \(\int _a^\infty f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) converge.
A segunda afirmação é a contrapositiva da primeira: se a integral de \(g\) convergisse, a de \(f\) também convergiria. Perto de uma singularidade finita, consideramos as integrais truncadas que se aproximam dela; a não negatividade e a mesma desigualdade dão o argumento correspondente.
e a conclusão segue aplicando duas vezes a comparação direta. Perto de uma singularidade, o argumento é idêntico com o limite unilateral.
Exemplo 16.13
Decida se a integral
\[ \int _2^\infty \frac{3x+1}{x^3+2}\mathop{}\! \mathrm{d} x \]
converge, usando o teste de comparação pelo limite.
Solução
Os termos de maior grau sugerem que o integrando se comporta como \(3x/x^3=3/x^2\) no infinito. Por isso, escolhemos \(g(x)=1/x^2\) e verificamos a sugestão pelo limite:
Como \(\int _2^\infty x^{-2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) converge, a comparação pelo limite dá a conclusão.
Exercício 16.21 (Uma razão que oscila ainda pode ser controlada)
Para \(x\geq 1\), seja \(f(x)=(2+\operatorname {sen}x)/x^{3/2}\). As curvas auxiliares da figura são \(x^{-3/2}\) e \(3x^{-3/2}\).
A razão \(f(x)/x^{-3/2}\) não possui limite. Isso impede decidir a convergência por comparação?
Escreva uma desigualdade válida para todo \(x\geq 1\) e conclua sobre \(\int _1^\infty f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Por que os cruzamentos com \(2x^{-3/2}\) são irrelevantes para essa conclusão?
Ver solução
A comparação pelo limite com essa função não fornece uma razão convergente, mas a comparação direta funciona: \(0\leq x^{-3/2}\leq f(x)\leq 3x^{-3/2}\). A majorante tem integral finita, pois \(3/2\gt 1\); logo a integral de \(f\) converge. Cruzar uma curva intermediária não impede ficar abaixo de uma majorante integrável em todos os pontos da cauda.
Exercício 16.22 (Uma comparação na direção errada)
Para decidir a convergência de \(\displaystyle \int _1^\infty \frac{\mathop{}\! \mathrm{d} x}{x+\sqrt x}\), um estudante observou que \(\dfrac 1{x+\sqrt x}\le \dfrac 1x\) e, como \(\int _1^\infty \mathop{}\! \mathrm{d} x/x\) diverge, concluiu que a integral diverge.
Por que o raciocínio não é válido?
Encontre uma comparação correta e decida a convergência.
Use a mesma desigualdade do estudante para decidir a convergência de \(\displaystyle \int _1^\infty \frac{\mathop{}\! \mathrm{d} x}{x^2+x\sqrt x}\).
Ver solução
Ser menor que uma função de integral divergente não dá nenhuma informação: \(1/x^2\) também é menor que \(1/x\) e tem integral convergente.
Para \(x\ge 1\), \(\sqrt x\le x\), logo \(\dfrac 1{x+\sqrt x}\ge \dfrac 1{2x}\); como \(\int _1^\infty \mathop{}\! \mathrm{d} x/(2x)\) diverge, a integral diverge.
\(\dfrac 1{x^2+x\sqrt x}\le \dfrac 1{x^2}\), e a majorante é integrável: converge.
Exercício 16.23 (Área finita, picos persistentes)
Considere uma função contínua \(f:[1,\infty )\to [0,\infty )\) cujo gráfico é formado por triângulos sobre o eixo horizontal. Para cada inteiro \(n\geq 2\), há um triângulo de altura \(1\), com vértice em \((n,1)\) e base no intervalo
Explique por que os triângulos não se sobrepõem e calcule a área do triângulo com vértice em \((n,1)\).
Compare essa área com \(\int _{n-1}^n x^{-2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Mostre que \(F(R)=\int _1^R f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) é não decrescente e limitada superiormente por \(1\) e conclua que \(\int _1^\infty f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) converge.
Quanto vale \(f(n)\) para \(n=2,3,\ldots \)? A convergência de \(\int _1^\infty f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) garante que \(f(x)\to 0\)? Compare com o Exemplo 16.2.
Ver solução
As meias-bases são no máximo \(1/4\), enquanto os centros estão a uma unidade de distância; logo os triângulos não se sobrepõem. A área do triângulo com vértice em \((n,1)\) é \(\frac12(2/n^2)\cdot 1=1/n^2\), e
A soma das áreas dos triângulos de índices \(2\) até \(N\) é, portanto, no máximo \(\int _1^N x^{-2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=1-1/N\lt 1\). Como \(f\geq 0\), a função \(F\) é não decrescente; além disso, cada \(F(R)\) é limitada por uma soma finita dessas áreas, logo \(F(R)\leq 1\). Assim, \(F(R)\) tem limite finito quando \(R\to \infty \).
Entretanto, \(f(n)=1\) para todos os inteiros \(n\geq 2\); portanto, \(f(x)\) não tende a zero. O Exemplo 16.2 mostrou que o integrando tender a zero não é suficiente para a convergência; este mostra que tampouco é necessário.
Exercício 16.24
Decida a convergência de cada integral por comparação direta ou pelo limite. Indique a função de comparação e justifique a desigualdade ou o limite utilizado. Não é necessário calcular o valor das integrais convergentes.
Converge por comparação pelo limite com \(1/x^2\); a razão tende a \(1\).
Diverge por comparação pelo limite com \(1/x\); a razão tende a \(2\).
Em \(0^+\), a razão entre o integrando e \(1/\sqrt x\) é \(1/\sqrt{1+x}\to 1\). A integral converge, pois a potência de referência tem expoente \(1/2\lt 1\) na origem.
Em \(0^+\), a razão entre o integrando e \(1/x\) é \(1/(1+x)\to 1\). Como a integral de \(1/x\) diverge na origem, a integral dada também diverge.
Para \(x\geq 1\), temos \(0\leq \sqrt x\, e^{-x}\leq xe^{-x}\). Por partes, \(\int _1^b xe^{-x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=2/e-(b+1)e^{-b}\to 2/e\). A majorante é integrável, e a integral dada converge.
Exercício 16.25 (Duas áreas iguais em intervalos diferentes)
Calcule \(I\) com \(x=v^2\), primeiro em \([\varepsilon ,B]\), onde \(0\lt \varepsilon \lt 1\lt B\). Qual é a área de cada parte?
A igualdade significa que \(x\mapsto 1/x\) conserva comprimentos? Explique o papel do diferencial nessa substituição.
Ver solução
Para \(0\lt x\leq 1\), o integrando está entre \(0\) e \(x^{-1/2}\). Para \(x\geq 1\), está entre \(0\) e \(x^{-3/2}\). Ambas as funções de comparação são integráveis nos extremos correspondentes.
Com \(x=1/u\), temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=-u^{-2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\) e
Logo \(I=\pi \) e cada parte vale \(\pi /2\). A transformação \(x\mapsto 1/x\) não preserva comprimentos: a igualdade das integrais decorre da transformação conjunta do integrando e do diferencial.
Exercício 16.26 (Energia de um sinal amortecido)
A energia matemática de um sinal \(u(t)=e^{-t}\cos (3t)\), \(t\ge 0\), é definida por \(E=\int _0^\infty u(t)^2\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\).
Sem encontrar primitivas, mostre que \(0\lt E\le 1/2\).
Calcule \(E\) usando redução de potência e, se necessário, duas integrações por partes.
Figura não resolvida: figuras/fuv-sinal-amortecido
Ver solução
Como \(0\le u(t)^2\le e^{-2t}\) e a integral de \(e^{-2t}\) converge, \(0\lt E\le 1/2\). Usando \(\cos ^2(3t)=\frac12(1+\cos 6t)\) e \(\int _0^\infty e^{-2t}\cos 6t\, \mathop{}\! \mathrm{d} t=1/20\), resulta
Para \(f:[0,\infty )\to \mathbb R\) e \(s\in \mathbb R\), defina \(\mathcal L\{ f\} (s)=\int _0^\infty e^{-st}f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\) sempre que a integral convergir. Em cada item, indique os valores reais de \(s\) para os quais há convergência.
Determine \(\mathcal L\{ 1\} (s)\) e a condição sobre \(s\).
Determine \(\mathcal L\{ e^{at}\} (s)\), com \(a\in \mathbb R\) constante.
Calcule \(\mathcal L\{ t\} (s)\) e \(\mathcal L\{ \operatorname {sen}t\} (s)\), justificando os termos de fronteira.
Ver solução
Obtêm-se, respectivamente, \(1/s\) para \(s\gt 0\), \(1/(s-a)\) para \(s\gt a\), \(1/s^2\) para \(s\gt 0\) e \(1/(s^2+1)\) para \(s\gt 0\). Para as duas últimas, use integração por partes (duas vezes no caso do seno).
16.4 Probabilidade
Quanto tempo dura uma lâmpada? Não podemos prever a duração de uma lâmpada específica, mas podemos atribuir probabilidades a intervalos de tempo, como a de que ela dure entre \(500\) e \(1000\) horas. Em um modelo contínuo idealizado, representamos a duração por valores não negativos, sem fixar um limite superior. Escolhemos uma função não negativa cuja área sobre cada intervalo represente sua probabilidade; a área total deve ser \(1\) e é calculada por uma integral imprópria. Veremos também que a média depende de outra integral, que pode divergir mesmo quando a área total é \(1\).
Uma variável aleatória é uma grandeza numérica cujo valor depende do acaso. Vamos representá-la por \(X\), reservando a letra \(x\) para um de seus possíveis valores. Por exemplo, \(X\) pode ser o tempo de duração de uma lâmpada ou a altura de uma pessoa escolhida em uma população. Os valores de \(X\) não precisam pertencer a \([0,1]\): são as probabilidades dos eventos que ficam entre \(0\) e \(1\). Escreveremos \(P(A)\) para a probabilidade de um evento \(A\). Nesta seção, consideraremos variáveis aleatórias descritas por densidades.
Definição 16.3 (Densidade de probabilidade)
Uma função \(f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}\), contínua por partes em cada intervalo fechado e limitado, é uma densidade de probabilidade quando
A segunda condição é chamada normalização: a área total sob o gráfico de \(f\) representa a probabilidade do evento certo \(X\in \mathbb {R}\). Como \(f\) é não negativa, sua integral sobre qualquer intervalo está entre \(0\) e \(1\). Além disso, \(P(X=x)=0\) para cada ponto \(x\), pois a integral sobre um intervalo de comprimento zero é nula. Por isso, em modelos com densidade, incluir ou excluir os extremos de um intervalo não altera sua probabilidade.
Nem toda função não negativa pode ser normalizada. Por exemplo, se \(c\gt 0\), então
logo, nenhuma escolha de \(c\) transforma \(c/(1+x)\), em \([0,\infty )\), numa densidade.
16.4.1 Função de distribuição acumulada
As probabilidades de todos os intervalos podem ser reunidas numa única função. A função de distribuição acumulada de \(X\) é
\[ F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Assim, \(F(x)\) é a probabilidade de \(X\) assumir um valor menor ou igual a \(x\). Geometricamente, é a área sob o gráfico de \(f\) à esquerda de \(x\). Como \(f\geq 0\), a função \(F\) é não decrescente e satisfaz
Quando \(f\) é contínua, o Teorema Fundamental do Cálculo fornece \(F'(x)=f(x)\). Assim, a densidade descreve a taxa com que a probabilidade se acumula. Também podemos calcular
\[ P(a\lt X\leq b)=F(b)-F(a). \]
16.4.2 Valor esperado e momentos
Podemos também usar a densidade para calcular uma média dos valores possíveis de \(X\). Essa média é ponderada: cada região da reta contribui de acordo com a probabilidade que concentra. Para que essa média seja finita, exigimos que
Mais geralmente, para \(r\gt 0\), a existência do momento absoluto de ordem \(r\) é determinada pela convergência de \(\int _{-\infty }^{\infty }|x|^r f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Podemos interpretar uma densidade como uma distribuição de massa total \(1\). Nessa analogia, quando a integral converge, \(\mathbb {E}[X]\) é a abscissa do centro de massa, como no estudo das aplicações da integração.
A média, porém, não revela o quanto os valores se afastam desse centro. Duas distribuições podem ter a mesma média e apresentar dispersões muito diferentes. Uma maneira de medir essa dispersão é considerar os quadrados dos desvios em relação à média, evitando que desvios positivos e negativos se compensem.
Se ele é finito, o valor esperado também existe, pois \(|x|\leq 1+x^2\) e a integral de \(f\) vale \(1\). Escrevendo \(\mu =\mathbb {E}[X]\), definimos a variância como a média ponderada dos quadrados dos desvios:
Também escrevemos essa integral como \(\mathbb {E}[(X-\mu )^2]\): nesse caso, calculamos a média dos quadrados dos desvios, em vez da média dos próprios valores de \(X\). Expandindo o quadrado e usando a normalização da densidade, encontramos
Tomando \(B\to \infty \), obtemos a normalização \(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t=1\). Para \(t\geq 0\), a probabilidade de a lâmpada continuar acesa depois de \(t\) horas é
Média. Calculamos primeiro a integral truncada \(J_1(B)=\int _0^B t\lambda e^{-\lambda t}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\). Na integração por partes, \(u=t\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\lambda e^{-\lambda t}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\), logo \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\mathop{}\! \mathrm{d} t\) e \(v=-e^{-\lambda t}\). Assim,
O termo \(B^2/e^{\lambda B}\) também tende a zero. Esses dois limites podem ser verificados pela regra de L’Hôpital, com uma e duas aplicações, respectivamente. Portanto,
Se a média é de \(1000\) horas, então \(\lambda =0{,}001\, \mathrm{h^{-1}}\). A variância é \(1\, 000\, 000\, \mathrm{h^2}\), enquanto o desvio padrão é \(1000\) horas. Nos cálculos acima, os termos de fronteira tendem a zero quando \(B\to \infty \); essa verificação justifica os valores obtidos para os momentos.
Figura16.2O eixo horizontal representa o tempo, e a área sombreada em \([t,\infty )\) é \(P(T\gt t)=e^{-\lambda t}\). O desenho usa \(\lambda =1\) apenas para ilustrar a forma do gráfico.
A média existe e vale \(3\), mas o segundo momento diverge. Para verificar a divergência da variância sem subtrair formalmente um número de \(+\infty \), observe que, para \(x\geq 6\), temos \((x-3)^2\geq x^2/4\). Portanto,
Cada integral converge, e a soma é \(1\); portanto, temos uma densidade. Embora \(xf(x)\) seja ímpar, a simetria não autoriza escrever \(\mathbb {E}[X]=0\). De fato,
e, portanto, \(\int _{-\infty }^{\infty }|x|f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) diverge. O cancelamento obtido com limites simétricos fornece um valor principal, não uma esperança. Assim, a esperança finita não existe e, consequentemente, a variância também não está definida.
Exercício 16.28 (A altura de uma densidade pode ultrapassar um)
As funções abaixo são \(f(x)=2\) em \([0,1/2]\), nula fora desse intervalo, e \(g(x)=1\) em \([0,1]\), nula fora dele.
Um estudante aceita apenas \(g\) como densidade porque \(f\) ultrapassa \(1\). Avalie o argumento e verifique as condições de densidade para ambas.
Compare as probabilidades do intervalo \([0,1/4]\). Qual é, em cada modelo, a probabilidade de obter exatamente \(1/4\)?
Ver solução
Ambas são não negativas e têm área total \(1\), portanto são densidades. O valor da densidade é uma altura, não uma probabilidade pontual. As probabilidades do intervalo são \(2\cdot \frac14=\frac12\) para \(f\) e \(1\cdot \frac14=\frac14\) para \(g\). Em ambos os modelos, a probabilidade de um ponto isolado é zero; a integral em um intervalo de comprimento zero é nula.
Exercício 16.29 (Ler uma distribuição acumulada)
Duas durações não negativas, \(X\) e \(Y\), têm funções de distribuição
Lembre que \(F_X(t)=P(X\leq t)\); a mediana \(m_X\) satisfaz \(F_X(m_X)=1/2\), e analogamente para \(Y\).
Qual duração tem maior probabilidade de ultrapassar \(2\)? Leia primeiro a figura e justifique pela definição de distribuição acumulada.
Compare as medianas sem calcular seus valores. Um gráfico de distribuição mais alto significa valores tipicamente maiores ou menores, neste caso?
Ver solução
Como \(F_X(2)\gt F_Y(2)\), os complementos satisfazem \(P(X\gt 2)\lt P(Y\gt 2)\). A curva de \(X\) também atinge o nível \(1/2\) antes da curva de \(Y\), portanto \(m_X\lt m_Y\); exatamente, \(m_X=\ln 2\) e \(m_Y=2\ln 2\). A curva acumulada mais alta informa maior probabilidade de já ter terminado até cada instante: aqui corresponde à duração menor, não à maior.
Determine a constante \(c\) para que \(f\) seja uma densidade de probabilidade. Verifique tanto a não negatividade quanto a normalização, justificando a convergência da integral usada no cálculo. Ver solução
Para \(|x|\geq 1\), temos \(0\lt (1+x^2)^{-2}\leq x^{-4}\), o que garante a convergência de cada cauda. Podemos, então, usar a paridade e fazer a substituição \(x=\operatorname {tg}\theta \) primeiro num intervalo finito:
A integral sobre a reta vale \(\pi /2\). A normalização exige \(c\pi /2=1\), isto é, \(c=2/\pi \). Essa constante é positiva, logo \(f\geq 0\), e as duas condições de densidade estão satisfeitas.
Exercício 16.31
Seja \(X\) uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro \(\lambda \gt 0\). No exemplo da lâmpada, calculamos \(\mathbb {E}[X^2]=2/\lambda ^2\). Use integração por partes para determinar o terceiro momento \(\mathbb {E}[X^3]\). Integre primeiro até um extremo finito e justifique o desaparecimento do termo de fronteira. Ver solução
Seja \(X\) uma variável aleatória com densidade candidata \(f(x)=\tfrac 12e^{-|x|}\), \(x\in \mathbb {R}\). Verifique que \(f\) é uma densidade e mostre que \(\mathbb {E}[X]=0\). Antes de usar a simetria, justifique a existência do valor esperado. Explique por que o mesmo argumento não permite atribuir média zero à distribuição de Cauchy. Ver solução
Assim, o valor esperado existe; como \(xf(x)\) é ímpar, \(\mathbb {E}[X]=0\). Para a densidade de Cauchy, a integral de \(|x|f(x)\) diverge, de modo que a simetria não legitima o cancelamento e o valor esperado não existe.
Exercício 16.33
Seja \(X\) uma variável aleatória com densidade de Pareto
sendo \(f_\alpha (x)=0\) para \(x\lt 1\) e \(\alpha \gt 0\). Determine as condições a seguir, justificando cada uma pelo comportamento da integral correspondente:
quando a esperança é finita;
quando o segundo momento é finito;
para quais valores de \(\alpha \) a esperança é finita e a variância é infinita.
Ver solução
Como \(X\geq 1\), a existência da esperança depende de \(\alpha \int _1^\infty x^{-\alpha }\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), que converge exatamente quando \(\alpha \gt 1\). Já o segundo momento depende de \(\alpha \int _1^\infty x^{-(\alpha -1)}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), que converge exatamente quando \(\alpha \gt 2\). Nos casos convergentes,
respectivamente. Nos valores críticos \(\alpha =1\) e \(\alpha =2\), as integrais correspondentes divergem como a integral de \(1/x\). Assim:
a esperança é finita para \(\alpha \gt 1\);
o segundo momento é finito para \(\alpha \gt 2\);
a esperança é finita e a variância é infinita exatamente quando \(1\lt \alpha \leq 2\).
Exercício 16.34
A duração \(T\), em horas, de uma lâmpada é modelada por uma distribuição exponencial com vida média de \(1200\) horas. Para este exercício, a mediana \(m\) é definida por \(F(m)=1/2\) e, quando \(P(B)\gt 0\),
Considere \(g(s)=2e^{-s/30}\) para \(s\geq 0\), e zero para \(s\lt 0\). Essa função é uma densidade? Por que não basta trocar a unidade no expoente?
Use \(\{ a\leq S\leq b\} =\{ a/60\leq T\leq b/60\} \) para obter a densidade correta de \(S\). Confira a normalização e compare \(P(T\gt 1/2)\) com \(P(S\gt 30)\).
Sem refazer integrações por partes, determine \(\mathbb {E}[S]\) e \(\operatorname {Var}(S)\), com suas unidades. Justifique por substituição as mudanças de escala dos dois primeiros momentos.
As alturas diferentes das densidades em horas e em minutos representam probabilidades diferentes para a mesma duração? Explique.
Para \(0\leq a\leq b\), substituindo \(s=60t\), temos
\[ P(a\leq S\leq b) =\int _{a/60}^{b/60}f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t =\int _a^b\frac1{60}f(s/60)\, \mathop{}\! \mathrm{d} s. \]
Assim, a densidade de \(S\) é \(f_S(s)=e^{-s/30}/30\) para \(s\geq 0\), e zero para \(s\lt 0\). Sua integral vale \(1\), e \(P(T\gt 1/2)=e^{-1}=P(S\gt 30)\).
A mesma substituição, feita primeiro em integrais truncadas, mostra que \(\mathbb {E}[S^k]=60^k\mathbb {E}[T^k]\) para \(k=1,2\). Como \(T\) tem distribuição exponencial de parâmetro \(2\), o exemplo desta seção dá \(\mathbb {E}[T]=1/2\ \mathrm h\) e \(\operatorname {Var}(T)=1/4\ \mathrm h^2\). Portanto,
A variância recebe o fator \(60^2\), pois sua unidade é o quadrado da unidade de tempo. A densidade é medida por hora ou por minuto; mudam simultaneamente as alturas e as larguras dos intervalos numéricos, mas não as probabilidades dos eventos correspondentes.
Exercício 16.36 (Exposição total a um medicamento)
Após uma dose intravenosa administrada instantaneamente, a concentração plasmática de um medicamento é modelada por \(C(t)=C_0e^{-kt}\), \(t\ge 0\), com \(C_0,k\gt 0\).
Calcule a exposição total \(\mathrm{AUC}=\int _0^\infty C(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\) em função de \(C_0\) e da meia-vida \(T_{1/2}=\ln 2/k\).
Determine o tempo médio ponderado pela concentração, \(\overline t=\frac{\int _0^\infty tC(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t}{\int _0^\infty C(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t}\).
Com \(C_0=8\) mg/L e \(T_{1/2}=6\) h, calcule os dois valores.
Figura não resolvida: figuras/fuv-concentracao-farmaco
Para \(0\lt t\leq 1\), vale \(0\leq t^{x-1}e^{-t}\leq t^{x-1}\), cuja integral converge quando \(x\gt 0\). No infinito, para \(x\) fixo, \(t^{x-1}e^{-t/2}\to 0\). Portanto, para \(t\) suficientemente grande, \(0\leq t^{x-1}e^{-t}\leq e^{-t/2}\), e a comparação com essa exponencial integrável prova a convergência. Integrando \(\Gamma (x+1)\) por partes em \([\varepsilon ,B]\) e passando aos limites, os termos \(t^xe^{-t}\) desaparecem tanto em \(0\) quanto no infinito, e obtemos \(\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\). Como \(\Gamma (1)=1\), a recursão dá \(\Gamma (n+1)=n!\). As integrais do último item valem \(6\) e \(1/4\), respectivamente.
Exercício 16.38 (A esperança como área)
Uma duração \(T\geq 0\) tem densidade contínua \(f\) e esperança finita. Para \(t\geq 0\), defina
\[ Q(t)=P(T\gt t)=\int _t^\infty f(u)\, \mathop{}\! \mathrm{d} u. \]
Mostre que \(Q(t)=1-\int _0^t f(u)\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\) e \(Q'(t)=-f(t)\). Integrando por partes em \([0,B]\), prove que
\[ \int _0^B Q(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t =BQ(B)+\int _0^B t f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Mostre que
\[ 0\leq BQ(B)\leq \int _B^\infty u f(u)\, \mathop{}\! \mathrm{d} u \]
e conclua que
\[ \mathbb {E}[T]=\int _0^\infty P(T\gt t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Interprete a igualdade geometricamente. Qual é a unidade da área?
Se duas durações \(T_1,T_2\) satisfazem as mesmas hipóteses e \(P(T_1\gt t)\leq P(T_2\gt t)\) para todo \(t\geq 0\), compare as médias sem calcular as densidades. E se a desigualdade for estrita em algum \(t\gt 0\)?
Ver solução
Como \(T\) é não negativa e a densidade está normalizada,
A última expressão é a cauda de uma integral convergente, pela hipótese de esperança finita. Passando ao limite na identidade anterior, obtemos a fórmula. A esperança é a área sob a curva \(Q\), ou entre o gráfico da distribuição acumulada \(F=1-Q\) e a reta \(y=1\). Como a probabilidade não tem unidade, essa área tem unidade de tempo.
Escrevendo \(Q_i(t)=P(T_i\gt t)\), a comparação \(Q_1\leq Q_2\) implica \(\mathbb {E}[T_1]\leq \mathbb {E}[T_2]\). Se for estrita em algum ponto, a continuidade das funções \(Q_i\) garante que também é estrita em um intervalo de comprimento positivo. Nesse caso, \(\mathbb {E}[T_1]\lt \mathbb {E}[T_2]\).
As integrais impróprias encerram este percurso retomando uma ideia presente em todo o cálculo: aproximar uma quantidade por objetos finitos e estudar o limite dessas aproximações. Aqui, a convergência da integral determina se o modelo fornece um valor finito para a área, a massa ou o momento considerado.
Esse percurso pode ser aprofundado em várias direções. As séries aplicam a mesma pergunta de convergência a somas infinitas; o cálculo em várias variáveis estende derivadas e integrais a fenômenos com mais de uma coordenada; e a probabilidade contínua desenvolve, a partir das densidades, outros modelos e outras medidas de comportamento. Em todos esses caminhos, permanecem centrais as relações entre aproximação, variação e acumulação estudadas neste livro.
