Capítulo 8

Limites Infinitos e no Infinito

Segure o infinito na palma da mão e a eternidade em uma hora.
William Blake, Augúrios da Inocência
O estudo anterior tratou de aproximações a pontos e valores reais. Ampliaremos essa linguagem para descrever duas situações: a variável pode crescer em módulo sem limite, ou os valores da função podem fazê-lo quando a variável se aproxima de um ponto. Distinguir essas situações será essencial para interpretar o comportamento dos gráficos.

8.1 Limites no Infinito

Considere a função \(f(x)= \dfrac {x}{x^2+1}\), cujo gráfico é apresentado na Figura 8.1.

Figura 8.1 Gráfico de f(x)=(x)/(x^2+1).

Figura 8.1 Gráfico de \(f(x)=\dfrac {x}{x^2+1}\).

Podemos observar que, à medida que os valores de \(x\) crescem, os valores da função se aproximam de \(0\). Denotaremos tal fato por

\[ \lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {x}{x^2+1}=0 \]

Por outro lado, quando \(x\) assume valores negativos cada vez maiores em módulo, os valores da função também se aproximam de \(0\). Denotaremos tal fato por

\[ \lim \limits _{x\to -\infty } \dfrac {x}{x^2+1}=0 \]

Podemos modificar a noção de limite anterior de modo a lidar com esses casos. A modificação essencial é formalizar a afirmação de que “se \(x\) é suficientemente grande” por meio de “existe \(M\gt 0\) tal que, se \(x\gt M\)”.

Definição 8.1 (Limite quando \(x\to +\infty \))
Seja \(f\) definida para todo \(x\gt c\), para algum \(c\in \mathbb {R}\), e seja \(L\in \mathbb {R}\). Dizemos que
\[ \lim _{x\to +\infty }f(x)=L \]
se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(M\gt 0\) tal que
\[ x\gt M\quad \Longrightarrow \quad |f(x)-L|\lt \varepsilon . \]

Definição 8.2 (Limite quando \(x\to -\infty \))
Seja \(f\) definida para todo \(x\lt c\), para algum \(c\in \mathbb {R}\), e seja \(L\in \mathbb {R}\). Dizemos que
\[ \lim _{x\to -\infty }f(x)=L \]
se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(M\gt 0\) tal que
\[ x\lt -M\quad \Longrightarrow \quad |f(x)-L|\lt \varepsilon . \]

Geometricamente, se \(\lim _{x\to +\infty }f(x)=L\) ou \(\lim _{x\to -\infty }f(x)=L\), a reta \(y=L\) é uma assíntota horizontal do gráfico na extremidade correspondente. O limite deve ser analisado separadamente em \(+\infty \) e \(-\infty \), pois os resultados podem ser diferentes.

Exemplo 8.1
Mostre a partir da definição que \(\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {1}{x}=0\).

Solução
Queremos mostrar que existe \(M\) tal que, se \(x\gt M\), \(\left\lvert f(x)\right\rvert \lt \varepsilon \). Para tanto, começaremos determinando quando \(\left\lvert f(x)\right\rvert \lt \varepsilon \). Como estamos interessados no comportamento no infinito, podemos supor sem perda de generalidade que \(x\gt 0\), e, assim, temos que a desigualdade \(\frac{1}{x}\lt \varepsilon \) é equivalente a \(x\gt \frac{1}{\varepsilon }\). Assim, escolhemos \(M=\frac{1}{\varepsilon }\). Quando \(x\gt M\), então \(x\gt \frac{1}{\varepsilon }\) e, assim, \(0\lt \frac{1}{x}\lt \varepsilon \). Isso prova que \(\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {1}{x}=0\).

Exemplo 8.2
Mostre a partir da definição que \(\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {1}{\sqrt{x}}=0\).

Solução
Queremos mostrar que existe \(M\) tal que, se \(x\gt M\), \(\left\lvert f(x)\right\rvert \lt \varepsilon \). Para tanto, começaremos determinando quando \(\left\lvert f(x)\right\rvert \lt \varepsilon \). Como estamos interessados no comportamento no infinito, podemos supor sem perda de generalidade que \(x\gt 0\), e, assim, temos que a desigualdade \(\frac{1}{\sqrt{x}}\lt \varepsilon \) é equivalente a \(x\gt \frac{1}{\varepsilon ^2}\). Assim, escolhemos \(M=\frac{1}{\varepsilon ^2 }\). Quando \(x\gt M\), então \(x\gt \frac{1}{\varepsilon ^2}\) e, assim, \(0\lt \frac{1}{\sqrt{x}}\lt \varepsilon \). Isso prova que \(\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {1}{\sqrt{x}}=0\).

Exemplo 8.3 (Quando uma enzima está praticamente saturada)
Em um ensaio, observa-se que a velocidade de uma reação enzimática se aproxima de \(80\, \mu \mathrm{mol/min}\) quando a concentração \(S\) do substrato aumenta. Para \(S=2\), a velocidade medida é \(40\, \mu \mathrm{mol/min}\). Adote um modelo de saturação da forma
\[ v(S)=\frac{aS}{b+S},\qquad S\geq 0,\quad a,b\gt 0. \]
Determine \(a\) e \(b\). O laboratório considera a enzima praticamente saturada quando sua velocidade atinge pelo menos \(95\% \) da velocidade limite. Qual é a menor concentração que satisfaz esse critério? A velocidade limite é atingida para alguma concentração finita?

Solução

Dividindo numerador e denominador por \(S\), vemos que \(\lim _{S\to \infty }v(S)=a\). A primeira observação fornece, portanto, \(a=80\). Usando a medida realizada em \(S=2\),

\[ 40=\frac{80\cdot 2}{b+2}, \]

de onde \(b=2\). Assim, o modelo calibrado é

\[ v(S)=\frac{80S}{S+2}. \]

A condição de saturação prática é \(v(S)\geq 0{,}95\cdot 80=76\). Como \(S+2\gt 0\),

\[ \frac{80S}{S+2}\geq 76 \quad \Longleftrightarrow \quad 80S\geq 76S+152 \quad \Longleftrightarrow \quad S\geq 38. \]

Por outro lado,

\[ 80-v(S)=\frac{160}{S+2}\gt 0 \]

para todo \(S\) finito. A velocidade pode ficar tão próxima de \(80\, \mu \mathrm{mol/min}\) quanto se queira, mas nunca atinge exatamente esse valor no modelo.

Ilustração: Limites no Infinito
Figura 8.2 O modelo tende ao platô \(80\); o nível de \(95\% \) é atingido em \(S=38\).

Exercício 8.1
Mostre, a partir da definição, que
\[ \lim _{x\to +\infty }\frac{3}{x+2}=0. \]
Ver solução
Dado \(\varepsilon \gt 0\), tome \(M=3/\varepsilon \). Se \(x\gt M\), então \(x+2\gt x\gt M\) e
\[ 0\lt \frac3{x+2}\lt \frac3x\lt \varepsilon . \]

Exercício 8.2
Determine as assíntotas horizontais de
\[ f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}, \]
analisando separadamente \(x\to +\infty \) e \(x\to -\infty \).
Ver solução
Para \(x\gt 0\),
\[ f(x)=\frac2{\sqrt{1+1/x^2}}\longrightarrow 2. \]
Para \(x\lt 0\), usamos \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\):
\[ f(x)=-\frac2{\sqrt{1+1/x^2}}\longrightarrow -2. \]
As assíntotas horizontais são \(y=2\) à direita e \(y=-2\) à esquerda.

8.2 Limites Infinitos

Nos limites no infinito, acompanhamos a função quando a variável se afasta indefinidamente da origem. Também pode ocorrer que os valores da função cresçam sem limite quando a variável se aproxima de um ponto finito. É o que acontece no Exercício Resolvido 7.5: o limite \(\lim \limits _{x\to 0}\dfrac {1}{\left\lvert x\right\rvert }\) não existe como número real, mas seu comportamento pode ser descrito por um limite infinito.

Figura 8.3 A função 1/|x| não tem limite finito quando x tende a zero.

Figura 8.3 A função \(1/|x|\) não tem limite finito quando \(x\) tende a zero.
Para \(x\neq 0\) suficientemente próximo de zero, o valor de \(1/\left\lvert x\right\rvert \) pode ultrapassar qualquer número real positivo. Esse comportamento é expresso pela notação de limite infinito.

Considere também os limites laterais de \(7/(x-4)\) quando \(x\) se aproxima de \(4\).

Figura 8.4 Limite infinito indicado pelo crescimento sem cota do gráfico.

Figura 8.4 Limite infinito indicado pelo crescimento sem cota do gráfico.
A partir da Figura 8.4 podemos observar que, quando \(x\) tende a \(4\) pela direita, isto é, por valores maiores que \(4\), a função \(\dfrac {7}{x-4}\) cresce indefinidamente, tomando valores arbitrariamente grandes. Quando \(x\) tende a \(4\) pela esquerda, isto é, por valores menores que \(4\), a função \(\dfrac {7}{x-4}\) decresce indefinidamente, tomando valores arbitrariamente grandes e negativos. Representamos esses comportamentos por:

\[ \lim \limits _{x\to 4^+}\dfrac {7}{x-4}=\infty \quad \text{ e }\quad \lim \limits _{x\to 4^-}\dfrac {7}{x-4}=-\infty \]

Definição 8.3 (Limites infinitos)
Seja \(f\) uma função definida em uma vizinhança de \(a\), exceto possivelmente no próprio ponto \(a\). Dizemos que
\[ \lim _{x\to a}f(x)=+\infty \]
se, para todo \(M\gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que
\[ 0\lt |x-a|\lt \delta \quad \Longrightarrow \quad f(x)\gt M. \]
Analogamente, dizemos que
\[ \lim _{x\to a}f(x)=-\infty \]
se, para todo \(M\gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que
\[ 0\lt |x-a|\lt \delta \quad \Longrightarrow \quad f(x)\lt -M. \]
Para o limite pela direita, substituímos \(0\lt |x-a|\lt \delta \) por \(0\lt x-a\lt \delta \); para o limite pela esquerda, usamos \(0\lt a-x\lt \delta \). Em cada caso, basta que \(f\) esteja definida no intervalo lateral correspondente. A desigualdade sobre \(f(x)\) permanece \(f(x)\gt M\) para \(+\infty \) e \(f(x)\lt -M\) para \(-\infty \).

Se pelo menos um dos limites laterais de \(f(x)\) quando \(x\to a\) é \(+\infty \) ou \(-\infty \), a reta \(x=a\) é uma assíntota vertical do gráfico. O sinal e o lado de aproximação descrevem para qual direção cada ramo se afasta.

Para definir limites infinitos quando \(x\) tende ao infinito, usamos um limiar \(A\gt 0\). Para todo \(M\gt 0\), deve existir \(A\gt 0\) de modo que:

  • \(x\gt A\Longrightarrow f(x)\gt M\), no caso \(\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty \);

  • \(x\gt A\Longrightarrow f(x)\lt -M\), no caso \(\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty \);

  • \(x\lt -A\Longrightarrow f(x)\gt M\), no caso \(\lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty \);

  • \(x\lt -A\Longrightarrow f(x)\lt -M\), no caso \(\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \).

Supomos, em cada caso, que o domínio de \(f\) contém a semirreta considerada.

Exemplo 8.4
Mostre que \(\lim \limits _{x\to \infty }x=\infty \).

Solução
Pela definição, dado \(M\gt 0\), devemos encontrar \(A\gt 0\) tal que \(x\gt A\) implique \(x\gt M\). Basta escolher \(A=M\).

Exemplo 8.5
Mostre que \(\lim \limits _{x\to \infty }x^2=\infty \).

Solução
Dado \(M\gt 0\), escolhemos \(A=\sqrt{M}\). Se \(x\gt A\), então \(x^2\gt M\), como desejado.

Exemplo 8.6 (Até onde a paisagem permanece nítida?)
Para uma configuração fixa de câmera, lente e abertura, seja \(H\) uma constante positiva. Se a câmera estiver focalizada a uma distância \(s\), com \(0\lt s\lt H\), um modelo aproximado fornece as extremidades da região considerada aceitavelmente nítida:
\[ d_{\mathrm{perto}}(s)=\frac{Hs}{H+s}, \qquad d_{\mathrm{longe}}(s)=\frac{Hs}{H-s}. \]
Em uma fotografia de teste focalizada a \(8\) metros, o ponto mais distante considerado nítido estava a \(24\) metros. Determine \(H\) e investigue o que ocorre com as duas extremidades quando \(s\to H^-\). Nessa configuração, uma pedra situada a \(5\) metros e o horizonte podem aparecer simultaneamente nítidos?

Figura 8.5 Esquema da região de profundidade de campo no modelo fotográfico.

Figura 8.5 Esquema da região de profundidade de campo no modelo fotográfico.

Solução

A fotografia de teste fornece

\[ 24=\frac{8H}{H-8}. \]

Logo, \(24H-192=8H\) e \(H=12\) metros. Consequentemente,

\[ \lim _{s\to 12^-}\frac{12s}{12+s}=6, \qquad \lim _{s\to 12^-}\frac{12s}{12-s}=+\infty . \]

Ao focalizar progressivamente mais perto de \(H\), o extremo distante da região nítida se afasta indefinidamente, enquanto o extremo próximo tende a \(6\) metros. A pedra situada a \(5\) metros fica fora dessa região; portanto, ela e o horizonte não podem aparecer simultaneamente nítidos nessa configuração segundo o modelo.

Ilustração: Limites Infinitos

Exercício 8.3
Mostre, a partir da definição, que
\[ \lim _{x\to 3}\frac1{(x-3)^2}=+\infty . \]
Ver solução
Dado \(M\gt 0\), tome \(\delta =1/\sqrt M\). Se \(0\lt |x-3|\lt \delta \), então \((x-3)^2\lt 1/M\) e, portanto, \(1/(x-3)^2\gt M\).

Exercício 8.4
Calcule os limites laterais de \((x+1)/(x-2)\) em \(x=2\) e identifique a assíntota vertical.
Ver solução
O numerador tende a \(3\gt 0\). Assim,
\[ \lim _{x\to 2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty , \qquad \lim _{x\to 2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty . \]
Logo, \(x=2\) é assíntota vertical. O limite bilateral não é \(+\infty \) nem \(-\infty \), pois os dois lados têm comportamentos opostos.

8.2.1 Propriedades dos Limites Infinitos e no Infinito

As expressões \(+\infty \) e \(-\infty \) descrevem comportamentos; não são números reais acrescentados à reta. As regras para esses limites decorrem das definições e descrevem como tais comportamentos se combinam.

Para evitar repetições, escreveremos \(x\to \alpha \) para qualquer um dos casos \(x\to a\), \(x\to a^+\), \(x\to a^-\), \(x\to +\infty \) ou \(x\to -\infty \). As desigualdades mencionadas devem valer para \(x\) suficientemente próximo de \(\alpha \), no domínio correspondente.

Comparação e recíproco.

A comparação transfere para outra função um crescimento ou decrescimento já conhecido. O recíproco, por sua vez, troca grandezas próximas de zero por grandezas de módulo elevado, e vice-versa.

Proposição 8.7 (Comparação e recíproco)

  1. Se \(f(x)\geq g(x)\) e \(\lim _{x\to \alpha }g(x)=+\infty \), então \(\lim _{x\to \alpha }f(x)=+\infty \). Se \(f(x)\leq g(x)\) e \(\lim _{x\to \alpha }g(x)=-\infty \), então \(\lim _{x\to \alpha }f(x)=-\infty \).

  2. Se \(f(x)\to 0\) por valores positivos, então \(1/f(x)\to +\infty \); se \(f(x)\to 0\) por valores negativos, então \(1/f(x)\to -\infty \).

  3. Se \(|f(x)|\to +\infty \), então \(1/f(x)\to 0\).

Demonstração ▼

No primeiro item, dado \(M\gt 0\), a hipótese \(g(x)\to +\infty \) garante \(g(x)\gt M\) suficientemente perto de \(\alpha \); como \(f(x)\geq g(x)\), também \(f(x)\gt M\). O caso de \(-\infty \) é análogo.

No segundo item, suponha \(f(x)\to 0\) por valores positivos. Dado \(M\gt 0\), aplique a definição de limite com \(\varepsilon =1/M\): suficientemente perto de \(\alpha \), temos \(0\lt f(x)\lt 1/M\), logo \(1/f(x)\gt M\). O caso de valores negativos é obtido do mesmo modo.

No terceiro item, dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha o limiar \(1/\varepsilon \). Se \(|f(x)|\gt 1/\varepsilon \), então

\[ \left|\frac1{f(x)}\right|\lt \varepsilon . \]

Observação 8.8 (Consequências imediatas)
As propriedades de comparação permitem obter os limites seguintes. Para as potências inteiras, comparamos com \(x\) ou \(-x\) em semirretas adequadas; para a exponencial de base \(c\gt 1\), usamos também a Proposição 1.16.

  1. Dado \(c\gt 1\), temos \(\lim \limits _{x\to \infty } c^x=\infty \). Para \(c=1\), o limite é \(1\); para \(0\lt c\lt 1\), é \(0\). De fato, se \(c\gt 1\) e \(x\geq n\in \mathbb {N}\), a monotonicidade e a desigualdade de Bernoulli dão \(c^x\geq c^n\geq 1+n(c-1)\), que cresce sem limite com \(n\). O caso \(0\lt c\lt 1\) segue escrevendo \(c^x=1/(1/c)^x\).

  2. Dado \(k\in \mathbb {N}^*\) então \(\lim \limits _{x\to \infty } x^k=\infty \).

  3. Dado \(k\in \mathbb {N}^*\) ímpar então \(\lim \limits _{x\to -\infty } x^k=-\infty \).

  4. Dado \(k\in \mathbb {N}^*\) par então \(\lim \limits _{x\to -\infty } x^k=\infty \).

Somas: qual termo domina?

Uma parcela limitada não altera um crescimento sem cota. Duas parcelas que divergem no mesmo sentido reforçam-se. Já parcelas que divergem em sentidos opostos competem entre si, e seus limites isolados não bastam para decidir o resultado.

Proposição 8.9 (Somas com limites infinitos)
Suponha que \(r\) seja limitada quando \(x\to \alpha \). Então:

  1. se \(f,g\to +\infty \), então \(f+g\to +\infty \); se \(f,g\to -\infty \), então \(f+g\to -\infty \);

  2. se \(f\to +\infty \), então \(f+r\to +\infty \); se \(f\to -\infty \), então \(f+r\to -\infty \);

  3. se \(f\to +\infty \) e \(h\to -\infty \), então \(f-h\to +\infty \) e \(h-f\to -\infty \).

Todos os limites são tomados quando \(x\to \alpha \).

Demonstração ▼

Para o primeiro item, dado \(M\gt 0\), fazemos \(f\gt M/2\) e \(g\gt M/2\) suficientemente perto de \(\alpha \); então \(f+g\gt M\). Os casos negativos são análogos.

Para o segundo item, existe \(K\gt 0\) tal que \(|r(x)|\leq K\) perto de \(\alpha \). Se \(f\to +\infty \), fazemos \(f\gt M+K\); então \(f+r\gt M\). O caso de \(-\infty \) é análogo.

No terceiro item, \(-h\to +\infty \), e a conclusão segue do primeiro caso aplicado a \(f+(-h)\). A outra diferença é tratada da mesma forma.

Produtos: o sinal decide.

Proposição 8.10 (Produtos com limites infinitos)

Suponha que \(f\to +\infty \) ou \(f\to -\infty \) quando \(x\to \alpha \). Se \(q(x)\to L\neq 0\), então \(q\) fica afastada de zero e conserva o sinal de \(L\) para \(x\) próximo de \(\alpha \). Assim, \(L\gt 0\) preserva o sentido da divergência de \(f\), enquanto \(L\lt 0\) o inverte.

Se os dois fatores divergem, aplica-se a mesma regra de sinais:

\[ \begin{array}{c|cc}& g\to +\infty & g\to -\infty \\ \hline f\to +\infty & fg\to +\infty & fg\to -\infty \\ f\to -\infty & fg\to -\infty & fg\to +\infty \end{array} \]

Todos os limites da tabela são tomados quando \(x\to \alpha \).

Demonstração ▼

Suponha primeiro \(f\to +\infty \) e \(q\to L\gt 0\). Como \(q\to L\), temos \(q(x)\gt L/2\) suficientemente perto de \(\alpha \). Dado \(M\gt 0\), fazemos também \(f(x)\gt 2M/L\). Então \(f(x)q(x)\gt M\). Se \(L\lt 0\), aplicamos o mesmo argumento a \(-q\), o que inverte o sinal do produto. Os casos \(f\to -\infty \) seguem aplicando o resultado a \(-f\).

Se ambos os fatores divergem, dado \(M\gt 0\) fazemos \(|f(x)|\gt \sqrt M\) e \(|g(x)|\gt \sqrt M\) perto de \(\alpha \). Assim, \(|f(x)g(x)|\gt M\); o sinal é determinado pelos sinais eventuais dos fatores, como na tabela.

Em particular, multiplicar por uma constante positiva preserva o sentido da divergência, e multiplicar por uma constante negativa o inverte. A constante zero é um caso separado: \(0\cdot f\) é a função nula. Isso não autoriza concluir nada quando um fator apenas tende a zero.

Formas indeterminadas não são resultados
Os símbolos \(\infty -\infty \) e \(0\cdot \infty \) não determinam, por si sós, um limite. Quando \(x\to +\infty \), por exemplo,
\[ x-x=0,\qquad (x+1)-x=1,\qquad x^2-x\longrightarrow +\infty ; \]
as três diferenças têm a forma aparente \(\infty -\infty \). Do mesmo modo,
\[ \frac1{x^2}\, x\longrightarrow 0,\qquad \frac1x\, x=1,\qquad \frac1{\sqrt x}\, x\longrightarrow +\infty , \]
embora em todas apareça \(0\cdot \infty \). É preciso simplificar ou comparar as funções antes de aplicar propriedades de limites.

Limites finitos quando a variável tende ao infinito.

Se o ponto de aproximação muda de um número real para \(+\infty \) ou \(-\infty \), mas os valores-limite continuam finitos, valem as mesmas propriedades algébricas estudadas no capítulo anterior.

Proposição 8.11 (Regras para limites finitos no infinito)
Se \(\alpha \in \{ -\infty ,+\infty \} \), \(f(x)\to A\) e \(g(x)\to B\) quando \(x\to \alpha \), com \(A,B\in \mathbb R\), então
\[ \begin{aligned} f+g& \to A+B, & f-g& \to A-B, & fg& \to AB,\\ cf& \to cA, & \frac{f}{g}& \to \frac AB\quad (B\neq 0). \end{aligned} \]
Também podemos passar ao limite no módulo, em potências inteiras positivas e na raiz quadrada, desde que seu domínio seja respeitado. Em particular, se \(f(x)\geq 0\) para \(x\) suficientemente próximo de \(\alpha \), então \(A\geq 0\) e \(\sqrt{f(x)}\to \sqrt A\).

Demonstração ▼

As demonstrações são as mesmas das regras de limites finitos já provadas: dado \(\varepsilon \gt 0\), controlamos cada parcela ou fator por uma condição válida para \(x\) suficientemente grande em módulo. A única mudança é substituir a vizinhança perfurada de um ponto por uma semirreta \(x\gt M\) ou \(x\lt -M\).

Teorema 8.12 (Teorema do Confronto no infinito)
Se \(\alpha \in \{ -\infty ,+\infty \} \) e, para \(x\) suficientemente próximo de \(\alpha \),
\[ f(x)\leq g(x)\leq h(x), \]
com
\[ \lim _{x\to \alpha }f(x)= \lim _{x\to \alpha }h(x)=L\in \mathbb {R}, \]
então \(\lim _{x\to \alpha }g(x)=L\).

Demonstração ▼

Dado \(\varepsilon \gt 0\), os limites de \(f\) e \(h\) fornecem um mesmo limiar, tomando o maior dos dois necessários, a partir do qual

\[ L-\varepsilon \lt f(x)\leq g(x)\leq h(x)\lt L+\varepsilon . \]

Logo, \(|g(x)-L|\lt \varepsilon \), que é a definição do limite no infinito.

Como escolher a regra.

Primeiro identifique separadamente o comportamento de cada parcela ou fator. Aplique uma propriedade apenas quando as hipóteses coincidirem com um dos casos anteriores. Se surgir uma forma indeterminada, a expressão precisa ser reorganizada antes: fatoração, divisão pelo termo dominante e multiplicação pelo conjugado são as estratégias mais frequentes.

Em particular, se numerador e denominador divergem em módulo, o quociente apresenta a forma indeterminada \(\infty /\infty \). Essa forma não informa o valor do limite: ele dependerá da rapidez relativa de crescimento das duas funções. Os exemplos seguintes mostram como revelar essa comparação por meio de simplificações algébricas.

Exemplo 8.13
Calcule \(\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {x^2+1}{x^2-1}\).

Solução
Para \(x\neq 0\), dividimos numerador e denominador por \(x^2\):
\[ \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{1+1/x^2}{1-1/x^2}. \]
Como \(1/x^2\to 0\) quando \(x\to +\infty \), o numerador tende a \(1\) e o denominador também tende a \(1\neq 0\). Pela regra do quociente,
\[ \lim \limits _{x\to \infty }\frac{x^2+1}{x^2-1}=1. \]

Exemplo 8.14
Calcule \(\lim \limits _{x\to \infty }(2x^3-3x^2+1)\).

Solução
Colocando o termo de maior grau em evidência, obtemos, para \(x\neq 0\),
\[ 2x^3-3x^2+1=x^3\left(2-\frac3x+\frac1{x^3}\right). \]
Quando \(x\to +\infty \), o fator entre parênteses tende a \(2\gt 0\), enquanto \(x^3\to +\infty \). Pela propriedade do produto de uma função com limite positivo e outra com limite \(+\infty \),
\[ \lim \limits _{x\to \infty }(2x^3-3x^2+1)=+\infty . \]

Exemplo 8.15
Calcule \(\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {2x^3+3x^2+1}{4x^2-2x+1}\).

Solução
Para \(x\neq 0\), a fatoração dos termos de maior grau fornece
\begin{align*} \frac{2x^3+3x^2+1}{4x^2-2x+1} & =\frac{x^3(2+3/x+1/x^3)}{x^2(4-2/x+1/x^2)}\\ & =x\, \frac{2+3/x+1/x^3}{4-2/x+1/x^2}. \end{align*}
O quociente que multiplica \(x\) tende a \(2/4=1/2\gt 0\). Como \(x\to +\infty \), a propriedade multiplicativa dá
\[ \lim \limits _{x\to \infty }\frac{2x^3+3x^2+1}{4x^2-2x+1}=+\infty . \]

Exemplo 8.16
Mostre que \(\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {x}{\sqrt{9x^2+1}}=\dfrac {1}{3}\).

Solução
Como \(x\to +\infty \), podemos supor \(x\gt 0\); assim, \(\sqrt{x^2}=|x|=x\). Portanto,
\begin{align*} \lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {x}{\sqrt{9x^2+1}} & =\lim \limits _{x\to \infty }\dfrac {1}{\sqrt{9x^2+1}/x}\\ & =\lim \limits _{x\to \infty }\dfrac {1}{\sqrt{9+1/x^2}}. \end{align*}
Como
\[ \lim \limits _{x\to \infty }\left(9+\frac1{x^2}\right)=9, \]
a continuidade da raiz quadrada fornece
\[ \lim \limits _{x\to \infty }\sqrt{9+\frac1{x^2}}=3. \]
Portanto,
\[ \lim \limits _{x\to \infty }\frac{x}{\sqrt{9x^2+1}}=\frac13. \]

Exemplo 8.17
Calcule \(\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {5x^3+x^2-3}{2x^3-x+5}\).

Solução
Para \(x\neq 0\), dividimos numerador e denominador por \(x^3\):
\[ \frac{5x^3+x^2-3}{2x^3-x+5} = \frac{5+1/x-3/x^3}{2-1/x^2+5/x^3}. \]
Quando \(x\to +\infty \), o numerador tende a \(5\) e o denominador tende a \(2\neq 0\). Pela regra do quociente,
\[ \lim \limits _{x\to \infty }\frac{5x^3+x^2-3}{2x^3-x+5}=\frac52. \]

Exemplo 8.18
Calcule \(\lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {5x^2+x-3}{4x^4-x+2}\).

Solução
Para \(x\neq 0\), dividimos numerador e denominador por \(x^4\):
\[ \frac{5x^2+x-3}{4x^4-x+2} = \frac{5/x^2+1/x^3-3/x^4}{4-1/x^3+2/x^4}. \]
O numerador tende a \(0\) e o denominador a \(4\neq 0\). Pela regra do quociente,
\[ \lim \limits _{x\to \infty }\frac{5x^2+x-3}{4x^4-x+2}=0. \]

Os limites no infinito também permitem comparar uma função com uma reta não horizontal. Se

\[ \lim _{x\to +\infty }\bigl(f(x)-(mx+b)\bigr)=0 \quad \text{ou}\quad \lim _{x\to -\infty }\bigl(f(x)-(mx+b)\bigr)=0, \]

a reta \(y=mx+b\) é uma assíntota oblíqua na extremidade correspondente quando \(m\neq 0\). O caso \(m=0\) recupera uma assíntota horizontal.

Exercício 8.5
Calcule os limites e determine as assíntotas pedidas.

  1. \(\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }\frac{3x^2-x}{5x^2+2}\).

  2. \(\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }\frac{x}{\sqrt{9x^2+1}}\).

  3. \(\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }\bigl(\sqrt{x^2+x}-x\bigr)\).

  4. Determine, por limites, as assíntotas de \(f(x)=(2x^2-3)/(x^2-x-6)\).

Ver solução

  1. \(3/5\).

  2. \(-1/3\), pois, para \(x\lt 0\), \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\).

  3. Racionalizando, \(\sqrt{x^2+x}-x=x/(\sqrt{x^2+x}+x)\to 1/2\).

  4. Como \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\) e o numerador não se anula em \(3\) nem em \(-2\), as assíntotas verticais são \(x=3\) e \(x=-2\). Além disso, \(\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=2\), de modo que \(y=2\) é a assíntota horizontal.

Exercício 8.6
Encontre as constantes \(m\) e \(b\) para as quais
\[ \lim _{x\to \infty }\left(mx+b-\frac{x^3+1}{x^2+1}\right)=0. \]
Explique o significado geométrico da reta \(y=mx+b\).
Ver solução
A divisão polinomial fornece
\[ \frac{x^3+1}{x^2+1}=x+\frac{1-x}{x^2+1}. \]
Logo, a diferença tende a zero exatamente para \(m=1\) e \(b=0\). A reta \(y=x\) é a assíntota inclinada do gráfico quando \(x\to \infty \); o mesmo cálculo mostra que ela também é assíntota quando \(x\to -\infty \).

Exercício 8.7
Considere, para \(a\neq 0\) e \(b\neq 0\), a equação
\[ ax^2-bx+c=0, \]
em que \(b\) e \(c\) permanecem fixos enquanto \(a\to 0\).

  1. Mostre que uma das raízes tende a \(c/b\).

  2. Mostre que a outra raiz é ilimitada e determine seu comportamento dominante.

  3. Explique por que isso é compatível com a equação limite \(-bx+c=0\).

Ver solução
Pelas relações de Viète, se \(r_1\) é a raiz que permanece limitada e \(r_2\) a outra, então
\[ r_1+r_2=\frac ba, \qquad r_1r_2=\frac ca. \]
Uma forma estável de escrever a raiz limitada é
\[ r_1=\frac{2c}{b+\operatorname {sgn}(b)\sqrt{b^2-4ac}}, \]
para \(a\) suficientemente próximo de zero e discriminante positivo. Assim, \(r_1\to c/b\). Consequentemente, \(r_2=b/a-r_1\sim b/a\), sendo ilimitada. A equação limite é linear e conserva apenas a raiz finita \(c/b\); a segunda raiz escapa para o infinito quando o termo quadrático desaparece.

Exercício 8.8
Os modelos abaixo descrevem três respostas com saturação:
\[ c(N)=\frac{12N}{5+N},\qquad P(I)=\frac{18I}{120+I},\qquad V(s)=\frac{3{,}6s}{2+s}. \]
Aqui, \(c\) é o consumo de presas por um predador em função da densidade \(N\); \(P\) é uma taxa de fotossíntese em função da intensidade luminosa \(I\); e \(V\) é o consumo de oxigênio durante exercício em função da intensidade \(s\).

  1. Determine o limite de cada função quando sua variável tende a \(+\infty \) e interprete os três resultados.

  2. Em que valor da respectiva variável cada resposta atinge metade de seu valor-limite?

  3. Identifique a forma comum \(Ax/(B+x)\) e explique os papéis de \(A\) e \(B\).

Ver solução

  1. Os limites são, respectivamente, \(12\), \(18\) e \(3{,}6\). Em cada caso, o valor representa o platô previsto pelo modelo.

  2. As metades dos platôs são atingidas quando \(N=5\), \(I=120\) e \(s=2\).

  3. Em \(Ax/(B+x)\), o parâmetro \(A\) é o valor-limite e \(B\) é o valor da variável no qual a resposta vale \(A/2\).

8.3 O número \(e\) e as funções exponencial e logarítmica

O número \(e\) pode ser obtido a partir de um limite no qual a base se aproxima de \(1\) enquanto o expoente cresce. Essa construção fornece a base da função exponencial natural e do logaritmo natural.

Teorema 8.19 (Segundo Limite Fundamental)
\[ \lim \limits _{x\to \infty }\left(1+\frac1x\right)^x=e, \]
onde \(e\approx 2{,}71828\) é o número de Euler, também chamado número de Neper.

Demonstração ▼

Para cada inteiro \(n\geq 1\), escreva

\[ a_n=\left(1+\frac1n\right)^n. \]

Pelo binômio de Newton,

\[ a_n=\sum _{k=0}^{n}\frac1{k!} \prod _{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right), \]

com produto vazio igual a \(1\). Quando \(n\) aumenta, cada fator dos termos já presentes não diminui, e aparece um novo termo positivo; portanto \(a_{n+1}\gt a_n\).

Além disso,

\[ a_n\leq \sum _{k=0}^n\frac1{k!} \leq 2+\sum _{k=2}^n\frac1{2^{k-1}}\lt 3. \]

Logo, pelo axioma da completude, existe

\[ e=\sup \{ a_n:n\geq 1\} . \]

A estimativa \(k!\geq 2\cdot 3^{k-2}\), para \(k\geq 2\), fornece ainda

\[ a_n\lt \frac{11}{4}, \qquad \text{portanto}\qquad 2\lt e\leq \frac{11}{4}\lt 3. \]

A definição de supremo dá diretamente a aproximação de \(e\) de que precisamos: dado \(\eta \gt 0\), existe \(N_0\) tal que

\[ e-\eta \lt a_{N_0}\leq e. \]

Como os \(a_n\) crescem, a mesma desigualdade vale para todo \(n\geq N_0\).

Agora fixe \(\varepsilon \gt 0\) e tome \(\eta =\varepsilon /2\). Aumentando \(N_0\), se necessário, podemos supor também que

\[ \frac3{N_0}\lt \frac\varepsilon 2. \]

Para \(x\geq N_0\), seja \(n=\lfloor x\rfloor \). Então \(n\leq x\lt n+1\). Como todas as bases abaixo são maiores que \(1\), temos

\[ \left(1+\frac1{n+1}\right)^n \leq \left(1+\frac1x\right)^n \leq \left(1+\frac1x\right)^x \]

e, por outro lado,

\[ \left(1+\frac1x\right)^x \leq \left(1+\frac1n\right)^x \leq \left(1+\frac1n\right)^{n+1}. \]

Portanto,

\[ \left(1+\frac1{n+1}\right)^n \leq \left(1+\frac1x\right)^x \leq \left(1+\frac1n\right)^{n+1}. \]

Os extremos podem ser escritos como

\[ \frac{a_{n+1}}{1+1/(n+1)} \qquad \text{e}\qquad a_n\left(1+\frac1n\right). \]

Como \(e-\varepsilon /2\lt a_n\leq e\lt 3\), temos

\[ a_n\left(1+\frac1n\right) =a_n+\frac{a_n}{n} \lt e+\frac3n \lt e+\varepsilon . \]

Por outro lado,

\[ \frac{a_{n+1}}{1+1/(n+1)} =a_{n+1}-\frac{a_{n+1}}{n+2} \gt e-\frac\varepsilon 2-\frac3{n+2} \gt e-\varepsilon . \]

Portanto,

\[ e-\varepsilon \lt \frac{a_{n+1}}{1+1/(n+1)} \leq \left(1+\frac1x\right)^x \leq a_n\left(1+\frac1n\right) \lt e+\varepsilon . \]

Isso é exatamente a definição de

\[ \lim \limits _{x\to \infty }\left(1+\frac1x\right)^x=e. \]

Figura 8.6 lim _(x→ ∞ ) ( 1+(1)/(x) )^x=e

Figura 8.6 \(\lim \limits _{x\to \infty } \left( 1+\dfrac {1}{x} \right)^x=e\)

Exemplo 8.20
Calcule \(\lim \limits _{x\to \infty } \left( 1+\dfrac {5}{x} \right)^x\).

Solução
Fazemos a mudança de variável \(t=\dfrac {x}{5}\), temos:
\begin{align*} \lim \limits _{x\to \infty } \left( 1+\dfrac {5}{x} \right)^x & = \lim \limits _{t \rightarrow \infty } \left( 1+\dfrac {1}{t} \right)^{5t} \\ & = \left( \lim \limits _{t \rightarrow \infty } \left( 1+\dfrac {1}{t} \right)^{t}\right)^5 \\ & = e^5 \end{align*}

Exemplo 8.21
Calcule \(\lim \limits _{x\to \infty } \left(\dfrac {x}{x+1} \right)^x\).

Solução
Dividindo o numerador e o denominador por \(x\), temos:
\begin{align*} \lim \limits _{x\to \infty } \left(\dfrac {x}{x+1} \right)^x & = \lim \limits _{x\to \infty } \left(\dfrac {1}{1+\dfrac {1}{x}} \right)^x \\ & = \lim \limits _{x\to \infty } \dfrac {1}{\left(1+\dfrac {1}{x}\right)^x} \\ & = e^{-1} \end{align*}

Definição 8.4
O logaritmo de base \(e\) é denominado função logaritmo natural ou simplesmente logaritmo. Assim, pelos fatos apresentados na seção 4.3, a função logaritmo é a função \(\ln :(0,\infty )\to \mathbb {R}\) dada pela regra
\[ \ln x=y\Leftrightarrow e^y=x. \]
O gráfico da função logaritmo natural está representado abaixo:

Ilustração: O número \(e\) e as funções exponencial e logarítmica

Figura 8.7 Gráfico da função logaritmo natural.

Teorema 8.22 (Continuidade das Funções Exponencial e Logaritmo)
Para \(c\gt 0\), a função \(x\mapsto c^x\) é contínua em \(\mathbb {R}\). Para \(c\gt 0\) e \(c\neq 1\), a função \(x\mapsto \log _c x\) é contínua em \((0,\infty )\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro \(c\gt 1\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha um inteiro \(n\) tão grande que

\[ \frac{c-1}{n}\lt \varepsilon . \]

Escreva \(u=c^{1/n}-1\gt 0\). Pela desigualdade de Bernoulli,

\[ c=(1+u)^n\geq 1+nu, \]

de modo que

\[ 0\lt u\leq \frac{c-1}{n}\lt \varepsilon . \]

Além disso,

\[ 0\lt 1-c^{-1/n}=\frac{u}{1+u}\lt u\lt \varepsilon . \]

Se \(|h|\lt 1/n\), a monotonicidade da função exponencial dá

\[ c^{-1/n}\leq c^h\leq c^{1/n}, \]

e portanto \(|c^h-1|\lt \varepsilon \). Assim,

\[ \lim _{h\to 0}c^h=1. \]

Como \(c^{a+h}=c^a c^h\), segue que \(c^{a+h}\to c^a\), provando a continuidade em qualquer \(a\in \mathbb {R}\).

Se \(0\lt c\lt 1\), escrevemos \(c^x=1/(1/c)^x\) e usamos o caso anterior e a regra do quociente. Para \(c=1\), a função é constante.

Quando \(c\neq 1\), a exponencial é contínua e estritamente monótona de \(\mathbb {R}\) sobre \((0,\infty )\). Pelo Teorema 7.35, sua inversa \(\log _c\) é contínua em \((0,\infty )\).

Como a função \(e^x\) é contínua e crescente, pelo Teorema 7.35, sua função inversa \(\ln (x):(0,\infty )\to \mathbb {R}\) é contínua em todo o seu domínio.

Teorema 8.23 (Terceiro Limite Fundamental)
Para \(a\gt 0\), temos \(\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a\).

Demonstração ▼

Comecemos pela relação

\[ \lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u}=e. \]

Para \(u\to 0^+\), isso é o segundo limite fundamental com \(x=1/u\). Para \(u\to 0^-\), ponha \(v=-u/(1+u)\gt 0\). Então \(v\to 0^+\) e

\[ (1+u)^{1/u}=(1+v)^{(1+v)/v} =(1+v)^{1/v}(1+v)\longrightarrow e. \]

Pela continuidade do logaritmo,

\[ \frac{\ln (1+u)}u=\ln \bigl((1+u)^{1/u}\bigr)\longrightarrow \ln e=1. \]

Se \(a=1\), o quociente do enunciado é zero e a conclusão é imediata. Para \(a\gt 0\), \(a\neq 1\), faça \(u=a^x-1\). A continuidade da exponencial garante \(u\to 0\) quando \(x\to 0\), e \(u\neq 0\) se \(x\neq 0\). Além disso, \(x=\ln (1+u)/\ln a\), de modo que

\[ \frac{a^x-1}{x} =\ln a\, \frac{u}{\ln (1+u)} \longrightarrow \ln a. \]

Figura 8.8 lim _(x→ 0)(2^x-1)/(x)= ln 2.

Figura 8.8 \(\lim \limits _{x\to 0}\dfrac {2^x-1}{x}= \ln 2.\)

Exemplo 8.24
Calcule o limite \(\lim \limits _{x\to 2} \dfrac {3^{\frac{x-2}{5}}-1}{x-2}\).

Solução
Fazendo \(t=(x-2)/5\), temos \(x-2=5t\) e \(t\to 0\). Portanto,
\[ \lim \limits _{x\to 2}\frac{3^{(x-2)/5}-1}{x-2} = \lim \limits _{t \rightarrow 0}\frac{3^t-1}{5t} = \frac15\lim \limits _{t \rightarrow 0}\frac{3^t-1}{t} = \frac{\ln 3}{5}, \]
pelo Teorema 8.23 com \(a=3\).

Exercício 8.9
Use os limites fundamentais associados a \(e\) e ao logaritmo.

  1. \(\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }\left(1+\frac3x\right)^{2x}\).

  2. \(\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{x}\).

  3. \(\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}\frac{\ln (1+5x)}{x}\).

  4. Um capital de R\$ 1.000,00 é aplicado por dois anos à taxa contínua de \(4\% \) ao ano. Determine o montante exato e uma aproximação em centavos.

Ver solução

  1. \(e^6\).

  2. \(3\).

  3. \(5\).

  4. \(1000e^{0{,}08}\approx \text{R\$ \, 1.083,29}\).

8.3.1 Juro Composto

Considere um capital inicial \(C\gt 0\), aplicado por \(k\) anos a uma taxa nominal anual \(r\geq 0\), escrita em forma decimal. Nos juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial, e o montante é \(C(1+rk)\).

Nos juros compostos, cada parcela de juros é incorporada ao saldo antes do período seguinte. Se a capitalização ocorre \(n\) vezes por ano, a taxa de cada período é \(r/n\). Depois de \(nk\) períodos, o montante é

\[ M_n=C\left(1+\frac rn\right)^{nk}. \]

Quando aumentamos a frequência de capitalização,

\[ M_n =C\left[\left(1+\frac rn\right)^n\right]^k \longrightarrow Ce^{rk}. \]

O valor \(Ce^{rk}\) corresponde ao modelo idealizado de capitalização contínua. O limite não afirma que instituições financeiras capitalizem infinitas vezes por ano; ele descreve o valor para o qual convergem os regimes com períodos cada vez menores.

Exercício 8.10
Um capital de \(\text{R\$ }\, 10\, 000\) é aplicado por \(3\) anos a uma taxa nominal anual de \(6\% \). Determine o montante previsto pelo modelo de capitalização contínua.
Ver solução
Com \(C=10\, 000\), \(r=0{,}06\) e \(k=3\),
\[ M=Ce^{rk}=10\, 000e^{0{,}18}. \]

Exercício 8.11
Para um capital \(C\) aplicado por um ano a uma taxa anual \(r\gt 0\), compare as expressões correspondentes à capitalização anual, mensal e contínua.
Ver solução
Os três montantes são
\[ C(1+r),\qquad C\left(1+\frac r{12}\right)^{12}, \qquad Ce^r. \]
Eles correspondem, respectivamente, a \(n=1\), \(n=12\) e ao valor-limite obtido quando a frequência de capitalização cresce sem limite.

8.3.2 Crescimento Demográfico

Denote por \(P_0\gt 0\) a população inicial e suponha que a taxa de crescimento por unidade de população seja uma constante \(\lambda \gt 0\), medida em anos inversos. Essa hipótese já é uma idealização: populações reais sofrem variações de recursos, migração, mortalidade e natalidade.

Para estimar a população depois de \(t\) anos, divida o intervalo de tempo em \(n\) partes iguais. Em cada parte, o incremento relativo é aproximadamente \(\lambda t/n\); por isso,

\[ P_n(t)\approx P_0\left(1+\frac{\lambda t}{n}\right)^n. \]

Para \(t\gt 0\), escrevemos

\[ \left(1+\frac{\lambda t}{n}\right)^n = \left[ \left(1+\frac{1}{n/(\lambda t)}\right)^{n/(\lambda t)} \right]^{\lambda t}. \]

Quando as subdivisões se tornam cada vez mais finas, o Segundo Limite Fundamental mostra que a expressão entre colchetes se aproxima de \(e\). Assim, o modelo contínuo é

\[ P(t)=P_0e^{\lambda t}. \]

Para \(t=0\), a mesma fórmula fornece \(P(0)=P_0\). O mesmo padrão matemático aparece na capitalização contínua: em ambos os casos, a taxa de variação é proporcional ao valor presente da grandeza. Se a constante de proporcionalidade for negativa, o modelo descreve decaimento exponencial, como em uma primeira aproximação para a massa de uma substância radioativa.

Exercício 8.12
Determine as assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, quando houver, de \(f(x)=(2x^2-3x+1)/(x-1)\). Faça um esboço que seja compatível com seus resultados.
Ver solução
Como \(2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)\), temos \(f(x)=2x-1\) para \(x\neq 1\). O gráfico é essa reta com um ponto removido em \((1,1)\). Não há assíntotas verticais ou horizontais; \(y=2x-1\) é a assíntota oblíqua.
Exercício 8.13
Demonstre, usando a definição de limite no infinito, que \(\lim _{x\to \infty }7/(x+4)=0\). Para um erro máximo \(\varepsilon \), produza um limiar explícito \(N(\varepsilon )\).
Ver solução
Dado \(\varepsilon \gt 0\), tome \(N=7/\varepsilon \). Se \(x\gt N\), então
\[ \left|\frac7{x+4}\right|\lt \frac7x\lt \varepsilon . \]
Exercício 8.14
A corrente de um circuito é \(I(R)=12/R\) A, onde \(R\gt 0\) é a resistência em ohms. Interprete \(\lim _{R\to 0^+}I(R)\) e \(\lim _{R\to \infty }I(R)\), apontando a limitação física do primeiro modelo.
Ver solução
\(\lim _{R\to 0^+}I(R)=+\infty \) e \(\lim _{R\to \infty }I(R)=0\). A primeira previsão não é fisicamente realizável: a fonte e os condutores possuem resistência interna e limites de corrente, ignorados pelo modelo \(12/R\).

Exercício 8.15
Calcule os dois limites laterais de \(e^{1/x}\) quando \(x\to 0^+\) e \(x\to 0^-\), e explique por que não há limite bilateral finito em zero.
Ver solução
\(\lim _{x\to 0^+}e^{1/x}=+\infty \) e \(\lim _{x\to 0^-}e^{1/x}=0\). Como os comportamentos laterais diferem, não há limite bilateral em \(0\).

Exercício 8.16
A razão entre a massa de um medicamento no instante \(t\) e a massa inicial é \(M(t)/M(0)=e^{-0{,}18t}\). Determine o limite quando \(t\to \infty \) e o instante em que resta \(10\% \) da dose inicial.
Ver solução
A razão tende a \(0\). Para obter \(10\% \), \(e^{-0{,}18t}=0{,}1\), de onde \(t=\ln (10)/0{,}18\approx 12{,}79\), na unidade de tempo do modelo.
Exercício 8.17
Encontre uma função simples assintótica a
\[ \frac{3x^3-2x+7}{x^2+4} \]
quando \(x\to \pm \infty \), e mostre que a diferença entre as duas tende a zero.
Ver solução
A divisão polinomial fornece
\[ \frac{3x^3-2x+7}{x^2+4}=3x+\frac{-14x+7}{x^2+4}. \]
Logo, a função simples é \(3x\), e a diferença tende a zero em ambas as extremidades.