O Teorema Fundamental do Cálculo reduz muitos problemas de integração ao problema de encontrar primitivas. Não existe, porém, uma única regra capaz de integrar todas as funções elementares. A estrutura do integrando orienta a escolha do método. Funções racionais conduzem a frações parciais; potências trigonométricas são reorganizadas por identidades; certas raízes quadradas sugerem substituições trigonométricas. A escolha de uma técnica pode exigir sua combinação com outras, de acordo com a forma do integrando.
14.1 Frações parciais
Uma função racional pode ser decomposta em uma soma de termos mais simples de integrar. O método das frações parciais obtém essa decomposição a partir da fatoração do denominador. Considere a função racional
\[ f(x) = \dfrac {P(x)}{Q(x)} \]
onde \(P\) e \(Q\) são polinômios reais, \(Q\) não é o polinômio nulo e consideramos os pontos em que \(Q(x)\neq 0\). Se o grau de \(P\) é maior ou igual ao de \(Q\), começamos pela divisão polinomial:
onde \(S\) e \(R\) são polinômios e o resto \(R\) é nulo ou tem grau menor que o de \(Q\). Quando o grau de \( P \) for menor que o grau de \(Q\), dizemos que \(P(x)/Q(x)\) é uma função racional própria. Essa será a primeira etapa da técnica de integração de funções racionais: realizar a divisão de polinômios de modo a obter uma função racional própria.
A segunda etapa da técnica de integração de funções racionais consiste em fatorar o denominador \( Q(x)\) o máximo possível. Pode ser mostrado que qualquer polinômio real não nulo \(Q(x)\) pode ser fatorado como produto de fatores lineares e de fatores quadráticos irredutíveis. Um fator quadrático é dito irredutível se não tiver raízes reais, ou seja, se \(\Delta \lt 0\). Portanto, qualquer polinômio real não nulo \(Q(x)\) pode ser fatorado como produto de termos da forma:
\[ (ax+b)^{m} \qquad (cx^2+dx+e)^{n} \]
O seguinte quadro estabelece como decompor uma função racional como uma soma de funções racionais cujos denominadores são potências dos fatores lineares ou quadráticos irredutíveis de \(Q(x)\).
Decomposição em Frações Parciais
Seja \(\displaystyle \dfrac {P(x)}{Q(x)}\) uma função racional na qual o grau de \(P\) é menor que o grau de \(Q\). Para obtermos a decomposição em frações parciais, repetimos os passos abaixo para cada fator linear e para cada fator quadrático irredutível de \(Q(x)\).
Termos Lineares: Se \((x-a)\) divide \(Q(x)\), seja \((x-a)^n\) a maior potência de \((x-a)\) que divide \(Q(x)\). Então a decomposição de \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\) conterá a soma de termos
Termos quadráticos: Se \(x^2+bx+c\) é irredutível e divide \(Q(x)\), seja \((x^2+bx+c)^n\) a maior potência de \(x^2+bx+c\) que divide \(Q(x)\). Então a decomposição de \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\) conterá a soma de termos
No lado esquerdo, o coeficiente do termo \( x \) é \(0\); à direita, é \( (A + B) \). Uma vez que ambos os lados são iguais, temos que \( 0 = A + B \). De modo análogo, no lado esquerdo, o termo constante é \(1\); no lado direito, o termo constante é \((A-B)\). Logo, temos \(1=A-B\). Temos um sistema linear com 2 equações e duas variáveis. Resolvendo temos
e portanto \( A (x-2) + B ( x-1) = x+3 \) ou \( (A+B)x -2A-B = x+3.\) Como os polinômios são idênticos, seus coeficientes devem ser iguais. Logo, \( A+B=1 \) e \( -2A-B = 3 .\) Resolvendo, obtemos \( A=-4 \) e \( B = 5 \) e assim
O método de Heaviside facilita a determinação dos coeficientes da decomposição a partir de uma identidade polinomial. Como a igualdade de polinômios deve ser satisfeita para todos os valores de \(x\), tomaremos alguns valores particulares para os quais a igualdade se simplifica, em especial, tomaremos as raízes dos termos lineares.
Ilustraremos a utilização do método no exemplo no qual devemos determinar \(A,B\) na expansão
Para isso multiplique os dois lados por \((x+3)(x+1)\):
\[ 3x+1 = {A}({x+1}) + {B}({x+3}). \]
Como a equação anterior deve ser satisfeita para todos os valores de \(x\), tomaremos alguns valores particulares para os quais a igualdade se simplifica, em especial, tomaremos as raízes dos termos lineares. Aplicando essa escolha à identidade anterior: Tome \(x=-1\) para obter \(-2=2B\) e portanto \(B=-1\). Tome \(x=-3\) para obter \(-8=(-2)A\) e portanto \(A=4\).
Exemplo 14.6 (Integrando usando Frações Parciais)
Utilize a decomposição em frações parciais para integrar
A estratégia de decomposição apresentada acima pressupõe que o grau do numerador seja menor que o do denominador. Como esse não é o caso, começamos usando a divisão polinomial para reduzir o grau do numerador.
Utilize a decomposição em frações parciais para integrar \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {2x+1}{x^3-x^2-x+1}\mathop{}\! \mathrm{d} x \).
Solução
Primeiramente observamos que \( 1 \) é raiz de \( x^3-x^2-x+1 ,\) logo \( (x-1) \) é um fator. Fazendo a divisão de polinômios obtemos \( x^3-x^2-x+1 = (x-1)(x^2-1) = (x-1)^2(x+1).\) Consequentemente a decomposição em frações parciais é
Expandindo, temos que \( 2x+1 = A(x-1)^2 + B (x+1)(x-1) + C(x+1) .\) Utilizaremos o método de Heaviside. Fazendo \( x = 1 \) obtemos \( 3 = 2 C \) ou seja \( C = \dfrac {3}{2}.\) Fazendo \( x = -1 ,\) obtemos \( -1 = 4 A \) ou seja \( A = -\dfrac {1}{4}.\) Finalmente fazendo \( x = 0, \) obtemos \( 1 = -\dfrac {1}{4} - B + \dfrac {3}{2} \) e assim \( B = \dfrac {1}{4}.\) Consequentemente
Nem todo polinômio se decompõe em fatores lineares reais. Quando aparecem fatores quadráticos sem raízes reais, precisamos ampliar a decomposição e reconhecer como integrar os novos termos. Completar quadrados será a ligação com as primitivas já conhecidas.
onde \(P\) é um polinômio e \(\Delta = b^2-4ac \lt 0\). Então devemos reescrever o denominador como soma de quadrados. Em seguida, fazemos uma mudança de variável e calculamos a integral. Antes de ampliar a decomposição em frações parciais para esse caso, mostraremos como integrar os termos que ela produz.
Para cada fator quadrático irredutível \((ax^2+bx+c)^n\), com \(n\geq 1\) igual à sua multiplicidade no denominador, a decomposição em frações parciais contém a seguinte soma de \(n\) frações parciais
onde \(A_1,\ldots ,A_n\) e \(B_1,\ldots ,B_n\) são constantes reais a serem determinadas.
Exemplo 14.11 (Decompondo em Frações Parciais)
Decomponha \(\displaystyle f(x)=\dfrac {1}{(x+5)(x-2)^3(x^2+x+2)(x^2+x+7)^2}\) em frações parciais, mas não determine os coeficientes resultantes.
Solução
O denominador já se encontra fatorado, já que \(x^2+x+2\) e \(x^2+x+7\) são irredutíveis. Como \((x+5)\) é um termo linear que divide o denominador, teremos o termo
\[ \dfrac {A}{x+5} \]
na decomposição. Como \((x-2)^3\) divide o denominador, teremos os seguintes termos na decomposição :
O fator \(x^2+x+2\) no denominador fornece o termo \(\displaystyle \dfrac {Ex+F}{x^2+x+2}\). Finalmente, o termo \((x^2+x+7)^2\) gera os seguintes termos na decomposição
\[ \dfrac {Gx+H}{x^2+x+7}\quad \text{ e }\quad \dfrac {Ix+J}{(x^2+x+7)^2}. \]
Para calcular a última integral, escrevemos \( x^2+2x+4 = (x+1)^2 + 3 \) e fazemos \( u = x+1 \) ou \( x = u-1\) e \( \mathop{}\! \mathrm{d} u = \mathop{}\! \mathrm{d} x; \) portanto,
\[ \displaystyle \int \dfrac {61x+64}{x^2+2x+4}\mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \int \dfrac {61x+64}{(x+1)^2 + 3}\mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \int \dfrac {61(u-1)+64}{u^2 + 3}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u \]
O primeiro termo é fácil de integrar e é igual a \(5\ln |x+1|\). O segundo termo exigirá um pouco mais de trabalho. O integrando \(\displaystyle \dfrac {2x-1}{x^2+6x+11}\) possui um termo quadrático no denominador e um termo linear no numerador. Isso nos leva a tentar uma substituição. Faremos a substituição \(u = x^2+6x+11\), logo \(\mathop{}\! \mathrm{d} u = (2x+6)\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Como o numerador é \(2x-1\), e não \(2x+6\), podemos obter o termo \(2x+6\) no numerador adicionando e subtraindo \(7\).
Podemos agora integrar o primeiro termo por substituição, obtendo \(\ln |x^2+6x+11|\). O termo final pode ser integrado usando arco-tangente. Em primeiro lugar, completamos o quadrado no denominador:
Nem sempre o método de frações parciais é o método mais simples, como ilustra o exemplo a seguir:
Exemplo 14.15
Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {x^3+2}{(x-1)^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x \).
Solução
Essa integral pode ser calculada por frações parciais, mas nesse caso é melhor fazer uma mudança de variáveis. Seja \( u = x-1 \) ou \( x = u+1 \) e \( \mathop{}\! \mathrm{d} u=\mathop{}\! \mathrm{d} x .\) Assim, temos
\begin{align*} \displaystyle \int \dfrac {x^3+2}{(x-1)^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int \dfrac {(u+1)^3+2}{u^2} \mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \displaystyle \int \dfrac {u^3 + 3u^2 + 3 u + 3 }{u^2}\mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \dfrac {u^2}{2} + 3 u + 3\ln |u| - \dfrac {3}{u} + C \\ & =\dfrac {(x-1)^2}{2} + 3 (x-1) + 3 \ln |x-1| - \dfrac {3}{x-1} + C. \end{align*}
Exercício 14.4
Decomponha \(\dfrac {1}{x^2-3x}\) em frações parciais. Ver solução
\(\frac1{x^2-3x}=-\frac1{3x}+\frac1{3(x-3)}\), para \(x\neq 0,3\).
Exercício 14.5
Decomponha \(\dfrac {7-x}{x^2-9}\) em frações parciais. Ver solução
\(\frac{7-x}{x^2-9}=\frac{2}{3(x-3)}-\frac{5}{3(x+3)}\), para \(x\neq \pm 3\).
Exercício 14.6
Dados \(\alpha , \beta , m, n\) constantes, com \(\alpha \neq \beta \) mostre que existem \(A\) e \(B\) tais que:
\(\ln (x^2+1)+\dfrac 14\operatorname {arctg}(x)+\dfrac 94\operatorname {arctg}\! \left(\dfrac x3\right)+C\) (item mais difícil: dois fatores quadráticos irredutíveis distintos).
14.2 \(\star \) Decomposição em frações parciais
Os exemplos anteriores mostraram como usar a decomposição em frações parciais. Para justificar por que ela existe e por que assume aquelas formas, examinaremos as propriedades algébricas dos polinômios que sustentam o método.
Nesta seção, denotaremos por \(\mathbb {R}[x]\) o conjunto dos polinômios com coeficientes reais.
Teorema 14.16 (Teorema do Fator)
Seja \(P(x)\in \mathbb {R}[x]\) e \(c\in \mathbb {R}\) tal que \(P(c)=0\). Então existe \(Q(x)\in \mathbb {R}[x]\) tal que \(P(x)=(x-c)Q(x)\).
Demonstração▼
Pelo algoritmo da divisão de polinômios, a divisão de \(P(x)\) por \(x-c\) terá como resto uma constante (possivelmente nula), isto é, \(P(x)=Q(x)(x-c) + S\). Como \(P(c)=0=Q(c)(c-c)+S=S=0\), logo \(P(x)=Q(x)(x-c)\).
Teorema 14.17 (Frações Parciais - Raízes Reais)
Sejam \(P(x)\) e \(Q(x) \in \mathbb {R}[x]\), \(a\in \mathbb {R}\) com \(Q(a)\neq 0\) e \(n\in \mathbb {N}\), \(n\geq 1\). Então existem \(B\in \mathbb {R}\) e \(R(x)\in \mathbb {R}[x]\) tais que
Colocando os dois lados sobre o mesmo denominador, queremos \(R\) e \(B\) tais que \(P(x)=R(x)(x-a) +BQ(x)\). Como \(P(a)=BQ(a)\), e \(Q(a)\neq 0\), defina \(B=P(a)/Q(a)\). Defina \(h(x)=P(x)-BQ(x)\). Pela definição de \(B\), é claro que \(h(a)=0\). Pelo Teorema 14.16, existe \(R\in \mathbb {R}[x]\) tal que \(h(x)=R(x)(x-a)=P(x)-BQ(x)\). Logo, \(P(x)=R(x)(x-a) +BQ(x)\).
Como consequência, temos:
Corolário 14.18
Sejam \(P(x)\) e \(Q(x) \in \mathbb {R}[x]\), \(a\in \mathbb {R}\) com \(Q(a)\neq 0\) e \(n\in \mathbb {N}\), \(n\geq 1\). Então existem \(B_1, \ldots , B_n\in \mathbb {R}\) e \(R\in \mathbb {R}[x]\) tais que
Assim, se \(b\in \mathbb {R}\) é raiz de \(Q(x)\) do corolário acima, podemos aplicar o próprio corolário a \(\dfrac {R(x)}{Q(x)}\) e prosseguir na expansão em frações parciais. Para tratar fatores quadráticos sem raízes reais, continuaremos inteiramente em \(\mathbb {R}\). A ideia é determinar diretamente o numerador linear que corresponde a um fator quadrático.
Teorema 14.19 (Frações Parciais – Fatores Quadráticos sem Raízes Reais)
Sejam \(P,Q\in \mathbb {R}[x]\) e
\[ q(x)=x^2+bx+c,\qquad b^2-4c\lt 0, \]
com \(q\) não dividindo \(Q\). Se \(n\in \mathbb {N}\), \(n\geq 1\), então existem \(B,C\in \mathbb {R}\) e \(R(x)\in \mathbb {R}[x]\) tais que
com \(p,r,u,v\in \mathbb {R}\). Como \(q\) não divide \(Q\), temos \((u,v)\neq (0,0)\).
Queremos escolher \(B\) e \(C\) de modo que
\[ P(x)-(Bx+C)Q(x) \]
seja divisível por \(q\). Ao dividir \((Bx+C)(ux+v)\) por \(q(x)=x^2+bx+c\), podemos substituir o termo \(x^2\) por \(-bx-c\) ao calcular o resto. Assim, esse resto é
De fato, \(b^2-4c\lt 0\) e \((u,v)\neq (0,0)\). Assim, \(B\) é unicamente determinado. Se \(u\neq 0\), a primeira equação determina \(C\); se \(u=0\), então \(v\neq 0\) e a segunda equação determina \(C\).
Com essa escolha, o polinômio
\[ h(x)=P(x)-(Bx+C)Q(x) \]
tem resto zero na divisão por \(q\). Logo existe \(R\in \mathbb {R}[x]\) tal que
\[ P(x)=R(x)q(x)+(Bx+C)Q(x). \]
Dividindo por \(Q(x)q(x)^n\), obtemos a fórmula anunciada.
Aplicando o teorema repetidamente, obtemos o análogo do corolário anterior.
Corolário 14.20
Sejam \(P,Q\in \mathbb {R}[x]\) e \(q(x)=x^2+bx+c\), com \(b^2-4c\lt 0\) e \(q\) não dividindo \(Q\). Para \(n\geq 1\), existem \(B_1,\ldots ,B_n,C_1,\ldots ,C_n\in \mathbb {R}\) e \(R\in \mathbb {R}[x]\) tais que
Da identidade obtida ao eliminar os denominadores, \(x=0\) fornece \(A=1\) e \(x=1\) fornece \(C=2\). Comparando o coeficiente de \(x^2\), obtemos \(B=-1\). Assim,
Nas funções racionais, a fatoração separa o integrando em parcelas mais simples. Nas expressões trigonométricas, as identidades cumprem papel semelhante: reorganizam as potências de seno, cosseno, tangente e secante de modo que uma substituição ou uma fórmula básica possa ser aplicada.
Exemplo 14.26
Calcule \(\displaystyle \int \operatorname {sen}^5 x \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x \)
Solução
Na integral em questão podemos realizar a substituição simples \(u=\operatorname {sen}x\).
\begin{align*} \displaystyle \int \operatorname {sen}^5 x \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int u^5 \mathop{}\! \mathrm{d} u \quad \text{ \scriptsize {Fazendo a substituição $u=\operatorname {sen}x$}} \\ & = \dfrac {1}{6} \operatorname {sen}^6 x+C \end{align*}
Exemplo 14.27
Calcule \( \displaystyle \int \cos ^5 x \mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Solução
A substituição \(u=\cos x\) exigiria um fator \(\operatorname {sen}x\) que não aparece no integrando. Podemos, porém, escolher \(u=\operatorname {sen}x\): separamos um fator cosseno e convertemos o fator \(\cos ^4 x\) restante em uma expressão que envolva o seno, usando a identidade trigonométrica fundamental \(\operatorname {sen}^2 x+\cos ^2 x =1\): Observe que \( \cos ^5 x = \cos ^4 x \, \cos x = ( 1 - \operatorname {sen}^2 x )^2 \cos x .\)
\begin{align*} \displaystyle \int \cos ^5 x \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int ( 1 - \operatorname {sen}^2x )^2 \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \displaystyle \int (1-u^2)^2 \mathop{}\! \mathrm{d} u \quad \text{ \scriptsize {Fazendo $ u = \operatorname {sen}x$, $ \mathop{}\! \mathrm{d} u = \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x. $}} \\ & = \displaystyle \int (1-2u^2+u^4)\mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & =u-\dfrac {2}{3}u^3+\dfrac {u^5}{5}+C \\ & = \operatorname {sen}x-\dfrac {2}{3}\operatorname {sen}^3 x+\dfrac {\operatorname {sen}^5 x}{5}+C \end{align*}
O único caso que ainda não analisamos é aquele em que ambos os expoentes são pares. Nesse caso, a técnica que usamos nos primeiros exemplos simplesmente não funcionará. A estratégia é utilizar uma ou mais das fórmulas a seguir para reescrever o integrando.
\begin{align*} \cos ^2 x & =\dfrac {1}{2}\left[ 1+\cos (2x)\right] \\ \operatorname {sen}^2 x & =\dfrac {1}{2}\left[ 1-\cos (2x)\right] \end{align*}
O termo \(\cos (2x)\) é fácil de integrar. O termo \(\cos ^2(2x)\) exige que reduzamos a potência novamente. O termo \(\cos ^3(2x)\) possui potência ímpar e, para calculá-la, utilizaremos uma substituição.
Nesse caso o expoente do seno é par (e podemos considerar o fator \(\cos ^0x\)) e utilizaremos as identidades \( \operatorname {sen}^2(x) = \dfrac {1}{2}\left[ 1 - \cos (2x) \right] \) e \( \cos ^2 x = \dfrac {1}{2} \left[1 + \cos (2x)\right].\) Assim,
Calcule a seguinte integral \(\displaystyle \int \operatorname {sen}^2 x \cos ^2 x \mathop{}\! \mathrm{d} x\)
Solução
Faremos de dois modos: Solução 1 No primeiro modo utilizaremos as identidades \( \operatorname {sen}^2(x) = \dfrac {1}{2}\left[ 1 - \cos (2x) \right] \) e \( \cos ^2 x = \dfrac {1}{2} \left[1 + \cos (2x)\right].\) Assim,
\begin{align*} \displaystyle \int \operatorname {sen}^2 x \cos ^2 x \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int \dfrac {1}{2}\left[ 1 - \cos (2x) \right] \dfrac {1}{2} \left[1 + \cos (2x)\right] \mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \dfrac {1}{4}\displaystyle \int 1 - \cos ^2(2x) \mathop{}\! \mathrm{d} x \end{align*}
Novamente reutilizaremos a fórmula de ângulo duplo:
No segundo método utilizaremos integral por partes
\[ \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \int u\, \mathop{}\! \mathrm{d} v \]
com
\begin{align*} \mathop{}\! \mathrm{d} v & {}= \sec ^2 x\mathop{}\! \mathrm{d} x, \\ v & {}= \operatorname {tg}x, \\ u & {}= \sec x, \\ \mathop{}\! \mathrm{d} u & {}= \sec x \operatorname {tg}x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \end{align*}
Então
\begin{align*} \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x & {}= \displaystyle \int u\, \mathop{}\! \mathrm{d} v \\ & {}= uv - \displaystyle \int v\, \mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & {} = \sec x \operatorname {tg}x - \displaystyle \int \sec x \operatorname {tg}^2 x\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & {}= \sec x \operatorname {tg}x - \displaystyle \int \sec x\, (\sec ^2 x - 1)\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & {}= \sec x \operatorname {tg}x - \left(\displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x - \displaystyle \int \sec x\mathop{}\! \mathrm{d} x\right) \\ & {}= \sec x \operatorname {tg}x - \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x + \displaystyle \int \sec x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \end{align*}
Dessa forma
\begin{align*} 2 \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x & {}= \sec x \operatorname {tg}x + \displaystyle \int \sec x\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & {}= \sec x \operatorname {tg}x + \ln |\sec x + \operatorname {tg}x| + C. \end{align*}
E logo
\[ \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {1}{2}\sec x \operatorname {tg}x + \dfrac {1}{2}\ln |\sec x + \operatorname {tg}x| + C_1. \]
Observação 14.34 (Uma terceira substituição)
Em um intervalo em que \(\cos x\) não se anula, seu sinal \(\sigma \in \{ -1,1\} \) é constante. Com \(u=\operatorname {tg}x\), temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\sec ^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(\sec x=\sigma \sqrt{1+u^2}\), portanto
A integral do lado direito será calculada por substituição trigonométrica na próxima seção. Sua primitiva é \(\frac\sigma 2[u\sqrt{1+u^2}+\ln (u+\sqrt{1+u^2})]\). Ao voltar a \(x\), ela fornece a mesma fórmula dos dois métodos anteriores. Quando \(\sigma =-1\), usamos \((\sqrt{1+u^2}-u)(\sqrt{1+u^2}+u)=1\) para simplificar o logaritmo. Assim, o método também respeita os intervalos em que a secante é negativa.
No item 4, as frequências são diferentes: use \(\cos ^4(5x)=[3+4\cos (10x)+\cos (20x)]/8\) e transforme cada produto em soma.
14.4 Substituição trigonométrica
As identidades trigonométricas também podem simplificar integrais cujo integrando original não contém funções trigonométricas. Ao escolher uma nova variável, podemos transformar certas expressões com raízes quadradas em expressões trigonométricas para as quais já dispomos de métodos de integração. Em particular, fixado \(a\gt 0\), queremos calcular integrais que contêm expressões da forma:
A estratégia para calcular tais integrais é fazer uma substituição que elimine o radical. Por exemplo, para eliminar \(\sqrt{a^2-x^2}\) faça \(x=a\operatorname {sen}\theta \). Logo \(\theta = \operatorname {arcsen}(x/a)\), para \(-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2\). Nesse intervalo, \(\cos \theta \geq 0\), logo
Como \( 1 - \operatorname {sen}^2 t = \cos ^2 t,\) então \( 9 - 9\operatorname {sen}^2 t = 9\cos ^2 t,\) a mudança \( x = 3\operatorname {sen}t \, , -\dfrac {\pi }{2}\lt t \lt \dfrac {\pi }{2} ,\) elimina a raiz do integrando. Temos \( \mathop{}\! \mathrm{d} x = 3\cos t \mathop{}\! \mathrm{d} t .\) Então,
\begin{align*} \displaystyle \int \sqrt{9 - x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x & = 3\displaystyle \int \sqrt{9 - 9\operatorname {sen}^2t} \cos t \, \mathop{}\! \mathrm{d} t \\ & = 3\displaystyle \int \sqrt{9\cos ^2 t} \cos t \mathop{}\! \mathrm{d} t \\ & = 9\displaystyle \int | \cos t | \cos t\mathop{}\! \mathrm{d} t = 9\displaystyle \int \cos ^2 t \mathop{}\! \mathrm{d} t \end{align*}
pois \( \cos t \geq 0 \) se \( -\dfrac {\pi }{2}\lt t \lt \dfrac {\pi }{2} .\) Assim,
\begin{align*} \displaystyle \int \sqrt{9 - x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x & = 9\displaystyle \int \cos ^2 t \mathop{}\! \mathrm{d} t \\ & = 9\displaystyle \int \left( \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2}\, \cos (2t )\right) \mathop{}\! \mathrm{d} t \\ & = \dfrac {9}{2} t + \dfrac {9}{4}\, \operatorname {sen}(2t) + C = \dfrac {9}{2} t + \dfrac {9}{2} \, \operatorname {sen}t\, \cos t + C \end{align*}
Devemos retornar à variável \( x \) original. Como \( x = 3\operatorname {sen}t\) e \(-\dfrac {\pi }{2}\lt t \lt \dfrac {\pi }{2}\), segue que \(t=\operatorname {arcsen}(x/3)\) e \(\cos t=\sqrt{9-x^2}/3\); logo,
Reconhecemos facilmente a escolha \(a=\sqrt{5}\) e fazemos \(x=\sqrt5\operatorname {tg}\theta \), com \(-\pi /2\lt \theta \lt \pi /2\). Dessa forma, \(\mathop{}\! \mathrm{d} x = \sqrt{5}\sec ^2\theta \ \mathop{}\! \mathrm{d}\theta \). Usaremos o fato de que \(\sqrt{5+x^2} = \sqrt{5+5\operatorname {tg}^2\theta } = \sqrt{5\sec ^2\theta } = \sqrt{5}\sec \theta .\) Substituindo, temos:
Resta expressar a primitiva em termos de \(x\), a variável do problema original. O triângulo de referência (b) da substituição trigonométrica ajuda. Como \(x=\sqrt{5}\operatorname {tg}\theta \), temos
Assim, temos que \(a=1/2\) e, seguindo a ideia da substituição trigonométrica (c), começamos pelo ramo \(x\gt 1/2\) e fazemos \(x=\dfrac 12\sec \theta \), com \(0\lt \theta \lt \pi /2\). Logo, \(\mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac 12\sec \theta \operatorname {tg}\theta \ \mathop{}\! \mathrm{d}\theta \). Fazendo as substituições, temos
A expressão final também é uma primitiva em \(x\lt -1/2\), como se verifica por diferenciação: \(\frac{d}{dx}\ln |2x+\sqrt{4x^2-1}|=2/\sqrt{4x^2-1}\) nos dois ramos. As constantes podem ser escolhidas independentemente em cada intervalo.
Para reescrever a resposta em termos de \(x\), utilizaremos o triângulo de referência da substituição trigonométrica (a); assim, \(\operatorname {cotg}\theta = \sqrt{4-x^2}/x\) e \(\theta = \operatorname {arcsen}(x/2)\). Logo,
\[ \displaystyle \int \dfrac {\sqrt{4-x^2}}{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x = -\dfrac {\sqrt{4-x^2}}x-\operatorname {arcsen}\left(\dfrac x2\right) + C. \]
Já sabemos que a integral anterior é \(\operatorname {arctg}x+C\). Aplicamos a substituição trigonométrica para mostrar que obtemos a mesma resposta sem depender do conhecimento da derivada da função arco-tangente. Fazendo a substituição (b), tome \(x=\operatorname {tg}\theta \), \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=\sec ^2\theta \ \mathop{}\! \mathrm{d}\theta \) e note que \(x^2+1 = \operatorname {tg}^2\theta +1 = \sec ^2\theta \). Logo,
Como \(x=\operatorname {tg}\theta \) e \(\theta = \operatorname {arctg}x\), concluímos que \(\displaystyle \int \dfrac 1{x^2+1}\mathop{}\! \mathrm{d} x = \operatorname {arctg}x+C.\)
Para os triângulos de referência abaixo, o cateto horizontal é adjacente ao ângulo agudo de referência \(\alpha \). Nos itens 1 e 3, desenhamos o ramo \(x\gt 0\); quando \(x\lt 0\), os comprimentos usam \(|x|\) e os sinais vêm do quadrante escolhido. No item 6, usamos \(|x+2|\) para o comprimento. As substituições e os domínios são:
\(-\dfrac {\sqrt{x^2+16}}{16x}+C\) (item mais difícil: potência de \(x\) no denominador exige redução extra após a substituição).
\(\dfrac {x-3}2\sqrt{x^2-6x+13}+2\ln \bigl((x-3)+\sqrt{x^2-6x+13}\bigr)+C\) (item mais difícil: completar o quadrado antes da substituição trigonométrica).
Cada primitiva vale nos intervalos do domínio real do integrando. No item 9, o fator \(x\) que acompanha a raiz é indispensável. No item 14, a forma com \(\operatorname {arctg}(\sqrt{x^2-13}/\sqrt{13})\) vale nos dois ramos \(|x|\gt \sqrt{13}\). No item 17, completar o quadrado dá \((x+3)^2+4\), de modo que o argumento correto é \((x+3)/2\).
14.5 \(\star \) A substituição de Weierstrass \(u = \textrm{tg}(x/2)\)
Há uma ligação adicional entre os métodos estudados: certas integrais trigonométricas podem ser transformadas em integrais de funções racionais. A substituição de Weierstrass estabelece essa ligação e permite recorrer, quando necessário, às frações parciais.
Se um integrando é uma função racional de \(\operatorname {sen}x\) e \(\cos x\), ele pode ser reduzido a uma função racional de \(u\) pela substituição de Weierstrass \( u = \operatorname {tg}(x/2) \). Trabalhamos em intervalos que não contêm pontos \(x=(2k+1)\pi \), onde a substituição não está definida. Nesses intervalos, o fato pode ser verificado observando que
Alice perguntou: “Poderia me dizer, por favor, que caminho devo tomar ...?” “Isso depende bastante de onde você quer chegar”, disse o Gato. “O lugar não me importa muito...”, disse Alice. “Então não importa que caminho tomar”, disse o Gato.
Conhecer várias técnicas amplia nossas possibilidades, mas também exige decidir por onde começar. Para orientar essa escolha, organizaremos uma estratégia geral de integração que ajuda a reconhecer simplificações, identificar formas conhecidas e reformular o problema.4 A estratégia tem três etapas:
SIMPLIFICAR;
CLASSIFICAR;
MODIFICAR.
No passo 1, SIMPLIFICAR, procuramos reescrever o integrando em uma forma mais simples de integrar. Quando isso não é suficiente, o passo 2, CLASSIFICAR, usa a forma do integrando para orientar a escolha de técnicas como integração por partes e substituição. Se formos incapazes de classificar o integrando, passamos para a etapa 3, MODIFICAR. Nesse caso, temos que manipular o integrando de uma ou mais formas. Devemos sempre buscar alternativas simples antes de iniciar os cálculos mais complicados e iniciar o processo com o passo 1 sempre que conseguirmos transformar a integral para algo mais fácil. Há algumas observações a fazer sobre essa estratégia. Primeiro, ela não é um conjunto rígido de regras para determinar o método a ser usado, mas um conjunto geral de diretrizes que nos ajudam a identificar as técnicas que podem funcionar. Algumas integrais podem ser calculadas de mais de uma maneira; assim, dependendo do caminho escolhido, pode-se chegar a uma técnica diferente daquela usada por outra pessoa que também segue essas estratégias.
SIMPLIFICAR
Antes de aplicar uma técnica de integração, convém verificar se uma simplificação algébrica permite reconhecer uma primitiva conhecida. O quadro a seguir reúne dois procedimentos frequentes.
Simplificar antes de escolher
Antes de procurar uma técnica especial, tente reduzir o integrando a uma forma conhecida.
Expanda, fatore, divida ou use identidades quando isso eliminar uma complicação aparente.
Procure uma substituição imediata quando uma função aparece acompanhada de sua derivada.
Exemplo 14.44
Antes de escolher uma técnica, simplifique os seguintes integrandos:
No domínio original, \(x\neq 3\), o integrando é \(x+3\). Portanto,
\[ \frac{x^2}{2}+3x+C \]
em cada intervalo do domínio.
Exercício 14.24
Calcule
\[ \int \frac{e^{2x}-1}{e^x+1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
começando por fatorar o numerador. Ver solução
Como \(e^{2x}-1=(e^x-1)(e^x+1)\), o integrando é \(e^x-1\). Logo,
\[ e^x-x+C. \]
Exercício 14.25
Calcule
\[ \int \frac{x^3+x^2+x+1}{x+1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
sem usar frações parciais. Ver solução
Por agrupamento,
\[ x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1), \]
portanto a integral é
\[ \frac{x^3}{3}+x+C, \]
em cada intervalo do domínio original \(x\neq -1\).
Exercício 14.26
Explique por que \(\int x\sqrt{x^2+4}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) deve ser simplificada por substituição direta antes de se considerar substituição trigonométrica. Ver solução
A derivada de \(x^2+4\) já aparece no integrando, a menos do fator constante \(2\). Com \(u=x^2+4\), a integral se torna \(\frac12\int u^{1/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\), que é imediata.
CLASSIFICAR
Se as simplificações iniciais ainda não revelaram uma primitiva, a forma do integrando pode indicar um método adequado. Reconhecer uma função racional, um radical ou um produto de funções ajuda a escolher entre frações parciais, substituições e integração por partes.
Classificar pela forma do integrando
Se a simplificação não resolve o problema, procure a estrutura dominante:
funções racionais sugerem divisão polinomial e frações parciais;
radicais do tipo \(\sqrt{a^2-x^2}\), \(\sqrt{a^2+x^2}\) ou \(\sqrt{x^2-a^2}\) sugerem substituição trigonométrica;
produtos de potências trigonométricas pedem primeiro as identidades e estratégias da seção correspondente;
produtos de um polinômio com exponenciais, logaritmos ou funções trigonométricas frequentemente favorecem integração por partes;
outros radicais podem ser simplificados por uma mudança como \(u=\sqrt[n]{g(x)}\).
A classificação não determina mecanicamente o método, mas reduz o número de tentativas plausíveis.
a Como o integrando possui uma raiz \(\sqrt{4x^2-9}\), que pode ser simplificada para \(2\sqrt{x^2-9/4}\), uma boa escolha é fazer uma substituição trigonométrica. b Nesse caso começamos com uma substituição \(u=x^2\), e logo \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e após essa substituição a integral fica:
\[ \frac12\displaystyle \int u\operatorname {sen}u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u \]
que pode ser feita por partes. c Essa integral é produto de senos e cossenos e pode ser convertida numa soma usando a relação:
d Como a integral em questão envolve uma função racional com o grau do numerador maior que o denominador, a estratégia é fazer a divisão polinomial e usar integração por frações parciais. e Integral Trigonométrica. f A integral em questão pode ser calculada por integração por partes duas vezes.
Exemplo 14.51
\[ \displaystyle \int x \ln x \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
Solução
Por partes, com \(u=\ln x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=x\mathop{}\! \mathrm{d} x\), temos
Algumas integrais podem não se encaixar no esquema de classificação anterior e, nesse caso, podemos não conhecer uma forma adequada de resolvê-las. Uma maneira de abordar esses problemas é procurar similaridades entre essas integrais e outras que sabemos calcular. Se a forma de um problema difícil se assemelha à de um problema padrão, existem duas possibilidades: podemos conseguir reduzir o problema difícil a uma forma “padrão” ou as técnicas que usaríamos no problema mais fácil podem nos ajudar a resolver o mais difícil. Observação: existem problemas de integração que parecem muito semelhantes a um problema solúvel, mas que, após um exame mais minucioso, mostram-se impossíveis de resolver com as técnicas apresentadas neste livro.
Modificar por comparação
Quando o integrando não se encaixa diretamente nas classes anteriores, compare-o com problemas que você já sabe resolver.
Identifique uma forma próxima e pergunte o que impede o método conhecido de funcionar.
Tente uma manipulação que produza essa forma: fatoração, racionalização, divisão ou introdução compensada de um termo.
Depois da modificação, volte a classificar o novo integrando antes de prosseguir.
Algumas manipulações algébricas são bastante fáceis de usar e vale a pena considerá-las antes de tentar qualquer outra abordagem. Por exemplo, quase sempre decompomos o integrando de uma soma em uma soma de integrais e depois integramos termo a termo. Antes de fazer isso, no entanto, devemos procurar outras alternativas. Uma operação mais complicada, mas que também merece ser considerada, é simplificar funções racionais por divisão polinomial. Chamamos de “fração própria” uma função racional (o quociente de dois polinômios) cujo grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Frações próprias são geralmente mais fáceis de manipular do que as impróprias.
Exemplo 14.52
Calcule
\[ \displaystyle \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
Para \(-1\lt x\lt 1\), multiplique o numerador e o denominador por \(\sqrt{1-x}\):
Portanto, \(\int \sqrt{(1-x)/(1+x)}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\operatorname {arcsen}x+\sqrt{1-x^2}+C\). A expressão do integrando também se estende continuamente a \(x=1\).
Exemplo 14.53
Calcule
\[ \displaystyle \int \cos \sqrt{x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
Solução
Faça a substituição \(u=\sqrt{x}\) então \(x=u^2\) e logo \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=2u\mathop{}\! \mathrm{d} u\). Assim:
\begin{align*} \displaystyle \int \cos \sqrt{x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x & = 2\displaystyle \int u \cos u \mathop{}\! \mathrm{d} u. \end{align*}
Por partes, \(\int u\cos u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u=u\operatorname {sen}u+\cos u+C\). Logo, a integral procurada é \(2\sqrt x\, \operatorname {sen}\sqrt x+2\cos \sqrt x+C\), para \(x\gt 0\), com extensão ao extremo \(0\).
Exemplo 14.54
Calcule
\[ \displaystyle \int \frac{2}{3+2x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
Solução
\begin{align*} \displaystyle \int \frac{2}{3+2x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \frac{2}{3} \displaystyle \int \frac{1}{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}x\right)^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x \end{align*}
Essa expressão vale onde \(\cos x\neq 0\). Para cobrir também os pontos em que \(\operatorname {sen}x=1\), escrevemos \(\operatorname {tg}x-\sec x=-\cos x/(1+\operatorname {sen}x)\) e usamos a extensão contínua. A derivada dessa última expressão é \(1/(1+\operatorname {sen}x)\) em todo o domínio original.
Nos itens 1 e 4, \(x\gt -3\); no item 2, \(t\gt 0\); no item 7, conservam-se as exclusões \(x=-1,0,2\) do integrando original; no item 13, \(|x|\gt 3/2\); no item 16, \(y\gt 0\); no item 17, a fórmula vale para \(x\gt 2\) e se estende ao extremo \(2\); no item 21, \(x\gt 0\). As outras restrições são as dos denominadores e funções trigonométricas.
No item 1, a fórmula vale para \(x\gt 0\) e admite extensão diferenciável pela direita em \(0\). No item 2, mantemos \(\cos x\neq 0\), mesmo após simplificar o integrando. No item 3, \(t\neq 0\). Nos demais, consideram-se os intervalos do domínio real do integrando.
Exercício 14.29
Para cada integrando, indique uma técnica inicial plausível e justifique em uma frase: \(x^2e^x\), \(\operatorname {sen}^4x\), \(1/(x^2-9)\), \(x/\sqrt{16-x^2}\) e \(\ln x\). Não calcule as integrais. Ver solução
Na ordem: integração por partes repetida; redução de potência por identidades trigonométricas; frações parciais; substituição \(u=16-x^2\); integração por partes com \(u=\ln x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Exercício 14.30
Calcule \(\int x^2\cos (3x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) organizando as contas por integração por partes tabulada ou por duas aplicações explícitas da fórmula. Ver solução
Calcule \(\int \operatorname {cotg}^3x\operatorname {cossec}^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e explique por que a substituição \(u=\operatorname {cotg}x\) é mais direta que a expansão em senos e cossenos. Ver solução
Como \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-\operatorname {cossec}^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), a integral se torna \(-\int u^3\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\). Logo, o resultado é \(-\operatorname {cotg}^4x/4+C\); não é necessário converter nem simplificar quocientes trigonométricos.
Exercício 14.32
Calcule \(\int \frac{1}{x^2-6x+13}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) por completar quadrados e substituição trigonométrica ou pela fórmula correspondente. Ver solução
portanto a integral é \(2\ln |x-1|+3\ln |x+2|+C\).
Exercício 14.34
Calcule \(\int \sqrt{36-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) por substituição trigonométrica e interprete geometricamente a constante \(36\). Ver solução
Com \(x=6\operatorname {sen}\theta \),
\[ \int \sqrt{36-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac x2\sqrt{36-x^2}+18\operatorname {arcsen}(x/6)+C. \]
O número \(36=6^2\) corresponde ao quadrado do raio do semicírculo \(y=\sqrt{36-x^2}\).
Exercício 14.35
Uma lente semicircular de raio \(6\) cm tem área dada por \(\int _{-6}^6\sqrt{36-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Escolha uma técnica de integração para confirmar sua área e compare-a com a fórmula geométrica conhecida. Ver solução
Usando a primitiva do exercício anterior ou a simetria do círculo,
Avalie a afirmação: “se um integrando contém uma raiz quadrada, a substituição trigonométrica é sempre a melhor escolha”. Dê um contraexemplo e explique uma alternativa melhor. Ver solução
A afirmação é falsa. Por exemplo, \(\int \sqrt{x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\int x^{1/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac23x^{3/2}+C\) é resolvida diretamente pela regra da potência. Também em \(\int x\sqrt{x^2+1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), a substituição algébrica \(u=x^2+1\) é mais direta.
