A integral definida permite representar a acumulação de pequenas contribuições distribuídas ao longo de um intervalo. Sua construção parte de um problema distinto daquele das antiderivadas. O cálculo de áreas fornece o primeiro modelo dessa ideia; as somas de Riemann a transformam em uma definição precisa. O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a relação entre acumulação e antiderivação. A partir dessa relação, integrais definidas podem ser calculadas por primitivas, e os métodos de substituição e integração por partes se estendem às integrais definidas.
13.1 Áreas e somas de Riemann
Considere inicialmente uma função contínua e não negativa \(f\) em \([a,b]\), com \(a\lt b\). Queremos determinar a área da região delimitada por seu gráfico, pelo eixo \(x\) e pelas retas \(x=a\) e \(x=b\).
A região pode ser aproximada por uma coleção de retângulos, como na Figura 13.1. Ao refinar a divisão do intervalo, diminuem-se as larguras dos retângulos, e suas áreas fornecem aproximações sucessivas da área procurada. O limite dessas somas dará a definição precisa.
Figura13.1Ao refinar a partição, a soma das áreas dos retângulos se aproxima da área sob o gráfico.
Considere a região abaixo do gráfico de \(y=x^2\) em \([0,1]\), apresentada na Figura 13.2. Como \(x^2\geq 0\) nesse intervalo, sua área geométrica coincide com a acumulação com sinal que, mais adiante, chamaremos de integral de \(x^2\) entre \(0\) e \(1\) e denotaremos por \(\displaystyle \int _0^1x^2\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Figura13.2Região sob \(f(x)=x^2\) em \([0,1]\), cuja área será aproximada por somas de Riemann.
Primeiro faremos aproximações. Dividimos \([0,1]\) em quatro subintervalos de comprimento \(1/4\): \([0,1/4]\), \([1/4,1/2]\), \([1/2,3/4]\) e \([3/4,1]\). Essa divisão é uma partição do intervalo. Em cada subintervalo, desenharemos um retângulo.
Figura13.3Partição do intervalo \([0,1]\) em quatro subintervalos iguais.
Três escolhas são usuais para determinar a altura de cada retângulo: o extremo esquerdo, o extremo direito e o ponto médio do subintervalo.
Extremo esquerdo. A altura é o valor da função no extremo esquerdo de cada subintervalo.
Extremo direito. A altura é o valor da função no extremo direito de cada subintervalo.
Ponto médio. A altura é o valor da função no ponto médio de cada subintervalo.
Figura13.4Aproximações pela esquerda, pela direita e pelo ponto médio. Os pontos sobre a curva identificam as amostras que determinam as alturas.
Exemplo 13.1
Aproxime o valor de \(\displaystyle \int _0^1 x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\) utilizando o extremo esquerdo, o extremo direito e o ponto médio, com 4 subintervalos de mesmo tamanho.
Solução
Aproximação usando o extremo esquerdo. Dividiremos o intervalo \([0,1]\) em \(4\) subintervalos. Na Figura 13.5, os pontos sobre a curva indicam os extremos esquerdos usados como amostras; as guias verticais mostram as alturas correspondentes. Figura13.5Aproximando \(\displaystyle \int _0^1 x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\) usando o extremo esquerdo. A seta vertical destaca uma altura e a chave horizontal destaca a base \(\Delta x\).Observe que no primeiro subintervalo, \([0,1/4]\), o retângulo tem altura \(f(0)=0\). Desta forma somando as áreas dos retângulos (base \(\times \) altura) temos:
Aproximação usando o extremo direito.Figura13.6Aproximando \(\displaystyle \int _0^1 x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\) usando o extremo direito. Cada altura é determinada pelo ponto marcado na extremidade direita.Somando a área dos retângulos (altura\(\times \) bases) temos:
Aproximação usando o ponto médio. A Figura 13.7 mostra a aproximação de \(f\) usando o ponto médio. Figura13.7Aproximando \(\displaystyle \int _0^1 x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\) usando o ponto médio. Cada guia passa pelo centro da base do respectivo retângulo.Temos a aproximação de \(\displaystyle \int _0^1 x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\) como:
Como \(x^2\) é crescente em \([0,1]\), os extremos esquerdos produzem retângulos abaixo do gráfico e, portanto, subestimam a integral; os extremos direitos a superestimam. Neste exemplo, a soma dos pontos médios é a mais precisa das três: \(21/64\) está mais próximo do valor exato \(1/3\) do que \(14/64\) e \(30/64\).
Exercício 13.1
Para \(f(x)=x\) em \([0,2]\), use quatro subintervalos iguais e calcule as somas pelos extremos esquerdos, pelos extremos direitos e pelos pontos médios. Compare-as com a integral exata. Ver solução
Como \(\Delta x=1/2\), obtemos \(L_4=3/2\), \(R_4=5/2\) e \(M_4=2\). Como \(\int _0^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=2\), a soma de pontos médios é exata; a soma esquerda subestima e a direita superestima.
Exercício 13.2
Se \(f\) é crescente em \([a,b]\), qual das somas com uma mesma partição, esquerda ou direita, fornece a estimativa menor? Ver solução
A soma esquerda é menor ou igual à soma direita, pois em cada subintervalo \(f(x_{i-1})\leq f(x_i)\).
Exercício 13.3
Uma tabela fornece a potência de uma bomba a cada \(2\) s:
Os resultados são próximos. O integrando \(e^{-x^2}\) não possui primitiva elementar, por isso são usados métodos numéricos.
Observação 13.2
Dada uma partição de \([a,b]\), o \(i\)-ésimo subintervalo é \([x_{i-1},x_i]\). As três escolhas anteriores correspondem às seguintes marcas \(x_i^*\):
extremo esquerdo: \(x_i^*=x_{i-1}\), com altura \(f(x_{i-1})\);
extremo direito: \(x_i^*=x_i\), com altura \(f(x_i)\);
ponto médio: \(x_i^*=\dfrac {x_{i-1}+x_i}{2}\), com altura \(\displaystyle f\left(\dfrac {x_{i-1}+x_i}{2}\right)\).
Mais geralmente, podemos escolher qualquer marca \(x_i^*\in [x_{i-1},x_i]\). Se \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\), a expressão
\[ \sum _{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x_i \]
é uma soma de Riemann de \(f\) em \([a,b]\).
Nos próximos cálculos, manteremos uma escolha simples de marcas, mas deixaremos o número de subintervalos variar. Isso permitirá observar o limite das aproximações antes de formular a definição geral.
Exemplo 13.3
Calcule \(\displaystyle \int _0^1 x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\) aproximando a área utilizando o extremo direito com \(n\) subintervalos igualmente espaçados.
Solução
Sabemos que \(\Delta x = \dfrac {1-0}{n} = 1/n\). Também sabemos que \(x_{i-1}=(i-1)/n\). O extremo direito é \(x_{i}= i/n\). Assim, a soma será
Encontramos uma fórmula para aproximar a integral definida utilizando \(n\) subintervalos igualmente espaçados e o extremo direito. Com 10 subintervalos, temos uma aproximação de \(0{,}385\). Com \( n = 1000 \), obtemos uma aproximação de \(0{,}3338\).
Exemplo 13.4
Aproxime \(\displaystyle \int _{-1}^5 x^3\mathop{}\! \mathrm{d} x\) usando o extremo direito e \(n\) subintervalos igualmente espaçados; em seguida, faça \(n\to \infty \) para encontrar o valor exato da integral, isto é, a área com sinal.
Neste caso \(\Delta x = \dfrac {5-(-1)}{n} = 6/n\). Também temos que \(x_i = (-1) + i\Delta x\); A soma correspondente ao extremo direito é:
Mais uma vez, encontramos uma fórmula sucinta para aproximar a integral definida utilizando \(n\) subintervalos igualmente espaçados e o extremo direito. Com 10 subintervalos, temos uma aproximação de \(195{,}96\). Com \( n = 100 \), obtemos uma aproximação de \(159{,}802\). Figura13.8Aproximando \(\displaystyle \int _{-1}^5 x^3\mathop{}\! \mathrm{d} x\) usando o extremo direito e 10 subintervalos igualmente espaçados.Podemos agora calcular o valor exato utilizando o limite
Os exemplos anteriores usaram partições uniformes e marcas escolhidas de uma maneira particular. Uma definição não pode depender dessas conveniências: ela deve produzir o mesmo número para subintervalos de comprimentos diferentes e para qualquer escolha de marcas, desde que toda a partição se torne suficientemente fina. Seja \([a,b]\subset \mathbb {R}\) um intervalo fechado e limitado, com \(a\lt b\). Dizemos que
\[ P : \ a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n = b \qquad n\in \mathbb {N}, \]
é uma partição ou divisão de \([a,b]\). Neste caso, escrevemos \(P=\{ x_i\} _{i=0}^n\), com \(n\geq 1\). A norma ou malha da partição é o maior comprimento de seus subintervalos:
\[ |P|=\max _{1\leq i\leq n}(x_i-x_{i-1}). \]
Assim, \(|P|\to 0\) exige que todos os subintervalos se tornem pequenos, e não apenas que seu número aumente.
Figura13.9A partição \(P\) divide \([a,b]\) nos subintervalos \([x_{i-1},x_i]\).
Denotaremos por \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\) o comprimento do \(i\)-ésimo subintervalo e escolheremos uma marca \(x_i^*\in [x_{i-1},x_i]\) em cada um deles. O conjunto das marcas será denotado por \(C=\{ x_i^*\} _{i=1}^n\); o par \((P,C)\) é chamado de partição marcada.
Figura13.10Em cada subintervalo, a marca \(x_i^*\) determina a altura \(f(x_i^*)\) do retângulo.
Para uma função limitada \(f:[a,b]\to \mathbb R\), a soma associada à partição marcada \((P,C)\) é
A integrabilidade exige uma convergência uniforme em relação a todas essas escolhas: quando a malha é pequena, toda soma de Riemann deve estar próxima do mesmo número \(A\). A formulação precisa é a seguinte.
Definição 13.1 (Integral de Riemann)
Uma função limitada \(f:[a,b]\to \mathbb R\), com \(a\lt b\), será dita integrável, se existir \(A\in \mathbb {R}\) tal que para todo \(\varepsilon \gt 0\), exista \(\delta \gt 0\) tal que
para toda partição de \([a,b]\) com \(\left\lvert P\right\rvert \lt \delta ,\) qualquer que seja a escolha das marcas \( x_i^{*} \in [x_{i-1}\, ,\, x_i]\). Neste caso, escrevemos
\[ A = \displaystyle \int ^b_a f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
que é denominada integral definida ou simplesmente integral de \(f\) em relação a \(x\) no intervalo \([a,b]\).
A integral é um número; a letra \(x\) em \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\) identifica apenas a variável de integração. Quando \(f\geq 0\), esse número coincide com a área sob o gráfico. Quando \(f\) muda de sinal, as contribuições abaixo do eixo \(x\) entram com sinal negativo, e a integral representa uma acumulação com sinal.
A definição estabelece o que significa ser integrável, mas ainda não garante que uma função dada tenha essa propriedade. O primeiro critério amplo de existência é o seguinte.
Teorema 13.5 (Funções Contínuas são Integráveis)
Seja \(f\) uma função contínua no intervalo fechado \([a,b]\); então, \(f\) é integrável em \([a,b]\).
Se \(f\) é limitada e contínua por partes no intervalo \([a,b]\), então \(f\) é integrável em \([a,b]\).
A demonstração será apresentada na próxima seção. Antes disso, calcularemos algumas integrais diretamente pela definição. Como as funções consideradas são contínuas, o teorema garante sua integrabilidade; podemos, portanto, escolher partições e marcas que simplifiquem as contas.
Exemplo 13.6
Mostre que \(\displaystyle \int _a^bx \mathop{}\! \mathrm{d} x=\dfrac {1}{2}(b^2-a^2)\).
Solução
Subdividimos o intervalo \([a,b]\) em \(n\) subintervalos de tamanho
Mostre que \(\displaystyle \int _a^b e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x=e^b-e^a\).
Solução
Subdividimos o intervalo \([a,b]\) em \(n\) subintervalos de tamanho
\[ \Delta x =\dfrac {b-a}{n} \]
Dessa forma, os pontos da partição são \(x_k=a+k\Delta x\). Agora, escolheremos \(x_k^*\) como o extremo direito do subintervalo, isto é, \(x_k^*=x_k\). Logo,
\begin{align*} \displaystyle \int _a^b e^x \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \lim \limits _{n\to \infty }\displaystyle \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x \\ & = \lim \limits _{n\to \infty }\displaystyle \sum _{k=1}^n e^{ a+k\Delta x } \Delta x \\ & =\lim \limits _{n\to \infty }e^a \Delta x \displaystyle \sum _{k=1}^n e^{k\Delta x} \\ \text{Usando a fórmula da soma da P.G.} & =\lim \limits _{n\to \infty }e^a \Delta x \frac{e^{\Delta x} \left((e^{\Delta x})^n-1\right)}{e^{\Delta x}-1} \\ & =\lim \limits _{n\to \infty }e^a e^{\Delta x}\Delta x\frac{e^{b-a}-1}{e^{\Delta x}-1} \\ \text{Quando $n\to \infty $ temos que $\Delta x \to 0$} & = \lim _{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x}(e^b-e^a)}{(e^{\Delta x}-1)/\Delta x} \\ \text{Como $(e^{\Delta x}-1)/\Delta x\to 1$ quando $\Delta x \to 0$ } & = e^b-e^a \end{align*}
Exercício 13.5
Para \(f(x)=x^2\) em \([0,1]\), considere a partição \(P=\{ 0,1/4,1\} \) e as marcas \(x_1^*=1/8\) e \(x_2^*=1/2\). Calcule a soma de Riemann \(R_{f,P,C}\) e a malha \(|P|\). Ver solução
Como a soma já é independente da partição e das marcas, \(\int _a^b c\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=c(b-a)\).
Exercício 13.7
Para \(f(x)=x\) em \([0,1]\), use a partição uniforme e os extremos direitos para escrever a soma com \(n\) subintervalos e calcular seu limite. Ver solução
Temos \(\Delta x=1/n\) e \(x_i^*=i/n\). Logo,
\[ R_n=\frac1n\sum _{i=1}^n\frac in =\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}\longrightarrow \frac12. \]
Exercício 13.8
Dê uma sequência de partições de \([0,1]\) cujo número de subintervalos tenda ao infinito, mas cuja malha não tenda a zero. Explique por que a definição usa \(|P|\to 0\), e não apenas \(n\to \infty \). Ver solução
Mantenha \([0,1/2]\) como um único subintervalo e divida \([1/2,1]\) em \(n\) partes iguais. O número de subintervalos tende ao infinito, mas a malha de toda partição é \(1/2\). Assim, aumentar apenas o número de partes não garante que todos os subintervalos se tornem pequenos.
13.3 \(\star \) Funções Contínuas são Integráveis
A definição anterior contém duas exigências simultâneas: controlar partições diferentes e controlar todas as marcas em cada partição. As somas inferiores e superiores resolvem a segunda dificuldade, pois delimitam de uma só vez todas as somas de Riemann associadas à mesma partição. Restará então mostrar que a distância entre esses dois extremos tende a zero. Esta seção apresenta a justificativa rigorosa desse argumento. Numa primeira leitura, pode-se aceitar o Teorema 13.5 e seguir diretamente para a seção de propriedades da integral.
Definição 13.2 (Soma Superior e Inferior)
Seja \(I_i=[x_{i-1},x_i]\). Para uma função limitada \(f:[a,b]\to \mathbb R\), defina
Como \(m_i\leq f(x_i^*)\leq M_i\) em cada subintervalo, toda escolha de marcas satisfaz
\[ I(f,P)\leq R_{f,P,C}\leq S(f,P). \]
A diferença \(S(f,P)-I(f,P)\) mede, portanto, a incerteza máxima causada pela escolha das marcas nessa partição.
Figura13.11As somas superior \(S(f,P)\) e inferior \(I(f,P)\) limitam a área sob uma função contínua e positiva. Se uma partição \(P'\) refina \(P\), cada ínfimo pode apenas aumentar e cada supremo pode apenas diminuir quando subdividimos um intervalo. Portanto,
\[ I(f,P)\leq I(f,P')\leq S(f,P')\leq S(f,P). \]
Para duas partições quaisquer \(P,Q\), a união de seus pontos é um refinamento comum, de modo que \(I(f,P)\leq S(f,Q)\). Como \(f\) é limitada, o número
\[ A=\sup \{ I(f,P):P\text{ é partição de }[a,b]\} \]
é finito e satisfaz \(I(f,Q)\leq A\leq S(f,Q)\) para toda partição \(Q\). Assim, se a diferença \(S(f,Q)-I(f,Q)\) se tornar arbitrariamente pequena, as duas somas serão forçadas a convergir para esse mesmo número \(A\).
Definição 13.3 (Integral de Darboux)
Considere uma função limitada \(f:[a,b]\to \mathbb R\). Se existe \(A\in \mathbb R\) tal que
dizemos que a integral de Darboux existe e vale \(A\). Os limites referem-se a todas as partições cuja malha tende a zero. Pelo argumento dos refinamentos, basta que \(S(f,P)-I(f,P)\to 0\): ambas as somas ficam então arbitrariamente próximas do número \(A\) definido acima.
Teorema 13.10
A integral de Riemann existe se e somente se a integral de Darboux existe.
Demonstração▼
Para qualquer partição \(P\) e qualquer conjunto de marcas \(C\),
\[ I(f,P)\leq R_{f,P,C}\leq S(f,P). \]
Se as somas de Darboux convergem para \(A\) quando \(|P|\to 0\), o confronto mostra que todas as somas de Riemann também convergem para \(A\), independentemente das marcas.
Reciprocamente, suponha que a integral de Riemann seja \(A\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(\delta \gt 0\) tal que toda soma de Riemann de malha menor que \(\delta \) difira de \(A\) por menos que \(\varepsilon /2\). Tome uma partição qualquer \(P\) com \(|P|\lt \delta \). Pela definição de supremo e ínfimo, em cada \([x_{i-1},x_i]\) podemos escolher \(u_i,v_i\) tais que
Como \(I\leq R\leq S\) e qualquer uma dessas somas de Riemann também está a menos de \(\varepsilon /2\) de \(A\), ambas as somas de Darboux estão a menos de \(\varepsilon \) de \(A\). Isso prova a convergência exigida.
Teorema 13.11 (Funções Contínuas são Integráveis)
Seja \(f\) uma função contínua no intervalo fechado \([a,b]\); então, existe a integral de Riemann de \(f\).
Demonstração▼
Dado \(\varepsilon \gt 0\), a continuidade uniforme de \(f\) em \([a,b]\) fornece \(\delta \gt 0\) tal que
Considere uma partição \(P=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \) com \(|P|\lt \delta \). Em cada subintervalo \([x_{k-1},x_k]\), o Teorema de Weierstrass garante pontos \(u_k\) e \(v_k\) nos quais \(f\) atinge, respectivamente, o máximo e o mínimo. Como \(|u_k-v_k|\leq x_k-x_{k-1}\lt \delta \), temos
A diferença entre as somas superior e inferior tende, assim, a zero quando \(|P|\to 0\). Pela equivalência entre as integrais de Darboux e de Riemann, \(f\) é integrável.
Corolário 13.12 (Funções contínuas por partes são integráveis)
Se \(f\) é limitada e contínua por partes em \([a,b]\), então \(f\) é Riemann-integrável em \([a,b]\).
Demonstração▼
Seja \(D\) o conjunto finito formado pelos pontos de divisão dos trechos e pelos extremos \(a,b\), e escreva \(r=|D|\). Pelos limites laterais finitos, a restrição de \(f\) ao interior de cada trecho admite uma extensão contínua ao fecho. Cada uma dessas extensões é uniformemente contínua. Escolha \(M\) com \(|f|\leq M\); se \(M=0\), nada há a provar.
Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha uma malha \(\delta \) tão pequena que, nos subintervalos que não tocam \(D\), a oscilação seja menor que \(\varepsilon /(2(b-a))\), e que \(4Mr\delta \lt \varepsilon /2\). Os subintervalos de uma partição com \(|P|\lt \delta \) que tocam \(D\) têm comprimento total no máximo \(2r\delta \). Sua contribuição para \(S-I\) é no máximo \(4Mr\delta \lt \varepsilon /2\); a contribuição dos demais é menor que \(\varepsilon /2\). Portanto, \(S-I\lt \varepsilon \) para toda partição suficientemente fina. A equivalência com Riemann prova a integrabilidade anunciada no Teorema 13.5.
13.4 Propriedades da Integral
A integral foi construída a partir de somas, e suas propriedades refletem essa origem. Elas serão organizadas em três grupos: operações algébricas, comparação de funções e decomposição do intervalo. Antes disso, estenderemos a notação para incluir intervalos de comprimento zero e limites de integração invertidos.
Definição 13.4
Definimos \(\int _a^a f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=0\). Para \(a\lt b\) e \(f\) integrável em \([a,b]\), definimos
A linearidade permite integrar combinações lineares termo a termo. O produto de funções integráveis também é integrável, embora não exista uma fórmula que escreva sua integral apenas em termos das integrais dos fatores.
Proposição 13.13
Sejam \(f,g:[a,b]\to \mathbb {R}\) funções integráveis. Então a integral é linear, isto é,
para todo \(\lambda \in \mathbb {R}\), a função \(\lambda f\) é integrável e
Portanto, a oscilação do produto é no máximo \(M_f\) vezes a oscilação de \(g\) mais \(M_g\) vezes a de \(f\). Multiplicando pelos comprimentos e somando,
O lado direito tende a zero quando \(|P|\to 0\). A equivalência entre as integrais de Darboux e Riemann dá o resultado.
Comparação e estimativas
Como os comprimentos \(\Delta x_i\) são não negativos, desigualdades entre funções passam às somas de Riemann e, depois, às integrais. Essa observação produz critérios simples para sinal, comparação e estimativa.
Proposição 13.15
Sejam \(f,g:[a,b]\to \mathbb R\) integráveis, com \(a\lt b\). A integral preserva a não negatividade, isto é, se \(f(x) \geq 0\), para todo \(x\in [a,b]\), então \(\displaystyle \int ^b_a f(x)\ \mathop{}\! \mathrm{d} x \geq 0 \). Em particular, se \(g(x)\leq f(x)\) para todo \(x\in [a,b]\), então
\[ \displaystyle \int ^b_a m \mathop{}\! \mathrm{d} x \leq \displaystyle \int ^b_a f(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x \leq \displaystyle \int ^b_a M \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
Dividir o intervalo de integração não altera a acumulação total: apenas separa a mesma soma em duas parcelas. Essa propriedade será indispensável quando o integrando mudar de sinal ou quando um extremo de integração passar a variar.
Proposição 13.17
A integral é aditiva, isto é, se existirem as integrais \(\displaystyle \int ^c_a f(x)\ \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(\displaystyle \int ^b_c f(x)\ \mathop{}\! \mathrm{d} x\) , com \(c\in [a,b]\), então existirá a integral \(\displaystyle \int ^b_a f(x)\ \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e
Isto quer dizer que basta integrar \(f\) nos dois subintervalos contíguos para obter a integral em \([a,b]\). Em particular, quando \(c=a\), teremos \(\displaystyle \int ^a_a f(x)\ \mathop{}\! \mathrm{d} x=0\).
Demonstração▼
Se \(c=a\) ou \(c=b\), a igualdade segue da definição da integral em um intervalo de comprimento zero. Suponha \(a\lt c\lt b\). Para partições que contêm \(c\), a soma de Riemann em \([a,b]\) é a soma das duas somas de Riemann nos subintervalos. Quando a malha tende a zero, ela converge para a soma das integrais dadas.
Para uma partição que não contém \(c\), acrescente esse ponto. Apenas o subintervalo que contém \(c\) é dividido. Se \(|f|\leq M\) em \([a,b]\), a diferença entre a contribuição antiga e as duas novas é no máximo \(2M|P|\), qualquer que seja a escolha das marcas. Essa diferença tende a zero; portanto, todas as somas têm o mesmo limite, provando a integrabilidade e a igualdade.
Reciprocamente, uma função integrável em \([a,b]\) é integrável em cada subintervalo. Para ver isso, estenda uma partição fina do subintervalo a uma partição igualmente fina de \([a,b]\): a soma das oscilações, multiplicadas pelos comprimentos, no subintervalo é no máximo a soma correspondente no intervalo inteiro, que tende a zero. Esse fato permite usar livremente integrais com extremo variável.
Sabendo que \(\int _0^2 f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=3\) e \(\int _2^5 f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=-1\), calcule \(\int _0^5 f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Ver solução
Pela aditividade, o valor é \(3+(-1)=2\).
Exercício 13.10
Seja \(f\) integrável em \([1,4]\), com \(2\leq f(x)\leq 5\) para todo \(x\in [1,4]\). Dê limites inferior e superior para \(\int _1^4f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Ver solução
Como o intervalo tem comprimento \(3\), temos \(6\leq \int _1^4f(x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\leq 15\).
Exercício 13.11
Se \(\int _a^b f=-2\) e \(\int _a^b g=5\), calcule \(\int _a^b(3f+2g)\). Ver solução
Pela linearidade, \(3(-2)+2(5)=4\).
Valor Médio
A integral também estende a ideia de média a uma função em um intervalo. Para obter a fórmula, começamos com médias de um número finito de valores e reconhecemos uma soma de Riemann.
Para uma função \(f\) em \([a,b]\), dividimos o intervalo em \(n\) partes iguais, de comprimento \(\Delta x=(b-a)/n\), e escolhemos uma marca \(x_i^*\) em cada parte. A média dos valores amostrados pode então ser escrita como
Se \(f\) é constante, qualquer \(c\in (a,b)\) satisfaz a conclusão. Se não é constante, as duas desigualdades são estritas: as funções contínuas \(f-m_0\) e \(M_0-f\) são não negativas e positivas em algum intervalo de comprimento positivo. Assim, \(f_{\mathrm m}\) está estritamente entre \(m_0\) e \(M_0\). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe \(c\in (a,b)\) tal que \(f(c)=f_{\mathrm m}\), o que equivale à fórmula do enunciado.
Exercício 13.12
Encontre o valor médio de \(f(x)=3x^2\) em \([0,2]\) e um ponto \(c\in (0,2)\) no qual \(f(c)\) assuma esse valor. Ver solução
A vazão de entrada em um reservatório é \(q(t)=20+4t\) litros por minuto, para \(0\leq t\leq 5\). Determine a vazão média nesse intervalo e um instante em que a vazão instantânea coincide com ela. Ver solução
As simetrias de um gráfico podem simplificar o cálculo de uma integral. Em intervalos simétricos em relação à origem, as contribuições de uma função par se repetem, enquanto as de uma função ímpar se compensam.
Teorema 13.21
Suponha que \(a\gt 0\) e que \(f\) seja contínua em \([-a,a]\). Então
Se \(f\) é par então \(\displaystyle \int _{-a}^a f(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x = 2\displaystyle \int _{0}^a f(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x \).
Se \(f\) é ímpar então \(\displaystyle \int _{-a}^a f(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x = 0 \)
Figura13.14Em \([-a,a]\), as áreas de uma função par se repetem, enquanto as contribuições de uma função ímpar se cancelam.
Até aqui, a integral associou um número a uma função e a um intervalo fixo. Se o extremo superior puder variar, a acumulação passará a definir uma nova função:
\[ g(x)=\int _a^x f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Quando \(f\geq 0\), \(g(x)\) é a área sob o gráfico entre \(a\) e \(x\); para uma função de sinal variável, é a acumulação com sinal. O Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo identifica a taxa de variação dessa acumulação.
Figura13.15A função acumulada \(g(x)=\int _a^x f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\) mede a área sob \(f\) entre \(a\) e o extremo variável \(x\).
Antes da demonstração, consideremos a ideia geométrica. Para \(h\gt 0\), a aditividade da integral mostra que \(g(x+h)-g(x)\) é a acumulação de \(f\) no pequeno intervalo \([x,x+h]\).
Figura13.16O acréscimo \(g(x+h)-g(x)\) é a área sob \(f\) no pequeno intervalo \([x,x+h]\). Se \(h\) é pequeno e \(f\) é contínua, os valores de \(f(t)\) nesse intervalo estão próximos de \(f(x)\). Por isso, a acumulação é aproximadamente a área do retângulo de altura \(f(x)\) e largura \(h\):
O teorema transforma essa aproximação local em uma igualdade exata no limite.
Teorema 13.23 (Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo)
Seja \(f\) uma função contínua em \([a,b]\); então, a função \(g\) definida por
\[ \displaystyle g(x) \coloneqq \displaystyle \int _a^x f(t)\ \mathop{}\! \mathrm{d} t, \qquad a \leq x \leq b \]
é contínua em \([a,b]\), diferenciável em \((a,b)\) e satisfaz \(g'(x)=f(x)\).
Demonstração▼
Como \(f\) é contínua no intervalo fechado \([a,b]\), existe \(M\geq 0\) tal que \(|f(t)|\leq M\) para todo \(t\in [a,b]\). Pela aditividade e pela comparação de integrais,
Ache a derivada da função \( \displaystyle g(x) = \displaystyle \int _0^x \sqrt{1+t^2} \ \mathop{}\! \mathrm{d} t.\)
Figura13.17Área acumulada associada a \(g(x)=\int _0^x\sqrt{1+t^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\).
Solução
Como \( f(t) = \sqrt{1+t^2} \) é contínua, pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo \( g'(x) = \sqrt{1+x^2}.\)
Exemplo 13.25
Calcule a derivada de \(g(x)=\int _1^{x^4}\sec t\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\) no domínio \(|x|\lt (\pi /2)^{1/4}\).
Figura13.18Área acumulada associada a \(g(x)=\int _1^{x^4}\sec t\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\).
Solução
Utilizamos o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Seja \( u = x^4, \) então
\[ g'(x) = \frac{d }{d x} \displaystyle \int _1^{x^4} \sec t \ \mathop{}\! \mathrm{d} t \stackrel{RC}{=} \dfrac {d}{\mathop{}\! \mathrm{d} u}\displaystyle \int _1^{u}\sec t \mathop{}\! \mathrm{d} t\frac{d u}{d x} = \sec u \frac{d u}{d x} = \sec (x^4) 4x^3. \]
Exemplo 13.26 (Vazão e volume acumulado)
Um reservatório contém inicialmente \(500\, \mathrm L\). Durante os primeiros dez minutos, a água entra com vazão
\[ q(t)=30+4t\qquad (0\leq t\leq 10), \]
em litros por minuto. Determine o volume \(Q(t)\) no reservatório, verifique sua relação com a vazão e calcule o volume após dez minutos.
Solução
O volume inicial deve ser somado à quantidade que entrou até o instante \(t\):
\[ Q(t)=500+\int _0^tq(s)\, \mathop{}\! \mathrm{d} s =500+\int _0^t(30+4s)\, \mathop{}\! \mathrm{d} s =500+30t+2t^2. \]
Pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo,
\[ Q'(t)=q(t). \]
Assim, a vazão é a taxa instantânea de variação do volume acumulado. Em particular, \(Q(10)=1000\, \mathrm L\).
Exercício 13.14
Seja \(G(x)=\int _2^x(t^3+1)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\). Determine \(G'(x)\). Ver solução
Pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, \(G'(x)=x^3+1\).
Exercício 13.15
Seja \(H(x)=\int _1^{x^2}\sqrt{1+t^4}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\). Determine \(H'(x)\). Ver solução
Pelo Teorema Fundamental e pela regra da cadeia,
\[ H'(x)=2x\sqrt{1+x^8}. \]
Exercício 13.16
Seja \(K(x)=\int _x^3 e^{-t^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\). Determine \(K'(x)\) e explique o sinal obtido. Ver solução
\[ K'(x)=-e^{-x^2}. \]
O sinal negativo aparece porque aumentar o extremo inferior reduz a acumulação entre \(x\) e \(3\).
13.5.1 Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
O primeiro teorema parte da integral e produz uma antiderivada. O segundo percorre o caminho inverso: parte de uma antiderivada conhecida e a usa para calcular a integral definida. Assim, um limite de somas de Riemann, muitas vezes trabalhoso, reduz-se à diferença entre dois valores de uma função.
Teorema 13.27 (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo)
Suponha que \(f\) seja contínua em \([a,b]\); então,
onde \(F\) é contínua em \([a,b]\) e satisfaz \(F'=f\) em \((a,b)\), isto é, é uma antiderivada com extensão contínua aos extremos.
Demonstração▼
Seja \(g(x)=\int _a^x f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\). Pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, \(g'=f\) em \((a,b)\); logo, \(F\) e \(g\) são duas antiderivadas de \(f\). Pelo Corolário 11.18, existe uma constante \(k\) tal que \(F(x)-g(x)=k\) em \((a,b)\). Como ambas as funções são contínuas em \([a,b]\), a igualdade estende-se aos extremos. Em \(x=a\), temos \(g(a)=0\) e, portanto, \(k=F(a)\). Em \(x=b\),
\[ F(b)-F(a)=g(b)=\int _a^b f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
O teorema supõe que o integrando é contínuo. A fórmula de Newton–Leibniz continua válida em uma situação um pouco mais geral, útil quando conhecemos diretamente uma função e sabemos que sua derivada é integrável.
Corolário 13.28 (Newton–Leibniz para derivadas integráveis)
Se \(F\) é contínua em \([a,b]\), diferenciável em \((a,b)\) e \(F'\) é Riemann integrável, atribuindo-lhe valores quaisquer nos extremos, então
Para cada partição, o Teorema do Valor Médio fornece \(c_i\in (x_{i-1},x_i)\) com \(F(x_i)-F(x_{i-1})=F'(c_i)(x_i-x_{i-1})\). Somando, o lado esquerdo telescopa:
\[ F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^nF'(c_i)\Delta x_i. \]
Quando a malha tende a zero, a soma de Riemann converge para a integral de \(F'\), provando a fórmula sem exigir continuidade da derivada.
Notação 13.29
Se \(F\) é uma antiderivada de \(f\), utilizaremos a notação
\[ F(x)\bigg|^b_a\coloneqq F(b)-F(a). \]
Desse modo, o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo pode ser escrito como
O procedimento de cálculo tem, portanto, duas etapas: encontrar uma antiderivada do integrando e avaliá-la nos extremos, sempre na ordem “extremo superior menos extremo inferior”.
Exemplo 13.30
Calcule a integral de \(f(x)=x^2\) no intervalo \([1,2]\).
No item 1, a derivada bilateral vale para \(x\gt -1/2\); no extremo \(-1/2\), a derivada pela direita é \(0\). No item 2, \(x\gt 0\). No item 8, \(x\gt 0\); a função acumulada também está definida em \(0\), mas não possui derivada lateral finita ali. Nos itens 6 e 7, é essencial preservar o quadrado do cosseno; no item 7, a derivada do extremo inferior negativo produz o sinal positivo do segundo termo.
Exercício 13.18
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique por que elas não existem:
Não existe como integral de Riemann: o integrando é ilimitado em \(0\). Como integral imprópria, as partes em \([-5,0)\) e \((0,5]\) divergem para \(-\infty \) e \(+\infty \), respectivamente. Não se podem cancelar essas divergências; o valor principal simétrico \(0\) é um conceito diferente.
\(\frac{156}{7}\).
\(2\).
\(1\).
Não existe como integral de Riemann; a cossecante ao quadrado é ilimitada nos extremos. Como integral imprópria, diverge para \(+\infty \). A primitiva \(-\operatorname {cotg}\theta \) só pode ser avaliada por limites dentro de \((\pi ,2\pi )\). As integrais impróprias serão estudadas no capítulo correspondente.
\(- e + e^{2}\).
\(\frac{4}{\ln {\left(5 \right)}}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
13.5.2 Integração por substituição na integral definida
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo permite transportar para integrais definidas os métodos usados na busca de antiderivadas. Na substituição, há dois procedimentos equivalentes: encontrar uma primitiva e voltar à variável original antes de avaliar os extremos, ou mudar também os limites de integração e concluir o cálculo na nova variável. O exemplo a seguir ilustra o primeiro procedimento:
No segundo procedimento, os extremos são transformados juntamente com o integrando e o diferencial. Assim, nenhuma variável antiga deve permanecer depois da substituição. Regra da Substituição para Integrais Definidas. Se \(g\) tem derivada contínua em \([a,b]\) e \(f\) é contínua em um intervalo que contém a imagem de \(g\), então
\[ \displaystyle \int ^b_a f(g(x)) g'(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \int ^{g(b)}_{g(a)} f(u)\mathop{}\! \mathrm{d} u. \]
Demonstração▼
Seja \( F\) uma antiderivada de \( f .\) Então, \( F(g(x))\) é uma antiderivada de \( f(g(x)) g'(x) ,\) logo, pelo Segundo Teorema Fundamental do Cálculo (Teorema 13.27), temos
\[ \displaystyle \int _a^bf(g(x)) g'(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x =F(g(b))-F(g(a)). \]
Por outro lado, aplicando uma segunda vez o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo também temos
Determine: a \(\displaystyle \int _{-1}^{3}e^{-2x}\mathop{}\! \mathrm{d} x\); b \(\displaystyle \int _0^{\sqrt{2}} xe^{3x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Solução
a Tome \(u=-2x\). Então, \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-2\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Logo, \(\mathop{}\! \mathrm{d} x = -\mathop{}\! \mathrm{d} u/2\). Quando \(x=-1\), \(u=2\); quando \(x=3\), \(u=-6\). Logo, trocando o integrando, \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e os limites de integração, \(\displaystyle \int _{-1}^{3}e^{-2x}\mathop{}\! \mathrm{d} x= \displaystyle \int _2^{-6} e^u(-1/2)\, \mathop{}\! \mathrm{d} u= \left. -\dfrac {e^u}{2}\right\vert _2^{-6} =-\dfrac {e^{-6}}{2} - (-\dfrac {e^2}{2})= \dfrac {1}{2}(e^2 - e^{-6})\). Outro modo é primeiro encontrar a antiderivada: \(\displaystyle \int e^{-2x}\mathop{}\! \mathrm{d} x= \displaystyle \int e^u(-1/2)\, \mathop{}\! \mathrm{d} u= -\dfrac {e^u}{2}+C= -\dfrac {e^{-2x}}{2}+C\). Agora basta calcular \(\displaystyle \int _{-1}^{3}e^{-2x}\mathop{}\! \mathrm{d} x= \left. -\dfrac {e^{-2x}}{2}\right\vert _{-1}^{3}= \dfrac {1}{2}(e^2 - e^{-6})\). b Tome \(u=3x^2\). Então \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=6x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Logo, \(x\mathop{}\! \mathrm{d} x =\mathop{}\! \mathrm{d} u/6\). Quando \(x=0\), \(u=0\); quando \(x=\sqrt{2}\), \(u=6\). Logo, trocando o integrando, \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e os limites de integração, \(\displaystyle \int _0^{\sqrt{2}} xe^{3x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x= \displaystyle \int _0^{6} e^{u}\mathop{}\! \mathrm{d} u/6= \left. \dfrac {e^u}{6}\right\vert _0^{6} = \frac{e^6}{6} - \dfrac {1}{6}. \) Outro modo é primeiro encontrar a antiderivada: \(\displaystyle \int xe^{3x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x= \displaystyle \int e^{u}\mathop{}\! \mathrm{d} u/6= \dfrac {e^u}{6}+C= \dfrac {e^{3x^2}}{6}+C.\) Agora basta calcular \(\displaystyle \int _0^{\sqrt{2}} xe^{3x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x= \left. \dfrac {e^{3x^2}}{6}\right\vert _0^{\sqrt{2}}= \frac{e^6}{6} - \dfrac {1}{6}.\)
Exemplo 13.33
Calcule \( \displaystyle \displaystyle \int _{1/2}^1 \sqrt{2x-1}\mathop{}\! \mathrm{d} x \).
Fazendo \( u = 2x-1, \) temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u = 2 \mathop{}\! \mathrm{d} x \) ou \( \dfrac {1}{2}\mathop{}\! \mathrm{d} u= \mathop{}\! \mathrm{d} x \) Quando \( x =\dfrac {1}{2} ,\, u = 0 ;\) quando \( x = 1 ,\, u = 1.\) Assim,
Calcule as integrais. Use a substituição indicada nos cinco primeiros itens e escolha uma conveniente nos demais:
\(\displaystyle \int _0^\pi \cos (3x)\mathop{}\! \mathrm{d} x \quad u=3x\)
\(\displaystyle \int _0^1 x(4+x^2)^{10} \mathop{}\! \mathrm{d} x \quad u=4+x^2\)
\(\displaystyle \int _0^2 x^2\sqrt{x^3+1} \mathop{}\! \mathrm{d} x \quad u=x^3+1\)
\(\displaystyle \int _0^{\pi ^2/4} \dfrac {\operatorname {sen}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathop{}\! \mathrm{d} x \quad u=\sqrt{x}\), definindo o integrando em \(x=0\) por seu limite, igual a \(1\).
\(\displaystyle \int _{0}^{1} 2x(1-x^2)^4\ \mathop{}\! \mathrm{d} x \)
\(\displaystyle \int _{-2}^{-1} (x+1)e^{x^2+2x+1}\ \mathop{}\! \mathrm{d} x \)
\(\displaystyle \int _{-1}^{1} \frac{1}{1+x^2}\ \mathop{}\! \mathrm{d} x \)
\(\displaystyle \int _{2}^{4} \frac{1}{x^2-6x+10}\ \mathop{}\! \mathrm{d} x \)
\(\displaystyle \int _{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\ \mathop{}\! \mathrm{d} x \)
Ver solução
\(0\).
\(\frac{44633821}{22}\).
\(\frac{52}{9}\).
\(2\).
\(-1 + e\).
\(- \ln {\left(2 \right)}\).
\(\frac{352}{15}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{1}{5}\).
\(\frac{1}{2} - \frac{e}{2}\).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(\frac{\pi }{6}\).
Nos itens 1 a 5, as novas integrais são, respectivamente, \(\frac13\int _0^{3\pi }\cos u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\), \(\frac12\int _4^5u^{10}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\), \(\frac13\int _1^9\sqrt u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\), \(2\int _0^{\pi /2}\operatorname {sen}u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\) e \(\int _0^1e^u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\). No item 4, a extensão contínua no extremo foi explicitada no enunciado; a substituição inversa \(x=u^2\) também é regular em \(u=0\).
13.5.3 Integração por partes na integral definida
A integração por partes também se adapta ao intervalo de integração. Ao combiná-la com o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo, o termo que contém o produto das funções passa a ser avaliado nos extremos, e a integral restante conserva os limites correspondentes:
Proposição 13.34 (integração por partes)
Sejam \(f\) e \(g\) contínuas em \([a,b]\), diferenciáveis em \((a,b)\), com \(f'\) e \(g'\) Riemann-integráveis. Então
Seja \(h(x)=f(x)g(x)\). Pela regra da derivada do produto, \(h'(x)=f'(x)g(x) + f(x) g'(x)\). Como produtos de funções integráveis são integráveis, \(h'\) é integrável. Pelo Corolário 13.28, temos:
Determine: a \(\displaystyle \int _0^{\ln 2} e^x\, x\mathop{}\! \mathrm{d} x\); b \(\displaystyle \int _0^{\pi } x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Solução
a Tome \(u=x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v = e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Assim, \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v=e^x\). Logo, \(\displaystyle \int x e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x= x e^x - \displaystyle \int e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x= xe^x-e^x+C\). Agora utilizamos os limites de integração: \(\displaystyle \int _0^{\ln 2} e^x\, x\mathop{}\! \mathrm{d} x= \left. xe^x - e^x\right\vert _0^{\ln 2}=2\ln (2) -1\). Caso tivesse tomado \(u=e^x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=x\mathop{}\! \mathrm{d} x\), teríamos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v= x^2/2\). Assim, \(\displaystyle \int e^x\, x\mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {x^2e^x}{2} - \displaystyle \int \dfrac {x^2}{2} e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x\), uma integral ainda mais complicada! Reflita sobre isso…b Tome \(u=x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Assim \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v= \operatorname {sen}x\). Logo, \(\displaystyle \int x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x= x\operatorname {sen}x - \displaystyle \int \operatorname {sen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x= x\operatorname {sen}x+\cos x+C\). E assim \(\displaystyle \int _0^{\pi } x\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x= \left.\left(x\operatorname {sen}x+\cos x\right)\right|_0^{\pi }=-2\).
Exemplo 13.36
Calcule \( \displaystyle \displaystyle \int _1^e \dfrac { \ln x }{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x \).
Fazendo \( u = \ln x, \) temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u = \dfrac {1}{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x. \) Quando \( x =1 ,\, u = \ln 1 = 0 ;\) quando \( x = e ,\, u = \ln e = 1.\) Assim,
\[ \displaystyle \int _1^e \dfrac { \ln x }{x}\mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \int _0^1 u\mathop{}\! \mathrm{d} u = \dfrac {u^2}{2} \bigg|^1_0 = \dfrac {1}{2}. \]
No item 3, a fórmula exibida vale para \(m\neq 0\); se \(m=0\), a primitiva é \(x^3/3+C\). No item 4, \(x\gt -1/2\); nos itens 6 e 12, \(x\gt 0\). Nas integrais indefinidas, a constante é arbitrária.
13.6 Deslocamento e espaço percorrido
No movimento retilíneo, a integral da velocidade fornece a variação líquida da posição. Se a velocidade muda de sinal, essa variação não coincide com o espaço total percorrido; a distinção corresponde exatamente à diferença entre integrar \(v\) e integrar \(|v|\).
Consideremos uma partícula que se desloca sobre o eixo \(x\) com equação de posição \(x=x(t)\) e com velocidade \(v=v(t)\) contínua em \([a,b]\). Sabemos que \(\frac{d x}{d t}(t)=v(t)\), ou seja, \(x(t)\) é uma antiderivada de \(v(t)\). Portanto, pelo Segundo Teorema Fundamental do Cálculo (Teorema 13.27), temos
que é o deslocamento da partícula entre os instantes \(a\) e \(b\). Para calcular a distância percorrida, devemos ignorar o sinal da velocidade e somar as contribuições em módulo. Assim,
\begin{equation} \label{eq-j} \displaystyle \int ^b_a |v(t)|\mathop{}\! \mathrm{d} t \tag{13.2} \end{equation}
é a distância percorrida pela partícula entre os instantes \(a\) e \(b\). Quando \(v(t)\geq 0\) em todo o intervalo, não há movimento no sentido negativo. Nesse caso, deslocamento e distância percorrida coincidem e valem
\[ \int _a^b v(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Se a velocidade muda de sinal, seus zeros indicam onde o intervalo deve ser dividido para calcular a integral do módulo.
Exemplo 13.37
Uma partícula desloca-se sobre o eixo \(x\) com velocidade \(v(t)=2-t\).
Calcule o deslocamento entre os instantes \(t=1\) e \(t=3\).
Calcule o espaço percorrido entre os instantes 1 e 3.
\[ \text{Espaço percorrido }= \displaystyle \int _1^3 |2-t| \mathop{}\! \mathrm{d} t = \displaystyle \int _1^2(2-t)\mathop{}\! \mathrm{d} t - \displaystyle \int _2^3 (2-t)\mathop{}\! \mathrm{d} t = 1. \]
Interpretação: em \( [1,2) \) a velocidade é positiva, o que significa que neste intervalo a partícula avança no sentido positivo; em \( (2,3] \) a velocidade é negativa, o que significa que neste intervalo a partícula recua, de tal modo que em \( t = 3 \), ela volta a ocupar a mesma posição que ocupava no instante \( t =1.\)
Exercício 13.22
Uma partícula tem velocidade \(v(t)=t-1\) em \(0\leq t\leq 3\). Calcule o deslocamento e a distância percorrida. Ver solução
O deslocamento é \(\int _0^3(t-1)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t=3/2\). Como a velocidade muda de sinal em \(t=1\), a distância é
Esboce o gráfico de \(v\) e explique as três etapas do movimento.
Calcule o deslocamento e a distância percorrida entre \(t=0\) e \(t=7\).
Se \(s(0)=4\, \mathrm m\), determine \(s(7)\) e a velocidade média no intervalo.
Ver solução
O veículo acelera linearmente de \(0\) a \(6\, \mathrm{m/s}\) nos dois primeiros segundos, mantém essa velocidade até \(t=5\) e freia linearmente até parar em \(t=7\). A área sob o gráfico é
\[ \int _0^2 3t\, \mathop{}\! \mathrm{d} t+\int _2^5 6\, \mathop{}\! \mathrm{d} t+\int _5^7(21-3t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t =6+18+6=30\ \mathrm m. \]
Como \(v(t)\geq 0\), deslocamento e distância percorrida são ambos iguais a \(30\, \mathrm m\). Assim, \(s(7)=34\, \mathrm m\) e a velocidade média é \(30/7\, \mathrm{m/s}\).
Exemplo 13.38
Por que foguetes são construídos em estágios?
Até aqui, integramos a velocidade para recuperar a variação da posição. A mesma ideia pode ser aplicada um passo antes: integrando a aceleração, obtemos o ganho de velocidade.
Considere um foguete que expele gases com velocidade \(u\) em relação a si mesmo e consome combustível a uma taxa constante \(r\). Se \(m_0\) é a massa no início da queima, então \(m(t)=m_0-rt\). No modelo ideal, o empuxo tem módulo \(ru\) e a aceleração produzida pelo motor é
\[ a(t)=\frac{ru}{m_0-rt}. \]
Adote \(u=3{,}5\, \mathrm{km/s}\) e suponha que tanques, motor e demais componentes estruturais representem pelo menos \(10\% \) da massa inicial. Compare a capacidade de um foguete de estágio único com a de um foguete de dois estágios, cada um dos quais opera com razão entre massa inicial e massa final igual a \(4\). Para chegar a uma órbita terrestre baixa, considere necessário um ganho efetivo de velocidade de aproximadamente \(9{,}4\, \mathrm{km/s}\).
Um único estágio. Tanques e motores vazios continuam sendo acelerados durante toda a subida.
Dois estágios. A estrutura que já cumpriu sua função é abandonada, e o módulo superior prossegue com massa menor.
Solução
A aceleração não é constante. À medida que o combustível é consumido, a mesma força atua sobre uma massa cada vez menor. Se a queima termina no instante \(T\) e \(m_f=m_0-rT\) é a massa restante, então
Essa é a equação do foguete. A taxa de queima \(r\) desaparece do resultado: no modelo ideal, o ganho de velocidade depende da velocidade de exaustão e da razão entre as massas inicial e final.
Em um foguete de estágio único, mesmo fazendo a carga útil tender a zero,
Após a primeira queima, o tanque e o motor vazios são abandonados. O segundo estágio não precisa continuar acelerando essa massa, e os ganhos se somam:
Separar estágios não cria energia; apenas evita gastá-la acelerando uma estrutura que já cumpriu sua função. Se incluirmos a gravidade durante uma queima vertical, obtemos
o que torna a limitação do estágio único ainda mais severa.
Alcance do modelo. A impossibilidade demonstrada depende dos valores adotados para a velocidade de exaustão e a fração estrutural. As leis da Física não proíbem em sentido absoluto um veículo de estágio único, mas tornam esse projeto extremamente exigente com propulsão química e carga útil positiva.
13.7 \(\star \) As funções logarítmica e exponencial revisitadas
O Teorema Fundamental do Cálculo não serve apenas para avaliar integrais: ele permite definir novas funções por acumulação e obter imediatamente suas derivadas. Retomaremos por esse caminho o logaritmo natural e, a partir de sua inversa, a função exponencial.
Como \(t\mapsto 1/t\) é contínua em \((0,\infty )\), a integral entre \(1\) e qualquer ponto \(x\gt 0\) está bem definida. Isso motiva a definição seguinte.
Definição 13.6
A função logaritmo natural é uma função definida por
\[ \ln x \coloneqq \displaystyle \int _1^x \dfrac {1}{t} \ \mathop{}\! \mathrm{d} t, \qquad x \gt 0. \]
Figura13.19Para \(x\gt 0\), \(\ln x\) é a área com sinal sob \(1/t\) entre \(1\) e \(x\).
Proposição 13.39 (Propriedades do Logaritmo)
A função logaritmo é contínua e diferenciável em todo seu domínio e satisfaz:
\( \ln 1 = 0 ,\)
\(\ln ' x = \dfrac {1}{x} \) para todo \( x \gt 0,\)
\( \ln (ab) = \ln a + \ln b , \) para todo \( a,b \gt 0,\)
\( \ln \left( \dfrac {a}{b}\right) = \ln a - \ln b,\) para todo \( a,b \gt 0,\)
\( \ln (a^r) = r \ln a\) para todo \( a \gt 0\) e \( r \) racional.
Demonstração▼
O item \((a)\) segue diretamente da definição pois
\[ \ln (1)=\displaystyle \int _1^1 \frac1t\mathop{}\! \mathrm{d} t =0. \]
A diferenciabilidade de \(\ln x\), bem como o item \((b)\) são consequências do Teorema Fundamental do Cálculo I 13.23:
A continuidade da função logaritmo é consequência de sua diferenciabilidade. Para demonstrar o item \((c)\), seja \(f(x) = \ln (ax), \) onde \( a \) é uma constante positiva. Pela Regra da Cadeia, temos
\[ f'(x) = \dfrac {1}{ax} a = \dfrac {1}{x}. \]
Portanto, \(f(x) \) e \( \ln x \) têm a mesma derivada; então, pelo Corolário 11.18, diferem por uma constante:
\[ \ln (ax) = \ln x + C. \]
Fazendo \( x = 1 ,\) temos que \( \ln a = C. \) Assim,
\[ \ln (ax) = \ln x + \ln a, \]
e substituindo \( x = b,\) temos a propriedade \((c).\) O item \((c)\) também pode ser demonstrado do seguinte modo
\[ \ln \left( \dfrac {a}{b}\right) = \ln \left( a\dfrac {1}{b}\right) = \ln a + \ln \left( \dfrac {1}{b}\right) = \ln a - \ln b. \]
Para o item \((e)\), escreva \(r=m/n\), com \(m\in \mathbb Z\) e \(n\geq 1\). O item \((c)\), aplicado repetidamente, dá \(\ln (z^n)=n\ln z\); com \(z=a^{1/n}\), segue que \(\ln (a^{1/n})=\ln a/n\). Para \(m\gt 0\), uma nova aplicação do item \((c)\) fornece \(\ln (a^{m/n})=(m/n)\ln a\). O caso \(m=0\) segue de \(a^0=1\), e o caso \(m\lt 0\), do item \((d)\) e da identidade \(a^{-q}=1/a^q\).
Exemplo 13.40
Calcule \(\displaystyle \int _2^6\frac{1}{t}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\) usando a definição integral do logaritmo e suas propriedades.
A conta mostra geometricamente a propriedade de quociente do logaritmo: a acumulação de \(1/t\) entre \(2\) e \(6\) depende apenas da razão \(6/2\).
13.7.1 Gráfico do logaritmo
Da definição integral obtivemos propriedades algébricas do logaritmo. Sua derivada permitirá recuperar também as características do gráfico, usando os critérios de crescimento e concavidade já estudados.
Proposição 13.41
A função \(\ln x \) é crescente e seu gráfico é côncavo para baixo em todos os pontos.
Demonstração▼
Como a derivada de \( \ln x \) é sempre positiva, o logaritmo é crescente e como a derivada segunda é sempre negativa, \(\ln ''(x) = - 1/x^2,\) o logaritmo é côncavo para baixo em \((0, + \infty ).\)
Observe que, em particular, esta proposição implica que \( \ln x \) é injetiva.
Proposição 13.42
\(\displaystyle \lim _{x\to \infty } \ln x =\infty \)
Demonstração▼
Observe que \(\ln 2 \gt 0 \) e para \(n\in \mathbb {N}\), \(\ln 2^n =n\ln 2\). Como \(\ln x\) é crescente, quando \(x\gt 2^n\), \(\ln (x)\gt n\ln 2\). Como \(\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\ln 2=\infty \), então \(\displaystyle \lim _{x\to \infty } \ln x =\infty \).
Proposição 13.43
\(\lim _{x\to 0^+} \ln x =-\infty \)
Demonstração▼
Se \(0\lt x\lt 1 \), então \((1/x)\gt 1\) e \(\lim _{x\to 0^+} (1/x) = \infty \). Seja \(y=1/x\); então \(\lim _{x\to 0^+} \ln x= \lim _{y\to \infty }\ln (1/y) =\lim _{y\to \infty }\ln (1)-\ln (y)=\lim _{y\to \infty }-\ln (y) =-\infty \).
Logo, o domínio de \(\ln \) é \((0, \infty ) \) e a imagem é \(\mathbb R\): pela continuidade e pelos limites nas duas extremidades, todos os valores reais são atingidos. O gráfico aparece na Figura 13.20.
Figura13.20O logaritmo natural é crescente, côncavo para baixo e tem assíntota vertical em \(x=0\). Como \( \ln 1 = 0 \), \( \displaystyle \lim _{x \to +\infty } \ln x = + \infty \) e \( \ln x \) é uma função contínua crescente, pelo Teorema do Valor Intermediário 7.36, existe um número para o qual \( \ln x \) assume o valor 1. Esse número é denotado por \( e.\)
Definição 13.7
Denotamos por \( e \) o número tal que \( \ln e = 1.\)
Esta definição é consistente com a definição anterior de \(e\) por um limite. Primeiro, a identidade \(\ln (a^r)=r\ln a\) estende-se de expoentes racionais a reais: tome racionais \(r_j\to r\) e use a continuidade de \(r\mapsto a^r\), já estudada, e a de \(\ln \).
Para \(f(x)=\ln x\), temos \(f'(1)=1\). Pela definição de derivada,
A função \(\ln :(0,\infty )\to \mathbb R\) é contínua, estritamente crescente e sobrejetora; sua inversa é, portanto, contínua. Aplicando essa inversa ao limite anterior,
Assim, a existência do limite decorre da continuidade da inversa, sem pressupor a existência do limite da potência. A mudança \(h=1/x\) recupera a definição com \(x\to +\infty \).
13.7.2 Função exponencial
A análise anterior mostrou que \(\ln :(0,\infty )\to \mathbb R\) é bijetora. Podemos, portanto, recuperar a função exponencial de modo intrínseco, como a inversa do logaritmo definido pela integral.
Definição 13.8
A função inversa de \(\ln (x) \) é denominada função exponencial natural e denotada por \(y=\exp (x)\).
O domínio da função \(\exp (x) \) é o conjunto dos números reais, e sua imagem é \((0, \infty )\). Observe que, como \(\exp (x)\) é a inversa de \(\ln (x)\), \(\exp (\ln x) =x\) para \(x\gt 0\), e \(\ln (\exp x) = x\) para todo \(x\). Além disso, como consequência das propriedades do \(\ln (x)\) temos que \(\exp (1) = e\), \(\exp (0) = 1\), \(\displaystyle \lim _{x\to \infty } \exp x =\infty \), e \(\displaystyle \lim _{x\to -\infty } \exp x = 0\).
Proposição 13.44
A função exponencial é diferenciável em todos os pontos do domínio e
Pelo Teorema da Função Inversa, \( \exp (x) \) possui derivada em todos os pontos. O teorema também nos diz qual é a derivada. Alternativamente, podemos calcular a derivada usando diferenciação implícita: Seja \( y = \exp x \); então, \( \ln y = x \). Diferenciando em relação a \( x \), chegamos a \( \displaystyle \frac1y \frac{\mathop{}\! \mathrm{d} y}{\mathop{}\! \mathrm{d} x} = 1 \). Assim, \( \frac{\mathop{}\! \mathrm{d} y}{\mathop{}\! \mathrm{d} x} = y = \exp x \).
Como \(\exp x\gt 0\), a função exponencial é crescente e seu gráfico é côncavo para cima.
Pela definição do logaritmo e pela relação entre funções inversas,
\[ F(x)=\ln (\exp (2x))=2x. \]
Consequentemente, \(F'(x)=2\). O mesmo resultado aparece diretamente pelo Primeiro Teorema Fundamental e pela regra da cadeia:
\[ F'(x)=\frac{1}{\exp (2x)}\, 2\exp (2x)=2. \]
Exercício 13.25
Calcule \(\displaystyle \int _3^{3e^2}\frac{1}{t}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\). Ver solução
\[ \ln (3e^2)-\ln 3=\ln (e^2)=2. \]
Exercício 13.26
Para \(G(x)=\displaystyle \int _1^{1+x^2}\frac{1}{t}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\), determine \(G'(x)\) e simplifique \(G(x)\). Ver solução
Como \(G(x)=\ln (1+x^2)\),
\[ G'(x)=\frac{2x}{1+x^2}. \]
Exercício 13.27
Use a identidade \(\ln (ab)=\ln a+\ln b\) e o fato de que \(\exp \) é a inversa de \(\ln \) para mostrar que \(\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b)\). Ver solução
Se \(u=\exp (a)\) e \(v=\exp (b)\), então
\[ \ln (uv)=\ln u+\ln v=a+b. \]
Aplicando a inversa \(\exp \) aos dois lados, obtemos \(uv=\exp (a+b)\).
Com isso, fecha-se o percurso iniciado pelas somas de Riemann: a integral define uma função, o Primeiro Teorema Fundamental identifica sua derivada e o Segundo permite voltar das antiderivadas ao cálculo da acumulação. Os exercícios seguintes articulam essas três perspectivas.
Exercício 13.28
Escreva, sem calcular o limite, uma soma de Riemann pelo ponto médio para \(\int _1^3(2x^2-x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) com \(n\) subintervalos. Identifique \(\Delta x\) e o ponto de amostragem. Ver solução
\(\Delta x=2/n\) e \(x_i^*=1+(i-1/2)2/n\). Assim, a integral é o limite de
Calcule a área total entre o gráfico de \(y=x^2-2x-3\) e o eixo \(x\) no intervalo \([0,4]\). Explique por que uma única integral assinada não basta. Ver solução
A função é negativa em \([0,3]\) e positiva em \([3,4]\). Logo,
Uma única integral assinada subtrairia a área abaixo do eixo.
Exercício 13.30
Se \(F(x)=\int _0^{x^2}\cos (1+t^3)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\), determine \(F'(x)\) e \(F'(0)\). Ver solução
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela regra da cadeia, \(F'(x)=2x\cos (1+x^6)\); portanto, \(F'(0)=0\).
Exercício 13.31
Calcule \(\int _0^1\frac{3x^2}{1+x^3}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) por substituição. Compare a mudança de limites com o procedimento de voltar à variável original. Ver solução
Com \(u=1+x^3\), os limites passam de \(0,1\) para \(1,2\), e a integral vale \(\int _1^2\mathop{}\! \mathrm{d} u/u=\ln 2\). Em uma integral definida, mudar os limites evita voltar à variável \(x\).
Exercício 13.32
Use integração por partes para calcular \(\int _0^2 x e^{-x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Qual das etapas muda quando a integral é definida? Ver solução
Com \(u=x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=e^{-x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\),
Os termos de fronteira são avaliados nos limites, e não se acrescenta uma constante de integração.
Exercício 13.33
A velocidade de um elevador é \(v(t)=2t-0{,}3t^2\) m/s para \(0\leq t\leq 6\). Determine o deslocamento e a distância percorrida. Verifique se é necessário separar intervalos. Ver solução
\(v(t)=t(2-0{,}3t)\geq 0\) em \([0,6]\), portanto não é preciso separar intervalos. O deslocamento e a distância percorrida coincidem:
\[ \int _0^6(2t-0{,}3t^2)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t=14{,}4\, \mathrm m. \]
Exercício 13.34
Encontre o valor médio de \(f(x)=\sqrt{x}\) em \([0,9]\) e um número \(c\in [0,9]\) tal que \(f(c)\) seja esse valor médio. Ver solução
A potência consumida por um dispositivo é \(P(t)=50+10\cos (\pi t/4)\) W, \(0\leq t\leq 8\) s. Determine a energia consumida no intervalo e a potência média. Ver solução
A concentração de poluente num riacho é dada por \(c(t)\) mg/L e a vazão é constante, \(q\) L/min. Explique por que \(q\int _0^{60}c(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\) representa a massa de poluente que passa por uma seção em uma hora. Ver solução
O produto \(q\, c(t)\) tem unidade \((\mathrm{L/min})(\mathrm{mg/L})=\mathrm{mg/min}\) e representa a taxa de passagem de massa. Sua integral de \(0\) a \(60\) min, portanto, fornece a massa total em miligramas.
![Figura 13.2 Região sob f(x)=x^2 em [0,1], cuja área será aproximada por somas de Riemann.](figures/figrie1a-margem-aedddeb2.svg)
![Figura 13.3 Partição do intervalo [0,1] em quatro subintervalos iguais.](figures/intervalos-cbf2fe5d.svg)
![Figura 13.9 A partição P divide [a,b] nos subintervalos [x_(i-1),x_i].](figures/particao1-583e646a.svg)
![Figura 13.13 O retângulo de altura f_(m)=13/3 tem a mesma área que a região sob f(x)=x^2 em [1,3].](figures/valor-medio-integral-2cad5ad5-0d881b23.svg)
![Figura 13.14 Em [-a,a], as áreas de uma função par se repetem, enquanto as contribuições de uma função ímpar se cancelam.](figures/simetriapar-e44c53e6.svg)
![Figura 13.14 Em [-a,a], as áreas de uma função par se repetem, enquanto as contribuições de uma função ímpar se cancelam.](figures/simetriaimpar-00a628ca.svg)
![Figura 13.16 O acréscimo g(x+h)-g(x) é a área sob f no pequeno intervalo [x,x+h].](figures/tfcib-e1c86195-0d881b23.svg)
