Capítulo 10

Tópicos em diferenciação

A formulação de um problema é frequentemente mais essencial que sua solução.
Albert Einstein e Leopold Infeld, A Evolução da Física

Até aqui, em geral conhecíamos a expressão da função que queríamos derivar. Mas uma relação entre grandezas pode vir dada por uma equação na qual não é conveniente isolar uma delas. Podemos ainda determinar como uma varia em relação à outra? A derivação implícita responde a essa pergunta. Junto com a derivação logarítmica, ela amplia as ferramentas do capítulo anterior. Vamos utilizá-las no estudo das exponenciais, dos logaritmos, das funções trigonométricas inversas e das taxas relacionadas. As aproximações lineares aprofundarão a interpretação geométrica da derivada. A seção final, opcional, apresenta as funções hiperbólicas e suas inversas.

10.1 Derivação implícita

Como determinar a taxa de variação de $y$ em relação a $x$ quando conhecemos apenas uma equação que relaciona as duas variáveis? Procuraremos calcular a derivada de um ramo $y=f(x)$ sem precisar primeiro isolar $y$.

Muitas funções são apresentadas explicitamente na forma $y=f(x)$. Outras surgem como ramos de uma relação entre $x$ e $y$, expressa por uma equação:

\begin{equation} F(x,y)=G(x,y) \label{eqimplicita} \tag{10.1} \end{equation}

Dizemos que uma função $y=f(x)$ é definida implicitamente por tal equação se o ponto $(x,f(x))$ for solução da equação 10.1 para todo $x\in \operatorname {Dom}f$. Uma mesma relação pode determinar vários ramos locais, ou até não definir $y$ como função global de $x$; por isso, é necessário identificar o ramo e as condições em que a derivada existe.

Exemplo 10.1

Determine os ramos contínuos $y=f(x)$, definidos em toda a reta, da relação $y^2+x^2y-4=0$.

Figura 10.1 A relação y^2+x^2y-4=0 determina dois ramos contínuos. — Figura 10.1 A relação $y^2+x^2y-4=0$ determina dois ramos contínuos.

Solução

A equação é quadrática em $y$. Pela fórmula resolutiva,

\[ y=\frac{-x^2\pm \sqrt{x^4+16}}{2}. \]

Como $x^4+16\gt 0$, a relação determina duas funções reais, ambas definidas para todo $x\in \mathbb {R}$. Não há outros ramos contínuos: se $f$ é qualquer ramo contínuo, $2f(x)+x^2$ é contínua e satisfaz $(2f(x)+x^2)^2=x^4+16\gt 0$. Pelo Teorema do Valor Intermediário, essa expressão mantém o mesmo sinal em toda a reta, escolhendo assim uma das duas fórmulas.

Exemplo 10.2

Sejam $a,b\gt 0$. Uma elipse é caracterizada pela equação

\[ \dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1 \]

Determine as funções de $x$ definidas implicitamente por essa equação.

Figura 10.2 A elipse reúne os ramos superior e inferior.

Solução

Isolando $y$ na equação da elipse,

\begin{align*} \dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2} & =1 \\ \dfrac {y^2}{b^2} & =1-\dfrac {x^2}{a^2} \\ y & =\pm b\sqrt{1-\dfrac {x^2}{a^2}}. \end{align*}

Logo, para $|x|\leq a$, a parte superior e a parte inferior da elipse são os gráficos das funções $y_+(x)=b\sqrt{1-x^2/a^2}$ e $y_-(x)=-b\sqrt{1-x^2/a^2}$. A elipse inteira não é o gráfico de uma única função de $x$.

Na derivação implícita, supomos que a equação entre $x$ e $y$ define, localmente, uma função derivável $y=f(x)$. O resultado a seguir fornece condições suficientes para isso.

Para uma função $F(x,y)$, denotamos por $F_x$ a derivada em relação a $x$, calculada mantendo $y$ fixo, e por $F_y$ a derivada em relação a $y$, calculada mantendo $x$ fixo.

A continuidade de uma função de duas variáveis considera seu comportamento quando o ponto varia no plano. Dizemos que $F$ é contínua em $(x_0,y_0)$ quando $F(x,y)$ se aproxima de $F(x_0,y_0)$ à medida que $(x,y)$ se aproxima de $(x_0,y_0)$, independentemente de como as duas coordenadas variem. No teorema a seguir, exigimos que essa propriedade valha para $F_x$ e $F_y$ em todos os pontos de algum retângulo aberto que contenha $(a,b)$.

Teorema 10.3 (Função implícita)

Seja $F(x,y)$ uma função cujas derivadas $F_x$ e $F_y$ existem e são contínuas numa vizinhança de $(a,b)$. Se

\[ F(a,b)=0 \qquad \text{e}\qquad F_y(a,b)\ne 0, \]

então existem intervalos abertos $I$ e $J$, contendo $a$ e $b$, respectivamente, e uma única função $f:I\to J$ tal que

\[ f(a)=b,\qquad F(x,f(x))=0 \quad (x\in I). \]

Além disso, $f$ é derivável e

\[ f'(x)=-\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}. \]

O teorema justifica o cálculo feito nesta seção: a equação determina, perto de $(a,b)$, um ramo derivável, mesmo quando não é possível isolar $y$. A afirmação é local e não exclui a existência de outros ramos da mesma relação. A demonstração será apresentada após o Teorema do Valor Médio, na página *.

Quando uma função é dada implicitamente, calculamos a derivada de $y$ em relação a $x$ por derivação implícita: em um ramo no qual $y=y(x)$ é derivável, diferenciamos os dois lados da equação, aplicamos as regras de derivação e isolamos $dy/dx$. A fórmula obtida vale apenas onde o divisor é não nulo; nos pontos em que ele se anula, a existência da derivada deve ser analisada separadamente. Utilizaremos a técnica de derivação implícita para apresentar outra forma de deduzir a derivada do logaritmo natural.

Exemplo 10.4

Mostre que $\frac{d }{d x}\ln (x)=\dfrac {1}{x}$.

Solução

Para $x\gt 0$, escrevemos $y=\ln x$, ou, equivalentemente, $x=e^y$. A função $x=e^y$ é estritamente crescente, e $e^y\neq 0$ para todo $y\in \mathbb {R}$. Pelo Teorema 9.43, sua inversa $y=\ln x$ é derivável para $x\gt 0$. Podemos, portanto, derivar implicitamente a igualdade $x=e^y$:

\[ 1=e^y\frac{d y}{d x}. \]

Como $e^y=x$, concluímos que

\[ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{e^y}=\frac1x,\qquad x\gt 0. \]

Exemplo 10.5

Supondo que $y$ seja uma função derivável de $x$, obtenha $\frac{d y}{d x}$ a partir da relação $\cos x+\cos y=1/2$.

Solução

Derivando implicitamente em relação a $x$,

\begin{align*} -\operatorname {sen}x-\operatorname {sen}y\, y’& =0,\\ y’& =-\frac{\operatorname {sen}x}{\operatorname {sen}y}=-\operatorname {cossec}y\, \operatorname {sen}x. \end{align*}

A fórmula é válida nos pontos da relação em que $\operatorname {sen}y\neq 0$.

Figura 10.3 A relação cos x+cos y=1/2 possui vários ramos locais e não define globalmente uma única função y=f(x). — Figura 10.3 A relação $\cos x+\cos y=1/2$ possui vários ramos locais e não define globalmente uma única função $y=f(x)$.

Figura 10.4 A relação sen(x/y)=1/2 reúne vários ramos contidos em retas que passam pela origem, com a origem excluída. — Figura 10.4 A relação $\operatorname {sen}(x/y)=1/2$ reúne vários ramos contidos em retas que passam pela origem, com a origem excluída.

Exemplo 10.6

Calcule $dy/dx$ na relação $\operatorname {sen}\dfrac {x}{y}=\dfrac {1}{2}$.

Solução

A relação exige $y\neq 0$. Também exclui $x=0$, pois isso daria $\operatorname {sen}0=1/2$. Pela identidade trigonométrica,

\[ \cos ^2(x/y)=1-\operatorname {sen}^2(x/y)=\frac34, \]

de modo que $\cos (x/y)\neq 0$ em todos os pontos da relação.

Em um ramo derivável, a regra da cadeia fornece

\[ \cos (x/y)\frac{y-xy'}{y^2}=0. \]

Podemos dividir pelos fatores não nulos e obter $y-xy'=0$. Como $x\neq 0$,

\[ y'=\frac yx. \]

Essa expressão também pode ser interpretada pelos ramos. As soluções de $\operatorname {sen}(x/y)=1/2$ satisfazem $x/y=c$, em que

\[ c=\frac\pi 6+2k\pi \quad \text{ou}\quad c=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,\qquad k\in \mathbb {Z}. \]

Cada ramo está contido na reta $y=x/c$, com a origem excluída, e sua inclinação é $1/c=y/x$. A geometria confirma o cálculo implícito e explica as condições usadas nas divisões.

Figura 10.5 Curva implícita definida por tg(x+y)=sen(xy), com vários ramos separados pelas singularidades da tangente. — Figura 10.5 Curva implícita definida por $\operatorname {tg}(x+y)=\operatorname {sen}(xy)$, com vários ramos separados pelas singularidades da tangente.

Exemplo 10.7

Considere a função $y = y(x)$ definida implicitamente por

\[ \operatorname {tg}(x+y) = \operatorname {sen}(xy). \]

Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto $(\sqrt{\pi }, -\sqrt{\pi })$.

Solução

Diferenciando ambos os lados em relação a $x$,

\[ \sec ^2(x+y)(1+y')=\cos (xy)(y+xy'). \]

Isolando $y'$, obtemos

\[ y'=\dfrac {y\cos (xy)-\sec ^2(x+y)}{\sec ^2(x+y)-x\cos (xy)}, \]

nos pontos em que o denominador não se anula. No ponto $(\sqrt{\pi },-\sqrt{\pi })$, temos $x+y=0$, $xy=-\pi $ e, portanto,

\begin{align*} y’& =\frac{(-\sqrt\pi )\cos (-\pi )-\sec ^2(0)}{\sec ^2(0)-\sqrt\pi \cos (-\pi )}\\ & =\frac{\sqrt\pi -1}{\sqrt\pi +1}. \end{align*}

Logo, a reta tangente à curva nesse ponto é

\[ y = \dfrac {\sqrt{\pi } - 1}{\sqrt{\pi } + 1} (x - \sqrt{\pi }) - \sqrt{\pi }. \]

Exemplo 10.8

Se $ x^3 + y^3 = 6xy, $ encontre $ \frac{d y}{d x}.$

Figura 10.6 O fólio x^3+y^3=6xy possui um laço e ramos que não formam o gráfico global de uma única função de x. — Figura 10.6 O fólio $x^3+y^3=6xy$ possui um laço e ramos que não formam o gráfico global de uma única função de $x$.

Solução

Derivando ambos os lados da equação em relação a $x$, obtemos

\[ 3x^2+3y^2y'=6y+6xy'. \]

Isolando $y'$,

\[ y'=\dfrac {2y-x^2}{y^2-2x}, \]

nos pontos em que $y^2-2x\neq 0$.

Exercício 10.1 (Uma equação, dois ramos)

A curva $x^2-y^2=0$ é formada por duas retas que se cruzam na origem.

Identifique os dois ramos e suas tangentes na origem. A curva inteira é o gráfico de uma função $y=y(x)$ perto desse ponto?
A derivação implícita dá $2x-2y\, y'=0$. Substituir $(0,0)$ permite concluir que $y'(0)=0$? Explique o que a igualdade obtida informa.
Se, para cada $x$, escolhermos o ponto da curva com maior ordenada, a função resultante será derivável em $0$?

Ver solução

Os ramos são $y=x$ e $y=-x$; suas tangentes são essas próprias retas, de inclinações $1$ e $-1$. Para cada $x\neq 0$ próximo de $0$, a curva tem duas ordenadas, portanto não é um único gráfico de função.
Não. Em $(0,0)$, a equação vira $0=0$ e não determina uma inclinação. Cada ramo individual é derivável ali, mas as inclinações diferem.
A escolha produz $y=|x|$, que tem derivadas laterais $-1$ e $1$ e não é derivável em $0$.

Exercício 10.2 (Uma equação descreve toda uma curva)

A figura mostra a curva $x^2+xy+y^2=3$ e alguns de seus pontos.

Encontre $dy/dx$ por derivação implícita.
Verifique que as tangentes em $B$ e $C$ são horizontais e que as tangentes em $D$ e $E$ são verticais.
Calcule a inclinação da tangente em $A$.
Perto de $A$, a curva é o gráfico de uma função de $x$? E perto de $D$? Explique pela figura.

Ver solução

$2x+y+xy'+2yy'=0$, logo $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {2x+y}{x+2y}$, onde $x+2y\ne 0$.
Em $B$ e $C$, $2x+y=0$ e $x+2y\ne 0$: inclinação nula. Em $D$ e $E$, $x+2y=0$ e $2x+y\ne 0$: a derivada não existe e a tangente é vertical ($dx/dy=0$).
$-\dfrac {3}{3}=-1$.
Perto de $A$, sim: uma reta vertical próxima corta a parte da curva vizinha de $A$ uma única vez. Perto de $D$, não: para $x$ um pouco menor que $2$ há dois pontos da curva próximos de $D$, e para $x\gt 2$ não há nenhum.

Exercício 10.3

Encontre $dy/dx$ diferenciando implicitamente

$x^2+y^2=1$
$x^2y+xy^2=3x$
$\sqrt{x+y}+\sqrt{xy}=6$
$x\operatorname {sen}(y)+\cos (2y)=\cos (y)$
$y=\ln (x^2+y^2)$
$x^4+y^2+y=7$
$x^{2/5}+y^{2/5}=1$

Ver solução

Diferenciando cada relação em relação a $x$ e isolando $y'$, com as restrições necessárias para as divisões efetuadas, obtemos

$-\dfrac {x}{y}$, nos pontos em que $y\neq 0$.
$\dfrac {-2xy-y^2+3}{x(x+2y)}$, nos pontos em que $x(x+2y)\neq 0$.
$-\dfrac {y\sqrt{x+y}+\sqrt{xy}}{x\sqrt{x+y}+\sqrt{xy}}$, para $x+y\gt 0$, $xy\gt 0$ e denominador não nulo.
$\dfrac {\operatorname {sen}y}{2\operatorname {sen}(2y)-\operatorname {sen}y-x\cos y}$, nos pontos em que o denominador não se anula.
$\dfrac {2x}{x^2+y^2-2y}$, para $x^2+y^2\gt 0$ e denominador não nulo.
$-\dfrac {4x^3}{2y+1}$, nos pontos em que $2y+1\neq 0$.
$-\left(\dfrac {y}{x}\right)^{3/5}$, nos pontos em que $x\neq 0$ e $y\neq 0$.

Exercício 10.4

Em cada ramo derivável das curvas abaixo, mostre que $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {y}{x}$. No item com seno, identifique os ramos antes de derivar.

$xy=1$
$x^2y^2=1$
$\operatorname {sen}(xy) = 1$
$\ln (xy) =1$

Ver solução

Em cada ramo derivável com $x\neq 0$, o produto $xy$ é uma constante não nula:

$xy=1$;
$xy=1$ ou $xy=-1$;
$xy=\pi /2+2k\pi $, para um inteiro $k$ fixo no ramo;
$xy=e$.

Em todos os casos, $y=C/x$ para alguma constante $C\neq 0$, de modo que $y'=-C/x^2=-y/x$. No item 3, a diferenciação direta fornece $0=0$, pois $\cos (xy)=0$; por isso identificamos primeiro os ramos. A continuidade de $xy$ impede que seu valor salte entre essas constantes em um intervalo.

Exercício 10.5 (O triângulo da hipérbole)

Seja $a\gt 0$. Considere a reta tangente à hipérbole $xy=1$ no ponto $P=(a,1/a)$.

Determine os interceptos da tangente com os eixos e mostre que o triângulo formado tem área $2$, independentemente de $a$.
Mostre que $P$ é o ponto médio do segmento da tangente compreendido entre os eixos.
O que muda para a hipérbole $xy=k$, com $k\gt 0$? Considere a tangente em $P=(a,k/a)$, com $a\gt 0$. Determine a área do triângulo formado com os eixos e verifique se $P$ continua sendo o ponto médio do segmento entre os interceptos.

Ver solução

Derivando $xy=1$, obtemos $y'=-y/x$. No ponto $P$, a inclinação é $-1/a^2$. Logo,

\[ y-\frac1a=-\frac1{a^2}(x-a) \quad \Longleftrightarrow \quad y=\frac2a-\frac{x}{a^2}. \]

Os interceptos são $(2a,0)$ e $(0,2/a)$. Como $a\gt 0$, a área vale $\frac12(2a)(2/a)=2$.
O ponto médio é $\bigl((2a)/2,(2/a)/2\bigr)=(a,1/a)=P$.
Para $xy=k$, a tangente em $(a,k/a)$ tem equação $y=2k/a-(k/a^2)x$, com interceptos $(2a,0)$ e $(0,2k/a)$. A área é $2k$, e $(a,k/a)$ continua sendo o ponto médio do segmento.

Exercício 10.6

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado

$\dfrac {x^2}{16}-\dfrac {y^2}{9}=1$ no ponto $(-5,9/4)$
$\dfrac {x^2}{9}+\dfrac {y^2}{36}=1$ no ponto $(-1,4\sqrt{2})$
$y^2=x^3(2-x)$ no ponto $(1,1)$

Ver solução

$y'=\dfrac {9x}{16y}$; no ponto dado, $m=-5/4$. A reta é $y-9/4=-\dfrac 54(x+5)$.
$y'=-\dfrac {4x}{y}$; no ponto dado, $m=1/\sqrt2$. A reta é $y-4\sqrt2=\dfrac 1{\sqrt2}(x+1)$.
$y'=\dfrac {x^2(3-2x)}{y}$; no ponto dado, $m=1$. A reta é $y=x$.

Exercício 10.7

A função $y=f(x)$, $y\gt 0$ é dada implicitamente por $x^2+4y^2=2$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)$ no ponto de abscissa 1.

Ver solução

A derivação implícita fornece $y'=-x/(4y)$. Quando $x=1$, temos $y=1/2$; portanto, $y'(1)=-1/2$ e a reta tangente é

\[ y=\frac12-\frac12(x-1). \]

Exercício 10.8

Sejam $a,b\gt 0$. Mostre, fazendo a diferenciação implícita, que a tangente à elipse

\[ \dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1 \]

no ponto $(x_0,y_0)$ é

\[ \dfrac {x_0x}{a^2}+\dfrac {y_0y}{b^2}=1 \]

Ver solução

Se $y_0\neq 0$, a diferenciação implícita fornece $y'=-b^2x/(a^2y)$. Portanto, a tangente em $(x_0,y_0)$ satisfaz

\[ y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0). \]

Multiplicando por $y_0/b^2$ e reorganizando,

\[ \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2} =\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1. \]

Se $y_0=0$, então $x_0=\pm a\neq 0$. Diferenciando $x$ em relação a $y$, obtemos $dx/dy=-a^2y/(b^2x)$, que se anula nesse ponto; logo, a tangente é vertical, $x=x_0$. A fórmula do enunciado reduz-se exatamente a essa reta.

Exercício 10.9

Seja $c\gt 0$. Mostre que a soma dos interceptos nos eixos $x$ e $y$ da reta tangente à curva $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{c}$, em qualquer ponto com $x\gt 0$ e $y\gt 0$, é igual a $c$.

Ver solução

Derivando implicitamente, temos $y'=-\dfrac {\sqrt y}{\sqrt x}$. Logo, a reta tangente em $(a,b)$ é $y-b=-\dfrac {\sqrt b}{\sqrt a}(x-a)$. Seus interceptos somam $a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2=c$.

Exercício 10.10

Encontre as equações das retas tangentes à elipse $x^2+4y^2=36$ que passam pelo ponto $(12,3)$.

Ver solução

A tangente à elipse no ponto $(u,v)$ satisfaz $ux+4vy=36$. Para passar por $(12,3)$, é necessário $12u+12v=36$, isto é, $u+v=3$. Substituindo $v=3-u$ em $u^2+4v^2=36$, obtemos $5u^2-24u=0$. Assim, os pontos são $(0,3)$ e $(24/5,-9/5)$, e as retas correspondentes são $y=3$ e $2x-3y=15$. Ambas passam por $(12,3)$.

Exercício 10.11

A água escoa de um tanque. A altura inicial é $20\, \mathrm{m}$ e, no modelo adotado, após $t$ segundos a altura $h$, em metros, satisfaz

\[ 2\sqrt h+\frac t{25}-2\sqrt{20}=0. \]

O modelo vale para $0\leq t\leq 50\sqrt{20}$. A que taxa a altura da água diminui no instante em que $h=9\, \mathrm{m}$?

Ver solução

Derivando implicitamente, obtemos

\[ \frac{h'}{\sqrt{h}}+\frac1{25}=0 \quad \Longrightarrow \quad h'=-\frac{\sqrt h}{25}. \]

Quando $h=9$, $h'=-3/25\, \mathrm{m/s}$; portanto, a altura diminui à taxa de $3/25\, \mathrm{m/s}$.

Exercício 10.12

A curva $x^2+xy+y^2=7$ define $y$ implicitamente perto de $(1,2)$. Encontre $dy/dx$ e a reta tangente nesse ponto.

Ver solução

\[ y'=-\frac{2x+y}{x+2y}. \]

Em $(1,2)$, $y'=-4/5$; a tangente é $y-2=-\frac45(x-1)$.

10.2 Derivadas das funções exponencial e logarítmica

Para obter as derivadas das exponenciais e dos logaritmos de base geral, usaremos a identidade $a^x=e^{x\ln a}$, a mudança de base $\log _a x=\ln x/\ln a$ e a regra da cadeia. Assim, suas fórmulas decorrem das derivadas que já conhecemos.

Teorema 10.9

Se $a\gt 0$, então

\[ \frac{d }{d x}a^x=a^x\ln a. \]

Demonstração ▼

A identidade $a^x=e^{x\ln a}$ permite aplicar diretamente a regra da cadeia:

\[ \frac{d }{d x}a^x=e^{x\ln a}\ln a=a^x\ln a. \]

Exemplo 10.10

Calcule a derivada de $y=2^{\sqrt{x}}$

Solução

A função está definida para $x\geq 0$. Para $x\gt 0$, a regra da cadeia fornece

\[ y'=2^{\sqrt x}\ln 2\cdot \frac1{2\sqrt x}=\frac{2^{\sqrt x}\ln 2}{2\sqrt x}. \]

Em $x=0$, a derivada finita não existe; logo, $\operatorname {Dom}y'=(0,\infty )$.

Teorema 10.11

Se $a\gt 0$, $a\neq 1$ e $x\gt 0$, então

\[ \frac{d }{d x}\log _a x=\dfrac {1}{x\ln a}. \]

Demonstração ▼

Pela mudança de base, $\log _a x=\ln x/\ln a$. Como $\ln a$ é uma constante não nula,

\[ \frac{d }{d x}\log _a x =\frac1{\ln a}\frac{d }{d x}\ln x =\frac{1}{x\ln a}. \]

Exemplo 10.12

Calcule a derivada de $y=\log _{10}(x^2+1)$.

Solução

Como $x^2+1\gt 0$ para todo $x\in \mathbb {R}$, a composição está definida em todo $\mathbb {R}$. Pela regra da cadeia,

\[ \frac{d }{d x}\log _{10}(x^2+1) =\frac{1}{\ln 10\, (x^2+1)}\cdot 2x =\frac{2x}{(x^2+1)\ln 10}. \]

10.2.1 Derivada de $f(x)^{g(x)}$

Como derivar uma potência em que tanto a base quanto o expoente variam com $x$? Quando a base é positiva, podemos usar o logaritmo para transformar a potência em um produto e considerar as duas variações.

Teorema 10.13

Sejam $f$ e $g$ funções deriváveis em um intervalo, com $f(x)\gt 0$. Então $h(x)=[f(x)]^{g(x)}$ é derivável e

\[ h'(x)=[f(x)]^{g(x)} \left(g'(x)\ln [f(x)]+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right). \]

Demonstração ▼

A identidade $h(x)=e^{g(x)\ln f(x)}$ e a regra da cadeia garantem primeiro que $h$ é derivável. Como $f(x)\gt 0$, também $h(x)\gt 0$, e podemos escrever

\[ \ln h(x)=g(x)\ln [f(x)]. \]

Diferenciando implicitamente e aplicando as regras do produto e da cadeia,

\[ \frac{h'(x)}{h(x)} =g'(x)\ln [f(x)]+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}. \]

Multiplicando por $h(x)=[f(x)]^{g(x)}$, obtemos a fórmula enunciada.

O procedimento empregado na demonstração é chamado derivação logarítmica: aplicamos o logaritmo à identidade que define a função, simplificamos a expressão obtida e diferenciamos implicitamente.

Exemplo 10.14

Calcule a derivada de $x^x$, para $x\gt 0$.

Solução

Para $x\gt 0$, ponha $y=x^x$. Como $y\gt 0$, podemos aplicar o logaritmo natural:

\[ \ln y=x\ln x. \]

Derivando implicitamente,

\begin{align*} \frac{y'}{y}& =\ln x+1,\\ y’& =y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1). \end{align*}

A mesma fórmula resulta da identidade $x^x=e^{x\ln x}$.

Exemplo 10.15

Calcule a derivada de $(\operatorname {sen}x)^{\cos x}$.

Solução

Trabalhamos em qualquer intervalo no qual $\operatorname {sen}x\gt 0$, condição necessária para usar o logaritmo real. Ponha $y=(\operatorname {sen}x)^{\cos x}$. Então

\[ \ln y=\cos x\, \ln (\operatorname {sen}x). \]

Derivando implicitamente e aplicando as regras do produto e da cadeia,

\begin{align*} \frac{y'}{y} & =-\operatorname {sen}x\, \ln (\operatorname {sen}x)+\cos x\frac{\cos x}{\operatorname {sen}x},\\ y’ & =(\operatorname {sen}x)^{\cos x} \left(-\operatorname {sen}x\ln (\operatorname {sen}x)+\frac{\cos ^2x}{\operatorname {sen}x}\right). \end{align*}

Exercício 10.13 (Qual taxa de crescimento está sendo comparada?)

Dois modelos de crescimento, com $t\geq 0$ em horas, são

\[ P(t)=100e^{0{,}2t},\qquad Q(t)=200e^{0{,}1t}. \]

As quantidades $P$ e $Q$ são medidas na mesma unidade. A taxa relativa instantânea de uma quantidade positiva $N$ é $N'/N$.

Compare as taxas absolutas em $t=0$ e as taxas relativas. O que aparece quando se derivam $\ln P$ e $\ln Q$?
A frase “$P$ cresce exatamente $20\% $ a cada hora” descreve esse modelo? Distinga a taxa relativa instantânea da variação percentual ao longo de uma hora completa.

Ver solução

$P'(0)=Q'(0)=20$ unidades por hora. Contudo, $P'/P=0{,}2\, \mathrm{h}^{-1}$ e $Q'/Q=0{,}1\, \mathrm{h}^{-1}$: a taxa relativa de $P$ é o dobro. Pela regra da cadeia, $(\ln P)'=P'/P$ e $(\ln Q)'=Q'/Q$.
Não. Em uma hora, $P(t+1)/P(t)=e^{0{,}2}$, e o aumento percentual é $100(e^{0{,}2}-1)\% $, aproximadamente $22{,}14\% $. O número $20\% $ por hora expressa a taxa relativa instantânea: multiplicá-la por um intervalo de tempo suficientemente pequeno fornece uma aproximação da variação percentual, não o aumento exato em uma hora.

Exercício 10.14

Encontre as derivadas das seguintes funções:

$f(x)=2^x+3^x+4^x+5^x+6^x+7^x$
$f(x)=\pi ^x+3^xx+4^x\cos x$
$f(x)=\log _2x+\log _3x+\log _4x$
$f(x)=2^x\log _3x$

Ver solução

$2^x\ln 2+3^x\ln 3+4^x\ln 4+5^x\ln 5+6^x\ln 6+7^x\ln 7$.
$\pi ^x\ln \pi +3^x(x\ln 3+1)+4^x(\ln 4\cos x-\operatorname {sen}x)$.
$\dfrac 1{x\ln 2}+\dfrac 1{x\ln 3}+\dfrac 1{x\ln 4}$, para $x\gt 0$.
$\dfrac {2^x}{\ln 3}\left(\ln 2\ln x+\dfrac 1x\right)$, para $x\gt 0$.

Exercício 10.15 (O sinal de $\ln a$ e a monotonicidade de $a^x$)

A fórmula $(a^x)'=a^x\ln a$, para $a\gt 0$, foi demonstrada nesta seção. Sem repetir sua demonstração, explique por que $a^x$ é estritamente crescente quando $a\gt 1$, estritamente decrescente quando $0\lt a\lt 1$ e constante para $a=1$. O que acontece com a derivada quando $a$ se aproxima de $1$?

Ver solução

Como $a^x\gt 0$, o sinal da derivada é o de $\ln a$. Para $a\gt 1$, temos $\ln a\gt 0$, e a função cresce; para $0\lt a\lt 1$, $\ln a\lt 0$, e ela decresce. Quando $a=1$, a função é constante. Quando $a\to 1$, $\ln a\to 0$, de modo que a derivada $a^x\ln a$ tende a zero para cada $x$ fixado.

Exercício 10.16

Para cada função, determine a equação da reta tangente ao gráfico no ponto indicado ou no ponto de abscissa indicada. Esboce o gráfico da função e a reta tangente.

$y=x^3$ no ponto $x=3$
$y=x^7+3x$ no ponto $x=1$
$y=1/(x-1)$ no ponto $(-1,-1/2)$
$y=\operatorname {sen}x$ no ponto $x=\pi $
$y=2^x$ no ponto $x=2$
$y=\cos x+x^2$ no ponto $x=0$

Ver solução

Em cada item, calculamos $f'(x_0)$ e usamos a forma ponto-inclinação

\[ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0). \]

Resultam as seguintes retas tangentes:

$y=27(x-3)+27$.
$y=10(x-1)+4$.
$y=-\dfrac 14(x+1)-\dfrac 12$.
$y=\pi -x$.
$y-4=4\ln (2)(x-2)$.
$y=1$.

$Ilustração: Derivada de $f(x)^{g(x)}$$

Exercício 10.17

Calcule a derivada de $f(t)=(\ln t)e^t$ e indique o domínio.

Ver solução

Como $f(t)=(\ln t)e^t$, seu domínio é $t\gt 0$. Pela regra do produto,

\[ f'(t)=\frac{e^t}{t}+e^t\ln t =e^t\left(\frac1t+\ln t\right),\qquad t\gt 0. \]

Exercício 10.18

A lei de Weber–Fechner propõe, em um modelo idealizado, que a intensidade percebida de um estímulo seja

\[ P(I)=k\ln \left(\frac{I}{I_0}\right),\qquad I\gt 0, \]

em que $k$ e $I_0$ são constantes positivas.

Calcule $P'(I)$ e interprete seu comportamento quando $I$ aumenta.
Mostre que duplicar o estímulo sempre produz o mesmo acréscimo na percepção prevista pelo modelo.

Ver solução

Temos $P'(I)=k/I$. A percepção ainda cresce com o estímulo, mas sua sensibilidade a um mesmo acréscimo absoluto diminui quando $I$ aumenta. Além disso,

\[ P(2I)-P(I)=k\ln 2, \]

independentemente de $I$.

Exercício 10.19

Calcule as derivadas das funções abaixo nos intervalos em que estão definidas. Nas potências de expoente variável, trabalhe com base positiva.

$e^{\operatorname {sen}x}$
$\ln (1+x^2)$
$x^{\sqrt{x}}$
$(\cos x)^x$
$x^{\pi }+\pi ^x$
$(2x+1)^x$
$\ln (\ln (\ln (x))) $
$(\ln x)^x$
$x^{e^x}$
$\star $ $x^{x^x}$

Ver solução

Usando a regra da cadeia e, nos itens com variável na base e no expoente, a diferenciação logarítmica, obtemos

$e^{\operatorname {sen}x}\cos x$.
$\dfrac {2x}{1+x^2}$.
$x^{\sqrt{x}}\dfrac {\ln x+2}{2\sqrt{x}}$, para $x\gt 0$.
$(\cos x)^x\bigl(\ln (\cos x)-x\operatorname {tg}x\bigr)$, nos intervalos em que $\cos x\gt 0$.
$\pi x^{\pi -1}+\pi ^x\ln \pi $, para $x\gt 0$.
$(2x+1)^x\left(\ln (2x+1)+\dfrac {2x}{2x+1}\right)$, para $x\gt -1/2$.
$\dfrac 1{x\ln x\, \ln (\ln x)}$, para $x\gt e$.
$(\ln x)^x\left(\ln (\ln x)+\dfrac 1{\ln x}\right)$, para $x\gt 1$.
$x^{e^x}e^x\left(\ln x+\dfrac 1x\right)$, para $x\gt 0$.
$x^{x^x}x^x\left((\ln x+1)\ln x+\dfrac 1x\right)$, para $x\gt 0$.

Exercício 10.20

Calcule as derivadas. Nas potências com base e expoente variáveis, use derivação logarítmica e indique o domínio considerado.

$f(x)=5^x+\log _3x$
$y=2^{x^2}+3^{2x}$
$g(x)=3^{2x+1}+\log _2(x^2+1)$
$f(x)=x^{\operatorname {sen}(3x)}$
$g(x)=(3+\cos x)^x$
$y=x^x\operatorname {sen}x$
$y=x^{x^2+1}$
$y=(1+i)^{-t}$, $i\gt 0$ constante
$y=10^x-10^{-x}$
$y=(2+\operatorname {sen}x)^{\cos (3x)}$
$y=\ln (1+x^x)$
$y=\left(1+\dfrac 1x\right)^x$
$y=x^{\operatorname {tg}x}$
$y=(1+x)^{e^{-x}}$
Em um ramo derivável de $x^y=y^x$, com $x,y\gt 0$, calcule $dy/dx$ aplicando logaritmos antes de derivar.

Ver solução

$5^x\ln 5+\dfrac 1{x\ln 3}$, $x\gt 0$.
$2x\, 2^{x^2}\ln 2+2\cdot 3^{2x}\ln 3$.
$2\cdot 3^{2x+1}\ln 3+\dfrac {2x}{(x^2+1)\ln 2}$.
$x^{\operatorname {sen}(3x)}\left[3\cos (3x)\ln x+\dfrac {\operatorname {sen}(3x)}x\right]$, $x\gt 0$.
$(3+\cos x)^x\left[\ln (3+\cos x)-\dfrac {x\operatorname {sen}x}{3+\cos x}\right]$.
$x^x\bigl[(\ln x+1)\operatorname {sen}x+\cos x\bigr]$, $x\gt 0$.
$x^{x^2+1}\left[2x\ln x+x+\dfrac 1x\right]$, $x\gt 0$.
$-(1+i)^{-t}\ln (1+i)$.
$(10^x+10^{-x})\ln 10$.
\[ (2+\operatorname {sen}x)^{\cos (3x)}\left[\begin{gathered}-3\operatorname {sen}(3x)\ln (2+\operatorname {sen}x)\\ +\dfrac {\cos x\cos (3x)}{2+\operatorname {sen}x}\end{gathered}\right]. \]
$\dfrac {x^x(\ln x+1)}{1+x^x}$, $x\gt 0$.
$\left(1+\dfrac 1x\right)^x\left[\ln \left(1+\dfrac 1x\right)-\dfrac 1{x+1}\right]$, para $x\gt 0$ ou $x\lt -1$.
$x^{\operatorname {tg}x}\left[\sec ^2x\, \ln x+\dfrac {\operatorname {tg}x}x\right]$, $x\gt 0$, $\cos x\ne 0$.
$(1+x)^{e^{-x}}e^{-x}\left[\dfrac 1{1+x}-\ln (1+x)\right]$, $x\gt -1$.
Para $x,y\gt 0$, aplicamos logaritmos e obtemos $y\ln x=x\ln y$. Derivando implicitamente,

\[ y'\ln x+\frac yx=\ln y+\frac{x}{y}y'. \]

Logo,

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\ln y-y/x}{\ln x-x/y}, \]

nos pontos em que o denominador não se anula.

Exercício 10.21

Derive por diferenciação logarítmica

\[ y=\frac{(x^2+1)^{\sqrt{x}}}{x^3},\qquad x\gt 0. \]

Indique em que ponto a hipótese $x\gt 0$ é usada.

Ver solução

Como $x\gt 0$, podemos escrever $\ln y=\sqrt{x}\ln (x^2+1)-3\ln x$. Assim,

\[ y'=y\left(\frac{\ln (x^2+1)}{2\sqrt{x}} +\frac{2x\sqrt{x}}{x^2+1}-\frac3x\right), \quad y=\frac{(x^2+1)^{\sqrt{x}}}{x^3}. \]

A hipótese garante a existência de $\sqrt x$ e de $\ln x$ e torna $y\gt 0$.

10.3 Derivadas das funções trigonométricas inversas

Seno, cosseno e tangente não são injetoras em seus domínios naturais. Ao restringi-las aos intervalos escolhidos na Seção 5.8, obtemos funções bijetoras e, portanto, inversas bem definidas. O teorema da derivada da função inversa permite então deduzir as derivadas de arco-seno, arco-cosseno e arco-tangente, com seus respectivos domínios.

Teorema 10.16

Seja $\operatorname {arcsen}:[-1,1]\to \left[\displaystyle \dfrac {-\pi }{2}\, ,\, \dfrac {\pi }{2}\right]$ então

\[ \frac{d }{d x}\operatorname {arcsen}x = \dfrac {1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1\lt x\lt 1. \]

Demonstração ▼

A função $\operatorname {sen}x$ é injetora no intervalo $\left[\displaystyle \dfrac {-\pi }{2}\, ,\, \dfrac {\pi }{2}\right]$ com imagem o intervalo $[-1,1]$. Logo,

\[ y=\operatorname {arcsen}x\quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname {sen}y=x, \qquad -\frac{\pi }{2}\leq y\leq \frac{\pi }{2}. \]

Para $-1\lt x\lt 1$, temos $-\pi /2\lt y\lt \pi /2$ e, portanto, $\cos y\gt 0$. Assim, a derivada de $\operatorname {sen}$ não se anula no ponto correspondente e as hipóteses do Teorema 9.43 estão satisfeitas. Há duas maneiras de obter a derivada. Pelo Teorema 9.43,

\[ (\operatorname {arcsen}x)'=\frac{1}{\cos (\operatorname {arcsen}x)}. \]

Alternativamente, a derivação implícita de $\operatorname {sen}y=x$ fornece

\[ \cos y\, \frac{d y}{d x}=1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\cos y}. \]

Em ambos os casos, como $y\in [-\pi /2,\pi /2]$, temos $\cos y\geq 0$ e

\[ \cos y=\sqrt{1-\operatorname {sen}^2y}=\sqrt{1-x^2}. \]

Portanto,

\[ (\operatorname {arcsen}x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1\lt x\lt 1. \]

Nos extremos $x=\pm 1$, a derivada não é finita.

Figura 10.7 Gráfico de f(x)=arcsenx, com domínio [-1,1] e imagem [-π /2,π /2]. — Figura 10.7 Gráfico de $f(x)=\operatorname {arcsen}x$, com domínio $[-1,1]$ e imagem $[-\pi /2,\pi /2]$.

Teorema 10.17

Seja $\arccos :[-1,1]\to \left[0,\pi \right] $ então

\[ \frac{d }{d x}\arccos x = -\dfrac {1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1\lt x\lt 1. \]

Demonstração ▼

A função $\cos x$ é injetora em $[0,\pi ]$ e tem imagem $[-1,1]$. Assim,

\[ y=\arccos x\quad \Longleftrightarrow \quad \cos y=x, \qquad 0\leq y\leq \pi . \]

Para $-1\lt x\lt 1$, temos $0\lt y\lt \pi $ e $-\operatorname {sen}y\neq 0$. O Teorema 9.43 garante, portanto, que $\arccos $ é derivável. Derivando implicitamente e usando $\operatorname {sen}y\geq 0$ nesse intervalo,

\begin{align*} -\operatorname {sen}y\, \frac{d y}{d x}& =1,\\ \operatorname {sen}y& =\sqrt{1-\cos ^2y}=\sqrt{1-x^2}. \end{align*}

Logo,

\[ (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1\lt x\lt 1. \]

Nos extremos $x=\pm 1$, a derivada não é finita.

Teorema 10.18

Seja $\operatorname {arctg}:\mathbb {R}\to \left(-\pi /2,\pi /2\right) $ então

\[ \frac{d }{d x}\operatorname {arctg}x = \dfrac {1}{1+x^2},\qquad x\in \mathbb {R}. \]

A restrição de $\operatorname {tg}$ ao intervalo $(-\pi /2,\pi /2)$ é bijetora sobre $\mathbb {R}$. Sua inversa é a função $\operatorname {arctg}:\mathbb {R}\to (-\pi /2,\pi /2)$, caracterizada por

\[ y=\operatorname {arctg}x\quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname {tg}y=x. \]

Figura 10.8 Gráfico de f(x)=arctgx, com assíntotas horizontais y=± π /2. — Figura 10.8 Gráfico de $f(x)=\operatorname {arctg}x$, com assíntotas horizontais $y=\pm \pi /2$.

Demonstração ▼

Como $(\operatorname {tg}y)'=\sec ^2 y\gt 0$ em $(-\pi /2,\pi /2)$, o Teorema 9.43 garante que $\operatorname {arctg}$ é derivável em $\mathbb {R}$. Se $y=\operatorname {arctg}x$, então $\operatorname {tg}y=x$. Derivando implicitamente,

\[ \sec ^2y\, \frac{d y}{d x}=1. \]

Como $\sec ^2y=1+\operatorname {tg}^2y=1+x^2$, concluímos que

\[ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+x^2},\qquad x\in \mathbb {R}. \]

As convenções para a arco-secante, a arco-cossecante e a arco-cotangente, incluindo seus domínios e intervalos de valores, foram fixadas na Seção 5.8. A identidade $\operatorname {arccotg}x=\pi /2-\operatorname {arctg}x$ será demonstrada nos exercícios. A regra da cadeia e a derivação implícita fornecem as derivadas seguintes.

Teorema 10.19 (Derivadas das funções trigonométricas inversas)

$\frac{d }{d x}\operatorname {arcsen}x=\dfrac {1}{\sqrt{1-x^{2}}}$, $|x|\lt 1$;
$\frac{d }{d x}\arccos x=\dfrac {-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$, $|x|\lt 1$;
$\frac{d }{d x}\operatorname {arctg}x=\dfrac {1}{1+x^{2}}$, $x\in \mathbb {R}$;
$\frac{d }{d x}\operatorname *{arcsec} x=\dfrac {1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}$, $|x|\gt 1$;
$\frac{d }{d x}\operatorname {arccotg}x=\dfrac {-1}{1+x^{2}}$, $x\in \mathbb {R}$;
$\frac{d }{d x}\operatorname {arccossec} x=\dfrac {-1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}$, $|x|\gt 1$.

Até aqui, a regra da cadeia e a derivação implícita foram usadas principalmente para obter novas fórmulas de derivação. Quando várias grandezas dependem de um mesmo parâmetro — em geral, o tempo —, as mesmas técnicas tornam-se uma ferramenta de modelagem: uma relação entre grandezas passa a produzir uma relação entre suas taxas de variação.

Exercício 10.22 (Recuperar um ângulo perto de uma extremidade)

Um dispositivo mede $u=\operatorname {sen}\theta $ e recupera o ângulo pelo ramo

\[ \theta (u)=\operatorname {arcsen}u,\qquad -1\leq u\leq 1, \]

com $-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2$. Os ângulos estão em radianos. As retas tracejadas são tangentes em $A$, de abscissa $0$, e em $B$, de abscissa $\sqrt3/2$.

Calcule as duas sensibilidades $\theta '(u)$. Em qual dos pontos uma pequena variação na leitura de $u$ provoca uma alteração angular aproximadamente maior? Justifique pela derivada.
O ângulo recuperado permanece limitado. Isso implica que exista um número finito $K$ com $\theta '(u)\leq K$ para todo $-1\lt u\lt 1$? Relacione a resposta com a forma do gráfico perto dos extremos.

Ilustração: Derivadas das funções trigonométricas inversas

Ver solução

$\theta '(u)=1/\sqrt{1-u^2}$ para $|u|\lt 1$. Logo, $\theta '(0)=1$ e $\theta '(\sqrt3/2)=2$, em radianos por unidade de $u$. A alteração local é duas vezes maior em $B$.
Não. A derivada tende a $+\infty $ quando $u\to \pm 1$ pelo interior. O gráfico tem direção vertical nas extremidades, embora seus valores sejam finitos. A limitação dos ângulos não fornece uma limitação uniforme da amplificação local de pequenas perturbações.

Exercício 10.23 (Derivada nula em dois intervalos)

Seja $F(x)=\operatorname {arctg}x+\operatorname {arctg}\dfrac 1x$, para $x\ne 0$. Para verificar seus valores em cada intervalo, use os ramos da arco-tangente. O resultado geral sobre funções com derivada nula será justificado após o Teorema do Valor Médio.

Mostre que $F'(x)=0$ para todo $x\ne 0$.
Calcule $F(1)$ e $F(-1)$. A função $F$ é constante?
Explique por que o item (a) não contradiz o item (b). Que hipótese sobre o domínio é necessária para concluir que uma função com derivada nula é constante?

Ver solução

$F'(x)=\dfrac 1{1+x^2}+\dfrac 1{1+1/x^2}\left(-\dfrac 1{x^2}\right) =\dfrac 1{1+x^2}-\dfrac 1{x^2+1}=0$.
$F(1)=\pi /2$ e $F(-1)=-\pi /2$: $F$ não é constante.
Se $\theta =\operatorname {arctg}x$, então $\operatorname {arctg}(1/x)=\pi /2-\theta $ para $x\gt 0$ e $\operatorname {arctg}(1/x)=-\pi /2-\theta $ para $x\lt 0$, pelas escolhas dos ramos. Esses ângulos pertencem a $(-\pi /2,\pi /2)$ e têm tangente $1/x$. Assim, $F$ é constante em cada intervalo do domínio: vale $\pi /2$ em $(0,+\infty )$ e $-\pi /2$ em $(-\infty ,0)$. O exemplo mostra por que não se pode dispensar a hipótese de trabalhar em um intervalo; o Teorema do Valor Médio justificará a conclusão geral.

Exercício 10.24

Calcule as seguintes derivadas

$\operatorname {arcsen}(x^3)$
$\arccos (\operatorname {sen}(x))$
$\operatorname {arccossec}(2x)$

Ver solução

Aplicando a regra da cadeia às fórmulas das funções trigonométricas inversas e registrando os respectivos domínios, obtemos

$\dfrac {3x^2}{\sqrt{1-x^6}}$, para $|x|\lt 1$.
$-\dfrac {\cos x}{|\cos x|}$, nos pontos em que $\cos x\neq 0$.
$-\dfrac {1}{|x|\sqrt{4x^2-1}}$, para $|x|\gt 1/2$.

Exercício 10.25

Calcule as derivadas e indique onde as fórmulas são válidas.

$h(t)=\operatorname {arcsen}(2t)$
$f(t)=\operatorname {arcsec}(2t)$
$g(x)=\operatorname {arctg}(2x)$
$f(x)=x\operatorname {arcsen}x$
$g(t)=\operatorname {sen}t\, \arccos t$
$h(x)=\operatorname {arcsen}x/\arccos x$
$g(x)=\operatorname {arctg}(\sqrt{x})$
$f(x)=\operatorname {arcsec}(1/x)$

Ver solução

As regras da cadeia, do produto e do quociente fornecem

$h'(t)=\dfrac {2}{\sqrt{1-4t^2}}$, para $|t|\lt 1/2$.
$f'(t)=\dfrac {1}{|t|\sqrt{4t^2-1}}$, para $|t|\gt 1/2$.
$g'(x)=\dfrac {2}{1+4x^2}$, para $x\in \mathbb {R}$.
$f'(x)=\operatorname {arcsen}x+\dfrac {x}{\sqrt{1-x^2}}$, para $|x|\lt 1$.
$g'(t)=\arccos (t)\cos t-\dfrac {\operatorname {sen}t}{\sqrt{1-t^2}}$, para $|t|\lt 1$.
$h'(x)=\dfrac {\operatorname {arcsen}x+\arccos x}{\sqrt{1-x^2}\, [\arccos x]^2}$, para $|x|\lt 1$.
$g'(x)=\dfrac {1}{2\sqrt{x}(1+x)}$, para $x\gt 0$.
$f'(x)=-\dfrac {1}{\sqrt{1-x^2}}$, para $0\lt |x|\lt 1$.

Exercício 10.26 (Arco-tangente e arco-cotangente)

Considere $\operatorname {arccotg}:\mathbb {R}\to (0,\pi )$, a inversa da restrição de $\operatorname {cotg}$ ao intervalo $(0,\pi )$. Mostre que

\[ \operatorname {arctg}(2x)+\operatorname {arccotg}(2x)=\frac{\pi }{2}\qquad \text{para todo }x\in \mathbb {R}. \]

Ver solução

Seja $\theta =\operatorname {arctg}(2x)\in (-\pi /2,\pi /2)$. Então $\pi /2-\theta \in (0,\pi )$ e $\operatorname {cotg}(\pi /2-\theta )=\operatorname {tg}\theta =2x$. Pela definição do arco-cotangente, $\operatorname {arccotg}(2x)=\pi /2-\theta $, o que prova a identidade. Após o Teorema do Valor Médio, teremos também esta alternativa: a soma tem derivada $\dfrac {2}{1+4x^2}-\dfrac {2}{1+4x^2}=0$ em $\mathbb {R}$; logo é constante e vale $0+\pi /2$ em $x=0$.

Exercício 10.27

Determine a derivada de $\operatorname {arctg}(2x/(1-x^2))$ nos intervalos em que a expressão está definida. Use a fórmula da tangente dupla para relacionar localmente essa função com $2\operatorname {arctg}x$ e compare as derivadas. Explique por que a relação entre as funções deve levar em conta os ramos da arco-tangente.

Ver solução

Para $x\neq \pm 1$, a regra da cadeia fornece

\[ \frac{d}{dx}\operatorname {arctg}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)=\frac{2}{1+x^2}. \]

A identidade da tangente dupla leva localmente à mesma derivada, mas a função $\operatorname {arctg}$ escolhe valores em um intervalo restrito; por isso não se pode substituir globalmente a expressão por $2\operatorname {arctg}x$ sem constantes por trechos.

Exercício 10.28

Nos oito primeiros itens, calcule a derivada da função indicada, respeitando os domínios informados. Nos dois últimos, siga o pedido específico.

$f(x)=(x^2+1)^5$.
$g(x)=e^{x^2}\operatorname {sen}x$.
$h(x)=\ln (1+x^2)$.
$p(x)=x^x$, para $x\gt 0$.
$q(x)=(\operatorname {sen}x)^x$, em um intervalo no qual $\operatorname {sen}x\gt 0$.
$r(x)=\sqrt{\dfrac {1+x}{1-x}}$, para $-1\lt x\lt 1$.
$u(x)=\operatorname {arctg}(e^x)$.
$v(x)=\ln \! \left(\dfrac {x^2+1}{x-1}\right)$, para $x\gt 1$.
Calcule $y'$ se $x^2+xy+y^2=7$.
Calcule $f''(x)$ se $f(x)=x^2e^x$.

Ver solução

Este bloco combina as técnicas do capítulo; em cada item usamos apenas as regras necessárias e mantemos as condições de domínio implícitas no enunciado.

$f'(x)=10x(x^2+1)^4$.
$g'(x)=e^{x^2}(2x\operatorname {sen}x+\cos x)$.
$h'(x)=2x/(1+x^2)$.
$p'(x)=x^x(\ln x+1)$.
$q'(x)=(\operatorname {sen}x)^x[\ln (\operatorname {sen}x)+x\operatorname {cotg}x]$.
Por diferenciação logarítmica, $r'(x)=r(x)/(1-x^2)$.
$u'(x)=e^x/(1+e^{2x})$.
$v'(x)=2x/(x^2+1)-1/(x-1)$.
$y'=-(2x+y)/(x+2y)$, quando $x+2y\neq 0$.
$f''(x)=e^x(x^2+4x+2)$.

10.4 Taxas relacionadas

Duas ou mais grandezas estão relacionadas por uma equação e variam em função de uma mesma variável. Conhecendo a taxa de variação de uma delas, queremos determinar ou relacionar as taxas de variação das demais em relação a essa variável comum. Esse é o problema de taxas relacionadas.

O exemplo fundamental é a variação em relação ao tempo. Se $x=x(t)$ e $y=y(t)$ permanecem ligadas por uma equação, diferenciamos essa relação em relação a $t$, usando a regra da cadeia sempre que necessário. Os valores das grandezas variáveis em um instante específico devem ser substituídos apenas depois da diferenciação. As constantes do modelo podem ser substituídas desde o início. O mesmo procedimento vale para qualquer outra variável comum em relação à qual as grandezas sejam deriváveis.

Exemplo 10.20

Seja $A$ a área de um quadrado cujo lado $l$ varia com o tempo. Qual é a relação entre as taxas $dl/dt$ e $dA/dt$?

Solução

Escrevemos $l=l(t)$ e, consequentemente, $A=A(t)$. Como $A=l^2$, a regra da cadeia fornece

\begin{equation*} \frac{d A}{d t}=2l\frac{d l}{d t}. \end{equation*}

Essa identidade relaciona, em cada instante, a taxa de variação da área à taxa de variação do lado.

Exemplo 10.21 (Estequiometria e taxas de reação)

Em um reator de volume constante ocorre apenas a reação

\[ A+2B\longrightarrow C+D. \]

Essa escrita significa que, para cada mol de $A$ consumido, são consumidos dois mols de $B$ e formados um mol de $C$ e um mol de $D$. Em certo instante, a concentração de $B$ está diminuindo à taxa de $0{,}24\, \mathrm{mol\, L^{-1}\, s^{-1}}$. A que taxas variam, nesse mesmo instante, as concentrações de $A$, $C$ e $D$?

Solução

Indicamos por $[A]$, $[B]$, $[C]$ e $[D]$ as concentrações das respectivas substâncias (em mol/L); o índice $0$ indica o valor inicial. Se $\xi =\xi (t)$ representa a quantidade de reação ocorrida por unidade de volume, a estequiometria fornece

\[ [A]=[A]_0-\xi ,\qquad [B]=[B]_0-2\xi ,\qquad [C]=[C]_0+\xi ,\qquad [D]=[D]_0+\xi . \]

Diferenciando em relação ao tempo,

\[ -\frac{d [A]}{d t} =-\frac12\frac{d [B]}{d t} =\frac{d [C]}{d t} =\frac{d [D]}{d t} =\frac{d \xi }{d t}. \]

Como

\[ \frac{d [B]}{d t} =-0{,}24\, \mathrm{mol\, L^{-1}\, s^{-1}}, \]

obtemos

\[ \frac{d \xi }{d t}=0{,}12\, \mathrm{mol\, L^{-1}\, s^{-1}}. \]

Portanto,

\[ \boxed { \frac{d [A]}{d t}=-0{,}12,\qquad \frac{d [C]}{d t}=\frac{d [D]}{d t}=0{,}12 } \]

em $\mathrm{mol\, L^{-1}\, s^{-1}}$.

Exemplo 10.22

Ar é bombeado para o interior de um balão esférico, cujo volume cresce à taxa de $50\, \mathrm{cm^3/s}$. A que taxa o raio cresce quando mede $5\, \mathrm{cm}$?

Solução

Sejam $r=r(t)$ o raio e $V=V(t)$ o volume. Como

\[ V=\frac43\pi r^3, \]

derivando em relação ao tempo, obtemos

\[ \frac{d V}{d t}=4\pi r^2\frac{d r}{d t} \quad \Longrightarrow \quad \frac{d r}{d t}=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{d V}{d t}. \]

Substituindo $\frac{d V}{d t}=50\, \mathrm{cm^3/s}$ e $r=5\, \mathrm{cm}$, concluímos que

\[ \frac{d r}{d t}=\frac{1}{2\pi }\, \mathrm{cm/s}. \]

Exemplo 10.23

Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido, com raio superior de $2\, \mathrm{m}$ e altura de $4\, \mathrm{m}$. A água é bombeada para o tanque à taxa de $2\, \mathrm{m^3/min}$. Determine a taxa de elevação do nível da água quando a profundidade é $3\, \mathrm{m}$.

Solução

Sejam $V=V(t)$ o volume de água, $r=r(t)$ o raio da superfície e $h=h(t)$ a profundidade. O volume satisfaz

Figura não resolvida: figuras/taxas-tanque-conico

Figura 10.9 No corte axial do tanque, a semelhança entre o cone de água e o tanque fornece $r(t)/h(t)=2/4$.

\[ V=\frac13\pi r^2h. \]

Por semelhança de triângulos, $r/h=2/4$, isto é, $r=h/2$. Portanto,

\[ V=\frac13\pi \left(\frac h2\right)^2h=\frac{\pi }{12}h^3. \]

Derivando em relação a $t$,

\[ \frac{d V}{d t}=\frac{\pi h^2}{4}\frac{d h}{d t} \quad \Longrightarrow \quad \frac{d h}{d t}=\frac{4}{\pi h^2}\frac{d V}{d t}. \]

Com $h=3\, \mathrm{m}$ e $\frac{d V}{d t}=2\, \mathrm{m^3/min}$, resulta

\[ \frac{d h}{d t}=\frac{8}{9\pi }\, \mathrm{m/min}. \]

Exemplo 10.24

Um balanço está preso à extremidade de uma corda de $10\, \mathrm{m}$, fixada no ponto $Q$. Seja $P$ a posição do assento. No instante $t=0$, o balanço está diretamente abaixo de $Q$. Durante o primeiro segundo, o assento é puxado da esquerda para a direita com velocidade horizontal constante de $6\, \mathrm{m/s}$. Suponha que a corda permaneça esticada e tenha comprimento constante. Determine:

a velocidade vertical do balanço após $1\, \mathrm{s}$;
a velocidade angular da corda, em graus por segundo, após $1\, \mathrm{s}$.

Solução

Fixemos a origem na posição inicial de $P$. Se $x=x(t)$ é o deslocamento horizontal e $y=y(t)$ é a elevação em relação à posição inicial, então $\frac{d x}{d t}=6\, \mathrm{m/s}$. No primeiro item, procuramos $\frac{d y}{d t}$; no segundo, procuramos $\frac{d \theta }{d t}$, em que $\theta $ é o ângulo da corda com a vertical, medido em radianos.

Figura não resolvida: figuras/taxas-balanco

Figura 10.10 As variáveis do balanço formam um triângulo retângulo com catetos $x(t)$ e $10-y(t)$ e hipotenusa $10$.

Para a velocidade vertical, o triângulo retângulo da figura tem catetos $x$ e $10-y$ e hipotenusa $10$. Logo,

\[ x^2+(10-y)^2=100. \]

Derivando,

\[ 2x\frac{d x}{d t}-2(10-y)\frac{d y}{d t}=0. \]

Como $\frac{d x}{d t}=6$ e $x(0)=0$, temos $x(t)=6t$ durante o primeiro segundo. Assim, após $1\, \mathrm{s}$, $x=6\, \mathrm{m}$ e, pelo teorema de Pitágoras, $10-y=8\, \mathrm{m}$, de modo que $y=2\, \mathrm{m}$. Com $\frac{d x}{d t}=6\, \mathrm{m/s}$,

\[ 2\cdot 6\cdot 6-2\cdot 8\frac{d y}{d t}=0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{d y}{d t}=4{,}5\, \mathrm{m/s}. \]

Para a velocidade angular, relacionamos $x$ e $\theta $ por

\[ \operatorname {sen}\theta =\frac{x}{10}. \]

Derivando em relação a $t$,

\[ \cos \theta \, \frac{d \theta }{d t}=\frac1{10}\frac{d x}{d t}. \]

No instante considerado, o triângulo tem lados $6$, $8$ e $10$, portanto $\cos \theta =8/10$. Assim,

\[ \frac{d \theta }{d t}=\frac{6}{8}=\frac34\, \mathrm{rad/s}. \]

Multiplicando por $180/\pi $, obtemos aproximadamente $43\, \mathrm{graus/s}$.

Exemplo 10.25

A energia cinética de um corpo de massa constante $M$ é dada por $K=\frac12Mv^2$. Se o corpo está em queda livre com aceleração $9{,}8\, \mathrm{m/s^2}$, a que taxa a energia cinética aumenta quando sua velocidade é $30\, \mathrm{m/s}$?

40mm

Figura não resolvida: figuras/queda-livre-cinetica.tex

Figura 10.11 Posições em instantes igualmente espaçados: a velocidade e a aceleração apontam para baixo, enquanto a energia cinética aumenta.

Solução

Como $K=\frac12Mv^2$ e $M$ é constante, a diferenciação em relação ao tempo fornece

\[ \frac{d K}{d t}=Mv\frac{d v}{d t}. \]

No instante indicado, $v=30\, \mathrm{m/s}$ e $\frac{d v}{d t}=9{,}8\, \mathrm{m/s^2}$. Portanto,

\[ \frac{d K}{d t}=M\cdot 30\cdot 9{,}8=294M\, \mathrm{W}, \]

quando $M$ é medido em quilogramas.

Exemplo 10.26

Um gás está em uma câmara de parede flexível. Mantidos constantes a quantidade de gás e a temperatura, a pressão $P$ e o volume $V$ satisfazem $PV=k$, em que $k\gt 0$ é constante. Se o volume diminui a uma taxa constante, qual é a taxa de variação da pressão?

Solução

Derivando $PV=k$ em relação ao tempo,

\[ P\frac{d V}{d t}+V\frac{d P}{d t}=0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{d P}{d t}=-\frac{P}{V}\frac{d V}{d t}=-\frac{k}{V^2}\frac{d V}{d t}. \]

Como $\frac{d V}{d t}\lt 0$, resulta $\frac{d P}{d t}\gt 0$: a pressão aumenta. Se $\frac{d V}{d t}$ é constante, o fator $k/V^2$ cresce à medida que o volume diminui; portanto, a pressão sobe cada vez mais depressa.

Exercício 10.29 (Mesma vazão, velocidades diferentes do nível)

Um cilindro de raio $1\, \mathrm{cm}$ e um cone invertido de altura $4\, \mathrm{cm}$ e raio superior $2\, \mathrm{cm}$ recebem água à mesma vazão constante $\pi \, \mathrm{cm^3/s}$, sem saída. Em cada recipiente, $h$ é a profundidade da água, em centímetros, com $0\lt h\lt 4$. Os volumes são

\[ V_{\mathrm{cil}}(h)=\pi h,\qquad V_{\mathrm{cone}}(h)=\frac{\pi h^3}{12}. \]

A figura mostra cortes pelo eixo na altura $h=3/2$; as comparações abaixo são feitas quando cada recipiente alcança a profundidade especificada, não necessariamente no mesmo instante.

Compare as taxas de subida em $h=1$ e em $h=3$. O recipiente cujo nível sobe mais depressa é sempre o mesmo?
Em qual profundidade as taxas se igualam? Explique a igualdade comparando as áreas das superfícies da água nessa altura.

Ver solução

De $V'(h)h'=\pi $, obtemos $h'_{\mathrm{cil}}=1\, \mathrm{cm/s}$ e $h'_{\mathrm{cone}}=4/h^2\, \mathrm{cm/s}$. Em $h=1$, o cone sobe a $4\, \mathrm{cm/s}$, mais depressa; em $h=3$, sobe a $4/9\, \mathrm{cm/s}$, mais devagar. A ordem se inverte.
A igualdade ocorre em $h=2$. No cone, o raio da superfície é $h/2=1\, \mathrm{cm}$, igual ao do cilindro; as duas áreas são $\pi \, \mathrm{cm^2}$. A mesma vazão distribuída sobre áreas iguais produz a mesma taxa de subida.

Exercício 10.30 (As taxas devem respeitar a proporção da transformação)

Em um modelo idealizado da transformação $A+2B\longrightarrow C$, a quantidade transformada é $q(t)$, em mols. Sem alimentação externa, as quantidades de cada substância são

\[ n_A(t)=2-q(t),\qquad n_B(t)=3-2q(t),\qquad n_C(t)=q(t), \]

com $q\geq 0$ derivável e as três quantidades não negativas. O tempo está em minutos.

No mesmo instante, dois sensores informam $n_A'=-0{,}3$ e $n_B'=-0{,}3$, em mols por minuto. Essas leituras são compatíveis com o modelo? Se a leitura de $A$ estiver correta, quais devem ser as taxas de $B$ e de $C$?
Qual é o maior valor admissível de $q$? Se a transformação atingir esse valor, por que a taxa positiva $q'=0{,}3$ não pode ser mantida por mais um intervalo de tempo nesse modelo?

Ver solução

Não: $n_A'=-q'$, $n_B'=-2q'$ e $n_C'=q'$. A leitura de $A$ dá $q'=0{,}3$; portanto, $n_B'=-0{,}6$ e $n_C'=0{,}3\, \mathrm{mol/min}$.
As restrições são $q\leq 2$ e $q\leq 3/2$, logo $q_{\max }=3/2$. Nesse valor, $B$ se esgota enquanto resta $1/2$ mol de $A$. Manter $q'\gt 0$ por mais um intervalo faria $q\gt 3/2$ e $n_B\lt 0$, contrariando o domínio físico do modelo.

Exercício 10.31

A água flui sobre uma superfície plana à taxa de $5\, \mathrm{cm^3/s}$, formando uma poça circular de $10\, \mathrm{mm}$ de profundidade constante. A que taxa o raio cresce quando mede:

1 cm?
10 cm?
100 cm?

Ver solução

Como $10\, \mathrm{mm}=1\, \mathrm{cm}$, o volume é $V=\pi r^2$. Derivando, $5=2\pi r\, r'$, logo $r'=5/(2\pi r)$, em cm/s. Na ordem pedida:

$5/(2\pi )\, \mathrm{cm/s}$.
$1/(4\pi )\, \mathrm{cm/s}$.
$1/(40\pi )\, \mathrm{cm/s}$.

Exercício 10.32

Uma escada de $8\, \mathrm m$ está encostada em uma casa enquanto sua base é afastada a uma velocidade constante de $0{,}5\, \mathrm{m/s}$.

Figura não resolvida: figuras/taxas-escada

A que velocidade vertical o topo da escada desliza pela parede quando a base está a:

$1\, \mathrm m$ da casa?
$4\, \mathrm m$ da casa?
$7{,}5\, \mathrm m$ da casa?
O que o modelo prevê para a velocidade vertical do topo quando a base se aproxima de $8\, \mathrm m$ da parede?

Ver solução

Se $x$ é a distância da base à parede e $y$ é a altura do topo, então $x^2+y^2=64$. Como $x'=0{,}5$, temos $y'=-0{,}5x/y=-0{,}5x/\sqrt{64-x^2}$. As velocidades verticais são:

$-1/(2\sqrt{63})\, \mathrm{m/s}$.
$-1/(2\sqrt3)\, \mathrm{m/s}$.
$-15/(2\sqrt{31})\, \mathrm{m/s}$.
Não há taxa vertical finita: quando $x\to 8^-$, $y\to 0^+$ e $y'\to -\infty $. O modelo com afastamento horizontal constante não continua além desse instante.

Exercício 10.33 (O topo da escada está parado?)

Retome a escada de $8\, \mathrm m$ do exercício anterior, cuja base se afasta da parede a $0{,}5\, \mathrm{m/s}$. Considere a seguinte resolução para o instante em que a base está a $6\, \mathrm m$ da parede:

Como $x=6$, temos $36+y^2=64$, logo $y=\sqrt{28}$. Derivando essa igualdade, encontramos $dy/dt=0$; portanto, o topo está parado.

Identifique o erro e explique por que o valor de $y$ nesse instante não implica que a altura seja constante no tempo.
Corrija a resolução e determine a velocidade vertical do topo nesse instante.

Ver solução

A substituição $x=6$ é válida num instante específico, não como identidade entre funções do tempo. Portanto, $y=\sqrt{28}$ naquele instante não significa que $y(t)$ seja constante. É necessário derivar antes de substituir.
Ao longo do movimento, $x(t)^2+y(t)^2=64$. Derivando,

\[ 2xx'+2yy'=0 \quad \Longrightarrow \quad y'=-\frac{xx'}{y}. \]

Para $x=6$, $x'=0{,}5$ e $y=\sqrt{28}$,

\[ \boxed {y’=-\frac3{\sqrt{28}} \approx -0{,}57\, \mathrm{m/s}.} \]

O sinal negativo indica que o topo desce.

Exercício 10.34

A luminosidade $L$ de uma estrela é modelada pela lei de Stefan–Boltzmann,

\[ L=4\pi \sigma R^2T^4, \]

em que $R$ é o raio, $T$ é a temperatura da superfície e $\sigma $ é constante. Mostre que

\[ \frac{1}{L}\frac{d L}{d t} =2\frac{1}{R}\frac{d R}{d t}+4\frac{1}{T}\frac{d T}{d t}. \]

Em certo instante, o raio cresce à taxa relativa de $0{,}4\% $ por século e a temperatura diminui à taxa relativa de $0{,}1\% $ por século. Qual é a taxa relativa de variação da luminosidade nesse instante?

Ver solução

Diferenciando em relação ao tempo e dividindo por $L=4\pi \sigma R^2T^4$, obtemos a identidade pedida. Substituindo as taxas relativas,

\[ \frac{L'}{L}=2(0{,}4\% )+4(-0{,}1\% )=0{,}4\% \]

por século. Nesse instante, a luminosidade está aumentando.

Exercício 10.35 (Café em uma xícara)

Uma xícara tem a forma de um tronco de cone circular reto, com altura interna de $6\, \mathrm{cm}$, raio interno de $2\, \mathrm{cm}$ no fundo e de $4\, \mathrm{cm}$ na borda. Ela recebe café à vazão constante de $10\, \mathrm{cm^3/s}$. Seja $h$ a profundidade do café, medida a partir do fundo, e $r(h)$ o raio da superfície livre.

Obtenha a relação entre $r$ e $h$ e escreva o volume de café em função de $h$.
A que taxa o nível sobe quando a profundidade é $1\, \mathrm{cm}$, $3\, \mathrm{cm}$ e $5\, \mathrm{cm}$? Explique a variação dessas taxas.
Quanto tempo a xícara leva para encher, partindo vazia?

Pode-se usar a fórmula do volume de um tronco de cone de altura $h$ e raios das bases $a$ e $b$: $V=\pi h(a^2+ab+b^2)/3$.

Ver solução

No corte axial, a semelhança de triângulos dá $(r-2)/h=(4-2)/6$, logo $r(h)=2+h/3$, para $0\leq h\leq 6$. Pela fórmula do volume de um tronco de cone,

\[ \begin{aligned} V(h)& =\frac{\pi h}{3}\bigl(2^2+2r(h)+r(h)^2\bigr)\\ & =\pi \left(4h+\frac23h^2+\frac1{27}h^3\right). \end{aligned} \]
Como $dV/dh=\pi (2+h/3)^2$, a regra da cadeia fornece

\[ 10=\pi (2+h/3)^2\frac{dh}{dt}. \]

Nas três profundidades pedidas, as taxas são, respectivamente,

\[ \frac{90}{49\pi },\qquad \frac{10}{9\pi },\qquad \frac{90}{121\pi }\quad \mathrm{cm/s}. \]

À medida que o nível sobe, a área da superfície livre aumenta. Por isso, a mesma vazão produz taxas de elevação cada vez menores.
A capacidade é $V(6)=56\pi \, \mathrm{cm^3}$. O tempo de enchimento é $56\pi /10=28\pi /5$ segundos.

Exercício 10.36

Uma corda inextensível presa a um peso passa por uma polia no teto e retorna até um trabalhador. Ele mantém a extremidade livre a uma altura constante, $10\, \mathrm m$ abaixo da polia. Inicialmente, o ponto de conexão da corda com o peso está nessa mesma altura. Despreze o trecho de corda em contato com a polia.

Figura não resolvida: figuras/polia-taxas-revisada

Suponha que o trabalhador esteja inicialmente ao lado do peso, de modo que o comprimento total da corda seja $20\, \mathrm m$, e comece a se afastar a $0{,}6\, \mathrm{m/s}$. A que velocidade o peso sobe depois que ele percorre (a) $3\, \mathrm m$ e (b) $12\, \mathrm m$?

Ver solução

Se $x$ é a distância horizontal percorrida e $y$ é a distância vertical entre o peso e a polia, o comprimento constante da corda dá

\[ y+\sqrt{x^2+10^2}=20. \]

A distância vertical da mão à polia é fixa, igual a $10\, \mathrm m$. Como $x'=0{,}6$, a diferenciação fornece

\[ y'=-\frac{0{,}6x}{\sqrt{x^2+100}}. \]

Portanto, a velocidade de subida do peso é $-y'=0{,}6x/\sqrt{x^2+100}$. Após percorrer (a) $3\, \mathrm m$, o peso sobe a $1{,}8/\sqrt{109}\approx 0{,}172\, \mathrm{m/s}$; após percorrer (b) $12\, \mathrm m$, sobe a $3{,}6/\sqrt{61}\approx 0{,}461\, \mathrm{m/s}$.

Exercício 10.37

Um barco é puxado em direção a uma doca por uma corda recolhida por um guincho à taxa constante de $9\, \mathrm{m/min}$. O guincho está $3\, \mathrm m$ acima do convés do barco, e essa diferença de altura permanece constante.

Figura não resolvida: figuras/taxas-barco

A que velocidade o barco se aproxima do cais quando o barco está:

$15\, \mathrm m$ distante da doca?
$4{,}5\, \mathrm m$ distante da doca?
$0{,}3\, \mathrm m$ distante da doca?
É possível que o trecho de corda entre o barco e o guincho tenha menos de $3\, \mathrm m$ de comprimento?

Ver solução

Se $s$ é o comprimento do trecho de corda entre o barco e o guincho e $x$ é a distância horizontal ao cais, então $s^2=x^2+9$. Como $s'=-9$, obtemos $x'=ss'/x=-9\sqrt{x^2+9}/x$. Na ordem pedida, as taxas de variação da distância são:

$-9\sqrt{26}/5\, \mathrm{m/min}$.
$-3\sqrt{13}\, \mathrm{m/min}$.
$-9\sqrt{101}\, \mathrm{m/min}$.
É impossível ter $s\lt 3\, \mathrm m$, pois a separação vertical entre o guincho e o convés já mede $3\, \mathrm m$.

Nos três primeiros itens, as velocidades de aproximação são os módulos desses valores; o sinal negativo indica diminuição da distância.

Exercício 10.38

Uma aeronave voa a $800\, \mathrm{km/h}$, a uma altitude constante de $3\, \mathrm{km}$, em trajetória retilínea que passa diretamente sobre um dispositivo de rastreamento.

Figura não resolvida: figuras/taxas-aeronave

Com que rapidez angular o dispositivo deve girar para acompanhar a aeronave, em graus por segundo, quando a distância horizontal do avião ao dispositivo for:

$1\, \mathrm{km}$?
$0{,}2\, \mathrm{km}$?
zero, isto é, quando a aeronave estiver diretamente acima dele?

Ver solução

Se $x$ é a distância horizontal orientada, em quilômetros, e $\theta $ é o ângulo medido a partir da horizontal, então $\operatorname {cotg}\theta =x/3$. Diferenciando e tomando módulos,

\[ |\theta '|=\frac{3\cdot 800}{x^2+9}\quad \text{rad/h}. \]

Para converter radianos por hora em graus por segundo, multiplicamos por $180/(3600\pi )=1/(20\pi )$. Logo, na ordem pedida:

$12/\pi \approx 3{,}82\, \mathrm{graus/s}$.
$1500/(113\pi )\approx 4{,}22\, \mathrm{graus/s}$.
$40/(3\pi )\approx 4{,}24\, \mathrm{graus/s}$.

Exercício 10.39

Uma empresa de paisagismo despeja areia em uma pilha cônica à taxa de $1\, \mathrm{m^3/s}$. As propriedades físicas da areia asseguram que a altura do cone seja sempre igual a $2/3$ do diâmetro de sua base circular. A que taxa a altura da pilha aumenta quando mede $10\, \mathrm m$?

Ver solução

Como $h=(2/3)(2r)=4r/3$, temos $r=3h/4$. Logo, $V=\pi r^2h/3=3\pi h^3/16$. Derivando, $1=(9\pi h^2/16)h'$. Para $h=10\, \mathrm m$, obtemos $h'=4/(225\pi )\, \mathrm{m/s}$.

Exercício 10.40

Um cristal cúbico cresce preservando sua forma. Se $x$ é a medida da aresta, em milímetros, e $V=x^3$ é o volume, responda:

Qual é a taxa de variação do volume em relação à aresta?
Quanto vale essa taxa quando $x=3\, \mathrm{mm}$?
Relacione $dV/dx$ com a área superficial $S$ do cubo.
Em certo instante, a aresta mede $3\, \mathrm{mm}$ e cresce à taxa de $0{,}2\, \mathrm{mm/min}$. A que taxa o volume cresce nesse instante? Distinga essa taxa daquela calculada no item 2, inclusive pelas unidades.

Ver solução

$dV/dx=3x^2$.
Em $x=3$, a taxa é $27\, \mathrm{mm^2}$. Ela fornece a variação aproximada do volume, em $\mathrm{mm^3}$, por milímetro de variação da aresta, para incrementos pequenos perto de $x=3$.
Como $S=6x^2$, segue que $dV/dx=S/2$.
Pela regra da cadeia,

\[ \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt} =27(0{,}2)=5{,}4\, \mathrm{mm^3/min}. \]

Aqui medimos a variação do volume por unidade de tempo; no item 2, por unidade de variação da aresta.

Exercício 10.41

Os ponteiros de um relógio medem $8\, \mathrm{mm}$ e $4\, \mathrm{mm}$. Determine a taxa de variação da distância entre suas pontas exatamente à uma hora. Considere o movimento contínuo dos dois ponteiros.

Ver solução

Se $d$ é a distância entre as pontas e $\theta $ é o menor ângulo entre os ponteiros logo após uma hora, a lei dos cossenos fornece

\[ d^2=8^2+4^2-2(8)(4)\cos \theta =80-64\cos \theta . \]

À uma hora, $\theta =\pi /6$. Logo após esse instante, o ponteiro dos minutos se aproxima do ponteiro das horas; portanto,

\[ \theta '=\frac{\pi }{360}-\frac{\pi }{30}=-\frac{11\pi }{360}\ \mathrm{rad/min}. \]

Derivando, $2dd'=64\operatorname {sen}\theta \, \theta '$. Portanto,

\[ d'=-\frac{22\pi }{45\sqrt{80-32\sqrt3}}\ \mathrm{mm/min}. \]

O valor é negativo: nesse instante, as pontas estão se aproximando.

Exercício 10.42

Uma roda de raio $1$ m rola sem escorregar para a direita sobre o eixo $x$. O ponto $P$ está fixo na borda da roda e, no instante inicial, coincide com a origem. Seja $\theta $ o ângulo de rotação orientado e acumulado, medido no sentido horário a partir da posição inicial. Suponha que $\theta $ cresce à taxa constante de $1$ rad/s.

Mostre que as coordenadas de $P$ são $x=\theta -\operatorname {sen}\theta $ e $y=1-\cos \theta $.
Expresse as velocidades $dx/dt$ e $dy/dt$ em função de $\theta $.
Em que posições da roda a velocidade de $P$ é nula? Interprete.

Ver solução

Rolando sem escorregar, o centro percorre o arco $\theta $: está em $(\theta ,1)$. O raio até $P$ forma ângulo $\theta $ com a vertical descendente, o que dá $P=(\theta -\operatorname {sen}\theta ,\, 1-\cos \theta )$.
$\dfrac {dx}{dt}=(1-\cos \theta )\dfrac {d\theta }{dt}=1-\cos \theta $ e $\dfrac {dy}{dt}=\operatorname {sen}\theta $, em m/s.
As duas se anulam quando $\cos \theta =1$, isto é, $\theta =2k\pi $: no instante em que $P$ toca o solo, o ponto de contato está momentaneamente parado.

Exercício 10.43

Um ponto $P=(x(t),y(t))$ move-se sobre a parábola $y^2=x$, com $x(t)\gt 0$ e $y(t)\gt 0$. As funções $x$ e $y$ são duas vezes deriváveis em relação ao tempo e satisfazem $x''(t)=2\bigl(y'(t)\bigr)^2$. Mostre que $y''(t)=0$ em todos os instantes considerados.

Ver solução

Derivando $x=y^2$ duas vezes em relação ao tempo, $x'=2yy'$ e $x''=2(y')^2+2yy''$. Comparando com $x''=2(y')^2$, obtemos $2yy''=0$; como $y\gt 0$, $y''=0$.

Exercício 10.44 (Trem e barco)

Uma ponte ferroviária reta passa $6$ m acima de um rio e é perpendicular a ele. Um trem percorre a ponte a $100$ km/h. No instante em que o trem passa pelo centro da ponte, um barco que navega pelo rio a $30$ km/h passa exatamente abaixo desse ponto. Considere trem e barco como pontos que se movem em retas horizontais perpendiculares, a $6$ m de distância vertical uma da outra.

Com que taxa a distância entre o trem e o barco aumenta $10$ s depois?

Ver solução

Em m/s, o trem tem velocidade $250/9$ e o barco, $25/3$. Após $t$ segundos, os deslocamentos horizontais são $u=\frac{250}9t$ e $w=\frac{25}3t$, em direções perpendiculares, e

\[ D^2=u^2+w^2+6^2,\qquad D\, D'=u\, u'+w\, w'. \]

Em $t=10$: $u\approx 277{,}8$ m, $w\approx 83{,}3$ m, $D\approx 290{,}1$ m e

\[ D'=\frac{277{,}8\cdot 27{,}78+83{,}3\cdot 8{,}33}{290{,}1}\approx 29{,}0\ \mathrm{m/s}\approx 104\ \mathrm{km/h}. \]

Exercício 10.45 (Enchendo uma piscina)

A superfície de uma piscina é um retângulo de $20$ m de comprimento por $10$ m de largura. Ao longo do comprimento, o fundo desce em linha reta da profundidade de $1$ m até a de $3$ m nos primeiros $15$ m e é plano nos $5$ m restantes. A figura mostra o corte longitudinal, com a escala vertical ampliada; $h$ é a profundidade da água na parte mais funda.

A piscina recebe água à taxa de $2\ \mathrm{m^3/min}$. Com que rapidez o nível da água sobe no instante em que $h=1{,}5$ m?

Ver solução

Enquanto $0\le h\le 2$, a água ocupa os $5$ m planos e um trecho de $7{,}5h$ m da rampa (que desce $2$ m em $15$ m). A superfície da água tem comprimento $5+7{,}5h$; a seção longitudinal tem área $5h+3{,}75h^2$ e

\[ V(h)=10\, (5h+3{,}75h^2)=50h+37{,}5h^2. \]

Logo $\dfrac {\mathop{}\! \mathrm{d} V}{\mathop{}\! \mathrm{d} t}=(50+75h)\, \dfrac {\mathop{}\! \mathrm{d} h}{\mathop{}\! \mathrm{d} t}$. Para $h=1{,}5$: $2=162{,}5\, h'$, isto é,

\[ h'=\frac{2}{162{,}5}\approx 0{,}0123\ \mathrm{m/min}\approx 1{,}2\ \mathrm{cm/min}. \]

Note que $162{,}5\ \mathrm{m^2}$ é a área da superfície da água.

Exercício 10.46 (Filtro de café)

Água pinga de um filtro cônico para um copo cilíndrico. O filtro é um cone circular reto com o vértice para baixo, $12$ cm de altura e $6$ cm de raio na borda; o copo tem $6$ cm de raio interno. Sejam $x$ a altura da água no filtro, medida a partir do vértice, e $y$ a altura da água no copo (medidas em cm). Não há perda de água: o volume total no filtro e no copo permanece constante.

Encontre uma relação entre $\frac{d y}{d t}$ e $\frac{d x}{d t}$.
Calcule $\mathop{}\! \mathrm{d} y/\mathop{}\! \mathrm{d} t$ no instante em que $x=3$ cm e $x$ diminui à taxa de $0{,}5$ cm/min.

Ver solução

No filtro, o raio da água é $x/2$, e o volume é

\[ \frac13\pi \Bigl(\frac x2\Bigr)^2x=\frac{\pi x^3}{12}. \]

No copo, o volume é $36\pi y$. Derivando $\dfrac {\pi x^3}{12}+36\pi y=\text{constante}$:

\[ \frac{\pi x^2}{4}\, x'+36\pi \, y'=0 \quad \Longrightarrow \quad y'=-\frac{x^2}{144}\, x'. \]
$y'=-\dfrac {9}{144}(-0{,}5)=\dfrac 1{32}\approx 0{,}031$ cm/min.

Exercício 10.47 (O que sai de uma mistura leva também soluto)

Um tanque contém uma mistura perfeitamente homogênea de volume $V(t)\gt 0$ litros e massa de soluto $M(t)$ miligramas. Entra uma solução à vazão constante $a\geq 0$ litros por minuto, com concentração constante $c_0\geq 0$ miligramas por litro. A mistura sai à vazão constante $b\geq 0$ litros por minuto, com a concentração instantânea do tanque,

\[ C(t)=\frac{M(t)}{V(t)}. \]

Não há reação, evaporação nem outros fluxos. Considere apenas os instantes anteriores ao esvaziamento, com as grandezas deriváveis.

Determine $V'$ e $M'$ a partir das entradas e saídas e prove, pela regra do quociente, que

\[ C'(t)=\frac{a}{V(t)}(c_0-C(t)). \]
Se $a\gt 0$, interprete o sinal de $C'$. Duplicar $b$ mantendo os mesmos valores instantâneos de $V,C,a,c_0$ altera $C'$? Isso significa que $b$ é irrelevante para a evolução futura da concentração?
Suponha $a=0$ e $b\gt 0$: apenas se retira mistura homogênea. Avalie a afirmação: A concentração aumenta porque o volume diminui.

Ver solução

O volume varia à taxa $V'=a-b$. A entrada fornece soluto à taxa $ac_0$; a saída retira soluto à taxa $bC$. Assim, $M'=ac_0-bC$. Como $M=CV$,

\[ \begin{aligned} C’& =\frac{M'V-MV'}{V^2}\\ & =\frac{ac_0-bC-C(a-b)}{V}\\ & =\frac aV(c_0-C). \end{aligned} \]

A unidade é $\mathrm{mg}/(\mathrm L\cdot \mathrm{min})$.
Como $a/V\gt 0$, o sinal de $C'$ é o de $c_0-C$: a concentração aumenta, permanece instantaneamente estacionária ou diminui conforme $c_0\gt C$, $c_0=C$ ou $c_0\lt C$. A vazão de saída se cancela no valor instantâneo de $C'$, mas altera a evolução de $V$ e, portanto, pode influir na evolução posterior da concentração.
Para $a=0$, temos $V'=-b$ e $M'=-bC$; portanto, $C'=0$ enquanto houver líquido. A saída retira massa de soluto e volume na mesma proporção, mantendo a concentração constante.

Exercício 10.48

Um balão esférico é inflado a $30$ cm$^3$/s. Quando seu raio é $5$ cm, a que taxa cresce a área de sua superfície?

Ver solução

De $V=4\pi r^3/3$, obtemos $r'=30/(4\pi r^2)$. Como $S=4\pi r^2$, $S'=8\pi rr'$. Em $r=5\, \mathrm{cm}$, $S'=12\, \mathrm{cm^2/s}$.

Exercício 10.49

Uma escada de $8$ m desliza: sua base afasta-se da parede a $0{,}4$ m/s. Quando a base está a $3$ m da parede, determine a velocidade da extremidade superior e diga se sua altura aumenta ou diminui.

Figura não resolvida: inl-c10-tikz-008

Ver solução

De $x^2+y^2=64$, segue $xx'+yy'=0$. Quando $x=3$, $y=\sqrt{55}$ e

\[ y'=-\frac{3(0{,}4)}{\sqrt{55}}=-\frac{1{,}2}{\sqrt{55}} \approx -0{,}162\, \mathrm{m/s}. \]

A altura diminui.

10.5 Aproximações lineares e diferenciais

A reta tangente informa a inclinação do gráfico em um ponto e permite aproximar os valores da função perto dele. Quando a entrada passa de $x$ a $x+\Delta x$, a variação exata da saída é

\[ \Delta y:=f(x+\Delta x)-f(x). \]

Figura 10.12 Para o mesmo incremento Δ x, a função varia de Δ y e sua reta tangente varia de Δ L. — Figura 10.12 Para o mesmo incremento $\Delta x$, a função varia de $\Delta y$ e sua reta tangente varia de $\Delta L$.

Se $f$ é derivável em $p$, a reta tangente em $(p,f(p))$ tem equação

\[ y=f(p)+f'(p)(x-p). \]

Pela definição de derivada,

\[ \lim _{x\to p} \frac{f(x)-f(p)-f'(p)(x-p)}{x-p}=0. \]

Isso significa que a diferença entre os valores da função e os da reta tangente se torna pequena em comparação com $|x-p|$. Dizemos que a reta tangente fornece uma aproximação de primeira ordem, o que motiva

\[ f(x)\approx f(p)+f'(p)(x-p). \]

A função $L(x)=f(p)+f'(p)(x-p)$ é chamada linearização de $f$ em $p$.

Figura não resolvida: figuras/derivada-aproximacao-linear-zoom

Figura 10.13 Perto de $P=(a,f(a))$, o gráfico de uma função derivável se aproxima de sua reta tangente; sob ampliação, a aproximação linear se torna visualmente dominante.

Exemplo 10.27

Use a linearização de $f(x)=\ln x$ em torno de $x=1$ para estimar $\ln (1{,}02)$.

Solução

Como $f(1)=0$ e $f'(1)=1$, a linearização em $1$ é

\[ L(x)=x-1. \]

Portanto,

\[ \ln (1{,}02)\approx L(1{,}02)=0{,}02. \]

A utilidade da aproximação depende da precisão exigida. Comparando com $\ln (1{,}02)\approx 0{,}0198026273$, encontramos erro absoluto de aproximadamente $0{,}0001973727$ e erro relativo de aproximadamente $0{,}997\% $. Assim, essa comparação numérica mostra que a estimativa atende a uma tolerância absoluta de $0{,}0002$, mas não fornece quatro casas decimais corretas. O resto de Taylor, estudado no próximo capítulo, permitirá estimar o erro sem conhecer previamente o valor da função.

Exemplo 10.28 (Sensibilidade de um modelo)

A concentração de um fármaco é modelada por

\[ C(t)=C_0e^{-0{,}2t}, \]

com $t$ medido em horas. Use a linearização em torno de $t=5$ para estimar a variação relativa de $C$ quando o tempo aumenta em $0{,}1$ hora.

Solução

Como $C'(t)=-0{,}2C(t)$, perto de $t=5$ temos

\[ \Delta C\approx C'(5)\, \Delta t=-0{,}2C(5)(0{,}1)=-0{,}02C(5). \]

Assim, um aumento de $0{,}1$ hora produz, nesse ponto do modelo, uma redução de aproximadamente $2\% $ na concentração. A derivada mede diretamente essa sensibilidade local.

Exemplo 10.29

Aproxime $\sqrt{3{,}95}$ e $\sqrt{4{,}02}$ utilizando a linearização de $f(x)=\sqrt{x}$ em torno de $x=4$.

Figura 10.14 Linearização de f(x)=√x nas proximidades de x=4. — Figura 10.14 Linearização de $f(x)=\sqrt{x}$ nas proximidades de $x=4$.

Solução

Como $f'(x)=1/(2\sqrt{x})$, a linearização em $p=4$ é

\[ L(x)=f(4)+f'(4)(x-4)=2+\frac14(x-4). \]

Portanto,

\[ \sqrt{3{,}95}\approx L(3{,}95)=1{,}9875 \quad \text{e}\quad \sqrt{4{,}02}\approx L(4{,}02)=2{,}005. \]

Para comparação, uma calculadora fornece $\sqrt{3{,}95}\approx 1{,}98746$ e $\sqrt{4{,}02}\approx 2{,}00499$.

A aproximação linear também permite estimar variações. Fixe um ponto $x$ e considere um incremento $\Delta x$. A variação da função é

\[ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x). \]

Sua linearização nesse ponto é $L(t)=f(x)+f'(x)(t-x)$. Para o mesmo incremento, a reta tangente varia de

\[ \Delta L=L(x+\Delta x)-L(x)=f'(x)\Delta x. \]

A notação de diferenciais descreve essa variação na reta tangente.

Definição 10.1

Seja $y=f(x)$, com $f$ derivável em $x$. Chamamos de diferencial de $x$ o incremento $\, \mathrm{d}x=\Delta x$ e definimos a diferencial de $y$ por

\[ \, \mathrm{d}y=f'(x)\, \mathrm{d}x. \]

Assim, $\, \mathrm{d}y=\Delta L$: a diferencial é a variação calculada na reta tangente, enquanto $\Delta y$ é a variação da função. Quando $|\, \mathrm{d}x|$ é pequeno, a diferencial $\, \mathrm{d}y$ aproxima a variação $\Delta y$:

\[ \Delta y\approx \, \mathrm{d}y. \]

Figura 10.15 A variação real Δ y segue a curva, enquanto a diferencial dy=f'(x) dx é a variação prevista pela tangente. — Figura 10.15 A variação real $\Delta y$ segue a curva, enquanto a diferencial $\, \mathrm{d}y=f'(x)\, \mathrm{d}x$ é a variação prevista pela tangente.

Na Figura 10.15, o deslocamento horizontal $\, \mathrm{d}x=\Delta x$ é o mesmo na curva e na reta tangente, mas as variações verticais não coincidem, em geral.

Observação 10.30

Os símbolos $\, \mathrm{d}x$ e $\, \mathrm{d}y$ representam números reais. Escolhemos $\, \mathrm{d}x$, e a relação $\, \mathrm{d}y=f'(x)\, \mathrm{d}x$ determina $\, \mathrm{d}y$. Essa igualdade é exata; a aproximação aparece quando usamos $\, \mathrm{d}y$ no lugar de $\Delta y$. Quando $\, \mathrm{d}x\ne 0$, podemos escrever $\, \mathrm{d}y/\, \mathrm{d}x=f'(x)$, de acordo com a notação de Leibniz. Manipulações envolvendo diferentes variáveis continuam sujeitas às regras de derivação.

Por exemplo, para $f(x)=x^2$, no ponto $x=2$, tomando $\, \mathrm{d}x=0{,}1$, temos

\[ \, \mathrm{d}y=f'(2)\, \mathrm{d}x=4\cdot 0{,}1=0{,}4, \qquad \Delta y=(2{,}1)^2-2^2=0{,}41. \]

A reta tangente prevê um acréscimo de $0{,}4$, enquanto a função aumenta de fato $0{,}41$.

A derivabilidade de $f$ em $x$ garante, mais precisamente, que

\[ \frac{\Delta y-\, \mathrm{d}y}{\, \mathrm{d}x}\longrightarrow 0 \quad \text{quando }\, \mathrm{d}x\to 0. \]

Isso significa que o erro ao aproximar $\Delta y$ por $\, \mathrm{d}y$ é pequeno em comparação com $|\, \mathrm{d}x|$. A aproximação linear pode, portanto, ser escrita como

\[ f(x+\, \mathrm{d}x)\approx f(x)+\, \mathrm{d}y. \]

Figura não resolvida: figuras/geometria-semiesfera-diferenciais

Figura 10.16 No corte da tigela de raio $10\, \mathrm{cm}$, a altura medida $x$ determina o volume de água.

Exemplo 10.31

Uma tigela tem o formato de uma semiesfera de raio $10\, \mathrm{cm}$ e contém água até a altura de $x\, \mathrm{cm}$. O volume da água é

\[ V=\dfrac {\pi }{3}(30x^2-x^3). \]

Suponha que a altura medida seja $5\, \mathrm{cm}$, com erro máximo de $0{,}1\, \mathrm{cm}$. Estime o erro máximo no volume calculado.

Solução

Seja $x^*$ a altura real da água e ponha $\Delta x=x^*-5$. A hipótese sobre a medição fornece $|\Delta x|\leq 0{,}1$. Como

\[ V'(x)=\frac{\pi }{3}(60x-3x^2)=\pi (20x-x^2), \]

a aproximação linear em $x=5$ fornece

\[ \Delta V\approx \mathop{}\! \mathrm{d} V=V'(5)\Delta x. \]

Consequentemente,

\[ |\mathop{}\! \mathrm{d} V|=75\pi |\Delta x|\leq 7{,}5\pi \approx 23{,}56\, \mathrm{cm^3}. \]

A aproximação linear sugere $|\Delta V|\approx |\mathop{}\! \mathrm{d} V|$. Portanto, o volume calculado é $V(5)=625\pi /3\approx 654{,}50\, \mathrm{cm^3}$, e o erro absoluto máximo é estimado pela linearização em $23{,}56\, \mathrm{cm^3}$. Essa é uma estimativa de primeira ordem, não uma cota superior rigorosa para o erro verdadeiro. Como $V$ cresce no intervalo $[4{,}9,5{,}1]$, o erro máximo efetivo ocorre em uma das extremidades. Como $V(5{,}1)+V(4{,}9)-2V(5)=\pi /10\gt 0$, o maior erro é o acréscimo à direita:

\[ V(5{,}1)-V(5)=\frac{22649\pi }{3000} \approx 23{,}72\, \mathrm{cm^3}. \]

Figura não resolvida: figuras/geometria-esfera-erro

Figura 10.17 Uma variação $\mathop{}\! \mathrm{d} r$ do raio produz, em primeira ordem, $\mathop{}\! \mathrm{d} V=4\pi r^2\mathop{}\! \mathrm{d} r$. O módulo do erro é aproximado pelo volume da casca de espessura $|\mathop{}\! \mathrm{d} r|$.

Exemplo 10.32

O raio medido de uma esfera é $21\, \mathrm{cm}$, com erro máximo de $0{,}05\, \mathrm{cm}$. Estime o erro máximo no volume calculado a partir dessa medida.

Solução

Se o raio da esfera é $r$, então $V=(4/3)\pi r^3$. Tomamos $\mathop{}\! \mathrm{d} r=\Delta r$, o erro na medida do raio, e aproximamos a variação correspondente do volume pela diferencial

\[ \mathop{}\! \mathrm{d} V=4\pi r^2\mathop{}\! \mathrm{d} r. \]

Como $r=21$ e $|\mathop{}\! \mathrm{d} r|\leq 0{,}05$, temos

\[ |\mathop{}\! \mathrm{d} V|\leq 4\pi \cdot 21^2\cdot 0{,}05=88{,}2\pi \approx 277{,}09. \]

Logo, a linearização estima o erro absoluto máximo em $277{,}09\, \mathrm{cm^3}$. Como o volume cresce com o raio, o erro máximo exato ocorre em uma das extremidades de $[20{,}95,21{,}05]$. Como $21{,}05^3+20{,}95^3-2\cdot 21^3=126(0{,}05)^2\gt 0$, o maior erro ocorre em $r=21{,}05$:

\[ \frac{4\pi }{3}\bigl(21{,}05^3-21^3\bigr) \approx 277{,}75\, \mathrm{cm^3}. \]

A pequena diferença corresponde aos termos de ordem superior desprezados pela aproximação linear.

Exemplo 10.33 (Medir a gravidade com um pêndulo)

Para pequenas oscilações, o período de um pêndulo é modelado por

\[ T=2\pi \sqrt{L/g}. \]

O comprimento $L=1{,}000\, \mathrm m$ é conhecido e mantido fixo. Para estimar $g$, mede-se o tempo total $\tau $ de $N$ oscilações completas e toma-se $T=\tau /N$. O erro absoluto na medição de $\tau $ é de, no máximo, $0{,}2\, \mathrm s$, tanto para $N=1$ quanto para $N=20$.

Escreva $g$ como função de $\tau $, com $N$ fixo, e use a aproximação linear para estimar seu erro relativo. Compare os dois procedimentos, usando $g=9{,}81\, \mathrm{m/s^2}$ como referência. Em qual deles a linearização é mais confiável? Considere apenas o erro de cronometragem.

[.68figuras/proposta-20261016-x4-1.tex

Figura 10.18 O mesmo erro absoluto no tempo total corresponde a um erro relativo menor quando cronometramos mais oscilações.

Solução

Se cronometramos $N$ oscilações, e $\tau $ é o tempo total, o período observado é $T=\tau /N$. Portanto, para cada número fixado $N$ de oscilações, calculamos $g$ pela função de uma variável

\[ g_N(\tau )=\frac{4\pi ^2 L N^2}{\tau ^2}. \]

Sua derivada é

\[ g_N'(\tau )=-\frac{8\pi ^2 L N^2}{\tau ^3}, \qquad \frac{g_N'(\tau )}{g_N(\tau )}=-\frac2\tau . \]

Para uma pequena variação $\Delta \tau $ no tempo medido, a aproximação linear fornece

\[ \frac{\Delta g}{g}\approx -2\frac{\Delta \tau }{\tau }. \]

A variação relativa de $g$ tem aproximadamente o dobro do módulo do erro relativo no tempo medido.

Tomando $g\approx 9{,}81\, \mathrm{m/s^2}$ apenas como valor de referência, o período é $T\approx 2{,}006\, \mathrm s$. Para uma oscilação, o erro de até $0{,}2$ s representa cerca de $10\% $ do tempo e sugere aproximadamente $20\% $ em $g$. Essa estimativa de primeira ordem é grosseira porque o erro já é grande. Para vinte oscilações, o tempo total é próximo de $40{,}1$ s; o mesmo erro absoluto representa apenas $0{,}5\% $ e sugere cerca de $1\% $ em $g$, situação mais favorável à linearização.

O comprimento não foi tratado como variável medida neste exemplo; assim, usamos exclusivamente a derivada da função $g_N(\tau )$.

Ideia

Uma derivada ajuda a decidir como medir uma grandeza. Cronometrar várias oscilações dilui o erro fixo de acionamento do cronômetro. A estimativa continua sujeita às hipóteses do modelo físico e às demais fontes de erro experimental.

Exemplo 10.34

Utilizando aproximação linear, encontre uma fórmula aproximada para o volume de uma casca cilíndrica de altura $h$, raio interno $r$ e espessura $t$.
Qual é o erro envolvido ao usar essa fórmula?

Solução

Considere $V(r)=\pi r^2h$, com $h$ constante. O volume da casca é o incremento produzido quando o raio passa de $r$ para $r+t$. Pela aproximação linear,

\[ \Delta V\approx \mathop{}\! \mathrm{d} V=2\pi rht,\qquad \mathop{}\! \mathrm{d} r=t. \]

O volume exato da casca é

\[ \Delta V=\pi (r+t)^2h-\pi r^2h=2\pi rht+\pi ht^2. \]

Portanto, o erro absoluto da aproximação é $E=\pi ht^2$, que é de segunda ordem na espessura.

Exercício 10.50 (Estimar o valor e estimar a queda)

A linearização de $f(x)=x^2$ em $a=1$ é $L(x)=2x-1$. O gráfico compara a função e sua tangente.

Para $\Delta x=-0{,}1$, calcule o incremento exato $\Delta y=f(1+\Delta x)-f(1)$ e a diferencial $\, \mathrm{d}y=f'(1)\Delta x$. A aproximação superestima ou subestima o valor final? E o tamanho da queda?
Escreva $f(1+h)-L(1+h)$ para um incremento $h$. O sinal desse erro muda quando $h$ muda de sinal? Explique por que isso não obriga os incrementos $\Delta y$ a terem sempre o mesmo sinal.

Ilustração: Aproximações lineares e diferenciais

Ver solução

$\Delta y=0{,}81-1=-0{,}19$ e $\, \mathrm{d}y=2(-0{,}1)=-0{,}2$. A aproximação dá $L(0{,}9)=0{,}8\lt 0{,}81$: subestima o valor final. Entretanto, prevê uma queda de $0{,}2$, maior que a queda real de $0{,}19$.
$f(1+h)-L(1+h)=h^2\geq 0$, sem mudança de sinal. Já o incremento é $\Delta y=2h+h^2$: para $-1\lt h\lt 0$ ele é negativo; para $h\gt 0$, positivo. O erro compara função e tangente no mesmo ponto; o incremento compara o valor final com o valor inicial.

Exercício 10.51 (Erro na aresta: área e volume)

A aresta de um cubo foi medida com erro relativo de, no máximo, $1\% $.

Use diferenciais para mostrar que $\dfrac {\mathop{}\! \mathrm{d} V}{V}=3\dfrac {\, \mathrm{d}x}{x}$ e $\dfrac {\mathop{}\! \mathrm{d} S}{S}=2\dfrac {\, \mathrm{d}x}{x}$, em que $V$ é o volume e $S$ a área total.
Estime os erros relativos máximos do volume e da área.
Um estudante afirma que todos os erros relativos são de $1\% $, pois “o erro está só na aresta”. Comente. Que regra geral vale para $y=x^n$?
Suponha que a medida da aresta seja exatamente $1\% $ maior que o valor verdadeiro. Calcule os erros relativos exatos do volume e da área e compare-os com as estimativas do item 2.

Ver solução

$\mathop{}\! \mathrm{d} V=3x^2\, \mathrm{d}x$ e $V=x^3$; $\mathop{}\! \mathrm{d} S=12x\, \, \mathrm{d}x$ e $S=6x^2$.
Aproximadamente $3\% $ e $2\% $.
O erro da aresta se propaga e é ampliado por potências: para $y=x^n$, o erro relativo de $y$ é aproximadamente $|n|$ vezes o erro relativo de $x$.
Se a aresta verdadeira é $x$, a medida é $1{,}01x$. Os erros relativos exatos são

\[ \frac{(1{,}01x)^3-x^3}{x^3}=1{,}01^3-1=0{,}030301 \]

para o volume, isto é, $3{,}0301\% $, e

\[ \frac{6(1{,}01x)^2-6x^2}{6x^2}=1{,}01^2-1=0{,}0201 \]

para a área, isto é, $2{,}01\% $. As estimativas por diferenciais, $3\% $ e $2\% $, subestimam ligeiramente esses erros positivos, pois consideram apenas o termo de primeira ordem na variação relativa da aresta.

Exercício 10.52

Para $k\in \mathbb {R}$, mostre que a linearização de $f(x)=(1+x)^k$ em $x=0$ é $L(x)=1+kx$.

Ver solução

Como $f(0)=1$ e $f'(0)=k$, a linearização de $f$ em torno de $0$ é

\[ L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=1+kx. \]

Exercício 10.53

Um cristal cúbico tem volume $V=x^3$, com $x$ em milímetros. Use a linearização de $V$ em $x=3$ para estimar a variação do volume quando a aresta passa de $3$ para $3{,}02\, \mathrm{mm}$.

Ver solução

Como $V'(3)=27$ e $\Delta x=0{,}02\, \mathrm{mm}$,

\[ \Delta V\approx V'(3)\Delta x=27(0{,}02)=0{,}54\, \mathrm{mm^3}. \]

Exercício 10.54

Para $f(x)=\sqrt[3]{x}$, obtenha sua linearização em $a=8$ e use-a para aproximar $\sqrt[3]{8{,}12}$ e $\sqrt[3]{8{,}7}$. Compare os erros absolutos das duas estimativas.

Ver solução

Temos $f(8)=2$ e $f'(8)=1/12$. Assim, a linearização em $x=8$ é

\[ L(x)=2+\frac{x-8}{12}. \]

Logo,

\[ \sqrt[3]{8{,}12}\approx L(8{,}12)=2{,}01,\qquad \sqrt[3]{8{,}7}\approx L(8{,}7)=2{,}05833. \]

Os valores das raízes, aproximadamente $2{,}00995$ e $2{,}05671$, mostram erros absolutos de cerca de $0{,}00005$ e $0{,}00162$, respectivamente. A aproximação é melhor para $8{,}12$, mais próximo do ponto-base $8$.

Exercício 10.55 (Uma boa aproximação do valor pode errar toda a variação)

Seja $f(x)=1+x^2$, e seja $L$ sua linearização em $a=0$. Para $h\ne 0$, defina $\Delta y=f(h)-f(0)$ e $\, \mathrm{d}y=f'(0)h$.

Determine $L$, $\Delta y$ e $\, \mathrm{d}y$. Calcule os erros relativos

\[ \begin{gathered} E_{\mathrm{valor}}(h) =\frac{|f(h)-L(h)|}{|f(h)|}, \\ E_{\mathrm{incremento}}(h) =\frac{|\Delta y-\, \mathrm{d}y|}{|\Delta y|}. \end{gathered} \]

Compare seus limites quando $h\to 0$.
Verifique que $(\Delta y-\, \mathrm{d}y)/h\to 0$. Por que não há contradição com o item anterior?
Seja agora $F$ derivável em $a$, com $F'(a)\ne 0$. Ponha $\Delta F=F(a+h)-F(a)$ e $\mathop{}\! \mathrm{d} F=F'(a)h$. Mostre que $\Delta F\ne 0$ para todo $h\ne 0$ suficientemente pequeno e que

\[ \frac{|\Delta F-\mathop{}\! \mathrm{d} F|}{|\Delta F|}\longrightarrow 0 \qquad (h\to 0). \]

Ver solução

Como $f(0)=1$ e $f'(0)=0$, temos $L(x)=1$, $\Delta y=h^2$ e $\, \mathrm{d}y=0$. Logo,

\[ \begin{gathered} E_{\mathrm{valor}}(h) =\frac{h^2}{1+h^2}\longrightarrow 0, \\ E_{\mathrm{incremento}}(h)=1. \end{gathered} \]

O valor é bem aproximado, mas a diferencial erra $100\% $ da variação real.
Temos $(\Delta y-\, \mathrm{d}y)/h=h\to 0$. O erro é pequeno em relação a $h$, mas não em relação ao incremento real $h^2$.
Seja $m=F'(a)\ne 0$, e ponha $q(h)=\Delta F/h$, para $h\ne 0$. Por definição, $q(h)\to m$. Para $h$ suficientemente pequeno, $|q(h)-m|\lt |m|/2$; logo, $|q(h)|\gt |m|/2\gt 0$ e $\Delta F=hq(h)\ne 0$. Por fim,

\[ \frac{|\Delta F-\mathop{}\! \mathrm{d} F|}{|\Delta F|} =\frac{|q(h)-m|}{|q(h)|}\longrightarrow 0. \]

Exercício 10.56 (Erro no volume de um silo)

Um silo é formado por um cilindro circular reto de $15$ m de altura, encimado por um hemisfério de mesmo raio. A circunferência da base foi medida como $10$ m, com erro máximo de $0{,}15$ m; a altura do cilindro é exata.

Calcule o volume do silo a partir dessa medida.
Use diferenciais para estimar, em primeira ordem, o erro máximo no volume calculado.
Estime os erros relativo e percentual.

Ver solução

Com $r=C/(2\pi )$,

\[ V(C)=15\pi r^2+\tfrac 23\pi r^3=\frac{15C^2}{4\pi }+\frac{C^3}{12\pi ^2}. \]

$V(10)=\dfrac {375}{\pi }+\dfrac {250}{3\pi ^2}\approx 127{,}8\ \mathrm{m^3}$.
$V'(C)=\dfrac {15C}{2\pi }+\dfrac {C^2}{4\pi ^2}$, $V'(10)\approx 26{,}41$. Logo $|\mathop{}\! \mathrm{d} V|\le 26{,}41\cdot 0{,}15\approx 3{,}96\ \mathrm{m^3}$.
Erro relativo $\approx 3{,}96/127{,}8\approx 0{,}031$, isto é, cerca de $3{,}1\% $.

Exercício 10.57 (Iluminância)

Uma lâmpada pontual se desloca em um trilho semicircular centrado em um ponto $O$ de uma superfície plana; assim, sua distância $s$ a $O$ é constante. A iluminância em $O$ é

\[ E=\frac{k\cos \theta }{s^2}, \]

em que $k\gt 0$ é constante e $\theta $ é o ângulo entre o raio luminoso e a normal à superfície.

Se $\theta $ diminui de $30^\circ $ para $28^\circ $, use diferenciais para estimar o aumento percentual de $E$. Compare com o valor exato.

Ver solução

Com $s$ constante, $\mathop{}\! \mathrm{d} E=-\dfrac {k\operatorname {sen}\theta }{s^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d}\theta $, de modo que $\dfrac {\mathop{}\! \mathrm{d} E}{E}=-\operatorname {tg}\theta \, \mathop{}\! \mathrm{d}\theta $. O ângulo deve estar em radianos: $\mathop{}\! \mathrm{d}\theta =-2^\circ =-\pi /90$. Assim,

\[ \frac{\mathop{}\! \mathrm{d} E}{E}\approx \operatorname {tg}30^\circ \cdot \frac{\pi }{90}=\frac{\pi }{90\sqrt3}\approx 0{,}020, \]

um aumento de cerca de $2{,}0\% $. O valor exato é $\cos 28^\circ /\cos 30^\circ -1\approx 1{,}95\% $.

Exercício 10.58 (Período de um pêndulo)

O período de um pêndulo simples de comprimento $L$ é $T=2\pi \sqrt{L/g}$, em que $g$ é a aceleração da gravidade, suposta constante. Use diferenciais para estimar a variação percentual de $L$ necessária para aumentar $T$ em $2\% $.

Ver solução

$\mathop{}\! \mathrm{d} T=\dfrac {\pi }{\sqrt{gL}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} L$, logo $\dfrac {\mathop{}\! \mathrm{d} T}{T}=\dfrac 12\, \dfrac {\mathop{}\! \mathrm{d} L}{L}$. Para $\mathop{}\! \mathrm{d} T/T=2\% $, é preciso $\mathop{}\! \mathrm{d} L/L\approx 4\% $. (O valor exato é $1{,}02^2-1=4{,}04\% $.)

Exercício 10.59 (Resistência de um fio)

A resistência elétrica de um fio é diretamente proporcional ao comprimento e inversamente proporcional ao quadrado do diâmetro $d$. O comprimento é fixo. Usando diferenciais, estime a precisão percentual necessária na medida do diâmetro para que o erro percentual estimado na resistência tenha módulo inferior a $4\% $.

Ver solução

Como $R=k/d^2$, com $k\gt 0$ constante, temos

\[ \frac{\mathop{}\! \mathrm{d} R}{R}=-2\, \frac{\mathop{}\! \mathrm{d} d}{d}. \]

Em primeira ordem, o erro relativo da resistência é aproximadamente o dobro do erro relativo do diâmetro. Para que o erro percentual estimado na resistência tenha módulo inferior a $4\% $, o erro percentual na medida do diâmetro deve ter módulo inferior a $2\% $. Essa condição obtida por diferenciais não garante o mesmo limite para o erro exato em uma variação finita do diâmetro. Por exemplo, se o diâmetro diminuir $1{,}99\% $, o aumento exato da resistência será

\[ \frac{1}{0{,}9801^2}-1\approx 4{,}10\% . \]

10.6 $\star $ Funções hiperbólicas e suas derivadas

Queremos construir, a partir de exponenciais, funções que descrevam a hipérbole de modo análogo ao que seno e cosseno fazem para a circunferência. O nome hiperbólicas vem dessa relação natural com a hipérbole $x^2-y^2=1$, que será explicitada após as propriedades básicas pela identidade (10.2).

Esta seção amplia o repertório de funções e pode ser omitida em uma primeira leitura sem interromper o percurso principal.

10.6.1 Definições e propriedades básicas

Definição 10.2

As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas, para todo $x\in \mathbb {R}$, por

\[ \operatorname {senh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]

O cosseno hiperbólico aparece em um modelo físico clássico. A catenária, de equação

\[ y=a\cosh \left(\frac xa\right),\qquad a\gt 0, \]

descreve uma corrente homogênea, perfeitamente flexível, suspensa pelas extremidades e em equilíbrio sob a ação da gravidade.

Figura 10.19 Uma corrente homogênea suspensa pelas extremidades assume, em equilíbrio, a forma de uma catenária.

Proposição 10.35 (Identidade fundamental e simetrias)

Para todo $x\in \mathbb {R}$,

\[ \cosh ^2x-\operatorname {senh}^2x=1.\index{funcao@função!hiperbolica@hiperbólica!identidade fundamental|hyperpage} \]

Além disso, $\operatorname {senh}$ é ímpar, $\cosh $ é par e $\cosh x\geq 1$.

Demonstração ▼

Das definições,

\[ \cosh ^2x-\operatorname {senh}^2x =\left(\frac{e^x+e^{-x}}2\right)^2 -\left(\frac{e^x-e^{-x}}2\right)^2 =1. \]

Substituindo $x$ por $-x$ nas mesmas fórmulas, obtemos

\[ \operatorname {senh}(-x)=-\operatorname {senh}x, \qquad \cosh (-x)=\cosh x. \]

Por fim,

\[ \cosh x-1 =\frac12\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)^2\geq 0. \]

Retomando a relação anunciada na [sec:funcoes-hiperbolicas]abertura da seção, a identidade fundamental dá

\begin{equation} \cosh ^2t-\operatorname {senh}^2t=1.\label{eq:hiperbole-parametrizacao} \tag{10.2} \end{equation}

Assim, $(\cosh t,\operatorname {senh}t)$ parametriza o ramo direito da hipérbole $x^2-y^2=1$: temos $\cosh t\gt 0$ e, quando $t$ percorre $\mathbb {R}$, $\operatorname {senh}t$ percorre todos os valores reais. Essa relação explica o nome funções hiperbólicas.

Figura 10.20 A função seno hiperbólico Figura 10.21 A função cosseno hiperbólico — Figura 10.20 A função seno hiperbólico

Definição 10.3

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas são definidas por

\begin{align*} \operatorname {tgh}x& =\frac{\operatorname {senh}x}{\cosh x} =\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}},\\ \operatorname {cotgh} x& =\frac{\cosh x}{\operatorname {senh}x} =\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}},\\ \operatorname {sech}x& =\frac1{\cosh x} =\frac2{e^x+e^{-x}},\\ \operatorname {csch}x& =\frac1{\operatorname {senh}x} =\frac2{e^x-e^{-x}}. \end{align*}

As funções $\operatorname {tgh}$ e $\operatorname {sech}$ estão definidas em todo $\mathbb {R}$; as funções $\operatorname {cotgh}$ e $\operatorname {csch}$ estão definidas em $\mathbb {R}\setminus \{ 0\} $. A identidade fundamental também fornece

\[ 1-\operatorname {tgh}^2x=\operatorname {sech}^2x, \qquad \operatorname {cotgh}^2x-1=\operatorname {csch}^2x. \]

Figura 10.22 A função tangente hiperbólica

10.6.2 Derivadas das funções hiperbólicas

Como as funções hiperbólicas foram definidas em termos de exponenciais, suas derivadas seguem das regras já estabelecidas.

Teorema 10.36 (Derivadas das funções hiperbólicas)

Nos respectivos domínios,

\begin{align*} \frac{d }{d x}\operatorname {senh}x& =\cosh x, & \frac{d }{d x}\cosh x& =\operatorname {senh}x,\\ \frac{d }{d x}\operatorname {tgh}x& =\operatorname {sech}^2x, & \frac{d }{d x}\operatorname {cotgh} x& =-\operatorname {csch}^2x,\\ \frac{d }{d x}\operatorname {sech}x & =-\operatorname {tgh}x\, \operatorname {sech}x, & \frac{d }{d x}\operatorname {csch}x & =-\operatorname {cotgh} x\, \operatorname {csch}x. \end{align*}

Demonstração ▼

Derivando as definições de $\operatorname {senh}$ e $\cosh $, obtemos

\begin{align*} \frac{d }{d x}\operatorname {senh}x & =\frac12\left(e^x+e^{-x}\right)=\cosh x,\\ \frac{d }{d x}\cosh x & =\frac12\left(e^x-e^{-x}\right)=\operatorname {senh}x. \end{align*}

Pela regra do quociente e pela identidade fundamental,

\begin{align*} \frac{d }{d x}\operatorname {tgh}x & =\frac{\cosh ^2x-\operatorname {senh}^2x}{\cosh ^2x} =\frac1{\cosh ^2x} =\operatorname {sech}^2x,\\ \frac{d }{d x}\operatorname {cotgh} x & =\frac{\operatorname {senh}^2x-\cosh ^2x}{\operatorname {senh}^2x} =-\frac1{\operatorname {senh}^2x} =-\operatorname {csch}^2x. \end{align*}

Por fim, derivando os recíprocos,

\begin{align*} \frac{d }{d x}\operatorname {sech}x & =-\frac{\operatorname {senh}x}{\cosh ^2x} =-\operatorname {tgh}x\, \operatorname {sech}x,\\ \frac{d }{d x}\operatorname {csch}x & =-\frac{\cosh x}{\operatorname {senh}^2x} =-\operatorname {cotgh} x\, \operatorname {csch}x. \end{align*}

Exemplo 10.37

A catenária de parâmetro $a\gt 0$ é dada por

\[ y=a\cosh \left(\frac{x}{a}\right). \]

Calcule $y'$ e $y''$ e verifique as relações

\[ y''=\frac{y}{a^2} \qquad \text{e}\qquad 1+(y')^2=\left(\frac{y}{a}\right)^2. \]

Ilustração: Derivadas das funções hiperbólicas

Solução

Pela regra da cadeia e pelas derivadas das funções hiperbólicas,

\[ y'=\operatorname {senh}\left(\frac{x}{a}\right), \qquad y''=\frac1a\cosh \left(\frac{x}{a}\right)=\frac{y}{a^2}. \]

Além disso, da identidade $\cosh ^2u-\operatorname {senh}^2u=1$ segue que

\[ 1+(y')^2 =1+\operatorname {senh}^2\left(\frac{x}{a}\right) =\cosh ^2\left(\frac{x}{a}\right) =\left(\frac{y}{a}\right)^2. \]

Assim, a função que motivou a seção também fornece um exemplo direto do uso das novas fórmulas de derivação.

Para definir as inversas, podemos verificar a monotonicidade diretamente pelas representações exponenciais, sem recorrer ainda ao critério baseado no sinal da derivada. Se $x\lt y$, então

\[ \operatorname {senh}y-\operatorname {senh}x =\frac12\bigl[(e^y-e^x)+(e^{-x}-e^{-y})\bigr]\gt 0, \]

de modo que $\operatorname {senh}$ é estritamente crescente; como seus limites em $-\infty $ e $+\infty $ são, respectivamente, $-\infty $ e $+\infty $, ela é uma bijeção de $\mathbb {R}$ sobre $\mathbb {R}$.

Para $0\leq x\lt y$, ponha $u=e^x$ e $v=e^y$. Então $1\leq u\lt v$ e

\[ \cosh y-\cosh x =\frac{v-u}{2}\left(1-\frac1{uv}\right)\gt 0. \]

Como $\cosh 0=1$ e $\cosh x\to \infty $ quando $x\to \infty $, a restrição de $\cosh $ a $[0,\infty )$ é uma bijeção sobre $[1,\infty )$. Finalmente,

\[ \operatorname {tgh}x=1-\frac{2}{e^{2x}+1}, \]

portanto $\operatorname {tgh}$ é estritamente crescente. Juntamente com

\[ \lim _{x\to -\infty }\operatorname {tgh}x=-1, \qquad \lim _{x\to \infty }\operatorname {tgh}x=1, \]

isso mostra que $\operatorname {tgh}$ é uma bijeção de $\mathbb {R}$ sobre $(-1,1)$.

Exemplo 10.38

Calcule a derivada de $\operatorname {tgh}(x^2)$.

Solução

A função externa é a tangente hiperbólica e a interna é $x^2$. Pela regra da cadeia,

\[ \frac{d }{d x}\operatorname {tgh}(x^2)=2x\, \operatorname {sech}^2(x^2). \]

10.6.3 Funções hiperbólicas inversas

A bijetividade estabelecida acima permite definir os ramos principais das funções hiperbólicas inversas. Vejamos uma dessas inversões em detalhe. Se $y=\operatorname {arcsenh} x$, então

\[ x=\operatorname {senh}y=\frac{e^y-e^{-y}}2. \]

Pondo $z=e^y\gt 0$ e multiplicando por $2z$, obtemos

\[ z^2-2xz-1=0. \]

A raiz positiva é $z=x+\sqrt{x^2+1}$; portanto, $y=\ln \bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr)$. Assim,

\begin{equation*} \boxed {\operatorname {arcsenh} x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right),\qquad x\in \mathbb {R}.} \end{equation*}

Para o cosseno hiperbólico, usamos a restrição $\cosh :[0,\infty )\to [1,\infty )$:

\begin{equation*} \boxed {\operatorname {arccosh} x=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right),\qquad x\geq 1.} \end{equation*}

Finalmente, como $\operatorname {tgh}:\mathbb {R}\to (-1,1)$ é bijetora,

\begin{equation*} \boxed {\operatorname {arctgh} x=\frac12\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right), \qquad -1\lt x\lt 1.} \end{equation*}

De modo análogo, $\operatorname {arccotgh}$ denota a inversa de

\[ \operatorname {cotgh}:\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \longrightarrow (-\infty ,-1)\cup (1,\infty ), \]

$\operatorname {arcsech}$ denota a inversa da restrição

\[ \operatorname {sech}:[0,\infty )\longrightarrow (0,1], \]

e $\operatorname {arccsch}$ denota a inversa de

\[ \operatorname {csch}:\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \longrightarrow \mathbb {R}\setminus \{ 0\} . \]

Figura 10.23 A função arco-seno hiperbólico Figura 10.24 A função arco-cosseno hiperbólico — Figura 10.23 A função arco-seno hiperbólico

Figura 10.25 A função arco-tangente hiperbólica

Teorema 10.39 (Derivadas das funções hiperbólicas inversas)

Nos respectivos domínios,

\begin{align*} \frac{d }{d x}\operatorname {arcsenh} x& =\frac1{\sqrt{x^2+1}}, & & x\in \mathbb {R},\\ \frac{d }{d x}\operatorname {arccosh} x& =\frac1{\sqrt{x^2-1}}, & & x\gt 1,\\ \frac{d }{d x}\operatorname {arctgh} x& =\frac1{1-x^2}, & & |x|\lt 1,\\ \frac{d }{d x}\operatorname {arccotgh}x& =\frac1{1-x^2}, & & |x|\gt 1,\\ \frac{d }{d x}\operatorname {arcsech}x & =-\frac1{x\sqrt{1-x^2}}, & & 0\lt x\lt 1,\\ \frac{d }{d x}\operatorname {arccsch}x & =-\frac1{|x|\sqrt{1+x^2}}, & & x\neq 0. \end{align*}

Demonstração ▼

As fórmulas seguem do teorema da derivada da função inversa e das identidades hiperbólicas. Nos ramos escolhidos, as derivadas das funções diretas não se anulam nos pontos interiores relevantes: $\cosh y\gt 0$; para $\operatorname {arccosh} x$ temos $y\gt 0$ e, portanto, $\operatorname {senh}y\gt 0$; além disso, $\operatorname {sech}^2y$, $\operatorname {csch}^2y$ e os produtos que aparecem nos dois últimos casos são não nulos em seus respectivos domínios. Assim, as hipóteses do Teorema 9.43 estão satisfeitas. Indicamos os cálculos, incluindo as restrições dos ramos principais:

\begin{align*} y=\operatorname {arcsenh} x & \Longrightarrow x=\operatorname {senh}y \Longrightarrow y’=\frac1{\cosh y} =\frac1{\sqrt{1+x^2}},\\ y=\operatorname {arccosh} x & \Longrightarrow x=\cosh y \Longrightarrow y’=\frac1{\operatorname {senh}y} =\frac1{\sqrt{x^2-1}},\\ y=\operatorname {arctgh} x & \Longrightarrow x=\operatorname {tgh}y \Longrightarrow y’=\frac1{\operatorname {sech}^2y} =\frac1{1-x^2},\\ y=\operatorname {arccotgh}x & \Longrightarrow x=\operatorname {cotgh} y \Longrightarrow y’=\frac1{-\operatorname {csch}^2y} =\frac1{1-x^2},\\ y=\operatorname {arcsech}x & \Longrightarrow x=\operatorname {sech}y \Longrightarrow y’=\frac1{-\operatorname {sech}y\, \operatorname {tgh}y} =-\frac1{x\sqrt{1-x^2}},\\ y=\operatorname {arccsch}x & \Longrightarrow x=\operatorname {csch}y \Longrightarrow y’=\frac1{-\operatorname {csch}y\, \operatorname {cotgh} y} =-\frac1{|x|\sqrt{1+x^2}}. \end{align*}

Nos dois últimos cálculos, os sinais são determinados pelos ramos principais: para $\operatorname {arcsech}$, $y\geq 0$; para $\operatorname {arccsch}$, $\operatorname {cotgh} y$ tem o mesmo sinal que $x=\operatorname {csch}y$.

Exercício 10.60 (Catenária e parábola: perto e longe)

Compare a catenária $y=\cosh x$ com a parábola $y=1+\dfrac {x^2}2$.

Mostre que as duas funções têm o mesmo valor, a mesma derivada primeira e a mesma derivada segunda em $x=0$.
Complete a tabela com quatro casas decimais. Como varia a diferença entre os valores das duas funções nos pontos indicados?

\[ \begin{array}{c|ccc} x& 0{,}5& 1& 2\\ \hline \cosh x& & & \\ 1+x^2/2& & & \end{array} \]
Qual das duas cresce mais depressa quando $x\to +\infty $? Justifique.

Ver solução

Em $x=0$: valores $1$ e $1$; derivadas $\operatorname {senh}0=0$ e $0$; derivadas segundas $\cosh 0=1$ e $1$.
$\cosh x\approx 1{,}1276$; $1{,}5431$; $3{,}7622$, contra $1{,}125$; $1{,}5$; $3$. As curvas são quase indistinguíveis perto de $0$ e se afastam depois.
A catenária. Para $t\geq 0$, a desigualdade de Bernoulli fornece $(1+t/n)^n\geq 1+t$. Pelo Segundo Limite Fundamental,

\[ e^t=\lim _{n\to \infty }\left(1+\frac tn\right)^n\geq 1+t. \]

Aplicando essa estimativa a $t=x/3$, temos, para $x\gt 0$,

\[ e^x=\left(e^{x/3}\right)^3 \geq \left(1+\frac x3\right)^3 \geq \frac{x^3}{27}. \]

Como $\cosh x=(e^x+e^{-x})/2\geq e^x/2$,

\[ \begin{gathered}0\leq \frac{1+x^2/2}{\cosh x}\leq \frac{2+x^2}{e^x}\\ \leq \frac{27(2+x^2)}{x^3}\longrightarrow 0\quad (x\to +\infty ).\end{gathered} \]

Logo, a catenária cresce mais rapidamente que a parábola.

Exercício 10.61

A voltagem de um sinal é $V(t)=4\cosh (0{,}3t)$ volts. Determine $V'(t)$ e interprete o resultado em $t=2$ s.

Ver solução

$V'(t)=1{,}2\operatorname {senh}(0{,}3t)\, \mathrm{V/s}$. Em $t=2$ s, a voltagem aumenta à taxa $1{,}2\operatorname {senh}(0{,}6)\approx 0{,}764\, \mathrm{V/s}$.

Exercício 10.62

Calcule as derivadas:

$\operatorname {senh}(2x)$.
$\operatorname {tgh}(x^2)$.
$1/\cosh x$.
$\operatorname {arcsenh}(3x)$.
$(\operatorname {senh}x)^{\operatorname {tgh}x}$, para $x\gt 0$.
$x^{\cosh x}$, para $x\gt 0$.

Ver solução

Usando as fórmulas das funções hiperbólicas, a regra da cadeia e, nos dois últimos itens, diferenciação logarítmica, obtemos

$2\cosh (2x)$.
$2x\, \operatorname {sech}^2(x^2)$.
$-\operatorname {sech}x\, \operatorname {tgh}x$.
$3/\sqrt{1+9x^2}$.
$(\operatorname {senh}x)^{\operatorname {tgh}x}\left(\operatorname {sech}^2x\ln (\operatorname {senh}x)+\operatorname {tgh}x\, \operatorname {cotgh} x\right)$.
$x^{\cosh x}\left(\operatorname {senh}x\ln x+\dfrac {\cosh x}{x}\right)$.

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Tópicos em diferenciação

10.1 Derivação implícita

10.2 Derivadas das funções exponencial e logarítmica

10.2.1 Derivada de \(f(x)^{g(x)}\)

10.3 Derivadas das funções trigonométricas inversas

10.4 Taxas relacionadas

10.5 Aproximações lineares e diferenciais

10.6 \(\star \) Funções hiperbólicas e suas derivadas

10.6.1 Definições e propriedades básicas

10.6.2 Derivadas das funções hiperbólicas

10.6.3 Funções hiperbólicas inversas