Tópicos em diferenciação

A formulação de um problema é frequentemente mais essencial que sua solução.

10.1 Derivação implícita

Muitas funções são apresentadas explicitamente na forma \(y=f(x)\). Outras surgem como ramos de uma relação entre \(x\) e \(y\), expressa por uma equação:

Dizemos que uma função \(y=f(x)\) é definida implicitamente por tal equação se o ponto \((x,f(x))\) for solução da equação 10.1 para todo \(x\in \operatorname {Dom}f\). Uma mesma relação pode determinar vários ramos locais, ou até não definir \(y\) como função global de \(x\); por isso, é necessário identificar o ramo e as condições em que a derivada existe.

Quando uma função é dada implicitamente, calculamos a derivada de \(y\) em relação a \(x\) por derivação implícita: em um ramo no qual \(y=y(x)\) é diferenciável, diferenciamos os dois lados da equação, aplicamos as regras de derivação e isolamos \(dy/dx\). A divisão feita nesse último passo deve ser registrada como uma condição de domínio. Utilizaremos a técnica de derivação implícita para apresentar outra forma de deduzir a derivada do logaritmo natural.

Exercício 10.1

Encontre \(dy/dx\) diferenciando implicitamente

1. \(x^2+y^2=1\)

2. \(x^2y+xy^2=3x\)

3. \(\sqrt{x+y}+\sqrt{xy}=6\)

4. \(x\operatorname {sen}(y)+\cos (2y)=\cos (y)\)

5. \(x^y=y^x\)

6. \(y=\ln (x^2+y^2)\)

7. \(x^4+y^2+y=7\)

8. \(x^{2/5}+y^{2/5}=1\)

Ver solução

Diferenciando cada relação em relação a \(x\) e isolando \(y'\), com as restrições necessárias para as divisões efetuadas, obtemos

1. \(-\dfrac {x}{y}\), nos pontos em que \(y\neq 0\).

2. \(\dfrac {-2xy-y^2+3}{x(x+2y)}\), nos pontos em que \(x(x+2y)\neq 0\).

3. \(-\dfrac {y\sqrt{x+y}+\sqrt{xy}}{x\sqrt{x+y}+\sqrt{xy}}\), para \(x+y\gt 0\), \(xy\gt 0\) e denominador não nulo.

4. \(\dfrac {\operatorname {sen}y}{2\operatorname {sen}(2y)-\operatorname {sen}y-x\cos y}\), nos pontos em que o denominador não se anula.

5. \(\dfrac {\ln y-y/x}{\ln x-x/y}\), para \(x,y\gt 0\) e nos pontos em que o denominador não se anula.

6. \(\dfrac {2x}{x^2+y^2-2y}\), para \(x^2+y^2\gt 0\) e denominador não nulo.

7. \(-\dfrac {4x^3}{2y+1}\), nos pontos em que \(2y+1\neq 0\).

8. \(-\left(\dfrac {y}{x}\right)^{3/5}\), nos pontos em que \(x\neq 0\) e \(y\neq 0\).

Exercício 10.2

Mostre que \( \frac{dy}{dx}\) é a mesma para cada uma das seguintes funções definidas implicitamente.

1. \(xy=1\)

2. \(x^2y^2=1\)

3. \(\operatorname {sen}(xy) = 1\)

4. \(\ln (xy) =1\)

Ver solução

Em cada ramo diferenciável com \(x\neq 0\), o produto \(xy\) é uma constante não nula:

1. \(xy=1\);

2. \(xy=1\) ou \(xy=-1\);

3. \(xy=\pi /2+2k\pi \), para um inteiro \(k\) fixo no ramo;

4. \(xy=e\).

Em todos os casos, \(y=C/x\) para alguma constante \(C\neq 0\), de modo que \(y'=-C/x^2=-y/x\). No item 3, a diferenciação direta fornece \(0=0\), pois \(\cos (xy)=0\); por isso identificamos primeiro os ramos. A continuidade de \(xy\) impede que seu valor salte entre essas constantes em um intervalo.

Exercício 10.3

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado

1. \(\dfrac {x^2}{16}-\dfrac {y^2}{9}=1\) no ponto \((-5,9/4)\)

2. \(\dfrac {x^2}{9}+\dfrac {y^2}{36}=1\) no ponto \((-1,4\sqrt{2})\)

3. \(y^2=x^3(2-x)\) no ponto \((1,1)\)

Ver solução

1. \(y'=\dfrac {9x}{16y}\); no ponto dado, \(m=-5/4\). A reta é \(y-9/4=-\dfrac 54(x+5)\).

2. \(y'=-\dfrac {4x}{y}\); no ponto dado, \(m=1/\sqrt2\). A reta é \(y-4\sqrt2=\dfrac 1{\sqrt2}(x+1)\).

3. \(y'=\dfrac {x^2(3-2x)}{y}\); no ponto dado, \(m=1\). A reta é \(y=x\).

Exercício 10.4

A função \(y=f(x)\), \(y\gt 0\) é dada implicitamente por \(x^2+4y^2=2\). Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)\) no ponto de abscissa 1.

Ver solução

A derivação implícita fornece \(y'=-x/(4y)\). Quando \(x=1\), temos \(y=1/2\); portanto, \(y'(1)=-1/2\) e a reta tangente é

\[ y=\frac12-\frac12(x-1). \]

Exercício 10.5

Sejam \(a,b\gt 0\). Mostre, fazendo a diferenciação implícita, que a tangente à elipse

\[ \dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1 \]

no ponto \((x_0,y_0)\) é

\[ \dfrac {x_0x}{a^2}+\dfrac {y_0y}{b^2}=1 \]

Ver solução

Se \(y_0\neq 0\), a diferenciação implícita fornece \(y'=-b^2x/(a^2y)\). Portanto, a tangente em \((x_0,y_0)\) satisfaz

\[ y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0). \]

Multiplicando por \(y_0/b^2\) e reorganizando,

\[ \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2} =\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1. \]

Se \(y_0=0\), então \(x_0=\pm a\neq 0\). Diferenciando \(x\) em relação a \(y\), obtemos \(dx/dy=-a^2y/(b^2x)\), que se anula nesse ponto; logo, a tangente é vertical, \(x=x_0\). A fórmula do enunciado reduz-se exatamente a essa reta.

Exercício 10.6

Seja \(c\gt 0\). Mostre que a soma dos interceptos nos eixos \(x\) e \(y\) da reta tangente à curva \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{c}\), em qualquer ponto com \(x\gt 0\) e \(y\gt 0\), é igual a \(c\).

Ver solução

Derivando implicitamente, temos \(y'=-\dfrac {\sqrt y}{\sqrt x}\). Logo, a reta tangente em \((a,b)\) é \(y-b=-\dfrac {\sqrt b}{\sqrt a}(x-a)\). Seus interceptos somam \(a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2=c\).

Exercício 10.7

Encontre as equações das retas tangentes à elipse \(x^2+4y^2=36\) que passam pelo ponto \((12,3)\).

Ver solução

A tangente à elipse no ponto \((u,v)\) satisfaz \(ux+4vy=36\). Para passar por \((12,3)\), é necessário \(12u+12v=36\), isto é, \(u+v=3\). Substituindo \(v=3-u\) em \(u^2+4v^2=36\), obtemos \(5u^2-24u=0\). Assim, os pontos são \((0,3)\) e \((24/5,-9/5)\), e as retas correspondentes são \(y=3\) e \(2x-3y=15\). Ambas passam por \((12,3)\).

Exercício 10.8

A água escoa de um tanque cuja área da seção transversal é constante e igual a \(50\, \mathrm{m^2}\). Na parte inferior do tanque, há um orifício de área \(14\, \mathrm{m^2}\). A altura inicial da água é \(20\, \mathrm{m}\) e, após \(t\) segundos, a altura \(h\), em metros, satisfaz

\[ 2\sqrt h+\frac t{25}-2\sqrt{20}=0. \]

O modelo vale para \(0\leq t\leq 50\sqrt{20}\). A que taxa a altura da água diminui no instante em que \(h=9\, \mathrm{m}\)?

Ver solução

Derivando implicitamente, obtemos

\[ \frac{h'}{\sqrt{h}}+\frac1{25}=0 \quad \Longrightarrow \quad h'=-\frac{\sqrt h}{25}. \]

Quando \(h=9\), \(h'=-3/25\, \mathrm{m/s}\); portanto, a altura diminui à taxa de \(3/25\, \mathrm{m/s}\).

A derivação implícita permite diferenciar uma relação sem isolar previamente uma das variáveis. Combinada à regra da cadeia e às identidades entre exponenciais e logaritmos, ela também conduz às fórmulas de derivação para bases gerais.

10.2 Derivadas das funções exponencial e logarítmica

A identidade \(a^x=e^{x\ln a}\) reduz qualquer base positiva à base \(e\). Com ela e a regra da cadeia, as derivadas de \(a^x\) e \(\log _a x\) seguem das que já conhecemos.

Exercício 10.9

Encontre as derivadas das seguintes funções:

1. \(f(x)=2^x+3^x+4^x+5^x+6^x+7^x\)

2. \(f(x)=\pi ^x+3^xx+4^x\cos x\)

3. \(f(x)=\log _2x+\log _3x+\log _4x\)

4. \(f(x)=2^x\log _3x\)

Ver solução

1. \(2^x\ln 2+3^x\ln 3+4^x\ln 4+5^x\ln 5+6^x\ln 6+7^x\ln 7\).

2. \(\pi ^x\ln \pi +3^x(x\ln 3+1)+4^x(\ln 4\cos x-\operatorname {sen}x)\).

3. \(\dfrac 1{x\ln 2}+\dfrac 1{x\ln 3}+\dfrac 1{x\ln 4}\), para \(x\gt 0\).

4. \(\dfrac {2^x}{\ln 3}\left(\ln 2\ln x+\dfrac 1x\right)\), para \(x\gt 0\).

Exercício 10.10

Mostre, usando \(a^x=e^{x\ln a}\) e a regra da cadeia, que \(\dfrac {d}{dx}a^x=\ln (a)a^x\), para \(a\gt 0\).

Ver solução

A regra da cadeia fornece \((a^x)'=e^{x\ln a}\ln a=a^x\ln a\).

Exercício 10.11

Escreva a equação da reta tangente às curvas \(y=f(x)\) no ponto especificado. Esboce o gráfico de \(f(x)\) e da reta tangente.

1. \(y=x^3\) no ponto \(x=3\)

2. \(y=x^7+3x\) no ponto \(x=1\)

3. \(y=1/(x-1)\) no ponto \((-1,-1/2)\)

4. \(y=\operatorname {sen}x\) no ponto \(x=\pi \)

5. \(y=2^x\) no ponto \(x=2\)

6. \(y=\cos x+x^2\) no ponto \(x=0\)

Ver solução

Em cada item, calculamos \(f'(x_0)\) e usamos a forma ponto-inclinação

\[ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0). \]

Resultam as seguintes retas tangentes:

1. \(y=27(x-3)+27\).

2. \(y=10(x-1)+4\).

3. \(y=-\dfrac 14(x+1)-\dfrac 12\).

4. \(y=\pi -x\).

5. \(y-4=4\ln (2)(x-2)\).

6. \(y=1\).

Exercício 10.12

Calcule a derivada de \(f(t)=(\ln t)e^t\) e indique o domínio.

Ver solução

Como \(f(t)=(\ln t)e^t\), seu domínio é \(t\gt 0\). Pela regra do produto,

\[ f'(t)=\frac{e^t}{t}+e^t\ln t =e^t\left(\frac1t+\ln t\right),\qquad t\gt 0. \]

Exercício 10.13

A lei de Weber–Fechner propõe, em um modelo idealizado, que a intensidade percebida de um estímulo seja

\[ P(I)=k\ln \left(\frac{I}{I_0}\right),\qquad I\gt 0, \]

em que \(k\) e \(I_0\) são constantes positivas.

1. Calcule \(P'(I)\) e interprete seu comportamento quando \(I\) aumenta.

2. Mostre que duplicar o estímulo sempre produz o mesmo acréscimo na percepção prevista pelo modelo.

Ver solução

Temos \(P'(I)=k/I\). A percepção ainda cresce com o estímulo, mas sua sensibilidade a um mesmo acréscimo absoluto diminui quando \(I\) aumenta. Além disso,

\[ P(2I)-P(I)=k\ln 2, \]

independentemente de \(I\).

Exercício 10.14

Uma curva idealizada de frequência de disparo de um neurônio é

\[ f(I)=a\sqrt{I-I_c},\qquad I\gt I_c, \]

em que \(a\gt 0\), \(I\) é a corrente de entrada e \(I_c\) é um limiar. A derivada \(f'(I)\) é chamada de ganho. Determine o ganho, estude seu limite quando \(I\to I_c^+\) e interprete o resultado.

Ver solução

Para \(I\gt I_c\),

\[ f'(I)=\frac{a}{2\sqrt{I-I_c}}. \]

Logo, \(f'(I)\to +\infty \) quando \(I\to I_c^+\). O modelo prevê sensibilidade muito alta imediatamente acima do limiar e ganho decrescente à medida que a corrente aumenta. O valor infinito é uma idealização do modelo, não uma previsão fisiológica literal.

10.2.1 Derivada de \(f(x)^{g(x)}\)

O procedimento empregado na demonstração é chamado derivação logarítmica: aplicamos o logaritmo à identidade que define a função, simplificamos a expressão obtida e diferenciamos implicitamente.

Exercício 10.15

Calcule as seguintes derivadas

1. \(e^{\operatorname {sen}x}\)

2. \(\ln (1+x^2)\)

3. \(x^x\)

4. \(\cos (x)^x\)

5. \(x^{\pi }+\pi ^x\)

6. \((2x+1)^x\)

7. \(\ln (\ln (\ln (x))) \)

8. \(\ln (x)^x\)

9. \(x^{e^x}\)

10. \(x^{x^x}\)

Ver solução

Usando a regra da cadeia e, nos itens com variável na base e no expoente, a diferenciação logarítmica, obtemos

1. \(e^{\operatorname {sen}x}\cos x\).

2. \(\dfrac {2x}{1+x^2}\).

3. \(x^x(\ln x+1)\), para \(x\gt 0\).

4. \((\cos x)^x\bigl(\ln (\cos x)-x\operatorname {tg}x\bigr)\), nos intervalos em que \(\cos x\gt 0\).

5. \(\pi x^{\pi -1}+\pi ^x\ln \pi \), para \(x\gt 0\).

6. \((2x+1)^x\left(\ln (2x+1)+\dfrac {2x}{2x+1}\right)\), para \(x\gt -1/2\).

7. \(\dfrac 1{x\ln x\, \ln (\ln x)}\), para \(x\gt e\).

8. \((\ln x)^x\left(\ln (\ln x)+\dfrac 1{\ln x}\right)\), para \(x\gt 1\).

9. \(x^{e^x}e^x\left(\ln x+\dfrac 1x\right)\), para \(x\gt 0\).

10. \(x^{x^x}x^x\left((\ln x+1)\ln x+\dfrac 1x\right)\), para \(x\gt 0\).

10.3 Derivadas das funções trigonométricas inversas

Seno, cosseno e tangente não são injetivas em seus domínios naturais. Ao restringi-las aos intervalos escolhidos na Seção 5.8, obtemos funções bijetivas e, portanto, inversas bem definidas. O teorema da derivada da função inversa permite então deduzir as derivadas de arco seno, arco cosseno e arco tangente, com seus respectivos domínios.

A restrição de \(\operatorname {tg}\) ao intervalo \((-\pi /2,\pi /2)\) é bijetiva sobre \(\mathbb {R}\). Sua inversa é a função \(\operatorname {arctg}:\mathbb {R}\to (-\pi /2,\pi /2)\), caracterizada por

Para as outras inversas trigonométricas, fixamos as convenções

e \(\operatorname {arccotg}x=\pi /2-\operatorname {arctg}x\) para \(x\in \mathbb {R}\). Assim, os valores da arco-secante pertencem a \([0,\pi ]\setminus \{ \pi /2\} \), os da arco-cossecante a \([-\pi /2,\pi /2]\setminus \{ 0\} \) e os da arco-cotangente a \((0,\pi )\). A regra da cadeia e as fórmulas já demonstradas dão as derivadas seguintes.

Exercício 10.16

Calcule as seguintes derivadas

1. \(\operatorname {arcsen}(x^3)\)

2. \(\arccos (\operatorname {sen}(x))\)

3. \(\operatorname {arccossec}(2x)\)

Ver solução

Aplicando a regra da cadeia às fórmulas das funções trigonométricas inversas e registrando os respectivos domínios, obtemos

1. \(\dfrac {3x^2}{\sqrt{1-x^6}}\), para \(|x|\lt 1\).

2. \(-\dfrac {\cos x}{|\cos x|}\), nos pontos em que \(\cos x\neq 0\).

3. \(-\dfrac {1}{|x|\sqrt{4x^2-1}}\), para \(|x|\gt 1/2\).

Exercício 10.17

Calcule as derivadas e indique onde as fórmulas são válidas.

1. \(h(t)=\operatorname {arcsen}(2t)\)

2. \(f(t)=\operatorname {arcsec}(2t)\)

3. \(g(x)=\operatorname {arctg}(2x)\)

4. \(f(x)=x\operatorname {arcsen}x\)

5. \(g(t)=\operatorname {sen}t\, \arccos t\)

6. \(h(x)=\operatorname {arcsen}x/\arccos x\)

7. \(g(x)=\operatorname {arctg}(\sqrt{x})\)

8. \(f(x)=\operatorname {arcsec}(1/x)\)

Ver solução

As regras da cadeia, do produto e do quociente fornecem

1. \(h'(t)=\dfrac {2}{\sqrt{1-4t^2}}\), para \(|t|\lt 1/2\).

2. \(f'(t)=\dfrac {1}{|t|\sqrt{4t^2-1}}\), para \(|t|\gt 1/2\).

3. \(g'(x)=\dfrac {2}{1+4x^2}\), para \(x\in \mathbb {R}\).

4. \(f'(x)=\operatorname {arcsen}x+\dfrac {x}{\sqrt{1-x^2}}\), para \(|x|\lt 1\).

5. \(g'(t)=\arccos (t)\cos t-\dfrac {\operatorname {sen}t}{\sqrt{1-t^2}}\), para \(|t|\lt 1\).

6. \(h'(x)=\dfrac {\operatorname {arcsen}x+\arccos x}{\sqrt{1-x^2}\, [\arccos x]^2}\), para \(|x|\lt 1\).

7. \(g'(x)=\dfrac {1}{2\sqrt{x}(1+x)}\), para \(x\gt 0\).

8. \(f'(x)=-\dfrac {1}{\sqrt{1-x^2}}\), para \(0\lt |x|\lt 1\).

Exercício 10.18

Faça um treino cumulativo das regras de derivação.

1. \(f(x)=(x^2+1)^5\).

2. \(g(x)=e^{x^2}\operatorname {sen}x\).

3. \(h(x)=\ln (1+x^2)\).

4. \(p(x)=x^x\), para \(x\gt 0\).

5. \(q(x)=(\operatorname {sen}x)^x\), em um intervalo no qual \(\operatorname {sen}x\gt 0\).

6. \(r(x)=\sqrt{\dfrac {1+x}{1-x}}\), para \(-1\lt x\lt 1\).

7. \(u(x)=\operatorname {arctg}(e^x)\).

8. \(v(x)=\ln \! \left(\dfrac {x^2+1}{x-1}\right)\), para \(x\gt 1\).

9. Calcule \(y'\) se \(x^2+xy+y^2=7\).

10. Calcule \(f''(x)\) se \(f(x)=x^2e^x\).

Ver solução

Este bloco combina as técnicas do capítulo; em cada item usamos apenas as regras necessárias e mantemos as condições de domínio implícitas no enunciado.

1. \(f'(x)=10x(x^2+1)^4\).

2. \(g'(x)=e^{x^2}(2x\operatorname {sen}x+\cos x)\).

3. \(h'(x)=2x/(1+x^2)\).

4. \(p'(x)=x^x(\ln x+1)\).

5. \(q'(x)=(\operatorname {sen}x)^x[\ln (\operatorname {sen}x)+x\operatorname {cotg}x]\).

6. Por diferenciação logarítmica, \(r'(x)=r(x)/(1-x^2)\).

7. \(u'(x)=e^x/(1+e^{2x})\).

8. \(v'(x)=2x/(x^2+1)-1/(x-1)\).

9. \(y'=-(2x+y)/(x+2y)\), quando \(x+2y\neq 0\).

10. \(f''(x)=e^x(x^2+4x+2)\).

Até aqui, a regra da cadeia e a derivação implícita foram usadas principalmente para obter novas fórmulas de derivação. Quando várias grandezas dependem de um mesmo parâmetro — em geral, o tempo —, as mesmas técnicas tornam-se uma ferramenta de modelagem: uma relação entre grandezas passa a produzir uma relação entre suas taxas de variação.

10.4 Taxas relacionadas

Em muitos problemas, duas ou mais grandezas variam com o tempo e permanecem ligadas por uma equação. As taxas relacionadas são as derivadas dessas grandezas em relação ao tempo. Um procedimento útil consiste em identificar as grandezas que variam, escrever uma equação que as relacione, diferenciar essa equação em relação a \(t\) e somente então substituir os valores correspondentes ao instante considerado.

Por exemplo, se \(x=x(t)\) e \(y=y(t)\) estão relacionadas por uma equação envolvendo \(x\) e \(y\), tratamos ambas como funções do tempo e diferenciamos a relação inteira em relação a \(t\), usando a regra da cadeia sempre que necessário. Os valores numéricos das grandezas devem ser substituídos somente depois da diferenciação, pois, durante o processo, todas elas variam com \(t\).

Exercício 10.19

A água flui sobre uma superfície plana à taxa de \(5\, \mathrm{cm^3/s}\), formando uma poça circular de \(10\, \mathrm{mm}\) de profundidade constante. A que taxa o raio cresce quando mede:

1. 1 cm?

2. 10 cm?

3. 100 cm?

Ver solução

Como \(10\, \mathrm{mm}=1\, \mathrm{cm}\), o volume é \(V=\pi r^2\). Derivando, \(5=2\pi r\, r'\), logo \(r'=5/(2\pi r)\), em cm/s. Na ordem pedida:

1. \(5/(2\pi )\, \mathrm{cm/s}\).

2. \(1/(4\pi )\, \mathrm{cm/s}\).

3. \(1/(40\pi )\, \mathrm{cm/s}\).

Exercício 10.20

Uma escada de \(8\, \mathrm m\) está encostada em uma casa enquanto sua base é afastada a uma velocidade constante de \(0{,}5\, \mathrm{m/s}\).

A que velocidade vertical o topo da escada desliza pela parede quando a base está a:

1. \(1\, \mathrm m\) da casa?

2. \(4\, \mathrm m\) da casa?

3. \(7{,}5\, \mathrm m\) da casa?

4. \(8\, \mathrm m\) da casa?

Ver solução

Se \(x\) é a distância da base à parede e \(y\) é a altura do topo, então \(x^2+y^2=64\). Como \(x'=0{,}5\), temos \(y'=-0{,}5x/y=-0{,}5x/\sqrt{64-x^2}\). As velocidades verticais são:

1. \(-1/(2\sqrt{63})\, \mathrm{m/s}\).

2. \(-1/(2\sqrt3)\, \mathrm{m/s}\).

3. \(-15/(2\sqrt{31})\, \mathrm{m/s}\).

4. Não há taxa vertical finita: quando \(x\to 8^-\), \(y\to 0^+\) e \(y'\to -\infty \). O modelo com afastamento horizontal constante não continua além desse instante.

Exercício 10.21

A luminosidade \(L\) de uma estrela é modelada pela lei de Stefan–Boltzmann,

\[ L=4\pi \sigma R^2T^4, \]

em que \(R\) é o raio, \(T\) é a temperatura da superfície e \(\sigma \) é constante. Mostre que

\[ \frac{1}{L}\frac{d L}{d t} =2\frac{1}{R}\frac{d R}{d t}+4\frac{1}{T}\frac{d T}{d t}. \]

Em certo instante, o raio cresce à taxa relativa de \(0{,}4\% \) por século e a temperatura diminui à taxa relativa de \(0{,}1\% \) por século. Qual é a taxa relativa de variação da luminosidade nesse instante?

Ver solução

Diferenciando em relação ao tempo e dividindo por \(L=4\pi \sigma R^2T^4\), obtemos a identidade pedida. Substituindo as taxas relativas,

\[ \frac{L'}{L}=2(0{,}4\% )+4(-0{,}1\% )=0{,}4\% \]

por século. Nesse instante, a luminosidade está aumentando.

Exercício 10.22

Um tanque cônico invertido, com 20 m de profundidade e 10 m de diâmetro na parte superior, está sendo preenchido com água a uma taxa de \(10\, \mathrm{m^3/min}\). A que taxa a água está subindo quando sua profundidade é:

1. 1 m?

2. 10 m?

3. 19 m?

Quanto tempo o tanque levará para encher quando começar vazio?

Ver solução

O raio superior é \(5\) m. Por semelhança, \(r/h=5/20=1/4\), de modo que \(V=\pi h^3/48\). Derivando, \(10=(\pi h^2/16)h'\), portanto \(h'=160/(\pi h^2)\). Na ordem pedida:

1. \(160/\pi \, \mathrm{m/min}\).

2. \(8/(5\pi )\, \mathrm{m/min}\).

3. \(160/(361\pi )\, \mathrm{m/min}\).

O volume total é \(V(20)=500\pi /3\, \mathrm{m^3}\). Dividindo-o pela vazão de \(10\, \mathrm{m^3/min}\), obtemos o tempo de enchimento \(50\pi /3\) minutos.

Exercício 10.23

Uma corda inextensível presa a um peso passa por uma polia no teto e retorna até um trabalhador. Ele mantém a extremidade livre a uma altura constante, \(10\, \mathrm m\) abaixo da polia. Inicialmente, o ponto de conexão da corda com o peso está nessa mesma altura. Despreze o trecho de corda em contato com a polia.

Suponha que o trabalhador esteja inicialmente ao lado do peso, de modo que o comprimento total da corda seja \(20\, \mathrm m\), e comece a se afastar a \(0{,}6\, \mathrm{m/s}\). A que velocidade o peso sobe depois que ele percorre (a) \(3\, \mathrm m\) e (b) \(12\, \mathrm m\)?

Ver solução

Se \(x\) é a distância horizontal percorrida e \(y\) é a distância vertical entre o peso e a polia, o comprimento constante da corda dá

\[ y+\sqrt{x^2+10^2}=20. \]

A distância vertical da mão à polia é fixa, igual a \(10\, \mathrm m\). Como \(x'=0{,}6\), a diferenciação fornece

\[ y'=-\frac{0{,}6x}{\sqrt{x^2+100}}. \]

Portanto, a velocidade de subida do peso é \(-y'=0{,}6x/\sqrt{x^2+100}\). Após percorrer (a) \(3\, \mathrm m\), o peso sobe a \(1{,}8/\sqrt{109}\approx 0{,}172\, \mathrm{m/s}\); após percorrer (b) \(12\, \mathrm m\), sobe a \(3{,}6/\sqrt{61}\approx 0{,}461\, \mathrm{m/s}\).

Exercício 10.24

Um barco é puxado em direção a uma doca por uma corda recolhida por um guincho à taxa constante de \(9\, \mathrm{m/min}\). O guincho está \(3\, \mathrm m\) acima do convés do barco, e essa diferença de altura permanece constante.

A que velocidade o barco se aproxima do cais quando o barco está:

1. \(15\, \mathrm m\) distante da doca?

2. \(4{,}5\, \mathrm m\) distante da doca?

3. \(0{,}3\, \mathrm m\) distante da doca?

4. É possível que o trecho de corda entre o barco e o guincho tenha menos de \(3\, \mathrm m\) de comprimento?

Ver solução

Se \(s\) é o comprimento do trecho de corda entre o barco e o guincho e \(x\) é a distância horizontal ao cais, então \(s^2=x^2+9\). Como \(s'=-9\), obtemos \(x'=ss'/x=-9\sqrt{x^2+9}/x\). Na ordem pedida, as taxas de variação da distância são:

1. \(-9\sqrt{26}/5\, \mathrm{m/min}\).

2. \(-3\sqrt{13}\, \mathrm{m/min}\).

3. \(-9\sqrt{101}\, \mathrm{m/min}\).

4. É impossível ter \(s\lt 3\, \mathrm m\), pois a separação vertical entre o guincho e o convés já mede \(3\, \mathrm m\).

Nos três primeiros itens, as velocidades de aproximação são os módulos desses valores; o sinal negativo indica diminuição da distância.

Exercício 10.25

Uma aeronave voa a \(800\, \mathrm{km/h}\), a uma altitude constante de \(3\, \mathrm{km}\), em trajetória retilínea que passa diretamente sobre um dispositivo de rastreamento.

A que velocidade angular o dispositivo deve girar para acompanhar a aeronave, em graus por segundo, quando a distância horizontal do avião ao dispositivo for:

1. \(1\, \mathrm{km}\)?

2. \(0{,}2\, \mathrm{km}\)?

3. zero, isto é, quando a aeronave estiver diretamente acima dele?

Ver solução

Se \(x\) é a distância horizontal orientada, em quilômetros, e \(\theta \) é o ângulo medido a partir da horizontal, então \(\operatorname {cotg}\theta =x/3\). Diferenciando e tomando módulos,

\[ |\theta '|=\frac{3\cdot 800}{x^2+9}\quad \text{rad/h}. \]

Para converter radianos por hora em graus por segundo, multiplicamos por \(180/(3600\pi )=1/(20\pi )\). Logo, na ordem pedida:

1. \(12/\pi \approx 3{,}82\, \mathrm{graus/s}\).

2. \(1500/(113\pi )\approx 4{,}22\, \mathrm{graus/s}\).

3. \(40/(3\pi )\approx 4{,}24\, \mathrm{graus/s}\).

Exercício 10.26

Uma empresa de paisagismo despeja areia em uma pilha cônica à taxa de \(1\, \mathrm{m^3/s}\). As propriedades físicas da areia asseguram que a altura do cone seja sempre igual a \(2/3\) do diâmetro de sua base circular. A que taxa a altura da pilha aumenta quando mede \(10\, \mathrm m\)?

Ver solução

Como \(h=(2/3)(2r)=4r/3\), temos \(r=3h/4\). Logo, \(V=\pi r^2h/3=3\pi h^3/16\). Derivando, \(1=(9\pi h^2/16)h'\). Para \(h=10\, \mathrm m\), obtemos \(h'=4/(225\pi )\, \mathrm{m/s}\).

Exercício 10.27

A posição, em centímetros, de uma massa presa a uma mola amortecida é

\[ s(t)=2e^{-3t/2}\operatorname {sen}(2\pi t),\qquad t\geq 0, \]

com \(t\) medido em segundos.

1. Determine a velocidade \(v(t)\).

2. Calcule \(v(0)\) e interprete seu sinal.

3. Encontre o primeiro instante positivo em que a massa está momentaneamente em repouso.

4. Mostre que a amplitude das oscilações tende a zero.

Ver solução

Pelas regras do produto e da cadeia,

\[ v(t)=e^{-3t/2}\bigl(4\pi \cos (2\pi t)-3\operatorname {sen}(2\pi t)\bigr). \]

Logo, \(v(0)=4\pi \, \mathrm{cm/s}\); o sinal positivo indica movimento inicial no sentido positivo do eixo. Como o fator exponencial nunca se anula, o primeiro repouso positivo satisfaz

\[ \operatorname {tg}(2\pi t)=\frac{4\pi }{3}, \qquad t=\frac{1}{2\pi }\operatorname {arctg}\! \left(\frac{4\pi }{3}\right) \approx 0{,}213\ \mathrm{s}. \]

Finalmente, \(|s(t)|\leq 2e^{-3t/2}\) e essa envoltória tende a zero; portanto, as oscilações são amortecidas.

Exercício 10.28

Um cristal cúbico cresce preservando sua forma. Se \(x\) é a medida da aresta, em milímetros, e \(V=x^3\) é o volume, responda:

1. Qual é a taxa de variação do volume em relação à aresta?

2. Quanto vale essa taxa quando \(x=3\, \mathrm{mm}\)?

3. Relacione \(dV/dx\) com a área superficial \(S\) do cubo.

Ver solução

Temos \(dV/dx=3x^2\). Em \(x=3\), a taxa é \(27\, \mathrm{mm^2}\), isto é, cerca de \(27\, \mathrm{mm^3}\) de volume para cada milímetro acrescentado à aresta. Como \(S=6x^2\), segue que \(dV/dx=S/2\).

Exercício 10.29

Uma população de peixes \(P(t)\), medida em número de indivíduos, obedece ao modelo logístico com retirada proporcional

\[ P'=r_0\left(1-\frac{P}{P_c}\right)P-\beta P, \]

em que \(r_0\), \(P_c\) e \(\beta \) são positivos. Chamamos de equilíbrio um valor constante \(P=P_*\) para o qual \(P'=0\).

1. Determine os equilíbrios do modelo e diga quando existe um equilíbrio positivo.

2. Para \(P_c=10000\), \(r_0=0{,}05\) e \(\beta =0{,}04\), determine o equilíbrio positivo.

3. O que o modelo prevê quando \(\beta =r_0\) e \(P(0)\gt 0\)?

Ver solução

Fatorando,

\[ P'=P\left(r_0-\beta -\frac{r_0}{P_c}P\right). \]

Os equilíbrios são \(P=0\) e \(P=P_c(1-\beta /r_0)\). O segundo é positivo exatamente quando \(\beta \lt r_0\). Com os valores dados, ele vale \(10000(1-0{,}04/0{,}05)=2000\) peixes.

Se \(\beta =r_0\), então

\[ P'=-\frac{r_0}{P_c}P^2\lt 0\qquad (P\gt 0), \]

logo a população decresce enquanto é positiva. Ela não pode permanecer acima de um nível \(\varepsilon \gt 0\): nesse caso teríamos \(P'\leq -(r_0/P_c)\varepsilon ^2\), e o Teorema do Valor Médio forçaria uma queda linear que acabaria tornando \(P\) negativa. Portanto, o único nível possível a longo prazo é \(0\), isto é, o modelo prevê \(P(t)\to 0\).

Exercício 10.30

Os ponteiros de um relógio medem \(8\, \mathrm{mm}\) e \(4\, \mathrm{mm}\). Determine a taxa de variação da distância entre suas pontas exatamente à uma hora. Considere o movimento contínuo dos dois ponteiros.

Ver solução

Se \(d\) é a distância entre as pontas e \(\theta \) é o menor ângulo entre os ponteiros logo após uma hora, a lei dos cossenos fornece

\[ d^2=8^2+4^2-2(8)(4)\cos \theta =80-64\cos \theta . \]

À uma hora, \(\theta =\pi /6\). Logo após esse instante, o ponteiro dos minutos se aproxima do ponteiro das horas; portanto,

\[ \theta '=\frac{\pi }{360}-\frac{\pi }{30}=-\frac{11\pi }{360}\ \mathrm{rad/min}. \]

Derivando, \(2dd'=64\operatorname {sen}\theta \, \theta '\). Portanto,

\[ d'=-\frac{22\pi }{45\sqrt{80-32\sqrt3}}\ \mathrm{mm/min}. \]

O valor é negativo: nesse instante, as pontas estão se aproximando.

10.5 Funções hiperbólicas e suas derivadas

As funções hiperbólicas são combinações de exponenciais que apresentam propriedades algébricas e geométricas análogas às das funções trigonométricas. Sua origem está ligada à hipérbole \(x^2-y^2=1\), assim como seno e cosseno estão ligados à circunferência unitária.

10.5.1 Definições e propriedades básicas

O nome funções hiperbólicas vem de uma relação geométrica análoga àquela que liga as funções trigonométricas à circunferência unitária. Enquanto os pontos da circunferência podem ser parametrizados por \((\cos t,\operatorname {sen}t)\), os pontos do ramo direito da hipérbole \(x^2-y^2=1\) podem ser parametrizados por \((\cosh t,\operatorname {senh}t)\).

Essas funções aparecem naturalmente como combinações de exponenciais. Também surgem em diversos modelos físicos. Um exemplo clássico é a catenária, curva de equação

que descreve a forma de uma corrente homogênea, perfeitamente flexível, suspensa pelas extremidades e em equilíbrio sob a ação da gravidade.

A identidade fundamental mostra que \((\cosh t,\operatorname {senh}t)\) pertence à hipérbole \(x^2-y^2=1\). Como \(\cosh t\gt 0\), essa parametrização percorre seu ramo direito.

As funções \(\operatorname {tgh}\) e \(\operatorname {sech}\) estão definidas em todo \(\mathbb {R}\); as funções \(\operatorname {cotgh}\) e \(\operatorname {csch}\) estão definidas em \(\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \). A identidade fundamental também fornece

10.5.2 Derivadas das funções hiperbólicas

Como as funções hiperbólicas foram definidas em termos de exponenciais, suas derivadas seguem das regras já estabelecidas.

Para definir as inversas, podemos verificar a monotonicidade diretamente pelas representações exponenciais, sem recorrer ainda ao critério baseado no sinal da derivada. Se \(x\lt y\), então

de modo que \(\operatorname {senh}\) é estritamente crescente; como seus limites em \(-\infty \) e \(+\infty \) são, respectivamente, \(-\infty \) e \(+\infty \), ela é uma bijeção de \(\mathbb {R}\) sobre \(\mathbb {R}\).

Para \(0\leq x\lt y\), ponha \(u=e^x\) e \(v=e^y\). Então \(1\leq u\lt v\) e

Como \(\cosh 0=1\) e \(\cosh x\to \infty \) quando \(x\to \infty \), a restrição de \(\cosh \) a \([0,\infty )\) é uma bijeção sobre \([1,\infty )\). Finalmente,

portanto \(\operatorname {tgh}\) é estritamente crescente. Juntamente com

isso mostra que \(\operatorname {tgh}\) é uma bijeção de \(\mathbb {R}\) sobre \((-1,1)\).

10.5.3 Funções hiperbólicas inversas

A bijetividade estabelecida acima permite definir os ramos principais das funções hiperbólicas inversas. Vejamos uma dessas inversões em detalhe. Se \(y=\operatorname {arcsenh} x\), então

Pondo \(z=e^y\gt 0\) e multiplicando por \(2z\), obtemos

A raiz positiva é \(z=x+\sqrt{x^2+1}\); portanto, \(y=\ln \bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr)\). Assim,

Para o cosseno hiperbólico, usamos a restrição \(\cosh :[0,\infty )\to [1,\infty )\):

Finalmente, como \(\operatorname {tgh}:\mathbb {R}\to (-1,1)\) é bijetiva,

De modo análogo, \(\operatorname {arcoth}\) denota a inversa de

\(\operatorname {arsech}\) denota a inversa da restrição

e \(\operatorname {arcsch}\) denota a inversa de

Exercício 10.31

Calcule as derivadas:

1. \(\operatorname {senh}(2x)\).

2. \(\operatorname {tgh}(x^2)\).

3. \(1/\cosh x\).

4. \(\operatorname {arsenh}(3x)\).

5. \((\operatorname {senh}x)^{\operatorname {tgh}x}\), para \(x\gt 0\).

6. \(x^{\cosh x}\), para \(x\gt 0\).

Ver solução

Usando as fórmulas das funções hiperbólicas, a regra da cadeia e, nos dois últimos itens, diferenciação logarítmica, obtemos

1. \(2\cosh (2x)\).

2. \(2x\, \operatorname {sech}^2(x^2)\).

3. \(-\operatorname {sech}x\, \operatorname {tgh}x\).

4. \(3/\sqrt{1+9x^2}\).

5. \((\operatorname {senh}x)^{\operatorname {tgh}x}\left(\operatorname {sech}^2x\ln (\operatorname {senh}x)+\operatorname {tgh}x\, \operatorname {cotgh} x\right)\).

6. \(x^{\cosh x}\left(\operatorname {senh}x\ln x+\dfrac {\cosh x}{x}\right)\).

10.6 Derivadas de ordem superior

Uma derivada também pode variar e, portanto, pode ser novamente derivada. As derivadas sucessivas descrevem variações de ordem cada vez mais alta: na mecânica, por exemplo, a derivada da posição é a velocidade, e a derivada da velocidade é a aceleração.

Formalmente, seja \(f\) uma função diferenciável em um intervalo aberto \(I\). A função \(f':I\to \mathbb {R}\) é chamada derivada primeira de \(f\). Quando \(f'\) também é diferenciável, sua derivada é a derivada segunda de \(f\):

A derivada de \(f''\), quando existe, é a derivada terceira de \(f\), denotada por

De modo geral, para \(n\in \mathbb {N}^*\), denotamos por \(f^{(n)}\) a derivada n-ésima de \(f\), sempre que ela exista. Adotaremos também a convenção \(f^{(0)}=f\).

Na notação de Leibniz, para \(y=f(x)\), escrevemos

para a derivada segunda. Analogamente, \(\frac{d [}{d 3}]{y}{x}\) e \(\frac{d [}{d 3}]{f}{x}\) denotam a derivada terceira, e assim por diante.

Depois de ampliar o repertório de técnicas de diferenciação, voltamos à interpretação geométrica que motivou a derivada. A reta tangente não registra apenas a inclinação do gráfico: perto do ponto de tangência, ela fornece uma aproximação da própria função.

10.7 Aproximações lineares e diferenciais

Em muitas situações, precisamos estimar de modo rápido a variação de \(f(x)\) provocada por uma pequena variação em \(x\). O incremento da variável dependente é

Se \(f\) é diferenciável em \(p\), seu gráfico e sua reta tangente tornam-se indistinguíveis em primeira ordem nas proximidades de \((p,f(p))\). A reta tangente tem equação

o que motiva a aproximação

A função \(L(x)=f(p)+f'(p)(x-p)\) é chamada linearização de \(f\) em \(p\).

A notação de incremento pode ser usada na definição da derivada de uma função.

Portanto,

Equivalentemente,

Nesta seção, a escrita \(\, \mathrm{d}y/\, \mathrm{d}x\) registra a derivada e a relação \(\, \mathrm{d}y=f'(x)\, \mathrm{d}x\) entre diferenciais; ela não deve ser manipulada como uma fração algébrica ordinária sem a justificativa de um teorema.

Para interpretar geometricamente a diferencial, considere a Figura 10.19. Seja \(\, \mathrm{d}x=\Delta x\) a variação em \(x\) e seja \(\Delta y=f(x+\, \mathrm{d}x)-f(x)\) a correspondente variação em \(y\). Como \(f'(x)\) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \((x,f(x))\), a quantidade \(\, \mathrm{d}y\) representa a variação prevista pela reta tangente, enquanto \(\Delta y\) representa a variação efetiva da função.

Exercício 10.32

Para \(k\in \mathbb {R}\), mostre que a linearização de \(f(x)=(1+x)^k\) em \(x=0\) é \(L(x)=1+kx\).

Ver solução

Como \(f(0)=1\) e \(f'(0)=k\), a linearização de \(f\) em torno de \(0\) é

\[ L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=1+kx. \]

Exercício 10.33

Um cristal cúbico tem volume \(V=x^3\), com \(x\) em milímetros. Use a linearização de \(V\) em \(x=3\) para estimar a variação do volume quando a aresta passa de \(3\) para \(3{,}02\, \mathrm{mm}\).

Ver solução

Como \(V'(3)=27\) e \(\Delta x=0{,}02\, \mathrm{mm}\),

\[ \Delta V\approx V'(3)\Delta x=27(0{,}02)=0{,}54\, \mathrm{mm^3}. \]

Exercício 10.34

Para \(f(x)=\sqrt[3]{x}\), use o ponto-base \(a=8\) para obter uma linearização e, com ela, aproximar \(\sqrt[3]{8{,}7}\).

Ver solução

Para \(f(x)=\sqrt[3]{x}\), temos \(f(8)=2\) e \(f'(8)=1/12\). Assim, a linearização em \(x=8\) é

\[ L(x)=2+\frac{x-8}{12}. \]

Logo,

\[ \sqrt[3]{8{,}7}\approx L(8{,}7)=2{,}05833. \]

Exercício 10.35

A curva \(x^2+xy+y^2=7\) define \(y\) implicitamente perto de \((1,2)\). Encontre \(dy/dx\) e a reta tangente nesse ponto.

Ver solução

\[ y'=-\frac{2x+y}{x+2y}. \]

Em \((1,2)\), \(y'=-4/5\); a tangente é \(y-2=-\frac45(x-1)\).

Exercício 10.36

Derive por diferenciação logarítmica

\[ y=\frac{(x^2+1)^{\sqrt{x}}}{x^3},\qquad x\gt 0. \]

Indique em que ponto a hipótese \(x\gt 0\) é usada.

Ver solução

Como \(x\gt 0\), podemos escrever \(\ln y=\sqrt{x}\ln (x^2+1)-3\ln x\). Assim,

\[ y'=y\left(\frac{\ln (x^2+1)}{2\sqrt{x}} +\frac{2x\sqrt{x}}{x^2+1}-\frac3x\right), \quad y=\frac{(x^2+1)^{\sqrt{x}}}{x^3}. \]

A hipótese garante a existência de \(\sqrt x\) e de \(\ln x\) e torna \(y\gt 0\).

Exercício 10.37

Determine a derivada de \(\operatorname {arctg}(2x/(1-x^2))\) nos intervalos em que a expressão está definida. Compare a resposta com a derivada que seria obtida ao simplificar apenas localmente pela fórmula da tangente dupla.

Ver solução

Para \(x\neq \pm 1\), a regra da cadeia fornece

\[ \frac{d}{dx}\operatorname {arctg}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)=\frac{2}{1+x^2}. \]

A identidade da tangente dupla leva localmente à mesma derivada, mas a função \(\operatorname {arctg}\) escolhe valores em um intervalo restrito; por isso não se pode substituir globalmente a expressão por \(2\operatorname {arctg}x\) sem constantes por trechos.

Exercício 10.38

Um balão esférico é inflado a \(30\) cm\(^3\)/s. Quando seu raio é \(5\) cm, a que taxa cresce a área de sua superfície?

Ver solução

De \(V=4\pi r^3/3\), obtemos \(r'=30/(4\pi r^2)\). Como \(S=4\pi r^2\), \(S'=8\pi rr'\). Em \(r=5\, \mathrm{cm}\), \(S'=12\, \mathrm{cm^2/s}\).

Exercício 10.39

Use a linearização de \(\sqrt[3]{x}\) em \(x=8\) para aproximar \(\sqrt[3]{8{,}12}\).

Ver solução

\(L(x)=2+(x-8)/12\), logo \(\sqrt[3]{8{,}12}\approx L(8{,}12)=2{,}01\).

Exercício 10.40

A voltagem de um sinal é \(V(t)=4\cosh (0{,}3t)\) volts. Determine \(V'(t)\) e interprete o resultado em \(t=2\) s.

Ver solução

\(V'(t)=1{,}2\operatorname {senh}(0{,}3t)\, \mathrm{V/s}\). Em \(t=2\) s, a voltagem aumenta à taxa \(1{,}2\operatorname {senh}(0{,}6)\approx 0{,}764\, \mathrm{V/s}\).

Exercício 10.41

Uma escada de \(8\) m desliza: sua base afasta-se da parede a \(0{,}4\) m/s. Quando a base está a \(3\) m da parede, determine a velocidade da extremidade superior e diga se sua altura aumenta ou diminui.

Ver solução

De \(x^2+y^2=64\), segue \(xx'+yy'=0\). Quando \(x=3\), \(y=\sqrt{55}\) e

\[ y'=-\frac{3(0{,}4)}{\sqrt{55}}=-\frac{1{,}2}{\sqrt{55}} \approx -0{,}162\, \mathrm{m/s}. \]

A altura diminui.