Números

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso.

O Cálculo se desenvolve sobre os números reais. Com eles realizamos operações, comparamos valores e representamos medidas na reta. Muitas regras elementares são familiares pelo uso, mas suas justificativas nem sempre são conhecidas. Comecemos com algumas perguntas:

Os axiomas algébricos governam as operações; os axiomas de ordem tornam compatíveis as operações e a comparação entre números; a completude exprime, de forma precisa, a ausência de lacunas na reta real. Fatoração e simplificação algébrica também se apoiam nas propriedades das operações e exigem atenção às restrições de domínio.

Seguiremos essa ordem: operações e ordem preparam o estudo da reta e das aproximações; a completude fundamenta raízes e potências; por fim, usaremos essas ferramentas para fatorar, simplificar e analisar sinais de expressões.

1.1 Dos naturais aos reais

Os primeiros conjuntos numéricos aparecem quando diferentes problemas exigem novas operações. Adotaremos a convenção de que o zero é um número natural:

Escreveremos \(\mathbb N^*=\mathbb N\setminus \{ 0\} \) para o conjunto dos naturais positivos. Os naturais são adequados para contar. Entretanto, uma subtração como \(3-5\) não tem resultado em \(\mathbb N\). A introdução dos números negativos conduz ao conjunto dos inteiros,

Nos inteiros podemos subtrair livremente, mas uma divisão como \(2/3\) ainda não produz um inteiro. Incluindo todas as razões entre inteiros, com denominador não nulo, obtemos os números racionais:

Essas ampliações podem ser resumidas pelas inclusões

Cada conjunto conserva as operações já existentes e acrescenta soluções para problemas que o anterior não resolvia. Ainda assim, os racionais não bastam.

Por que \(\mathbb Q\) não basta?

Usaremos desde já a notação \(a^2=a\cdot a\) para o quadrado de um número. As potências de expoente inteiro serão sistematizadas na Seção 1.2.

Se representarmos o comprimento da diagonal de um quadrado de lado \(1\) por um número positivo, o teorema de Pitágoras exige que seu quadrado seja \(2\). Vamos mostrar que esse número não pode ser racional.

Os números reais formam o conjunto denotado por \(\mathbb R\), que contém os racionais. Um número real que não é racional é chamado de irracional. A existência de reais positivos cujos quadrados são \(2\) e \(3\) será demonstrada na Seção 1.6. Temos, assim, a cadeia de inclusões:

A propriedade de completude dará sentido preciso à ideia de que os reais “preenchem” as lacunas existentes entre os racionais. Em vez de construir esse conjunto a partir dos racionais, faremos uma apresentação axiomática: primeiro as propriedades das operações, que \(\mathbb Q\) também satisfaz, depois a ordem e, finalmente, a completude.

1.2 Estrutura algébrica dos números reais

A apresentação dos reais começa pelas propriedades da adição e da multiplicação. Um pequeno conjunto de axiomas permite justificar regras como o cancelamento e o produto nulo, em vez de apenas memorizá-las.

As operações de adição e multiplicação associam a cada par de números reais um novo número real. As propriedades fundamentais dessas operações são chamadas axiomas de corpo. Para todos \(a,b,c\in \mathbb R\), valem:

A1.

\((a+b)+c=a+(b+c)\) (associatividade da adição);

A2.

\(a+b=b+a\) (comutatividade da adição);

A3.

existe \(0\in \mathbb R\) tal que \(a+0=a\) (neutro aditivo);

A4.

para cada \(a\), existe \(-a\) tal que \(a+(-a)=0\) (oposto);

A5.

\((ab)c=a(bc)\) (associatividade da multiplicação);

A6.

\(ab=ba\) (comutatividade da multiplicação);

A7.

existe \(1\in \mathbb R\), com \(1\ne 0\), tal que \(a\cdot 1=a\) (neutro multiplicativo);

A8.

para cada \(a\ne 0\), existe \(a^{-1}\) tal que \(aa^{-1}=1\) (inverso);

A9.

\(a(b+c)=ab+ac\) (distributividade).

Definimos a subtração pela adição do oposto:

Assim, subtrair \(b\) dos dois membros de uma igualdade significa somar \(-b\) a ambos. Também escreveremos \(a/b=ab^{-1}\) quando \(b\ne 0\).

Os axiomas são o ponto de partida. Muitas identidades familiares não aparecem na lista porque são consequências deles. Os resultados seguintes ilustram essa passagem dos axiomas para propriedades algébricas usuais.

Por que \(a\cdot 0=0\)?

Logo, a igualdade \(a\cdot 0=0\) não constitui um axioma adicional: ela decorre da distributividade e da existência do oposto aditivo.

O oposto de cada número é único. Se \(b\) e \(c\) são opostos de \(a\), então

Em particular, o oposto de \(-a\) é \(a\). As regras dos sinais também vêm da distributividade:

Assim, \(a(-b)=-(ab)\). Aplicando essa igualdade duas vezes, obtemos \((-a)(-b)=ab\).

A distributividade também permite fazer contas com letras sem perder de vista os sinais. Por exemplo,

Ao retirar o segundo parêntese, o sinal negativo afeta seus dois termos.

Por que podemos cancelar um fator não nulo?

A condição \(a\ne 0\) é indispensável. Da igualdade \(0\cdot 2=0\cdot 5\) não podemos concluir que \(2=5\).

De onde vem a regra do produto nulo?

É essa propriedade que permite resolver, por exemplo,

concluindo que \(x-2=0\) ou \(x+3=0\), isto é, \(x=2\) ou \(x=-3\). Pela distributividade,

Portanto, \(x^2+x-6=0\) tem as mesmas soluções, mesmo quando a expressão aparece escrita sem parênteses.

Por que \(\frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab}\)?

Dividir por um número não nulo significa multiplicar por seu inverso: \(p/q=pq^{-1}\), para \(q\ne 0\). A regra da soma de frações também decorre dos axiomas de corpo.

Na escrita usual das frações, esse argumento corresponde a obter um denominador comum. Multiplicar a primeira parcela por \(b/b=1\) e a segunda por \(a/a=1\) preserva seus valores e fornece

Somar os numeradores quando os denominadores são iguais é uma aplicação da distributividade. O denominador comum \(ab\) não precisa ser o menor possível para que a identidade seja válida.

Com variáveis, fazemos a mesma conta. Para \(x\ne 0,-1\),

As restrições vêm dos denominadores da expressão original.

nobreak=true

Potências de expoente inteiro

Uma potência de expoente inteiro positivo representa um produto de fatores iguais:

Para \(a\ne 0\), definimos também \(a^0=1\) e \(a^{-n}=1/a^n\). A divisão é legítima: pela regra do produto nulo, um produto de fatores não nulos não pode ser zero. Assim, \(a^n\ne 0\). O agrupamento dos fatores e a regra do inverso dão

sempre que as potências envolvidas estejam definidas. Em particular, expoentes negativos exigem bases não nulas. O valor numérico \(0^0\) permanecerá indefinido neste livro.

Uma identidade que usaremos nas aproximações sucessivas é, para \(n\ge 2\),

Ela decorre diretamente da distributividade: ao multiplicar a soma por \(y\) e por \(-x\), os termos intermediários se cancelam, restando \(y^n-x^n\). O caso \(n=2\) fornece \(y^2-x^2=(y-x)(y+x)\). Com essa identidade, algumas contas ficam mais curtas:

Na Seção 1.7, estudaremos como escolher escritas em produto para resolver equações e simplificar expressões.

1.3 Ordem e desigualdades

Além de somar e multiplicar números reais, podemos compará-los. Queremos saber quais operações preservam uma desigualdade e quais a invertem.

A relação \(a\leq b\) significa que \(a\) é menor ou igual a \(b\). Escrevemos \(a\lt b\) quando \(a\le b\) e \(a\ne b\); as notações \(b\ge a\) e \(b\gt a\) exprimem as mesmas relações com os membros trocados. A relação de ordem satisfaz as seguintes propriedades:

A10.

A ordem é reflexiva, antissimétrica, transitiva e total:

\[ a\leq a, \qquad (a\leq b\text{ e }b\leq a)\Rightarrow a=b, \]

\[ (a\leq b\text{ e }b\leq c)\Rightarrow a\leq c, \qquad a\leq b\text{ ou }b\leq a. \]

A11.

Somar o mesmo número preserva a ordem:

\[ a\leq b\Rightarrow a+c\leq b+c. \]

A12.

Multiplicar pelo mesmo número não negativo preserva a ordem:

\[ a\leq b\text{ e }c\geq 0\Rightarrow ac\leq bc. \]

Esses são os axiomas de ordem. Observe que A12 fala apenas da multiplicação por números não negativos. A conhecida regra para números negativos será deduzida deles.

Por que multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade?

Por exemplo, de \(2\lt 5\) podemos concluir que \(-6\gt -15\) ao multiplicar ambos os membros por \(-3\). A mudança de sentido não é uma convenção gráfica: ela decorre da compatibilidade entre a ordem e as operações.

Se a desigualdade inicial é estrita e o multiplicador é não nulo, o resultado também é estrito: a igualdade dos produtos permitiria cancelar o multiplicador, contrariando a hipótese.

Outra consequência útil é que todo quadrado é não negativo. Se \(x\geq 0\), isso decorre de A12 aplicado a \(0\leq x\). Se \(x\lt 0\), então \(-x\gt 0\) e \(x^2=(-x)^2\geq 0\). Se \(x\ne 0\), a regra do produto nulo garante \(x^2\ne 0\), portanto \(x^2\gt 0\). Em particular, \(1\gt 0\). O inverso de um número positivo também é positivo: se \(b\gt 0\) e \(b^{-1}\lt 0\), o produto \(bb^{-1}\) seria negativo, mas ele é \(1\).

1.4 Reta real, valor absoluto e intervalos

As comparações numéricas ganham uma interpretação geométrica na reta. Os intervalos descrevem posições entre extremos; o valor absoluto permite expressar distâncias e margens de erro nessa mesma representação.

Escolhemos um ponto para representar \(0\), outro ponto à sua direita para representar \(1\) e usamos a distância entre eles como unidade. A ordem corresponde à posição: \(a\lt b\) significa que o ponto associado a \(a\) está à esquerda daquele associado a \(b\).

Intervalos

Dados \(a\lt b\), usamos as seguintes notações:

O intervalo \((a,b)\) é chamado aberto, o intervalo \([a,b]\), fechado, e os intervalos \([a,b)\) e \((a,b]\), semiabertos. Os números \(a\) e \(b\) são as extremidades desses intervalos.

Parênteses indicam que a extremidade não pertence ao intervalo; colchetes indicam que pertence. Para intervalos ilimitados, escrevemos, por exemplo,

Os símbolos \(\pm \infty \) nunca recebem colchetes, pois não representam números reais. Os intervalos \((a,+\infty )\) e \((-\infty ,b)\) são abertos; os intervalos \([a,+\infty )\) e \((-\infty ,b]\) são fechados.

Um ponto \(x\) é interior a um conjunto \(A\subseteq \mathbb R\) se existe um intervalo aberto que contém \(x\) e está inteiramente contido em \(A\). O conjunto de todos os pontos interiores de \(A\) é chamado interior de \(A\).

Por exemplo, o interior de \([a,b]\) é \((a,b)\): as extremidades \(a\) e \(b\) pertencem a \([a,b]\), mas não são pontos interiores.

Valor absoluto e distância

O valor absoluto, ou módulo, de \(x\in \mathbb R\) é definido por

Portanto, \(|x|=x\) somente quando \(x\geq 0\). Se \(x\lt 0\), então \(|x|=-x\). Por exemplo,

Geometricamente, \(|x|\) é a distância de \(x\) até a origem. Mais geralmente, a distância entre \(x\) e \(y\) é

Essa interpretação é mais útil do que pensar no módulo apenas como um procedimento para “retirar o sinal”.

Para \(r\ge 0\), a condição \(|x-a|\le r\) significa que a distância de \(x\) a \(a\) é, no máximo, \(r\). As formas algébricas e geométricas são

Quando \(r=0\), o intervalo fechado \([a,a]\) designa o conjunto \(\{ a\} \). Para \(r\gt 0\), as versões estritas são

Na primeira condição de cada par, exigimos simultaneamente duas desigualdades; na segunda, basta uma delas. Em particular, \(|u|\le r\Longleftrightarrow -r\le u\le r\). 01-modulo-geometriaO intervalo tem centro em \(a\). Seus extremos ficam à distância \(r\) do centro e não pertencem ao conjunto \(|x-a|\lt r\).

Para \(x,y\in \mathbb R\), valem as propriedades

A desigualdade \(|x+y|\leq |x|+|y|\) é chamada de desigualdade triangular. De fato,

Somando membro a membro, obtemos

Aplicando a equivalência anterior a \(u=x+y\) e \(r=|x|+|y|\), obtemos \(|x+y|\leq |x|+|y|\). Geometricamente, na reta, a distância do percurso direto entre dois pontos não é maior que a de um percurso feito com um desvio. Em geral, não podemos substituir a desigualdade por uma igualdade. Com \(x=1\) e \(y=-1\), por exemplo,

Como manipular o módulo?

Para retirar um módulo, precisamos conhecer o sinal da expressão que está em seu interior. Nos exemplos a seguir, essas expressões são de primeiro grau. Seus zeros dividem a reta em intervalos nos quais os sinais permanecem fixos.

Outro padrão importante ocorre nas equações. Se \(a\geq 0\), então

Assim,

e as soluções são \(x=4\) e \(x=-1\). Se \(a\lt 0\), a equação \(|u|=a\) não possui solução real.

Exercício 1.6

Em cada item, escreva o conjunto solução da inequação como um intervalo ou uma união de intervalos.

1. \(|x-3|\lt 2\).

2. \(|x+1|\leq 4\).

3. \(|x-5|\gt 1\).

Ver solução

1. \((1,5)\).

2. \([-5,3]\).

3. \((-\infty ,4)\cup (6,+\infty )\).

Exercício 1.7

Resolva \(|3x-1|=5\).

Ver solução

Temos \(3x-1=5\) ou \(3x-1=-5\). Logo, \(x=2\) ou \(x=-4/3\).

Exercício 1.8

Reescreva \(|x-2|+|x+1|\) sem símbolos de módulo, distinguindo os intervalos em que cada fórmula vale.

Ver solução

Os pontos de mudança de sinal são \(-1\) e \(2\). Portanto,

\[ |x-2|+|x+1|= \begin{cases} 1-2x, & x\lt -1,\\ 3, & -1\leq x\lt 2,\\ 2x-1, & x\geq 2. \end{cases} \]

Exercício 1.9 (Dois testes para o mesmo número)

Um valor real \(x\) passa pelo teste \(A\) quando sua distância a \(3\) é, no máximo, \(2\). Passa pelo teste \(B\) quando sua distância a \(6\) é estritamente menor que \(2\). A figura representa separadamente os valores aceitos em cada teste.

1. Escreva as duas condições com valor absoluto e determine o conjunto dos valores que passam em ambos os testes.

2. Determine o conjunto dos valores que passam em pelo menos um teste. Explique, em particular, como os valores \(4\), \(5\) e \(8\) são tratados.

Ver solução

Os testes são \(|x-3|\le 2\) e \(|x-6|\lt 2\), com conjuntos de aceitação \(A=[1,5]\) e \(B=(4,8)\). Portanto,

\[ A\cap B=(4,5],\qquad A\cup B=[1,8). \]

O valor \(4\) passa apenas no teste \(A\); o valor \(5\) passa nos dois; o valor \(8\) não passa em nenhum. As diferenças entre “no máximo” e “estritamente menor” determinam a inclusão dos extremos.

Exercício 1.10 (Equações e distâncias na reta)

Interprete cada equação em termos de distâncias na reta real e resolva-a sem dividir em casos algébricos.

1. \(|x-2|=|x+4|\);

2. \(|x-1|+|x-5|=4\);

3. \(|x-1|+|x-5|=6\).

Ver solução

1. \(x\) está à mesma distância de \(2\) e de \(-4\): é o ponto médio, \(x=-1\).

2. A distância entre \(1\) e \(5\) já é \(4\); a soma das distâncias é \(4\) exatamente para os pontos do segmento: \(x\in [1,5]\).

3. Fora do segmento a soma excede \(4\) em duas vezes a distância ao extremo mais próximo; para obter \(6\), essa distância é \(1\): \(x=0\) ou \(x=6\).

Exercício 1.11

Demonstre a desigualdade \(\bigl||x|-|y|\bigr|\leq |x-y|\) usando a desigualdade triangular.

Ver solução

Da desigualdade triangular, \(|x|=|(x-y)+y|\leq |x-y|+|y|\), logo \(|x|-|y|\leq |x-y|\). Trocando \(x\) e \(y\), obtemos \(|y|-|x|\leq |x-y|\). As duas desigualdades equivalem ao resultado.

Exercício 1.12

Mostre que, se \(a-\varepsilon \lt x\lt a+\varepsilon \) para todo \(\varepsilon \gt 0\), então \(x=a\).

Ver solução

As desigualdades equivalem a \(|x-a|\lt \varepsilon \). Se \(x\ne a\), tome \(\varepsilon =|x-a|/2\gt 0\). Teríamos então \(|x-a|\lt |x-a|/2\), o que é impossível. Logo, \(x=a\).

1.5 Sequências e completude

Aproximar um número por valores cada vez maiores, que nunca ultrapassam um valor fixo, conduz a uma propriedade dos reais, a completude, que usaremos para construir as raízes e as potências.

Considere os números

Eles formam uma sequência: uma lista numerada \(a_1,a_2,a_3,\ldots \), com um número em cada posição. Neste caso, \(a_n=1-1/n\). Seus termos crescem, mas nenhum ultrapassa \(1\).

Uma sequência é não decrescente quando \(a_{n+1}\ge a_n\) para todo \(n\); se a desigualdade é sempre estrita, é crescente. É limitada superiormente quando existe um número \(M\) tal que \(a_n\le M\) para todo \(n\). Uma sequência não decrescente nunca fica abaixo de seu primeiro termo. Para saber que ela é limitada, basta encontrar uma cota superior. É com essas sequências que trabalharemos aqui.

Na sequência do exemplo, a diferença entre \(1\) e o termo \(a_n\) é \(1/n\). Ao aumentar \(n\), podemos torná-la tão pequena quanto quisermos; essa possibilidade será justificada pela propriedade arquimediana (Proposição 1.10). Escreveremos

para indicar que os termos se aproximam de \(1\). De modo geral, \(a_n\to L\) indica que os termos se aproximam do número \(L\). No caso de uma sequência não decrescente, essa aproximação se dá por baixo: \(a_n\le L\), e a diferença \(L-a_n\) pode ficar menor que qualquer margem positiva que escolhermos. Se \(L-a_N\lt \varepsilon \) para algum índice \(N\), o mesmo vale para todos os índices \(n\ge N\), pois os termos não diminuem.

A completude dos números reais

No exemplo anterior, a fórmula dos termos sugere o valor \(1\). Mas, quando apenas sabemos que os termos crescem sem ultrapassar uma cota, como garantir que exista um real do qual se aproximam? É essa garantia que adotamos como axioma.

Assim, para uma sequência nessas condições, existe um real \(L\) com \(a_n\to L\). Ele não pode ultrapassar uma cota superior \(M\): se \(L\gt M\), um termo suficientemente próximo de \(L\) seria maior que \(M\), o que é impossível. Mas uma cota superior não precisa ser \(L\): para \(a_n=1-1/n\), por exemplo, \(2\) é uma cota superior, embora os termos se aproximem de \(1\).

O mesmo vale para sequências não crescentes e limitadas inferiormente: basta aplicar a propriedade anterior à sequência de seus opostos.

Os naturais ultrapassam qualquer número real

A propriedade seguinte, conhecida como propriedade arquimediana, permite escolher números naturais tão grandes quanto seja necessário para obter uma determinada precisão.

A propriedade arquimediana permite tornar \(1/n\) menor que qualquer margem positiva escolhida. Para obter \(1/n\lt 0{,}01\), por exemplo, basta tomar \(n\gt 100\). De modo geral, dada uma margem \(\varepsilon \gt 0\), podemos escolher um natural \(n\gt 1/\varepsilon \); então

Na sequência \(1-1/n\), essa é precisamente a diferença entre \(1\) e o termo considerado. Assim se justifica a aproximação \(1-1/n\to 1\).

Também precisaremos tornar pequenas as quantidades \(2^{-n}\) e \(10^{-n}\). Para isso, vamos compará-las com \(1/(n+1)\). Pela identidade da diferença de potências, \(2^n-1\) é uma soma de \(n\) parcelas, todas maiores ou iguais a \(1\):

Portanto, \(2^n\ge n+1\). Como os dois números são positivos, a ordem se inverte ao tomarmos seus inversos:

Além disso, \(10^n\ge 2^n\gt 0\), de modo que

Quando \(1/(n+1)\) fica menor que a margem escolhida, \(2^{-n}\) e \(10^{-n}\) também ficam abaixo dela. Um intervalo de comprimento inicial \(1\) tem comprimento \(2^{-n}\) após \(n\) divisões ao meio; \(10^{-n}\) será a margem de erro das aproximações com \(n\) casas decimais. Nos dois casos, poderemos obter a precisão desejada.

A propriedade arquimediana garante ainda que entre dois reais \(x\lt y\) existe um racional. Escolhemos um natural positivo \(n\) tal que \(n(y-x)\gt 1\) e o primeiro inteiro \(m\) maior que \(nx\). Então

Essa densidade dos racionais será útil ao comparar potências de expoentes reais.

Representações decimais

Uma escrita decimal infinita pode ser construída algarismo por algarismo. Por exemplo, as aproximações

correspondem às primeiras casas de \(7/11\).

Escolhamos uma parte inteira \(m\ge 0\) e, sucessivamente, os algarismos depois da vírgula. Seja \(d_n\) a escrita com as primeiras \(n\) casas. Acrescentar uma casa nunca diminui seu valor, e

Assim, \((d_n)\) é não decrescente e limitada. Pelo axioma da completude, existe um real \(L\) com \(d_n\to L\). Esse número é o que a escrita decimal infinita representa.

Reciprocamente, dado \(x\ge 0\), escolhemos sua parte inteira e cada algarismo de modo que \(d_n\) seja a maior aproximação com \(n\) casas decimais que não ultrapassa \(x\). Então

Pelo axioma, \(d_n\to L\) para algum \(L\). Como a sequência cresce sem ultrapassar \(x\), temos \(d_n\le L\le x\). Portanto,

A última quantidade pode ser tão pequena quanto quisermos. Se um número não negativo é menor que qualquer número positivo, então ele é zero. Logo, \(x=L\): os algarismos escolhidos representam exatamente \(x\). Para números negativos, aplicamos a construção ao módulo e acrescentamos o sinal negativo.

Decimais racionais e irracionais

Na divisão de dois inteiros, com denominador positivo, cada resto é um dos números \(0,1,\ldots ,q-1\), em que \(q\) é o denominador. Se o resto se torna zero, a representação decimal termina. Caso contrário, algum resto se repete; a partir daí, repetem-se os mesmos algarismos. Por exemplo,

A recíproca também vale. Um decimal finito é uma fração cujo denominador é uma potência de 10. Quando um bloco se repete indefinidamente, multiplicar por uma potência de 10 permite alinhar as partes periódicas e eliminá-las por subtração. Por exemplo, se \(z=0{,}454545\ldots \), então

e, subtraindo \(z\), obtemos \(99z=45\). Logo, \(z=45/99=5/11\). As igualdades com decimais infinitos podem ser justificadas por suas aproximações finitas: a parte ainda não escrita fica tão pequena quanto desejarmos.

Se a repetição começa somente depois de algumas casas, uma primeira multiplicação por uma potência de 10 desloca essa parte inicial para antes da vírgula. O mesmo procedimento se aplica então à parte periódica. Portanto, um real é racional exatamente quando sua representação decimal termina ou se torna periódica a partir de alguma posição. As representações decimais dos irracionais são infinitas e não periódicas.

Duas representações de um mesmo número

Uma representação decimal não deve ser confundida com o próprio número. Considere

O termo com \(n\) algarismos iguais a 9 é

Cada termo é menor que \(1\), e a diferença \(1-d_n=10^{-n}\) pode ficar menor que qualquer margem positiva. Assim, \(d_n\to 1\), e a escrita decimal representa o número \(1\):

Nenhuma aproximação finita é igual a \(1\): a igualdade diz que a escrita decimal infinita representa o mesmo número que \(1{,}000\ldots \).

1.6 Potências e raízes

As potências inteiras já estão definidas pela multiplicação e pelo inverso. Com a completude, construiremos a raiz quadrada de um número não negativo. As raízes darão sentido aos expoentes racionais e, em seguida, aos expoentes reais.

Por que \(\sqrt c\) existe?

Já mostramos que nenhum racional tem quadrado igual a \(2\). A completude permite ir além: todo real não negativo é o quadrado de um real não negativo. Vamos construir esse número escolhendo sucessivamente suas casas decimais.

Antes de comparar aproximações, observemos que, se \(0\le u\lt v\), então \(v^2-u^2=(v-u)(v+u)\gt 0\). Portanto, os quadrados preservam a ordem dos números não negativos.

Denotamos esse número não negativo por \(\sqrt c\). Depois de \(n\) etapas, a aproximação inferior \(u_n\) está a uma distância no máximo \(10^{-n}\) de \(\sqrt c\). Assim, três casas decimais dão uma margem de erro de \(0{,}001\). O procedimento fornece tanto a existência do número quanto um controle da precisão das aproximações.

Raízes de qualquer índice

Para os demais índices, usaremos sem demonstração o seguinte resultado.

Para \(m\) ímpar, \(\sqrt[m]{c}\) denota a única solução real. Para \(m\) par e \(c\ge 0\), denota a solução não negativa; quando \(c\gt 0\), a outra solução é \(-\sqrt[m]{c}\). Convencionamos ainda \(\sqrt[1]{c}=c\).

Expoentes racionais

As raízes permitem ampliar o significado de potência. Para \(a\gt 0\) e um racional \(q=p/m\), com \(m\gt 0\), definimos

Por exemplo,

Um expoente negativo continua indicando o inverso: \(16^{-3/4}=1/16^{3/4}=1/8\).

A definição não depende da fração escolhida para representar \(q\). Se \(p/m=r/k\), as duas expressões positivas \((\sqrt[m]{a})^p\) e \((\sqrt[k]{a})^r\), elevadas a \(mk\), resultam em \(a^{pk}\) e \(a^{rm}\). Como \(pk=rm\), a unicidade da raiz positiva mostra que as expressões coincidem.

As leis das potências inteiras valem também para expoentes racionais. Para justificá-las, observemos que, se \(a,b\gt 0\) e \(m\in \mathbb N^*\), o número \(\sqrt[m]{a}\, \sqrt[m]{b}\) é positivo e sua potência \(m\)-ésima é \(ab\); pela unicidade, ele coincide com \(\sqrt[m]{ab}\). Podemos então escrever os expoentes com denominadores comuns e aplicar as leis das potências inteiras. As demais identidades são verificadas elevando os dois membros a uma mesma potência inteira e usando a unicidade da raiz positiva. Em particular, se \(a\gt 1\), a potência \(a^q\) aumenta com o expoente racional. De fato, para \(q\gt p\),

pois uma potência racional positiva de uma base maior que \(1\) é maior que \(1\).

Para uma base negativa, escrevemos o expoente racional em forma irredutível. A potência tem valor real, por essa convenção, quando o denominador é ímpar. Por exemplo, \((-27)^{1/3}=-3\), mas \((-16)^{1/2}\) não representa um número real. Para bases negativas, as leis das potências com expoentes racionais podem falhar; por isso, as usaremos sem restrições apenas com bases positivas. Essa também será a condição para admitir expoentes reais quaisquer.

Para trabalhar com expoentes reais, precisaremos controlar como uma potência varia quando seu expoente aumenta um pouco. A desigualdade de Bernoulli fornece esse controle e também ajuda a compreender aumentos percentuais sucessivos.

O que significa um expoente irracional?

As potências de expoente racional já estão definidas. Para dar sentido a um expoente irracional, podemos aproximá-lo por decimais finitos. Se a escrita decimal de \(x\) começa por \(1{,}234\ldots \), por exemplo, as primeiras aproximações são \(1\), \(1{,}2\), \(1{,}23\) e \(1{,}234\). As potências correspondentes de base \(2\) têm valores aproximados:

As potências vão aumentando e parecem aproximar-se de um número. A completude permite dar sentido a essa observação.

Para uma base \(a\gt 1\) e um expoente real \(x\), começamos com dois inteiros consecutivos \(k\) e \(k+1\) tais que \(k\le x\lt k+1\). Dividimos esse intervalo em dez partes iguais e conservamos aquela que contém \(x\), incluindo o extremo esquerdo e excluindo o direito. Após \(n\) etapas, denotamos por \(q_n\) o extremo esquerdo do intervalo escolhido. Assim,

Essas aproximações racionais são não decrescentes: podem ficar iguais ou aumentar, mas nunca ultrapassam \(x\). Para \(x\ge 0\), são precisamente os truncamentos de sua escrita decimal. A diferença \(x-q_n\) pode ficar tão pequena quanto quisermos. Como \(a\gt 1\), as potências \(a^{q_n}\) também formam uma sequência não decrescente. Elas também são limitadas superiormente: basta tomar um inteiro \(M\gt x\), pois \(a^{q_n}\le a^M\). Por outro lado, \(q_n\ge k\) garante \(a^{q_n}\ge a^k\gt 0\). Pelo axioma da completude, seus valores se aproximam de um número real positivo, que chamaremos de \(a^x\):

Quando \(x\) é racional, essa construção recupera a potência já definida por raízes. Ela conserva também a ordem: para \(a\gt 1\), expoentes maiores produzem potências maiores. Para \(0\lt a\lt 1\), definimos \(a^x=(1/a)^{-x}\) e, para \(a=1\), tomamos \(1^x=1\). Desse modo, admitimos qualquer expoente real quando a base é positiva.

As leis usuais continuam válidas:

As justificativas dessas afirmações estão reunidas no complemento estrelado sobre potências reais, na página *, antes da seção sobre cotas e supremos.

1.7 Fatoração de expressões algébricas

Escrever uma soma como produto pode facilitar a resolução de equações e a simplificação de quocientes. Fatorar é reescrever uma expressão como um produto. A distributividade fornece o exemplo básico:

O domínio de uma expressão é o conjunto dos valores para os quais ela está definida; esses são seus valores admissíveis. Um valor admissível que anula a expressão é um zero da expressão. Por exemplo, \(2\) é um zero de \(x^2-4\).

A passagem inversa desenvolve o produto. A fatoração preserva o valor da expressão e permite identificar seus zeros pela regra do produto nulo. Em um quociente, ela também revela fatores comuns que podem ser cancelados, respeitadas as restrições de domínio.

Escolha da fatoração

A forma da expressão sugere a técnica adequada. Nos casos elementares, a sequência seguinte organiza as possibilidades mais frequentes:

O resultado pode sempre ser conferido desenvolvendo novamente o produto.

Fator comum

O fator comum deve dividir todos os termos da expressão. Quando os coeficientes são inteiros, convém retirar seu máximo divisor comum e, para cada letra, a menor potência que aparece em todos os termos.

Produtos notáveis e diferença de potências

As identidades seguintes aparecem com frequência nas fatorações:

Não são regras isoladas: todas podem ser verificadas desenvolvendo o membro direito. Por exemplo,

e

No segundo desenvolvimento, os termos intermediários se cancelam. O mesmo mecanismo aparece na identidade mais geral: para todo inteiro \(n\geq 2\),

Essa identidade será especialmente útil quando aparecer um quociente com \(a-b\) no denominador.

Agrupamento

Quando não existe um fator comum a todos os termos, pode existir um fator comum depois de um agrupamento adequado.

Trinômios quadráticos

Para fatorar

procuramos números \(r\) e \(t\) tais que \(r+t=s\) e \(rt=p\). Nesse caso,

Para um trinômio geral \(ax^2+bx+c\), com \(a\ne 0\), procuramos decompor o termo central em duas parcelas que permitam uma fatoração por agrupamento. Para isso, escolhemos números \(u\) e \(v\) tais que

A primeira condição garante que \(ux+vx=bx\), de modo que a expressão não se altera. A segunda faz com que os dois grupos possam ter um fator comum. Como \(uv=ac\), temos \(c=uv/a\); assim,

Na prática, com coeficientes inteiros, começamos pelos pares de fatores inteiros de \(ac\) cuja soma é \(b\) e, depois de separar o termo central, colocamos o fator comum de cada par em evidência, sem precisar escrever \(v/a\). Quando \(c=0\), basta colocar \(x\) em evidência. A ausência de um par inteiro não exclui uma fatoração com coeficientes reais.

Nem toda expressão quadrática se decompõe em fatores lineares reais. Por exemplo, \(x^2+1\) não se anula para nenhum real e, portanto, não pode ser escrito como produto de dois fatores lineares com coeficientes reais.

Completar quadrados

Como o quadrado de um número real é não negativo, escrever uma expressão quadrática como um múltiplo de um quadrado perfeito acrescido de uma constante ajuda a estudar seu sinal e a resolver equações. Esse procedimento é chamado de completar o quadrado.

De modo geral,

Se o coeficiente quadrático é \(a\ne 0\), colocamos \(a\) em evidência antes de aplicar o mesmo procedimento. A técnica reaparecerá no estudo das parábolas e na resolução de equações quadráticas.

Exercício 1.21

Fatore completamente.

1. \(8x^3-12x^2\).

2. \(x^2-16\).

3. \(x^2-6x+9\).

4. \(x^3+2x^2-9x-18\).

5. \(3x^2-5x-2\).

6. \(x^4-1\).

Ver solução

1. \(4x^2(2x-3)\).

2. \((x-4)(x+4)\).

3. \((x-3)^2\).

4. \((x+2)(x^2-9)=(x+2)(x-3)(x+3)\).

5. \((3x+1)(x-2)\).

6. \((x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\).

Exercício 1.22

Para \(n\ge 2\), verifique a identidade

\[ a^n-b^n=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr) \]

desenvolvendo o produto do membro direito.

Ver solução

Ao distribuir, os termos intermediários se cancelam dois a dois:

\[ \begin{aligned} & a\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}\bigr)\\ & \quad -b\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}\bigr)=a^n-b^n. \end{aligned} \]

Exercício 1.23

Resolva por fatoração.

1. \(x^3-5x^2+4x=0\).

2. \(2x^2+x-3=0\).

3. \(x^4-16=0\) no conjunto dos números reais.

Ver solução

1. \(x(x^2-5x+4)=x(x-1)(x-4)=0\); logo, \(x\in \{ 0,1,4\} \).

2. \((2x+3)(x-1)=0\); logo, \(x\in \{ -3/2,1\} \).

3. \((x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)=0\). Como \(x^2+4\gt 0\) para todo real \(x\), temos \(x\in \{ -2,2\} \).

Exercício 1.24

Complete o quadrado em cada expressão e escreva a forma obtida.

1. \(x^2+8x+3\).

2. \(x^2-10x+7\).

3. \(3x^2+12x-1\).

Ver solução

1. \((x+4)^2-13\).

2. \((x-5)^2-18\).

3. \(3(x+2)^2-13\).

Exercício 1.25 (Produto nulo exige um produto)

Considere a expressão

\[ E(x)=(x-1)(x+2)+(x-1)(3-x). \]

Um estudante afirma: “Para que \(E(x)=0\), basta que um dos fatores escritos seja zero; portanto, as soluções são \(-2\), \(1\) e \(3\).”

1. Escolha um dos valores propostos que refute a conclusão e explique por que a regra do produto nulo não pode ser aplicada diretamente à soma.

2. Coloque o fator comum em evidência e determine todas as soluções. O que a forma fatorada torna visível sem desenvolver os dois produtos?

Ver solução

Em \(x=-2\), por exemplo, a primeira parcela é zero, mas a segunda vale \(-15\); logo, \(E(-2)=-15\). Anular uma parcela não anula necessariamente uma soma. A fatoração correta é

\[ E(x)=(x-1)\bigl[(x+2)+(3-x)\bigr]=5(x-1). \]

Assim, \(E(x)=0\) se, e somente se, \(x=1\). A forma fatorada mostra também que o segundo fator é a constante não nula \(5\), embora cada parcela original contenha dois fatores variáveis.

Exercício 1.26

Se \(a\neq 0\) e

\[ a+\frac1a=b, \]

determine \(a^2+\dfrac 1{a^2}\) em função de \(b\).

Ver solução

Elevando a igualdade ao quadrado,

\[ b^2=\left(a+\frac1a\right)^2 =a^2+2+\frac1{a^2}. \]

Logo,

\[ a^2+\frac1{a^2}=b^2-2. \]

Exercício 1.27

Fatore completamente \(p(x)=x^4-3x^3-4x^2+12x\) e use a fatoração para resolver \(p(x)=0\).

Ver solução

Colocando \(x\) em evidência e agrupando os termos restantes,

\[ \begin{aligned} p(x)& =x\bigl[x^2(x-3)-4(x-3)\bigr]\\ & =x(x-3)(x^2-4)\\ & =x(x-3)(x-2)(x+2). \end{aligned} \]

Pela regra do produto nulo, o conjunto-solução é \(\{ -2,0,2,3\} \).

Exercício 1.28

Um quadrado de lado \(x\) cm tem uma moldura interna de largura \(2\) cm. O desenho representa a região ocupada pela moldura.

Escreva a área da moldura em função de \(x\), apresente-a nas formas desenvolvida e fatorada e determine os valores fisicamente admissíveis de \(x\). Inclua o caso-limite em que o quadrado interno tem lado zero.

Ver solução

O quadrado interno tem lado \(x-4\). Logo,

\[ A(x)=x^2-(x-4)^2=8x-16=8(x-2),\qquad x\geq 4. \]

Se for exigida uma abertura interna não degenerada, toma-se \(x\gt 4\).

1.8 Simplificação de expressões algébricas

Simplificar uma expressão é reescrevê-la de uma forma mais conveniente, sem mudar seu valor em nenhum ponto do domínio original. As duas expressões são equivalentes nesse domínio. As restrições da expressão original devem acompanhar a simplificação, mesmo quando deixam de aparecer na nova fórmula.

Cancelar fatores, não parcelas

A lei do cancelamento permite escrever

O cancelamento é possível porque \(c\) multiplica todo o numerador e todo o denominador. Uma parcela de uma soma não pode ser cancelada.

Compare com

Não há um fator \(x\) comum a todo o numerador, de modo que “cancelar os \(x\)” seria incorreto.

Somar e dividir frações algébricas

Para somar frações, construímos um denominador comum. Por exemplo,

Em uma fração complexa, convém simplificar primeiro seu numerador e seu denominador ou multiplicar ambos por um denominador comum.

Um primeiro quadro de sinais

A fatoração e as regras de ordem permitem estudar o sinal de produtos e quocientes. Para isso, separamos a reta pelos zeros dos fatores do numerador e do denominador e examinamos o sinal de cada fator.

O mesmo procedimento resolve inequações de produtos e quocientes que consigamos fatorar. Não se deve multiplicar uma inequação por um denominador de sinal desconhecido sem separar os casos: um denominador negativo inverteria o sentido. Em inequações que comparam o quociente com zero, os zeros do numerador entram na solução quando a desigualdade não é estrita e a expressão está definida; os zeros do denominador ficam sempre excluídos. Um fator ao quadrado, como \((x-a)^2\), é positivo dos dois lados de \(a\) e não muda de sinal.

Se uma expressão quadrática não apresentar fatores evidentes, completar o quadrado pode esclarecer seu sinal. Por exemplo, \(x^2-4x+5=(x-2)^2+1\gt 0\) para todo real \(x\), ao passo que \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\) permite usar o quadro de sinais. O Capítulo 6 retomará esses procedimentos de forma sistemática.

1.9 \(\star \) Justificativas da construção das potências reais

Na Seção 1.6, construímos as potências reais por aproximações racionais. Resta justificar que essa construção recupera as potências racionais, independe das aproximações escolhidas, preserva a ordem para bases maiores que \(1\) e satisfaz as leis das potências. Comecemos pela compatibilidade com as potências racionais. Suponha \(a\gt 1\) e \(x\in \mathbb Q\). Para os racionais \(q_n\) escolhidos na Seção 1.6, temos \(q_n\le x\lt q_n+10^{-n}\). Como as leis das potências já valem para expoentes racionais,

Escreva \(a^{10^{-n}}=1+t\), com \(t\ge 0\). Pela desigualdade de Bernoulli,

Escolhendo um inteiro \(M\gt x\), segue que

A diferença pode ficar menor do que qualquer margem positiva. Assim, as aproximações chegam à potência racional previamente definida, como queríamos.

Essa estimativa também mostra que a escolha das aproximações não altera o número obtido. Para um expoente real \(x\), escolhemos um inteiro \(M\gt x\). Duas aproximações racionais por falta com erro menor que \(10^{-n}\) diferem por menos de \(10^{-n}\); suas potências diferem, no máximo, por \(a^M(a-1)10^{-n}\). Comparando qualquer escolha com a usada na definição, concluímos que ela se aproxima do mesmo \(a^x\). A ordem também é preservada: se \(x\lt y\), podemos escolher racionais \(r,s\) com \(x\lt r\lt s\lt y\). As aproximações de \(x\) ficam abaixo de \(r\), e as de \(y\) acabam acima de \(s\). Portanto, \(a^x\le a^r\lt a^s\le a^y\).

Para justificar a primeira lei das potências, escolhemos aproximações racionais não decrescentes \(p_n\le x\) e \(q_n\le y\), ambas com erro menor que \(10^{-(n+1)}\). Assim, \(p_n+q_n\) aproxima \(x+y\) por falta, com erro menor que \(10^{-n}\), nas condições da comparação anterior. Para esses expoentes racionais já sabemos que

Quando \(a\gt 1\), os fatores são não decrescentes. Somando e subtraindo \(a^{p_n}a^y\), obtemos

As duas diferenças à direita podem ficar arbitrariamente pequenas. Pela independência das aproximações, \(a^{p_n+q_n}\) se aproxima de \(a^{x+y}\). Portanto, \(a^{x+y}=a^xa^y\). Para \(0\lt a\lt 1\), aplicamos o resultado à base \(1/a\) e aos expoentes \(-x\) e \(-y\). Para \(a=1\), a igualdade é imediata.

A lei da soma permite agora comparar potências cujos expoentes são reais. Se \(a\gt 1\), \(u\le v\le u+10^{-n}\) e \(v\le M\), com \(M\) inteiro, a monotonicidade e a estimativa obtida pela desigualdade de Bernoulli dão

Assim, quando uma sequência de expoentes reais se aproxima de \(z\), as potências correspondentes se aproximam de \(a^z\): basta escolher um inteiro \(M\gt z+1\) e aplicar a estimativa aos termos suficientemente próximos de \(z\). Para \(0\lt a\lt 1\), usamos \(a^z=(1/a)^{-z}\); para \(a=1\), as potências são constantes.

Para \(a,b\gt 0\), escolhemos racionais \(q_n\) que se aproximam de \(x\) e partimos de \((ab)^{q_n}=a^{q_n}b^{q_n}\). Os fatores se aproximam de \(a^x\) e \(b^x\) e permanecem limitados. A decomposição usada na prova da soma, agora com valores absolutos, mostra que o produto se aproxima de \(a^xb^x\). O primeiro membro se aproxima de \((ab)^x\); portanto, \((ab)^x=a^xb^x\).

Finalmente, se \(r=p/m\) é racional, com \(m\gt 0\), a primeira lei e a unicidade da raiz positiva dão

de modo que \((a^x)^r=a^{xr}\). Se \(a\gt 1\) e \(x\gt 0\), a base \(a^x\) também é maior que \(1\). Escolhendo racionais \(r_n\) que se aproximam de \(y\), temos \((a^x)^{r_n}=a^{xr_n}\). Pela estimativa anterior, os dois membros se aproximam, respectivamente, de \((a^x)^y\) e \(a^{xy}\); logo, \((a^x)^y=a^{xy}\). Para \(x=0\), ambos os lados valem \(1\). Para \(x\lt 0\), escrevemos \(a^x=(a^{-x})^{-1}\) e aplicamos o caso anterior usando \(-y\). Se \(0\lt a\lt 1\), basta escrever \(a=(1/b)\), com \(b\gt 1\), e utilizar novamente os inversos. Para \(a=1\), a igualdade é imediata.

As leis das potências foram, assim, obtidas a partir das operações, da ordem e da completude.

1.10 Cotas, máximos e supremos

A completude foi apresentada por meio de sequências monótonas limitadas. Essa formulação bastou para construir as representações decimais, as raízes e as potências de expoente real. Uma consequência importante, usada em demonstrações posteriores, é a existência do supremo de todo conjunto não vazio limitado superiormente. Vamos obtê-la agora a partir do mesmo axioma.

Definições

A ideia de limitação também se aplica a conjuntos.

Para um conjunto não vazio \(A\subset \mathbb R\), uma cota superior é um número \(M\) tal que \(x\le M\) para todo \(x\in A\). Uma cota inferior é um número \(m\) tal que \(m\le x\) para todo \(x\in A\). Quando existe uma cota superior, dizemos que \(A\) é limitado superiormente; a expressão limitado inferiormente tem significado análogo.

O máximo de \(A\) é uma cota superior que pertence ao conjunto. O supremo, denotado por \(\sup A\), é a menor de suas cotas superiores, quando ela existe. No sentido oposto, o mínimo é uma cota inferior que pertence a \(A\), e o ínfimo, denotado por \(\inf A\), é a maior de suas cotas inferiores, quando ela existe.

Em \([0,1)\), nenhum elemento é o maior: dado \(x\) nesse intervalo, \((x+1)/2\) ainda pertence ao intervalo e é maior que \(x\). A ausência de máximo não impede a existência do supremo. O máximo precisa pertencer ao conjunto; o supremo é a menor cota superior, pertença ou não ao conjunto.

A existência do supremo

A definição de supremo, por si só, não garante que ele exista. Para obter essa garantia, partimos de um intervalo cujo extremo esquerdo ainda não é cota superior de \(A\), enquanto o direito já é. A bisseção permite aproximar essas duas posições sem perder a distinção entre elas.

A existência do ínfimo segue aplicando o resultado ao conjunto \(-A=\{ -x:x\in A\} \). Se \(A\) é não vazio e limitado inferiormente, então \(-A\) é limitado superiormente, e \(\inf A=-\sup (-A)\).

As expressões estudadas neste capítulo combinam números, operações e restrições de domínio. Quando uma grandeza varia, essas mesmas expressões podem descrever como outra depende dela. O próximo capítulo organiza essa dependência por meio do conceito de função e de suas representações.