Equações e inequações

Eu usava cada verdade encontrada como uma regra para descobrir outras verdades.

Conhecidas as principais famílias de funções, passamos a comparar seus valores. Uma equação pergunta onde duas funções coincidem; uma inequação pergunta onde uma delas fica acima ou abaixo da outra. Podemos, portanto, ler o mesmo problema por uma expressão algébrica ou por um gráfico.

Algumas ferramentas deste capítulo já apareceram em exemplos. Vamos agora reuni-las e justificar seu uso, cuidando para que cada transformação preserve as soluções que procuramos.

6.1 Equações

Dadas duas expressões, queremos encontrar todos os valores admissíveis da variável para os quais elas são iguais. O desafio é transformar essa igualdade em outras mais simples, preservando o conjunto de valores procurado.

Sejam \(f:D\to \mathbb {R}\) e \(g:D\to \mathbb {R}\). Uma equação na incógnita \(x\) é uma igualdade da forma

O conjunto \(D\) é o domínio da equação. Resolver a equação significa determinar todos os valores \(a\in D\) para os quais \(f(a)=g(a)\). Esses valores são suas soluções ou raízes, e o conjunto de todas elas é o conjunto-solução:

Quando não houver risco de ambiguidade, escreveremos apenas \(\operatorname *{Sol}\nolimits \).

Há duas interpretações que convém manter em mente. No gráfico, as soluções são as abscissas dos pontos em que as curvas \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\) se intersectam. Equivalentemente, se \(h=f-g\), resolver \(f(x)=g(x)\) é determinar a imagem inversa de zero por \(h\), isto é, encontrar os zeros de \(h\).

As soluções de uma equação dependem do domínio considerado. Por exemplo, \(2x=1\) tem a solução \(1/2\) quando o domínio é \(\mathbb {R}\), mas não tem solução quando o domínio é \(\mathbb {N}\). Quando o enunciado não especificar o domínio, adotaremos o domínio real máximo das expressões envolvidas. Assim, em \(1/x=2\), o valor \(x=0\) deve ser excluído antes de qualquer manipulação.

Em geral, resolvemos uma equação transformando-a em outra mais simples. Duas equações são equivalentes quando têm o mesmo conjunto-solução. Operações reversíveis, como somar o mesmo número aos dois membros ou multiplicá-los por um número não nulo, preservam a equivalência. Outras operações podem produzir apenas uma consequência da equação original. Elevar os dois membros ao quadrado, por exemplo, pode criar candidatos que não satisfazem a igualdade inicial.

Por exemplo, \(-2\) satisfaz \(4x+8=0\), pois \(4(-2)+8=0\). Nesse caso, as operações usadas para isolar \(x\) são reversíveis e mostram também que não há outra solução.

6.1.1 Equações polinomiais

Equação linear

Uma equação linear na variável \(x\) pode ser escrita como

em que \(a,b\in \mathbb {R}\) e \(a\neq 0\). Somar \(-b\) aos dois membros e, em seguida, dividir por \(a\) produz apenas equações equivalentes:

Logo, \(\operatorname *{Sol}\nolimits =\{ -b/a\} \).

A propriedade do produto nulo, já estudada, também resolve equações de grau mais alto depois de uma fatoração: um produto real é zero se, e somente se, ao menos um dos fatores é zero. É preciso, porém, verificar quais fatores podem realmente se anular em \(\mathbb {R}\).

Equação quadrática

Uma equação quadrática tem a forma

Na Seção 3.3, deduzimos sua fórmula de resolução. Recordemos apenas o papel do discriminante \(\Delta =b^2-4ac\):

Quando \(\Delta =0\), os sinais \(\pm \) fornecem a mesma raiz. As transformações empregadas nessa fórmula são equivalências porque \(a\ne 0\).

Equações biquadráticas

Uma equação biquadrática na incógnita \(x\) é uma equação da forma

em que \(a,b,c\) são números reais e \(a\neq 0\). Para resolver uma equação biquadrática, fazemos a substituição \(t=x^2\) e, portanto, \(t^2=x^4\). A equação \(ax^4+bx^2+c=0\) transforma-se na quadrática \(at^2+bt+c=0\). Há, contudo, uma restrição que deve acompanhar a substituição: como \(t=x^2\), necessariamente \(t\geq 0\). Descartamos, assim, as raízes negativas em \(t\). Para cada raiz \(t\gt 0\), obtemos \(x=\pm \sqrt t\); se \(t=0\), obtemos apenas \(x=0\).

Equações polinomiais de grau mais alto nem sempre admitem uma fórmula simples de resolução. A fatoração, as substituições adequadas e informações sobre as raízes tornam-se então especialmente importantes. Em um contexto mais amplo, temos o resultado seguinte.

Em \(\mathbb {R}\), o limite superior dado pela proposição não precisa ser atingido. Por exemplo, \(x^2+1\) não possui raízes reais. Para o que faremos neste livro, basta distinguir fatores lineares reais de fatores quadráticos sem raízes reais.

6.1.2 Equações envolvendo expressões racionais

Ao resolver uma equação com expressões racionais \(p(x)/q(x)\), começamos excluindo os valores para os quais algum denominador se anula. Depois disso, podemos multiplicar os dois membros por um denominador comum: essa multiplicação é uma equivalência no domínio já estabelecido, pois o fator usado é diferente de zero em todos os pontos desse domínio. Ao final, os candidatos devem ser comparados com as exclusões iniciais.

O exemplo seguinte mostra por que a restrição de domínio deve ser registrada antes de eliminar denominadores.

No próximo exemplo, o denominador comum elimina as frações, mas conduz a uma equação quadrática. Convém separar com clareza essas duas etapas.

6.1.3 Equações envolvendo raízes

Nas equações com radicais, o domínio e o sinal dos membros orientam cada passo. Para uma raiz de índice par, o radicando deve ser não negativo; raízes de índice ímpar estão definidas para todo radicando real. Além disso, de \(u=v\) sempre podemos concluir \(u^2=v^2\), mas a recíproca não vale sem informações sobre os sinais. Por exemplo, \(x^2=1\) tem as soluções \(-1\) e \(1\), enquanto \(x=1\) tem apenas a segunda.

Em particular, a igualdade \(\sqrt{u(x)}=v(x)\) equivale ao sistema

Também é possível elevar ao quadrado, obter candidatos e substituí-los na equação original. A formulação pelo sistema, porém, ajuda a localizar desde o início as condições que tornam a operação reversível.

Quando há mais de um radical, a estratégia usual é isolar um deles antes de elevar ao quadrado. Esse procedimento pode precisar ser repetido; a cada repetição, as condições de domínio e de sinal devem continuar visíveis.

Uma outra técnica frequentemente usada na resolução de equações envolvendo raízes é multiplicar a equação por uma expressão diferente de zero, em especial pelo conjugado.

6.1.4 Equações envolvendo módulos

O módulo \(|u|\) representa a distância entre \(u\) e \(0\) na reta real. Por isso, se \(a\gt 0\), a equação \(|u|=a\) descreve dois valores possíveis para \(u\):

Se \(a=0\), temos apenas \(u=0\); se \(a\lt 0\), não há solução. Nos exemplos seguintes, as expressões dentro dos módulos são polinomiais. Seus zeros dividem a reta em intervalos nos quais cada expressão mantém o sinal. Determinamos esses sinais e aplicamos a definição de módulo em cada intervalo.

Como retomada, \(|x+1|=3\) equivale a \(x+1=3\) ou \(x+1=-3\), de modo que suas soluções são \(2\) e \(-4\). Para equações com vários módulos, a divisão em intervalos permite estudar os sinais de cada expressão interna antes de retirar as barras.

Exercício 6.1 (Operações que mudam as soluções)

Ao transformar uma equação, podemos conservar seu conjunto de soluções, acrescentar soluções falsas ou perder soluções verdadeiras. Decida se cada operação abaixo preserva sempre o conjunto de soluções. Quando a equivalência puder falhar, indique se a operação pode acrescentar ou eliminar soluções e construa um exemplo.

1. Elevar os dois membros ao quadrado.

2. Dividir os dois membros por uma expressão que contém \(x\).

3. Multiplicar os dois membros por \(x-1\).

4. Somar aos dois membros um número real fixo.

Ver solução

1. Pode introduzir soluções: \(\sqrt x=-1\) não tem solução, mas \(x=1\) satisfaz \(x=1\).

2. Pode eliminar soluções: dividindo \(x^2=x\) por \(x\), perde-se \(x=0\).

3. Pode introduzir a solução \(x=1\): \(x=2\) e \(x(x-1)=2(x-1)\) não são equivalentes.

4. Sempre equivalente.

Quando uma operação pode introduzir soluções, os candidatos devem ser verificados na equação original.

Exercício 6.2

Resolva as seguintes equações polinomiais:

1. \(2x-3(x-1)=8(x+3)\).

2. \(x(x^2-4)=0\).

3. \((x^2-2)(x^2-9)=0\).

4. \(x^4-24x^2-25=0\).

5. \(2x^4-5x^2+3=0\).

6. \((x^2-3x+2)^2-3(x^2-3x+2)=0\).

   (Dica: na última equação, faça \(y=x^2-3x+2\).)

Ver solução

1. \(\{ -7/3\} \).

2. \(\{ -2,0,2\} \).

3. \(\{ -3,-\sqrt2,\sqrt2,3\} \).

4. \(\{ -5,5\} \).

5. \(\{ -1,-\sqrt6/2,\sqrt6/2,1\} \).

6. \(\{ (3-\sqrt{13})/2,1,2,(3+\sqrt{13})/2\} \).

Exercício 6.3

Dada uma equação quadrática \(ax^2+bx+c=0\) com \(a\neq 0\) e raízes reais \(x_1,x_2\) (contadas com multiplicidade), isto é, com \(\Delta \geq 0\), mostre que:

1. A soma das raízes é igual a \(\dfrac {-b}{a}\), isto é, \(S=x_1+x_2=\dfrac {-b}{a}\).

2. O produto das raízes é igual a \(\dfrac {c}{a}\), isto é, \(P=x_1\cdot x_2=\dfrac {c}{a}\).

Ver solução

Como \(a\neq 0\), a fatoração é \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2\). Comparando coeficientes, obtemos:

1. \(-a(x_1+x_2)=b\), logo \(x_1+x_2=-b/a\).

2. \(ax_1x_2=c\), logo \(x_1x_2=c/a\).

Exercício 6.4

Na equação \(x^2-2mx+m-1=0\), determine os valores reais de \(m\) para os quais existam raízes reais \(x_1,x_2\) que satisfaçam cada condição:

1. as raízes sejam opostas, isto é, \(x_1=-x_2\)

2. as raízes sejam inversas, isto é, \(x_1=\dfrac {1}{x_2}\)

Ver solução

As relações de soma e produto dão candidatos ao parâmetro. É preciso verificar também que as raízes sejam reais. Aqui, \(\Delta =4(m^2-m+1)=4(m-1/2)^2+3\gt 0\) para todo \(m\in \mathbb {R}\).

1. Raízes opostas têm soma zero. Como \(x_1+x_2=2m\), precisamos de \(m=0\). Nesse caso, a equação é \(x^2-1=0\) e as raízes são \(-1\) e \(1\).

2. Raízes inversas têm produto \(1\). Como \(x_1x_2=m-1\), precisamos de \(m=2\). Nesse caso, as raízes são \(2-\sqrt3\) e \(2+\sqrt3\), cujo produto é \(1\).

Exercício 6.5

Na demonstração do Teorema do Fator, vimos que \(q(x)-q(r)\) é divisível por \(x-r\). Explique por que o resto da divisão de \(q(x)\) por \(x-r\) é \(q(r)\). Use essa relação para determinar, sem efetuar as divisões, os restos de \(q(x)=2x^5-3x^4+x^2-7\) por \(x-2\) e por \(x+1\).

Ver solução

Como \(q(x)=(x-r)Q(x)+q(r)\), o resto é \(q(r)\). Portanto, os valores procurados são \(q(2)=13\) e \(q(-1)=-11\).

Exercício 6.6

Determine todos os valores reais de \(k\) para os quais \(x+2\) seja fator de \(r(x)=x^3+kx^2-4x+8\). Para cada valor encontrado, fatore completamente \(r\).

Ver solução

É necessário que \(r(-2)=4k+8=0\), logo \(k=-2\). Nesse caso,

\[ r(x)=x^3-2x^2-4x+8=(x+2)(x-2)^2. \]

Exercício 6.7

Resolva as seguintes equações:

1. \(\dfrac {x}{x+2}+\dfrac {4}{x-1}=5\)

2. \(\dfrac {2}{x^2-1}-\dfrac {x}{x-1}=1\)

3. \(6x^{-2}-17x^{-1}+12=0\).

Ver solução

1. \(\{ (-1-\sqrt{73})/4,(-1+\sqrt{73})/4\} \).

2. \(\{ -3/2\} \).

3. \(\{ 2/3,3/4\} \). Com \(y=x^{-1}\), a equação se reduz a \(6y^2-17y+12=0\).

Exercício 6.8 (Um candidato no domínio pode estar errado)

A figura compara \(y=\sqrt{x+2}\) e \(y=x\). Ao elevar a equação \(\sqrt{x+2}=x\) ao quadrado, obtêm-se os candidatos \(x=-1\) e \(x=2\).

1. Quais candidatos correspondem a encontros dos dois gráficos? Explique o que ocorre com os valores dos dois membros no candidato rejeitado.

2. Os dois candidatos pertencem ao domínio do radical. Por que verificar apenas o domínio não basta? Acrescente uma condição que torne a passagem para a equação quadrática uma equivalência.

Ver solução

a) Apenas \(x=2\) é solução. Em \(x=-1\), os membros são \(1\) e \(-1\): seus quadrados são iguais, mas eles não são iguais. b) O domínio exige apenas \(x\geq -2\). Como a raiz é não negativa, a equação original exige também \(x\geq 0\). Sob essa condição, ambos os membros são não negativos e elevar ao quadrado preserva a equivalência.

Exercício 6.9

Resolva as equações com radicais:

1. \(\sqrt{x+1}=8-\sqrt{3x-1}\).

2. \(\sqrt{x+\sqrt{x+11}}+\sqrt{x-\sqrt{x+11}}=4\).

3. \(\sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-1}=\sqrt{15x+4}\).

4. \(\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1\).

Ver solução

1. \(\{ 65-40\sqrt2\} \).

2. \(\{ 5\} \).

3. \(\left\{ (43+3\sqrt{269})/22\right\} \).

4. \(\{ -61,30\} \).

Em cada item com raízes quadradas, os candidatos devem ser substituídos na equação original. No último item, a substituição \(u=\sqrt[3]{x-3}\) reduz o problema a \((u+4)(u-3)=0\).

Exercício 6.10 (Quantas vezes uma reta pode encontrar \(y=\sqrt{x}\)?)

Considere a equação \(\sqrt x=x+k\), em que \(k\) é um parâmetro real.

1. Interprete as soluções como interseções do gráfico de \(y=\sqrt x\) com uma reta de inclinação \(1\).

2. Com a substituição \(t=\sqrt x\geq 0\), determine para quais valores de \(k\) a equação tem duas soluções, uma solução ou nenhuma.

3. Qual valor de \(k\) corresponde à reta tangente ao gráfico de \(y=\sqrt x\)?

Ver solução

1. Cada solução é a abscissa de um ponto comum ao gráfico de \(\sqrt x\) e à reta \(y=x+k\), que se desloca verticalmente quando \(k\) varia.

2. A equação equivale a \(t^2-t+k=0\) com \(t\geq 0\), cujo discriminante é \(1-4k\). Para \(k\gt 1/4\) não há solução; para \(k=1/4\) há uma (\(t=1/2\), \(x=1/4\)); para \(0\le k\lt 1/4\) há duas raízes não negativas, logo duas soluções; para \(k\lt 0\) o produto das raízes é negativo e apenas uma é positiva: uma solução.

3. \(k=1/4\): a reta \(y=x+\tfrac 14\) toca o gráfico em \((1/4,1/2)\).

Exercício 6.11

Resolva as seguintes equações com módulos:

1. \(\left\lvert x\right\rvert =x^2\)

2. \(\left\lvert x^2-3\right\rvert =2\)

3. \(\left\vert x\right\vert =x+2\)

4. \(\left\vert -x+2\right\vert =2x+1\)

5. \(\left\vert x+1\right\vert +\left\vert x-2\right\vert =1\)

Ver solução

1. \(\{ -1,0,1\} \).

2. \(\{ -\sqrt5,-1,1,\sqrt5\} \).

3. \(\{ -1\} \).

4. \(\{ 1/3\} \).

5. \(\varnothing \).

Exercício 6.12

Resolva \(|2x-5|+|x+1|=11\) mediante uma divisão em intervalos e represente as soluções na reta real.

Ver solução

Os pontos de mudança são \(-1\) e \(5/2\). A análise dos três intervalos fornece \(x=-7/3\) no primeiro, nenhuma solução no segundo e \(x=5\) no terceiro. Logo, \(\operatorname *{Sol}\nolimits =\{ -7/3,5\} \).

Exercício 6.13 (Equações com módulos e estudo por intervalos)

Resolva por estudo de sinal ou divisão em intervalos.

1. \(\left\vert 5x-x^{2}-6\right\vert =x^{2}-5x+6\)

2. \(\begin{aligned} & \left\vert x-1\right\vert -2\left\vert x-2\right\vert \\ & \quad {}+3\left\vert x-3\right\vert =4. \end{aligned}\)

Ver solução

1. Ponha \(u=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Como \(|-u|=u\) equivale a \(u\geq 0\), o quadro de sinais fornece \((-\infty ,2]\cup [3,\infty )\).

2. Os pontos de mudança são \(1,2,3\). O membro esquerdo é \(6-2x\) para \(x\lt 1\), \(4\) para \(1\leq x\lt 2\), \(12-4x\) para \(2\leq x\lt 3\) e \(2x-6\) para \(x\geq 3\). Igualando a \(4\) e respeitando cada intervalo, obtemos \([1,2]\cup \{ 5\} \).

6.2 Inequações

Nas equações, procuramos os valores em que duas expressões são iguais. Nas inequações, procuramos os valores em que uma delas é maior ou menor que a outra. Graficamente, resolver \(f(x)\gt g(x)\) significa determinar as abscissas para as quais o gráfico de \(f\) está acima do gráfico de \(g\).

Uma inequação em uma variável compara duas expressões por meio de um dos símbolos \(\lt ,\leq ,\gt \) ou \(\geq \):

Seu domínio é \(D=\operatorname {Dom}f\cap \operatorname {Dom}g\). Uma solução é um valor de \(D\) que torna verdadeira a desigualdade; o conjunto de todos esses valores é o conjunto-solução. Assim,

Quando estiver claro a qual inequação nos referimos, usaremos simplesmente \(\operatorname *{Sol}\nolimits \).

Subtraindo \(g(x)\) dos dois membros, toda inequação pode ser convertida em um estudo do sinal de \(h(x)=f(x)-g(x)\). Por exemplo,

Essa observação explica por que zeros, pontos excluídos do domínio e quadros de sinais aparecem repetidamente nesta seção.

Antes de multiplicar os dois membros de uma inequação por uma expressão, é preciso determinar seu sinal: se for positivo, o sentido da desigualdade é mantido; se for negativo, é invertido. O caso em que a expressão se anula deve ser tratado separadamente, pois a multiplicação por zero não é reversível. O quadro de sinais organiza essa análise.

6.2.1 Inequações envolvendo polinômios

Inequação linear

Uma inequação linear é uma inequação que pode ser escrita em uma das seguintes formas:

onde \(a,b\) são números reais e \(a\neq 0\). Para resolvê-la, usamos as propriedades de ordem de \(\mathbb {R}\), demonstradas na Seção 1.3. O quadro abaixo as reúne para consulta durante a resolução.

Para polinômios de grau maior, a fatoração transforma o problema em um estudo dos sinais dos fatores. Suponha, por exemplo, que

Em cada intervalo determinado pelas raízes, o sinal de cada fator \(x-r_i\) é fixo; por isso, o sinal do produto também é fixo. Ao atravessar uma raiz de multiplicidade ímpar, o sinal do fator correspondente muda; ao atravessar uma raiz de multiplicidade par, ele permanece o mesmo. Essa observação algébrica é suficiente para todos os quadros de sinais construídos a seguir.

Inequações quadráticas e polinomiais

Uma inequação quadrática é uma desigualdade que pode ser colocada em uma das formas:

onde \(a,b,c\) são números reais e \(a\neq 0\). Se \(\Delta \geq 0\), resolvemos \(ax^2+bx+c=0\) e fatoramos o polinômio por meio de suas raízes. Os fatores obtidos determinam o sinal em cada intervalo. Se \(\Delta \lt 0\), a identidade

mostra diretamente que a expressão tem sempre o sinal de \(a\), pois o termo entre colchetes é positivo.

Nos casos \(\lt \) e \(\gt \), as raízes não são incluídas. Nos casos \(\leq \) e \(\geq \), elas são incluídas, pois tornam o polinômio igual a zero.

6.2.2 Inequações envolvendo expressões racionais

Uma inequação racional combina dois cuidados. Primeiro, os zeros dos denominadores são excluídos do domínio. Depois de reunir os termos em uma única fração, estudamos separadamente o sinal do numerador e o do denominador. Os zeros do numerador podem pertencer à solução de uma desigualdade não estrita; os zeros do denominador nunca pertencem, pois a expressão não está definida neles.

6.2.3 Inequações envolvendo raízes

Para resolver inequações com raízes quadradas, precisamos controlar tanto o domínio quanto o efeito de elevar os dois membros ao quadrado. Em uma equação com um número finito de candidatos, podemos testar cada valor obtido. Nas inequações, em que as soluções costumam formar intervalos, é mais conveniente preservar a equivalência em cada etapa.

A função quadrado é estritamente crescente em \([0,\infty )\). Portanto, se \(u,v\geq 0\), temos \(u\lt v\) se, e somente se, \(u^2\lt v^2\); o mesmo vale com \(\leq \), \(\gt \) ou \(\geq \). Assim, podemos elevar os dois membros ao quadrado depois de garantir que ambos são não negativos. Se um deles puder ser negativo, separamos os casos antes dessa operação. Vejamos como aplicar esse cuidado.

18-radicais-solucaoA solução satisfaz simultaneamente o domínio, a condição \(x\gt -3\) e \(q(x)\gt 0\). O círculo vazio em \(\beta \) e o ponto preenchido em 2 registram os extremos de \((\beta ,2]\). Esquema de ordem, sem escala.

6.2.4 Inequações envolvendo módulos

Retomamos as equivalências da Seção 1.4, obtidas pela interpretação de \(|u|\) como distância, para aplicá-las a expressões mais gerais. Para \(a\gt 0\),

Quando há vários módulos ou expressões mais complexas dentro deles, retomamos a separação em casos. Em cada intervalo determinado pelos zeros das expressões internas, retiramos os módulos e resolvemos a inequação correspondente, respeitando a condição que define o intervalo.

Resolução por casos

Também podemos resolver a desigualdade diretamente pela definição de módulo. As expressões internas mudam de sinal em \(x=-3\) e \(x=1\), o que divide a reta em três regiões.

Se \(x\lt -3\), então \(x-1\lt 0\) e \(x+3\lt 0\). A desigualdade fica

o que é falso. Não há solução nessa região.

Se \(-3\le x\lt 1\), então \(x-1\lt 0\) e \(x+3\ge 0\). Temos

Essa condição deve ser satisfeita junto com a hipótese do caso. Sua interseção com \([-3,1)\) é \((-1,1)\).

Se \(x\ge 1\), ambas as expressões são não negativas, e a desigualdade fica

Ela é verdadeira para todo \(x\) desse caso, que contribui com \([1,+\infty )\).

Reunindo as soluções das três regiões,

Em cada caso, fazemos uma interseção com a região em que a expressão utilizada é válida. Ao final, fazemos a união dos conjuntos obtidos, pois basta que o número resolva a desigualdade em uma dessas regiões.

21-modulo-uniaoA união de \([1,b]\) com \([a,1)\) é o intervalo fechado \([a,b]\). Embora 1 esteja excluído do segundo intervalo, ele está incluído no primeiro. Em problemas resolvidos por casos, há duas operações distintas. Primeiro, intersectamos a solução de cada inequação com a condição que autoriza aquela expressão. Depois, unimos as contribuições dos casos. Fazer apenas uma dessas operações pode acrescentar valores indevidos ou perder soluções.

Exercício 6.14

Uma receita usa \(x\) gramas de concentrado e \(3x+18\) mL de água. A massa final deve ser de, no mínimo, \(450\) g e, no máximo, \(630\) g. Admitindo que \(1\) mL de água tenha massa de \(1\) g, modele a restrição por uma inequação e determine os valores admissíveis de \(x\).

Ver solução

A massa total é \(x+(3x+18)=4x+18\). Assim,

\[ 450\leq 4x+18\leq 630 \quad \Longleftrightarrow \quad 108\leq x\leq 153. \]

Exercício 6.15

No gráfico, estão representadas \(f(x)=x\) e \(g(x)=2-x\) no domínio \([-1,3]\). Determine os conjuntos-solução de \(f(x)=g(x)\), \(f(x)\gt g(x)\) e \(f(x)\leq g(x)\).

Ver solução

Os gráficos se cruzam em \(x=1\). No domínio indicado,

\[ \begin{aligned} \operatorname *{Sol}\nolimits _{f=g}& =\{ 1\} ,\\ \operatorname *{Sol}\nolimits _{f\gt g}& =(1,3],\\ \operatorname *{Sol}\nolimits _{f\leq g}& =[-1,1]. \end{aligned} \]

Exercício 6.16

Resolva as seguintes desigualdades polinomiais:

1. \(5 \lt 2x + 7 \leq 13\)

2. \(6 + x - x^2 \geq 0\)

3. \(x^2 - 1 \gt 0\)

4. \(x^2 - 4 \leq 0\)

5. \(2 - x - x^2 \geq 0\)

6. \(x^2 + 2 x + 1 \leq 0\)

7. \((2x + 3)^2 \leq 4\)

8. \((3x - 1)^2 \gt 9\)

9. \((x+1)(3-x)(x-2)^2\geq 0\)

10. \((x-\dfrac {\pi }{2})(x+\pi )(x+\sqrt{3})^{15}\gt 0\)

11. \((x-\pi )^{3}(x+\pi )(x+\sqrt{\pi })^{16}\gt 0\)

Ver solução

1. \((-1,3]\).

2. \([-2,3]\).

3. \((-\infty ,-1)\cup (1,\infty )\).

4. \([-2,2]\).

5. \([-2,1]\).

6. \(\{ -1\} \).

7. \([-5/2,-1/2]\).

8. \((-\infty ,-2/3)\cup (4/3,\infty )\).

9. \([-1,3]\).

10. \((-\pi ,-\sqrt3)\cup (\pi /2,\infty )\).

11. \((-\infty ,-\pi )\cup (\pi ,\infty )\).

Exercício 6.17

Sejam \(a,b,c\) números reais, com \(a\gt 0\). Determine os valores reais de \(x\) para os quais \(ax^{2}+bx+c\gt 0\), distinguindo os casos conforme as raízes do trinômio.

Ver solução

Escreva \(\Delta =b^2-4ac\). Se \(\Delta \gt 0\), sejam \(x_1\lt x_2\) as raízes; se \(\Delta =0\), escreva \(r=-b/(2a)\). O conjunto-solução é

\[ \operatorname *{Sol}\nolimits =\begin{cases} \mathbb {R},& \Delta \lt 0,\\ \mathbb {R}\setminus \{ r\} ,& \Delta =0,\\ (-\infty ,x_1)\cup (x_2,\infty ),& \Delta \gt 0. \end{cases} \]

De fato, sem raízes reais o polinômio tem o sinal de \(a\); com raiz dupla, tem esse sinal exceto na raiz; com duas raízes distintas, a fatoração \(a(x-x_1)(x-x_2)\) mostra que o sinal coincide com o de \(a\) fora do intervalo entre as raízes e é oposto dentro dele.

Exercício 6.18

Sejam \(a,b,c\) números reais, com \(a\lt 0\). Determine os valores reais de \(x\) para os quais \(ax^{2}+bx+c\lt 0\), distinguindo os casos conforme as raízes do trinômio.

Ver solução

O resultado coincide com o do item anterior porque, nos dois enunciados, procuramos os pontos em que o trinômio tem o mesmo sinal de seu coeficiente principal. Escreva \(\Delta =b^2-4ac\). Se \(\Delta \gt 0\), sejam \(x_1\lt x_2\) as raízes; se \(\Delta =0\), escreva \(r=-b/(2a)\). Então

\[ \operatorname *{Sol}\nolimits =\begin{cases} \mathbb {R},& \Delta \lt 0,\\ \mathbb {R}\setminus \{ r\} ,& \Delta =0,\\ (-\infty ,x_1)\cup (x_2,\infty ),& \Delta \gt 0. \end{cases} \]

Com duas raízes distintas, por exemplo, a parábola abre para baixo e fica negativa fora do intervalo \([x_1,x_2]\).

Exercício 6.19 (Multiplicar sem saber o sinal)

Um estudante escreve

\[ \frac1{x-1}\gt 2\quad \Longleftrightarrow \quad 1\gt 2(x-1), \]

e conclui que \(x\lt 3/2\), excluindo apenas \(x=1\).

1. Use \(x=0\) para localizar a falha dessa equivalência.

2. Corrija a solução separando os casos \(x\lt 1\) e \(x\gt 1\). Explique por que a condição “o denominador é diferente de zero” não autoriza manter sempre o sentido da desigualdade.

Ver solução

a) Em \(x=0\), a primeira desigualdade é \(-1\gt 2\), falsa, e a segunda é \(1\gt -2\), verdadeira. b) Para \(x\lt 1\), o quociente é negativo e não pode exceder \(2\). Para \(x\gt 1\), a multiplicação é por um número positivo e dá \(x\lt 3/2\). A solução é \((1,3/2)\). Multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade; ser não nulo não determina seu sinal.

Exercício 6.20

Resolva as seguintes desigualdades racionais:

1. \(\dfrac {1}{x} \lt 3\)

2. \(-2 \lt \dfrac {1}{x} \lt 3\)

3. \(\dfrac {x + 4}{2x} \lt 3\)

4. \(\dfrac {2x + 3}{3x + 1} \lt 1\)

5. \(\dfrac {4x - 2}{x + 4} \geq 2\)

6. \(2 \leq \dfrac {4x - 2}{x + 4} \lt 3\)

7. \(\dfrac {2-x^{2}}{1-x}\lt x\)

8. \(\dfrac {x-5}{4x^{2}-4x-3}\lt 0\)

9. \(\dfrac {x-\pi }{4x^{2}-3x-3}\gt 0\)

10. \(\dfrac {4x^{2}-6x+2}{4x^{2}+6x+2}\geq 1\)

11. \(\dfrac {2}{2-x}\gt \dfrac {6}{3-x}\)

12. \(\dfrac {3}{2-2x}+\dfrac {15}{2+4x}\lt 1\)

13. \(\dfrac {1}{2-x}+\dfrac {5}{2+x}\lt 1\)

14. \(\dfrac {1}{2-x}+\dfrac {5}{2+x}\gt 1\)

15. \(\dfrac {2x-5}{x^{2}-6x-7}\lt \dfrac {1}{x-3}\)

16. \(\dfrac {1-x}{2-x^{2}}\leq \dfrac {1}{x}\)

Ver solução

1. \((-\infty ,0)\cup (1/3,\infty )\).

2. \((-\infty ,-1/2)\cup (1/3,\infty )\).

3. \((-\infty ,0)\cup (4/5,\infty )\).

4. \((-\infty ,-1/3)\cup (2,\infty )\).

5. \((-\infty ,-4)\cup [5,\infty )\).

6. \([5,14)\).

7. \((1,2)\).

8. \((-\infty ,-1/2)\cup (3/2,5)\).

9. \(((3-\sqrt{57})/8,(3+\sqrt{57})/8)\cup (\pi ,\infty )\).

10. \((-\infty ,-1)\cup (-1/2,0]\).

11. \((3/2,2)\cup (3,\infty )\).

12. \((-\infty ,-1/2)\cup (1,\infty )\).

13. \((-\infty ,-2)\cup (2,\infty )\).

14. \((-2,2)\).

15. \((-\infty ,-1)\cup (3,7)\).

16. \((-\infty ,-\sqrt2)\cup (0,\sqrt2)\cup [2,\infty )\).

Exercício 6.21

Resolva a inequação

\[ \frac{(x-3)(x+2)^2}{(x-1)(x+4)}\leq 0. \]

Apresente uma tabela de sinais e explique por que \(x=-2\) pertence ao conjunto solução, ao passo que \(x=1\) não pertence.

Ver solução

Os pontos de separação são \(-4,-2,1,3\). O fator \((x+2)^2\) tem multiplicidade par, por isso não muda o sinal e seu zero é incluído; \(x=1\) anula o denominador e é sempre excluído. A tabela de sinais fornece

\[ \operatorname *{Sol}\nolimits =(-\infty ,-4)\cup \{ -2\} \cup (1,3]. \]

Exercício 6.22

Resolva as inequações com radicais:

1. \(\sqrt{1-3x}-\sqrt{5+x}\gt 1\).

2. \(\sqrt{4-\sqrt{1-x}}-\sqrt{2-x}\gt 0\).

Ver solução

1. \([-5,(-9-\sqrt{61})/8)\).

2. \(((-5+\sqrt{13})/2,1]\).

Em cada etapa, a elevação ao quadrado é feita somente depois de impor o domínio e verificar que os dois membros são não negativos.

Exercício 6.23

O comprimento de uma peça deve diferir de \(25\, \mathrm{mm}\) em menos de \(0{,}02\, \mathrm{mm}\). Escreva uma inequação modular e determine os comprimentos aceitos.

Ver solução

A condição é \(|x-25|\lt 0{,}02\), equivalente a \(24{,}98\lt x\lt 25{,}02\).

Exercício 6.24

Resolva as seguintes desigualdades com módulos:

1. \(\left\vert x-2\right\vert -\left\vert x+2\right\vert \gt 2\).

2. \(\left\vert x-2\right\vert -x\left\vert x+2\right\vert \lt 1\).

3. \(\left\vert x^{2}-2\right\vert +2x+1\geq 0\).

4. \(\dfrac {9}{\left\vert x-5\right\vert -3}\gt \left\vert x-2 \right\vert \).

Ver solução

1. \((-\infty ,-1)\).

2. \(((-3+\sqrt{13})/2,\infty )\).

3. \((-\infty ,-1-\sqrt2]\cup [-1,\infty )\).

4. \((-1,2)\cup (8,5+3\sqrt2)\).

Exercício 6.25 (Permanecer dentro de uma faixa)

O gráfico de \(Q\) é formado pelos segmentos que ligam \((0,1)\), \((2,5)\), \((4,1)\) e \((6,3)\). Um processo é aceito quando \(2\leq Q(t)\lt 4\), com \(0\leq t\leq 6\).

1. Determine todos os intervalos de tempo em que o processo é aceito, cuidando da inclusão de cada extremo.

2. Um programa aceita o processo quando \(Q(t)\geq 2\) ou \(Q(t)\lt 4\). Que instantes ele aceita? Explique a diferença geométrica entre esse teste e a condição pedida.

Ver solução

a) O conjunto é \([1/2,3/2)\cup (5/2,7/2]\cup [5,6]\). Os instantes com \(Q=2\) entram; aqueles com \(Q=4\) ficam de fora. b) O programa aceita todo \([0,6]\), pois qualquer número real satisfaz pelo menos uma das condições \(Q\geq 2\) ou \(Q\lt 4\). A faixa exige a interseção das duas condições, portanto o conectivo correto é e.

6.3 Equações e inequações exponenciais e logarítmicas

As propriedades das funções exponenciais e logarítmicas permitem resolver novos tipos de comparação. Em ambos os casos, a monotonicidade estrita garante a injetividade usada nas equações e determina se a ordem é preservada ou invertida nas inequações.

6.3.1 Equações exponenciais e logarítmicas

Fixe uma base \(a\gt 0\), com \(a\neq 1\). Como a função \(x\mapsto a^x\) é injetora,

O primeiro objetivo, portanto, é escrever os dois membros com a mesma base. Se isso não for possível diretamente, uma substituição pode converter a equação exponencial em uma equação polinomial.

Nas equações logarítmicas, as condições de existência vêm antes do uso das propriedades algébricas. Para que \(\log _a u(x)\) esteja definido, precisamos de \(u(x)\gt 0\). Sob essa condição, a função logarítmica também é injetora:

desde que \(u(x)\gt 0\) e \(v(x)\gt 0\).

6.3.2 Inequações exponenciais e logarítmicas

Quando \(a\gt 1\), as funções \(a^x\) e \(\log _a x\) são estritamente crescentes e preservam a ordem. Quando \(0\lt a\lt 1\), ambas são estritamente decrescentes e invertem a ordem. Em símbolos,

com \(u,v\gt 0\) nas comparações logarítmicas. As mesmas regras valem para os outros símbolos de desigualdade.

Exercício 6.26 (Aplicar logaritmo preserva as soluções?)

Se \(f(x)\) e \(g(x)\) são positivos em um domínio \(D\), explique por que \(f(x)=g(x)\) e \(\ln f(x)=\ln g(x)\) têm as mesmas soluções em \(D\). O que pode falhar se a positividade não for assegurada?

Ver solução

O logaritmo natural é injetor em \((0,\infty )\), portanto a passagem é uma equivalência em \(D\). Sem a positividade, podemos excluir soluções em que os dois membros sejam iguais e não positivos: por exemplo, aplicar \(\ln \) a \(x=-1\) deixa de representar a solução original \(x=-1\).

Exercício 6.27

Explique por que a igualdade

\[ \log _2(x-1)+\log _2(x-5)=\log _2\bigl((x-1)(x-5)\bigr) \]

não pode ser usada em todo o domínio natural da expressão à direita. Dê um valor de \(x\) para o qual a expressão à direita esteja definida, mas a expressão à esquerda não.

Ver solução

O membro direito exige apenas \((x-1)(x-5)\gt 0\), o que também ocorre para \(x\lt 1\). O membro esquerdo exige simultaneamente \(x\gt 1\) e \(x\gt 5\). Por exemplo, \(x=0\) pertence ao domínio do membro direito, mas não ao do esquerdo.

Exercício 6.28 (Uma desigualdade e uma base menor que \(1\))

Uma rotina precisa encontrar os valores de \(x\) para os quais

\[ \log _{1/2}(x-1)\geq -2. \]

Ela transforma essa condição em \(x-1\geq 4\) e devolve \(x\geq 5\).

1. Identifique separadamente a restrição de domínio e o erro cometido ao retirar o logaritmo.

2. Determine o conjunto correto. Teste \(x=2\) e \(x=6\) para mostrar que a rotina tanto rejeita um valor válido quanto aceita um inválido.

Ver solução

a) O domínio exige \(x\gt 1\). O logaritmo de base \(1/2\) é decrescente; por isso \(\log _{1/2}(x-1)\geq \log _{1/2}4\) equivale a \(x-1\leq 4\). b) O conjunto é \((1,5]\). Em \(x=2\), a leitura é \(0\geq -2\), mas a rotina rejeita o valor. Em \(x=6\), a leitura é \(\log _{1/2}5\lt -2\), mas a rotina o aceita.

Exercício 6.29 (Métodos exponenciais e logarítmicos)

Resolva em \(\mathbb {R}\), indicando as restrições de domínio.

1. \(5^{2x-1}=125\).

2. \(4^x=8\).

3. \(3^{2x}-4\cdot 3^x-5=0\).

4. \(\log _3(x+6)=2\).

5. \(\ln x+\ln (x-3)=\ln 4\).

6. \(2^{x+1}\lt 8\).

7. \(\left(\dfrac 13\right)^{2x}\leq 9\).

8. \(\ln (x+2)\gt 0\).

9. \(\log _2(x-1)+\log _2(x+1)\leq 3\).

10. \(\log _{1/2}\left(\dfrac {x-1}{x+1}\right)\geq 1\).

11. \(\ln \left(\dfrac {x+2}{x-1}\right)\lt \ln 2\).

Ver solução

1. O domínio é \(\mathbb {R}\). Como \(125=5^3\), temos \(2x-1=3\); logo \(\{ 2\} \).

2. O domínio é \(\mathbb {R}\). Escrevendo \(2^{2x}=2^3\), obtemos \(\{ 3/2\} \).

3. O domínio é \(\mathbb {R}\). Com \(u=3^x\gt 0\), a equação é \((u-5)(u+1)=0\). Descartamos \(u=-1\); logo \(\{ \log _3 5\} \).

4. O domínio é \(x\gt -6\). A equação equivale a \(x+6=9\); logo \(\{ 3\} \).

5. O domínio é \(x\gt 3\). Nele, \(x(x-3)=4\), isto é, \((x-4)(x+1)=0\); somente \(4\) é admissível. Solução: \(\{ 4\} \).

6. O domínio é \(\mathbb {R}\). Como a base é maior que \(1\), \(x+1\lt 3\); logo \((-\infty ,2)\).

7. O domínio é \(\mathbb {R}\). Como \(9=(1/3)^{-2}\) e a base é menor que \(1\), temos \(2x\geq -2\); logo \([-1,\infty )\).

8. O domínio é \(x\gt -2\). A desigualdade equivale a \(x+2\gt 1\); logo \((-1,\infty )\).

9. O domínio exige \(x\gt 1\). Nesse domínio, \(\log _2(x^2-1)\leq \log _2 8\) equivale a \(x^2\leq 9\). Intersectando com o domínio, obtemos \((1,3]\).

10. O domínio é \((-\infty ,-1)\cup (1,\infty )\). Como a base é menor que \(1\), a inequação equivale a \((x-1)/(x+1)\leq 1/2\), isto é, \((x-3)/(x+1)\leq 0\). Essa condição dá \((-1,3]\); sua interseção com o domínio é \((1,3]\).

11. O domínio é \((-\infty ,-2)\cup (1,\infty )\). Pela monotonicidade de \(\ln \), \((x+2)/(x-1)\lt 2\) equivale a \((4-x)/(x-1)\lt 0\). O quadro de sinais dá \((-\infty ,1)\cup (4,\infty )\); intersectando com o domínio, obtemos \((-\infty ,-2)\cup (4,\infty )\).

Exercício 6.30 (Contar interseções antes de resolver)

Algumas equações não podem ser resolvidas por manipulações algébricas, mas os gráficos ajudam a investigar suas soluções. Nesta atividade, a leitura é intuitiva; o estudo de continuidade e concavidade fornecerá ferramentas para justificar a existência e a quantidade de interseções.

1. Esboce \(y=2^x\) e \(y=x+1\) no mesmo plano. Quantas soluções o esboço sugere para \(2^x=x+1\)? Verifique algebricamente os valores encontrados.

2. Esboce \(y=2^x\) e \(y=x^2\). Verifique que \(x=2\) e \(x=4\) são soluções de \(2^x=x^2\) e explique por que o esboço sugere ainda uma solução negativa.

Ver solução

1. O esboço sugere duas soluções, \(x=0\) e \(x=1\), ambas confirmadas por substituição. Nesta etapa, a contagem dos encontros é sugerida pelo esboço; a demonstração de que não existem outros requer ferramentas que estudaremos mais adiante.

2. \(2^2=2^2\) e \(2^4=4^2\). Para \(x\lt 0\), temos \(0\lt 2^x\lt 1\). Quando \(x\) se aproxima de \(0\) pela esquerda, \(2^x\) se aproxima de \(1\), enquanto \(x^2\) se aproxima de \(0\). Em \(x=-1\), temos \(2^{-1}\lt 1\) e, em \(x=0\), temos \(1\gt 0\). O desenho indica um cruzamento entre \(-1\) e \(0\) (em \(x\approx -0{,}77\)). Esse é um argumento gráfico, não uma demonstração de existência; a continuidade permitirá justificá-lo.

6.4 Equações e inequações trigonométricas

As funções trigonométricas apresentam uma diferença importante em relação às funções exponenciais e logarítmicas: elas são periódicas e, portanto, repetem seus valores. Assim, uma equação trigonométrica pode ter infinitas soluções, mesmo quando sua forma é muito simples. O procedimento natural é encontrar as soluções em um período e, em seguida, usar a periodicidade para descrever todas as demais.

As funções trigonométricas inversas fornecem um ângulo principal, mas não resolvem sozinhas o problema. Por exemplo, \(\operatorname {arcsen}(1/2)=\pi /6\), embora o seno também valha \(1/2\) em \(5\pi /6\) e nos ângulos obtidos desses dois pela adição de voltas completas.

6.4.1 Equações trigonométricas

Considere primeiro uma equação da forma \(\operatorname {sen}x=a\). Se \(|a|\gt 1\), não há solução real, pois a imagem do seno é \([-1,1]\). Se \(|a|\leq 1\) e \(\alpha =\operatorname {arcsen}a\), então

As duas famílias correspondem aos pontos de mesma altura na circunferência unitária. De modo semelhante, se \(|a|\leq 1\) e \(\alpha =\arccos a\), então

Por fim, para todo \(a\in \mathbb {R}\),

pois o período da tangente é \(\pi \).

Quando a incógnita aparece dentro do argumento da função, resolvemos primeiro a equação trigonométrica no argumento e somente depois voltamos à variável original.

Algumas equações podem ser tratadas como equações algébricas em \(\operatorname {sen}x\) ou \(\cos x\). A substituição auxilia a fatoração, mas as raízes encontradas ainda precisam pertencer à imagem da função trigonométrica.

6.4.2 Inequações trigonométricas

Quando as funções envolvidas têm um período comum \(T\gt 0\), basta determinar as soluções em um intervalo de comprimento \(T\). As demais são obtidas por translações de múltiplos inteiros de \(T\). O gráfico ou a circunferência unitária permitem identificar não apenas os pontos de igualdade, mas também os arcos nos quais a função fica acima ou abaixo do valor de referência.

Quando aparece uma função que não está definida em todos os reais, seus pontos excluídos continuam fora do conjunto-solução. Em particular, nas inequações com tangente devemos respeitar os pontos \(\pi /2+k\pi \), nos quais \(\cos x=0\).

Exercício 6.31 (Equações básicas e transformações)

Resolva em \(\mathbb {R}\).

1. \(\operatorname {sen}x=\sqrt3/2\).

2. \(\cos x=-\sqrt2/2\).

3. \(\operatorname {tg}x=-1\).

4. \(2\operatorname {sen}x+1=0\).

5. \(\operatorname {sen}(2x)=1\).

6. \(\cos (x-\pi /3)=1/2\).

7. \(\operatorname {tg}\left(x-\dfrac {\pi }{4}\right)=1\).

8. \(2\operatorname {sen}^2x-3\operatorname {sen}x+1=0\).

Ver solução

Em todos os itens, \(k\in \mathbb {Z}\).

1. \(x=\pi /3+2k\pi \) ou \(x=2\pi /3+2k\pi \).

2. \(x=3\pi /4+2k\pi \) ou \(x=5\pi /4+2k\pi \).

3. \(x=-\pi /4+k\pi \).

4. \(x=-\pi /6+2k\pi \) ou \(x=7\pi /6+2k\pi \).

5. \(x=\pi /4+k\pi \).

6. \(x=2k\pi \) ou \(x=2\pi /3+2k\pi \).

7. \(x=\pi /2+k\pi \).

8. Como \((2\operatorname {sen}x-1)(\operatorname {sen}x-1)=0\), obtemos \(x=\pi /6+2k\pi \), \(x=5\pi /6+2k\pi \) ou \(x=\pi /2+2k\pi \).

Exercício 6.32 (A inversa não devolve todos os ângulos)

Para resolver \(\operatorname {sen}x=0{,}3\) em \([0,2\pi ]\), um estudante respondeu \(x=\operatorname {arcsen}0{,}3\).

1. Quantas soluções a equação tem em \([0,2\pi ]\)? Escreva todas usando \(\operatorname {arcsen}0{,}3\).

2. Resolva da mesma forma \(\cos x=-0{,}4\) em \([0,2\pi ]\).

3. Explique por que a função inversa fornece apenas uma das soluções.

Ver solução

1. Duas: \(x=\operatorname {arcsen}0{,}3\) e \(x=\pi -\operatorname {arcsen}0{,}3\).

2. \(x=\arccos (-0{,}4)\) e \(x=2\pi -\arccos (-0{,}4)\).

3. Para ser invertível, o seno foi restrito a \([-\pi /2,\pi /2]\) e o cosseno a \([0,\pi ]\); a inversa devolve somente a solução desse intervalo. As demais são obtidas por simetria e periodicidade.

Exercício 6.33 (Quando um procedimento perde soluções)

Em cada resolução abaixo, explique por que a resposta ficou incompleta e apresente o conjunto de todas as soluções.

1. Para resolver \(\operatorname {sen}(2x)=\operatorname {sen}x\), um estudante dividiu por \(\operatorname {sen}x\) e obteve \(\cos x=\tfrac 12\), isto é, \(x=\pm \tfrac \pi 3+2k\pi \).

2. Para resolver \(\operatorname {tg}x=\sqrt3\), outro estudante respondeu \(x=\tfrac \pi 3+2k\pi \), \(k\in \mathbb {Z}\).

Ver solução

1. \(2\operatorname {sen}x\cos x-\operatorname {sen}x=\operatorname {sen}x(2\cos x-1)=0\). Faltam as soluções de \(\operatorname {sen}x=0\): \(x=k\pi \). O conjunto-solução é \(\{ k\pi \} \cup \{ \pm \pi /3+2k\pi \} \), \(k\in \mathbb {Z}\).

2. A tangente tem período \(\pi \): \(x=\tfrac \pi 3+k\pi \). Ficaram faltando os valores \(\tfrac {4\pi }3+2k\pi \).

Exercício 6.34

Determine as soluções de \(\cos (2x)=\operatorname {sen}x\) em \([0,2\pi ]\).

Ver solução

Como \(\cos (2x)=1-2\operatorname {sen}^2x\), temos \((2\operatorname {sen}x-1)(\operatorname {sen}x+1)=0\). Logo,

\[ \operatorname *{Sol}\nolimits =\left\{ \frac\pi 6,\frac{5\pi }6,\frac{3\pi }2\right\} . \]

Exercício 6.35

Resolva as equações no intervalo \([0,2\pi )\), usando as identidades trigonométricas antes de recorrer às funções inversas.

1. \(\cos x+2\sec x=-3\).

2. \(\operatorname {tg}^2x-\sec x-1=0\).

3. \(\cos ^2x-\operatorname {sen}x\cos x=0\).

4. \(\operatorname {cossec}^2x-\operatorname {cotg}x-1=0\).

Ver solução

1. Como \(\cos x\neq 0\), podemos multiplicar a equação por \(\cos x\):

   \[ \cos ^2x+3\cos x+2=0. \]

   As possibilidades são \(\cos x=-1\) e \(\cos x=-2\); a segunda é impossível. Logo, \(x=\pi \).

2. Usando \(\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x-1\), obtemos

   \[ \sec ^2x-\sec x-2=0. \]

   Assim, \(\sec x=2\) ou \(\sec x=-1\), e \(x\in \{ \pi /3,\pi ,5\pi /3\} \).

3. Fatorando,

   \[ \cos x(\cos x-\operatorname {sen}x)=0. \]

   Portanto, \(x\in \{ \pi /4,\pi /2,5\pi /4,3\pi /2\} \).

4. Como \(\operatorname {cossec}^2x=1+\operatorname {cotg}^2x\), a equação equivale a \(\operatorname {cotg}x(\operatorname {cotg}x-1)=0\). Logo, \(x\in \{ \pi /4,\pi /2,5\pi /4,3\pi /2\} \).

Exercício 6.36

Resolva as inequações no intervalo \([0,2\pi )\):

1. \(\cos x\lt 0\).

2. \(\operatorname {sen}x\leq -1/2\).

3. \(\cos (2x)\geq 0\).

4. \(\operatorname {tg}x\gt \sqrt3\).

Ver solução

1. \((\pi /2,3\pi /2)\).

2. \([7\pi /6,11\pi /6]\).

3. \([0,\pi /4]\cup [3\pi /4,5\pi /4]\cup [7\pi /4,2\pi )\).

4. \((\pi /3,\pi /2)\cup (4\pi /3,3\pi /2)\). Os pontos \(\pi /2\) e \(3\pi /2\) ficam excluídos porque a tangente não está definida neles.

Exercício 6.37 (Janelas de funcionamento)

Um dispositivo fica ligado quando \(\cos \theta \geq 1/2\). A figura destaca as posições correspondentes na circunferência unitária. O ângulo varia segundo \(\theta (t)=\pi t/3\), com \(t\) em segundos.

1. Escreva a condição sobre \(\theta \) como uma união de intervalos em \(\mathbb R\). Por que um único intervalo em torno de zero não descreve todo o funcionamento?

2. Determine os instantes em que o dispositivo fica ligado durante \(0\leq t\leq 12\) e a fração desse tempo em que permanece ligado.

Ver solução

a) \(\displaystyle \theta \in \bigcup _{k\in \mathbb Z}[-\pi /3+2k\pi ,\, \pi /3+2k\pi ]\). As posições se repetem a cada volta completa. b) Os intervalos são \([0,1]\cup [5,7]\cup [11,12]\). Sua duração total é \(1+2+1=4\) segundos, isto é, \(1/3\) dos \(12\) segundos.