Funções e gráficos
É preciso medir tudo o que é mensurável e tentar tornar mensurável o que não o é diretamente.
2.1 Pares ordenados e o plano cartesiano
O plano cartesiano traduz relações numéricas em relações geométricas. Nele, uma equação pode descrever uma curva, uma desigualdade pode selecionar uma região e, mais adiante, uma função será representada por um conjunto de pontos. Para usar essa linguagem com precisão, começamos pelos pares ordenados.
Pares ordenados e produto cartesiano
Um par ordenado \((a,b)\) registra dois elementos numa ordem determinada: \(a\) é a primeira componente e \(b\) é a segunda. Em geral, \((a,b)\ne (b,a)\). Mais precisamente,
Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), seu produto cartesiano é o conjunto de todos os pares cuja primeira componente pertence a \(A\) e cuja segunda pertence a \(B\):
Coordenadas
O produto \(\mathbb {R}\times \mathbb {R}\), também escrito \(\mathbb {R}^2\), pode ser representado geometricamente pelo plano cartesiano. No ponto \(P=(x,y)\), o número \(x\) é a abscissa e determina a posição horizontal; o número \(y\) é a ordenada e determina a posição vertical. O ponto \((0,0)\) é a origem.
Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes. Pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante.
| Quadrante | sinal de $x$ | sinal de $y$ |
|---|---|---|
| I | positivo | positivo |
| II | negativo | positivo |
| III | negativo | negativo |
| IV | positivo | negativo |
Distância entre dois pontos
Se \(P=(x_1,y_1)\) e \(Q=(x_2,y_2)\), as diferenças horizontal e vertical são \(x_2-x_1\) e \(y_2-y_1\). Pelo teorema de Pitágoras, a distância entre os pontos é
Os módulos \(|x_2-x_1|\) e \(|y_2-y_1|\) são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo; a fórmula não precisa, portanto, ser memorizada como uma regra isolada.
Como ler regiões do plano?
Uma condição envolvendo \(x\) e \(y\) seleciona os pontos cujas coordenadas a satisfazem. A igualdade costuma descrever uma fronteira; uma desigualdade indica um dos lados ou uma região interior ou exterior.
| Condição | região correspondente |
|---|---|
| $x>1$ | à direita da reta vertical $x=1$ |
| $y\leq2$ | abaixo da reta horizontal $y=2$, incluindo a reta |
| $y>x$ | acima da reta $y=x$ |
| $x^2+y^2<4$ | interior do círculo de centro $(0,0)$ e raio $2$ |
Quando há mais de uma condição, procuramos sua interseção. Por exemplo,
é a parte do plano situada à direita do eixo \(y\), incluindo esse eixo, entre as retas horizontais \(y=-1\) e \(y=2\). A reta \(y=-1\) não pertence à região; as retas \(x=0\) e \(y=2\) pertencem. A mesma região pode ser escrita de forma compacta como
Liste os elementos de \(A\times B\). Liste os elementos de \(B\times A\). Os dois produtos são iguais? \(A\times B=\{ (0,-1),(0,2),(1,-1),(1,2)\} \). \(B\times A=\{ (-1,0),(-1,1),(2,0),(2,1)\} \). Não. A ordem dos conjuntos determina a ordem das componentes. Em que quadrante está cada ponto? Calcule \(d(P,Q)\). \(P\) está no segundo quadrante e \(Q\), no quarto. \(d(P,Q)=\sqrt{(1+2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{9+16}=5\).
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2.2 O conceito de função
Os números reais permitem descrever grandezas; as funções descrevem como uma grandeza depende de outra. O volume de um gás, por exemplo, pode variar com a temperatura e a pressão, enquanto a posição de um corpo pode variar com o tempo. Essa linguagem de dependências faz das funções um dos conceitos centrais da Matemática e a base sobre a qual construiremos o Cálculo.
Uma função possui, portanto, três ingredientes: domínio, contradomínio e regra de associação. Alterar qualquer um deles pode alterar a função. Neste livro estudaremos principalmente funções reais de uma variável real, isto é, funções cujos domínios e contradomínios são subconjuntos de \(\mathbb {R}\).
Adotaremos as convenções
Também escreveremos \(\left[\! \left[x\right]\! \right]\) para a parte inteira, ou função piso, de \(x\), isto é, o maior inteiro menor ou igual a \(x\):
Embora fórmulas sejam uma maneira particularmente útil de descrever funções, elas não são a única. Uma função também pode ser especificada por uma tabela, por um gráfico, por uma definição em casos ou por um procedimento que determine univocamente cada valor.
\(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\), dada por \(f(x)=x^2\);
\(g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}_+\), dada por \(g(x)=x^2\);
\(h:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\), dada por
\[ h(x)= \begin{cases} 1,& x\in \mathbb {Q},\\ -1,& x\in \mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}; \end{cases} \]\(u(x)=\dfrac {x^3+5x+6}{x^2-1}\), sem domínio indicado explicitamente.
As funções \(f\) e \(g\) possuem a mesma expressão e o mesmo domínio, mas contradomínios diferentes; por isso, não são iguais. Em ambos os casos, os valores efetivamente assumidos formam o conjunto \(\mathbb {R}_+\).
A função \(h\), conhecida como função de Dirichlet, possui imagem \(\{ -1,1\} \). Sua regra está bem definida, embora decidir o valor de \(h\) em um número apresentado de maneira complicada possa exigir saber se esse número é racional ou irracional.
No último item, a expressão somente representa um número real quando \(x^2-1\neq 0\). Pela convenção usual, o domínio de \(u\) é, portanto, \(\mathbb {R}\setminus \{ -1,1\} \).
Uma função não precisa ser descrita por uma fórmula algébrica. A função de Euler
associa a \(n\) a quantidade de inteiros positivos menores que \(n\) e coprimos com ele. Por exemplo, \(\phi (2)=1\) e \(\phi (3)=\phi (4)=\phi (6)=2\). A regra é um procedimento aritmético inequívoco, e isso basta para definir uma função.
Além da imagem de um ponto, interessa-nos acompanhar conjuntos inteiros. Se \(f:A\to B\) e \(X\subset A\), definimos a imagem de \(X\) por \(f\) por
Em particular, o conjunto imagem de \(f\) é
Observe que \(\operatorname {Im}f\subset B\), mas a igualdade não é automática.
O caminho inverso parte de um conjunto do contradomínio. Se \(Y\subset B\), a pré-imagem de \(Y\) é
Para um único valor \(y\in B\), escrevemos
O símbolo \(f^{-1}\) também será usado para funções inversas. O contexto distingue os dois significados: em \(f^{-1}(Y)\), o argumento é um conjunto e estamos tomando uma pré-imagem; em \(f^{-1}(y)\), quando a função inversa existir, o argumento será um elemento.
\(\dfrac {x+1}{x^2-4}\). \(\sqrt{3-x}\). \(\dfrac {1}{\sqrt{x-2}}\). \(\dfrac {\sqrt{x}}{x-1}\). \(\mathbb {R}\setminus \{ -2,2\} \). \((-\infty ,3]\). \((2,+\infty )\): como a raiz está no denominador, é necessário \(x-2\gt 0\). \([0,1)\cup (1,+\infty )\).
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2.3 Gráficos de funções
O gráfico reúne, numa única representação, os valores de entrada e as imagens produzidas por uma função. Ele registra geometricamente a dependência entre esses valores.
Para cada \(x\in A\), há exatamente um ponto do gráfico com abscissa \(x\). Essa observação fornece o teste da reta vertical: um subconjunto do plano representa o gráfico de uma função de \(x\) quando nenhuma reta vertical o encontra em mais de um ponto. Se uma reta vertical encontra a figura duas vezes, a mesma entrada teria duas imagens.
Uma formulação em pares ordenados
Uma relação entre \(A\) e \(B\) é qualquer subconjunto de \(A\times B\). Ela é uma função de \(A\) em \(B\) exatamente quando, para todo \(x\in A\), existe um único \(y\in B\) tal que \((x,y)\) pertence à relação. Assim,
não define uma função de \(\{ 1,2,3\} \) em \(\{ u,v\} \): o elemento \(2\) aparece com duas segundas componentes, e o elemento \(3\) não aparece com nenhuma. Essa formulação é equivalente à definição anterior de função; ela apenas explicita a regra como um conjunto de pares.
O que se lê em um gráfico
O ponto \((a,f(a))\) permite ler o valor \(f(a)\). As interseções com o eixo horizontal correspondem aos zeros da função; os trechos acima e abaixo desse eixo indicam, respectivamente, onde \(f(x)\gt 0\) e onde \(f(x)\lt 0\). A projeção do gráfico sobre o eixo horizontal fornece o domínio, e a projeção sobre o eixo vertical fornece a imagem. Essas leituras dependem sempre dos pontos que efetivamente pertencem ao gráfico, inclusive nas extremidades de intervalos.
\(f:[-1,2] \to \mathbb {R}\), \(f(x)=x^{2}\)
Figura 2.5 Gráfico de \(f(x)=x^2\) com domínio restrito a \([-1,2]\). \(g:\mathbb {Z}\to \mathbb {N}\), \(g(n)=|n|\)
Figura 2.6 Gráfico discreto de \(g(n)=|n|\). \(h:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\), dada por
\[ h(x)= \begin{cases} -x,& x\leq -1,\\ 1,& -1\lt x\leq 1,\\ 2-x,& x\gt 1. \end{cases} \]
Figura 2.7 Gráfico da função \(h\) definida por partes.
Comparar dois gráficos no mesmo plano também permite localizar soluções de equações e desigualdades. Uma interseção de abscissa \(a\) representa \(f(a)=g(a)\). Para uma mesma abscissa \(b\), se o ponto do gráfico de \(g\) está acima do ponto do gráfico de \(f\), então \(g(b)\gt f(b)\). 
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2.4 Operações e composição
A maior parte das funções elementares pode ser construída a partir de famílias simples por meio de soma, produto, quociente e composição. Ao realizar essas operações, porém, é preciso acompanhar os domínios.
Sejam \(f:D_f\to \mathbb {R}\) e \(g:D_g\to \mathbb {R}\). A soma e o produto são definidos no domínio comum \(D_f\cap D_g\) por
O quociente possui a restrição adicional de que o denominador não se anule:
Se \(\alpha \in \mathbb {R}\), definimos ainda \((\alpha f)(x)=\alpha f(x)\) em \(D_f\). Esse produto pode ser visto como o produto de \(f\) pela função constante de valor \(\alpha \).
As propriedades algébricas dos números passam ponto a ponto para as funções, sempre que os dois membros estejam definidos no mesmo domínio.
A composição encadeia duas dependências. Se \(g:A\to B\) e \(f:B\to C\), definimos
A ordem importa: primeiro aplicamos \(g\) e depois \(f\). 
Trocar a ordem pode alterar tanto a expressão quanto o domínio, como mostram os exemplos seguintes.
Se \(f(x)=\sqrt{x}\) e \(g(x)=x^{2}\), então \(\operatorname {Dom}f = \mathbb {R}_{+}\), \(\operatorname {Dom}g=\mathbb {R}\) e:
\(\operatorname {Dom}(f \circ g)=\mathbb {R}\) e \((f \circ g)(x)=|x|\)
\(\operatorname {Dom}(g \circ f)=\mathbb {R}_{+}\) e \((g \circ f)(x)=x\)
Se \(f(x)=1/x\) e \(g(x)=\sqrt{1-x}\), então \(\operatorname {Dom}f = \mathbb {R}^{*}\), \(\operatorname {Dom}g=(-\infty , 1]\) e:
\(\operatorname {Dom}(f \circ g)=(-\infty ,1)\) e \((f \circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\)
\(\operatorname {Dom}(g \circ f)=(-\infty ,0) \cup [1,+\infty )\) e \((g \circ f)(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x}}\)
Na primeira ordem,
São necessárias duas condições: \(x\neq -1\), para que \(g(x)\) exista, e \(g(x)\geq 0\), para que seja possível aplicar a raiz quadrada. O numerador muda de sinal em \(2\) e o denominador em \(-1\). O quociente é positivo para \(x\lt -1\) e para \(x\gt 2\), negativo entre \(-1\) e \(2\), e nulo em \(2\). Consequentemente,
O ponto \(2\) é incluído porque a raiz de zero existe; \(-1\) continua excluído porque anula o denominador.
Na ordem contrária,
Primeiro precisamos de \(x\geq 0\). A condição seguinte seria \(\sqrt x\neq -1\), mas ela é automaticamente satisfeita: uma raiz quadrada real é não negativa. Portanto,
Por exemplo, \(x=-2\) é permitido na primeira composição e não na segunda; já \(x=0\) é permitido na segunda e não na primeira.
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Determine dois pontos do gráfico de \(f\circ g\).
Calcule \(g(f(1))\) e \(g(f(3))\).
Use \(x=1\) para mostrar que as composições são diferentes, sem supor uma fórmula para \(f\).
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Escreva \(H\) como composição de \(u(x)=2x-1\), \(v(t)=4-t^2\) e uma terceira função \(w\).
Determine seu domínio, acompanhando as três etapas.
Determine sua imagem.
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\(f(x)=x\)
\(f(x)=3x+4\)
\(f(x)=x^2\)
\(f(x)=5x^2+1\)
\(f(x)=x^2-x\)
\(f(x)=x^3+x^2\)
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\(f(x+2)=x+2\), \(f(-x)=-x\), \(f(x+h)=x+h\); o quociente incremental é \(1\).
\(f(x+2)=3x+10\), \(f(-x)=4-3x\), \(f(x+h)=3x+3h+4\); o quociente incremental é \(3\).
\(f(x+2)=x^2+4x+4\), \(f(-x)=x^2\), \(f(x+h)=(x+h)^2\); o quociente incremental é \(2x+h\).
\(f(x+2)=5x^2+20x+21\), \(f(-x)=5x^2+1\), \(f(x+h)=5(x+h)^2+1\); o quociente incremental é \(10x+5h\).
\(f(x+2)=x^2+3x+2\), \(f(-x)=x^2+x\), \(f(x+h)=(x+h)^2-(x+h)\); o quociente incremental é \(2x+h-1\).
\(f(x+2)=x^3+7x^2+16x+12\), \(f(-x)=-x^3+x^2\), \(f(x+h)=(x+h)^3+(x+h)^2\); o quociente incremental é \(3x^2+3xh+h^2+2x+h\).
2.5 Propriedades qualitativas
Uma fórmula informa como calcular valores; as propriedades qualitativas descrevem o comportamento global da função. Entre as mais importantes estão a monotonicidade e a maneira como domínio, imagem e contradomínio se correspondem.
2.5.1 Crescimento e decrescimento
Para funções reais, podemos investigar como as imagens se comportam quando a variável aumenta. Essa relação entre as ordens no domínio e na imagem é descrita pelas noções de crescimento e decrescimento:
\(f\) é crescente em \(A\) se, para todo \(a,b \in A\) com \(a\lt b\), resulta \(f(a)\lt f(b)\).
\(f\) é não decrescente em \(A\) se, para todo \(a,b \in A\) com \(a\lt b\), resulta \(f(a)\leq f(b)\).
\(f\) é decrescente em \(A\) se, para todo \(a,b \in A\) com \(a\lt b\), resulta \(f(a)\gt f(b)\).
\(f\) é não crescente em \(A\) se, para todo \(a,b \in A\) com \(a\lt b\), resulta \(f(a)\geq f(b)\).
A função identidade é crescente em \(\mathbb {R}\).
A função \(x^2\) é decrescente em \(\mathbb {R}_{-}\) e crescente em \(\mathbb {R}_{+}\).
A função \(\left[\! \left[x\right]\! \right]\) é não decrescente em \(\mathbb {R}\). A mesma função é crescente em \(\mathbb {Z}\).
2.5.2 Injetividade e sobrejetividade
Dada uma função \(f:A\to B\), podemos fazer duas perguntas distintas. Valores diferentes do domínio podem produzir a mesma imagem? Todo elemento do contradomínio é atingido? As noções de injetividade e sobrejetividade respondem, respectivamente, a essas perguntas.
| Função | Injetora? | Sobrejetora? |
|---|---|---|
| $\bbR\to\bbR$ | não | não |
| $\bbR\to[0,+\infty)$ | não | sim |
| $[0,+\infty)\to\bbR$ | sim | não |
| $[0,+\infty)\to[0,+\infty)$ | sim | sim |
No gráfico, a injetividade pode ser reconhecida pelo teste da reta horizontal: uma função é injetora quando nenhuma reta horizontal encontra seu gráfico em mais de um ponto. O teste apenas traduz geometricamente o fato de que uma mesma imagem não pode provir de duas entradas distintas.
Quando uma função é bijetora, cada elemento do contradomínio corresponde a exatamente um elemento do domínio. Podemos então inverter a associação.
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\(R=\{ (e,1), (o,2)\} \)
\(R=\{ (a,1), (e,1), (i,1), (o,2), (u,2)\} \)
\(R=\{ (a,1), (e,2), (i,3), (o,4), (u,5)\} \)
\(R=\{ (a,1), (e,1), (e,2), (i,1), (u,2), (u,5)\} \)
\(R=\{ (a,3), (e,3), (i,3), (o,3), (u,3)\} \)
\(R=\{ (a,1), (e,3), (i,3), (o,2), (u,2)\} \)
\(R=\{ (a,2), (e,1), (i,4), (o,5), (u,3)\} \)
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Não: faltam imagens para \(a\), \(i\) e \(u\).
Sim: cada elemento de \(A\) aparece exatamente uma vez como primeira coordenada.
Sim, pelo mesmo motivo.
Não: \(e\) e \(u\) têm duas imagens, e \(o\) não tem imagem.
Sim: todos os elementos de \(A\) têm imagem \(3\).
Sim: cada elemento de \(A\) tem uma única imagem.
Sim: cada elemento de \(A\) tem uma única imagem.
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Se existe uma função injetora \(f:A \to B\), então \(B\) possui pelo menos \(n\) elementos.
Se existe uma função sobrejetora \(f:A \to B\), então \(B\) possui no máximo \(n\) elementos.
Conclua, das afirmações acima, a seguinte propriedade: dois conjuntos finitos 2 possuem o mesmo número de elementos se, e somente se, existe uma função bijetora entre tais conjuntos.
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Se \(f\) é injetora, os \(n\) elementos distintos de \(A\) têm \(n\) imagens distintas em \(B\). Logo, \(B\) tem pelo menos \(n\) elementos.
Se \(f\) é sobrejetora, \(B=f(A)\). Uma lista de \(n\) imagens contém no máximo \(n\) valores distintos, logo \(B\) tem no máximo \(n\) elementos.
Uma bijeção implica as duas desigualdades, portanto as cardinalidades são iguais. Reciprocamente, se \(A=\{ a_1,\ldots ,a_n\} \) e \(B=\{ b_1,\ldots ,b_n\} \), a regra \(f(a_i)=b_i\) define uma bijeção. Para os dois conjuntos vazios, a função vazia é bijetora.
Se \(A=\{ 1,2,3,4,5,6,7\} \) e \(f:A\to A\) é dada por
\[ f(x)= \begin{cases} x,& \text{se $x$ é ímpar},\\ x/2,& \text{se $x$ é par}. \end{cases} \]Se \(A=\{ 1,2,3,4,5,6,7\} \) e \(g :A \rightarrow A\) dada por:
\[ g(x)=\begin{cases} x+1,& x\neq 7,\\ 1,& x=7. \end{cases} \]\(f : \mathbb {N}\rightarrow \mathbb {N}\), \(f(n)=3n+1\).
\(f : \mathbb {Z}\rightarrow \mathbb {Z}\), \(f(n)=n - \lvert n\rvert \).
\(f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)=ax+b\) com \(a\neq 0\).
\(f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)=2x^{2}\) .
\(f : (0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)=\dfrac {1}{x}\).
\(f : \mathbb {R}^{*} \rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)=\dfrac {1}{x^2}\).
\(f : [0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)=\sqrt{x}\).
\(f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\times \mathbb {R}\), \(f(x)= (x,x)\).
\(f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\times \mathbb {R}\), \(f(x)= (x,\lvert x\rvert )\).
\(f : \mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x,y)= x-\lvert y\rvert \).
\(f : \mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\times \mathbb {R}\), \(f(x,y)= (x, y^{3})\).
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Não é injetora, pois \(f(1)=f(2)=1\), nem sobrejetora: a imagem é \(\{ 1,2,3,5,7\} \).
É bijetora: \(g\) permuta ciclicamente os sete elementos, com \(g(7)=1\) e \(g(k)=k+1\) para \(1\leq k\leq 6\).
É injetora, pois \(3n+1=3m+1\) implica \(n=m\). Não é sobrejetora: \(0\) não pertence à imagem.
Não é injetora, pois todos os inteiros não negativos têm imagem zero. Não é sobrejetora: a imagem é \(\{ 0,-2,-4,\ldots \} \).
É bijetora, com inversa \(y\mapsto (y-b)/a\).
Não é injetora, pois \(f(1)=f(-1)\), nem sobrejetora, pois a imagem é \([0,\infty )\).
É injetora, mas não sobrejetora em \(\mathbb {R}\): a imagem é \((0,\infty )\).
Não é injetora, pois \(f(1)=f(-1)\), nem sobrejetora: a imagem é \((0,\infty )\).
É injetora, mas não sobrejetora em \(\mathbb {R}\): a imagem é \([0,\infty )\).
É injetora; não é sobrejetora, pois a imagem é a diagonal \(\{ (t,t):t\in \mathbb {R}\} \).
É injetora pela primeira coordenada; não é sobrejetora, pois a imagem é \(\{ (t,|t|):t\in \mathbb {R}\} \).
É sobrejetora, pois \(f(z,0)=z\) para todo \(z\in \mathbb {R}\). Não é injetora: \(f(0,0)=f(1,1)=0\).
É bijetora, com inversa \((u,v)\mapsto (u,\sqrt[3]{v})\).
\(f : \mathbb {N}\rightarrow \mathbb {N}\), \(f(n)=3n+1\).
\(f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)= x-\lvert (x+2)^{2}-1\rvert \).
\(f : [0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)= \sqrt{x+1}-\sqrt{x}\).
\(f : \mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x,y)= x-\lvert y\rvert \).
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\(\varnothing \), \(\{ 0\} \) e \(\varnothing \).
\(\varnothing \), \(\varnothing \) e \(\varnothing \). De fato,
\[ f(x)=\begin{cases} x^2+5x+3,& -3\leq x\leq -1,\\ -x^2-3x-3,& x\leq -3\text{ ou }x\geq -1,\end{cases} \]e em todos esses intervalos \(f(x)\leq -1\). No intervalo central, \(f(x)+1=(x+1)(x+4)\leq 0\); fora dele, \(f(x)+1=-(x+1)(x+2)\leq 0\).
\(\varnothing \), \(\{ 0\} \) e \(\varnothing \), pois
\[ f(x)=\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}\in (0,1], \]e o valor \(1\) só é atingido em \(x=0\).
\(\{ (|t|,t):t\in \mathbb {R}\} \), \(\{ (1+|t|,t):t\in \mathbb {R}\} \) e \(\{ (2+|t|,t):t\in \mathbb {R}\} \).
2.6 Função inversa
Inverter uma função significa recuperar a entrada a partir da saída. Para que isso seja possível em todo o contradomínio, duas condições são necessárias: saídas iguais não podem provir de entradas diferentes, e todo elemento do contradomínio precisa ser atingido. Essas são precisamente a injetividade e a sobrejetividade.
Quando \(C\subset A\), a função
é a restrição de \(f\) a \(C\). Restringir o domínio pode eliminar repetições de valores e tornar uma função injetora. Por exemplo, \(x\mapsto x^2\) não é injetora em \(\mathbb {R}\), mas sua restrição a \([0,+\infty )\) é uma bijeção de \([0,+\infty )\) em \([0,+\infty )\).
No sentido oposto, uma extensão de \(g:A\to B\) a um conjunto \(C\supset A\) é uma função \(f:C\to B\) que coincide com \(g\) em \(A\). A restrição a um conjunto fixado é única; uma extensão, em geral, não é.
Suponha primeiro que tal função \(g\) exista. Se \(f(x_1)=f(x_2)\), aplicar \(g\) aos dois membros fornece \(x_1=x_2\); portanto, \(f\) é injetora. Além disso, para cada \(y\in B\), temos \(y=f(g(y))\), de modo que \(y\) é imagem de algum elemento de \(A\); logo, \(f\) é sobrejetora.
Reciprocamente, se \(f\) é bijetora, cada \(y\in B\) é imagem de um único \(x\in A\). Definindo \(g(y)=x\), obtemos as duas identidades acima.
Se \(f:A\to B\) é apenas injetora, ela se torna bijetora quando substituímos o contradomínio \(B\) por sua imagem \(f(A)\). Nesse caso, podemos inverter a função sobre sua imagem, obtendo \(f^{-1}:f(A)\to A\). É exatamente o que ocorre com \(x\mapsto x^2\) depois que restringimos seu domínio a \([0,+\infty )\).
Escreva \( y = f(x).\)
Resolva a equação anterior obtendo \(x\) em termos de \(y\).
A expressão obtida é \(f^{-1}(y)\). Ao desenhar \(f\) e \(f^{-1}\) no mesmo sistema de eixos, pode-se renomear uma única vez essa variável livre e escrever \(f^{-1}(x)\).
2.6.1 O gráfico da inversa
Se \(f:A\to B\) é bijetora, então
Assim, a cada ponto \((x,y)\) do gráfico de \(f\) corresponde o ponto \((y,x)\) do gráfico de \(f^{-1}\). Esses pontos são simétricos em relação à reta \(y=x\); portanto, os gráficos de uma função e de sua inversa são reflexões um do outro em relação a essa reta.
\(\)
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Para \(x\in A\), \((\imath_ B\circ f)(x)=f(x)\) e \((f\circ \imath_ A)(x)=f(x)\). Os domínios e contradomínios também coincidem.
Se \(f\) é bijetora, a definição de inversa dá \(f^{-1}(f(x))=x\) para \(x\in A\) e \(f(f^{-1}(y))=y\) para \(y\in B\). Logo, \(f^{-1}\circ f=\imath_ A\) e \(f\circ f^{-1}=\imath_ B\).
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2.7 Transformações e simetrias dos gráficos
Conhecer um gráfico permite construir muitos outros sem recomeçar o esboço ponto a ponto. Alterações simples na expressão correspondem a deslocamentos, mudanças de escala ou reflexões no plano.
2.7.1 Translações
Se \(c\in \mathbb {R}\), comparemos
Na primeira expressão, a constante é somada ao valor da função: cada ponto \((x,f(x))\) é levado a \((x,f(x)+c)\). O gráfico sofre uma translação vertical de \(|c|\) unidades, para cima quando \(c\gt 0\) e para baixo quando \(c\lt 0\).
Na segunda expressão, a constante altera a entrada da função. Para que \(h\) assuma em \(x\) o valor que \(f\) assumia em \(x+c\), o gráfico precisa deslocar-se horizontalmente no sentido oposto ao sinal de \(c\). Assim, \(f(x+c)\) corresponde a uma translação de \(|c|\) unidades para a esquerda quando \(c\gt 0\) e para a direita quando \(c\lt 0\).
Os domínios também acompanham a transformação. Se \(f:A\to \mathbb {R}\), então \(f(x)+c\) continua definido em \(A\), enquanto
2.7.2 Mudanças de escala
Multiplicar uma coordenada por uma constante positiva produz uma mudança homogênea de escala. Para \(c\gt 0\), consideremos
No gráfico de \(g\), todas as ordenadas são multiplicadas por \(c\): temos uma mudança de escala vertical por fator \(c\). No gráfico de \(h\), o valor que \(f\) assumia em \(cx\) passa a aparecer em \(x\); por isso, a escala horizontal é multiplicada por \(1/c\).
Consequentemente, se \(c\gt 1\), \(cf(x)\) produz uma dilatação vertical, enquanto \(f(cx)\) produz uma contração horizontal. Se \(0\lt c\lt 1\), ocorre o contrário. A diferença é a mesma observada nas translações: alterações feitas fora de \(f\) atuam diretamente nos valores; alterações feitas no argumento atuam de maneira inversa no eixo horizontal.
2.7.3 Reflexões
As mudanças de escala anteriores usaram fatores positivos. A troca de sinal de uma coordenada introduz outro efeito geométrico: a reflexão. Dado um ponto \(P\) de coordenadas \((x,y)\), dizemos que:
o ponto de coordenadas \((x,-y)\) é o ponto simétrico de \(P\) relativamente ao eixo \(x\).
o ponto de coordenadas \((-x,y)\) é o ponto simétrico de \(P\) relativamente ao eixo \(y\).
o ponto de coordenadas \((-x,-y)\) é o ponto simétrico de \(P\) relativamente à origem \(O\).
Refletir em relação ao eixo \(x\) troca o sinal das ordenadas; refletir em relação ao eixo \(y\) troca o sinal das abscissas. Assim:
o gráfico de \(-f(x)\) é a reflexão do gráfico de \(f\) em relação ao eixo \(x\);
o gráfico de \(f(-x)\) é a reflexão do gráfico de \(f\) em relação ao eixo \(y\).
2.7.4 Paridade
Uma reflexão pode levar o gráfico de uma função ao de outra ou pode deixá-lo inalterado. Quando o gráfico permanece o mesmo após uma reflexão em relação ao eixo \(y\), a função é chamada de par; quando permanece o mesmo após uma reflexão em relação à origem, a função é chamada de ímpar.
De fato, refletir \((x,f(x))\) em relação ao eixo \(y\) produz \((-x,f(x))\). Esse ponto pertence ao gráfico original exatamente quando \(f(-x)=f(x)\). De modo semelhante, a reflexão em relação à origem produz \((-x,-f(x))\), que pertence ao gráfico original exatamente quando \(f(-x)=-f(x)\).
Portanto, se \(f:A\to B\) e o domínio \(A\subset \mathbb {R}\) é simétrico em relação à origem, isto é, \(x\in A\) implica \(-x\in A\), então
\(f\) é par se, e somente se, \(f(-x)=f(x)\) para todo \(x\in A\);
\(f\) é ímpar se, e somente se, \(f(-x)=-f(x)\) para todo \(x\in A\).
A função \(f(x)=x^4-4x^2+1\) é par.
Figura 2.15 Simetria do gráfico de uma função par. A função \(g(x)=x^5-3x^3+2x\) é ímpar.
Figura 2.16 Simetria do gráfico de uma função ímpar. A função \(h(x)=x^3+x^2\) não é nem par, nem ímpar.
Figura 2.17 Gráfico de uma função que não é par nem ímpar.
2.7.5 Periodicidade
Nem toda simetria decorre de uma reflexão. Um gráfico pode também permanecer inalterado após uma translação horizontal. Esse comportamento caracteriza as funções periódicas.
\(x\in A\) se, e somente se, \(x+T\in A\), e \(f(x+T)=f(x)\) para todo \(x\in A\);
nenhum número de \((0,T)\) é período de \(f\).
Uma função periódica não constante pode não ter período fundamental. A função de Dirichlet apresentada anteriormente é um exemplo: todo racional positivo é um período, mas não há um menor racional positivo. Para as funções periódicas com período fundamental que estudaremos a seguir, usaremos também a palavra período para designar esse menor valor, quando o contexto for claro.
Os exemplos clássicos são as funções trigonométricas, estudadas adiante. Antes delas, retomemos a parte inteira e consideremos a função
em que \(\left[\! \left[x\right]\! \right]\) denota, como definido anteriormente, o maior inteiro menor ou igual a \(x\). A função \(f\) é periódica, pois, para todo inteiro \(n\),
Em particular, \(1\) é um período de \(f\). A figura mostra esse comportamento periódico. 
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Obtenha \(y=\sqrt{x}+2\) a partir de \(y=\sqrt x\).
Obtenha \(y=2\sqrt{x+3}-1\) a partir de \(y=\sqrt x\).
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Translação de duas unidades para cima. O domínio permanece \([0,+\infty )\).
Primeiro, translação de três unidades para a esquerda, que leva o domínio a \([-3,+\infty )\); depois, escala vertical por fator \(2\) e translação de uma unidade para baixo, que não alteram o domínio.
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O gráfico de uma função pode ser simétrico em relação ao eixo \(x\)? Em que caso?
O que se pode dizer sobre o domínio de uma função par ou ímpar?
Num domínio simétrico fixado, qual função é simultaneamente par e ímpar?
Determine a paridade da soma e do produto de duas funções a partir da paridade das parcelas.
Se \(f\) é par, \(g\) é ímpar e \(k\in \mathbb {R}\), discuta a paridade de
\[ \begin{gathered} kf,\quad kg,\quad f+k,\quad g+k,\\ |f|,\quad |g|. \end{gathered} \]
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Sim, apenas para a função nula: a simetria exigiria que \((x,y)\) e \((x,-y)\) pertencessem ao gráfico, e a unicidade da imagem força \(y=0\).
O domínio deve ser simétrico em relação à origem.
A função nula. As duas identidades de paridade dão \(f(x)=f(-x)=-f(x)\).
A soma de duas funções pares é par, e a de duas ímpares é ímpar. O produto de duas pares ou de duas ímpares é par; o produto de uma par por uma ímpar é ímpar. Para uma soma de par com ímpar, em geral não há paridade.
\(kf\) é par, \(kg\) é ímpar e \(f+k\) é par. Se \(k=0\), então \(g+k\) é ímpar; se \(g\) é nula, \(g+k\) é par; nos demais casos, \(g+k\) não é par nem ímpar. As funções \(|f|\) e \(|g|\) são pares. A função nula deve ser lembrada como simultaneamente par e ímpar.