Capítulo 3

Funções algébricas

A matemática é a arte de dar o mesmo nome a coisas diferentes.
Henri Poincaré, Ciência e Método

Que valores a variável pode assumir? Onde uma função se anula, cresce ou muda de sinal? Como essas informações aparecem no gráfico? Neste capítulo, estudaremos essas perguntas para funções polinomiais, racionais e raízes, além de examinar a organização de regras por partes. O objetivo é aprender a passar da expressão algébrica ao comportamento geométrico, e de volta. Para isso, usaremos a linguagem do capítulo anterior: domínio, imagem, composição, monotonicidade, inversa e transformações de gráficos.

Neste capítulo, estudaremos funções obtidas a partir de $x$ e de constantes reais por adições, subtrações, multiplicações, divisões e extrações de raízes. Elas são exemplos de funções algébricas.

3.1 Funções afins

Nas funções afins, variações iguais da entrada produzem variações iguais da saída. Quando a entrada passa de $x$ a $x+h$, temos $\Delta x=h$ e $\Delta y=f(x+h)-f(x)$. Para $h\neq 0$, a razão

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

mede a variação da saída por unidade de variação da entrada. Ela é chamada de taxa média de variação, ou quociente incremental. Nas funções afins, essa razão é constante.

Definição 3.1

Uma função afim é uma função da forma

\[ f(x)=ax+b, \]

em que $a,b\in \mathbb {R}$. Quando $b=0$, a função $f(x)=ax$ é chamada de função linear. É comum empregar informalmente a expressão “função linear” para toda função afim; aqui manteremos a distinção entre os dois casos.

Para uma função afim $f(x)=ax+b$, um acréscimo $h$ na entrada produz a variação

\[ \begin{aligned} f(x+h)-f(x) & =[a(x+h)+b]-(ax+b)\\ & =ah. \end{aligned} \]

Se $h\ne 0$, a razão entre a variação da função e a variação da entrada é

\[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=a. \]

Portanto, a taxa de variação é constante: ela não depende do ponto inicial $x$ nem do acréscimo não nulo $h$.

A recíproca também é verdadeira. Suponha que uma função $f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ tenha taxa de variação constante $a$. Comparando o valor em $x\ne 0$ com o valor em 0, temos

\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=a, \]

e, portanto, $f(x)=ax+f(0)$. Essa igualdade também vale em $x=0$. Com $b=f(0)$, obtemos $f(x)=ax+b$. Assim, as funções afins são precisamente as funções de taxa de variação constante.

05-coeficientesNesta reta, uma variação horizontal de 2 corresponde a uma variação vertical de 3. Logo, $a=3/2$. A interseção com o eixo vertical é $(0,1)$, de modo que $b=1$. O número $a$ é chamado de coeficiente angular. Ele compara uma variação vertical $\Delta y$ com a variação horizontal correspondente $\Delta x$:

\[ a=\frac{\Delta y}{\Delta x},\qquad \Delta x\ne 0. \]

Quando avançamos uma unidade para a direita, a ordenada varia $a$ unidades. Se $a\gt 0$, ela aumenta; se $a\lt 0$, diminui; se $a=0$, permanece constante. Para $a\gt 0$, por exemplo, quanto maior o coeficiente angular, maior a subida para um mesmo avanço horizontal.

O número $b$ é chamado de coeficiente linear. Como $f(0)=b$, o gráfico encontra o eixo vertical no ponto $(0,b)$. Assim, $a$ determina a inclinação da reta, e $b$ determina sua interseção com esse eixo.

Da expressão $f(x+h)-f(x)=ah$, com $h\gt 0$, segue que $f$ é crescente quando $a\gt 0$, decrescente quando $a\lt 0$ e constante quando $a=0$. Se $a\ne 0$, para cada real $y$ a equação $ax+b=y$ tem a única solução $x=(y-b)/a$; nesse caso, a imagem é $\mathbb {R}$ e $f$ é bijetora de $\mathbb {R}$ em $\mathbb {R}$.

Exemplo 3.1

A temperatura em graus Fahrenheit depende da temperatura em graus Celsius pela relação

\[ F(C)=\frac95C+32. \]

Interprete os coeficientes e obtenha a conversão inversa.

Solução

O termo $32$ informa que $0\, ^{\circ }\mathrm C$ corresponde a $32\, ^{\circ }\mathrm F$. O coeficiente $9/5$ significa que um aumento de $1\, ^{\circ }\mathrm C$ produz um aumento de $9/5\, ^{\circ }\mathrm F$. Como a função é afim e seu coeficiente angular não é nulo, ela possui inversa. Isolando $C$ em

\[ F=\frac95C+32, \]

obtemos

\[ C(F)=\frac59(F-32). \]

Em particular, $100\, ^{\circ }\mathrm C$ correspondem a $212\, ^{\circ }\mathrm F$, e a fórmula inversa recupera $100$ a partir de $212$.

Em modelos aplicados, o domínio raramente é toda a reta. Se uma empresa cobra uma tarifa fixa de R\$ 4,80 e mais R\$ 2,70 por quilômetro percorrido, o custo é

\[ C(x)=4{,}80+2{,}70x,\qquad x\geq 0. \]

Matematicamente, a expressão faz sentido para todo real; no modelo, porém, distâncias negativas não possuem significado. O termo constante representa o custo inicial, e o coeficiente de $x$ representa o custo marginal por quilômetro, isto é, o valor adicional cobrado por cada quilômetro percorrido.

3.1.1 Equações de retas

Uma reta não vertical fica determinada por um ponto e por sua inclinação. Vamos obter uma equação que descreva todos os seus pontos. Nas equações de retas, denotaremos o coeficiente angular por $m$; ele desempenha o mesmo papel do coeficiente $a$ em $f(x)=ax+b$. Considere uma reta não vertical que passa por $P_0=(x_0,y_0)$. Se ela não é horizontal, os triângulos retângulos formados por deslocamentos ao longo da reta são semelhantes; por isso, a razão entre a variação vertical e a horizontal é constante. Numa reta horizontal, a variação vertical é zero, e essa razão também é constante. Denotando essa razão, com seus sinais, por $m$, para qualquer outro ponto $(x,y)$ da reta temos

\[ \frac{y-y_0}{x-x_0}=m. \]

Aqui $x\ne x_0$, pois a reta não é vertical e o ponto escolhido é diferente de $P_0$. Multiplicando por $x-x_0$, obtemos

\[ \boxed {y-y_0=m(x-x_0).} \]

Essa igualdade também é satisfeita por $P_0$. Reciprocamente, para cada abscissa $x$, ela determina a ordenada do ponto da reta. É a forma ponto–inclinação da equação.

Desenvolvendo o segundo membro,

\[ y=mx+(y_0-mx_0). \]

Portanto, a reta é o gráfico de uma função afim com coeficiente angular $m$ e coeficiente linear $b=y_0-mx_0$.

06-interceptosPara $m\ne 0$, a reta $y=mx+b$ encontra os eixos em $(-b/m,0)$ e $(0,b)$. O desenho ilustra o caso $m\gt 0$ e $b\gt 0$. A interseção com o eixo vertical é obtida fazendo $x=0$: ela é $(0,b)$. Se $m\ne 0$, a interseção com o eixo horizontal é obtida fazendo $y=0$:

\[ mx+b=0\quad \Longleftrightarrow \quad x=-\frac bm. \]

Se $m=0$, a reta é horizontal, de equação $y=b$. Ela não encontra o eixo horizontal quando $b\ne 0$ e coincide com ele quando $b=0$.

Uma reta vertical, por sua vez, tem equação $x=c$: todos os seus pontos possuem a mesma abscissa. Entre dois pontos distintos dessa reta, $\Delta x=0$, e a razão $\Delta y/\Delta x$ não está definida. Portanto, a reta vertical não possui coeficiente angular real. Isso é diferente de ter coeficiente angular zero, condição que caracteriza as retas horizontais.

Uma forma que inclui simultaneamente retas verticais e não verticais é

\[ Ax+By+C=0, \qquad (A,B)\neq (0,0). \]

Se $B\neq 0$, podemos isolar $y$ e obter uma reta de coeficiente angular $-A/B$. Se $B=0$, a equação representa uma reta vertical.

Duas retas não verticais distintas são paralelas quando têm o mesmo coeficiente angular. Duas retas verticais distintas também são paralelas. Já duas retas não verticais, de coeficientes angulares $m_1$ e $m_2$, são perpendiculares quando

\[ m_1m_2=-1. \]

Para justificar essa condição, translade o ponto de interseção para a origem e considere $A=(1,m_1)$ e $B=(1,m_2)$ sobre as duas retas. Pelo Teorema de Pitágoras e sua recíproca, o ângulo em $O=(0,0)$ é reto se, e somente se,

\[ OA^2+OB^2=AB^2. \]

Como

\[ OA^2=1+m_1^2,\qquad OB^2=1+m_2^2,\qquad AB^2=(m_1-m_2)^2, \]

essa igualdade equivale a $m_1m_2=-1$. O caso que a fórmula não alcança deve ser registrado separadamente: toda reta vertical é perpendicular a toda reta horizontal.

3.1.2 Um primeiro olhar para a reta tangente

Em uma reta, a inclinação é constante; em uma curva, sua direção pode variar de ponto para ponto. Para observar essa direção em $P=(x_0,f(x_0))$, consideramos um segundo ponto $Q_h=(x_0+h,f(x_0+h))$, com $h\neq 0$. A secante por esses pontos tem inclinação

\[ m_h=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \]

Se essas inclinações se aproximam de um mesmo número $m$ quando $Q_h$ se aproxima de $P$, a reta por $P$ com inclinação $m$ é a reta tangente. Aqui usamos essa ideia apenas como antecipação geométrica: o capítulo de limites formalizará a aproximação, e a derivada será definida a partir desse limite.

Algumas curvas possuem uma tangente vertical: quando $Q_h$ se aproxima de $P$, as inclinações das secantes crescem em módulo sem limitação, e essas retas se aproximam da vertical $x=x_0$. Como toda reta vertical, a tangente não possui coeficiente angular real.

Figura 3.1 As retas secantes se aproximam da reta tangente quando o segundo ponto se aproxima de P. — Figura 3.1 As retas secantes se aproximam da reta tangente quando o segundo ponto se aproxima de $P$.

Exemplo 3.2 (A inclinação da parábola em um ponto)

Para $f(x)=x^2$ e $P=(1,1)$, o coeficiente angular da secante que passa por $P$ e por $Q_h=(1+h,(1+h)^2)$ é

\[ m_h=\frac{(1+h)^2-1}{h}=2+h, \qquad h\neq 0. \]

Quando $h$ se aproxima de zero, $m_h$ se aproxima de $2$. Assim, a reta tangente em $(1,1)$ tem equação

\[ y-1=2(x-1), \qquad \text{ou seja,}\qquad y=2x-1. \]

A curva não fica necessariamente toda de um mesmo lado da tangente: o que a caracteriza é a direção local obtida pelas secantes.

Uma única expressão afim descreve uma reta inteira. Para representar uma grandeza cuja regra muda ao atravessar determinado ponto, podemos combinar expressões em partes do domínio. A função módulo, estudada a seguir, mostra como dois trechos de reta formam um único gráfico.

Exercício 3.1

Considere a função afim $f(x)=-3x+7$.

Calcule $f(-2)$.
Determine o zero de $f$.
Resolva $f(x)=16$.
Determine a função inversa de $f$.
Resolva a inequação $f(x)\geq 1$.

Ver solução

$f(-2)=13$.
$-3x+7=0$ fornece $x=7/3$.
$-3x+7=16$ fornece $x=-3$.
Isolando $x$ em $y=-3x+7$, obtemos $x=(7-y)/3$; logo, $f^{-1}(x)=(7-x)/3$.
$-3x+7\geq 1$ equivale a $x\leq 2$.

Exercício 3.2

Determine a função afim cujo gráfico passa pelos pontos $(-2,5)$ e $(4,-7)$. Em seguida, determine sua interseção com cada eixo coordenado.

Ver solução

O coeficiente angular é

\[ a=\frac{-7-5}{4-(-2)}=-2. \]

Usando $5=-2(-2)+b$, obtemos $b=1$ e, portanto, $f(x)=-2x+1$. A interseção com o eixo $y$ é $(0,1)$; a interseção com o eixo $x$ é $(1/2,0)$.

Exercício 3.3

Interprete e determine funções afins.

Determine a função afim cujo gráfico passa por $(1,3)$ e $(4,9)$.
A temperatura de um líquido é $T(t)=20+3t$, com $t$ em minutos e $T$ em graus Celsius. Interprete o coeficiente angular.

Ver solução

O coeficiente angular é $(9-3)/(4-1)=2$; logo, $f(x)=2x+1$.
A temperatura aumenta $3\, ^{\circ }\mathrm C$ por minuto; $20$ é a temperatura inicial.

Exercício 3.4 (Uma reta escondida por passos desiguais)

As tabelas registram duas grandezas em diferentes valores de $x$. Na primeira, os valores de $x$ não estão igualmente espaçados:

\[ \begin{array}{c|cccc} x& 0& 2& 3& 7\\ \hline y& 1& 5& 7& 15 \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|cccc} x& 0& 1& 2& 3\\ \hline z& 1& 2& 4& 8 \end{array} \]

Um estudante afirma que $y$ não pode ser função afim de $x$, porque as diferenças $5-1$, $7-5$ e $15-7$ não são iguais. Explique o erro e decida se os dados de $y$ são compatíveis com uma função afim. Em caso afirmativo, determine-a.
Os dados de $z$ são compatíveis com uma função afim de $x$?

Ver solução

As variações de $y$ devem ser comparadas com as variações de $x$, que não são iguais. As razões $\dfrac {5-1}{2-0}$, $\dfrac {7-5}{3-2}$ e $\dfrac {15-7}{7-3}$ valem todas $2$; os dados são compatíveis com $y=2x+1$.
Não: com $x$ igualmente espaçado, as diferenças $1$, $2$ e $4$ deveriam ser iguais.

Exercício 3.5 (O que muda quando o cronômetro é reiniciado)

Durante quatro minutos, o volume $V(t)$ de água de um reservatório foi descrito exatamente pelo segmento da figura, com $V$ em litros e $t$ em minutos. Nada é informado sobre o funcionamento depois desse intervalo.

Determine a expressão afim nesse intervalo e interprete seu coeficiente angular, incluindo o sinal e a unidade.
Outro observador zera seu cronômetro quando o primeiro marca $t=1$. Se seu tempo é $u=t-1$, escreva o volume em função de $u$, com o domínio correspondente. Qual coeficiente muda e qual conserva seu valor?
O trecho observado permite afirmar que o reservatório estará vazio em $t=6$? Que hipótese adicional sustentaria essa previsão?

Ilustração: Um primeiro olhar para a reta tangente

Ver solução

O coeficiente angular é $(4-12)/(4-0)=-2\, \mathrm{L/min}$: o volume diminui $2$ litros por minuto no intervalo observado. Assim, $V(t)=12-2t$, para $0\le t\le 4$. Como $t=u+1$, a nova expressão é $\widetilde V(u)=10-2u$, com $-1\le u\le 3$. O coeficiente angular conserva seu valor; o termo independente passa a ser o volume no novo instante zero, $10$ litros. A previsão de volume zero em $t=6$ exige supor que a mesma regra continue válida até lá. O segmento fornecido, sozinho, não informa o que ocorrerá após $t=4$.

Exercício 3.6

Duas empresas de transporte cobram, para uma viagem de $x$ quilômetros,

\[ \begin{aligned} A(x)& =18+1{,}40x,\\ B(x)& =6+1{,}90x,\qquad x\geq 0, \end{aligned} \]

com os valores em reais.

Interprete os coeficientes de cada função.
Para qual distância os preços são iguais?
Em quais distâncias cada empresa é mais econômica?
Compare os preços para uma viagem de $40\, \mathrm{km}$.

Ver solução

Os termos $18$ e $6$ são as tarifas fixas; $1{,}40$ e $1{,}90$ são os preços por quilômetro.
$18+1{,}40x=6+1{,}90x$ fornece $x=24\, \mathrm{km}$.
Para $0\leq x\lt 24$, a empresa B é mais econômica; para $x\gt 24$, a empresa A é mais econômica. Em $x=24$, os preços coincidem.
$A(40)=\text{R}\$ \, 74{,}00$ e $B(40)=\text{R}\$ \, 82{,}00$.

Exercício 3.7

Interprete o coeficiente angular em duas aplicações.

Um avião sobe seguindo uma trajetória retilínea de coeficiente angular $0{,}22$. Se ele ganha $1000$ pés de altitude, qual é a distância horizontal percorrida?
Uma treliça de ponte tem nós

\[ \begin{gathered} O=(0,0),\quad D=(1{,}75,3),\\ A=(3{,}5,0),\quad C=(6,3),\\ B=(9{,}5,0). \end{gathered} \]

Determine as equações das retas que contêm as barras $OD$, $AD$, $AC$ e $BC$. A ilustração é esquemática; use as coordenadas fornecidas.

Ver solução

Se $d$ é a distância horizontal, então $1000/d=0{,}22$. Logo,

\[ d=\frac{1000}{0{,}22}=\frac{50000}{11}\approx 4545\ \text{pés}. \]
Calculando a inclinação de cada barra e usando um de seus extremos, obtemos

\[ OD:\ y=\frac{12}{7}x, \qquad AD:\ y=-\frac{12}{7}x+6, \]

\[ AC:\ y=\frac65x-\frac{21}{5}, \qquad BC:\ y=-\frac67x+\frac{57}{7}. \]

Exercício 3.8

Em cada item, determine se as retas são paralelas, perpendiculares ou nenhuma das duas coisas. Justifique e trate separadamente o caso de retas verticais.

A primeira passa por $(1,-2)$ e $(-3,-10)$; a segunda, por $(1,5)$ e $(-1,1)$.
A primeira passa por $(4,6)$ e $(4,-2)$; a segunda, por $(-1,5)$ e $(-1,8)$.
A primeira passa por $(-2,5)$ e $(4,2)$; a segunda, por $(-1,-2)$ e $(3,6)$.
A primeira passa por $(-1,-2)$ e $(3,4)$; a segunda, por $(9,-6)$ e $(3,-2)$.

Ver solução

As duas inclinações são $2$; as retas são paralelas.
As duas retas são verticais; portanto, são paralelas.
As inclinações são $-1/2$ e $2$; como o produto é $-1$, as retas são perpendiculares.
As inclinações são $3/2$ e $-2/3$; as retas são perpendiculares.

Exercício 3.9

Determine os parâmetros pedidos.

A reta que passa por $(-1,a)$ e $(3,-1)$ é paralela à reta que passa por $(3,6)$ e $(-5,a+2)$. Determine $a$.
A reta que passa por $(-2,4)$ e $(1,a)$ é perpendicular à reta que passa por $(a+4,8)$ e $(3,-4)$. Determine $a$.
O ponto $(-5,k)$ pertence à reta que passa por $(1,3)$ e é perpendicular a uma reta de coeficiente angular $3$. Determine $k$.
Mostre que o triângulo de vértices $A=(-2,-8)$, $B=(2,2)$ e $C=(-3,4)$ é retângulo e identifique o vértice do ângulo reto.

Ver solução

Igualando as inclinações,

\[ \frac{-1-a}{4}=\frac{a-4}{-8}, \]

obtemos $a=-6$.
As inclinações são $(a-4)/3$ e $12/(a+1)$. Seu produto vale $-1$ quando $a=3$.
A reta procurada tem inclinação $-1/3$. Logo, $(k-3)/(-5-1)=-1/3$, de onde $k=5$.
$m_{AB}=5/2$ e $m_{BC}=-2/5$. Como o produto é $-1$, os lados $AB$ e $BC$ são perpendiculares e o ângulo reto está em $B$.

Exercício 3.10

Considere as retas

\[ r_i:\ a_ix+b_iy+c_i=0,\qquad i=1,2, \]

com $(a_i,b_i)\neq (0,0)$ para cada $i$.

Mostre que elas têm a mesma direção se, e somente se, $a_1b_2-b_1a_2=0$. Explique como distinguir retas paralelas distintas de retas coincidentes.
Mostre que a reta que passa por $(a,0)$ e $(0,b)$, com $a\neq 0$ e $b\neq 0$, pode ser escrita na forma segmentária

\[ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1. \]

Ver solução

Se $b_1b_2\neq 0$, os coeficientes angulares são $-a_1/b_1$ e $-a_2/b_2$, que são iguais exatamente quando $a_1b_2-b_1a_2=0$. Se algum $b_i$ é zero, essa mesma igualdade força o outro a ser zero, e as duas retas são verticais. Quando têm a mesma direção, existe $\lambda \neq 0$ tal que $a_2=\lambda a_1$ e $b_2=\lambda b_1$; elas coincidem precisamente quando também $c_2=\lambda c_1$. Caso contrário, são paralelas distintas.
A expressão proposta é equivalente a $bx+ay=ab$. Ela é satisfeita por $(a,0)$ e $(0,b)$ e representa uma reta; como dois pontos distintos determinam uma única reta, é a equação procurada.

Exercício 3.11

Para cada função abaixo, encontre $f(x+2)$, $f(-x)$, $f(x+h)$ e

\[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h},\qquad h\neq 0. \]

$f(x)=x$
$f(x)=3x+4$
$f(x)=x^2$
$f(x)=5x^2+1$
$f(x)=x^2-x$
$f(x)=x^3+x^2$

Ver solução

$f(x+2)=x+2$, $f(-x)=-x$, $f(x+h)=x+h$; o quociente incremental é $1$.
$f(x+2)=3x+10$, $f(-x)=4-3x$, $f(x+h)=3x+3h+4$; o quociente incremental é $3$.
$f(x+2)=x^2+4x+4$, $f(-x)=x^2$, $f(x+h)=(x+h)^2$; o quociente incremental é $2x+h$.
$f(x+2)=5x^2+20x+21$, $f(-x)=5x^2+1$, $f(x+h)=5(x+h)^2+1$; o quociente incremental é $10x+5h$.
$f(x+2)=x^2+3x+2$, $f(-x)=x^2+x$, $f(x+h)=(x+h)^2-(x+h)$; o quociente incremental é $2x+h-1$.
$f(x+2)=x^3+7x^2+16x+12$, $f(-x)=-x^3+x^2$, $f(x+h)=(x+h)^3+(x+h)^2$; o quociente incremental é $3x^2+3xh+h^2+2x+h$.

Exercício 3.12

Use secantes para antecipar uma reta tangente. Para $f(x)=x^2$ e $P=(2,4)$, calcule a inclinação da reta que passa por $P$ e por $(2+h,(2+h)^2)$, com $h\ne 0$. Determine o número do qual essa inclinação se aproxima quando $h$ se aproxima de zero e escreva a equação da reta tangente prevista por esse cálculo.

Ver solução

Para $h\neq 0$,

\[ m_h=\frac{(2+h)^2-4}{h}=4+h. \]

Assim, $m_h$ se aproxima de $4$, e a reta prevista é $y-4=4(x-2)$, ou $y=4x-4$.

3.2 Função módulo e definições por partes

A distância até a origem combina dois comportamentos afins: à direita de zero, coincide com a coordenada; à esquerda, com seu oposto. Retomaremos essa função para estudar de modo sistemático regras cuja expressão muda entre partes do domínio.

O valor absoluto, introduzido como distância até a origem, também define uma função:

\[ m(x)=|x|= \begin{cases} -x,& x\lt 0,\\ x,& x\geq 0. \end{cases} \]

Essa notação não cria várias funções: ela apresenta uma única regra cuja expressão depende da região do domínio. Os intervalos devem cobrir todo o domínio pretendido, e as condições nas fronteiras precisam indicar sem ambiguidade qual expressão deve ser usada.

Seu domínio é $\mathbb {R}$ e sua imagem é $[0,+\infty )$. A função decresce em $(-\infty ,0]$, cresce em $[0,+\infty )$ e não é injetora em $\mathbb {R}$, pois $m(x)=m(-x)$. O gráfico é obtido da reta $y=x$ refletindo, em relação ao eixo horizontal, a parte situada abaixo desse eixo.

As transformações estudadas anteriormente permitem ler a família

\[ g(x)=a|x-h|+k,\qquad a\neq 0. \]

O ponto $(h,k)$ é o vértice do gráfico e a reta $x=h$ é seu eixo de simetria. Quando $a\gt 0$, a imagem é $[k,+\infty )$; quando $a\lt 0$, é $(-\infty ,k]$. O valor $|a|$ controla a escala vertical.

Figura 3.2 Translação e mudança de escala da função módulo.

Exemplo 3.3

Uma peça deve medir $25\, \mathrm{mm}$, com tolerância de $0{,}08\, \mathrm{mm}$. Expresse a condição de aceitação usando módulo e determine os comprimentos admissíveis.

Solução

Se $x$ é o comprimento medido, seu erro absoluto em relação a $25$ é $|x-25|$. A peça é aceita quando

\[ |x-25|\leq 0{,}08. \]

Essa desigualdade afirma que a distância de $x$ a $25$ não ultrapassa $0{,}08$. Portanto,

\[ 24{,}92\leq x\leq 25{,}08. \]

O módulo e o intervalo são duas maneiras de registrar a mesma condição.

O mesmo princípio transforma posição em distância. Se a posição de uma partícula numa reta é $s(t)=2t-6$, sua distância até a origem é

\[ d(t)=|s(t)|=|2t-6|,\qquad t\geq 0. \]

A partícula aproxima-se da origem até $t=3$ e afasta-se depois desse instante. A mudança de comportamento corresponde ao vértice do gráfico de $d$.

Exercício 3.13

Para $g(x)=2|x+1|-3$:

escreva $g$ como função definida por partes;
determine o vértice, o eixo de simetria e a imagem;
encontre os zeros;
resolva $g(x)\leq 1$.

Ver solução

\[ g(x)= \begin{cases} -2x-5,& x\lt -1,\\ 2x-1,& x\geq -1. \end{cases} \]
O vértice é $(-1,-3)$, o eixo de simetria é $x=-1$ e $\operatorname {Im}g=[-3,+\infty )$.
$2|x+1|-3=0$ equivale a $|x+1|=3/2$; logo, $x=-5/2$ ou $x=1/2$.
$2|x+1|-3\leq 1$ equivale a $|x+1|\leq 2$; portanto, $-3\leq x\leq 1$.

Exercício 3.14 (Distância a uma faixa aceitável)

Uma leitura $x\in \mathbb R$ é aceitável quando pertence a $[4,6]$. Defina $d(x)$ como sua distância a esse intervalo: ela é zero dentro da faixa e, fora dela, é a distância ao extremo mais próximo. A figura mostra o gráfico completo, com as semirretas indicadas por setas.

Escreva $d$ como função definida por partes, cuidando dos valores em $x=4$ e $x=6$.
A expressão $|x-5|$ representa essa distância? Dê uma leitura que esclareça a diferença e determine todas as leituras para as quais $d(x)=2$.

Ilustração: Função módulo e definições por partes

Ver solução

A expressão é

\[ d(x)=\begin{cases} 4-x,& x\lt 4,\\ 0,& 4\le x\le 6,\\ x-6,& x\gt 6. \end{cases} \]

O valor nos dois extremos é zero. A expressão $|x-5|$ mede a distância ao centro da faixa, não à faixa: por exemplo, $d(4)=0$, mas $|4-5|=1$. A condição $d(x)=2$ ocorre em $x=2$ e em $x=8$, a duas unidades dos extremos esquerdo e direito, respectivamente.

Exercício 3.15

A tarifa de um estacionamento é $R\$ \, 6{,}00$ na entrada e $R\$ \, 3{,}50$ por hora iniciada, até o limite diário de $R\$ \, 34{,}00$. Seja $t$ o tempo de permanência, em horas, contado a partir da entrada, com $0\le t\le 24$. Modele o preço por uma função de $t$ definida por partes e esboce seu gráfico, respeitando a cobrança por hora iniciada.

Ver solução

Se $t$ é o tempo de permanência em horas, um modelo para um período diário é

\[ P(t)= \begin{cases} 6, & t=0,\\ 6+3{,}5n, & n-1\lt t\leq n,\quad n=1,\ldots ,7,\\ 34, & 7\lt t\leq 24. \end{cases} \]

O gráfico é uma função em degraus e atinge o teto de $R\$ \, 34{,}00$ quando se inicia a oitava hora.

3.3 Funções quadráticas

As funções afins têm taxa de variação constante, e a função módulo combina trechos de reta. Nas funções quadráticas, o gráfico é uma curva cuja simetria e cujo valor extremo podem ser lidos ao completar o quadrado. Essa reescrita também revela os zeros e orienta o estudo dos sinais.

Definição 3.2

Uma função quadrática é uma função da forma

\[ f(x)=ax^2+bx+c, \]

em que $a,b,c\in \mathbb {R}$ e $a\neq 0$.

Seu gráfico é uma parábola. A forma canônica permite obter diretamente da expressão algébrica o vértice, o eixo de simetria e a imagem. Para obtê-la, retomamos a técnica de completar o quadrado apresentada no Capítulo 1:

\begin{align*} f(x) & =a\left(x^2+\frac ba x\right)+c\\ & =a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}\\ & =a(x-h)^2+k, \end{align*}

onde

\[ h=-\frac{b}{2a},\qquad k=f(h)=c-\frac{b^2}{4a}=-\frac{\Delta }{4a}, \qquad \Delta =b^2-4ac. \]

A forma $a(x-h)^2+k$ é chamada de forma canônica. Ela mostra que o vértice da parábola é $(h,k)$ e que $x=h$ é seu eixo de simetria. O gráfico também pode ser obtido a partir de $y=x^2$: multiplicamos as ordenadas por $a$ e transladamos o resultado $h$ unidades na horizontal e $k$ na vertical.

A mesma forma fornece a fórmula quadrática sem uma regra adicional a memorizar. De $ax^2+bx+c=0$, dividindo por $a$ e completando o quadrado,

\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta }{4a^2}. \]

Assim, quando $\Delta \geq 0$,

\[ \boxed {x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}}. \]

Se $\Delta \lt 0$, não há raízes reais.

Se $a\gt 0$, a parábola tem concavidade voltada para cima, $k$ é seu valor mínimo e $\operatorname {Im}f=[k,+\infty )$. Se $a\lt 0$, a concavidade é voltada para baixo, $k$ é o valor máximo e $\operatorname {Im}f=(-\infty ,k]$. A forma canônica $a(x-h)^2+k$ também permite verificar a monotonicidade: se $a\gt 0$, a função decresce até o vértice e cresce depois dele; se $a\lt 0$, ocorre o contrário.

Figura 3.3 A forma canônica torna visíveis o vértice e o eixo de simetria.

As três formas mais úteis de uma função quadrática destacam informações diferentes:

\[ \underbrace{ax^2+bx+c}_{\text{forma geral}},\qquad \underbrace{a(x-h)^2+k}_{\text{forma canônica}},\qquad \underbrace{a(x-r_1)(x-r_2)}_{\text{forma fatorada, quando há raízes reais}}. \]

A forma geral exibe $f(0)=c$; a canônica, o vértice; a fatorada, as interseções reais com o eixo horizontal. Estas são duas se $\Delta \gt 0$, uma se $\Delta =0$ e nenhuma se $\Delta \lt 0$.

Quando há duas raízes reais $r_1$ e $r_2$, o eixo de simetria passa pelo ponto médio entre elas. Portanto,

\[ h=\frac{r_1+r_2}{2}. \]

Assim, se as raízes já são conhecidas, encontramos a abscissa do vértice sem memorizar uma fórmula adicional. Quando as raízes não são conhecidas, completar o quadrado continua sendo o caminho mais direto para localizar o vértice.

Exemplo 3.4

A altura, em metros, de um objeto lançado verticalmente é modelada por

\[ h(t)=2+12t-5t^2, \]

onde $t$ é medido em segundos. Determine a altura máxima e discuta o domínio fisicamente relevante.

Solução

Completando o quadrado,

\[ h(t)=-5(t-1{,}2)^2+9{,}2. \]

Como o coeficiente do termo quadrático é negativo, o vértice fornece o valor máximo. O objeto atinge $9{,}2\, \mathrm m$ no instante $t=1{,}2\, \mathrm s$.

A fórmula algébrica está definida para todo $t\in \mathbb {R}$, mas o modelo começa no lançamento, em $t=0$, e termina quando o objeto alcança o solo. A raiz positiva de $h(t)=0$ é

\[ t=\frac{6+\sqrt{46}}5\approx 2{,}56. \]

Assim, o domínio físico é aproximadamente $[0,2{,}56]$. Valores anteriores ao lançamento ou posteriores ao impacto pertencem à parábola matemática, não ao fenômeno modelado.

Exemplo 3.5 (Cercando uma área)

A proprietária do Rancho Los Feliz dispõe de $3000$ jardas de cerca para cercar um pasto retangular junto a um trecho retilíneo da margem de um rio. Não é necessário construir uma cerca ao longo do rio. Seja $x$ a largura do retângulo, perpendicular à margem. Encontre uma função $f$ da variável $x$ que forneça a área do pasto, supondo que toda a cerca seja utilizada.

Solução

Se $y$ é o comprimento do lado paralelo ao rio, a cerca é usada nos dois lados de largura $x$ e no lado de comprimento $y$. Portanto,

\[ 2x+y=3000, \qquad \text{isto é,}\qquad y=3000-2x. \]

Como a área do retângulo é $xy$, obtemos

\[ f(x)=x(3000-2x)=-2x^2+3000x, \qquad 0\lt x\lt 1500. \]

O intervalo indicado garante que as duas dimensões do pasto sejam positivas.

Exercício 3.16

Considere $q(x)=-2x^2+8x-5$.

Escreva $q$ na forma canônica.
Determine o vértice, o eixo de simetria e a imagem.
Encontre os zeros de $q$.
Resolva $q(x)\geq 0$.

Ver solução

$q(x)=-2(x-2)^2+3$.
O vértice é $(2,3)$, o eixo de simetria é $x=2$ e $\operatorname {Im}q=(-\infty ,3]$.
De $(x-2)^2=3/2$, obtemos $x=2\pm \sqrt6/2$.
Como a parábola tem concavidade voltada para baixo,

\[ 2-\frac{\sqrt6}{2}\leq x\leq 2+\frac{\sqrt6}{2}. \]

Exercício 3.17 (Vértice e imagem em um domínio restrito)

Os gráficos $A$ e $B$ pertencem às funções

\[ q(x)=4-(x-2)^2,\qquad r(x)=4-4(x-2)^2, \]

ambas inicialmente definidas em $\mathbb R$.

Associe cada expressão ao gráfico correspondente usando o vértice e os zeros. As duas funções têm a mesma imagem em $\mathbb R$?
Restrinja agora os dois domínios a $[1,3]$. Determine as novas imagens e explique por que o vértice comum, sozinho, não fornece essa resposta.

Solução

O gráfico $A$ é o de $q$, cujos zeros são $0$ e $4$; o gráfico $B$ é o de $r$, cujos zeros são $1$ e $3$. Ambos têm vértice $(2,4)$, abrem para baixo e possuem imagem $(-\infty ,4]$ em $\mathbb R$. Em $[1,3]$, temos $0\le (x-2)^2\le 1$. Portanto,

\[ q([1,3])=[3,4],\qquad r([1,3])=[0,4]. \]

O vértice comum fixa o máximo, mas os valores nos extremos do domínio restrito dependem da abertura da parábola.

Exercício 3.18 (O que a parábola revela sem escala?)

A figura mostra o gráfico de $q(x)=ax^2+bx+c$, sem escala nos eixos.

Determine o sinal de $a$, de $b$, de $c$ e do discriminante $\Delta =b^2-4ac$. Justifique cada resposta por uma característica do gráfico.

Ver solução

$a\lt 0$, porque a concavidade é para baixo. $c=q(0)\gt 0$, porque o gráfico corta o eixo $y$ acima da origem. O vértice tem abscissa $-b/(2a)\lt 0$; como $a\lt 0$, isso exige $b\lt 0$. O gráfico corta o eixo $x$ em dois pontos; logo, $\Delta \gt 0$. (O gráfico desenhado é o de $q(x)=-x^2-2x+2$.)

Exercício 3.19

Compare uma função modular e uma função quadrática. Duas funções têm vértice $(2,-1)$: uma é da forma $m(x)=a|x-2|-1$ e a outra, $q(x)=a(x-2)^2-1$. Determine $a$ em cada caso se o gráfico também passa por $(4,7)$.

Ver solução

Para a função modular, $7=2a-1$, de modo que $a=4$. Para a quadrática, $7=4a-1$, de modo que $a=2$.

Exercício 3.20

Um drone decola de um telhado. Sua altura em relação ao solo, em metros, é modelada por $h(t)=12+4t-t^2$ durante os quatro primeiros segundos. Determine o domínio físico, a imagem nesse intervalo, o instante de maior altura e os instantes em que $h(t)=15$.

Ver solução

O domínio físico é $[0,4]$ e a imagem é $[12,16]$. A altura máxima, $16\, \mathrm m$, ocorre em $t=2$ s. A equação $h(t)=15$ tem as soluções $t=1$ s e $t=3$ s.

Exercício 3.21

Uma sala de espetáculos comporta $600$ pessoas. Ao preço de $p$ reais, estima-se uma procura de $600-20p$ ingressos, com $0\leq p\leq 30$. Admita que todos os ingressos procurados sejam vendidos.

Escreva a receita $R(p)$.
Determine o preço que maximiza a receita e o número correspondente de ingressos vendidos.
Interprete os zeros do modelo.

Ver solução

$R(p)=p(600-20p)=-20p^2+600p$.
$R(p)=-20(p-15)^2+4500$; portanto, a receita máxima é $\text{R}\$ \, 4500{,}00$, obtida com $p=\text{R}\$ \, 15{,}00$ e venda de $300$ ingressos.
Em $p=0$, há procura, mas os ingressos são gratuitos; em $p=30$, o modelo prevê procura nula. Nos dois casos, a receita é zero.

Exercício 3.22 (O módulo antes ou depois da função?)

Seja $f(x)=x^2-2x-3$, definida em $\mathbb R$.

Esboce os gráficos de $y=|f(x)|$ e $y=f(|x|)$ a partir do gráfico de $f$. Descreva as transformações.
Determine os zeros das duas funções e decida qual delas é par.
Escreva $f(|x|)$ como função definida por partes.

Ver solução

Como $f(x)=(x+1)(x-3)$, a função é negativa em $(-1,3)$.

Para obter $|f(x)|$, refletimos em relação ao eixo horizontal a parte do gráfico de $f$ situada abaixo dele. Para obter $f(|x|)$, conservamos a metade do gráfico de $f$ com $x\ge 0$ e a refletimos em relação ao eixo vertical.
Os zeros de $|f(x)|$ são $-1$ e $3$; os de $f(|x|)$ são $-3$ e $3$, pois $f(|x|)=0$ exige $|x|=3$. A função $f(|x|)$ é par; $|f(x)|$ não é, pois seu conjunto de zeros não é simétrico em relação à origem.
\[ f(|x|)= \begin{cases} x^2+2x-3,& x\lt 0,\\ x^2-2x-3,& x\ge 0. \end{cases} \]

Exercício 3.23 (Onde cavar o poço)

Três casas ocupam as posições $1$, $3$ e $6$ km de uma estrada reta. Um poço pode ser instalado em qualquer posição $x\in \mathbb R$. Cada casa terá um cano próprio até ele, acompanhando a estrada: os comprimentos são somados mesmo quando os trechos coincidem.

\[ S(x)=|x-1|+|x-3|+|x-6|. \]

Escreva $S$ por partes e desenhe o gráfico, indicando a inclinação de cada segmento.
Determine todas as posições que minimizam o comprimento total dos canos e calcule esse comprimento.
Explique as inclinações contando as casas à esquerda e à direita do poço quando ele se desloca um pouco para a direita.
Para quatro casas, em $1$, $3$, $6$ e $10$ km, encontre todas as posições ótimas e o comprimento total mínimo.
Para as três casas iniciais, suponha que o custo seja proporcional à soma dos quadrados das distâncias. Complete o quadrado para encontrar a posição ótima e compare-a com a do item (b).

Ver solução

A expressão por partes é

\[ S(x)= \begin{cases} 10-3x,& x\lt 1,\\ 8-x,& 1\le x\lt 3,\\ x+2,& 3\le x\lt 6,\\ 3x-10,& x\ge 6. \end{cases} \]

As inclinações, portanto, são $-3,-1,1,3$. A menor soma vale $S(3)=5$ km, quando o poço fica na casa central.

[figuras/proposta-20261016-q3-1-1.tex

Figura 3.4 A soma de distâncias é uma poligonal: a mudança de inclinação ocorre quando o poço passa por uma casa.

Para interpretar o sinal das inclinações, basta contar casas: ao andar para a direita, cada casa à esquerda fica mais distante e cada casa à direita fica mais próxima. Com quatro casas, essas contribuições se equilibram em todo o intervalo $[3,6]$, no qual a soma mínima é $12$ km.

Se o custo é $Q(x)=(x-1)^2+(x-3)^2+(x-6)^2$, completamos o quadrado:

\[ Q(x)=3\left(x-\frac{10}{3}\right)^2+\frac{38}{3}. \]

O ponto ótimo passa a ser $x=10/3$, a média das posições, em vez da mediana $3$.

Minimizar somas de distâncias favorece medianas; minimizar somas de quadrados favorece médias. A escolha de uma medida de custo muda a solução do problema.

3.4 Funções potência e raiz

As funções $x\mapsto x$ e $x\mapsto x^2$, estudadas nas Seções 3.1 e 3.3, são os dois primeiros casos de uma mesma família: mantemos o expoente inteiro positivo fixo e deixamos a base variar.

Para cada inteiro positivo $n$, a função potência de expoente $n$ é

\[ p_n:\mathbb {R}\longrightarrow \mathbb {R},\qquad p_n(x)=x^n. \]

A distinção entre expoentes pares e ímpares decorre diretamente da igualdade

\[ p_n(-x)=(-x)^n=(-1)^n x^n. \]

Se $n$ é par, então $p_n(-x)=p_n(x)$. A função é, portanto, par e seus valores são não negativos. Além disso, para $0\leq x\lt y$,

\[ y^n-x^n=(y-x)(y^{n-1}+y^{n-2}x+\cdots +x^{n-1})\gt 0. \]

Logo, $p_n$ cresce em $[0,+\infty )$ e, pela simetria, decresce em $(-\infty ,0]$. Recordemos ainda que todo número real não negativo possui uma raiz $n$-ésima não negativa. Portanto, todo valor de $[0,+\infty )$ é atingido por $p_n$, e

\[ \operatorname {Im}p_n=[0,+\infty ). \]

Se $n$ é ímpar, então $p_n(-x)=-p_n(x)$, de modo que $p_n$ é ímpar. Para $x\lt y$ de mesmo sinal, a mesma fatoração mostra que $x^n\lt y^n$; quando ambos são negativos, os termos da soma são positivos, pois $n-1$ é par. Se $x\lt 0\lt y$, a desigualdade é imediata. Portanto, $p_n$ é estritamente crescente em toda a reta. Se $y\gt 0$, a existência da raiz $n$-ésima fornece um único $x\gt 0$ tal que $x^n=y$. Para $y\lt 0$, aplicamos o mesmo fato a $-y$ e usamos a paridade ímpar para obter uma única solução negativa. O valor $0$ é atingido em $x=0$. Assim,

\[ \operatorname {Im}p_n=\mathbb {R}, \]

e $p_n$ é bijetora de $\mathbb {R}$ em $\mathbb {R}$.

Essas mesmas propriedades determinam o aspecto global dos gráficos. Para expoentes pares, os dois extremos apontam para cima e o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical. Para expoentes ímpares, o extremo esquerdo aponta para baixo, o direito para cima, e o gráfico é simétrico em relação à origem.

As figuras comparam alguns representantes de cada caso.

Ilustração: Funções potência e raiz

Figura 3.5 Comparação das potências $x^n$ para expoentes pares.

Ilustração: Funções potência e raiz

Figura 3.6 Comparação das potências $x^n$ para expoentes ímpares.

As funções raiz aparecem como inversas dessas potências. Para entender a restrição necessária quando $n$ é par, considere primeiro $x\mapsto x^2$ em $\mathbb {R}$. Uma saída positiva não determina uma entrada única: por exemplo, $2^2=(-2)^2=4$. Portanto, essa função não é injetora e não pode ser invertida em toda a reta.

Ao restringirmos o domínio a $[0,+\infty )$, cada valor não negativo passa a ter uma única origem. A função $x\mapsto x^n$, para $n$ par, torna-se então uma bijeção de $[0,+\infty )$ em $[0,+\infty )$, cuja inversa é

\[ r_n(x)=\sqrt[n]{x},\qquad x\geq 0. \]

Para $n$ ímpar, a potência já é estritamente crescente e bijetora de $\mathbb {R}$ em $\mathbb {R}$, de modo que nenhuma restrição é necessária. Nesse caso, $r_n(x)=\sqrt[n]{x}$ está definida para todo real. Em ambos os casos, os gráficos da função potência considerada e da raiz correspondente são simétricos em relação à reta $y=x$.

No caso da raiz quadrada, essa simetria dá uma leitura direta do gráfico de $y=\sqrt{x}$: ele é o reflexo, em relação à reta $y=x$, do ramo da parábola $y=x^2$ correspondente a $x\geq 0$. Por isso o gráfico começa em $(0,0)$, fica na região $x\geq 0$, $y\geq 0$, passa por pontos como $(1,1)$, $(4,2)$ e $(9,3)$ e é crescente em todo o seu domínio. À medida que $x$ aumenta, são necessários acréscimos cada vez maiores em $x$ para produzir o mesmo acréscimo em $\sqrt{x}$; geometricamente, o gráfico vai se tornando mais horizontal.

A raiz desfaz a potência com o domínio correto

Para todo $x\in \mathbb {R}$,

\[ \sqrt{x^2}=|x|, \]

e não necessariamente $x$. Já $(\sqrt{x})^2=x$ para $x\geq 0$. A diferença vem do fato de que a raiz quadrada representa sempre a raiz não negativa.

Exemplo 3.6

A função

\[ g(x)=\sqrt{x-2}+1 \]

é construída em duas etapas a partir de $y=\sqrt{x}$:

$y=\sqrt{x}$ Ilustração: Funções potência e raiz

$y=\sqrt{x-2}$ Ilustração: Funções potência e raiz

$y=\sqrt{x-2}+1$

Primeiro, a troca de $x$ por $x-2$ desloca o gráfico duas unidades para a direita e leva o ponto inicial de $(0,0)$ a $(2,0)$. Depois, a soma de $1$ desloca o gráfico uma unidade para cima e leva esse ponto a $(2,1)$. Assim, o domínio de $g$ é $[2,+\infty )$ e sua imagem é $[1,+\infty )$.

Domínios com raízes

A raiz quadrada de um número real $t$ está definida quando $t\ge 0$ e é igual a zero somente quando $t=0$. Vamos usar essas propriedades para retomar a determinação de domínios. Se a expressão contiver uma divisão, precisaremos também que o denominador seja diferente de zero.

Exemplo 3.7 (Duas condições que produzem um intervalo)

Determine o domínio natural de

\[ f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{4-x}}. \]

Solução

A raiz do numerador está definida quando $x+1\ge 0$, isto é, $x\ge -1$. No denominador, a condição $4-x\ge 0$ garante a existência da raiz, mas precisamos excluir $x=4$, pois nesse ponto o denominador é zero. As duas exigências sobre o denominador se resumem, portanto, a $4-x\gt 0$, ou $x\lt 4$.

Reunindo as condições do numerador e do denominador, obtemos

\[ \operatorname {Dom}f=[-1,+\infty )\cap (-\infty ,4)=[-1,4). \]

O extremo $-1$ pertence ao domínio: o numerador é zero e o denominador é $\sqrt5\ne 0$. Já o extremo $4$ fica excluído.

Figura 3.7 Os valores que satisfazem as duas condições formam [-1,4). — Figura 3.7 Os valores que satisfazem as duas condições formam $[-1,4)$.

É o denominador inteiro que deve ser diferente de zero. Na expressão $1/(1+\sqrt{x})$, por exemplo, basta exigir $x\ge 0$: nesse conjunto, $1+\sqrt{x}\ge 1$, inclusive em $x=0$.

Uma raiz e um denominador também podem impor restrições em pontos diferentes, como no exemplo seguinte.

Exemplo 3.8 (Um intervalo com um ponto excluído)

Determine o domínio natural de

\[ h(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x-1}. \]

Solução

A raiz exige $4-x^2\ge 0$. Para resolver essa inequação, escrevemos

\[ 4-x^2=(2-x)(2+x). \]

Os dois fatores são não negativos quando $-2\le x\le 2$. Fora desse intervalo, um fator é positivo e o outro é negativo. Logo, a raiz está definida exatamente em $[-2,2]$.

O denominador exige ainda $x\ne 1$. Assim,

\[ \begin{aligned} \operatorname {Dom}h& =[-2,2]\cap \bigl(\mathbb {R}\setminus \{ 1\} \bigr)\\ & =[-2,1)\cup (1,2]. \end{aligned} \]

Os extremos $-2$ e $2$ são permitidos, pois anulam apenas o numerador. O valor $1$, embora pertença ao intervalo em que a raiz está definida, anula o denominador e deve ser excluído.

Outros expoentes

As potências da Seção 1.6 também permitem considerar $p_\alpha (x)=x^\alpha $ para $x\gt 0$ e expoente real fixo $\alpha $. Para $\alpha =m/n$ racional, com $n\gt 0$, temos $x^{m/n}=(\sqrt[n]{x})^m$; se $m\lt 0$, tomamos o recíproco da potência correspondente. Por exemplo, $x^{3/4}=(\sqrt[4]{x})^3$ para $x\gt 0$, e essa função também está definida em $x=0$. Extensões a entradas negativas ou a zero exigem examinar o expoente e o domínio em cada caso. No próximo capítulo, compararemos essas funções com as exponenciais, nas quais a base permanece fixa e o expoente varia.

Exercício 3.24

Determine o domínio natural de cada expressão.

$\dfrac {x+1}{x^2-4}$.
$\sqrt{3-x}$.
$\dfrac {1}{\sqrt{x-2}}$.
$\dfrac {\sqrt{x}}{x-1}$.

Ver solução

$\mathbb {R}\setminus \{ -2,2\} $.
$(-\infty ,3]$.
$(2,+\infty )$: como a raiz é o denominador, é necessário $x-2\gt 0$.
$[0,1)\cup (1,+\infty )$.

Exercício 3.25

Retome as funções potência e raiz.

Determine o domínio e a imagem de $p(x)=x^4$ e de $r(x)=\sqrt[3]{x}$.
Para $h(x)=\sqrt{x+1}-2$, determine o domínio, a imagem e o zero. Descreva as translações a partir de $y=\sqrt x$.
Restrinja $p(x)=x^4$ ao domínio $[0,+\infty )$ e tome sua imagem como contradomínio. Determine a inversa e seu domínio.

Ver solução

Ambas têm domínio $\mathbb {R}$. A imagem de $p$ é $[0,+\infty )$ e a de $r$ é $\mathbb {R}$.
O domínio é $[-1,+\infty )$ e a imagem é $[-2,+\infty )$. De $\sqrt{x+1}=2$, obtemos $x=3$. O gráfico de $\sqrt x$ é deslocado uma unidade para a esquerda e duas para baixo.
A função restrita é uma bijeção de $[0,+\infty )$ em si mesmo. Sua inversa é $y\mapsto \sqrt[4]{y}$, com domínio $[0,+\infty )$.

Exercício 3.26 (Uma comparação que muda ao passar por um)

As três curvas da figura são os gráficos de $x\mapsto x^2$, $x\mapsto x$ e $x\mapsto \sqrt x$, todas consideradas para $x\ge 0$.

Associe as letras $A$, $B$ e $C$ às três expressões. Explique por que a ordem vertical das curvas muda quando $x$ passa por $1$.
Uma pessoa afirma que elevar um número não negativo ao quadrado sempre o aumenta. Corrija a afirmação, comparando $x^2$, $x$ e $\sqrt x$ nos intervalos $0\lt x\lt 1$ e $x\gt 1$, e trate as igualdades em $0$ e $1$.

Figura não resolvida: inl-c03-tikz-012

Ver solução

As curvas são $A:x^2$, $B:x$ e $C:\sqrt x$. Para $0\lt x\lt 1$, a multiplicação por $x\lt 1$ dá $x^2\lt x$; tomando raízes de números positivos, obtemos também $x\lt \sqrt x$. Para $x\gt 1$, as desigualdades se invertem:

\[ \begin{aligned} 0\lt x\lt 1:& \quad x^2\lt x\lt \sqrt x;\\ x\gt 1:& \quad \sqrt x\lt x\lt x^2. \end{aligned} \]

As três expressões coincidem em $x=0$ e em $x=1$, e somente nesses dois valores não negativos. Elevar ao quadrado diminui um número entre $0$ e $1$, aumenta um número maior que $1$ e conserva $0$ e $1$.

Exercício 3.27

Em estudos de alometria, uma relação aproximada entre a massa corporal $M$ de um animal e sua taxa metabólica $B$ — a energia consumida por unidade de tempo — é

\[ B(M)=B_0M^{3/4}, \]

em que $B_0\gt 0$ é uma constante. Compare $B(16M)$ com $B(M)$ e compare também as taxas metabólicas por unidade de massa, $B(16M)/(16M)$ e $B(M)/M$.

Ver solução

Como $16^{3/4}=8$,

\[ B(16M)=B_0(16M)^{3/4}=8B(M). \]

Por outro lado, $B(M)/M=B_0M^{-1/4}$. Portanto,

\[ \frac{B(16M)}{16M}=\frac12\frac{B(M)}{M}. \]

Nesse modelo, o animal de massa dezesseis vezes maior tem taxa metabólica total oito vezes maior, mas taxa por unidade de massa duas vezes menor.

Exercício 3.28

Determine o domínio natural e a imagem de

\[ f(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-3}}. \]

Justifique algebricamente sua resposta.

Ver solução

O quociente deve ser não negativo e $x\neq 3$, de modo que

\[ \operatorname {Dom}f=(-\infty ,-2]\cup (3,\infty ). \]

Se $y=f(x)$, então $y\geq 0$ e $y^2=(x+2)/(x-3)$. O valor $y=1$ é impossível, pois exigiria $x+2=x-3$. Reciprocamente, dado $y\geq 0$, $y\ne 1$, tome

\[ x=\frac{3y^2+2}{y^2-1}. \]

Se $0\leq y\lt 1$, então $x\leq -2$; se $y\gt 1$, então $x\gt 3$. Portanto, $x$ pertence ao domínio e $(x+2)/(x-3)=y^2$. Pela escolha da raiz principal, $f(x)=y$. Assim, todos os valores anunciados são atingidos:

\[ \operatorname {Im}f=[0,1)\cup (1,\infty ). \]

3.5 Funções polinomiais

As funções afins e quadráticas são os primeiros casos de uma família mais ampla, a das funções polinomiais, dadas por expressões da forma

\[ P(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots +c_nx^n, \]

em que $c_0,c_1,\ldots ,c_n$ são números reais, chamados coeficientes do polinômio, e $n\in \mathbb {N}$. Se $c_n\neq 0$, o número $n$ é o grau do polinômio. Como envolvem apenas somas e potências inteiras não negativas, essas funções têm domínio natural $\mathbb {R}$, embora também possamos estudá-las em intervalos. A soma, o produto e a composição de funções polinomiais continuam sendo polinomiais. O quociente será estudado separadamente, pois os zeros do denominador introduzem restrições no domínio.

Antes de desenhar um gráfico polinomial, há duas informações que podem ser lidas diretamente na expressão. A primeira vem do termo de maior grau. Se

\[ P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_0, \qquad c_n\ne 0, \]

então, para valores de $x$ muito afastados da origem, o termo $c_nx^n$ predomina sobre os demais. Assim, a paridade de $n$ determina se as duas extremidades do gráfico apontam no mesmo sentido ou em sentidos opostos; o sinal de $c_n$ determina se a extremidade direita aponta para cima ou para baixo. Essa descrição intuitiva será formalizada no estudo de limites.

A segunda informação vem dos zeros. Um número real $r$ é um zero, ou uma raiz, de $P$ quando $P(r)=0$. A relação entre raízes e fatores é expressa pelo resultado seguinte. Dizemos que $P$ é divisível por um polinômio não nulo $D$ quando $P=DQ$ para algum polinômio $Q$.

Proposição 3.9 (Teorema do Fator)

O número $r$ é raiz de $P$ se, e somente se, $P(x)$ é divisível por $x-r$.

Demonstração ▼

Para todo inteiro $k\geq 1$, a fatoração

\[ x^k-r^k=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\cdots +r^{k-1}) \]

mostra que $x^k-r^k$ é divisível por $x-r$. Como $P(x)-P(r)$ é uma soma de termos dessa forma, existe um polinômio $Q$ tal que

\[ P(x)-P(r)=(x-r)Q(x). \]

Portanto, $P(x)$ é divisível por $x-r$ exatamente quando $P(r)=0$.

\[ P(x)=(x-r)^mQ(x),\qquad Q(r)\ne 0, \]

dizemos que $r$ é uma raiz de multiplicidade $m$. Uma raiz de multiplicidade ímpar faz o sinal do polinômio mudar quando atravessamos $r$; geometricamente, o gráfico cruza o eixo horizontal. Em uma raiz de multiplicidade par, o sinal não muda e o gráfico apenas toca esse eixo. A justificativa formal de que o fator $Q(x)$ conserva seu sinal perto de $r$ virá com a continuidade; a diferença entre potências pares e ímpares já torna o comportamento visível.

As funções polinomiais de grau $1$ ou $2$ têm gráficos conhecidos: retas, no primeiro caso, parábolas no segundo. Em graus maiores, termo dominante, raízes, multiplicidades e a interseção $(0,c_0)$ fornecem o esqueleto do gráfico, mas não determinam ainda todos os seus detalhes. As derivadas permitirão localizar posteriormente máximos, mínimos e mudanças de concavidade. As três funções a seguir mostram como polinômios do mesmo grau podem ter comportamentos diferentes.

Ilustração: Funções polinomiais

Figura 3.9 Comportamentos possíveis de funções polinomiais de quarto grau.

Nos três casos, o grau é par e o coeficiente dominante é positivo; por isso, os dois extremos dos gráficos apontam para cima. As informações da expressão permitem reconstruir o esboço de um deles.

Exemplo 3.10

Descreva o esboço geral de $P(x)=x^4-2x^2$.

Solução

O domínio é $\mathbb {R}$. Fatorando,

\[ P(x)=x^2(x^2-2)=x^2(x-\sqrt2)(x+\sqrt2). \]

As raízes $-\sqrt2$ e $\sqrt2$ são simples; a raiz $0$ tem multiplicidade $2$ e fornece também a interseção com o eixo vertical. Fora de $0$, o fator $x^2$ é positivo. Assim, $P(x)\gt 0$ quando $|x|\gt \sqrt2$ e $P(x)\lt 0$ quando $0\lt |x|\lt \sqrt2$.

O gráfico, portanto, atravessa o eixo horizontal em $\pm \sqrt2$ e o toca em $0$, permanecendo abaixo dele nos dois lados próximos da origem. Como $P(-x)=P(x)$, há simetria em relação ao eixo vertical. Por fim, o termo $x^4$ faz os dois extremos apontarem para cima. Essas informações explicam o esboço da figura; não localizam, por si sós, todos os seus máximos e mínimos.

Na Figura 3.9, o primeiro polinômio,

\[ x^4+2x^2=x^2(x^2+2), \]

tem como única raiz real $0$, com multiplicidade $2$. Já o terceiro,

\[ x^4-2x^2+x=x(x-1)(x^2+x-1), \]

possui quatro raízes reais simples: $0$, $1$ e $\frac{-1\pm \sqrt5}{2}$, obtidas de $x^2+x-1=0$. Por isso, seu gráfico atravessa o eixo horizontal em quatro pontos. A fatoração explica boa parte da diferença entre os três desenhos.

Exercício 3.29 (Da fatoração ao esboço)

Use a fatoração para esboçar os gráficos, destacando as características pedidas em cada item.

Para $P(x)=-(x+1)^2(x-2)$, determine o grau, as raízes e suas multiplicidades e $P(0)$. Descreva também o comportamento do gráfico para valores positivos e negativos de $x$ de grande módulo. Em qual raiz o gráfico cruza o eixo horizontal?
Fatore $Q(x)=x^3-4x$. Encontre os zeros, determine o sinal entre eles e descreva a simetria e o comportamento do gráfico para valores positivos e negativos de $x$ de grande módulo.

Ver solução

O grau é $3$. As raízes são $-1$, de multiplicidade $2$, e $2$, simples. Temos $P(0)=2$. O extremo esquerdo aponta para cima e o direito, para baixo. O gráfico toca o eixo em $-1$ e o cruza em $2$.
$Q(x)=x(x-2)(x+2)$, com raízes simples $-2$, $0$ e $2$. O sinal é negativo em $(-\infty ,-2)$ e $(0,2)$, e positivo em $(-2,0)$ e $(2,+\infty )$. A função é ímpar: seu gráfico é simétrico em relação à origem. O extremo esquerdo aponta para baixo e o direito, para cima.

Exercício 3.30 (O que o esboço obriga e o que deixa livre)

A figura é um esboço qualitativo de um polinômio real não nulo. As únicas informações fixadas são estas: seus únicos zeros reais são $-2$, $0$ e $3$; o gráfico cruza o eixo nos zeros $-2$ e $3$, toca o eixo sem cruzá-lo em $0$, e as duas pontas seguem para cima. Não se fornece escala de alturas nem uma fórmula para a curva.

Qual é o menor grau possível? O que se pode afirmar sobre a paridade das multiplicidades dos três zeros e sobre o sinal do coeficiente dominante?
Apresente um polinômio de grau mínimo e outro de grau maior que tenham todas as características informadas. Isso permite identificar uma única expressão a partir do esboço?

Figura não resolvida: inl-c03-tikz-014

Ver solução

As multiplicidades em $-2$ e $3$ são ímpares e, em $0$, par e positiva. A menor soma possível é $1+2+1=4$, logo o grau mínimo é $4$. As duas pontas para cima indicam grau par e coeficiente dominante positivo. Por exemplo,

\[ \begin{aligned} P(x)& =(x+2)x^2(x-3),\\ Q(x)& =(x+2)x^2(x-3)(x^2+1) \end{aligned} \]

têm graus $4$ e $6$ e satisfazem os dados. O fator $x^2+1$ é sempre positivo, não introduz zeros reais e conserva os sinais. Assim, as informações qualitativas não determinam uma expressão única; também não fixam as multiplicidades exatas além das restrições de paridade.

Exercício 3.31 (Quantos pontos determinam um polinômio?)

Seja $n$ um inteiro não negativo.

Se um polinômio $D$ de grau no máximo $n$ se anula em $n+1$ números distintos, mostre, pelo teorema do fator, que $D$ é o polinômio nulo.
Conclua que dois polinômios de grau no máximo $n$ que coincidem em $n+1$ pontos distintos são iguais.
Considere o seguinte argumento:

Os polinômios $(x+1)^3$ e $x^3+3x^2+3x+1$ coincidem em $x=0,1,-1,2$. Logo, coincidem para todo $x$ real.

O argumento justifica a conclusão? E se tivessem sido verificadas apenas as igualdades em $x=0$ e $x=1$?
Determine o único polinômio $P$ de grau no máximo $2$ para o qual $P(0)=1$, $P(1)=3$ e $P(2)=7$. Justifique a unicidade.

Ver solução

Se $D$ não fosse nulo, ter $n+1$ raízes distintas $x_0,\ldots ,x_n$ permitiria escrever, pelo teorema do fator,

\[ D(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)Q(x), \]

com $Q$ não nulo. Isso exigiria $\deg D\ge n+1$, em contradição com a hipótese.
Aplique o item anterior a $D=P-Q$, de grau no máximo $n$ quando não é o polinômio nulo.
Sim. Os dois polinômios têm grau no máximo $3$ e coincidem em quatro pontos distintos; logo, são iguais. Dois pontos não bastam: $(x+1)^3+x(x-1)$ tem grau $3$ e coincide com $(x+1)^3$ em $0$ e $1$, mas é outro polinômio.
Escrevendo $P(x)=ax^2+bx+c$, obtemos $c=1$, $a+b=2$ e $4a+2b=6$. Portanto, $P(x)=x^2+x+1$. A unicidade segue do item b) com $n=2$.

3.6 Funções racionais

Os quocientes de polinômios introduzem pontos excluídos do domínio e comportamentos que não aparecem nos gráficos polinomiais. A fatoração do numerador e do denominador permite distinguir zeros, pontos ausentes e assíntotas, preservando as restrições da expressão original.

Uma função racional é um quociente

\[ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}, \]

em que $p$ e $q$ são polinômios e $q$ não é identicamente nulo. ² Seu domínio natural exclui precisamente os zeros reais do denominador. Se $Z(q)=\{ x\in \mathbb {R}:q(x)=0\} $, então

\[ \operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\setminus Z(q). \]

São exemplos de funções racionais

\[ \frac{x^2-x+3}{x^4+x^3-2x-1}, \qquad \frac{3}{x^2}, \qquad \frac{5x^5-3x^3+x}{x^4}. \]

A fatoração de $p$ e $q$ fornece as primeiras informações sobre o gráfico. Um zero do numerador que não anule o denominador é um zero da função. Um zero do denominador, por sua vez, não pertence ao domínio. Se o mesmo fator ocorre no numerador e no denominador, o cancelamento simplifica a expressão, mas não restitui o ponto excluído. Após o cancelamento de todos os fatores comuns, cada zero real do denominador determina uma assíntota vertical: o módulo da função cresce sem limitação quando $x$ se aproxima desse zero.

Zeros, pontos ausentes e assíntotas verticais podem, portanto, ser estudados a partir da fatoração do numerador e do denominador.

Pontos excluídos e comportamento lateral

A determinação do domínio deve preceder a construção do gráfico. Considere

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]

Como $x^2-1=(x-1)(x+1)$, temos $f(x)=x+1$ sempre que $x\neq 1$. O cancelamento simplifica a expressão, mas não devolve ao domínio o ponto que foi excluído: em $x=1$, a expressão original continua sem sentido. Assim, o gráfico é a reta $y=x+1$ com um ponto ausente em $(1,2)$, um buraco removível.

Ilustração: Pontos excluídos e comportamento lateral

Figura 3.10 Um buraco removível: o valor ausente é indicado pelo círculo vazio.

Quando $x$ assume valores cada vez mais próximos de $1$, tanto pela esquerda quanto pela direita, $f(x)$ assume valores cada vez mais próximos de $2$. Diremos, informalmente, que o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $1$ é $2$. Esse buraco é removível: basta definir $f(1)=2$ para completá-lo.

Nem todo ponto excluído produz um buraco removível. Os gráficos de funções racionais podem ter formas globais muito diferentes. Um comportamento recorrente, que será formalizado no estudo de limites, já aparece em $f(x)=1/x$:

Ilustração: Pontos excluídos e comportamento lateral

Figura 3.11 Gráfico de $f(x)=1/x$, com dois ramos e assíntotas nos eixos coordenados.

O gráfico é uma hipérbole equilátera com centro na origem. Quando $x$ se aproxima de $0$ pela direita, $1/x$ cresce sem limite; pela esquerda, decresce sem limite. Os dois ramos ficam cada vez mais próximos da reta vertical $x=0$. Já quando $|x|$ cresce, os valores de $1/x$ se aproximam de $0$, e o gráfico se aproxima da reta horizontal $y=0$.

Chamamos $x=0$ de assíntota vertical e $y=0$ de assíntota horizontal. Essa descrição ainda é intuitiva: os limites darão um significado preciso a “aproximar-se”. Outras funções racionais podem possuir assíntotas oblíquas, isto é, retas que não são verticais nem horizontais.

O sinal também importa. Em $x=1$, por exemplo, as funções

\[ f(x)=\frac{1}{x-1}\qquad \text{e}\qquad g(x)=-\frac{1}{x-1} \]

não apresentam o mesmo comportamento dos dois lados: de um lado os valores crescem sem limite e, do outro, decrescem sem limite. A troca de sinal inverte os dois comportamentos. Para $f$, o denominador é negativo à esquerda de $1$ e positivo à direita: por exemplo, $f(0{,}9)=-10$ e $f(1{,}1)=10$. Ao aproximarmos ainda mais $x$ de $1$, o módulo desses valores aumenta sem limite, mantendo o sinal correspondente a cada lado. Para $g$, os sinais são trocados.

Ilustração: Pontos excluídos e comportamento lateral

Figura 3.12 Comportamentos laterais invertidos pela troca de sinal.

Já em $1/(x-1)^2$, os valores crescem sem limite dos dois lados de $1$. Também aqui não há aproximação a um valor real finito, mas o comportamento é o mesmo dos dois lados. Esses exemplos mostram por que é necessário dizer por qual lado $x$ se aproxima do ponto.

Esboço de gráficos racionais

Os gráficos de funções racionais podem apresentar formas bastante distintas. Ainda assim, algumas informações organizam seu esboço:

Quais pontos são excluídos do domínio por anularem o denominador?
Após cancelar os fatores comuns, quais pontos excluídos correspondem a buracos e quais correspondem a assíntotas verticais?
Onde estão as interseções com os eixos?
Em quais intervalos a função é positiva ou negativa?
O que acontece quando $x$ assume valores positivos ou negativos de módulo muito grande?

Exemplo 3.11

Use o roteiro para esboçar o gráfico de $f(x)=x/(x+1)$.

Solução

O denominador se anula apenas em $-1$, de modo que o domínio é $\mathbb {R}\setminus \{ -1\} $. Não há fator comum para cancelar e não há buraco removível. Reescrevemos a função como

\[ f(x)=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}. \]

A segunda forma mostra como obter seu gráfico a partir de $y=1/x$: uma translação de uma unidade para a esquerda, seguida de uma reflexão no eixo $x$ e de uma translação de uma unidade para cima.

Ilustração: Esboço de gráficos racionais

Figura 3.13 Gráfico de $f(x)=x/(x+1)$ e suas assíntotas.

O gráfico passa pela origem, sua única interseção com os eixos, e as retas $x=-1$ e $y=1$ são suas assíntotas. Comparando os sinais de $x$ e $x+1$, obtemos $f(x)\gt 0$ em $(-\infty ,-1)$ e $(0,+\infty )$, enquanto $f(x)\lt 0$ em $(-1,0)$.

Pela forma $1-1/(x+1)$, quando $x$ se aproxima de $-1$ pela esquerda, $f(x)$ cresce sem limite; pela direita, decresce sem limite. Quando $x$ se afasta muito da origem, $1/(x+1)$ fica próximo de zero. Assim, $f(x)$ se aproxima de $1$, por valores maiores que $1$ à esquerda e menores que $1$ à direita. O esboço reúne essas informações.

O comportamento distante também pode ser lido algebricamente. Se o grau do numerador é menor que o do denominador, o quociente se aproxima de $0$ para valores de $|x|$ muito grandes. Se os graus são iguais, ele se aproxima da razão entre os coeficientes dominantes. Quando o grau do numerador é uma unidade maior, a divisão polinomial revela uma assíntota oblíqua. Mais geralmente, essa divisão separa uma parte polinomial de uma fração que se torna pequena quando $|x|$ cresce.

Por exemplo,

\[ \frac{x^2+1}{x^2-1}=1+\frac{2}{x^2-1}. \]

O domínio exclui $-1$ e $1$, que produzem assíntotas verticais. Para valores de $|x|$ muito grandes, a segunda parcela fica próxima de $0$; por isso, o gráfico se aproxima de $y=1$. A determinação completa do gráfico não é necessária para essa análise. Domínio, fatoração e divisão algébrica já fornecem uma parte considerável de sua forma global.

Exemplo 3.12 (Duas assíntotas verticais e comportamento no infinito)

07-racional-duas-assintotasO gráfico de $f(x)=(2x+1)/(x^2-4)$ tem assíntotas verticais $x=-2$ e $x=2$ e assíntota horizontal $y=0$. Estude os elementos principais do gráfico de

\[ f(x)=\frac{2x+1}{x^2-4}. \]

Determine o domínio, as interseções com os eixos, as assíntotas e o sinal da função.

Solução

Começamos pelo denominador:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]

Não há fatores comuns com o numerador. Portanto,

\[ \operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\setminus \{ -2,2\} , \]

e os dois pontos excluídos produzem candidatos a assíntotas verticais. Como o numerador vale $-3$ em $x=-2$ e $5$ em $x=2$, não ocorre cancelamento; assim,

\[ x=-2 \qquad \text{e}\qquad x=2 \]

são assíntotas verticais.

A interseção com o eixo horizontal é obtida anulando o numerador:

\[ 2x+1=0, \]

de modo que o gráfico cruza o eixo $x$ em $(-1/2,0)$. Para $x=0$,

\[ f(0)=-\frac14, \]

e portanto $(0,-1/4)$ é a interseção com o eixo vertical.

Para estudar o sinal, usamos os três pontos em que numerador ou denominador mudam de sinal:

\[ -2,\qquad -\frac12,\qquad 2. \]

Da comparação dos fatores $2x+1$, $x-2$ e $x+2$, obtemos

\[ f(x)\lt 0 \quad \text{em}\quad (-\infty ,-2)\cup \left(-\frac12,2\right) \]

\[ f(x)\gt 0 \quad \text{em}\quad \left(-2,-\frac12\right)\cup (2,+\infty ). \]

Esse estudo de sinais também esclarece o comportamento junto às assíntotas. Perto de $x=-2$, os valores decrescem sem limite pela esquerda e crescem sem limite pela direita. Perto de $x=2$, decrescem sem limite pela esquerda e crescem sem limite pela direita.

Resta observar o que acontece longe da origem. O denominador tem grau $2$, enquanto o numerador tem grau $1$. Dividindo numerador e denominador por $x^2$, obtemos

\[ f(x)= \frac{2/x+1/x^2}{1-4/x^2}. \]

Para valores de $|x|$ muito grandes, as frações $1/x$ e $1/x^2$ tornam-se pequenas. Assim, $f(x)$ aproxima-se de $0$, e

\[ y=0 \]

é uma assíntota horizontal.

O esboço pode agora ser construído sem uma tabela extensa de valores: domínio, interseções, sinais e assíntotas orientam sua forma geral, mas não permitem localizar eventuais extremos locais.

08-racional-obliquaPara $g(x)=(x^2+1)/(x-1)$, os tracejados indicam $x=1$ e $y=x+1$. O ramo direito fica acima da assíntota oblíqua; o esquerdo, abaixo.

Exemplo 3.13 (Uma assíntota oblíqua)

Determine as assíntotas e descreva o comportamento global de

\[ g(x)=\frac{x^2+1}{x-1}. \]

Solução

O domínio é

\[ \operatorname {Dom}g=\mathbb {R}\setminus \{ 1\} . \]

Como o numerador vale $2$ em $x=1$, não há cancelamento. Logo,

\[ x=1 \]

é uma assíntota vertical.

Neste caso o grau do numerador é uma unidade maior que o grau do denominador. Como $x^2+1=(x-1)(x+1)+2$, a divisão polinomial fornece

\[ \frac{x^2+1}{x-1} = x+1+\frac{2}{x-1}. \]

Essa escrita separa duas partes com papéis distintos. A reta

\[ y=x+1 \]

descreve o comportamento dominante, enquanto o termo

\[ \frac{2}{x-1} \]

torna-se pequeno quando $|x|$ cresce. Portanto, à medida que nos afastamos da origem, o gráfico de $g$ se aproxima cada vez mais da reta $y=x+1$. Essa reta é uma assíntota oblíqua.

A mesma decomposição permite ler de que lado da reta o gráfico se encontra. Se $x\gt 1$, então $2/(x-1)\gt 0$, e portanto

\[ g(x)\gt x+1. \]

Se $x\lt 1$, então $2/(x-1)\lt 0$, e

\[ g(x)\lt x+1. \]

Assim, o ramo à direita de $x=1$ permanece acima da assíntota oblíqua, e o ramo à esquerda permanece abaixo dela.

Quando $x$ se aproxima de $1$, o termo $x+1$ permanece limitado, enquanto $2/(x-1)$ cresce em módulo sem limitação. Por isso, $g(x)$ tende a $-\infty $ pela esquerda e a $+\infty $ pela direita.

Finalmente, $x^2+1$ nunca se anula para $x\in \mathbb {R}$. Portanto, a função não possui zeros reais. Sua interseção com o eixo vertical é

\[ g(0)=-1. \]

Mais uma vez, a divisão algébrica fornece informação geométrica: ela não serve apenas para efetuar um cálculo, mas revela diretamente a reta que governa o gráfico longe da origem.

09-racional-buracoNo gráfico de $f(x)=(x^2-9)/(x^2-x-6)$, o círculo vazio marca $H=(3,6/5)$. As assíntotas são $x=-2$ e $y=1$.

Exemplo 3.14 (Um buraco e uma assíntota na mesma função)

Determine o domínio, a imagem e as assíntotas de

\[ f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-x-6}. \]

Descreva o gráfico a partir de uma expressão mais simples.

Solução

Fatorando antes de cancelar, encontramos

\[ f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)},\qquad x\neq 3,-2. \]

No domínio original,

\[ f(x)=\frac{x+3}{x+2}=1+\frac1{x+2}. \]

O gráfico é o de $y=1/x$ deslocado duas unidades para a esquerda e uma para cima, com um ponto retirado. A reta $x=-2$ permanece como assíntota vertical; em $x=3$, porém, a expressão simplificada teria o valor $1+1/5=6/5$. Há, portanto, um buraco em $(3,6/5)$, não uma segunda assíntota vertical. A assíntota horizontal é $y=1$.

Para determinar a imagem, resolvemos

\[ y=1+\frac1{x+2}. \]

O valor $y=1$ é impossível. Para $y\neq 1$, há uma única entrada candidata,

\[ x=\frac1{y-1}-2. \]

Ela nunca é $-2$, mas é igual a $3$ precisamente quando $y=6/5$. Assim, retirar $x=3$ também retira esse valor da imagem:

\[ \operatorname {Dom}f=\mathbb {R}\setminus \{ -2,3\} ,\qquad \operatorname {Im}f=\mathbb {R}\setminus \{ 1,6/5\} . \]

A fatoração distingue os dois pontos excluídos, e a equação em $y$ permite verificar que não há outros valores ausentes na imagem.

Exercício 3.32

Descreva os pontos excluídos e o comportamento dos gráficos.

Simplifique $g(x)=(x^2-4)/(x-2)$, mantendo o domínio original. Qual é o ponto ausente? De que valor $g(x)$ se aproxima quando $x$ se aproxima de $2$ por cada lado?
Para $h(x)=(x+1)/(x-2)$, encontre o domínio, as interseções com os eixos e as assíntotas. Descreva os sinais e o comportamento dos dois lados de $2$ e esboce o gráfico.
Compare o comportamento de $j(x)=-1/(x-2)^2$ dos dois lados de $2$. O que acontece quando $x$ assume valores positivos ou negativos de módulo muito grande?

Ver solução

$g(x)=x+2$, para $x\ne 2$. Falta o ponto $(2,4)$, e os valores se aproximam de $4$ pelos dois lados.
O domínio exclui $2$. As interseções são $(-1,0)$ e $(0,-1/2)$. Como $h(x)=1+3/(x-2)$, as assíntotas são $x=2$ e $y=1$. A função é positiva em $(-\infty ,-1)$ e $(2,+\infty )$ e negativa em $(-1,2)$. Perto de $2$, decresce sem limite pela esquerda e cresce sem limite pela direita. Longe da origem, aproxima-se de $1$. O gráfico é obtido de $1/x$ por uma translação de duas unidades para a direita, escala vertical por fator $3$ e translação de uma unidade para cima.
O domínio exclui $2$. Os valores são negativos e decrescem sem limite dos dois lados de $2$. Quando $|x|$ cresce, aproximam-se de $0$ por valores negativos.

Exercício 3.33 (Custo médio menor, gasto total maior?)

Uma produção de $x\gt 0$ quilogramas tem custo total $C(x)=120+3x$ reais. O custo médio por quilograma é

\[ M(x)=\frac{C(x)}x=3+\frac{120}{x}, \]

cujo gráfico aparece na figura. A produção pode variar continuamente.

Compare o custo total e o custo médio nas produções de $20$ e $40$ quilogramas. É correto dizer que dobrar a produção divide o custo médio por dois? A queda do custo médio significa queda do gasto total?
O custo médio pode atingir $3$ reais por quilograma ou ficar abaixo desse valor? Interprete a reta horizontal indicada e explique o papel das duas parcelas de $M(x)$.

Ilustração: Esboço de gráficos racionais

Ver solução

Temos $C(20)=180$ reais e $C(40)=240$ reais, enquanto $M(20)=9$ e $M(40)=6$ reais por quilograma. O custo médio cai, mas o gasto total cresce. Dobrar a produção reduz à metade apenas a parcela $120/x$, correspondente ao custo fixo repartido entre os quilogramas; a parcela variável de $3$ reais por quilograma permanece. Como $120/x\gt 0$ para toda produção finita $x\gt 0$, sempre vale $M(x)\gt 3$. A reta horizontal representa o valor do qual o custo médio se aproxima quando o custo fixo por quilograma fica cada vez menor; não é um valor alcançado por alguma produção finita no modelo.

Exercício 3.34

A pressão $P$, em kPa, de um gás mantido a temperatura constante e seu volume $V$, em litros, satisfazem $PV=720$. Determine a pressão quando o volume passa de $12$ L para $8$ L e calcule a variação percentual de $P$.

Ver solução

$P(12)=720/12=60\, \mathrm{kPa}$ e $P(8)=720/8=90\, \mathrm{kPa}$. A pressão aumenta $30\, \mathrm{kPa}$, isto é, $50\% $ em relação ao valor inicial.

Exercício 3.35

Sejam $f(x)=1/(x-2)$ e $g(x)=x^2+1$.

Determine $f\circ g$ e $g\circ f$, com seus domínios.
Determine a imagem de $g\circ f$.
Explique por que o valor $1$ não é atingido por $g\circ f$, embora $g$ atinja esse valor.

Ver solução

$(f\circ g)(x)=1/(x^2-1)$, com domínio $\mathbb {R}\setminus \{ -1,1\} $; $(g\circ f)(x)=1+1/(x-2)^2$, com domínio $\mathbb {R}\setminus \{ 2\} $. A imagem da segunda composição é $(1,\infty )$: $1/(x-2)^2$ percorre $(0,\infty )$. A função $g$ atinge $1$ apenas quando sua entrada é zero, mas $f(x)$ nunca é zero.

Exercício 3.36 (Um ponto ausente pode retirar um valor da imagem)

Considere a função racional, com seu domínio original,

\[ R(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-2)}. \]

A figura destaca o ponto ausente e as duas assíntotas.

Simplifique a expressão preservando o domínio. Explique por que os valores excluídos $1$ e $2$ produzem comportamentos diferentes no gráfico.
Determine a imagem de $R$. Em particular, o valor $2$ pode ser obtido em alguma outra abscissa, apesar do ponto ausente em $(1,2)$? Justifique algebricamente; uma janela limitada do gráfico não basta.

Figura não resolvida: inl-c03-tikz-021

Ver solução

No domínio $\mathbb R\setminus \{ 1,2\} $, $R(x)=(x-3)/(x-2)=1-1/(x-2)$. Em $x=1$, falta somente o ponto $(1,2)$; em $x=2$, permanece a divisão por zero que produz a assíntota vertical. Para decidir a imagem, resolvemos

\[ y=\frac{x-3}{x-2} \quad \Longleftrightarrow \quad (y-1)x=2y-3. \]

O valor $y=1$ é impossível. Para $y\ne 1$, há a única candidata $x=(2y-3)/(y-1)$; ela nunca é $2$, mas é $1$ exatamente quando $y=2$. Logo, a imagem é $\mathbb R\setminus \{ 1,2\} $. Não existe outra abscissa que recupere o valor retirado pelo ponto ausente.

Exercício 3.37 (Dos cálculos aos gráficos)

Retome os itens 1, 3 e 4 do Exercício 2.35. Use as expressões e os domínios já encontrados para esboçar, em cada caso, os gráficos de $f+g$ e de $g/f$, sem refazer as operações. Identifique as transformações dos gráficos e, quando houver, as assíntotas e as interseções com os eixos.

Ver solução

A soma $x^2+x-1$ é uma parábola com vértice $(-1/2,-5/4)$, zeros $(-1\pm \sqrt5)/2$ e interseção $(0,-1)$ com o eixo vertical. O quociente $x-1/x$ tem zeros $-1$ e $1$, assíntota vertical $x=0$ e assíntota oblíqua $y=x$. Fica acima dessa reta para $x\lt 0$ e abaixo dela para $x\gt 0$; perto de $0$, seus dois ramos seguem em sentidos opostos.
O quociente $\sqrt{x-1}$ é o gráfico de $\sqrt x$ transladado uma unidade para a direita; começa em $(1,0)$. A soma $1+\sqrt{x-1}$ é esse gráfico transladado uma unidade para cima e começa em $(1,1)$. Ambos têm domínio $[1,+\infty )$.
O quociente $1/(x-2)^2$ resulta de transladar $1/x^2$ duas unidades para a direita. É positivo, tem assíntotas $x=2$ e $y=0$ e encontra o eixo vertical em $(0,1/4)$. A soma $1+1/(x-2)^2$ é sua translação uma unidade para cima: mantém a assíntota $x=2$, passa por $(0,5/4)$ e tem assíntota horizontal $y=1$. Nenhuma das duas funções possui zeros.