Capítulo 19

Definição e primeiras propriedades do movimento browniano

Depois da linguagem geral de processos e martingalas, chegamos ao exemplo contínuo mais importante: o movimento browniano. Suas trajetórias são contínuas, mas oscilam em todas as escalas. Construiremos o processo a partir de variáveis gaussianas independentes e estudaremos essa regularidade.

Ao longo do capítulo, $(\Omega ,\mathcal F,\P )$ denota um espaço de probabilidade. Escrevemos $\mathcal N(\mu ,\sigma ^2)$ para a distribuição normal de média $\mu $ e variância $\sigma ^2$. A Figura 19.1 antecipa o objeto que construiremos: três realizações da mesma lei, contínuas e visivelmente irregulares.

Figura 19.1 Três aproximações de trajetórias brownianas numa malha diádica. A lei é a mesma; a geometria de cada realização é irrepetível.

19.1 A construção de Paul Lévy

19.1.1 Definição e primeiras consequências

Definição 19.1 (Movimento browniano)

Um processo estocástico real $B=(B(t))_{t\geq 0}$ é um movimento browniano iniciado em $x\in \mathbb {R}$ se:

$B(0)=x$ quase certamente;
seus incrementos são independentes: sempre que $0\leq t_0\lt t_1\lt \cdots \lt t_n$, as variáveis

\[ B(t_1)-B(t_0),\ldots ,B(t_n)-B(t_{n-1}) \]

são independentes;
para $0\leq s\lt t$,

\[ B(t)-B(s)\sim \mathcal N(0,t-s); \]
quase certamente, a aplicação $t\mapsto B(t)$ é contínua.

Quando $x=0$, dizemos que $B$ é um movimento browniano padrão.

As três primeiras condições descrevem o processo em qualquer coleção finita de tempos. A quarta fala da trajetória inteira e não pode ser descartada. O exemplo seguinte isola essa diferença.

Exemplo 19.2 (As distribuições finito-dimensionais não veem tudo)

Seja $B$ um movimento browniano e seja $U$, independente de $B$, uniforme em $[0,1]$. Defina

\[ \widetilde B(t)= \begin{cases} B(t)+1, & t=U,\\ B(t), & t\neq U. \end{cases} \]

Para tempos determinísticos $t_1,\ldots ,t_n$, a probabilidade de $U$ coincidir com algum $t_i$ é zero. Assim, $(\widetilde B(t_1),\ldots ,\widetilde B(t_n))$ tem a mesma distribuição que $(B(t_1),\ldots ,B(t_n))$. Entretanto, quase toda trajetória de $\widetilde B$ é descontínua em $U$. Portanto, conhecer todas as distribuições finito-dimensionais não determina, por si só, a regularidade das trajetórias.

Usaremos repetidamente os fatos sobre vetores gaussianos estabelecidos na Seção 12.2: a lei é determinada pela média e pela matriz de covariâncias, e coordenadas gaussianas não correlacionadas são independentes.

Proposição 19.3 (Caracterização gaussiana)

Um processo gaussiano centrado $X=(X(t))_{t\geq 0}$ é um movimento browniano padrão, desde que tenha trajetórias contínuas e

\[ \operatorname {Cov}(X(s),X(t))=s\wedge t, \qquad s,t\geq 0. \]

Demonstração ▼

Para $0\leq t_0\lt t_1\lt \cdots \lt t_n$, o vetor dos incrementos é gaussiano e centrado. Se $i\lt j$, então

\begin{align*} & \operatorname {Cov}\bigl(X(t_i)-X(t_{i-1}),X(t_j)-X(t_{j-1})\bigr)\\ & \quad =(t_i\wedge t_j)-(t_i\wedge t_{j-1}) -(t_{i-1}\wedge t_j)+(t_{i-1}\wedge t_{j-1})=0. \end{align*}

Pelo Corolário 12.23, os incrementos são independentes. A mesma identidade dá

\[ \operatorname {Var}(X(t_i)-X(t_{i-1}))=t_i-t_{i-1}. \]

Por fim, $\operatorname {Var}(X(0))=0$, de modo que $X(0)=0$ quase certamente. A continuidade completa as quatro condições da definição.

Reciprocamente, todo movimento browniano padrão é um processo gaussiano centrado com essa covariância. De fato, qualquer vetor de valores $(B(t_1),\ldots ,B(t_n))$ é uma transformação linear do vetor de incrementos gaussianos independentes. Além disso, para $s\leq t$,

\[ \operatorname {Cov}(B(s),B(t))=\operatorname {Cov}(B(s),B(s))=s, \]

pois $B(t)-B(s)$ é independente de $B(s)$. Assim, entre processos contínuos, a função de covariância $s\wedge t$ caracteriza completamente a lei browniana.

O Exercício 19.2 apresenta uma construção alternativa. Nele, a extensão de Kolmogorov produz primeiro as distribuições finito-dimensionais gaussianas com covariância $s\wedge t$; uma estimativa diádica fornece depois uma modificação contínua. A construção de Lévy que seguiremos aqui é mais explícita e deixa visível a geometria das escalas.

19.1.2 Construção nos pontos diádicos

Não é imediato que as quatro exigências da definição sejam compatíveis. A continuidade impõe simultaneamente condições a uma família não enumerável de variáveis aleatórias. A construção de Lévy resolve o problema de maneira concreta: acrescenta-se uma escala diádica por vez e controla-se o erro que ela produz.

Para $n\geq 0$, seja

\[ D_n=\left\{ \frac{k}{2^n}:0\leq k\leq 2^n\right\} , \qquad D=\bigcup _{n=0}^{\infty }D_n. \]

Considere uma família $(Z_d)_{d\in D\setminus \{ 0\} }$ de variáveis aleatórias independentes, todas com distribuição $\mathcal N(0,1)$. Começamos com $B(0)=0$ e $B(1)=Z_1$. Suponha que os valores de $B$ já tenham sido definidos em $D_{n-1}$. Para cada ponto novo $d\in D_n\setminus D_{n-1}$, defina

\begin{equation} \label{eq:levy-ponto-medio} B(d)=\frac{B(d-2^{-n})+B(d+2^{-n})}{2} +2^{-(n+1)/2}Z_d. \tag{19.1} \end{equation}

A primeira parcela é o valor dado pela interpolação linear dos dois extremos. A segunda é uma perturbação gaussiana independente, exatamente na escala necessária.

Lema 19.4 (Incrementos na malha diádica)

Para cada $n\geq 0$, os incrementos

\[ B(k2^{-n})-B((k-1)2^{-n}), \qquad k=1,\ldots ,2^n, \]

são independentes e têm distribuição $\mathcal N(0,2^{-n})$.

Demonstração ▼

A afirmação vale em $D_0$. Suponha que valha em $D_{n-1}$ e considere um intervalo $[a,b]$ dessa malha, de comprimento $2^{-(n-1)}$, com ponto médio $d$. Ponha

\[ Y=B(b)-B(a), \qquad Z=Z_d, \qquad \sigma =2^{-(n+1)/2}. \]

Pela hipótese de indução, $Y\sim \mathcal N(0,2^{-(n-1)})$; além disso, $Y$ e $Z$ são independentes. A definição (19.1) fornece

\[ B(d)-B(a)=\frac{Y}{2}+\sigma Z, \qquad B(b)-B(d)=\frac{Y}{2}-\sigma Z. \]

Cada uma dessas variáveis é centrada e tem variância

\[ \frac14\, 2^{-(n-1)}+\sigma ^2=2^{-n}. \]

Sua covariância é

\[ \frac14\, 2^{-(n-1)}-\sigma ^2=0. \]

As variáveis $Y/2$ e $\sigma Z$ são independentes e têm a mesma distribuição normal. Pela Proposição 12.11, após uma mudança de escala, sua soma e sua diferença são independentes. Em intervalos-pais distintos, usamos incrementos antigos independentes e variáveis $Z_d$ distintas. Portanto, todos os incrementos da nova malha são independentes, concluindo a indução.

A figura representa uma única etapa da construção. O novo valor é a interpolação dos extremos acrescida de uma flutuação independente.

Figura 19.2 Correção do ponto médio na construção de Lévy.

19.1.3 Da malha diádica à trajetória contínua

Escrevamos a construção como uma série de funções contínuas. Seja $F_0(t)=tZ_1$. Para $n\geq 1$, defina $F_n$ nos pontos de $D_n$ por

\[ F_n(d)= \begin{cases} 2^{-(n+1)/2}Z_d, & d\in D_n\setminus D_{n-1},\\ 0, & d\in D_{n-1}, \end{cases} \]

e estenda $F_n$ linearmente entre pontos consecutivos de $D_n$. Essas são funções-tenda aleatórias. Por indução em $n$, a própria definição nos dá

\begin{equation} \label{eq:levy-soma-diadica} B(d)=\sum _{j=0}^{n}F_j(d), \qquad d\in D_n. \tag{19.2} \end{equation}

Teorema 19.5 (Existência de Wiener)

Existe um movimento browniano padrão.

Demonstração ▼

Construiremos primeiro o processo em $[0,1]$. Fixe $c\gt \sqrt{2\log 2}$. Para uma normal padrão $Z$ e $u\gt 0$, usaremos a estimativa

\[ \P (|Z|\geq u)\leq 2e^{-u^2/2}. \]

Como há no máximo $2^n+1$ pontos em $D_n$, segue que

\begin{align*} & \sum _{n=1}^{\infty } \P \left(\max _{d\in D_n\setminus D_{n-1}}|Z_d| \geq c\sqrt{n}\right)\\ & \qquad \leq \sum _{n=1}^{\infty }2(2^n+1)e^{-c^2n/2}\lt \infty . \end{align*}

Pelo lema de Borel–Cantelli, quase certamente existe um índice aleatório $N$ tal que, para $n\geq N$ e $d\in D_n\setminus D_{n-1}$, $|Z_d|\lt c\sqrt{n}$. Consequentemente,

\begin{equation} \label{eq:controle-fn-levy} \| F_n\| _{\infty } \leq c\sqrt{n}\, 2^{-(n+1)/2}, \qquad n\geq N. \tag{19.3} \end{equation}

A série numérica no lado direito é convergente. O teste de Weierstrass mostra que, quase certamente, a série

\[ B(t)=\sum _{n=0}^{\infty }F_n(t) \]

converge uniformemente em $[0,1]$. Seu limite é contínuo e, por (19.2), coincide com os valores já construídos em $D$.

Resta verificar as distribuições dos incrementos. Dados $0\leq t_0\lt \cdots \lt t_r\leq 1$, escolha, para cada $m$, pontos diádicos $t_{0,m}\leq \cdots \leq t_{r,m}$ que convergem para os tempos correspondentes. A continuidade implica

\[ B(t_i)-B(t_{i-1}) =\lim _{m\to \infty } \bigl(B(t_{i,m})-B(t_{i-1,m})\bigr). \]

Pelo Lema 19.4, para cada $m$ o vetor à direita é gaussiano centrado, com matriz de covariâncias diagonal. As variâncias convergem para $t_i-t_{i-1}$. Pela convergência das funções características, o vetor limite é gaussiano com coordenadas independentes e

\[ B(t_i)-B(t_{i-1})\sim \mathcal N(0,t_i-t_{i-1}). \]

Temos, portanto, um movimento browniano em $[0,1]$.

Para estender a construção, tome cópias independentes $B^{(0)},B^{(1)},\ldots $ desse processo. Se $k=\lfloor t\rfloor $, defina

\[ W(t)=\sum _{j=0}^{k-1}B^{(j)}(1)+B^{(k)}(t-k), \]

com a soma vazia interpretada como zero. As peças se encontram nos extremos, por isso $W$ é contínuo. Os incrementos que atravessam números inteiros se decompõem em somas de incrementos gaussianos independentes; logo têm a lei e a independência requeridas. Assim, $W$ é um movimento browniano padrão em $[0,\infty )$.

Observação 19.6 (O que a construção realmente produz)

A prova não apenas mostra que o movimento browniano existe. Ela fornece a representação de Lévy–Ciesielski: uma trajetória é uma soma uniforme de funções-tenda independentes, organizadas por escala. Os níveis baixos descrevem o contorno largo; os níveis altos acrescentam oscilações cada vez menores e cada vez mais numerosas.

19.1.4 Invariâncias elementares

A escala $\sqrt t$ já está inscrita na variância dos incrementos. A proposição seguinte diz que ampliar o espaço por $a$ exige ampliar o tempo por $a^2$.

Proposição 19.7 (Invariância de escala)

Se $B$ é um movimento browniano padrão e $a\gt 0$, então

\[ X(t)=\frac1a B(a^2t), \qquad t\geq 0, \]

também é um movimento browniano padrão.

Demonstração ▼

A continuidade e a independência dos incrementos são preservadas pela mudança de escala. Para $0\leq s\lt t$,

\[ X(t)-X(s)=\frac1a\bigl(B(a^2t)-B(a^2s)\bigr) \sim \mathcal N(0,t-s). \]

Outra simetria troca o comportamento próximo de zero pelo comportamento em tempos grandes.

Teorema 19.8 (Inversão temporal)

Se $B$ é um movimento browniano padrão, então o processo

\[ X(t)= \begin{cases} 0, & t=0,\\ tB(1/t), & t\gt 0, \end{cases} \]

é um movimento browniano padrão.

Demonstração ▼

O processo $X$ é gaussiano e centrado. Para $0\lt s\leq t$,

\[ \operatorname {Cov}(X(s),X(t)) =st\, \operatorname {Cov}(B(1/s),B(1/t)) =st\left(\frac1s\wedge \frac1t\right)=s. \]

Assim, suas distribuições finito-dimensionais coincidem com as do movimento browniano. Suas trajetórias são contínuas em $(0,\infty )$. Falta apenas o ponto zero.

Restrito aos racionais positivos, $X$ tem a mesma lei que um movimento browniano restrito aos racionais. Como esse último converge a zero ao longo dos racionais quando $t\downarrow 0$, o mesmo ocorre com $X$, quase certamente. A continuidade de $X$ em $(0,\infty )$ transforma esse limite racional no limite completo. Portanto, $X(t)\to 0=X(0)$ quando $t\downarrow 0$ e a caracterização gaussiana conclui a prova.

Corolário 19.9 (Lei dos grandes números para o movimento browniano)

Quase certamente,

\[ \lim _{t\to \infty }\frac{B(t)}{t}=0. \]

Demonstração ▼

Pela inversão temporal, $X(u)=uB(1/u)$ é um movimento browniano contínuo em zero. Fazendo $u=1/t$,

\[ \frac{B(t)}{t}=X(1/t)\longrightarrow X(0)=0. \]

19.2 Propriedades de continuidade

A definição garante continuidade, mas ainda não diz quão rapidamente uma trajetória pode oscilar. Em $[0,1]$, considere

\[ \omega _B(h)=\sup _{0\leq t\leq 1-h}|B(t+h)-B(t)|, \qquad 0\lt h\lt 1. \]

Uma função $\varphi (h)\downarrow 0$ que domina $\omega _B(h)$ para $h$ pequeno é chamada de módulo de continuidade. A construção por escalas fornece um módulo determinístico, válido para quase toda trajetória.

Teorema 19.10 (Estimativa superior do módulo)

Existe uma constante determinística $C\gt 0$ tal que, quase certamente, para todo $h\gt 0$ suficientemente pequeno,

\[ \omega _B(h)\leq C\sqrt{h\log (1/h)}. \]

Demonstração ▼

Retomemos a série $B=\sum _{n\geq 0}F_n$ da construção de Lévy. Como $F_n$ é linear em cada intervalo de comprimento $2^{-n}$ e se anula nos extremos de cada tenda,

\[ \| F_n'\| _{\infty } \leq 2^{n+1}\| F_n\| _{\infty } \]

nos pontos em que a derivada existe. Pela estimativa (19.3), quase certamente existe $N$ tal que, para $n\geq N$,

\[ \| F_n\| _{\infty }\leq c\sqrt{n}\, 2^{-n/2}, \qquad \| F_n'\| _{\infty }\leq 2c\sqrt{n}\, 2^{n/2}, \]

após aumentar $c$ por uma constante absoluta.

Fixe $t,t+h\in [0,1]$ e escolha $\ell $ de modo que $2^{-(\ell +1)}\lt h\leq 2^{-\ell }$. Separando as escalas mais largas e mais finas do que $h$, obtemos

\begin{align*} |B(t+h)-B(t)| & \leq \sum _{n=0}^{\ell }|F_n(t+h)-F_n(t)| +\sum _{n=\ell +1}^{\infty }|F_n(t+h)-F_n(t)|\\ & \leq h\sum _{n=0}^{\ell }\| F_n’\| _{\infty } +2\sum _{n=\ell +1}^{\infty }\| F_n\| _{\infty }. \end{align*}

A contribuição dos níveis $n\lt N$ é $O_\omega (h)$. Nas duas somas restantes, o maior termo está na escala $\ell $; comparações com séries geométricas dão

\[ h\sum _{n=N}^{\ell }\sqrt{n}\, 2^{n/2} +\sum _{n=\ell +1}^{\infty }\sqrt{n}\, 2^{-n/2} \leq C_0\sqrt{\ell }\, 2^{-\ell /2}. \]

Como $2^{-\ell }$ é comparável a $h$ e $\ell $ é comparável a $\log (1/h)$, o último membro é no máximo $C_1\sqrt{h\log (1/h)}$. Por fim, $O_\omega (h)=o(\sqrt{h\log (1/h)})$. A constante final pode ser escolhida deterministicamente; apenas o limiar a partir do qual a estimativa vale depende da trajetória.

19.2.1 ↯A escala exata do módulo

A ordem obtida é correta. O próximo resultado mostra que não se pode remover o fator logarítmico nem substituir sua constante por uma arbitrariamente pequena.

Teorema 19.11 (Estimativa inferior do módulo)

Se $c\lt \sqrt2$, então, quase certamente, para todo $\varepsilon \gt 0$ existem $0\lt h\lt \varepsilon $ e $t\in [0,1-h]$ tais que

\[ |B(t+h)-B(t)|\geq c\sqrt{h\log (1/h)}. \]

Demonstração ▼

Podemos supor $c\gt 0$. Para inteiros $n\geq 1$ e $0\leq k\lt \lfloor e^n\rfloor $, considere

\[ A_{k,n}= \left\{ B((k+1)e^{-n})-B(ke^{-n}) \gt c\sqrt{n}\, e^{-n/2}\right\} . \]

Para $n$ fixo, esses eventos são independentes. Se $Z$ é normal padrão,

\[ p_n:=\P (A_{k,n})=\P (Z\gt c\sqrt n). \]

Uma estimativa inferior usual para a cauda gaussiana fornece

\[ p_n\geq C\frac{e^{-c^2n/2}}{1+\sqrt n} \]

com uma constante $C\gt 0$. Como $c^2/2\lt 1$, $e^np_n\to \infty $. Logo

\[ \P \left(\bigcap _{k=0}^{\lfloor e^n\rfloor -1}A_{k,n}^{\mathsf c}\right) =(1-p_n)^{\lfloor e^n\rfloor } \leq \exp \{ -\lfloor e^n\rfloor p_n\} \longrightarrow 0. \]

Fixe $\varepsilon \gt 0$. O evento em que nenhum incremento com $0\lt h\lt \varepsilon $ ultrapassa a barreira do enunciado está contido, para todo $n$ suficientemente grande, no evento exibido acima. Sua probabilidade é, portanto, zero. Intersectando os eventos de probabilidade um correspondentes a $\varepsilon =1/m$, $m\geq 1$, obtemos incrementos desse tamanho em escalas arbitrariamente pequenas.

O valor exato da constante é um dos resultados clássicos de Lévy. Incluímos a prova porque ela também ensina uma técnica recorrente: controlar primeiro uma família esparsa de intervalos e depois aproximar todos os demais.

Teorema 19.12 (Módulo de continuidade de Lévy)

Quase certamente,

\[ \limsup _{h\downarrow 0} \frac{\omega _B(h)}{\sqrt{2h\log (1/h)}}=1. \]

Para a estimativa superior, precisaremos de duas observações. Fixe $m\geq 1$ e ponha

\[ A_m=\left\{ 0,\frac1m,\ldots ,\frac{m-1}{m}\right\} . \]

Denote por $\Lambda _n(m)$ a família dos intervalos contidos em $[0,1]$ da forma

\[ \left[(k-1+b)2^{-n+a},(k+b)2^{-n+a}\right], \qquad a,b\in A_m,\quad k\geq 1. \]

Lema 19.13 (Controle na família esparsa)

Fixados $m\geq 1$ e $c\gt \sqrt2$, quase certamente existe $n_0$ tal que, para $n\geq n_0$ e $[s,t]\in \Lambda _n(m)$,

\[ |B(t)-B(s)|\leq c\sqrt{(t-s)\log \frac1{t-s}}. \]

Demonstração ▼

A família $\Lambda _n(m)$ tem no máximo $C_m2^n$ intervalos, e o comprimento $q$ de cada um deles pertence a $[2^{-n},2^{-n+1})$. Pela estimativa superior da cauda normal,

\begin{align*} & \P \left(|B(t)-B(s)| \gt c\sqrt{q\log (1/q)}\right)\\ & \qquad =\P \left(|Z|\gt c\sqrt{\log (1/q)}\right) \leq 2q^{c^2/2} \leq C\, 2^{-nc^2/2}. \end{align*}

A probabilidade de alguma violação em $\Lambda _n(m)$ é, portanto, no máximo

\[ C'_m2^{n(1-c^2/2)}. \]

Como $c\gt \sqrt2$, essa expressão é somável em $n$. Borel–Cantelli conclui a prova.

Lema 19.14 (Aproximação de intervalos)

Para todo $\eta \gt 0$ existe $m\geq 1$ tal que, para qualquer intervalo $[s,t]\subset [0,1]$, existe $[s_0,t_0]\in \bigcup _n\Lambda _n(m)$ com

\[ |s-s_0|\leq \eta (t-s), \qquad |t-t_0|\leq \eta (t-s). \]

Demonstração ▼

Escolha $m$ tão grande que $m^{-1}+2^{1/m}-1\lt \eta $. Ponha $\ell =t-s$ e escolha $n$ com $2^{-n}\leq \ell \lt 2^{-n+1}$. Existe $a\in A_m$ tal que

\[ q:=2^{-n+a}\leq \ell \lt 2^{1/m}q. \]

Os números $(k-1+b)q$, com $k\in \mathbb N$ e $b\in A_m$, formam uma malha de passo $q/m$. Tome $s_0$ como o maior desses números que não excede $s$ e ponha $t_0=s_0+q$. Então $[s_0,t_0]$ pertence à família indicada, está contido em $[0,1]$ e satisfaz $t_0\leq t$. Além disso,

\[ 0\leq s-s_0\lt \frac qm\leq \frac\ell m \]

\[ 0\leq t-t_0=(s-s_0)+(\ell -q) \leq \left(\frac1m+2^{1/m}-1\right)\ell \lt \eta \ell . \]

Demonstração do Teorema 19.12 ▼

O Teorema 19.11, com $c\uparrow \sqrt2$, dá

\[ \limsup _{h\downarrow 0} \frac{\omega _B(h)}{\sqrt{2h\log (1/h)}}\geq 1. \]

Provemos a desigualdade oposta. Fixe $c\gt \sqrt2$ e escolha $c_0\in (\sqrt2,c)$. Tome $\eta \gt 0$ pequeno e depois $m$ como no Lema 19.14. Para um intervalo pequeno $[s,t]\subset [0,1]$, escolha a aproximação $[s_0,t_0]$. Pela desigualdade triangular,

\begin{align*} |B(t)-B(s)| & \leq |B(t)-B(t_0)|+|B(t_0)-B(s_0)|+|B(s_0)-B(s)|. \end{align*}

O termo central é controlado pelo Lema 19.13, com constante $c_0$. Os dois termos das extremidades são controlados pelo Teorema 19.10. Se $\ell =t-s$ e $\delta \leq \eta \ell $, então

\[ \frac{\sqrt{\delta \log (1/\delta )}}{\sqrt{\ell \log (1/\ell )}} \leq \sqrt{\eta \left(1+ \frac{\log (1/\eta )}{\log (1/\ell )}\right)}. \]

Além disso, $(t_0-s_0)/\ell \to 1$ uniformemente quando $\eta \downarrow 0$. Primeiro escolhendo $\eta $ suficientemente pequeno e depois $\ell $ suficientemente pequeno, obtemos

\[ |B(t)-B(s)|\leq c\sqrt{\ell \log (1/\ell )}. \]

Como $c\gt \sqrt2$ era arbitrário, o limsup normalizado por

\[ \sqrt{2h\log (1/h)} \]

é no máximo um.

Definição 19.15 (Continuidade de Hölder)

Uma função $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ é localmente Hölder de expoente $\alpha \gt 0$ em $t$ se existem $C,\delta \gt 0$ tais que

\[ |f(s)-f(t)|\leq C|s-t|^\alpha \]

sempre que $s\geq 0$ e $|s-t|\lt \delta $.

Corolário 19.16 (Regularidade abaixo de $1/2$)

Para todo $0\lt \alpha \lt 1/2$, quase certamente a trajetória browniana é localmente Hölder de expoente $\alpha $ em todos os tempos.

Demonstração ▼

Para $h$ pequeno,

\[ \sqrt{h\log (1/h)}=o(h^\alpha ), \qquad \alpha \lt \frac12. \]

O Teorema 19.10 fornece, portanto, o controle Hölder uniforme em $[0,1]$. Aplicando-o aos processos transladados $B(k+t)-B(k)$, $0\leq t\leq 1$, obtemos o mesmo controle em cada bloco $[k,k+1]$. Se dois tempos próximos estiverem em blocos consecutivos, inserimos o inteiro comum entre eles e usamos a desigualdade triangular; a constante é no máximo a soma das constantes dos dois blocos. Assim, o controle vale em todo compacto. A interseção sobre $k\in \mathbb N$ ainda tem probabilidade um.

O expoente crítico é $1/2$. A trajetória é Hölder para todo expoente menor do que ele e, como veremos a seguir, não pode ser localmente Hölder com expoente maior do que $1/2$ em ponto algum. No próprio expoente crítico há tempos excepcionais, mas eles são raros; sua análise exige ferramentas mais finas.

19.3 Não diferenciabilidade

A continuidade browniana não deve ser confundida com suavidade. Um primeiro sinal da irregularidade é simples: nenhuma trajetória típica permanece monótona durante um intervalo, por menor que ele seja. A Figura 19.3 sugere o fenômeno que as provas tornarão preciso: ampliar a curva revela novas oscilações, não uma tangente.

Figura 19.3 Ampliações sucessivas de uma mesma aproximação browniana, com os eixos reescalados. A trajetória muda de escala, mas não se torna lisa.

Proposição 19.17 (Ausência de intervalos monótonos)

Quase certamente, não existe intervalo não degenerado no qual a trajetória browniana seja monótona.

Demonstração ▼

Fixe $a\lt b$ e divida $[a,b]$ em $n$ subintervalos de mesmo comprimento. Se a trajetória for crescente em $[a,b]$, os $n$ incrementos da partição serão não negativos; se for decrescente, serão não positivos. Como esses incrementos são independentes, simétricos e não se anulam,

\[ \P (B\text{ é monótono em }[a,b])\leq 2^{1-n}. \]

Fazendo $n\to \infty $, essa probabilidade é zero. Agora tome a união sobre os intervalos com extremos racionais. Todo intervalo não degenerado contém um subintervalo racional não degenerado, e monotonicidade passa a subintervalos.

Para estudar derivadas, usaremos a inversão temporal. Precisamos antes de uma forma elementar de oscilação em tempos grandes.

Proposição 19.18 (Oscilações em tempos inteiros)

Quase certamente,

\[ \limsup _{n\to \infty }\frac{B(n)}{\sqrt n}=+\infty , \qquad \liminf _{n\to \infty }\frac{B(n)}{\sqrt n}=-\infty . \]

Demonstração ▼

Fixe $c\gt 0$ e ponha

\[ A_c=\{ B(n)\gt c\sqrt n\text{ para infinitos }n\} . \]

Pela desigualdade de Fatou e pela invariância de escala,

\[ \P (A_c) \geq \limsup _{n\to \infty }\P (B(n)\gt c\sqrt n) =\P (B(1)\gt c)\gt 0. \]

Escreva $X_j=B(j)-B(j-1)$. A sequência $(X_j)$ é i.i.d., e uma permutação finita altera as somas parciais apenas em um número finito de índices. Logo $A_c$ é permutável. Pelo Teorema 8.32, $\P (A_c)=1$. Intersectando esses eventos para $c\in \mathbb N$, obtemos a primeira igualdade. A segunda segue aplicando o mesmo argumento a $-B$.

Para uma função $f$, definimos as derivadas superiores e inferiores à direita no sentido de Dini por

\[ D^+f(t)=\limsup _{h\downarrow 0}\frac{f(t+h)-f(t)}h, \qquad D_+f(t)=\liminf _{h\downarrow 0}\frac{f(t+h)-f(t)}h. \]

Teorema 19.19 (Um tempo fixo)

Fixe $t\geq 0$. Quase certamente,

\[ D^+B(t)=+\infty , \qquad D_+B(t)=-\infty . \]

Em particular, $B$ não é diferenciável em $t$.

Demonstração ▼

Comecemos em $t=0$. Pelo Teorema 19.8, $X(h)=hB(1/h)$ é um movimento browniano. Ao longo de $h=1/n$,

\[ \frac{X(1/n)-X(0)}{1/n}=B(n). \]

A Proposição 19.18 afirma que $B(n)/\sqrt n$ é ilimitado tanto acima quanto abaixo; em particular, o limsup dos quocientes exibidos é $+\infty $ e o liminf é $-\infty $. O resultado vale, portanto, no zero para o movimento browniano $X$. Como todo movimento browniano padrão tem a mesma lei no espaço de trajetórias contínuas, a mesma afirmação vale no zero para $B$.

Para $t\gt 0$, o processo

\[ X(s)=B(t+s)-B(t),\qquad s\geq 0, \]

é novamente um movimento browniano padrão. Os quocientes diferenciais de $X$ em zero são exatamente os quocientes à direita de $B$ em $t$.

Observação 19.20 (A ordem dos quantificadores)

O teorema anterior afirma que, para cada $t$ fixado, a probabilidade de diferenciabilidade em $t$ é zero. Isso ainda não prova que, com probabilidade um, não há nenhum tempo de diferenciabilidade: a união não enumerável dos conjuntos excepcionais pode ter probabilidade positiva.

Ainda assim, Fubini já fornece uma conclusão intermediária. Em qualquer intervalo $[0,T]$, se $D(B)$ é o conjunto dos tempos em que a trajetória é diferenciável, então

\[ \mathbf{E}\bigl[\operatorname {Leb}(D(B))\bigr] =\int _0^T\P (B\text{ é diferenciável em }t)\, dt=0. \]

Logo $D(B)$ tem medida de Lebesgue zero quase certamente. O próximo teorema elimina também os possíveis tempos excepcionais.

Teorema 19.21 (Paley–Wiener–Zygmund)

Quase certamente, a trajetória do movimento browniano não é diferenciável em ponto algum. Mais precisamente, quase certamente, para todo $t\geq 0$,

\[ D^+B(t)=+\infty \quad \text{ou}\quad D_+B(t)=-\infty , \]

possivelmente ambas as alternativas.

O enunciado pertence ao percurso principal: ele fecha a passagem da irregularidade em um tempo fixo para a irregularidade simultânea de toda a trajetória. A demonstração completa abaixo é um aprofundamento multiescala.

↯Demonstração de Paley–Wiener–Zygmund

Demonstração ▼

Basta trabalhar em $[0,1]$ e depois tomar uma interseção enumerável de eventos de probabilidade um. Suponha que exista $t_0\in [0,1]$ para o qual

\[ -\infty \lt D_+B(t_0)\leq D^+B(t_0)\lt +\infty . \]

Pela continuidade e pela limitação da trajetória em $[0,2]$, existe um inteiro $M\geq 1$ tal que

\begin{equation} \label{eq:lipschitz-direita-pwz} |B(t_0+h)-B(t_0)|\leq Mh, \qquad 0\leq h\leq 1. \tag{19.4} \end{equation}

Fixe $n$ e seja $k$ o índice da célula diádica de ordem $n$ que contém $t_0$:

\[ t_0\in [(k-1)2^{-n},k2^{-n}]. \]

Para $j=1,2,3$, a desigualdade triangular e (19.4) dão

\[ \left|B((k+j)2^{-n})-B((k+j-1)2^{-n})\right| \leq M(2j+1)2^{-n}\leq 7M2^{-n}. \]

Denote por $\Omega _{n,k}$ o evento em que essas três desigualdades ocorrem. Os três incrementos são independentes e cada um tem a distribuição de $2^{-n/2}Z$, com $Z$ normal padrão. Como a densidade normal é limitada,

\[ \P (\Omega _{n,k}) \leq C(7M)^3\, 2^{-3n/2}. \]

Há no máximo $2^n+1$ escolhas relevantes de $k$. Logo

\[ \P \left(\bigcup _k\Omega _{n,k}\right) \leq C_M2^{-n/2}, \]

e essa série é convergente. Pelo lema de Borel–Cantelli, quase certamente apenas um número finito desses eventos ocorre. Isso contradiz a existência de $t_0$ satisfazendo (19.4), pois sua célula produziria um evento $\Omega _{n,k}$ para todo $n$ suficientemente grande.

Tomando a união enumerável sobre $M$, concluímos que não existe $t_0$ com as duas derivadas de Dini finitas. Se $D^+B(t)$ não for $+\infty $ e $D_+B(t)$ não for $-\infty $, ambas serão finitas, caso já excluído. Isso prova a afirmação mais forte e, em particular, a não diferenciabilidade em todos os pontos.

Corolário 19.22 (O limiar Hölder é exato)

Se $\alpha \gt 1/2$, então, quase certamente, a trajetória browniana não é localmente Hölder de expoente $\alpha $ em ponto algum.

Demonstração ▼

Na prova do Teorema 19.21, substitua a hipótese linear por

\[ |B(t_0+h)-B(t_0)|\leq Mh^\alpha . \]

Escolha um inteiro $r$ tal que $r(\alpha -1/2)\gt 1$ e examine os $r$ incrementos diádicos imediatamente à direita da célula que contém $t_0$. Cada um fica limitado por $C_{r}M2^{-\alpha n}$. Depois de o normalizarmos por seu desvio padrão $2^{-n/2}$, a estimativa de pequena bola para a normal dá

\[ \P (\text{os $r$ incrementos são pequenos}) \leq C_{M,r}2^{-nr(\alpha -1/2)}. \]

A união sobre as $O(2^n)$ células é limitada por $C_{M,r}2^{-n(r(\alpha -1/2)-1)}$, uma série convergente. Borel–Cantelli e a união enumerável sobre $M$ concluem a prova.

19.3.1 Variação quadrática e variação total

A ausência de derivada tem uma assinatura ainda mais concreta. A variação total da trajetória é infinita, mas a soma dos quadrados de seus incrementos converge para o tempo transcorrido.

Definição 19.23 (Variação total)

Para uma função $f:[0,T]\to \mathbb {R}$, sua variação total em $[0,T]$ é

\[ V_f(T)=\sup _{\pi }\sum _{j=1}^{k}|f(t_j)-f(t_{j-1})|, \]

onde o supremo percorre todas as partições $\pi :0=t_0\lt t_1\lt \cdots \lt t_k=T$.

Lema 19.24 (Uma simetria quadrática)

Se $X$ e $Z$ são independentes, simétricas e pertencem a $\L ^2$, então

\[ \mathbf{E}\bigl[(X+Z)^2\mid X^2+Z^2\bigr]=X^2+Z^2. \]

Demonstração ▼

A transformação $(X,Z)\mapsto (X,-Z)$ preserva a lei conjunta e mantém $X^2+Z^2$ inalterado. Assim, para toda função mensurável limitada $g$,

\[ \mathbf{E}[XZg(X^2+Z^2)]=-\mathbf{E}[XZg(X^2+Z^2)], \]

de onde $\mathbf{E}[XZ\mid X^2+Z^2]=0$. Basta agora expandir $(X+Z)^2$.

O lema anterior condiciona apenas na soma quadrática produzida por uma divisão. Para a variação quadrática, precisaremos saber que a mesma simetria continua válida depois de observar todas as subdivisões posteriores.

Lema 19.25 (Simetria preservada pelos refinamentos)

Suponha que cada partição $\pi _j$ seja obtida de $\pi _{j-1}$ acrescentando um único ponto e defina

\[ Q_j=\sum _{[a,b]\in \pi _j}(B(b)-B(a))^2, \qquad \mathcal G_j=\sigma \langle Q_j,Q_{j+1},\ldots \rangle . \]

Então

\[ \mathbf{E}(Q_{j-1}\mid \mathcal G_j)=Q_j. \]

Demonstração ▼

Se o novo ponto $s$ divide $[u,v]\in \pi _{j-1}$, escreva

\[ X=B(s)-B(u),\qquad Z=B(v)-B(s). \]

Os demais termos não mudam, e portanto

\[ Q_{j-1}=Q_j+2XZ. \]

Resta provar que $\mathbf{E}(XZ\mid \mathcal G_j)=0$.

Para $N\geq j$, ponha $\mathcal H_{j,N}=\sigma \langle Q_j,\ldots ,Q_N\rangle $. Considere o vetor dos incrementos brownianos determinados pela partição $\pi _N$. Trocar o sinal de todos os incrementos contidos em $[u,s]$ preserva a lei conjunta desse vetor, pois suas coordenadas são gaussianas centradas e independentes. A transformação troca $X$ por $-X$, mantém $Z$ e preserva cada soma quadrática $Q_j,\ldots ,Q_N$: como todas essas partições contêm $s$, nenhum de seus intervalos cruza o ponto onde os sinais foram trocados. Mais precisamente, cada incremento de uma dessas partições contido em $[u,s]$ muda apenas de sinal, enquanto os demais permanecem inalterados; portanto, todos os quadrados que formam $Q_j,\ldots ,Q_N$ são preservados. Assim, para toda função mensurável limitada $h$,

\[ \mathbf{E}\bigl[XZ\, h(Q_j,\ldots ,Q_N)\bigr] =-\mathbf{E}\bigl[XZ\, h(Q_j,\ldots ,Q_N)\bigr], \]

e $\mathbf{E}(XZ\mid \mathcal H_{j,N})=0$.

As $\sigma $-álgebras $\mathcal H_{j,N}$ são crescentes e $\sigma \bigl(\bigcup _{N\geq j}\mathcal H_{j,N}\bigr)=\mathcal G_j$. A convergência das esperanças condicionais em $L^1$ fornece, portanto, $\mathbf{E}(XZ\mid \mathcal G_j)=0$. A identidade desejada segue da expansão de $Q_{j-1}$.

Teorema 19.26 (Variação quadrática)

Se $(\pi _n)$ é uma sequência encaixada de partições determinísticas de $[0,T]$, com malha $|\pi _n|\to 0$, então, quase certamente,

\[ \sum _{[u,v]\in \pi _n}(B(v)-B(u))^2\longrightarrow T. \]

Consequentemente, a trajetória browniana tem variação total infinita em todo intervalo não degenerado.

Demonstração ▼

Acrescentar partições intermediárias não altera o problema. Podemos, pois, supor que cada passo insere um único ponto. Defina

\[ Q_n=\sum _{[u,v]\in \pi _n}(B(v)-B(u))^2, \qquad \mathcal G_n=\sigma \langle Q_n,Q_{n+1},\ldots \rangle . \]

A sequência $(\mathcal G_n)$ é decrescente. Pelo Lema 19.25,

\[ \mathbf{E}(Q_{n-1}\mid \mathcal G_n)=Q_n. \]

Portanto, $(Q_n,\mathcal G_n)$ é um martingala reversa. De fato, iterando a identidade anterior e usando a propriedade da torre, para $m\lt n$ obtemos

\[ \mathbf{E}(Q_m\mid \mathcal G_n)=Q_n. \]

Além disso, $\mathbf{E}Q_n=T$ para todo $n$, de modo que a família é limitada em $L^1$. Recordemos por que o teorema de convergência se aplica: para cada $N$, a sequência finita $Q_N,Q_{N-1},\ldots ,Q_0$, com as $\sigma $-álgebras na ordem inversa, é uma martingala usual. Aplicando a desigualdade de cruzamentos a ela e a seu oposto, obtemos, uniformemente em $N$, cotas para os cruzamentos ascendentes e descendentes de qualquer intervalo racional pela sequência $Q_0,\ldots ,Q_N$. Essas cotas dependem apenas de $\sup _n\mathbf{E}|Q_n|=T$ e, portanto, não crescem com o horizonte $N$. Fazendo $N\to \infty $, o mesmo argumento usado na prova do Teorema de Convergência de Doob mostra que $(Q_n)$ possui limite quase certamente.

Se os comprimentos dos intervalos de $\pi _n$ são $\Delta t_1,\ldots ,\Delta t_{k(n)}$, então os incrementos são independentes e

\[ \mathbf{E}Q_n=\sum _j\Delta t_j=T, \qquad \operatorname {Var}(Q_n)=2\sum _j(\Delta t_j)^2 \leq 2T|\pi _n|\longrightarrow 0. \]

Logo $Q_n\to T$ em $\L ^2$. O limite quase certo do martingala reversa só pode ser $T$.

Fixe agora $0\lt \alpha \lt 1/2$. Pelo Corolário 19.16, quase certamente existe uma constante aleatória $C_T$ tal que, para $n$ grande,

\[ \max _{[u,v]\in \pi _n}|B(v)-B(u)|\leq C_T|\pi _n|^\alpha . \]

Consequentemente,

\begin{align*} Q_n & \leq \left(\max _{[u,v]\in \pi _n}|B(v)-B(u)|\right) \sum _{[u,v]\in \pi _n}|B(v)-B(u)|\\ & \leq C_T|\pi _n|^\alpha \sum _{[u,v]\in \pi _n}|B(v)-B(u)|. \end{align*}

Como $Q_n\to T\gt 0$ e $|\pi _n|^\alpha \to 0$, as somas de variações ao longo de $\pi _n$ tendem a infinito. Portanto, $V_B(T)=\infty $.

Finalmente, aplique o argumento, com uma sequência fixa de partições, a cada intervalo $[a,b]$ com extremos racionais. Há apenas uma quantidade enumerável desses intervalos, de modo que, quase certamente, todos eles têm variação infinita simultaneamente. Todo intervalo não degenerado contém um subintervalo racional não degenerado; logo a variação total é infinita em todo intervalo não degenerado.

As trajetórias brownianas são contínuas, não diferenciáveis e têm variação quadrática igual ao tempo.

Exercício 19.1

Seja $B$ um movimento browniano padrão.

Prove que $\mathbf{E}[B(s)B(t)]=s\wedge t$ para $s,t\geq 0$.
Para $0\leq t_1\lt \cdots \lt t_n$, determine a matriz de covariâncias do vetor $(B(t_1),\ldots ,B(t_n))$.
Use essa matriz e a gaussianidade para recuperar a independência dos incrementos em intervalos disjuntos.

Ver solução

Para $s\leq t$, escreva $B(t)=B(s)+[B(t)-B(s)]$; o incremento é independente de $B(s)$ e centrado, logo $\mathbf{E}[B(s)B(t)]=\mathbf{E}[B(s)^2]=s$. Assim a matriz é $\Sigma _{ij}=t_i\wedge t_j$. Incrementos sobre intervalos disjuntos são combinações lineares do vetor gaussiano e têm covariância zero, calculada com essa fórmula. Um vetor gaussiano com covariâncias cruzadas nulas tem blocos independentes, recuperando a independência dos incrementos.

Exercício 19.2 (title=Construção via extensão de Kolmogorov,difficulty=4)

Este exercício fornece uma segunda construção do movimento browniano. A extensão de Kolmogorov produzirá primeiro um processo com as distribuições finito-dimensionais corretas; a continuidade será obtida depois, por uma estimativa diádica.

Para cada conjunto finito

\[ T=\{ 0\leq t_1\lt \cdots \lt t_n\} \subset [0,\infty ), \]

considere a matriz

\[ \Sigma _T=(t_i\wedge t_j)_{1\leq i,j\leq n}. \]

Mostre que $\Sigma _T$ é não negativa definida. Uma forma de fazê-lo é verificar que, para $a_1,\ldots ,a_n\in \mathbb {R}$,

\[ \sum _{i,j=1}^n a_i a_j(t_i\wedge t_j) = \int _0^\infty \left(\sum _{i=1}^n a_i\mathbb {1}_{[0,t_i]}(u)\right)^2\, \d u. \]
Seja $\mu _T$ a lei gaussiana centrada em $\mathbb {R}^n$ com matriz de covariâncias $\Sigma _T$. Mostre que a família $(\mu _T)$ é consistente sob projeções: se $S\subset T$, a marginal de $\mu _T$ nas coordenadas de $S$ é $\mu _S$.
Aplique o Teorema de Extensão de Kolmogorov da Seção 8.9 para obter uma probabilidade em

\[ \mathbb {R}^{[0,\infty )} \]

cujas marginais finito-dimensionais são as medidas $\mu _T$. Denote por

\[ X_t(\omega )=\omega (t) \]

o processo coordenado. Prove que $X_0=0$ quase certamente e que, para $0\leq s\lt t$,

\[ X_t-X_s\sim \mathcal N(0,t-s). \]

Mostre também que incrementos correspondentes a intervalos disjuntos são independentes.
Calcule o quarto momento dos incrementos e prove que

\[ \mathbf{E}|X_t-X_s|^4=3|t-s|^2. \]
Fixe $m\in \mathbb {N}$ e, para $n\geq 0$, ponha

\[ D_n^{(m)} = \left\{ \frac{k}{2^n}:0\leq k\leq m2^n\right\} . \]

Defina

\[ M_n^{(m)} = \max _{1\leq k\leq m2^n} \left| X_{k2^{-n}}-X_{(k-1)2^{-n}} \right|. \]

Mostre que, para todo $0\lt \alpha \lt 1/4$,

\[ \sum _{n=1}^\infty \P \! \left(M_n^{(m)}\gt 2^{-\alpha n}\right)\lt \infty . \]

Conclua, por Borel–Cantelli, que

\[ M_n^{(m)}\leq 2^{-\alpha n} \]

para todo $n$ suficientemente grande, quase certamente.
Seja $L_n^{(m)}$ a interpolação linear dos valores $X_{k2^{-n}}$ na malha $D_n^{(m)}$. Prove que

\[ \| L_{n+1}^{(m)}-L_n^{(m)}\| _\infty \leq M_{n+1}^{(m)}. \]

Conclua que $(L_n^{(m)})$ converge uniformemente, quase certamente, para uma função contínua $B^{(m)}$ em $[0,m]$.
Mostre que, para cada $t\in [0,m]$,

\[ L_n^{(m)}(t)\longrightarrow X_t \qquad \text{em }L^2. \]

Deduz-se que $B^{(m)}(t)=X_t$ quase certamente. Explique por que as versões $B^{(m)}$ podem ser escolhidas compatíveis nos intervalos sobrepostos e, assim, definem um processo contínuo $B=(B_t)_{t\geq 0}$ que é modificação de $X$. Conclua que $B$ é um movimento browniano padrão.

Ver solução

Para o primeiro item, a identidade sugerida mostra diretamente que $a^\mathsf T\Sigma _Ta\geq 0$. Portanto existe uma lei gaussiana centrada com essa matriz de covariâncias. Se $S\subset T$, a projeção de um vetor gaussiano continua sendo gaussiana, com a submatriz de covariâncias correspondente; logo sua lei é $\mu _S$. A família é, portanto, consistente.

A extensão de Kolmogorov produz o processo coordenado $X$. Como $\operatorname {Var}(X_0)=0$, temos $X_0=0$ quase certamente. Além disso,

\[ \operatorname {Var}(X_t-X_s) =t+s-2(s\wedge t) =t-s \]

para $s\lt t$. O vetor de incrementos é gaussiano. Incrementos sobre intervalos disjuntos têm covariância zero, calculada a partir de $\operatorname {Cov}(X_s,X_t)=s\wedge t$; portanto são independentes. Assim,

\[ X_t-X_s\sim \mathcal N(0,t-s). \]

Se $Z\sim \mathcal N(0,\sigma ^2)$, então $\mathbf{E}Z^4=3\sigma ^4$. Logo

\[ \mathbf{E}|X_t-X_s|^4=3|t-s|^2. \]

Por Markov e pela união,

\begin{align*} \P \! \left(M_n^{(m)}\gt 2^{-\alpha n}\right) & \leq m2^n\, \frac{3\, 2^{-2n}}{2^{-4\alpha n}}\\ & = 3m\, 2^{-n(1-4\alpha )}. \end{align*}

A série converge quando $\alpha \lt 1/4$, e Borel–Cantelli fornece a cota eventual para $M_n^{(m)}$.

As interpolações $L_n^{(m)}$ e $L_{n+1}^{(m)}$ coincidem nos pontos da malha $D_n^{(m)}$. Em cada intervalo dessa malha, a diferença é linear em cada metade e seu maior módulo é atingido no ponto médio. Nesse ponto,

\[ \left| X_{(2k-1)2^{-(n+1)}} -\frac{ X_{(k-1)2^{-n}}+X_{k2^{-n}} }{2} \right| \leq M_{n+1}^{(m)}. \]

Portanto

\[ \| L_{n+1}^{(m)}-L_n^{(m)}\| _\infty \leq M_{n+1}^{(m)}. \]

Como $\sum _n2^{-\alpha n}\lt \infty $, as interpolações formam, quase certamente, uma sequência uniformemente de Cauchy e convergem para uma função contínua $B^{(m)}$.

Fixe agora $t\in [0,m]$. Se $a_n\leq t\leq b_n$ são os extremos do intervalo diádico de nível $n$ que contém $t$, então $L_n^{(m)}(t)$ é uma combinação convexa de $X_{a_n}$ e $X_{b_n}$. Pela desigualdade triangular em $L^2$,

\[ \| L_n^{(m)}(t)-X_t\| _2 \leq \| X_{a_n}-X_t\| _2+\| X_{b_n}-X_t\| _2 \leq 2^{1-n/2}, \]

a menos de uma constante inessencial no primeiro nível. Logo $L_n^{(m)}(t)\to X_t$ em $L^2$, portanto em probabilidade. Por outro lado, $L_n^{(m)}(t)\to B^{(m)}(t)$ quase certamente; a unicidade do limite em probabilidade dá

\[ B^{(m)}(t)=X_t \qquad \text{quase certamente}. \]

Para $m\lt r$, as versões $B^{(m)}$ e $B^{(r)}$ coincidem quase certamente em todo ponto racional de $[0,m]$. Intersectando esses eventos de probabilidade um e usando a continuidade, elas coincidem em todo $[0,m]$. Assim podem ser coladas numa modificação contínua $B$ de $X$ em $[0,\infty )$. Como uma modificação possui as mesmas distribuições finito-dimensionais, $B$ tem incrementos gaussianos independentes,

\[ B_t-B_s\sim \mathcal N(0,t-s), \]

e trajetórias contínuas. Portanto $B$ é um movimento browniano padrão.

Exercício 19.3

Na construção de Lévy, considere um intervalo diádico $[a,b]$ de comprimento $2^{-(n-1)}$ e seu ponto médio $d$. Supondo conhecidos $B(a)$ e $B(b)$ e tomando $Z_d\sim N(0,1)$ independente desses valores, mostre que a escolha

\[ B(d)=\frac{B(a)+B(b)}2+2^{-(n+1)/2}Z_d \]

é exatamente a distribuição condicional do valor browniano no ponto médio. Calcule a média e a variância condicionais.

Ver solução

Ponha $\ell =b-a=2^{-(n-1)}$. Condicionados os extremos, as duas metades devem somar $B(b)-B(a)$ e, antes do condicionamento, são normais independentes $N(0,\ell /2)$. A primeira metade, condicionada à soma, tem média $[B(b)-B(a)]/2$ e variância $\ell /4$. Portanto

\[ \mathbf{E}[B(d)\mid B(a),B(b)]=\frac{B(a)+B(b)}2, \qquad \operatorname {Var}(B(d)\mid B(a),B(b))=2^{-(n+1)}, \]

que dá exatamente o coeficiente do $Z_d$ exibido.

Exercício 19.4

Com a notação das funções-tenda $F_n$ da construção de Lévy, prove que, para todo $c\gt \sqrt{2\log 2}$,

\[ \| F_n\| _\infty \leq c\sqrt n\, 2^{-(n+1)/2} \]

para todo $n$ suficientemente grande, quase certamente. Conclua que $\sum _nF_n$ converge uniformemente em $[0,1]$.

Ver solução

No nível $n$ há no máximo $2^n$ coeficientes normais padrão. Pela cauda gaussiana e união,

\[ \P \left(\max _k|Z_{n,k}|\gt c\sqrt n\right) \leq 2^{n+1}e^{-c^2n/2}. \]

A série converge quando $c^2/2\gt \log 2$; Borel–Cantelli dá a cota máxima eventualmente. Como cada tenda tem altura $2^{-(n+1)/2}|Z_{n,k}|$ e os suportes no mesmo nível são disjuntos, $\| F_n\| _\infty \leq c\sqrt n\, 2^{-(n+1)/2}$. A soma dessas cotas converge, e o teste de Weierstrass dá convergência uniforme.

Exercício 19.5

Seja $B$ um movimento browniano padrão e fixe $a\gt 0$.

Verifique diretamente, pelas distribuições finito-dimensionais, que

\[ \widetilde B(t)=a^{-1}B(a^2t) \]

é novamente um movimento browniano padrão.
Para $t\gt 0$, defina $\widehat B(t)=tB(1/t)$ e $\widehat B(0)=0$. Calcule sua covariância e explique por que a continuidade em $0$ é o único ponto adicional a ser verificado na inversão temporal.

Ver solução

$\widetilde B$ é gaussiano centrado, contínuo, e

\[ \operatorname {Cov}(\widetilde B(s),\widetilde B(t)) =a^{-2}(a^2s\wedge a^2t)=s\wedge t. \]

Logo tem as leis finito-dimensionais brownianas. Para $0\lt s\leq t$,

\[ \operatorname {Cov}(\widehat B(s),\widehat B(t)) =st(1/s\wedge 1/t)=s=s\wedge t. \]

O processo é gaussiano centrado e é contínuo em $(0,\infty )$; resta apenas $tB(1/t)\to 0$ em $t\downarrow 0$, equivalente a $B(u)/u\to 0$ quando $u\to \infty $.

Pela lei forte aplicada aos incrementos independentes $B(k)-B(k-1)\sim N(0,1)$,

\[ \frac{B(n)}n\longrightarrow 0\qquad \text{q.c.} \]

Para controlar os tempos entre inteiros, ponha

\[ M_n=\sup _{0\leq s\leq 1}|B(n+s)-B(n)|. \]

Pela estacionariedade dos incrementos, pelo princípio de reflexão e pela cauda gaussiana, para cada $\varepsilon \gt 0$ existem constantes $C,c\gt 0$ tais que

\[ \P (M_n\gt \varepsilon n)\leq C e^{-c\varepsilon ^2n^2}. \]

A série converge; Borel–Cantelli implica $M_n/n\to 0$ q.c. Se $u\in [n,n+1]$, então

\[ \frac{|B(u)|}{u}\leq \frac{|B(n)|}{n}+\frac{M_n}{n}\longrightarrow 0. \]

Logo $B(u)/u\to 0$ q.c., e portanto $tB(1/t)\to 0$ quando $t\downarrow 0$.

Exercício 19.6

Ponte browniana. Para $0\leq t\leq 1$, defina

\[ \beta (t)=B(t)-tB(1). \]

Mostre que $\beta $ é um processo gaussiano centrado e calcule

\[ \operatorname {Cov}(\beta (s),\beta (t)). \]
Prove que $\beta (0)=\beta (1)=0$ e explique por que $\beta $ não é um movimento browniano.
Mostre que $\beta $ e $B(1)$ são independentes.

Ver solução

Como transformação linear de um processo gaussiano, $\beta $ é gaussiano e centrado. Para $s,t\in [0,1]$,

\[ \operatorname {Cov}(\beta (s),\beta (t))=s\wedge t-st. \]

Além disso, $\beta (0)=\beta (1)=0$; em particular sua variância no tempo um é zero, portanto não é browniano. Finalmente, $\operatorname {Cov}(\beta (t),B(1))=t-t=0$ para todo $t$. Gaussianidade conjunta implica independência entre o processo $\beta $ e $B(1)$.

Exercício 19.7

Fixe $0\lt \alpha \lt 1/2$. Use o módulo de continuidade de Lévy para provar que, em todo intervalo compacto, uma trajetória browniana é Hölder-contínua de ordem $\alpha $ quase certamente. Mostre também por que o mesmo argumento falha no expoente crítico $\alpha =1/2$.

Ver solução

O módulo de Lévy fornece, para $h$ pequeno em um compacto, $|B(t+h)-B(t)|\leq C\sqrt{h\log (1/h)}$ quase certamente. Como

\[ \frac{\sqrt{h\log (1/h)}}{h^\alpha } =h^{1/2-\alpha }\sqrt{\log (1/h)}\longrightarrow 0 \]

quando $\alpha \lt 1/2$, obtém-se uma cota de Hölder. Para $\alpha =1/2$, o quociente é $\sqrt{\log (1/h)}$, que diverge; por isso o argumento não fecha no expoente crítico.

Exercício 19.8

Fixe $T\gt 0$. Para a partição uniforme

\[ \pi _n=\left\{ 0,\frac{T}{n},\ldots ,T\right\} , \]

defina

\[ Q_n=\sum _{k=1}^{n} \left(B\left(\frac{kT}{n}\right) -B\left(\frac{(k-1)T}{n}\right)\right)^2. \]

Calcule $\mathbf{E}[Q_n]$ e $\operatorname {Var}(Q_n)$ e conclua que $Q_n\to T$ em $L^2$. Compare essa conclusão com o teorema quase certo para partições encaixadas.

Ver solução

Os incrementos são independentes $N(0,T/n)$. Se $Z\sim N(0,v)$, então $\mathbf{E}Z^2=v$ e $\operatorname {Var}(Z^2)=2v^2$. Portanto

\[ \mathbf{E}Q_n=T, \qquad \operatorname {Var}(Q_n)=n\, 2(T/n)^2=\frac{2T^2}{n}. \]

Logo $\mathbf{E}[(Q_n-T)^2]\to 0$. Isso dá convergência em $L^2$ para as partições uniformes; o teorema para partições encaixadas reforça a conclusão para convergência quase certa.

Exercício 19.9

Prove que toda função contínua de variação total finita possui variação quadrática nula ao longo de qualquer sequência de partições cuja malha tende a zero. Use esse fato e a variação quadrática browniana para obter novamente que as trajetórias de $B$ têm variação total infinita em todo intervalo não degenerado.

Ver solução

Para uma função contínua $f$ de variação total $V\lt \infty $,

\[ \sum _{[u,v]\in \pi }(f(v)-f(u))^2 \leq \max _{[u,v]\in \pi }|f(v)-f(u)|\, V. \]

Uniforme continuidade faz o máximo tender a zero com a malha, logo a variação quadrática é nula. A variação quadrática browniana em $[0,T]$ é $T\gt 0$ quase certamente; portanto uma trajetória browniana não pode ter variação total finita em nenhum intervalo não degenerado (aplique o fato a intervalos com extremos racionais e use inclusão).

Exercício 19.10

Para cada tempo determinístico $t$, o teorema de não diferenciabilidade em tempo fixo fornece

\[ \P (B\text{ é diferenciável em }t)=0. \]

Explique por que não se pode concluir a não diferenciabilidade simultânea em todos os tempos tomando simplesmente uma união não enumerável de eventos nulos. Identifique o argumento adicional do teorema de Paley–Wiener–Zygmund que supera essa dificuldade.

Ver solução

Uma união não enumerável de eventos nulos pode ter probabilidade positiva ou um; a subaditividade só controla uniões enumeráveis. Paley–Wiener–Zygmund substitui os tempos arbitrários por uma hierarquia enumerável de intervalos diádicos: se houvesse derivada finita em algum ponto, os incrementos em todos os intervalos suficientemente pequenos que o contêm obedeceriam a uma cota linear. Estimativas gaussianas uniformes sobre cada nível tornam as probabilidades desses eventos somáveis; Borel–Cantelli exclui-os simultaneamente. A discretização multiescala enumerável é o passo que falta ao argumento ponto a ponto.

Exercício 19.11 (title=Integral temporal e conjunto de zeros,difficulty=3)

Seja $B$ um movimento browniano padrão.

Mostre que $A=\int _0^1B_s\, ds$ é gaussiana centrada e calcule sua variância.
Para $Z=\{ t\in [0,1]:B_t=0\} $, prove que $\lambda (Z)=0$ quase certamente.

Ver solução

As somas de Riemann são combinações lineares de vetores gaussianos e convergem para $A$ em $L^2$; logo $A$ é gaussiana. Além disso,

\[ \operatorname {Var}(A)=\int _0^1\int _0^1(s\wedge t)\, ds\, dt=\frac13. \]

Portanto $A\sim N(0,1/3)$. Por Tonelli,

\[ \mathbf{E}[\lambda (Z)]=\int _0^1\P (B_t=0)\, dt=0, \]

pois $B_t$ tem densidade para $t\gt 0$. Logo $\lambda (Z)=0$ q.c.

Exercício 19.12 (title=Grafos aleatórios: das arestas à ponte browniana,difficulty=4)

Na construção acoplada de $G(n,p)$, enumere as $N=\binom n2$ arestas e sejam $U_1,\ldots ,U_N$ marcas uniformes independentes. Defina, para $0\le t\le 1$,

\[ A_N(t)=\sum _{e=1}^N\mathbb {1}_{\{ U_e\le t\} }, \qquad Z_N(t)=\frac{A_N(t)-Nt}{\sqrt N}. \]

Mostre que $\mathbf{E}Z_N(t)=0$ e

\[ \operatorname {Cov}(Z_N(s),Z_N(t))=s\wedge t-st. \]
Fixe $0\le t_1\lt \cdots \lt t_k\le 1$ e escreva o vetor $(Z_N(t_1),\ldots ,Z_N(t_k))$ como soma normalizada de vetores i.i.d. centrados.
Use o TLC multidimensional para obter convergência para um vetor gaussiano com a covariância acima.
Se $B^\circ (t)=B_t-tB_1$, verifique que

\[ \operatorname {Cov}(B^\circ (s),B^\circ (t))=s\wedge t-st \]

e conclua a convergência finito-dimensional para a ponte browniana.

Ver solução

A média é imediata. Para $s\le t$,

\[ \operatorname {Cov}(\mathbb {1}_{\{ U\le s\} },\mathbb {1}_{\{ U\le t\} }) =\P (U\le s)-st=s-st. \]

Somando as $N$ contribuições independentes e dividindo por $N$, obtemos $\operatorname {Cov}(Z_N(s),Z_N(t))=s\wedge t-st$.

Para tempos fixos,

\[ (Z_N(t_1),\ldots ,Z_N(t_k)) =\frac1{\sqrt N}\sum _{e=1}^N \bigl(\mathbb {1}_{\{ U_e\le t_j\} }-t_j\bigr)_{j=1}^k. \]

Os vetores somados são i.i.d., centrados e limitados. O TLC multidimensional dá um limite gaussiano centrado com a matriz de covariância calculada. Por fim,

\[ \operatorname {Cov}(B_s-sB_1,B_t-tB_1) =s\wedge t-st, \]

logo esse vetor limite coincide com as marginais finito-dimensionais da ponte browniana.