Sobre os que entram nos mesmos rios, águas sempre diferentes correm.
Conhecida a posição de uma partícula em cada instante, podemos calcular sua velocidade média em um intervalo de tempo. Como obter a velocidade em um único instante? No estudo dos limites, uma pergunta semelhante apareceu na geometria: como obter a inclinação da tangente a partir das inclinações de retas secantes?
Os dois problemas conduzem ao mesmo limite, que define a derivada: a taxa de variação local de uma função. Calcularemos derivadas pela definição e estabeleceremos fórmulas e regras para as funções elementares. Também estudaremos a relação entre derivada e continuidade. No capítulo seguinte, veremos como a reta tangente permite aproximar os valores da função perto do ponto de tangência.
Figura9.1Retas tangentes em vários pontos da curva. As tangentes horizontais destacam o máximo e o mínimo locais.
9.1 Tangente e velocidade
9.1.1 O problema da reta tangente
No capítulo de limites, a inclinação da tangente foi obtida como limite das inclinações de secantes. Agora esse mesmo limite será tratado como uma taxa de variação e dará origem à função derivada.
No início do século XVII, Pierre de Fermat desenvolveu métodos para determinar máximos e mínimos de certas funções. A Figura 9.1 ilustra a relação entre esse problema e as retas tangentes: nos dois extremos indicados, as tangentes são horizontais.
Essa relação nos leva a estudar a inclinação da reta tangente em um ponto do gráfico.
Antes de retomar o cálculo, convém distinguir a direção local da curva do número de interseções entre ela e uma reta.
A experiência com a circunferência pode sugerir que a tangente seja uma reta que encontra a curva em um único ponto. Para gráficos de funções, porém, esse critério não basta, como mostram as figuras seguintes.
Na Figura 9.2a, a tangente cruza a curva em outro ponto; na Figura 9.2b, a reta encontra o gráfico uma única vez, mas não acompanha sua direção nesse ponto. O número de interseções, portanto, não caracteriza a tangência.
Retomemos o quociente usado no capítulo de limites para calcular a inclinação das secantes. Se \(P=(a,f(a))\) e \(Q=(a+h,f(a+h))\), com \(h\neq 0\), o coeficiente angular da secante é
Figura9.3Quando \(Q\) se aproxima de \(P\), as retas secantes se aproximam da reta tangente.
Mantendo \(P\) fixo, fazemos \(Q\) se aproximar de \(P\), isto é, fazemos \(h\) tender a zero. Se os coeficientes angulares das secantes convergem para um número real \(m\), esse limite determina a inclinação da reta tangente:
A reta tangente no ponto fixo \(P=(a,f(a))\) tem, portanto, equação
\[ y-f(a)=m(x-a). \]
Esse limite será a derivada de \(f\) no ponto \(a\). Um primeiro cálculo ilustra sua obtenção; o estudo do movimento mostrará outra interpretação do mesmo quociente.
Exemplo 9.1
Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)=x^2\) no ponto \((a,a^2)\).
Solução
Pela definição, a inclinação da reta tangente no ponto \(a\) é
Assim, a inclinação da reta tangente no ponto \(a\) é \(2a\).
9.1.2 O problema da velocidade
O mesmo quociente usado para calcular a inclinação de uma secante aparece no estudo da velocidade. Suponha que uma partícula se mova em linha reta e que sua posição no instante \(t\) seja dada por \(s(t)\). Para \(\Delta t\neq 0\), com os dois instantes no domínio de \(s\), a velocidade média entre \(t_0\) e \(t_0+\Delta t\) é
A velocidade média descreve o deslocamento por unidade de tempo nesse intervalo. Para obter a velocidade em um instante, fazemos o intervalo encolher, tomando o limite quando \(\Delta t\to 0\). No gráfico de posição em função do tempo, isso corresponde à passagem das secantes à tangente que acabamos de estudar.
Definição 9.1
Se uma partícula se move sobre uma reta e sua posição é descrita por \(s(t)\), então sua velocidade instantânea em \(t_0\) é
A posição de uma partícula é dada por \(s(t)=t^2-5t\), com \(s(t)\) em metros e \(t\geq 0\) em segundos. Determine a velocidade no instante \(a\geq 0\), calcule-a em \(t=0\) e em \(t=4\), identifique quando a partícula se move para a direita ou para a esquerda e determine quando ela está em repouso.
Solução
Para \(a\gt 0\), calculamos a velocidade pela definição:
\begin{align*} v(a) & =\lim _{\Delta t \to 0}\dfrac {s(a+\Delta t) - s(a)}{\Delta t} \\ & =\lim _{\Delta t \to 0}\dfrac {(a+\Delta t)^2-5(a+\Delta t) - a^2+5a}{\Delta t} \\ & =\lim _{\Delta t \to 0}\dfrac {a^2 + 2a\Delta t +(\Delta t)^2-5a-5\Delta t - a^2+5a}{\Delta t} \\ & =\lim _{\Delta t \to 0}\dfrac { 2a\Delta t +(\Delta t)^2-5\Delta t }{\Delta t} \\ & =\lim _{\Delta t \to 0}(2a+\Delta t-5) \\ & = 2a -5. \end{align*}
Logo, \(v(a)=2a-5\). No instante inicial, fazemos o mesmo cálculo com \(\Delta t\to 0^+\), pois o movimento está definido apenas para \(t\geq 0\). Obtemos \(v(0)=-5\, \mathrm{m/s}\); em \(t=4\), temos \(v(4)=3\, \mathrm{m/s}\). Para determinar quando a partícula se move para a direita, resolvemos
Como \(a\geq 0\), isso ocorre em \(0\leq a\lt 5/2\). Por fim, a partícula está em repouso se, e somente se, \(a=5/2\).
Taxas de variação
A posição e o tempo podem ser substituídos por outras grandezas. Se \(Q\) depende de uma variável \(x\), o quociente de suas variações mede quanto \(Q\) varia, em média, por unidade de \(x\).
Definição 9.2
A taxa de variação média de uma grandeza \(Q\) em relação à variável \(x\) entre \(a\) e \(a+h\), com \(h\neq 0\), é
Por exemplo, quando a variável é o tempo, essa taxa pode representar a velocidade de um automóvel ou o crescimento de uma população de bactérias. Em outras situações, pode medir como o lucro de uma empresa varia com o volume de vendas. Em todos esses casos, calculamos um limite da mesma forma; a interpretação e as unidades dependem das grandezas envolvidas.
Exercício 9.1 (Estar à frente e andar mais depressa)
Duas partículas percorrem a mesma reta. O gráfico mostra suas posições, em metros, para \(0\leq t\leq 4\), com \(t\) em segundos. O percurso de \(A\) é representado pelo segmento de reta; o de \(B\), pelo arco de parábola \(s_B(t)=t^2/2\). O triângulo tracejado foi construído sobre a tangente à curva de \(B\) em \(t=3\).
Compare as velocidades médias das partículas entre \(t=0\) e \(t=4\).
Em \(t=3\), qual partícula está à frente e qual tem maior velocidade? Use a tangente indicada para explicar por que as respostas podem ser diferentes.
Ver solução
Ambas passam de \(0\) a \(8\) metros em \(4\) segundos: as duas velocidades médias são \(2\, \mathrm{m/s}\).
\(A\) está à frente: \(s_A(3)=6\gt 9/2=s_B(3)\). A inclinação do segmento de \(A\) é \(2\, \mathrm{m/s}\); a tangente de \(B\) tem inclinação \(3/1=3\, \mathrm{m/s}\). Portanto, nesse instante \(B\) anda mais depressa. A posição registra onde cada partícula está; a velocidade registra como essa posição está variando.
Exercício 9.2 (Velocidade sem usar regras de derivação)
A posição de um carrinho é descrita por
\[ s(t)=\frac{12t}{t+2},\qquad t\geq 0, \]
com \(s\) em metros e \(t\) em segundos.
Calcule a velocidade média entre \(t=1\) e \(t=2\).
Simplifique \(\dfrac {s(1+h)-s(1)}h\) e determine a velocidade instantânea em \(t=1\), fazendo \(h\to 0\).
Calcule também, por quociente incremental, a velocidade em \(t=2\). Compare as três velocidades. Pelo modelo \(s(t)\), a rapidez do carrinho aumenta ou diminui para \(t\gt 0\)?
Ver solução
Temos \(s(1)=4\) e \(s(2)=6\). Logo, \(\boxed {v_{\mathrm m}=2\ \mathrm{m/s}}\). Além disso,
O resultado mede a variação do volume por unidade de raio, não por unidade de tempo. Ele coincide com a área da superfície da esfera de raio \(2\) cm. Para \(h=0{,}01\),
A aproximação é menor (erro relativo de cerca de \(0{,}5\% \)), pois despreza as parcelas positivas de ordens \(h^2\) e \(h^3\).
Exercício 9.4
O gráfico representa a distância percorrida por uma ciclista em função do tempo. A reta tracejada é secante ao gráfico em dois instantes próximos de \(t=6\) min.
Explique como usar a inclinação dessa secante para estimar a rapidez instantânea em \(t=6\) min e indique as unidades do resultado. Ver solução
A inclinação da secante indicada é aproximadamente
Como os dois instantes cercam \(6\) min, esse valor estima \(s'(6)\); ele equivale a aproximadamente \(36\, \mathrm{km/h}\).
9.2 Definição de derivada
Os problemas da tangente e da velocidade conduzem à mesma expressão. Abstraindo as interpretações geométrica e física, obtemos a definição de derivada em um ponto. Figura9.4A secante passa por \(P=(a,f(a))\) e \(Q=(a+h,f(a+h))\). Sua inclinação é a razão entre as variações vertical e horizontal.
Definição 9.4
Seja \(f\) uma função definida em um intervalo aberto que contém \(a\). A derivada de \(f\) em \(a\), denotada por \(f'(a)\), é
O símbolo \(f'(a)\) lê-se “f linha de a”. Dizer que \(f'(a)\) existe significa que o limite da Definição 9.4 existe como um número real. Geometricamente, esse número é a inclinação da tangente ao gráfico em \((a,f(a))\), cuja equação podemos escrever como
\[ y-f(a)=f'(a)(x-a). \]
Exemplo 9.3
Calcule a derivada de \(g(x)=\sqrt{x}\) em \(x=4\).
Figura9.5Tangente a \(g(x)=\sqrt{x}\) em \((4,2)\).
O conjugado. A identidade \((u-v)(u+v)=u^2-v^2\) transforma o numerador em \(h\), que pode ser simplificado antes de tomar o limite.
Assim, \(f'(a)=1\) para todo \(a\in \mathbb {R}\).
9.2.1 Função derivada
Quando \(f'(a)\) existe, dizemos que \(f\) é derivável em \(a\). Se isso ocorre em todo ponto interior de seu domínio, dizemos simplesmente que \(f\) é derivável. Nas extremidades de intervalos, consideraremos separadamente as derivadas laterais.
Até aqui, calculamos a derivada em um ponto. Podemos também deixar esse ponto variar: a cada \(x\) em que a derivada existe, associamos o número \(f'(x)\). Obtemos assim a função derivada de \(f\), denotada por \(f'\), com domínio
O domínio de \(f'\) pode ser estritamente menor que o domínio de \(f\).
O Exemplo 9.4 mostra que \(f(x)=x\) é derivável em toda a reta. Sua função derivada é, portanto, a função constante \(f'(x)=1\), com domínio \(\mathbb {R}\).
Exemplo 9.5
Calcule a derivada de \(f(x)=x^3+x^2\). Qual é o domínio de \(f'\)?
Portanto, \(\operatorname {Dom}f'=(0,\infty )\). Embora \(f\) esteja definida em \(x=0\), a derivada lateral direita não é finita: o quociente incremental tende a \(+\infty \) quando \(h\to 0^+\).
Exemplo 9.7 (O perfil de uma trilha e a sua inclinação)
O gráfico representa a altitude \(A(x)\) de uma trilha, em metros, em função da distância horizontal \(x\), em quilômetros, para \(0\le x\le 6\). Admita que o perfil seja suave, com tangentes horizontais em \(x=0\) e \(x=4\). A subida se torna mais íngreme até \(x=2\) e menos íngreme depois desse ponto, até o cume.
Sem procurar uma fórmula para \(A\), esboce qualitativamente \(A'\) para \(0\lt x\lt 6\). Indique seu sinal, onde ela se anula e onde atinge seu maior valor. O ponto mais alto da trilha coincide com o de maior inclinação de subida? Em que unidade é medida \(A'\)?
[.68figuras/proposta-20261016-x3-1.tex Figura9.6Altitude ao longo da trilha. Construa o gráfico da inclinação antes de consultar o desenho da resolução.
Solução
A derivada \(A'(x)\) mede metros de variação vertical por quilômetro horizontal. Para \(0\lt x\lt 4\), \(A\) cresce e \(A'(x)\gt 0\); em \(x=4\) há um cume e a inclinação se anula. Depois, \(A'\lt 0\): a trilha desce. A subida torna-se mais íngreme até \(x=2\) e depois fica menos inclinada. Portanto, \(A'\) atinge seu máximo em \(x=2\), e não no cume.
O esboço registra sinais e mudanças de inclinação, sem atribuir valores numéricos à derivada. A tangente horizontal em \(x=0\) corresponde à derivada lateral direita nula.
Se toda a trilha fosse deslocada verticalmente, a derivada não mudaria. Dessa forma, o gráfico da inclinação informa como a altitude varia, mas não a altitude inicial. [.68figuras/proposta-20261016-x3-2.tex Figura9.7Gráfico da inclinação construído a partir do perfil. O ponto de maior altitude corresponde a \(A'(4)=0\); a subida mais íngreme ocorre em \(x=2\).
Ideia
O máximo da função, o máximo de sua derivada e os zeros da derivada expressam propriedades diferentes. Ler \(A'\) é ler inclinações, e não alturas.
9.2.2 Definição equivalente de derivada
Na definição anterior, o ponto próximo de \(a\) foi escrito como \(a+h\). Podemos chamá-lo simplesmente de \(x\): nesse caso, \(h=x-a\), e \(h\to 0\) equivale a \(x\to a\). Para \(f\) definida em um intervalo aberto que contém \(a\), obtemos
Essa forma também esclarece a notação de Leibniz, na qual se explicita a variável em relação à qual a derivação é realizada.
Notação 9.8 (Notação de Leibniz)
A derivada de \(f\) em \(c\), denotada por \(f'(c)\), também pode ser escrita como
\[ \left. \frac{d f}{d x}\right|_{x=c} \]
Já a função derivada \(f'\) é denotada também do seguinte modo:
\[ \frac{d f}{d x} \]
Embora lembre um quociente, \(\frac{d f}{d x}\) denota a função derivada, obtida pelo limite dos quocientes incrementais. As duas formas da definição são equivalentes; escolhemos a que torna o cálculo mais simples.
Exemplo 9.9
Calcule a derivada de \(f(x)=x^{1/3}\) no ponto \(a\neq 0\).
No Exemplo 7.27, mostramos que \(\lim _{x\to 0}x\operatorname {sen}(1/x)=0\). Portanto, o limite desse quociente existe e \(f'(0)=0\). O fator \(x\) controla a oscilação, mesmo que \(\operatorname {sen}(1/x)\) não tenha limite em zero.
9.2.3 Derivadas laterais
Em um ponto de junção, os quocientes incrementais dos dois lados podem ter limites diferentes. Na extremidade de um intervalo do domínio, consideramos apenas o lado disponível. As derivadas laterais permitem tratar essas situações:
Cada derivada lateral é definida quando o respectivo limite existe e é finito.
40mm
Figura não resolvida: figuras/derivadas-laterais-limites.tex
Figura9.8O lado em destaque indica a aproximação a \(a\); o outro lado permanece em cinza.
Se \(a\) é um ponto interior do domínio, \(f\) é derivável em \(a\) se, e somente se, as duas derivadas laterais existem e coincidem. Em uma extremidade do domínio, consideramos apenas a derivada lateral correspondente aos pontos em que a função está definida.
Figura9.9Gráfico da função definida por uma parábola à esquerda de \(1\) e por uma reta à direita. Calcule as derivadas laterais em \(x=1\) e determine se \(f\) é derivável nesse ponto.
Solução
Como \(f(1)=1\), usamos esse mesmo valor nos dois quocientes incrementais. À esquerda de \(1\), temos \(f(x)=x^2\); logo,
As duas derivadas laterais coincidem. Portanto, \(f\) é derivável em \(1\) e \(f'(1)=2\). A parábola e a reta se encontram com a mesma inclinação, como sugere o gráfico.
A igualdade das derivadas laterais é essencial. No exemplo seguinte, os dois limites existem, mas têm valores diferentes.
Exemplo 9.12
Mostre que a função \(f(x)=\left\lvert x\right\rvert \) não é derivável em \(0\).
Figura9.10O canto do gráfico de \(y=|x|\) reúne duas inclinações laterais diferentes em \(x=0\).
Como \(f'_+(0)\neq f'_-(0)\), a função não é derivável em \(0\).
A função valor absoluto é contínua em \(0\), mas não é derivável nesse ponto. Assim, a continuidade não garante a existência da derivada. No sentido inverso, porém, a implicação sempre vale:
Teorema 9.13
Se \(f\) é derivável no ponto \(x\), então \(f\) é contínua em \(x\). Equivalentemente, se \(f\) não é contínua em \(x\) então \(f\) não é derivável em \(x\).
Elas coincidem precisamente quando \(a=2\). Substituindo esse valor em \(a+b=1\), obtemos \(b=-1\). Logo, a função é derivável em todos os pontos se, e somente se,
\[ a=2\qquad \text{e}\qquad b=-1. \]
Exercício 9.5 (Derivar dados com ruído)
Um sensor mede a posição real \(s(t)\) de um carrinho, em metros. A leitura \(\widetilde s(t)\) satisfaz \(|\widetilde s(t)-s(t)|\le 0{,}001\, \mathrm m\). Para estimar a velocidade, calcula-se
Todos os valores numéricos abaixo usam segundos e metros.
Mostre que o erro em relação ao quociente com posições exatas é de, no máximo, \(0{,}002/h\) m/s. Quando essa cota pode ser atingida? Compare \(h=0{,}001\) s com \(h=0{,}1\) s.
No modelo em que o valor numérico da posição é \(s(t)=t^2\), calcule o quociente exato em \(t=1\) e compare-o com \(s'(1)\).
Justifique a cota \(E(h)=h+0{,}002/h\) para o erro total. Encontre o passo que equilibra os termos e mostre, completando um quadrado, que ele minimiza essa cota. Não use derivadas de \(E\).
Por que reduzir indefinidamente o passo não garante melhora na estimativa medida? Isso contradiz a definição matemática de derivada?
[figuras/proposta-20261016-q9-1-1.tex Figura9.11Diminuir \(h\) reduz o erro do passo, mas aumenta a cota da contribuição dos erros de leitura. A melhor escolha equilibra as duas fontes de erro neste modelo.
Ver solução
Cada leitura pode errar \(0{,}001\) m em sentido oposto à outra; a diferença pode errar \(0{,}002\) m e o quociente pode errar até \(0{,}002/h\) m/s. Isso corresponde a \(2\) m/s para \(h=0{,}001\) s e a \(0{,}02\) m/s para \(h=0{,}1\) s.
Para \(s(t)=t^2\) e \(t=1\), o quociente exato é
\[ \frac{(1+h)^2-1}{h}=2+h. \]
Em relação à velocidade instantânea \(s'(1)=2\), o erro da aproximação para a frente é \(h\). Ao equilibrar \(h\) e \(0{,}002/h\), obtemos
A igualdade ocorre apenas em \(h=a\). Minimizamos uma cota para o pior caso: o erro observado pode ser menor e até se anular por compensação. Não há contradição com a derivada exata: quando observamos uma função conhecida sem ruído, podemos fazer \(h\to 0\); quando observamos dados medidos com precisão limitada, precisamos controlar também o erro das medições.
Uma aproximação numérica de derivada pode perder sua garantia de precisão quando o passo fica pequeno demais. Saber calcular um limite e saber escolher um método de medição são competências complementares.
Exercício 9.6 (Três leituras não determinam uma derivada)
Uma tabela registra os pontos \((-1,1)\), \((0,2)\) e \((1,3)\) de um gráfico. Duas funções compatíveis com essas leituras são
\[ f(x)=2+x,\qquad g(x)=2-x+2x^3,\qquad x\in \mathbb R. \]
Use a definição de derivada para calcular \(f'(0)\) e \(g'(0)\).
A secante que liga as leituras em \(x=-1\) e \(x=1\) tem inclinação \(1\). Essa informação permite concluir que a inclinação da tangente em \(x=0\) também é \(1\)? Explique o que falta à tabela para justificar essa conclusão.
Ver solução
Para \(h\neq 0\), os quocientes incrementais em \(0\) são \(1\) e \(-1+2h^2\). Logo, \(f'(0)=1\) e \(g'(0)=-1\).
Não. As três leituras e a inclinação da secante são iguais para as duas funções, mas suas derivadas em \(0\) têm até sinais diferentes. A derivada depende do comportamento em escalas arbitrariamente pequenas; uma tabela finita, sem hipóteses adicionais sobre a função, não o determina.
Exercício 9.7 (Dois retratos da mesma resposta)
Os painéis mostram a mesma resposta \(R\) de um sensor à temperatura \(T\), usando escalas diferentes nos eixos. A resposta é derivável perto de \(T=20\, {}^\circ \mathrm C\), vale \(10\, \mathrm V\) nesse ponto e tem a reta tracejada como tangente. Em ambos os painéis, essa reta passa por \((19,9{,}8)\) e \((21,10{,}2)\).
Calcule \(R'(20)\) e indique sua unidade.
Um leitor afirma que o painel B revela maior sensibilidade porque a tangente parece mais inclinada. Explique como a leitura das escalas corrige essa interpretação.
Os dois painéis representam a mesma derivada. O ângulo da reta no papel depende de quantos centímetros representam uma unidade em cada eixo. A sensibilidade se obtém dividindo a variação de tensão pela variação de temperatura, nas unidades indicadas, e não comparando apenas os ângulos desenhados.
Exercício 9.8 (Onde a função não é derivável?)
O gráfico de \(f:[-4,4]\to \mathbb {R}\) é formado por um segmento e dois arcos.
Em quais pontos de \((-4,4)\) a função não é contínua?
Em quais pontos de \((-4,4)\) a função não é derivável? Classifique cada caso (bico, tangente vertical ou descontinuidade).
Determine o sinal de \(f'(-3)\), \(f'(-1)\) e \(f'(2)\).
Um estudante afirma que \(f\) é derivável em \(0\), porque o gráfico tem reta tangente nesse ponto. Explique o erro.
Ver solução
Apenas em \(x=1\), onde há um salto.
Em \(x=-2\) (bico: as inclinações laterais são diferentes), em \(x=0\) (tangente vertical) e em \(x=1\) (descontinuidade; toda função derivável é contínua).
\(f'(-3)=1\gt 0\), \(f'(-1)\lt 0\) e \(f'(2)\gt 0\).
A tangente em \(0\) é vertical; as inclinações das secantes crescem em módulo sem limitação, e o limite que define \(f'(0)\) não é um número real.
Exercício 9.9 (Do gráfico de uma função ao gráfico de sua derivada)
O gráfico de \(f:[0,6]\to \mathbb {R}\) é formado pelo segmento de \((0,0)\) a \((2,4)\), pelo arco da parábola
\[ y=4+2(x-2)-(x-2)^2,\qquad 2\le x\le 4, \]
e pelo segmento de \((4,4)\) a \((6,0)\), conforme a figura.
Verifique que \(f\) é derivável em \((0,6)\), inclusive em \(x=2\) e \(x=4\), e esboce o gráfico de \(f'\).
Onde \(f\) atinge seu máximo absoluto? Em quais pontos de \((0,6)\) a derivada \(f'\) é máxima? Os máximos das duas funções ocorrem nos mesmos pontos?
Onde as inclinações das tangentes diminuem? Em quais trechos permanecem constantes?
Ver solução
Nos segmentos externos, as inclinações são \(2\) e \(-2\). No arco da parábola, o quociente incremental é \(6-2x-h\), que tende a \(6-2x\). Nas junções, as inclinações laterais coincidem e valem \(2\) e \(-2\), respectivamente. Portanto,
O gráfico de \(f'\) tem um trecho horizontal em altura \(2\), um segmento decrescente de \((2,2)\) a \((4,-2)\) e outro horizontal em altura \(-2\). Os pontos \(0\) e \(6\) não pertencem ao domínio de \(f'\).
O máximo de \(f\) é \(5\) em \(x=3\); o máximo de \(f'\) é \(2\), atingido em todo \(x\in (0,2]\). Como \(f'(3)=0\), os máximos não ocorrem nos mesmos pontos.
As inclinações diminuem no arco entre \(2\) e \(4\), e permanecem constantes nos dois segmentos externos.
Exercício 9.10
Para \(y=f(x)=1/x\), calcule a razão \(\Delta y/\Delta x\) em cada caso, usando \(\Delta y=f(2+\Delta x)-f(2)\).
Fixe \(x\ne 0\) e considere \(y=f(x)=1/x\). Escreva \(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\) e calcule \(\lim _{\Delta x\to 0}\dfrac {\Delta y}{\Delta x}\) em função de \(x\). Ver solução
\(-1/x^2\), para \(x\neq 0\).
Exercício 9.12
Para as funções a seguir, calcule a derivada no ponto indicado por meio do limite do quociente de Newton:
Determine os números reais \(a\) e \(b\) de modo que a função \( f(x)= \begin{cases} x^2+2x & x\lt 1 \\ a x+b & x\geq 1 \end{cases} \) seja derivável em todos os pontos. Ver solução
A continuidade em \(1\) exige \(a+b=3\). Sob essa condição, a derivada pela esquerda é \(2\cdot 1+2=4\), e a da direita é \(a\). Portanto, \(a=4\) e \(b=-1\). Com esses valores, a função é derivável na junção e nos demais pontos, onde é polinomial.
Exercício 9.14 (As secantes simétricas bastam?)
Para uma função definida em um intervalo aberto que contém \(a\), considere o limite do quociente simétrico
Mostre que, se \(f'(a)\) existe, então \(D_sf(a)\) existe e vale \(f'(a)\).
Calcule \(D_sf(0)\) para \(f(x)=|x|\) e compare com as derivadas laterais. A existência desse limite garante que a função seja derivável em \(0\)?
Para \(f(x)=|x|\), descreva as secantes que unem os pontos de abscissas \(-h\) e \(h\), com \(h\gt 0\). Compare-as com as secantes que mantêm fixo o ponto \((0,0)\).
Se \(f'(a)\) existe, os dois quocientes nos colchetes tendem a \(f'(a)\). Logo, \(D_sf(a)=f'(a)\).
Para \(f(x)=|x|\), o quociente simétrico é zero para todo \(h\ne 0\). Portanto, \(D_sf(0)=0\). Entretanto, \(f'_-(0)=-1\) e \(f'_+(0)=1\), de modo que \(f'(0)\) não existe. A recíproca do item a) é falsa.
As duas extremidades são \((-h,h)\) e \((h,h)\), de mesma altura: suas secantes têm inclinação zero. As secantes que passam pelo ponto fixo \((0,0)\) têm inclinação \(-1\) à esquerda e \(1\) à direita. O cancelamento simétrico entre os dois lados não verifica o limite da definição da derivada.
Exercício 9.15
Usando a definição por limite, calcule a derivada de \(f(x)=x^2-4x\) em \(x=3\). Escreva também a equação da reta tangente nesse ponto. Ver solução
Como \(f(3)=-3\), a tangente é \(y+3=2(x-3)\), ou \(y=2x-9\).
Exercício 9.16
Mostre, pela definição, que \(f(x)=|x|\) não é derivável em \(0\). Relacione sua conclusão com a geometria do gráfico. Ver solução
O quociente \(|h|/h\) tende a \(1\) quando \(h\to 0^+\) e a \(-1\) quando \(h\to 0^-\). Como os limites laterais diferem, \(f'(0)\) não existe. No gráfico, isso corresponde ao vértice anguloso na origem.
9.3 Derivadas das funções clássicas
Calcular derivadas diretamente pela definição pode exigir manipulações extensas. Por isso, estabeleceremos fórmulas para as funções elementares que possam ser reutilizadas. Elas serão deduzidas a partir da definição e dos limites fundamentais e formarão o repertório básico do cálculo diferencial.
Teorema 9.15 (Fórmulas de derivação)
São válidas as seguintes fórmulas de derivação
Se \(f(x) = c, \) então \( f'(x) =0 ,\)
Se \(f(x)=x^n \) então \( \ f'(x) = n\, x^{n-1} \text{ para todo }\index{derivada!potencia inteira@potência inteira|hyperpage} n\) inteiro positivo,
Se \(f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}\), então \(f'(x)=\dfrac {1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\). Para \(n\) par, a fórmula vale em \(x\gt 0\); para \(n\) ímpar e \(n\geq 3\), vale em \(x\neq 0\); para \(n=1\), vale em todo \(x\in \mathbb {R}\),
Se \(f(x) = \operatorname {sen}x \) então \( \ f'(x) = \cos x,\)
Se \(f(x) = \cos x \) então \( \ f'(x) = -\operatorname {sen}x,\)
Se \(f(x) = e^x \) então \(\ f'(x)= e^x ,\)
Se \(f(x)=\ln x \) então \( \ f'(x) = \dfrac {1}{x},\quad x \gt 0 . \)
Para \(n=1\), o item b é a derivada da identidade, já calculada. As expansões anteriores são entendidas para \(n\geq 2\). Para o item c, fixemos \(x\) no interior do domínio e, quando \(n\geq 2\), suponhamos também \(x\neq 0\). Fazendo \(u=\sqrt[n]{y}\) e \(v=\sqrt[n]{x}\), temos \(u\to v\) quando \(y\to x\). Pelo item anterior,
Figura não resolvida: figuras/derivadas-seno-cosseno.tex
Figura9.12Variações das coordenadas no círculo unitário, ilustradas no primeiro quadrante com ângulos em radianos. As passagens ao limite justificadas no texto valem para todo \(x\) real.
Para o item d, usamos a identidade de transformação de soma em produto:
Na penúltima passagem, usamos a forma bilateral \(\displaystyle \lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u}=e\), estabelecida na prova do Teorema 8.26.
Exercício 9.17 (A sensibilidade de uma raiz)
Dois dispositivos idealizados transformam uma entrada adimensional \(x\geq 0\) nas saídas \(F(x)=x\) e \(G(x)=\sqrt{x}\). Chamamos de sensibilidade local o módulo da derivada da saída em relação à entrada.
Compare as sensibilidades em \(x=1/100\) e em \(x=100\). A transformação pela raiz é sempre menos sensível que a identidade?
A saída \(G(0)\) existe. Isso implica que a sensibilidade seja finita em \(0\)? Examine o quociente incremental pela direita e relacione sua resposta com a forma do gráfico.
Ver solução
\(F'(x)=1\) e \(G'(x)=1/(2\sqrt{x})\), para \(x\gt 0\). As sensibilidades de \(G\) são \(5\) e \(1/20\), respectivamente; a de \(F\) é \(1\) nos dois casos. A raiz é mais sensível para \(0\lt x\lt 1/4\), igualmente sensível em \(1/4\) e menos sensível para \(x\gt 1/4\).
Não. Embora \(G(0)=0\), temos \((G(h)-G(0))/h=1/\sqrt h\to +\infty \) quando \(h\to 0^+\). Não há derivada lateral finita em \(0\), que é uma extremidade do domínio. As secantes se aproximam de uma direção vertical.
Exercício 9.18 (Fórmulas, valores e domínios)
Em cada caso, determine \(f'(x)\), indique o domínio de \(f'\) e calcule \(f'(a)\).
\(f(x)=x^5\), \(a=-2\).
\(f(x)=\sqrt{x}\), \(a=9\).
\(f(x)=\sqrt[3]{x}\), \(a=-8\).
\(f(x)=\operatorname {sen}x\), \(a=\pi /3\).
\(f(x)=\cos x\), \(a=\pi /6\).
\(f(x)=e^x\), \(a=\ln 2\).
\(f(x)=\ln x\), \(a=1/4\).
Além dos cálculos, compare o domínio da função com o domínio de sua derivada nos exemplos que envolvem raízes. Ver solução
A raiz quadrada está definida em zero, mas \(\sqrt h/h=1/\sqrt h\to +\infty \) quando \(h\to 0^+\): não existe derivada lateral finita nesse ponto. A raiz cúbica é definida em todo \(\mathbb R\), inclusive em zero; sua derivada não existe como número real finito nesse ponto.
Exercício 9.19 (Derivar o seno em graus)
Seja \(S(x)=\operatorname {sen}(\pi x/180)\), o seno de um ângulo de \(x\) graus.
Pela definição de derivada e pelo limite fundamental, mostre que \(S'(x)=\frac{\pi }{180}\cos (\frac{\pi x}{180})\).
Calcule \(S'(30)\) e compare com \(S(31)-S(30)\).
Por que \((\operatorname {sen}x)'=\cos x\) exige radianos?
por grau, e \(S(31)-S(30)\approx 0{,}015038\). A variável em graus introduz o fator de conversão \(\pi /180\); a fórmula usual sem fator vale para a medida em radianos.
Exercício 9.20 (Tangentes que passam pela origem)
Determine, em cada gráfico, todas as retas tangentes que passam pela origem. Encontre também o ponto de tangência.
\(f(x)=e^x\).
\(g(x)=\ln x\).
Ver solução
A tangente à exponencial na abscissa \(a\) é \(y-e^a=e^a(x-a)\). A passagem pela origem exige \(e^a(a-1)=0\), ou seja, \(a=1\). Assim, o ponto é \((1,e)\) e \(\boxed {y=ex}\).
Para o logaritmo, a tangente na abscissa \(a\gt 0\) satisfaz \(y-\ln a=(x-a)/a\). A passagem pela origem exige \(\ln a=1\), logo \(a=e\). O ponto é \((e,1)\) e \(\boxed {y=x/e}\). Os pontos de tangência são refletidos na reta \(y=x\), como se espera de duas funções inversas.
9.4 Regras de derivação
Conhecidas as derivadas de duas funções, como calcular a derivada de sua soma, de seu produto ou de seu quociente? Queremos obter regras que permitam derivar expressões construídas a partir de funções já estudadas.
A estrutura algébrica da expressão determina a regra apropriada. Somas e múltiplos constantes se comportam linearmente; produtos e quocientes introduzem termos adicionais que decorrem diretamente do quociente incremental.
Teorema 9.16 (Derivada da soma e da diferença)
Se \(f\) e \(g\) são funções deriváveis em \(x=a\) então a função \(f\pm g\) é derivável em \(a\) e
\[ \index{derivada!regra da soma e diferenca@regra da soma e diferença|hyperpage} \left(f\pm g\right)'(a)=f'(a) \pm g'(a). \]
Demonstração▼
Basta demonstrar o caso da soma; a diferença é análoga. Seja \(u=f+g\). Para calcular a derivada no ponto \(a\), usamos o mesmo incremento \(h\) nas duas funções:
A expressão é válida para todo \(x\in \mathbb {R}\).
Exemplo 9.23
Calcule a derivada de \(f(x)=\sqrt[3]{x^2}(x^2+x)\).
Solução
Para \(x\neq 0\), ponha \(u=\sqrt[3]{x}\). Como \(\sqrt[3]{x^2}=u\cdot u\), a regra do produto fornece \((u^2)'=u'u+uu'=2uu'\). Pela regra da raiz, \(u'=1/(3u^2)\); portanto,
Considere a função \(m=\frac{f}{g}\). Como \(g(a)\neq 0\) e \(g\) é contínua, existe \(\epsilon \gt 0\) tal que \(\left|{h}\right| \lt \epsilon \Longrightarrow g (a+h) \ne 0\). Ou seja, a função \(m\) está definida numa vizinhança de \(a\). Pela definição de derivada,
Como \(f(-1)=2\) e \(f(1)=-2\), os pontos procurados são \((-1,2)\) e \((1,-2)\).
Exercício 9.21 (Mais soluto, menor concentração)
Uma mistura recebe continuamente líquido e soluto, sem saída. No instante considerado, contém \(12\, \mathrm{mg}\) de soluto em \(6\, \mathrm L\) de líquido; a massa de soluto aumenta a \(3\, \mathrm{mg/min}\) e o volume, a \(2\, \mathrm{L/min}\). Suponha que massa \(M(t)\) e volume \(V(t)\gt 0\) sejam deriváveis.
Antes de calcular a derivada, compare a concentração da mistura com a razão entre as taxas de entrada. A concentração da mistura deve aumentar ou diminuir nesse instante?
Escreva \(C(t)=M(t)/V(t)\), use a regra do quociente e interprete o sinal e a unidade de \(C'(t)\) no instante dado.
Ver solução
A mistura tem \(2\, \mathrm{mg/L}\); a entrada fornece \(3/2\, \mathrm{mg}\) por litro acrescentado. Portanto, a concentração diminui, embora a quantidade total de soluto aumente.
O crescimento do volume dilui a mistura mais do que o acréscimo de soluto a concentra.
Exercício 9.22 (Ler a derivada de uma combinação de gráficos)
Os gráficos de \(f\) (em cobre) e de \(g\) (em verde-petróleo) são formados por segmentos de reta.
Calcule \((fg)'(1)\) e \(\left(\dfrac fg\right)'(1)\).
A função \(fg\) é derivável em \(x=2\)? Calcule as derivadas laterais.
A função \(f/g\) está definida em \(x=3\)?
Ver solução
No gráfico, \(f(1)=2\), \(f'(1)=1\), \(g(1)=2\) e \(g'(1)=-1\). Logo, \((fg)'(1)=1\cdot 2+2\cdot (-1)=0\) e \(\left(\dfrac fg\right)'(1)=\dfrac {1\cdot 2-2\cdot (-1)}{2^2}=1\).
Não. \(f\) tem um bico em \(2\): \(f'_-(2)=1\) e \(f'_+(2)=-\tfrac 12\); além disso, \(f(2)=3\), \(g(2)=1\) e \(g'(2)=-1\). As derivadas laterais de \(fg\) são \(1\cdot 1+3(-1)=-2\) e \(-\tfrac 12\cdot 1+3(-1)=-\tfrac 72\), diferentes.
Não: \(g(3)=0\).
Exercício 9.23 (De quais pontos saem duas tangentes?)
Determine todos os pontos \((a,b)\) do plano pelos quais passam duas retas tangentes distintas ao gráfico de \(f(x)=x^2\). Interprete geometricamente a região encontrada. A figura mostra um ponto do qual partem duas tangentes. Ver solução
A tangente no ponto de abscissa \(u\) é \(y=2ux-u^2\). Ela passa por \((a,b)\) se \(u^2-2au+b=0\). Há duas tangentes quando essa equação tem duas raízes reais distintas, isto é, quando \(a^2-b\gt 0\). São os pontos \((a,b)\) com \(b\lt a^2\), situados abaixo da parábola. Sobre a parábola há uma única tangente, e acima dela, nenhuma.
Exercício 9.24
Calcule as derivadas das funções a seguir, considerando \(a\), \(b\) e \(c\) constantes reais:
Aplicamos as regras da potência, do produto e do quociente. No último item, escrevemos \(u=\sqrt[3]{x}\) e \(f(x)=a/u^2-b/(xu^2)\), com \(u'=1/(3u^2)\) para \(x\neq 0\). Preservando as restrições de domínio, obtemos
\(12x^3+5\).
\(7x^6+36x^5+x^4+4x^3+9x^2+2x\).
\(2ax+b\).
\(amx^{m-1}+b(m+n)x^{m+n-1}\).
\(-\dfrac {2\pi }{x^3}-\dfrac {\ln 4}{x^2}+\sqrt5\), para \(x\neq 0\).
\(-\dfrac {10}{(5x-3)^2}+\dfrac 1{x^2}\), para \(x\neq 0\) e \(x\neq 3/5\).
\(-\dfrac {2a}{3}x^{-5/3}+\dfrac {5b}{3}x^{-8/3}\), para \(x\neq 0\).
Exercício 9.25
Quantas retas tangentes à curva \(y=\dfrac {x}{x+1}\) passam pelo ponto \((1,2)\)? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva? Ver solução
A tangente no ponto de abscissa \(u\neq -1\) é
\[ y-\frac{u}{u+1}=\frac1{(u+1)^2}(x-u). \]
Para passar por \((1,2)\), ela deve satisfazer \((u+2)(u+1)=1-u\), isto é, \(u^2+4u+1=0\). Assim, há duas tangentes, nos pontos
\(f(x)=\dfrac {x^n}{\ln (x)}\), com \(n\in \mathbb {N}^*\)
\(f(x)=x^3\ln (x)-\dfrac {x^3}{3}\)
Ver solução
Combinando as regras do produto e do quociente com \((e^x)'=e^x\) e \((\ln x)'=1/x\), obtemos
\(e^x(x^7+7x^6)\).
\(\dfrac {e^x}{x^2}-\dfrac {2e^x}{x^3}\), para \(x\neq 0\).
\(e^x(\cos x-\operatorname {sen}x)\).
\(\dfrac {x^{n-1}(n\ln x-1)}{(\ln x)^2}\), para \(x\gt 0\) e \(x\neq 1\).
\(3x^2\ln x\), para \(x\gt 0\).
Exercício 9.28
Em que ponto a tangente à parábola \(y=x^2-7x+3\) é paralela à reta \(5x+y-3=0\)? Ver solução
A reta \(5x+y-3=0\) tem coeficiente angular \(-5\). Como
\[ f'(x)=2x-7, \]
a tangente à parábola é paralela a essa reta quando \(2x-7=-5\), isto é, quando \(x=1\). Como \(f(1)=-3\), o ponto procurado é \((1,-3)\).
Exercício 9.29
Determine as equações das retas tangente e normal à curva \(y=x^3+2x^2-4x-3\) no ponto \((1,-4)\). A normal passa pelo ponto de tangência e é perpendicular à tangente; quando a tangente é horizontal, a normal é vertical. Ver solução
Para \(f(x)=x^3+2x^2-4x-3\),
\[ f'(x)=3x^2+4x-4, \]
e, portanto, \(f'(1)=3\). A reta tangente no ponto \((1,-4)\) é
\[ y+4=3(x-1). \]
Como a normal é perpendicular à tangente, seu coeficiente angular é \(-1/3\):
\[ y+4=-\frac13(x-1). \]
Exercício 9.30
Determine as equações das retas tangente e normal à curva \(y=x^3+2x^2-4x-3\) no ponto \((-2,5)\). Ver solução
A derivada é \(f'(x)=3x^2+4x-4\), de modo que \(f'(-2)=0\). Assim, a tangente em \((-2,5)\) é horizontal,
\[ y=5, \]
e a reta normal é vertical,
\[ x=-2. \]
Exercício 9.31
Considere \(f(x)=\dfrac {1}{3}x^3-2x^2+3x+1\). Encontre os pontos do gráfico de \(f\) nos quais a tangente é horizontal. Ver solução
Temos
\[ f'(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
A tangente é horizontal quando \(f'(x)=0\), portanto em \(x=1\) e \(x=3\). Como \(f(1)=7/3\) e \(f(3)=1\), os pontos são
\[ (1,7/3)\qquad \text{e}\qquad (3,1). \]
Exercício 9.32
Fixe \(c\in \mathbb R\) e considere a função \(f\) definida por
Determine os valores de \(a,b\) em termos de \(c\) de modo que \(f'(c)\) exista.
Ver solução
A continuidade exige \(ac+b=\operatorname {sen}c\) e a igualdade das derivadas laterais exige \(a=\cos c\). Logo, \(a=\cos c\) e \(b=\operatorname {sen}c-c\cos c\).
Exercício 9.34
Dado \(c\gt 0\), seja \(f\) a função definida como:
Determine os valores de \(a,b\) em termos de \(c\) de modo que \(f'(c)\) exista.
Ver solução
Como \(c\gt 0\), a continuidade exige \(a+bc^2=1/c\). A derivada pela esquerda é \(2bc\) e pela direita é \(-1/c^2\). Portanto, \(b=-1/(2c^3)\) e \(a=3/(2c)\).
Exercício 9.35
O gráfico de \(f(x)=x^2-\alpha x\), com \(\alpha \ne 0\), corta o eixo \(x\) em dois pontos \(A\) e \(B\). Determine \(\alpha \) para que as retas tangentes ao gráfico em \(A\) e em \(B\) sejam perpendiculares. Ver solução
As raízes são \(0\) e \(\alpha \), com \(f'(0)=-\alpha \) e \(f'(\alpha )=\alpha \). As tangentes são perpendiculares se \((-\alpha )\alpha =-1\), isto é, \(\alpha =\pm 1\).
Identifique onde cada regra de derivação é usada. Ver solução
Usando as regras do produto, da potência e do quociente,
\[ y'=\frac{3x^3-10x^2-x-2}{2\sqrt{x}(x-2)^2}. \]
9.5 Regra da cadeia
Quando \(h=f\circ g\), uma variação da variável independente produz dois efeitos sucessivos: primeiro modifica o valor de \(g\) e, em seguida, modifica o valor de \(f\). A regra da cadeia descreve como essas duas variações locais se combinam.
Teorema 9.32 (Regra da Cadeia)
Se \(g\) é derivável em \(t_0\) e \(f\) é derivável em \(g(t_0)\), então \(h=f\circ g\) é derivável em \(t_0\) e
A ideia é separar a variação de \(f\circ g\) em dois fatores, um para \(f\) e outro para \(g\). Para isso, sem precisar supor que \(g(t)\neq g(t_0)\), definimos a função auxiliar
Com \(\frac{d x}{d t}=g'(t)\) e \(\frac{d y}{d x}=f'(x)\), substituímos \(x=g(t)\) e obtemos \(\frac{d y}{d t}=f'(g(t))g'(t)\). A igualdade decorre da regra da cadeia, não de um cancelamento formal do símbolo \(\, \mathrm{d}x\).
Exemplo 9.34
Calcule a derivada de \( h(t)=\operatorname {sen}(t^2).\)
Solução
Decompomos \(h\) tomando \(g(t)=t^2\) e \(f(x)=\operatorname {sen}x\). Então \(h=f\circ g\), \(g'(t)=2t\) e \(f'(x)=\cos x\). Pela regra da cadeia,
\[ h'(t)=f'(g(t))g'(t)=2t\cos (t^2). \]
Nos exemplos seguintes, a decomposição em função externa e função interna torna visíveis os fatores produzidos pela regra da cadeia.
Exemplo 9.35
Calcule a derivada de \( h(t)=\ln (5t+3).\)
Solução
O domínio de \(h\) é \(t\gt -3/5\). Fazendo \(g(t)=5t+3\) e \(f(x)=\ln x\), temos \(h=f\circ g\), \(g'(t)=5\) e \(f'(x)=1/x\). Pela regra da cadeia,
Calcule a derivada de \(h(x) = \cos \left(\sqrt{x}\right)\).
Solução
Tomamos \(g(x)=\sqrt{x}\) e \(f(u)=\cos u\), de modo que \(h=f\circ g\). Como \(g'(x)=1/(2\sqrt{x})\) e \(f'(u)=-\operatorname {sen}u\), a regra da cadeia fornece
Em \(x=0\), a regra da cadeia não se aplica diretamente, mas a derivada lateral direita existe. Pela identidade \(\cos u-1=-2\operatorname {sen}^2(u/2)\),
Em \(x=-1/7\), a derivada finita não existe; portanto, \(\operatorname {Dom}g'=(-1/7,\infty )\).
Com a regra da cadeia, podemos estender a derivação das potências inteiras \(x^n\) às potências reais \(x^c\), que, para \(x\gt 0\), satisfazem a identidade \(x^c=e^{c\ln x}\).
Teorema 9.38 (Regra da Potência)
Se \(c\) é um número real, então, para \(x\gt 0\),
\[ (x^c)'=cx^{c-1}. \]
Demonstração▼
Para \(x\gt 0\), temos \(x^c=e^{c\ln x}\). Pela regra da cadeia,
Se \(c=p/q\) está em forma irredutível e \(q\) é ímpar, a potência real \(x^c\) também está definida para \(x\lt 0\), e a fórmula \((x^c)'=cx^{c-1}\) vale nesses pontos negativos não nulos. Para um expoente real arbitrário, a construção \(x^c=e^{c\ln x}\) usada acima exige \(x\gt 0\). Assim, a regra deve sempre ser lida junto com o domínio da potência considerada.
Exemplo 9.40
Calcule a derivada de \(f(x)=\sqrt[3]{x^5}+\sqrt[5]{x^3}\).
Solução
Como os denominadores \(3\) e \(5\) são ímpares, podemos escrever
\[ f(x)=x^{5/3}+x^{3/5} \]
para todo \(x\in \mathbb {R}\). Pela Regra da Potência e pela observação anterior, para \(x\neq 0\),
Em \(x=0\), o quociente incremental do termo \(x^{3/5}\) contém \(h^{3/5}/h=h^{-2/5}\), que não possui limite finito. Portanto, \(\operatorname {Dom}f'=\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \).
A função real e sua derivada estão definidas para \(x\gt 7/3\).
Exemplo 9.42 (Diferenciabilidade sem continuidade da derivada)
Retome \(f(x)=x^2\operatorname {sen}(1/x)\) para \(x\neq 0\) e \(f(0)=0\). Mostre que \(f\) é derivável em toda a reta, mas \(f'\) não é contínua em zero.
Solução
Já obtivemos \(f'(0)=0\) pela definição. Para \(x\neq 0\), as regras do produto e da cadeia fornecem
Para \(x_n=1/(2\pi n)\), com \(n\geq 1\), temos \(f'(x_n)=-1\). Para \(y_n=1/((2n+1)\pi )\), temos \(f'(y_n)=1\). As duas sequências tendem a zero, mas os valores da derivada têm limites diferentes. Portanto, \(\lim _{x\to 0}f'(x)\) não existe, embora \(f'(0)\) exista. A diferenciabilidade de uma função não exige a continuidade de sua derivada.
Exercício 9.37 (Um termômetro em movimento)
Ao longo de uma pista, a temperatura não muda com o tempo, mas varia com a posição:
\[ T(x)=20+(x-2)^2, \]
com \(x\) em metros e \(T\) em graus Celsius. Dois carrinhos carregam termômetros. No instante considerado, \(P\) está em \(x=1\) e move-se para a esquerda a \(0{,}5\, \mathrm{m/s}\); \(Q\) está em \(x=3\) e move-se para a direita à mesma rapidez. As setas indicam os sentidos espaciais do movimento.
A que taxa muda a temperatura lida por cada carrinho? Explique por que os sinais coincidem, apesar dos movimentos em sentidos opostos.
Um carrinho atravessa \(x=2\) com velocidade não nula. A leitura pode ter derivada temporal zero nesse instante? Isso significa que o carrinho parou ou que sua leitura permanecerá constante?
Ver solução
Pela regra da cadeia, \(dT/dt=2(x-2)x'\). Em \(P\), o resultado é \((-2)(-0{,}5)=1\, {}^\circ \mathrm C/\mathrm s\); em \(Q\), é \(2(0{,}5)=1\, {}^\circ \mathrm C/\mathrm s\). Ambos se deslocam para regiões mais quentes.
Sim: \(T'(2)=0\) faz a derivada temporal se anular, qualquer que seja a velocidade finita naquele instante. Essa informação é instantânea; não afirma imobilidade nem constância da leitura em um intervalo.
Exercício 9.38 (Duas composições na origem)
Considere, em toda a reta,
\[ F(x)=\sqrt{x^2},\qquad G(x)=\sqrt{x^4}. \]
Um aluno afirma que nenhuma das duas funções pode ser derivável em \(0\), pois a raiz quadrada não tem derivada finita na origem.
Simplifique corretamente cada composição e examine sua derivabilidade em \(0\).
Explique por que a falha de uma hipótese da regra da cadeia não resolve, por si só, a questão da derivabilidade da composição.
Ver solução
\(F(x)=|x|\) e \(G(x)=x^2\). Para \(F\), os quocientes incrementais em \(0\) são \(|h|/h\), com limites laterais \(-1\) e \(1\); para \(G\), são \(h\), com limite \(0\). Assim, \(F'(0)\) não existe e \(G'(0)=0\).
A regra da cadeia dá uma condição suficiente para calcular a derivada por um produto. Em \(0\), essa regra não se aplica com a raiz como função externa; a composição precisa ser examinada por outra via. A simplificação mostra que uma composição pode ser derivável mesmo assim.
Exercício 9.39 (Regra da cadeia a partir de dados locais)
As funções \(f\) e \(g\) são deriváveis em \(\mathbb {R}\). A tabela reúne alguns valores dessas funções e de suas derivadas:
Explique por que \(f'(1)g'(1)\) não é a expressão da regra da cadeia para nenhuma dessas duas derivadas.
Ver solução
Pela regra da cadeia,
\[ (f\circ g)'(1)=f'(g(1))g'(1)=f'(3)\, 2=8, \]
enquanto
\[ (g\circ f)'(1)=g'(f(1))f'(1)=g'(2)(-1)=3. \]
A derivada da função externa deve ser avaliada na imagem pela função interna: em \(g(1)=3\) na primeira composição e em \(f(1)=2\) na segunda. O produto \(f'(1)g'(1)=-2\) avalia ambas as derivadas em \(1\).
Aplicamos a regra da cadeia em todos os itens e combinamos, nos últimos, as regras do produto e do quociente. As respostas estão organizadas nos mesmos três níveis do enunciado.
Em cada item, calculamos primeiro a inclinação da tangente no ponto indicado. Quando essa inclinação é não nula, a normal tem coeficiente angular igual ao recíproco negativo.
Tomando \(h_n=1/(\pi /2+2n\pi )\gt 0\), temos \(h_n\to 0\) e o quociente vale \(h_n^{-2/3}\to +\infty \). Tomando \(k_n=1/(3\pi /2+2n\pi )\gt 0\), temos \(k_n\to 0\) e o quociente vale \(-k_n^{-2/3}\to -\infty \). Logo, não há limite e \(f'(0)\) não existe.
Exercício 9.46
Determine a derivada de cada função e indique o domínio da derivada.
\(y=\operatorname {sen}(4x)\)
\(y=\cos (5x)\)
\(f(x)=e^{3x}\)
\(f(x)=\cos (8x)\)
\(y=\operatorname {sen}(t^3)\)
\(g(t)=\ln (2t+1)\)
\(x=e^{\operatorname {sen}t}\)
\(f(x)=\cos (e^x)\)
\(y=\sqrt{3x+1}\)
\(f(x)=\sqrt[3]{\dfrac {x-1}{x+1}}\)
\(y=e^{-5x}\)
\(x=\ln (t^2+3t+9)\)
\(f(x)=e^{\operatorname {tg}x}\)
\(y=\operatorname {sen}(\cos x)\)
\(g(t)=(t^2+3)^4\)
\(f(x)=\cos (x^2+3)\)
\(y=\sqrt{x+e^x}\)
\(y=\operatorname {tg}(3x)\)
\(y=\sec (3x)\)
Ver solução
Nos itens sem restrição indicada, o domínio da derivada é \(\mathbb {R}\).
Uma curva idealizada de frequência de disparo de um neurônio é
\[ f(I)=a\sqrt{I-I_c},\qquad I\gt I_c, \]
em que \(a\gt 0\), \(I\) é a corrente de entrada e \(I_c\) é um limiar. A derivada \(f'(I)\) é chamada de ganho. Determine o ganho, estude seu limite quando \(I\to I_c^+\) e interprete o resultado. Ver solução
Para \(I\gt I_c\),
\[ f'(I)=\frac{a}{2\sqrt{I-I_c}}. \]
Logo, \(f'(I)\to +\infty \) quando \(I\to I_c^+\). O modelo prevê sensibilidade muito alta imediatamente acima do limiar e ganho decrescente à medida que a corrente aumenta. O valor infinito é uma idealização do modelo, não uma previsão fisiológica literal.
Exercício 9.48
Seja \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) derivável.
Se \(g(t)=f(t^2+1)\) e \(f'(2)=5\), calcule \(g'(1)\).
Se \(g(x)=f(e^{2x})\) e \(f'(1)=2\), calcule \(g'(0)\).
Em cada caso, explique por que a derivada de \(f\) é avaliada em um ponto diferente daquele em que se pede a derivada de \(g\). Ver solução
\(g'(t)=2t\, f'(t^2+1)\); \(g'(1)=2f'(2)=10\).
\(g'(x)=2e^{2x}f'(e^{2x})\); \(g'(0)=2f'(1)=4\).
A derivada de \(f\) é calculada no valor da função interna: \(t=1\) corresponde a \(t^2+1=2\), e \(x=0\) corresponde a \(e^{2x}=1\).
Exercício 9.49
Seja \(g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) derivável.
Para \(f(x)=x\, g(x^2)\), verifique que \(f'(x)=g(x^2)+2x^2g'(x^2)\). Calcule \(f'(1)\) supondo \(g(1)=4\) e \(g'(1)=2\).
Para \(f(x)=e^xg(3x+1)\), calcule \(f'(0)\) supondo \(g(1)=2\) e \(g'(1)=3\).
Ver solução
Pelas regras do produto e da cadeia, \(f'(x)=g(x^2)+x\cdot 2x\, g'(x^2)\). Assim, \(f'(1)=4+2\cdot 2=8\).
\(f'(x)=e^xg(3x+1)+3e^xg'(3x+1)\) e \(f'(0)=g(1)+3g'(1)=11\).
Exercício 9.50 (O que a simetria impõe às tangentes)
Sejam \(f,g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) funções deriváveis, com \(f\) par e \(g\) ímpar.
Sem supor fórmulas explícitas, mostre que \(f'\) é ímpar e \(g'\) é par.
O que podemos concluir sobre \(f'(0)\)? A derivada \(g'(0)\) também precisa ser zero? Justifique com um exemplo.
Explique geometricamente o que ocorre com as inclinações das tangentes em pontos de abscissas opostas.
Ver solução
Da identidade \(f(-x)=f(x)\), a regra da cadeia dá \(-f'(-x)=f'(x)\), isto é, \(f'(-x)=-f'(x)\): \(f'\) é ímpar. Analogamente, \(g(-x)=-g(x)\) fornece \(-g'(-x)=-g'(x)\), ou \(g'(-x)=g'(x)\): \(g'\) é par.
Como \(f'(0)=-f'(0)\), então \(f'(0)=0\). Para uma função ímpar isso não é obrigatório: \(g(x)=x\) satisfaz \(g'(0)=1\).
A reflexão no eixo vertical inverte a inclinação da tangente; a reflexão na origem inverte simultaneamente os incrementos horizontal e vertical e preserva a inclinação.
Exercício 9.51
A área de um círculo cresce segundo \(A(t)=\pi r(t)^2\). Se \(r(t)=2+0{,}15t\) cm, com \(t\) medido em segundos, determine \(A'(t)\) e interprete seu valor em \(t=10\). Ver solução
\(A'(t)=2\pi r(t)r'(t)=0{,}3\pi (2+0{,}15t)\, \mathrm{cm^2/s}\). Em \(t=10\) s, a área cresce à taxa de \(1{,}05\pi \approx 3{,}30\, \mathrm{cm^2/s}\).
Exercício 9.52
Determine os pontos em que \(y=\sqrt{1+\cos (4x^2)}\) é derivável, obtenha sua derivada nesses pontos e avalie-a em \(x=0\). Ver solução
Conhecida a derivada de uma função injetora, queremos determinar a derivada de sua inversa. Se \(I\) é um intervalo e \(f:I\to \mathbb {R}\) é contínua e injetora, então \(f\) admite uma inversa \(f^{-1}:f(I)\to I\), também contínua. A reflexão em relação à reta \(y=x\) sugere a relação procurada: uma tangente de inclinação \(m\neq 0\) é transformada em uma reta de inclinação \(1/m\). O teorema a seguir estabelece as condições que permitem usar essa relação para calcular a derivada da inversa. Figura9.14A reflexão em \(y=x\) leva \((1,2)\) a \((2,1)\) e troca a inclinação \(2\) por \(1/2\). Aqui, \(f(x)=1+x^2\), para \(x\geq 0\).
Usaremos aqui o teorema de continuidade da inversa já demonstrado no capítulo de limites (Teorema 7.37). Uma função contínua e injetora em um intervalo é estritamente monótona. Para intervalos quaisquer, basta aplicar a subintervalos fechados o argumento apresentado no capítulo de continuidade.
Teorema 9.43 (Derivada da função inversa)
Seja \(f:I\to \mathbb {R}\) uma função injetora e contínua, com \(I\) um intervalo. Se \(a\) é interior a \(I\), \(f\) é derivável em \(a\), \(f'(a)\neq 0\) e \(b=f(a)\), então \(f^{-1}\) é derivável em \(b\), e
\[ (f^{-1})'(b) = \dfrac {1}{f’(f^{-1}(b))}. \]
Demonstração▼
Escreva \(a=f^{-1}(b)\). Para \(x\neq b\), ponha \(y=f^{-1}(x)\). Pela injetividade de \(f\), temos \(y\neq a\); pela continuidade de \(f^{-1}\), garantida pelo Teorema 7.37, temos \(y\to a\) quando \(x\to b\). Portanto,
Determine também o domínio em que essa derivada existe.
Solução
Observamos inicialmente que \(g(x)=x^{1/n}\) é a função inversa de \(f(x)=x^n\) quando restringimos \(f\) a \([0,\infty )\) se \(n\) é par; se \(n\) é ímpar, consideramos \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\). Em ambos os casos, o teorema da derivada da função inversa exige \(f'(g(x))\neq 0\); portanto,
Se \(n\) é par, \(g\) está definida em \([0,\infty )\) e \(\operatorname {Dom}g'=(0,\infty )\). Se \(n\) é ímpar, \(g\) está definida em \(\mathbb {R}\) e \(\operatorname {Dom}g'=\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \).
Exercício 9.53 (Recuperar a entrada a partir da leitura)
A calibração de um sensor é uma função \(R=F(T)\), contínua e estritamente crescente em um intervalo aberto de temperaturas. Suponha que \(F\) seja derivável nos pontos usados e que
Para recuperar a temperatura, utiliza-se \(T=F^{-1}(R)\).
Calcule \((F^{-1})'(2)\) e \((F^{-1})'(6)\), com suas unidades.
Perto de qual leitura a temperatura recuperada é mais sensível a pequenas variações da tensão? Compare as derivadas locais e determine a razão entre as duas sensibilidades.
Ver solução
As derivadas diretas são não nulas; portanto, \((F^{-1})'(2)=20\, {}^\circ \mathrm C/\mathrm V\) e \((F^{-1})'(6)=2\, {}^\circ \mathrm C/\mathrm V\).
A temperatura recuperada é dez vezes mais sensível perto de \(R=2\, \mathrm V\). Quando a resposta direta varia pouco com a temperatura, uma pequena alteração da leitura corresponde a uma alteração maior na entrada. Essa é uma comparação local das derivadas, não uma relação exata para variações finitas.
Exercício 9.54 (A inversa pode ter tangente horizontal?)
Considere uma função \(f\) invertível nos intervalos considerados e sua inversa \(f^{-1}\). Seus gráficos são simétricos em relação à reta \(y=x\).
Se a tangente ao gráfico de \(f\) em \((a,b)\) tem inclinação \(m\ne 0\), qual é a inclinação da tangente ao gráfico de \(f^{-1}\) em \((b,a)\)? Justifique geometricamente.
O que ocorre com o gráfico de \(f^{-1}\) num ponto em que \(f'(a)=0\)? Ilustre com \(f(x)=x^3\).
Se \(f\) é estritamente crescente e derivável em um intervalo, pode ocorrer \((f^{-1})'(b)=0\) em um ponto no qual a inversa seja derivável? Justifique pela regra da cadeia. Por que \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) não contradiz sua resposta?
Ver solução
\(1/m\): a reflexão em \(y=x\) troca os papéis de \(\Delta x\) e \(\Delta y\) nas secantes.
A tangente ao gráfico da inversa é vertical: \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]x\) não é derivável em \(0\).
Não, se ambas as funções forem deriváveis nos pontos correspondentes. De \(f(f^{-1}(b))=b\) segue \(f'(f^{-1}(b))\, (f^{-1})'(b)=1\). A derivada da inversa não pode ser zero. A função \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) tem inversa \(f^{-1}(x)=x^3\), cuja derivada em \(0\) é zero; porém \(f\) não é derivável em \(0\).
Exercício 9.55
Use diretamente o Teorema da Derivada da Função Inversa.
Seja \(f(x)=x^3+x\). Sabendo que \(f(1)=2\), calcule \((f^{-1})'(2)\).
Seja \(g(x)=x+\ln x\), para \(x\gt 0\). Sabendo que \(g(1)=1\), calcule \((g^{-1})'(1)\).
Ver solução
Como \(f'(1)=4\), temos \((f^{-1})'(2)=1/4\).
Como \(g'(1)=1+1=2\), temos \((g^{-1})'(1)=1/2\).
9.7 Derivadas de ordem superior
Quando a função derivada também é derivável, podemos derivá-la novamente. As derivadas sucessivas descrevem variações de ordem cada vez mais alta: na mecânica, por exemplo, a derivada da posição é a velocidade, e a derivada da velocidade é a aceleração.
Formalmente, seja \(f\) uma função derivável em um intervalo aberto \(I\). A função \(f':I\to \mathbb {R}\) é chamada derivada primeira de \(f\). Quando \(f'\) também é derivável, sua derivada é a derivada segunda de \(f\):
A derivada de \(f''\), quando existe, é a derivada terceira de \(f\), denotada por
\[ f^{(3)}\quad \text{ou}\quad f'''. \]
De modo geral, para \(n\in \mathbb {N}^*\), denotamos por \(f^{(n)}\) a derivada n-ésima de \(f\), sempre que ela exista. Adotaremos também a convenção \(f^{(0)}=f\).
Na notação de Leibniz, para \(y=f(x)\), escrevemos
As derivadas, portanto, repetem-se em ciclos de comprimento \(4\). Como \(98=4\cdot 24+2\), a derivada de ordem \(98\) ocupa a mesma posição que a derivada segunda no ciclo. Logo,
Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo \(n\geq 0\) e \(x\neq 0\).
Exemplo 9.50
A posição de uma partícula é dada por \(s(t)=5t^3-6t^2+9t\), em metros, com \(t\) medido em segundos. Encontre a velocidade e a aceleração no instante \(t=2\).
Exercício 9.56 (Acelerar não é sempre ganhar rapidez)
A velocidade de um carrinho que se move em uma reta é
\[ v(t)=(t-2)^2-1,\qquad 0\leq t\leq 4, \]
com \(t\) em segundos e \(v\) em metros por segundo. Os pontos \(A\) e \(B\) correspondem a \(t=3/2\) e \(t=5/2\).
Em cada ponto, determine o sentido do movimento e decida se a rapidez \(|v|\) está aumentando ou diminuindo. Relacione sua conclusão com o sinal de \(v'=a\).
Em \(t=2\), a aceleração é zero. O carrinho está em repouso? Em quais instantes interiores ao intervalo ele muda de sentido?
Ver solução
Em ambos, \(v=-3/4\, \mathrm{m/s}\): o movimento ocorre no sentido negativo. Em \(A\), \(a=-1\, \mathrm{m/s^2}\) e a rapidez aumenta; em \(B\), \(a=1\, \mathrm{m/s^2}\) e a rapidez diminui. Perto desses instantes \(v\lt 0\), de modo que \(|v|=-v\) e \((|v|)'=-a\).
Não: \(v(2)=-1\, \mathrm{m/s}\). As mudanças de sentido ocorrem em \(t=1\) e \(t=3\), pois nesses zeros a velocidade muda de sinal.
Exercício 9.57
Dado o polinômio \(p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), determine \(a,b,c,d\) se \(p(0)=p(1)=-2\), \(p'(0)=-1\) e \(p''(0)=10\). Ver solução
De \(p(0)=-2\) obtemos \(d=-2\), e de \(p'(0)=-1\) segue \(c=-1\). Como
\[ p''(x)=6ax+2b, \]
a condição \(p''(0)=10\) fornece \(b=5\). Por fim, \(p(1)=-2\) implica
\[ a+b+c+d=-2, \]
de onde \(a=-4\). Portanto,
\[ a=-4,\qquad b=5,\qquad c=-1,\qquad d=-2. \]
Exercício 9.58 (Uma fórmula para muitas derivadas)
Seja \(f(x)=x^2e^{-x}\).
Calcule \(f'\), \(f''\) e \(f'''\).
Proponha uma fórmula para \(f^{(n)}(x)\) e verifique-a por indução.
Calcule \(f^{(10)}(0)\) sem escrever sucessivamente as dez derivadas.
Um carrinho permanece parado até \(t=0\), percorre um metro em \(0\lt t\lt 1\) e permanece parado depois de \(t=1\). Sua posição, em metros, é modelada por
Subtraindo três vezes a primeira equação da segunda e seis vezes a primeira da terceira, obtemos \(B+2C=-3\) e \(6B+14C=-6\). Assim \(C=6\), \(B=-15\) e \(A=10\). No intervalo \(0\lt t\lt 1\),
Consequentemente, \(\boxed {v(1/2)=30(1/4)(1/4)=15/8\ \mathrm{m/s}}\). Dentro do intervalo, \(s'''(t)=60-360t+360t^2\), que tende a \(60\) tanto em \(0^+\) quanto em \(1^-\). Nos trechos de repouso, essa derivada é zero. As derivadas laterais de \(s''\) não coincidem nas junções; logo, \(s'''(0)\) e \(s'''(1)\) não existem.
Exercício 9.62
A posição de um carrinho é \(s(t)=t^3-6t^2+9t\), em metros, com \(t\) medido em segundos. Use \(v(t)=s'(t)\) e \(a(t)=v'(t)\). Determine velocidade e aceleração para \(t\geq 0\), os instantes em que o carrinho está em repouso e o sentido do movimento em cada intervalo relevante. Ver solução
\(v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\) e \(a(t)=6t-12\). O carrinho está em repouso em \(t=1\) e \(t=3\); move-se no sentido positivo em \([0,1)\) e \((3,\infty )\) e no sentido negativo em \((1,3)\).
Exercício 9.63
A posição, em centímetros, de uma massa presa a uma mola amortecida é
Logo, \(v(0)=4\pi \, \mathrm{cm/s}\); o sinal positivo indica movimento inicial no sentido positivo do eixo. Como o fator exponencial nunca se anula, o primeiro repouso positivo satisfaz
