Capítulo 17

Teoria ergódica

Distribuições invariantes descrevem equilíbrio; a teoria ergódica pergunta o que pode ser recuperado desse equilíbrio ao longo de uma única trajetória. Sob hipóteses adequadas, médias temporais convergem para médias probabilísticas.

17.1 Transformações que preservam medida

Seja \((\Omega ,\mathcal{F},\P )\) um espaço de probabilidade e \(T:\Omega \to \Omega \) mensurável.

Definição 17.1 (Preservação de medida)
Dizemos que \(T\) preserva \(\P \) se
\[ \P (T^{-1}A)=\P (A) \qquad \text{para todo }A\in \mathcal{F}. \]

Quando \(T\) preserva medida, observar

\[ \omega ,\quad T\omega ,\quad T^2\omega ,\quad \ldots \]

não altera a distribuição marginal. Para \(f\in L^1\), definimos a média orbital

\[ A_nf(\omega ) = \frac1n\sum _{k=0}^{n-1}f(T^k\omega ). \]

A questão central será saber se essas médias convergem e o que permanece no limite. Em geral, pode sobreviver alguma informação preservada pela dinâmica. A ergodicidade corresponde ao caso em que essa informação invariante é trivial.

Definição 17.2 (Eventos invariantes e ergodicidade)
A \(\sigma \)-álgebra invariante de \(T\) é
\[ \mathcal I_T = \{ A\in \mathcal{F}:\P (T^{-1}A\triangle A)=0\} . \]
A transformação \(T\) é ergódica se todo \(A\in \mathcal I_T\) satisfaz
\[ \P (A)\in \{ 0,1\} . \]

Ergodicidade não significa independência. Ela afirma que o sistema não possui uma decomposição mensurável não trivial preservada pela dinâmica.

Proposição 17.3
Uma transformação que preserva medida é ergódica se, e somente se, toda função mensurável \(f\) tal que
\[ f\circ T=f\qquad \text{q.c.} \]
é constante quase certamente.

Demonstração ▼

Se \(T\) é ergódica e \(f\circ T=f\), então \(\{ f\le a\} \in \mathcal I_T\) para todo \(a\in \mathbb R\). A função de distribuição de \(f\) só pode assumir os valores \(0\) e \(1\), logo a lei de \(f\) é degenerada.

Reciprocamente, se \(A\in \mathcal I_T\), então \(\mathbb {1}_A\circ T=\mathbb {1}_A\) quase certamente. Pela hipótese, \(\mathbb {1}_A\) é constante quase certamente, e portanto \(\P (A)\in \{ 0,1\} \).

17.2 Recorrência de Poincaré

Antes de estudar médias temporais, há uma consequência elementar da preservação de medida que já contém uma ideia ergódica importante: conjuntos de probabilidade positiva são revisitados. A razão é simples. Num espaço de medida finita, um conjunto de massa positiva não pode produzir indefinidamente cópias disjuntas de mesma massa.

Teorema 17.4 (Recorrência de Poincaré)
Se \(T\) preserva \(\P \) e \(A\in \mathcal{F}\) tem \(\P (A)\gt 0\), então, para quase todo \(\omega \in A\), existem infinitos \(n\ge 1\) tais que
\[ T^n\omega \in A. \]

Demonstração ▼

Seja

\[ B=\{ \omega \in A:T^n\omega \notin A\text{ para todo }n\ge 1\} . \]

Os conjuntos \(T^{-k}B\), \(k\ge 0\), são disjuntos. De fato, se \(i\lt j\) e \(\omega \) pertencesse a \(T^{-i}B\cap T^{-j}B\), então \(T^i\omega \in B\) retornaria a \(A\) no instante \(j-i\), contradizendo a definição de \(B\).

Como \(T\) preserva medida,

\[ \P (T^{-k}B)=\P (B) \]

para todo \(k\). A soma das probabilidades dos conjuntos disjuntos \(T^{-k}B\) não pode exceder um, logo \(\P (B)=0\).

Se um ponto de \(A\) retornasse apenas um número finito de vezes, sua última visita produziria um ponto de \(B\). O conjunto desses pontos está contido em \(\bigcup _{k\ge 0}T^{-k}B\), que é nulo.

17.3 O Teorema Ergódico de Birkhoff

Para provar a convergência das médias orbitais, precisaremos controlar o crescimento das somas parciais. A desigualdade seguinte fará esse trabalho. Para \(f\in L^1\), escreva

\[ S_nf=\sum _{k=0}^{n-1}f\circ T^k. \]

Lema 17.5 (Desigualdade maximal ergódica)
Se \(T\) preserva medida e \(f\in L^1\), então, para
\[ E_n=\left\{ \max _{1\le k\le n}S_kf\gt 0\right\} , \]
vale
\[ \int _{E_n}f\, d\P \ge 0. \]
Consequentemente, se \(g\ge 0\) e \(\lambda \gt 0\),
\[ \P \left(\sup _{n\ge 1}A_ng\gt \lambda \right) \le \frac{\| g\| _1}{\lambda }. \]

Demonstração ▼

Ponha

\[ M_n=\max \{ 0,S_1f,\ldots ,S_nf\} . \]

Como

\[ S_kf=f+(S_{k-1}f)\circ T, \]

no evento \(E_n=\{ M_n\gt 0\} \) temos

\[ M_n \le f+M_n\circ T. \]

Fora de \(E_n\), \(M_n=0\), e portanto, em todo \(\Omega \),

\[ f\mathbb {1}_{E_n}\ge M_n-M_n\circ T. \]

Integrando e usando a invariância de \(\P \),

\[ \int _{E_n}f\, d\P \ge \int M_n\, d\P -\int M_n\circ T\, d\P =0. \]

Aplique agora a primeira parte a \(g-\lambda \). O evento correspondente é

\[ \left\{ \max _{1\le k\le n}A_kg\gt \lambda \right\} , \]

e a desigualdade obtida é

\[ \lambda \P (E_n)\le \int _{E_n}g\, d\P \le \| g\| _1. \]

Fazendo \(n\to \infty \), segue a forma maximal.

A prova pode ser feita diretamente em \(L^1\). A ideia é retirar de \(f\) sua parte invariante e mostrar, pela desigualdade maximal, que o restante não pode ter média orbital persistentemente positiva nem negativa.

Teorema 17.6 (Teorema Ergódico de Birkhoff)
Se \(T\) preserva \(\P \) e \(f\in L^1(\P )\), então
\[ A_nf = \frac1n\sum _{k=0}^{n-1}f\circ T^k \longrightarrow \mathbf{E}[f\mid \mathcal I_T] \qquad \text{q.c.} \]
Em particular, se \(T\) é ergódica,
\[ A_nf\longrightarrow \mathbf{E}f \qquad \text{q.c.} \]

Demonstração ▼

Ponha

\[ m=\mathbf{E}[f\mid \mathcal I_T]. \]

Como \(m\) é \(\mathcal I_T\)-mensurável, temos \(m\circ T=m\) q.c.; basta aplicar a definição de \(\mathcal I_T\) aos conjuntos \(\{ m\le a\} \), \(a\in \mathbb Q\).

Fixe \(\varepsilon \gt 0\) e escreva

\[ \psi =f-m-\varepsilon . \]

Considere

\[ A=\left\{ \sup _{n\ge 1}S_n\psi =\infty \right\} . \]

A identidade

\[ S_n\psi \circ T=S_{n+1}\psi -\psi \]

mostra que \(A\in \mathcal I_T\).

Aplique o Lema 17.5 a \(\psi \mathbb {1}_A\). Pela invariância de \(A\),

\[ S_n(\psi \mathbb {1}_A)=\mathbb {1}_A S_n\psi \qquad \text{q.c.} \]

Os eventos maximais correspondentes crescem para \(A\); logo, pela Convergência Dominada,

\[ \int _A\psi \, d\P \ge 0. \]

Mas, como \(A\in \mathcal I_T\),

\[ \int _A(f-m)\, d\P =0, \]

e portanto

\[ 0\le \int _A\psi \, d\P =-\varepsilon \P (A). \]

Assim \(\P (A)=0\).

Logo \(\sup _nS_n\psi \lt \infty \) quase certamente e

\[ \limsup _{n\to \infty }A_nf\le m+\varepsilon . \]

Aplicando o mesmo argumento a \(-f\),

\[ \liminf _{n\to \infty }A_nf\ge m-\varepsilon . \]

Tomando \(\varepsilon =1/j\), \(j\ge 1\), concluímos

\[ A_nf\longrightarrow m=\mathbf{E}[f\mid \mathcal I_T] \qquad \text{q.c.} \]

Se \(T\) é ergódica, \(m\) é constante quase certamente; como \(\mathbf{E}m=\mathbf{E}f\), essa constante é \(\mathbf{E}f\).

Observação 17.7
Em \(L^2\), o mesmo limite possui uma interpretação geométrica. A esperança condicional \(\mathbf{E}[f\mid \mathcal I_T]\) é a projeção ortogonal de \(f\) sobre o subespaço das funções invariantes. Assim, Birkhoff também pode ser visto como uma afirmação de que as médias orbitais selecionam a componente invariante de \(f\). A prova acima, porém, trabalha diretamente no espaço natural do teorema, \(L^1\).

17.4 Três médias temporais

O Teorema de Birkhoff ganha conteúdo quando escolhemos a transformação e o observável. Os três exemplos seguintes mostram situações bastante diferentes: independência, dinâmica determinística e dependência markoviana.

17.4.1 O shift de Bernoulli e a Lei Forte

Seja \((E,\mathcal E,\mu )\) um espaço de probabilidade e considere

\[ \Omega =E^{\mathbb N}, \qquad \P =\mu ^{\mathbb N}. \]

O shift é

\[ T(\omega _0,\omega _1,\omega _2,\ldots ) = (\omega _1,\omega _2,\omega _3,\ldots ). \]

Proposição 17.8
O shift de Bernoulli preserva a medida produto e é ergódico.

Demonstração ▼

A invariância da medida produto é imediata nos cilindros e se estende à \(\sigma \)-álgebra produto. Se \(A\) é invariante, então, para todo \(n\), \(A=T^{-n}A\) a menos de conjunto nulo. Mas \(T^{-n}A\) depende apenas das coordenadas \(n,n+1,\ldots \). Assim \(A\) pertence, módulo conjuntos nulos, à \(\sigma \)-álgebra caudal. Pela Lei zero–um de Kolmogorov, \(\P (A)\in \{ 0,1\} \).

Se \(X_k(\omega )=\omega _k\) e \(\mu \) é uma probabilidade em \(\mathbb R\) com primeiro momento finito, então \(X_k=X_0\circ T^k\). Birkhoff fornece

\[ \frac{X_0+\cdots +X_{n-1}}n \longrightarrow \mathbf{E}X_0 \qquad \text{q.c.} \]

A Lei Forte dos Grandes Números reaparece, portanto, como um teorema sobre médias orbitais. A mesma ideia permite contar padrões locais ao longo de uma trajetória.

No shift de moedas justas, fixe uma palavra binária \(w\) de comprimento \(r\) e seja \(f_w\) a indicadora de que as primeiras \(r\) coordenadas formam \(w\). Então

\[ \mathbf{E}f_w=2^{-r}, \]

e Birkhoff mostra que, para quase toda sequência,

\[ \frac1n \# \{ 0\le k\lt n:(\omega _k,\ldots ,\omega _{k+r-1})=w\} \longrightarrow 2^{-r}. \]

Interpretando a sequência como expansão binária, obtemos que quase todo número de \([0,1]\) é normal em base \(2\).

17.4.2 Rotação irracional

Considere o círculo \(\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z\), com medida de Lebesgue, e

\[ T_\alpha (x)=x+\alpha \pmod1. \]

A transformação preserva medida.

Proposição 17.9
Se \(\alpha \notin \mathbb Q\), então \(T_\alpha \) é ergódica.

Demonstração ▼

Se \(A\) é invariante, ponha \(h=\mathbb {1}_A\). Então \(h(x+\alpha )=h(x)\) quase certamente. Para o coeficiente de Fourier de ordem \(k\),

\[ \widehat h(k) = \int _0^1h(x)e^{-2\pi ikx}\, dx = e^{2\pi ik\alpha }\widehat h(k). \]

Se \(k\ne 0\), a irracionalidade de \(\alpha \) implica \(e^{2\pi ik\alpha }\ne 1\), logo \(\widehat h(k)=0\). Pela densidade dos polinômios trigonométricos, \(h\) é constante quase certamente. Como \(h\) é indicadora, \(\lambda (A)\in \{ 0,1\} \).

Aplicando Birkhoff à indicadora de um intervalo \(I\subset \mathbb T\),

\[ \frac1n \# \{ 0\le k\lt n:T_\alpha ^kx\in I\} \longrightarrow |I| \]

para quase todo \(x\). Esse exemplo separa duas ideias que podem parecer próximas no início: ergodicidade não exige independência nem sequer uma dinâmica aleatória.

17.4.3 Frequências em cadeias de Markov

Uma distribuição invariante diz que a lei de uma cadeia estacionária não muda com o tempo. A ergodicidade acrescenta algo diferente: ao longo de uma única trajetória, as frequências empíricas recuperam essa distribuição. No espaço de trajetórias, isso é novamente uma aplicação de Birkhoff ao shift.

Se \((X_n)\) é uma cadeia estacionária ergódica com distribuição invariante \(\pi \), então, para toda função integrável \(f\),

\[ \frac1n\sum _{k=0}^{n-1}f(X_k) \longrightarrow \sum _x f(x)\pi (x) \qquad \text{q.c.} \]

no caso enumerável. Em particular,

\[ \frac1n\# \{ 0\le k\lt n:X_k=x\} \longrightarrow \pi (x). \]

Cadeias finitas irreducíveis, iniciadas em sua distribuição invariante, fornecem o exemplo básico dessa situação.

17.5 ↯Ergodicidade espacial e percolação

Até aqui, as médias foram tomadas ao longo do tempo, isto é, de uma órbita gerada por uma única transformação. Em modelos espaciais, a mesma ideia usa as translações do reticulado e médias sobre regiões cada vez maiores. Seja \((\tau _x)_{x\in \mathbb Z^d}\) uma ação de \(\mathbb Z^d\) que preserva \(\P \). Escreva

\[ \Lambda _n=[-n,n]^d\cap \mathbb Z^d. \]

Usaremos a versão multidimensional do teorema ergódico.

Teorema 17.10 (Teorema ergódico espacial)
Se a ação \((\tau _x)_{x\in \mathbb Z^d}\) é ergódica e \(f\in L^1\), então
\[ \frac1{|\Lambda _n|} \sum _{x\in \Lambda _n}f(\tau _x\omega ) \longrightarrow \mathbf{E}f \qquad \text{q.c.} \]

A demonstração multiparamétrica não será desenvolvida aqui; a forma acima é a única de que precisaremos.

Considere agora percolação de elos de Bernoulli em \(\mathbb Z^d\): cada aresta entre vizinhos mais próximos está aberta com probabilidade \(p\), de modo independente das demais. A medida produto é denotada por \(\P _p\).

Proposição 17.11
As translações de \(\mathbb Z^d\) agem ergodicamente em \((\Omega ,\P _p)\).

Demonstração ▼

Se \(A\) e \(B\) são eventos cilíndricos, então, para \(|x|\) suficientemente grande, \(A\) e \(\tau _xB\) dependem de conjuntos disjuntos de arestas. Logo

\[ \P _p(A\cap \tau _xB)=\P _p(A)\P _p(B). \]

A aproximação de eventos mensuráveis por cilindros estende essa convergência a todos \(A,B\in \mathcal{F}\):

\[ \P _p(A\cap \tau _xB)\longrightarrow \P _p(A)\P _p(B) \qquad \text{quando }|x|\to \infty . \]

Se \(A\) é invariante por translações, o lado esquerdo é sempre \(\P _p(A)\). Portanto

\[ \P _p(A)=\P _p(A)^2, \]

e \(\P _p(A)\in \{ 0,1\} \).

A primeira consequência não exige sequer formar médias. Seja \(N_\infty \) o número de clusters abertos infinitos. Como

\[ N_\infty (\tau _x\omega )=N_\infty (\omega ), \]

a ergodicidade implica imediatamente que existe

\[ c\in \{ 0,1,2,\ldots ,\infty \} \]

tal que

\[ N_\infty =c \qquad \P _p\text{-q.c.} \]

A teoria ergódica não determina o valor de \(c\); isso exige argumentos adicionais de percolação. Ela mostra algo anterior e fundamental: o número macroscópico de clusters infinitos não continua aleatório.

A segunda consequência já é uma média espacial. Se \(C(x)\) é o cluster aberto de \(x\) e

\[ \theta (p)=\P _p(|C(0)|=\infty ), \]

aplique o Teorema 17.10 a

\[ f(\omega )=\mathbb {1}_{\{ |C(0)|=\infty \} }. \]

Obtemos

\[ \frac1{|\Lambda _n|} \sum _{x\in \Lambda _n} \mathbb {1}_{\{ |C(x)|=\infty \} } \longrightarrow \theta (p) \qquad \text{q.c.} \]

Assim, a probabilidade de a origem pertencer a um cluster infinito reaparece como a densidade espacial dos vértices que pertencem a clusters infinitos.

A mesma ideia fornece uma quantidade mais refinada: a densidade de clusters. Adote a convenção \(1/\infty =0\) e defina

\[ \kappa (p) = \mathbf{E}_p\left[\frac1{|C(0)|}\right]. \]

Se \(K_n\) denota o número de componentes do subgrafo aberto induzido por \(\Lambda _n\), então

\[ \frac{K_n}{|\Lambda _n|} \longrightarrow \kappa (p) \qquad \text{q.c.} \]

De fato, o teorema ergódico espacial dá

\[ \frac1{|\Lambda _n|} \sum _{x\in \Lambda _n}\frac1{|C(x)|} \longrightarrow \kappa (p). \]

Cada cluster finito inteiramente contido em \(\Lambda _n\) contribui exatamente uma unidade à soma. As discrepâncias vêm apenas de clusters que encontram a fronteira. Se \(\partial \Lambda _n\) é a fronteira interna da caixa, cada componente produzida por esse corte contém ao menos um vértice de \(\partial \Lambda _n\), e portanto

\[ \left| K_n- \sum _{x\in \Lambda _n}\frac1{|C(x)|} \right| \le 2|\partial \Lambda _n|. \]

Como

\[ \frac{|\partial \Lambda _n|}{|\Lambda _n|}\longrightarrow 0, \]

segue a convergência anunciada.

A teoria ergódica transforma, assim, médias probabilísticas em frequências observáveis.

Exercício 17.1 (title=Funções invariantes,difficulty=2)
Se \(T\) preserva medida e \(f\in L^1\) satisfaz \(f\circ T=f\) quase certamente, mostre que, se \(T\) é ergódica,
\[ f=\mathbf{E}f \qquad \text{q.c.} \]
Ver solução
Pela Proposição 17.3, \(f\) é constante quase certamente, digamos \(f=c\). Como \(f\) é integrável, \(c=\mathbf{E}f\).

Exercício 17.2 (title=Rotação racional não é ergódica,difficulty=2)
Se \(\alpha =p/q\in \mathbb Q\), com \(p,q\) coprimos, mostre que a rotação \(T_\alpha (x)=x+\alpha \pmod1\) não é ergódica.
Ver solução
A função
\[ f(x)=\cos (2\pi qx) \]
não é constante e satisfaz
\[ f(x+\alpha ) = \cos (2\pi qx+2\pi p) = f(x). \]
Logo existe uma função invariante não constante, e a Proposição 17.3 mostra que a rotação não é ergódica.

Exercício 17.3 (title=O mapa duplicador,difficulty=3)
Considere \(T(x)=2x\pmod1\) em \([0,1)\) com medida de Lebesgue.

  1. Use a expansão binária para relacionar \(T\) ao shift de moedas justas.

  2. Conclua que \(T\) é ergódica.

  3. Mostre que, para quase todo \(x\),

    \[ \frac1n\# \{ 0\le k\lt n:T^kx\in [0,1/2)\} \longrightarrow \frac12. \]
Ver solução
Fora do conjunto enumerável dos números diádicos, escreva
\[ x=0.\omega _1\omega _2\omega _3\ldots \quad \text{em base }2. \]
Multiplicar por dois módulo um remove o primeiro dígito:
\[ Tx=0.\omega _2\omega _3\ldots . \]
Sob Lebesgue, os dígitos são Bernoulli\((1/2)\) independentes; portanto o mapa é mensuravelmente equivalente ao shift de Bernoulli, que é ergódico. Birkhoff aplicado à indicadora de \([0,1/2)\) fornece a frequência \(1/2\).

Exercício 17.4 (title=Frequência de visitas de uma cadeia,difficulty=2)
Se \((X_n)\) é uma cadeia estacionária ergódica em um espaço enumerável, com distribuição invariante \(\pi \), prove que, para cada estado \(x\),
\[ \frac1n\sum _{k=0}^{n-1}\mathbb {1}_{\{ X_k=x\} } \longrightarrow \pi (x) \qquad \text{q.c.} \]
Ver solução
No espaço de trajetórias, tome \(f(\omega )=\mathbb {1}_{\{ \omega _0=x\} }\). Então \(f\circ T^k=\mathbb {1}_{\{ X_k=x\} }\) e \(\mathbf{E}f=\P (X_0=x)=\pi (x)\). O resultado é Birkhoff aplicado ao shift estacionário ergódico.

Exercício 17.5 (title=Densidades locais em percolação,difficulty=3)
Na percolação de elos de Bernoulli em \(\mathbb Z^d\):

  1. mostre que a densidade de arestas abertas em caixas crescentes converge quase certamente para \(p\);

  2. mostre que a densidade de vértices cujas \(2d\) arestas incidentes estão fechadas converge quase certamente para

    \[ (1-p)^{2d}. \]
Ver solução

Escolha uma regra translacional para contar cada aresta exatamente uma vez, por exemplo apenas arestas orientadas nas direções coordenadas positivas. A indicadora de que a aresta na origem está aberta tem esperança \(p\); o Teorema 17.10 fornece a primeira convergência.

Para o segundo item, use a indicadora de que todas as \(2d\) arestas incidentes à origem estão fechadas. Pela independência, sua esperança é \((1-p)^{2d}\). A média espacial dessa indicadora é precisamente a densidade correspondente, e o mesmo teorema conclui.