Funções trigonométricas

Está escrito em linguagem matemática, e seus caracteres são triângulos, círculos e outras figuras geométricas.

Em um triângulo retângulo, seno e cosseno relacionam um ângulo aos comprimentos dos lados. Para tratar essas relações como funções de uma variável real, precisamos atribuir seno e cosseno também a valores negativos e a valores que correspondem a uma ou várias voltas.

Faremos isso por meio de um percurso orientado na circunferência unitária. O número real determina quanto percorrer e em que sentido; as coordenadas do ponto de chegada fornecem o cosseno e o seno. Antes de construir essas funções, vamos distinguir o ângulo, o arco correspondente e a medida em radianos.

5.1 Seno e cosseno na circunferência unitária

Ângulos, arcos e radianos

Um ângulo descreve a abertura entre duas semirretas de mesma origem. Seu valor numérico depende da unidade de medida: uma volta completa, por exemplo, corresponde a \(360^\circ \).

Considere uma circunferência de raio \(r\gt 0\) centrada no vértice de um ângulo. As semirretas delimitam um arco, isto é, uma parte da circunferência. Se esse arco tem comprimento \(s\), a medida do ângulo em radianos é o número

O arco é uma curva, \(s\) é seu comprimento e \(\theta \) é a medida do ângulo. São objetos distintos, embora estejam relacionados pela igualdade \(s=r\theta \).

13-radianosO arco destacado tem comprimento \(s\), e a circunferência tem raio \(r\). A medida do ângulo em radianos é a razão \(\theta =s/r\). Se aumentamos o raio sem mudar o ângulo, o comprimento do arco aumenta na mesma proporção. A razão \(s/r\) permanece, portanto, a mesma: a medida em radianos não depende do tamanho da circunferência escolhida.

Um radiano é a medida do ângulo que determina um arco de comprimento igual ao raio. Como a circunferência completa tem comprimento \(2\pi r\), uma volta corresponde a

Assim,

Em particular,

Na circunferência de raio 1, o comprimento do arco e a medida do ângulo em radianos têm o mesmo valor numérico. Essa coincidência permitirá associar diretamente um número real a um percurso sobre a circunferência.

Um percurso para cada número real

Considere a circunferência de centro na origem e raio 1, e fixe o ponto \(U=(1,0)\). A cada número real \(x\) associamos um ponto \(P_x\) da seguinte maneira: se \(x\gt 0\), partimos de \(U\) e percorremos um comprimento \(x\) no sentido anti-horário; se \(x\lt 0\), percorremos um comprimento \(|x|\) no sentido horário. Para \(x=0\), não nos deslocamos, e \(P_0=U\).

O percurso pode dar mais de uma volta. Por exemplo, \(x=2\pi \) representa uma volta no sentido anti-horário, enquanto \(x=-2\pi \) representa uma volta no sentido horário. Nos dois casos, o ponto de chegada é \(U\). O comprimento percorrido é sempre não negativo; o sinal de \(x\) registra o sentido.

14-circulo-unitarioPara o valor positivo ilustrado, \(P_x\) está no primeiro quadrante. As projeções nos eixos dão \(\cos x\) e \(\operatorname {sen}x\). O percurso começa em \(U=(1,0)\).

Os argumentos de seno e cosseno são números reais. A interpretação geométrica usa a medida em radianos; quando outra unidade for empregada, ela será indicada explicitamente.

Uma volta completa acrescenta \(2\pi \) ao percurso sem alterar o ponto de chegada. Portanto, \(P_{x+2\pi }=P_x\) e

Seno e cosseno são funções periódicas de período \(2\pi \). Na terminologia da Seção 2.8.5, seu período fundamental é \(2\pi \): os valores \(4\pi \), \(6\pi \) e os demais múltiplos inteiros positivos também são períodos, mas não são fundamentais. De fato, se \(T\gt 0\) é período do seno, então \(\operatorname {sen}T=0\), logo \(T=k\pi \); como \(\operatorname {sen}(\pi /2+T)=1\), \(k\) deve ser par. Para o cosseno, \(\cos T=\cos 0=1\) só ocorre quando \(T=2k\pi \).

Se trocamos \(x\) por \(-x\), percorremos a mesma distância no sentido oposto. Os pontos \(P_x\) e \(P_{-x}\) são simétricos em relação ao eixo horizontal. Assim,

O seno é ímpar e o cosseno é par.

Como \(P_x\) está na circunferência unitária,

Portanto,

Essa identidade é simplesmente a equação \(X^2+Y^2=1\) aplicada ao ponto \(P_x\).

5.1.1 Valores notáveis e sinais

Os valores de seno e cosseno em \(\pi /6\), \(\pi /4\) e \(\pi /3\) podem ser deduzidos de dois triângulos retângulos.

Metade de um triângulo equilátero de lado \(2\).

Triângulo retângulo isósceles.

Para relacionar esses triângulos à circunferência unitária, dividimos as medidas de seus lados pelo comprimento da hipotenusa. Obtemos um triângulo semelhante de hipotenusa \(1\), no qual os catetos adjacente e oposto ao ângulo medem, respectivamente, o cosseno e o seno. Assim, no triângulo original, o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, e o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

No primeiro triângulo, partimos de um equilátero de lado \(2\) e traçamos uma altura. Ela divide a base ao meio e, pelo teorema de Pitágoras, tem comprimento \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3\). Portanto,

O ângulo complementar fornece

No triângulo retângulo isósceles de catetos \(1\), a hipotenusa vale \(\sqrt2\). Assim,

Reunindo os três casos, no primeiro quadrante temos

Os demais valores surgem por simetria na circunferência. Quando \(P_x\) não está sobre os eixos, chamamos de ângulo de referência o ângulo agudo entre o raio \(OP_x\) e o eixo horizontal. Os módulos de \(\operatorname {sen}x\) e \(\cos x\) coincidem com os do seno e do cosseno desse ângulo. Em particular, a reflexão em relação ao eixo vertical fornece \(\operatorname {sen}(\pi -x)=\operatorname {sen}x\) e \(\cos (\pi -x)=-\cos x\). Os sinais dependem do quadrante de \(P_x=(\cos x,\operatorname {sen}x)\):

Exercício 5.1

Faça as conversões.

1. \(120^\circ \) para radianos.

2. \(225^\circ \) para radianos.

3. \(3\pi /4\) para graus.

4. \(7\pi /4\) para graus.

Ver solução

\(2\pi /3\), \(5\pi /4\), \(135^\circ \) e \(315^\circ \), respectivamente.

Exercício 5.2

Uma circunferência tem raio \(5\) cm. Calcule o comprimento do arco interceptado por um ângulo central de \(2\pi /3\) radianos.

Ver solução

\[ s=r\theta =5\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}\text{ cm}. \]

Exercício 5.3

Uma roda gira com velocidade angular constante de \(\pi /3\) rad/s. Quantos radianos e quantas voltas ela percorre em \(12\) segundos?

Ver solução

O deslocamento angular é

\[ 12\cdot \frac\pi 3=4\pi \text{ rad}, \]

correspondente a duas voltas completas.

Exercício 5.4

Use a circunferência unitária para calcular.

1. \(\operatorname {sen}(2\pi /3)\) e \(\cos (2\pi /3)\).

2. \(\operatorname {sen}(5\pi /4)\) e \(\cos (5\pi /4)\).

3. \(\operatorname {sen}(11\pi /6)\) e \(\cos (11\pi /6)\).

Ver solução

1. \(\sqrt3/2\) e \(-1/2\).

2. \(-\sqrt2/2\) e \(-\sqrt2/2\).

3. \(-1/2\) e \(\sqrt3/2\).

Exercício 5.5

Determine as coordenadas de \(P_x=(\cos x,\operatorname {sen}x)\) para \(x=7\pi /4\).

Ver solução

\(P_{7\pi /4}=(\sqrt2/2,-\sqrt2/2)\).

Exercício 5.6

Sem usar calculadora, determine o sinal de cada expressão.

1. \(\operatorname {sen}(7\pi /6)\).

2. \(\cos (4\pi /3)\).

3. \(\operatorname {sen}(-\pi /4)\).

4. \(\cos (-2\pi /3)\).

Ver solução

Negativo, negativo, negativo e negativo, respectivamente.

Exercício 5.7

Use periodicidade para reduzir cada argumento a \([0,2\pi )\).

1. \(\operatorname {sen}(13\pi /6)\).

2. \(\cos (9\pi /4)\).

3. \(\operatorname {sen}(-7\pi /6)\).

Ver solução

Pela periodicidade, os argumentos reduzidos a \([0,2\pi )\) são

\[ \frac{13\pi }{6}-2\pi =\frac\pi 6,\qquad \frac{9\pi }{4}-2\pi =\frac\pi 4,\qquad -\frac{7\pi }{6}+2\pi =\frac{5\pi }{6}. \]

Logo, os valores pedidos são, respectivamente, \(1/2\), \(\sqrt2/2\) e \(1/2\).

Exercício 5.8

Explique geometricamente por que

\[ \operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1 \]

para todo \(x\in \mathbb {R}\).

Ver solução

O ponto \(P_x=(\cos x,\operatorname {sen}x)\) pertence à circunferência unitária, cuja equação é \(X^2+Y^2=1\).

Exercício 5.9

Liste todos os números reais \(x\) para os quais

\[ P_x=(0,-1). \]

Ver solução

O ponto inferior da circunferência corresponde a

\[ x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\qquad k\in \mathbb {Z}. \]

Exercício 5.10

Sabendo que \(P_x=(3/5,4/5)\), determine

\[ P_{-x} \]

e os valores de \(\operatorname {sen}(-x)\) e \(\cos (-x)\).

Ver solução

A reflexão no eixo horizontal dá

\[ P_{-x}=\left(\frac35,-\frac45\right). \]

Logo,

\[ \operatorname {sen}(-x)=-\frac45,\qquad \cos (-x)=\frac35. \]

Exercício 5.11 (Uma coordenada não localiza o ponto)

Um ponto \(P_\theta =(\cos \theta ,\operatorname {sen}\theta )\) percorre a circunferência unitária. Um sensor informa apenas que sua coordenada vertical é \(3/5\).

1. Marque as duas posições possíveis e determine suas coordenadas horizontais.

2. Sabendo também que a coordenada horizontal é negativa, em que quadrante está o ponto? A leitura inicial do sensor seria suficiente para escolher esse quadrante?

Ver solução

a) Da identidade \(u^2+(3/5)^2=1\), resulta \(u=\pm 4/5\). As posições são \((4/5,3/5)\) e \((-4/5,3/5)\). b) No segundo quadrante. A coordenada vertical positiva, sozinha, permite tanto o primeiro quanto o segundo quadrante.

Exercício 5.12 (Três cuidados com a trigonometria)

Analise as situações e corrija os erros.

1. Um estudante obteve \(\operatorname {sen}(\pi /6)\approx 0{,}00914\) na calculadora. Como esse resultado pode ter surgido?

2. “Como \(7\pi /6\) está no terceiro quadrante, \(\operatorname {sen}(7\pi /6)=-\operatorname {sen}(\pi /6)\) e \(\cos (7\pi /6)=\cos (\pi /6)\).”

3. “Se \(P_x=P_y\), então \(x=y\).”

Ver solução

1. A calculadora estava em graus e calculou o seno de \(0{,}5236^\circ \). Em radianos, \(\operatorname {sen}(\pi /6)=1/2\).

2. O ponto \(P_{7\pi /6}\) é o simétrico de \(P_{\pi /6}\) em relação à origem; ambas as coordenadas trocam de sinal: \(\operatorname {sen}(7\pi /6)=-1/2\) e \(\cos (7\pi /6)=-\sqrt3/2\).

3. \(P_x=P_y\) significa apenas que \(x-y\) é um múltiplo inteiro de \(2\pi \); por exemplo, \(P_0=P_{2\pi }\).

5.2 Gráficos de seno e cosseno

À medida que \(x\) aumenta de 0 a \(2\pi \), o ponto \(P_x\) dá uma volta completa na circunferência unitária. Sua coordenada vertical fornece \(\operatorname {sen}x\), e a horizontal fornece \(\cos x\). Para os valores \(x=0\), \(\pi /2\), \(\pi \), \(3\pi /2\) e \(2\pi \), obtemos

Entre esses pontos, acompanhamos como as coordenadas variam durante o percurso. Isso permite esboçar as duas curvas em \([0,2\pi ]\).

15-seno-cosseno-periodicosEm cada linha, o trecho em cobre é a translação do trecho em verde por \(2\pi \). O mesmo procedimento prolonga o gráfico para a direita e para a esquerda.

As igualdades

permitem obter o restante dos gráficos sem recomeçar a construção. Basta repetir o trecho conhecido por translações horizontais de \(2\pi \), tanto para a direita quanto para a esquerda. Mais geralmente, para qualquer inteiro \(k\),

O domínio de ambas as funções é \(\mathbb {R}\). Como cada coordenada do ponto na circunferência percorre todos os valores de \([-1,1]\), temos

Os zeros também se repetem. O seno se anula quando \(P_x\) está sobre o eixo horizontal; o cosseno, quando está sobre o eixo vertical. Portanto,

O percurso também mostra a monotonicidade em cada meio ciclo. Para todo \(k\in \mathbb {Z}\), o seno é estritamente crescente em \([-\pi /2+2k\pi ,\pi /2+2k\pi ]\) e estritamente decrescente em \([\pi /2+2k\pi ,3\pi /2+2k\pi ]\). Seu máximo é \(1\), atingido em \(\pi /2+2k\pi \), e seu mínimo é \(-1\), atingido em \(3\pi /2+2k\pi \). O cosseno é estritamente decrescente em \([2k\pi ,\pi +2k\pi ]\) e estritamente crescente em \([\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi ]\); seu máximo \(1\) ocorre em \(2k\pi \), e seu mínimo \(-1\), em \(\pi +2k\pi \).

Chamamos essas curvas de senoides. Na Seção 5.4, ampliaremos essa família por mudanças de escala e translações dos gráficos de seno e cosseno.

Exercício 5.13

Determine domínio, imagem, período fundamental e zeros de \(\operatorname {sen}x\) e de \(\cos x\).

Ver solução

Ambas têm domínio \(\mathbb {R}\), imagem \([-1,1]\) e período \(2\pi \). Os zeros do seno são \(k\pi \); os do cosseno são \(\pi /2+k\pi \), com \(k\in \mathbb {Z}\).

Exercício 5.14

Esboce um período de \(y=\operatorname {sen}x\) e de \(y=\cos x\) marcando primeiro os cinco pontos principais em \(0,\pi /2,\pi ,3\pi /2,2\pi \).

Ver solução

Para o seno, os valores são \(0,1,0,-1,0\). Para o cosseno, são \(1,0,-1,0,1\).

Exercício 5.15

No intervalo \([0,2\pi ]\), indique onde \(\operatorname {sen}x\) é positivo, negativo e nulo.

Ver solução

É positivo em \((0,\pi )\), negativo em \((\pi ,2\pi )\) e nulo em \(0,\pi ,2\pi \).

Exercício 5.16

No intervalo \([0,2\pi ]\), indique onde \(\cos x\) é positivo, negativo e nulo.

Ver solução

É positivo em \([0,\pi /2)\cup (3\pi /2,2\pi ]\), negativo em \((\pi /2,3\pi /2)\) e nulo em \(\pi /2\) e \(3\pi /2\).

Exercício 5.17

Determine todos os pontos de máximo e mínimo de \(\operatorname {sen}x\).

Ver solução

Os máximos, de valor \(1\), ocorrem em

\[ x=\frac\pi 2+2k\pi . \]

Os mínimos, de valor \(-1\), ocorrem em

\[ x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi , \qquad k\in \mathbb {Z}. \]

Exercício 5.18

Explique por que os gráficos de \(\operatorname {sen}x\) e \(\cos x\) ficam completamente determinados quando conhecemos seus valores em um intervalo de comprimento \(2\pi \).

Ver solução

Ambas as funções têm período \(2\pi \). Portanto, o padrão em qualquer intervalo de comprimento \(2\pi \) se repete por translações horizontais de \(2k\pi \).

Exercício 5.19

Verifique na circunferência unitária e nos gráficos que

\[ \cos x=\operatorname {sen}\left(x+\frac\pi 2\right). \]

Interprete a identidade como uma translação horizontal.

Ver solução

Somar \(\pi /2\) ao argumento do seno desloca seu gráfico para a esquerda em \(\pi /2\); o resultado coincide com o gráfico do cosseno.

Exercício 5.20 (Comparar seno e cosseno sem calculadora)

Para cada ângulo \(\theta \), seja \(P_\theta =(\cos \theta ,\operatorname {sen}\theta )\) o ponto correspondente da circunferência unitária. Sem calculadora, localize \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) e \(P_4\) (em radianos, com \(\pi \approx 3{,}14\)) e indique qual dos números é maior em cada par:

1. \(\operatorname {sen}1\) ou \(\operatorname {sen}2\).

2. \(\cos 1\) ou \(\cos 2\).

3. \(\operatorname {sen}3\) ou \(\operatorname {sen}4\).

4. \(\operatorname {sen}1\) ou \(\cos 1\).

Ver solução

1. \(\operatorname {sen}2=\operatorname {sen}(\pi -2)\) e \(\pi -2\approx 1{,}14\). Como \(1\lt 1{,}14\lt \pi /2\) e o seno cresce em \([0,\pi /2]\), temos \(\operatorname {sen}2\gt \operatorname {sen}1\).

2. \(\cos 1\gt 0\gt \cos 2\), pois \(1\lt \pi /2\lt 2\).

3. \(\operatorname {sen}3\gt 0\gt \operatorname {sen}4\), pois \(3\lt \pi \lt 4\lt 2\pi \).

4. \(\operatorname {sen}1\gt \cos 1\), pois \(\pi /4\lt 1\lt \pi /2\), e nesse arco o ponto está acima da reta \(y=x\).

Exercício 5.21 (Duas curvas, uma janela)

As curvas \(A\) e \(B\) são os gráficos de \(\operatorname {sen}x\) e \(\cos x\), apresentados em um período.

1. Identifique cada curva usando seus valores em \(x=0\).

2. Leia o intervalo em que ambas são positivas. Dentro dele, em que parte \(A\) fica acima de \(B\)?

3. A fotografia desse único período mostra todos os pontos de encontro das duas funções em \(\mathbb R\)? Explique como obter os demais por translação.

Ver solução

a) \(A\) é o seno; \(B\) é o cosseno. b) Ambas são positivas em \((0,\pi /2)\); nesse intervalo, \(A\gt B\) em \((\pi /4,\pi /2)\). c) Não. Os encontros visíveis são \(\pi /4\) e \(5\pi /4\). Transladando-os por \(2k\pi \), \(k\in \mathbb Z\), obtêm-se todos os encontros, que também se escrevem \(x=\pi /4+k\pi \).

Exercício 5.22 (Onde uma onda cruza um nível)

A figura mostra o gráfico de \(y=\operatorname {sen}x\) em \([0,4\pi ]\) e a reta \(y=1/2\).

1. Quantas soluções tem \(\operatorname {sen}x=\tfrac 12\) em \([0,4\pi ]\)? Determine-as a partir da solução \(\pi /6\), usando a simetria do gráfico e a periodicidade.

2. Em \([0,2\pi )\), quantas soluções tem a equação \(\operatorname {sen}x=k\)? Discuta conforme o valor de \(k\).

Ver solução

1. Quatro: \(\pi /6\) e \(\pi -\pi /6=5\pi /6\) no primeiro período, e \(\pi /6+2\pi =13\pi /6\) e \(5\pi /6+2\pi =17\pi /6\) no segundo.

2. Duas, se \(-1\lt k\lt 1\); uma, se \(k=\pm 1\); nenhuma, se \(|k|\gt 1\).

Exercício 5.23

\(\star \) Dadas \(f(x)=\operatorname {sen}x\) e \(g(x)=\pi \left[\! \left[x\right]\! \right]\), determine os domínios e as imagens de \(f\circ g\) e \(g\circ f\).

Ver solução

As duas composições têm domínio \(\mathbb {R}\). Como \(\left[\! \left[x\right]\! \right]\) é inteiro,

\[ (f\circ g)(x)=\operatorname {sen}(\pi \left[\! \left[x\right]\! \right])=0, \]

logo \(\operatorname {Im}(f\circ g)=\{ 0\} \). Já \((g\circ f)(x)=\pi \left[\! \left[\operatorname {sen}x\right]\! \right]\) assume os valores \(-\pi \), \(0\) e \(\pi \). Portanto, \(\operatorname {Im}(g\circ f)=\{ -\pi ,0,\pi \} \).

5.3 Identidades trigonométricas fundamentais

As simetrias da circunferência permitem comparar ângulos relacionados. As fórmulas de adição e de diferença ampliam esse recurso: expressam o seno e o cosseno de uma soma ou diferença em termos dos valores de cada ângulo. Delas obteremos fórmulas para ângulos múltiplos e transformações de expressões trigonométricas.

A demonstração a seguir esclarece a origem geométrica dessas fórmulas; em uma primeira leitura, elas podem ser usadas e a prova retomada depois.

As fórmulas de diferença foram obtidas no mesmo argumento. Fazendo \(a=b=x\) nas fórmulas de adição, obtemos

e

Isolando os quadrados,

As fórmulas de adição também permitem transformar somas e diferenças em produtos, um recurso útil nos capítulos de limites e integrais:

Para deduzi-las, escreva

Então \(u=p+q\) e \(v=p-q\). Por exemplo, subtraindo as fórmulas de adição do seno, obtemos

Somando essas mesmas fórmulas, obtemos a identidade para \(\operatorname {sen}u+\operatorname {sen}v\). O procedimento é análogo para o cosseno.

Inversamente, as fórmulas de adição também fornecem as transformações de produtos em somas:

Em particular,

Exercício 5.24

Calcule exatamente.

1. \(\operatorname {sen}(5\pi /12)\).

2. \(\cos (\pi /12)\).

3. \(\operatorname {sen}(\pi /12)\).

Ver solução

\[ \begin{aligned} \operatorname {sen}\frac{5\pi }{12}& =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\\ \cos \frac{\pi }{12}& =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\\ \operatorname {sen}\frac{\pi }{12}& =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \end{aligned} \]

Exercício 5.25

Verifique que \(\cos ^2x-\operatorname {sen}^2x=\cos (2x)\) e obtenha dessa igualdade expressões para \(\cos ^2x\) e \(\operatorname {sen}^2x\) em termos de \(\cos (2x)\).

Ver solução

A igualdade é a fórmula do cosseno da soma com os dois ângulos iguais. Com \(\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1\), ela fornece \(\cos ^2x=(1+\cos (2x))/2\) e \(\operatorname {sen}^2x=(1-\cos (2x))/2\).

Exercício 5.26

Deduza, a partir das fórmulas de adição, as fórmulas de diferença

\[ \operatorname {sen}(x-y)=\operatorname {sen}x\cos y-\cos x\operatorname {sen}y \]

e

\[ \cos (x-y)=\cos x\cos y+\operatorname {sen}x\operatorname {sen}y. \]

Ver solução

Substitua \(y\) por \(-y\) nas fórmulas de adição e use \(\operatorname {sen}(-y)=-\operatorname {sen}y\) e \(\cos (-y)=\cos y\).

Exercício 5.27

Mostre que

\[ \cos (u+v)+\cos (u-v)=2\cos u\cos v. \]

Ver solução

Expanda os dois cossenos pelas fórmulas de adição; os termos contendo \(\operatorname {sen}u\operatorname {sen}v\) se cancelam.

Exercício 5.28 (Quando uma soma de senos se anula)

Mostre que, para \(u,v\in \mathbb {R}\), a igualdade \(\operatorname {sen}u+\operatorname {sen}v=0\) equivale a pelo menos uma das condições

\[ u+v=2k\pi \quad \text{ou}\quad u-v=(2k+1)\pi , \qquad k\in \mathbb {Z}. \]

Dê um exemplo em que a soma seja zero, mas nenhuma parcela seja zero.

Ver solução

Pela fórmula de soma em produto,

\[ \operatorname {sen}u+\operatorname {sen}v =2\operatorname {sen}\left(\frac{u+v}{2}\right) \cos \left(\frac{u-v}{2}\right). \]

O produto se anula se, e somente se, \((u+v)/2=k\pi \) ou \((u-v)/2=\pi /2+k\pi \), o que fornece as duas condições. Por exemplo, \(u=\pi /6\) e \(v=-\pi /6\) têm senos não nulos que se cancelam.

Exercício 5.29

Use as fórmulas de adição para mostrar as identidades de cofunção

\[ \operatorname {sen}\left(\frac\pi 2-x\right)=\cos x, \qquad \cos \left(\frac\pi 2-x\right)=\operatorname {sen}x. \]

Ver solução

Para todo \(x\in \mathbb {R}\), use \(\operatorname {sen}(\pi /2)=1\) e \(\cos (\pi /2)=0\) nas fórmulas de diferença. Na demonstração geométrica, as relações de cofunção haviam sido usadas apenas nos ângulos agudos.

Exercício 5.30

Use as fórmulas de soma-produto.

1. Fatore \(\operatorname {sen}(5x)-\operatorname {sen}x\) e determine seus zeros em \([0,\pi ]\).

2. Para \(h\neq 0\), reescreva \(\bigl(\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen}x\bigr)/h\) como produto de um cosseno por \(\operatorname {sen}(h/2)/(h/2)\).

Ver solução

A fatoração é \(2\cos (3x)\operatorname {sen}(2x)\). Os zeros em \([0,\pi ]\) são \(0,\pi /6,\pi /2,5\pi /6,\pi \). No segundo item,

\[ \frac{\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen}x}{h} =\cos \left(x+\frac h2\right)\frac{\operatorname {sen}(h/2)}{h/2}. \]

A divisão é permitida porque \(h\neq 0\).

Exercício 5.31 (Redução de potência)

Prove que, para todo \(x\in \mathbb {R}\),

\[ \cos ^2(2x)=\frac{1+\cos (4x)}{2}. \]

Ver solução

Pela fórmula do cosseno do arco duplo, \(\cos (2\theta )=2\cos ^2\theta -1\). Com \(\theta =2x\), obtemos \(\cos (4x)=2\cos ^2(2x)-1\), isto é, \(\cos ^2(2x)=\dfrac {1+\cos (4x)}2\).

Exercício 5.32

Mostre que

\[ \cos u+\cos v =2\cos \left(\frac{u+v}{2}\right) \cos \left(\frac{u-v}{2}\right). \]

Ver solução

Some as fórmulas de \(\cos (x+y)\) e \(\cos (x-y)\) e tome \(x=(u+v)/2\), \(y=(u-v)/2\).

Exercício 5.33 (Os máximos não acontecem juntos)

Dois sinais são \(u(t)=\operatorname {sen}t\) e \(v(t)=\cos t\). Uma aluna afirma: “Cada sinal pode valer \(1\); portanto, a soma pode valer \(2\).”

1. Explique a falha do argumento usando a circunferência unitária.

2. Use uma fórmula de adição para escrever \(u(t)+v(t)=\sqrt2\, \operatorname {sen}(t+\pi /4)\) e determine o maior valor possível da soma. Indique um instante em que ele é atingido.

Ver solução

a) Seno e cosseno são coordenadas de um mesmo ponto do círculo: não podem ser ambos \(1\), pois seus quadrados somam \(1\). Os máximos individuais ocorrem em instantes diferentes. b) A fórmula de adição fornece a identidade; como o seno está em \([-1,1]\), o máximo da soma é \(\sqrt2\), atingido, por exemplo, em \(t=\pi /4\).

5.4 Amplitude, período e transformações dos gráficos

As transformações de gráficos estudadas anteriormente permitem ajustar uma senoide a uma oscilação: as mudanças de escala determinam a amplitude e o período, enquanto as translações determinam a linha média e a posição do ciclo. Cada parâmetro da expressão tem, assim, uma interpretação gráfica.

Considere, inicialmente,

O fator \(A\) multiplica todos os valores da função. Por isso, a imagem é \([-|A|,|A|]\) e a amplitude, definida como metade da distância entre o valor máximo e o mínimo, é

Quando \(A\lt 0\), ocorre também uma reflexão em relação ao eixo horizontal.

Já o fator \(B\) altera a escala horizontal. Uma oscilação completa ocorre quando o argumento varia \(2\pi \). O menor deslocamento positivo necessário para isso é

Esse é o período fundamental tanto de \(A\operatorname {sen}(Bx)\) quanto de \(A\cos (Bx)\). O valor absoluto é necessário porque o sinal de \(B\) apenas muda a orientação com que o ciclo é percorrido. Para o cosseno isso também decorre de sua paridade; para o seno, o sinal pode ser incorporado ao fator \(A\).

Por exemplo, em \(g(x)=2\operatorname {sen}(3x)\), a amplitude é \(2\) e o período é \(2\pi /3\). Um período pode ser construído marcando seus quartos:

Entre esses pontos, o gráfico conserva a forma suave do seno.

Para \(B\gt 0\), os cinco pontos principais de um período podem ser organizados sem novos cálculos:

Se houver translações, usamos as regras já estudadas para gráficos. Na forma

a amplitude continua sendo \(|A|\), o período continua sendo \(2\pi /|B|\), a linha média passa a ser \(y=k\) e o gráfico é deslocado horizontalmente por \(h\). Uma expressão \(Bx+C\) pode ser escrita como \(B(x-h)\) tomando \(h=-C/B\). O argumento \(Bx+C\) é a fase da oscilação; \(C\), seu valor em \(x=0\), é a fase inicial, ou ângulo de fase. Assim, em \(D+A\operatorname {sen}(Bt+\varphi )\), o parâmetro \(\varphi \) é a fase inicial, medida em radianos, e o deslocamento horizontal é \(-\varphi /B\). Fases iniciais que diferem por \(2k\pi \), \(k\in \mathbb {Z}\), descrevem a mesma função.

Exercício 5.34

Determine amplitude, período fundamental, linha média e deslocamento horizontal de

\[ f(x)=2\operatorname {sen}\bigl(3(x-\pi /6)\bigr)+4. \]

Ver solução

Amplitude \(2\), período \(2\pi /3\), linha média \(y=4\) e deslocamento \(\pi /6\) para a direita.

Exercício 5.35

Determine amplitude, período fundamental e imagem de

\[ g(x)=-4\cos (\pi x)+2. \]

Ver solução

Amplitude \(4\), período \(2\) e

\[ \operatorname {Im}g=[-2,6]. \]

Exercício 5.36

Reescreva

\[ h(x)=3\operatorname {sen}(2x-\pi )+1 \]

na forma \(A\operatorname {sen}(B(x-h_0))+k\) e identifique os parâmetros.

Ver solução

\[ h(x)=3\operatorname {sen}\left(2\left(x-\frac\pi 2\right)\right)+1. \]

Logo, \(A=3\), \(B=2\), \(h_0=\pi /2\) e \(k=1\).

Exercício 5.37

Uma função cossenoidal tem amplitude \(5\), período \(4\pi \) e linha média \(y=-2\). Dê um exemplo de fórmula com essas características.

Ver solução

Uma possibilidade é

\[ f(x)=5\cos \left(\frac x2\right)-2. \]

Exercício 5.38

Determine a amplitude e o período fundamental e esboce um ciclo de cada função. Antes de desenhar, marque os cinco pontos separados por um quarto de período.

1. \(y=-2\cos (3x)\).

2. \(y=-3\operatorname {sen}(-4x)\).

3. \(y=3\cos (2x)\).

4. \(y=2\operatorname {sen}(2x+\pi /2)\).

5. \(y=\cos ^2x-\operatorname {sen}^2x\).

6. \(y=-3\operatorname {sen}(\pi x+\pi )\).

Ver solução

1. A amplitude é \(2\) e o período é \(2\pi /3\). Em \([0,2\pi /3]\), os valores nos quartos do período são \(-2,0,2,0,-2\).

2. Como \(-3\operatorname {sen}(-4x)=3\operatorname {sen}(4x)\), a amplitude é \(3\) e o período é \(\pi /2\). Em \([0,\pi /2]\), os valores principais são \(0,3,0,-3,0\).

3. A amplitude é \(3\) e o período é \(\pi \). Em \([0,\pi ]\), os valores principais são \(3,0,-3,0,3\).

4. Como \(2\operatorname {sen}(2x+\pi /2)=2\cos (2x)\), a amplitude é \(2\) e o período é \(\pi \). Em \([0,\pi ]\), os valores principais são \(2,0,-2,0,2\).

5. Pela fórmula de ângulo duplo, a função é \(\cos (2x)\). Sua amplitude é \(1\) e seu período é \(\pi \).

6. Como \(-3\operatorname {sen}(\pi x+\pi )=3\operatorname {sen}(\pi x)\), a amplitude é \(3\) e o período é \(2\). Em \([0,2]\), os valores principais são \(0,3,0,-3,0\).

Exercício 5.39 (Uma unidade de atraso)

As duas curvas representam \(f(t)=2+\cos (\pi t/2)\) e uma versão atrasada desse mesmo sinal, \(g\). Os máximos de \(g\) ocorrem uma unidade de tempo depois dos máximos de \(f\).

1. Escreva \(g\) em termos de \(f\) e determine quais características do sinal são preservadas.

2. Um leitor propõe \(g(t)=f(t)+1\), porque “o máximo se deslocou uma unidade”. Use a figura para explicar o erro e comparar essa proposta com o atraso observado.

Ver solução

a) \(g(t)=f(t-1)=2+\cos (\pi (t-1)/2)\). A amplitude \(1\), a linha média \(y=2\), a imagem \([1,3]\) e o período \(4\) são preservados. b) Somar \(1\) desloca verticalmente o gráfico: produziria imagem \([2,4]\), sem alterar os instantes dos máximos. O atraso é um deslocamento horizontal.

Exercício 5.40 (Uma oscilação escondida entre medições)

Um aparelho registra um sinal somente nos instantes inteiros. Considere os três modelos

\[ f(t)=\cos (2\pi t),\qquad g(t)=\cos (4\pi t),\qquad h(t)=1. \]

1. Mostre que os registros feitos nos instantes inteiros são iguais nos três modelos. É possível concluir desses registros que o sinal é constante?

2. Compare as leituras em \(t=1/2\) e \(t=1/4\). Indique quais modelos cada nova medição distingue e determine os períodos fundamentais de \(f\) e \(g\).

Ver solução

a) Para todo inteiro \(n\), \(f(n)=g(n)=h(n)=1\); os registros não permitem concluir constância. b) Em \(1/2\), as leituras são \(-1,1,1\): distingue-se \(f\), mas não \(g\) de \(h\). Em \(1/4\), são \(0,-1,1\), todas diferentes. Os períodos fundamentais são \(1\) e \(1/2\), respectivamente.

Exercício 5.41

Considere as duas fórmulas

\[ \begin{aligned} f(x)& =3\operatorname {sen}\left(2x-\frac\pi 3\right)+1,\\ g(x)& =3\cos \left(2x-\frac{5\pi }{6}\right)+1. \end{aligned} \]

1. Mostre que \(f\) e \(g\) definem a mesma função.

2. Determine amplitude, período fundamental, linha média e imagem dessa função.

3. Por que as duas fórmulas indicam deslocamentos horizontais diferentes, embora representem o mesmo gráfico?

Ver solução

Como \(\operatorname {sen}u=\cos (u-\pi /2)\),

\[ \operatorname {sen}\left(2x-\frac\pi 3\right) = \cos \left(2x-\frac\pi 3-\frac\pi 2\right) = \cos \left(2x-\frac{5\pi }{6}\right), \]

logo \(f=g\). A amplitude é \(3\), o período é \(\pi \), a linha média é \(y=1\) e a imagem é \([-2,4]\).

As duas fórmulas usam funções básicas diferentes. Seno e cosseno já diferem por uma mudança de fase de \(\pi /2\); por isso, a mesma oscilação pode aparecer com parâmetros de fase distintos sem que o gráfico mude.

5.5 Tangente e funções associadas

Seno e cosseno estão definidos para todo número real. As demais funções trigonométricas serão obtidas a partir deles por quocientes e recíprocos. Consequentemente, seus domínios dependem dos zeros dos denominadores envolvidos.

A tangente admite ainda uma interpretação geométrica: ela fornece a inclinação do raio que liga a origem ao ponto correspondente da circunferência.

5.5.1 Tangente e secante

A definição também possui uma interpretação geométrica direta. Se

e \(\cos x\neq 0\), então o coeficiente angular da reta que passa por \(O=(0,0)\) e \(P_x\) é

Assim, a tangente pode ser lida como a inclinação do raio \(OP_x\) sempre que esse raio não é vertical.

Há uma construção que reúne tangente e secante e explica seus nomes. Para \(0\lt x\lt \pi /2\), prolongue o raio \(OP_x\) até encontrar a reta vertical \(X=1\), que é tangente à circunferência no ponto \((1,0)\). Se chamarmos o ponto de interseção de \(T\), então

O triângulo com vértices \(O\), \((1,0)\) e \(T\) é retângulo. Sua base mede \(1\), sua altura mede \(\operatorname {tg}x\) e, pelo teorema de Pitágoras,

No primeiro quadrante, portanto, a tangente aparece como a altura do ponto \(T\) e a secante como o comprimento do segmento \(OT\).

Quando \(\cos x=0\), o raio é vertical e não encontra a reta \(X=1\) em um ponto finito. Esse é exatamente o motivo geométrico para tangente e secante não estarem definidas nesses valores.

A tangente tem período \(\pi \), pois

Esse é também o período fundamental: se \(T\gt 0\) é período da tangente, então \(\operatorname {tg}T=\operatorname {tg}0=0\), logo \(T=k\pi \); o menor período positivo possível é \(\pi \). Em cada intervalo entre dois zeros consecutivos do cosseno, o gráfico da tangente forma um ramo estritamente crescente, com imagem \(\mathbb {R}\). De fato, se \(-\pi /2\lt a\lt b\lt \pi /2\), então

pois \(0\lt b-a\lt \pi \) e os dois cossenos são positivos. A periodicidade transfere essa propriedade para todos os ramos. Além disso, dado \(y\in \mathbb {R}\), a semirreta que parte da origem e passa por \((1,y)\) determina um ângulo \(x\in (-\pi /2,\pi /2)\) cuja tangente é \(y\). Assim, o ramo principal assume todos os valores reais e, por periodicidade, o mesmo vale para os demais. As retas

são assíntotas verticais.

A secante é o recíproco da coordenada horizontal de \(P_x\). Portanto, quando \(P_x\) se aproxima dos pontos superior ou inferior da circunferência, essa coordenada se aproxima de zero e o módulo da secante cresce sem limitação. Como \(|\cos x|\leq 1\), onde a secante está definida temos

Portanto,

5.5.2 Cotangente e cossecante

A cotangente troca os papéis das coordenadas:

nos pontos em que ambas as expressões estão definidas.

A construção anterior também tem uma versão horizontal. Para \(0\lt x\lt \pi /2\), prolongue o raio \(OP_x\) até a reta \(Y=1\), tangente à circunferência em \((0,1)\). O ponto de interseção é

e o comprimento \(OC\) vale \(\operatorname {cossec}x\). Assim, tangente/secante e cotangente/cossecante são construções simétricas: numa usamos a reta tangente vertical \(X=1\); na outra, a reta tangente horizontal \(Y=1\).

No primeiro quadrante, esses comprimentos coincidem com os próprios valores de \(\sec x\) e \(\operatorname {cossec}x\). Fora dele, as fórmulas algébricas preservam os sinais corretos, enquanto comprimentos geométricos correspondem a valores absolutos.

A cotangente tem período \(\pi \). Seus zeros ocorrem quando \(\cos x=0\), isto é,

e as retas \(x=k\pi \) são assíntotas verticais, pois nesses pontos o seno se anula. Em cada intervalo \((k\pi ,(k+1)\pi )\), a cotangente é estritamente decrescente e assume todos os valores reais: a identidade \(\operatorname {cotg}x=\operatorname {tg}(\pi /2-x)\) transforma esse intervalo em um ramo da tangente, com a orientação invertida.

Figura não resolvida: figuras/revisao-editorial-20261017/cap5-cotangente.tex

A cossecante, como recíproco do seno, tem o mesmo sinal do seno e satisfaz

onde está definida. As retas \(x=k\pi \) são suas assíntotas verticais. De modo análogo, a secante tem o mesmo sinal do cosseno e suas assíntotas são \(x=\pi /2+k\pi \).

Identidades pitagóricas das funções associadas

Dividindo \(\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1\) por \(\cos ^2x\) ou por \(\operatorname {sen}^2x\), respectivamente, obtemos

As restrições indicadas são parte das identidades: nos pontos excluídos, algumas expressões não estão definidas. Essas identidades serão úteis para simplificar expressões e resolver equações trigonométricas.

Quadro de consulta

Na tabela, o domínio é \(\mathbb {R}\) sem os pontos indicados na segunda coluna, e \(k\) percorre \(\mathbb {Z}\). Para tangente, cotangente, secante e cossecante, cada ponto excluído \(c\) corresponde à assíntota vertical \(x=c\). Seno e cosseno não possuem assíntotas. A coluna \(T_0\) registra o período fundamental.

Exercício 5.42

Determine o domínio natural.

1. \(\operatorname {tg}x\).

2. \(\sec (3x-\pi /4)\).

3. \(\operatorname {cotg}(x-\pi /3)\).

4. \(\operatorname {cossec}(3x)\).

Ver solução

1. \(x\neq \pi /2+k\pi \).

2. \(3x-\pi /4\neq \pi /2+k\pi \), isto é, \(x\neq \pi /4+k\pi /3\).

3. \(x\neq \pi /3+k\pi \).

4. \(x\neq k\pi /3\).

Exercício 5.43

Calcule exatamente.

1. \(\operatorname {tg}(\pi /4)\).

2. \(\operatorname {tg}(5\pi /6)\).

3. \(\sec (2\pi /3)\).

4. \(\operatorname {cossec}(7\pi /6)\).

Ver solução

\(1\), \(-1/\sqrt3\), \(-2\) e \(-2\).

Exercício 5.44

Determine o sinal de \(\operatorname {tg}x\) em cada quadrante.

Ver solução

Como \(\operatorname {tg}x=\operatorname {sen}x/\cos x\), ela é positiva nos quadrantes I e III, em que seno e cosseno têm o mesmo sinal, e negativa nos quadrantes II e IV.

Exercício 5.45

Mostre que \(\operatorname {tg}\) é ímpar e que \(\sec \) é par.

Ver solução

\[ \begin{aligned} \operatorname {tg}(-x)& =\frac{-\operatorname {sen}x}{\cos x}=-\operatorname {tg}x,\\ \sec (-x)& =\frac1{\cos x}=\sec x. \end{aligned} \]

Exercício 5.46

Mostre que a cotangente tem período \(\pi \).

Ver solução

\[ \operatorname {cotg}(x+\pi ) =\frac{\cos (x+\pi )}{\operatorname {sen}(x+\pi )} =\frac{-\cos x}{-\operatorname {sen}x} =\operatorname {cotg}x \]

sempre que as expressões estão definidas.

Exercício 5.47

Determine a imagem de \(\sec x\) e de \(\operatorname {cossec}x\) a partir das desigualdades \(|\cos x|\leq 1\) e \(|\operatorname {sen}x|\leq 1\).

Ver solução

Onde estão definidas,

\[ |\sec x|=\frac1{|\cos x|}\geq 1, \qquad |\operatorname {cossec}x|=\frac1{|\operatorname {sen}x|}\geq 1. \]

Logo, as duas imagens estão contidas em \((-\infty ,-1]\cup [1,\infty )\). Reciprocamente, dado \(y\) com \(|y|\geq 1\), o valor \(u=1/y\) está em \([-1,1]\) e é não nulo. Como seno e cosseno assumem todos os valores de \([-1,1]\), existem argumentos com \(\operatorname {sen}x=u\) e com \(\cos x=u\). Os recíprocos estão definidos nesses argumentos e valem \(y\). Portanto, ambas têm imagem

\[ (-\infty ,-1]\cup [1,\infty ). \]

Exercício 5.48

Verifique as identidades e indique exatamente onde valem.

1. \(1+\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x\).

2. \(1+\operatorname {cotg}^2x=\operatorname {cossec}^2x\).

Ver solução

A primeira vem de dividir \(\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1\) por \(\cos ^2x\) e vale para \(x\neq \pi /2+k\pi \). A segunda vem da divisão por \(\operatorname {sen}^2x\) e vale para \(x\neq k\pi \), sempre com \(k\in \mathbb {Z}\).

Exercício 5.49 (A tangente na reta \(u=1\))

Uma semirreta parte da origem, forma um ângulo \(\theta \in (-\pi /2,\pi /2)\) com o eixo horizontal e encontra a reta \(u=1\) no ponto \((1,\operatorname {tg}\theta )\).

1. A coordenada vertical desse encontro precisa permanecer entre \(-1\) e \(1\), como o seno? Use \(\theta =\pi /3\) para testar a afirmação.

2. Descreva o que acontece com o encontro quando \(\theta \) cresce em direção a \(\pi /2\). Por que não se deve colocar um ponto de ordenada infinita em \(\theta =\pi /2\)?

Ver solução

a) Não: \(\operatorname {tg}(\pi /3)=\sqrt3\gt 1\). Trata-se de uma projeção sobre a reta \(u=1\), não de uma coordenada de um ponto da circunferência. b) Quando \(\theta \) se aproxima de \(\pi /2\) pela esquerda, a altura ultrapassa qualquer valor fixado. Na direção vertical a semirreta é paralela a \(u=1\) e não a encontra; \(\operatorname {tg}(\pi /2)\) não é um número real definido.

5.6 Simplificação de expressões trigonométricas

As identidades trigonométricas permitem simplificar expressões, mas é necessário preservar as restrições da expressão original. Por exemplo, se \(\operatorname {sen}x\neq 0\),

A expressão simplificada está definida para todo \(x\), mas a original não está definida nos múltiplos inteiros de \(\pi \); a igualdade vale apenas fora desses pontos. Do mesmo modo, se \(\cos x\neq 0\),

Novamente, a simplificação não acrescenta ao domínio os pontos excluídos no início.

Escolha da forma algébrica

Uma identidade trigonométrica pode ser empregada para colocar uma expressão em uma forma mais adequada ao problema considerado. Dependendo da expressão, pode ser conveniente preservar um fator, reduzir potências ou transformar produtos em somas. Essas três estratégias serão úteis no estudo de integração: cada uma prepara uma expressão trigonométrica para um método de cálculo de integrais.

Exercício 5.50

Verifique cada identidade no domínio em que os dois lados estão definidos.

1. \(\sec t-\cos t=\operatorname {tg}t\, \operatorname {sen}t\).

2. \(\dfrac {\operatorname {sen}y}{\operatorname {cossec}y}+\dfrac {\cos y}{\sec y}=1\).

3. \(\operatorname {tg}A+\operatorname {tg}B=\dfrac {\operatorname {sen}(A+B)}{\cos A\cos B}\).

4. \(\operatorname {cossec}t-\operatorname {sen}t=\cos t\, \operatorname {cotg}t\).

5. \(\operatorname {sen}(2\theta )=2\operatorname {sen}^3\theta \cos \theta +2\operatorname {sen}\theta \cos ^3\theta \).

Ver solução

1. Para \(\cos t\neq 0\),

   \[ \sec t-\cos t =\frac{1-\cos ^2t}{\cos t} =\frac{\operatorname {sen}^2t}{\cos t} =\operatorname {tg}t\, \operatorname {sen}t. \]

2. Para \(\operatorname {sen}y\neq 0\) e \(\cos y\neq 0\), o lado esquerdo é \(\operatorname {sen}^2y+\cos ^2y=1\).

3. Para \(\cos A\cos B\neq 0\),

   \[ \begin{aligned} \operatorname {tg}A+\operatorname {tg}B & =\frac{\operatorname {sen}A\cos B+\cos A\operatorname {sen}B}{\cos A\cos B}\\ & =\frac{\operatorname {sen}(A+B)}{\cos A\cos B}. \end{aligned} \]

4. Para \(\operatorname {sen}t\neq 0\),

   \[ \operatorname {cossec}t-\operatorname {sen}t =\frac{1-\operatorname {sen}^2t}{\operatorname {sen}t} =\frac{\cos ^2t}{\operatorname {sen}t} =\cos t\, \operatorname {cotg}t. \]

5. O lado direito pode ser fatorado como

   \[ \begin{aligned} & 2\operatorname {sen}\theta \cos \theta (\operatorname {sen}^2\theta +\cos ^2\theta )\\ & \qquad =2\operatorname {sen}\theta \cos \theta =\operatorname {sen}(2\theta ). \end{aligned} \]

Exercício 5.51

Considere

\[ F(x)=\frac{1-\cos (2x)}{\operatorname {sen}x\cos x}. \]

1. Determine o domínio da expressão original e simplifique-a.

2. Compare esse domínio com o da expressão simplificada.

3. Resolva \(F(x)=0\) e explique o que aconteceria se as restrições originais fossem esquecidas.

Ver solução

O domínio é \(\mathbb {R}\setminus \{ k\pi /2:k\in \mathbb {Z}\} \). Nele, \(1-\cos (2x)=2\operatorname {sen}^2x\) e \(F(x)=2\operatorname {tg}x\). A expressão \(2\operatorname {tg}x\) também está definida nos múltiplos inteiros de \(\pi \), mas esses pontos não pertencem ao domínio de \(F\). Os únicos zeros de \(2\operatorname {tg}x\) são justamente esses múltiplos; portanto, \(F(x)=0\) não tem solução. Cancelar um fator não restitui os pontos em que ele era zero.

Exercício 5.52 (A raiz escolhe o sinal)

Um programa simplifica \(F(x)=\sqrt{1-\operatorname {sen}^2x}\) para \(\cos x\). A figura mostra o gráfico de \(\cos x\) no intervalo \([-\pi ,2\pi ]\).

1. A simplificação está correta em todo esse intervalo? Teste-a em \(x=\pi \) e escreva uma identidade válida para todo \(x\in \mathbb R\).

2. A partir da figura, esboce \(F\) no mesmo intervalo, descrevendo o que acontece com as partes do gráfico situadas abaixo do eixo horizontal. Qual é a imagem de \(F\)?

Ver solução

a) Em \(\pi \), \(F(\pi )=1\) e \(\cos \pi =-1\), portanto a simplificação falha. Para todo real \(x\), \(F(x)=\sqrt{\cos ^2x}=|\cos x|\). b) Preservam-se as partes não negativas e refletem-se as negativas em relação ao eixo horizontal. A imagem é \([0,1]\).

Exercício 5.53

Reorganize

\[ \operatorname {sen}^5x\cos ^4x \]

de modo a deixar um único fator \(\operatorname {sen}x\) e escrever todo o restante apenas em termos de \(\cos x\).

Ver solução

\[ \begin{aligned} \operatorname {sen}^5x\cos ^4x & =\operatorname {sen}x(\operatorname {sen}^2x)^2\cos ^4x\\ & =\operatorname {sen}x(1-\cos ^2x)^2\cos ^4x\\ & =\operatorname {sen}x\bigl(\cos ^4x-2\cos ^6x+\cos ^8x\bigr). \end{aligned} \]

Exercício 5.54

Reorganize

\[ \operatorname {tg}^3x\sec ^5x \]

de modo a deixar em evidência um fator \(\sec x\, \operatorname {tg}x\) e escrever o fator restante apenas em termos de \(\sec x\).

Ver solução

Como \(\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x-1\),

\[ \begin{aligned} \operatorname {tg}^3x\sec ^5x & =(\operatorname {tg}^2x\, \sec ^4x)(\sec x\, \operatorname {tg}x)\\ & =(\sec ^2x-1)\sec ^4x\, (\sec x\, \operatorname {tg}x)\\ & =(\sec ^6x-\sec ^4x)(\sec x\, \operatorname {tg}x). \end{aligned} \]

Exercício 5.55

Use identidades de produto e soma para reescrever.

1. \(\operatorname {sen}(5x)\cos (2x)\) como soma de senos.

2. \(\cos (3x)\cos x\) como soma de cossenos.

3. \(\operatorname {sen}^4x\) usando apenas uma constante, \(\cos (2x)\) e \(\cos (4x)\).

Ver solução

1. \[ \operatorname {sen}(5x)\cos (2x) =\frac12\bigl(\operatorname {sen}(7x)+\operatorname {sen}(3x)\bigr). \]
2. \[ \cos (3x)\cos x =\frac12\bigl(\cos (4x)+\cos (2x)\bigr). \]
3. \[ \begin{aligned} \operatorname {sen}^4x& =\left(\frac{1-\cos (2x)}2\right)^2\\ & =\frac38-\frac12\cos (2x)+\frac18\cos (4x). \end{aligned} \]

5.7 Modelos periódicos

Retomamos a família \(D+A\operatorname {sen}(Bt+\varphi )\), estudada na Seção 5.4, para representar oscilações e interpretar seus parâmetros a partir de dados. Amplitude, período, linha média e fase inicial traduzem características do fenômeno; a escolha de seno ou cosseno depende da posição mais conveniente para iniciar o ciclo.

Nos modelos iniciados em \(t=0\), amplitude e período referem-se à função senoidal definida em toda a reta; o modelo físico é a restrição dessa função a \(t\geq 0\).

[.68figuras/proposta-20261016-e5-7-1.tex

Exercício 5.56

Uma roda-gigante tem raio \(18\) m, seu centro está a \(20\) m do solo e gira com velocidade angular constante, completando uma volta a cada \(40\) s. Em \(t=0\), um passageiro está no ponto mais baixo. Dê uma função que modele sua altura em relação ao solo, com \(t\) em segundos.

Ver solução

Uma possibilidade é

\[ H(t)=20-18\cos \left(\frac{\pi t}{20}\right). \]

Ela tem linha média \(20\), amplitude \(18\), período \(40\) e \(H(0)=2\).

Exercício 5.57

A temperatura de uma câmara varia periodicamente entre \(16^\circ \)C e \(24^\circ \)C, com período de \(8\) horas. Determine a amplitude e a linha média e dê um modelo cossenoidal que comece no valor máximo.

Ver solução

A amplitude é \(4\) e a linha média é \(20\). Um modelo é

\[ T(t)=20+4\cos \left(\frac{\pi t}{4}\right). \]

Exercício 5.58

Uma maré é modelada por

\[ h(t)=2{,}5+1{,}2\operatorname {sen}\left(\frac{\pi t}{6}\right), \]

com \(h\) em metros e \(t\) em horas. Determine a linha média, a amplitude e o período fundamental.

Ver solução

A altura média é \(2{,}5\) m, a amplitude é \(1{,}2\) m e o período é

\[ \frac{2\pi }{\pi /6}=12\text{ h}. \]

Exercício 5.59

Um sinal sonoro puro é modelado por

\[ s(t)=A\cos (2\pi f t), \qquad A\gt 0,\quad f\gt 0. \]

Mostre que seu período fundamental é \(1/f\).

Ver solução

Ao deslocar \(t\) por \(1/f\), o argumento do cosseno aumenta \(2\pi \):

\[ 2\pi f\left(t+\frac1f\right)=2\pi ft+2\pi . \]

Como \(A\ne 0\) e o cosseno tem período fundamental \(2\pi \), nenhum deslocamento positivo menor que \(1/f\) é período do sinal.

Exercício 5.60

A tensão de uma rede elétrica idealizada é modelada por

\[ V(t)=170\operatorname {sen}(120\pi t), \]

com \(t\) em segundos. A frequência é o número de ciclos por segundo, medido em hertz (Hz); seu valor é o inverso do período em segundos. Determine a amplitude, o período fundamental e a frequência da oscilação.

Ver solução

A amplitude é \(170\). Como

\[ T=\frac{2\pi }{120\pi }=\frac1{60}\text{ s}, \]

a frequência é \(1/T=60\) Hz.

Exercício 5.61

O número médio de horas de luz por dia em certa localidade é modelado, de forma simplificada, por

\[ D(t)=12+2{,}5\cos \left(\frac{2\pi }{365}(t-172)\right), \]

em que \(t\) é o número de dias após o início do ano. Determine a linha média, a amplitude, o período fundamental e o instante de máximo durante o primeiro ano, considerando \(0\le t\le 365\).

Ver solução

A linha média é \(12\) horas, a amplitude é \(2{,}5\) horas e o período é \(365\) dias. O máximo ocorre quando o cosseno vale \(1\), pela primeira vez em \(t=172\).

Exercício 5.62

Uma oscilação senoidal tem máximo \(9\), mínimo \(1\) e período fundamental \(10\). No instante \(t=0\), seu valor é \(3\) e está diminuindo.

1. Determine \(A\), \(B\), \(D\) e \(\varphi \) no modelo \(f(t)=D+A\operatorname {sen}(Bt+\varphi )\), com \(A,B\gt 0\) e \(0\leq \varphi \lt 2\pi \).

2. Explique por que informar apenas \(f(0)=3\) não determinaria a fase.

3. Determine o primeiro instante \(t\geq 0\) em que ocorre um mínimo.

4. Uma medição adicional indica \(f(5)=8\). Esse dado é compatível com os anteriores em um único modelo senoidal? Justifique sem ajustar novamente os parâmetros.

Ver solução

A amplitude é \(A=4\), a linha média é \(D=5\) e \(B=2\pi /10=\pi /5\). De \(5+4\operatorname {sen}\varphi =3\) vem \(\operatorname {sen}\varphi =-1/2\), logo \(\varphi =7\pi /6\) ou \(11\pi /6\) no intervalo escolhido. O seno diminui perto de \(7\pi /6\) e aumenta perto de \(11\pi /6\); a condição inicial seleciona \(\varphi =7\pi /6\). Portanto,

\[ f(t)=5+4\operatorname {sen}\left(\frac{\pi t}{5}+\frac{7\pi }{6}\right). \]

Sem a informação sobre o sentido da variação, as duas fases seriam possíveis. O primeiro mínimo ocorre quando \(\pi t/5+7\pi /6=3\pi /2\), isto é, em \(t=5/3\). Após meio período, os desvios em relação à linha média têm sinais opostos; logo \(f(5)-5=-(f(0)-5)=2\), de modo que \(f(5)=7\). A leitura \(8\) é incompatível com um único modelo senoidal que satisfaça os dados iniciais.

Exercício 5.63 (Repetição com uma tendência)

Um sensor é modelado, para \(t\geq 0\), por

\[ R(t)=10+t+2\cos (\pi t). \]

A figura mostra o sinal e a reta \(y=10+t\).

1. Calcule \(R(t+2)-R(t)\). O intervalo de duas unidades é um período de \(R\)? Explique também por que \(R\) não possui nenhum período positivo.

2. Que sinal se obtém subtraindo a tendência \(10+t\)? Determine seu período fundamental e explique o que permanece igual de um ciclo para o seguinte no registro original.

Ver solução

a) \(R(t+2)-R(t)=2\), logo \(2\) não é período. Além disso, \(R(t)\geq t+8\); se existisse um período \(T\gt 0\), os valores \(R(nT)\) seriam todos iguais a \(R(0)\), contradizendo \(R(nT)\geq nT+8\). b) O sinal residual é \(2\cos (\pi t)\), de período fundamental \(2\). Repetem-se os desvios em relação à tendência, com a mesma amplitude \(2\), enquanto o nível do registro aumenta.

Exercício 5.64 (Duas oscilações formam sempre um sinal periódico?)

Considere, para todo \(t\in \mathbb R\),

\[ F(t)=\cos (2t)+\cos (3t), \qquad G(t)=\cos t+\cos (\sqrt2\, t). \]

1. Mostre que \(2\pi \) é o período fundamental de \(F\). Para excluir períodos menores, examine o que deve ocorrer com cada parcela se \(F(T)=F(0)=2\).

2. Cada parcela de \(G\) é periódica. A soma também é? Investigue um possível período \(T\gt 0\) usando o mesmo valor inicial máximo.

3. O que podemos concluir sobre a soma de duas funções periódicas? Explique por que todo período comum das parcelas é também um período da soma.

Ver solução

1. \(2\pi \) é período de cada parcela, logo de \(F\). Se \(T\gt 0\) é período de \(F\), então \(F(T)=F(0)=2\). Como cada cosseno é no máximo \(1\), isso exige \(\cos (2T)=\cos (3T)=1\). Portanto,

   \[ 2T=2m\pi ,\qquad 3T=2n\pi , \]

   para inteiros positivos \(m,n\). Da primeira igualdade, \(T=m\pi \); da segunda, \(3m=2n\), de modo que \(m\) é par. Logo, \(T\) é múltiplo positivo de \(2\pi \), que é o período fundamental.

2. Se \(T\gt 0\) fosse período de \(G\), teríamos \(G(T)=G(0)=2\), portanto

   \[ T=2m\pi ,\qquad \sqrt2\, T=2n\pi . \]

   Isso implicaria \(\sqrt2=n/m\), uma contradição. Assim, \(G\) não é periódica.

3. A soma de funções periódicas pode ou não ser periódica. Se \(T\gt 0\) é período de \(f\) e de \(g\), então \((f+g)(t+T)=f(t+T)+g(t+T)=f(t)+g(t)\). Portanto, \(T\) é período da soma, mas não necessariamente seu período fundamental.

Exercício 5.65 (Batimentos: duas notas próximas)

Duas oscilações sonoras são representadas, para \(t\in \mathbb R\), por

\[ s(t)=\operatorname {sen}(10t)+\operatorname {sen}(11t). \]

1. Use uma identidade trigonométrica para mostrar que

   \[ s(t)=2\cos \left(\frac t2\right) \operatorname {sen}\left(\frac{21t}{2}\right). \]

2. A figura mostra o sinal e sua envoltória (tracejada), de amplitude \(2|\cos (t/2)|\). Explique a oscilação rápida com amplitude lentamente variável. Em que instantes a envoltória se anula? Em quais a amplitude é máxima?

3. O fator \(\cos (t/2)\) tem período fundamental \(4\pi \). Verifique que o sinal \(s\) e sua envoltória têm período \(2\pi \). Por que o período do sinal pode ser menor que o de um de seus fatores?

Ver solução

1. A identidade \(\operatorname {sen}(u+v)+\operatorname {sen}(u-v)=2\operatorname {sen}u\cos v\), com \(u=21t/2\) e \(v=t/2\), fornece o resultado.

2. O fator \(\operatorname {sen}(21t/2)\) representa a oscilação rápida, e \(2|\cos (t/2)|\) é a amplitude da envoltória. Ela se anula para \(t=(2k+1)\pi \) e atinge o máximo \(2\) para \(t=2k\pi \), com \(k\in \mathbb {Z}\). Esses não são os únicos zeros do sinal, pois o fator da oscilação rápida também se anula.

3. Pela periodicidade das duas parcelas, \(s(t+2\pi )=s(t)\). Na forma fatorada, ao substituir \(t\) por \(t+2\pi \), ambos os fatores mudam de sinal, conservando o produto. Além disso, \(|\cos ((t+2\pi )/2)|=|\cos (t/2)|\). Assim, a envoltória também tem período \(2\pi \).

5.8 Funções trigonométricas inversas

Seno, cosseno e tangente repetem seus valores. Por exemplo, há infinitos ângulos com seno igual a \(1/2\). Assim, a pergunta “qual é o ângulo cujo seno é \(1/2\)?” não possui resposta única enquanto considerarmos toda a reta.

Para construir uma inversa, precisamos escolher um trecho do gráfico em que cada valor apareça uma única vez. Fazemos aqui o mesmo tipo de restrição que apareceu nas potências pares: restringimos o domínio a um intervalo em que a função seja bijetora e então invertemos essa restrição.

As escolhas usuais são as seguintes:

Figura não resolvida: figuras/restricoes-trigonometricas-bijetivas.tex

A imagem de cada restrição é o domínio da inversa; o intervalo escolhido é a imagem da inversa. Outros intervalos poderiam ser usados, mas dariam outras escolhas de ângulo.

Por exemplo, \(\operatorname {arcsen}(1/2)\) é o único ângulo de \([-\pi /2,\pi /2]\) cujo seno vale \(1/2\): portanto, \(\operatorname {arcsen}(1/2)=\pi /6\). A função arco-seno inverte o seno nesse intervalo, onde ele é estritamente crescente. Assim,

A mesma construção vale para cosseno e tangente. A função arco-cosseno inverte o cosseno em \([0,\pi ]\), onde ele é estritamente decrescente e assume todos os valores de \([-1,1]\):

A função arco-tangente inverte a tangente em \((-\pi /2,\pi /2)\), intervalo em que ela é estritamente crescente e assume todos os valores reais:

Em ambos os casos, como no par seno/arco-seno mostrado acima, o gráfico da função inversa é o reflexo do gráfico da função restringida em relação à reta \(y=x\).

O arco-cosseno é estritamente decrescente em \([-1,1]\), indo de \(\pi \) a \(0\). O arco-tangente é estritamente crescente em \(\mathbb {R}\), mas seus valores permanecem em \((-\pi /2,\pi /2)\). Quando \(x\) cresce sem limite, \(\operatorname {arctg}x\) se aproxima de \(\pi /2\); quando \(x\) decresce sem limite, aproxima-se de \(-\pi /2\). Portanto, \(y=\pi /2\) e \(y=-\pi /2\) são suas assíntotas horizontais, como mostra a Figura 5.15.

Figura não resolvida: figuras/revisao-editorial-20261017/cap5-arccos-arctg.tex

Também usaremos as inversas da secante, da cossecante e da cotangente. Para \(|x|\geq 1\), fixamos as convenções

A arco-cotangente \(\operatorname {arccotg}:\mathbb {R}\to (0,\pi )\) é a inversa da restrição de \(\operatorname {cotg}\) a \((0,\pi )\). Com essas escolhas, as imagens de \(\operatorname {arcsec}\) e \(\operatorname {arccossec}\) são, respectivamente, \([0,\pi ]\setminus \{ \pi /2\} \) e \([-\pi /2,\pi /2]\setminus \{ 0\} \); a imagem de \(\operatorname {arccotg}\) é \((0,\pi )\). Essas convenções serão usadas no estudo das derivadas.

As restrições impedem que a inversa devolva um ângulo fora do intervalo escolhido. Por exemplo, \(5\pi /6\) tem seno \(1/2\), mas

É o mesmo cuidado com o domínio que apareceu em \(\sqrt{x^2}=|x|\). Inverter uma função também não significa tomar seu recíproco: \(\operatorname {arcsen}x\) não é \(1/\operatorname {sen}x\).

Exercício 5.66

Indique domínio e imagem de \(\operatorname {arcsen}\), \(\arccos \) e \(\operatorname {arctg}\).

Ver solução

\[ \operatorname {Dom}(\operatorname {arcsen})=\operatorname {Dom}(\arccos )=[-1,1], \]

\[ \operatorname {Im}(\operatorname {arcsen})=[-\pi /2,\pi /2], \qquad \operatorname {Im}(\arccos )=[0,\pi ], \]

\[ \operatorname {Dom}(\operatorname {arctg})=\mathbb {R}, \qquad \operatorname {Im}(\operatorname {arctg})=(-\pi /2,\pi /2). \]

Exercício 5.67

Explique por que \(\operatorname {arcsen}x\) não significa \(1/\operatorname {sen}x\) e dê o nome da função \(1/\operatorname {sen}x\).

Ver solução

\(\operatorname {arcsen}\) é a função inversa de uma restrição do seno; \(1/\operatorname {sen}x\) é a cossecante. Inversa e recíproco são operações diferentes.

Exercício 5.68

Calcule

\[ \operatorname {arcsen}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right), \qquad \arccos \left(-\frac12\right), \qquad \operatorname {arctg}(-1). \]

Ver solução

\[ \frac\pi 3,\qquad \frac{2\pi }{3},\qquad -\frac\pi 4. \]

Exercício 5.69

Calcule

\[ \operatorname {sen}\left(\arccos \frac35\right). \]

Ver solução

Se \(\theta =\arccos (3/5)\), então \(\theta \in [0,\pi ]\) e \(\cos \theta =3/5\). Como o cosseno é positivo, \(\theta \) está no primeiro quadrante. Pela identidade pitagórica,

\[ \operatorname {sen}\theta =\frac45. \]

Exercício 5.70

Calcule

\[ \operatorname {arctg}\left(\operatorname {tg}\frac{3\pi }{4}\right). \]

Ver solução

Como \(\operatorname {tg}(3\pi /4)=-1\) e a imagem de \(\operatorname {arctg}\) é \((-\pi /2,\pi /2)\),

\[ \operatorname {arctg}(-1)=-\frac\pi 4. \]

Exercício 5.71

Determine o domínio da função

\[ f(x)=\operatorname {arcsen}(2x-1). \]

Ver solução

É necessário

\[ -1\leq 2x-1\leq 1, \]

o que equivale a

\[ 0\leq x\leq 1. \]

Logo, \(\operatorname {Dom}f=[0,1]\).

Exercício 5.72 (Outra restrição, outra inversa)

A função seno é bijetora de \([-\pi /2,\pi /2]\) em \([-1,1]\), mas também é bijetora de \([\pi /2,3\pi /2]\) nesse mesmo intervalo de valores. Os painéis mostram as duas restrições.

1. Para a segunda restrição, qual é o valor da inversa em \(1/2\)? Por que \(\operatorname {arcsen}(1/2)\) não fornece essa resposta?

2. Escreva a inversa da segunda restrição em termos do arco-seno principal e indique seu domínio e sua imagem.

Ver solução

a) O valor é \(5\pi /6\). O arco-seno principal devolve \(\pi /6\), que não pertence ao intervalo da segunda restrição. b) A inversa é \(G(u)=\pi -\operatorname {arcsen} u\), com domínio \([-1,1]\) e imagem \([\pi /2,3\pi /2]\). De fato, \(\operatorname {sen}(\pi -\operatorname {arcsen} u)=u\), e a fórmula escolhe precisamente o ramo exigido.

Exercício 5.73 (A mesma margem de erro, ângulos diferentes)

Um ângulo \(\theta \in [0,\pi ]\) é estimado a partir da leitura de \(c=\cos \theta \). Em um ensaio, sabe-se apenas que \(c\in [-1/2,1/2]\); em outro, que \(c\in [0,1]\). Os dois intervalos de leituras têm comprimento \(1\).

1. Determine o intervalo de ângulos compatível com cada ensaio. Explique a inversão da ordem dos extremos.

2. Compare os comprimentos dos dois intervalos angulares. É correto converter toda incerteza na leitura do cosseno em incerteza angular usando um único fator constante?

Ver solução

a) Os intervalos são \([\pi /3,2\pi /3]\) e \([0,\pi /2]\), respectivamente. O arco-cosseno é decrescente, por isso o maior cosseno corresponde ao menor ângulo. b) Os comprimentos são \(\pi /3\) e \(\pi /2\). Portanto, intervalos iguais na leitura podem produzir incertezas angulares diferentes; não há um fator constante válido em toda a faixa.

Exercício 5.74

Determine as expressões nos intervalos indicados e justifique as escolhas de sinal e de ramo.

1. \(\arccos (\cos x)\) para \(\pi \leq x\leq 3\pi \).

2. \(\operatorname {arctg}(\operatorname {tg}x)\) para \(-3\pi /2\lt x\lt -\pi /2\).

3. \(\operatorname {sen}(\arccos x)\) e \(\cos (\operatorname {arcsen}x)\) para \(-1\leq x\leq 1\).

Ver solução

No primeiro item, a expressão é \(2\pi -x\) em \([\pi ,2\pi ]\) e \(x-2\pi \) em \([2\pi ,3\pi ]\). No segundo, é \(x+\pi \), que pertence a \((-\pi /2,\pi /2)\). No terceiro, ambas são \(\sqrt{1-x^2}\): o seno é não negativo em \([0,\pi ]\), e o cosseno é não negativo em \([-\pi /2,\pi /2]\).

Exercício 5.75 (A soma das arco-tangentes)

1. Deduza das fórmulas de adição

   \[ \operatorname {tg}(a+b)=\frac{\operatorname {tg}a+\operatorname {tg}b}{1-\operatorname {tg}a\, \operatorname {tg}b}, \]

   indicando as condições para que os termos estejam definidos.

2. Mostre que

   \[ \operatorname {arctg}\frac12+\operatorname {arctg}\frac13=\frac\pi 4. \]

   Por que não basta calcular apenas a tangente da soma?

3. Mostre, da mesma maneira, que

   \[ \operatorname {arctg}2+\operatorname {arctg}3=\frac{3\pi }4. \]

   Por que o resultado não é \(-\pi /4\)?

Ver solução

1. Divide-se numerador e denominador de \(\operatorname {sen}(a+b)/\cos (a+b)\) por \(\cos a\cos b\). É necessário que \(\cos a\ne 0\), \(\cos b\ne 0\) e \(1-\operatorname {tg}a\, \operatorname {tg}b\ne 0\).

2. A tangente da soma é

   \[ \frac{1/2+1/3}{1-(1/2)(1/3)}=1. \]

   As duas arco-tangentes pertencem a \((0,\pi /4)\), logo sua soma pertence a \((0,\pi /2)\). Nesse intervalo, o único ângulo de tangente \(1\) é \(\pi /4\).

3. Agora, a tangente da soma é

   \[ \frac{2+3}{1-2\cdot 3}=-1. \]

   Como \(\operatorname {arctg}2,\operatorname {arctg}3\in (\pi /4,\pi /2)\), a soma pertence a \((\pi /2,\pi )\). Nesse intervalo, o único ângulo de tangente \(-1\) é \(3\pi /4\). A escolha do ramo exclui \(-\pi /4\).

Exercício 5.76

\(\star \) Considere

\[ H(x)=\arccos \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right). \]

1. Mostre que o argumento do arco-cosseno pertence a \((-1,1]\) para todo \(x\in \mathbb {R}\) e determine o domínio de \(H\).

2. Tome \(\theta =\operatorname {arctg}|x|\). Determine o intervalo de \(2\theta \) e use a fórmula do cosseno do ângulo duplo para calcular \(\cos (2\theta )\).

3. Conclua que \(H(x)=2\operatorname {arctg}|x|\) e determine a imagem de \(H\).

Ver solução

O quociente é \(1-2x^2/(1+x^2)\leq 1\) e, ao somarmos \(1\) a ele, obtemos \(2/(1+x^2)\gt 0\). Portanto, \(\operatorname {Dom}H=\mathbb {R}\). Como \(0\leq \theta \lt \pi /2\), temos \(0\leq 2\theta \lt \pi \) e

\[ \cos (2\theta ) =\frac{1-\operatorname {tg}^2\theta }{1+\operatorname {tg}^2\theta } =\frac{1-x^2}{1+x^2}. \]

O ângulo \(2\theta \) já está no intervalo principal do arco-cosseno, logo \(H(x)=2\operatorname {arctg}|x|\). A imagem é \([0,\pi )\); o valor \(\pi \) não é atingido.

5.9 Modelos geométricos

Uma altura ou distância que não podemos medir diretamente pode ser determinada a partir de medidas conhecidas. As razões trigonométricas permitem obter comprimentos em triângulos retângulos (Seção 5.1), e as funções inversas permitem recuperar ângulos a partir das razões entre os lados (Seção 5.8). Um desenho com as medidas disponíveis ajuda a identificar o triângulo e escolher a relação adequada.

Exercício 5.77

Uma escada de \(6\) m está apoiada numa parede vertical e forma um ângulo de \(65^\circ \) com o chão. A que altura a escada toca a parede?

Ver solução

\[ h=6\operatorname {sen}65^\circ \approx 5{,}44\text{ m}. \]

Exercício 5.78

Uma rampa sobe \(1{,}2\) m ao longo de um deslocamento horizontal de \(8\) m. Determine o ângulo que a rampa forma com a horizontal.

Ver solução

Se \(\theta \) é o ângulo,

\[ \operatorname {tg}\theta =\frac{1{,}2}{8}=0{,}15, \]

portanto

\[ \theta =\operatorname {arctg}(0{,}15)\approx 8{,}53^\circ . \]

Exercício 5.79

Uma árvore projeta uma sombra de \(14\) m quando o ângulo de elevação do Sol é \(38^\circ \). Estime a altura da árvore em terreno horizontal.

Ver solução

\[ H=14\operatorname {tg}38^\circ \approx 10{,}94\text{ m}. \]

Exercício 5.80

Um observador está a \(40\) m da base de uma torre. O ângulo de elevação até o topo é \(37^\circ \), e seus olhos estão a \(1{,}7\) m do chão. Estime a altura da torre, explicitando o modelo geométrico empregado.

Ver solução

No modelo de terreno horizontal e prédio vertical,

\[ H=1{,}7+40\operatorname {tg}37^\circ \approx 31{,}8\, \mathrm m. \]

Exercício 5.81

Para \(a\gt 0\), um pêndulo de comprimento \(a\) é afastado de um ângulo \(\theta \) da vertical, como na figura.

Obtenha a elevação vertical da massa em relação à posição mais baixa e indique um domínio adequado para \(\theta \) em uma oscilação sem voltas completas.

Ver solução

A projeção vertical do fio mede \(a\cos \theta \); portanto, a elevação é \(h=a-a\cos \theta =a(1-\cos \theta )\). Um domínio adequado é \(-\pi \lt \theta \lt \pi \); em uma oscilação de amplitude \(\theta _0\lt \pi \), pode-se usar \([-\theta _0,\theta _0]\).

Exercício 5.82

Após a decolagem, um avião sobe em linha reta, formando um ângulo de \(20^\circ \) com a horizontal, com velocidade constante de \(60\, \mathrm{m/s}\). Quanto tempo leva para ganhar \(3000\, \mathrm m\) de altitude em relação ao ponto de decolagem?

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A componente vertical da velocidade é \(60\operatorname {sen}20^\circ \, \mathrm{m/s}\). Assim,

\[ t=\frac{3000}{60\operatorname {sen}20^\circ } \approx 146\ \text{segundos}, \]

ou aproximadamente \(2{,}44\) minutos.

Exercício 5.83

Um observador está no ponto \(A\), em uma das margens retas de um rio de \(300\, \mathrm m\) de largura. Quando vê pela primeira vez uma corredora na margem oposta, a linha de visão forma um ângulo de \(30^\circ \) com a margem. Um minuto depois, esse ângulo é de \(40^\circ \). Supondo que ela corra em linha reta, com velocidade constante e na direção indicada, determine sua velocidade.

Ver solução

Se \(N\) é o pé da perpendicular traçada de \(A\) à margem oposta, então

\[ NP_0=300\operatorname {cotg}30^\circ , \qquad NP_1=300\operatorname {cotg}40^\circ . \]

Em um minuto, a corredora percorre

\[ 300\bigl(\operatorname {cotg}30^\circ -\operatorname {cotg}40^\circ \bigr) \approx 162{,}1\, \mathrm m. \]

Sua velocidade é, portanto, aproximadamente \(162\, \mathrm{m/min}\), ou \(2{,}70\, \mathrm{m/s}\).

Exercício 5.84 (O ângulo ocupado por uma faixa)

Uma faixa vertical ocupa, numa parede, as alturas de \(1\) a \(3\) metros acima da linha horizontal dos olhos de um observador. Ele está a uma distância horizontal de \(x\) metros da parede, com \(x\gt 0\). O ângulo visual \(\theta \) é o ângulo entre as linhas de visão para as duas extremidades. A figura é esquemática.

1. Justifique a fórmula \(\theta (x)=\operatorname {arctg}(3/x)-\operatorname {arctg}(1/x)\). Por que \(\operatorname {arctg}(2/x)\) não representa, em geral, esse ângulo?

2. Calcule \(\theta (\sqrt3)\). Mostre também que \(\theta (1)=\theta (3)\) e interprete essa igualdade: uma distância menor sempre produz um ângulo visual maior?

Ver solução

a) As duas inclinações em relação à horizontal são \(\operatorname {arctg}(3/x)\) e \(\operatorname {arctg}(1/x)\); o ângulo entre elas é a diferença. A fórmula com \(2/x\) colocaria a extremidade inferior na linha horizontal dos olhos, alterando a geometria. b) \(\theta (\sqrt3)=\pi /3-\pi /6=\pi /6\). Como \(\operatorname {arctg}3+\operatorname {arctg}(1/3)=\pi /2\), temos \(\theta (1)=\operatorname {arctg}3-\pi /4=\pi /4-\operatorname {arctg}(1/3)=\theta (3)\). Assim, diminuir a distância não garante aumentar o ângulo.

A circunferência unitária permitiu estender as razões do triângulo a funções reais; seus gráficos, identidades e inversas tornaram possível construir e interpretar modelos. Resta sistematizar como encontrar todos os valores que satisfazem uma condição nesses modelos. Esse é o objetivo do próximo capítulo, que reúne as equações e inequações das famílias de funções já estudadas.