Capítulo 5

Integral de Lebesgue

5.1 Integral de Lebesgue

A integral de Lebesgue é definida em um espaço de medida arbitrário \((\Omega ,\mathcal F,\mu )\). Não suporemos que \(\mu (\Omega )\) seja finita. Quando a finitude da medida for necessária, ela aparecerá explicitamente no enunciado; no caso de medidas de probabilidade, essa hipótese é automaticamente satisfeita.

Quando permitirmos funções com valores em \([0,\infty ]\), esse conjunto será munido da \(\sigma \)-álgebra gerada pelos intervalos \((a,\infty ]\), \(a\geq 0\). Equivalentemente, trata-se da \(\sigma \)-álgebra de Borel da reta estendida, restrita a \([0,\infty ]\). Assim, \(f:\Omega \to [0,\infty ]\) é mensurável se, e somente se, \(\{ f\gt a\} \in \mathcal{F}\) para todo \(a\geq 0\). Na aritmética de \([0,\infty ]\) adotaremos ainda as convenções

\[ 0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0, \qquad a\cdot \infty =\infty \quad \text{para }a\gt 0. \]

A integral de Riemann organiza a soma particionando o domínio. Num espaço abstrato, essa geometria pode não existir. Lebesgue desloca a aproximação para os valores da função. A construção avança por camadas, começando pelas funções simples e chegando às funções mensuráveis gerais.

Se \(f\) é simples e não negativa, escrevemos

\[ f = \sum _{k=1}^n a_k \mathbb {1}_{A_k} \]

para alguma partição mensurável \(\Omega =\bigcup _{k=1}^nA_k\), com \(a_k\geq 0\), e definimos

\[ \displaystyle \int f \d{\mu } = \sum _{k=1}^n a_k \mu (A_k). \]

Essa soma assume valores em \([0,\infty ]\). Para uma função simples com valores reais, a mesma fórmula é usada sempre que a parte positiva ou a parte negativa tiver integral finita; em particular, ela é sempre bem definida para funções simples integráveis. Essa ressalva evita a forma indeterminada \(\infty -\infty \) quando a medida não é finita. Dois infinitos não se cancelam por cortesia da notação.

Para uma função mensurável não negativa \(f\), tomamos o supremo das integrais das funções simples que aproximam \(f\) por baixo:

\[ \displaystyle \int f\ \d{\mu } = \sup _{0 \leq \phi \leq f} \displaystyle \int \phi \ \d{\mu } \]

onde \(\phi \) percorre as funções simples não negativas. Se essa integral for finita, diremos que \(f\) é integrável.

Finalmente, para uma função mensurável geral, separamos suas partes positiva e negativa,

\[ f = f^+ - f^-, \]

onde \(f^+=\max (f,0)\) e \(f^-=\max (-f,0)\), e integramos cada parte. Assim, a construção inteira se apoia no primeiro caso: funções simples não negativas.

A construção exige primeiro uma verificação: a integral de uma função simples deve depender da função, não da representação escolhida.

Proposição 5.1

Dadas duas representações de uma função simples não negativa \(f\) por partições mensuráveis,

\[ f=\sum _{i=1}^{n}a_{i} \mathbb {1}_{A_i} \quad \text{e}\quad f=\sum _{j=1}^{m}b_{j} \mathbb {1}_{B_j} \]

então

\[ \sum _{i=1}^{n}a_{i} \mu ({A_i})= \sum _{j=1}^{m}b_{j} \mu (B_j) \]

Demonstração ▼

Os conjuntos \(A_i\cap B_j\) formam um refinamento comum das duas partições. Se \(A_i\cap B_j\neq \varnothing \), então \(f(x)=a_i=b_j\) nesse conjunto. Se a interseção é vazia, sua medida é zero, de modo que o termo correspondente também não contribui. Portanto,

\begin{align} \sum _{i=1}^{n}a_{i} \mu ({A_i}) & = \sum _{i=1}^{n} \sum _{j=1}^{m} a_{i}\mu (A_i\cap B_j) \tag{5.1} \\ & = \sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}b_{j} \mu (A_i\cap B_j) \tag{5.2} \\ & =\sum _{j=1}^{m}b_{j} \mu (B_j) \tag{5.3} \end{align}

As igualdades valem também quando o valor comum é \(+\infty \), pois todos os termos são não negativos. Para funções simples integráveis, aplica-se o mesmo argumento separadamente às partes positiva e negativa.

Figura 5.1 Partes positiva e negativa de uma função e representação de uma função simples numa partição finita. Adaptado de [ 26 ] . — Figura 5.1 Partes positiva e negativa de uma função e representação de uma função simples numa partição finita. Adaptado de [26].

Proposição 5.2 (Aproximação por Funções Simples)

Toda função mensurável não negativa \( f \colon \Omega \to [0,\infty ] \) é o limite pontual de uma sequência monótona crescente de funções simples não negativas. Reciprocamente, o limite pontual de uma sequência monótona crescente de funções simples é mensurável.

Demonstração ▼

\(\)

\(\)⇒\(\)\(\) Considere \( f \) uma função mensurável não negativa definida sobre o espaço de medida \( (\Omega , \mathcal{F}, \mu ) \). Para cada \( n \in \mathbb N \), subdivida \([0,\infty ]\) em \( 2 ^{2n} + 1 \) intervalos, \( 2 ^{2n} \) dos quais têm comprimento \( 2 ^{- n} .\) Para cada \( n \), considere

\[ I_{n, k} = \left[\frac{k-1}{2 ^n}, \frac{k}{2 ^n} \right) \]

para \( k = 1,2, \ldots , 2 ^{2n} \) e \(I_{n, 2 ^{2n} +1} = [2 ^n, \infty ] .\)

Observe que, para \( n \) fixo, os conjuntos \( I_{n, k} \) são disjuntos e cobrem a reta real não negativa.

Agora, defina os conjuntos mensuráveis

\[ A_{n, k} = f ^{- 1} (I_{n, k}) \, \text{ para } k = 1,2, \ldots , 2 ^{2n} +1. \]

Então as funções simples

\[ f_n = \sum _{k = 1} ^{2 ^{2n} +1} \frac{k-1}{2 ^n} {\mathbf1} _{A_{n, k}} \]

satisfazem \(0\leq f_n\leq f_{n+1}\leq f\). De fato, elas são o arredondamento diádico de \(f\) por baixo, truncado na altura \(2^n\); nos pontos em que \(f\) é finita,

\[ f_n = \bigl(2^{-n}\lfloor 2^n f\rfloor \bigr)\wedge 2^n. \]

Para \(f(x)\lt \infty \), vale \(0\leq f(x)-f_n(x)\lt 2^{-n}\) tão logo \(f(x)\lt 2^n\); se \(f(x)=\infty \), então \(f_n(x)=2^n\). Logo \(f_n\uparrow f\) pontualmente. Se \( f \) for limitada, a convergência é uniforme.

\(\)\(\)⇐\(\)\(\) Já provamos que o limite de funções mensuráveis é mensurável.

Demonstração ▼

Ou seja, a classe das funções mensuráveis é o fecho por limites pontuais das funções simples.

Adaptando a aproximação anterior, obtemos:

Proposição 5.3 (Aproximação Uniforme por Funções Simples)

Sejam \(A\in \mathcal{F}\) e \(f\colon A\to [0,\infty )\) uma função mensurável e limitada, considerando em \(A\) a \(\sigma \)-álgebra traço. Para todo \(\varepsilon \gt 0\) existem funções simples mensuráveis \(\phi _{\varepsilon }\) e \(\psi _{\varepsilon }\) em \(A\) tais que:

\(\phi _{\varepsilon }(x)\leq f(x)\leq \psi _{\varepsilon }(x) \) para todo \(x\in A .\)
\(0\leq \psi _{\varepsilon }(x)-\phi _{\varepsilon }(x)\lt \varepsilon \) para todo \(x\in A .\)

Demonstração ▼

Escolha \(N\in \mathbb N\) tal que \(f\lt N\varepsilon \) em \(A\) e ponha

\[ A_k=\{ x\in A:k\varepsilon /2\leq f(x)\lt (k+1)\varepsilon /2\} , \qquad k=0,\ldots ,2N-1. \]

Esses conjuntos são mensuráveis e formam uma partição de \(A\). Defina

\[ \phi _\varepsilon =\sum _{k=0}^{2N-1}\frac{k\varepsilon }{2}\mathbb {1}_{A_k}, \qquad \psi _\varepsilon =\sum _{k=0}^{2N-1}\frac{(k+1)\varepsilon }{2}\mathbb {1}_{A_k}. \]

Em cada \(A_k\), a primeira função é o extremo inferior e a segunda o extremo superior do intervalo correspondente. Assim, \(\phi _\varepsilon \leq f\leq \psi _\varepsilon \) e \(\psi _\varepsilon -\phi _\varepsilon =\varepsilon /2\lt \varepsilon \).

Lema 5.4 (Passagem ao limite para aproximações simples)

Se \(0\leq s_n\uparrow f\) e cada \(s_n\) é simples, então

\[ \int s_n\, \d\mu \uparrow \int f\, \d\mu . \]

Demonstração ▼

Pela monotonicidade que decorre diretamente da definição por supremo, \(\alpha :=\lim _n\int s_n\, \d\mu \) existe e satisfaz \(\alpha \leq \int f\, \d\mu \). Para a desigualdade inversa, fixe uma função simples \(0\leq s\leq f\) e \(0\lt c\lt 1\). Os conjuntos

\[ E_n=\{ s_n\geq cs\} \]

crescem para \(\Omega \). Com efeito, se \(s(x)=0\) a afirmação é imediata; se \(s(x)\gt 0\), então \(cs(x)\lt s(x)\leq f(x)\) e \(s_n(x)\uparrow f(x)\). Como \(s\) é simples, a continuidade por baixo de \(\mu \), aplicada a cada conjunto de nível de \(s\), dá

\[ \alpha \geq \lim _n c\int _{E_n}s\, \d\mu =c\int s\, \d\mu . \]

Fazendo \(c\uparrow 1\) e tomando o supremo sobre todas as funções simples \(0\leq s\leq f\), obtemos \(\alpha \geq \int f\, \d\mu \).

Figura 5.2 Refinamentos sucessivos de aproximações simples por baixo. Adaptado de [ 26 ] . — Figura 5.2 Refinamentos sucessivos de aproximações simples por baixo. Adaptado de [26].

Definição 5.5 (Integrável)

Dizemos que \(f\) é \(\textbf{{integrável}}\) se \(|f|\) é integrável. Equivalentemente, se ambas as funções \(f^+\) e \(f^-\) são integráveis. E nesse caso definimos

\[ \displaystyle \int f\ \d{\mu } = \displaystyle \int f^+\ \d{\mu } - \displaystyle \int f^-\ \d{\mu }. \]

Dizemos que \(f\) é \(\textbf{{quase integrável}}\) se pelo menos uma das funções \(f^+\) e \(f^-\) é integrável. E nesse caso também definimos

\[ \displaystyle \int f\ \d{\mu } = \displaystyle \int f^+\ \d{\mu } - \displaystyle \int f^-\ \d{\mu }. \]

A integral em um conjunto mensurável \(A \subseteq \Omega \) é definida como

\[ \displaystyle \int _A f\ \d{\mu }= \displaystyle \int _\Omega f \cdot \mathbb {1}_A\ \d{\mu }. \]

5.2 Propriedades da integral de Lebesgue

As propriedades da integral seguem a mesma arquitetura de sua definição:

Estratégia dos três passos

primeiro, demonstramos a propriedade para funções simples;
depois, passamos às funções mensuráveis não negativas por aproximação monótona;
por fim, tratamos funções integráveis separando suas partes positiva e negativa.

Proposição 5.6 (Propriedades da integral)

Sejam \(f\) e \(g\) funções integráveis e \(a,b\in \mathbb {R}\). Então:

(Monotonicidade.) Se \(f \leq g\) em quase todo ponto, então \(\displaystyle \int f\ \d{\mu } \leq \displaystyle \int g\ \d{\mu }\).
Se \(f = g\) em quase todo ponto, então as integrais são iguais.
(Linearidade.) \(\displaystyle \int (af + bg)\ \d{\mu } = a\displaystyle \int f\ \d{\mu } + b\displaystyle \int g\ \d{\mu }\).
\(\left| \displaystyle \int f\ \d{\mu }\right| \leq \displaystyle \int |f|\ \d{\mu }\).

Demonstração ▼

Comecemos pela linearidade para funções não negativas. Para funções simples ela segue do refinamento comum das partições. De fato, se \(\varphi = \sum _i a_i \, \mathbb {1}_{A_i}\), \(\psi = \sum _j b_j \, \mathbb {1}_{B_j}\), então

\begin{align} \int _\Omega \varphi \d{\mu } + \int _\Omega \psi \d{\mu } & = \sum _i a_i \mu (A_i) + \sum _j b_j \mu (B_j) \tag{5.4} \\ & = \sum _i \sum _j a_i \mu (A_i \cap B_j) + \sum _j \sum _i b_j \mu (B_j \cap A_i) \tag{5.5} \\ & = \sum _i \sum _j (a_i+b_j) \, \mu (A_i \cap B_j) \tag{5.6} \\ & = \int _\Omega (\varphi + \psi ) \d{\mu }\, . \tag{5.7} \end{align}

Se \(f,g\geq 0\) e \(a,b\geq 0\), tome funções simples \(f_n\uparrow f\) e \(g_n\uparrow g\). Então \(af_n+bg_n\uparrow af+bg\). Pelo lema de passagem ao limite para aproximações simples,

\[ \int (af+bg)\, \d\mu =\lim _n\int (af_n+bg_n)\, \d\mu =a\int f\, \d\mu +b\int g\, \d\mu . \]

Agora sejam \(f\) e \(g\) integráveis e escreva

\[ af+bg=u-v, \]

onde

\[ u=a^+f^++a^-f^-+b^+g^++b^-g^-, \qquad v=a^+f^-+a^-f^++b^+g^-+b^-g^+. \]

As funções \(u\) e \(v\) são não negativas e integráveis. Como \((af+bg)^++v=(af+bg)^-+u\), a linearidade já provada para funções não negativas fornece

\[ \int (af+bg)\, \d\mu =\int u\, \d\mu -\int v\, \d\mu =a\int f\, \d\mu +b\int g\, \d\mu . \]

Precisamos ainda registrar por que conjuntos nulos não afetam a integral. Se \(N\in \mathcal{F}\) e \(\mu (N)=0\), então, para toda função não negativa \(h\),

\[ \int h\mathbb {1}_N\, \d\mu =0. \]

Com efeito, toda função simples abaixo de \(h\mathbb {1}_N\) se anula fora de \(N\) e, portanto, tem integral zero. Aplicando isso a \(h^+\) e \(h^-\), vemos que uma função integrável e qualquer modificação mensurável sua em \(N\) têm a mesma integral.

Para a monotonicidade, podemos assim modificar \(f\) e \(g\) no conjunto nulo excepcional e supor que \(f\leq g\) em todo ponto. A função \(g-f\) é não negativa e integrável; pela linearidade,

\[ 0\leq \int (g-f)\, \d\mu =\int g\, \d\mu -\int f\, \d\mu . \]

A igualdade quase certa implica as duas desigualdades e, portanto, a igualdade das integrais. Finalmente, de \(-|f|\leq f\leq |f|\) e da monotonicidade obtemos

\[ -\int |f|\, \d\mu \leq \int f\, \d\mu \leq \int |f|\, \d\mu , \]

o que prova a última afirmação.

Teorema 5.7

Sejam \((\Omega ,\mathcal F,\mu )\) um espaço de medida e \(f,g\colon \Omega \to [0,\infty ]\) funções mensuráveis. Então:

\(\displaystyle \int _\Omega f \d{\mu }\lt \infty \) então \(f\lt \infty \) \(\mu \)-q.c.
\( \displaystyle \int _\Omega f\d{\mu } =0 \Longleftrightarrow f=0\) \(\mu \)-q.c.
Se \(f=g\) \(\mu \)-q.c. então \( \displaystyle \int _\Omega f \d{\mu } = \displaystyle \int _\Omega g \d{\mu } .\)

Demonstração ▼

Seja \(I=\{ f=\infty \} \). Para todo \(n\geq 1\), \(n\mathbb {1}_I\leq f\) e, portanto,

\[ n\mu (I)\leq \int f\, \d\mu . \]

Se a integral é finita, segue que \(\mu (I)=0\), o que prova o primeiro item.

Se \(f=0\) quase certamente, toda função simples \(0\leq s\leq f\) se anula fora de um conjunto nulo e tem integral zero. Pela definição por supremo, \(\int f\, \d\mu =0\). Reciprocamente, se a integral é zero, então, para \(A_n=\{ f\geq 1/n\} \),

\[ 0\leq \frac1n\mu (A_n) =\int \frac1n\mathbb {1}_{A_n}\, \d\mu \leq \int f\, \d\mu =0. \]

Como \(\{ f\gt 0\} =\bigcup _{n\geq 1}A_n\), temos \(f=0\) quase certamente.

Por fim, se \(f=g\) fora de um conjunto nulo \(N\), então \(f\mathbb {1}_{N^c}=g\mathbb {1}_{N^c}\). As integrais de \(f\mathbb {1}_N\) e \(g\mathbb {1}_N\) são zero pelo argumento do parágrafo anterior. A aditividade para funções não negativas conclui que \(\int f\, \d\mu =\int g\, \d\mu \), inclusive quando o valor comum é infinito.

Observação. Uma consequência do Teorema 5.7, item 2, aplicada às partes positiva e negativa, é que, para qualquer função \(f\colon \Omega \to \mathbb {R}\) cuja integral esteja definida, temos a liberdade de mudar os valores de \(f(\omega )\) num conjunto \(\mu \)-negligenciável sem alterar o valor da integral, desde que a função resultante seja mensurável.

Definição 5.8 (Integrável)

Seja \((\Omega ,\mathcal F,\mu )\) um espaço de medida. Denotamos por \(\L ^1(\mu )\) o conjunto das funções mensuráveis \(f:\Omega \to \mathbb {R}\) tais que

\[ \int _\Omega |f|\, \d\mu \lt \infty . \]

Em conjuntos de medida finita, a mensurabilidade é a única condição adicional necessária para que uma função limitada seja integrável.

Teorema 5.9

Sejam \(A\in \mathcal F\), com \(\mu (A)\lt \infty \), e \(f\colon A\to \mathbb {R}\) uma função limitada. Então \(f\) é Lebesgue integrável sobre \(A\) se e somente se \(f\) é mensurável para a \(\sigma \)-álgebra traço em \(A\).

Demonstração ▼

Pela definição adotada, toda função integrável é mensurável. Para a recíproca, suponha que \(f\) seja mensurável e escolha \(M\lt \infty \) tal que \(|f|\leq M\) em \(A\). Então

\[ \int _A|f|\, \d\mu \leq M\mu (A)\lt \infty , \]

e, portanto, \(f\) é integrável. É exatamente nesta estimativa que se usa a finitude de \(\mu (A)\); não é necessário supor que o espaço de medida seja completo.

5.3 Comparando a Integral de Lebesgue e de Riemann

As integrais de Riemann e Lebesgue não competem pelo mesmo território: a segunda amplia a primeira e se comporta melhor sob limites. Para tornar essa relação precisa, começamos recordando quais funções limitadas são integráveis no sentido de Riemann.

Teorema 5.10 (Critério de Lebesgue)

Uma função limitada num intervalo compacto \([a, b]\) é Riemann integrável se e somente se o conjunto de seus pontos de descontinuidade tem medida nula.

Demonstração ▼

Para \(x\in [a,b]\), defina a oscilação de \(f\) em \(x\) por

\[ \omega _f(x)=\inf _{\delta \gt 0} \left( \sup _{\substack {y\in [a,b]\\ |y-x|\lt \delta }}f(y) -\inf _{\substack {y\in [a,b]\\ |y-x|\lt \delta }}f(y) \right). \]

A função \(f\) é descontínua em \(x\) exatamente quando \(\omega _f(x)\gt 0\). Além disso, cada conjunto \(D_m=\{ x:\omega _f(x)\geq 1/m\} \) é fechado: se \(\omega _f(x)\lt 1/m\), alguma vizinhança de \(x\) tem oscilação menor que \(1/m\), e o mesmo vale numa vizinhança menor de cada ponto próximo de \(x\). Logo o conjunto de descontinuidades é \(D=\bigcup _{m\geq 1}D_m\).

Suponha primeiro que \(f\) seja Riemann integrável. Dado \(\eta \gt 0\), existe uma partição \(P\) para a qual a diferença entre as somas superior e inferior é menor que \(\eta /m\). Salvo pelos finitos pontos da partição, \(D_m\) está contido na união dos subintervalos \(J\) de \(P\) nos quais a oscilação de \(f\) é pelo menos \(1/m\). Portanto,

\[ \lambda (D_m) \leq \sum _{\operatorname {osc}_J(f)\geq 1/m}|J| \leq m\sum _{J\in P}\operatorname {osc}_J(f)|J| \lt \eta . \]

Assim, \(\lambda (D_m)=0\) para todo \(m\) e, por união enumerável, \(\lambda (D)=0\).

Reciprocamente, suponha que \(\lambda (D)=0\). Seja \(|f|\leq M\) e fixe \(\eta \gt 0\). O caso \(a=b\) é imediato; suponha \(a\lt b\). Pela regularidade exterior da medida de Lebesgue, existe um aberto \(G\supset D\) tal que

\[ \lambda (G)\lt \frac{\eta }{4(M+1)}. \]

O compacto \(K=[a,b]\setminus G\) é formado apenas por pontos de continuidade. Para cada \(x\in K\), escolha \(r_x\gt 0\) de modo que \(|f(y)-f(x)|\lt \eta /(8(b-a))\) quando \(|y-x|\lt 2r_x\). Extraia uma subcobertura finita dos intervalos de centro \(x\) e raio \(r_x\), e escolha \(\delta \gt 0\) menor que todos esses raios. Assim, todo intervalo de comprimento menor que \(\delta \) que encontra \(K\) tem oscilação menor que \(\eta /(4(b-a))\). Escolha uma partição de malha menor que \(\delta \). Nos subintervalos que encontram \(K\), a contribuição à diferença entre as somas de Darboux é menor que \(\eta /4\). Os demais estão contidos em \(G\) e contribuem, ao todo, menos que \(2M\lambda (G)\lt \eta /2\). Logo a diferença entre as somas superior e inferior é menor que \(\eta \). Pelo critério de Darboux, \(f\) é Riemann integrável.

Teorema 5.11

Dada uma função limitada \(f : [a,b] \to \mathbb {R}\), se \(f\) é Riemann integrável, então \(f\) é Lebesgue integrável, e ambas as integrais coincidem.

Demonstração ▼

Denote por \(D\) o conjunto de descontinuidades de \(f\). Pelo critério anterior, \(\lambda (D)=0\). A restrição de \(f\) a \([a,b]\setminus D\) é contínua e, portanto, mensurável na \(\sigma \)-álgebra traço. Como a medida de Lebesgue é completa, qualquer subconjunto de \(D\) é mensurável. Segue que \(f\) é Lebesgue mensurável. Por ser limitada e estar definida num intervalo de medida finita, ela é Lebesgue integrável pelo Teorema 5.9.

Se \(I\) é sua integral de Riemann, para cada \(n\) existem funções escada \(\varphi _n\) e \(\psi _n\) tais que

\[ \varphi _n\leq f\leq \psi _n,\qquad \int _a^b\varphi _n(x)\, \d x\longrightarrow I, \qquad \int _a^b\psi _n(x)\, \d x\longrightarrow I. \]

Para funções escada, as integrais de Riemann e de Lebesgue coincidem. Pela monotonicidade da integral de Lebesgue,

\[ \int _a^b\varphi _n\, \d\lambda \leq \int _a^b f\, \d\lambda \leq \int _a^b\psi _n\, \d\lambda . \]

Fazendo \(n\to \infty \) e usando o teorema do confronto, obtemos \(\int _a^b f\, \d\lambda =I\).

Exemplo 5.12

Considere em \([0,1]\) a função indicadora dos racionais \(f = \mathbb {1}_{\mathbb {Q}\cap [0,1]}\). Como \(\mathbb {Q}\) é enumerável, \(\lambda (\mathbb {Q}\cap [0,1]) = 0\). Logo \(\displaystyle \int f\ \d{\lambda } = 0\) e \(f\) é Lebesgue integrável.

Mas \(f\) não é Riemann integrável, pois o supremo em cada subintervalo de qualquer partição é \(1\) e o ínfimo é \(0\).

Lema 5.13 (Regularidade da medida de Lebesgue completada)

Se \(E\subset \mathbb {R}\) é Lebesgue mensurável e \(\lambda (E)\lt \infty \), então, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe um compacto \(K\subset E\) tal que \(\lambda (E\setminus K)\lt \varepsilon \).

Demonstração ▼

Pela definição da completação, podemos escrever \(E=B\cup N\), onde \(B\) é boreliano, \(B\subset E\), e \(N\) está contido em um boreliano de medida zero. Logo \(\lambda (B)=\lambda (E)\). Se \(\lambda (B)=0\), basta tomar \(K=\varnothing \). Caso contrário, a medida

\[ \nu (C)=\frac{\lambda (C\cap B)}{\lambda (B)},\qquad C\in \mathcal B(\mathbb {R}), \]

é uma probabilidade boreliana em \(\mathbb {R}\). Pela regularidade das probabilidades borelianas em espaços poloneses, demonstrada no Capítulo 2, existe compacto \(K\subset B\subset E\) com \(\nu (B\setminus K)\lt \varepsilon /\lambda (B)\), isto é, \(\lambda (E\setminus K)\lt \varepsilon \).

Teorema 5.14 (Teorema de Lusin)

Sejam \(A\subset \mathbb {R}\) um conjunto Lebesgue mensurável, com \(\lambda (A)\lt \infty \), e \(f\colon A\to \mathbb {R}\) uma função Lebesgue mensurável. Então, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe um conjunto compacto \(K \subset A\) com \(\lambda (A \smallsetminus K) \lt \varepsilon \), tal que a restrição de \(f\) a \(K\) é contínua.

Demonstração ▼

Seja \(\{ V_n\} _{n\in \mathbb N}\) uma enumeração dos intervalos abertos com extremos racionais. Para cada \(n\), os conjuntos mensuráveis \(f^{-1}(V_n)\) e \(A\setminus f^{-1}(V_n)\) têm medida finita. Pelo lema anterior, existem compactos

\[ K_n\subset f^{-1}(V_n) \quad \text{e}\quad K'_n\subset A\setminus f^{-1}(V_n) \]

tais que

\[ \lambda \bigl(f^{-1}(V_n)\setminus K_n\bigr) \lt \frac{\varepsilon }{2^{n+2}}, \qquad \lambda \bigl((A\setminus f^{-1}(V_n))\setminus K'_n\bigr) \lt \frac{\varepsilon }{2^{n+2}}. \]

Seja

\[ K = \bigcap _{n=1}^{\infty } \big(K_n \cup K'_n\big). \]

Cada \(K_n\cup K'_n\) é compacto; logo \(K\), sendo um fechado contido no primeiro deles, também é compacto. Além disso,

\[ \lambda (A\setminus K) \leq \sum _{n=1}^{\infty } \lambda \bigl(A\setminus (K_n\cup K'_n)\bigr) \lt \varepsilon . \]

Resta provar a continuidade. Fixe \(x\in K\) e um aberto \(V\) que contenha \(f(x)\). Escolha \(V_n\) tal que \(f(x)\in V_n\subset V\). Como \(x\in f^{-1}(V_n)\), temos \(x\notin K'_n\) e, pois \(x\in K\subset K_n\cup K'_n\), necessariamente \(x\in K_n\). O conjunto \(U=K\setminus K'_n\) é uma vizinhança aberta de \(x\) em \(K\). Se \(y\in U\), então \(y\in K_n\), novamente porque \(K\subset K_n\cup K'_n\); portanto, \(f(y)\in V_n\subset V\). Assim \(f|_K\) é contínua.

5.4 Integração e Limites

Uma das razões para introduzir a integral de Lebesgue é sua estabilidade sob passagens ao limite. Os três teoremas desta seção distinguem as hipóteses que permitem trocar limite e integral. A ordem importa: cada resultado prepara o seguinte.

Teorema 5.15 (Teorema da Convergência Monótona)

Se \(f_n\colon \Omega \to [0,\infty ]\) são mensuráveis e \(f_n \uparrow f\), então \(\displaystyle \int f_n\ \d{\mu } \rightarrow \displaystyle \int f\ \d{\mu }\).

Demonstração ▼

Como \(\displaystyle \int f_n \d{\mu } \leq \displaystyle \int f_{n+1} \d{\mu }\), existe \(\alpha \in [0, \infty ]\) tal que

\[ \lim \limits _{n\to \infty }\displaystyle \int f_n \d{\mu } = \alpha \]

Como \(f_n \leq f\) para todo \(n\), temos que \(\displaystyle \int f_n\d{\mu } \leq \displaystyle \int f\d{\mu }\) para todo \(n\). Logo \(\alpha \leq \displaystyle \int f \d{\mu }\). Seja \(s\) uma função simples mensurável tal que \(0 \leq s \leq f\) e seja \(c\) uma constante tal que \( 0 \lt c \lt 1\) e defina

\[ E_n = \{ x : f_n(x) \geq c s(x)\} . \]

Figura 5.3 À esquerda, uma sequência crescente aproximando f; à direita, os conjuntos usados na demonstração do Teorema da Convergência Monótona. Adaptado de [ 26 ] . — Figura 5.3 À esquerda, uma sequência crescente aproximando \(f\); à direita, os conjuntos usados na demonstração do Teorema da Convergência Monótona. Adaptado de [26].

Cada conjunto \(E_n\) é mensurável, \(E_1 \subset E_2 \subset \cdots \) e \(\Omega =\bigcup _n E_n\). Para ver a última igualdade, tome \(x \in \Omega \). Se \(s(x)=0\), então \(x\in E_1\). Se \(s(x)\gt 0\), então \(cs(x)\lt s(x)\leq f(x)\) e, como \(f_n(x)\uparrow f(x)\), temos \(x\in E_n\) para algum \(n\). Além disso,

\[ \displaystyle \int _\Omega f_n \d{\mu } \geq \displaystyle \int _{E_n} f_n \d{\mu } \geq c\displaystyle \int _{E_n} s \d{\mu } \]

para todo \(n\). Como \(s\) assume apenas um número finito de valores, a continuidade por baixo da medida em cada conjunto de nível de \(s\) mostra que \(\int _{E_n}s\, \d\mu \uparrow \int s\, \d\mu \). Fazendo \(n \to \infty \), obtemos \(\alpha \geq c \displaystyle \int _{\Omega } s\d{\mu }\). Como isso vale para todo \(c \lt 1\), temos

\[ \alpha \geq \displaystyle \int s \d{\mu } \]

para toda função simples \(s \leq f .\) Logo, temos

\[ \alpha \geq \displaystyle \int _\Omega f\d{\mu } \]

Isso prova a desigualdade inversa.

Proposição 5.16

Seja \(f : \Omega \to [0, \infty ]\) uma aplicação mensurável. Então:

\(f = 0 \) quase certamente se e somente se \(\int _{\Omega } f \d{\mu } = 0 .\)
Se \(\int _{\Omega } f \d{\mu } \lt \infty \), então \(f\lt \infty \) quase certamente.

Demonstração ▼

As duas afirmações já foram provadas, respectivamente, nos itens 2 e 1 do Teorema 5.7; note que aquele argumento vale para toda medida, sem hipótese de finitude.

Lema 5.17 (Lema de Fatou)

Se \(f_n\colon \Omega \to [0,\infty ]\) são mensuráveis, então

\[ \displaystyle \int \liminf _n f_n\ \d{\mu } \leq \liminf _n \displaystyle \int f_n \ \d{\mu }. \]

Demonstração ▼

Defina \(g_k(x) = \inf _{i \geq k} f_i(x)\). Então \(g_k\leq f_i\) para todo \(i\geq k\) e, portanto,

\[ \displaystyle \int g_k\d{\mu } \leq \inf _{i\geq k}\displaystyle \int f_i \d{\mu }. \]

Além disso, \(0 \leq g_1 \leq g_2 \leq \cdots \), cada \(g_k\) é mensurável e \(g_k\uparrow \liminf _n f_n\). Pelo Teorema da Convergência Monótona,

\[ \int \liminf _n f_n\, \d\mu =\lim _{k\to \infty }\int g_k\, \d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{i\geq k}\int f_i\, \d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int f_n\, \d\mu . \]

Definição 5.18 (Convergência quase todo ponto)

Dizemos que \(f_n \rightarrow f\) em quase todo ponto ou quase certamente (q.c.) se \(\mu \left(\{ \omega : f_n(\omega ) \not\rightarrow f(\omega )\} \right)= 0 .\)

Teorema 5.19 (Teorema da Convergência Dominada)

Se \(f_n\) e \(f\) são mensuráveis, \(f_n \rightarrow f\) q.c., \(|f_n| \leq g\) q.c. para todo \(n\), e \(g\geq 0\) é integrável, então

\[ \displaystyle \int f_n\ \d{\mu } \rightarrow \displaystyle \int f\ \d{\mu }. \]

Demonstração ▼

Alterando as funções num único conjunto nulo, podemos supor que a convergência e todas as dominações valham em todo ponto. Assim \(|f|\leq g\), de modo que \(f\in L^1(\mu )\), e \(|f_n-f|\leq 2g\). Podemos aplicar o Lema de Fatou para a função \(2g - |f_n - f|\) e obter que

\begin{align*} \displaystyle \int _\Omega 2g \d{\mu } & \leq \liminf _{n\to \infty }\displaystyle \int _\Omega (2g - |f_n - f|) \d{\mu } \\ & = \displaystyle \int _\Omega 2g \d{\mu } + \liminf _{n\to \infty }\left(-\displaystyle \int _\Omega |f_n - f| \d{\mu }\right) \\ & = \displaystyle \int _\Omega 2g \d{\mu } - \limsup _{n\to \infty }\displaystyle \int _\Omega |f_n - f|\d{\mu } \end{align*}

Como \(\displaystyle \int _\Omega 2g\d{\mu }\) é finita podemos subtraí-la

\[ \limsup _{n\to \infty } \displaystyle \int _\Omega |f_n - f|\d{\mu } \leq 0 \]

E assim

\[ \lim \limits _{n\to \infty }\displaystyle \int _\Omega |f_n -f| \d{\mu } = 0 \]

Finalmente,

\[ \left|\int f_n\, \d\mu -\int f\, \d\mu \right| \leq \int |f_n-f|\, \d\mu \longrightarrow 0, \]

e, portanto,

\[ \lim \limits _{n\to \infty } \displaystyle \int _\Omega f_n \d{\mu } = \displaystyle \int _\Omega f\d{\mu } \]

5.5 Espaços \(\L ^p\)

Estudaremos agora os espaços de funções integráveis e as normas que permitem medir a qualidade das aproximações.

Definição 5.20

Dado um espaço de medida \( (\Omega , \mathcal{F}, \mu ) \) e \(1\leq p\lt \infty \), definimos \( \L ^p (\Omega , \mathcal{F}, \mu ) \) como o espaço das classes de equivalência das funções mensuráveis tais que

\[ \int \left\lvert f\right\rvert ^p \, \d(\mu ) \lt \infty \]

sob a relação de equivalência de igualdade quase certa.
Para qualquer elemento \( f \in \L ^p (\Omega , \mathcal{F}, \mu ) \) definimos a \(p\)-norma como

\begin{align*} \left\lVert f\right\rVert _p & = \left(\int \left\lvert f\right\rvert ^p \, \d(\mu ) \right) ^{\frac{1}{p}}. \end{align*}
Definimos \(\L ^\infty (\Omega ,\mathcal{F},\mu )\) como o espaço das classes de equivalência das funções mensuráveis essencialmente limitadas. Sua norma é

\[ \left\lVert f\right\rVert _\infty :=\operatorname *{ess\, sup}_{\omega \in \Omega }|f(\omega )| =\inf \{ M\geq 0:|f|\leq M\ \text{quase certamente}\} . \]

Mostraremos que \( \L ^p (\Omega , \mathcal{F}, \mu ) \) é um espaço de Banach: sua norma satisfaz a desigualdade triangular e toda sequência de Cauchy converge. Começamos pela desigualdade triangular.

Lema 5.21 (Desigualdade de Hölder)

Se \(1\lt p\lt \infty \), \(q=p/(p-1)\), \(f\in L^p(\mu )\) e \(h\in L^q(\mu )\), então \(fh\in L^1(\mu )\) e

\[ \int |fh|\, \d\mu \leq \| f\| _p\| h\| _q. \]

Demonstração ▼

A desigualdade de Young

\[ uv\leq \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}, \qquad u,v\geq 0, \]

segue da convexidade de \(t\mapsto t^p/p\) ou, equivalentemente, do cálculo elementar do mínimo do lado direito menos \(uv\). Se uma das normas é zero, a conclusão segue do Teorema 5.7. Caso contrário, aplique Young a

\[ u=\frac{|f|}{\| f\| _p}, \qquad v=\frac{|h|}{\| h\| _q} \]

e integre. Como \(1/p+1/q=1\), obtemos

\[ \frac{\int |fh|\, \d\mu }{\| f\| _p\| h\| _q} \leq \frac1p\int \frac{|f|^p}{\| f\| _p^p}\, \d\mu +\frac1q\int \frac{|h|^q}{\| h\| _q^q}\, \d\mu =\frac1p+\frac1q=1. \]

Proposição 5.22 (Desigualdade de Minkowski)

Seja \(1\leq p\leq \infty \). Se \(f,g\in \L ^p(\Omega ,\mathcal{F},\mu )\), então \(f+g\in \L ^p(\Omega ,\mathcal{F},\mu )\) e

\[ \left\lVert f+g\right\rVert _p\leq \left\lVert f\right\rVert _p+\left\lVert g\right\rVert _p. \]

Demonstração ▼

Como \(|f+g|\leq |f|+|g|\), basta provar a desigualdade para funções não negativas. De fato,

\begin{align*} \left\lVert f + g\right\rVert _p & \leq \left\lVert \left\lvert f\right\rvert + \left\lvert g\right\rvert \right\rVert _p. \end{align*}

O caso \(p=1\) segue imediatamente da linearidade da integral. Para \(p=\infty \), quase certamente,

\[ |f+g|\leq |f|+|g|\leq \| f\| _\infty +\| g\| _\infty , \]

de modo que \(f+g\in \L ^\infty \) e a desigualdade segue tomando o supremo essencial.

Para \(1\lt p\lt \infty \), primeiro demonstraremos que \( f + g \in \L ^p (\Omega , \mathcal{F}, \mu ) : \)

\begin{align*} (f + g) ^p \leq 2^{p-1}(f^p+g^p). \end{align*}

e, portanto, \( \left\lVert f + g\right\rVert _p ^p \leq 2 ^{p-1} (\left\lVert f\right\rVert _p ^p + \left\lVert g\right\rVert _p ^p) \lt \infty \)

Para provar a desigualdade triangular, note que podemos supor que \( \left\lVert f + g\right\rVert _p\gt 0 \) caso contrário, a desigualdade triangular segue da positividade da norma. Escrevemos

\begin{align*} \left\lVert f + g\right\rVert _p ^p & = \int (f + g) ^p \, \d(\mu ) = \int f (f + g) ^{p-1} \, \d(\mu ) + \int g (f + g) ^{p-1} \, \d(\mu ) \\ \end{align*}

Agora podemos aplicar a desigualdade de Hölder, provada no Lema 5.21, a cada termo do lado direito e usar o fato de que \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \) é equivalente a \( p = (p-1) q \) para ver que

\begin{align*} \int f (f + g) ^{p-1} \, \d(\mu ) & \leq \left(\int f ^p \, \d(\mu ) \right) ^\frac {1} {p} \left(\int (f + g) ^{(p-1) q} \, \d(\mu ) \right) ^\frac {1} {q} = \left\lVert f\right\rVert _p \left\lVert f + g\right\rVert _p ^{p / q} \end{align*}

Aplicando este argumento ao termo \( \int g (f + g) ^{p-1} \, \d(\mu ) \) temos

\begin{align*} \left\lVert f + g\right\rVert _p ^p & \leq (\left\lVert f\right\rVert _p + \left\lVert g\right\rVert _p) \cdot \left\lVert f + g\right\rVert _p ^{p / q} \end{align*}

dividindo por \( \left\lVert f + g\right\rVert _p ^{p / q} \) e usando que \( p - \frac{p}{q} = 1 \) podemos concluir que \( \left\lVert f + g\right\rVert _p \leq \left\lVert f\right\rVert _p + \left\lVert g\right\rVert _p .\)

As demais propriedades de norma são imediatas: a homogeneidade vem da linearidade da integral, e \(\| f\| _p=0\) implica \(f=0\) quase certamente pelo Teorema 5.7. Juntamente com Minkowski, isso mostra que \(L^p\) é um espaço vetorial normado.

Proposição 5.23 (Completude de \(\L ^p\))

Para \(1\leq p\lt \infty \), o espaço vetorial normado \( \L ^p (\Omega , \mathcal{F}, \mu ) \) é completo.

Demonstração ▼

Seja \((f_n)\) uma sequência de Cauchy em \(\L ^p(\Omega ,\mathcal{F},\mu )\). Escolha recursivamente \(1\leq n_1\lt n_2\lt \cdots \) de modo que, para cada \(j\geq 1\),

\[ \| f_m-f_n\| _p\leq 2^{-j} \quad \text{sempre que }m,n\geq n_j. \]

Em particular, \(\| f_{n_{j+1}}-f_{n_j}\| _p\leq 2^{-j}\). Para

\[ G_N=\sum _{j=1}^N|f_{n_{j+1}}-f_{n_j}|, \]

a desigualdade de Minkowski fornece

\begin{align*} \| G_N\| _p & \leq \sum _{j=1}^N\| f_{n_{j+1}}-f_{n_j}\| _p \leq \sum _{j=1}^N2^{-j}\leq 1. \end{align*}

Como \(G_N\uparrow G:=\sum _{j=1}^\infty |f_{n_{j+1}}-f_{n_j}|\), o Teorema da Convergência Monótona implica \(\| G\| _p\leq 1\). Em particular, \(G\lt \infty \) quase certamente. Fora de um conjunto nulo, a série dos incrementos converge absolutamente; logo \((f_{n_j})\) é uma sequência de Cauchy em \(\mathbb {R}\). Defina \(f\) como seu limite nesse conjunto e como zero no complementar. A função \(f\) é mensurável.

Resta voltar da subsequência à sequência original. Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(N\) tal que \(\| f_m-f_n\| _p\lt \varepsilon \) sempre que \(m,n\geq N\). Para \(n\geq N\), o lema de Fatou e a convergência \(f_{n_j}\to f\) quase certamente dão

\[ \| f-f_n\| _p^p \leq \liminf _{j\to \infty }\| f_{n_j}-f_n\| _p^p \leq \varepsilon ^p. \]

Assim \(f-f_n\in \L ^p\), donde \(f\in \L ^p\), e a mesma estimativa mostra que \(\| f_n-f\| _p\to 0\). Portanto \(\L ^p\) é completo.

Sabemos que funções mensuráveis podem ser aproximadas pontualmente por funções simples. Para os espaços \(\L ^p\), essa aproximação pode ser feita também na norma.

Lema 5.24

Para \(1\leq p\lt \infty \), as funções simples integráveis são densas em \(\L ^p(\Omega ,\mathcal{F},\mu )\).

Demonstração ▼

Seja primeiro \(f\geq 0\) em \(\L ^p\). Pelo teorema de aproximação por funções simples, existem funções simples \(0\leq s_n\uparrow f\). Como \(0\leq f-s_n\leq f\),

\[ |f-s_n|^p\leq |f|^p, \]

e o lado direito é integrável. Pelo Teorema da Convergência Dominada, \(\left\lVert f-s_n\right\rVert _p\to 0\).

Para \(f\) real arbitrária, aplique o argumento a \(f^+\) e \(f^-\): escolha funções simples \(g_n\) e \(h_n\) tais que \(\left\lVert f^+-g_n\right\rVert _p\to 0\) e \(\left\lVert f^--h_n\right\rVert _p\to 0\). Então \(g_n-h_n\) é simples e, pela desigualdade de Minkowski,

\[ \left\lVert f-(g_n-h_n)\right\rVert _p \leq \left\lVert f^+-g_n\right\rVert _p+\left\lVert f^--h_n\right\rVert _p\longrightarrow 0. \]

A construção a partir de funções simples forneceu teoremas de passagem ao limite e espaços \(L^p\) completos. Essa combinação explica o papel da integral de Lebesgue na probabilidade: os limites não entram como um remendo posterior; participam da construção desde o início.

Exercício 5.1

Seja \(C\subseteq [0,1]\) o conjunto de Cantor e seja \(\lambda \) a medida de Lebesgue. Calcule

\[ \int _C x^2\, \d\lambda (x). \]

Indique qual propriedade de \(C\) torna o cálculo imediato.

Ver solução

O conjunto de Cantor tem medida de Lebesgue zero. Como \(x^2\) é limitada em \([0,1]\), sua integral sobre um conjunto nulo é nula: \(\int _Cx^2\, \d\lambda =0\).

Exercício 5.2

Seja \(u\in L^1(\mathbb {R})\) e defina

\[ U(t)=\int _{\mathbb {R}}u(x)\cos (xt)\, \d x, \qquad t\in \mathbb {R}. \]

Use o Teorema da Convergência Dominada para provar que \(U\) é contínua em todo ponto de \(\mathbb {R}\).

Ver solução

Se \(t_n\to t\), então \(u(x)\cos (xt_n)\to u(x)\cos (xt)\) pontualmente e \(|u(x)\cos (xt_n)|\leq |u(x)|\in L^1\). Pela Convergência Dominada, \(U(t_n)\to U(t)\).

Exercício 5.3

Seja \((X,\mathcal F,\mu )\) um espaço de medida e sejam \(A_1,A_2,\ldots \in \mathcal F\). Prove que

\[ \mu \left( \bigcup _{N=1}^{\infty }\bigcap _{n=N}^{\infty }A_n \right) \leq \liminf _{n\to \infty }\mu (A_n). \]

Reescreva o conjunto do lado esquerdo como \(\liminf A_n\) e identifique o teorema de convergência usado na prova.

Ver solução

Ponha \(B_N=\bigcap _{n\geq N}A_n\). Então \(B_N\uparrow \liminf A_n\) e, para todo \(n\geq N\), \(\mu (B_N)\leq \mu (A_n)\); logo \(\mu (B_N)\leq \inf _{n\geq N}\mu (A_n)\). Pela continuidade por baixo da medida (equivalentemente, Convergência Monótona aplicada a \(\mathbb {1}_{B_N}\)),

\[ \mu (\liminf A_n)=\lim _N\mu (B_N) \leq \lim _N\inf _{n\geq N}\mu (A_n)=\liminf _n\mu (A_n). \]

Exercício 5.4

Seja \(f:X\to [0,\infty ]\) mensurável. Para \(n\geq 1\), defina

\[ f_n=(2^{-n}\lfloor 2^n f\rfloor )\wedge n, \]

adotando a convenção \(f_n(x)=n\) quando \(f(x)=\infty \). Prove que cada \(f_n\) é simples e mensurável e que

\[ 0\leq f_n\uparrow f \qquad \text{pontualmente}. \]

Explique por que essa construção fornece a aproximação por funções simples usada na definição da integral de Lebesgue.

Ver solução

\(f_n\) assume apenas os valores \(k2^{-n}\), \(0\leq k\lt n2^n\), e \(n\); suas fibras são pré-imagens de intervalos por \(f\), logo é simples e mensurável. A desigualdade \(2^{-(n+1)}\lfloor 2^{n+1}x\rfloor \geq 2^{-n}\lfloor 2^nx\rfloor \), junto com o aumento do truncamento, dá \(f_n\leq f_{n+1}\leq f\). Se \(f(x)\lt \infty \), o erro de arredondamento é menor que \(2^{-n}\) quando \(n\gt f(x)\); se \(f(x)=\infty \), \(f_n(x)=n\). Portanto \(f_n\uparrow f\). Assim \(\int f=\lim _n\int f_n\) pela Convergência Monótona, que é a aproximação canônica por simples.