Derivadas

Sobre os que entram nos mesmos rios, águas sempre diferentes correm.

9.1 Motivações

9.1.1 O problema da reta tangente

Um dos problemas que conduzem à derivada é geométrico: determinar a reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto. A tangente registra a direção local da curva e, quando não é vertical, fica determinada por seu coeficiente angular.

No início do século XVII, Pierre de Fermat desenvolveu métodos para determinar máximos e mínimos de certas funções. A Figura 9.1 ilustra a relação entre esse problema e as retas tangentes: suas inclinações variam ao longo da curva e se anulam nos dois extremos indicados.

Em um ponto interior no qual uma função diferenciável atinge um máximo ou um mínimo local, a reta tangente é horizontal. A procura por extremos conduz, portanto, ao estudo dos pontos em que a inclinação da tangente se anula.

Para uma curva geral, porém, a própria noção de tangente precisa ser formulada com cuidado. Dados uma função \(f\) e um ponto \(P\) de seu gráfico, procuramos uma reta que descreva a direção da curva nas proximidades de \(P\).

A experiência com a circunferência pode sugerir que a tangente seja uma reta que encontra a curva em um único ponto. Para gráficos de funções, porém, esse critério não basta, como mostram as figuras seguintes.

Na Figura 9.2a, a tangente cruza a curva em outro ponto; na Figura 9.2b, a reta encontra o gráfico uma única vez, mas não acompanha sua direção nesse ponto. O número de interseções, portanto, não caracteriza a tangência.

Quando a tangente não é vertical, podemos determiná-la por seu coeficiente angular. Para aproximar esse coeficiente, tomamos uma reta secante que passa pelo ponto fixo \(P\) e por um segundo ponto \(Q\) do gráfico. Se \(P=(a,f(a))\) e \(Q=(a+h,f(a+h))\), com \(h\neq 0\), o coeficiente angular da secante é

Mantendo \(P\) fixo, fazemos \(Q\) se aproximar de \(P\), isto é, fazemos \(h\) tender a zero. Se os coeficientes angulares das secantes convergem para um número real \(m\), esse limite determina a inclinação da reta tangente:

A reta tangente no ponto fixo \(P=(a,f(a))\) tem, portanto, equação

Esse limite será a derivada de \(f\) no ponto \(a\). Um primeiro cálculo ilustra sua obtenção; o estudo do movimento mostrará outra interpretação do mesmo quociente.

9.1.2 O problema da velocidade

O mesmo quociente usado para calcular a inclinação de uma secante aparece no estudo da velocidade. Suponha que uma partícula se mova em linha reta e que sua posição no instante \(t\) seja dada por \(s(t)\). Para \(\Delta t\neq 0\), com os dois instantes no domínio de \(s\), a velocidade média entre \(t_0\) e \(t_0+\Delta t\) é

A velocidade média descreve o deslocamento por unidade de tempo nesse intervalo. Para obter a velocidade em um instante, fazemos o intervalo encolher, tomando o limite quando \(\Delta t\to 0\). No gráfico de posição em função do tempo, isso corresponde à passagem das secantes à tangente que acabamos de estudar.

Taxas de variação

A posição e o tempo podem ser substituídos por outras grandezas. Se \(Q\) depende de uma variável \(x\), o quociente de suas variações mede quanto \(Q\) varia, em média, por unidade de \(x\).

Assim como no cálculo da velocidade, a passagem ao limite fornece uma medida da variação em um ponto.

Por exemplo, quando a variável é o tempo, essa taxa pode representar a velocidade de um automóvel ou o crescimento de uma população de bactérias. Em outras situações, pode medir como o lucro de uma empresa varia com o volume de vendas. Em todos esses casos, calculamos um limite da mesma forma; a interpretação e as unidades dependem das grandezas envolvidas.

9.2 Definição de derivada

Os problemas da tangente e da velocidade conduzem à mesma expressão. Abstraindo as interpretações geométrica e física, obtemos a definição de derivada em um ponto.

O símbolo \(f'(a)\) lê-se “f linha de a”. Dizer que \(f'(a)\) existe significa que o limite da Definição 9.4 existe como um número real. Geometricamente, esse número é a inclinação da tangente ao gráfico em \((a,f(a))\), cuja equação podemos escrever como

O conjugado. A identidade \((u-v)(u+v)=u^2-v^2\) transforma o numerador em \(h\), que pode ser simplificado antes de tomar o limite.

9.2.1 Função derivada

Quando \(f'(a)\) existe, dizemos que \(f\) é diferenciável em \(a\). Se isso ocorre em todo ponto interior de seu domínio, dizemos simplesmente que \(f\) é diferenciável. Nas extremidades de intervalos, consideraremos separadamente as derivadas laterais.

Até aqui, calculamos a derivada em um ponto. Podemos também deixar esse ponto variar: a cada \(x\) em que a derivada existe, associamos o número \(f'(x)\). Obtemos assim a função derivada de \(f\), denotada por \(f'\), com domínio

O domínio de \(f'\) pode ser estritamente menor que o domínio de \(f\).

9.2.2 Definição equivalente de derivada

Na definição anterior, o ponto próximo de \(a\) foi escrito como \(a+h\). Podemos chamá-lo simplesmente de \(x\): nesse caso, \(h=x-a\), e \(h\to 0\) equivale a \(x\to a\). Para \(f\) definida em um intervalo aberto que contém \(a\), obtemos

Podemos, portanto, usar a seguinte forma equivalente:

Se escrevermos \(\Delta x=x-a\) e \(\Delta f=f(x)-f(a)\), a mesma expressão assume a forma

Essa forma também esclarece a notação de Leibniz, na qual se explicita a variável em relação à qual a derivação é realizada.

Embora lembre um quociente, \(\frac{d f}{d x}\) denota a função derivada, obtida pelo limite dos quocientes incrementais. As duas formas da definição são equivalentes; escolhemos a que torna o cálculo mais simples.

9.2.3 Derivadas laterais

Em um ponto de junção, ou em uma extremidade do domínio, o quociente incremental pode ter comportamentos distintos de cada lado. As derivadas laterais registram separadamente esses dois limites:

Se \(a\) é um ponto interior do domínio, \(f\) é diferenciável em \(a\) se, e somente se, as duas derivadas laterais existem e coincidem. Em uma extremidade do domínio, consideramos apenas a derivada lateral correspondente aos pontos em que a função está definida.

A igualdade das derivadas laterais é essencial. No exemplo seguinte, os dois limites existem, mas têm valores diferentes.

A função valor absoluto é contínua em \(0\), mas não é diferenciável nesse ponto. Assim, a continuidade não garante a existência da derivada. No sentido inverso, porém, a implicação sempre vale:

Podemos agora combinar a continuidade e o cálculo das derivadas laterais para determinar os coeficientes de uma função por partes.

Exercício 9.1

Calcule a razão \(\dfrac {\Delta y}{\Delta x}\) para a função \(y=\dfrac {1}{x}\)

1. no ponto 2 e \(\Delta x = 1\)

2. no ponto 2 e \(\Delta x=0{,}1\)

3. no ponto 2 e \(\Delta x=0{,}01\)

Ver solução

Para \(y=1/x\), no ponto \(x=2\),

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{\dfrac 1{2+\Delta x}-\dfrac 12}{\Delta x} =-\frac{1}{2(2+\Delta x)}. \]

Substituindo os três incrementos pedidos, obtemos

1. \(-1/6\).

2. \(-5/21\).

3. \(-50/201\).

Exercício 9.2

Quanto vale \(\lim _{ \Delta x \to 0}\dfrac {\Delta y}{\Delta x}\) para a função \(y=\dfrac {1}{x}\)?

Ver solução

\(-1/x^2\), para \(x\neq 0\).

Exercício 9.3

Para as funções a seguir, calcule a derivada no ponto indicado por meio do limite do quociente de Newton:

\[ f'(a)=\lim \limits _{h\to 0} \dfrac {f(a+h)-f(a)}{h} \]

1. derivada de \(f(x)=x\) no ponto \(a=0\)

2. derivada de \(f(x)=x^2+1\) no ponto \(a=1\)

3. derivada de \(f(x)=x^2\) no ponto \(a=1\)

4. derivada de \(f(x)=3x^3-x\) no ponto \(a=2\)

5. derivada de \(f(x)=x^3\) no ponto \(a=-1\)

6. derivada de \(f(x)=x^4\) no ponto \(a=0\)

7. derivada de \(f(x)=\sqrt{x}\) no ponto \(a=4\)

8. derivada de \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) no ponto \(a=8\)

9. derivada de \(f(x)=\dfrac {1}{x}\) no ponto \(a=1\)

10. derivada de \(f(x)=\dfrac {1}{x}\) no ponto \(a=-1\)

Ver solução

1. \(f'(0)=\lim _{h\to 0}(h-0)/h=1\).

2. \(f'(1)=\lim _{h\to 0}[(1+h)^2+1-2]/h=\lim _{h\to 0}(2+h)=2\).

3. \(f'(1)=\lim _{h\to 0}[(1+h)^2-1]/h=\lim _{h\to 0}(2+h)=2\).

4. Pela definição e expansão do cubo,

   \begin{align*} f’(2)& =\lim _{h\to 0}\frac{3(2+h)^3-(2+h)-(3\cdot 2^3-2)}h\\ & =\lim _{h\to 0}(35+18h+3h^2)=35. \end{align*}

5. \(f'(-1)=\lim _{h\to 0}[(-1+h)^3+1]/h=\lim _{h\to 0}(3-3h+h^2)=3\).

6. \(f'(0)=\lim _{h\to 0}h^4/h=\lim _{h\to 0}h^3=0\).

7. Racionalizando o quociente,

   \[ f'(4)=\lim _{h\to 0}\frac{\sqrt{4+h}-2}{h} =\lim _{h\to 0}\frac1{\sqrt{4+h}+2}=\frac14. \]

8. Usando a diferença de cubos,

   \[ f'(8)=\lim _{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{8+h}-2}{h} =\lim _{h\to 0}\frac1{(\sqrt[3]{8+h})^2+2\sqrt[3]{8+h}+4} =\frac1{12}. \]

9. \(f'(1)=\lim _{h\to 0}[1/(1+h)-1]/h=\lim _{h\to 0}-1/(1+h)=-1\).

10. \(f'(-1)=\lim _{h\to 0}[1/(-1+h)+1]/h=\lim _{h\to 0}1/(h-1)=-1\).

Exercício 9.4

Determine \(a,b\) reais de modo que a função \( f(x)= \begin{cases} x^2+2x & x\lt 1 \\ a x+b & x\geq 1 \end{cases} \)seja diferenciável em todos os pontos.

Ver solução

A continuidade em \(1\) exige \(a+b=3\). Sob essa condição, a derivada pela esquerda é \(2\cdot 1+2=4\), e a da direita é \(a\). Portanto, \(a=4\) e \(b=-1\). Com esses valores, a função é diferenciável na junção e nos demais pontos, onde é polinomial.

9.3 Derivadas das funções clássicas

A definição por limite permite calcular a derivada de qualquer função para a qual o limite exista. Para as funções elementares, porém, convém estabelecer fórmulas que possam ser reutilizadas. Elas serão deduzidas a partir da definição e dos limites fundamentais e formarão o repertório básico do cálculo diferencial.

As funções elementares aparecem com frequência combinadas por somas, produtos e quocientes. As regras de derivação permitem obter a derivada dessas combinações a partir das derivadas de suas componentes.

9.4 Regras de derivação

A estrutura algébrica da expressão determina a regra apropriada. Somas e múltiplos constantes se comportam linearmente; produtos e quocientes introduzem termos adicionais que decorrem diretamente do quociente incremental.

Em todo ponto em que \(f\) e \(g\) são diferenciáveis, portanto,

A equação \(f'(x)=0\) fornece as abscissas. Para encontrar os pontos do gráfico, calculamos também \(f(x)\).

Exercício 9.5

Encontre as derivadas das seguintes funções:

1. \(f(x)=3x^4+5x+8\)

2. \(f(x)=x^7+6x^6+\dfrac {1}{5}x^5+ x^4+3x^3+x^2+\pi \)

3. \(f(x)= ax^2+bx+c\)

4. \(f(x)=ax^m+bx^{m+n}\), com \(m,n\in \mathbb {N}^*\)

5. \(f(x)= \dfrac {\pi }{x^2}+\dfrac {\ln (4)}{x}+\sqrt{5}x+\ln (7)\)

6. \(f(x)=\dfrac {2}{5x-3}-\dfrac {1}{x}\)

7. \(f(x)=\dfrac {a}{\sqrt[3]{x^2}}-\dfrac {b}{x\sqrt[3]{x^2}}\)

Ver solução

Aplicando a regra da potência termo a termo e preservando as restrições de domínio, obtemos

1. \(12x^3+5\).

2. \(7x^6+36x^5+x^4+4x^3+9x^2+2x\).

3. \(2ax+b\).

4. \(amx^{m-1}+b(m+n)x^{m+n-1}\).

5. \(-\dfrac {2\pi }{x^3}-\dfrac {\ln 4}{x^2}+\sqrt5\), para \(x\neq 0\).

6. \(-\dfrac {10}{(5x-3)^2}+\dfrac 1{x^2}\), para \(x\neq 0\) e \(x\neq 3/5\).

7. \(-\dfrac {2a}{3}x^{-5/3}+\dfrac {5b}{3}x^{-8/3}\), para \(x\neq 0\).

Exercício 9.6

Quantas retas tangentes à curva \(y=\dfrac {x}{x+1}\) passam pelo ponto \((1,2)\)? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?

Ver solução

A tangente no ponto de abscissa \(u\neq -1\) é

\[ y-\frac{u}{u+1}=\frac1{(u+1)^2}(x-u). \]

Para passar por \((1,2)\), ela deve satisfazer \((u+2)(u+1)=1-u\), isto é, \(u^2+4u+1=0\). Assim, há duas tangentes, nos pontos

\[ \left(-2+\sqrt3,\frac{1-\sqrt3}{2}\right) \quad \text{e}\quad \left(-2-\sqrt3,\frac{1+\sqrt3}{2}\right). \]

Suas inclinações são \(1/(-1+\sqrt3)^2\) e \(1/(-1-\sqrt3)^2\), respectivamente, e são distintas.

Exercício 9.7

Encontre as derivadas das seguintes funções:

1. \(f(x)=5\operatorname {sen}(x)+6\cos (x)\)

2. \(f(x)=\operatorname {tg}(x)-\operatorname {cotg}(x)\)

3. \(f(x)=\dfrac {\operatorname {sen}(x)+\cos (x)}{\operatorname {sen}(x)-\cos (x)}\)

4. \(f(x)=x\operatorname {cotg}(x)\)

5. \(f(x)= (x-2)\operatorname {sen}(x)+ x^2\operatorname {tg}(x)+ \operatorname {sen}(x)\cos (x)\)

Ver solução

Usando as derivadas trigonométricas e, quando necessário, as regras do produto e do quociente, obtemos

1. \(5\cos x-6\operatorname {sen}x\).

2. \(\sec ^2x+\operatorname {cossec}^2x\), para \(\operatorname {sen}x\cos x\neq 0\).

3. \(-\dfrac {2}{(\operatorname {sen}x-\cos x)^2}\), para \(\operatorname {sen}x\neq \cos x\).

4. \(\operatorname {cotg}x-x\operatorname {cossec}^2x\), para \(\operatorname {sen}x\neq 0\).

5. \(\operatorname {sen}x+(x-2)\cos x+2x\operatorname {tg}x+x^2\sec ^2x+\cos ^2x-\operatorname {sen}^2x\), para \(\cos x\neq 0\).

Exercício 9.8

Encontre as derivadas das seguintes funções:

1. \(f(x)=x^7e^x\)

2. \(f(x)=\dfrac {e^x}{x^2}\)

3. \(f(x)=e^x\cos (x)\)

4. \(f(x)=\dfrac {x^n}{\ln (x)}\), com \(n\in \mathbb {N}^*\)

5. \(f(x)=x^3\ln (x)-\dfrac {x^3}{3}\)

Ver solução

Combinando as regras do produto e do quociente com \((e^x)'=e^x\) e \((\ln x)'=1/x\), obtemos

1. \(e^x(x^7+7x^6)\).

2. \(\dfrac {e^x}{x^2}-\dfrac {2e^x}{x^3}\), para \(x\neq 0\).

3. \(e^x(\cos x-\operatorname {sen}x)\).

4. \(\dfrac {x^{n-1}(n\ln x-1)}{(\ln x)^2}\), para \(x\gt 0\) e \(x\neq 1\).

5. \(3x^2\ln x\), para \(x\gt 0\).

Exercício 9.9

Em que ponto a tangente à parábola \(y=x^2-7x+3\) é paralela à reta \(5x+y-3=0.\)

Ver solução

A reta \(5x+y-3=0\) tem coeficiente angular \(-5\). Como

\[ f'(x)=2x-7, \]

a tangente à parábola é paralela a essa reta quando \(2x-7=-5\), isto é, quando \(x=1\). Como \(f(1)=-3\), o ponto procurado é \((1,-3)\).

Exercício 9.10

Determine as equações das retas tangente e normal à curva \(y=x^3+2x^2-4x-3\) no ponto \((1,-4)\).

Ver solução

Para \(f(x)=x^3+2x^2-4x-3\),

\[ f'(x)=3x^2+4x-4, \]

e, portanto, \(f'(1)=3\). A reta tangente no ponto \((1,-4)\) é

\[ y+4=3(x-1). \]

Como a normal é perpendicular à tangente, seu coeficiente angular é \(-1/3\):

\[ y+4=-\frac13(x-1). \]

Exercício 9.11

Determine as equações das retas tangente e normal à curva \(y=x^3+2x^2-4x-3\) no ponto \((-2,5)\).

Ver solução

A derivada é \(f'(x)=3x^2+4x-4\), de modo que \(f'(-2)=0\). Assim, a tangente em \((-2,5)\) é horizontal,

\[ y=5, \]

e a reta normal é vertical,

\[ x=-2. \]

Exercício 9.12

Dado \(f(x)=\dfrac {1}{3}x^3-2x^2+3x+1\). Encontre os pontos do gráfico de \(f\) nos quais a tangente é horizontal.

Ver solução

Temos

\[ f'(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]

A tangente é horizontal quando \(f'(x)=0\), portanto em \(x=1\) e \(x=3\). Como \(f(1)=7/3\) e \(f(3)=1\), os pontos são

\[ (1,7/3)\qquad \text{e}\qquad (3,1). \]

Exercício 9.13

Dado o polinômio \(p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), usando a notação \(p''=(p')'\), determine \(a,b,c,d\) se \(p(0)=p(1)=-2\), \(p'(0)=-1\) e \(p''(0)=10\).

Ver solução

De \(p(0)=-2\) obtemos \(d=-2\), e de \(p'(0)=-1\) segue \(c=-1\). Como

\[ p''(x)=6ax+2b, \]

a condição \(p''(0)=10\) fornece \(b=5\). Por fim, \(p(1)=-2\) implica

\[ a+b+c+d=-2, \]

de onde \(a=-4\). Portanto,

\[ a=-4,\qquad b=5,\qquad c=-1,\qquad d=-2. \]

Exercício 9.14

Seja \(f\) a função definida como:

\[ f(x)= \left\{ \begin{array}{c} x^2\text{ se }x\leq c \\ ax+b\text{ se }x\gt c \end{array}\right. \]

Determine os valores de \(a,b\) em termos de \(c\) de modo que \(f'(c)\) exista.

Ver solução

A continuidade exige \(ac+b=c^2\) e a igualdade das derivadas laterais exige \(a=2c\). Logo, \(a=2c\) e \(b=-c^2\).

Exercício 9.15

Seja \(f\) a função definida como:

\[ f(x)= \left\{ \begin{array}{c} \operatorname {sen}(x)\text{ se }x\leq c \\ ax+b\text{ se }x\gt c \end{array}\right. \]

Determine os valores de \(a,b\) em termos de \(c\) de modo que \(f'(c)\) exista.

Ver solução

A continuidade exige \(ac+b=\operatorname {sen}c\) e a igualdade das derivadas laterais exige \(a=\cos c\). Logo, \(a=\cos c\) e \(b=\operatorname {sen}c-c\cos c\).

Exercício 9.16

Dado \(c\gt 0\), seja \(f\) a função definida como:

\[ f(x)= \left\{ \begin{array}{c} \dfrac {1}{\left\lvert x\right\rvert }\text{ se } \left\lvert x\right\rvert \geq c \\ a+bx^2\text{ se }\left\lvert x\right\rvert \lt c \end{array}\right. \]

Determine os valores de \(a,b\) em termos de \(c\) de modo que \(f'(c)\) exista.

Ver solução

Como \(c\gt 0\), a continuidade exige \(a+bc^2=1/c\). A derivada pela esquerda é \(2bc\) e pela direita é \(-1/c^2\). Portanto, \(b=-1/(2c^3)\) e \(a=3/(2c)\).

9.5 A regra da cadeia

Quando \(h=f\circ g\), uma variação da variável independente produz dois efeitos sucessivos: primeiro modifica o valor de \(g\) e, em seguida, modifica o valor de \(f\). A Regra da Cadeia descreve como essas duas variações locais se combinam.

Nos exemplos seguintes, a decomposição em função externa e função interna torna visíveis os fatores produzidos pela regra da cadeia.

Com a regra da cadeia, podemos estender a derivação das potências inteiras \(x^n\) às potências reais \(x^c\), definidas por \(x^c=e^{c\ln x}\) para \(x\gt 0\).

Exercício 9.17

Para \(a\in \mathbb {R}\) e \(x\gt 0\), derive

\[ f(x)=x^{a/2}+x^{(a+4)/2}+ax^{a-1}. \]

Ver solução

Pela regra da potência para expoentes reais,

\[ f'(x)=\frac a2x^{a/2-1} +\frac{a+4}{2}x^{(a+2)/2} +a(a-1)x^{a-2},\qquad x\gt 0. \]

Exercício 9.18

Calcule as derivadas das seguintes funções:

Nível 1 — composições diretas.

1. \(f(x)=(2x+10)^{12}\)

2. \(f(t) = (3t-2)^{5}\)

3. \(g(\theta ) = (\operatorname {sen}\theta +\cos \theta )^3\)

4. \(h(t) = e^{3t^2+t-1}\)

5. \(f(x) = \big(x+\frac{1}{x}\big)^4\)

6. \(f(x) = \cos (3x)\)

7. \(g(x) = \operatorname {tg}(5x)\)

   Nível 2 — composições aninhadas, logaritmos e exponenciais.

8. \(h(t) = \operatorname {sen}^4(2t)\)

9. \(p(t) = \cos ^3(t^2+3t+1)\)

10. \(f(x) = \ln (\cos x)\)

11. \(f(x) = \ln (x^2)\)

12. \(f(x) = 2\ln (x)\)

13. \(g(r) = e^{4r}\)

14. \(g(t) = e^{\cos t}\)

15. \(g(t) = 15^2\)

16. \(\displaystyle m(w) = \frac{e^w}{e^{2w}}\)

    Nível 3 — regra da cadeia combinada com produto e quociente.

17. \(\displaystyle m(w) = \frac{e^w+1}{e^{2w}}\)

18. \(\displaystyle f(x) = \frac{e^{x^2}+x}{e^{2x^2}}\)

19. \(f(x) = x^2\operatorname {sen}(5x)\)

20. \(g(t) = \cos (t^2+3t)\operatorname {sen}(5t-7)\)

21. \(g(t) = \cos (\frac1t)e^{5t^2}\)

Ver solução

Aplicamos a regra da cadeia em todos os itens e combinamos, nos últimos, as regras do produto e do quociente. As respostas estão organizadas nos mesmos três níveis do enunciado.

1. Nível 1 — composições diretas.

2. \(f'(x)=24(2x+10)^{11}\).

3. \(f'(t)=15(3t-2)^4\).

4. \(g'(\theta )=3(\operatorname {sen}\theta +\cos \theta )^2(\cos \theta -\operatorname {sen}\theta )\).

5. \(h'(t)=(6t+1)e^{3t^2+t-1}\).

6. \(f'(x)=4\bigl(x+1/x\bigr)^3\bigl(1-1/x^2\bigr)\), para \(x\neq 0\).

7. \(f'(x)=-3\operatorname {sen}(3x)\).

8. \(g'(x)=5\sec ^2(5x)\), para \(\cos (5x)\neq 0\).

9. Nível 2 — composições aninhadas, logaritmos e exponenciais.

10. \(h'(t)=8\operatorname {sen}^3(2t)\cos (2t)\).

11. \(p'(t)=-3(2t+3)\cos ^2(t^2+3t+1)\operatorname {sen}(t^2+3t+1)\).

12. \(f'(x)=-\operatorname {tg}x\), nos intervalos em que \(\cos x\gt 0\).

13. \(f'(x)=2/x\), para \(x\neq 0\).

14. \(f'(x)=2/x\), para \(x\gt 0\).

15. \(g'(r)=4e^{4r}\).

16. \(g'(t)=-e^{\cos t}\operatorname {sen}t\).

17. \(g'(t)=0\).

18. \(m'(w)=-e^{-w}\).

19. Nível 3 — cadeia combinada com produto e quociente.

20. \(m'(w)=-\dfrac {e^w+2}{e^{2w}}\).

21. \(f'(x)=\dfrac {e^{2x^2}\bigl(2xe^{x^2}+1\bigr) -(e^{x^2}+x)\, 4x e^{2x^2}}{e^{4x^2}}\).

22. \(f'(x)=2x\operatorname {sen}(5x)+5x^2\cos (5x)\).

23. \(g'(t)=5\cos (t^2+3t)\cos (5t-7)-(2t+3)\operatorname {sen}(t^2+3t)\operatorname {sen}(5t-7)\).

24. \(g'(t)=e^{5t^2}\left(10t\cos \frac1t+\frac{1}{t^2}\operatorname {sen}\frac1t\right)\), para \(t\neq 0\).

Exercício 9.19

Encontre as retas tangentes e normais nos pontos dados.

1. \(f(x) = (4x^3-x)^{10}\) em \(x=0\)

2. \(f(t) = (3t-2)^5\) em \(t=1\)

3. \(g(\theta ) = (\operatorname {sen}\theta +\cos \theta )^3\) em \(\theta = \pi /2\)

4. \(h(t) = e^{3t^2+t-1}\) em \(t=-1\)

Ver solução

Em cada item, calculamos primeiro a inclinação da tangente no ponto indicado. Quando essa inclinação é não nula, a normal tem coeficiente angular igual ao recíproco negativo.

1. Tangente: \(y=0\). Normal: \(x=0\).

2. Tangente: \(y-1=15(t-1)\). Normal: \(y-1=-\dfrac 1{15}(t-1)\).

3. Tangente: \(y-1=-3(\theta -\pi /2)\). Normal: \(y-1=\dfrac 13(\theta -\pi /2)\).

4. Tangente: \(y-e=-5e(t+1)\). Normal: \(y-e=\dfrac {1}{5e}(t+1)\).

Exercício 9.20

Para \(k\gt 0\) e \(x\gt 0\), calcule \( \frac{d}{dx}\big(\ln (kx)\big) \) de duas formas diferentes:

1. usando a regra da cadeia; e

2. primeiro usando a regra do logaritmo \(\ln (ab) = \ln a + \ln b\), e então calculando a derivada.

Ver solução

Se \(f(x)=\ln (kx)\), com \(k\gt 0\) e \(x\gt 0\), então, pela regra da cadeia,

\[ f'(x)=\frac{1}{kx}\, k=\frac1x. \]

Por outro lado, \(\ln (kx)=\ln k+\ln x\), de modo que

\[ f'(x)=0+\frac1x=\frac1x. \]

As duas formas, portanto, fornecem a mesma derivada.

Exercício 9.21

Para \(x\gt 0\) e \(k\in \mathbb {R}\), calcule \( \frac{d}{dx}\big(\ln (x^k)\big) \) de duas formas diferentes:

1. usando a regra da cadeia; e

2. primeiro usando a regra do logaritmo \(\ln (a^p) = p\ln a\), e então calculando a derivada.

Ver solução

Para \(x\gt 0\), aplicando a regra da cadeia a \(\ln (x^k)\),

\[ \frac{d}{dx}\ln (x^k)=\frac{kx^{k-1}}{x^k}=\frac{k}{x}. \]

A identidade \(\ln (x^k)=k\ln x\) fornece diretamente

\[ \frac{d}{dx}\bigl(k\ln x\bigr)=\frac{k}{x}, \]

confirmando o mesmo resultado.

Exercício 9.22

Mostre que a função

\[ f(x)= \begin{cases} x^{\frac{1}{3}}\operatorname {sen}\frac{1}{x} & \text{ se} x\neq 0 \\ 0 & \text{ se} x= 0 \end{cases} \]

é contínua em \(0\), mas não diferenciável nesse ponto.

Ver solução

Como \(|x^{1/3}\operatorname {sen}(1/x)|\leq |x|^{1/3}\to 0=f(0)\), a função é contínua em \(0\). Entretanto,

\[ \frac{f(h)-f(0)}h=h^{-2/3}\operatorname {sen}(1/h). \]

Tomando \(h_n=1/(\pi /2+2n\pi )\gt 0\), temos \(h_n\to 0\) e o quociente vale \(h_n^{-2/3}\to +\infty \). Tomando \(k_n=1/(3\pi /2+2n\pi )\gt 0\), temos \(k_n\to 0\) e o quociente vale \(-k_n^{-2/3}\to -\infty \). Logo, não há limite e \(f'(0)\) não existe.

9.6 Derivada da função inversa

Se \(I\) é um intervalo e \(f:I\to \mathbb {R}\) é contínua e injetiva, então \(f\) admite uma inversa \(f^{-1}:f(I)\to I\), também contínua. A reflexão dos gráficos em relação à reta \(y=x\) sugere como suas derivadas se relacionam: as inclinações correspondentes devem ser recíprocas, desde que não sejam nulas. O teorema a seguir formaliza essa observação.

Usaremos aqui o teorema de continuidade da inversa já demonstrado no capítulo de limites (Teorema 7.35).

Exercício 9.23

Use diretamente o Teorema da Derivada da Função Inversa.

1. Seja \(f(x)=x^3+x\). Sabendo que \(f(1)=2\), calcule \((f^{-1})'(2)\).

2. Seja \(g(x)=x+\ln x\), para \(x\gt 0\). Sabendo que \(g(1)=1\), calcule \((g^{-1})'(1)\).

Ver solução

1. Como \(f'(1)=4\), temos \((f^{-1})'(2)=1/4\).

2. Como \(g'(1)=1+1=2\), temos \((g^{-1})'(1)=1/2\).

Exercício 9.24

Usando a definição por limite, calcule a derivada de \(f(x)=x^2-4x\) em \(x=3\). Escreva também a equação da reta tangente nesse ponto.

Ver solução

\[ f'(3)=\lim _{h\to 0}\frac{(3+h)^2-4(3+h)-(-3)}h =\lim _{h\to 0}(2+h)=2. \]

Como \(f(3)=-3\), a tangente é \(y+3=2(x-3)\), ou \(y=2x-9\).

Exercício 9.25

A posição de um carrinho é \(s(t)=t^3-6t^2+9t\), em metros. Determine velocidade e aceleração para \(t\geq 0\), os instantes em que o carrinho está em repouso e o sentido do movimento em cada intervalo relevante.

Ver solução

\(v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\) e \(a(t)=6t-12\). O carrinho está em repouso em \(t=1\) e \(t=3\); move-se no sentido positivo em \([0,1)\) e \((3,\infty )\) e no sentido negativo em \((1,3)\).

Exercício 9.26

Derive e simplifique

\[ y=\frac{(x^2+1)\sqrt{x}}{x-2},\qquad x\gt 0,\ x\ne 2. \]

Identifique onde cada regra de derivação é usada.

Ver solução

Usando as regras do produto, da potência e do quociente,

\[ y'=\frac{3x^3-10x^2-x-2}{2\sqrt{x}(x-2)^2}. \]

Exercício 9.27

A área de um círculo cresce segundo \(A(t)=\pi r(t)^2\). Se \(r(t)=2+0{,}15t\) cm, com \(t\) medido em segundos, determine \(A'(t)\) e interprete seu valor em \(t=10\).

Ver solução

\(A'(t)=2\pi r(t)r'(t)=0{,}3\pi (2+0{,}15t)\, \mathrm{cm^2/s}\). Em \(t=10\) s, a área cresce à taxa de \(1{,}05\pi \approx 3{,}30\, \mathrm{cm^2/s}\).

Exercício 9.28

Mostre, pela definição, que \(f(x)=|x|\) não é derivável em \(0\). Relacione sua conclusão com a geometria do gráfico.

Ver solução

O quociente \(|h|/h\) tende a \(1\) quando \(h\to 0^+\) e a \(-1\) quando \(h\to 0^-\). Como os limites laterais diferem, \(f'(0)\) não existe. No gráfico, isso corresponde ao vértice anguloso na origem.

Exercício 9.29

Determine os pontos em que \(y=\sqrt{1+\cos (4x^2)}\) é derivável, obtenha sua derivada nesses pontos e avalie-a em \(x=0\).

Ver solução

A função não é derivável nos zeros do radicando,

\[ x=\pm \frac12\sqrt{(2k+1)\pi },\qquad k=0,1,2,\ldots , \]

onde o gráfico tem pontos angulosos. Nos demais pontos,

\[ y'=-\frac{4x\operatorname {sen}(4x^2)}{\sqrt{1+\cos (4x^2)}}. \]

Em particular, \(y'(0)=0\).

Exercício 9.30

Para \(f(x)=x^3+x\), use a fórmula da derivada da inversa para calcular \((f^{-1})'(2)\) sem obter uma fórmula explícita para \(f^{-1}\).

Ver solução

Como \(f(1)=2\) e \(f'(1)=4\), temos \((f^{-1})'(2)=1/f'(1)=1/4\).

Exercício 9.31

O gráfico representa a distância percorrida por uma ciclista em função do tempo. A reta tracejada é secante ao gráfico em dois instantes próximos de \(t=6\) min.

Explique como usar a inclinação dessa secante para estimar a velocidade instantânea em \(t=6\) min e indique as unidades do resultado.

Ver solução

A inclinação da secante indicada é aproximadamente

\[ \frac{6{,}05-5{,}45}{6{,}5-5{,}5}=0{,}60\, \mathrm{km/min}. \]

Como os dois instantes cercam \(6\) min, esse valor estima \(s'(6)\); ele equivale a aproximadamente \(36\, \mathrm{km/h}\).