Funções e gráficos

É preciso medir tudo o que é mensurável e tentar tornar mensurável o que não o é diretamente.

A distância percorrida por um móvel depende do tempo, e o custo de uma compra depende da quantidade adquirida. Uma função especifica essa dependência, declarando quais entradas aceita e qual saída associa a cada uma delas. Para estudá-la, usaremos as ferramentas do capítulo anterior: operações com expressões, comparação de valores e descrição de conjuntos de números.

Começaremos pelos pares ordenados e pelo plano cartesiano, que permitem registrar entradas e saídas juntas. Em seguida, relacionaremos fórmulas, tabelas e gráficos, acompanhando sempre domínio, contradomínio e imagem. Operações, composição, inversão e transformações de gráficos ampliarão esse vocabulário e prepararão o estudo das famílias de funções dos próximos capítulos.

2.1 Pares ordenados e o plano cartesiano

O plano cartesiano traduz relações numéricas em relações geométricas. Nele, uma equação pode descrever uma curva, uma desigualdade pode selecionar uma região e, mais adiante, uma função será representada por um conjunto de pontos. Para usar essa linguagem com precisão, começamos pelos pares ordenados.

Pares ordenados e produto cartesiano

Um par ordenado \((a,b)\) registra dois elementos numa ordem determinada: \(a\) é a primeira componente e \(b\) é a segunda. Em geral, \((a,b)\ne (b,a)\). Mais precisamente,

Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\), seu produto cartesiano é o conjunto de todos os pares cuja primeira componente pertence a \(A\) e cuja segunda pertence a \(B\):

Coordenadas

O produto \(\mathbb {R}\times \mathbb {R}\), também escrito \(\mathbb {R}^2\), pode ser representado geometricamente pelo plano cartesiano. No ponto \(P=(x,y)\), o número \(x\) é a abscissa e determina a posição horizontal; o número \(y\) é a ordenada e determina a posição vertical. O ponto \((0,0)\) é a origem.

Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes. Pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos

Sejam \(P=(x_1,y_1)\) e \(Q=(x_2,y_2)\). Para relacionar suas coordenadas à distância entre eles, introduzimos o ponto \(H=(x_2,y_1)\). O segmento \(PH\) é horizontal, e \(HQ\) é vertical. Seus comprimentos são, respectivamente,

02-distanciaO ponto auxiliar \(H=(x_2,y_1)\) decompõe o deslocamento em uma parte horizontal e outra vertical. O desenho mostra \(x_2\gt x_1\) e \(y_2\gt y_1\). Quando ambas as diferenças são não nulas, o triângulo \(PHQ\) é retângulo em \(H\), e \(PQ\) é sua hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras,

Como uma distância é não negativa, obtemos

Os módulos nos comprimentos dos catetos permitem usar o mesmo raciocínio qualquer que seja a posição relativa dos pontos. Se uma das diferenças é zero, os pontos estão na mesma horizontal ou vertical, e a fórmula se reduz à distância nessa direção. Se as duas são zero, os pontos coincidem e a distância é zero.

Como ler regiões do plano?

Uma condição envolvendo \(x\) e \(y\) seleciona os pontos cujas coordenadas a satisfazem. A igualdade costuma descrever uma fronteira; uma desigualdade indica um dos lados ou uma região interior ou exterior.

Quando várias condições devem ser satisfeitas simultaneamente, tomamos a interseção das regiões que elas definem. Por exemplo,

é a região à direita do eixo \(y\), entre as retas horizontais \(y=-1\) e \(y=2\), com a borda inferior excluída e os demais pontos da fronteira incluídos. A mesma região pode ser escrita de forma compacta como

Exercício 2.1 (As escalas mudam o desenho, não as coordenadas)

Nos dois painéis, as coordenadas são medidas em metros. Observe as marcas dos eixos: o segundo desenho usa escalas gráficas diferentes para as duas coordenadas.

1. Leia as coordenadas de \(P\) e \(Q\) em cada painel. Os desenhos representam pontos diferentes ou os mesmos pontos?

2. Compare as distâncias de \(P\) e de \(Q\) à origem e calcule \(d(P,Q)\). Essas respostas podem ser obtidas medindo os segmentos na página sem levar as escalas em conta?

Ver solução

Em ambos os painéis, \(P=(3,0)\) e \(Q=(0,2)\). Assim, \(d(O,P)=3\, \mathrm m\), \(d(O,Q)=2\, \mathrm m\) e

\[ d(P,Q)=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{13}\, \mathrm m. \]

No segundo painel, o segmento vertical pode parecer mais longo na página, mas representa uma distância menor. A medida feita no papel precisa ser convertida pela escala de cada eixo; a aparência do desenho não altera as coordenadas nem as distâncias no plano representado.

Exercício 2.2 (Distância em linha reta ou por dois trechos?)

Para calcular a distância entre \(P=(1,1)\) e \(Q=(4,5)\), um estudante somou as diferenças das coordenadas: \(|4-1|+|5-1|=7\).

1. Calcule \(d(P,Q)\) corretamente.

2. Interprete geometricamente o número \(7\) obtido pelo estudante.

3. Para dois pontos quaisquer do plano, em que situação as duas contas fornecem o mesmo resultado?

Ver solução

1. \(d(P,Q)=\sqrt{3^2+4^2}=5\).

2. É o comprimento de um caminho de \(P\) a \(Q\) formado por um trecho horizontal e um vertical, isto é, a soma dos catetos do triângulo retângulo cuja hipotenusa é \(PQ\).

3. Quando um dos catetos é nulo, ou seja, quando \(P\) e \(Q\) estão na mesma reta horizontal ou na mesma reta vertical. Nos demais casos, a hipotenusa é menor que a soma dos catetos.

Exercício 2.3

Considere \(A=\{ 0,1\} \) e \(B=\{ -1,2\} \).

1. Liste os elementos de \(A\times B\).

2. Liste os elementos de \(B\times A\).

3. Os dois produtos são iguais?

Ver solução

1. \(A\times B=\{ (0,-1),(0,2),(1,-1),(1,2)\} \).

2. \(B\times A=\{ (-1,0),(-1,1),(2,0),(2,1)\} \).

3. Não. A ordem dos conjuntos determina a ordem das componentes.

Exercício 2.4

Considere \(P=(-2,1)\) e \(Q=(1,-3)\).

1. Em que quadrante está cada ponto?

2. Calcule \(d(P,Q)\).

Ver solução

1. \(P\) está no segundo quadrante e \(Q\), no quarto.

2. \(d(P,Q)=\sqrt{(1+2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{9+16}=5\).

Exercício 2.5

Descreva, em palavras, a região \(\{ (x,y)\in \mathbb {R}^2:x\lt 0\text{ e }y\geq 1\} \).

Ver solução

É a parte do plano à esquerda do eixo \(y\) e acima da reta \(y=1\). O eixo \(y\) não pertence à região; a reta \(y=1\) pertence.

2.2 O conceito de função

Os pares ordenados registram duas informações numa ordem determinada. Para descrever como uma grandeza depende de outra, precisamos ainda exigir que cada entrada esteja associada a uma única saída: essa é a condição que define uma função. Mantidas a pressão e a quantidade de gás, seu volume pode ser estudado como função da temperatura. De modo semelhante, a posição de um corpo em uma trajetória pode ser estudada como função do tempo. Essa linguagem de dependências faz das funções um dos conceitos centrais da Matemática e a base sobre a qual construiremos o Cálculo.

Funções como conjuntos de pares ordenados

Uma relação entre \(A\) e \(B\) é qualquer subconjunto de \(A\times B\). Ela é uma função de \(A\) em \(B\) exatamente quando, para todo \(x\in A\), existe um único \(y\in B\) tal que \((x,y)\) pertence à relação. Assim,

não define uma função de \(\{ 1,2,3\} \) em \(\{ u,v\} \): o elemento \(2\) aparece com duas segundas componentes, e o elemento \(3\) não aparece com nenhuma. Essa formulação formaliza a regra de associação da definição anterior por meio de um conjunto de pares.

Uma função fica especificada pelo domínio, pelo contradomínio e pela regra de associação. Alterar qualquer um deles pode alterar a função. Neste livro estudaremos principalmente funções reais de uma variável real, isto é, funções cujos domínios e contradomínios são subconjuntos de \(\mathbb {R}\).

Adotaremos as convenções

Embora fórmulas sejam uma maneira particularmente útil de descrever funções, elas não são a única. Uma função também pode ser especificada por uma tabela, por um gráfico, por uma definição em casos ou por um procedimento que determine univocamente cada valor.

Uma função não precisa ser descrita por uma fórmula algébrica. A função de Euler

associa a cada \(n\) a quantidade de inteiros positivos menores que \(n\) que não possuem com ele divisor comum maior que \(1\), isto é, são coprimos com \(n\). Entre os inteiros positivos menores que \(6\), apenas \(1\) e \(5\) são coprimos com \(6\); portanto, \(\phi (6)=2\). Também temos \(\phi (2)=1\) e \(\phi (3)=\phi (4)=2\). A regra é um procedimento aritmético inequívoco, e isso basta para definir uma função.

Além da imagem de um elemento, podemos considerar a imagem de um subconjunto do domínio. Se \(f:A\to B\) e \(X\subset A\), definimos a imagem de \(X\) por \(f\) por

Em particular, o conjunto imagem de \(f\) é

Observe que \(\operatorname {Im}f\subset B\), mas a igualdade não é automática.

O caminho inverso parte de um conjunto do contradomínio. Se \(Y\subset B\), a pré-imagem de \(Y\) é

Para um único valor \(y\in B\), escrevemos

O símbolo \(f^{-1}\) também será usado para funções inversas. O contexto distingue os dois significados: em \(f^{-1}(Y)\), o argumento é um conjunto e estamos tomando uma pré-imagem; em \(f^{-1}(y)\), quando a função inversa existir, o argumento será um elemento.

Exercício 2.6 (Quando uma correspondência é função)

Decida quais correspondências definem uma função e, nesse caso, indique domínio e contradomínio adequados.

1. A cada pessoa, sua data de nascimento.

2. A cada data, cada uma das pessoas nascidas naquele dia.

3. A cada \(x\in \mathbb {R}\), o número real \(y\) tal que \(y^2=x\).

4. A cada \(x\in \mathbb {R}\), o número real \(y\) tal que \(y^3=x\).

Ver solução

1. Função: cada pessoa tem uma única data de nascimento.

2. Não é função: a uma data podem corresponder várias pessoas, ou nenhuma.

3. Não é função: para \(x\gt 0\) há dois valores, \(\pm \sqrt x\), e para \(x\lt 0\) não há nenhum. Restringindo a \(x\ge 0\) e escolhendo \(y\ge 0\), obtém-se a função \(x\mapsto \sqrt x\).

4. Função de \(\mathbb {R}\) em \(\mathbb {R}\): cada real tem uma única raiz cúbica real.

Exercício 2.7

Dados os conjuntos \(A=\{ a,e,i,o,u\} \) e \(B=\{ 1,2,3,4,5\} \), diga quais das relações abaixo definem uma função \(f:A \to B\).

1. \(R=\{ (e,1), (o,2)\} \)

2. \(R=\{ (a,1), (e,1), (i,1), (o,2), (u,2)\} \)

3. \(R=\{ (a,1), (e,2), (i,3), (o,4), (u,5)\} \)

4. \(R=\{ (a,1), (e,1), (e,2), (i,1), (u,2), (u,5)\} \)

5. \(R=\{ (a,3), (e,3), (i,3), (o,3), (u,3)\} \)

6. \(R=\{ (a,1), (e,3), (i,3), (o,2), (u,2)\} \)

7. \(R=\{ (a,2), (e,1), (i,4), (o,5), (u,3)\} \)

Ver solução

1. Não: faltam imagens para \(a\), \(i\) e \(u\).

2. Sim: cada elemento de \(A\) aparece exatamente uma vez como primeira coordenada.

3. Sim, pelo mesmo motivo.

4. Não: \(e\) e \(u\) têm duas imagens, e \(o\) não tem imagem.

5. Sim: todos os elementos de \(A\) têm imagem \(3\).

6. Sim: cada elemento de \(A\) tem uma única imagem.

7. Sim: cada elemento de \(A\) tem uma única imagem.

Exercício 2.8

Considere as funções

\[ \begin{gathered} f:\mathbb {R}\to \mathbb {R},\quad g:[0,+\infty )\to \mathbb {R},\\ h:\mathbb {R}\to \mathbb {R},\quad k:\mathbb {R}\to [0,+\infty ), \end{gathered} \]

todas dadas pela regra \(x\mapsto x^2\). As funções \(f\) e \(g\) são iguais? E \(h\) e \(k\)? Justifique pela definição de igualdade de funções.

Ver solução

Não em ambos os casos. As funções \(f\) e \(g\) têm domínios diferentes, enquanto \(h\) e \(k\) têm contradomínios diferentes. Igualdade de funções exige que domínio, contradomínio e regra coincidam. Nos quatro casos, a imagem é \([0,+\infty )\), o que mostra também que ter a mesma imagem não basta.

Exercício 2.9 (Uma saída pode ser um par ordenado)

Considere \(A=\{ -2,-1,0,1,2\} \) e a regra

\[ F:A\longrightarrow \mathbb R^2,\qquad F(x)=(x,x^2). \]

1. Uma pessoa afirma que essa regra não define uma função porque “produz dois números para cada entrada”. Explique por que a escolha do contradomínio resolve a questão.

2. A regra \(G(x)=(x^2,x)\), com o mesmo domínio e contradomínio, define a mesma função que \(F\)? Determine em quais entradas as saídas coincidem e explique por que isso não basta para a igualdade das funções.

Ver solução

A saída de \(F\) é um único elemento de \(\mathbb R^2\): um par ordenado. Cada \(x\in A\) recebe exatamente um desses elementos, logo a regra define uma função. A ordem das coordenadas importa. A igualdade \((x,x^2)=(x^2,x)\) equivale a \(x=x^2\), que, em \(A\), ocorre apenas para \(x=0\) e \(x=1\). Por exemplo, \(F(-1)=(-1,1)\) e \(G(-1)=(1,-1)\). Portanto, \(F\ne G\): funções iguais precisam coincidir em todas as entradas do domínio, além de terem os mesmos domínio e contradomínio.

Exercício 2.10 (Três dados não determinam a regra)

Uma função \(H:\mathbb R\to \mathbb R\) foi consultada em apenas três entradas:

\[ \begin{array}{c|rrr} x& -1& 0& 1\\ \hline H(x)& 1& 0& 1 \end{array} \]

1. Verifique se as regras \(f(x)=x^2\) e \(g(x)=x^4\) são ambas compatíveis com a tabela.

2. É possível afirmar, usando somente os dados registrados, que \(H(1/2)=1/4\)? Compare as duas regras nessa entrada e explique a diferença entre conhecer alguns valores de uma função e conhecer sua regra completa.

Ver solução

As duas regras dão \(1\), \(0\) e \(1\) nas entradas \(-1\), \(0\) e \(1\). Entretanto, \(f(1/2)=1/4\) e \(g(1/2)=1/16\). Como ambas atendem a todos os dados fornecidos, a tabela não determina \(H(1/2)\). Uma tabela parcial descreve a função apenas nas entradas consultadas; escolher uma regra para as demais entradas exige informação adicional ou uma hipótese de modelo.

Exercício 2.11

Determine o conjunto imagem da função \(f:\mathbb {N}\to \mathbb {Z}\) dada por

\[ f(n)=(-1)^n n. \]

Ver solução

Se \(n=2k\), então \(f(n)=2k\); se \(n=2k+1\), então \(f(n)=-(2k+1)\). Portanto,

\[ \operatorname {Im}f=\{ 0,2,4,6,\ldots \} \cup \{ -1,-3,-5,\ldots \} . \]

Exercício 2.12

Considerando a função \(f\) do Exercício 2.11, determine o conjunto imagem da função \(g:\mathbb {N}\to \mathbb {Z}\) dada por \(g(n)=f(n)+f(n+1)\).

Ver solução

Temos \(g(n)=(-1)^nn+(-1)^{n+1}(n+1)=(-1)^{n+1}\). Assim, \(g(n)=-1\) se \(n\) é par e \(g(n)=1\) se \(n\) é ímpar, logo \(\operatorname {Im}g=\{ -1,1\} \).

Exercício 2.13

Para \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\), \(f(x)=x^2-4\), determine \(f([-1,3])\), \(f^{-1}(\{ 0\} )\), \(f^{-1}([-4,0])\) e \(f^{-1}((-\infty ,-5))\).

Ver solução

\[ f([-1,3])=[-4,5],\qquad f^{-1}(\{ 0\} )=\{ -2,2\} , \]

\[ f^{-1}([-4,0])=[-2,2],\qquad f^{-1}((-\infty ,-5))=\varnothing . \]

No último caso, usamos que \(f(x)\geq -4\) para todo \(x\in \mathbb {R}\).

Exercício 2.14 (A imagem preserva interseções?)

Seja \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\), \(f(x)=x^2\), e considere \(A=[-2,-1]\) e \(B=[1,2]\).

1. Calcule \(f(A)\), \(f(B)\), \(f(A\cap B)\) e \(f(A)\cap f(B)\). A igualdade \(f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)\) vale?

2. Para \(C=[0,1]\), determine todas as entradas \(x\in \mathbb R\) tais que \(f(x)\) pertence ao conjunto \(f(C)\). Compare o conjunto encontrado com \(C\).

3. Que propriedade de \(f\) é responsável pelas diferenças observadas?

Ver solução

1. \(f(A)=f(B)=[1,4]\) e \(f(A)\cap f(B)=[1,4]\), mas \(A\cap B=\varnothing \) e \(f(A\cap B)=\varnothing \). A igualdade não vale.

2. \(f(C)=[0,1]\). A condição \(f(x)\in f(C)\) equivale a \(0\le x^2\le 1\); portanto o conjunto das entradas procuradas é \([-1,1]\supsetneq C\).

3. Pontos diferentes, como \(x\) e \(-x\) quando \(x\ne 0\), têm a mesma imagem. Por isso, conjuntos distintos podem ter imagens em comum, e valores de \(f(C)\) também podem ser produzidos por entradas fora de \(C\).

Exercício 2.15

Para cada função, calcule \(f^{-1}(\{ 0\} )\), \(f^{-1}(\{ 1\} )\) e \(f^{-1}(\{ 2\} )\). O primeiro item retoma a definição; os demais são de aprofundamento.

1. \(f : \mathbb {N}\rightarrow \mathbb {N}\), \(f(n)=3n+1\).

2. \(f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)= x-\lvert (x+2)^{2}-1\rvert \).

3. \(f : [0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)= \sqrt{x+1}-\sqrt{x}\).

4. \(f : \mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x,y)= x-\lvert y\rvert \).

Ver solução

Em cada item, os três conjuntos são apresentados na ordem pedida.

1. \(\varnothing \), \(\{ 0\} \) e \(\varnothing \).

2. \(\varnothing \), \(\varnothing \) e \(\varnothing \). De fato,

   \[ f(x)=\begin{cases} x^2+5x+3,& -3\leq x\leq -1,\\ -x^2-3x-3,& x\leq -3\text{ ou }x\geq -1,\end{cases} \]

   e em todos esses intervalos \(f(x)\leq -1\). No intervalo central, \(f(x)+1=(x+1)(x+4)\leq 0\); fora dele, \(f(x)+1=-(x+1)(x+2)\leq 0\).

3. \(\varnothing \), \(\{ 0\} \) e \(\varnothing \), pois

   \[ f(x)=\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}\in (0,1], \]

   e o valor \(1\) só é atingido em \(x=0\).

4. \(\{ (|t|,t):t\in \mathbb {R}\} \), \(\{ (1+|t|,t):t\in \mathbb {R}\} \) e \(\{ (2+|t|,t):t\in \mathbb {R}\} \).

2.3 Determinando o domínio

Para determinar o domínio natural de uma função dada por uma expressão, procuramos todos os números reais para os quais podemos realizar as operações indicadas. Na expressão \(x^2-3x+1\), por exemplo, há apenas somas, diferenças e produtos, que podem ser calculados para qualquer número real. Uma divisão, porém, só pode ser efetuada quando seu denominador é diferente de zero.

Quando uma expressão contém várias parcelas, cada uma delas precisa estar definida. As condições impostas pelas parcelas devem, portanto, valer simultaneamente.

Na Seção 1.8, vimos que uma simplificação deve conservar as restrições da expressão original. Ao estudar funções, esse cuidado também nos permite distinguir funções cujas expressões simplificadas coincidem.

Determinar o domínio envolve, assim, dois cuidados: identificar as restrições de cada parte da expressão e reunir apenas os valores que satisfazem todas elas. Se simplificarmos a expressão, essas restrições permanecem.

Exercício 2.16

Determine os domínios naturais das funções

\[ f(x)=x^2+2x-1 \qquad \text{e}\qquad g(x)=\frac{5}{x+1}. \]

Ver solução

A expressão de \(f\) está definida para todo número real, logo \(\operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\). Para \(g\), é necessário \(x+1\ne 0\), de modo que \(\operatorname {Dom}g=\mathbb {R}\setminus \{ -1\} \).

Exercício 2.17

Determine o domínio natural de \(f(x)=\dfrac {x}{x^2-9}\).

Ver solução

Como \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), o denominador se anula exatamente em \(-3\) e \(3\). Portanto, \(\operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\setminus \{ -3,3\} \).

Exercício 2.18

Determine o domínio natural de

\[ g(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-2}. \]

Explique por que as duas condições devem ser satisfeitas.

Ver solução

As parcelas exigem, respectivamente, \(x\ne -1\) e \(x\ne 2\). Assim, \(\operatorname {Dom}g=\mathbb {R}\setminus \{ -1,2\} \). A soma só está definida quando ambas as parcelas estão definidas.

Exercício 2.19

Sejam \(p\) e \(q\) as funções com contradomínio \(\mathbb {R}\) dadas por

\[ p(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\qquad q(x)=x-3, \]

ambas com seus domínios naturais. Determine esses domínios e decida se \(p\) e \(q\) são a mesma função.

Ver solução

Temos \(\operatorname {Dom}p=\mathbb {R}\setminus \{ -3\} \) e \(\operatorname {Dom}q=\mathbb {R}\). Para \(x\ne -3\), a fatoração de \(x^2-9\) mostra que \(p(x)=x-3\). Como os domínios diferem, as funções não são iguais.

2.4 Gráficos de funções

O gráfico reúne no plano os pares \((x,f(x))\) da Seção 2.2. Essa representação permite examinar onde a função se anula, como seus valores variam e quais valores ela atinge.

Para cada \(x\in A\), há exatamente um ponto do gráfico com abscissa \(x\). Essa observação fornece o teste da reta vertical: um conjunto de pontos é o gráfico de alguma função de \(x\) quando nenhuma reta vertical o encontra em mais de um ponto. O domínio dessa função é o conjunto das abscissas desses pontos. Se o domínio \(A\) já estiver fixado, cada reta vertical \(x=a\), com \(a\in A\), deve encontrar o gráfico em exatamente um ponto; as demais não devem encontrá-lo.

O que se lê em um gráfico

O ponto \((a,f(a))\) permite ler o valor \(f(a)\). Um número \(a\in \operatorname {Dom}f\) é chamado de zero ou raiz de \(f\) quando \(f(a)=0\). No gráfico, os zeros são as abscissas das interseções com o eixo horizontal.

Os trechos acima e abaixo desse eixo indicam, respectivamente, onde \(f(x)\gt 0\) e onde \(f(x)\lt 0\). A projeção do gráfico sobre o eixo horizontal fornece o domínio, e a projeção sobre o eixo vertical fornece a imagem. Essas leituras dependem sempre dos pontos que efetivamente pertencem ao gráfico, inclusive nas extremidades de intervalos.

Comparar dois gráficos no mesmo plano também permite localizar soluções de equações e desigualdades. Na figura, a interseção \(P\) indica uma abscissa na qual \(f(x)=g(x)\). Os pontos \(Q\) e \(R\) têm a mesma abscissa: como \(R\) está acima de \(Q\), nessa abscissa temos \(g(x)\gt f(x)\).

Exercício 2.20 (Pontos que faltam e pontos que contam)

O gráfico de \(f\) é exatamente o conjunto desenhado: um segmento de \((-2,1)\) até \((0,3)\), com o último ponto excluído; um segmento horizontal de \((0,1)\) até \((3,1)\), com o primeiro ponto excluído; e o ponto isolado \((0,-1)\). Os círculos vazios indicam pontos excluídos.

1. Determine \(f(0)\), o domínio e a imagem de \(f\). Por que a imagem não é um único intervalo?

2. Leia no gráfico os conjuntos de soluções de \(f(x)=2\) e de \(f(x)\ge 2\). Explique o tratamento da abscissa \(0\).

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Temos \(f(0)=-1\), domínio \([-2,3]\) e imagem

\[ \{ -1\} \cup [1,3). \]

O segmento inclinado assume todos os valores de \(1\) inclusive até \(3\) exclusive; o trecho horizontal não acrescenta valores, e o ponto isolado acrescenta \(-1\). Não há valores entre \(-1\) e \(1\). As soluções são \(\{ -1\} \) para \(f(x)=2\) e \([-1,0)\) para \(f(x)\ge 2\). A abscissa \(0\) pertence ao domínio, mas seu valor é \(-1\), não o valor do círculo vazio em \((0,3)\).

Exercício 2.21 (Ler gráficos em duas direções)

Decida quais conjuntos são gráficos de uma função de \(x\) e quais são gráficos de uma função de \(y\) (isto é, da forma \(x=g(y)\)). Justifique com retas verticais ou horizontais.

1. \(x^2+y^2=1\);

2. \(y=|x|\);

3. \(x=y^2\);

4. \(y=x^3\);

5. \(y^2=x^2\).

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1. Nenhum dos dois: a reta \(x=0\) e a reta \(y=0\) cortam a circunferência em dois pontos.

2. Função de \(x\); não é função de \(y\), pois a reta \(y=1\) corta o gráfico em \(x=\pm 1\).

3. Função de \(y\), \(x=y^2\); não é função de \(x\), pois a reta \(x=1\) corta em \(y=\pm 1\).

4. As duas coisas: \(y=x^3\) e \(x=\sqrt[3]y\).

5. Nenhum dos dois: é a união das retas \(y=x\) e \(y=-x\), que se cruzam na origem e são cortadas duas vezes por retas verticais e horizontais.

Exercício 2.22 (O gráfico da posição não é o desenho da pista)

Um carrinho move-se sobre uma pista reta. Sua posição \(s(t)\), em metros, é representada por segmentos de reta no gráfico, com \(t\) em segundos.

1. Em quais instantes o carrinho está na origem? Em qual intervalo permanece parado?

2. Determine a maior distância à origem e a distância total percorrida nos seis segundos. Por que são quantidades diferentes?

3. Uma pessoa interpreta a linha poligonal como a forma da pista vista de cima. Explique quais grandezas os eixos representam e por que essa interpretação não é adequada.

Ver solução

O carrinho está na origem em \(t=0\), \(t=4\) e \(t=6\); fica parado em \([1,3]\), pois sua posição permanece igual a \(2\, \mathrm m\). A maior distância à origem é \(2\, \mathrm m\). A distância total é

\[ |2-0|+|2-2|+|-2-2|+|0-(-2)|=8\, \mathrm m. \]

A primeira quantidade mede o maior afastamento, enquanto a segunda soma todos os trechos percorridos. No gráfico, a abscissa é tempo e a ordenada é posição numa única reta; as duas coordenadas não são duas direções espaciais da pista.

Exercício 2.23

Uma estação registra, a cada hora, a temperatura \(T\) e a umidade relativa \(U\). Explique por que “\(U\) como função de \(T\)” pode falhar, ainda que ambas sejam funções do tempo. Construa uma tabela com quatro horários que ilustre sua resposta.

Ver solução

Para que \(U\) fosse função de \(T\), uma mesma temperatura teria de determinar sempre a mesma umidade. Um contraexemplo possível é

\[ \begin{array}{c|cccc} \text{horário}& 8\text{ h}& 9\text{ h}& 10\text{ h}& 11\text{ h}\\ \hline T\ ({}^\circ \mathrm C)& 20& 22& 22& 24\\ U\ (\% )& 80& 72& 65& 58 \end{array} \]

À temperatura de \(22\, {}^\circ \mathrm C\) correspondem duas umidades, embora \(T\) e \(U\) sejam, separadamente, funções do horário.

Exercício 2.24

Considere as duas semicircunferências do círculo \(x^2+y^2=16\). Escreva a semicircunferência superior como função de \(x\) e explique por que a união das duas semicircunferências não é o gráfico de uma função de \(x\).

Ver solução

A semicircunferência superior é \(y=\sqrt{16-x^2}\), com \(-4\leq x\leq 4\). Na união, para cada \(-4\lt x\lt 4\) há dois valores de \(y\), \(\pm \sqrt{16-x^2}\); por isso ela não passa no teste da reta vertical.

Exercício 2.25 (Enchendo vasos)

Quatro recipientes ideais, inicialmente vazios, têm a mesma altura \(H\) e recebem água com a mesma vazão constante e positiva, até ficarem cheios. Não há vazamentos nem transbordamento durante o enchimento; o volume do tubo de entrada é desprezível e o nível permanece horizontal. Em toda altura interior, a seção horizontal tem área positiva e finita, que varia sem mudanças bruscas.

Os perfis são: (A) cilindro; (B) cone com vértice para baixo; (C) cone com vértice para cima; (D) esfera. Admita uma entrada de água de tamanho desprezível, inclusive nos perfis fechados. Os gráficos de \(h\) em função de \(t\) usam escalas de tempo independentes.

1. Associe cada recipiente a um gráfico. Compare a subida do nível quando são acrescentadas pequenas quantidades iguais de água.

2. Na esfera, em que altura o nível sobe mais lentamente?

3. Desenhe um recipiente cujo nível suba primeiro em ritmo constante e depois cada vez mais devagar. Explique o formato escolhido.

4. Durante o enchimento, pode haver um intervalo de tempo com altura constante? O nível pode saltar instantaneamente de uma altura a outra? Justifique pelas hipóteses do modelo.

[figuras/proposta-20261016-q2-1-1.tex

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A associação é A–I, B–II, C–III e D–IV. Como o volume cresce a uma taxa fixa, uma mesma pequena quantidade de água produz um aumento maior de altura onde a seção horizontal é menor. No cilindro, a área é constante e a altura cresce linearmente; no cone com vértice inferior, a área aumenta à medida que a água sobe e o gráfico vai ficando menos inclinado; no cone invertido, a área diminui e o gráfico vai ficando mais inclinado. Na esfera, a área é máxima no plano equatorial: a altura sobe mais devagar na metade da altura, e mais rapidamente perto do fundo e do topo.

Um recipiente cuja seção horizontal começa constante e depois aumenta continuamente produz reta seguida de trecho com inclinação decrescente. Um patamar exigiria receber um volume positivo sem alterar a altura, o que não ocorre com seções finitas. Um salto entre duas alturas interiores exigiria preencher instantaneamente uma faixa de volume positivo, incompatível com vazão finita. Uma subida muito rápida perto do fundo ou do topo continua sendo uma variação contínua da altura.

Uma curva de altura contra tempo pode revelar a geometria de um recipiente. A vazão é constante; a velocidade de subida do nível, não.

Exercício 2.26

Uma boia oscila suavemente durante dois minutos, é recolhida para um barco em poucos segundos e permanece no convés. Esboce sua altura em relação à superfície média da água como função do tempo e descreva as hipóteses usadas no desenho.

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Um esboço admissível é uma curva oscilatória contínua em \(0\leq t\leq 120\) s, seguida por uma subida rápida durante o recolhimento e por um trecho constante positivo quando a boia chega ao convés. O desenho pressupõe altura medida em relação à superfície média da água e transições contínuas; outros esboços são possíveis se essas hipóteses forem alteradas.

Exercício 2.27

A função \(D(n)\) fornece o número de arquivos em uma pasta depois de \(n\) operações, onde \(n\in \mathbb N\). Explique por que um gráfico de pontos é mais apropriado que uma curva contínua e dê um exemplo em que \(D\) diminua.

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Como \(n\) conta operações, apenas valores inteiros não negativos têm sentido; ligar os pontos atribuiria valores a “frações de operação”. Por exemplo, se \(D(5)=12\) e a sexta operação exclui três arquivos, então \(D(6)=9\).

2.5 Operações e composição

A maior parte das funções elementares pode ser construída a partir de famílias simples por meio de soma, produto, quociente e composição. Ao realizar essas operações, porém, é preciso acompanhar os domínios.

Sejam \(f:D_f\to \mathbb {R}\) e \(g:D_g\to \mathbb {R}\). A soma e o produto são definidos no domínio comum \(D_f\cap D_g\) por

O quociente possui a restrição adicional de que o denominador não se anule:

Se \(\alpha \in \mathbb {R}\), definimos ainda \((\alpha f)(x)=\alpha f(x)\) em \(D_f\). Esse produto pode ser visto como o produto de \(f\) pela função constante de valor \(\alpha \).

As propriedades algébricas dos números passam ponto a ponto para as funções, sempre que os dois membros estejam definidos no mesmo domínio.

A composição permite usar a saída de uma função como entrada de outra. Se

partimos de um elemento \(x\in A\) e aplicamos primeiro \(g\), obtendo \(g(x)\in B\). Como \(B\) é o domínio de \(f\), podemos aplicar \(f\) a esse resultado. Obtemos, assim, um elemento \(f(g(x))\in C\).

Essa sequência de duas operações define uma nova função, chamada composta de \(f\) com \(g\) e denotada por \(f\circ g\):

Na expressão \(f(g(x))\), o cálculo começa pelos parênteses internos. Embora \(f\) apareça à esquerda na notação \(f\circ g\), quem atua primeiro é \(g\):

Por exemplo, para calcular \((f\circ g)(2)\), precisamos primeiro encontrar \(g(2)\). Só depois usamos esse número como argumento de \(f\). Isso é diferente de calcular \(f(2)\) e \(g(2)\) separadamente e multiplicar os resultados: a multiplicação define \(fg\), não \(f\circ g\).

Quando os domínios são diferentes dos conjuntos acima, precisamos verificar quais entradas permitem completar as duas etapas. Não basta que \(g(x)\) exista: esse valor também deve pertencer ao domínio de \(f\). Por isso, ao formar a composição no maior domínio possível, temos

A condição dentro das chaves descreve o percurso do cálculo: a entrada é aceita por \(g\), e a saída de \(g\) é aceita por \(f\).

Trocar a ordem pode alterar tanto a expressão quanto o domínio. Nos próximos exemplos, acompanharemos essas duas mudanças, verificando em cada etapa se o valor obtido pode ser usado como entrada da função seguinte.

Exercício 2.28 (Compor não é multiplicar)

As funções \(f\) e \(g\) estão definidas apenas em \(\{ 1,2,3,4\} \):

\[ \begin{array}{c|cccc} x& 1& 2& 3& 4\\ \hline f(x)& 3& 1& 4& 2\\ g(x)& 2& 4& 1& 5 \end{array} \]

1. Calcule \((f\circ g)(1)\), \((g\circ f)(1)\), \((f\circ f)(2)\) e \((g\circ g)(2)\).

2. Determine o domínio de \(f\circ g\) e o de \(g\circ f\).

3. Um estudante calculou \((f\circ g)(1)=f(1)\, g(1)=6\). Explique o erro.

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1. \((f\circ g)(1)=f(2)=1\), \((g\circ f)(1)=g(3)=1\), \((f\circ f)(2)=f(1)=3\) e \((g\circ g)(2)=g(4)=5\).

2. \(f\circ g\) está definida em \(\{ 1,2,3\} \), pois \(g(4)=5\) não pertence ao domínio de \(f\). Como \(f\) assume apenas valores em \(\{ 1,2,3,4\} \), \(g\circ f\) está definida em \(\{ 1,2,3,4\} \).

3. O estudante multiplicou os valores, isto é, calculou \((fg)(1)\). Na composição o valor \(g(1)\) é usado como entrada de \(f\): \((f\circ g)(1)=f\bigl(g(1)\bigr)\).

Exercício 2.29

Para \(f(x)=x^2\) e \(g(x)=x+1\), calcule \(f\circ g\) e \(g\circ f\), incluindo seus domínios. Compare os valores das duas composições em \(x=1\).

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\((f\circ g)(x)=(x+1)^2\) e \((g\circ f)(x)=x^2+1\), ambas com domínio \(\mathbb {R}\). Em \(x=1\), os valores são \(4\) e \(2\).

Exercício 2.30

Sejam \(f(x)=\sqrt{x+1}\) e \(g(x)=3-x\). Determine as duas composições e seus domínios, indicando qual condição vem da raiz.

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\((f\circ g)(x)=\sqrt{4-x}\), com \(x\leq 4\); \((g\circ f)(x)=3-\sqrt{x+1}\), com \(x\geq -1\).

Exercício 2.31 (Quando o valor intermediário não é aceito)

As funções \(f:[0,4]\to \mathbb R\) e \(g:[0,2]\to \mathbb R\) têm os gráficos abaixo. O gráfico de \(f\) é formado por dois segmentos; o de \(g\) é o segmento que liga \((0,1)\) a \((2,3)\). Todos os extremos estão incluídos.

1. Determine os domínios naturais de \(f\circ g\) e de \(g\circ f\). Em cada caso, acompanhe a entrada, a saída intermediária e o domínio da função aplicada por último.

2. Calcule \((f\circ g)(1)\) e \((g\circ f)(1)\). Explique também por que \((g\circ f)(2)\) não está definido, embora \(f(2)\) exista.

Ver solução

Como \(g([0,2])=[1,3]\subset [0,4]\), o domínio de \(f\circ g\) é \([0,2]\). Para \(g\circ f\), precisamos de \(x\in [0,4]\) e \(f(x)\in [0,2]\). O gráfico de \(f\) satisfaz essa condição exatamente em \([0,1]\cup [3,4]\). Além disso,

\[ f(g(1))=f(2)=4,\qquad g(f(1))=g(2)=3. \]

Em \(x=2\), a primeira etapa de \(g\circ f\) produz \(f(2)=4\), que está fora do domínio de \(g\). Existir a primeira saída não garante que a segunda etapa possa recebê-la.

Exercício 2.32 (Uma composta lida em dois gráficos)

Os gráficos poligonais definem \(f,g:[0,4]\to [0,4]\). Entre vértices consecutivos, cada gráfico é um segmento de reta. Os vértices são

\[ f:\ (0,0),\ (1,3),\ (4,0);\qquad g:\ (0,0),\ (2,4),\ (4,0). \]

1. Determine \((f\circ g)(1)\), \((f\circ g)(2)\) e \((g\circ f)(1)\). Registre o valor intermediário de cada leitura.

2. Construa \(f\circ g\) e liste os vértices. Em quais trechos a poligonal sobe ou desce quando \(x\) aumenta? Quantos picos interiores há, isto é, vértices mais altos que seus vizinhos?

3. No gráfico de \(f\circ g\), localize as mudanças de sentido e relacione cada uma delas ao comportamento de \(g\) ou à passagem de \(g(x)\) pela abscissa do vértice de \(f\).

4. Construa \(g\circ f\). Compare a quantidade, as posições e as alturas dos picos interiores das duas composições.

[figuras/proposta-20261016-q2-2-1.tex

Ver solução

Como \(g(1)=2\), \(g(2)=4\) e \(f(1)=3\), temos

\[ (f\circ g)(1)=2,\qquad (f\circ g)(2)=0, \qquad (g\circ f)(1)=2. \]

A leitura de \(f\circ g\) revela a poligonal com vértices

\[ (0,0),\quad (\tfrac 12,3),\quad (2,0), \quad (\tfrac 72,3),\quad (4,0). \]

Ela sobe em \([0,1/2]\) e em \([2,7/2]\), e desce nos outros dois trechos. Possui dois picos interiores, em \(x=1/2\) e em \(x=7/2\). Esses pontos aparecem porque \(g(x)\) atinge o valor \(1\), onde \(f\) passa de subida para descida. O vale em \(x=2\) decorre da mudança de sentido de \(g\).

Já \(g\circ f\) possui vértices

\[ (0,0),\quad (\tfrac 23,4),\quad (1,2), \quad (2,4),\quad (4,0). \]

Também possui dois picos interiores, mas nas abscissas \(2/3\) e \(2\). Esses picos ocorrem quando \(f(x)=2\), e o vale em \(x=1\) decorre da mudança de sentido de \(f\). Os dois gráficos têm dois picos, de alturas \(3\) em \(f\circ g\) e \(4\) em \(g\circ f\). Assim, a composição pode gerar mais mudanças de comportamento do que cada uma das funções tomadas isoladamente.

Compor funções significa percorrer duas correspondências em sequência. O gráfico resultante não é obtido somando nem multiplicando ordenadas: as saídas de uma função tornam-se entradas da outra.

Exercício 2.33

O gráfico de \(f\) passa por \((1,4)\) e \((3,-2)\), e \(g(x)=2x+1\).

1. Determine dois pontos do gráfico de \(f\circ g\).

2. Calcule \(g(f(1))\) e \(g(f(3))\).

3. Use \(x=1\) para mostrar que as composições são diferentes, sem supor uma fórmula para \(f\).

Ver solução

Como \(g(0)=1\) e \(g(1)=3\), os pontos pedidos são \((0,4)\) e \((1,-2)\). Também \(g(f(1))=9\) e \(g(f(3))=-3\). Em particular, \((f\circ g)(1)=-2\neq 9=(g\circ f)(1)\).

Exercício 2.34

Se \(f(x)=\sqrt{x+4}\) e \(g(x)=1/(x-1)\), determine os domínios de \(f+g\), \(fg\), \(f\circ g\) e \(g\circ f\). Em cada caso, mostre como surgem as restrições.

Ver solução

\[ \operatorname {Dom}(f+g)=\operatorname {Dom}(fg)=[-4,\infty )\setminus \{ 1\} . \]

Para \(f\circ g\), exigimos \(x\neq 1\) e \(1/(x-1)+4\geq 0\), logo

\[ \operatorname {Dom}(f\circ g)=(-\infty ,3/4]\cup (1,\infty ). \]

Para \(g\circ f\), exigimos \(x\geq -4\) e \(\sqrt{x+4}\neq 1\); portanto, \(\operatorname {Dom}(g\circ f)=[-4,\infty )\setminus \{ -3\} \).

Exercício 2.35

Para cada par de funções, determine as expressões e os domínios de \(f+g\) e de \(g/f\). No item 5, esboce também os gráficos das duas funções obtidas.

1. \(f(x)=x\) e \(g(x)=x^2-1\).

2. \(f(x)=x\) e \(g(x)=\dfrac 1{\sqrt x}\).

3. \(f(x)=1\) e \(g(x)=\sqrt{x-1}\).

4. \(f(x)=1\) e \(g(x)=\dfrac 1{(x-2)^2}\).

5. \(f(x)=\begin{cases} 1,& x\in \mathbb {Q},\\ -1,& x\notin \mathbb {Q},\end{cases}\) e \(g(x)=\begin{cases} -1,& x\in \mathbb {Q},\\ 1,& x\notin \mathbb {Q}.\end{cases}\)

Ver solução

1. \((f+g)(x)=x^2+x-1\), com domínio \(\mathbb {R}\); \((g/f)(x)=x-\dfrac 1x\), com domínio \(\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \).

2. \((f+g)(x)=x+\dfrac 1{\sqrt x}\) e \((g/f)(x)=\dfrac 1{x\sqrt x}=x^{-3/2}\), ambas com domínio \((0,+\infty )\).

3. \((f+g)(x)=1+\sqrt{x-1}\) e \((g/f)(x)=\sqrt{x-1}\), ambas com domínio \([1,+\infty )\).

4. \((f+g)(x)=1+\dfrac 1{(x-2)^2}\) e \((g/f)(x)=\dfrac 1{(x-2)^2}\), para \(x\ne 2\).

5. \(\operatorname {Dom}(f+g)=\operatorname {Dom}(g/f)=\mathbb {R}\), pois \(f\) nunca se anula. Como \(g=-f\), temos \(f+g=0\) e \(g/f=-1\) para todo real. Embora \(f\) e \(g\) assumam valores diferentes em entradas racionais e irracionais, sua soma e seu quociente são constantes. Seus gráficos são as retas horizontais \(y=0\) e \(y=-1\), respectivamente.

Exercício 2.36

Verifique que \(\operatorname {Im}f\subset \operatorname {Dom}g\) e determine a composta \(h(x)=g\bigl(f(x)\bigr)\).

1. \(g(x)=3x+1\) e \(f(x)=x+2\).

2. \(g(x)=\sqrt x\) e \(f(x)=2+x^2\).

3. \(g(x)=\dfrac {x+1}{x-2}\) e \(f(x)=x^2+3\).

4. \(g(x)=-x^2+3x+1\) e \(f(x)=2x-3\).

5. \(g(x)=\dfrac 2{x-2}\) e \(f(x)=x+1\), \(x\ne 1\).

6. \(g(x)=\dfrac {x+1}{x-1}\) e \(f(x)=\dfrac x{x+1}\).

7. \(g(x)=\sqrt x\) e \(f(x)=x^2-x\), com \(x\le 0\) ou \(x\ge 1\).

8. \(g(x)=\dfrac {x+1}{x-2}\) e \(f(x)=\dfrac {2x+1}{x-1}\).

Ver solução

1. \(\operatorname {Im}f=\mathbb {R}=\operatorname {Dom}g\); \(h(x)=3x+7\).

2. \(\operatorname {Im}f=[2,+\infty )\subset [0,+\infty )\); \(h(x)=\sqrt{2+x^2}\).

3. \(\operatorname {Im}f=[3,+\infty )\) não contém \(2\); \(h(x)=\dfrac {x^2+4}{x^2+1}\).

4. \(h(x)=-4x^2+18x-17\), em \(\mathbb {R}\).

5. \(\operatorname {Im}f=\mathbb {R}\setminus \{ 2\} =\operatorname {Dom}g\); \(h(x)=\dfrac 2{x-1}\), \(x\ne 1\).

6. \(f(x)\ne 1\) para todo \(x\ne -1\); \(h(x)=-2x-1\), \(x\ne -1\).

7. Nesses intervalos \(x^2-x\ge 0\); \(h(x)=\sqrt{x^2-x}\).

8. \(f(x)\ne 2\) para todo \(x\ne 1\); \(h(x)=x\), \(x\ne 1\).

Exercício 2.37

A função \(c(g)=1000g\) converte gramas em miligramas. O preço, em reais, de uma preparação é \(p(u)=0{,}018u+7\), com \(u\) em miligramas. Interprete \(p\circ c\) e determine seu domínio físico se a embalagem comporta, no máximo, \(2\) kg.

Ver solução

\((p\circ c)(g)=18g+7\) é o preço, em reais, de uma preparação com \(g\) gramas. O domínio físico é \(0\leq g\leq 2000\).

Exercício 2.38

Para \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\) e \(g(x)=1/(x-1)\), determine \(f\circ g\) e \(g\circ f\), com seus domínios.

Ver solução

\[ \begin{gathered} (f\circ g)(x)=\sqrt{4-\frac1{(x-1)^2}},\\ \operatorname {Dom}(f\circ g)=(-\infty ,1/2]\cup [3/2,\infty ), \end{gathered} \]

pois \(|x-1|\geq 1/2\). Na outra ordem,

\[ \begin{gathered} (g\circ f)(x)=\frac1{\sqrt{4-x^2}-1},\\ \operatorname {Dom}(g\circ f)=[-2,2]\setminus \{ -\sqrt3,\sqrt3\} . \end{gathered} \]

A raiz exige \(|x|\leq 2\) e o denominador exclui as soluções de \(\sqrt{4-x^2}=1\).

Exercício 2.39 (Decompor uma função composta)

Considere \(H(x)=\sqrt{(x^2+1)^3}\), para \(x\in \mathbb R\).

1. Escreva \(H=f\circ g\) de duas maneiras diferentes, indicando os domínios das funções escolhidas. Depois, decomponha \(H\) como composição de três funções.

2. Se \(f(u)=u^2\) e \(h(x)=(x+1)^2\), determine todas as funções \(g:\mathbb R\to \mathbb R\) da forma \(g(x)=ax+b\), com \(a,b\in \mathbb R\), que satisfazem \(f\circ g=h\).

3. Se \(g(x)=x+1\) e \(h(x)=(x+1)^2\), determine \(f:\mathbb R\to \mathbb R\) tal que \(f\circ g=h\). Ela é única? Justifique.

Ver solução

1. Podemos tomar \(g(x)=x^2+1\) e \(f(u)=u^{3/2}\), com \(u\ge 0\), ou \(g(x)=(x^2+1)^3\) e \(f(u)=\sqrt u\), também com \(u\ge 0\). Nos dois casos, a composição está definida em toda a reta. Uma decomposição em três etapas é \(x\mapsto x^2+1\mapsto (x^2+1)^3\mapsto \sqrt{(x^2+1)^3}\).

2. A condição é \(g(x)^2=(x+1)^2\) para todo \(x\). Substituindo \(g(x)=ax+b\) e comparando os coeficientes de \((ax+b)^2=(x+1)^2\), obtemos \(a^2=1\), \(ab=1\) e \(b^2=1\). Portanto, \(g(x)=x+1\) ou \(g(x)=-x-1\).

3. Necessariamente \(f(u)=u^2\), pois \(u=g(x)=x+1\) percorre todos os números reais. Assim, \(f\) é única.

Exercício 2.40

Sejam \(f\) e \(g\) funções reais. Dê um domínio no qual a expressão

\[ (f^g)(x)=f(x)^{g(x)} \]

defina uma função real e discuta em que condições esse domínio pode ser ampliado. Explique por que os domínios de \(f\) e \(g\), sozinhos, não determinam a resposta.

Ver solução

Para expoentes reais arbitrários, uma escolha sempre válida é

\[ D=\{ x\in \operatorname {Dom}f\cap \operatorname {Dom}g:f(x)\gt 0\} . \]

Também podemos incluir pontos em que \(f(x)=0\) e \(g(x)\gt 0\). Bases negativas exigem restrições sobre os valores de \(g(x)\): a potência real existe, por exemplo, quando \(g(x)\) é inteiro ou é racional com denominador ímpar na forma irredutível. Portanto, as restrições dependem dos valores das funções, não apenas de seus domínios.

Exercício 2.41

\(\star \) Considere

\[ H(x)=\frac1{\sqrt{4-(2x-1)^2}}. \]

1. Escreva \(H\) como composição de \(u(x)=2x-1\), \(v(t)=4-t^2\) e uma terceira função \(w\).

2. Determine seu domínio, acompanhando as três etapas.

3. Determine sua imagem.

Ver solução

Temos \(w(s)=1/\sqrt s\), com \(s\gt 0\), e \(H=w\circ v\circ u\). A condição \(4-(2x-1)^2\gt 0\) equivale a \(-1/2\lt x\lt 3/2\). Nesse intervalo, \(4-(2x-1)^2\) assume todos os valores de \((0,4]\); logo, \(\operatorname {Im}H=[1/2,\infty )\). O mínimo \(1/2\) é atingido em \(x=1/2\).

2.6 Propriedades qualitativas

Uma fórmula informa como calcular valores; as propriedades qualitativas descrevem o comportamento global da função. Como as imagens variam quando a entrada aumenta? Entradas diferentes podem produzir a mesma saída? Todo elemento do contradomínio é atingido? Essas perguntas orientam a seção.

2.6.1 Crescimento e decrescimento

Para funções reais, podemos investigar como as imagens se comportam quando a variável aumenta. Essa relação entre as ordens no domínio e na imagem é descrita pelas noções de crescimento e decrescimento:

Em qualquer um dos casos acima, dizemos que a função é monótona ¹ . Em particular, quando a função é crescente ou decrescente, dizemos que é estritamente monótona. 03-monotonicidadeAs quatro condições comparam pares de entradas \(a\lt b\). Nos desenhos da direita, os trechos horizontais fazem com que algumas entradas diferentes tenham a mesma imagem. Toda função crescente é também não decrescente, pois \(f(a)\lt f(b)\) implica \(f(a)\le f(b)\). A recíproca não vale: uma função não decrescente pode ter um trecho constante. Do mesmo modo, toda função decrescente é não crescente, mas uma função não crescente não precisa ser decrescente.

As figuras ilustram as definições; não representam quatro classes disjuntas. A distinção está em permitir ou não a igualdade entre imagens de entradas diferentes.

A função piso, ou parte inteira, associa a cada real \(x\) o maior inteiro menor ou igual a ele. Indicamos esse número por \(\left[\! \left[x\right]\! \right]\):

Por exemplo, \(\left[\! \left[2{,}7\right]\! \right]=2\) e \(\left[\! \left[-1{,}2\right]\! \right]=-2\).

2.6.2 Injetividade e sobrejetividade

Dada uma função \(f:A\to B\), podemos fazer duas perguntas distintas. Valores diferentes do domínio podem produzir a mesma imagem? Todo elemento do contradomínio é atingido? As noções de injetividade e sobrejetividade respondem, respectivamente, a essas perguntas.

No gráfico, a injetividade pode ser reconhecida pelo teste da reta horizontal: uma função é injetora quando nenhuma reta horizontal encontra seu gráfico em mais de um ponto. O teste apenas traduz geometricamente o fato de que uma mesma imagem não pode provir de duas entradas distintas.

[.68figuras/proposta-20261016-e2-5-1.tex

Quando uma função é bijetora, cada elemento do contradomínio corresponde a exatamente um elemento do domínio. Podemos então inverter a associação.

Exercício 2.42 (Um patamar muda a conclusão)

A função \(h:[-2,4]\to [-1,3]\) tem o gráfico poligonal abaixo, com todos os extremos incluídos.

1. Identifique os intervalos máximos não degenerados em que \(h\) é estritamente crescente e o intervalo em que é constante. Ela é não decrescente em todo o domínio? É estritamente crescente em todo ele?

2. Classifique \(h\) quanto à injetividade e à sobrejetividade. Se apenas o contradomínio for substituído por \([-1,4]\), o que muda nessa classificação e o que acontece com o gráfico?

Ver solução

A função é estritamente crescente em \([-2,0]\) e em \([2,4]\), e constante em \([0,2]\). É não decrescente em todo \([-2,4]\), mas não estritamente crescente: por exemplo, \(0\lt 2\) e \(h(0)=h(2)=1\). Essa igualdade também mostra que \(h\) não é injetora. Como sua imagem é todo o intervalo \([-1,3]\), ela é sobrejetora no contradomínio dado. Ao mudar apenas o contradomínio para \([-1,4]\), deixa de ser sobrejetora, pois os valores de \((3,4]\) não são atingidos. O gráfico e a falta de injetividade permanecem os mesmos.

Exercício 2.43

Para cada função do Exercício 2.7, decida se ela é injetora, sobrejetora e bijetora.

Ver solução

Nos itens 2, 5 e 6 do Exercício 2.7, as funções não são injetoras nem sobrejetoras: suas imagens são, respectivamente, \(\{ 1,2\} \), \(\{ 3\} \) e \(\{ 1,2,3\} \), e há valores repetidos. Nos itens 3 e 7, as funções são bijetoras, pois cada elemento de \(B\) aparece exatamente uma vez como imagem. Os itens 1 e 4 não definem funções de \(A\) em \(B\).

Exercício 2.44

Mostre que toda função estritamente monótona é injetora.

Ver solução

Dados pontos distintos \(x\) e \(y\) do domínio, podemos supor \(x\lt y\). A monotonicidade estrita fornece \(f(x)\lt f(y)\) ou \(f(x)\gt f(y)\), conforme a função seja crescente ou decrescente. Em ambos os casos, \(f(x)\neq f(y)\); portanto, \(f\) é injetora.

Exercício 2.45

Determine os intervalos máximos do domínio nos quais

\[ f(x)=\frac{x}{x+1} \]

é crescente ou decrescente. É possível dizer que \(f\) é monótona em todo o seu domínio?

Ver solução

Se \(x\lt y\) pertencem ao mesmo intervalo \((-\infty ,-1)\) ou \((-1,\infty )\), então

\[ f(y)-f(x)=\frac{y-x}{(x+1)(y+1)}\gt 0. \]

Logo, \(f\) é estritamente crescente em cada um desses intervalos. Ela não é monótona em todo o domínio: por exemplo, \(-2\lt 0\), mas \(f(-2)=2\gt 0=f(0)\).

Exercício 2.46 (Uma bijeção que não é monótona)

Seja \(D=[-2,-1]\cup [1,2]\). A função \(p:D\to D\) é representada pelos dois segmentos da figura, cujos extremos estão incluídos. Não há pontos do gráfico fora desses segmentos.

1. Verifique diretamente no gráfico se \(p\) é injetora e sobrejetora. Use retas horizontais para explicar por que saídas iguais não aparecem em entradas diferentes.

2. A função é crescente em cada um dos dois intervalos do domínio. Ela é crescente em todo \(D\)? Poderia ser decrescente em todo \(D\)? Que conclusão o exemplo permite tirar sobre a recíproca de “toda função estritamente monótona é injetora”?

Ver solução

Cada segmento é estritamente crescente, e suas imagens, \([1,2]\) e \([-2,-1]\), são disjuntas. Assim, cada \(y\in D\) aparece exatamente uma vez: \(p\) é injetora e sobrejetora, portanto bijetora. Porém, \(-1\lt 1\) e \(p(-1)=2\gt p(1)=-2\), de modo que \(p\) não é crescente em todo \(D\). Também não é decrescente, pois \(-2\lt -1\) e \(p(-2)=1\lt p(-1)=2\). Logo, uma função injetora, mesmo bijetora, não precisa ser estritamente monótona em seu domínio. O crescimento em componentes separadas não basta para uma conclusão global.

Exercício 2.47

Para cada função, determine se ela é injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique. Os quatro últimos itens são de aprofundamento. Nas funções definidas em \(\mathbb {R}\times \mathbb {R}\), escrevemos \(f(x,y)\) para a imagem do par ordenado \((x,y)\), isto é, \(f((x,y))\).

1. \(A=\{ 1,2,3,4,5,6,7\} \) e \(f:A\to A\) é dada por

   \[ f(x)= \begin{cases} x,& \text{se $x$ é ímpar},\\ x/2,& \text{se $x$ é par}. \end{cases} \]

2. \(A=\{ 1,2,3,4,5,6,7\} \) e \(g:A\to A\) é dada por

   \[ g(x)=\begin{cases} x+1,& x\neq 7,\\ 1,& x=7. \end{cases} \]

3. \(f : \mathbb {N}\rightarrow \mathbb {N}\), \(f(n)=3n+1\).

4. \(f : \mathbb {Z}\rightarrow \mathbb {Z}\), \(f(n)=n - \lvert n\rvert \).

5. \(f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)=ax+b\) com \(a\neq 0\).

6. \(f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)=2x^{2}\) .

7. \(f : (0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)=\dfrac {1}{x}\).

8. \(f : \mathbb {R}^{*} \rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)=\dfrac {1}{x^2}\).

9. \(f : [0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x)=\sqrt{x}\).

10. \(f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\times \mathbb {R}\), \(f(x)= (x,x)\).

11. \(f : \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\times \mathbb {R}\), \(f(x)= (x,\lvert x\rvert )\).

12. \(f : \mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\), \(f(x,y)= x-\lvert y\rvert \).

13. \(f : \mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}\times \mathbb {R}\), \(f(x,y)= (x, y^{3})\).

Ver solução

1. Não é injetora, pois \(f(1)=f(2)=1\), nem sobrejetora: a imagem é \(\{ 1,2,3,5,7\} \).

2. É bijetora: \(g\) permuta ciclicamente os sete elementos, com \(g(7)=1\) e \(g(k)=k+1\) para \(1\leq k\leq 6\).

3. É injetora, pois \(3n+1=3m+1\) implica \(n=m\). Não é sobrejetora: \(0\) não pertence à imagem.

4. Não é injetora, pois todos os inteiros não negativos têm imagem zero. Não é sobrejetora: a imagem é \(\{ 0,-2,-4,\ldots \} \).

5. É bijetora: para cada \(y\in \mathbb {R}\), a equação \(ax+b=y\) tem exatamente uma solução, \(x=(y-b)/a\).

6. Não é injetora, pois \(f(1)=f(-1)\), nem sobrejetora, pois a imagem é \([0,\infty )\).

7. É injetora, mas não sobrejetora em \(\mathbb {R}\): a imagem é \((0,\infty )\).

8. Não é injetora, pois \(f(1)=f(-1)\), nem sobrejetora: a imagem é \((0,\infty )\).

9. É injetora, mas não sobrejetora em \(\mathbb {R}\): a imagem é \([0,\infty )\).

10. É injetora; não é sobrejetora, pois a imagem é a diagonal \(\{ (t,t):t\in \mathbb {R}\} \).

11. É injetora pela primeira coordenada; não é sobrejetora, pois a imagem é \(\{ (t,|t|):t\in \mathbb {R}\} \).

12. É sobrejetora, pois \(f(z,0)=z\) para todo \(z\in \mathbb {R}\). Não é injetora: \(f(0,0)=f(1,1)=0\).

13. É bijetora: cada par \((u,v)\in \mathbb {R}^2\) tem exatamente uma pré-imagem, o par \((u,\sqrt[3]{v})\), pois a equação \(y^3=v\) tem uma única solução real.

Exercício 2.48 (O que preserva a monotonicidade?)

Sejam \(f,g:\mathbb R\to \mathbb R\) funções crescentes. Decida se cada afirmação é verdadeira, justificando ou apresentando um contraexemplo.

1. A soma \(f+g\) é crescente.

2. A composta \(f\circ g\) é crescente.

3. O produto \(fg\) é crescente.

4. Se, além disso, \(f(x)\gt 0\) e \(g(x)\gt 0\) para todo \(x\), então \(fg\) é crescente.

O que muda no segundo item se \(g\) for decrescente?

Ver solução

1. Verdadeira: se \(x\lt y\), então \(f(x)+g(x)\lt f(y)+g(y)\).

2. Verdadeira: \(x\lt y\) implica \(g(x)\lt g(y)\) e, pela monotonicidade de \(f\), \(f(g(x))\lt f(g(y))\).

3. Falsa: \(f(x)=g(x)=x\) são crescentes, mas \(fg(x)=x^2\) não é crescente em toda a reta.

4. Verdadeira: para \(x\lt y\), temos \(f(x)g(x)\lt f(y)g(x)\lt f(y)g(y)\), pois os fatores são positivos.

Se \(g\) for decrescente e \(f\) crescente, a composta \(f\circ g\) será decrescente.

Exercício 2.49

\(\star \) Seja \(A\) um conjunto (não vazio) com \(n\) elementos e seja \(B\) um conjunto qualquer. Mostre cada uma das seguintes afirmações:

1. Se existe uma função injetora \(f:A \to B\), então \(B\) possui pelo menos \(n\) elementos.

2. Se existe uma função sobrejetora \(f:A \to B\), então \(B\) possui no máximo \(n\) elementos.

3. Conclua, das afirmações acima, a seguinte propriedade: dois conjuntos finitos possuem o mesmo número de elementos se, e somente se, existe uma função bijetora entre tais conjuntos.

Ver solução

1. Se \(f\) é injetora, os \(n\) elementos distintos de \(A\) têm \(n\) imagens distintas em \(B\). Logo, \(B\) tem pelo menos \(n\) elementos.

2. Se \(f\) é sobrejetora, \(B=f(A)\). Uma lista de \(n\) imagens contém no máximo \(n\) valores distintos, logo \(B\) tem no máximo \(n\) elementos.

3. Uma bijeção implica as duas desigualdades, portanto as cardinalidades são iguais. Reciprocamente, se \(A=\{ a_1,\ldots ,a_n\} \) e \(B=\{ b_1,\ldots ,b_n\} \), a regra \(f(a_i)=b_i\) define uma bijeção. Para os dois conjuntos vazios, a função vazia é bijetora.

2.7 Função inversa

Inverter uma função significa recuperar a entrada a partir da saída. Para que isso seja possível em todo o contradomínio, duas condições são necessárias: saídas iguais não podem provir de entradas diferentes, e todo elemento do contradomínio precisa ser atingido. Essas são precisamente a injetividade e a sobrejetividade.

Quando \(C\subset A\), a função

é a restrição de \(f\) a \(C\). Restringir o domínio pode eliminar repetições de valores e tornar uma função injetora. Por exemplo, \(x\mapsto x^2\) não é injetora em \(\mathbb {R}\), mas sua restrição a \([0,+\infty )\) é injetora. Tomando também \([0,+\infty )\) como contradomínio, obtemos uma bijeção.

No sentido oposto, uma extensão de \(g:A\to B\) a um conjunto \(C\supset A\) é uma função \(f:C\to B\) que coincide com \(g\) em \(A\). A restrição a um conjunto fixado é única; uma extensão, em geral, não é.

A função identidade de um conjunto \(A\) é a função \(\imath _A:A\to A\) dada por \(\imath _A(x)=x\) para todo \(x\in A\).

Se \(f:A\to B\) é apenas injetora, ela se torna bijetora quando substituímos o contradomínio \(B\) por sua imagem \(f(A)\). Nesse caso, podemos inverter a função sobre sua imagem, obtendo \(f^{-1}:f(A)\to A\). É exatamente o que ocorre com \(x\mapsto x^2\) depois que restringimos seu domínio a \([0,+\infty )\).

2.7.1 O gráfico da inversa

Se \(f:A\to B\) é bijetora, então

Assim, a cada ponto \((x,y)\) do gráfico de \(f\) corresponde o ponto \((y,x)\) do gráfico de \(f^{-1}\). Esses pontos são simétricos em relação à reta \(y=x\); portanto, os gráficos de uma função e de sua inversa são reflexões um do outro em relação a essa reta.

Exercício 2.50 (Ler a inversa sem encontrar uma fórmula)

A função \(f:[-2,3]\to [0,4]\) tem o gráfico formado pelos segmentos que ligam, nessa ordem, \((-2,0)\), \((0,1)\), \((1,3)\) e \((3,4)\).

1. Justifique a existência da inversa e determine seu domínio, sua imagem e os valores \(f^{-1}(0)\), \(f^{-1}(1)\) e \(f^{-1}(4)\).

2. Esboce o gráfico de \(f^{-1}\) usando a reta \(y=x\) como referência e indique os quatro vértices correspondentes. Explique por que o ponto \((1,0)\) pertence ao gráfico da inversa, mas \((0,1)\) não pertence.

Figura não resolvida: inl-c02-tikz-013

Ver solução

O gráfico é estritamente crescente e percorre todos os valores de \([0,4]\); portanto, \(f\) é bijetora. A inversa tem domínio \([0,4]\) e imagem \([-2,3]\), com \(f^{-1}(0)=-2\), \(f^{-1}(1)=0\) e \(f^{-1}(4)=3\). Seu gráfico liga \((0,-2)\), \((1,0)\), \((3,1)\) e \((4,3)\): basta trocar as coordenadas dos vértices. Em particular, \(f(0)=1\) produz o ponto \((1,0)\) da inversa. O ponto \((0,1)\) exigiria \(f(1)=0\), mas \(f(1)=3\).

Exercício 2.51 (O que um sensor saturado permite recuperar)

Um sensor recebe uma entrada \(x\in [-1,4]\) e exibe a leitura \(r(x)\) do gráfico. Entradas negativas são exibidas como \(0\); entradas acima de \(3\) são exibidas como \(3\); entre \(0\) e \(3\), a leitura coincide com a entrada.

1. Quais entradas são compatíveis com as leituras \(0\), \(2\) e \(3\)? Explique por que a possibilidade de recuperar a entrada depende da leitura.

2. A função \(r:[-1,4]\to [0,3]\) possui inversa? Se soubermos adicionalmente que a entrada pertence a \([0,3]\), que função inversa passa a ser possível? Uma fórmula pode recuperar a informação perdida fora desse intervalo sem novos dados?

Ver solução

As entradas possíveis são \([-1,0]\) para a leitura \(0\), apenas \(\{ 2\} \) para a leitura \(2\), e \([3,4]\) para a leitura \(3\). Em geral, uma leitura \(y\in (0,3)\) determina unicamente \(x=y\), enquanto as leituras extremas agrupam várias entradas. Por isso, \(r\) não é injetora e não possui inversa no domínio original. Restrita a \([0,3]\), com contradomínio \([0,3]\), ela é a identidade, cuja inversa também é \(y\mapsto y\). Fora dessa restrição, nenhuma fórmula baseada apenas na leitura distingue entradas que produziram exatamente a mesma saída.

Exercício 2.52

Seja \(f:A\to B\). Denote por \(\imath _A\) e \(\imath _B\) as funções identidade em \(A\) e em \(B\), respectivamente. Mostre que:

1. \(\imath _B\circ f=f\) e \(f\circ \imath _A=f\);

2. se \(f\) é invertível, então \(f\circ f^{-1}=\imath _B\) e \(f^{-1}\circ f=\imath _A\).

Explique em que sentido essas igualdades exprimem o papel da identidade na composição de funções.

Ver solução

Escreva \(f:A\to B\), \(\imath _A(x)=x\) em \(A\) e \(\imath _B(y)=y\) em \(B\).

1. Para \(x\in A\), \((\imath _B\circ f)(x)=f(x)\) e \((f\circ \imath _A)(x)=f(x)\). Os domínios e contradomínios também coincidem.

2. Se \(f\) é bijetora, a definição de inversa dá \(f^{-1}(f(x))=x\) para \(x\in A\) e \(f(f^{-1}(y))=y\) para \(y\in B\). Logo, \(f^{-1}\circ f=\imath _A\) e \(f\circ f^{-1}=\imath _B\).

Exercício 2.53

Considere \(f:[0,2]\to [0,5]\), dada por \(f(x)=x^2\). Determine o domínio, o contradomínio e a imagem de \(f\). Explique por que ela não possui inversa definida em todo o contradomínio. Substitua então o contradomínio pela imagem e determine a inversa da função assim obtida.

Ver solução

Temos \(\operatorname {Dom}f=[0,2]\), contradomínio \([0,5]\) e \(\operatorname {Im}f=[0,4]\). A função é injetora, mas não é sobrejetora sobre \([0,5]\); por isso, não possui inversa com domínio \([0,5]\). Substituindo o contradomínio pela imagem, obtemos uma bijeção cuja inversa é

\[ f^{-1}:[0,4]\longrightarrow [0,2],\qquad f^{-1}(y)=\sqrt y. \]

Assim, o domínio de \(f^{-1}\) é a imagem de \(f\), não todo o contradomínio escolhido para \(f\).

Exercício 2.54

Considere a função

\[ f(x)=\frac{4x-1}{x+2},\qquad x\ne -2. \]

Determine sua imagem. Tomando essa imagem como contradomínio, encontre uma expressão para \(f^{-1}\), indique seu domínio e verifique uma das composições.

Ver solução

\[ \begin{gathered} f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{4-x},\\ \operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\setminus \{ -2\} ,\\ \operatorname {Im}f=\operatorname {Dom}f^{-1}=\mathbb {R}\setminus \{ 4\} . \end{gathered} \]

Substituição direta fornece \(f^{-1}(f(x))=x\) para \(x\neq -2\).

Exercício 2.55

Um sensor apresenta a temperatura em Fahrenheit, \(F=1{,}8C+32\). Determine a função que recupera a temperatura em Celsius a partir de \(F\) e explique como as unidades do domínio e da imagem se alteram ao inverter a função.

Ver solução

\(C(F)=\frac59(F-32)\). A função original recebe graus Celsius e devolve graus Fahrenheit; a inversa recebe graus Fahrenheit e devolve graus Celsius.

Exercício 2.56

Prove que toda função da forma \(h(x)=a-x\), com \(a\in \mathbb {R}\), é sua própria inversa e interprete geometricamente o resultado.

Ver solução

\(h(h(x))=a-(a-x)=x\), logo \(h^{-1}=h\). Seu gráfico é a reta \(y=a-x\), simétrica em relação à reta \(y=x\).

Exercício 2.57

A distância registrada por um odômetro em função do tempo é não decrescente, mas pode apresentar trechos constantes. Discuta quando essa função admite uma inversa que forneça o tempo a partir da distância. Que informação adicional eliminaria a ambiguidade?

Ver solução

Uma inversa usual sobre a imagem existe quando a distância é estritamente crescente. Em um trecho constante, vários instantes correspondem à mesma distância. Nesse caso, é preciso restringir o domínio para não manter duas entradas com a mesma distância ou obter informação adicional que identifique o instante. Escolher por convenção o primeiro instante em que determinada distância foi atingida, quando ele existe, apenas seleciona um representante: não inverte a função original em todos os instantes.

Exercício 2.58

Determine uma função \(f\), com o maior domínio real possível, tal que \(g\bigl(f(x)\bigr)=x\) para todo \(x\in \operatorname {Dom}f\), sendo \(g\) dada por:

1. \(g(x)=\dfrac 1x\);

2. \(g(x)=\dfrac {x+2}{x+1}\);

3. \(g(x)=x^2\), \(x\ge 0\);

4. \(g(x)=x^2-2x\), \(x\ge 1\);

5. \(g(x)=2+\dfrac 3{x+1}\);

6. \(g(x)=x^2-4x+3\), \(x\ge 2\).

Em cada caso, indique o domínio de \(f\).

Ver solução

1. \(f(x)=\dfrac 1x\), \(x\ne 0\).

2. \(f(x)=\dfrac {2-x}{x-1}\), \(x\ne 1\).

3. \(f(x)=\sqrt x\), \(x\ge 0\).

4. \((f-1)^2=x+1\) e \(f\ge 1\): \(f(x)=1+\sqrt{x+1}\), \(x\ge -1\).

5. \(f(x)=\dfrac 3{x-2}-1=\dfrac {5-x}{x-2}\), \(x\ne 2\).

6. \((f-2)^2=x+1\) e \(f\ge 2\): \(f(x)=2+\sqrt{x+1}\), \(x\ge -1\).

Exercício 2.59 (Escolher a restrição para inverter)

Considere \(g:\mathbb R\to \mathbb R\), dada por \(g(x)=x^2-2x\).

1. Mostre que \(g\) não é injetora em \(\mathbb R\). Encontre dois intervalos distintos \(I_1\) e \(I_2\) tais que a restrição de \(g\) a cada um seja uma bijeção sobre \([-1,+\infty )\).

2. Determine as duas funções inversas, indicando seus domínios e suas imagens.

3. Esboce os gráficos das inversas no mesmo plano. Por que a união desses gráficos não representa uma função?

Ver solução

1. Como \(g(x)=(x-1)^2-1\), temos \(g(0)=g(2)\), logo \(g\) não é injetora na reta. Podemos escolher \(I_1=(-\infty ,1]\) e \(I_2=[1,+\infty )\). Em cada intervalo, \(g\) é estritamente monótona e sua imagem é \([-1,+\infty )\).

2. A inversa da restrição a \(I_1\) é \(g_1^{-1}(y)=1-\sqrt{y+1}\), com domínio \([-1,+\infty )\) e imagem \((-\infty ,1]\). A inversa da restrição a \(I_2\) é \(g_2^{-1}(y)=1+\sqrt{y+1}\), com o mesmo domínio e imagem \([1,+\infty )\).

3. As duas curvas são os ramos da parábola \(x=(y-1)^2-1\), escritos como gráficos de \(y=1\pm \sqrt{x+1}\). Para cada \(x\gt -1\), a união contém dois valores distintos de \(y\), portanto falha no teste da reta vertical.

2.8 Transformações e simetrias dos gráficos

Conhecer um gráfico permite construir muitos outros sem recomeçar o esboço ponto a ponto. Alterações simples na expressão correspondem a deslocamentos, mudanças de escala ou reflexões no plano.

2.8.1 Translações

Se \(c\in \mathbb {R}\), comparemos

Na primeira expressão, a constante é somada ao valor da função: cada ponto \((x,f(x))\) é levado a \((x,f(x)+c)\). O gráfico sofre uma translação vertical de \(|c|\) unidades, para cima quando \(c\gt 0\) e para baixo quando \(c\lt 0\).

Na segunda expressão, a constante altera a entrada da função. O valor que \(f\) assume em \(a\) passa a ser assumido por \(h\) em \(a+c\), pois \(h(a+c)=f(a)\). O gráfico sofre uma translação horizontal de \(|c|\) unidades para a direita se \(c\gt 0\) e para a esquerda se \(c\lt 0\).

A figura ilustra essas transformações.

Os domínios também acompanham a transformação. Se \(f:A\to \mathbb {R}\), então \(g\) tem domínio \(A\), enquanto

2.8.2 Mudanças de escala

Multiplicar uma coordenada por uma constante positiva produz uma mudança homogênea de escala. Para \(c\gt 0\), consideremos

No gráfico de \(g\), todas as ordenadas são multiplicadas por \(c\): temos uma mudança de escala vertical por fator \(c\). No gráfico de \(h\), o valor que \(f\) assumia em \(cx\) passa a aparecer em \(x\); por isso, a escala horizontal é multiplicada por \(1/c\).

Consequentemente, se \(c\gt 1\), \(cf(x)\) produz uma dilatação vertical, enquanto \(f(cx)\) produz uma contração horizontal. Se \(0\lt c\lt 1\), ocorre o contrário. A diferença é a mesma observada nas translações: alterações feitas fora de \(f\) atuam diretamente nos valores; alterações feitas no argumento atuam de maneira inversa no eixo horizontal.

A figura ilustra essas transformações.

2.8.3 Reflexões

As mudanças de escala anteriores usaram fatores positivos. A troca de sinal de uma coordenada introduz outro efeito geométrico: a reflexão. Dado um ponto \(P\) de coordenadas \((x,y)\), dizemos que:

• o ponto de coordenadas \((x,-y)\) é o ponto simétrico de \(P\) relativamente ao eixo \(x\).

• o ponto de coordenadas \((-x,y)\) é o ponto simétrico de \(P\) relativamente ao eixo \(y\).

• o ponto de coordenadas \((-x,-y)\) é o ponto simétrico de \(P\) relativamente à origem \(O\).

Refletir em relação ao eixo \(x\) troca o sinal das ordenadas; refletir em relação ao eixo \(y\) troca o sinal das abscissas. Assim:

• o gráfico de \(-f(x)\) é a reflexão do gráfico de \(f\) em relação ao eixo \(x\);

• o gráfico de \(f(-x)\) é a reflexão do gráfico de \(f\) em relação ao eixo \(y\).

2.8.4 Paridade

Uma reflexão pode levar o gráfico de uma função ao de outra ou pode deixá-lo inalterado. Quando o gráfico permanece o mesmo após uma reflexão em relação ao eixo \(y\), a função é chamada de par; quando permanece o mesmo após uma reflexão em relação à origem, a função é chamada de ímpar.

De fato, refletir \((x,f(x))\) em relação ao eixo \(y\) produz \((-x,f(x))\). Esse ponto pertence ao gráfico original exatamente quando \(f(-x)=f(x)\). De modo semelhante, a reflexão em relação à origem produz \((-x,-f(x))\), que pertence ao gráfico original exatamente quando \(f(-x)=-f(x)\).

Portanto, se \(f:A\to B\) e o domínio \(A\subset \mathbb {R}\) é simétrico em relação à origem, isto é, \(x\in A\) implica \(-x\in A\), então

• \(f\) é par se, e somente se, \(f(-x)=f(x)\) para todo \(x\in A\);

• \(f\) é ímpar se, e somente se, \(f(-x)=-f(x)\) para todo \(x\in A\).

2.8.5 Periodicidade

Nem toda simetria decorre de uma reflexão. Um gráfico pode também permanecer inalterado após uma translação horizontal. Esse comportamento caracteriza as funções periódicas.

Todo número \(r\gt 0\) que satisfaz as condições da definição é chamado de período de \(f\). A primeira condição garante que a translação não retire pontos do domínio; ela é automática quando \(A=\mathbb {R}\), mas é necessária, por exemplo, para tratar a tangente. Quando o conjunto dos períodos positivos possui um menor elemento \(T\), esse número é chamado de período fundamental. Assim, \(T\) satisfaz:

1. \(x\in A\) se, e somente se, \(x+T\in A\), e \(f(x+T)=f(x)\) para todo \(x\in A\);

2. nenhum número de \((0,T)\) é período de \(f\).

04-periodicidadeO mesmo desenho se repete por translações de \(T\). Deslocamentos de \(2T\) ou \(3T\) também preservam o gráfico, mas \(T\) é o menor período positivo. O desenho mostra três repetições de um padrão que se prolonga por toda a reta. Deslocar o gráfico \(T\) unidades para a direita faz cada trecho coincidir com o seguinte. Fazer dois desses deslocamentos equivale a transladar \(2T\) unidades; portanto, \(2T\) também é um período. O mesmo vale para qualquer múltiplo inteiro positivo de \(T\).

Para reconhecer o período fundamental, precisamos excluir deslocamentos positivos menores. Na curva desenhada, a altura máxima é atingida apenas nas abscissas \(kT\), com \(k\in \mathbb {Z}\). Uma translação que preserve o gráfico deve levar o máximo em \(x=0\) a outro ponto de mesma altura. Não existe um ponto assim entre \(0\) e \(T\). Logo, nenhum número de \((0,T)\) é período, e \(T\) é o período fundamental.

A repetição exige a coincidência do gráfico inteiro, não apenas de dois valores isolados. A forma da curva pode ser bastante diferente de uma onda simples; o que importa é a invariância por translação.

Uma função periódica não constante pode não ter período fundamental. A função de Dirichlet apresentada anteriormente é um exemplo: todo racional positivo é um período, mas não há um menor racional positivo. Para as funções periódicas com período fundamental que estudaremos a seguir, usaremos também a palavra período para designar esse menor valor, quando o contexto for claro.

Os exemplos clássicos são as funções trigonométricas, estudadas adiante. Antes delas, retomemos a parte inteira e consideremos a função

em que \(\left[\! \left[x\right]\! \right]\) denota, como definido anteriormente, o maior inteiro menor ou igual a \(x\). A função \(f\) é periódica, pois, para todo inteiro \(n\),

Em particular, \(1\) é um período de \(f\). A figura mostra esse comportamento periódico.

Exercício 2.60 (Transformações simples e domínios)

Em cada item, descreva as transformações que levam ao gráfico pedido e determine o domínio da função obtida.

1. Obtenha \(y=\sqrt{x}+2\) a partir de \(y=\sqrt x\).

2. Obtenha \(y=2\sqrt{x+3}-1\) a partir de \(y=\sqrt x\).

Ver solução

1. Translação de duas unidades para cima. O domínio permanece \([0,+\infty )\).

2. Primeiro, translação de três unidades para a esquerda, que leva o domínio a \([-3,+\infty )\); depois, escala vertical por fator \(2\) e translação de uma unidade para baixo, que não alteram o domínio.

Exercício 2.61

Verifique a identidade

\[ x^2+bx+c=\left(x+\frac b2\right)^2+\frac{4c-b^2}{4} \]

e conclua que o gráfico de \(y=x^2+bx+c\) pode ser obtido do gráfico de \(y=x^2\) por uma translação horizontal seguida de uma translação vertical.

Ver solução

Expandindo o quadrado, recuperamos \(x^2+bx+c\). A translação horizontal é de \(-b/2\), e a vertical, de \(c-b^2/4\). O ponto de mínimo resultante é \((-b/2,c-b^2/4)\).

Exercício 2.62

Seja \(f:A\to \mathbb {R}\) e seja \(c\gt 0\). Para

\[ g(x)=cf(x),\qquad h(x)=f(cx), \]

compare os domínios de \(g\) e \(h\) com o domínio \(A\) de \(f\).

Ver solução

Temos \(\operatorname {Dom}g=A\). Já \(h(x)\) está definida quando \(cx\in A\); portanto,

\[ \operatorname {Dom}h=\{ x\in \mathbb {R}:cx\in A\} =\{ a/c:a\in A\} . \]

Exercício 2.63

Seja \(f:A\to \mathbb {R}\). Para

\[ g(x)=-f(x),\qquad h(x)=f(-x), \]

compare os domínios de \(g\) e \(h\) com o domínio \(A\) de \(f\).

Ver solução

Temos \(\operatorname {Dom}g=A\) e

\[ \operatorname {Dom}h=\{ x\in \mathbb {R}:-x\in A\} =-A. \]

Assim, a reflexão no eixo \(x\) preserva o domínio, enquanto a reflexão no eixo \(y\) o substitui por seu simétrico em relação à origem.

Exercício 2.64 (Transportar os pontos e os extremos)

O gráfico de \(f\) é a linha poligonal indicada na figura. Seu domínio é \((-1,3]\): o ponto \((-1,1)\) está excluído, e os demais vértices estão incluídos. Defina

\[ g(x)=3-f(2x-1). \]

1. Determine para onde vai cada um dos quatro vértices, esboce \(g\) e indique seu domínio e sua imagem. Preserve a distinção entre extremos incluídos e excluídos.

2. Uma descrição propõe “deslocar uma unidade para a direita e dobrar as distâncias horizontais”. Corrija essa descrição acompanhando a abscissa \(u\) de um ponto de \(f\) até a abscissa correspondente em \(g\).

Figura não resolvida: inl-c02-tikz-022

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Um ponto \((u,v)\) é levado a \(((u+1)/2,\, 3-v)\), pois \(u=2x-1\). Os vértices tornam-se \((0,2)\), excluído; \((1/2,0)\); \((3/2,4)\); e \((2,2)\), estes três incluídos. Logo, o domínio é \((0,2]\) e a imagem é \([0,4]\). Horizontalmente, as distâncias são reduzidas à metade, e depois há uma translação de \(1/2\) unidade para a direita. Verticalmente, refletimos no eixo horizontal e transladamos \(3\) unidades para cima. Em particular, o extremo excluído continua excluído; a transformação não preenche esse ponto.

Exercício 2.65

A partir de \(y=x^2\), descreva, na ordem, transformações que produzam o gráfico de \(y=-3(x-2)^2+5\). Sem construir uma tabela de valores, localize o ponto de máximo e a reta vertical de simetria e determine domínio e imagem.

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Translade duas unidades para a direita, dilate verticalmente por fator \(3\), reflita no eixo \(x\) e translade cinco unidades para cima. O ponto de máximo é \((2,5)\), a reta vertical de simetria é \(x=2\), o domínio é \(\mathbb {R}\) e a imagem é \((-\infty ,5]\).

Exercício 2.66

Responda às questões sobre paridade.

1. O gráfico de uma função pode ser simétrico em relação ao eixo \(x\)? Em que caso?

2. O que se pode dizer sobre o domínio de uma função par ou ímpar?

3. Num domínio simétrico fixado, qual função é simultaneamente par e ímpar?

4. Considere duas funções definidas no mesmo domínio simétrico em relação à origem. Estude a paridade da soma e do produto quando ambas são pares, quando ambas são ímpares e quando uma é par e a outra é ímpar.

5. Se \(f\) é par, \(g\) é ímpar e \(k\in \mathbb {R}\), discuta a paridade de

   \[ \begin{gathered} kf,\quad kg,\quad f+k,\quad g+k,\\ |f|,\quad |g|. \end{gathered} \]

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1. Sim, apenas para a função nula: a simetria exigiria que \((x,y)\) e \((x,-y)\) pertencessem ao gráfico, e a unicidade da imagem força \(y=0\).

2. O domínio deve ser simétrico em relação à origem.

3. A função nula. As duas identidades de paridade dão \(f(x)=f(-x)=-f(x)\).

4. A soma de duas funções pares é par, e a de duas ímpares é ímpar. O produto de duas pares ou de duas ímpares é par; o produto de uma par por uma ímpar é ímpar. Para uma soma de par com ímpar, em geral não há paridade.

5. \(kf\) é par, \(kg\) é ímpar e \(f+k\) é par. Se \(k=0\), então \(g+k\) é ímpar; se \(g\) é nula, \(g+k\) é par; nos demais casos, \(g+k\) não é par nem ímpar. As funções \(|f|\) e \(|g|\) são pares. A função nula deve ser lembrada como simultaneamente par e ímpar.

Exercício 2.67

Sejam \(u(x)=(f(x)+f(-x))/2\) e \(v(x)=(f(x)-f(-x))/2\), com domínio de \(f\) simétrico em relação à origem. Mostre que \(u\) é par, \(v\) é ímpar e \(f=u+v\).

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Substituindo \(-x\), obtemos \(u(-x)=u(x)\) e \(v(-x)=-v(x)\). Além disso,

\[ u(x)+v(x)=\frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}2=f(x). \]

Exercício 2.68 (Repetir um valor não é repetir o gráfico)

Em \([0,4]\), o gráfico de \(w\) liga \((0,0)\) a \((1,2)\) e depois a \((4,0)\) por segmentos. Esse padrão repete-se por translações horizontais de \(4\) unidades em toda a reta real; a figura mostra duas repetições.

1. O número \(2\) também é um período? Justifique pelo gráfico e determine o período fundamental, usando o conjunto de zeros do padrão repetido.

2. Se a informação de repetição não tivesse sido dada, a igualdade \(w(1)=w(5)\) bastaria para concluir que \(4\) é um período? Examine, como comparação, a função \(q(x)=(x-3)^2\) nas entradas \(1\), \(5\), \(0\) e \(4\).

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O número \(2\) não é período: \(w(0)=0\), mas \(w(2)\gt 0\). Os zeros são exatamente os números \(4k\), com \(k\in \mathbb Z\). Se \(T\gt 0\) fosse um período, teríamos \(w(T)=w(0)=0\), de modo que \(T\) seria um múltiplo positivo de \(4\). Como \(4\) é período pela regra de repetição dada, é o período fundamental. A igualdade em apenas um par de entradas não basta: \(q(1)=q(5)=4\), mas \(q(0)=9\ne 1=q(4)\). Periodicidade exige a mesma igualdade para todas as entradas, não apenas uma coincidência de valores.

Exercício 2.69

Para \(f(x)=x-\left[\! \left[x\right]\! \right]\), mostre que os períodos positivos são exatamente os inteiros positivos e conclua que o período fundamental é \(1\).

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Todo inteiro positivo \(n\) é período, pois \(\left[\! \left[x+n\right]\! \right]=\left[\! \left[x\right]\! \right]+n\). Reciprocamente, se \(r\gt 0\) é período, então \(f(r)=f(0)=0\); logo, \(r-[\! [r ]\! ]=0\) e \(r\) é inteiro. O menor período positivo é, portanto, \(1\).