Há muito tempo é um axioma meu que as pequenas coisas são infinitamente as mais importantes.
Até aqui, perguntamos que valor uma função assume em um ponto. Agora queremos saber o que acontece com seus valores quando a variável se aproxima desse ponto. A diferença é importante: podemos estudar essa aproximação mesmo quando a função não está definida no ponto de chegada.
O problema da reta tangente nos dará uma primeira interpretação geométrica dessa ideia. Os exemplos numéricos e os gráficos sugerem respostas; a definição de limite permitirá justificá-las. A partir dela, construiremos as propriedades dos limites e a noção de continuidade.
7.1 Aproximação e reta tangente
7.1.1 A reta tangente
No capítulo de funções algébricas, a reta tangente foi apresentada pela direção local da curva. Agora precisamos dar um sentido preciso à aproximação das inclinações das secantes. Fixado \(P=(a,f(a))\), o problema é determinar se essas inclinações se aproximam de um único número quando o segundo ponto do gráfico se aproxima de \(P\). A Figura 7.1 ilustra a reta que esse número, quando existe, determina.
Figura7.1Reta tangente a \(f\) em \(P\). A construção seguinte mantém \(P\) fixo e faz variar o segundo ponto \(Q\). O que deve ser controlado é a diferença entre a inclinação de cada secante e o valor conjecturado para a inclinação da tangente.
Figura7.2Retas secante e tangente ao gráfico de \(f\).
A partir de agora, denotaremos por \(x\) a abscissa fixa de \(P\). Assim, \(P=(x,f(x))\) e \(Q=(x+h,f(x+h))\). O coeficiente angular da reta secante é
Figura7.3Quociente incremental entre os pontos \(P\) e \(Q\). Quando as inclinações das secantes por \(P\) e \(Q\) se aproximam de um único valor finito à medida que \(Q\) se aproxima de \(P\), esse valor define a inclinação da reta tangente. Escrevemos então:
O limite anterior, se existir como número real, é denominado derivada da função \(f\) no ponto \(x\).
Figura7.4 Conforme o ponto \(Q\) se aproxima de \(P\) as retas secantes se aproximam da reta tangente.
Exercício 7.1 (Encostar não é a definição)
Considere \(f(x)=x^3\) e \(g(x)=|x|\), com o ponto fixo \(P=(0,0)\). A tangente será entendida como a reta determinada por um limite finito das inclinações das secantes por \(P\).
Para cada gráfico, escreva a inclinação da secante entre \(P\) e o ponto de abscissa \(h\neq 0\). O que acontece quando \(h\) se aproxima de zero por cada lado?
Em qual gráfico o eixo horizontal é tangente em \(P\)? Use os dois exemplos para avaliar a frase “uma tangente apenas encosta na curva, sem atravessá-la”.
Ver solução
a) Para \(f\), a inclinação é \(h^3/h=h^2\), que se aproxima de \(0\) pelos dois lados. Para \(g\), é \(|h|/h\), igual a \(-1\) à esquerda e a \(1\) à direita. b) O eixo horizontal é tangente ao gráfico de \(x^3\), embora a curva o atravesse. No gráfico de \(|x|\), o eixo apenas toca a curva, mas as secantes não têm uma inclinação limite comum. A frase não serve como definição.
Exercício 7.2 (Calculando as inclinações das secantes)
Considere \(f(x)=x^2-3x\) e o ponto \(P=(2,-2)\) de seu gráfico. Para \(h\neq 0\), seja \(Q=(2+h,f(2+h))\).
Encontre uma expressão para o coeficiente angular da secante \(PQ\) e calcule seu valor para \(h=-0{,}1\), \(-0{,}01\), \(0{,}01\) e \(0{,}1\).
Que inclinação esses valores sugerem para a tangente em \(P\)? Determine a equação dessa reta.
Quão pequeno deve ser \(|h|\) para que a inclinação da secante difira da inclinação da tangente por menos de \(0{,}001\)?
A figura usa coordenadas locais \(h=x-2\) e \(\Delta f=f(2+h)-f(2)\), de modo que \(P\) corresponde à origem. Ver solução
Como \(f(2+h)=-2+h+h^2\), temos
\[ m(h)=\frac{f(2+h)-f(2)}h=1+h. \]
Os valores são, na ordem, \(0{,}9\), \(0{,}99\), \(1{,}01\) e \(1{,}1\). O limite de \(m(h)\) quando \(h\to 0\) é \(1\) e a tangente tem equação
\[ y+2=x-2,\qquad \boxed {y=x-4}. \]
Finalmente, \(|m(h)-1|=|h|\), de modo que a condição desejada é
\[ \boxed {0\lt |h|\lt 0{,}001}. \]
Exercício 7.3 (Uma tangente ao gráfico de uma função racional)
Considere \(g(x)=1/x\), para \(x\gt 0\).
Calcule a inclinação da secante entre \(P=(2,1/2)\) e \(Q=(2+h,1/(2+h))\), com \(h\neq 0\) e \(h\gt -2\).
Fazendo \(h\to 0\), determine a equação da tangente em \(P\).
Verifique algebricamente que o gráfico de \(g\) fica acima dessa reta para \(x\gt 0\), exceto no ponto de tangência.
O problema da reta tangente conduz ao estudo de uma função nas proximidades de um ponto. A noção de limite formaliza esse tipo de comportamento: interessa determinar como se comportam os valores de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de \(a\), sem exigir que \(x=a\).
Descrição Informal de Limite
Dizemos que o limite da função \(f\) é \(L\) quando \(x\) tende a \(a\) se os valores \(f(x)\) se tornam arbitrariamente próximos de \(L\) quando \(x\) está suficientemente próximo de \(a\), mas é diferente de \(a\). Denotamos esse fato por:
\[ \lim \limits _{x\to a} f(x)=L \]
Figura7.5O limite descreve o comportamento local da função nas proximidades do ponto, independentemente do valor assumido nele. No exemplo, \(f(1)=0\), mas \(\lim \limits _{x\to 1}f(x)=2\).
Para estudar o limite de \(f\) em \(a\), é necessário que existam pontos do domínio, distintos de \(a\), arbitrariamente próximos de \(a\). O valor da função no próprio ponto, quando existe, não participa dessa análise. A Figura 7.6 reúne três situações em que o limite em \(a\) é \(L\). Na primeira, \(f(a)=L\); na segunda, \(g\) não está definida em \(a\); na terceira, \(h(a)\) está definido, mas é diferente de \(L\). Nos três casos, os valores da função se aproximam de \(L\) quando \(x\) se aproxima de \(a\), embora o valor no ponto seja tratado de maneiras distintas. Já a Figura 7.7 mostra duas situações em que o limite não existe.
Figura7.6Exemplos de funções para as quais o limite quando \(x\) tende a \(a\) é \(L\).
Figura7.7Exemplos de funções para as quais o limite não existe.
Consideremos inicialmente alguns exemplos em que o limite existe.
Exemplo 7.1
Conjecture o valor de \(\lim \limits _{x\to 2}(3x+1)\).
Solução
Para valores de \(x\) próximos de \(2\), a tabela abaixo registra os valores correspondentes de \(3x+1\):
$x$
$3x+1$
3
10
2{,}1
7{,}3
2{,}01
7{,}03
2{,}001
7{,}003
⋮
⋮
$↓$
$↓$
2
7
$x$
$3x+1$
1
4
1{,}9
6{,}7
1{,}99
6{,}97
1{,}999
6{,}997
⋮
⋮
$↓$
$↓$
2
7
A tabela sugere que os valores da função se aproximam de \(7\) quando \(x\) se aproxima de \(2\). Essa observação pode ser expressa quantitativamente. Por exemplo,
A distância entre os valores da função e \(7\) pode, portanto, ser controlada pela distância entre \(x\) e \(2\). Essa relação será formalizada na definição de limite.
Exemplo 7.2
Conjecture o valor de \(\lim \limits _{x\to 1} \dfrac {2x^2-2x}{x-1}\).
Solução
A função não está definida em \(x=1\). Isso não impede o estudo do limite, pois interessam os valores assumidos em pontos do domínio próximos de \(1\). A tabela abaixo registra alguns desses valores.
$x$
$\dfrac{2x^2-2x}{x-1}$
10
20
1{,}1
2{,}2
1{,}01
2{,}02
1{,}001
2{,}002
1{,}0001
2{,}0002
1{,}00001
2{,}00002
⋮
⋮
$↓$
$↓$
1
2
$x$
$\dfrac{2x^2-2x}{x-1}$
0{,}5
1
0{,}9
1{,}8
0{,}99
1{,}98
0{,}999
1{,}998
0{,}9999
1{,}9998
0{,}99999
1{,}99998
⋮
⋮
$↓$
$↓$
1
2
Figura7.8Gráfico de \(\dfrac {2x^2-2x}{x-1}\). A tabela e a Figura 7.8 sugerem que
O ponto \(x=1\) permanece fora do domínio, mas isso não interfere no comportamento da função em suas proximidades.
Exemplo 7.3
Conjecture o valor de \(\lim \limits _{x\to 0} \dfrac {\sqrt{x+25}-5}{x}\).
Solução
A expressão \(\dfrac {\sqrt{x+25}-5}{x}\) não está definida em \(x=0\).
Figura7.9Gráfico de \(\dfrac {\sqrt{x+25}-5}{x}\) nas proximidades de \(x=0\), com o ponto removido. Calculando valores dos dois lados de zero, obtemos:
$x<0$
$\dfrac{\sqrt{x+25}-5}{x}$
$x>0$
$\dfrac{\sqrt{x+25}-5}{x}$
$-1$
$0{,}10102$
$1$
$0{,}09902$
$-0{,}1$
$0{,}10010$
$0{,}1$
$0{,}09990$
$-0{,}01$
$0{,}10001$
$0{,}01$
$0{,}09999$
$-0{,}001$
$0{,}10000$
$0{,}001$
$0{,}10000$
Nesse caso, tanto o numerador quanto o denominador se anulam em \(x=0\). Os valores dos dois lados sugerem a mesma aproximação, o que nos leva a conjecturar que
Ela explica a aproximação observada na tabela: o denominador do membro direito se aproxima de \(10\). As propriedades de limite justificarão esse cálculo no Exemplo 7.25.
Exemplos em que o limite não existe
Exemplo 7.4 (Comportamentos diferentes à esquerda e à direita)
Seja \(g(x)=\dfrac {\left\lvert x\right\rvert }{x}\), definida para \(x\neq 0\). O limite \(\lim \limits _{x\to 0}g(x)\) não existe.
Figura7.10Não existe o limite \(\lim \limits _{x\to 0} \dfrac {\left\lvert x\right\rvert }{x}\) As igualdades anteriores mostram que, arbitrariamente perto de zero, há pontos em que \(g(x)=1\) e pontos em que \(g(x)=-1\). Esse comportamento sugere que o limite não existe. Provaremos esse fato no Exemplo 7.12.
Exemplo 7.5 (Comportamento ilimitado)
Não existe limite finito para \(\lim \limits _{x\to 0}\dfrac {1}{\left\lvert x\right\rvert }\).
Solução
Figura7.11A função \(1/|x|\) não tem limite finito quando \(x\) tende a zero. Seja \(h(x)=\dfrac {1}{\left\lvert x\right\rvert }\). Quando \(x\) se aproxima de \(0\) por qualquer dos lados, \(h(x)\) cresce sem limite, como ilustra a Figura 7.11. Podemos tornar \(h(x)\) maior que qualquer número real dado tomando \(x\neq 0\) suficientemente próximo de \(0\). Como \(h(x)\) não se aproxima de nenhum número real, não existe limite finito. Esse comportamento será descrito adiante pela notação \(\lim \limits _{x\to 0}h(x)=+\infty \).
Exercício 7.4 (Uma leitura isolada e a tendência próxima)
No intervalo \([0,4]\), a função é dada por \(f(x)=1+(x-2)^2\) quando \(x\neq 2\), mas foi registrado \(f(2)=3\). O ponto vazio não pertence ao gráfico.
Leia \(f(2)\) e o valor para o qual \(f(x)\) se aproxima quando \(x\) se aproxima de \(2\). Que informação cada um deles descreve?
Se \(0\lt |x-2|\lt 0{,}1\), a leitura está a menos de \(0{,}01\) de qual número? A leitura feita exatamente em \(x=2\) satisfaz essa mesma estimativa? Justifique sem arredondar valores.
Ver solução
a) \(f(2)=3\), mas \(\lim _{x\to 2}f(x)=1\). O primeiro número descreve o valor atribuído no ponto; o segundo descreve a tendência nas proximidades, excluindo o próprio ponto. b) Para \(x\neq 2\), \(|f(x)-1|=(x-2)^2\lt 0{,}01\). Em \(x=2\), porém, \(|f(2)-1|=2\). A condição \(x\neq 2\) é essencial para essa conclusão.
Exercício 7.5 (Uma tabela que escolhe os pontos)
Para investigar \(F(x)=\operatorname {sen}(\pi /x)\), \(x\neq 0\), uma pessoa usa apenas os pontos \(x_n=1/n\), com \(n=1,2,3,\ldots \). Todas as leituras da tabela são zero, e ela conclui que \(\lim _{x\to 0}F(x)=0\).
Verifique os valores da tabela e explique por que ela pode esconder parte do comportamento de \(F\).
Considere agora \(z_n=2/(4n+1)\). Calcule \(F(z_n)\) e observe que \(z_n\to 0\). O que essas duas formas de aproximação permitem concluir sobre o limite?
Ver solução
a) \(F(1/n)=\operatorname {sen}(n\pi )=0\). A tabela visita somente zeros da função; não controla suas leituras nos demais pontos próximos de zero. b) \(F(z_n)=\operatorname {sen}(2n\pi +\pi /2)=1\). Tanto \(x_n\) quanto \(z_n\) se aproximam de zero, mas as leituras permanecem em valores distintos. Portanto, o limite de \(F\) em zero não existe.
Exercício 7.6 (Uma tabela que pode enganar)
Retome \(f(x)=\operatorname {sen}(\pi /x)\), para \(x\ne 0\), do exercício anterior.
Compare os pontos \(x=1\), \(0{,}1\), \(0{,}01\) e \(0{,}001\) com a família \(x_n=1/n\) já investigada. Essa tabela explora outros valores da função?
Use a leitura \(f\bigl(\tfrac 2{4k+1}\bigr)=1\) obtida anteriormente e calcule \(f\bigl(\tfrac 2{4k+3}\bigr)\), com \(k\in \mathbb {N}\). Compare as duas formas de aproximação de zero quando \(k\) cresce.
Descreva a oscilação que essas duas amostragens revelam perto de zero. Acrescentar mais casas decimais aos pontos do primeiro item corrigiria a investigação baseada apenas em zeros? Justifique.
Ver solução
São os pontos \(1/n\) com \(n=1\), \(10\), \(100\) e \(1000\). Como \(f(10^{-n})=\operatorname {sen}(10^n\pi )=0\), a tabela continua restrita aos zeros já investigados.
Pelo exercício anterior, \(f\bigl(\tfrac 2{4k+1}\bigr)=\operatorname {sen}\bigl(2k\pi +\tfrac \pi 2\bigr)=1\). Já \(f\bigl(\tfrac 2{4k+3}\bigr)=\operatorname {sen}\bigl(2k\pi +\tfrac {3\pi }2\bigr)=-1\). Ambas as famílias de pontos se aproximam de zero quando \(k\) cresce.
Em pontos tão próximos de \(0\) quanto se queira, a função assume os valores \(1\) e \(-1\): essa oscilação impede uma única tendência, confirmando a ausência de limite já encontrada. Mais casas decimais nos pontos \(10^{-n}\) apenas acrescentariam zeros à tabela. É preciso variar a escolha dos pontos, pois uma tabela pode visitar somente valores especiais da função.
Exercício 7.7 (Da tabela à expressão algébrica)
Seja \(f(x)=\dfrac {x^3-8}{x-2}\), para \(x\neq 2\).
Calcule \(f(x)\) para \(x=1{,}9\), \(1{,}99\), \(2{,}01\) e \(2{,}1\). Que valor os resultados sugerem para o limite em \(2\)?
Fatore o numerador e justifique o limite por meio da expressão simplificada, sem depender apenas da tabela.
O ponto do gráfico de abscissa \(2\) foi deixado vazio, pois \(f(2)\) não está definido. Ver solução
Calcule a função nos pontos dados. Use os resultados para conjecturar o valor do limite:
\(f(x)=x^2+2x\) nos pontos \(1{,}1\quad 1{,}01 \quad 1{,}001\); \(\lim \limits _{x\to 1}(x^2+2x) \)
\(g(x)=\dfrac {x-4}{x^2-x-12}\) nos pontos \(4{,}1\quad 4{,}01 \quad 4{,}001\); \(\lim \limits _{x\to 4}\dfrac {x-4}{x^2-x-12}\)
\(h(x)=\dfrac {\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}\) nos pontos \(1{,}1\quad 1{,}01 \quad 1{,}001\); \(\lim \limits _{x\to 1}\dfrac {\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}\)
Ver solução
Os valores são \(3{,}41\), \(3{,}0401\) e \(3{,}004001\). Conjectura: \(3\), confirmada por substituição direta.
Os valores são aproximadamente \(0{,}140845\), \(0{,}142653\) e \(0{,}142837\). Conjectura: \(1/7\). Para \(x\neq 4\), a expressão é \(1/(x+3)\).
Os valores são aproximadamente \(0{,}661358\), \(0{,}666114\) e \(0{,}666611\). Conjectura: \(2/3\). Para confirmar, ponha \(u=x^{1/6}\): o quociente fica \((u^2-1)/(u^3-1)=(u+1)/(u^2+u+1)\), com \(u\to 1\).
Exercício 7.9 (Quando o computador arredonda)
Um computador em aritmética de dupla precisão calculou diretamente \(f(x)=(\sqrt{1+x^2}-1)/x^2\), para \(x\ne 0\).
o limite é \(1/2\), e os dois últimos valores da tabela são efeitos da aritmética finita. Para \(x=10^{-8}\), a soma \(1+x^2=1+10^{-16}\) pode ser arredondada para \(1\); subtrair \(1\) após a raiz produz então o numerador zero. Na forma racionalizada, o resultado é aproximadamente \(0{,}5\).
Exercício 7.10 (Ajustando dois trechos de uma função)
Determine \(a\) e \(b\) de modo que \(F(2)=1\) e que os valores de \(F(x)\) se aproximem do mesmo número quando \(x\to 1\) pela esquerda e pela direita.
Escolha \(c\) para que o valor \(F(1)\) também coincida com esse limite.
Se escolhermos \(c=5\), o limite quando \(x\to 1\) muda? Justifique.
O ponto em \(x=1\) foi deixado vazio; o parâmetro \(c\) ainda será escolhido. Ver solução
Para \(0\leq x\lt 1\), a racionalização fornece \(F(x)=1/(\sqrt{x}+1)\), que se aproxima de \(1/2\) quando \(x\to 1^-\). No trecho afim, o limite pela direita é \(a+b\); portanto, \(a+b=1/2\). Como \(F(2)=1\), também \(2a+b=1\). Resolvendo,
\[ \boxed {a=\frac12,\qquad b=0}. \]
Para que o valor no ponto coincida com o limite, escolhemos \(\boxed {c=1/2}\). Se escolhermos \(c=5\), apenas o valor no ponto muda; o limite permanece \(1/2\).
Exercício 7.11
Construa uma tabela de valores à esquerda e à direita de \(2\) para \(f(x)=(x^2-4)/(x-2)\). Conjecture o limite e explique por que o valor de \(f(2)\) não é necessário para calculá-lo. Ver solução
Para \(x\neq 2\), \(f(x)=x+2\). Por exemplo, os valores em \(1{,}9\), \(1{,}99\), \(2{,}01\) e \(2{,}1\) são, respectivamente, \(3{,}9\), \(3{,}99\), \(4{,}01\) e \(4{,}1\). Portanto, o limite é \(4\). O limite depende dos valores arbitrariamente próximos de \(2\), não do valor no ponto, que não está definido na expressão original.
7.3 Definição de limite
Nos exemplos anteriores, controlamos a distância entre \(f(x)\) e um número \(L\) por meio de uma condição sobre a distância entre \(x\) e \(a\).
No Exemplo 7.2, a condição \(0\lt |x-1|\lt 10^{-5}/2\) garante que a distância entre \(\dfrac {2x^2-2x}{x-1}\) e \(2\) seja menor que \(10^{-5}\). No Exemplo 7.1, a condição \(|x-2|\lt \varepsilon /3\) garante que \(|3x+1-7|\lt \varepsilon \). A definição de limite formaliza essa relação para qualquer margem de erro positiva.
Definição 7.1 (Limite)
Sejam \(f:A\to \mathbb {R}\), \(L\in \mathbb {R}\) e \(a\) um ponto de acumulação de \(A\), isto é, um ponto com elementos de \(A\setminus \{ a\} \) arbitrariamente próximos. Dizemos que
\[ \lim _{\substack {x\to a\\ x\in A}}f(x)=L \]
se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, para todo \(x\in A\setminus \{ a\} \),
O valor de \(f(a)\), quando definido, não participa da definição do limite.
Observação 7.6
Quando o domínio estiver claro pelo contexto, escreveremos simplesmente \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=L\), ficando subentendida a condição \(x\in A\).
A Figura 7.12 apresenta a interpretação geométrica da definição. Fixada a faixa \((L-\varepsilon ,L+\varepsilon )\), procuramos um intervalo \((a-\delta ,a+\delta )\) tal que todos os pontos do domínio nele contidos, exceto \(a\), tenham imagem nessa faixa. É essa correspondência entre os dois intervalos que aparece no terceiro gráfico.
Figura não resolvida: inl-c07-limites-014
Figura não resolvida: inl-c07-limites-015
Figura não resolvida: inl-c07-limites-016
Figura7.12Definição de Limite
A definição de limite pode ser reescrita em linguagem simbólica como:
A desigualdade \(|f(x)-L|\lt \varepsilon \) significa que o valor \(f(x)\) está a uma distância menor que \(\varepsilon \) de \(L\). A definição exige essa condição para todos os pontos do domínio que satisfaçam \(0\lt |x-a|\lt \delta \). Dada a tolerância \(\varepsilon \gt 0\), escolhemos uma distância \(\delta \gt 0\) que garanta esse controle para todos os pontos admissíveis do domínio; essa escolha não precisa ser única.
Uma demonstração pela definição costuma ter duas etapas:
Investigação. Partimos de um valor conjecturado \(L\) e procuramos controlar \(|f(x)-L|\) por \(|x-a|\). Uma fatoração ou uma estimativa pode sugerir a escolha de \(\delta \).
Verificação. Dado \(\varepsilon \gt 0\), fixamos o \(\delta \) encontrado e demonstramos a implicação para um ponto arbitrário do domínio.
A investigação descobre uma condição suficiente; a verificação mostra que essa condição funciona para todos os pontos admissíveis. As propriedades de limite, apresentadas adiante, ajudarão também a determinar o valor \(L\).
Proposição 7.7 (Unicidade do limite)
Sejam \(f:A\to \mathbb {R}\) e \(a\) um ponto de acumulação de \(A\). Se o limite de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de \(a\) existe, ele é único.
Demonstração▼
Suponha que \(L\neq M\) sejam ambos limites de \(f\) em \(a\). Tomando \(\varepsilon =|L-M|/3\), a definição garante que, para todo \(x\in A\) suficientemente próximo de \(a\), com \(x\neq a\), temos simultaneamente \(|f(x)-L|\lt \varepsilon \) e \(|f(x)-M|\lt \varepsilon \). Como \(a\) é ponto de acumulação, podemos escolher um ponto \(x\) nessas condições. Então
Verificação. Dado \(\varepsilon \gt 0\), tome \(\delta =\varepsilon /3\). Para qualquer \(x\) com \(0\lt |x-2|\lt \delta \), temos
\[ |3x+4-10|=3|x-2|\lt 3\delta =\varepsilon . \]
Portanto, a escolha satisfaz a definição de limite.
Exemplo 7.9 (Controlando um fator variável)
Mostre pela definição que \(\lim _{x\to 2}x^2=4\).
Solução
Investigação. A fatoração fornece
\[ |x^2-4|=|x-2||x+2|. \]
O primeiro fator mede a proximidade a \(2\), mas o segundo ainda depende de \(x\). Se restringirmos inicialmente \(|x-2|\lt 1\), teremos \(1\lt x\lt 3\) e \(|x+2|\lt 5\). Nessa vizinhança, \(|x^2-4|\lt 5|x-2|\). Para garantir também a tolerância \(\varepsilon \), escolhemos
Verificação. Dado \(\varepsilon \gt 0\), fixe esse \(\delta \). Se \(0\lt |x-2|\lt \delta \), as duas condições usadas na investigação valem simultaneamente. Logo,
O mínimo reúne duas exigências: limitar o fator \(|x+2|\) e atingir o erro prescrito. A escolha funciona para todo \(x\) da vizinhança, como exige a definição.
Exemplo 7.10
Mostre a partir da definição de limite que \(\lim \limits _{x\to a}c=c\)
Solução
Dado \(\varepsilon \gt 0\), podemos escolher \(\delta =1\), pois \(|c-c|=0\lt \varepsilon \) independentemente de \(x\). Assim, a condição da definição é satisfeita para todo \(x\) com \(0\lt |x-a|\lt \delta \).
Exemplo 7.11
Mostre a partir da definição de limite que \(\lim \limits _{x\to a}x=a\)
Solução
Dado \(\varepsilon \gt 0\), tome \(\delta =\varepsilon \). Se \(0\lt |x-a|\lt \delta \), então \(|x-a|\lt \varepsilon \).
Exemplo 7.12 (Demonstração de inexistência de limite)
Seja \(g(x)=\dfrac {\left\lvert x\right\rvert }{x}\), para \(x\ne 0\). Demonstre, a partir da definição de limite, que \(\lim \limits _{x\to 0}g(x)\) não existe.
Solução
Para \(x\ne 0\), temos
\[ g(x)= \begin{cases} 1 & \text{ se } x\gt 0 \\ -1 & \text{ se } x\lt 0 \end{cases} \]
Suponha, por absurdo, que exista um limite real \(L\). Aplicando a definição com \(\varepsilon =1\), existiria \(\delta \gt 0\) tal que \(|g(x)-L|\lt 1\) para todo \(0\lt |x|\lt \delta \).
Escolhendo \(x=\delta /2\gt 0\), teríamos \(|1-L|\lt 1\), isto é, \(0\lt L\lt 2\). Escolhendo \(x=-\delta /2\lt 0\), teríamos \(|-1-L|\lt 1\), isto é, \(-2\lt L\lt 0\). As duas condições são incompatíveis. Portanto, o limite bilateral não existe.
Exercício 7.12 (O \(\delta \) desenhado no gráfico)
Considere \(f(x)=\sqrt{x}\), para \(x\ge 0\), e o limite esperado \(\lim _{x\to 4}f(x)=2\). Tome inicialmente \(\varepsilon =0{,}1\).
Resolva \(|\sqrt{x}-2|\lt \varepsilon \) e encontre o maior intervalo aberto \((c,d)\) contendo \(4\) em que a desigualdade é satisfeita.
Determine o maior \(\delta \gt 0\) para o qual \(0\lt |x-4|\lt \delta \) implica \(|\sqrt{x}-2|\lt \varepsilon \). Por que se escolhe a menor distância de \(4\) aos extremos de \((c,d)\)?
Explique a assimetria das duas distâncias, comparando a variação do gráfico à esquerda e à direita de \(4\).
Repita para \(\varepsilon =0{,}01\) e calcule \(\delta /\varepsilon \) nos dois casos. Opcionalmente, obtenha uma expressão para \(0\lt \varepsilon \lt 2\) e examine o limite dessa razão quando \(\varepsilon \to 0^+\).
[figuras/proposta-20261016-q7-1-1.tex Figura7.13A faixa horizontal \(1{,}9\lt f(x)\lt 2{,}1\) determina um intervalo horizontal que não é simétrico em relação a \(x=4\).
Ver solução
Resolvendo \(1{,}9\lt \sqrt{x}\lt 2{,}1\) e elevando ao quadrado,
\[ 3{,}61\lt x\lt 4{,}41. \]
À esquerda de \(4\), a largura disponível é \(0{,}39\); à direita, \(0{,}41\). Para que \(|x-4|\lt \delta \) garanta a condição, usamos o menor valor:
\[ \boxed {\delta =0{,}39}. \]
O gráfico de \(\sqrt{x}\) é mais inclinado à esquerda de \(4\), e uma variação horizontal menor já produz a mesma variação vertical. Com \(\varepsilon =0{,}01\), obtemos
A relação geral, para \(0\lt \varepsilon \lt 2\), é \(\delta =4\varepsilon -\varepsilon ^2\). Consequentemente, \(\delta /\varepsilon =4-\varepsilon \): as razões são \(3{,}9\) e \(3{,}99\), e tendem a \(4\) quando \(\varepsilon \to 0\). Se \(\delta \) fosse maior que \(4\varepsilon -\varepsilon ^2\), o ponto \(x=(2-\varepsilon )^2\) estaria na faixa do domínio e teria erro exatamente \(\varepsilon \). Portanto, o valor encontrado é o maior admissível.
Dada a tolerância vertical \(\varepsilon \) para os valores da função, escolhemos um raio horizontal \(\delta \) em torno do ponto do domínio. A condição deve garantir que todos os valores correspondentes fiquem dentro da tolerância. O gráfico sugere; a desigualdade justifica.
Exercício 7.13 (Quem escolhe a precisão?)
Um estudante propõe a seguinte definição: “\(\lim _{x\to a}f(x)=L\) se, para todo \(\delta \gt 0\), existe \(\varepsilon \gt 0\) tal que \(0\lt |x-a|\lt \delta \) implica \(|f(x)-L|\lt \varepsilon \)”.
Mostre que, com essa definição, teríamos \(\lim _{x\to 0}\operatorname {sen}(1/x)=5\).
Explique qual papel de \(\varepsilon \) e de \(\delta \) foi invertido.
Na definição correta, por que se exige \(0\lt |x-a|\)? Use \(g(x)=1\) para \(x\ne 0\) e \(g(0)=5\).
Ver solução
Para qualquer \(\delta \), basta tomar \(\varepsilon =10\): \(|\operatorname {sen}(1/x)-5|\le 6\lt 10\). Qualquer função limitada teria como “limite” qualquer número.
Na definição correta a precisão \(\varepsilon \) é dada primeiro, de forma arbitrária, e o problema é encontrar a proximidade \(\delta \) que a garante.
O limite descreve os valores próximos de \(a\), e não em \(a\). Para \(g\), temos \(\lim _{x\to 0}g(x)=1\); se o ponto \(x=0\) fosse incluído, a condição \(|g(0)-1|=4\lt \varepsilon \) falharia para \(\varepsilon \le 4\).
Exercício 7.14
Pela definição \(\varepsilon \)–\(\delta \), demonstre que
\[ \lim _{x\to 3}(2x-1)=5. \]
Escolha um \(\delta \) em função de \(\varepsilon \) e verifique a implicação completa. Ver solução
Dado \(\varepsilon \gt 0\), tome \(\delta =\varepsilon /2\). Se \(0\lt |x-3|\lt \delta \), então
\[ |(2x-1)-5|=2|x-3|\lt 2\delta =\varepsilon . \]
Isso prova o limite pela definição.
Exercício 7.15
Demonstre cada limite pela definição \(\varepsilon \)–\(\delta \), indicando uma escolha de \(\delta \) em função de \(\varepsilon \).
Em todos os itens, dado \(\varepsilon \gt 0\), a escolha de \(\delta \) abaixo garante a desigualdade exigida pela definição.
Tome \(\delta =7\varepsilon \). Se \(0\lt |x-2|\lt \delta \), então \(|x/7-2/7|=|x-2|/7\lt \varepsilon \).
Tome \(\delta =\sqrt\varepsilon \). Se \(0\lt |x|\lt \delta \), então \(|x^2|\lt \delta ^2=\varepsilon \).
Tome \(\delta =\sqrt[3]\varepsilon \). Se \(0\lt |x|\lt \delta \), então \(|x^3|\lt \delta ^3=\varepsilon \).
Tome \(\delta =\min \{ 1,\varepsilon /5\} \). Se \(0\lt |x-2|\lt \delta \), então \(1\lt x\lt 3\), logo \(|x+2|\lt 5\) e \(|x^2-4|=|x-2||x+2|\lt 5\delta \leq \varepsilon \).
Exercício 7.16
Calcule, se existir, o limite, ou demonstre que não existe:
Prove que \(\lim \limits _{x\to 0}f(x)=0\). Ver solução
Para todo \(x\), temos \(0\leq f(x)\leq x^2\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), tome \(\delta =\sqrt\varepsilon \). Se \(0\lt |x|\lt \delta \), então \(|f(x)|\leq x^2\lt \varepsilon \), provando o limite pela definição.
7.4 Limites laterais
A definição de limite considera todos os pontos do domínio que se aproximam de \(a\). Quando o domínio tem pontos dos dois lados e o comportamento da função muda ao atravessar esse ponto, é útil examinar separadamente o que acontece à esquerda e à direita. Essa distinção também permite estudar o comportamento nos extremos de um intervalo.
Figura7.14Gráfico de uma função com limites laterais distintos na origem.
No Exemplo 7.12, vimos que a função \(g\) definida como
Os sinais \(-\) e \(+\) indicam o lado pelo qual \(x\) se aproxima do ponto. Formalizaremos agora essas duas formas de aproximação.
Definição 7.2
Sejam \(f:A\to \mathbb {R}\), \(a,L\in \mathbb {R}\), e suponha que existam pontos de \(A\) arbitrariamente próximos de \(a\) pela esquerda. Dizemos que o limite lateral de \(f(x)\) quando \(x\) tende a \(a\)pela esquerda é \(L\)
\[ \lim \limits _{x\to a^-}f(x)=L \]
se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que
Sejam \(f:A\to \mathbb {R}\), \(a,L\in \mathbb {R}\), e suponha que existam pontos de \(A\) arbitrariamente próximos de \(a\) pela direita. Dizemos que o limite lateral de \(f(x)\) quando \(x\) tende a \(a\)pela direita é \(L\)
\[ \lim \limits _{x\to a^+}f(x)=L \]
se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que
A condição sobre \(f(x)\) é a mesma nos dois casos. O que muda é a aproximação no domínio: pela esquerda, consideramos \(a-\delta \lt x\lt a\); pela direita, \(a\lt x\lt a+\delta \), sempre com \(x\in A\).
Figura7.15Interpretação geométrica dos limites laterais em \(x=a\). O próximo teorema mostra como os limites laterais determinam o limite quando podemos nos aproximar de \(a\) pelos dois lados.
Teorema 7.13
Seja \(f\) definida em um intervalo aberto contendo \(a\), exceto possivelmente em \(a\), e seja \(L\in \mathbb {R}\). Então
Se \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=L\), então a mesma estimativa que vale para \(0\lt |x-a|\lt \delta \) vale, em particular, quando \(x\lt a\) e quando \(x\gt a\). Logo, os dois limites laterais são iguais a \(L\).
Tomando \(\delta =\min \{ \delta _-,\delta _+\} \), todo \(x\) com \(0\lt |x-a|\lt \delta \) está em um desses dois casos. Portanto \(|f(x)-L|\lt \varepsilon \), e assim \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=L\).
O teorema anterior pode ser usado para demonstrar a existência ou não de alguns limites, como ilustrado nos exemplos seguintes:
Exemplo 7.14
Mostre que \(\lim \limits _{x\to 0} \left\lvert x\right\rvert =0\).
Solução
A existência do limite será verificada por meio dos limites laterais. Para isso, começaremos calculando o limite pela direita. Como \(\left\lvert x\right\rvert =x\) se \(x\gt 0\), temos que
Para o limite pela direita, consideramos \(x\) suficientemente próximo de \(n\), com \(n\lt x\lt n+1\). Nesse intervalo, \(\left[\! \left[x\right]\! \right]=n\). Portanto,
Como os limites laterais são distintos, \(\lim \limits _{x\to n}\left[\! \left[x\right]\! \right]\) não existe para nenhum \(n\in \mathbb {Z}\).
Figura7.17Comportamento lateral da função maior inteiro.
Exemplo 7.16 (Uma dose aplicada instantaneamente)
Imediatamente após a primeira dose de um medicamento, sua concentração no sangue é de \(4\, \mathrm{mg/L}\). A contribuição dessa dose decai, em função do tempo \(t\) medido em horas, segundo \(4e^{-0{,}1t}\). No instante \(t=2\), uma segunda dose aumenta instantaneamente a concentração em \(6\, \mathrm{mg/L}\); a contribuição adicional passa então a decair segundo \(6e^{-0{,}1(t-2)}\). Construa uma função por partes para a concentração total \(C(t)\), determine seus limites laterais em \(t=2\) e interprete a diferença entre eles.
Solução
Antes de \(t=2\), apenas a primeira dose contribui para a concentração. A partir desse instante, somam-se as contribuições das duas doses. Portanto,
Os limites laterais diferem em \(6\, \mathrm{mg/L}\); portanto, \(C\) é descontínua em \(t=2\). Nesse modelo idealizado, o salto representa uma dose que entra instantaneamente na corrente sanguínea.
Exercício 7.18 (O salto pode estar no visor)
Um visor arredonda uma entrada \(x\in [0,2]\) segundo a regra
Determine os limites laterais de \(D\) em \(x=1/2\), o valor \(D(1/2)\) e a existência do limite bilateral.
Mudar apenas a regra de desempate, atribuindo \(D(1/2)=0\), faria o limite bilateral existir?
Se o visor salta de \(0\) para \(1\), isso prova que a entrada física também sofreu um salto? Explique a diferença entre a entrada e sua representação.
Ver solução
a) O limite à esquerda é \(0\), o limite à direita é \(1\) e \(D(1/2)=1\). Como os laterais diferem, não há limite bilateral. b) Não: os limites laterais independem do valor atribuído exatamente em \(1/2\). c) Não. Uma entrada que varie continuamente, como \(x(t)=t\) em \([0,2]\), produz saltos no visor ao atravessar os limiares. O salto pode ser consequência do arredondamento.
Os limites laterais são \(3+C\) e \(3\). Eles coincidem se e somente se \(C=0\).
7.5 Propriedades do limite de funções
A definição permite justificar um limite controlando diretamente as distâncias envolvidas. Para calcular limites de expressões mais elaboradas, podemos aproveitar limites já conhecidos: as propriedades seguintes mostram como eles se combinam por meio das operações algébricas.
Proposição 7.17 (Propriedades do limite)
Sejam \(D\subset \mathbb {R}\), \(a\) um ponto de acumulação de \(D\), \(c\in \mathbb {R}\) e \(f,g:D\to \mathbb {R}\) tais que \(\lim \limits _{x\to a} f(x)=A\) e \(\lim \limits _{x\to a} g(x)=B\). Então, tomando todos os limites relativamente ao domínio \(D\):
\(\lim \limits _{x\to a} (f(x)+g(x))=A+B\). (Limite da Soma)
\(\lim \limits _{x\to a} (f(x)-g(x))=A-B\). (Limite da Diferença)
\(\lim \limits _{x\to a} (f(x)\cdot g(x))=AB\). (Limite do Produto)
\(\lim \limits _{x\to a} (c f(x))=cA\). (Limite do Produto por Escalar)
Se \(\lim \limits _{x\to a} g(x)=B\neq 0\) então \(\lim \limits _{x\to a} \left(\dfrac {f(x)}{ g(x)}\right)=\dfrac {A}{B}\). (Limite do Quociente)
\(\lim \limits _{x\to a}\left(f(x)^n\right) = A^n\) para todo inteiro \(n\geq 1\) (Limite de Potências)
Se \(f(x)\geq 0\) numa vizinhança perfurada de \(a\), então \(A\geq 0\) e \(\lim \limits _{x\to a}\sqrt{f(x)}=\sqrt A\) (Limite da Raiz)
As regras da soma, do produto e do quociente são demonstradas a partir da definição na Seção 7.8, de leitura opcional. As outras propriedades não são demonstradas nessa seção.
A condição \(A\geq 0\) na regra da raiz tem uma justificativa simples. Se \(f(x)\geq 0\) perto de \(a\) e \(A\lt 0\), a definição de limite, aplicada com \(\varepsilon =-A/2\), daria \(f(x)\lt A/2\lt 0\) para \(x\) suficientemente próximo de \(a\), uma contradição.
A propriedade da raiz vale também para raízes de índice inteiro \(n\geq 2\): se \(n\) é par, exigimos \(f(x)\geq 0\) perto de \(a\), o que implica \(A\geq 0\); se \(n\) é ímpar, não há restrição de sinal. Em ambos os casos, \(\lim \limits _{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{A}\).
Usaremos as propriedades anteriores para calcular alguns limites:
Para um polinômio, o limite em qualquer ponto pode ser calculado por substituição direta:
Teorema 7.20
Dado um polinômio \(p(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_1x+c_0\) então
\[ \lim \limits _{x\to a}p(x)=p(a). \]
Demonstração▼
A demonstração será feita por indução sobre o grau do polinômio. Se \(p(x)\) é um polinômio de grau zero, ou seja, constante, a igualdade é clara. Por hipótese indutiva, suponhamos que a igualdade anterior seja válida para os polinômios de grau menor ou igual a \(n-1\). Agora, usando a hipótese indutiva, 1. e 3. temos:
A regra do quociente exige que o limite do denominador seja diferente de zero. Quando \(\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0\), não podemos utilizá-la para calcular o limite de \(f(x)/g(x)\). Dizemos, nesse caso, que o quociente apresenta a forma indeterminada \(0/0\). A regra do quociente não se aplica diretamente. Nos exemplos seguintes, usaremos fatoração ou multiplicação pelo conjugado para simplificar a expressão.
Exemplo 7.23
Considere a função
\[ f(x) = \begin{cases} 3x-5 & \text{ se } x\lt 2 \\ 2x-C & \text{ se } x \geq 2\end{cases} \]
Determine o valor de \(C\) de modo que o limite \(\lim \limits _{x\to 2}f(x)\) exista.
Nesse caso não podemos realizar substituição direta, tampouco usar a propriedade 5. pois o limite do denominador é \(0\). Como o limite do numerador também é \(0\), temos que \(2\) é raiz de ambos os polinômios e assim:
Novamente, não podemos fazer substituição direta nem usar a propriedade 5., pois o limite do denominador é \(0\). Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador pelo conjugado:
Sejam \(f\), \(g\) e \(h\) definidas em um intervalo contendo \(a\), exceto possivelmente no próprio ponto, e suponha que, para todo \(x\neq a\) suficientemente próximo de \(a\),
Ao aplicar o teorema a estimativas com módulos, usaremos repetidamente a desigualdade triangular \(|u+v|\leq |u|+|v|\), estabelecida no capítulo Números.
Figura7.18Teorema do Confronto
Demonstração▼
Dado \(\varepsilon \gt 0\), a hipótese \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=L\) fornece \(\delta _1\gt 0\) tal que \(|f(x)-L|\lt \varepsilon \) quando \(0\lt |x-a|\lt \delta _1\). Analogamente, a hipótese \(\lim \limits _{x\to a}h(x)=L\) fornece \(\delta _2\gt 0\) para o qual \(|h(x)-L|\lt \varepsilon \) quando \(0\lt |x-a|\lt \delta _2\).
Escolhemos \(\delta =\min \{ \delta _1,\delta _2,r\} \), onde \((a-r,a+r)\) está contido no intervalo das hipóteses. Se \(0\lt |x-a|\lt \delta \), então
Determine se cada função tem limite quando \(x\to 0\). Para \(f\), use uma estimativa para \(|\operatorname {sen}(1/x)|\) e o Teorema do Confronto. Para \(g\), mostre que os valores \(1\) e \(-1\) são atingidos arbitrariamente perto de zero. Explique por que oscilar cada vez mais depressa não decide, por si só, a existência de um limite.
[figuras/proposta-20261016-e7-2-1.tex Figura7.19À esquerda, as oscilações ficam confinadas entre \(y=x\) e \(y=-x\) para \(x\gt 0\); à direita, sua amplitude permanece constante. Exibem-se os ramos à direita de zero.
A primeira função continua oscilando, mas suas oscilações ficam confinadas em uma faixa que se estreita até zero.
Na segunda função, as oscilações não diminuem. Por menor que seja \(\delta \gt 0\), o intervalo \((0,\delta )\) contém pontos nos quais \(1/x\) é um ângulo da forma \(\pi /2+2k\pi \) e pontos nos quais é da forma \(3\pi /2+2k\pi \) (basta tomar \(k\) inteiro suficientemente grande). Nesses pontos, \(g\) assume, respectivamente, os valores \(1\) e \(-1\).
Se existisse \(\lim _{x\to 0}g(x)=L\), poderíamos exigir que \(|g(x)-L|\lt 1/2\) para todos os \(x\) suficientemente próximos de zero. Mas nenhuma escolha de \(L\) pode satisfazer ao mesmo tempo \(|1-L|\lt 1/2\) e \(|-1-L|\lt 1/2\). Portanto, o limite não existe.
Ideia
Oscilar infinitamente não impede a existência de limite. O que interessa é se todos os valores da função acabam ficando arbitrariamente próximos do mesmo número. Um desenho, sozinho, sugere; o confronto e a definição de limite justificam.
Figura7.21Para \(0\lt |x|\lt \pi /2\), vale \(\cos x\lt \dfrac {\operatorname {sen}x}{x}\lt \dfrac 1{\cos x}\). O desenho representa o caso \(x\gt 0\). Considere no círculo trigonométrico um ângulo \(x\) com \(0\lt x\lt \pi /2\), como na Figura 7.21. Os triângulos \(\triangle OCB\) e \(\triangle OAD\) são semelhantes. Portanto, o comprimento \(h\) do segmento \(AD\) satisfaz
e a área de \(\triangle OAD\) é \(\dfrac {\operatorname {sen}x}{2\cos x}\). Denotemos por \(\mathrm{\acute{A}rea}(OAB)\) a área do setor circular \(OAB\). Como \(\triangle OBC\) está contido nesse setor, e o setor está contido em \(\triangle OAD\), obtemos:
O caso \(-\pi /2\lt x\lt 0\) segue substituindo \(x\) por \(-x\), pois tanto \(\cos x\) quanto \((\operatorname {sen}x)/x\) são funções pares.
Falta ainda estabelecer que \(\lim \limits _{x\to 0}\cos x=1\). Comparando o triângulo \(OAB\) com o setor circular, obtemos \(0\lt \operatorname {sen}x\lt x\) para \(0\lt x\lt \pi /2\). Pela paridade, \(|\operatorname {sen}x|\leq |x|\) para \(|x|\lt \pi /2\). Como \(\cos x\gt 0\) nesse intervalo,
O confronto mostra que \(\lim \limits _{x\to 0}\cos x=1\); pela regra do quociente, \(\lim \limits _{x\to 0} 1/\cos x=1\). Aplicando o Teorema do Confronto à desigualdade anterior, concluímos que
Não podemos usar diretamente a regra do quociente, pois \(\lim \limits _{x\to 0}x^2=0\). Para eliminar a indeterminação, multiplicaremos o numerador e o denominador por \(1+\cos x\).
Logo, \(|f(g(x))-L|\lt \varepsilon \), como desejado.
Exemplo 7.31
Mostre que \(\lim \limits _{x\to 2} \dfrac {\operatorname {sen}(x-2)}{x-2}=1\).
Solução
Podemos aplicar o Teorema 7.30 com \(f(y)=\operatorname {sen}(y)/y\) para \(y\neq 0\), \(g(x)=x-2\), \(a=2\) e \(b=0\). Para esse fim, observamos que \(g(x)\neq 0\) numa vizinhança de \(2\), excluindo o próprio \(2\). Dessa forma, como \(\lim \limits _{x\to 2} (x-2)=0\) e \(\lim \limits _{y \rightarrow 0}\operatorname {sen}(y)/y=1\), pelo Teorema 7.30, temos que:
Determine quais quocientes possuem limite em zero e compare os resultados.
Avalie as afirmações: “\(0/0\) indica que o limite é zero”; “\(0/0\) indica que o limite não existe”. Que informação falta para aplicar a regra do limite de um quociente?
Ver solução
a) \(A(x)=x\to 0\); \(B(x)=2\to 2\); \(C\) tem limites laterais \(-1\) e \(1\), portanto não tem limite bilateral. b) As duas afirmações são falsas: a forma \(0/0\) não determina o resultado. A regra direta para quocientes exige que o limite do denominador seja diferente de zero; quando isso falha, é necessário analisar a relação entre numerador e denominador.
No item 4, fatoramos \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\). No item 8, \(x^4-81=(x-3)(x+3)(x^2+9)\), para \(x\neq 3\). No item 9, a racionalização fornece \(1/(\sqrt{x^2+9}+3)\), cujo limite é \(1/6\).
Exercício 7.24
Dê exemplos de funções \(f\) e \(g\) tais que \(\lim \limits _{x\to a}(f(x)+g(x))\) exista, mas \(\lim \limits _{x\to a}f(x)\) e \(\lim \limits _{x\to a}g(x)\) não existam. Ver solução
Tome \(f(x)=1\) para \(x\gt a\), \(f(x)=-1\) para \(x\lt a\), e defina \(f(a)=0\). Faça \(g=-f\). Os limites laterais de cada função são distintos, logo nenhum dos limites bilaterais existe. Entretanto, \(f(x)+g(x)=0\) para todo \(x\), de modo que o limite da soma é \(0\).
Exercício 7.25
Determine \(a\) de modo que o limite exista. \(\lim \limits _{x\to 2}\dfrac {x^3-ax^2-9x+9a}{x^2-5x+6}\) Ver solução
O numerador se fatora como \((x-a)(x-3)(x+3)\), e o denominador como \((x-2)(x-3)\). Perto de \(2\), a expressão é \((x-a)(x+3)/(x-2)\). Para \(a=2\), ela se reduz a \(x+3\) e o limite é \(5\). Para \(a\neq 2\), o numerador tende a \(5(2-a)\neq 0\), enquanto o denominador troca de sinal em \(2\); os limites laterais são infinitos de sinais opostos. Portanto, o único valor é \(a=2\).
Exercício 7.26
Mostre que \(\lim \limits _{x\to 0} x^3 \cos \dfrac {1}{x}=0\). Ver solução
Temos \(|x^3\cos (1/x)|\leq |x|^3\) para \(x\neq 0\). Como \(|x|^3\to 0\) quando \(x\to 0\), o Teorema do Confronto dá o limite \(0\).
Exercício 7.27
Use o limite fundamental para calcular os seguintes limites:
Usamos \(\operatorname {sen}(kx)/x=k\, [\operatorname {sen}(kx)/(kx)]\) e \(\operatorname {tg}(5x)=\operatorname {sen}(5x)/\cos (5x)\). No último item, subtraímos os limites \(5\) e \(3\).
Exercício 7.28
Calcule \(\lim _{x\to 0}(1-\cos (3x))/x^2\) usando uma identidade trigonométrica e o primeiro limite fundamental. Ver solução
No primeiro item, compare explicitamente os limites laterais. Ver solução
No primeiro limite, o quociente vale \(-1\) à esquerda de \(-1\) e \(1\) à direita; como os limites laterais diferem, o limite bilateral não existe. No segundo,
O limite descreve o comportamento de uma função nas proximidades de um ponto, sem depender do valor assumido nele. A continuidade relaciona esse comportamento ao valor da função no próprio ponto.
Intuitivamente, uma função \(f:A\to \mathbb {R}\) é contínua em \(a\in A\) quando valores de \(x\in A\) suficientemente próximos de \(a\) produzem valores de \(f(x)\) próximos de \(f(a)\). Antes da definição formal, consideremos dois exemplos de descontinuidade.
Figura7.22O limite em \(x=1\) é \(2\), mas \(f(1)=3\). Na Figura 7.22, os valores de \(f(x)\) se aproximam de \(2\) quando \(x\) se aproxima de \(1\), mas \(f(1)=3\). Essa diferença entre o limite e o valor no ponto produz uma descontinuidade removível: bastaria definir \(f(1)=2\) para eliminá-la. Na Figura 7.23, a situação é diferente: o limite pela esquerda de \(1\) é \(1\), enquanto o limite pela direita é \(2\). Os valores laterais distintos produzem o “salto” no gráfico em \(x=1\).
Figura7.23Os limites laterais em \(x=1\) são distintos: \(1\) pela esquerda e \(2\) pela direita.
Considere agora a função \(f(x)=x^2\) nas proximidades de \(x=1\).
$x$
$x^2$
$2$
$4$
$1{,}5$
$2{,}25$
$1{,}3$
$1{,}69$
$1{,}2$
$1{,}44$
$1{,}1$
$1{,}21$
$1{,}01$
$1{,}0201$
$1{,}001$
$1{,}002001$
Intuitivamente, quando tomamos valores de \(x\) diferentes de \(1\) porém cada vez mais próximos de \(1\), os valores de \(f(x)\) se aproximam de \(f(1)=1\) e, logo, a função \(f(x)=x^2\) é contínua nesse ponto.
Figura7.24Continuidade de \(f(x)=x^2\) em \(x=1\).
Definição 7.4
Seja \(f:A\to \mathbb {R}\) e seja \(a\in A\). Dizemos que \(f\) é contínua em \(a\) quando, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que
A aproximação é sempre feita por pontos do domínio. Na extremidade de um intervalo com mais de um ponto, tomamos o limite pelo lado que pertence a ele.
Se \(a\) é um ponto isolado de \(A\), podemos escolher \(\delta \gt 0\) de modo que \(a\) seja o único ponto de \(A\) em \((a-\delta ,a+\delta )\). Nesse caso, \(|f(x)-f(a)|=0\) para o único \(x\) considerado, e a condição de continuidade é automaticamente satisfeita.
Uma função contínua em todos os pontos de seu domínio é dita contínua. Vejamos agora a continuidade de algumas funções elementares.
Teorema 7.32
As seguintes funções são contínuas (em todo o seu domínio):
Funções Polinomiais.
Funções Racionais.
\(\operatorname {sen}(x)\)
\(\cos (x)\)
\(c^x\), com \(c\gt 0\).
Demonstração▼
A continuidade das funções polinomiais e racionais decorre dos Teoremas 7.20 e 7.21: se \(p\) e \(q\) são polinômios e \(q(a)\neq 0\), então
Provaremos que \(\operatorname {sen}(x)\) é contínua. Para isso começamos mostrando que \(|\operatorname {sen}x|\leq |x|\) para \(|x|\lt \pi /2\), com desigualdade estrita quando \(x\neq 0\). Considere no círculo trigonométrico um ângulo \(x\) tal que \(-\pi /2\lt x\lt \pi /2\), conforme apresentado na Figura 7.25. Figura7.25Comparação entre o triângulo e o setor circular para \(0\lt |x|\lt \pi /2\).
Geometricamente, considerando o círculo unitário, a área do triângulo \(OBC\), que vale \(\left\lvert \operatorname {sen}(x)/2\right\rvert \), é menor que a área do setor circular \(OBC\), cujo valor é \(\left\lvert \dfrac {x}{2}\right\rvert \). Consequentemente, \(|\operatorname {sen}x|\leq |x|\) para \(|x|\lt \pi /2\), incluindo o caso \(x=0\), no qual ambos os membros se anulam. Fixado \(a\in \mathbb {R}\), a identidade da diferença de senos fornece, para \(|x-a|\lt \pi \),
Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolhemos \(\delta =\min \{ \pi ,\varepsilon \} \). Se \(|x-a|\lt \delta \), então \(|\operatorname {sen}x-\operatorname {sen}a|\lt \varepsilon \). Isso prova a continuidade do seno em qualquer \(a\).
Para o cosseno, a identidade da diferença dá, de modo semelhante,
Logo, as três funções são contínuas em \(a\) nas hipóteses indicadas.
Como corolário do teorema anterior, temos que a função \(\operatorname {tg}(x)=\dfrac {\operatorname {sen}(x)}{\cos (x)}\) é contínua em todos os pontos do seu domínio, isto é, em \(\mathbb {R}\setminus \{ \dfrac {\pi }{2}+k\pi , \text{ com } k\in \mathbb {Z}\} \)
Figura7.26Gráfico da função tangente e suas assíntotas verticais. Se \(\lim \limits _{x\to a}g(x)=b\) e \(f\) é contínua em \(b\), podemos calcular \(\lim \limits _{x\to a}f(g(x))\) como \(f(b)\), desde que a composição esteja definida nas proximidades consideradas.
Teorema 7.34 (Limite da composta)
Sejam \(f\) e \(g\) funções tais que \(\operatorname {Im}g\subset \operatorname {Dom}f\). Se \(f\) é contínua em \(b\) e
\[ \lim \limits _{x\to a}g(x)=b, \]
então
\[ \lim \limits _{x\to a}f(g(x))=f(b). \]
Demonstração▼
Dado \(\varepsilon \gt 0\), a continuidade de \(f\) em \(b\) fornece \(\eta \gt 0\) tal que \(y\in \operatorname {Dom}f\) e \(|y-b|\lt \eta \) implicam \(|f(y)-f(b)|\lt \varepsilon \). Como \(\lim \limits _{x\to a}g(x)=b\), existe \(\delta \gt 0\) tal que \(0\lt |x-a|\lt \delta \) implica \(|g(x)-b|\lt \eta \). Além disso, \(g(x)\in \operatorname {Dom}f\) pela hipótese. Logo,
Como consequência do Teorema do Limite da Composta (Teorema 7.34), a composição de funções contínuas é contínua:
Teorema 7.36
Sejam \(g:A\to B\) e \(f:B\to C\), definidas em vizinhanças adequadas de \(a\) e \(g(a)\). Se \(g\) é contínua em \(a\) e \(f\) é contínua em \(g(a)\), então \(f\circ g\) é contínua em \(a\).
Demonstração▼
Como \(g\) é contínua em \(a\),
\[ \lim \limits _{x\to a}g(x)=g(a). \]
Como \(f\) é contínua em \(g(a)\), o Teorema do Limite da Composta (7.34) dá
\[ \lim \limits _{x\to a}f(g(x))=f(g(a)). \]
Essa é precisamente a continuidade de \(f\circ g\) em \(a\).
Finalmente, uma função contínua e estritamente monótona em um intervalo tem inversa contínua em sua imagem.
Teorema 7.37
Seja \(I\) um intervalo e \(f:I\to \mathbb {R}\) contínua e estritamente monótona. Então \(f^{-1}:f(I)\to I\) é contínua em \(f(I)\), com a continuidade entendida relativamente ao domínio.
Demonstração▼
Suponha primeiro que \(f\) seja estritamente crescente e fixe \(y_0=f(x_0)\in f(I)\). Se \(x_0\) é interior a \(I\), dado \(\varepsilon \gt 0\) escolha \(u,v\in I\) tais que
Se \(y\in f(I)\) e \(|y-y_0|\lt \delta \), então \(f(u)\lt y\lt f(v)\). Aplicando \(f^{-1}\) e usando novamente a monotonicidade,
\[ u\lt f^{-1}(y)\lt v, \]
e, portanto, \(|f^{-1}(y)-x_0|\lt \varepsilon \).
Se \(x_0\) é uma extremidade de \(I\) que pertence ao intervalo, usa-se apenas o ponto \(u\) ou \(v\) disponível; isso fornece a mesma conclusão relativamente ao domínio \(f(I)\). O caso em que \(f\) é estritamente decrescente é análogo, com as desigualdades invertidas.
O Teorema 7.37 garante a continuidade das funções trigonométricas inversas em seus domínios. Ele também garante a continuidade dos logaritmos a partir da continuidade das exponenciais, cuja demonstração será apresentada no Teorema 8.25. Combinando as propriedades das operações com o Teorema 7.36, concluímos que as funções elementares — obtidas por soma, produto, quociente e composição de polinômios, raízes, funções trigonométricas e suas inversas, exponenciais e logaritmos — são contínuas em seus domínios. No caso das exponenciais e dos logaritmos, essa conclusão usa também o Teorema 8.25.
Definição 7.5
Uma função \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\) é dita contínua por partes se existe uma partição finita \(a=x_0\lt x_1\lt \cdots \lt x_n=b\) tal que \(f\) é contínua em cada intervalo \((x_{i-1},x_i)\) e possui limites laterais finitos em seus extremos, tomados pelo interior desse intervalo. Os valores de \(f\) nos pontos da partição podem diferir desses limites. A exigência de limites finitos exclui, por exemplo, singularidades ilimitadas em pontos da partição.
Figura7.27Uma função contínua por partes, com um salto em \(x=0\).
Exercício 7.32 (Uma resposta com cantos)
Um sensor idealizado reproduz a entrada enquanto ela está entre \(-1\) e \(1\). Fora dessa faixa, sua saída permanece em \(-1\) ou \(1\), como mostra o gráfico.
Escreva a saída \(S(x)\) por partes.
A mudança de regra em \(x=-1\) e \(x=1\) produz descontinuidade? Compare limites laterais e valores nos dois pontos e explique por que a presença de cantos não decide a questão.
Ver solução
a) \(S(x)=-1\) para \(x\lt -1\), \(S(x)=x\) para \(-1\leq x\leq 1\) e \(S(x)=1\) para \(x\gt 1\). b) Nos dois pontos, os limites laterais coincidem com a saída: \(-1\) em \(x=-1\) e \(1\) em \(x=1\). A função é contínua em ambos. A continuidade compara valores próximos, sem exigir que o gráfico tenha uma direção única em cada ponto.
Exercício 7.33 (Um intervalo ausente no domínio)
A função \(f:D\to \mathbb R\) é dada por \(f(x)=x\), com
\[ D=[-2,-1]\cup [1,2]. \]
Nas extremidades, considere apenas aproximações por pontos do próprio domínio.
A função é contínua em todos os pontos de \(D\)? Justifique também nas quatro extremidades.
O gráfico possui dois trechos separados e não assume o valor zero. Isso contradiz a continuidade? Que cuidado é necessário com a descrição informal “desenhar sem levantar o lápis”?
Ver solução
a) Sim. Para qualquer \(a\in D\), inclusive uma extremidade, \(|f(x)-f(a)|=|x-a|\) para os pontos \(x\in D\). Assim, aproximações no domínio produzem aproximações da saída. b) Não há contradição: faltam no domínio todos os pontos de \((-1,1)\). A imagem é o próprio \(D\). A descrição do lápis não deve ser aplicada sem considerar se o domínio é um intervalo.
Exercício 7.34 (O que um quociente permite concluir?)
Sabe-se que \(f\) é contínua em \(2\) e que
\[ \lim _{x\to 2}\frac{f(x)-5}{x-2}=3. \]
Mostre que \(\lim _{x\to 2}\bigl(f(x)-5\bigr)=0\). (Escreva \(f(x)-5=\dfrac {f(x)-5}{x-2}\, (x-2)\).)
Conclua o valor de \(f(2)\).
Sem a hipótese de continuidade, o que ainda se pode afirmar?
Ver solução
Pela regra do produto, o limite é \(3\cdot 0=0\).
\(\lim _{x\to 2}f(x)=5\) e, pela continuidade, \(f(2)=5\).
Ainda vale \(\lim _{x\to 2}f(x)=5\), mas \(f(2)\) pode ter qualquer valor (ou nem estar definido).
Exercício 7.35
Use o limite da composta para calcular os seguintes limites:
No item 3, o argumento do arco-seno simplifica-se para \((x+1)/(x+4)\) e tende a \(1/2\). No item 4, o argumento do arco-tangente simplifica-se para \((x+1)/(x-3)\) e tende a \(-1\).
Exercício 7.36 (O valor omitido pode reaparecer numa composição)
As duas funções internas tendem a \(1\), e o limite da função externa em \(1\) vale \(2\). Portanto, as duas composições tendem a \(2\).
Avalie sua validade calculando os limites de \(F(g(x))\) e \(F(h(x))\) quando \(x\to 0\).
Que hipótese do teorema de mudança de variáveis diferencia \(g\) de \(h\)? Se definirmos \(F(1)=2\), o que acontece com os dois limites das composições?
Ver solução
Os limites são, respectivamente, \(2\), \(1\) e \(1\). O valor isolado \(F(1)=5\) não interfere no limite de \(F\).
Para \(x\ne 0\), temos \(g(x)=1+x^2\ne 1\), portanto \(F(g(x))=2+x^2\) e
\[ \lim _{x\to 0}F(g(x))=2. \]
Já \(h(x)=1\) para todo \(x\), de modo que \(F(h(x))=F(1)=5\) e
\[ \lim _{x\to 0}F(h(x))=5. \]
A conclusão é falsa para a segunda composição.
Para aplicar apenas o limite de \(F\) em \(1\), a função interna deve evitar o ponto \(1\) nos valores suficientemente próximos de zero, mas diferentes de zero. Isso vale para \(g\), mas não para \(h\). Se \(F(1)=2\), a função externa passa a ser contínua em \(1\), e os dois limites são \(2\).
Prove que \(\lim \limits _{x\to 0}x^2 2^{\cos (x)}=0\).
Ver solução
\(8\).
\(1\).
\(132\).
\(-60\).
\(\frac{3}{2}\).
\(4\).
\(3 a^{2}\).
\(\frac{1}{12}\).
\(\frac{\sqrt{2}}{4}\).
\(0\).
No item 6, a racionalização reduz o quociente a \(2+\sqrt t\). No item 8, use \(a-b=(a^3-b^3)/(a^2+ab+b^2)\) com \(a=\sqrt[3]{8+t}\) e \(b=2\). No item 10, \(1/2\leq 2^{\cos x}\leq 2\), de modo que \(0\leq x^2 2^{\cos x}\leq 2x^2\to 0\).
Exercício 7.38 (Continuidade de funções construídas por composição)
Seja \(f:A\to \mathbb {R}\) contínua em \(a\in A\).
Justifique que \(|f|\) é contínua em \(a\).
Suponha também que \(f(x)\geq 0\) para todo \(x\in A\). Justifique que \(x\mapsto \sqrt{f(x)}\) é contínua em \(a\).
Ver solução
a) A função módulo é contínua em \(\mathbb {R}\). Pelo Teorema da Continuidade da Composta, \(|f|\) é contínua em \(a\). b) Como \(f(A)\subset [0,+\infty )\) e a raiz quadrada é contínua nesse intervalo, o mesmo teorema garante a continuidade da função \(x\mapsto \sqrt{f(x)}\) em \(a\).
Determine, se existir, o valor de \(a\) que torna \(f\) contínua em \(0\). Ver solução
Não existe tal \(a\). O limite pela esquerda em \(0\) é \(1\), enquanto \(f(0)=3\) e o limite pela direita é \(3\), independentemente de \(a\).
Exercício 7.40
Considere a função \(g\) definida por
\[ g(x)=\begin{cases} x^3+3x+1, & \text{se } x\lt b \\ ax^2+3, & \text{se } x\geq b \end{cases} \]
Determine, se existir, o valor de \(a\) que torna \(g\) contínua em \(b\), separando o caso \(b=0\). Ver solução
Se \(b\neq 0\), a continuidade exige \(b^3+3b+1=ab^2+3\), portanto \(a=(b^3+3b-2)/b^2\). Para esse valor, os limites laterais e \(g(b)\) coincidem. Se \(b=0\), o limite pela esquerda é \(1\) e \(g(0)=3\), de modo que nenhum valor de \(a\) serve.
Exercício 7.41
Considere a função \(h\) definida por
\[ h(x)=\begin{cases} \cos (x)+1, & \text{se } x\lt b \\ ax^2+b, & \text{se } x\geq b \end{cases} \]
Determine, se existir, o valor de \(a\) que torna \(h\) contínua em \(b\), separando o caso \(b=0\). Ver solução
Se \(b\neq 0\), a continuidade exige \(\cos b+1=ab^2+b\), portanto \(a=(\cos b+1-b)/b^2\). Se \(b=0\), o limite pela esquerda é \(2\), mas \(h(0)=0\), de modo que nenhum valor de \(a\) serve.
seja contínua em \(2\) e tenha limite \(1\) nesse ponto. Há mais de uma solução? Ver solução
Como \(f(2)=1\), basta exigir \(2a+b=1\). Há infinitas soluções: \(b=1-2a\), com \(a\in \mathbb {R}\) arbitrário.
Exercício 7.43
Uma tabela progressiva fictícia isenta os primeiros R\$ 2.000 de renda mensal, tributa em \(10\% \) apenas a parcela entre R\$ 2.000 e R\$ 4.000 e, acima disso, tributa em \(20\% \) somente a parcela excedente. O imposto total \(T(x)\) sobre uma renda \(x\geq 0\) é, portanto,
Calcule os limites laterais de \(T\) em \(2000\) e \(4000\). A função é contínua nesses pontos?
Para \(x\gt 0\), defina a alíquota efetiva por \(E(x)=T(x)/x\). Ela é contínua nos dois pontos de corte? Calcule \(E(3500)\) e \(E(5000)\).
A alíquota marginal é a taxa aplicada a um pequeno acréscimo de renda dentro de cada faixa. Explique por que ela muda nos pontos de corte sem que o imposto total dê um salto.
Ver solução
\(T(3500)=\text{R\$ }\, 150\) e \(T(5000)=\text{R\$ }\, 400\).
Em \(2000\), os dois limites são \(0\); em \(4000\), ambos são \(200\). Logo, \(T\) é contínua nos dois pontos.
Como \(x\) não se anula nos pontos de corte, \(E=T/x\) também é contínua neles. Além disso,
A inclinação de cada trecho passa de \(0\) para \(0{,}10\) e depois para \(0{,}20\), mas as constantes dos trechos fazem coincidir seus valores nos pontos de corte. Assim, muda a taxa aplicada ao próximo real sem mudar subitamente o total já devido.
Exercício 7.44
A vazão de uma bomba é \(Q(t)=18-3t\) L/min para \(0\leq t\lt 4\). No instante \(t=4\) min, ela é desligada, e \(Q(t)=0\) para \(t\geq 4\). Esboce \(Q\) em \([0,6]\) e estude sua continuidade em \(t=4\). Se houver descontinuidade, classifique-a. Ver solução
O gráfico é o segmento da reta \(18-3t\) até um círculo aberto em \((4,6)\) e, a partir de \(t=4\), o segmento horizontal \(Q=0\), com ponto fechado em \((4,0)\). Como \(\lim _{t\to 4^-}Q(t)=6\) e \(\lim _{t\to 4^+}Q(t)=Q(4)=0\), há uma descontinuidade de salto.
Exercício 7.45
Um termostato mantém a temperatura entre \(20{,}0^\circ \)C e \(20{,}5^\circ \)C, ligando o aquecedor ao atingir o limite inferior e desligando-o no superior. Discuta se a temperatura e o estado ligado/desligado são funções contínuas do tempo. Ver solução
Num modelo físico usual, a temperatura varia continuamente, inclusive nos instantes em que o termostato comuta. Já o estado ligado/desligado assume dois valores discretos e muda por salto nos limiares; portanto, não é contínuo nesses instantes.
Exercício 7.46
Dê um contraexemplo para cada afirmação: “a soma de duas funções descontínuas é descontínua” e “se \(f^2\) é contínua, então \(f\) é contínua”. Ver solução
Para a primeira, tome a função de Dirichlet \(d\), igual a \(1\) nos racionais e a \(0\) nos irracionais: \(d\) e \(-d\) são descontínuas em toda parte, mas sua soma é zero. Para a segunda, tome \(f(x)=-1\) se \(x\lt 0\) e \(f(x)=1\) se \(x\geq 0\); \(f\) é descontínua em \(0\), mas \(f^2\equiv 1\) é contínua.
7.7 Propriedades das funções contínuas
A continuidade é definida ponto a ponto, mas, quando vale em todo um intervalo, impõe condições ao comportamento da função nesse conjunto. Os próximos resultados mostram como ela garante a existência de valores intermediários e, em intervalos fechados e limitados, de valores extremos.
7.7.1 Teorema do Valor Intermediário
Para uma função contínua em \([a,b]\), toda reta horizontal \(y=d\) com \(d\) entre \(f(a)\) e \(f(b)\) encontra o gráfico. Esse é o conteúdo do Teorema do Valor Intermediário.
Teorema 7.39 (Teorema do Valor Intermediário)
Seja \(f\) contínua em \([a,b]\), com \(f(a)\neq f(b)\). Então, para todo \(d\) estritamente entre \(f(a)\) e \(f(b)\), existe \(c\in (a,b)\) tal que \(f(c)=d\).
Figura não resolvida: figuras/tvi-margem.tex
Figura7.28Interpretação geométrica do Teorema do Valor Intermediário. A demonstração será apresentada adiante nesta seção. Antes, vejamos uma consequência especialmente útil para provar a existência de soluções de equações: o Teorema de Bolzano, correspondente ao valor intermediário \(d=0\).
Figura não resolvida: figuras/tvi-falha-margem.tex
Figura7.29Sem continuidade, a conclusão pode falhar: o salto permite passar de um lado de \(y=d\) para o outro sem assumir o valor \(d\).
Teorema 7.40 (Teorema de Bolzano)
Seja \(f\) uma função contínua em todos os pontos de um intervalo fechado \(\left[a,b \right]\) e suponha que \(f(a)\) e \(f(b)\) tenham sinais opostos. Então existe um \(c\in (a,b)\) tal que \(f(c)=0\).
Demonstração▼
Como \(f(a)\) e \(f(b)\) têm sinais opostos, o número \(0\) está estritamente entre \(f(a)\) e \(f(b)\). O Teorema do Valor Intermediário, aplicado com \(d=0\), fornece \(c\in (a,b)\) tal que \(f(c)=0\).
Em termos geométricos, se os pontos \((a,f(a))\) e \((b,f(b))\) estão em lados opostos do eixo \(x\), o gráfico encontra esse eixo em algum ponto entre \(a\) e \(b\).
Figura7.30Interpretação geométrica do Teorema de Bolzano.
Exemplo 7.41
Mostre que a equação \(\cos (x)=x\) tem pelo menos uma solução no intervalo \(\left[0,\pi \right]\).
Solução
A equação é equivalente a
\[ \cos x-x=0. \]
Considere \(g(x)=\cos x-x\), função contínua em \([0,\pi ]\). Temos
o Teorema de Bolzano garante a existência de \(c\in (1,2)\) tal que \(g(c)=0\). Logo, \(3^c=c^2+4\).
Figura7.33Gráfico de \(y=3^x-x^2-4\).
Exemplo 7.43 (A mesma trilha, dois dias)
Uma alpinista percorre uma trilha entre a base e o topo de uma montanha. No primeiro dia, sai da base às \(6\) h e chega ao topo às \(14\) h. No segundo, sai do topo às \(6\) h e chega à base às \(11\) h. Sua posição ao longo da trilha varia continuamente; ela pode alterar a velocidade e fazer paradas.
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que há pelo menos um horário entre \(6\) h e \(11\) h em que ela ocupa a mesma posição nos dois dias. A conclusão exige velocidades constantes? Ela garante um único horário com essa propriedade?
[.68figuras/proposta-20261016-x2-1.tex Figura7.34Duas trajetórias possíveis, comparadas pelo horário. As retas ilustram apenas um caso particular: o argumento vale para qualquer movimento contínuo ao longo da trilha.
Solução
Meçamos a posição pela distância ao longo da trilha, medida a partir da base, com \(0\) na base e \(L\) no topo. Seja \(s(t)\) a posição na subida e \(d(t)\) a posição na descida. No intervalo comum \([6,11]\), ambas são contínuas. Procurar uma posição igual nos dois dias equivale a encontrar um zero de
\[ h(t)=s(t)-d(t). \]
Às \(6\) h, \(h(6)=0-L=-L\lt 0\). Às \(11\) h, a alpinista já desceu até a base, logo \(h(11)=s(11)-0\ge 0\). Se \(h(11)=0\), terminamos. Caso contrário, o Teorema do Valor Intermediário fornece \(t_0\in (6,11)\) com \(h(t_0)=0\). Nesse horário, \(s(t_0)=d(t_0)\).
Há também uma imagem simples do argumento: imagine as duas caminhadas ocorrendo ao mesmo tempo, uma na subida e outra na descida. Os dois viajantes, que percorrem a mesma trilha em sentidos opostos, precisam se encontrar. O teorema garante a existência, mas não a posição nem a unicidade do encontro.
Ideia
Muitas aplicações do Teorema do Valor Intermediário começam pela construção de uma função auxiliar: encontrar um ponto em que duas funções contínuas são iguais equivale a encontrar um zero de sua diferença.
Suponha primeiro que \(f(a)\lt d\lt f(b)\) e considere
\[ S=\{ x\in [a,b]\mid f(x)\lt d\} . \]
Esse conjunto é não vazio, pois \(a\in S\), e é limitado superiormente por \(b\). Pela completude dos reais, existe \(c=\sup S\).
A continuidade em \(a\) e a desigualdade \(f(a)\lt d\) garantem que alguns pontos à direita de \(a\) ainda pertencem a \(S\); logo, \(c\gt a\). Analogamente, a continuidade em \(b\) e \(f(b)\gt d\) garantem um intervalo à esquerda de \(b\) que não contém pontos de \(S\); portanto, \(c\lt b\).
Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(\delta \gt 0\) de modo que \((c-\delta ,c+\delta )\subset (a,b)\) e \(|f(x)-f(c)|\lt \varepsilon \) para \(|x-c|\lt \delta \). Pela propriedade do supremo, existe \(x^*\in S\) com \(c-\delta \lt x^*\leq c\). Assim,
Portanto, \(|f(c)-d|\lt \varepsilon \) para todo \(\varepsilon \gt 0\). Pelo Exercício 1.12, concluímos que \(f(c)=d\).
Se \(f(b)\lt d\lt f(a)\), aplicamos o caso já provado à função contínua \(-f\) e ao valor \(-d\). Obtemos novamente um ponto \(c\in (a,b)\) com \(f(c)=d\).
Proposição 7.44
Uma função contínua \(f: I \to \mathbb {R}\) de um intervalo fechado \(I=[a, b]\) em \(\mathbb {R}\) é injetora se e somente se a função \(f\) é estritamente monótona em \([a, b]\).
Demonstração▼
Se \(f\) é estritamente monótona e \(x\lt y\), então \(f(x)\neq f(y)\); logo, \(f\) é injetora.
Reciprocamente, suponha \(f\) contínua e injetora. Para quaisquer \(x_1\lt x_2\lt x_3\) em \([a,b]\), afirmamos que \(f(x_2)\) está estritamente entre \(f(x_1)\) e \(f(x_3)\). Se isso não ocorresse, as três imagens seriam distintas, e uma das imagens dos extremos estaria entre as outras duas. Se \(f(x_1)\) estivesse entre \(f(x_2)\) e \(f(x_3)\), o Teorema do Valor Intermediário em \([x_2,x_3]\) daria um ponto \(x'\) com \(f(x')=f(x_1)\), contradizendo a injetividade. Se \(f(x_3)\) estivesse entre \(f(x_1)\) e \(f(x_2)\), aplicaríamos o mesmo argumento em \([x_1,x_2]\).
Se \(a=b\), a conclusão é imediata. Caso contrário, suponha primeiro \(f(a)\lt f(b)\). A propriedade que acabamos de provar mostra que \(f(a)\lt f(x)\lt f(b)\) para \(a\lt x\lt b\). Para \(a\lt x\lt y\lt b\), aplicada ao trio \(a,x,y\), ela fornece \(f(a)\lt f(x)\lt f(y)\). Incluindo os extremos, concluímos que \(f\) é estritamente crescente em \([a,b]\). Se \(f(a)\gt f(b)\), aplicamos esse raciocínio a \(-f\) e concluímos que \(f\) é estritamente decrescente.
7.7.2 Valores extremos
O Teorema do Valor Intermediário garante que a função não omite valores entre duas imagens. Outra questão é saber se ela atinge um maior e um menor valor. Em um intervalo fechado e limitado, a continuidade também fornece essa garantia.
Teorema 7.45
Se \(f\) é contínua em um intervalo fechado \([a,b]\), então \(f\) é limitada nesse intervalo.
Demonstração▼
Suponha que \(f\) não seja limitada em \([a,b]\). Ao dividir o intervalo ao meio, pelo menos uma das metades deve continuar com essa propriedade; caso contrário, \(f\) seria limitada no intervalo inteiro. Escolha uma dessas metades, dando preferência à esquerda se ambas servirem. Repetindo o processo, obtemos intervalos encaixados
\[ [a_n,b_n], \qquad b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}, \]
em cada um dos quais \(f\) é ilimitada.
Considere \(A=\{ a_n:n\geq 0\} \) e seja \(\alpha =\sup A\). Como os intervalos são encaixados, \(a_n\leq \alpha \leq b_n\) para todo \(n\). Pela continuidade de \(f\) em \(\alpha \), existe \(\delta \gt 0\) tal que, para \(x\in [a,b]\),
Escolha \(n\) de modo que \((b-a)/2^n\lt \delta \). Como \(\alpha \in [a_n,b_n]\), todo \(x\) desse intervalo satisfaz \(|x-\alpha |\lt \delta \). Assim, a desigualdade anterior fornece uma cota para \(|f(x)|\) em \([a_n,b_n]\), contradizendo a escolha desse intervalo.
Definição 7.6
Seja \(I\) um intervalo e \(f:I\to \mathbb {R}\) uma função.
Diremos que \(x_0\in I\) é um ponto de máximo global (ou absoluto) de \(f\), se \(f(x)\leq f(x_0)\), para todo \(x\in I\). Neste caso, diremos que \(f(x_0)\) é máximo global.
Diremos que \(x_0\in I\) é um ponto de mínimo global de \(f\), se \(f(x)\geq f(x_0)\), para todo \(x\in I\). Neste caso, diremos que \(f(x_0)\) é mínimo global.
Um ponto \(x_0\in I\) será dito um ponto extremo global, se \(x_0\) for um ponto de máximo global ou um ponto de mínimo global.
Teorema 7.46 (Teorema de Weierstrass do Valor Extremo)
Se \(f\) é contínua em \([a,b]\), então atinge seu valor máximo e seu valor mínimo nesse intervalo.
Demonstração▼
Pelo teorema anterior, \(f\) é limitada em \([a,b]\). Seja \(M\) o supremo de sua imagem e suponha que esse valor não seja atingido. Então \(f(x)\lt M\) para todo \(x\in [a,b]\), de modo que a função
\[ g(x)=\frac1{M-f(x)} \]
é contínua no intervalo. Pelo Teorema 7.45, ela também é limitada: existe \(K\gt 0\) tal que \(g(x)\leq K\) para todo \(x\in [a,b]\). Logo,
\[ \frac1{M-f(x)}\leq K \quad \Longrightarrow \quad f(x)\leq M-\frac1K. \]
O número \(M-1/K\) seria, portanto, uma cota superior de \(f([a,b])\) menor que seu supremo, o que é impossível. Logo, \(f\) atinge seu máximo. Aplicando o mesmo argumento a \(-f\), concluímos que também atinge seu mínimo.
Exercício 7.47 (Temperaturas em pontos opostos)
Em um instante fixo, a temperatura ao longo do equador é representada por uma função contínua \(T:\mathbb R\to \mathbb R\). A posição angular \(\theta \) é medida em radianos e \(T(\theta +2\pi )=T(\theta )\).
Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existem dois pontos diametralmente opostos com a mesma temperatura.
O argumento exige conhecer temperaturas numéricas? Ele permite localizar os pontos ou garantir que haja apenas um par?
Prove que também existe \(\theta _0\) com \(T(\theta _0)=T(\theta _0+2\pi /3)\). Não se pede que três pontos igualmente espaçados tenham a mesma temperatura.
Sugestão. Para (a), compare \(H(0)\) com \(H(\pi )\), onde \(H(\theta )=T(\theta )-T(\theta +\pi )\). Para (c), some as três diferenças cíclicas entre as temperaturas nos ângulos \(0\), \(2\pi /3\) e \(4\pi /3\).
[figuras/proposta-20261016-q7-3-1.tex Figura7.35Uma rotação de \(180^\circ \) associa a cada ponto do equador seu antípoda. A continuidade força a igualdade de temperaturas em algum par.
Ver solução
Defina \(H(\theta )=T(\theta )-T(\theta +\pi )\). A função \(H\) é contínua. Pela periodicidade de \(T\),
Se \(H(0)=0\), o par inicial já serve; caso contrário, \(H(0)\) e \(H(\pi )\) têm sinais opostos e o Teorema do Valor Intermediário fornece \(\theta _0\in (0,\pi )\) com \(H(\theta _0)=0\). Não precisamos conhecer nenhuma temperatura numérica, e o argumento não diz a localização do par nem garante unicidade. Uma temperatura constante, por exemplo, torna todos os pares adequados.
Para o ângulo \(2\pi /3\), ponha \(h(\theta )=T(\theta )-T(\theta +2\pi /3)\). A soma telescópica
\[ h(0)+h(2\pi /3)+h(4\pi /3)=T(0)-T(2\pi )=0 \]
impede que os três valores sejam todos estritamente positivos ou todos estritamente negativos. Se algum é zero, terminamos; caso contrário, há dois valores de sinais opostos. Pela continuidade, \(h\) assume zero entre os ângulos correspondentes.
O Teorema do Valor Intermediário é particularmente poderoso quando construímos uma função auxiliar cuja troca de sinal é forçada pela simetria do problema.
A figura mostra somente as quatro amostras, sem impor uma forma ao gráfico entre elas.
Qual é o menor número de zeros distintos garantido por esses dados? Localize intervalos disjuntos que contenham esses zeros.
É possível afirmar que esse é o número exato de zeros ou que eles se situam nos pontos de encontro dos segmentos que ligariam as amostras com o eixo horizontal? Justifique e descreva como o gráfico poderia ter zeros adicionais.
Ver solução
a) Pelo menos três zeros: um em cada intervalo \((0,2)\), \((2,4)\) e \((4,6)\), pelo Teorema do Valor Intermediário. Como os intervalos são disjuntos, os zeros são distintos. b) Não. A continuidade não impõe interpolação linear nem unicidade. Entre duas amostras, o gráfico pode atravessar o eixo outras vezes e voltar, preservando os mesmos valores nas extremidades.
Exercício 7.49
Mostre que a equação \( x^3-3x+1=0\) tem pelo menos uma solução no intervalo \((1,2)\) Ver solução
A função \(F(x)=x^{3} - 3 x + 1\) é contínua em \([1,2]\). Como \(F(1)=-1\) e \(F(2)=3\) têm sinais opostos, o Teorema de Bolzano fornece \(c\in (1,2)\) com \(F(c)=0\), como pedido.
Exercício 7.50
Mostre que a equação \(4^{x^2}-2(x+1)^2=0\) tem pelo menos uma solução no intervalo \((-1,1)\) Ver solução
A função \(F(x)=4^{x^{2}} - 2 \left(x + 1\right)^{2}\) é contínua em \([-1,1]\). Como \(F(-1)=4\) e \(F(1)=-4\) têm sinais opostos, o Teorema de Bolzano fornece \(c\in (-1,1)\) com \(F(c)=0\), como pedido.
Exercício 7.51
Mostre que a equação \( x^5 - x^2 - 2=0 \) tem pelo menos uma solução no intervalo \((0,2)\) Ver solução
A função \(F(x)=x^{5} - x^{2} - 2\) é contínua em \([0,2]\). Como \(F(0)=-2\) e \(F(2)=26\) têm sinais opostos, o Teorema de Bolzano fornece \(c\in (0,2)\) com \(F(c)=0\), como pedido.
Exercício 7.52
Mostre que a equação \( x^2 =\sqrt{x + 2} \) tem pelo menos uma solução no intervalo \((0,2)\) Ver solução
A função \(F(x)=x^{2} - \sqrt{x + 2}\) é contínua em \([0,2]\). Como \(F(0)=- \sqrt{2}\) e \(F(2)=2\) têm sinais opostos, o Teorema de Bolzano fornece \(c\in (0,2)\) com \(F(c)=0\), como pedido.
Exercício 7.53
Mostre que a equação \( \operatorname {tg}(x)=x\) tem pelo menos \(3\) soluções. Ver solução
Uma solução é \(x=0\). Para obter uma positiva, considere \(F(x)=\operatorname {sen}x-x\cos x\), contínua em \([\pi ,3\pi /2]\). Temos \(F(\pi )=\pi \gt 0\) e \(F(3\pi /2)=-1\lt 0\). Pelo Teorema de Bolzano, existe \(c\in (\pi ,3\pi /2)\) com \(F(c)=0\). Como \(\cos c\neq 0\) nesse intervalo, isso equivale a \(\operatorname {tg}c=c\). Pela imparidade da tangente, \(-c\) também é solução. Assim, \(-c\), \(0\) e \(c\) são três soluções distintas.
Exercício 7.54
Use o Teorema do Valor Intermediário para dar outra demonstração da existência de um número positivo \(b\) tal que \(b^2=2\). Ver solução
A função \(F(x)=x^2\) é contínua em \([1,2]\), e \(F(1)=1\lt 2\lt 4=F(2)\). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe \(b\in (1,2)\) com \(b^2=2\). Como \(b\gt 0\), esse número é \(\sqrt2\).
Exercício 7.55 (Uma correspondência encontra a própria entrada)
Seja \(f:[0,1]\to [0,1]\) contínua. Um número \(c\) para o qual \(f(c)=c\) é chamado de ponto fixo de \(f\).
Prove que \(f\) possui pelo menos um ponto fixo, incluindo os casos em que ele está numa extremidade.
Prove que, se \(f\) é estritamente decrescente, esse ponto fixo é único.
A hipótese de ser estritamente crescente também garante unicidade? Justifique com um exemplo.
Ver solução
Considere \(g(x)=f(x)-x\), contínua em \([0,1]\). Como a imagem de \(f\) está contida em \([0,1]\),
\[ g(0)=f(0)\ge 0,\qquad g(1)=f(1)-1\le 0. \]
Se algum valor é zero, a extremidade correspondente é ponto fixo. Caso contrário, \(g(0)\gt 0\) e \(g(1)\lt 0\), e o Teorema do Valor Intermediário fornece \(c\in (0,1)\) com \(g(c)=0\), isto é, \(f(c)=c\).
Se \(u\lt v\) fossem dois pontos fixos, a monotonicidade estrita daria \(u=f(u)\gt f(v)=v\), uma contradição.
Não. \(f(x)=x^2\) é contínua e estritamente crescente em \([0,1]\), mas fixa tanto \(0\) quanto \(1\).
Exercício 7.56 (A corredora e os intervalos de tempo)
Uma corredora percorre \(10\) km em exatamente \(60\) minutos, com velocidade variável. Seja \(d(t)\) a distância percorrida até o instante \(t\), em minutos. Suponha que \(d\) seja contínua em \([0,60]\), com \(d(0)=0\) e \(d(60)=10\).
Mostre que existe um intervalo de \(30\) minutos no qual ela percorreu exatamente \(5\) km.
Mostre que existe também um intervalo de \(20\) minutos no qual percorreu exatamente \(10/3\) km.
O argumento utiliza a velocidade instantânea? Utiliza a hipótese de que ela nunca volta para trás?
Ver solução
Tome
\[ g(t)=d(t+30)-d(t)-5,\qquad 0\le t\le 30. \]
A função \(g\) é contínua. Além disso, \(g(0)=d(30)-5\) e \(g(30)=d(60)-d(30)-5=5-d(30)\), logo \(g(0)+g(30)=0\). Se um deles for nulo, temos a conclusão; caso contrário, têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe \(t_0\in [0,30]\) com \(g(t_0)=0\), isto é, \(d(t_0+30)-d(t_0)=5\).
Assim, algum desses valores é nulo ou dois deles têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe \(t_1\in [0,40]\) tal que \(h(t_1)=0\); portanto,
\[ d(t_1+20)-d(t_1)=\frac{10}{3}. \]
Não. Utilizamos apenas a continuidade e os valores inicial e final de \(d\), sem recorrer à velocidade instantânea ou à monotonicidade da função distância.
Exercício 7.57
Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que \(x^3+x-5=0\) tem pelo menos uma raiz em \((1,2)\). Em seguida, explique por que o teorema não afirma que a raiz seja única. Ver solução
Para \(F(x)=x^3+x-5\), temos \(F(1)=-3\) e \(F(2)=5\). Como \(F\) é contínua, o TVI fornece ao menos uma raiz em \((1,2)\). O teorema é apenas uma afirmação de existência; sem uma hipótese adicional, como monotonicidade estrita, ele não exclui outras raízes.
Exercício 7.58
Determine o máximo e o mínimo absolutos de
\[ f(x)=x^2-4x+1 \]
em \([-1,5]\). Ver solução
Como \(f(x)=(x-2)^2-3\), o mínimo absoluto é \(-3\), atingido em \(x=2\). Nos extremos,
\[ f(-1)=f(5)=6, \]
portanto o máximo absoluto é \(6\), atingido em \(x=-1\) e \(x=5\).
Exercício 7.59
Determine os valores máximo e mínimo de \(f(x)=1/x\) em \([1,4]\). Ver solução
A função é contínua e estritamente decrescente em \([1,4]\). Assim, o máximo é \(f(1)=1\) e o mínimo é \(f(4)=1/4\).
Exercício 7.60
Explique por que o Teorema de Weierstrass não garante máximo e mínimo para \(f(x)=x\) no intervalo aberto \((0,1)\), e verifique diretamente o que ocorre. Ver solução
O intervalo não é fechado, portanto falta uma das hipóteses do teorema. A função é contínua em \((0,1)\), mas não atinge nem \(0\) nem \(1\): não possui mínimo nem máximo absolutos nesse domínio.
A função tem mínimo e máximo absolutos? Distinga o número \(2\) de um valor efetivamente assumido por ela.
Qual hipótese do Teorema de Weierstrass falha? O que mudaria se fosse atribuído \(f(2)=2\)?
Se, em vez disso, fosse atribuído \(f(2)=3\), a função teria máximo e mínimo? Ela seria contínua? O que isso mostra sobre a necessidade das hipóteses para cada função particular?
Ver solução
a) O mínimo é \(0\), atingido em \(0\) e \(2\). Não há máximo: a imagem é \([0,2)\), cujo supremo é \(2\), sem que esse valor seja atingido. b) Falha a continuidade em \(2\), pois o limite pela esquerda é \(2\neq f(2)\). Com \(f(2)=2\), a função seria contínua e teria máximo \(2\). c) Com \(f(2)=3\), haveria mínimo \(0\) e máximo \(3\), embora a descontinuidade permanecesse. As hipóteses do teorema garantem extremos; uma função particular pode possuí-los mesmo sem satisfazer todas elas.
O capítulo começou com aproximações locais: fazer \(x\) aproximar-se de um ponto e acompanhar o comportamento de \(f(x)\). Os Teoremas do Valor Intermediário e de Weierstrass mostraram como a continuidade também produz conclusões globais em intervalos fechados e limitados. As duas seções opcionais a seguir aprofundam essas ideias. No próximo capítulo, estudaremos limites quando a variável ou os valores da função deixam de permanecer limitados.
7.8 \(\star \) Demonstração das propriedades básicas de limite
Demonstraremos as regras da soma, do produto e do quociente a partir da definição de limite.
Teorema 7.47
Sejam \(f,g:D\to \mathbb {R}\) e \(a\) um ponto de acumulação de \(D\subset \mathbb {R}\). Se \(\lim \limits _{x\to a}f(x)\) e \(\lim \limits _{x\to a}g(x)\) existem relativamente a \(D\), então
Escreva \(L_1=\lim \limits _{x\to a}f(x)\) e \(L_2=\lim \limits _{x\to a}g(x)\). A desigualdade triangular permite controlar o erro na soma pelos erros de cada parcela. Por isso, dado \(\varepsilon \gt 0\), faremos cada um deles menor que \(\varepsilon /2\). Existem \(\delta _1,\delta _2\gt 0\) tais que, para \(x\in D\),
Sejam \(f,g:D\to \mathbb {R}\) e \(a\) um ponto de acumulação de \(D\subset \mathbb {R}\). Se \(\lim \limits _{x\to a}f(x)\) e \(\lim \limits _{x\to a}g(x)\) existem relativamente a \(D\), então
Para controlar a diferença entre o produto e seu limite, escrevemos
\[ f(x)g(x)-FG=(f(x)-F)g(x)+F(g(x)-G). \]
A ideia é manter \(g(x)\) limitado perto de \(a\) e fazer pequenos os dois erros \(f(x)-F\) e \(g(x)-G\). Com isso em mente, dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(\delta _1\gt 0\) tal que, para \(x\in D\),
\[ |f(x)-F|\lt \frac{\varepsilon }{2(1+|G|)} \]
quando \(0\lt |x-a|\lt \delta _1\). Escolha também \(\delta _2\gt 0\) de modo que, para \(x\in D\) com \(0\lt |x-a|\lt \delta _2\),
Sejam \(f,g:D\to \mathbb {R}\) e \(a\) um ponto de acumulação de \(D\subset \mathbb {R}\). Se \(\lim \limits _{x\to a}f(x)\) e \(\lim \limits _{x\to a}g(x)\) existem relativamente a \(D\) e \(\lim \limits _{x\to a}g(x)\neq 0\), então
Escreva \(M=\lim \limits _{x\to a}g(x)\neq 0\). Basta provar que \(\lim \limits _{x\to a}1/g(x)=1/M\), pois então \(f/g=f\cdot (1/g)\) e a regra do produto fornece a conclusão.
Dado \(\varepsilon \gt 0\), a definição de limite fornece \(\delta _1,\delta _2\gt 0\) tais que, para \(x\in D\),
Isso prova o limite do recíproco \(1/g\) e, pela regra do produto, o do quociente \(f/g\).
7.9 \(\star \) Continuidade uniforme
Na continuidade em um ponto, a escolha de \(\delta \) pode depender tanto da tolerância \(\varepsilon \) quanto do ponto considerado. A continuidade uniforme exige mais: para cada tolerância, uma mesma escolha deve servir em todo o conjunto. Essa exigência será usada na Seção 13.9 para mostrar que funções contínuas em intervalos fechados e limitados são integráveis.
Definição 7.7 (Continuidade uniforme)
Seja \(f:A\to \mathbb {R}\). Dizemos que \(f\) é uniformemente contínua em \(A\) se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, para quaisquer \(x,y\in A\),
A ordem das escolhas é essencial: depois de fixar \(\varepsilon \), escolhemos \(\delta \) antes de considerar os pontos \(x,y\in A\). Esse mesmo \(\delta \) deve funcionar para todos os pares que satisfaçam \(|x-y|\lt \delta \).
Teorema 7.50
Se \(f\) é uniformemente contínua em \(A\), então \(f\) é contínua em cada ponto de \(A\).
Demonstração▼
Fixe \(x_0\in A\) e \(\varepsilon \gt 0\). Pela continuidade uniforme, existe \(\delta \gt 0\) tal que, para quaisquer \(x,y\in A\) com \(|x-y|\lt \delta \), vale \(|f(x)-f(y)|\lt \varepsilon \). Tomando \(y=x_0\), obtemos exatamente a condição de continuidade em \(x_0\).
Exemplo 7.51
Mostre que \(f(x)=3x+7\) é uniformemente contínua em \(\mathbb {R}\).
Solução
Dado \(\varepsilon \gt 0\), tome \(\delta =\varepsilon /3\). Se \(x,y\in \mathbb {R}\) e \(|x-y|\lt \delta \), então
A escolha de \(\delta \) não depende de \(x\) nem de \(y\).
Exemplo 7.52
Mostre que \(f(x)=x^2\) é uniformemente contínua em \((0,4)\).
Solução
Dados \(x,y\in (0,4)\),
\[ |x^2-y^2|=|x+y|\, |x-y|\lt 8|x-y|. \]
Dado \(\varepsilon \gt 0\), tome \(\delta =\varepsilon /8\). Se \(|x-y|\lt \delta \), então
\[ |x^2-y^2|\lt 8\delta =\varepsilon . \]
Novamente, \(\delta \) depende apenas de \(\varepsilon \).
Os dois exemplos anteriores possuem uma propriedade mais forte.
Definição 7.8 (Condição de Lipschitz)
Uma função \(f:A\to \mathbb {R}\) é Lipschitz em \(A\) se existe uma constante \(M\geq 0\) tal que
\[ |f(x)-f(y)|\leq M|x-y| \qquad \text{para todos }x,y\in A. \]
Qualquer constante \(M\) com essa propriedade é chamada de constante de Lipschitz.
Teorema 7.53
Toda função Lipschitz em \(A\) é uniformemente contínua em \(A\).
Demonstração▼
Se \(M=0\), a função é constante e qualquer \(\delta \gt 0\) serve. Se \(M\gt 0\), dado \(\varepsilon \gt 0\), tome \(\delta =\varepsilon /M\). Para \(x,y\in A\) com \(|x-y|\lt \delta \),
Se \(f\) e \(g\) são uniformemente contínuas em \(A\subset \mathbb {R}\), então \(f+g\) é uniformemente contínua em \(A\). Além disso, para toda constante \(c\in \mathbb {R}\), a função \(cf\) é uniformemente contínua em \(A\).
Demonstração▼
Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(\delta _f,\delta _g\gt 0\) correspondentes ao erro \(\varepsilon /2\) para \(f\) e \(g\), respectivamente. Com \(\delta =\min \{ \delta _f,\delta _g\} \), se \(|x-y|\lt \delta \), então
Portanto, nenhum único \(\delta \) funciona em todo \((0,\infty )\).
O resultado seguinte mostra por que intervalos fechados e limitados têm um papel especial.
Teorema 7.56 (Teorema de Heine–Cantor)
Se \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\) é contínua, então \(f\) é uniformemente contínua em \([a,b]\).
Demonstração▼
Suponha, por contradição, que \(f\) não seja uniformemente contínua. Então existe \(\varepsilon _0\gt 0\) com a seguinte propriedade: para todo \(\delta \gt 0\) existem \(x,y\in [a,b]\) tais que
Ao menos um deles é ruim. De fato, se nenhum fosse, existiriam \(\delta _-,\delta _+\gt 0\) para os quais pares suficientemente próximos dentro de \(I_-\) ou de \(I_+\) teriam variação de \(f\) menor que \(\varepsilon _0\). Tomando
qualquer par \(x,y\in I\) com \(|x-y|\lt \delta \) estaria inteiramente contido em \(I_-\) ou inteiramente contido em \(I_+\), contradizendo o fato de \(I\) ser ruim.
Escolhendo a cada etapa um subintervalo ruim, obtemos intervalos encaixados
\[ I_n=[a_n,b_n] \]
cujos comprimentos são \((2/3)^n(b-a)\). Seja
\[ \alpha =\sup \{ a_n:n\geq 0\} . \]
Como os intervalos são encaixados, \(a_n\leq \alpha \leq b_n\) para todo \(n\). Pela continuidade de \(f\) em \(\alpha \), existe \(\eta \gt 0\) tal que, para \(z\in [a,b]\),
