Está escrito em linguagem matemática, e seus caracteres são triângulos, círculos e outras figuras geométricas.
Na geometria elementar, seno e cosseno aparecem inicialmente como relações entre ângulos e lados de triângulos. Para estudá-los como funções de variável real, é necessário estender essa definição a ângulos arbitrários.
A circunferência unitária fornece essa extensão. A cada número real associa-se um percurso orientado sobre a circunferência; as coordenadas do ponto final definem o cosseno e o seno desse número. Periodicidade, sinais, paridade e diversas identidades decorrem das simetrias dessa construção.
5.1 Seno e cosseno na circunferência unitária
Uma volta completa mede \(360^\circ \) quando se utiliza a medida em graus. A medida em radianos é definida geometricamente. Se um arco de comprimento \(s\) pertence a uma circunferência de raio \(r\), a medida do ângulo central correspondente é
\[ \theta =\frac{s}{r}. \]
Portanto,
\[ s=r\theta . \]
Como a circunferência completa tem comprimento \(2\pi r\),
No círculo unitário, o número que mede o ângulo em radianos coincide com o comprimento orientado do arco percorrido. É isso que permite tratar seno e cosseno como funções de uma variável real.
Exemplo 5.1
Converta \(150^\circ \) para radianos e \(7\pi /6\) radianos para graus.
Uma roda gira com velocidade angular constante de \(\pi /3\) rad/s. Quantos radianos e quantas voltas ela percorre em \(12\) segundos? Ver solução
O deslocamento angular é
\[ 12\cdot \frac\pi 3=4\pi \text{ rad}, \]
correspondente a duas voltas completas.
Com os radianos, a circunferência unitária transforma diretamente números reais em pontos do plano: o próprio número mede o comprimento orientado do arco percorrido.
Considere a circunferência de centro na origem e raio \(1\). Fixe
\[ U=(1,0). \]
Para \(x\gt 0\), partimos de \(U\) e percorremos a circunferência no sentido anti-horário por um arco de comprimento \(x\). Para \(x\lt 0\), percorremos \(|x|\) no sentido horário. Denotaremos por \(P_x\) o ponto final desse percurso.
Seno e cosseno são funções periódicas de período \(2\pi \). O período fundamental, quando existe, é o menor período positivo. Para seno e cosseno ele é \(2\pi \): os valores \(4\pi \), \(6\pi \) e os demais múltiplos inteiros positivos também são períodos, mas não são fundamentais.
Se trocamos \(x\) por \(-x\), percorremos a mesma distância no sentido oposto. Os pontos \(P_x\) e \(P_{-x}\) são simétricos em relação ao eixo horizontal. Assim,
Essa identidade é simplesmente a equação \(X^2+Y^2=1\) aplicada ao ponto \(P_x\).
5.1.1 Valores notáveis e sinais
Os valores de seno e cosseno em \(\pi /6\), \(\pi /4\) e \(\pi /3\) podem ser deduzidos de dois triângulos retângulos.
Metade de um triângulo equilátero de lado \(2\).
Triângulo retângulo isósceles.
Figura5.2Os dois triângulos que produzem os valores notáveis.
No primeiro triângulo, partimos de um equilátero de lado \(2\) e traçamos uma altura. Ela divide a base ao meio e, pelo teorema de Pitágoras, tem comprimento \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3\). Portanto,
Os demais valores surgem por simetria na circunferência. Os sinais são determinados diretamente pelas coordenadas do ponto \(P_x=(\cos x,\operatorname {sen}x)\):
Calcule \(\operatorname {sen}(5\pi /6)\) e \(\cos (5\pi /6)\) a partir da circunferência unitária.
Solução
O ângulo \(5\pi /6\) está no segundo quadrante e tem ângulo de referência \(\pi /6\). Nesse quadrante, a coordenada horizontal é negativa e a vertical é positiva. Portanto,
A definição na circunferência unitária permite construir diretamente os gráficos de seno e cosseno. À medida que \(x\) varia, o ponto \(P_x\) percorre a circunferência; sua coordenada vertical fornece os valores de \(\operatorname {sen}x\) e sua coordenada horizontal fornece os valores de \(\cos x\).
Em uma volta, a coordenada vertical de \(P_x\) passa por
Os zeros do seno são os múltiplos inteiros de \(\pi \); os zeros do cosseno são os pontos \(\pi /2+k\pi \).
Exercício 5.11
Determine domínio, imagem, período fundamental e zeros de \(\operatorname {sen}x\) e de \(\cos x\). Ver solução
Ambas têm domínio \(\mathbb {R}\), imagem \([-1,1]\) e período \(2\pi \). Os zeros do seno são \(k\pi \); os do cosseno são \(\pi /2+k\pi \), com \(k\in \mathbb {Z}\).
Exercício 5.12
Esboce um período de \(y=\operatorname {sen}x\) e de \(y=\cos x\) marcando primeiro os cinco pontos principais em \(0,\pi /2,\pi ,3\pi /2,2\pi \). Ver solução
Para o seno, os valores são \(0,1,0,-1,0\). Para o cosseno, são \(1,0,-1,0,1\).
Explique por que os gráficos de \(\operatorname {sen}x\) e \(\cos x\) ficam completamente determinados quando conhecemos apenas um intervalo de comprimento \(2\pi \). Ver solução
Ambas as funções têm período \(2\pi \). Portanto, o padrão em qualquer intervalo de comprimento \(2\pi \) se repete por translações horizontais de \(2k\pi \).
Exercício 5.18
Aprofundamento. Dadas \(f(x)=\operatorname {sen}x\) e \(g(x)=\pi \left[\! \left[x\right]\! \right]\), determine os domínios e as imagens de \(f\circ g\) e \(g\circ f\). Ver solução
As duas composições têm domínio \(\mathbb {R}\). Como \(\left[\! \left[x\right]\! \right]\) é inteiro,
Comecemos com \(0\lt a,b\lt \pi /2\). No triângulo da Figura 5.4, a altura \(CD=h\) divide o ângulo em \(C\) em duas partes, \(a\) e \(b\). Os dois triângulos retângulos fornecem
Figura5.4A altura divide o triângulo em duas partes. A mesma área também pode ser calculada a partir dos lados \(CA\), \(CB\) e do ângulo \(a+b\). Usando a base \(AB=AD+DB\), a área é
Se usamos \(CA\) como base, a altura correspondente mede \(CB\operatorname {sen}(a+b)\). De fato, quando \(a+b\) é agudo, essa relação vem de um triângulo retângulo; quando é obtuso, usamos o ângulo suplementar e \(\operatorname {sen}(\pi -(a+b))=\operatorname {sen}(a+b)\). Para \(a+b=\pi /2\), a altura é o próprio lado \(CB\). Assim, a mesma área também é
Para \(a=b\) a igualdade é imediata; para \(a\lt b\), trocamos os dois ângulos e usamos a paridade do seno. A fórmula da diferença vale, portanto, para quaisquer \(a,b\in (0,\pi /2)\). Aplicando-a a \(\pi /2-a\) e \(b\),
Resta explicar por que não há restrição a ângulos agudos nas fórmulas. Se um ou ambos os ângulos são negativos, escrevemos seus opostos, reduzindo o cálculo a uma soma ou diferença de ângulos não negativos. Usamos então as fórmulas anteriores e \(\operatorname {sen}(-t)=-\operatorname {sen}t\), \(\cos (-t)=\cos t\). Os casos em que algum ângulo é \(0\) ou \(\pm \pi /2\) seguem diretamente das simetrias de um quarto de volta. Por fim, qualquer ângulo real pode ser escrito como \(t+k\pi \), com \(t\in [-\pi /2,\pi /2]\) e \(k\in \mathbb {Z}\). Uma meia-volta muda simultaneamente os sinais do seno e do cosseno:
\[ \operatorname {sen}(t+\pi )=-\operatorname {sen}t,\qquad \cos (t+\pi )=-\cos t. \]
Acrescentar \(\pi \) a qualquer um dos argumentos muda o sinal dos dois lados de cada fórmula. Logo, as identidades valem para todos os ângulos reais.
As fórmulas de diferença foram obtidas no mesmo argumento. Fazendo \(a=b=x\) nas fórmulas de adição, obtemos
\[ \operatorname {sen}(2x)=2\operatorname {sen}x\cos x \]
Verifique que \(\cos ^2x-\operatorname {sen}^2x=\cos (2x)\) e obtenha dessa igualdade as duas expressões para \(\cos ^2x\) e \(\operatorname {sen}^2x\). Ver solução
A igualdade é a fórmula do cosseno da soma com os dois ângulos iguais. Com \(\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1\), ela fornece \(\cos ^2x=(1+\cos (2x))/2\) e \(\operatorname {sen}^2x=(1-\cos (2x))/2\).
Exercício 5.21
Use as fórmulas de soma-produto.
Fatore \(\operatorname {sen}(5x)-\operatorname {sen}x\) e determine seus zeros em \([0,\pi ]\).
Para \(h\neq 0\), reescreva \(\bigl(\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen}x\bigr)/h\) como produto de um cosseno por \(\operatorname {sen}(h/2)/(h/2)\).
Ver solução
A fatoração é \(2\cos (3x)\operatorname {sen}(2x)\). Os zeros em \([0,\pi ]\) são \(0,\pi /6,\pi /2,5\pi /6,\pi \). No segundo item,
O fator \(A\) multiplica todos os valores da função. Por isso, a imagem é \([-|A|,|A|]\) e a amplitude, definida como metade da distância entre o valor máximo e o mínimo, é
\[ \boxed {\text{amplitude}=|A|}. \]
Quando \(A\lt 0\), ocorre também uma reflexão em relação ao eixo horizontal.
Já o fator \(B\) altera a escala horizontal. Uma oscilação completa ocorre quando o argumento varia \(2\pi \). O menor deslocamento positivo necessário para isso é
\[ \boxed {T=\frac{2\pi }{|B|}}. \]
Esse é o período fundamental tanto de \(A\operatorname {sen}(Bx)\) quanto de \(A\cos (Bx)\). O valor absoluto é necessário porque o sinal de \(B\) apenas muda a orientação com que o ciclo é percorrido. Para o cosseno isso também decorre de sua paridade; para o seno, o sinal pode ser incorporado ao fator \(A\).
Por exemplo, em \(g(x)=2\operatorname {sen}(3x)\), a amplitude é \(2\) e o período é \(2\pi /3\). Um período pode ser construído marcando seus quartos:
a amplitude continua sendo \(|A|\), o período continua sendo \(2\pi /|B|\), a linha média passa a ser \(y=k\) e o gráfico é deslocado horizontalmente por \(h\). Uma expressão \(Bx+C\) pode ser escrita como \(B(x-h)\) tomando \(h=-C/B\).
Exemplo 5.7
Analise a função
\[ f(x)=3\cos \bigl(2(x-\pi /4)\bigr)-1. \]
Determine amplitude, período, deslocamento horizontal, linha média e imagem.
Solução
A amplitude é \(|3|=3\). Como o coeficiente do argumento é \(2\),
\[ T=\frac{2\pi }{2}=\pi . \]
O gráfico está deslocado \(\pi /4\) para a direita e sua linha média é \(y=-1\). Como oscila três unidades acima e abaixo dessa linha,
\[ \operatorname {Im}f=[-4,2]. \]
Exemplo 5.8 (Reconstruindo um modelo periódico)
Uma oscilação tem valor máximo \(7\), valor mínimo \(-1\) e período fundamental \(6\). No instante \(t=0\), seu valor é \(5\) e está aumentando. Determine \(A\), \(B\), \(D\) e \(\varphi \) no modelo
O valor inicial, sozinho, não distingue essas duas fases. A informação de que a oscilação está aumentando resolve a ambiguidade: perto de \(\pi /6\) o seno cresce, enquanto perto de \(5\pi /6\) ele decresce. Portanto,
Um modelo escrito com cosseno seria igualmente possível; seno e cosseno diferem apenas por uma mudança de fase. O que os dados determinam é a oscilação, não uma forma única de escrevê-la.
Exercício 5.27
Determine a amplitude e o período e esboce um período de cada função. Antes de desenhar, marque os cinco pontos separados por um quarto de período.
\(y=-2\cos (3x)\).
\(y=-3\operatorname {sen}(-4x)\).
\(y=3\cos (2x)\).
\(y=2\operatorname {sen}(2x+\pi /2)\).
\(y=\cos ^2x-\operatorname {sen}^2x\).
\(y=-3\operatorname {sen}(\pi x+\pi )\).
Ver solução
A amplitude é \(2\) e o período é \(2\pi /3\). Em \([0,2\pi /3]\), os valores nos quartos do período são \(-2,0,2,0,-2\).
Como \(-3\operatorname {sen}(-4x)=3\operatorname {sen}(4x)\), a amplitude é \(3\) e o período é \(\pi /2\). Em \([0,\pi /2]\), os valores principais são \(0,3,0,-3,0\).
A amplitude é \(3\) e o período é \(\pi \). Em \([0,\pi ]\), os valores principais são \(3,0,-3,0,3\).
Como \(2\operatorname {sen}(2x+\pi /2)=2\cos (2x)\), a amplitude é \(2\) e o período é \(\pi \). Em \([0,\pi ]\), os valores principais são \(2,0,-2,0,2\).
Pela fórmula de ângulo duplo, a função é \(\cos (2x)\). Sua amplitude é \(1\) e seu período é \(\pi \).
Como \(-3\operatorname {sen}(\pi x+\pi )=3\operatorname {sen}(\pi x)\), a amplitude é \(3\) e o período é \(2\). Em \([0,2]\), os valores principais são \(0,3,0,-3,0\).
Exercício 5.28
Determine amplitude, período, linha média e deslocamento horizontal de
logo \(f=g\). A amplitude é \(3\), o período é \(\pi \), a linha média é \(y=1\) e a imagem é \([-2,4]\).
As duas fórmulas usam funções básicas diferentes. Seno e cosseno já diferem por uma mudança de fase de \(\pi /2\); por isso, a mesma oscilação pode aparecer com parâmetros de fase distintos sem que o gráfico mude.
5.5 Tangente e funções associadas
Seno e cosseno estão definidos para todo número real. As demais funções trigonométricas serão obtidas a partir deles por quocientes e recíprocos. Consequentemente, seus domínios dependem dos zeros dos denominadores envolvidos.
A tangente admite ainda uma interpretação geométrica: ela fornece a inclinação do raio que liga a origem ao ponto correspondente da circunferência.
Assim, a tangente pode ser lida como a inclinação do raio \(OP_x\) sempre que esse raio não é vertical.
Há uma construção que reúne tangente e secante e explica seus nomes. Para \(0\lt x\lt \pi /2\), prolongue o raio \(OP_x\) até encontrar a reta vertical \(X=1\), que é tangente à circunferência no ponto \((1,0)\). Se chamarmos o ponto de interseção de \(T\), então
\[ T=(1,\operatorname {tg}x). \]
O triângulo com vértices \(O\), \((1,0)\) e \(T\) é retângulo. Sua base mede \(1\), sua altura mede \(\operatorname {tg}x\) e, pelo teorema de Pitágoras,
\[ OT=\sqrt{1+\operatorname {tg}^2x}=\sec x. \]
No primeiro quadrante, portanto, a tangente aparece como a altura do ponto \(T\) e a secante como o comprimento do segmento \(OT\).
Figura5.6A reta tangente \(X=1\) transforma o raio de ângulo \(x\) no ponto \(T=(1,\operatorname {tg}x)\). No primeiro quadrante, \(OT=\sec x\).
Quando \(\cos x=0\), o raio é vertical e não encontra a reta \(X=1\) em um ponto finito. Esse é exatamente o motivo geométrico para tangente e secante não estarem definidas nesses valores.
Em cada intervalo entre dois zeros consecutivos do cosseno, seu gráfico forma um ramo. As retas
\[ x=\frac\pi 2+k\pi \]
são assíntotas verticais.
Figura5.7A tangente tem período \(\pi \) e assíntotas verticais nos zeros do cosseno.
A secante é o recíproco da coordenada horizontal de \(P_x\). Portanto, quando \(P_x\) se aproxima dos pontos superior ou inferior da circunferência, essa coordenada se aproxima de zero e o módulo da secante cresce. Como \(|\cos x|\leq 1\), onde a secante está definida temos
nos pontos em que ambas as expressões estão definidas.
A construção anterior também tem uma versão horizontal. Para \(0\lt x\lt \pi /2\), prolongue o raio \(OP_x\) até a reta \(Y=1\), tangente à circunferência em \((0,1)\). O ponto de interseção é
\[ C=(\operatorname {cotg}x,1), \]
e o comprimento \(OC\) vale \(\operatorname {cossec}x\). Assim, tangente/secante e cotangente/cossecante são construções simétricas: numa usamos a reta tangente vertical \(X=1\); na outra, a reta tangente horizontal \(Y=1\).
No primeiro quadrante, esses comprimentos coincidem com os próprios valores de \(\sec x\) e \(\operatorname {cossec}x\). Fora dele, as fórmulas algébricas preservam os sinais corretos, enquanto comprimentos geométricos correspondem a valores absolutos.
A cotangente tem período \(\pi \). Seus zeros ocorrem quando \(\cos x=0\), isto é,
e as retas \(x=k\pi \) são assíntotas verticais, pois nesses pontos o seno se anula.
A cossecante, como recíproco do seno, tem o mesmo sinal do seno e satisfaz
\[ |\operatorname {cossec}x|\geq 1 \]
onde está definida. As retas \(x=k\pi \) são suas assíntotas verticais. De modo análogo, a secante tem o mesmo sinal do cosseno e suas assíntotas são \(x=\pi /2+k\pi \).
Figura5.8Secante e cossecante são recíprocos de cosseno e seno. Os zeros do denominador se tornam assíntotas verticais, e os gráficos permanecem fora da faixa \(-1\lt y\lt 1\).
Exercício 5.33
Determine o domínio natural.
\(\operatorname {tg}x\).
\(\sec (3x-\pi /4)\).
\(\operatorname {cotg}(x-\pi /3)\).
\(\operatorname {cossec}(3x)\).
Ver solução
\(x\neq \pi /2+k\pi \).
\(3x-\pi /4\neq \pi /2+k\pi \), isto é, \(x\neq \pi /4+k\pi /3\).
\(x\neq \pi /3+k\pi \).
\(x\neq k\pi /3\).
Exercício 5.34
Calcule exatamente.
\(\operatorname {tg}(\pi /4)\).
\(\operatorname {tg}(5\pi /6)\).
\(\sec (2\pi /3)\).
\(\operatorname {cossec}(7\pi /6)\).
Ver solução
\(1\), \(-1/\sqrt3\), \(-2\) e \(-2\).
Exercício 5.35
Mostre que \(\operatorname {tg}\) é ímpar e que \(\sec \) é par. Ver solução
A primeira vem de dividir \(\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1\) por \(\cos ^2x\) e vale para \(x\neq \pi /2+k\pi \). A segunda vem da divisão por \(\operatorname {sen}^2x\) e vale para \(x\neq k\pi \), sempre com \(k\in \mathbb {Z}\).
Quadro de consulta
Na tabela, o domínio é \(\mathbb {R}\) sem os pontos indicados na segunda coluna, e \(k\) percorre \(\mathbb {Z}\). Para tangente, cotangente, secante e cossecante, cada ponto excluído \(c\) corresponde à assíntota vertical \(x=c\). Seno e cosseno não possuem assíntotas. A coluna \(T_0\) registra o período fundamental.
Função
\shortstack{Pontos excluídos\\do domínio}
Imagem
$T_0$
Paridade
$\sen x$
nenhum
$[-1,1]$
$2\pi$
ímpar
$\cos x$
nenhum
$[-1,1]$
$2\pi$
par
$\tg x$
$\pi/2+k\pi$
$\bbR$
$\pi$
ímpar
$\cotg x$
$k\pi$
$\bbR$
$\pi$
ímpar
$\sec x$
$\pi/2+k\pi$
$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$
$2\pi$
par
$\cossec x$
$k\pi$
$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$
$2\pi$
ímpar
5.6 Simplificação de expressões trigonométricas
As identidades trigonométricas permitem simplificar expressões, mas é necessário preservar as restrições da expressão original. Por exemplo, se \(\operatorname {sen}x\neq 0\),
A expressão simplificada está definida para todo \(x\), mas a original não está definida nos múltiplos inteiros de \(\pi \); a igualdade vale apenas fora desses pontos. Do mesmo modo, se \(\cos x\neq 0\),
Determine o domínio da expressão original e simplifique-a.
Compare esse domínio com o da expressão simplificada.
Resolva \(F(x)=0\) e explique o que aconteceria se as restrições originais fossem esquecidas.
Ver solução
O domínio é \(\mathbb {R}\setminus \{ k\pi /2:k\in \mathbb {Z}\} \). Nele, \(1-\cos (2x)=2\operatorname {sen}^2x\) e \(F(x)=2\operatorname {tg}x\). A expressão \(2\operatorname {tg}x\) também está definida nos múltiplos inteiros de \(\pi \), mas esses pontos não pertencem ao domínio de \(F\). Os únicos zeros de \(2\operatorname {tg}x\) são justamente esses múltiplos; portanto, \(F(x)=0\) não tem solução. Cancelar um fator não restitui os pontos em que ele era zero.
Exercício 5.38
Verifique cada identidade no domínio em que os dois lados estão definidos.
Determine a imagem de \(\sec x\) e de \(\operatorname {cossec}x\) a partir das desigualdades \(|\cos x|\leq 1\) e \(|\operatorname {sen}x|\leq 1\). Ver solução
Determine o sinal de \(\operatorname {tg}x\) em cada quadrante. Ver solução
Como \(\operatorname {tg}x=\operatorname {sen}x/\cos x\), ela é positiva nos quadrantes I e III, em que seno e cosseno têm o mesmo sinal, e negativa nos quadrantes II e IV.
Escolha da forma algébrica
Uma identidade trigonométrica pode ser empregada para colocar uma expressão em uma forma mais adequada ao problema considerado. Dependendo da expressão, pode ser conveniente preservar um fator, reduzir potências ou transformar produtos em somas.
Exemplo 5.14 (Três maneiras de reconhecer a estrutura)
Reescreva as expressões abaixo de uma forma que destaque uma estrutura simples:
Em \(A\), a potência do seno é ímpar. Convém separar um fator \(\operatorname {sen}x\) e converter o restante usando \(\operatorname {sen}^2x=1-\cos ^2x\):
Em um modelo idealizado de massa presa a uma mola, a posição em relação ao equilíbrio é
\[ s(t)=0{,}08\cos (4t), \]
com \(s\) em metros e \(t\geq 0\) em segundos. Determine a amplitude, o período e os instantes em que a massa passa pela posição de equilíbrio.
Solução
A amplitude é \(0{,}08\) metro, ou \(8\) centímetros. Como o argumento aumenta \(2\pi \) quando o tempo aumenta \(T\), temos \(4T=2\pi \) e, portanto, \(T=\pi /2\) segundo. A massa está no equilíbrio quando \(s(t)=0\), isto é,
para os inteiros \(k\) que tornam \(t\geq 0\). Neste caso, \(k=0,1,2,\ldots \).
Exercício 5.45
Uma roda-gigante tem raio \(18\) m, seu centro está a \(20\) m do solo e completa uma volta a cada \(40\) s. Um passageiro inicia no ponto mais baixo. Dê uma função que modele sua altura. Ver solução
Ela tem linha média \(20\), amplitude \(18\), período \(40\) e \(H(0)=2\).
Exercício 5.46
A temperatura de uma câmara varia periodicamente entre \(16^\circ \)C e \(24^\circ \)C, com período de \(8\) horas. Determine a amplitude e a linha média e dê um modelo cossenoidal que comece no valor máximo. Ver solução
A amplitude é \(4\) e a linha média é \(20\). Um modelo é
com \(h\) em metros e \(t\) em horas. Determine altura média, amplitude e período. Ver solução
A altura média é \(2{,}5\) m, a amplitude é \(1{,}2\) m e o período é
\[ \frac{2\pi }{\pi /6}=12\text{ h}. \]
Exercício 5.48
Um sinal sonoro puro é modelado por
\[ s(t)=A\cos (2\pi f t), \qquad f\gt 0. \]
Mostre que seu período é \(1/f\). Ver solução
O argumento aumenta \(2\pi \) quando
\[ 2\pi f T=2\pi , \]
portanto \(T=1/f\).
Exercício 5.49
Uma oscilação senoidal tem máximo \(9\), mínimo \(1\) e período fundamental \(10\). No instante \(t=0\), seu valor é \(3\) e está diminuindo.
Determine \(A\), \(B\), \(D\) e \(\varphi \) no modelo \(f(t)=D+A\operatorname {sen}(Bt+\varphi )\), com \(A,B\gt 0\) e \(0\leq \varphi \lt 2\pi \).
Explique por que informar apenas \(f(0)=3\) não determinaria a fase.
Determine o primeiro instante \(t\geq 0\) em que ocorre um mínimo.
Ver solução
A amplitude é \(A=4\), a linha média é \(D=5\) e \(B=2\pi /10=\pi /5\). De \(5+4\operatorname {sen}\varphi =3\) vem \(\operatorname {sen}\varphi =-1/2\), logo \(\varphi =7\pi /6\) ou \(11\pi /6\) no intervalo escolhido. O seno diminui perto de \(7\pi /6\) e aumenta perto de \(11\pi /6\); a condição inicial seleciona \(\varphi =7\pi /6\). Portanto,
Sem a informação sobre o sentido da variação, as duas fases seriam possíveis. O primeiro mínimo ocorre quando \(\pi t/5+7\pi /6=3\pi /2\), isto é, em \(t=5/3\).
Exercício 5.50
A tensão de uma rede elétrica idealizada é modelada por
\[ V(t)=170\operatorname {sen}(120\pi t), \]
com \(t\) em segundos. Determine a amplitude, o período e a frequência da oscilação. Ver solução
em que \(t\) é o número de dias após o início do ano. Determine a linha média, a amplitude, o período e o instante em que o modelo prevê o máximo. Ver solução
A linha média é \(12\) horas, a amplitude é \(2{,}5\) horas e o período é \(365\) dias. O máximo ocorre quando o cosseno vale \(1\), pela primeira vez em \(t=172\).
5.8 Funções trigonométricas inversas
Seno, cosseno e tangente repetem seus valores. Por exemplo, há infinitos ângulos com seno igual a \(1/2\). Assim, a pergunta “qual é o ângulo cujo seno é \(1/2\)?” não possui resposta única enquanto considerarmos toda a reta.
Para construir uma inversa, precisamos escolher um trecho do gráfico em que cada valor apareça uma única vez. Fazemos aqui o mesmo tipo de restrição que apareceu nas potências pares: restringimos o domínio a um intervalo em que a função seja bijetora e então invertemos essa restrição.
As escolhas usuais são as seguintes:
Função
domínio escolhido
imagem
inversa
seno
$[-\pi/2,\pi/2]$
$[-1,1]$
$\arcsen$
cosseno
$[0,\pi]$
$[-1,1]$
$\arccos$
tangente
$(-\pi/2,\pi/2)$
$\bbR$
$\arctg$
A imagem de cada restrição é o domínio da inversa; o intervalo escolhido é a imagem da inversa. Outros intervalos poderiam ser usados, mas dariam outras escolhas de ângulo.
Por exemplo, \(\operatorname {arcsen}(1/2)\) é o único ângulo de \([-\pi /2,\pi /2]\) cujo seno vale \(1/2\): portanto, \(\operatorname {arcsen}(1/2)=\pi /6\). A função arco-seno inverte o seno nesse intervalo, onde ele é estritamente crescente. Assim,
A composição \(\operatorname {arcsen}(\operatorname {sen}x)=x\) só vale quando \(x\) pertence ao ramo \([-\pi /2,\pi /2]\) usado para definir a inversa.
Figura5.9A função seno em \([-\pi /2,\pi /2]\)
Figura5.10A função arco-seno
A mesma construção vale para cosseno e tangente. A função arco-cosseno inverte o cosseno em \([0,\pi ]\), onde ele é estritamente decrescente e assume todos os valores de \([-1,1]\):
Em ambos os casos, como no par seno/arco-seno mostrado acima, o gráfico da função inversa é o reflexo do gráfico da função restringida em relação à reta \(y=x\).
Exemplo 5.17 (O intervalo principal do arco-cosseno)
Descreva \(F(x)=\arccos (\cos x)\) para \(-\pi \leq x\leq 2\pi \) e calcule \(F(7\pi /6)\).
Solução
O arco-cosseno deve devolver um ângulo de \([0,\pi ]\). Se \(-\pi \leq x\leq 0\), a paridade fornece \(\cos x=\cos (-x)\), e \(-x\) pertence ao intervalo principal. Se \(0\leq x\leq \pi \), o próprio \(x\) já está nesse intervalo. Finalmente, para \(\pi \leq x\leq 2\pi \), vale \(\cos x=\cos (2\pi -x)\), com \(2\pi -x\in [0,\pi ]\). Portanto,
Para a segunda parte, ponha \(\theta =\operatorname {arctg}(2x-1)\). Então \(\operatorname {tg}\theta =2x-1\) e \(-\pi /2\lt \theta \lt \pi /2\); em particular, \(\cos \theta \gt 0\). Da identidade \(1+\operatorname {tg}^2\theta =1/\cos ^2\theta \),
\[ \cos \theta =\frac1{\sqrt{1+(2x-1)^2}}. \]
Como \(\operatorname {sen}\theta =\operatorname {tg}\theta \cos \theta \), concluímos que
O sinal positivo da raiz foi determinado pelo intervalo de \(\theta \). O numerador preserva o sinal do seno: \(G(x)\) é negativo para \(x\lt 1/2\), nulo em \(1/2\) e positivo para \(x\gt 1/2\).
As restrições impedem que a inversa devolva um ângulo fora do intervalo escolhido. Por exemplo, \(5\pi /6\) tem seno \(1/2\), mas
É o mesmo cuidado com o domínio que apareceu em \(\sqrt{x^2}=|x|\). Inverter uma função também não significa tomar seu recíproco: \(\operatorname {arcsen}x\) não é \(1/\operatorname {sen}x\).
Exercício 5.52
Indique domínio e imagem de \(\operatorname {arcsen}\), \(\arccos \) e \(\operatorname {arctg}\). Ver solução
Explique por que \(\operatorname {arcsen}x\) não significa \(1/\operatorname {sen}x\) e dê o nome da função \(1/\operatorname {sen}x\). Ver solução
\(\operatorname {arcsen}\) é a função inversa de uma restrição do seno; \(1/\operatorname {sen}x\) é a cossecante. Inversa e recíproco são operações diferentes.
Se \(\theta =\arccos (3/5)\), então \(\theta \in [0,\pi ]\) e \(\cos \theta =3/5\). Como o cosseno é positivo, \(\theta \) está no primeiro quadrante. Pela identidade pitagórica,
Como \(\operatorname {tg}(3\pi /4)=-1\) e a imagem de \(\operatorname {arctg}\) é \((-\pi /2,\pi /2)\),
\[ \operatorname {arctg}(-1)=-\frac\pi 4. \]
Exercício 5.57
Determine o domínio da função
\[ f(x)=\operatorname {arcsen}(2x-1). \]
Ver solução
É necessário
\[ -1\leq 2x-1\leq 1, \]
o que equivale a
\[ 0\leq x\leq 1. \]
Logo, \(\operatorname {Dom}f=[0,1]\).
Exercício 5.58
Determine as expressões nos intervalos indicados e justifique as escolhas de sinal e de ramo.
\(\arccos (\cos x)\) para \(\pi \leq x\leq 3\pi \).
\(\operatorname {arctg}(\operatorname {tg}x)\) para \(-3\pi /2\lt x\lt -\pi /2\).
\(\operatorname {sen}(\arccos x)\) e \(\cos (\operatorname {arcsen}x)\) para \(-1\leq x\leq 1\).
Ver solução
No primeiro item, a expressão é \(2\pi -x\) em \([\pi ,2\pi ]\) e \(x-2\pi \) em \([2\pi ,3\pi ]\). No segundo, é \(x+\pi \), que pertence a \((-\pi /2,\pi /2)\). No terceiro, ambas são \(\sqrt{1-x^2}\): o seno é não negativo em \([0,\pi ]\), e o cosseno é não negativo em \([-\pi /2,\pi /2]\).
Mostre que o argumento do arco-cosseno pertence a \((-1,1]\) para todo \(x\in \mathbb {R}\) e determine o domínio de \(H\).
Tome \(\theta =\operatorname {arctg}|x|\). Determine o intervalo de \(2\theta \) e use a fórmula do cosseno do ângulo duplo para calcular \(\cos (2\theta )\).
Conclua que \(H(x)=2\operatorname {arctg}|x|\) e determine a imagem de \(H\).
Ver solução
O quociente é \(1-2x^2/(1+x^2)\leq 1\) e, ao somarmos \(1\) a ele, obtemos \(2/(1+x^2)\gt 0\). Portanto, \(\operatorname {Dom}H=\mathbb {R}\). Como \(0\leq \theta \lt \pi /2\), temos \(0\leq 2\theta \lt \pi \) e
O ângulo \(2\theta \) já está no intervalo principal do arco-cosseno, logo \(H(x)=2\operatorname {arctg}|x|\). A imagem é \([0,\pi )\); o valor \(\pi \) não é atingido.
5.9 Modelos geométricos
As funções trigonométricas também aparecem quando uma grandeza depende de uma direção. Nesses problemas, o passo principal é identificar o triângulo ou a projeção que traduz a situação física em seno, cosseno ou tangente.
Exemplo 5.19 (Altura de um prédio)
De um ponto situado a \(35\) m de um prédio, o ângulo de elevação até o topo é \(58^\circ \). A câmera está a \(1{,}6\) m do chão. Estime a altura do prédio.
Solução
No modelo de terreno horizontal e prédio vertical, se \(H\) é a altura total,
O termo \(1{,}6\) é indispensável: a tangente fornece a diferença de altura entre a câmera e o topo, não a altura total do prédio.
Exercício 5.60
Para \(a\gt 0\), um pêndulo de comprimento \(a\) é afastado de um ângulo \(\theta \) da vertical, como na figura.
Obtenha a elevação vertical da massa em relação à posição mais baixa e indique um domínio adequado para \(\theta \) em uma oscilação sem voltas completas. Ver solução
A projeção vertical do fio mede \(a\cos \theta \); portanto, a elevação é \(h=a-a\cos \theta =a(1-\cos \theta )\). Um domínio adequado é \(-\pi \lt \theta \lt \pi \); em uma oscilação de amplitude \(\theta _0\lt \pi \), pode-se usar \([-\theta _0,\theta _0]\).
Exercício 5.61
Um observador está a \(40\) m da base de uma torre. O ângulo de elevação até o topo é \(37^\circ \), e seus olhos estão a \(1{,}7\) m do chão. Estime a altura da torre, explicitando o modelo geométrico empregado. Ver solução
No modelo de terreno horizontal e prédio vertical,
\[ H=1{,}7+40\operatorname {tg}37^\circ \approx 31{,}8\, \mathrm m. \]
Exercício 5.62
Após a decolagem, um avião sobe em linha reta, formando um ângulo de \(20^\circ \) com a horizontal, com velocidade de \(200\) pés por segundo. Quanto tempo ele leva para atingir uma altitude de \(10\, 000\) pés? Ver solução
A componente vertical da velocidade é \(200\operatorname {sen}20^\circ \) pés por segundo. Assim,
Um observador está no ponto \(A\), em uma das margens retas de um rio de \(1000\) pés de largura. Quando vê pela primeira vez uma corredora na margem oposta, a linha de visão forma um ângulo de \(30^\circ \) com a margem. Um minuto depois, esse ângulo é de \(40^\circ \). Supondo que ela corra em linha reta, com velocidade constante e na direção indicada, determine sua velocidade.
Ver solução
Se \(N\) é o pé da perpendicular traçada de \(A\) à margem oposta, então
Sua velocidade é, portanto, aproximadamente \(540\) pés por minuto, ou \(9{,}0\) pés por segundo.
Exercício 5.64
Uma escada de \(6\) m está apoiada numa parede vertical e forma um ângulo de \(65^\circ \) com o chão. A que altura a escada toca a parede? Ver solução
Uma árvore projeta uma sombra de \(14\) m quando o ângulo de elevação do Sol é \(38^\circ \). Estime a altura da árvore em terreno horizontal. Ver solução
A construção desenvolvida neste capítulo parte da circunferência unitária. Seno e cosseno são definidos pelas coordenadas de seus pontos; tangente, secante, cotangente e cossecante são obtidas por quocientes e recíprocos; para definir as funções inversas, restringem-se os domínios a intervalos de injetividade. A descrição completa dessas funções envolve, assim, sua origem geométrica, seus domínios, suas propriedades algébricas e seus gráficos.
![Figura 5.9 A função seno em [-π /2,π /2] Figura 5.10 A função arco-seno](figures/inl-c05-funcoes-031.svg)
![Figura 5.9 A função seno em [-π /2,π /2] Figura 5.10 A função arco-seno](figures/inl-c05-funcoes-032.svg)
