Capítulo 8

Limites infinitos e no infinito

Segure o infinito na palma da mão e a eternidade em uma hora.
William Blake, Augúrios da Inocência

Uma função pode se aproximar de um valor quando a variável se afasta indefinidamente. Também pode crescer sem limite quando a variável se aproxima de um ponto finito. As duas situações envolvem a palavra “infinito”, mas descrevem comportamentos diferentes. Vamos ampliar a linguagem dos limites para distingui-los e reconhecer, nos gráficos, o que cada um significa.

8.1 Limites no infinito

Quando a variável cresce indefinidamente ou assume valores negativos cada vez maiores em módulo, os valores da função se aproximam de algum número? Queremos descrever essa aproximação e identificar as condições que a garantem.

Considere a função $f(x)= \dfrac {x}{x^2+1}$, cujo gráfico é apresentado na Figura 8.1.

Figura 8.1 Gráfico de f(x)=(x)/(x^2+1). — Figura 8.1 Gráfico de $f(x)=\dfrac {x}{x^2+1}$.

À medida que $x$ cresce, os valores da função se aproximam de $0$. Escrevemos

\[ \lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {x}{x^2+1}=0. \]

Neste capítulo, $x\to \infty $ e $x\to +\infty $ têm o mesmo significado: a variável cresce sem limite. A função também se aproxima de $0$ quando $x$ assume valores negativos cada vez maiores em módulo. Escrevemos

\[ \lim \limits _{x\to -\infty } \dfrac {x}{x^2+1}=0. \]

Podemos modificar a noção de limite anterior de modo a lidar com esses casos. A modificação essencial é formalizar a afirmação de que “se $x$ é suficientemente grande” por meio de “existe $M\gt 0$ tal que, se $x\gt M$”.

Definição 8.1 (Limite quando $x\to +\infty $)

Seja $f$ definida para todo $x\gt c$, para algum $c\in \mathbb {R}$, e seja $L\in \mathbb {R}$. Dizemos que

\[ \lim _{x\to +\infty }f(x)=L \]

se, para todo $\varepsilon \gt 0$, existe $M\gt 0$ tal que

\[ x\gt M\quad \Longrightarrow \quad |f(x)-L|\lt \varepsilon . \]

Definição 8.2 (Limite quando $x\to -\infty $)

Seja $f$ definida para todo $x\lt c$, para algum $c\in \mathbb {R}$, e seja $L\in \mathbb {R}$. Dizemos que

\[ \lim _{x\to -\infty }f(x)=L \]

se, para todo $\varepsilon \gt 0$, existe $M\gt 0$ tal que

\[ x\lt -M\quad \Longrightarrow \quad |f(x)-L|\lt \varepsilon . \]

Geometricamente, se $\lim _{x\to +\infty }f(x)=L$ ou $\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$, a reta $y=L$ é uma assíntota horizontal do gráfico na extremidade correspondente. O limite deve ser analisado separadamente em $+\infty $ e $-\infty $, pois os resultados podem ser diferentes.

Exemplo 8.1

Mostre a partir da definição que $\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {1}{x}=0$.

Solução

Queremos mostrar que existe $M$ tal que, se $x\gt M$, $\left\lvert f(x)\right\rvert \lt \varepsilon $. Como $x$ tende a $+\infty $, basta considerar $x\gt 0$. Nesse caso, $\left\lvert f(x)\right\rvert \lt \varepsilon $ equivale a $\frac{1}{x}\lt \varepsilon $, isto é, $x\gt \frac{1}{\varepsilon }$. Escolhemos, portanto, $M=\frac{1}{\varepsilon }$. Quando $x\gt M$, então $x\gt \frac{1}{\varepsilon }$ e, assim, $0\lt \frac{1}{x}\lt \varepsilon $. Isso prova que $\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {1}{x}=0$.

Exemplo 8.2

Mostre a partir da definição que $\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {1}{\sqrt{x}}=0$.

Solução

Para $\varepsilon \gt 0$, a condição $1/\sqrt{x}\lt \varepsilon $ é equivalente a $x\gt 1/\varepsilon ^2$. Portanto, a escolha $M=1/\varepsilon ^2$ garante que $x\gt M$ implique $|1/\sqrt{x}-0|\lt \varepsilon $. A diferença em relação ao exemplo anterior está no limiar necessário, não na estrutura da demonstração.

Exemplo 8.3 (Um limite racional pela definição)

Mostre que $\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\frac{2x+1}{x+2}=2$.

Solução

A diferença em relação ao valor conjecturado é

\[ \left|\frac{2x+1}{x+2}-2\right|=\frac3{|x+2|}. \]

Se $x\gt 1$, o denominador é positivo e maior que $x$, de modo que a diferença é menor que $3/x$. Dado $\varepsilon \gt 0$, tome

\[ M=\max \{ 1,3/\varepsilon \} . \]

Para todo $x\gt M$, a condição $x\gt 1$ permite usar a estimativa e $x\gt 3/\varepsilon $ garante $3/x\lt \varepsilon $. Logo, a escolha de $M$ satisfaz a definição. O máximo reúne uma condição para a estimativa e outra para a tolerância.

Exemplo 8.4 (Quando uma enzima está praticamente saturada)

Em um ensaio, a concentração $S$ do substrato é medida em $\mathrm{mmol/L}$ e a velocidade da reação enzimática, em $\mu \mathrm{mol/min}$. Observa-se que essa velocidade se aproxima de $80\, \mu \mathrm{mol/min}$ quando $S$ aumenta. Para $S=2\, \mathrm{mmol/L}$, a velocidade medida é $40\, \mu \mathrm{mol/min}$. Adote um modelo de saturação da forma

\[ v(S)=\frac{aS}{b+S},\qquad S\geq 0,\quad a,b\gt 0. \]

Determine $a$ e $b$. O laboratório considera a enzima praticamente saturada quando sua velocidade atinge pelo menos $95\% $ da velocidade limite. Qual é a menor concentração que satisfaz esse critério? A velocidade limite é atingida para alguma concentração finita?

Solução

O parâmetro $a$ tem unidade de velocidade e $b$ tem a mesma unidade de concentração que $S$. Nos cálculos seguintes, usamos os valores numéricos de $v$ em $\mu \mathrm{mol/min}$ e de $S$ e $b$ em $\mathrm{mmol/L}$. Dividindo numerador e denominador por $S$, vemos que $\lim _{S\to \infty }v(S)=a$. A primeira observação fornece, portanto, $a=80\, \mu \mathrm{mol/min}$. Usando a medida realizada em $S=2$,

\[ 40=\frac{80\cdot 2}{b+2}, \]

de onde $b=2\, \mathrm{mmol/L}$. Assim, em valores numéricos nas unidades adotadas, o modelo calibrado é

\[ v(S)=\frac{80S}{S+2}. \]

A condição de saturação prática é $v(S)\geq 0{,}95\cdot 80=76$. Como $S+2\gt 0$,

\[ \frac{80S}{S+2}\geq 76 \quad \Longleftrightarrow \quad 80S\geq 76S+152 \quad \Longleftrightarrow \quad S\geq 38. \]

A menor concentração é, portanto, $38\, \mathrm{mmol/L}$. Por outro lado,

\[ 80-v(S)=\frac{160}{S+2}\gt 0 \]

para todo $S$ finito. A velocidade pode ficar tão próxima de $80\, \mu \mathrm{mol/min}$ quanto se queira, mas nunca atinge exatamente esse valor no modelo.

Figura 8.2 O modelo tende ao platô $80$; o nível de $95\% $ é atingido em $S=38$.

Exercício 8.1 (Aproximar-se também pode significar atravessar)

Considere, para $x\geq 0$,

\[ f(x)=2+\frac{\operatorname {sen}x}{x+1}. \]

A reta tracejada é $y=2$.

Use $|\operatorname {sen}x|\leq 1$ para justificar o limite de $f$ quando $x\to +\infty $. Indique um valor a partir do qual o majorante encontrado garanta $|f(x)-2|\leq 0{,}01$.
O gráfico encontra a reta $y=2$ infinitas vezes e passa de um lado dela para o outro. Isso impede que ela seja uma assíntota horizontal? Explique o que o limite controla.

Ver solução

a) $|f(x)-2|\leq 1/(x+1)\to 0$, logo o limite é $2$. Para $x\geq 99$, esse majorante é no máximo $0{,}01$. b) Não. Os encontros ocorrem em $x=n\pi $, $n\geq 0$, e o sinal do desvio alterna entre eles. Uma assíntota horizontal exige que a distância vertical à reta tenda a zero; não exige aproximação monótona nem por um único lado.

Exercício 8.2 (Pequena diferença, grande erro relativo)

Dois modelos para uma quantidade residual são

\[ A(t)=\frac1{t+1},\qquad B(t)=\frac2{t+1},\qquad t\geq 0. \]

Determine os limites de $A$, $B$ e $B-A$ quando $t\to +\infty $.
Um relatório conclui que os modelos se tornam “percentualmente indistinguíveis”. Avalie a conclusão calculando $(B(t)-A(t))/A(t)$ e distinguindo erro absoluto de erro relativo.

Ver solução

a) Os três limites são zero. b) O erro relativo é constantemente $1$, isto é, $100\% $ em relação a $A$. A diferença absoluta diminui até zero, mas $B$ permanece sempre duas vezes maior que $A$. Ter o mesmo limite não implica proximidade relativa.

Exercício 8.3

Mostre, a partir da definição, que

\[ \lim _{x\to +\infty }\frac{3}{x+2}=0. \]

Ver solução

Dado $\varepsilon \gt 0$, tome $M=3/\varepsilon $. Se $x\gt M$, então $x+2\gt x\gt M$ e

\[ 0\lt \frac3{x+2}\lt \frac3x\lt \varepsilon . \]

Exercício 8.4

Demonstre, usando a definição de limite no infinito, que $\lim _{x\to \infty }7/(x+4)=0$. Para um erro máximo $\varepsilon $, produza um limiar explícito $N(\varepsilon )$.

Ver solução

Dado $\varepsilon \gt 0$, tome $N=7/\varepsilon $. Se $x\gt N$, então

\[ \left|\frac7{x+4}\right|\lt \frac7x\lt \varepsilon . \]

Exercício 8.5

Determine as assíntotas horizontais de

\[ f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}, \]

analisando separadamente $x\to +\infty $ e $x\to -\infty $.

Ver solução

Para $x\gt 0$,

\[ f(x)=\frac2{\sqrt{1+1/x^2}}\longrightarrow 2. \]

Para $x\lt 0$, usamos $\sqrt{x^2}=|x|=-x$:

\[ f(x)=-\frac2{\sqrt{1+1/x^2}}\longrightarrow -2. \]

As assíntotas horizontais são $y=2$ à direita e $y=-2$ à esquerda.

Exercício 8.6 (Quantas vezes uma função racional encontra sua assíntota?)

Seja $f=P/Q$ uma função racional não constante, na qual $P$ e $Q$ são polinômios reais de mesmo grau $n\geq 1$, e seja $y=L$ sua assíntota horizontal.

Mostre que o gráfico de $f$ encontra a reta $y=L$ em, no máximo, $n-1$ pontos. (Sugestão: estude o grau de $P-LQ$.)
Conclua que, para $a,c\ne 0$ e $ad-bc\ne 0$, o gráfico de

\[ h(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \]

nunca encontra sua assíntota horizontal. Em contraste, mostre que o gráfico de

\[ g(x)=\frac{x^2+x}{x^2+1} \]

encontra sua assíntota horizontal uma única vez. Em que ponto?
Compare com o primeiro exercício deste capítulo. Por que uma função racional não constante não pode cruzar sua assíntota horizontal infinitas vezes?

Ver solução

Como $P$ e $Q$ têm mesmo grau, $L$ é o quociente de seus coeficientes dominantes. Logo, os termos de grau $n$ se cancelam em $P-LQ$, que tem grau no máximo $n-1$, a menos que seja o polinômio nulo. O último caso tornaria $f$ constante em seu domínio, contrariando a hipótese. Todo encontro do gráfico com $y=L$ satisfaz $P(x)-LQ(x)=0$ e $Q(x)\ne 0$. Portanto, há no máximo $n-1$ encontros.
Para $h$, temos $n=1$, de modo que não há encontros. Para $g$, a assíntota horizontal é $y=1$, e a equação $g(x)=1$ equivale a $x-1=0$, pois $x^2+1\gt 0$. O único encontro é $(1,1)$.
O exercício inicial apresentou uma função oscilatória que encontra sua assíntota infinitas vezes. Numa função racional não constante, esses encontros correspondem a raízes de um polinômio não nulo de grau finito, portanto só podem ser finitos.

8.2 Limites infinitos

Nos limites no infinito, acompanhamos a função quando a variável se afasta indefinidamente da origem. Também pode ocorrer que os valores da função cresçam sem limite quando a variável se aproxima de um ponto finito. É o que acontece no Exemplo 7.5: o limite $\lim \limits _{x\to 0}\dfrac {1}{\left\lvert x\right\rvert }$ não existe como número real, mas seu comportamento pode ser descrito por um limite infinito.

Figura 8.3 A função 1/|x| não tem limite finito quando x tende a zero. — Figura 8.3 A função $1/|x|$ não tem limite finito quando $x$ tende a zero.

Dado um número positivo, $1/|x|$ o ultrapassa para todo $x\neq 0$ suficientemente próximo de zero, tanto pela esquerda quanto pela direita. Esse comportamento é expresso pela notação de limite infinito.

Para $7/(x-4)$, os sinais são diferentes nos dois lados de $4$: o denominador é negativo à esquerda e positivo à direita. Consideremos os limites laterais.

Figura 8.4 Limite infinito indicado pelo crescimento sem cota do gráfico.

Quando $x$ tende a $4$ pela direita, $\dfrac {7}{x-4}$ cresce sem limite. Quando $x$ tende a $4$ pela esquerda, assume valores negativos de módulo arbitrariamente grande. A Figura 8.4 ilustra esses dois comportamentos. Representamos esses comportamentos por:

\[ \lim \limits _{x\to 4^+}\dfrac {7}{x-4}=\infty \quad \text{ e }\quad \lim \limits _{x\to 4^-}\dfrac {7}{x-4}=-\infty \]

Definição 8.3 (Limites infinitos)

Seja $f$ uma função definida em uma vizinhança de $a$, exceto possivelmente no próprio ponto $a$. Dizemos que

\[ \lim _{x\to a}f(x)=+\infty \]

se, para todo $M\gt 0$, existe $\delta \gt 0$ tal que

\[ 0\lt |x-a|\lt \delta \quad \Longrightarrow \quad f(x)\gt M. \]

Analogamente, dizemos que

\[ \lim _{x\to a}f(x)=-\infty \]

se, para todo $M\gt 0$, existe $\delta \gt 0$ tal que

\[ 0\lt |x-a|\lt \delta \quad \Longrightarrow \quad f(x)\lt -M. \]

Para o limite pela direita, substituímos $0\lt |x-a|\lt \delta $ por $0\lt x-a\lt \delta $; para o limite pela esquerda, usamos $0\lt a-x\lt \delta $. Em cada caso, basta que $f$ esteja definida no intervalo lateral correspondente. A desigualdade sobre $f(x)$ permanece $f(x)\gt M$ para $+\infty $ e $f(x)\lt -M$ para $-\infty $.

Se pelo menos um dos limites laterais de $f(x)$ quando $x\to a$ é $+\infty $ ou $-\infty $, a reta $x=a$ é uma assíntota vertical do gráfico. O sinal e o lado de aproximação descrevem para qual direção cada ramo se afasta.

Para definir limites infinitos quando $x$ tende ao infinito, usamos um limiar $A\gt 0$. Para todo $M\gt 0$, deve existir $A\gt 0$ de modo que:

$x\gt A\Longrightarrow f(x)\gt M$, no caso $\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty $;
$x\gt A\Longrightarrow f(x)\lt -M$, no caso $\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty $;
$x\lt -A\Longrightarrow f(x)\gt M$, no caso $\lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty $;
$x\lt -A\Longrightarrow f(x)\lt -M$, no caso $\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty $.

Supomos, em cada caso, que o domínio de $f$ contém a semirreta considerada.

Exemplo 8.5

Mostre que $\lim \limits _{x\to \infty }x=\infty $.

Solução

Pela definição, dado $M\gt 0$, devemos encontrar $A\gt 0$ tal que $x\gt A$ implique $x\gt M$. Basta escolher $A=M$.

Exemplo 8.6

Mostre que $\lim \limits _{x\to \infty }x^2=\infty $.

Solução

Dado $M\gt 0$, escolhemos $A=\sqrt{M}$. Se $x\gt A$, então $x^2\gt M$, como desejado.

Exemplo 8.7 (Até onde a paisagem permanece nítida?)

Para uma configuração fixa de câmera, lente e abertura, seja $H$ uma constante positiva. Se a câmera estiver focalizada a uma distância $s$, com $0\lt s\lt H$, um modelo aproximado fornece as extremidades da região considerada aceitavelmente nítida:

\[ d_{\mathrm{perto}}(s)=\frac{Hs}{H+s}, \qquad d_{\mathrm{longe}}(s)=\frac{Hs}{H-s}. \]

Em uma fotografia de teste focalizada a $8$ metros, o ponto mais distante considerado nítido estava a $24$ metros. Determine $H$ e investigue o que ocorre com as duas extremidades quando $s\to H^-$. Nessa configuração, uma pedra situada a $5$ metros e o horizonte podem aparecer simultaneamente nítidos?

Figura 8.5 Esquema da região de profundidade de campo no modelo fotográfico.

Solução

A fotografia de teste fornece

\[ 24=\frac{8H}{H-8}. \]

Logo, $24H-192=8H$ e $H=12$ metros. Consequentemente,

\[ \lim _{s\to 12^-}\frac{12s}{12+s}=6, \qquad \lim _{s\to 12^-}\frac{12s}{12-s}=+\infty . \]

Ao focalizar progressivamente mais perto de $H$, o extremo distante da região nítida se afasta indefinidamente, enquanto o extremo próximo tende a $6$ metros. Se a pedra de $5$ metros está nítida, então $d_{\mathrm{perto}}(s)=12s/(12+s)\leq 5$, isto é, $s\leq 60/7$. Nesse caso, $d_{\mathrm{longe}}(s)\leq 30$ metros, pois $12s/(12-s)\leq 30$ equivale a $s\leq 60/7$. Portanto, o horizonte não pode estar nítido junto com a pedra.

Ilustração: Limites infinitos

8.2.1 Propriedades dos limites infinitos e no infinito

As expressões $+\infty $ e $-\infty $ descrevem comportamentos; não são números reais acrescentados à reta. As regras para esses limites decorrem das definições e descrevem como tais comportamentos se combinam.

Para evitar repetições, escreveremos $x\to \alpha $ para qualquer um dos casos $x\to a$, $x\to a^+$, $x\to a^-$, $x\to +\infty $ ou $x\to -\infty $. As desigualdades mencionadas devem valer para $x$ suficientemente próximo de $\alpha $, no domínio correspondente.

Comparação e recíproco.

A comparação transfere para outra função um crescimento ou decrescimento já conhecido. O recíproco, por sua vez, troca grandezas próximas de zero por grandezas de módulo elevado, e vice-versa.

Proposição 8.8 (Comparação e recíproco)

Se $f(x)\geq g(x)$ e $\lim _{x\to \alpha }g(x)=+\infty $, então $\lim _{x\to \alpha }f(x)=+\infty $. Se $f(x)\leq g(x)$ e $\lim _{x\to \alpha }g(x)=-\infty $, então $\lim _{x\to \alpha }f(x)=-\infty $.
Se $f(x)\to 0$ por valores positivos, então $1/f(x)\to +\infty $; se $f(x)\to 0$ por valores negativos, então $1/f(x)\to -\infty $.
Se $|f(x)|\to +\infty $, então $1/f(x)\to 0$.

Demonstração ▼

No primeiro item, dado $M\gt 0$, a hipótese $g(x)\to +\infty $ garante $g(x)\gt M$ suficientemente perto de $\alpha $; como $f(x)\geq g(x)$, também $f(x)\gt M$. O caso de $-\infty $ é análogo.

No segundo item, suponha $f(x)\to 0$ por valores positivos. Dado $M\gt 0$, aplique a definição de limite com $\varepsilon =1/M$: suficientemente perto de $\alpha $, temos $0\lt f(x)\lt 1/M$, logo $1/f(x)\gt M$. O caso de valores negativos é obtido do mesmo modo.

No terceiro item, dado $\varepsilon \gt 0$, escolha o limiar $1/\varepsilon $. Se $|f(x)|\gt 1/\varepsilon $, então

\[ \left|\frac1{f(x)}\right|\lt \varepsilon . \]

Observação 8.9 (Consequências imediatas)

As propriedades de comparação permitem obter os limites seguintes. Para as potências inteiras, comparamos com $x$ ou $-x$ em semirretas adequadas; para a exponencial de base $c\gt 1$, usamos também a Proposição 1.13.

Dado $c\gt 1$, temos $\lim \limits _{x\to \infty } c^x=\infty $. Para $c=1$, o limite é $1$; para $0\lt c\lt 1$, é $0$. De fato, se $c\gt 1$ e $x\geq n\in \mathbb {N}$, a monotonicidade e a desigualdade de Bernoulli dão $c^x\geq c^n\geq 1+n(c-1)$, que cresce sem limite com $n$. O caso $0\lt c\lt 1$ segue escrevendo $c^x=1/(1/c)^x$.
Dado $k\in \mathbb {N}^*$ então $\lim \limits _{x\to \infty } x^k=\infty $.
Dado $k\in \mathbb {N}^*$ ímpar então $\lim \limits _{x\to -\infty } x^k=-\infty $.
Dado $k\in \mathbb {N}^*$ par então $\lim \limits _{x\to -\infty } x^k=\infty $.

Proposição 8.10 (Limites do logaritmo natural)

Temos

\[ \lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty \index{logaritmo!limites|hyperpage} \qquad \text{e}\qquad \lim _{x\to 0^+}\ln x=-\infty . \]

Demonstração ▼

Como $\ln $ é crescente e $\ln (2^n)=n\ln 2$, dado $M\gt 0$ escolhemos $n$ com $n\ln 2\gt M$. Se $x\gt 2^n$, então $\ln x\gt n\ln 2\gt M$, o que prova o primeiro limite. Para o segundo, escreva

\[ \ln x=-\ln (1/x). \]

Quando $x\to 0^+$, temos $1/x\to +\infty $, e o primeiro limite fornece a conclusão.

Somas: qual termo domina?

Uma parcela limitada não altera um crescimento sem cota. Duas parcelas que divergem no mesmo sentido reforçam-se. Já parcelas que divergem em sentidos opostos competem entre si, e seus limites isolados não bastam para decidir o resultado.

Proposição 8.11 (Somas com limites infinitos)

Suponha que $r$ seja limitada quando $x\to \alpha $. Então:

se $f,g\to +\infty $, então $f+g\to +\infty $; se $f,g\to -\infty $, então $f+g\to -\infty $;
se $f\to +\infty $, então $f+r\to +\infty $; se $f\to -\infty $, então $f+r\to -\infty $;
se $f\to +\infty $ e $h\to -\infty $, então $f-h\to +\infty $ e $h-f\to -\infty $.

Todos os limites são tomados quando $x\to \alpha $.

Demonstração ▼

Para o primeiro item, dado $M\gt 0$, fazemos $f\gt M/2$ e $g\gt M/2$ suficientemente perto de $\alpha $; então $f+g\gt M$. Os casos negativos são análogos.

Para o segundo item, existe $K\gt 0$ tal que $|r(x)|\leq K$ perto de $\alpha $. Se $f\to +\infty $, fazemos $f\gt M+K$; então $f+r\gt M$. O caso de $-\infty $ é análogo.

No terceiro item, $-h\to +\infty $, e a conclusão segue do primeiro caso aplicado a $f+(-h)$. A outra diferença é tratada da mesma forma.

Produtos: o sinal decide.

Proposição 8.12 (Produtos com limites infinitos)

Suponha que $f\to +\infty $ ou $f\to -\infty $ quando $x\to \alpha $. Se $q(x)\to L\neq 0$, então $q$ fica afastada de zero e conserva o sinal de $L$ para $x$ próximo de $\alpha $. Assim, $L\gt 0$ preserva o sentido da divergência de $f$, enquanto $L\lt 0$ o inverte.

Se cada um dos dois fatores tende a $+\infty $ ou a $-\infty $, o limite do produto segue a regra de sinais:

\[ \begin{array}{c|cc}& g\to +\infty & g\to -\infty \\ \hline f\to +\infty & fg\to +\infty & fg\to -\infty \\ f\to -\infty & fg\to -\infty & fg\to +\infty \end{array} \]

Todos os limites da tabela são tomados quando $x\to \alpha $.

Demonstração ▼

Suponha primeiro $f\to +\infty $ e $q\to L\gt 0$. Como $q\to L$, temos $q(x)\gt L/2$ suficientemente perto de $\alpha $. Dado $M\gt 0$, fazemos também $f(x)\gt 2M/L$. Então $f(x)q(x)\gt M$. Se $L\lt 0$, aplicamos o mesmo argumento a $-q$, o que inverte o sinal do produto. Os casos $f\to -\infty $ seguem aplicando o resultado a $-f$.

Em particular, multiplicar por uma constante positiva preserva o sentido da divergência, e multiplicar por uma constante negativa o inverte. A constante zero é um caso separado: $0\cdot f$ é a função nula. Isso não autoriza concluir nada quando um fator apenas tende a zero.

Formas indeterminadas não são resultados

Os símbolos $\infty -\infty $ e $0\cdot \infty $ não determinam, por si sós, um limite. Quando $x\to +\infty $, por exemplo,

\[ x-x=0,\qquad (x+1)-x=1,\qquad x^2-x\longrightarrow +\infty ; \]

as três diferenças têm a forma aparente $\infty -\infty $. Do mesmo modo,

\[ \frac1{x^2}\, x\longrightarrow 0,\qquad \frac1x\, x=1,\qquad \frac1{\sqrt x}\, x\longrightarrow +\infty , \]

embora em todas apareça $0\cdot \infty $. É preciso simplificar ou comparar as funções antes de aplicar propriedades de limites.

Limites finitos quando a variável tende ao infinito.

Se o ponto de aproximação muda de um número real para $+\infty $ ou $-\infty $, mas os valores-limite continuam finitos, valem as mesmas propriedades algébricas estudadas no capítulo anterior.

Proposição 8.13 (Regras para limites finitos no infinito)

Se $\alpha \in \{ -\infty ,+\infty \} $, $f(x)\to A$ e $g(x)\to B$ quando $x\to \alpha $, com $A,B\in \mathbb R$, então

\[ \begin{aligned} f+g& \to A+B, & f-g& \to A-B, & fg& \to AB,\\ cf& \to cA, & \frac{f}{g}& \to \frac AB\quad (B\neq 0). \end{aligned} \]

Também podemos passar ao limite no módulo, em potências inteiras positivas e na raiz quadrada, desde que seu domínio seja respeitado. Em particular, se $f(x)\geq 0$ para $x$ suficientemente próximo de $\alpha $, então $A\geq 0$ e $\sqrt{f(x)}\to \sqrt A$.

Demonstração ▼

As demonstrações são as mesmas das regras de limites finitos já provadas: dado $\varepsilon \gt 0$, controlamos cada parcela ou fator por uma condição válida para $x$ suficientemente grande em módulo. A única mudança é substituir a vizinhança perfurada de um ponto por uma semirreta $x\gt M$ ou $x\lt -M$.

Teorema 8.14 (Teorema do Confronto no infinito)

Se $\alpha \in \{ -\infty ,+\infty \} $ e, para $x$ suficientemente próximo de $\alpha $,

\[ f(x)\leq g(x)\leq h(x), \]

com

\[ \lim _{x\to \alpha }f(x)= \lim _{x\to \alpha }h(x)=L\in \mathbb {R}, \]

então $\lim _{x\to \alpha }g(x)=L$.

Demonstração ▼

Dado $\varepsilon \gt 0$, escolhemos $M\gt 0$ maior que os limiares necessários para os limites de $f$ e $h$ e para a desigualdade $f\leq g\leq h$. Assim, para $x\gt M$ se $\alpha =+\infty $, ou para $x\lt -M$ se $\alpha =-\infty $, temos

\[ L-\varepsilon \lt f(x)\leq g(x)\leq h(x)\lt L+\varepsilon . \]

Logo, $|g(x)-L|\lt \varepsilon $, que é a definição do limite no infinito.

Exemplo 8.15 (A diferença aumenta, a razão se aproxima de um)

Para $x\ge 1$, considere $f(x)=x+\sqrt{x}$ e $g(x)=x$. Calcule os limites de $f(x)-g(x)$ e de $f(x)/g(x)$ quando $x\to +\infty $. Distinga as afirmações: a separação vertical entre os gráficos tende a zero; o acréscimo em relação a $g(x)$ se torna proporcionalmente pequeno. Qual delas é verdadeira? Por que uma janela gráfica ampla pode sugerir uma proximidade enganosa?

[figuras/proposta-20261016-e8-1-1.tex

Figura 8.6 A aparência de proximidade no painel à esquerda se deve à escala; a separação vertical cresce, como evidencia o painel à direita.

Solução

A diferença absoluta é

\[ f(x)-g(x)=\sqrt{x}\longrightarrow +\infty . \]

Portanto, as curvas não se aproximam em distância vertical. Já a razão é

\[ \frac{f(x)}{g(x)}=1+\frac1{\sqrt{x}}\longrightarrow 1. \]

Em termos relativos, o acréscimo $\sqrt{x}$ torna-se pequeno diante de $x$, apesar de aumentar sem limite. Por exemplo, em $x=100$ a diferença é $10$, mas representa apenas $10\% $ de $g(100)$; em $x=10\, 000$ a diferença é $100$, mas representa apenas $1\% $ de $g(10\, 000)$.

Ideia

Duas expressões podem ser equivalentes em termos relativos, $f(x)/g(x)\to 1$, sem que sua diferença tenda a zero. Interpretar um gráfico exige atenção à escala e à pergunta que está sendo feita.

Como escolher a regra.

Primeiro identifique separadamente o comportamento de cada parcela ou fator. Antes de aplicar uma propriedade, verifique suas hipóteses. Se surgir uma forma indeterminada, procure uma simplificação ou uma estimativa. Fatoração, divisão pelo termo dominante e multiplicação pelo conjugado são estratégias úteis nos exemplos seguintes.

Em particular, se numerador e denominador divergem em módulo, o quociente apresenta a forma indeterminada $\infty /\infty $. Essa forma não informa o valor do limite: ele dependerá da rapidez relativa de crescimento das duas funções. Os exemplos seguintes mostram como revelar essa comparação por meio de simplificações algébricas.

Exemplo 8.16

Calcule $\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {x^2+1}{x^2-1}$.

Solução

Para $x\neq 0$, dividimos numerador e denominador por $x^2$:

\[ \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{1+1/x^2}{1-1/x^2}. \]

Como $1/x^2\to 0$ quando $x\to +\infty $, o numerador tende a $1$ e o denominador também tende a $1\neq 0$. Pela regra do quociente,

\[ \lim \limits _{x\to \infty }\frac{x^2+1}{x^2-1}=1. \]

Exemplo 8.17

Calcule $\lim \limits _{x\to \infty }(2x^3-3x^2+1)$.

Solução

Colocando o termo de maior grau em evidência, obtemos, para $x\neq 0$,

\[ 2x^3-3x^2+1=x^3\left(2-\frac3x+\frac1{x^3}\right). \]

Quando $x\to +\infty $, o fator entre parênteses tende a $2\gt 0$, enquanto $x^3\to +\infty $. Pela propriedade do produto de uma função com limite positivo e outra com limite $+\infty $,

\[ \lim \limits _{x\to \infty }(2x^3-3x^2+1)=+\infty . \]

Exemplo 8.18

Calcule $\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {2x^3+3x^2+1}{4x^2-2x+1}$.

Solução

Para $x\neq 0$, a fatoração dos termos de maior grau fornece

\begin{align*} \frac{2x^3+3x^2+1}{4x^2-2x+1} & =\frac{x^3(2+3/x+1/x^3)}{x^2(4-2/x+1/x^2)}\\ & =x\, \frac{2+3/x+1/x^3}{4-2/x+1/x^2}. \end{align*}

O quociente que multiplica $x$ tende a $2/4=1/2\gt 0$. Como $x\to +\infty $, a propriedade multiplicativa dá

\[ \lim \limits _{x\to \infty }\frac{2x^3+3x^2+1}{4x^2-2x+1}=+\infty . \]

Exemplo 8.19

Calcule os limites de $\dfrac {x}{\sqrt{9x^2+1}}$ quando $x$ tende a $+\infty $ e a $-\infty $.

Solução

Para $x\ne 0$, colocamos $x^2$ em evidência dentro da raiz:

\[ \sqrt{9x^2+1}=|x|\sqrt{9+\frac1{x^2}}. \]

Se $x\to +\infty $, então $x\gt 0$ e $|x|=x$. Assim,

\[ \lim _{x\to +\infty }\frac{x}{\sqrt{9x^2+1}} =\lim _{x\to +\infty }\frac1{\sqrt{9+1/x^2}}=\frac13. \]

Se $x\to -\infty $, então $x\lt 0$ e $|x|=-x$. Nesse caso,

\[ \lim _{x\to -\infty }\frac{x}{\sqrt{9x^2+1}} =\lim _{x\to -\infty }\frac{-1}{\sqrt{9+1/x^2}}=-\frac13. \]

É o fator $|x|$, e não simplesmente $x$, que explica a diferença entre os dois limites.

Exemplo 8.20

Calcule $\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {5x^3+x^2-3}{2x^3-x+5}$.

Solução

Para $x\neq 0$, dividimos numerador e denominador por $x^3$:

\[ \frac{5x^3+x^2-3}{2x^3-x+5} = \frac{5+1/x-3/x^3}{2-1/x^2+5/x^3}. \]

Quando $x\to +\infty $, o numerador tende a $5$ e o denominador tende a $2\neq 0$. Pela regra do quociente,

\[ \lim \limits _{x\to \infty }\frac{5x^3+x^2-3}{2x^3-x+5}=\frac52. \]

Exemplo 8.21

Calcule $\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {5x^2+x-3}{4x^4-x+2}$.

Solução

Para $x\neq 0$, dividimos numerador e denominador por $x^4$:

\[ \frac{5x^2+x-3}{4x^4-x+2} = \frac{5/x^2+1/x^3-3/x^4}{4-1/x^3+2/x^4}. \]

O numerador tende a $0$ e o denominador a $4\neq 0$. Pela regra do quociente,

\[ \lim \limits _{x\to \infty }\frac{5x^2+x-3}{4x^4-x+2}=0. \]

Os limites no infinito também permitem comparar uma função com uma reta não horizontal. Se

\[ \lim _{x\to +\infty }\bigl(f(x)-(mx+b)\bigr)=0 \quad \text{ou}\quad \lim _{x\to -\infty }\bigl(f(x)-(mx+b)\bigr)=0, \]

a reta $y=mx+b$ é uma assíntota oblíqua na extremidade correspondente quando $m\neq 0$. O caso $m=0$ recupera uma assíntota horizontal.

Exercício 8.7 (Uma assíntota pode conter um ponto do gráfico)

A função está definida em toda a reta por

\[ f(x)=\begin{cases} (x-2)^{-2},& x\neq 2,\\ 1,& x=2.\end{cases} \]

As setas na parte superior da figura indicam a continuação dos ramos para fora da janela.

Determine os limites laterais em $2$ e compare-os com $f(2)$. O ponto $(2,1)$ impede que $x=2$ seja uma assíntota vertical?
Seria possível tornar $f$ contínua em $2$ mudando apenas seu valor nesse ponto? Explique por que “tender a $+\infty $” não fornece um valor real para preencher o ponto.

Ilustração: Propriedades dos limites infinitos e no infinito

Ver solução

a) Os dois limites laterais são $+\infty $, enquanto $f(2)=1$. O ponto isolado não altera o comportamento próximo de $2$, portanto $x=2$ é uma assíntota vertical. b) Não. Qualquer valor real atribuído em $2$ fica incompatível com valores próximos que ultrapassam toda cota fixa. O símbolo $+\infty $ descreve esse crescimento sem limite; não é um número real que possa ser usado como valor de uma função real contínua.

Exercício 8.8 (Infinito menos infinito não é conclusão)

Dê exemplos de funções $f$ e $g$ com $\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}g(x)=+\infty $ tais que $\lim _{x\to 0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)$:

seja $0$;
seja $5$;
seja $+\infty $;
não tenha limite, nem finito nem infinito.

O que esses exemplos mostram sobre a expressão $\infty -\infty $?

Ver solução

$f(x)=g(x)=1/x^2$.
$f(x)=1/x^2+5$ e $g(x)=1/x^2$.
$f(x)=2/x^2$ e $g(x)=1/x^2$.
$f(x)=1/x^2+\operatorname {sen}(1/x)$ e $g(x)=1/x^2$.

Os limites de $f$ e de $g$ não determinam o limite da diferença: $\infty -\infty $ é uma indeterminação.

Exercício 8.9 (Ter valores enormes não significa tender ao infinito)

Considere, para $x\geq 0$,

\[ f(x)=x(1+\operatorname {sen}x), \qquad g(x)=x+\operatorname {sen}x. \]

Mostre que $f$ é não negativa e ilimitada superiormente.
É verdade que $f(x)\to +\infty $ quando $x\to +\infty $? A função tem algum limite real nessa extremidade? Justifique escolhendo duas famílias de pontos.
Determine $\lim _{x\to +\infty }g(x)$ e compare o papel do termo $\operatorname {sen}x$ nas expressões de $f$ e de $g$.

Ver solução

Como $1+\operatorname {sen}x\geq 0$ e $x\geq 0$, temos $f(x)\geq 0$. Nos pontos $x_n=2n\pi $, vale

\[ f(x_n)=2n\pi \longrightarrow +\infty , \]

logo $f$ não é limitada superiormente.
Nos pontos $y_n=3\pi /2+2n\pi $, temos $y_n\to +\infty $, mas $f(y_n)=0$. Portanto, $f(x)$ não tende a $+\infty $. Também não pode ter limite real, pois $f(x_n)\to +\infty $, enquanto $f(y_n)=0$.
Como $-1\leq \operatorname {sen}x\leq 1$,

\[ x-1\leq g(x)\leq x+1. \]

Em particular, $g(x)\geq x-1\to +\infty $, e assim $g(x)\to +\infty $. Na primeira função, o fator oscilatório pode se anular e eliminar todo o crescimento de $x$; na segunda, a oscilação acrescenta uma parcela limitada e não impede o crescimento sem limite.

Exercício 8.10

Mostre, a partir da definição, que

\[ \lim _{x\to 3}\frac1{(x-3)^2}=+\infty . \]

Ver solução

Dado $M\gt 0$, tome $\delta =1/\sqrt M$. Se $0\lt |x-3|\lt \delta $, então $(x-3)^2\lt 1/M$ e, portanto, $1/(x-3)^2\gt M$.

Exercício 8.11

Calcule os limites laterais de $(x+1)/(x-2)$ em $x=2$ e identifique a assíntota vertical.

Ver solução

O numerador tende a $3\gt 0$. Assim,

\[ \lim _{x\to 2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty , \qquad \lim _{x\to 2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty . \]

Logo, $x=2$ é assíntota vertical. O limite bilateral não é $+\infty $ nem $-\infty $, pois os dois lados têm comportamentos opostos.

Exercício 8.12

Determine os pontos excluídos do domínio de

\[ g(x)=\frac{x^2-9}{(x-3)(x+1)}. \]

Explique por que $g$ é contínua em seu domínio. Estude os limites nos pontos excluídos e diga em qual deles é possível obter uma extensão contínua.

Ver solução

O domínio é $\mathbb {R}\setminus \{ -1,3\} $, e $g$ é contínua nesse domínio. Para $x$ pertencente a ele, $g(x)=(x+3)/(x+1)$. Assim, $\lim _{x\to 3}g(x)=3/2$: a extensão $\widetilde g$ é contínua em $\mathbb {R}\setminus \{ -1\} $ ao atribuir $\widetilde g(3)=3/2$. Em $x=-1$, os limites laterais são $-\infty $ à esquerda e $+\infty $ à direita; não há extensão contínua nesse ponto.

Exercício 8.13

Calcule os limites e determine as assíntotas pedidas.

$\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }\frac{3x^2-x}{5x^2+2}$.
$\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }\frac{x}{\sqrt{9x^2+1}}$.
$\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }\bigl(\sqrt{x^2+x}-x\bigr)$.
Determine, por limites, as assíntotas de $f(x)=(2x^2-3)/(x^2-x-6)$.

Ver solução

$3/5$.
$-1/3$, pois, para $x\lt 0$, $\sqrt{x^2}=|x|=-x$.
Racionalizando, $\sqrt{x^2+x}-x=x/(\sqrt{x^2+x}+x)\to 1/2$.
Como $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ e o numerador não se anula em $3$ nem em $-2$, as assíntotas verticais são $x=3$ e $x=-2$. Além disso, $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=2$, de modo que $y=2$ é a assíntota horizontal.

Exercício 8.14

Encontre as constantes $m$ e $b$ para as quais

\[ \lim _{x\to \infty }\left(mx+b-\frac{x^3+1}{x^2+1}\right)=0. \]

Explique o significado geométrico da reta $y=mx+b$.

Ver solução

A divisão polinomial fornece

\[ \frac{x^3+1}{x^2+1}=x+\frac{1-x}{x^2+1}. \]

Logo, a diferença tende a zero exatamente para $m=1$ e $b=0$. A reta $y=x$ é a assíntota oblíqua do gráfico quando $x\to \infty $; o mesmo cálculo mostra que ela também é assíntota quando $x\to -\infty $.

Exercício 8.15

Determine as assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, quando houver, de $f(x)=(2x^2-3x+1)/(x-1)$. Faça um esboço que seja compatível com seus resultados.

Ver solução

Como $2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$, temos $f(x)=2x-1$ para $x\neq 1$. O gráfico é essa reta com um ponto removido em $(1,1)$. Não há assíntotas verticais ou horizontais; $y=2x-1$ é a assíntota oblíqua.

Exercício 8.16

Encontre uma função afim $p(x)$ tal que a diferença entre $\dfrac {3x^3-2x+7}{x^2+4}$ e $p(x)$ tenda a zero tanto quando $x\to +\infty $ quanto quando $x\to -\infty $. Justifique.

Ver solução

A divisão polinomial fornece

\[ \frac{3x^3-2x+7}{x^2+4}=3x+\frac{-14x+7}{x^2+4}. \]

Logo, a função simples é $3x$, e a diferença tende a zero em ambas as extremidades.

Exercício 8.17 (Erro relativo pequeno não garante uma assíntota)

Para $x\gt 0$, considere

\[ f(x)=x+\sqrt{x}. \]

Calcule, quando $x\to +\infty $,

\[ \frac{f(x)}{x}, \qquad \frac{|f(x)-x|}{|f(x)|}, \qquad f(x)-x. \]
Uma pessoa afirma que $y=x$ é assíntota oblíqua porque o erro relativo da aproximação de $f(x)$ por $x$ tende a zero. Avalie o argumento pela definição de assíntota.
Existe alguma outra assíntota oblíqua para $f$ quando $x\to +\infty $? Justifique.

Ver solução

Temos

\[ \frac{f(x)}{x}=1+\frac1{\sqrt{x}}\longrightarrow 1, \]

\[ \frac{|f(x)-x|}{|f(x)|} =\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} =\frac1{\sqrt{x}+1}\longrightarrow 0, \]

mas $f(x)-x=\sqrt{x}\to +\infty $.
O argumento é incorreto: para que $y=x$ seja assíntota oblíqua, a diferença $f(x)-x$ deve tender a zero, não apenas ser pequena em comparação com o valor de $f(x)$.
Se $f(x)-(mx+b)\to 0$, dividindo por $x$ e usando $x\to +\infty $, obtemos

\[ 1+\frac1{\sqrt{x}}-m-\frac bx\longrightarrow 0, \]

o que exige $m=1$. Mas, para essa inclinação,

\[ f(x)-(x+b)=\sqrt{x}-b\longrightarrow +\infty , \]

independentemente de $b$. Portanto, nenhuma reta é assíntota oblíqua nessa extremidade.

Exercício 8.18

Considere, para $a\neq 0$ e $b\neq 0$, a equação

\[ ax^2-bx+c=0, \]

em que $b$ e $c$ permanecem fixos enquanto $a\to 0$.

Mostre que as raízes são reais para $a$ suficientemente próximo de zero. Identifique uma delas, $r_1(a)$, e prove que $r_1(a)\to c/b$.
Para a outra raiz, $r_2(a)$, mostre que $|r_2(a)|\to +\infty $ e determine uma expressão simples $h(a)$ tal que $r_2(a)/h(a)\to 1$ quando $a\to 0$.
Explique por que isso é compatível com a equação limite $-bx+c=0$.

Ver solução

Para $a$ suficientemente próximo de $0$, o discriminante $\Delta =b^2-4ac$ é positivo, pois $b\neq 0$. Na fórmula quadrática, escolhemos a raiz cujo numerador tende a zero: o sinal de menos quando $b\gt 0$ e o de mais quando $b\lt 0$. Multiplicando pelo conjugado, obtemos

\[ r_1= \begin{cases} \dfrac {2c}{b+\sqrt{\Delta }},& b\gt 0,\\[5pt] \dfrac {2c}{b-\sqrt{\Delta }},& b\lt 0. \end{cases} \]

Como $\sqrt{\Delta }\to |b|$, o denominador tende a $2b$ em ambos os casos; portanto, $r_1\to c/b$.

Pela soma das raízes, $r_2=b/a-r_1$. Como $r_1$ permanece limitada,

\[ \frac{r_2}{b/a}=1-\frac{ar_1}{b}\longrightarrow 1. \]

Logo, $r_2$ cresce em módulo sem limite e tem o mesmo comportamento dominante de $b/a$. A equação limite, $-bx+c=0$, conserva apenas a raiz finita $c/b$.

Exercício 8.19

Os modelos abaixo descrevem três respostas com saturação:

\[ c(N)=\frac{12N}{5+N},\qquad P(I)=\frac{18I}{120+I},\qquad V(s)=\frac{3{,}6s}{2+s}. \]

Aqui, $c$ é o consumo de presas por um predador em função da densidade $N$; $P$ é uma taxa de fotossíntese em função da intensidade luminosa $I$; e $V$ é o consumo de oxigênio durante exercício em função da intensidade $s$. Neste exercício, as variáveis e as respostas são adimensionais: cada grandeza foi dividida por uma referência positiva fixa em sua unidade física. Consideramos $N,I,s\geq 0$.

Determine o limite de cada função quando sua variável tende a $+\infty $ e interprete os três resultados.
Em que valor da respectiva variável cada resposta atinge metade de seu valor-limite?
Identifique a forma comum $Ax/(B+x)$ e explique os papéis de $A$ e $B$.

Ver solução

Os limites são, respectivamente, $12$, $18$ e $3{,}6$. Em cada caso, o valor representa o platô previsto pelo modelo na escala normalizada.
As metades dos platôs são atingidas quando $N=5$, $I=120$ e $s=2$.
Em $Ax/(B+x)$, o parâmetro $A$ é o valor-limite e $B$ é o valor da variável no qual a resposta vale $A/2$.

Exercício 8.20

A corrente de um circuito é $I(R)=12/R$ A, onde $R\gt 0$ é a resistência em ohms. Interprete $\lim _{R\to 0^+}I(R)$ e $\lim _{R\to \infty }I(R)$, apontando a limitação física do modelo quando $R\to 0^+$.

Ver solução

$\lim _{R\to 0^+}I(R)=+\infty $ e $\lim _{R\to \infty }I(R)=0$. A primeira previsão não é fisicamente realizável: a fonte e os condutores possuem resistência interna e limites de corrente, ignorados pelo modelo $12/R$.

8.3 O número $e$ e as funções exponencial e logarítmica

Que valor resulta de elevar a uma potência cada vez maior uma base que se aproxima de $1$? Estudaremos a combinação em que a base é $1+1/x$ e o expoente é $x$, quando $x\to +\infty $, e veremos como esse limite conduz a uma base especial para a exponencial e o logaritmo.

No estudo das funções exponenciais, anunciamos que o número $e$ seria construído por meio de um limite. Vamos agora justificar a existência desse limite, utilizando a desigualdade de Bernoulli e a completude dos números reais, apresentada no Capítulo 1.

Teorema 8.22 (Segundo Limite Fundamental)

Existe um número real $e$, com $2\leq e\lt 3$, tal que

\[ \lim \limits _{x\to \infty }\left(1+\frac1x\right)^x=e. \]

Esse número, aproximadamente $2{,}71828$, é o número de Euler, também chamado número de Neper.

Demonstração ▼

Começamos pelos valores inteiros de $x$, considerando a sequência $a_n=(1+1/n)^n$, para $n\geq 1$. Para demonstrar sua convergência, será conveniente estudar a sequência auxiliar

\[ b_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1} =\left(1+\frac1n\right)a_n. \]

Essa escolha tem uma vantagem: mostraremos que $(b_n)$ é decrescente e limitada inferiormente, de modo que a completude garante sua convergência. Depois, bastará retirar o fator $1+1/n$, que tende a $1$.

Comparando dois termos consecutivos e aplicando a desigualdade de Bernoulli, obtemos

\[ \begin{aligned} \frac{b_n}{b_{n+1}} & =\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}\\[3pt]& =\frac{n+1}{n+2}\left(1+\frac1{n(n+2)}\right)^{n+1}\\[3pt]& \geq \frac{n+1}{n+2}\left(1+\frac{n+1}{n(n+2)}\right)\\[3pt]& =1+\frac1{n(n+2)^2}\gt 1. \end{aligned} \]

Portanto, $b_{n+1}\lt b_n$, e a sequência é decrescente. Como todos os termos são maiores que $1$, ela é também limitada inferiormente. Pela completude, converge para um número real, que denotaremos por $e$.

Voltamos agora à sequência inicial. Como $b_n\leq b_1=4$, temos $0\lt b_n-a_n=b_n/(n+1)\leq 4/(n+1)$. Essa diferença se torna arbitrariamente pequena. Como $b_n\to e$, também $a_n\to e$. Além disso, a desigualdade de Bernoulli fornece $a_n\geq 1+n(1/n)=2$, logo $e\geq 2$. Por outro lado, como $(b_n)$ é decrescente, temos $e\leq b_5=(6/5)^6\lt 3$.

Resta mostrar que o mesmo limite é obtido quando $x$ assume valores reais. Para $x\geq 1$, escolha o inteiro $n$ tal que $n\leq x\lt n+1$. Temos então $1+1/(n+1)\leq 1+1/x\leq 1+1/n$. Como essas bases são maiores que $1$, podemos comparar também os expoentes e concluir que

\[ \left(1+\frac1{n+1}\right)^n \leq \left(1+\frac1x\right)^x \leq \left(1+\frac1n\right)^{n+1}. \]

Quando $x\to +\infty $, também $n\to \infty $. O extremo direito é $b_n$, que tende a $e$. O extremo esquerdo pode ser escrito como $a_{n+1}/(1+1/(n+1))$, que igualmente tende a $e$.

Assim, dado $\varepsilon \gt 0$, existe um inteiro $N$ tal que, para todo $n\geq N$, os dois extremos da desigualdade pertencem ao intervalo $(e-\varepsilon ,e+\varepsilon )$. Para $x\geq N$, o inteiro escolhido satisfaz $n\geq N$; logo, a expressão central também pertence a esse intervalo. Portanto,

\[ \lim \limits _{x\to \infty }\left(1+\frac1x\right)^x=e. \]

Isso conclui a demonstração.

Figura 8.7 lim _(x→ ∞ ) ( 1+(1)/(x) )^x=e — Figura 8.7 $\lim \limits _{x\to \infty } \left( 1+\dfrac {1}{x} \right)^x=e$

Exemplo 8.23

Calcule $\lim \limits _{x\to \infty } \left( 1+\dfrac {5}{x} \right)^x$.

Solução

Queremos reconhecer a expressão $(1+1/t)^t$, cujo limite é $e$. Para transformar $5/x$ em $1/t$, tomamos $t=\dfrac {x}{5}$; assim, $x=5t$ e $t\to +\infty $ quando $x\to +\infty $. Obtemos:

\begin{align*} \lim \limits _{x\to \infty } \left( 1+\dfrac {5}{x} \right)^x & = \lim \limits _{t \rightarrow \infty } \left( 1+\dfrac {1}{t} \right)^{5t} \\ & = \left( \lim \limits _{t \rightarrow \infty } \left( 1+\dfrac {1}{t} \right)^{t}\right)^5 \\ & = e^5 \end{align*}

Exemplo 8.24

Calcule $\lim \limits _{x\to \infty } \left(\dfrac {x}{x+1} \right)^x$.

Solução

Dividindo o numerador e o denominador por $x$, temos:

\begin{align*} \lim \limits _{x\to \infty } \left(\dfrac {x}{x+1} \right)^x & = \lim \limits _{x\to \infty } \left(\dfrac {1}{1+\dfrac {1}{x}} \right)^x \\ & = \lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {1}{\left(1+\dfrac {1}{x}\right)^x} \\ & = e^{-1} \end{align*}

Definição 8.4

O logaritmo natural, introduzido na Seção 4.3, é a função inversa da exponencial de base $e$, constante que acabamos de obter como limite. Assim,

\[ \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R},\qquad \ln x=y\quad \Longleftrightarrow \quad e^y=x. \]

O gráfico da função logaritmo natural está representado abaixo:

$Ilustração: O número $e$ e as funções exponencial e logarítmica$

Figura 8.8 Gráficos de $y=\ln x$ e $y=e^x$, simétricos em relação à reta $y=x$.

Teorema 8.25 (Continuidade das funções exponencial e logarítmica)

Para $c\gt 0$, a função $x\mapsto c^x$ é contínua em $\mathbb {R}$. Para $c\gt 0$ e $c\neq 1$, a função $x\mapsto \log _c x$ é contínua em $(0,\infty )$.

Demonstração ▼

Suponha primeiro $c\gt 1$. Dado $\varepsilon \gt 0$, escolha um inteiro $n$ tão grande que

\[ \frac{c-1}{n}\lt \varepsilon . \]

Escreva $u=c^{1/n}-1\gt 0$. Pela desigualdade de Bernoulli,

\[ c=(1+u)^n\geq 1+nu, \]

de modo que

\[ 0\lt u\leq \frac{c-1}{n}\lt \varepsilon . \]

Além disso,

\[ 0\lt 1-c^{-1/n}=\frac{u}{1+u}\lt u\lt \varepsilon . \]

Se $|h|\lt 1/n$, a monotonicidade da função exponencial dá

\[ c^{-1/n}\leq c^h\leq c^{1/n}, \]

e portanto $|c^h-1|\lt \varepsilon $. Assim,

\[ \lim _{h\to 0}c^h=1. \]

Como $c^{a+h}=c^a c^h$, segue que $c^{a+h}\to c^a$, provando a continuidade em qualquer $a\in \mathbb {R}$.

Se $0\lt c\lt 1$, escrevemos $c^x=1/(1/c)^x$ e usamos o caso anterior e a regra do quociente. Para $c=1$, a função é constante.

Resta justificar que a exponencial atinge todos os valores positivos, como anunciamos no capítulo de funções exponenciais. Para $c\gt 1$, já vimos que $c^x$ cresce sem limite quando $x\to +\infty $; quando $x\to -\infty $, temos $c^x=1/c^{-x}\to 0$. Se $0\lt c\lt 1$, os dois comportamentos se invertem. Assim, dado $y\gt 0$, podemos escolher $u\lt v$ de modo que $y$ fique entre $c^u$ e $c^v$. Pela continuidade demonstrada e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $x\in [u,v]$ com $c^x=y$.

Portanto, para $c\neq 1$, a exponencial é uma bijeção contínua e estritamente monótona de $\mathbb {R}$ em $(0,\infty )$. Pelo Teorema 7.37, sua inversa $\log _c$ é contínua em $(0,\infty )$.

Em particular, tomando $c=e$, tanto $e^x$ quanto $\ln x$ são contínuas em seus respectivos domínios.

Teorema 8.26 (Terceiro Limite Fundamental)

Para $a\gt 0$, temos $\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$.

Demonstração ▼

Comecemos pela relação

\[ \lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u}=e. \]

Para $u\to 0^+$, isso é o segundo limite fundamental com $x=1/u$. Para $u\to 0^-$, ponha $v=-u/(1+u)\gt 0$. Então $v\to 0^+$ e

\[ (1+u)^{1/u}=(1+v)^{(1+v)/v} =(1+v)^{1/v}(1+v)\longrightarrow e. \]

Pela continuidade do logaritmo,

\[ \frac{\ln (1+u)}u=\ln \bigl((1+u)^{1/u}\bigr)\longrightarrow \ln e=1.\index{logaritmo!limite fundamental|hyperpage} \]

Se $a=1$, o quociente do enunciado é zero e a conclusão é imediata. Para $a\gt 0$, $a\neq 1$, faça $u=a^x-1$. A continuidade da exponencial garante $u\to 0$ quando $x\to 0$, e $u\neq 0$ se $x\neq 0$. Além disso, $x=\ln (1+u)/\ln a$, de modo que

\[ \frac{a^x-1}{x} =\ln a\, \frac{u}{\ln (1+u)} \longrightarrow \ln a. \]

Figura 8.9 lim _(x→ 0)(2^x-1)/(x)= ln 2. — Figura 8.9 $\lim \limits _{x\to 0}\dfrac {2^x-1}{x}= \ln 2.$

Exemplo 8.27

Calcule o limite $\lim \limits _{x\to 2} \dfrac {3^{\frac{x-2}{5}}-1}{x-2}$.

Solução

Fazendo $t=(x-2)/5$, temos $x-2=5t$ e $t\to 0$. Portanto,

\[ \lim \limits _{x\to 2}\frac{3^{(x-2)/5}-1}{x-2} = \lim \limits _{t \rightarrow 0}\frac{3^t-1}{5t} = \frac15\lim \limits _{t \rightarrow 0}\frac{3^t-1}{t} = \frac{\ln 3}{5}, \]

pelo Teorema 8.26 com $a=3$.

8.3.1 Juro composto

Considere um capital inicial $C\gt 0$, aplicado por $k$ anos a uma taxa nominal anual $r\geq 0$, escrita em forma decimal. Nos juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial, e o montante é $C(1+rk)$.

Nos juros compostos, cada parcela de juros é incorporada ao saldo antes do período seguinte. Se a capitalização ocorre $n$ vezes por ano, a taxa de cada período é $r/n$. Depois de $nk$ períodos, o montante é

\[ M_n=C\left(1+\frac rn\right)^{nk}. \]

Quando aumentamos a frequência de capitalização,

\[ M_n =C\left[\left(1+\frac rn\right)^n\right]^k \longrightarrow Ce^{rk}. \]

O valor $Ce^{rk}$ corresponde ao modelo idealizado de capitalização contínua. O limite não afirma que instituições financeiras capitalizem infinitas vezes por ano; ele descreve o valor para o qual convergem os regimes com períodos cada vez menores.

8.3.2 Crescimento demográfico

Denote por $P_0\gt 0$ a população inicial e suponha que a taxa de crescimento por unidade de população seja uma constante $\lambda \gt 0$, medida em anos inversos. Essa hipótese já é uma idealização: populações reais sofrem variações de recursos, migração, mortalidade e natalidade.

Para estimar a população depois de $t$ anos, divida o intervalo de tempo em $n$ partes iguais. Em cada parte, o incremento relativo é aproximadamente $\lambda t/n$; por isso,

\[ P_n(t)\approx P_0\left(1+\frac{\lambda t}{n}\right)^n. \]

Para $t\gt 0$, escrevemos

\[ \left(1+\frac{\lambda t}{n}\right)^n = \left[ \left(1+\frac{1}{n/(\lambda t)}\right)^{n/(\lambda t)} \right]^{\lambda t}. \]

Quando as subdivisões se tornam cada vez mais finas, o Segundo Limite Fundamental mostra que a expressão entre colchetes se aproxima de $e$. Assim, o modelo contínuo é

\[ P(t)=P_0e^{\lambda t}. \]

Para $t=0$, a mesma fórmula fornece $P(0)=P_0$. O mesmo padrão matemático aparece na capitalização contínua: em ambos os casos, a taxa instantânea de variação é proporcional ao valor da grandeza no instante considerado. Se a constante de proporcionalidade for negativa, o modelo descreve decaimento exponencial, como em uma primeira aproximação para a massa de uma substância radioativa.

Exercício 8.21 (Muitos fatores próximos de um)

Em um processo idealizado, uma quantidade inicial $Q_0\gt 0$ passa por $n$ etapas. Cada etapa multiplica a quantidade por $1+c/n$, com $c\gt 0$ fixo. Assim,

\[ Q_n=Q_0\left(1+\frac cn\right)^n. \]

Uma pessoa argumenta que $Q_n\to Q_0$, porque cada fator tende a $1$. O que esse argumento deixa de considerar? Determine o limite correto.
Se cada fator fosse $1+c/n^2$, mantendo as $n$ etapas, qual seria o limite da quantidade final? Use $\lim _{u\to 0}\ln (1+u)/u=1$ para justificar a diferença entre os dois regimes.

Ver solução

a) O número de fatores também cresce. O limite fundamental dá $Q_n\to Q_0e^c$, que é maior que $Q_0$. b) Se $\widetilde Q_n=Q_0(1+c/n^2)^n$, então

\[ \ln \frac{\widetilde Q_n}{Q_0} =\frac cn\, \frac{\ln (1+c/n^2)}{c/n^2}\longrightarrow 0. \]

Logo, $\widetilde Q_n\to Q_0$. No primeiro modelo, a soma dos incrementos relativos por etapa é $c$; no segundo, é $c/n\to 0$, o que explica a diferença de escala.

Exercício 8.22 (Quanto tempo leva para dobrar? A regra do $70$)

Mostre que um capital inicial $C\gt 0$, aplicado à taxa contínua $r\gt 0$ ao ano, dobra em $T=\dfrac {\ln 2}r$ anos.
Como $\ln 2\approx 0{,}693$, explique a regra prática “o tempo de duplicação é aproximadamente $70$ dividido pela taxa percentual”.
No modelo $M(t)=C(1{,}07)^t$, com $t\ge 0$ medido em anos, compare o tempo de duplicação $\ln 2/\ln 1{,}07$ com a regra prática. Por que a regra funciona melhor para taxas pequenas?

Ver solução

$Ce^{rT}=2C\Longleftrightarrow rT=\ln 2$.
Com a taxa em porcentagem, $p=100r$, temos $T=\dfrac {69{,}3}p\approx \dfrac {70}p$.
$\ln 2/\ln 1{,}07\approx 10{,}24$ anos, contra $10$ pela regra. A regra usa $\ln (1+r)\approx r$, aproximação que vem do limite $\ln (1+r)/r\to 1$ quando $r\to 0$; por isso é melhor para $r$ pequeno.

Exercício 8.23

Calcule os três limites usando os resultados fundamentais associados a $e$ e ao logaritmo. No último item, aplique o modelo de capitalização contínua.

$\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }\left(1+\frac3x\right)^{2x}$.
$\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{x}$.
$\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}\frac{\ln (1+5x)}{x}$.
Um capital de R\$ 1.000,00 é aplicado por dois anos à taxa contínua de $4\% $ ao ano. Determine o montante exato e uma aproximação em centavos.

Ver solução

$e^6$.
$3$.
$5$.
$1000e^{0{,}08}\approx \text{R\$ \, 1.083,29}$.

Exercício 8.24

Um capital de $\text{R\$ }\, 10\, 000$ é aplicado por $3$ anos a uma taxa nominal anual de $6\% $. Determine o montante previsto pelo modelo de capitalização contínua.

Ver solução

Com $C=10\, 000$, $r=0{,}06$ e $k=3$,

\[ M=Ce^{rk}=10\, 000e^{0{,}18}\approx R\$ \, 11\, 972{,}17. \]

Exercício 8.25

Um capital inicial $C\gt 0$ é aplicado por um ano a uma taxa nominal anual $r\gt 0$. Compare os montantes correspondentes à capitalização anual, mensal e contínua, mantendo a mesma taxa nominal.

Ver solução

Os três montantes são, respectivamente,

\[ C(1+r),\qquad C\left(1+\frac r{12}\right)^{12}, \qquad Ce^r. \]

A desigualdade de Bernoulli, estrita neste caso, dá

\[ \left(1+\frac r{12}\right)^{12}\gt 1+r. \]

Para comparar os dois últimos regimes, observe que

\[ \left(1+\frac r{24}\right)^2 =1+\frac r{12}+\frac{r^2}{576} \gt 1+\frac r{12}, \]

de onde

\[ \left(1+\frac r{24}\right)^{24} \gt \left(1+\frac r{12}\right)^{12}. \]

Além disso, para todo inteiro $k\ge 1$, Bernoulli fornece

\[ \left(1+\frac r{24k}\right)^k\ge 1+\frac r{24}. \]

Elevando ambos os membros à potência $24$ e fazendo $k\to \infty $, concluímos que

\[ e^r\ge \left(1+\frac r{24}\right)^{24} \gt \left(1+\frac r{12}\right)^{12}. \]

Portanto,

\[ C(1+r)\lt C\left(1+\frac r{12}\right)^{12}\lt Ce^r. \]

O montante é maior quando a frequência de capitalização aumenta, sob a mesma taxa nominal anual positiva.

Exercício 8.26

Calcule os dois limites laterais de $e^{1/x}$ quando $x\to 0^+$ e $x\to 0^-$, e explique por que não há limite bilateral em zero.

Ver solução

$\lim _{x\to 0^+}e^{1/x}=+\infty $ e $\lim _{x\to 0^-}e^{1/x}=0$. Como os comportamentos laterais diferem, não há limite bilateral em $0$.

Exercício 8.27

A razão entre a massa de um medicamento no instante $t$ e a massa inicial é $M(t)/M(0)=e^{-0{,}18t}$, com $t$ em horas e a constante $0{,}18$ medida em $\mathrm{h}^{-1}$. Determine o limite de $M(t)/M(0)$ quando $t\to \infty $ e o instante em que resta $10\% $ da dose inicial.

Ver solução

A razão tende a $0$. Para obter $10\% $, $e^{-0{,}18t}=0{,}1$, de onde $t=\ln (10)/0{,}18\approx 12{,}79$ horas.

Limites infinitos e no infinito

8.1 Limites no infinito

8.2 Limites infinitos

8.2.1 Propriedades dos limites infinitos e no infinito

Comparação e recíproco.

Somas: qual termo domina?

Produtos: o sinal decide.

Limites finitos quando a variável tende ao infinito.

Como escolher a regra.

8.3 O número \(e\) e as funções exponencial e logarítmica

8.3.1 Juro composto

8.3.2 Crescimento demográfico