Capítulo 15

Processos estocásticos

Até aqui estudamos variáveis aleatórias isoladas. Um processo estocástico organiza uma família inteira delas, indexada por tempo, posição ou outra escala. Isso introduz uma nova dimensão: além das leis em instantes fixados, passamos a estudar também trajetórias e informação acumulada.

Ao longo do capítulo, \((\Omega ,\mathcal{F},\P )\) é um espaço de probabilidade e \((S,\mathcal S)\) é um espaço mensurável.

15.1 Coordenadas e trajetórias

Definição 15.1 (Processo estocástico)

Um processo estocástico com conjunto de índices \(T\) e espaço de estados \((S,\mathcal S)\) é uma família

\[ X=(X_t)_{t\in T} \]

de variáveis aleatórias \(X_t:\Omega \to S\), todas definidas no mesmo espaço de probabilidade.

Na maior parte das aplicações, \(T=\mathbb N_0\) ou \(T=[0,\infty )\) e o índice é interpretado como tempo. Nada na definição exige essa interpretação: um campo aleatório pode ser indexado pelos pontos de \(\mathbb {R}^d\), e uma imagem aleatória, pelas coordenadas de seus pixels.

A expressão \(X_t(\omega )\) reúne duas leituras complementares. Para \(t\) fixo, \(X_t\) é uma variável aleatória. Para \(\omega \) fixo, a função

\[ t\longmapsto X_t(\omega ) \]

é chamada trajetória ou caminho amostral. Um gráfico produzido por simulação representa uma trajetória, não o processo inteiro.

Exemplo 15.2 (Uma curva determinada por dois sorteios)

Duas variáveis aleatórias reais \(A\) e \(B\) determinam o processo

\[ X_t=A\cos t+B\sin t,\qquad t\geq 0. \]

Para cada \(t\), \(X_t\) é uma variável aleatória. Uma vez observados \(A=a\) e \(B=b\), porém, a trajetória inteira fica determinada pela curva \(x(t)=a\cos t+b\sin t\). As coordenadas compartilham a mesma fonte de aleatoriedade e são, em geral, fortemente dependentes.

Figura 15.1 Três trajetórias possíveis de X_t=Acos t+Bsin t. O sorteio do par (A,B) escolhe a curva inteira. — Figura 15.1 Três trajetórias possíveis de \(X_t=A\cos t+B\sin t\). O sorteio do par \((A,B)\) escolhe a curva inteira.

15.2 Leis finito-dimensionais

Escolhidos \(t_1,\ldots ,t_k\in T\), o vetor

\[ (X_{t_1},\ldots ,X_{t_k}) \]

tem uma distribuição em \((S^k,\mathcal S^{\otimes k})\). Essas distribuições, quando variam os instantes e a dimensão, formam as leis finito-dimensionais do processo.

Elas contêm mais informação do que as leis marginais de cada coordenada. Se \(Z\) tem distribuição de Bernoulli de parâmetro \(1/2\), o processo \(X_n=Z\) e uma sequência \((Y_n)\) de variáveis de Bernoulli independentes têm a mesma distribuição em cada instante. Entretanto,

\[ \P (X_0=X_1)=1, \qquad \P (Y_0=Y_1)=\frac12. \]

As leis bidimensionais já distinguem os dois processos.

A passagem de trajetórias para leis finito-dimensionais pode ser visualizada diretamente no processo

\[ X_u=A\cos u+B\sin u. \]

Para dois tempos \(s\) e \(t\) fixados, cada trajetória produz um ponto \((X_s,X_t)\) no plano. Ao variar a realização, esses pontos formam uma amostra da lei bidimensional do processo nesses dois tempos.

(a) Seis trajetórias observadas nos tempos s e t. (b) Os pares correspondentes (X_s,X_t). Figura 15.2 Uma lei finito-dimensional é obtida observando as mesmas coordenadas em todas as trajetórias. — Figura 15.2 Uma lei finito-dimensional é obtida observando as mesmas coordenadas em todas as trajetórias. Aqui, cada realização do processo \(X_u=A\cos u+B\sin u\) fornece um ponto \((X_s,X_t)\) no painel direito.

As leis finito-dimensionais não podem ser escolhidas arbitrariamente. Remover coordenadas deve produzir a marginal correspondente, e permutar os tempos deve apenas permutar as coordenadas. Essas condições são chamadas de consistência projetiva. Reciprocamente, sob as hipóteses topológicas da Seção 8.9, o Teorema de Extensão de Kolmogorov constrói uma probabilidade no espaço produto \(S^T\) a partir de uma família consistente. Assim, especificar as leis finito-dimensionais é uma maneira de construir um processo.

Proposição 15.3

Dois processos com as mesmas leis finito-dimensionais induzem a mesma probabilidade na \(\sigma \)-álgebra de \(S^T\) gerada pelos cilindros.

Demonstração ▼

As probabilidades coincidem nos cilindros que dependem de um número finito de coordenadas. Esses cilindros formam um \(\pi \)-sistema que gera a \(\sigma \)-álgebra produto. A unicidade de medidas conclui.

Quando \(S=\mathbb {R}\) e os segundos momentos existem, a função média e a função de covariância são

\[ m(t)=\mathbf{E}[X_t], \qquad K(s,t)=\operatorname {Cov}(X_s,X_t). \]

Em geral, essas duas funções não determinam todas as leis finito-dimensionais. Há, porém, uma classe importante em que isso ocorre.

Definição 15.4 (Processo gaussiano)

Um processo real \((X_t)_{t\in T}\) é gaussiano se, para toda escolha \(t_1,\ldots ,t_k\in T\), o vetor \((X_{t_1},\ldots ,X_{t_k})\) é gaussiano no sentido da Definição 12.21.

Pela Proposição 12.22, para um processo gaussiano, \(m\) e \(K\) determinam todas as leis finito-dimensionais. A função \(K\) deve ser simétrica e não negativa definida:

\[ \sum _{i,j=1}^k a_i a_jK(t_i,t_j)\geq 0 \]

para quaisquer \(a_1,\ldots ,a_k\in \mathbb {R}\) e \(t_1,\ldots ,t_k\in T\).

Definição 15.5 (Estacionariedade estrita)

Quando o conjunto de índices admite deslocamentos, o processo \((X_t)_{t\in T}\) é estritamente estacionário se, para todo \(k\geq 1\), quaisquer \(t_1,\ldots ,t_k\in T\) e todo deslocamento \(h\) para o qual \(t_1+h,\ldots ,t_k+h\in T\),

\[ (X_{t_1},\ldots ,X_{t_k}) \stackrel d= (X_{t_1+h},\ldots ,X_{t_k+h}). \]

A estacionariedade é, portanto, uma propriedade das leis finito-dimensionais: deslocar simultaneamente os instantes de observação não altera a lei conjunta.

15.2.1 Do TLC às leis finito-dimensionais do movimento browniano

As leis finito-dimensionais permitem ver um processo surgir a partir de um teorema que, à primeira vista, fala apenas de somas de variáveis aleatórias. Sejam \(X_1,X_2,\ldots \) i.i.d., com

\[ \mathbf{E}X_1=0, \qquad \operatorname {Var}(X_1)=\sigma ^2\in (0,\infty ). \]

Com

\[ S_n=X_1+\cdots +X_n, \qquad S_0=0, \]

o passeio reescalado é

\[ W_n(t) = \frac{S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sigma \sqrt n}, \qquad t\ge 0. \]

O Teorema do Limite Central já determina o comportamento conjunto de \(W_n\) em qualquer coleção finita de tempos.

Proposição 15.6

Dados

\[ 0=t_0\lt t_1\lt \cdots \lt t_k, \]

tem-se

\[ \bigl(W_n(t_1),\ldots ,W_n(t_k)\bigr) \xrightarrow d \bigl(B_{t_1},\ldots ,B_{t_k}\bigr), \]

onde o vetor limite é gaussiano centrado com

\[ \operatorname {Cov}(B_{t_i},B_{t_j})=t_i\wedge t_j. \]

Em outras palavras, as leis finito-dimensionais de \(W_n\) convergem para as leis finito-dimensionais do movimento browniano.

Demonstração ▼

Para \(j=1,\ldots ,k\), os incrementos por blocos

\[ Y_{n,j} = \frac{ S_{\lfloor nt_j\rfloor }-S_{\lfloor nt_{j-1}\rfloor } }{\sigma \sqrt n} \]

são independentes para cada \(n\), pois dependem de blocos disjuntos das variáveis \(X_i\).

\[ m_{n,j} = \lfloor nt_j\rfloor -\lfloor nt_{j-1}\rfloor , \]

então \(m_{n,j}/n\to t_j-t_{j-1}\) e

\[ Y_{n,j} = \sqrt{\frac{m_{n,j}}n}\, \frac{ S_{\lfloor nt_j\rfloor }-S_{\lfloor nt_{j-1}\rfloor } }{\sigma \sqrt{m_{n,j}}}. \]

Pelo Teorema do Limite Central, Teorema 12.24,

\[ Y_{n,j}\xrightarrow d N(0,t_j-t_{j-1}). \]

Como os incrementos são independentes para cada \(n\), suas funções características fatoram. Para \(u=(u_1,\ldots ,u_k)\in \mathbb {R}^k\),

\[ \phi _{(Y_{n,1},\ldots ,Y_{n,k})}(u) = \prod _{j=1}^k\phi _{Y_{n,j}}(u_j) \longrightarrow \prod _{j=1}^k \exp \! \left\{ -\frac12u_j^2(t_j-t_{j-1})\right\} . \]

O limite é a função característica de um vetor \(Y=(Y_1,\ldots ,Y_k)\) de gaussianas independentes, com \(Y_j\sim N(0,t_j-t_{j-1})\). Pelo Teorema 12.19,

\[ (Y_{n,1},\ldots ,Y_{n,k})\xrightarrow dY. \]

Se \(A:\mathbb {R}^k\to \mathbb {R}^k\) é a aplicação triangular

\[ A(y_1,\ldots ,y_k) = (y_1,y_1+y_2,\ldots ,y_1+\cdots +y_k), \]

então

\[ (W_n(t_1),\ldots ,W_n(t_k)) = A(Y_{n,1},\ldots ,Y_{n,k}). \]

Para todo \(a\in \mathbb {R}^k\),

\[ \langle a,A Y_n\rangle = \langle A^\top a,Y_n\rangle \xrightarrow d \langle A^\top a,Y\rangle . \]

Pelo Corolário 12.20, \(A Y_n\xrightarrow dA Y\). Escrevendo

\[ B_{t_j}=Y_1+\cdots +Y_j, \]

obtemos o vetor limite desejado. O vetor resultante é gaussiano centrado e, se \(i\le j\),

\[ \operatorname {Cov}(B_{t_i},B_{t_j}) = \sum _{\ell =1}^{i}\operatorname {Var}(Y_\ell ) = t_i. \]

Logo

\[ \operatorname {Cov}(B_{t_i},B_{t_j})=t_i\wedge t_j, \]

como afirmado.

O Teorema do Limite Central começa, portanto, a produzir o movimento browniano antes mesmo da construção de suas trajetórias. O resultado, porém, fornece apenas convergência das leis finito-dimensionais. A convergência do processo inteiro exige também controle das trajetórias. O Capítulo 19 trata da construção do movimento browniano e das propriedades que não podem ser vistas a partir de um número finito de tempos.

15.3 Igualdade em lei, modificações e trajetórias

As leis finito-dimensionais descrevem o processo em qualquer coleção finita de índices. Propriedades que envolvem uma trajetória inteira exigem mais cuidado.

Definição 15.7 (Três formas de comparar processos)

Se \(X=(X_t)_{t\in T}\) e \(Y=(Y_t)_{t\in T}\) têm o mesmo espaço de estados, dizemos que:

\(X\) e \(Y\) têm a mesma lei se possuem as mesmas leis finito-dimensionais;
\(Y\) é uma modificação ou versão de \(X\) se

\[ \P (X_t=Y_t)=1 \qquad \text{para todo }t\in T; \]
\(X\) e \(Y\) são indistinguíveis se existe \(N\in \mathcal{F}\), com \(\P (N)=0\), tal que

\[ X_t(\omega )=Y_t(\omega ) \qquad \text{para todo }t\in T\text{ e todo }\omega \notin N. \]

Indistinguibilidade implica ser modificação, e ser modificação implica igualdade das leis finito-dimensionais. A ordem dos quantificadores é decisiva: ser modificação permite um conjunto excepcional diferente para cada \(t\), enquanto a indistinguibilidade exige um único conjunto nulo fora do qual todas as coordenadas coincidem simultaneamente.

Exemplo 15.8 (Uma diferença invisível em cada tempo fixo)

Uma variável \(U\) uniforme em \([0,1]\) determina os processos

\[ X_t=0, \qquad Y_t=\mathbb {1}_{\{ U=t\} }, \qquad 0\leq t\leq 1. \]

Para cada \(t\) fixo, \(\P (U=t)=0\), logo \(X_t=Y_t\) quase certamente. Assim, \(Y\) é uma modificação de \(X\). Entretanto, para toda realização \(\omega \), \(Y_{U(\omega )}(\omega )=1\). Assim, não existe um conjunto nulo \(N\) fora do qual \(X_t(\omega )=Y_t(\omega )\) para todo \(t\in [0,1]\); os processos não são indistinguíveis.

Figura 15.3 As trajetórias diferem num único tempo aleatório. Nenhum tempo determinístico detecta a diferença com probabilidade positiva.

Essa distinção explica por que a continuidade das trajetórias costuma ser formulada como existência de uma modificação contínua. A lei do processo pode admitir uma representação regular mesmo quando a versão inicialmente construída não possui essa regularidade.

15.4 Informação ao longo do tempo

Previsões condicionais dependem da informação disponível em cada instante. Essa informação é organizada por uma filtração.

Definição 15.9 (Filtração)

Uma filtração é uma família crescente de sub-\(\sigma \)-álgebras de \(\mathcal{F}\),

\[ \mathcal{F}_s\subseteq \mathcal{F}_t\subseteq \mathcal{F}\qquad \text{sempre que }s\leq t. \]

O quádruplo \((\Omega ,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\in T},\P )\) é chamado de espaço de probabilidade filtrado.

A \(\sigma \)-álgebra \(\mathcal{F}_t\) representa a informação disponível até o instante \(t\). A inclusão expressa que a informação adquirida não é esquecida.

Definição 15.10 (Processo adaptado)

Um processo \(X=(X_t)_{t\in T}\) é adaptado à filtração \((\mathcal{F}_t)\) se \(X_t\) é \(\mathcal{F}_t\)-mensurável para todo \(t\).

A menor filtração à qual \(X\) é adaptado é sua filtração natural,

\[ \mathcal{F}_t^X=\sigma \langle X_s:s\leq t\rangle . \]

Uma filtração maior pode incluir informações externas reveladas ao longo do tempo. A filtração é parte do modelo: mudar a informação disponível pode mudar uma esperança condicional e, portanto, uma previsão.

Figura 15.4 Uma filtração representa informação acumulada.

Exemplo 15.11 (Lançamentos sucessivos)

Se \(Y_1,Y_2,\ldots \) são resultados de lançamentos sucessivos e \(S_n=Y_1+\cdots +Y_n\), então

\[ \mathcal{F}_n=\sigma \langle Y_1,\ldots ,Y_n\rangle \]

é a informação produzida pelos \(n\) primeiros lançamentos. Tanto \((Y_n)\) quanto \((S_n)\) são adaptados. A variável \(Y_{n+1}\), em geral, não é \(\mathcal{F}_n\)-mensurável: ela ainda não foi observada.

15.5 Tempos de parada

Uma regra de interrupção é admissível quando a decisão de parar pode ser tomada com a informação presente, sem consultar o futuro.

Definição 15.12 (Tempo de parada)

No caso \(T=\mathbb N_0\), uma variável aleatória

\[ \tau :\Omega \longrightarrow \mathbb N_0\cup \{ \infty \} \]

é um tempo de parada em relação a \((\mathcal{F}_n)\) se

\[ \{ \tau \leq n\} \in \mathcal{F}_n \qquad \text{para todo }n\geq 0. \]

Como \(\{ \tau =n\} =\{ \tau \leq n\} \setminus \{ \tau \leq n-1\} \), a definição é equivalente a exigir \(\{ \tau =n\} \in \mathcal{F}_n\) para todo \(n\). Todo tempo determinístico é um tempo de parada.

Exemplo 15.13 (Primeira entrada e última visita)

Se \(X\) é adaptado e \(B\in \mathcal S\), então

\[ \tau _B=\inf \{ n\geq 0:X_n\in B\} \]

é um tempo de parada, pois

\[ \{ \tau _B\leq n\} =\bigcup _{k=0}^n\{ X_k\in B\} \in \mathcal{F}_n. \]

Em contraste, o último instante em que \(X\) visita \(B\) geralmente não é um tempo de parada: declarar que uma visita foi a última exige conhecer o futuro.

Para um tempo de parada \(\tau \), o processo parado é

\[ X_n^\tau =X_{n\wedge \tau }. \]

Ele acompanha \(X\) até \(\tau \) e depois permanece constante. Essa operação é central no capítulo de martingalas.

Figura 15.5 A trajetória original aparece em cinza. Depois de tau , o processo parado, em vinho, permanece em X_tau . — Figura 15.5 A trajetória original aparece em cinza. Depois de \(\tau \), o processo parado, em vinho, permanece em \(X_\tau \).

15.6 Quatro exemplos fundamentais

O conjunto de índices pode ser discreto ou contínuo, e o mesmo vale para o espaço de estados. A tabela organiza quatro modelos que reaparecerão nos capítulos seguintes.

	Estado discreto	Estado contínuo
Tempo discreto	passeio aleatório	processo autorregressivo
Tempo contínuo	processo de Poisson	movimento browniano

15.6.1 Passeio aleatório

Se \(\xi _1,\xi _2,\ldots \) são independentes e identicamente distribuídas, o processo de somas parciais

\[ S_0=0, \qquad S_n=\xi _1+\cdots +\xi _n \]

é um passeio aleatório. Se \(\mathbf{E}\xi _1=\mu \) e \(\operatorname {Var}(\xi _1)=\sigma ^2\lt \infty \), então

\[ \mathbf{E}S_n=n\mu , \qquad \operatorname {Cov}(S_m,S_n)=\sigma ^2\min \{ m,n\} . \]

No caso \(\P (\xi _k=1)=p\) e \(\P (\xi _k=-1)=1-p\), o estado pertence a \(\mathbb {Z}\).

15.6.2 Processo autorregressivo

Se \((\varepsilon _n)\) é uma sequência de inovações i.i.d., com média zero e independente de \(X_0\), o modelo

\[ X_{n+1}=\varphi X_n+\varepsilon _{n+1} \]

é um processo autorregressivo de ordem um. Iterando a recursão,

\[ X_n=\varphi ^nX_0+\sum _{j=1}^n\varphi ^{n-j}\varepsilon _j. \]

Quando \(|\varphi |\lt 1\), a influência da condição inicial decai geometricamente. Se \(X_0\) é escolhido na distribuição de equilíbrio, a lei de \(X_n\) não muda com \(n\), embora as coordenadas permaneçam dependentes.

15.6.3 Processo de Poisson

Um processo de Poisson de taxa \(\lambda \gt 0\) é um processo de contagem \((N_t)_{t\geq 0}\) com \(N_0=0\), incrementos independentes e

\[ N_{t+h}-N_t\sim \operatorname {Poisson}(\lambda h). \]

Em sua realização usual como processo de contagem, há uma versão cujas trajetórias são contínuas à direita, constantes por trechos e sobem uma unidade em cada chegada. Além disso,

\[ \mathbf{E}N_t=\operatorname {Var}(N_t)=\lambda t. \]

15.6.4 Uma primeira visão do movimento browniano

O exemplo contínuo central merece aparecer antes de sua construção rigorosa.

Definição 15.14 (Movimento browniano)

Um processo real \((B_t)_{t\geq 0}\) é um movimento browniano padrão se:

\(B_0=0\) quase certamente;
seus incrementos em intervalos disjuntos são independentes;
\(B_{t+h}-B_t\sim \mathcal N(0,h)\);
possui trajetórias contínuas quase certamente.

As três primeiras condições determinam as leis finito-dimensionais; a quarta seleciona uma versão com trajetórias contínuas. Para \(0\leq s\leq t\),

\[ B_t=B_s+(B_t-B_s), \]

e o incremento final é independente de \(B_s\). Logo,

\[ \mathbf{E}B_t=0, \qquad \operatorname {Cov}(B_s,B_t)=s=\min \{ s,t\} . \]

O processo é gaussiano e, portanto, essa média e essa covariância determinam suas leis finito-dimensionais. Sua existência, sua regularidade e a geometria de suas trajetórias serão estudadas no Capítulo 19.

Figura 15.6 Duas trajetórias simuladas de um movimento browniano. A figura sugere continuidade, mas não suavidade.

A propriedade de Markov será o primeiro uso central dessa linguagem.

Exercício 15.1

Seja \(X_t=A+tB\), \(t\in \mathbb {R}\), onde \((A,B)\) é um vetor aleatório com segundos momentos finitos. Calcule a função média e a função de covariância de \(X\) em termos dos momentos de \(A\) e \(B\).

Ver solução

Temos \(\mathbf{E}X_t=\mathbf{E}A+t\mathbf{E}B\) e

\[ \operatorname {Cov}(X_s,X_t) =\operatorname {Var}(A)+(s+t)\operatorname {Cov}(A,B) +st\operatorname {Var}(B). \]

Exercício 15.2

Construa dois processos \((X_n)\) e \((Y_n)\) com as mesmas marginais unidimensionais, mas leis bidimensionais diferentes. Mostre explicitamente em qual evento as probabilidades diferem.

Ver solução

Tome \(Z\sim \operatorname {Bernoulli}(1/2)\), ponha \(X_n=Z\) e faça \((Y_n)\) i.i.d. Bernoulli\((1/2)\). Então \(\P (X_0=X_1)=1\), enquanto \(\P (Y_0=Y_1)=1/2\).

Exercício 15.3

Prove que processos que são modificações um do outro têm as mesmas leis finito-dimensionais. Mostre que a igualdade em lei não implica que os processos sejam modificações, mesmo quando estão definidos no mesmo espaço de probabilidade.

Ver solução

Para \(t_1,\ldots ,t_k\), a interseção dos eventos \(\{ X_{t_j}=Y_{t_j}\} \) tem probabilidade um; os vetores correspondentes são, portanto, iguais quase certamente. Para a recíproca, tome \(Z\sim \operatorname {Bernoulli}(1/2)\) e ponha \(X_t=Z\), \(Y_t=1-Z\) para todo \(t\). Os processos têm a mesma lei, mas \(\P (X_t=Y_t)=0\).

Exercício 15.4

Seja \((X_t)\) um processo gaussiano centrado com \(K(s,t)=e^{-|t-s|}\). Calcule a distribuição de \(X_t-X_s\) e verifique que o processo é estacionário em sentido estrito.

Ver solução

O incremento é normal centrado, com variância \(K(t,t)+K(s,s)-2K(s,t)=2(1-e^{-|t-s|})\). A média é constante e a matriz de covariância de qualquer vetor deslocado depende apenas das diferenças entre os tempos. Como o processo é gaussiano, isso determina as leis finito-dimensionais e prova a estacionariedade estrita.

Exercício 15.5

Se \(X\) é adaptado a \((\mathcal{F}_n)\) e \(g:S\to \mathbb {R}\) é mensurável, prove que \((g(X_n))\) é adaptado. Se \(Y_n\) é \(\mathcal{F}_{n+1}\)-mensurável, ele precisa ser adaptado a \((\mathcal{F}_n)\)?

Ver solução

A composição \(g(X_n)\) é \(\mathcal{F}_n\)-mensurável. A segunda afirmação é falsa: numa sequência de lançamentos, \(Y_n\) pode ser o resultado do lançamento \(n+1\), que é \(\mathcal{F}_{n+1}\)-mensurável, mas não \(\mathcal{F}_n\)-mensurável.

Exercício 15.6

Se \(\sigma \) e \(\tau \) são tempos de parada em tempo discreto, prove que \(\sigma \wedge \tau \) e \(\sigma \vee \tau \) também são tempos de parada.

Ver solução

Usamos

\[ \{ \sigma \wedge \tau \leq n\} =\{ \sigma \leq n\} \cup \{ \tau \leq n\} , \qquad \{ \sigma \vee \tau \leq n\} =\{ \sigma \leq n\} \cap \{ \tau \leq n\} . \]

Ambos os eventos pertencem a \(\mathcal{F}_n\).

Exercício 15.7

Se \(S_n=\xi _1+\cdots +\xi _n\), onde as \(\xi _k\) são i.i.d., centradas e têm variância \(\sigma ^2\), prove que \(\operatorname {Cov}(S_m,S_n)=\sigma ^2\min \{ m,n\} \).

Ver solução

Para \(m\leq n\), escreva \(S_n=S_m+(\xi _{m+1}+\cdots +\xi _n)\). O segundo termo é independente de \(S_m\), logo a covariância é \(\operatorname {Var}(S_m)=m\sigma ^2\). O outro caso segue por simetria.

Exercício 15.8

Partindo dos axiomas do movimento browniano, determine a lei conjunta de \((B_s,B_t)\) para \(0\lt s\lt t\) e calcule a lei condicional de \(B_t\) dado \(B_s\).

Ver solução

O vetor é normal centrado com matriz de covariância

\[ \begin{pmatrix} s & s \\ s & t \end{pmatrix}. \]

Como \(B_t=B_s+(B_t-B_s)\) e o incremento é independente de \(B_s\),

\[ B_t\mid B_s\sim \mathcal N(B_s,t-s). \]

Exercício 15.9 (title=Construção explícita de um processo de Poisson,difficulty=4)

Fixe \(\lambda \gt 0\). Para cada inteiro \(k\ge 0\), escolha \(N_k\sim \operatorname {Poisson}(\lambda )\) independentemente. Condicionalmente a \(N_k=m\), coloque \(m\) pontos independentes e uniformes em \([k,k+1)\), também independentemente entre intervalos distintos. Seja \(N(t)\) o número de pontos em \([0,t]\).

Mostre que a contagem em \(I\subset [k,k+1)\) é \(\operatorname {Poisson}(\lambda |I|)\).
Mostre que contagens em subintervalos disjuntos são independentes.
Conclua que \((N(t))_{t\ge 0}\) é um processo de Poisson de taxa \(\lambda \).

Ver solução

Condicionalmente a \(N_k=m\), as contagens numa partição do intervalo unitário são multinomiais. Misturando com \(N_k\sim \operatorname {Poisson}(\lambda )\), obtemos o princípio de thinning: as contagens em partes disjuntas são Poisson independentes, com médias \(\lambda \) vezes seus comprimentos. A independência entre intervalos unitários vem da construção. Particionando intervalos arbitrários pelos inteiros, obtemos incrementos independentes e \(N_{t+h}-N_t\sim \operatorname {Poisson}(\lambda h)\).

Exercício 15.10 (title=Grafos aleatórios: um processo de nascimento de arestas,difficulty=3)

Considere os \(N=\binom n2\) pares de vértices de \([n]\). A cada aresta potencial \(e\) associe um relógio independente \(T_e\sim \operatorname {Exp}(1)\) e faça a aresta nascer no instante \(T_e\). Seja \(G_t\) o grafo presente no tempo \(t\).

Prove que

\[ G_t\sim G(n,1-e^{-t}). \]
Se \(\tau _\textrm {comp}\) é o instante em que o grafo se torna completo, mostre que

\[ \P (\tau _\textrm {comp}\le t)=(1-e^{-t})^N. \]
Calcule \(\mathbf{E}\tau _\textrm {comp}\) e prove que

\[ \mathbf{E}\tau _\textrm {comp}=H_N=\sum _{j=1}^N\frac1j. \]

Ver solução

A aresta \(e\) está presente em \(t\) se \(T_e\le t\), evento de probabilidade \(1-e^{-t}\). Como os relógios são independentes, \(G_t\sim G(n,1-e^{-t})\). Além disso, \(\tau _\textrm {comp}=\max _eT_e\), logo

\[ \P (\tau _\textrm {comp}\le t) =\prod _e\P (T_e\le t)=(1-e^{-t})^N. \]

Pela fórmula das caudas,

\[ \mathbf{E}\tau _\textrm {comp} =\int _0^\infty [1-(1-e^{-t})^N]\, dt. \]

Com \(x=e^{-t}\),

\[ \mathbf{E}\tau _\textrm {comp} =\int _0^1\frac{1-(1-x)^N}{x}\, dx =\sum _{j=0}^{N-1}\int _0^1(1-x)^j\, dx =H_N. \]