Parte
Números e Funções

Capítulo 1

Números

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso.
Álvaro de Campos

O Cálculo se desenvolve sobre os números reais. Neles convivem três estruturas: as operações algébricas, a ordem e a propriedade de completude. Muitas regras elementares se tornam tão familiares pelo uso que sua origem acaba ficando oculta. Algumas perguntas simples permitem tornar essa estrutura visível:

  • Por que \(a\cdot 0=0\), se essa igualdade não foi colocada como axioma?

  • Por que podemos cancelar um fator não nulo?

  • De onde vem a regra do produto nulo?

  • Por que uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos seus dois membros por um número negativo?

  • Por que \(\sqrt2\) existe em \(\mathbb R\), embora não exista em \(\mathbb Q\)?

  • Como reconhecer uma fatoração útil?

  • Quando uma simplificação algébrica é realmente legítima?

Os axiomas algébricos governam as operações; os axiomas de ordem tornam compatíveis as operações e a comparação entre números; a completude exprime, de forma precisa, a ausência de lacunas na reta real. Fatoração e simplificação algébrica também se apoiam nas propriedades das operações e exigem atenção às restrições de domínio.

1.1 Dos naturais aos reais

Os primeiros conjuntos numéricos aparecem quando diferentes problemas exigem novas operações. Adotaremos a convenção de que o zero é um número natural:

\[ \mathbb N=\{ 0,1,2,3,\ldots \} . \]

Escreveremos \(\mathbb N^*=\mathbb N\setminus \{ 0\} \) para o conjunto dos naturais positivos. Os naturais são adequados para contar. Entretanto, uma subtração como \(3-5\) não tem resultado em \(\mathbb N\). A introdução dos números negativos conduz ao conjunto dos inteiros,

\[ \mathbb Z=\{ \ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \} . \]

Nos inteiros podemos subtrair livremente, mas uma divisão como \(2/3\) ainda não produz um inteiro. Incluindo todas as razões entre inteiros, com denominador não nulo, obtemos os números racionais:

\[ \mathbb Q=\left\{ \frac pq:p,q\in \mathbb Z\text{ e }q\ne 0\right\} . \]

Essas ampliações podem ser resumidas pelas inclusões

\[ \mathbb N\subset \mathbb Z\subset \mathbb Q. \]

Cada conjunto conserva as operações já existentes e acrescenta soluções para problemas que o anterior não resolvia. Ainda assim, os racionais não bastam.

Por que \(\mathbb Q\) não basta?

O comprimento da diagonal de um quadrado de lado \(1\) é, pelo teorema de Pitágoras, um número positivo cujo quadrado vale \(2\). Esse número não é racional.

Proposição 1.1
Não existe \(q\in \mathbb Q\) tal que \(q^2=2\).

Demonstração ▼

Suponha que exista \(q\in \mathbb Q\) com \(q^2=2\). Podemos escrever \(q=m/n\), onde \(m,n\in \mathbb Z\), \(n\ne 0\), e a fração foi reduzida, isto é, \(m\) e \(n\) não possuem divisor comum maior que \(1\). Da igualdade \((m/n)^2=2\) obtemos

\[ m^2=2n^2. \]

Logo, \(m^2\) é par e, portanto, \(m\) é par: se \(m\) fosse ímpar, seu quadrado também seria ímpar, pois \((2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1\). Escrevendo \(m=2k\), resulta \(n^2=2k^2\), de modo que \(n\) também é par. Assim, \(m\) e \(n\) são ambos divisíveis por \(2\), contrariando o fato de que a fração estava reduzida.

Os números reais formam o conjunto denotado por \(\mathbb R\). Ele contém os racionais e também os irracionais, como \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) e \(\pi \):

\[ \mathbb N\subset \mathbb Z\subset \mathbb Q\subset \mathbb R. \]

Um número real que não pertence a \(\mathbb Q\) é chamado de irracional. A propriedade de completude dará sentido preciso à ideia de que os reais “preenchem” as lacunas existentes entre os racionais.

Representações decimais

Todo número real admite uma representação decimal. Os números racionais são exatamente aqueles cuja representação decimal termina ou, a partir de alguma posição, repete periodicamente um bloco de algarismos. Por exemplo,

\[ \frac18=0{,}125, \qquad \frac13=0{,}333\ldots , \qquad \frac7{11}=0{,}636363\ldots . \]

As representações decimais dos irracionais são infinitas e não periódicas.

Uma representação decimal não deve ser confundida com o próprio número. Um mesmo real pode possuir duas representações: por exemplo,

\[ 1=0{,}9999\ldots . \]

Para antecipar a ideia, seja \(x_n\) o decimal formado por \(n\) algarismos iguais a \(9\) depois da vírgula. Então

\[ x_n=1-\frac1{10^n}. \]

À medida que aumentamos \(n\), o erro \(1-x_n=10^{-n}\) pode se tornar menor do que qualquer tolerância previamente escolhida. O capítulo de limites dará um significado formal a esse processo de aproximação.

Exercício 1.1
Mostre que \(\sqrt3\) é irracional, adaptando o argumento usado para \(\sqrt2\). Em que ponto a demonstração usa o fato de \(3\) ser primo?
Ver solução
Suponha \(\sqrt3=m/n\), com \(m,n\in \mathbb Z\), \(n\neq 0\), e a fração reduzida. Então \(m^2=3n^2\). Como \(3\) é primo e divide \(m^2\), temos \(3\mid m\); escrevendo \(m=3k\), obtemos \(n^2=3k^2\), e portanto \(3\mid n\). Isso contradiz a hipótese de que \(m/n\) estava reduzida. A primalidade é usada na passagem \(3\mid m^2\Rightarrow 3\mid m\).

Exercício 1.2
Escreva \(0{,}4545\ldots \) como fração e explique por que o mesmo procedimento funciona para toda representação decimal periódica.
Ver solução
Se \(x=0{,}4545\ldots \), então
\[ 100x=45{,}4545\ldots =45+x. \]
Logo, \(99x=45\) e \(x=5/11\). Para qualquer decimal periódico, multiplicar por uma potência de \(10\) correspondente ao comprimento do período alinha as duas caudas periódicas; ao subtrair as expressões, a parte infinita se cancela e resta uma equação linear para \(x\).

Exercício 1.3
Seja \(x_n\) o decimal com \(n\) algarismos \(9\) depois da vírgula. Determine o menor \(n\) para o qual \(1-x_n\lt 10^{-6}\) e explique como esse cálculo se relaciona com a igualdade \(1=0{,}999\ldots \).
Ver solução
Como \(x_n=1-10^{-n}\), temos \(1-x_n=10^{-n}\). A desigualdade \(10^{-n}\lt 10^{-6}\) exige \(n\gt 6\); portanto, o menor valor é \(n=7\). A igualdade \(1=0{,}999\ldots \) exprime o fato de que essa diferença pode ser tornada menor do que qualquer tolerância positiva escolhida de antemão; o capítulo de limites formalizará essa afirmação.

1.2 Estrutura algébrica dos números reais

As operações de adição e multiplicação associam a cada par de números reais um novo número real. As propriedades fundamentais dessas operações são chamadas axiomas de corpo. Para todos \(a,b,c\in \mathbb R\), valem:

A1.

\((a+b)+c=a+(b+c)\) (associatividade da adição);

A2.

\(a+b=b+a\) (comutatividade da adição);

A3.

existe \(0\in \mathbb R\) tal que \(a+0=a\) (neutro aditivo);

A4.

para cada \(a\), existe \(-a\) tal que \(a+(-a)=0\) (oposto);

A5.

\((ab)c=a(bc)\) (associatividade da multiplicação);

A6.

\(ab=ba\) (comutatividade da multiplicação);

A7.

existe \(1\in \mathbb R\), com \(1\ne 0\), tal que \(a\cdot 1=a\) (neutro multiplicativo);

A8.

para cada \(a\ne 0\), existe \(a^{-1}\) tal que \(aa^{-1}=1\) (inverso);

A9.

\(a(b+c)=ab+ac\) (distributividade).

Os axiomas são o ponto de partida. Muitas identidades familiares não aparecem na lista porque são consequências deles. Os resultados seguintes ilustram essa passagem dos axiomas para propriedades algébricas usuais.

Por que \(a\cdot 0=0\)?

Proposição 1.2
Para todo \(a\in \mathbb R\), vale \(a\cdot 0=0\).

Demonstração ▼

Como \(0+0=0\), a distributividade fornece

\[ a\cdot 0=a(0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0. \]

Somando o oposto de \(a\cdot 0\) aos dois membros, obtemos \(0=a\cdot 0\).

Logo, a igualdade \(a\cdot 0=0\) não constitui um axioma adicional: ela decorre da distributividade e da existência do oposto aditivo.

Por que podemos cancelar um fator não nulo?

Proposição 1.3 (Lei do cancelamento)
Se \(a,b,c\in \mathbb R\), \(a\ne 0\) e \(ab=ac\), então \(b=c\).

Demonstração ▼

Como \(a\ne 0\), existe \(a^{-1}\). Multiplicando os dois membros de \(ab=ac\) por \(a^{-1}\) e usando a associatividade, temos

\[ a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac), \qquad (a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c, \qquad b=c. \]

A condição \(a\ne 0\) é indispensável. Da igualdade \(0\cdot 2=0\cdot 5\) não podemos concluir que \(2=5\).

De onde vem a regra do produto nulo?

Proposição 1.4 (Regra do produto nulo)
Se \(a,b\in \mathbb R\) e \(ab=0\), então \(a=0\) ou \(b=0\).

Demonstração ▼

Se \(a=0\), a conclusão já está satisfeita. Se \(a\ne 0\), existe \(a^{-1}\) e podemos multiplicar \(ab=0\) por esse inverso:

\[ b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot 0=0. \]

Logo, ao menos um dos fatores é nulo.

É essa propriedade que permite resolver, por exemplo,

\[ (x-2)(x+3)=0 \]

concluindo que \(x-2=0\) ou \(x+3=0\), isto é, \(x=2\) ou \(x=-3\).

Exercício 1.4
Use os axiomas algébricos para demonstrar as afirmações.

  1. O elemento neutro da adição é único.

  2. O oposto de cada número real é único.

  3. Se \(a\ne 0\) e \(ax=a\), então \(x=1\).

  4. \(a(-b)=-(ab)\).

Ver solução

  1. Se \(0\) e \(0'\) são neutros aditivos, então \(0=0+0'=0'\).

  2. Se \(b\) e \(c\) são opostos de \(a\), então \(b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c\).

  3. Multiplique \(ax=a\) por \(a^{-1}\): \(x=(a^{-1}a)x=a^{-1}a=1\).

  4. Temos \(ab+a(-b)=a(b-b)=a\cdot 0=0\). Portanto, \(a(-b)\) é o oposto de \(ab\) e, pela unicidade do oposto, \(a(-b)=-(ab)\).

1.3 Fatoração de expressões algébricas

Fatorar uma expressão significa escrevê-la como um produto. A ideia fundamental já está contida na distributividade:

\[ ab+ac=a(b+c). \]

Quando passamos do membro direito para o esquerdo, desenvolvemos o produto; quando fazemos o caminho inverso, colocamos o fator comum em evidência. A fatoração não altera o valor da expressão. Ela apenas revela uma estrutura que pode estar escondida numa soma.

Na forma fatorada, zeros e fatores comuns tornam-se visíveis. A regra do produto nulo permite localizar zeros a partir dos fatores; em expressões fracionárias, a fatoração também identifica possíveis cancelamentos e as restrições que os acompanham.

Escolha da fatoração

A forma da expressão sugere a técnica adequada. Nos casos elementares, a sequência seguinte organiza as possibilidades mais frequentes:

  1. procure um fator comum a todos os termos;

  2. verifique se aparece algum produto notável;

  3. com quatro termos, tente agrupá-los em pares;

  4. em um trinômio quadrático, use as raízes ou decomponha o termo central;

  5. examine novamente cada fator obtido.

O resultado pode sempre ser conferido desenvolvendo novamente o produto.

Fator comum

O fator comum deve dividir todos os termos da expressão. Quando os coeficientes são inteiros, convém retirar seu máximo divisor comum e, para cada letra, a menor potência que aparece em todos os termos.

Exemplo 1.5
Fatore completamente \(12x^3y-18x^2y^2\).
Solução
Os dois termos são divisíveis por \(6x^2y\). Colocando esse fator em evidência, obtemos
\[ 12x^3y-18x^2y^2=6x^2y(2x-3y). \]
A conferência é imediata pela distributividade.

Produtos notáveis e diferença de potências

Algumas identidades aparecem com frequência suficiente para merecer destaque:

\[ \begin{aligned} a^2-b^2& =(a-b)(a+b),\\ a^2+2ab+b^2& =(a+b)^2,\\ a^2-2ab+b^2& =(a-b)^2,\\ a^3-b^3& =(a-b)(a^2+ab+b^2),\\ a^3+b^3& =(a+b)(a^2-ab+b^2). \end{aligned} \]

Não são regras isoladas: todas podem ser verificadas desenvolvendo o membro direito. Por exemplo,

\[ (a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2, \]

e

\[ (a-b)(a^2+ab+b^2) =a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3 =a^3-b^3. \]

No segundo desenvolvimento, os termos intermediários se cancelam. O mesmo mecanismo aparece na identidade mais geral: para todo inteiro \(n\geq 2\),

\[ a^n-b^n=(a-b) \bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr). \]

Essa identidade será especialmente útil quando aparecer um quociente com \(a-b\) no denominador.

Agrupamento

Quando não existe um fator comum a todos os termos, pode existir um fator comum depois de um agrupamento adequado.

Exemplo 1.6
Fatore \(x^3-x^2-4x+4\) e resolva a equação \(x^3-x^2-4x+4=0\).
Solução
Agrupando os dois primeiros e os dois últimos termos,
\[ \begin{aligned} x^3-x^2-4x+4 & =x^2(x-1)-4(x-1)\\ & =(x-1)(x^2-4)\\ & =(x-1)(x-2)(x+2). \end{aligned} \]
Pela regra do produto nulo, a equação é satisfeita quando
\[ x=1,\qquad x=2\qquad \text{ou}\qquad x=-2. \]

Trinômios quadráticos

Para fatorar

\[ x^2+sx+p, \]

procuramos números \(r\) e \(t\) tais que \(r+t=s\) e \(rt=p\). Nesse caso,

\[ x^2+sx+p=(x+r)(x+t). \]

Para um trinômio geral \(ax^2+bx+c\), com \(a\ne 0\), procuramos números \(u\) e \(v\) tais que

\[ u+v=b\qquad \text{e}\qquad uv=ac. \]

Substituímos então \(bx\) por \(ux+vx\) e tentamos agrupar os quatro termos.

Exemplo 1.7
Fatore \(2x^2+x-3\).
Solução
Neste caso, \(3+(-2)=1\) e \(3(-2)=2(-3)\). Portanto, decompomos o termo central como \(x=3x-2x\) e escrevemos
\[ \begin{aligned} 2x^2+x-3 & =2x^2+3x-2x-3\\ & =x(2x+3)-(2x+3)\\ & =(2x+3)(x-1). \end{aligned} \]
Também poderíamos encontrar as raízes \(1\) e \(-3/2\) e escrever \(2x^2+x-3=2(x-1)(x+3/2)\).

De modo geral, se \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes reais de \(ax^2+bx+c\), contando duas vezes uma eventual raiz dupla, então

\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]

Nem todo polinômio se decompõe em fatores lineares reais. Por exemplo, \(x^2+1\) não possui raiz real e, portanto, não pode ser escrito como produto de dois fatores lineares com coeficientes reais.

Completar quadrados

Fatorar destaca os zeros de uma expressão. Em outras situações, é mais útil reescrever a parte quadrática como um quadrado perfeito acrescido de uma constante. Esse procedimento é chamado de completar o quadrado.

Exemplo 1.8
Reescreva \(x^2+6x+5\) e \(2x^2-8x+3\) na forma de um quadrado acrescido de uma constante.
Solução
Na primeira expressão, metade do coeficiente de \(x\) é \(3\). Somamos e subtraímos \(3^2\):
\[ x^2+6x+5 =x^2+6x+9-9+5 =(x+3)^2-4. \]
Na segunda, colocamos primeiro o coeficiente de \(x^2\) em evidência nos termos que contêm \(x\):
\[ \begin{aligned} 2x^2-8x+3 & =2(x^2-4x)+3\\ & =2\bigl(x^2-4x+4-4\bigr)+3\\ & =2(x-2)^2-5. \end{aligned} \]
Nos dois casos, o termo acrescentado foi imediatamente subtraído, de modo que o valor da expressão não se alterou.

De modo geral,

\[ x^2+bx+c=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}{4}. \]

Se o coeficiente quadrático é \(a\ne 0\), colocamos \(a\) em evidência antes de aplicar o mesmo procedimento. A técnica reaparecerá no estudo das parábolas e na resolução de equações quadráticas.

Exercício 1.5
Fatore completamente.

  1. \(8x^3-12x^2\).

  2. \(x^2-16\).

  3. \(x^2-6x+9\).

  4. \(x^3+2x^2-9x-18\).

  5. \(3x^2-5x-2\).

  6. \(x^4-1\).

Ver solução

  1. \(4x^2(2x-3)\).

  2. \((x-4)(x+4)\).

  3. \((x-3)^2\).

  4. \((x+2)(x^2-9)=(x+2)(x-3)(x+3)\).

  5. \((3x+1)(x-2)\).

  6. \((x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\).

Exercício 1.6
Resolva por fatoração.

  1. \(x^3-5x^2+4x=0\).

  2. \(2x^2+x-3=0\).

  3. \(x^4-16=0\) no conjunto dos números reais.

Ver solução

  1. \(x(x^2-5x+4)=x(x-1)(x-4)=0\); logo, \(x\in \{ 0,1,4\} \).

  2. \((2x+3)(x-1)=0\); logo, \(x\in \{ -3/2,1\} \).

  3. \((x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)=0\). Como \(x^2+4\gt 0\) para todo real \(x\), temos \(x\in \{ -2,2\} \).

Exercício 1.7
Verifique a identidade da diferença de potências multiplicando \((a-b)\) pelo segundo fator.
Ver solução
Ao distribuir, os termos intermediários se cancelam dois a dois:
\[ a\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}\bigr) -b\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}\bigr)=a^n-b^n. \]
Exercício 1.8
Se \(a\neq 0\) e
\[ a+\frac1a=b, \]
determine \(a^2+\dfrac 1{a^2}\) em função de \(b\).
Ver solução
Elevando a igualdade ao quadrado,
\[ b^2=\left(a+\frac1a\right)^2 =a^2+2+\frac1{a^2}. \]
Logo,
\[ a^2+\frac1{a^2}=b^2-2. \]
Exercício 1.9
Complete o quadrado.

  1. \(x^2+8x+3\).

  2. \(x^2-10x+7\).

  3. \(3x^2+12x-1\).

Ver solução

  1. \((x+4)^2-13\).

  2. \((x-5)^2-18\).

  3. \(3(x+2)^2-13\).

Exercício 1.10
Fatore completamente \(p(x)=x^4-6x^3-x^2+30x\) e use a fatoração para resolver \(p(x)=0\).
Ver solução
\(p(x)=x(x+2)(x-3)(x-5)\); portanto, o conjunto-solução é \(\{ -2,0,3,5\} \).
Exercício 1.11
Um quadrado de lado \(x\) cm tem uma moldura interna de largura \(2\) cm. O desenho representa a região ocupada pela moldura.
Ilustração: Completar quadrados
Escreva a área da moldura em função de \(x\), apresente-a nas formas desenvolvida e fatorada e determine os valores fisicamente admissíveis de \(x\).
Ver solução
O quadrado interno tem lado \(x-4\). Logo,
\[ A(x)=x^2-(x-4)^2=8x-16=8(x-2),\qquad x\geq 4. \]
Se for exigida uma abertura interna não degenerada, toma-se \(x\gt 4\).

1.4 Simplificação de expressões algébricas

Simplificar uma expressão é escrevê-la de uma forma que torne sua estrutura ou seu cálculo mais transparentes, sem mudar seu valor. Há, porém, uma precaução essencial: devemos registrar desde o início os valores para os quais a expressão original não está definida. Essas restrições continuam válidas mesmo quando não aparecem na expressão simplificada.

Cancelar fatores, não parcelas

A lei do cancelamento permite escrever

\[ \frac{ac}{bc}=\frac ab, \qquad b\ne 0\quad \text{e}\quad c\ne 0. \]

O cancelamento é possível porque \(c\) multiplica todo o numerador e todo o denominador. Uma parcela de uma soma não pode ser cancelada.

Exemplo 1.9
Simplifique
\[ \frac{x^2-4}{x^2-x-2} \]
e indique as restrições sobre \(x\).
Solução
Antes de simplificar, fatoramos o denominador:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Logo, a expressão original exige \(x\ne 2\) e \(x\ne -1\). Fatorando também o numerador,
\[ \frac{x^2-4}{x^2-x-2} =\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} =\frac{x+2}{x+1}, \qquad x\ne 2,-1. \]
Embora a última fração esteja definida em \(x=2\), a expressão original não está. A restrição \(x\ne 2\) deve, portanto, permanecer.

Compare com

\[ \frac{x+2}{x}=1+\frac2x, \qquad x\ne 0. \]

Não há um fator \(x\) comum a todo o numerador, de modo que “cancelar os \(x\)” seria incorreto.

Somar e dividir frações algébricas

Para somar frações, construímos um denominador comum. Por exemplo,

\[ \frac2x+\frac1{x+1} =\frac{2(x+1)+x}{x(x+1)} =\frac{3x+2}{x(x+1)}, \qquad x\ne 0,-1. \]

Em uma fração complexa, convém simplificar primeiro seu numerador e seu denominador ou multiplicar ambos por um denominador comum.

Exemplo 1.10
Simplifique a fração complexa
\[ \frac{2-\dfrac 5{x+1}}{1+\dfrac 1{x-2}} \]
e indique as restrições sobre \(x\).
Solução
As frações internas exigem \(x\ne -1\) e \(x\ne 2\). Além disso, o denominador da fração complexa não pode ser zero:
\[ 1+\frac1{x-2}=\frac{x-1}{x-2}\ne 0, \]
o que exclui também \(x=1\). Simplificando separadamente numerador e denominador,
\[ 2-\frac5{x+1}=\frac{2x-3}{x+1}, \qquad 1+\frac1{x-2}=\frac{x-1}{x-2}. \]
Portanto,
\[ \frac{2-\dfrac 5{x+1}}{1+\dfrac 1{x-2}} = \frac{\dfrac {2x-3}{x+1}}{\dfrac {x-1}{x-2}} = \frac{(2x-3)(x-2)}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\ne -1,1,2. \]
As três restrições pertencem ao domínio da expressão original e permanecem válidas após a simplificação.

Exemplo 1.11
Simplifique o quociente
\[ \frac{\dfrac 1{x+h}-\dfrac 1x}{h}. \]
Solução
A expressão original exige
\[ x\ne 0,\qquad h\ne 0,\qquad x+h\ne 0. \]
Reduzindo as frações do numerador ao mesmo denominador,
\[ \begin{aligned} \frac{\dfrac 1{x+h}-\dfrac 1x}{h} & =\frac{\dfrac {x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ & =\frac{-h}{x(x+h)}\cdot \frac1h\\ & =-\frac1{x(x+h)}. \end{aligned} \]
O cancelamento de \(h\) é permitido precisamente porque \(h\ne 0\). Expressões desse tipo aparecerão naturalmente no cálculo de derivadas.

Radicais e conjugados

Os fatores \(a-b\) e \(a+b\) são chamados de conjugados. Como \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), multiplicar por um conjugado permite eliminar uma diferença de raízes no numerador ou no denominador.

Exemplo 1.12
Supondo que as raízes estejam definidas, simplifique
\[ \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}. \]
Solução
A expressão original requer \(x\geq 0\), \(x+h\geq 0\) e \(h\ne 0\). Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
\[ \begin{aligned} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} & \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\ & =\frac{(x+h)-x}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)}\\ & =\frac1{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}. \end{aligned} \]
As restrições da expressão original continuam valendo.

Três manipulações frequentemente usadas não são identidades:

\[ \begin{aligned} (a+b)^2& \not\equiv a^2+b^2,\\ \sqrt{x^2}& \not\equiv x,\\ \sqrt{a+b}& \not\equiv \sqrt a+\sqrt b. \end{aligned} \]

A fórmula correta para o primeiro quadrado está na seção anterior, e a identidade correta no segundo caso é \(\sqrt{x^2}=|x|\). Os valores \(a=b=1\) fornecem contraexemplos para a primeira e a terceira manipulações; \(x=-1\) fornece um contraexemplo para a segunda.

Roteiro de simplificação. Determine primeiro as restrições da expressão original. Em seguida, fatore, reduza frações a um denominador comum e cancele apenas fatores não nulos. Ao final, mantenha explícitos todos os valores inicialmente excluídos.

Exercício 1.12
Simplifique e indique todas as restrições.

  1. \(\dfrac {x^2-4}{x-2}\).

  2. \(\dfrac {x^2-1}{x^2+x}\).

  3. \(\dfrac 1x-\dfrac 1{x+1}\).

  4. \(\dfrac {\sqrt{x+1}-1}{x}\).

Ver solução

  1. \(x+2\), com \(x\ne 2\).

  2. \(\dfrac {x-1}{x}\), com \(x\ne 0,-1\).

  3. \(\dfrac 1{x(x+1)}\), com \(x\ne 0,-1\).

  4. \(\dfrac 1{\sqrt{x+1}+1}\), com \(x\geq -1\) e \(x\ne 0\).

Exercício 1.13
Corrija as simplificações.

  1. \(\dfrac {x+3}{x}=3\).

  2. \(\sqrt{x^2}=x\) para todo \(x\in \mathbb R\).

  3. \(\dfrac {x^2+2x}{x}=x+2\) para todo \(x\in \mathbb R\).

Ver solução

  1. \(\dfrac {x+3}{x}=1+\dfrac 3x\), com \(x\ne 0\).

  2. \(\sqrt{x^2}=|x|\); a igualdade \(\sqrt{x^2}=x\) vale apenas se \(x\geq 0\).

  3. A igualdade é válida apenas para \(x\ne 0\), pois a expressão original não está definida em \(x=0\).

Exercício 1.14
Simplifique as expressões e preserve todas as restrições do domínio original.

  1. \(\dfrac {(z+w)^{-1}}{(z-w)^{-1}}\).

  2. \((p^{-1}+q^{-1})^{-1}\).

  3. \(\dfrac {\dfrac 1a+\dfrac 1b}{\dfrac ba-\dfrac ab}\).

  4. \(\dfrac {\dfrac {8x^3y^2}{(x-2)^4}} {\dfrac {6x^2y}{(x-2)^{3/2}}}\).

Ver solução

  1. \(\dfrac {z-w}{z+w}\), com \(z+w\ne 0\) e \(z-w\ne 0\).

  2. \(\dfrac {pq}{p+q}\), com \(p\ne 0\), \(q\ne 0\) e \(p+q\ne 0\).

  3. \(\dfrac 1{b-a}\), com \(a\ne 0\), \(b\ne 0\) e \(b\ne \pm a\).

  4. \(\dfrac {4xy}{3(x-2)^{5/2}}\), com \(x\gt 2\) e \(y\ne 0\).

Exercício 1.15
Simplifique os quocientes, supondo \(h\ne 0\).

  1. \(\dfrac {(x+h)^2-x^2}{h}\).

  2. \(\dfrac {(x+h)^3-x^3}{h}\).

  3. \(\dfrac {\dfrac 1{(x+h)^2}-\dfrac 1{x^2}}{h}\).

Ver solução

  1. \(2x+h\).

  2. \(3x^2+3xh+h^2\).

  3. \(-\dfrac {2x+h}{x^2(x+h)^2}\), com \(x\ne 0\) e \(x+h\ne 0\).

1.5 Ordem e desigualdades

Além de somar e multiplicar números reais, podemos compará-los. A relação \(a\leq b\) significa que \(a\) é menor ou igual a \(b\). Ela satisfaz as seguintes propriedades:

A10.

A ordem é reflexiva, antissimétrica, transitiva e total:

\[ a\leq a, \qquad (a\leq b\text{ e }b\leq a)\Rightarrow a=b, \]
\[ (a\leq b\text{ e }b\leq c)\Rightarrow a\leq c, \qquad a\leq b\text{ ou }b\leq a. \]
A11.

Somar o mesmo número preserva a ordem:

\[ a\leq b\Rightarrow a+c\leq b+c. \]
A12.

Multiplicar pelo mesmo número não negativo preserva a ordem:

\[ a\leq b\text{ e }c\geq 0\Rightarrow ac\leq bc. \]

Esses são os axiomas de ordem. Observe que A12 fala apenas da multiplicação por números não negativos. A conhecida regra para números negativos será deduzida deles.

Por que multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade?

Proposição 1.13
Se \(a\leq b\) e \(c\lt 0\), então \(ac\geq bc\).

Demonstração ▼

Somando \(-c\) aos dois membros de \(c\lt 0\), obtemos \(0\lt -c\). Pelo axioma A12,

\[ a(-c)\leq b(-c). \]

Como \(a(-c)=-ac\) e \(b(-c)=-bc\), temos \(-ac\leq -bc\). Somando \(ac+bc\) aos dois membros, obtemos \(bc\leq ac\), ou seja, \(ac\geq bc\).

Por exemplo, de \(2\lt 5\) podemos concluir que \(-6\gt -15\) ao multiplicar ambos os membros por \(-3\). A mudança de sentido não é uma convenção gráfica: ela decorre da compatibilidade entre a ordem e as operações.

Outra consequência útil é que todo quadrado é não negativo. Se \(x\geq 0\), isso decorre de A12 aplicado a \(0\leq x\). Se \(x\lt 0\), então \(-x\gt 0\) e \(x^2=(-x)^2\geq 0\).

Exercício 1.16
Demonstre as propriedades de ordem.

  1. Se \(a\leq b\), então \(-b\leq -a\).

  2. Se \(a\leq b\) e \(c\leq d\), então \(a+c\leq b+d\).

  3. Se \(0\leq a\lt b\), então \(a^2\lt b^2\).

  4. Se \(a,b\gt 0\) e \(a^2\lt b^2\), então \(a\lt b\).

Ver solução

  1. Some \(-a-b\) aos dois membros de \(a\leq b\).

  2. Temos \(a+c\leq b+c\leq b+d\); aplique a transitividade.

  3. Como \(a\lt b\) e \(a\geq 0\), \(a^2\leq ab\). Como \(a\lt b\) e \(b\gt 0\), \(ab\lt b^2\). Portanto, \(a^2\lt b^2\).

  4. Se \(a\geq b\gt 0\), multiplicando \(a\geq b\) sucessivamente pelos números positivos \(a\) e \(b\), obtemos \(a^2\geq ab\geq b^2\), contrariando a hipótese.

1.6 Reta real, valor absoluto e intervalos

A reta real oferece uma representação geométrica dos números reais. Escolhemos um ponto para representar \(0\), outro ponto à sua direita para representar \(1\) e usamos a distância entre eles como unidade. A ordem corresponde à posição: \(a\lt b\) significa que o ponto associado a \(a\) está à esquerda daquele associado a \(b\).

Figura 1.1 Na reta real, √2 ocupa uma posição entre 1 e 2.

Figura 1.1 Na reta real, \(\sqrt2\) ocupa uma posição entre \(1\) e \(2\).

O valor absoluto, ou módulo, de \(x\in \mathbb R\) é definido por

\[ |x|= \begin{cases} x, & \text{se }x\geq 0,\\ -x, & \text{se }x\lt 0. \end{cases} \]

Portanto, \(|x|=x\) somente quando \(x\geq 0\). Se \(x\lt 0\), então \(|x|=-x\). Por exemplo,

\[ |-4|=4\ne -4, \qquad |3|=3. \]

Erro frequente. Não é verdade que \(|x|=x\) para todo número real \(x\). Em calculadoras e softwares, o valor absoluto costuma aparecer como \(\operatorname {abs}(x)\); essa expressão representa uma operação aplicada a \(x\), e não outra maneira de escrever o próprio \(x\). Portanto, o símbolo de módulo não pode simplesmente ser apagado: a operação coincide com \(x\) apenas no semieixo não negativo. Em particular,
\[ |x|=x\Longleftrightarrow x\geq 0, \qquad |x|=-x\Longleftrightarrow x\leq 0. \]

Geometricamente, \(|x|\) é a distância de \(x\) até a origem. Mais geralmente, a distância entre \(x\) e \(y\) é

\[ d(x,y)=|x-y|. \]

Essa interpretação é mais útil do que pensar no módulo apenas como um procedimento para “retirar o sinal”.

Para \(x,y\in \mathbb R\), valem as propriedades

\begin{gather*} |x|\geq 0, \qquad |x|=0\Longleftrightarrow x=0, \qquad |-x|=|x|,\\ |xy|=|x|\, |y|, \qquad |x+y|\leq |x|+|y|, \qquad \bigl||x|-|y|\bigr|\leq |x-y|. \end{gather*}

A desigualdade \(|x+y|\leq |x|+|y|\) é chamada de desigualdade triangular. De fato,

\[ -|x|\leq x\leq |x|, \qquad -|y|\leq y\leq |y|. \]

Somando membro a membro, obtemos

\[ -(|x|+|y|)\leq x+y\leq |x|+|y|, \]

e, portanto, \(|x+y|\leq |x|+|y|\). Geometricamente, na reta, a distância do percurso direto entre dois pontos não é maior que a de um percurso feito com um desvio. Em geral, não podemos substituir a desigualdade por uma igualdade. Com \(x=1\) e \(y=-1\), por exemplo,

\[ |x+y|=0, \qquad |x|+|y|=2. \]

Como retirar o módulo?

Para retirar um módulo, precisamos conhecer o sinal da expressão que está em seu interior. Quando aparecem vários módulos, os pontos em que essas expressões se anulam dividem a reta em intervalos nos quais os sinais permanecem fixos.

Exemplo 1.14
Escreva \(f(x)=|x|+|x+1|\) sem utilizar o símbolo de módulo.
Solução

As expressões dentro dos módulos se anulam em \(x=-1\) e \(x=0\). Esses pontos determinam três casos:

  • se \(x\lt -1\), então \(x\lt 0\) e \(x+1\lt 0\); logo, \(f(x)=-x-(x+1)=-2x-1\);

  • se \(-1\leq x\lt 0\), então \(x\lt 0\) e \(x+1\geq 0\); logo, \(f(x)=-x+(x+1)=1\);

  • se \(x\geq 0\), então \(x\) e \(x+1\) são não negativos; logo, \(f(x)=x+(x+1)=2x+1\).

Portanto,

\[ |x|+|x+1|= \begin{cases} -2x-1, & x\lt -1,\\ 1, & -1\leq x\lt 0,\\ 2x+1, & x\geq 0. \end{cases} \]

Outro padrão importante ocorre nas equações. Se \(a\geq 0\), então

\[ |u|=a\Longleftrightarrow u=a\ \text{ ou }\ u=-a. \]

Assim,

\[ |2x-3|=5 \Longleftrightarrow 2x-3=5\ \text{ ou }\ 2x-3=-5, \]

e as soluções são \(x=4\) e \(x=-1\). Se \(a\lt 0\), a equação \(|u|=a\) não possui solução real.

Intervalos

Dados \(a\lt b\), usamos as seguintes notações:

\[ \begin{aligned} (a,b) & =\{ x\in \mathbb R:a\lt x\lt b\} ,\\ {} [a,b] & =\{ x\in \mathbb R:a\leq x\leq b\} ,\\ {} [a,b) & =\{ x\in \mathbb R:a\leq x\lt b\} ,\\ (a,b] & =\{ x\in \mathbb R:a\lt x\leq b\} . \end{aligned} \]

Parênteses indicam que o extremo não pertence ao intervalo; colchetes indicam que pertence. Para intervalos ilimitados, escrevemos, por exemplo,

\[ (a,+\infty )=\{ x:x\gt a\} , \qquad (-\infty ,b]=\{ x:x\leq b\} . \]

Os símbolos \(\pm \infty \) nunca recebem colchetes, pois não representam números reais.

Figura 1.2 Extremos abertos são vazios; extremos pertencentes ao intervalo, preenchidos.

Figura 1.2 Extremos abertos são vazios; extremos pertencentes ao intervalo, preenchidos.

Um intervalo centrado em \(a\), com raio \(r\gt 0\), pode ser descrito de duas formas equivalentes:

\[ x\in (a-r,a+r) \quad \Longleftrightarrow \quad |x-a|\lt r. \]

Assim, \(|x-a|\lt r\) significa que \(x\) aproxima \(a\) com erro menor que \(r\). Para \(r\gt 0\), é útil guardar também as duas traduções geométricas

\[ |x-a|\leq r\Longleftrightarrow a-r\leq x\leq a+r, \]
\[ |x-a|\gt r\Longleftrightarrow x\lt a-r\ \text{ ou }\ x\gt a+r. \]

Na primeira, \(x\) está dentro do intervalo de raio \(r\); na segunda, está fora dele.

Exemplo 1.15
Uma medição é considerada aceitável quando difere de \(12\) por menos de \(0{,}05\). Determine o intervalo dos valores aceitáveis.
Solução
A condição é \(|x-12|\lt 0{,}05\). Portanto,
\[ -0{,}05\lt x-12\lt 0{,}05, \]
e, somando \(12\) aos três membros,
\[ 11{,}95\lt x\lt 12{,}05. \]
O conjunto dos valores aceitáveis é o intervalo \((11{,}95,12{,}05)\).

Exercício 1.17
Escreva em notação de intervalo.

  1. \(|x-3|\lt 2\).

  2. \(|x+1|\leq 4\).

  3. \(|x-5|\gt 1\).

Ver solução

  1. \((1,5)\).

  2. \([-5,3]\).

  3. \((-\infty ,4)\cup (6,+\infty )\).

Exercício 1.18
Escreva sem módulos.

  1. \(|x-2|+|x+1|\).

Ver solução
Os pontos de mudança de sinal são \(-1\) e \(2\). Portanto,
\[ |x-2|+|x+1|= \begin{cases} 1-2x, & x\lt -1,\\ 3, & -1\leq x\lt 2,\\ 2x-1, & x\geq 2. \end{cases} \]
Exercício 1.19
Resolva \(|3x-1|=5\).
Ver solução
Temos \(3x-1=5\) ou \(3x-1=-5\). Logo, \(x=2\) ou \(x=-4/3\).
Exercício 1.20
Demonstre a desigualdade \(\bigl||x|-|y|\bigr|\leq |x-y|\) usando a desigualdade triangular.
Ver solução
Da desigualdade triangular, \(|x|=|(x-y)+y|\leq |x-y|+|y|\), logo \(|x|-|y|\leq |x-y|\). Trocando \(x\) e \(y\), obtemos \(|y|-|x|\leq |x-y|\). As duas desigualdades equivalem ao resultado.
Exercício 1.21
Mostre que, se \(a-\varepsilon \lt x\lt a+\varepsilon \) para todo \(\varepsilon \gt 0\), então \(x=a\).
Ver solução
As desigualdades equivalem a \(|x-a|\lt \varepsilon \). Se \(x\ne a\), tome \(\varepsilon =|x-a|/2\gt 0\). Teríamos então \(|x-a|\lt |x-a|/2\), o que é impossível. Logo, \(x=a\).

1.7 Cotas, máximos e supremos

Considere um conjunto não vazio \(A\subset \mathbb R\). Dizemos que \(M\) é uma cota superior, ou um majorante, de \(A\) quando

\[ x\leq M\qquad \text{para todo }x\in A. \]

Se existe uma cota superior, dizemos que \(A\) é limitado superiormente. De modo análogo, \(m\) é uma cota inferior, ou um minorante, quando \(m\leq x\) para todo \(x\in A\).

Uma cota superior pode estar muito acima dos elementos do conjunto. Por exemplo, \(2\), \(10\) e \(100\) são cotas superiores de \([0,1)\). Interessa-nos a menor delas.

Definição 1.1
O supremo de um conjunto não vazio \(A\subset \mathbb R\), quando existe, é a menor de suas cotas superiores e é denotado por \(\sup A\). Analogamente, o ínfimo de \(A\) é a maior de suas cotas inferiores e é denotado por \(\inf A\).

Não devemos confundir supremo com máximo. O número \(M\) é o máximo de \(A\) quando \(M\in A\) e \(x\leq M\) para todo \(x\in A\). Portanto, todo máximo é um supremo que pertence ao conjunto; um supremo pode não pertencer a ele.

Conjuntomínimoínfimomáximosupremo
$[0,1]$$0$$0$$1$$1$
$[0,1)$$0$$0$não existe$1$
$(0,1)$não existe$0$não existe$1$
$\mathbb N$$0$$0$não existenão existe

Figura 1.3 [0,1) não possui máximo, mas tem supremo igual a 1.

Figura 1.3 \([0,1)\) não possui máximo, mas tem supremo igual a \(1\).

A completude dos números reais

A propriedade que distingue decisivamente \(\mathbb R\) de \(\mathbb Q\) é a completude:

A13 – Propriedade da completude. Todo subconjunto não vazio de \(\mathbb R\) que é limitado superiormente possui supremo em \(\mathbb R\).

A afirmação correspondente para conjuntos limitados inferiormente também vale: todo conjunto não vazio e limitado inferiormente possui ínfimo. Em linguagem geométrica, a completude diz que uma fronteira obtida por aproximações sucessivas não desaparece por causa de uma lacuna na reta real.

Por que \(\sqrt2\) existe em \(\mathbb R\), embora não exista em \(\mathbb Q\)?

Considere

\[ S=\{ x\in \mathbb R:x\geq 0\text{ e }x^2\lt 2\} . \]

O conjunto é não vazio, pois \(1\in S\), e é limitado superiormente, pois nenhum \(x\geq 2\) pertence a \(S\). Pela completude, existe \(s=\sup S\). A posição de \(s\) é determinada pelos elementos cujos quadrados ainda são menores que \(2\). A propriedade de supremo força essa fronteira a satisfazer \(s^2=2\).

A demonstração detalhada verifica separadamente que as alternativas \(s^2\lt 2\) e \(s^2\gt 2\) contradizem a definição de supremo.

Demonstração detalhada ▼

Se \(s^2\lt 2\), escolha \(h\gt 0\) suficientemente pequeno para que

\[ h\lt 1 \qquad \text{e}\qquad (2s+1)h\lt 2-s^2. \]

Como \(0\lt h\lt 1\), temos \(h^2\lt h\). Portanto,

\[ (s+h)^2=s^2+2sh+h^2\lt s^2+(2s+1)h\lt 2. \]

Logo, \(s+h\in S\), contradizendo o fato de \(s\) ser uma cota superior.

Como \(1\in S\), vale \(s\geq 1\gt 0\), o que legitima a divisão por \(2s\). Se \(s^2\gt 2\), escolha \(h\) com

\[ 0\lt h\lt \min \left\{ s,\frac{s^2-2}{2s}\right\} . \]

Nesse caso,

\[ (s-h)^2=s^2-2sh+h^2\gt s^2-2sh\gt 2. \]

Todo \(x\in S\) satisfaz \(x\lt s-h\); caso contrário, teríamos \(x^2\geq (s-h)^2\gt 2\). Assim, \(s-h\) seria uma cota superior de \(S\) menor que \(s\), novamente uma contradição. Restando apenas a possibilidade \(s^2=2\), concluímos que \(s=\sqrt2\).

A Proposição 1.1 mostra que essa fronteira não pertence a \(\mathbb Q\). O conjunto

\[ S_{\mathbb Q}=\{ q\in \mathbb Q:q\geq 0\text{ e }q^2\lt 2\} \]

é limitado superiormente, mas não possui supremo racional. Se um racional \(p\) fosse seu supremo, o mesmo argumento de pequenas perturbações, agora escolhendo \(h\) racional, mostraria que \(p^2=2\), o que é impossível. É nesse sentido preciso que os racionais possuem uma lacuna onde os reais contêm \(\sqrt2\).

Exercício 1.22
Encontre mínimo, máximo, ínfimo e supremo, quando existirem.

  1. \(A=(2,5]\).

  2. \(B=\{ 1/n:n\in \mathbb N^*\} \).

  3. \(C=\{ n/(n+1):n\in \mathbb N\} \).

  4. \(D=\mathbb Z\).

Ver solução

  1. \(\inf A=2\), sem mínimo; \(\sup A=\max A=5\).

  2. \(\inf B=0\), sem mínimo; \(\sup B=\max B=1\).

  3. \(\inf C=\min C=0\) e \(\sup C=1\), sem máximo.

  4. \(D\) não possui mínimo, máximo, ínfimo nem supremo em \(\mathbb R\).

Exercício 1.23
Mostre que, se \(A\) possui máximo, então \(\sup A=\max A\).
Ver solução
Se \(M=\max A\), então \(M\) é uma cota superior. Qualquer cota superior \(L\) satisfaz \(M\leq L\), pois \(M\in A\). Logo, \(M\) é a menor cota superior.

1.8 Potências e raízes

Para \(a\in \mathbb R\) e \(n\in \mathbb N^*\), definimos

\[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ fatores}}. \]

Se \(a\ne 0\), definimos ainda

\[ a^0=1, \qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]

Neste livro, como valor numérico isolado, a expressão \(0^0\) permanecerá indefinida. Em uma soma polinomial, porém, \(x^0\) representa a função constante \(1\), inclusive quando o polinômio é avaliado em \(x=0\). Com expoentes inteiros, valem as propriedades usuais, respeitadas as condições que impedem divisões por zero:

\[ a^ma^n=a^{m+n}, \qquad (a^m)^n=a^{mn}, \qquad (ab)^n=a^nb^n. \]

A raiz \(n\)-ésima de um número \(a\) é um número real \(b\) tal que \(b^n=a\). Quando \(n\) é par, nenhum número negativo possui raiz \(n\)-ésima real, pois uma potência de expoente par de um número real é sempre não negativa. Se \(a\gt 0\), a equação

\[ b^n=a \]

possui duas soluções reais, uma positiva e outra negativa. Isso acontece porque, para \(n\) par,

\[ (-b)^n=b^n: \]

assim, se \(b\) é uma solução, \(-b\) também é. Quando \(a=0\), há apenas uma solução, \(b=0\).

Por convenção, o símbolo \(\sqrt[n]{a}\) representa sempre a solução não negativa. Portanto, por exemplo, \(b^2=9\) tem as duas soluções \(b=3\) e \(b=-3\), mas \(\sqrt9=3\). Quando \(n\) é ímpar, todo número real possui uma única raiz \(n\)-ésima real. Assim,

\[ \sqrt[4]{16}=2, \qquad \sqrt[3]{-8}=-2, \]

enquanto \(\sqrt{-8}\) não representa um número real.

Para uma base positiva \(a\) e um racional \(q=m/n\), com \(n\gt 0\), definimos

\[ a^q=a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m. \]

É possível demonstrar que o resultado não depende da fração escolhida para representar \(q\). Por exemplo,

\[ 16^{3/4}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8, \qquad 8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4. \]

Para bases negativas, a notação exige cuidado. Um expoente racional deve ser escrito em forma irredutível e só produz um valor real quando seu denominador é ímpar. Assim, \((-27)^{1/3}=-3\), mas não há uma definição real de \((-27)^x\) para todo expoente real \(x\).

Para \(a\gt 0\), a potência \(a^x\) também pode ser definida quando o expoente \(x\) é irracional. A construção utiliza aproximações racionais e a completude dos reais. Adotaremos aqui essa extensão e registraremos as propriedades que ela preserva:

\[ a^{x+y}=a^xa^y, \qquad (a^x)^y=a^{xy}, \qquad (ab)^x=a^xb^x \]

para bases positivas, sempre que as expressões envolvidas estiverem definidas.

A desigualdade de Bernoulli fornece uma comparação fundamental entre uma potência e sua aproximação linear.

Proposição 1.16 (Desigualdade de Bernoulli)
Para todo \(t\geq -1\) e todo \(n\in \mathbb {N}\),
\[ (1+t)^n\geq 1+nt. \]

Demonstração ▼

Para \(n=0\), há igualdade. Suponha que a desigualdade valha para algum \(n\in \mathbb {N}\). Como \(1+t\geq 0\),

\[ (1+t)^{n+1}\geq (1+nt)(1+t) =1+(n+1)t+nt^2\geq 1+(n+1)t. \]

A conclusão segue por indução.

As propriedades das potências e das raízes também permitem simplificar expressões algébricas, desde que as restrições sejam preservadas.

Exemplo 1.17
Simplifique
\[ \frac{a^5a^{-2}}a\qquad (a\ne 0) \quad \text{e}\quad \sqrt{12x^2}\qquad (x\in \mathbb {R}). \]
Solução
No primeiro caso, somamos os expoentes dos fatores e subtraímos o expoente do denominador:
\[ \frac{a^5a^{-2}}a=a^{5-2-1}=a^2. \]
A condição \(a\ne 0\) é necessária porque a expressão original contém tanto um expoente negativo quanto uma divisão por \(a\). No segundo caso,
\[ \sqrt{12x^2}=\sqrt{4\cdot 3}\, \sqrt{x^2}=2\sqrt3\, |x|. \]
O módulo é indispensável, pois \(x\) pode ser negativo.

Exercício 1.24
Calcule ou simplifique, indicando as restrições necessárias.

  1. \(27^{2/3}\).

  2. \(16^{-3/4}\).

  3. \((-27)^{1/3}\).

  4. Explique por que \((-16)^{1/2}\) não é um número real.

  5. \(\dfrac {a^6a^{-2}}{a^3}\).

  6. \(\sqrt{18x^2}\).

Ver solução

  1. \(27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=9\).

  2. \(16^{-3/4}=1/16^{3/4}=1/8\).

  3. \((-27)^{1/3}=-3\).

  4. Todo quadrado real é não negativo; portanto, não existe real cujo quadrado seja \(-16\).

  5. \(a^{6-2-3}=a\), com \(a\ne 0\).

  6. \(3\sqrt2\, |x|\), para todo \(x\in \mathbb {R}\).

Exercício 1.25
Indique as restrições.

  1. \(a^0=1\).

  2. \(a^{-n}=1/a^n\).

  3. \(a^x\), para todo expoente real \(x\), é definido pelas regras acima.

Ver solução
Nos dois primeiros itens é necessário \(a\ne 0\). Para admitir todo expoente real \(x\) no contexto deste capítulo, tomamos \(a\gt 0\).

Síntese

A estrutura dos números reais reúne operações, ordem e completude. Dos axiomas algébricos decorrem propriedades como \(a\cdot 0=0\), o cancelamento e a regra do produto nulo; a distributividade está na base da fatoração e das manipulações algébricas. Os axiomas de ordem explicam as regras das desigualdades. A completude garante a existência de fronteiras como supremos e, em particular, permite estabelecer a existência de números como \(\sqrt2\).

Essas propriedades não são independentes das técnicas de cálculo algébrico: elas determinam quando uma transformação é válida, quais restrições de domínio devem ser preservadas e por que certas regras funcionam.