Equações e Inequações

Eu usava cada verdade encontrada como uma regra para descobrir outras verdades.

6.1 Equações

Sejam \(f:D\to \mathbb {R}\) e \(g:D\to \mathbb {R}\). Uma equação na incógnita \(x\) é uma igualdade da forma

O conjunto \(D\) é o domínio da equação. Resolver a equação significa determinar todos os valores \(a\in D\) para os quais \(f(a)=g(a)\). Esses valores são suas soluções ou raízes, e o conjunto de todas elas é o conjunto-solução:

Quando não houver risco de ambiguidade, escreveremos apenas \(\operatorname *{Sol}\nolimits \).

Há duas interpretações que convém manter em mente. No gráfico, as soluções são as abscissas dos pontos em que as curvas \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\) se intersectam. Equivalentemente, se \(h=f-g\), resolver \(f(x)=g(x)\) é determinar a imagem inversa de zero por \(h\), isto é, encontrar os zeros de \(h\).

As soluções de uma equação dependem do domínio considerado. Por exemplo, \(2x=1\) tem a solução \(1/2\) quando o domínio é \(\mathbb {R}\), mas não tem solução quando o domínio é \(\mathbb {N}\). Quando o enunciado não especificar o domínio, adotaremos o domínio real máximo das expressões envolvidas. Assim, em \(1/x=2\), o valor \(x=0\) deve ser excluído antes de qualquer manipulação.

Em geral, resolvemos uma equação transformando-a em outra mais simples. Duas equações são equivalentes quando têm o mesmo conjunto-solução. Operações reversíveis, como somar o mesmo número aos dois membros ou multiplicá-los por um número não nulo, preservam a equivalência. Outras operações podem produzir apenas uma consequência da equação original. Elevar os dois membros ao quadrado, por exemplo, pode criar candidatos que não satisfazem a igualdade inicial.

Por exemplo, \(-2\) satisfaz \(4x+8=0\), pois \(4(-2)+8=0\). Nesse caso, as operações usadas para isolar \(x\) são reversíveis e mostram também que não há outra solução.

6.1.1 Equações Polinomiais

Equação linear

Uma equação linear na variável \(x\) pode ser escrita como

em que \(a,b\in \mathbb {R}\) e \(a\neq 0\). Somar \(-b\) aos dois membros e, em seguida, dividir por \(a\) produz apenas equações equivalentes:

Logo, \(\operatorname *{Sol}\nolimits =\{ -b/a\} \).

Antes de tratar das equações quadráticas, recordemos a propriedade do produto nulo: um produto de números reais é zero se, e somente se, ao menos um de seus fatores é zero. Quando um polinômio já está fatorado, essa propriedade costuma ser o caminho mais curto para encontrar suas raízes.

Equação quadrática

Sejam \(a,b,c\in \mathbb {R}\), com \(a\neq 0\). Uma equação quadrática é uma equação que pode ser escrita na forma

A fórmula de resolução pode ser obtida completando um quadrado. Multiplicamos os dois membros por \(4a\neq 0\) e reorganizamos os termos:

Denotamos por \(\Delta =b^2-4ac\) o discriminante. Se \(\Delta \lt 0\), o quadrado do membro esquerdo não pode ser igual a \(\Delta \), e a equação não tem soluções reais. Se \(\Delta \geq 0\), então

de onde obtemos

Portanto,

Equações biquadráticas

Uma equação biquadrática na variável \(x\) é uma expressão da forma:

onde \(a,b,c\) são números reais e \(a\neq 0\). Para resolver uma equação biquadrática, fazemos a substituição \(t=x^2\) e, portanto, \(t^2=x^4\). A equação \(ax^4+bx^2+c=0\) transforma-se na quadrática \(at^2+bt+c=0\). Há, contudo, uma restrição que deve acompanhar a substituição: como \(t=x^2\), necessariamente \(t\geq 0\). Descartamos, assim, as raízes negativas em \(t\). Para cada raiz \(t\gt 0\), obtemos \(x=\pm \sqrt t\); se \(t=0\), obtemos apenas \(x=0\).

Equações polinomiais de grau mais alto nem sempre admitem uma fórmula simples de resolução. A fatoração, as substituições adequadas e informações sobre as raízes tornam-se então especialmente importantes. Em um contexto mais amplo, temos o resultado seguinte.

Em \(\mathbb {R}\), o limite superior dado pela proposição não precisa ser atingido. Por exemplo, \(x^2+1\) não possui raízes reais. Para o que faremos neste livro, basta distinguir fatores lineares reais de fatores quadráticos sem raízes reais.

6.1.2 Equações Envolvendo Expressões Racionais

Ao resolver uma equação com expressões racionais \(p(x)/q(x)\), começamos excluindo os valores para os quais algum denominador se anula. Depois disso, podemos multiplicar os dois membros por um denominador comum: essa multiplicação é uma equivalência no domínio já estabelecido, pois o fator usado é diferente de zero em todos os pontos desse domínio. Ao final, os candidatos devem ser comparados com as exclusões iniciais.

O exemplo seguinte mostra por que a restrição de domínio deve ser registrada antes de eliminar denominadores.

No próximo exemplo, o denominador comum elimina as frações, mas conduz a uma equação quadrática. Convém separar com clareza essas duas etapas.

6.1.3 Equações Envolvendo Raízes

Nas equações com radicais, o domínio e o sinal dos membros orientam cada passo. Para uma raiz de índice par, o radicando deve ser não negativo; raízes de índice ímpar estão definidas para todo radicando real. Além disso, de \(u=v\) sempre podemos concluir \(u^2=v^2\), mas a recíproca não vale sem informações sobre os sinais. Por exemplo, \(x^2=1\) tem as soluções \(-1\) e \(1\), enquanto \(x=1\) tem apenas a segunda.

Em particular, a igualdade \(\sqrt{u(x)}=v(x)\) equivale ao sistema

Também é possível elevar ao quadrado, obter candidatos e substituí-los na equação original. A formulação pelo sistema, porém, ajuda a localizar desde o início as condições que tornam a operação reversível.

Quando há mais de um radical, a estratégia usual é isolar um deles antes de elevar ao quadrado. Esse procedimento pode precisar ser repetido; a cada repetição, as condições de domínio e de sinal devem continuar visíveis.

Uma outra técnica frequentemente usada na resolução de equações envolvendo raízes é multiplicar a equação por uma expressão diferente de zero, em especial pelo conjugado.

6.1.4 Equações Envolvendo Módulos

O módulo \(|u|\) representa a distância entre \(u\) e \(0\) na reta real. Por isso, se \(a\gt 0\), a equação \(|u|=a\) descreve dois valores possíveis para \(u\):

Se \(a=0\), temos apenas \(u=0\); se \(a\lt 0\), não há solução. Quando aparecem vários módulos, os zeros das expressões internas dividem a reta em intervalos. Em cada intervalo, o sinal dessas expressões é conhecido e os módulos podem ser retirados de acordo com sua definição.

6.2 Inequações

Nas equações, procuramos os valores em que duas expressões são iguais. Nas inequações, procuramos os valores em que uma delas é maior ou menor que a outra. Graficamente, resolver \(f(x)\gt g(x)\) significa determinar as abscissas para as quais o gráfico de \(f\) está acima do gráfico de \(g\).

Uma inequação em uma variável compara duas expressões por meio de um dos símbolos \(\lt ,\leq ,\gt \) ou \(\geq \):

Seu domínio é \(D=\operatorname {Dom}f\cap \operatorname {Dom}g\). Uma solução é um valor de \(D\) que torna verdadeira a desigualdade; o conjunto de todos esses valores é o conjunto-solução. Assim,

Quando estiver claro a qual inequação nos referimos, usaremos simplesmente \(\operatorname *{Sol}\nolimits \).

Subtraindo \(g(x)\) dos dois membros, toda inequação pode ser convertida em um estudo do sinal de \(h(x)=f(x)-g(x)\). Por exemplo,

Essa observação explica por que zeros, pontos excluídos do domínio e quadros de sinais aparecem repetidamente nesta seção.

É especialmente perigoso multiplicar uma inequação por uma expressão cujo sinal é desconhecido: se ela for negativa, o sentido da desigualdade deve ser invertido; se for zero, a operação pode nem sequer ser reversível. O quadro de sinais evita esse problema.

Exercício 6.10

No gráfico, estão representadas \(f(x)=x\) e \(g(x)=2-x\) no domínio \([-1,3]\). Determine os conjuntos-solução de \(f(x)=g(x)\), \(f(x)\gt g(x)\) e \(f(x)\leq g(x)\).

Ver solução

Os gráficos se cruzam em \(x=1\). No domínio indicado,

\[ \operatorname *{Sol}\nolimits _{f=g}=\{ 1\} ,\qquad \operatorname *{Sol}\nolimits _{f\gt g}=(1,3],\qquad \operatorname *{Sol}\nolimits _{f\leq g}=[-1,1]. \]

Exercício 6.11

Uma peça deve medir \(25\, \mathrm{mm}\), com tolerância estrita de \(0{,}02\, \mathrm{mm}\). Escreva uma inequação modular e determine os comprimentos aceitos.

Ver solução

A condição é \(|x-25|\lt 0{,}02\), equivalente a \(24{,}98\lt x\lt 25{,}02\).

6.2.1 Inequações Envolvendo Polinômios

Inequação linear

Uma inequação linear é uma inequação que pode ser escrita em uma das seguintes formas:

onde \(a,b\) são números reais e \(a\neq 0\). Para resolvê-la, usamos as propriedades de ordem de \(\mathbb {R}\).

Para polinômios de grau maior, a fatoração transforma o problema em um estudo dos sinais dos fatores. Suponha, por exemplo, que

Em cada intervalo determinado pelas raízes, o sinal de cada fator \(x-r_i\) é fixo; por isso, o sinal do produto também é fixo. Ao atravessar uma raiz de multiplicidade ímpar, o sinal do fator correspondente muda; ao atravessar uma raiz de multiplicidade par, ele permanece o mesmo. Essa observação algébrica é suficiente para todos os quadros de sinais construídos a seguir.

Inequações quadráticas e polinomiais

Uma inequação quadrática é uma desigualdade que pode ser colocada em uma das formas:

onde \(a,b,c\) são números reais e \(a\neq 0\). Se \(\Delta \geq 0\), resolvemos \(ax^2+bx+c=0\) e fatoramos o polinômio por meio de suas raízes. Os fatores obtidos determinam o sinal em cada intervalo. Se \(\Delta \lt 0\), a identidade

mostra diretamente que a expressão tem sempre o sinal de \(a\), pois o termo entre colchetes é positivo.

Nos casos \(\lt \) e \(\gt \), as raízes não são incluídas. Nos casos \(\leq \) e \(\geq \), elas são incluídas, pois tornam o polinômio igual a zero.

Solução

Escreva \(\Delta =b^2-4ac\). Há três casos.

Caso (i): \(\Delta \gt 0\). Sejam \(x_1\lt x_2\) as duas raízes reais. A fatoração

\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) \]

permite ler o sinal de cada fator. Como \(a\gt 0\), o produto é positivo fora do intervalo entre as raízes e negativo dentro dele, conforme mostra o quadro.

Portanto, neste caso, \(\operatorname *{Sol}\nolimits =(x_1,x_2)\).

Caso (ii): \(\Delta =0\). Há uma raiz dupla \(r=-b/(2a)\), e

\[ ax^2+bx+c=a(x-r)^2\geq 0. \]

O polinômio nunca é estritamente negativo; logo, \(\operatorname *{Sol}\nolimits =\emptyset \).

Caso (iii): \(\Delta \lt 0\). Pela forma de quadrado completado apresentada acima, \(ax^2+bx+c\) tem sempre o sinal de \(a\). Como \(a\gt 0\), ele é positivo para todo \(x\), e novamente \(\operatorname *{Sol}\nolimits =\emptyset \).

6.2.2 Inequações Envolvendo Expressões Racionais

Uma inequação racional combina dois cuidados. Primeiro, os zeros dos denominadores são excluídos do domínio. Depois de reunir os termos em uma única fração, estudamos separadamente o sinal do numerador e o do denominador. Os zeros do numerador podem pertencer à solução de uma desigualdade não estrita; os zeros do denominador nunca pertencem, pois a expressão não está definida neles.

6.2.3 Inequações Envolvendo Raízes

Para resolver inequações com raízes quadradas, precisamos controlar tanto o domínio quanto o efeito de elevar os dois membros ao quadrado. Em uma equação com um número finito de candidatos, podemos testar cada valor obtido. Nas inequações, em que as soluções costumam formar intervalos, é mais conveniente preservar a equivalência em cada etapa.

A função quadrado é estritamente crescente em \([0,\infty )\). Portanto, se \(u,v\geq 0\), temos \(u\lt v\) se, e somente se, \(u^2\lt v^2\); o mesmo vale com \(\leq \), \(\gt \) ou \(\geq \). Assim, podemos elevar os dois membros ao quadrado depois de garantir que ambos são não negativos. Se um deles puder ser negativo, separamos os casos antes dessa operação. Vejamos como aplicar esse cuidado.

6.2.4 Inequações Envolvendo Módulos

A interpretação de \(|u|\) como distância fornece equivalências úteis. Para \(a\gt 0\),

Quando há vários módulos ou expressões mais complexas dentro deles, retomamos a separação em casos. Em cada intervalo determinado pelos zeros das expressões internas, retiramos os módulos e resolvemos a inequação correspondente, respeitando a condição que define o intervalo.

6.3 Equações e Inequações Exponenciais e Logarítmicas

As funções exponenciais e logarítmicas estudadas no capítulo de funções exponenciais e logarítmicas permitem resolver novos tipos de comparação. Em ambos os casos, a monotonicidade é o princípio central: ela garante a injetividade usada nas equações e determina se o sentido de uma desigualdade deve ser preservado ou invertido.

6.3.1 Equações Exponenciais e Logarítmicas

Fixe uma base \(a\gt 0\), com \(a\neq 1\). Como a função \(x\mapsto a^x\) é injetiva,

O primeiro objetivo, portanto, é escrever os dois membros com a mesma base. Se isso não for possível diretamente, uma substituição pode converter a equação exponencial em uma equação polinomial.

Nas equações logarítmicas, as condições de existência vêm antes do uso das propriedades algébricas. Para que \(\log _a u(x)\) esteja definido, precisamos de \(u(x)\gt 0\). Sob essa condição, a função logarítmica também é injetiva:

desde que \(u(x)\gt 0\) e \(v(x)\gt 0\).

6.3.2 Inequações Exponenciais e Logarítmicas

Quando \(a\gt 1\), as funções \(a^x\) e \(\log _a x\) são estritamente crescentes e preservam a ordem. Quando \(0\lt a\lt 1\), ambas são estritamente decrescentes e invertem a ordem. Em símbolos,

com \(u,v\gt 0\) nas comparações logarítmicas. As mesmas regras valem para os outros símbolos de desigualdade.

6.4 Equações e Inequações Trigonométricas

As funções trigonométricas apresentam uma diferença importante em relação às funções exponenciais e logarítmicas: elas são periódicas e, portanto, repetem seus valores. Assim, uma equação trigonométrica pode ter infinitas soluções, mesmo quando sua forma é muito simples. O procedimento natural é encontrar as soluções em um período e, em seguida, usar a periodicidade para descrever todas as demais.

As funções trigonométricas inversas fornecem um ângulo principal, mas não resolvem sozinhas o problema. Por exemplo, \(\operatorname {arcsen}(1/2)=\pi /6\), embora o seno também valha \(1/2\) em \(5\pi /6\) e nos ângulos obtidos desses dois pela adição de voltas completas.

6.4.1 Equações Trigonométricas

Considere primeiro uma equação da forma \(\operatorname {sen}x=a\). Se \(|a|\gt 1\), não há solução real, pois a imagem do seno é \([-1,1]\). Se \(|a|\leq 1\) e \(\alpha =\operatorname {arcsen}a\), então

As duas famílias correspondem aos pontos de mesma altura na circunferência unitária. De modo semelhante, se \(|a|\leq 1\) e \(\alpha =\arccos a\), então

Por fim, para todo \(a\in \mathbb {R}\),

pois o período da tangente é \(\pi \).

Quando a incógnita aparece dentro do argumento da função, resolvemos primeiro a equação trigonométrica no argumento e somente depois voltamos à variável original.

Algumas equações podem ser tratadas como equações algébricas em \(\operatorname {sen}x\) ou \(\cos x\). A substituição auxilia a fatoração, mas as raízes encontradas ainda precisam pertencer à imagem da função trigonométrica.

6.4.2 Inequações Trigonométricas

Nas inequações, a ideia é a mesma: analisamos primeiro um período e depois repetimos o conjunto obtido. O gráfico ou a circunferência unitária permitem identificar não apenas os pontos de igualdade, mas também os arcos nos quais a função fica acima ou abaixo do valor de referência.

Quando aparece uma função que não está definida em todos os reais, seus pontos excluídos continuam fora do conjunto-solução. Em particular, nas inequações com tangente devemos respeitar os pontos \(\pi /2+k\pi \), nos quais \(\cos x=0\).