Enquanto a derivada descreve uma taxa instantânea de variação, a integral definida reúne contribuições distribuídas ao longo de um intervalo. Se conhecemos a velocidade de um móvel, como recuperar seu deslocamento? Se conhecemos a vazão de uma torneira, quanta água entrou no reservatório? E como medir uma região cuja borda não é formada por segmentos de reta?
Essas perguntas têm uma ideia em comum: dividir, aproximar e somar. A integral definida nasce dessa ideia de acumulação. Sua relação com as primitivas, porém, não será imposta pela definição; será uma descoberta. O Teorema Fundamental do Cálculo mostrará que acumular uma taxa e depois derivar a acumulação nos devolve a taxa inicial. Com ele, a geometria das áreas e o estudo da variação passam a fazer parte da mesma teoria.
13.1 Áreas e somas de Riemann
Um retângulo tem área igual ao produto da base pela altura. A dificuldade começa quando a altura varia. Em vez de procurar de imediato uma fórmula para a região inteira, podemos aproximá-la por pequenas regiões que já sabemos medir.
Considere inicialmente uma função contínua e não negativa \(f\) em \([a,b]\), com \(a\lt b\). Queremos determinar a área da região delimitada por seu gráfico, pelo eixo \(x\) e pelas retas \(x=a\) e \(x=b\).
A região pode ser aproximada por uma coleção de retângulos, como na Figura 13.1. Ao refinar a divisão do intervalo, diminuem-se as larguras dos retângulos, e suas áreas fornecem aproximações sucessivas da área procurada. O limite dessas somas dará a definição precisa.
Figura13.1Ao refinar a partição, a soma das áreas dos retângulos se aproxima da área sob o gráfico.
Considere a região abaixo do gráfico de \(y=x^2\) em \([0,1]\), apresentada na Figura 13.2. Como \(x^2\geq 0\) nesse intervalo, sua área geométrica coincide com a acumulação com sinal que, mais adiante, chamaremos de integral de \(x^2\) entre \(0\) e \(1\) e denotaremos por \(\displaystyle \int _0^1x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Figura13.2Região sob \(f(x)=x^2\) em \([0,1]\), cuja área será aproximada por somas de Riemann.
Primeiro faremos aproximações. Dividimos \([0,1]\) em quatro subintervalos de comprimento \(1/4\): \([0,1/4]\), \([1/4,1/2]\), \([1/2,3/4]\) e \([3/4,1]\). Essa divisão é uma partição do intervalo. Em cada subintervalo, desenharemos um retângulo.
Figura13.3Partição do intervalo \([0,1]\) em quatro subintervalos iguais.
Em um subintervalo \([x_{i-1},x_i]\), escolhemos uma marca \(x_i^*\) e usamos \(f(x_i^*)\) como altura do retângulo. As três escolhas usuais são:
Escolha
Marca $x_i^*$
Extremo esquerdo
$x_{i-1}$
Extremo direito
$x_i$
Ponto médio
$(x_{i-1}+x_i)/2$
Figura13.4Aproximações pela esquerda, pela direita e pelo ponto médio. Os pontos sobre a curva identificam as amostras que determinam as alturas.
Exemplo 13.1
Aproxime a área sob o gráfico de \(f(x)=x^2\) no intervalo \([0,1]\), usando quatro subintervalos de mesmo comprimento. Faça o cálculo com marcas nos extremos esquerdos, nos extremos direitos e nos pontos médios.
Solução
Aproximação usando o extremo esquerdo. Dividiremos o intervalo \([0,1]\) em \(4\) subintervalos. Na Figura 13.5, os pontos sobre a curva indicam os extremos esquerdos usados como amostras; as guias verticais mostram as alturas correspondentes. Figura13.5Aproximando a área sob o gráfico de \(f(x)=x^2\) em \([0,1]\) usando o extremo esquerdo. A seta vertical destaca uma altura e a chave horizontal destaca a base \(\Delta x\).No primeiro subintervalo, \([0,1/4]\), o retângulo tem altura \(f(0)=0\) e, portanto, não contribui para a soma. Somando as áreas dos quatro retângulos (base \(\times \) altura), obtemos:
Aproximação usando o extremo direito.Figura13.6Aproximando a área sob o gráfico de \(f(x)=x^2\) em \([0,1]\) usando o extremo direito. Cada altura é determinada pelo ponto marcado na extremidade direita.Somando as áreas dos retângulos (base \(\times \) altura), obtemos:
Aproximação usando o ponto médio. A Figura 13.7 mostra a aproximação de \(f\) usando o ponto médio. Figura13.7Aproximando a área sob o gráfico de \(f(x)=x^2\) em \([0,1]\) usando o ponto médio. Cada guia passa pelo centro da base do respectivo retângulo.Somando as áreas dos quatro retângulos correspondentes aos pontos médios, obtemos:
Como \(x^2\) é crescente em \([0,1]\), os extremos esquerdos produzem retângulos abaixo do gráfico e, portanto, subestimam a área; os extremos direitos a superestimam. Neste exemplo, a soma dos pontos médios é a mais precisa das três: \(21/64\) está mais próximo do valor exato \(1/3\) do que \(14/64\) e \(30/64\).
Observação 13.2
Mais geralmente, podemos escolher qualquer marca \(x_i^*\in [x_{i-1},x_i]\). Se \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\), a expressão
\[ \sum _{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x_i \]
é uma soma de Riemann de \(f\) em \([a,b]\).
Nos próximos cálculos, manteremos uma escolha simples de marcas, mas deixaremos o número de subintervalos variar. Isso permitirá observar o limite das aproximações antes de formular a definição geral.
Na soma da esquerda, os termos intermediários se cancelam. Isolando \(\sum _{i=1}^n i\), obtemos a primeira fórmula. O mesmo procedimento com diferenças de cubos fornece a segunda, usando a primeira; com diferenças de quartas potências, obtemos a terceira, usando as duas anteriores.
Exemplo 13.3
Calcule a área sob o gráfico de \(f(x)=x^2\) em \([0,1]\) como o limite das somas de Riemann com \(n\) subintervalos de mesmo comprimento e marcas nos extremos direitos, quando \(n\to \infty \).
Solução
Subdividindo \([0,1]\) em \(n\) partes iguais, temos \(\Delta x=1/n\) e extremos direitos \(x_i=i/n\). A soma de Riemann correspondente é
Para \(n=10\), obtemos \(R_{10}=0{,}385\); para \(n=1000\), \(R_{1000}\approx 0{,}3338\). Quando \(n\to \infty \), as parcelas \(1/(2n)\) e \(1/(6n^2)\) tendem a zero. Portanto, a área exata é
\[ A=\lim _{n\to \infty }R_n=\frac13. \]
Além de fornecer o limite, a fórmula mede quanto os retângulos ainda excedem a região: \(R_n-A=1/(2n)+1/(6n^2)\). A aproximação e seu erro estão escritos na mesma linha.
Exemplo 13.4
Para \(f(x)=x^3\) em \([-1,5]\), escreva a soma de Riemann com \(n\) subintervalos de mesmo comprimento e marcas nos extremos direitos. Calcule o limite dessas somas quando \(n\to \infty \) e interprete o resultado como área com sinal.
Figura13.8Em \([-1,0]\), a contribuição é negativa. O detalhe amplia esse trecho; as escalas verticais são diferentes.
Solução
Neste caso, \(\Delta x=\dfrac {5-(-1)}n=6/n\) e \(x_i=-1+i\Delta x\). Denotemos por \(A\) a área com sinal: a área da parte situada acima do eixo \(x\) menos a área da parte situada abaixo dele. A soma \(S_n\) correspondente aos extremos direitos é
A fórmula fornece \(S_{10}=195{,}96\) e \(S_{100}=159{,}8016\), que arredondamos para \(159{,}802\). Figura13.9Aproximando a área com sinal entre o gráfico de \(f(x)=x^3\) e o eixo \(x\) em \([-1,5]\) usando o extremo direito e 10 subintervalos igualmente espaçados.Podemos agora calcular o valor exato utilizando o limite
As somas pelos extremos direitos superestimam a área com sinal, o que também é coerente com o crescimento de \(x^3\). Para \(n=10\), o erro é \(39{,}96\); para \(n=100\), é \(3{,}8016\). Com \(n=400\), ele cai para \(0{,}94635\), inferior a uma unidade. Para \(n\) grande, o termo \(378/n\) domina: aumentar o número de faixas por um fator próximo de dez reduz o erro aproximadamente pelo mesmo fator. A convergência das somas não garante uma aproximação precisa com poucas faixas.
O sinal merece uma última leitura. A pequena região abaixo do eixo, em \([-1,0]\), é subtraída, não ignorada. Mais adiante, as primitivas permitirão separar as duas parcelas: \(625/4\) acima do eixo e \(1/4\) abaixo dele. A área com sinal é sua diferença, \(156\); a área geométrica é sua soma, \(313/2\).
Exercício 13.1 (O que fica entre duas medições)
A vazão contínua e não negativa \(r(t)\), em L/min, foi medida nos instantes \(t=0,1,2,3,4\) min. Todas as leituras foram \(1\) L/min. A figura mostra dois comportamentos compatíveis com esses mesmos dados.
Qual volume transferido entre \(t=0\) e \(t=4\) min é estimado pela soma de Riemann com quatro intervalos unitários e amostras nos extremos esquerdos?
Só essas medições garantem que o volume real esteja próximo da estimativa? Explique como obter uma vazão contínua compatível cujo volume seja maior que \(10\) L.
Ver solução
A estimativa é \(4\) L. As leituras não controlam o que ocorre entre as amostras. Por exemplo, em cada intervalo \([n,n+1]\), para \(n=0,1,2,3\), ligue por segmentos os pontos \((n,1)\), \((n+1/2,5)\) e \((n+1,1)\). O volume em cada intervalo é \(1+\frac12\cdot 1\cdot 4=3\) L, totalizando \(12\) L. Ao elevar os picos, ele pode ficar tão grande quanto se queira. Continuidade sem um controle de variação conhecido não fornece uma margem de erro para essas medições.
Exercício 13.2 (Retângulos, trapézios e garantias)
Uma função \(f\), decrescente e com gráfico côncavo para cima em \([0,4]\), é conhecida pelos valores
Calcule as somas pelos extremos esquerdos (\(L_4\)) e direitos (\(R_4\)) e a regra dos trapézios \(T_4=\tfrac 12(L_4+R_4)\).
Quais dessas aproximações são garantidamente maiores ou iguais a \(\int _0^4f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\)? Justifique com um esboço.
Que intervalo de valores se pode garantir para a integral? É possível determiná-la exatamente com esses dados?
Ver solução
\(L_4=26\), \(R_4=19{,}5\) e \(T_4=22{,}75\).
\(L_4\), porque \(f\) é decrescente e os retângulos pela esquerda contêm a região; e \(T_4\), porque, sendo o gráfico côncavo para cima, cada corda fica acima da curva.
\(19{,}5\le \int _0^4f\le 22{,}75\). Não: funções diferentes com esses mesmos valores (e as mesmas propriedades) têm integrais diferentes.
Exercício 13.3
Para \(f(x)=x\) em \([0,2]\), use quatro subintervalos iguais e calcule as somas pelos extremos esquerdos, pelos extremos direitos e pelos pontos médios. Compare-as com a integral exata. Ver solução
Como \(\Delta x=1/2\), obtemos \(L_4=3/2\), \(R_4=5/2\) e \(M_4=2\). Como \(\int _0^2x\mathop{}\! \mathrm{d} x=2\), a soma de pontos médios é exata; a soma esquerda subestima e a direita superestima.
Exercício 13.4
Se \(f\) é crescente em \([a,b]\), qual das somas com uma mesma partição, esquerda ou direita, fornece a estimativa menor? Ver solução
A soma esquerda é menor ou igual à soma direita, pois em cada subintervalo \(f(x_{i-1})\leq f(x_i)\).
Exercício 13.5
Uma tabela fornece a potência de uma bomba a cada \(2\) s:
Use-a para aproximar a energia transferida pela bomba no intervalo e indique a unidade do resultado. Ver solução
Com \(h=2\) s,
\[ \begin{gathered} S_4=\frac23[120+4(150+132)+2(138)+110]\\ =\frac{3268}{3}\approx 1089{,}33\, \mathrm J. \end{gathered} \]
Exercício 13.6
Para aproximar \(\int _0^2e^{-x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\), tome \(f(x)=e^{-x^2}\) e considere a partição uniforme \(x_i=ih\), com \(h=1/2\). Calcule as aproximações
Compare os valores e explique a utilidade das aproximações numéricas, sabendo que \(e^{-x^2}\) possui primitivas, mas elas não se expressam pelas funções elementares usuais. Ver solução
Usando os cinco valores de \(e^{-x^2}\) nos pontos indicados,
Os resultados são próximos. Como informado no enunciado, as primitivas existem, mas não têm expressão elementar. As aproximações numéricas estimam a integral sem exigir essa expressão.
Exercício 13.7
Escreva, sem calcular o limite, uma soma de Riemann pelo ponto médio para \(\int _1^3(2x^2-x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\) com \(n\) subintervalos de mesmo comprimento. Identifique \(\Delta x\) e o ponto de amostragem. Ver solução
\(\Delta x=2/n\) e \(x_i^*=1+(i-1/2)2/n\). Assim, a integral é o limite de
Os exemplos anteriores usaram partições uniformes e marcas escolhidas de uma maneira particular. Uma definição não pode depender dessas conveniências: ela deve produzir o mesmo número para subintervalos de comprimentos diferentes e para qualquer escolha de marcas, desde que toda a partição se torne suficientemente fina. Seja \([a,b]\subset \mathbb {R}\) um intervalo fechado e limitado, com \(a\lt b\). Dizemos que
\[ P : \ a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n = b \qquad n\in \mathbb {N}, \]
é uma partição ou divisão de \([a,b]\). Neste caso, escrevemos \(P=\{ x_i\} _{i=0}^n\), com \(n\geq 1\). A norma ou malha da partição é o maior comprimento de seus subintervalos:
\[ |P|=\max _{1\leq i\leq n}(x_i-x_{i-1}). \]
Assim, \(|P|\to 0\) exige que todos os subintervalos se tornem pequenos, e não apenas que seu número aumente.
Figura13.10A partição \(P\) divide \([a,b]\) nos subintervalos \([x_{i-1},x_i]\).
Denotaremos por \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\) o comprimento do \(i\)-ésimo subintervalo e escolheremos uma marca \(x_i^*\in [x_{i-1},x_i]\) em cada um deles. O conjunto das marcas será denotado por \(C=\{ x_i^*\} _{i=1}^n\); o par \((P,C)\) é chamado de partição marcada.
Figura13.11Em cada subintervalo, a marca \(x_i^*\) determina a altura \(f(x_i^*)\) do retângulo.
Para uma função limitada \(f:[a,b]\to \mathbb R\), a soma associada à partição marcada \((P,C)\) é
A integrabilidade exige que todas essas somas fiquem arbitrariamente próximas de um mesmo número \(A\) quando a malha da partição é suficientemente pequena, independentemente da escolha da partição e das marcas. A definição a seguir torna essa condição precisa.
Definição 13.1 (Integral de Riemann)
Uma função limitada \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\), com \(a\lt b\), é dita integrável se existe \(A\in \mathbb {R}\) tal que, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que
para toda partição de \([a,b]\) com \(\left\lvert P\right\rvert \lt \delta \), qualquer que seja a escolha das marcas \(x_i^*\in [x_{i-1},x_i]\). Nesse caso, escrevemos
O número \(A\) é a integral definida, ou simplesmente integral, de \(f\) em relação a \(x\) no intervalo \([a,b]\).
A integral é um número; a letra \(x\) em \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\) identifica apenas a variável de integração. Quando \(f\geq 0\), esse número coincide com a área sob o gráfico. Quando \(f\) muda de sinal, as contribuições abaixo do eixo \(x\) entram com sinal negativo, e a integral representa uma acumulação com sinal.
Não basta que uma sequência particular de somas de Riemann convirja. A definição exige aproximação ao mesmo número para todas as partições e marcas, desde que a malha seja suficientemente pequena. O próximo teorema garante essa propriedade para funções contínuas e, mais geralmente, para funções limitadas e contínuas por partes.
Teorema 13.5 (Funções contínuas são integráveis)
Seja \(f\) uma função contínua no intervalo fechado \([a,b]\); então, \(f\) é integrável em \([a,b]\).
Se \(f\) é limitada e contínua por partes no intervalo \([a,b]\), então \(f\) é integrável em \([a,b]\).
Aqui, contínua por partes significa que há uma divisão finita do intervalo em trechos nos quais a função é contínua, com limites laterais finitos nas extremidades. Saltos isolados são permitidos; uma singularidade como \(1/x\) na origem não é um salto desse tipo.
A demonstração será apresentada na Seção 13.9, ao final do capítulo. Antes disso, calcularemos algumas integrais diretamente pela definição. Como as funções consideradas são contínuas, o teorema garante sua integrabilidade; podemos, portanto, escolher partições e marcas que simplifiquem as contas.
Nos próximos exemplos, usaremos partições uniformes. Em um intervalo \([a,b]\), seus pontos e o comprimento de cada subintervalo são
Quando \(0\leq a\lt b\), podemos conferir a resposta sem somatórios: o trapézio tem lados paralelos de comprimentos \(a\) e \(b\), separados pela distância \(b-a\). Sua área é \((a+b)(b-a)/2=(b^2-a^2)/2\). A conta pela definição recupera a geometria conhecida e continua válida quando o intervalo atravessa a origem, agora com áreas de sinais opostos.
Exemplo 13.7
Mostre que \(\displaystyle \int _0^1x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x=\dfrac {1}{3}\) usando extremos esquerdos e compare essas somas com as do Exemplo 13.3.
Figura13.13Ao refinar a partição, as somas pela esquerda e pela direita convergem para a mesma área, \(1/3\).
Solução
Agora \(\Delta x=1/n\) e escolhemos \(x_k^*=x_{k-1}=(k-1)/n\). A soma pelos extremos esquerdos é
Uma aproximação fica abaixo da área e a outra, acima; ambas convergem para o mesmo valor. Ao tomar sua média, os termos de ordem \(1/n\) se cancelam:
\[ T_n=\frac{L_n+R_n}{2}=\frac13+\frac1{6n^2}. \]
Essa é a regra dos trapézios para a partição uniforme. Neste exemplo, sua expressão mostra por que a média das duas somas melhora a aproximação: o erro restante é \(1/(6n^2)\).
Exemplo 13.8
Mostre que \(\displaystyle \int _0^ax^3\mathop{}\! \mathrm{d} x=a^4/4\) para \(a\gt 0\).
Figura13.14Ao multiplicar as abscissas por \(a\), as alturas de \(x^3\) são multiplicadas por \(a^3\); a área ganha um fator \(a^4\).
Solução
Em \([0,a]\), temos \(\Delta x=a/n\). Usando os extremos direitos \(x_k^*=ka/n\), obtemos
O expoente \(4\) tem uma leitura geométrica. Em comparação com a região em \([0,1]\), as bases são multiplicadas por \(a\) e as alturas por \(a^3\). As áreas são, portanto, multiplicadas por \(a^4\). O fator \(1/4\) descreve a forma da região; o fator \(a^4\) descreve sua mudança de escala.
Exemplo 13.9
Mostre que \(\displaystyle \int _a^b e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x=e^b-e^a\).
Figura13.15A área sob a exponencial entre \(a\) e \(b\) é \(e^b-e^a\): a diferença dos valores de \(e^x\), que é uma primitiva do integrando.
Solução
Com \(\Delta x=(b-a)/n\) e marcas nos extremos direitos \(x_k^*=a+k\Delta x\), a soma envolve uma progressão geométrica:
Nos quatro exemplos apareceu a mesma estrutura: o resultado é a diferença entre os valores de uma primitiva nos extremos. Por enquanto, as somas justificaram cada caso separadamente. O Teorema Fundamental do Cálculo explicará por que isso acontece em geral — e nos dispensará de recomeçar um limite de somas a cada nova área.
Exercício 13.8 (Um ponto muda a área?)
Em \([0,2]\), considere \(f(x)=x\) e a função \(g\) que coincide com \(f\), exceto por \(g(1)=4\). A figura representa \(g\).
Compare \(\int _0^2 f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(\int _0^2 g(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Uma altura isolada acrescenta uma faixa de área positiva?
Compare os máximos das duas funções. Explique por que as respostas aos dois itens são compatíveis.
Ver solução
As integrais são iguais a \(2\). Uma alteração em um único ponto não modifica a integral de Riemann: o efeito na soma fica restrito a intervalos de largura total que tende a zero. Já o máximo passa de \(2\) para \(4\). O máximo registra o maior valor pontual; a integral acumula contribuições com largura. A função \(g\) continua limitada e integrável, embora não seja contínua em \(1\).
Exercício 13.9 (Áreas que se somam e se cancelam)
O gráfico de \(f:[0,6]\to \mathbb {R}\) é formado por uma semicircunferência e dois segmentos. Para o último item, use \(\int _6^0f=-\int _0^6f\), convenção que será formalizada na Seção 13.3. Usando apenas áreas, calcule
\(\int _0^2f=\pi /2\) (meio disco de raio \(1\)); \(\int _2^6f=-4\) (triângulo de base \(4\) e altura \(2\) abaixo do eixo); \(\int _0^6f=\pi /2-4\); \(\int _0^6|f|=\pi /2+4\); \(\int _6^0f=4-\pi /2\).
Exercício 13.10
Para \(f(x)=x^2\) em \([0,1]\), considere a partição \(P=\{ 0,1/4,1\} \) e as marcas \(x_1^*=1/8\) e \(x_2^*=1/2\). Calcule a soma de Riemann \(R_{f,P,C}\) e a malha \(|P|\). Ver solução
Como a soma já é independente da partição e das marcas, \(\int _a^b c\mathop{}\! \mathrm{d} x=c(b-a)\).
Exercício 13.12
Para \(f(x)=x\) em \([0,1]\), use a partição uniforme e os extremos direitos para escrever a soma com \(n\) subintervalos e calcular seu limite. Ver solução
Temos \(\Delta x=1/n\) e \(x_i^*=i/n\). Logo,
\[ R_n=\frac1n\sum _{i=1}^n\frac in =\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}\longrightarrow \frac12. \]
Exercício 13.13
Dê uma sequência de partições de \([0,1]\) cujo número de subintervalos tenda ao infinito, mas cuja malha não tenda a zero. Explique por que a definição usa \(|P|\to 0\), e não apenas \(n\to \infty \). Ver solução
Mantenha \([0,1/2]\) como um único subintervalo e divida \([1/2,1]\) em \(n\) partes iguais. O número de subintervalos tende ao infinito, mas a malha de toda partição é \(1/2\). Assim, aumentar apenas o número de partes não garante que todos os subintervalos se tornem pequenos.
13.3 Propriedades da integral
Antes de procurar primitivas, vale a pena olhar para a região. Podemos separá-la em partes? Há uma simetria? É possível colocá-la entre dois retângulos de áreas conhecidas? As propriedades da integral tornam essas leituras geométricas ferramentas de cálculo.
Orientação e operações algébricas
A integral foi definida para extremos em ordem crescente. Estendemos agora a notação de modo a registrar também o sentido em que percorremos o intervalo.
Definição 13.2
Definimos \(\int _a^a f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=0\). Para \(a\lt b\) e \(f\) integrável em \([a,b]\),
Inverter o percurso troca o sinal da acumulação; não transforma uma área geométrica em um número negativo. Essa convenção será especialmente útil quando os extremos de integração variarem.
Proposição 13.10 (Linearidade)
Se \(f\) e \(g\) são integráveis em \([a,b]\) e \(\lambda \in \mathbb R\), então \(\lambda f\) e \(f+g\) são integráveis e
Quando \(|P|\to 0\), os membros direitos convergem, independentemente das marcas, porque \(f\) e \(g\) são integráveis. Os membros esquerdos, portanto, também convergem. Isso prova ao mesmo tempo a integrabilidade das novas funções e as fórmulas para suas integrais.
Multiplicar uma função não negativa por \(2\) dobra a altura de cada faixa e, por isso, dobra a área. Somar duas funções soma suas contribuições faixa a faixa. A linearidade conserva exatamente esse significado, mesmo quando há valores negativos.
Proposição 13.11 (Produto de funções contínuas por partes)
Se \(f\) e \(g\) são contínuas por partes em \([a,b]\), então \(fg\) também é contínua por partes e, em particular, é integrável.
Demonstração▼
Reunimos em uma única partição os pontos de divisão dos trechos de \(f\) e de \(g\). No interior de cada novo trecho, o produto é contínuo; em suas extremidades, tem limites laterais finitos, dados pelos produtos dos limites dos fatores. O Teorema 13.5 garante, portanto, a integrabilidade de \(fg\). No caso particular de duas funções contínuas, basta observar que seu produto é contínuo.
Essa propriedade garante que podemos integrar o produto, mas não diz que sua integral seja o produto das integrais. São afirmações diferentes: a integração é linear, não multiplicativa.
Comparação e estimativas
Se um gráfico fica acima de outro, suas faixas têm contribuições maiores. Passando das faixas à região inteira, obtemos o princípio de comparação.
Proposição 13.12
Sejam \(f,g:[a,b]\to \mathbb R\) integráveis, com \(a\lt b\). Se \(f\geq 0\), então \(\int _a^b f\geq 0\). Se \(g\leq f\), então
A função identicamente nula é integrável e sua integral é zero.
Demonstração▼
Quando \(f\geq 0\), cada parcela \(f(x_i^*)\Delta x_i\) é não negativa; o mesmo vale para a soma e para seu limite. Para comparar \(g\) e \(f\), aplicamos essa conclusão à função integrável \(f-g\geq 0\) e usamos a linearidade. Para a função nula, todas as somas já são iguais a zero.
Proposição 13.13 (Uma área entre duas estimativas)
Se \(f\) é integrável em \([a,b]\), com \(a\lt b\), e \(m\leq f(x)\leq M\), então
Comparamos \(f\) com as funções constantes \(m\) e \(M\). Suas somas de Riemann valem, respectivamente, \(m(b-a)\) e \(M(b-a)\), para qualquer partição. O princípio de comparação dá a conclusão.
Figura13.16Para uma função positiva, os retângulos de alturas \(m\) e \(M\) dão limites visíveis para a área.
A utilidade de uma estimativa não depende de conhecer a resposta exata. Ela pode, inclusive, denunciar uma conta errada: uma área contida em um retângulo não pode ser maior que a área desse retângulo.
Exemplo 13.14 (Cercar uma integral antes de aceitar um valor)
Um cálculo propõe \(0{,}50\) como valor de \(I=\int _1^2\ln x\mathop{}\! \mathrm{d} x\), com erro absoluto de, no máximo, \(0{,}01\). Sem encontrar uma primitiva, verifique se essa garantia pode ser verdadeira.
Use a corda que une \((1,0)\) a \((2,\ln 2)\) como cota inferior do gráfico e a tangente em \(x=3/2\) como cota superior. Justifique as comparações e determine um intervalo que contenha \(I\).
[.68figuras/proposta-20261016-x8-1.tex Figura13.17A concavidade coloca o gráfico do logaritmo acima da corda e abaixo da tangente. As áreas sob as duas retas limitam a integral.
Solução
O logaritmo é côncavo para baixo em \([1,2]\), pois \((\ln x)''=-1/x^2\lt 0\). Assim, a corda entre \((1,0)\) e \((2,\ln 2)\) fica abaixo do gráfico:
\[ c(x)=(x-1)\ln 2\le \ln x. \]
Para a tangente no ponto médio \(m=3/2\), considere \(q(x)=\ln x-[\ln (3/2)+(2/3)(x-3/2)]\). Como \(q'(x)=1/x-2/3\), seu máximo é \(q(3/2)=0\). Logo,
A primeira área é a de um triângulo e vale aproximadamente \(0{,}3466\). A segunda é a de um trapézio de largura \(1\), sob a tangente; a média das alturas nos extremos é \(\ln (3/2)\), de modo que sua área vale aproximadamente \(0{,}4055\). Essa justificativa usa apenas áreas planas e a comparação já apresentada. Como \(I\le \ln (3/2)\lt 0{,}406\), o erro de \(0{,}50\) é maior que \(0{,}094\). A garantia de erro máximo \(0{,}01\) é falsa.
Uma comparação apenas com constantes daria \(0\le \int _1^2\ln x\mathop{}\! \mathrm{d} x\le \ln 2\approx 0{,}693\), incapaz de rejeitar a estimativa. A geometria da concavidade produziu uma informação mais forte sem encontrar uma primitiva.
Ideia
Estimar não é simplesmente produzir um número: é justificar um intervalo que contenha o valor verdadeiro. Corda e tangente transformam concavidade em desigualdades úteis para integrais.
Decomposição do intervalo
Se dividimos o intervalo de integração em duas partes, como as acumulações em cada parte se relacionam com a acumulação total? Queremos justificar que podemos calcular separadamente essas contribuições e depois somá-las.
Proposição 13.15 (Aditividade)
Se \(c\in [a,b]\) e \(f\) é integrável em \([a,c]\) e em \([c,b]\), então é integrável em \([a,b]\) e
Se \(c\) é um extremo, a igualdade segue da integral em um intervalo de comprimento zero. Suponha \(a\lt c\lt b\). Para uma partição que contém \(c\), a soma em \([a,b]\) separa-se exatamente nas duas somas dos subintervalos. Quando a malha tende a zero, seu limite é a soma das integrais dadas.
Se a partição não contém \(c\), acrescentamos esse ponto. Apenas um subintervalo é dividido. Escolhendo \(M\) com \(|f|\leq M\), a alteração na soma é no máximo \(2M|P|\), quaisquer que sejam as marcas. Essa diferença tende a zero, de modo que todas as somas têm o mesmo limite.
Figura13.18Cortar a região em \(c\) não altera a acumulação: apenas a separa em duas parcelas.
Reciprocamente, uma função integrável em \([a,b]\) é integrável em cada subintervalo. Justificaremos essa afirmação na Seção 13.9, após definir as somas superiores e inferiores. Podemos, assim, trabalhar com extremos variáveis.
Valor médio: uma altura equivalente
Qual altura constante produziria a mesma acumulação que as alturas variáveis de um gráfico? Para uma função positiva, a pergunta é geométrica: queremos trocar a região curvilínea por um retângulo com a mesma base e a mesma área.
A média dos números \(y_1,\ldots ,y_n\) é \((y_1+\cdots +y_n)/n\). Para amostras de \(f\) em \(n\) subintervalos de mesmo comprimento \(\Delta x=(b-a)/n\), essa média pode ser escrita como
Figura13.19A mesma acumulação, duas formas: sob a curva e no retângulo de altura \(f_{\mathrm m}\). Para uma função contínua, essa altura é atingida em algum ponto interior \(c\).
A definição continua válida quando \(f\) muda de sinal: nesse caso, a altura equivalente reproduz a acumulação com sinal, não a soma das áreas geométricas. Também não se trata, em geral, da média aritmética dos valores nos extremos. Todos os trechos participam da média.
Teorema 13.16 (Teorema do Valor Médio para Integrais)
Se \(f\) é contínua em \([a,b]\), com \(a\lt b\), existe \(c\in (a,b)\) tal que
A ideia é localizar a altura média entre a menor e a maior altura do gráfico. Pelo Teorema de Weierstrass, \(f\) atinge um mínimo \(m_0\) e um máximo \(M_0\). A comparação de integrais fornece
Se \(f\) é constante, qualquer ponto interior serve. Se não é constante, as desigualdades são estritas: \(f-m_0\) e \(M_0-f\) são funções contínuas, não negativas e positivas em algum pequeno intervalo. Suas integrais são, portanto, positivas. O valor médio fica estritamente entre \(m_0\) e \(M_0\); pelo Teorema do Valor Intermediário, o gráfico atinge essa altura em algum \(c\in (a,b)\).
O teorema não afirma que \(c\) seja o ponto médio do intervalo, nem que seja único. Afirma que, durante o percurso, a função assume ao menos uma vez a altura que representa sua média.
Paridade: repetir ou compensar
Uma simetria pode resolver uma integral antes de qualquer tentativa de encontrar uma primitiva. Para uma função par, as contribuições dos dois lados da origem são iguais; para uma função ímpar, são opostas.
Teorema 13.17
Se \(a\gt 0\) e \(f\) é contínua em \([-a,a]\), então
Não calculamos uma primitiva porque não precisamos dela. Cada faixa à direita da origem tem uma parceira à esquerda, de mesma área e sinal oposto. Reconhecer essa compensação é o cálculo decisivo.
Exemplo 13.19 (Integral zero com áreas não nulas)
Considere \(f(x)=x^2-\tfrac 13\) para \(-1\le x\le 1\). Calcule sua integral nesse intervalo usando linearidade, paridade e o valor \(\int _0^1x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x=1/3\), já obtido por somas de Riemann. Localize os zeros de \(f\) e explique por que uma integral nula pode corresponder a uma região de área geométrica positiva, sem calcular ainda o valor numérico dessa área.
[.68figuras/proposta-20261016-e13-3-1.tex Figura13.22As regiões acima e abaixo do eixo horizontal têm áreas geométricas positivas, mas suas contribuições à integral possuem sinais opostos.
Os zeros são \(x=\pm 1/\sqrt3\). A função é negativa entre eles e positiva nos dois trechos exteriores. Se \(A_+\) e \(A_-\) são as áreas geométricas acima e abaixo do eixo, respectivamente, o cancelamento significa \(A_+-A_-=0\). Portanto, \(A_+=A_-\). Como a função é estritamente negativa em um intervalo em torno de zero, \(A_-\gt 0\) e
O valor exato dessas áreas será retomado após o Teorema Fundamental do Cálculo.
Ideia
A integral definida mede acumulação com sinal, não necessariamente área geométrica. Resultado nulo pode significar cancelamento exato de contribuições não nulas.
Exercício 13.14 (Quantos retângulos bastam?)
Seja \(f\) contínua e crescente, no sentido de não decrescente, em \([a,b]\), com \(a\lt b\). Divida o intervalo em \(n\) partes iguais: \(x_i=a+i\Delta x\), com \(\Delta x=(b-a)/n\), e defina
Mostre que \(L_n\le I\le R_n\), com \(I=\int _a^b f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\), e que \(R_n-L_n=[f(b)-f(a)]\Delta x\).
Prove que a aproximação pela regra dos trapézios \(T_n=(L_n+R_n)/2\) tem erro de, no máximo, \((R_n-L_n)/2\).
Para \(f(x)=\sqrt{1+x^3}\) em \([0,2]\), escolha um inteiro \(n\) que torne a cota de (b) estritamente menor que \(0{,}01\). Pede-se a garantia fornecida por essa cota, não o menor \(n\) para o erro efetivo.
Se \(f\) crescer até um ponto conhecido \(c\) e depois decrescer, como adaptar a partição e combinar as cotas dos dois trechos?
[figuras/proposta-20261016-q13-1-1.tex Figura13.23Para uma função crescente, os retângulos esquerdos ficam abaixo do gráfico; as faixas adicionais completam os retângulos direitos. A diferença total é controlada pelos valores nos extremos do intervalo.
Ver solução
Como \(f\) é crescente, em cada subintervalo \(f(x_{i-1})\le f(x)\le f(x_i)\). Integrando essas desigualdades e somando, obtemos o confinamento da integral entre \(L_n\) e \(R_n\). A diferença é uma soma telescópica:
Como \(L_n\le I\le R_n\) e \(T_n=(L_n+R_n)/2\), temos
\[ L_n-T_n\le I-T_n\le R_n-T_n. \]
Os afastamentos dos dois extremos a \(T_n\) são iguais a \((R_n-L_n)/2\); logo, \(|I-T_n|\le (R_n-L_n)/2\).
Para \(f(x)=\sqrt{1+x^3}\), temos \(f(0)=1\), \(f(2)=3\) e \(\Delta x=2/n\). A diferença vale \(R_n-L_n=4/n\). Como o valor real da integral está entre as somas, o valor \(T_n=(L_n+R_n)/2\) satisfaz
Para garantir erro estritamente menor que \(0{,}01\) por essa cota, basta escolher \(n\gt 200\), isto é, \(n=201\) subintervalos. O inteiro \(201\) é o menor que satisfaz o critério conservador \(2/n\lt 0{,}01\), não o menor necessário para o erro efetivo. Como esta função é estritamente crescente, \(L_n\lt I\lt R_n\), e uma análise com desigualdades estritas também permite \(n=200\).
Se a mudança de monotonia ocorre em \(c\), incluímos \(c\) na partição. No trecho decrescente, a soma direita é a inferior e a esquerda é a superior. Somamos as cotas inferiores e as superiores separadamente. A média dos totais tem cota de erro igual à soma das meias diferenças dos dois trechos.
Um número decimal calculado não é, por si só, uma garantia de precisão. Uma desigualdade que confina o valor verdadeiro permite controlar e certificar o erro.
Exercício 13.15 (Uma média precisa de pesos)
Uma máquina opera a \(2\) unidades por hora durante as primeiras \(3\) horas e a \(10\) unidades por hora na hora seguinte. Despreze o tempo de transição.
Qual taxa constante produziria o mesmo total nas \(4\) horas? Represente-a como a altura de um retângulo de área equivalente.
A média aritmética \((2+10)/2\) serviria se a ordem das etapas fosse invertida, preservando suas durações? Quando ela seria adequada?
Ver solução
O total é \(2\cdot 3+10\cdot 1=16\) unidades; a taxa média é \(16/4=4\) unidades/h. A ordem das etapas não muda o total nem os pesos. A média \(6\) seria adequada se as duas taxas vigorassem por tempos iguais. O retângulo equivalente tem base \(4\) h e altura \(4\) unidades/h.
Duas taxas contínuas \(f\) e \(g\) em \([0,1]\) produzem o mesmo total: \(\int _0^1f=\int _0^1g\). Na figura, a área destacada acima de \(g\) é igual à área destacada abaixo de \(g\). O desenho ilustra um caso; justifique as respostas para quaisquer taxas contínuas com os totais dados.
A igualdade dos totais implica que as taxas coincidem em algum instante? E que coincidem em todos os instantes?
Seria possível ter ainda \(f(x)\geq g(x)\) para todo \(x\), com desigualdade estrita em algum ponto? Use a continuidade na justificativa.
Ver solução
Há pelo menos um instante de igualdade: se \(f-g\) nunca se anulasse, sua continuidade e o TVI obrigariam um sinal constante, incompatível com integral nula. Não é necessário que as funções sejam idênticas, como mostra a figura. No segundo item, a desigualdade estrita em um ponto persistiria, com uma diferença positiva, em um pequeno intervalo; como não haveria compensação negativa, a integral de \(f-g\) seria positiva. Logo, sob essa ordem, totais iguais obrigam \(f=g\) em todo o intervalo.
Exercício 13.17 (Propriedades da integral sem calcular primitivas)
Use as propriedades da integral definida para responder aos itens, sem calcular primitivas.
Mostre que \(\dfrac 23\le \displaystyle \int _0^1e^{-x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\le 1\). (Use \(1-x^2\le e^{-x^2}\le 1\) em \([0,1]\).)
Qual é o valor de \(\displaystyle \int _{-1}^1x^3e^{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\)?
Qual é o sinal de \(\displaystyle \int _0^{2\pi }x\operatorname {sen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)? Explique comparando as contribuições de \([0,\pi ]\) e de \([\pi ,2\pi ]\).
Ver solução
Pela monotonicidade da integral, \(\int _0^1(1-x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x=\tfrac 23\) e \(\int _0^1 1\mathop{}\! \mathrm{d} x=1\).
\(0\): o integrando é ímpar e o intervalo é simétrico.
Negativo. Com \(x=t+\pi \), a integral em \([\pi ,2\pi ]\) é \(-\int _0^\pi (t+\pi )\operatorname {sen}t\mathop{}\! \mathrm{d} t\), cujo módulo excede \(\int _0^\pi t\operatorname {sen}t\mathop{}\! \mathrm{d} t\): os pesos \(x\) são maiores na parte em que \(\operatorname {sen}x\lt 0\). (De fato, o valor é \(-2\pi \).)
Exercício 13.18
Sabendo que \(\int _0^2 f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=3\) e \(\int _2^5 f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=-1\), calcule \(\int _0^5 f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Ver solução
Pela aditividade, o valor é \(3+(-1)=2\).
Exercício 13.19
Seja \(f\) integrável em \([1,4]\), com \(2\leq f(x)\leq 5\) para todo \(x\in [1,4]\). Dê limites inferior e superior para \(\int _1^4f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Ver solução
Como o intervalo tem comprimento \(3\), temos \(6\leq \int _1^4f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\leq 15\).
Exercício 13.20
Se \(\int _a^b f=-2\) e \(\int _a^b g=5\), calcule \(\int _a^b(3f+2g)\). Ver solução
Pela linearidade, \(3(-2)+2(5)=4\).
Exercício 13.21
Encontre o valor médio de \(f(x)=3x^2\) em \([0,2]\) e um ponto \(c\in (0,2)\) no qual \(f(c)\) assuma esse valor. Ver solução
Usando uma partição uniforme e os extremos direitos, obtemos
A vazão de entrada em um reservatório é \(q(t)=20+4t\) litros por minuto, para \(0\leq t\leq 5\). Determine a vazão média nesse intervalo e um instante em que a vazão instantânea coincide com ela. Ver solução
A região sob o gráfico é um trapézio de altura \(5\) e bases \(q(0)=20\) e \(q(5)=40\). Logo, a integral vale \(5(20+40)/2=150\) litros, e
A potência consumida por um dispositivo é \(P(t)=50+10\cos (\pi t/4)\) W, \(0\leq t\leq 8\) s. Determine a energia consumida no intervalo e a potência média. Ver solução
Pela linearidade,
\[ E=\int _0^8P(t)\mathop{}\! \mathrm{d} t =50\cdot 8+10\int _0^8\cos \left(\frac{\pi t}{4}\right)\mathop{}\! \mathrm{d} t =400\, \mathrm J. \]
O cosseno percorre um período completo em \([0,8]\): as contribuições positivas e negativas se compensam. Logo, a potência média é \(P_{\mathrm m}=E/8=50\, \mathrm W\).
13.4 Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) estabelece a ligação entre os dois grandes problemas desenvolvidos até aqui: determinar a taxa de variação de uma função, pela diferenciação, e calcular uma acumulação, pela integração. É essa ligação que o torna fundamental. Até aqui, medir uma área significou construir somas e estudar seu limite; encontrar uma primitiva significou procurar uma função cuja derivada fosse conhecida. Queremos compreender como esses caminhos se relacionam e como uma primitiva permite calcular uma integral definida.
A ligação aparece quando deixamos uma das bordas da região se mover. A área deixa de ser apenas um número: passa a ser uma função. Podemos, então, fazer uma pergunta nova: com que velocidade essa área cresce?
Primeiro teorema: a taxa da acumulação
Se \(f\) é contínua em \([a,b]\), definimos
\[ A(x)=\int _a^x f(t)\mathop{}\! \mathrm{d} t,\qquad a\leq x\leq b. \]
A letra \(t\) percorre o intervalo; \(x\) indica onde a acumulação termina. Para \(f\geq 0\), \(A(x)\) é a área sob o gráfico entre \(a\) e \(x\). Quando \(f\) muda de sinal, continuamos acumulando, mas com sinais.
Figura13.24Para \(h\gt 0\), mover a borda de \(x\) para \(x+h\) acrescenta a faixa destacada, de largura \(h\). Quando \(h\) é pequeno, suas alturas variam pouco em torno de \(f(x)\).
Para \(h\gt 0\), a faixa nova tem acumulação
\[ A(x+h)-A(x)=\int _x^{x+h}f(t)\mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Dividir por \(h\) fornece a altura média da faixa. Pela continuidade, essa altura média se aproxima de \(f(x)\) quando a faixa se estreita. Assim,
\[ \frac{A(x+h)-A(x)}h\approx f(x). \]
Derivar a acumulação deve, portanto, devolver a função \(f\). A passagem ao limite transforma essa leitura do desenho em um teorema.
Teorema 13.20 (Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo)
Se \(f\) é contínua em \([a,b]\), a função
\[ A(x)=\int _a^x f(t)\mathop{}\! \mathrm{d} t \]
é contínua em \([a,b]\), derivável em \((a,b)\) e satisfaz
\[ \boxed {A’(x)=f(x).} \]
Demonstração▼
Primeiro verificamos que a acumulação não dá saltos. Como \(f\) é contínua em um intervalo fechado, existe \(M\geq 0\) tal que \(|f(t)|\leq M\). Pela aditividade e pela comparação,
Fixemos agora \(x\in (a,b)\) e tomemos \(h\ne 0\) suficientemente pequeno. A diferença entre a inclinação da secante e o valor que esperamos como derivada é
\[ \frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x) =\frac1h\int _x^{x+h}\bigl(f(t)-f(x)\bigr)\mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Se \(J_h\) é o intervalo cujos extremos são \(x\) e \(x+h\), então
Essa estimativa vale tanto para \(h\gt 0\) quanto para \(h\lt 0\): o módulo retira o sinal do percurso e o comprimento do intervalo é \(|h|\). Pela continuidade de \(f\) em \(x\), o membro direito tende a zero. Portanto, \(A'(x)=f(x)\).
A conclusão é mais forte do que uma regra de cálculo. Toda função contínua possui uma primitiva: basta acumular seus valores. Conseguir escrever essa primitiva com as funções usuais é outra questão.
Exemplo 13.21 (Acumular sem primeiro integrar)
Ache a derivada de \(\displaystyle g(x)=\int _0^x\sqrt{1+t^2}\mathop{}\! \mathrm{d} t\).
Figura13.25A faixa que se acrescenta tem altura próxima de \(\sqrt{1+x^2}\). É essa altura que determina a taxa de crescimento de \(g\).
Solução
O integrando é contínuo em toda a reta. Pelo primeiro teorema,
\[ g'(x)=\sqrt{1+x^2}. \]
Não é necessário calcular \(g\) antes de derivá-la. Além disso, \(g'\gt 0\): a acumulação cresce, inclusive quando \(x\lt 0\), onde a integral tem orientação invertida. Para \(x\gt 0\), a altura das novas faixas aumenta, e o gráfico de \(g\) fica cada vez mais inclinado.
Exemplo 13.22 (Uma borda que se move com outra velocidade)
Calcule a derivada de \(\displaystyle g(x)=\int _1^{x^4}\sec t\mathop{}\! \mathrm{d} t\) no domínio \(|x|\lt (\pi /2)^{1/4}\).
Figura13.26Uma posição possível da borda: \(1\lt x^4\lt \pi /2\). Se \(x^4\lt 1\), a orientação se inverte e \(g(x)\) é negativa.
Solução
Escrevemos \(G(u)=\int _1^u\sec t\mathop{}\! \mathrm{d} t\), de modo que \(g(x)=G(x^4)\). O intervalo entre \(1\) e \(x^4\) não atravessa uma singularidade da secante. Pelo primeiro teorema e pela regra da cadeia,
\[ g'(x)=G'(x^4)\, 4x^3=4x^3\sec (x^4). \]
Os dois fatores têm papéis distintos: \(\sec (x^4)\) é a altura na borda; \(4x^3\) é a velocidade com que essa borda se desloca quando \(x\) varia. A área não cresce apenas porque há uma altura: é preciso considerar também como sua base está mudando.
Exemplo 13.23 (A acumulação pode crescer e depois diminuir)
Para \(0\leq x\leq 4\), considere \(\displaystyle A(x)=\int _0^x(2-t)\mathop{}\! \mathrm{d} t\). Em que intervalo \(A\) cresce? Onde atinge seu máximo? Compare \(A(0)\) e \(A(4)\).
Figura13.27Acima, a taxa \(2-t\) e suas contribuições com sinal. Abaixo, a acumulação: ela cresce até \(x=2\) e retorna a zero em \(x=4\).
Solução
Temos \(A'(x)=2-x\). Portanto, \(A\) cresce em \([0,2]\) e decresce em \([2,4]\); seu máximo ocorre em \(x=2\). A área do primeiro triângulo dá \(A(2)=2\cdot 2/2=2\). O triângulo de \([2,4]\) tem a mesma área e contribui negativamente, de modo que \(A(4)=0=A(0)\).
Não usamos uma fórmula para \(A\): lemos seu crescimento, seu máximo e seu retorno ao valor inicial no gráfico do integrando. O sinal de uma função passa a descrever o comportamento de outra.
Exemplo 13.24 (Conhecer uma função pela sua taxa)
Considere \(\displaystyle E(x)=\int _0^x e^{-t^2}\mathop{}\! \mathrm{d} t\), para \(x\geq 0\). Descreva seu crescimento e sua concavidade sem calcular a integral.
Figura13.28A taxa é positiva, mas diminui. A acumulação continua crescendo, cada vez mais lentamente. As duas curvas têm escalas verticais próprias.
Solução
O primeiro teorema fornece \(E'(x)=e^{-x^2}\gt 0\). Derivando mais uma vez,
\[ E''(x)=-2x e^{-x^2}\lt 0\qquad (x\gt 0). \]
Logo, \(E\) é crescente e tem gráfico côncavo para baixo em \((0,\infty )\). Como \(E(0)=0\) e \(0\lt e^{-t^2}\leq 1\), também sabemos que
\[ 0\lt E(x)\leq x\qquad (x\gt 0). \]
Conhecemos a inclinação e a concavidade da função de acumulação, além de uma região que contém seu gráfico. A análise do integrando forneceu essas informações sem que fosse necessário encontrar uma primitiva elementar.
Exemplo 13.25 (Vazão e volume acumulado)
Um reservatório contém inicialmente \(500\, \mathrm L\). Durante os primeiros dez minutos, entra água com vazão \(q(t)=30+4t\), em litros por minuto. Determine o volume \(Q(t)\), relacione sua derivada com a vazão e encontre \(Q(10)\).
Figura13.29A área sob a vazão é o volume que entrou. A quantidade inicial de água deve ser somada separadamente.
Solução
A água que entrou até \(t\) forma, no gráfico da vazão, um trapézio de bases \(30\) e \(30+4t\) e largura \(t\). Portanto,
\[ Q(t)=500+\int _0^t(30+4s)\mathop{}\! \mathrm{d} s =500+\frac{30+(30+4t)}2\, t =500+30t+2t^2. \]
O primeiro teorema confirma que \(Q'(t)=q(t)\). A unidade também se conserva: litros por minuto multiplicados por minutos produzem litros. Após dez minutos, entraram \(500\, \mathrm L\), e \(Q(10)=1000\, \mathrm L\). O volume total e o volume acrescentado não são a mesma grandeza.
Segundo teorema: calcular a acumulação por uma primitiva
O primeiro teorema parte de uma integral e encontra sua derivada. Agora podemos percorrer a ligação no sentido inverso. Se já conhecemos uma função \(F\) com \(F'=f\), não precisamos reconstruir todas as somas: a acumulação de \(f\) é a variação de \(F\) entre os extremos.
Teorema 13.26 (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo)
Se \(f\) é contínua em \([a,b]\) e \(F\) é contínua em \([a,b]\), com \(F'=f\) em \((a,b)\), então
A função \(A(x)=\int _a^x f(t)\mathop{}\! \mathrm{d} t\) satisfaz \(A'=f=F'\) no interior do intervalo. Pelo Corolário 11.18, \(F-A\) é constante. A continuidade estende essa igualdade aos extremos. Como \(A(a)=0\), a constante é \(F(a)\), e temos
\[ A(x)=F(x)-F(a). \]
Tomando \(x=b\), obtemos a fórmula desejada.
O limite de todas aquelas somas passa a ser calculado por uma subtração. Não abandonamos a geometria: descobrimos uma maneira de medi-la.
Figura13.30À esquerda, a área do triângulo sob \(f(x)=2x\) em \([0,2]\) é \(4\). À direita, a primitiva \(F(x)=x^2\) varia de \(0\) a \(4\). O teorema identifica essas duas quantidades.
Adicionar uma constante a \(F\) não altera a diferença \(F(b)-F(a)\). Portanto, o cálculo da integral pelo Teorema Fundamental fornece o mesmo resultado para qualquer primitiva escolhida.
Exemplo 13.28
Calcule a integral de \(f(x)=x^2\) no intervalo \([1,2]\).
Figura13.31A altura varia de \(1\) a \(4\) em um intervalo de comprimento \(1\). A área \(7/3\) fica entre essas duas estimativas.
O número \(7/3\) é, ao mesmo tempo, a área destacada e a variação da primitiva entre \(1\) e \(2\). Como \(1\leq x^2\leq 4\) nesse intervalo, a comparação previa uma resposta entre \(1\) e \(4\), como de fato ocorreu.
Figura13.32Toda a região está abaixo do eixo. A integral é \(-11/4\); a área geométrica é \(11/4\).
Solução
Pela linearidade, uma primitiva é \(F(x)=x^4/4+3x^2/2-x\). Assim,
\[ \int _{-1}^0(x^3+3x-1)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\left[\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}-x\right]_{-1}^{0} =-\frac{11}{4}. \]
O sinal poderia ter sido previsto: em \([-1,0]\), os termos \(x^3\) e \(3x\) são não positivos, e ainda subtraímos \(1\). A integral soma apenas contribuições negativas. Para a área geométrica, tomamos \(11/4\).
Observação 13.30 (Calculando as áreas que se cancelam)
Podemos agora calcular as áreas do Exemplo 13.19. Escrevendo \(b=1/\sqrt3\), a área central é
\[ A_-=-\int _{-b}^{b}\left(x^2-\frac13\right)\mathop{}\! \mathrm{d} x =-\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x}{3}\right]_{-b}^{b} =\frac4{9\sqrt3}. \]
Como já sabemos que \(A_+=A_-\), a área geométrica total é
\[ A_++A_-=\frac8{9\sqrt3}, \]
embora a integral com sinal seja zero.
Exemplo 13.31 (Duas curvas diferentes, a mesma área)
Determine a área sob \(y=1/(1+x^2)\) em \([0,1]\) e compare-a com a área de um quarto de disco de raio \(1\).
Figura13.33As bordas são diferentes, mas as duas regiões têm área \(\pi /4\). As escalas dos eixos são as mesmas nos dois painéis.
Solução
A função é positiva, e uma primitiva é \(\operatorname {arctg}x\). Portanto,
\[ \int _0^1\frac{1}{1+x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x =\operatorname {arctg}(1)-\operatorname {arctg}(0)=\frac\pi 4. \]
Esse é exatamente o valor da área de um quarto de disco unitário. A primeira borda não é um arco de circunferência; a igualdade não vem de uma congruência entre as regiões. Ela é revelada pela primitiva. O teorema permite reconhecer uma igualdade de áreas que o desenho, sozinho, dificilmente nos faria adivinhar.
Retomando o valor médio
Agora podemos calcular a altura equivalente de um gráfico sem voltar às somas de Riemann. A interpretação, contudo, permanece a mesma.
Exemplo 13.32
Calcule o valor médio de \(f(x)=x^2\) em \([1,3]\).
Figura13.34O retângulo de altura \(13/3\) tem a mesma área que a região sob \(x^2\) em \([1,3]\).
Solução
A acumulação total é \(\int _1^3 x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x=(27-1)/3=26/3\). Dividindo pelo comprimento \(2\) do intervalo,
A altura média não é \(f(2)=4\), nem a média dos valores nos extremos, \((1+9)/2=5\). O ponto garantido pelo Teorema do Valor Médio satisfaz \(c^2=13/3\), isto é, \(c=\sqrt{13/3}\in (1,3)\).
Exemplo 13.33
Determine o valor médio de \(f(x)=1/x\) em \([1,e]\) e um ponto interior \(c\) em que esse valor seja atingido.
Figura13.35Uma região de área \(1\) e base \(e-1\) equivale ao retângulo de altura \(1/(e-1)\).
Solução
Como \(\int _1^e\mathop{}\! \mathrm{d} x/x=\ln e-\ln 1=1\), temos
\[ f_{\mathrm m}=\frac{1}{e-1}. \]
A equação \(1/c=1/(e-1)\) dá \(c=e-1\in (1,e)\). A região curvilínea tem área \(1\): espalhar essa área uniformemente sobre a base de comprimento \(e-1\) produz a altura encontrada.
Quando a derivada é integrável
A continuidade do integrando é uma hipótese suficiente, mas a fórmula de avaliação também vale quando partimos diretamente de uma função cuja derivada é integrável. Há uma demonstração curta que retoma o Teorema do Valor Médio das derivadas.
Corolário 13.34 (Newton–Leibniz para derivadas integráveis)
Se \(F\) é contínua em \([a,b]\), derivável em \((a,b)\) e \(F'\) é Riemann-integrável, atribuindo-lhe valores quaisquer nos extremos, então
Em cada subintervalo de uma partição, o Teorema do Valor Médio fornece \(c_i\in (x_{i-1},x_i)\) tal que
\[ F(x_i)-F(x_{i-1})=F'(c_i)\Delta x_i. \]
Somamos essas igualdades. Os valores intermediários se cancelam: o acréscimo em um trecho termina onde o acréscimo seguinte começa. Resta
\[ F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n F'(c_i)\Delta x_i. \]
Quando a malha tende a zero, a soma de Riemann converge para a integral de \(F'\), o que prova a identidade.
As duas demonstrações iluminam a mesma ligação por caminhos distintos: a primeira compara primitivas; esta soma os pequenos acréscimos da função. Em ambas, acumular uma taxa recupera a variação total.
Exercício 13.24 (A fila pode diminuir com chegadas crescentes)
Num modelo contínuo de uma fila, chegam \(a(t)=2+t\) pessoas/min e são atendidas \(b(t)=4\) pessoas/min, para \(0\leq t\leq 4\). No início há \(6\) pessoas. Enquanto houver pessoas na fila,
\[ Q(t)=6+\int _0^t\bigl(a(s)-b(s)\bigr)\mathop{}\! \mathrm{d} s. \]
Quando a fila diminui e quando cresce? Por que o crescimento da taxa de chegada não resolve sozinho essa pergunta?
Use as áreas entre as duas retas para determinar o menor valor de \(Q\) e seu valor final. O modelo encontra uma fila vazia nesse intervalo?
Ver solução
Temos \(Q'=a-b=t-2\): a fila diminui até \(t=2\) e cresce depois. É necessário comparar chegadas e atendimentos. O primeiro triângulo tem área \(2\) pessoas, logo \(Q(2)=4\); o segundo também tem área \(2\), logo \(Q(4)=6\). O mínimo é \(4\), portanto a fila nunca esvazia e a hipótese usada na fórmula permanece válida.
Exercício 13.25 (Uma janela que se desloca)
O gráfico de \(f\) é formado pelos segmentos que unem \((0,0)\), \((3,3)\) e \((6,0)\). Para \(0\leq x\leq 4\), defina
\[ M(x)=\int _x^{x+2} f(t)\mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Assim, \(x\) é a posição da borda esquerda de uma janela de largura \(2\).
Para \(0\lt x\lt 4\), explique por que \(M'(x)=f(x+2)-f(x)\) compara o que entra com o que sai da janela.
Em que posição a janela contém a maior área? Compare esse valor de \(x\) com a abscissa do máximo de \(f\).
Ver solução
Ao deslocar a janela para a direita, acrescenta-se uma faixa junto de \(x+2\) e retira-se uma junto de \(x\); o TFC formaliza a diferença das alturas. Para \(x\lt 2\), \(f(x+2)\gt f(x)\); para \(x\gt 2\), ocorre o contrário. Logo o máximo de \(M\) está em \(x=2\), com janela \([2,4]\) e área \(5\). O máximo de \(f\) está em \(3\), no centro dessa janela, não na sua borda esquerda.
Exercício 13.26 (Da área acumulada à forma da curva)
Seja \(f\) a função representada no gráfico abaixo e
Em que intervalos \(g\) é crescente? Onde \(g\) atinge seu máximo?
Calcule \(g'(1)\) e \(g'(3)\).
Em que intervalo o gráfico de \(g\) é côncavo para cima?
Ver solução
\(g(0)=0\), \(g(2)=\pi /2\), \(g(4)=\pi /2-2\) e \(g(6)=\pi /2-4\).
Pelo Teorema Fundamental, \(g'=f\): \(g\) cresce em \([0,2]\) e decresce em \([2,6]\); o máximo é \(g(2)=\pi /2\).
\(g'(1)=f(1)=1\) e \(g'(3)=f(3)=-1\).
Onde \(f\) é crescente: em \([4,6]\) (e em \([0,1]\), onde o arco sobe).
Exercício 13.27
Seja \(G(x)=\int _2^x(t^3+1)\mathop{}\! \mathrm{d} t\). Determine \(G'(x)\). Ver solução
Pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, \(G'(x)=x^3+1\).
Exercício 13.28 (Uma média em um intervalo pequeno)
Calcule, sem procurar uma primitiva,
\[ \lim _{h\to 0}\frac1h\int _2^{2+h}\sqrt{5+t^2}\mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Escreva a expressão como um quociente incremental de uma função de acumulação e use o Teorema Fundamental do Cálculo. Para \(h\gt 0\), que média a expressão representa? Ver solução
Defina \(A(x)=\int _2^x\sqrt{5+t^2}\mathop{}\! \mathrm{d} t\). Como \(A(2)=0\), a expressão é
\[ \frac{A(2+h)-A(2)}h. \]
A continuidade do integrando permite aplicar o TFC: o limite é \(A'(2)=\sqrt{5+2^2}=3\). Para \(h\gt 0\), trata-se do valor médio do integrando em \([2,2+h]\). À medida que o intervalo se contrai para \(2\), essa média tende ao valor da função nesse ponto.
Exercício 13.29
Seja \(H(x)=\int _1^{x^2}\sqrt{1+t^4}\mathop{}\! \mathrm{d} t\). Determine \(H'(x)\). Ver solução
Pelo Teorema Fundamental e pela regra da cadeia,
\[ H'(x)=2x\sqrt{1+x^8}. \]
Exercício 13.30
Seja \(K(x)=\int _x^3 e^{-t^2}\mathop{}\! \mathrm{d} t\). Determine \(K'(x)\) e explique o sinal obtido. Ver solução
\[ K'(x)=-e^{-x^2}. \]
O sinal negativo aparece porque aumentar o extremo inferior reduz a acumulação entre \(x\) e \(3\).
Exercício 13.31
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
No item 1, a derivada bilateral vale para \(x\gt -1/2\); no extremo \(-1/2\), a derivada pela direita é \(0\). No item 2, \(x\gt 0\). No item 8, \(x\gt 0\); a função acumulada também está definida em \(0\), mas não possui derivada lateral finita ali. Nos itens 6 e 7, é essencial preservar o quadrado do cosseno; no item 7, a derivada do extremo inferior negativo produz o sinal positivo do segundo termo.
Exercício 13.32
Em cada item, calcule a integral pelo Teorema Fundamental do Cálculo, quando aplicável, ou explique por que ela não existe como integral de Riemann:
Não existe como integral de Riemann: o integrando é ilimitado em \(0\). Como integral imprópria, as partes em \([-5,0)\) e \((0,5]\) divergem para \(-\infty \) e \(+\infty \), respectivamente. Não se podem cancelar essas divergências; o valor principal simétrico \(0\) é um conceito diferente.
\(\frac{156}{7}\).
\(2\).
\(1\).
Não existe como integral de Riemann; a cossecante ao quadrado é ilimitada nos extremos. Como integral imprópria, diverge para \(+\infty \). A primitiva \(-\operatorname {cotg}\theta \) só pode ser avaliada por limites dentro de \((\pi ,2\pi )\). As integrais impróprias serão estudadas no capítulo correspondente.
\(e^2-e\).
\(\frac4{\ln 5}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
Exercício 13.33
Calcule a área total entre o gráfico de \(y=x^2-2x-3\) e o eixo \(x\) no intervalo \([0,4]\). Explique por que \(\int _0^4(x^2-2x-3)\mathop{}\! \mathrm{d} x\) não fornece essa área. Ver solução
A função é negativa em \([0,3]\) e positiva em \([3,4]\). Logo,
\[ A=-\int _0^3(x^2-2x-3)\mathop{}\! \mathrm{d} x+\int _3^4(x^2-2x-3)\mathop{}\! \mathrm{d} x =9+\frac73=\frac{34}{3}. \]
Uma única integral com sinal subtrairia a área abaixo do eixo.
Exercício 13.34
Encontre o valor médio de \(f(x)=\sqrt{x}\) em \([0,9]\) e um número \(c\in [0,9]\) tal que \(f(c)\) seja esse valor médio. Ver solução
Se \(F(x)=\int _0^{x^2}\cos (1+t^3)\mathop{}\! \mathrm{d} t\), determine \(F'(x)\) e \(F'(0)\). Ver solução
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela regra da cadeia, \(F'(x)=2x\cos (1+x^6)\); portanto, \(F'(0)=0\).
13.5 Substituição na integral definida
Uma nova variável pode tornar simples uma área cujo integrando parece complicado. Não basta, porém, trocar uma letra: precisamos transformar a altura, a largura das faixas e as posições dos extremos. O exemplo seguinte mostra por que esses três cuidados pertencem à mesma ideia.
Exemplo 13.35 (Uma área vista em outra variável)
Determine a área da região limitada por \(y=2x\sqrt{1+x^2}\), pelo eixo \(x\) e pela reta \(x=2\). Resolva primeiro retornando à variável original e depois transformando também os extremos de integração.
Figura13.36A mesma área é calculada sob \(2x\sqrt{1+x^2}\), em \([0,2]\), ou sob \(\sqrt u\), em \([1,5]\). As escalas verticais são distintas.
Solução
O integrando é não negativo em \([0,2]\), de modo que a área é \(\int _0^2 2x\sqrt{1+x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\). O radical sugere reunir \(1+x^2\) em uma nova variável. Escolhemos \(u=1+x^2\), pois \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\) coincide com o fator que acompanha o radical. A integral em \(u\) tem primitiva \(2u^{3/2}/3\).
Retornando a \(x\). A primitiva é \(2(1+x^2)^{3/2}/3\). Avaliamos nos extremos originais:
Transformando os extremos. Para \(x=0\), \(u=1\); para \(x=2\), \(u=5\). Logo,
\[ \int _0^2 2x\sqrt{1+x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x =\int _1^5\sqrt u\mathop{}\! \mathrm{d} u =\left[\frac23u^{3/2}\right]_1^5 =\frac23(5^{3/2}-1). \]
Os procedimentos são equivalentes. Depois de passar inteiramente a \(u\), não avaliamos uma expressão nessa variável usando os limites ainda escritos em \(x\).
A igualdade das integrais não significa que os gráficos sejam iguais. O fator \(2x\) transforma as larguras: \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). É essa correspondência entre pequenas contribuições que conserva a acumulação. A área procurada é \(\frac23(5\sqrt5-1)\), um número positivo, como o desenho já exigia.
Proposição 13.36 (Substituição na integral definida)
Se \(g\) tem derivada contínua em \([a,b]\) e \(f\) é contínua em um intervalo que contém a imagem de \(g\), então
\[ \displaystyle \int _a^b f(g(x))g'(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\mathop{}\! \mathrm{d} u. \]
Demonstração▼
Seja \(F\) uma primitiva de \(f\). Então \(F(g(x))\) é uma primitiva de \(f(g(x))g'(x)\). Pelo Segundo Teorema Fundamental do Cálculo (Teorema 13.26), obtemos
Por outro lado, aplicando uma segunda vez o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo também temos
\[ \displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)} f(u)\mathop{}\! \mathrm{d} u =F(u)\bigg|_{g(a)}^{g(b)}=F(g(b))-F(g(a)). \]
Exemplo 13.37 (O sinal da mudança e o sentido dos extremos)
Determine: a \(\displaystyle \int _{-1}^{3}e^{-2x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\); b \(\displaystyle \int _0^{\sqrt2}x e^{3x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Figura13.37No item (a), toda a região está acima do eixo. O sinal negativo da substituição não torna a área negativa.
Solução
a Com \(u=-2x\), temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=-\mathop{}\! \mathrm{d} u/2\). Quando \(x\) percorre \([-1,3]\) da esquerda para a direita, \(u\) vai de \(2\) para \(-6\):
\[ \int _{-1}^{3}e^{-2x}\mathop{}\! \mathrm{d} x =-\frac12\int _2^{-6}e^u\mathop{}\! \mathrm{d} u =\frac12\int _{-6}^{2}e^u\mathop{}\! \mathrm{d} u =\frac{e^2-e^{-6}}2. \]
O sinal do diferencial e a inversão dos extremos se compensam. A resposta é positiva, como deve ser para uma área sob uma função positiva. Também poderíamos avaliar a primitiva \(-e^{-2x}/2\) nos extremos originais.
b Agora \(u=3x^2\) produz \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=6x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Os extremos \(0\) e \(\sqrt2\) passam a \(0\) e \(6\), respectivamente. Logo,
Figura13.38No item (b), a maior parte da área se concentra perto do extremo direito, onde a exponencial cresce rapidamente.
Aqui a mudança preserva o sentido do percurso. A resposta relativamente grande não é um defeito da conta: o gráfico cresce muito perto de \(x=\sqrt2\). Voltando à variável original, a primitiva é \(e^{3x^2}/6\).
Figura13.39A região tem base \(1/2\) e altura máxima \(1\). Sua área \(1/3\) cabe no retângulo de área \(1/2\).
Solução
Fazemos \(u=2x-1\), de modo que \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=\mathop{}\! \mathrm{d} u/2\). Os extremos passam de \(1/2\) e \(1\) para \(0\) e \(1\). Portanto,
\[ \int _{1/2}^{1}\sqrt{2x-1}\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac12\int _0^1\sqrt u\mathop{}\! \mathrm{d} u =\frac12\left[\frac23u^{3/2}\right]_0^1=\frac13. \]
A substituição estica a base de comprimento \(1/2\) para uma base de comprimento \(1\). O fator \(1/2\) corrige exatamente essa mudança de escala. Como a altura varia entre \(0\) e \(1\), a comparação previa uma área entre \(0\) e \(1/2\), coerente com o resultado.
Exemplo 13.39 (Um produto que pede substituição, não partes)
Figura13.40A região sob \((\ln x)/x\) em \([1,e]\) tem área \(1/2\), embora seu gráfico não seja triangular.
Solução
A derivada de \(\ln x\) já aparece como fator. Com \(u=\ln x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\mathop{}\! \mathrm{d} x/x\), os extremos tornam-se \(0\) e \(1\):
Na nova variável, a mesma área é calculada por um triângulo de base \(1\) e altura \(1\). A presença de um produto no integrando, por si só, não é motivo para escolher integração por partes: o reconhecimento de uma derivada pode oferecer um caminho mais direto.
Exercício 13.36
Calcule as integrais. Use a substituição indicada nos cinco primeiros itens e escolha uma conveniente nos demais:
\(\displaystyle \int _0^\pi \cos (3x)\mathop{}\! \mathrm{d} x \quad u=3x\)
\(\displaystyle \int _0^1 x(4+x^2)^{10}\mathop{}\! \mathrm{d} x \quad u=4+x^2\)
\(\displaystyle \int _0^2 x^2\sqrt{x^3+1}\mathop{}\! \mathrm{d} x \quad u=x^3+1\)
\(\displaystyle \int _0^{\pi ^2/4} \dfrac {\operatorname {sen}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\mathop{}\! \mathrm{d} x \quad u=\sqrt{x}\), definindo o integrando em \(x=0\) por seu limite, igual a \(1\).
Nos itens 1 a 5, as novas integrais são, respectivamente, \(\frac13\int _0^{3\pi }\cos u\mathop{}\! \mathrm{d} u\), \(\frac12\int _4^5u^{10}\mathop{}\! \mathrm{d} u\), \(\frac13\int _1^9\sqrt u\mathop{}\! \mathrm{d} u\), \(2\int _0^{\pi /2}\operatorname {sen}u\mathop{}\! \mathrm{d} u\) e \(\int _0^1e^u\mathop{}\! \mathrm{d} u\). No item 4, a extensão contínua no extremo foi explicitada no enunciado; a substituição inversa \(x=u^2\) também é regular em \(u=0\).
Exercício 13.37
Calcule \(\int _0^1\frac{3x^2}{1+x^3}\mathop{}\! \mathrm{d} x\) por substituição. Compare a mudança de limites com o procedimento de voltar à variável original. Ver solução
Com \(u=1+x^3\), os limites passam de \(0,1\) para \(1,2\), e a integral vale \(\int _1^2\mathop{}\! \mathrm{d} u/u=\ln 2\). Em uma integral definida, mudar os limites evita voltar à variável \(x\).
13.6 Integração por partes na integral definida
Há regiões que se tornam mais simples quando olhamos para o que falta para completar um retângulo. Essa leitura geométrica acompanha uma ideia algébrica já conhecida: a derivada de um produto separa-se em dois termos. Ao integrar essa identidade, podemos trocar uma integral por outra mais simples.
Exemplo 13.40 (Uma região curvilínea de área exatamente um)
Determine a área limitada pelo gráfico de \(y=\ln x\), pelo eixo \(x\) e pela reta \(x=e\).
Figura não resolvida: figuras/integracao-area-logaritmo.tex
Figura13.41As regiões \(A\) e \(B\) completam um retângulo. A faixa horizontal de \(B\), à altura \(y\), tem largura \(e^y-1\).
Solução
O logaritmo é não negativo em \([1,e]\). A área procurada é, portanto, \(A=\int _1^e\ln x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). A região cabe no retângulo \([1,e]\times [0,1]\), de área \(e-1\). Olhemos para a região \(B\) que falta para completar esse retângulo.
Uma faixa horizontal de \(B\), à altura \(y\), vai de \(x=1\) até \(x=e^y\): sua largura é \(e^y-1\). Somando essas faixas, agora em relação a \(y\), obtemos
\[ B=\int _0^1(e^y-1)\mathop{}\! \mathrm{d} y =\bigl[e^y-y\bigr]_0^1=e-2. \]
Logo,
\[ A=(e-1)-(e-2)=1. \]
Uma borda curva e um extremo irracional produziram uma área inteira. Para encontrá-la, calculamos a área da região complementar por faixas horizontais até a exponencial e a subtraímos da área do retângulo. Assim, evitamos integrar diretamente o logaritmo por faixas verticais.
A integração por partes realiza algebricamente essa passagem à região complementar. Derivar \(\ln x\) o simplifica, enquanto integrar o fator \(1\) não traz dificuldade. Registramos a escolha: xd xd xx A técnica do capítulo anterior e o Teorema Fundamental dão
O termo de produto registra a contribuição nos extremos; a integral restante mede a contribuição que deve ser retirada. A leitura geométrica e a regra algébrica chegam à mesma resposta.
Proposição 13.41 (Integração por partes)
Se \(f\) e \(g\) são continuamente deriváveis em \([a,b]\), então
A regra do produto diz que \((fg)'=f'g+fg'\). Todos os termos são contínuos e, portanto, integráveis. Pelo Segundo Teorema Fundamental e pela linearidade,
A mesma fórmula vale se \(f\) e \(g\) forem contínuas e continuamente deriváveis por partes: aplicamos o resultado em cada trecho e somamos. Pela continuidade de \(fg\), os termos nas divisões internas se cancelam, restando apenas os extremos \(a\) e \(b\).
A escolha dos fatores tem um objetivo: tornar a integral restante mais simples que a inicial. A fórmula, sozinha, não faz essa escolha.
Exemplo 13.42 (Quando uma derivada simplifica o produto)
Determine: a \(\displaystyle \int _0^{\ln 2}x e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\); b \(\displaystyle \int _0^\pi x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Figura não resolvida: figuras/integracao-produto-exponencial.tex
Figura13.42No item (a), a integral é uma área positiva: \(2\ln 2-1\). Derivar o fator \(x\) simplifica a conta.
Solução
a Escolhemos \(u=x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Assim, \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v=e^x\), de modo que
\[ \int _0^{\ln 2}x e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x =\bigl[xe^x\bigr]_0^{\ln 2}-\int _0^{\ln 2}e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x =2\ln 2-(2-1)=2\ln 2-1. \]
Derivar \(x\) retirou o fator que complicava o produto. A escolha inversa, \(u=e^x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=x\mathop{}\! \mathrm{d} x\), introduziria uma integral com \(x^2e^x/2\), mais trabalhosa que a original. A resposta também revela \(\ln 2\gt 1/2\), pois a região tem área estritamente positiva.
b Tomamos \(u=x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Então \(v=\operatorname {sen}x\), e os termos de produto se anulam nos dois extremos:
Figura não resolvida: figuras/integracao-produto-cosseno.tex
Figura13.43No item (b), a contribuição negativa tem maior módulo. A integral é \(-2\), enquanto a área geométrica total é \(\pi \).
Aqui não calculamos uma área geométrica única: o integrando muda de sinal em \(\pi /2\). A região positiva tem área \(\pi /2-1\); a negativa, área \(\pi /2+1\). Sua diferença é \(-2\), mas sua soma é \(\pi \). O desenho explica por que o resultado da integral deve ser negativo.
Exemplo 13.43 (Uma segunda área sob o logaritmo)
Determine a área sob \(y=x\ln x\) entre \(x=1\) e \(x=e\).
Figura não resolvida: figuras/integracao-produto-logaritmo.tex
Figura13.44A região está acima do eixo. O fator \(x\) dá maior peso às faixas próximas do extremo direito.
Solução
Como \(x\ln x\geq 0\) em \([1,e]\), calculamos \(\int _1^e x\ln x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Escolhemos \(u=\ln x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=x\mathop{}\! \mathrm{d} x\): a derivada do logaritmo cancela um dos fatores de \(x\) que surgem em \(v=x^2/2\). Assim,
Em \([1,e]\), temos \(x\ln x\geq \ln x\), com desigualdade estrita no interior. Sua área deve, portanto, ser maior que a área \(1\) do exemplo inicial. A técnica fornece o valor; a comparação geométrica lhe dá contexto e uma verificação independente.
Exercício 13.38
Calcule as integrais definidas. Escolha entre uma primitiva imediata, substituição e integração por partes, observando também as simetrias do integrando e do intervalo.
Determine as primitivas abaixo para exercitar as escolhas dos fatores e as aplicações sucessivas da integração por partes. Nas integrais definidas, o passo adicional é avaliar uma dessas primitivas nos extremos do intervalo.
\(\displaystyle \int r e^{r/3}\mathop{}\! \mathrm{d} r\)
No item 2, se \(m=0\), a primitiva é \(x^3/3+C\). No item 3, \(x\gt -1/2\); nos itens 5 e 7, \(x\gt 0\). Em todos os itens, \(C\) é uma constante arbitrária.
Exercício 13.41
Use integração por partes para calcular \(\int _0^2 x e^{-x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\). O que muda na integração por partes quando passamos de uma integral indefinida para uma definida? Ver solução
Com \(u=x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^{-x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\),
\[ \int _0^2xe^{-x}\mathop{}\! \mathrm{d} x=[-xe^{-x}]_0^2+\int _0^2e^{-x}\mathop{}\! \mathrm{d} x =1-3e^{-2}. \]
Os termos de fronteira são avaliados nos limites, e não se acrescenta uma constante de integração.
13.7 Deslocamento e distância percorrida
Um móvel pode percorrer uma grande distância e retornar ao ponto de partida. Nesse caso, o deslocamento é nulo, embora a distância percorrida seja positiva.
Se \(x(t)\) é a posição de uma partícula que se move ao longo de uma reta, sua velocidade é \(v(t)=x'(t)\). Assim, a posição é uma primitiva da velocidade. Supondo que \(v\) seja contínua em \([a,b]\), pelo Segundo Teorema Fundamental do Cálculo (Teorema 13.26), obtemos
que é o deslocamento da partícula entre os instantes \(a\) e \(b\). Para calcular a distância percorrida, devemos ignorar o sinal da velocidade e somar as contribuições em módulo. Assim,
\begin{equation*} \displaystyle \int _a^b|v(t)|\mathop{}\! \mathrm{d} t \end{equation*}
é a distância percorrida pela partícula entre os instantes \(a\) e \(b\). Quando \(v(t)\geq 0\) em todo o intervalo, não há movimento no sentido negativo. Nesse caso, deslocamento e distância percorrida coincidem e valem
\[ \int _a^b v(t)\mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Se a velocidade muda de sinal, seus zeros indicam onde o intervalo deve ser dividido para calcular a integral do módulo.
Exemplo 13.44
Uma partícula desloca-se sobre o eixo \(x\) com velocidade \(v(t)=2-t\).
Calcule o deslocamento entre os instantes \(t=1\) e \(t=3\).
Calcule a distância percorrida entre os instantes 1 e 3.
Figura não resolvida: figuras/integracao-velocidade-retorno.tex
Figura13.45Dois triângulos de área \(1/2\): as contribuições se cancelam no deslocamento e se somam na distância percorrida.
Solução
\[ \text{Deslocamento}=\displaystyle \int _1^3(2-t)\mathop{}\! \mathrm{d} t =\left(2t-\frac{t^2}{2}\right)\bigg|_1^3=0. \]
No gráfico da velocidade, cada triângulo tem base \(1\) e altura \(1\). A integral com sinal dá \(1/2-1/2=0\); a integral do módulo dá \(1/2+1/2=1\). O cálculo algébrico e a leitura geométrica descrevem, assim, a mesma viagem.
Exemplo 13.45
Por que foguetes são construídos em estágios?
Até aqui, integramos a velocidade para recuperar a variação da posição. A mesma ideia pode ser aplicada um passo antes: integrando a aceleração, obtemos o ganho de velocidade.
Considere um foguete que expele gases com velocidade \(u\) em relação a si mesmo e consome combustível a uma taxa constante \(r\). Se \(m_0\) é a massa no início da queima, então \(m(t)=m_0-rt\). No modelo ideal, o empuxo tem módulo \(ru\) e a aceleração produzida pelo motor é
\[ a(t)=\frac{ru}{m_0-rt}. \]
Adote \(u=3{,}5\, \mathrm{km/s}\) e suponha que tanques, motor e demais componentes estruturais representem pelo menos \(10\% \) da massa inicial. A carga útil é a massa transportada além da estrutura e do combustível. Compare a capacidade de um foguete de estágio único com a de um foguete de dois estágios, cada um dos quais opera com razão entre massa inicial e massa final igual a \(4\). Para chegar a uma órbita terrestre baixa, considere necessário um ganho efetivo de velocidade de aproximadamente \(9{,}4\, \mathrm{km/s}\).
Um único estágio. Tanques e motores vazios continuam sendo acelerados durante toda a subida.
Dois estágios. A estrutura que já cumpriu sua função é abandonada, e o módulo superior prossegue com massa menor.
Solução
A aceleração não é constante. À medida que o combustível é consumido, a mesma força atua sobre uma massa cada vez menor. Se a queima termina no instante \(T\) e \(m_f=m_0-rT\) é a massa restante, então
Essa é a equação do foguete. A taxa de queima \(r\) desaparece do resultado: no modelo ideal, o ganho de velocidade depende da velocidade de exaustão e da razão entre as massas inicial e final.
Em um foguete de estágio único, mesmo fazendo a carga útil tender a zero,
Após a primeira queima, o tanque e o motor vazios são abandonados. O segundo estágio não precisa continuar acelerando essa massa, e os ganhos se somam:
O gráfico da Figura 13.46 usa tempos de queima normalizados para representar os dois estágios. O ganho acumulado de velocidade permanece contínuo no instante da separação. Na coordenada normalizada usada no gráfico, as inclinações laterais são diferentes: a curva apresenta uma quina nesse ponto.
Figura não resolvida: figuras/foguete-dois-estagios-velocidade.tex
Figura13.46Ganho acumulado de velocidade em dois estágios, com tempos de queima normalizados. No gráfico, os trechos se encontram continuamente, com inclinações laterais diferentes na separação.
Separar estágios não cria energia; apenas evita gastá-la acelerando uma estrutura que já cumpriu sua função. Se incluirmos a gravidade durante uma queima vertical, obtemos
o que torna a limitação do estágio único ainda mais severa.
Alcance do modelo. A impossibilidade demonstrada depende dos valores adotados para a velocidade de exaustão e a fração estrutural. As leis da Física não proíbem em sentido absoluto um veículo de estágio único, mas tornam esse projeto extremamente exigente com propulsão química e carga útil positiva.
Exercício 13.42 (Igual velocidade não significa encontro)
Dois móveis partem juntos da origem e seguem no mesmo sentido. Suas velocidades, em m/s, são \(v_A(t)=t\) e \(v_B(t)=2\), para \(0\leq t\leq 4\) s.
O cruzamento das retas em \(t=2\) representa um encontro dos móveis? Quem está à frente nesse instante?
Usando áreas entre os gráficos, determine o primeiro encontro depois da partida. Quem está à frente em \(2\lt t\lt 4\), apesar de ter menor velocidade?
Ver solução
Em \(t=2\), as velocidades coincidem, mas \(B\) acumulou uma vantagem de \(2\) m, a área do triângulo entre as retas em \([0,2]\). De \(2\) a \(4\), \(A\) recupera exatamente esses \(2\) m. O novo encontro é em \(t=4\) s. Em \(2\lt t\lt 4\), \(B\) ainda está à frente, embora \(A\) seja mais rápido: posição depende da acumulação anterior, não apenas da velocidade naquele instante.
Exercício 13.43 (Deslocamento não é distância percorrida)
O gráfico mostra a velocidade \(v(t)\), em m/s, de uma partícula que parte da origem.
Em que intervalo a partícula se move no sentido negativo?
Determine o deslocamento e a distância percorrida em \([0,6]\).
Em que instante a partícula está mais longe da origem? Qual é essa distância?
Qual é a posição final?
Ver solução
Em \((4,6)\), onde \(v\lt 0\).
As áreas acima do eixo somam \(1+4+1=6\), e as abaixo, \(1+1=2\). O deslocamento é \(4\) m e a distância percorrida é \(8\) m.
Em \(t=4\), quando \(v\) muda de sinal: a \(6\) m da origem.
\(s(6)=0+4=4\) m.
Exercício 13.44
Uma partícula tem velocidade \(v(t)=t-1\) em \(0\leq t\leq 3\). Calcule o deslocamento e a distância percorrida. Ver solução
O deslocamento é \(\int _0^3(t-1)\mathop{}\! \mathrm{d} t=3/2\). Como a velocidade muda de sinal em \(t=1\), a distância é
Esboce o gráfico de \(v\) e explique as três etapas do movimento.
Calcule o deslocamento e a distância percorrida entre \(t=0\) e \(t=7\).
Se \(s(0)=4\, \mathrm m\), determine \(s(7)\) e a velocidade média no intervalo.
Ver solução
O veículo acelera linearmente de \(0\) a \(6\, \mathrm{m/s}\) nos dois primeiros segundos, mantém essa velocidade até \(t=5\) e freia linearmente até parar em \(t=7\). A área sob o gráfico é
\[ \int _0^2 3t\mathop{}\! \mathrm{d} t+\int _2^5 6\mathop{}\! \mathrm{d} t+\int _5^7(21-3t)\mathop{}\! \mathrm{d} t =6+18+6=30\ \mathrm m. \]
Como \(v(t)\geq 0\), deslocamento e distância percorrida são ambos iguais a \(30\, \mathrm m\). Assim, \(s(7)=34\, \mathrm m\) e a velocidade média é \(30/7\, \mathrm{m/s}\).
Exercício 13.47
A velocidade de um elevador é \(v(t)=2t-0{,}3t^2\) m/s para \(0\leq t\leq 6\), com \(t\) medido em segundos. Determine o deslocamento e a distância percorrida. Verifique se é necessário separar intervalos. Ver solução
\(v(t)=t(2-0{,}3t)\geq 0\) em \([0,6]\), portanto não é preciso separar intervalos. O deslocamento e a distância percorrida coincidem:
\[ \int _0^6(2t-0{,}3t^2)\mathop{}\! \mathrm{d} t=14{,}4\, \mathrm m. \]
Exercício 13.48
Numa seção de um riacho, a vazão é constante e igual a \(q\gt 0\) L/min. A concentração de poluente nessa seção, no instante \(t\) (em minutos), é \(c(t)\) mg/L, com \(c\) contínua. Explique por que \(q\int _0^{60}c(t)\mathop{}\! \mathrm{d} t\) representa a massa de poluente que passa por uma seção em uma hora. Ver solução
O produto \(q\, c(t)\) tem unidade \((\mathrm{L/min})(\mathrm{mg/L})=\mathrm{mg/min}\) e representa a taxa de passagem de massa. Sua integral de \(0\) a \(60\) min, portanto, fornece a massa total em miligramas.
13.8 \(\star \) As funções logarítmica e exponencial revisitadas
Até agora usamos funções conhecidas para calcular áreas. Podemos inverter essa ordem: escolher uma área e, por meio dela, construir uma função. O Teorema Fundamental do Cálculo nos entrega então sua derivada. Retomaremos por esse caminho o logaritmo natural e, a partir de sua inversa, a função exponencial.
Como \(t\mapsto 1/t\) é contínua em \((0,\infty )\), a integral entre \(1\) e qualquer ponto \(x\gt 0\) está bem definida. Isso motiva a definição seguinte.
Definição 13.4
A função logaritmo natural é uma função definida por
Figura não resolvida: figuras/integracao-logaritmo-orientacao.tex
Figura13.47O integrando \(1/t\) é positivo nos dois painéis. Para \(0\lt x\lt 1\), o percurso de \(1\) até \(x\) é invertido e \(\ln x\lt 0\); para \(x\gt 1\), \(\ln x\gt 0\). Nenhum dos intervalos atravessa a origem.
Proposição 13.46 (Propriedades do logaritmo)
A função logaritmo é contínua e derivável em todo seu domínio e satisfaz:
\(\ln 1=0\);
\(\ln ' x=\dfrac 1x\) para todo \(x\gt 0\);
\(\ln (ab)=\ln a+\ln b\) para todos \(a,b\gt 0\);
\(\ln \left(\dfrac ab\right)=\ln a-\ln b\) para todos \(a,b\gt 0\);
\(\ln (a^r)=r\ln a\) para todo \(a\gt 0\) e todo racional \(r\).
A continuidade da função logaritmo é consequência de sua derivabilidade. Para demonstrar o item \((c)\), fixemos \(a\gt 0\) e definamos \(f(x)=\ln (ax)\) para \(x\gt 0\). Pela regra da cadeia,
\[ f'(x)=\frac1{ax}\, a=\frac1x. \]
Assim, \(f\) e \(\ln \) têm a mesma derivada em \((0,\infty )\) e, pelo Corolário 11.18, diferem por uma constante:
\[ \ln (ax)=\ln x+C. \]
Em \(x=1\), obtemos \(C=\ln a\). Portanto, \(\ln (ax)=\ln x+\ln a\); tomando \(x=b\), chegamos ao item \((c)\).
Também podemos demonstrar \((c)\) diretamente pela definição integral. Para \(x,y\gt 0\),
\[ \ln (xy)=\displaystyle \int _1^{xy}\frac1t\mathop{}\! \mathrm{d} t =\displaystyle \int _1^x\frac1t\mathop{}\! \mathrm{d} t+\displaystyle \int _x^{xy}\frac1t\mathop{}\! \mathrm{d} t =\ln x+\displaystyle \int _x^{xy}\frac1t\mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Na última integral, a substituição \(u=t/x\) transforma os limites de integração em \(1\) e \(y\) e dá
\[ \displaystyle \int _x^{xy}\frac1t\mathop{}\! \mathrm{d} t =\displaystyle \int _1^y\frac1{xu}\, x\mathop{}\! \mathrm{d} u =\displaystyle \int _1^y\frac1u\mathop{}\! \mathrm{d} u=\ln y. \]
Para demonstrar \((d)\), aplicamos \((c)\) ao produto \(b\cdot (1/b)=1\):
Para o item \((e)\), escreva \(r=m/n\), com \(m\in \mathbb Z\) e \(n\geq 1\). O item \((c)\), aplicado repetidamente, dá \(\ln (z^n)=n\ln z\); com \(z=a^{1/n}\), segue que \(\ln (a^{1/n})=\ln a/n\). Para \(m\gt 0\), uma nova aplicação do item \((c)\) fornece \(\ln (a^{m/n})=(m/n)\ln a\). O caso \(m=0\) segue de \(a^0=1\), e o caso \(m\lt 0\), do item \((d)\) e da identidade \(a^{-q}=1/a^q\).
A função assim construída e o logaritmo natural já estudado se anulam em \(1\) e têm derivada \(1/x\) para \(x\gt 0\). Pelo Corolário 11.18, aplicado em qualquer intervalo fechado contido em \((0,\infty )\), as duas funções coincidem.
Exemplo 13.47
Calcule \(\displaystyle \int _2^6\frac1t\mathop{}\! \mathrm{d} t\) usando a definição integral do logaritmo e suas propriedades.
Figura não resolvida: figuras/integracao-logaritmo-escala.tex
Figura13.48As duas regiões têm área \(\ln 3\): multiplicar ambos os extremos por \(2\) não altera a acumulação de \(1/t\) entre eles.
A conta mostra geometricamente a propriedade de quociente do logaritmo: a acumulação de \(1/t\) entre \(2\) e \(6\) depende apenas da razão \(6/2\).
13.8.1 Gráfico do logaritmo
Da definição integral obtivemos propriedades algébricas do logaritmo. Sua derivada permitirá recuperar também as características do gráfico, usando os critérios de crescimento e concavidade já estudados.
Proposição 13.48
A função \(\ln x \) é crescente e seu gráfico é côncavo para baixo em todos os pontos.
Demonstração▼
Como \(\ln '(x)=1/x\gt 0\), o logaritmo é crescente; como \(\ln ''(x)=-1/x^2\lt 0\), seu gráfico é côncavo para baixo em \((0,+\infty )\).
Observe que, em particular, esta proposição implica que \( \ln x \) é injetora.
Proposição 13.49
\(\displaystyle \lim _{x\to \infty } \ln x =\infty \)
Demonstração▼
Como \(\ln 2\gt 0\), dado \(M\gt 0\) podemos escolher um natural \(n\) tal que \(n\ln 2\gt M\). Para todo \(x\gt 2^n\), o crescimento do logaritmo e a propriedade das potências dão
Logo, o domínio de \(\ln \) é \((0,\infty )\) e a imagem é \(\mathbb R\): pela continuidade e pelos limites nas duas extremidades, todos os valores reais são atingidos. O gráfico aparece na Figura 13.49.
Figura13.49O logaritmo natural é crescente, côncavo para baixo e tem assíntota vertical em \(x=0\). Como \(\ln \) é contínua em \((0,\infty )\), \(\ln 1=0\) e \(\ln x\to +\infty \) quando \(x\to +\infty \), o Teorema do Valor Intermediário 7.39 garante que a equação \(\ln x=1\) tem solução. A monotonicidade estrita garante que essa solução é única.
Definição 13.5
Denotamos por \(e\) o único número positivo tal que \(\ln e=1\).
Esta definição é consistente com a definição anterior de \(e\) por um limite. Primeiro, a identidade \(\ln (a^r)=r\ln a\) estende-se de expoentes racionais a reais: tome racionais \(r_j\to r\) e use a continuidade de \(r\mapsto a^r\), já estudada, e a de \(\ln \).
Para \(f(x)=\ln x\), temos \(f'(1)=1\). Pela definição de derivada,
A função \(\ln :(0,\infty )\to \mathbb R\) é contínua, estritamente crescente e sobrejetora; sua inversa é, portanto, contínua. Aplicando essa inversa ao limite anterior,
Assim, a existência do limite decorre da continuidade da inversa, sem pressupor a existência do limite da potência. A mudança \(h=1/x\) recupera a definição com \(x\to +\infty \).
13.8.2 Função exponencial
A análise anterior mostrou que \(\ln :(0,\infty )\to \mathbb R\) é bijetora. Podemos, portanto, recuperar a função exponencial de modo intrínseco, como a inversa do logaritmo definido pela integral.
Definição 13.6
A função inversa de \(\ln (x)\) é denominada função exponencial natural e denotada por \(y=\exp (x)\).
O domínio da função \(\exp (x)\) é o conjunto dos números reais, e sua imagem é \((0, \infty )\). Observe que, como \(\exp (x)\) é a inversa de \(\ln (x)\), \(\exp (\ln x)=x\) para \(x\gt 0\), e \(\ln (\exp x)=x\) para todo \(x\). Além disso, como consequência das propriedades do \(\ln (x)\) temos que \(\exp (1)=e\), \(\exp (0)=1\), \(\displaystyle \lim _{x\to \infty }\exp x=\infty \), e \(\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\exp x=0\).
Essa função coincide com a exponencial natural já estudada. De fato, como \(\ln e=1\) e \(\ln (e^x)=x\ln e\) para todo \(x\in \mathbb {R}\), temos \(\ln (e^x)=x\). Pela definição de \(\exp \) como inversa de \(\ln \),
\[ \exp (x)=e^x\qquad (x\in \mathbb {R}). \]
Proposição 13.51
A função exponencial é derivável em todos os pontos do domínio e
Pelo teorema da derivada da função inversa (Teorema 9.43), \(\exp \) é derivável em todo o seu domínio. Para calcular sua derivada, escrevemos \(y=\exp x\), de modo que \(\ln y=x\). Diferenciando em relação a \(x\), obtemos
Figura não resolvida: figuras/integracao-logaritmo-exponencial.tex
Figura13.50Para \(x\gt 0\), uma posição possível da borda \(e^{2x}\). Ao acumular \(1/t\) até essa borda, obtemos \(F(x)=2x\).
Solução
Pela definição do logaritmo e pela relação entre funções inversas,
\[ F(x)=\ln (\exp (2x))=2x. \]
Consequentemente, \(F'(x)=2\). O mesmo resultado aparece diretamente pelo Primeiro Teorema Fundamental e pela regra da cadeia:
\[ F'(x)=\frac1{\exp (2x)}\, 2\exp (2x)=2. \]
A borda \(e^{2x}\) acelera à medida que \(x\) aumenta, mas a altura \(1/e^{2x}\) diminui na proporção inversa. Esses efeitos se compensam e deixam uma taxa constante, igual a \(2\). A regra da cadeia exprime exatamente essa compensação.
Exercício 13.49
Calcule \(\displaystyle \int _3^{3e^2}\frac1t\mathop{}\! \mathrm{d} t\). Ver solução
\[ \ln (3e^2)-\ln 3=\ln (e^2)=2. \]
Exercício 13.50
Para \(G(x)=\displaystyle \int _1^{1+x^2}\frac1t\mathop{}\! \mathrm{d} t\), determine \(G'(x)\) e simplifique \(G(x)\). Ver solução
Como \(G(x)=\ln (1+x^2)\),
\[ G'(x)=\frac{2x}{1+x^2}. \]
Exercício 13.51
Use a identidade \(\ln (ab)=\ln a+\ln b\) e o fato de que \(\exp \) é a inversa de \(\ln \) para mostrar que \(\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b)\). Ver solução
Se \(u=\exp (a)\) e \(v=\exp (b)\), então
\[ \ln (uv)=\ln u+\ln v=a+b. \]
Aplicando a inversa \(\exp \) aos dois lados, obtemos \(uv=\exp (a+b)\).
Exercício 13.52
Use \(\ln x=\int _1^x \frac{1}{t}\mathop{}\! \mathrm{d} t\) para justificar que \(\ln (ab)=\ln a+\ln b\), com \(a,b\gt 0\). Ver solução
Dividindo a integral em \(a\) e fazendo \(t=as\) na segunda parcela,
13.9 \(\star \) Por que funções contínuas são integráveis
Ao longo do capítulo, usamos a continuidade para garantir a integrabilidade. Vamos agora demonstrar esse resultado, mostrando que as somas de Riemann se aproximam de um mesmo número, independentemente das partições e das marcas, quando a malha tende a zero.
Cada soma de Riemann fica entre a soma inferior e a soma superior da mesma partição. A continuidade uniforme permite tornar a diferença entre essas duas somas arbitrariamente pequena, o que garante a integrabilidade.
Definição 13.7 (Somas superior e inferior)
Seja \(I_i=[x_{i-1},x_i]\). Para uma função limitada \(f:[a,b]\to \mathbb R\), defina
Como \(m_i\leq f(x_i^*)\leq M_i\) em cada subintervalo, toda escolha de marcas satisfaz
\[ I(f,P)\leq R_{f,P,C}\leq S(f,P). \]
A diferença \(S(f,P)-I(f,P)\) mede, portanto, a incerteza máxima causada pela escolha das marcas nessa partição.
Figura não resolvida: figuras/integracao-darboux-paineis.tex
Figura13.51A região entre os retângulos inferiores e superiores mede \(S(f,P)-I(f,P)\). À medida que a partição se refina, essa incerteza diminui.
Se uma partição \(P'\) refina \(P\), cada ínfimo pode apenas aumentar e cada supremo pode apenas diminuir quando subdividimos um intervalo. Portanto,
\[ I(f,P)\leq I(f,P')\leq S(f,P')\leq S(f,P). \]
Para duas partições quaisquer \(P,Q\), a união de seus pontos é um refinamento comum, de modo que \(I(f,P)\leq S(f,Q)\). Como \(f\) é limitada, o número
\[ A=\sup \{ I(f,P):P\text{ é partição de }[a,b]\} \]
é finito e satisfaz \(I(f,Q)\leq A\leq S(f,Q)\) para toda partição \(Q\). Assim, se a diferença \(S(f,Q)-I(f,Q)\) se tornar arbitrariamente pequena, as duas somas serão forçadas a convergir para esse mesmo número \(A\).
Definição 13.8 (Integral de Darboux)
Considere uma função limitada \(f:[a,b]\to \mathbb R\). Se existe \(A\in \mathbb R\) tal que
dizemos que a integral de Darboux existe e vale \(A\). Os limites referem-se a todas as partições cuja malha tende a zero. Pelo argumento dos refinamentos, basta que \(S(f,P)-I(f,P)\to 0\): ambas as somas ficam então arbitrariamente próximas do número \(A\) definido acima.
Teorema 13.53
A integral de Riemann existe se e somente se a integral de Darboux existe.
Demonstração▼
Para qualquer partição \(P\) e qualquer conjunto de marcas \(C\),
\[ I(f,P)\leq R_{f,P,C}\leq S(f,P). \]
Se as somas de Darboux convergem para \(A\) quando \(|P|\to 0\), o confronto mostra que todas as somas de Riemann também convergem para \(A\), independentemente das marcas.
Reciprocamente, suponha que a integral de Riemann seja \(A\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(\delta \gt 0\) tal que toda soma de Riemann de malha menor que \(\delta \) difira de \(A\) por menos que \(\varepsilon /2\). Tome uma partição qualquer \(P\) com \(|P|\lt \delta \). Pela definição de supremo e ínfimo, em cada \([x_{i-1},x_i]\) podemos escolher \(u_i,v_i\) tais que
Como \(I\leq R\leq S\) e qualquer uma dessas somas de Riemann também está a menos de \(\varepsilon /2\) de \(A\), ambas as somas de Darboux estão a menos de \(\varepsilon \) de \(A\). Isso prova a convergência exigida.
A construção anterior justifica uma afirmação usada neste capítulo: se \(f\) é integrável em \([a,b]\), também o é em todo subintervalo \([u,v]\). De fato, uma partição suficientemente fina de \([u,v]\) pode ser estendida a \([a,b]\) sem aumentar sua malha. A diferença entre as somas superior e inferior no subintervalo não excede a diferença na partição estendida; esta última tende a zero. Logo, a integrabilidade se conserva.
Teorema 13.54 (Funções contínuas são integráveis)
Seja \(f\) uma função contínua no intervalo fechado \([a,b]\); então, existe a integral de Riemann de \(f\).
Demonstração▼
Precisamos controlar de uma só vez a variação de \(f\) em todos os subintervalos. É aqui que a continuidade uniforme entra: uma mesma largura pequena serve em qualquer parte de \([a,b]\).
Dado \(\varepsilon \gt 0\), a continuidade uniforme de \(f\) em \([a,b]\) fornece \(\delta \gt 0\) tal que
Considere uma partição \(P=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \) com \(|P|\lt \delta \). Em cada subintervalo \([x_{k-1},x_k]\), o Teorema de Weierstrass garante pontos \(u_k\) e \(v_k\) nos quais \(f\) atinge, respectivamente, o máximo e o mínimo. Como \(|u_k-v_k|\leq x_k-x_{k-1}\lt \delta \), temos
A diferença entre as somas superior e inferior tende, assim, a zero quando \(|P|\to 0\). Pela equivalência entre as integrais de Darboux e de Riemann, \(f\) é integrável.
Corolário 13.55 (Funções contínuas por partes são integráveis)
Se \(f\) é limitada e contínua por partes em \([a,b]\), então \(f\) é Riemann-integrável em \([a,b]\).
Demonstração▼
Seja \(D\) o conjunto finito formado pelos pontos de divisão dos trechos e pelos extremos \(a,b\), e escreva \(r=|D|\). Pelos limites laterais finitos, a restrição de \(f\) ao interior de cada trecho admite uma extensão contínua ao fecho. Cada uma dessas extensões é uniformemente contínua. Escolha \(M\) com \(|f|\leq M\); se \(M=0\), nada há a provar.
Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha uma malha \(\delta \) tão pequena que, nos subintervalos que não tocam \(D\), a oscilação seja menor que \(\varepsilon /(2(b-a))\), e que \(4Mr\delta \lt \varepsilon /2\). Os subintervalos de uma partição com \(|P|\lt \delta \) que tocam \(D\) têm comprimento total no máximo \(2r\delta \). Sua contribuição para \(S-I\) é no máximo \(4Mr\delta \lt \varepsilon /2\); a contribuição dos demais é menor que \(\varepsilon /2\). Portanto, \(S-I\lt \varepsilon \) para toda partição suficientemente fina. A equivalência com Riemann prova a integrabilidade anunciada no Teorema 13.5.
A continuidade por partes permite um número finito de exceções, porque podemos confiná-las em intervalos de comprimento total arbitrariamente pequeno. Fora deles, permanece o controle da continuidade uniforme. É essa combinação — pouca variação na maior parte do intervalo e pouco comprimento nos trechos excepcionais — que fecha a demonstração.
O percurso do capítulo pode agora ser lido nos dois sentidos. Das pequenas faixas chegamos à integral; da integral, à função de acumulação; da acumulação, à derivada. E o Teorema Fundamental permite voltar da derivada à variação total. A técnica de calcular primitivas encontrou, assim, seu significado geométrico.
![Figura 13.2 Região sob f(x)=x^2 em [0,1], cuja área será aproximada por somas de Riemann.](figures/figrie1a-margem-aedddeb2.png)
![Figura 13.3 Partição do intervalo [0,1] em quatro subintervalos iguais.](figures/intervalos-cbf2fe5d.png)
![Figura 13.8 Em [-1,0], a contribuição é negativa. O detalhe amplia esse trecho; as escalas verticais são diferentes.](figures/integracao-cubica-sinal-9a588c85.png)
![Figura 13.10 A partição P divide [a,b] nos subintervalos [x_(i-1),x_i].](figures/particao1-583e646a.png)
![Figura 13.30 À esquerda, a área do triângulo sob f(x)=2x em [0,2] é 4. À direita, a primitiva F(x)=x^2 varia de 0 a 4. O teorema identifica essas duas quantidades.](figures/integracao-tfc-ponte-aae1bc8e.png)
![Figura 13.34 O retângulo de altura 13/3 tem a mesma área que a região sob x^2 em [1,3].](figures/integracao-media-quadratica-b0bc3865.png)
![Figura 13.36 A mesma área é calculada sob 2x√1+x^2, em [0,2], ou sob √ u, em [1,5]. As escalas verticais são distintas.](figures/integracao-substituicao-paineis-99907d34.png)
![Figura 13.40 A região sob (ln x)/x em [1,e] tem área 1/2, embora seu gráfico não seja triangular.](figures/integracao-logaritmo-sobre-x-70f0babc.png)
