Capítulo 3

Independência

3.1 Condicionamento por eventos

Receber a informação de que um evento $B$ ocorreu modifica o espaço em que calculamos probabilidades: descartamos $B^c$ e renormalizamos a massa que permanece. Essa operação elementar é a origem da probabilidade condicional.

Definição 3.1 (Probabilidade condicional)

Dado um espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},\P )$ e eventos $A,B\in \mathcal{F}$, com $\P (B)\gt 0$, a probabilidade condicional de $A$ dado $B$ é

\[ \P (A\mid B)=\frac{\P (A\cap B)}{\P (B)}. \]

Para $B$ fixo, essa renormalização é ela própria uma probabilidade no espaço mensurável traço.

Teorema 3.2

Dado um espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},\P )$ e $B\in \mathcal{F}$ com $\P (B)\gt 0$, defina a $\sigma $-álgebra traço

\[ \mathcal{F}_B=\{ A\cap B:A\in \mathcal{F}\} . \]

Então

\[ \bigl(B,\mathcal{F}_B,\P (\, \cdot \, \mid B)\bigr) \]

é um espaço de probabilidade.

Demonstração ▼

A família $\mathcal{F}_B$ é a $\sigma $-álgebra traço em $B$, e $D\mapsto \P (D)/\P (B)$ é a restrição normalizada de $\P $ a essa $\sigma $-álgebra. A normalização e a $\sigma $-aditividade são imediatas.

Exemplo 3.3 (Inspeção automática com tempo máximo)

Uma inspeção automática pode terminar antes do prazo ou, se a análise não for concluída antecipadamente, permanecer ativa até o tempo máximo de $40$ minutos. Seja $T$ sua duração. Suponha que

\[ \P (T\lt t)=\frac{t}{60}, \qquad 0\leq t\leq 40. \]

Sabendo que a inspeção ainda está em andamento após $30$ minutos, qual é a probabilidade de ela permanecer ativa até os $40$ minutos?

Seja $F=\{ T=40\} $ o evento de a inspeção atingir o tempo máximo. Como

\[ \P (T\lt 40)=\frac{40}{60}=\frac23, \]

temos

\[ \P (F)=1-\frac23=\frac13. \]

Por outro lado,

\[ \P (T\geq 30) = 1-\P (T\lt 30) = 1-\frac{30}{60} = \frac12. \]

Como $F\subseteq \{ T\geq 30\} $,

\[ \P (F\mid T\geq 30) = \frac{\P (F)}{\P (T\geq 30)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac23. \]

O modelo possui, portanto, uma parte contínua antes de $40$ minutos e uma massa de probabilidade no próprio tempo máximo: toda inspeção que não termina antes do limite fica acumulada em $T=40$.

A regra seguinte é uma das maneiras mais úteis de desfazer um condicionamento. Se o espaço é dividido em casos mutuamente exclusivos, calculamos a probabilidade de $A$ em cada caso e depois fazemos a média ponderada desses valores.

Teorema 3.4 (Lei da probabilidade total)

Se $\{ B_1,B_2,\ldots \} $ é uma partição enumerável de $\Omega $ por eventos de probabilidade positiva, então, para todo $A\in \mathcal{F}$,

\[ \P (A)=\sum _{i\geq 1}\P (A\mid B_i)\P (B_i). \]

Demonstração ▼

Como $A=\dot\bigcup _{i\geq 1}(A\cap B_i)$,

\[ \P (A)=\sum _{i\geq 1}\P (A\cap B_i) =\sum _{i\geq 1}\P (A\mid B_i)\P (B_i). \]

A mesma identidade de interseção pode ser lida na direção oposta:

\[ \P (A\cap B) = \P (A\mid B)\P (B) = \P (B\mid A)\P (A). \]

Essa observação fornece a fórmula de Bayes.

Teorema 3.5 (Fórmula de Bayes)

Se $A,B\in \mathcal{F}$, com $\P (A)\gt 0$ e $\P (B)\gt 0$, então

\[ \P (B\mid A) = \frac{\P (A\mid B)\P (B)}{\P (A)}. \]

Demonstração ▼

Basta usar $\P (A\cap B)=\P (A\mid B)\P (B)=\P (B\mid A)\P (A)$ e dividir por $\P (A)$.

Quando as hipóteses possíveis formam uma partição, a lei da probabilidade total substitui o denominador por uma soma explícita.

Teorema 3.6 (Fórmula de Bayes para uma partição)

Se $A_1,\ldots ,A_n$ formam uma partição de $\Omega $, $\P (A_i)\gt 0$ para todo $i$, e $B\in \mathcal{F}$ satisfaz $\P (B)\gt 0$, então

\[ \P (A_i\mid B) = \frac{\P (A_i)\P (B\mid A_i)}{\sum _{j=1}^{n}\P (A_j)\P (B\mid A_j)}. \]

Demonstração ▼

A identidade $\P (A_i\cap B)=\P (A_i)\P (B\mid A_i)=\P (B)\P (A_i\mid B)$, combinada com $\P (B)=\sum _j\P (A_j)\P (B\mid A_j)$, dá a fórmula.

3.2 Independência de eventos

A informação de que $B$ ocorreu pode não alterar a probabilidade de $A$:

\[ \P (A\mid B)=\P (A). \]

Quando $\P (B)\gt 0$, essa igualdade equivale a

\[ \P (A\cap B)=\P (A)\P (B). \]

A segunda forma é simétrica e continua fazendo sentido quando algum dos eventos tem probabilidade zero. Por isso, ela será nossa definição de independência.

Definição 3.7 (Eventos independentes)

Dois eventos $A,B\in \mathcal{F}$ são independentes quando

\[ \P (A\cap B)=\P (A)\P (B). \]

Proposição 3.8

Um evento $A$ é independente dele mesmo se, e somente se,

\[ \P (A)\in \{ 0,1\} . \]

Demonstração ▼

A independência de $A$ consigo mesmo equivale a

\[ \P (A)=\P (A\cap A)=\P (A)^2. \]

Como $0\leq \P (A)\leq 1$, isso ocorre exatamente para $\P (A)=0$ ou $\P (A)=1$.

Exemplo 3.9 (Três eventos independentes dois a dois)

Considere dois dados justos e

\[ \Omega =\{ (i,j):i,j\in \{ 1,\ldots ,6\} \} , \]

com os $36$ resultados equiprováveis. Defina

\begin{align*} A & = \{ \text{o primeiro dado mostra }2\} = \{ (2,j):j=1,\ldots ,6\} ,\\ B & = \{ \text{o segundo dado mostra }4\} = \{ (i,4):i=1,\ldots ,6\} ,\\ C & = \{ \text{a soma é }7\} = \{ (i,j)\in \Omega :i+j=7\} . \end{align*}

Temos

\[ \P (A)=\P (B)=\P (C)=\frac16 \]

\[ \P (A\cap B) = \P (A\cap C) = \P (B\cap C) = \frac1{36}. \]

Logo, cada par é independente.

Entretanto, os três eventos não são independentes como família. De fato, $A\cap B$ força a soma a ser $6$, de modo que

\[ \P (C\mid A\cap B)=0\neq \P (C). \]

A independência de cada par não impede, portanto, uma dependência que só aparece quando os três eventos são considerados juntos.

O exemplo mostra que, para uma coleção de eventos, a fatoração deve valer em toda subcoleção finita, não apenas em cada par. Tampouco basta verificar a interseção de todos os eventos; o Exercício 3.2 mostra isso explicitamente.

Definição 3.10 (Família de eventos independentes)

Uma família $\{ A_k\} _{k\in K}\subseteq \mathcal{F}$ é independente se, para todo subconjunto finito não vazio $H\subseteq K$,

\[ \P \left(\bigcap _{h\in H}A_h\right) = \prod _{h\in H}\P (A_h). \]

Amostragem sem reposição é uma fonte elementar de dependência; com reposição, no modelo usual, as retiradas são independentes.

A independência também pode fazer parte da própria construção de um modelo. O exemplo seguinte mostra isso no caso clássico de infinitas moedas.

Exemplo 3.11 (Infinitas moedas)

Queremos construir um espaço de probabilidade para uma sequência infinita de lançamentos independentes de uma moeda justa. Tome

\[ \Omega =\{ 0,1\} ^{\mathbb N}, \]

onde $1$ representa cara e $0$, coroa. Para $n\geq 1$, seja $\mathcal{F}_n$ a $\sigma $-álgebra dos eventos determinados pelas primeiras $n$ coordenadas, e ponha

\[ \mathcal{F}_0=\bigcup _{n\geq 1}\mathcal{F}_n, \qquad \mathcal{F}=\sigma \langle \mathcal{F}_0\rangle . \]

A família $\mathcal{F}_0$ é uma álgebra.

Para $\varepsilon =(\varepsilon _1,\ldots ,\varepsilon _n)\in \{ 0,1\} ^n$, defina o cilindro

\[ C(\varepsilon ) = \{ \omega \in \Omega : \omega _k=\varepsilon _k,\ k=1,\ldots ,n\} . \]

Se os lançamentos devem ser justos e independentes, a probabilidade desse cilindro é necessariamente

\[ \P _0(C(\varepsilon ))=2^{-n}. \]

Essas massas são consistentes quando um cilindro é descrito em níveis diferentes, pois

\[ 2^{-n}=2^{-(n+1)}+2^{-(n+1)}. \]

Por aditividade finita, elas determinam uma probabilidade finitamente aditiva $\P _0$ em $\mathcal{F}_0$.

A construção por classes compactas do capítulo anterior mostra que $\P _0$ é uma pré-medida. O teorema de extensão de Carathéodory fornece, portanto, uma única probabilidade $\P $ em $\mathcal{F}$ que estende essas massas cilíndricas.

Agora, se

\[ H_k=\{ \omega :\omega _k=1\} , \]

então $\P (H_k)=1/2$. Para índices distintos $i_1,\ldots ,i_r$,

\[ \P (H_{i_1}\cap \cdots \cap H_{i_r})=2^{-r} = \prod _{j=1}^{r}\P (H_{i_j}), \]

de modo que os lançamentos são independentes. A independência, portanto, não foi usada circularmente para definir a medida: ela é uma consequência das probabilidades cilíndricas com que a medida foi construída.

A fatoração das interseções finitas passa ao limite por continuidade da probabilidade.

Proposição 3.12

Se $E_1,E_2,\ldots $ são eventos independentes, então

\[ \P \left(\bigcap _{i\geq 1}E_i\right) = \prod _{i\geq 1}\P (E_i), \]

onde o produto infinito é o limite dos produtos parciais.

Demonstração ▼

Os eventos

\[ D_n=\bigcap _{i=1}^{n}E_i \]

formam uma sequência decrescente. Pela continuidade da probabilidade por cima,

\[ \P \left(\bigcap _{i\geq 1}E_i\right) = \lim _{n\to \infty }\P (D_n) = \lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\P (E_i). \]

Também podemos complementar qualquer número finito de eventos sem destruir a independência.

Proposição 3.13

Se $\{ E_i:i\in I\} $ é uma família de eventos independentes e, para cada $i\in I$,

\[ F_i\in \{ E_i,E_i^c\} , \]

então $\{ F_i:i\in I\} $ é independente.

Demonstração ▼

Basta verificar a identidade de independência em uma subfamília finita. Fixe índices distintos $i_1,\ldots ,i_n$. Partimos de $E_{i_1},\ldots ,E_{i_n}$ e substituímos, um a um, os eventos que devem ser complementados.

Suponha que todos os fatores, exceto talvez o primeiro, já tenham sido escolhidos como evento ou complemento, e denote por $D$ a interseção desses $n-1$ fatores. Pela hipótese de indução,

\[ \P (E_{i_1}\cap D)=\P (E_{i_1})\P (D). \]

Consequentemente,

\[ \P (E_{i_1}^c\cap D) = \P (D)-\P (E_{i_1}\cap D) = \bigl(1-\P (E_{i_1})\bigr)\P (D). \]

Isso substitui $E_{i_1}$ por seu complemento preservando a fatoração. Repetindo o argumento, obtemos a identidade para qualquer escolha de complementos.

Para trabalhar com informação gerada por coleções inteiras de eventos, precisamos de uma versão da independência que não dependa de escolher um único evento por índice.

3.3 Independência da informação gerada

Até aqui escolhemos um evento de cada vez. Em aplicações, porém, um conjunto de observações produz uma coleção inteira de eventos. A noção adequada de independência deve, portanto, ser estável quando passamos dos geradores para toda a informação que eles determinam.

Definição 3.14 (Famílias independentes)

Dada uma família $\mathcal A_k\subseteq \mathcal{F}$, $k\in K$, dizemos que $\{ \mathcal A_k\} _{k\in K}$ é uma família de classes independentes se, para todo subconjunto finito não vazio $H\subseteq K$ e toda escolha $A_k\in \mathcal A_k$, $k\in H$,

\[ \P \left(\bigcap _{k\in H}A_k\right) = \prod _{k\in H}\P (A_k). \]

Teorema 3.15

Sejam $\{ \mathcal A_k\} _{k\in K}$ famílias de subconjuntos de $\mathcal{F}$.

Se $\mathcal A_k\subseteq \mathcal B_k\subseteq \mathcal{F}$ para todo $k$ e $\{ \mathcal B_k\} _{k\in K}$ é independente, então $\{ \mathcal A_k\} _{k\in K}$ é independente.
A família $\{ \mathcal A_k\} _{k\in K}$ é independente se, e somente se,

\[ \{ \mathcal A_k\cup \{ \Omega \} \} _{k\in K} \]

é independente.
Se $\mathcal A_1,\ldots ,\mathcal A_n$ contêm $\Omega $, então são independentes se, e somente se,

\[ \P \left(\bigcap _{k=1}^{n}A_k\right) = \prod _{k=1}^{n}\P (A_k) \]

para toda escolha $A_k\in \mathcal A_k$.

Demonstração ▼

A primeira afirmação é imediata: qualquer escolha feita nas $\mathcal A_k$ também é admissível nas $\mathcal B_k$.

Acrescentar $\Omega $ não altera nenhuma identidade, pois $A\cap \Omega =A$ e $\P (\Omega )=1$. A recíproca segue da primeira afirmação.

Na terceira afirmação, a identidade exibida para todos os $n$ índices implica as identidades de qualquer subcoleção: basta escolher $A_j=\Omega $ nos índices que desejamos omitir. A implicação contrária faz parte da definição.

Quando cada classe já é uma $\sigma $-álgebra, estamos comparando diretamente blocos de informação.

Definição 3.16 ($\sigma $-álgebras independentes)

Uma família de sub-$\sigma $-álgebras $\{ \mathcal G_k\} _{k\in K}$ de $\mathcal{F}$ é independente se, para todo subconjunto finito não vazio $H\subseteq K$ e toda escolha $G_k\in \mathcal G_k$, $k\in H$,

\[ \P \left(\bigcap _{k\in H}G_k\right) = \prod _{k\in H}\P (G_k). \]

O resultado seguinte é o passo estrutural central: independência verificada num conjunto adequado de geradores passa para as $\sigma $-álgebras geradas.

Teorema 3.17 (Independência das $\sigma $-álgebras geradas)

Suponha que $\{ \mathcal A_k\} _{k\in K}$ seja uma família independente e que cada $\mathcal A_k$ seja um $\pi $-sistema. Então

\[ \{ \sigma \langle \mathcal A_k\rangle \} _{k\in K} \]

é uma família de $\sigma $-álgebras independentes.

Demonstração ▼

Pelo resultado anterior, podemos substituir cada $\mathcal A_k$ por $\mathcal A_k\cup \{ \Omega \} $. As famílias continuam independentes, continuam sendo $\pi $-sistemas e agora contêm $\Omega $.

Considere primeiro apenas $m$ índices, renomeados como $1,\ldots ,m$. Fixe $A_j\in \mathcal A_j$, $j\lt m$, e defina

\[ \mathcal D = \left\{ B\in \mathcal{F}: \P \left(B\cap \bigcap _{j=1}^{m-1}A_j\right) = \P (B)\prod _{j=1}^{m-1}\P (A_j) \right\} . \]

A independência original mostra que $\mathcal A_m\subseteq \mathcal D$. Vamos verificar que $\mathcal D$ é um $\lambda $-sistema.

Primeiro, como as classes são independentes,

\[ \P \left(\bigcap _{j=1}^{m-1}A_j\right) = \prod _{j=1}^{m-1}\P (A_j), \]

de modo que $\Omega \in \mathcal D$.

Agora suponha $B\in \mathcal D$. Escrevendo

\[ D_0=\bigcap _{j=1}^{m-1}A_j, \]

temos

\[ \P (B^c\cap D_0) = \P (D_0)-\P (B\cap D_0). \]

Como $B\in \mathcal D$,

\[ \P (B\cap D_0) = \P (B)\prod _{j=1}^{m-1}\P (A_j), \]

enquanto

\[ \P (D_0) = \prod _{j=1}^{m-1}\P (A_j). \]

Portanto,

\[ \P (B^c\cap D_0) = \P (B^c)\prod _{j=1}^{m-1}\P (A_j), \]

e $B^c\in \mathcal D$.

Finalmente, se $B_1,B_2,\ldots \in \mathcal D$ são dois a dois disjuntos, então

\[ \P \left( \left(\bigcup _{n\geq 1}B_n\right)\cap D_0 \right) = \sum _{n\geq 1}\P (B_n\cap D_0) \]

e, como cada $B_n\in \mathcal D$,

\[ \sum _{n\geq 1}\P (B_n\cap D_0) = \left(\sum _{n\geq 1}\P (B_n)\right) \prod _{j=1}^{m-1}\P (A_j). \]

Pela disjunção,

\[ \sum _{n\geq 1}\P (B_n) = \P \left(\bigcup _{n\geq 1}B_n\right), \]

logo $\bigcup _nB_n\in \mathcal D$. Assim, $\mathcal D$ é um $\lambda $-sistema.

Pelo teorema $\pi $-$\lambda $,

\[ \sigma \langle \mathcal A_m\rangle \subseteq \mathcal D. \]

Portanto, podemos substituir a última classe por sua $\sigma $-álgebra gerada sem perder a independência.

Repetindo o mesmo argumento uma classe de cada vez, substituímos todas as $\mathcal A_j$ por $\sigma \langle \mathcal A_j\rangle $. Como a definição de independência envolve apenas subcoleções finitas, o argumento se aplica a um conjunto de índices $K$ arbitrário.

Proposição 3.18

Se $\{ A_k:k\in K\} $ é uma família de eventos independentes e $I,J\subseteq K$ são disjuntos, então

\[ \sigma \langle A_k:k\in I\rangle \quad \text{e}\quad \sigma \langle A_k:k\in J\rangle \]

são independentes.

Demonstração ▼

Considere os $\pi $-sistemas

\[ \mathcal C_I = \left\{ \bigcap _{i\in H}A_i:H\subseteq I\text{ finito} \right\} , \qquad \mathcal C_J = \left\{ \bigcap _{j\in L}A_j:L\subseteq J\text{ finito} \right\} , \]

com a convenção de que a interseção vazia é $\Omega $. Se

\[ C=\bigcap _{i\in H}A_i\in \mathcal C_I, \qquad D=\bigcap _{j\in L}A_j\in \mathcal C_J, \]

então, como $I\cap J=\varnothing $,

\[ \P (C\cap D) = \prod _{i\in H}\P (A_i) \prod _{j\in L}\P (A_j) = \P (C)\P (D). \]

Logo, $\mathcal C_I$ e $\mathcal C_J$ são independentes. O teorema anterior fornece a independência das $\sigma $-álgebras que elas geram.

3.4 Eventos caudais e Lei zero–um de Kolmogorov

Dada uma sequência de eventos $A_1,A_2,\ldots $, há perguntas que não dependem de nenhum trecho inicial da sequência. Elas são determinadas apenas pelo que acontece arbitrariamente longe.

Definição 3.19 ($\sigma $-álgebra caudal)

A $\sigma $-álgebra caudal da sequência $A_1,A_2,\ldots $ é

\[ \mathcal T = \bigcap _{n\geq 1} \sigma \langle A_n,A_{n+1},A_{n+2},\ldots \rangle . \]

Seus elementos são chamados de eventos caudais.

Se o índice representa o tempo, $\sigma \langle A_n,A_{n+1},\ldots \rangle $ contém a informação disponível depois de descartarmos os primeiros $n-1$ eventos. A interseção sobre todos os $n$ retém apenas o que não depende de nenhum início finito.

Exemplo 3.20

Em uma sequência infinita de lançamentos de moeda, seja $H_n$ o evento “o $n$-ésimo lançamento é cara”. São eventos caudais, por exemplo:

ocorrerem infinitas caras;
ocorrerem apenas finitas coroas;
ocorrerem infinitas caras nos lançamentos pares;
aparecerem infinitas vezes blocos de $100$ caras consecutivas.

Alterar um número finito de lançamentos não muda nenhum desses eventos.

Teorema 3.21 (Lei zero–um de Kolmogorov)

Se $A_1,A_2,\ldots $ são eventos independentes e $\mathcal T$ é sua $\sigma $-álgebra caudal, então todo $A\in \mathcal T$ satisfaz

\[ \P (A)\in \{ 0,1\} . \]

Demonstração ▼

Fixe $A\in \mathcal T$. Para cada $n$, a proposição anterior mostra que

\[ \sigma \langle A_1,\ldots ,A_{n-1}\rangle \quad \text{e}\quad \sigma \langle A_n,A_{n+1},\ldots \rangle \]

são independentes. Como $A$ pertence à segunda $\sigma $-álgebra, toda subfamília finita de

\[ A_1,A_2,\ldots ,A \]

é independente: basta escolher $n$ maior que todos os índices finitos envolvidos.

Logo, a família $\{ A_1,A_2,\ldots ,A\} $ é independente. Aplicando novamente a proposição anterior, concluímos que

\[ \sigma \langle A_1,A_2,\ldots \rangle \quad \text{e}\quad \sigma \langle A\rangle \]

são independentes. Mas

\[ A\in \mathcal T \subseteq \sigma \langle A_1,A_2,\ldots \rangle \quad \text{e}\quad A\in \sigma \langle A\rangle . \]

Portanto, $A$ é independente de si mesmo. Pela proposição anterior sobre autoindependência, $\P (A)\in \{ 0,1\} $.

Corolário 3.22 (Lei zero–um para $\sigma $-álgebras independentes)

Se $(\mathcal G_n)_{n\geq 1}$ é uma sequência de $\sigma $-álgebras independentes e

\[ \mathcal T = \bigcap _{n\geq 1} \sigma \langle \mathcal G_n,\mathcal G_{n+1},\ldots \rangle , \]

então todo $A\in \mathcal T$ satisfaz $\P (A)\in \{ 0,1\} $.

Demonstração ▼

Se $I,J\subseteq \mathbb N$ são disjuntos, considere as classes formadas por interseções finitas de eventos pertencentes às $\mathcal G_i$, $i\in I$, e, respectivamente, às $\mathcal G_j$, $j\in J$. Pela independência da família $(\mathcal G_n)$, essas duas classes são $\pi $-sistemas independentes; pelo Teorema 3.17, as $\sigma $-álgebras que elas geram também são independentes. Em particular,

\[ \sigma \langle \mathcal G_1,\ldots ,\mathcal G_{n-1}\rangle \quad \text{e}\quad \sigma \langle \mathcal G_n,\mathcal G_{n+1},\ldots \rangle \]

são independentes para todo $n$.

Fixe $A\in \mathcal T$. Então $A$ é independente de cada $\sigma \langle \mathcal G_1,\ldots ,\mathcal G_{n-1}\rangle $. Essas $\sigma $-álgebras crescem com $n$, e sua união é um $\pi $-sistema que gera $\sigma \langle \mathcal G_1,\mathcal G_2,\ldots \rangle $. Para $A$ fixo, a classe

\[ \mathcal D_A=\{ B\in \mathcal{F}:\P (A\cap B)=\P (A)\P (B)\} \]

é um $\lambda $-sistema. Como ela contém aquela união, o teorema $\pi $–$\lambda $ mostra que $A$ é independente de toda $\sigma \langle \mathcal G_1,\mathcal G_2,\ldots \rangle $. Como $A\in \mathcal T\subseteq \sigma \langle \mathcal G_1,\mathcal G_2,\ldots \rangle $, segue que $A$ é independente de si mesmo; logo $\P (A)\in \{ 0,1\} $.

3.5 Lemas de Borel–Cantelli

No Capítulo 1, o limite superior de uma sequência de eventos foi interpretado como o evento de ocorrência infinita:

\[ \limsup _{n\to \infty }A_n = \{ A_n\text{ ocorre infinitas vezes}\} . \]

Escreveremos abreviadamente $A_n\ \text{i.v.}$ para esse evento. Os lemas de Borel–Cantelli relacionam sua probabilidade à série $\sum _n\P (A_n)$.

Teorema 3.23 (Primeiro lema de Borel–Cantelli)

Se $E_1,E_2,\ldots \in \mathcal{F}$ e

\[ \sum _{n\geq 1}\P (E_n)\lt \infty , \]

então

\[ \P (E_n\ \text{i.v.})=0. \]

Demonstração ▼

Pela definição de limite superior,

\[ \{ E_n\ \text{i.v.}\} = \limsup _{n\to \infty }E_n = \bigcap _{N\geq 1}\bigcup _{n\geq N}E_n. \]

Assim, para todo $N$,

\[ \{ E_n\ \text{i.v.}\} \subseteq \bigcup _{n\geq N}E_n. \]

Pela subaditividade,

\[ \P (E_n\ \text{i.v.}) \leq \P \left(\bigcup _{n\geq N}E_n\right) \leq \sum _{n\geq N}\P (E_n). \]

Como a série $\sum _n\P (E_n)$ converge, sua cauda tende a zero. Fazendo $N\to \infty $, obtemos

\[ \P (E_n\ \text{i.v.})=0. \]

O primeiro lema de Borel–Cantelli diz mais do que “probabilidades pequenas”: a hipótese relevante é a somabilidade. Quando $\sum _n\P (E_n)\lt \infty $, com probabilidade um apenas um número finito dos eventos $E_n$ ocorre.

A relação com os complementos segue diretamente da lei de De Morgan:

\[ \left(\limsup _{n\to \infty }E_n\right)^c = \left( \bigcap _{N\geq 1}\bigcup _{n\geq N}E_n \right)^c = \bigcup _{N\geq 1}\bigcap _{n\geq N}E_n^c = \liminf _{n\to \infty }E_n^c. \]

Portanto, dizer que $E_n$ ocorre apenas finitas vezes é o mesmo que dizer que, a partir de algum índice, todos os complementos $E_n^c$ ocorrem.

Exemplo 3.24 (Passeio aleatório assimétrico)

Considere um passeio em $\mathbb Z$ que começa em $0$ e, a cada passo, vai uma unidade para a direita com probabilidade $p\in (0,1)$ e uma unidade para a esquerda com probabilidade $1-p$.

A construção por cilindros da Seção 2.5.2, agora com pesos $p$ e $1-p$, fornece um espaço de probabilidade no qual os incrementos $\omega _1,\omega _2,\ldots \in \{ -1,1\} $ são independentes e

\[ \P (\omega _k=1)=p, \qquad \P (\omega _k=-1)=1-p. \]

Defina

\[ S_0=0, \qquad S_n=\omega _1+\cdots +\omega _n. \]

Para retornar à origem no instante $2n$, o passeio deve dar exatamente $n$ passos para a direita e $n$ para a esquerda. Há $\binom {2n}{n}$ ordenações possíveis desses passos e, pela independência, cada uma tem probabilidade $p^n(1-p)^n$. Portanto,

\[ \P (S_{2n}=0) = \binom {2n}{n}p^n(1-p)^n. \]

A fórmula de Stirling,

\[ n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n, \]

dá

\[ \binom {2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}, \]

e, consequentemente,

\[ \P (S_{2n}=0) \sim \frac{\bigl(4p(1-p)\bigr)^n}{\sqrt{\pi n}}. \]

Para aplicar Borel–Cantelli, basta uma cota mais simples. Como

\[ \binom {2n}{n}\leq 4^n, \]

temos

\[ \P (S_{2n}=0) \leq \bigl(4p(1-p)\bigr)^n. \]

Se $p\neq 1/2$, então $r:=4p(1-p)\lt 1$, e

\[ \sum _{n\geq 1}\P (S_{2n}=0) \leq \sum _{n\geq 1}r^n \lt \infty . \]

Pelo primeiro lema de Borel–Cantelli, o passeio retorna à origem apenas um número finito de vezes, quase certamente.

No caso simétrico $p=1/2$,

\[ \P (S_{2n}=0) = \binom {2n}{n}4^{-n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}, \]

e portanto

\[ \sum _{n\geq 1}\P (S_{2n}=0)=\infty . \]

Isso, sozinho, não prova recorrência: os eventos $\{ S_{2n}=0\} $ não são independentes, de modo que o segundo lema de Borel–Cantelli não pode ser aplicado diretamente.

A independência é exatamente a hipótese que fornece a recíproca do primeiro lema.

Teorema 3.25 (Segundo lema de Borel–Cantelli)

Se $E_1,E_2,\ldots \in \mathcal{F}$ são independentes e

\[ \sum _{n\geq 1}\P (E_n)=\infty , \]

então

\[ \P (E_n\ \text{i.v.})=1. \]

Demonstração ▼

Queremos mostrar que o complemento do evento “$E_n$ ocorre infinitas vezes” tem probabilidade zero. Pela lei de De Morgan,

\[ \{ E_n\ \text{i.v.}\} ^c = \left( \bigcap _{N\geq 1}\bigcup _{n\geq N}E_n \right)^c = \bigcup _{N\geq 1}\bigcap _{n\geq N}E_n^c. \]

Portanto, basta provar que, para cada $N$,

\[ \P \left(\bigcap _{n\geq N}E_n^c\right)=0. \]

Como os $E_n$ são independentes, seus complementos também são. Pela fórmula para interseções enumeráveis,

\[ \P \left(\bigcap _{n\geq N}E_n^c\right) = \prod _{n\geq N}\bigl(1-\P (E_n)\bigr). \]

Usando $1-x\leq e^{-x}$ para $0\leq x\leq 1$,

\[ \prod _{n\geq N}\bigl(1-\P (E_n)\bigr) \leq \exp \left(-\sum _{n\geq N}\P (E_n)\right). \]

Como $\sum _n\P (E_n)=\infty $, toda cauda dessa série também diverge. Consequentemente,

\[ \P \left(\bigcap _{n\geq N}E_n^c\right)=0 \qquad \text{para todo }N. \]

Por continuidade por baixo,

\[ \P \left( \bigcup _{N\geq 1}\bigcap _{n\geq N}E_n^c \right) =0. \]

Esse evento é $\{ E_n\ \text{i.v.}\} ^c$, e portanto

\[ \P (E_n\ \text{i.v.})=1. \]

Assim, para uma sequência de eventos independentes,

\[ \P (E_n\ \text{i.v.}) = \begin{cases} 0,& \displaystyle \sum _n\P (E_n)\lt \infty ,\\[4pt] 1,& \displaystyle \sum _n\P (E_n)=\infty . \end{cases} \]

A primeira linha não precisa da hipótese de independência; a segunda, sim.

Exemplo 3.26 (Infinitas caras e infinitas coroas)

Em lançamentos independentes de uma moeda justa, seja

\[ A_n=\{ \text{o $n$-ésimo lançamento é cara}\} . \]

Os eventos $A_n$ são independentes e $\P (A_n)=1/2$. Logo,

\[ \sum _{n\geq 1}\P (A_n)=\infty , \]

e o segundo lema de Borel–Cantelli dá

\[ \P (A_n\ \text{i.v.})=1. \]

Assim, quase certamente aparecem infinitas caras. Aplicando o mesmo argumento aos complementos $A_n^c$, obtemos também infinitas coroas.

O Exercício 3.14 propõe uma aplicação direta desse argumento a blocos disjuntos de lançamentos.

3.6 Aplicações

A independência também permite transportar argumentos probabilísticos para problemas que, à primeira vista, não têm caráter aleatório. A fórmula de Euler é um exemplo particularmente curto.

Teorema 3.27 (Fórmula dos números primos de Euler)

Para $s\gt 1$,

\[ \zeta (s) := \sum _{n\geq 1}\frac1{n^s} = \prod _{p\in \mathbb P} \frac{1}{1-p^{-s}}, \]

onde $\mathbb P$ denota o conjunto dos números primos.

Demonstração ▼

Como $s\gt 1$, a série que define $\zeta (s)$ converge. Em $\Omega =\mathbb N$, defina

\[ \P (\{ n\} ) = \frac{1}{\zeta (s)n^s}. \]

Para $k\geq 1$, seja

\[ E_k=\{ n\in \mathbb N:k\text{ divide }n\} . \]

Então

\[ \P (E_k) = \sum _{j\geq 1}\frac{1}{\zeta (s)(jk)^s} = k^{-s}. \]

Se $p_1,\ldots ,p_r$ são primos distintos,

\[ E_{p_1}\cap \cdots \cap E_{p_r} = E_{p_1\cdots p_r}, \]

e, portanto,

\[ \P (E_{p_1}\cap \cdots \cap E_{p_r}) = \prod _{j=1}^{r}p_j^{-s} = \prod _{j=1}^{r}\P (E_{p_j}). \]

Logo, os eventos $E_p$, $p\in \mathbb P$, são independentes.

O único inteiro positivo não divisível por nenhum primo é $1$. Pela proposição anterior e pela fórmula para interseções enumeráveis,

\[ \frac1{\zeta (s)} = \P (\{ 1\} ) = \P \left(\bigcap _{p\in \mathbb P}E_p^c\right) = \prod _{p\in \mathbb P}(1-p^{-s}). \]

Tomando recíprocos, obtemos a fórmula.

Sequências de caras

Em uma sequência infinita de moedas, todo bloco fixo de caras reaparece infinitas vezes. A questão muda quando o comprimento exigido cresce com o tempo: então surge uma escala crítica, da ordem de $\log _2 n$.

Seja $\ell (n)$ o número de caras consecutivas que termina no $n$-ésimo lançamento, com $\ell (n)=0$ quando o $n$-ésimo resultado é coroa. Para todo inteiro fixo $k$,

\[ \P (\ell (n)\geq k\ \text{i.v.})=1. \]

Se permitimos que o comprimento exigido dependa de $n$, surge uma escala crítica: $\log _2 n$.

Teorema 3.28

Para todo $\varepsilon \gt 0$,

\[ \P \bigl(\ell (n)\geq (1+\varepsilon )\log _2n\ \text{i.v.}\bigr)=0. \]
\[ \P \bigl(\ell (n)\geq \log _2n\ \text{i.v.}\bigr)=1. \]

Demonstração ▼

Para a primeira afirmação, fixe $\varepsilon \gt 0$ e ponha

\[ r_n=\left\lceil (1+\varepsilon )\log _2n\right\rceil . \]

Se $r_n\leq n$, o evento $\{ \ell (n)\geq r_n\} $ exige cara nos últimos $r_n$ lançamentos e, portanto, tem probabilidade $2^{-r_n}$. Se $r_n\gt n$, o evento é vazio. Em ambos os casos,

\[ \P \bigl(\ell (n)\geq (1+\varepsilon )\log _2n\bigr) \leq n^{-(1+\varepsilon )}. \]

A série do lado direito converge; o primeiro lema de Borel–Cantelli conclui a primeira parte.

Para a segunda afirmação, os eventos naturais se sobrepõem e não são independentes. Vamos extrair deles uma família de blocos disjuntos.

Para $m\geq 2$, considere

\[ I_m=\{ 2^m+1,\ldots ,2^{m+1}\} . \]

Divida os primeiros termos de $I_m$ em

\[ N_m=\left\lfloor \frac{2^m}{m+1}\right\rfloor \]

blocos disjuntos de comprimento $m+1$. Seja $E_m$ o evento de que ao menos um desses blocos seja formado apenas por caras. Faixas diferentes usam lançamentos disjuntos, logo os eventos $E_m$ são independentes. Dentro de uma faixa, os blocos também são independentes, e

\[ \P (E_m) = 1-\left(1-2^{-(m+1)}\right)^{N_m}. \]

Para $m$ suficientemente grande,

\[ N_m\geq \frac{2^{m-1}}{m+1}. \]

Usando $1-u\leq e^{-u}$ e $1-e^{-x}\geq x/2$ para $0\leq x\leq 1$, obtemos

\[ \P (E_m)\geq \frac{1}{8(m+1)}. \]

Logo,

\[ \sum _m\P (E_m)=\infty . \]

Pelo segundo lema de Borel–Cantelli, $E_m$ ocorre para infinitos valores de $m$, quase certamente.

Quando $E_m$ ocorre, existe um bloco de $m+1$ caras que termina em algum $n\leq 2^{m+1}$. Portanto,

\[ \ell (n)\geq m+1\geq \log _2n. \]

Isso prova a segunda afirmação.

Teorema do macaco infinito

Substituindo a moeda por escolhas independentes e uniformes em um alfabeto finito, o mesmo mecanismo de Borel–Cantelli torna inevitável a aparição repetida de qualquer palavra fixa.

Teorema 3.29 (Teorema do macaco infinito)

Considere uma sequência de escolhas independentes e uniformes em um alfabeto finito. Quase certamente, toda palavra finita aparece na sequência infinitas vezes.

Demonstração ▼

Considere um alfabeto com $q$ símbolos e fixe uma palavra

\[ w=(w_1,\ldots ,w_r) \]

de comprimento $r$. Para $j\geq 1$, seja $E_j$ o evento de que o bloco de posições

\[ (j-1)r+1,\ldots ,jr \]

coincide com $w$. Os eventos $E_j$ dependem de blocos disjuntos e são independentes, com

\[ \P (E_j)=q^{-r}. \]

Logo,

\[ \sum _j\P (E_j)=\infty , \]

e o segundo lema de Borel–Cantelli mostra que $w$ ocorre infinitas vezes com probabilidade $1$.

Há apenas um conjunto enumerável de palavras finitas sobre um alfabeto finito. Enumerando-as como $w^{(1)},w^{(2)},\ldots $ e escrevendo $G_k$ para o evento de que $w^{(k)}$ aparece infinitas vezes, temos $\P (G_k)=1$ para todo $k$. Assim,

\[ \P \left(\bigcap _{k\geq 1}G_k\right) = 1-\P \left(\bigcup _{k\geq 1}G_k^c\right) = 1. \]

Teoria de percolação

Considere a rede quadrada

\[ G=(V,E), \qquad V=\mathbb Z^2, \]

em que $E$ é o conjunto das arestas entre vizinhos mais próximos. Na percolação de elos, cada aresta é declarada aberta, independentemente, com probabilidade $p$. A pergunta física é simples: se um fluido puder passar apenas pelas ligações abertas, será possível atravessar a rede indefinidamente?

Usaremos a seguinte terminologia:

os vértices são chamados de sítios e as arestas, de elos;
um elo com estado $1$ é aberto; com estado $0$, é fechado;
o subgrafo formado pelos elos abertos é o subgrafo aberto;
as componentes conexas do subgrafo aberto são os clusters abertos.

Há também um modelo de percolação de sítios, no qual são os vértices que recebem estados aleatórios. Aqui trabalharemos apenas com percolação de elos.

Fixe $p\in [0,1]$. Em

\[ \Omega =\{ 0,1\} ^{E}, \]

considere uma família $(\omega _e)_{e\in E}$ de variáveis independentes com lei Bernoulli$(p)$, e denote por $\P _p$ sua lei conjunta. Assim, $\omega _e=1$ significa que o elo $e$ está aberto. Uma construção direta de $\P _p$ por cilindros e extensão de Carathéodory aparece nos exercícios ao fim do capítulo; mais adiante, a medida produto tornará essa construção automática.

Neste ponto, porém, não precisamos comparar valores diferentes de $p$. A independência já permite responder a uma pergunta global para cada parâmetro fixado.

Teorema 3.30 (Lei $0$–$1$ para a percolação)

Seja

\[ I=\{ \text{existe um cluster aberto infinito}\} . \]

Então, para todo $p\in [0,1]$,

\[ \P _p(I)\in \{ 0,1\} . \]

Demonstração ▼

Começamos pela mensurabilidade. Para um sítio $x$, o evento de que o cluster aberto de $x$ seja infinito é a interseção, sobre $r\geq 1$, dos eventos “existe um caminho aberto de comprimento $r$ partindo de $x$”. Cada um desses eventos é mensurável. Como $\mathbb Z^2$ é localmente finita, a existência de caminhos arbitrariamente longos equivale à infinitude do cluster. Logo

\[ I = \bigcup _{x\in \mathbb Z^2} \{ \text{o cluster aberto de $x$ é infinito}\} \]

é mensurável.

Mostremos agora que $I$ é caudal. Enumere as arestas como

\[ E=\{ e_0,e_1,\ldots \} \]

e, para $n\geq 1$, retire as arestas $e_0,\ldots ,e_{n-1}$. Denote por $I_n$ o evento de que o subgrafo restante contém uma componente infinita. Então $I_n$ depende apenas dos estados de $e_n,e_{n+1},\ldots $.

Retirar um número finito de arestas não altera a existência de uma componente infinita. De fato, cada aresta removida pode aumentar em no máximo uma unidade o número de componentes de uma componente dada; após retirar $n$ arestas, uma componente infinita é dividida em no máximo $n+1$ componentes, e pelo menos uma delas continua infinita. A inclusão inversa é imediata. Logo $I=I_n$ para todo $n$, e portanto $I$ pertence à $\sigma $-álgebra caudal.

Pela lei $0$–$1$ de Kolmogorov,

\[ \P _p(I)\in \{ 0,1\} . \]

A lei $0$–$1$ fixa o parâmetro $p$: ela não diz ainda como o modelo muda quando $p$ varia. Essa comparação pede outra ideia. No Capítulo 9, construiremos simultaneamente todas as percolações usando as mesmas marcas uniformes; a monotonicidade resultante produzirá naturalmente a probabilidade crítica. Para a rede quadrada, o teorema de Harris–Kesten identifica esse limiar como $1/2$.

A independência, introduzida como uma relação entre informação e probabilidade, passou de eventos a famílias e $\sigma $-álgebras. Dela extraímos consequências para sequências inteiras: leis $0$–$1$ para eventos caudais e critérios de Borel–Cantelli para ocorrências infinitas. Na percolação, a mesma linguagem mostra que um fenômeno global pode ser determinado por escolhas locais independentes.

Exercício 3.1

Seja $\Omega =\{ 1,2,\ldots ,9\} $, com todos os pontos de probabilidade $1/9$, e considere

\[ A=\{ 1,2,3\} ,\qquad B=\{ 1,4,5\} ,\qquad C=\{ 2,4,6\} . \]

Mostre que $A$, $B$ e $C$ são independentes dois a dois, mas que a família $\{ A,B,C\} $ não é independente.

Ver solução

Cada evento tem probabilidade $1/3$. Além disso, $A\cap B=\{ 1\} $, $A\cap C=\{ 2\} $ e $B\cap C=\{ 4\} $, todos de probabilidade $1/9=(1/3)^2$. Porém $A\cap B\cap C=\varnothing $, cuja probabilidade é diferente de $(1/3)^3$.

Exercício 3.2

Construa três eventos $A$, $B$ e $C$ que não formem uma família independente, embora satisfaçam

\[ \P (A\cap B\cap C)=\P (A)\P (B)\P (C). \]

Sua construção deve exibir explicitamente ao menos um par que não seja independente.

Ver solução

No espaço equiprovável $\Omega =\{ 1,\ldots ,8\} $, tome $A=B=\{ 1,2,3,4\} $ e $C=\{ 1,5,6,7\} $. Os três eventos têm probabilidade $1/2$ e $A\cap B\cap C=\{ 1\} $, logo $\P (A\cap B\cap C)=1/8=\P (A)\P (B)\P (C)$. Entretanto, $\P (A\cap B)=1/2\neq 1/4=\P (A)\P (B)$.

Exercício 3.3

Seja $A_1,\ldots ,A_n$ uma família independente de eventos. Prove que, para qualquer escolha

\[ B_i\in \{ A_i,A_i^c\} ,\qquad i=1,\ldots ,n, \]

a família $B_1,\ldots ,B_n$ é independente. Em particular, $A_1^c,\ldots ,A_n^c$ são independentes.

Ver solução

Para subconjuntos disjuntos de índices $I,J$, inclusão–exclusão dá

\[ \P \left(\bigcap _{i\in I}A_i\cap \bigcap _{j\in J}A_j^c\right) =\sum _{K\subseteq J}(-1)^{|K|} \P \left(\bigcap _{i\in I\cup K}A_i\right) =\prod _{i\in I}\P (A_i)\prod _{j\in J}(1-\P (A_j)). \]

Essa é exatamente a condição de independência para qualquer escolha dos $B_i$.

Exercício 3.4

Fixe um inteiro $k\geq 2$. Construa um espaço de probabilidade e $k$ eventos, cada um com probabilidade $1/2$, tais que toda subfamília com no máximo $k-1$ eventos seja independente, mas a família completa não seja. Escolha um espaço amostral com o menor número possível de pontos e justifique essa minimalidade.

Ver solução

Tome $\Omega =\{ x\in \{ 0,1\} ^k:x_1+\cdots +x_k=0\pmod2\} $ com lei uniforme e $A_i=\{ x:x_i=1\} $. Quaisquer $k-1$ coordenadas são uniformes em $\{ 0,1\} ^{k-1}$, portanto as subfamílias próprias são independentes e cada $A_i$ tem probabilidade $1/2$; a paridade torna a família completa dependente. Há $2^{k-1}$ pontos. A minimalidade segue porque as $2^{k-1}$ configurações de quaisquer $k-1$ eventos têm probabilidade $2^{-(k-1)}\gt 0$ e, portanto, exigem ao menos um ponto cada.

Exercício 3.5

Uma urna contém inicialmente uma bola preta e $m\geq 1$ bolas brancas. A cada etapa, retira-se uma bola uniformemente. Se ela for preta, ela é simplesmente recolocada; se for branca, ela é recolocada juntamente com uma nova bola branca. Seja $A_n$ o evento de que a bola preta não seja retirada nas primeiras $n$ etapas.

Calcule $\P (A_n)$ e mostre que $\sum _{n\geq 1}\P (A_n)=\infty $.
Determine $\P (A_n\ \mathrm{i.v.})$.
Explique por que o exemplo mostra que a independência não pode ser omitida da recíproca fornecida pelo segundo lema de Borel–Cantelli.

Ver solução

Em $A_n$, todas as primeiras $n$ retiradas foram brancas. Na etapa $j+1$ há $m+j$ bolas brancas e uma preta, logo

\[ \P (A_n)=\prod _{j=0}^{n-1}\frac{m+j}{m+j+1}=\frac{m}{m+n}. \]

A série diverge. Como $A_n\downarrow \{ \text{a preta nunca é retirada}\} $, $\P (A_n\ \mathrm{i.v.})=\lim _n m/(m+n)=0$. Portanto divergência da soma, sem independência, não implica ocorrência infinita quase certa.

Exercício 3.6

Sejam $A_1,A_2,\ldots $ subconjuntos borelianos de $[0,1]$ e $\lambda $ a medida de Lebesgue. Suponha que exista $\eta \gt 0$ tal que $\lambda (A_n)\geq \eta $ para todo $n$. Prove que

\[ \lambda (\limsup _{n\to \infty }A_n)\geq \eta . \]

Conclua que algum ponto de $[0,1]$ pertence a infinitos conjuntos $A_n$.

Ver solução

Ponha $B_N=\bigcup _{n\geq N}A_n$. Então $B_N\downarrow \limsup A_n$ e $\lambda (B_N)\geq \lambda (A_N)\geq \eta $. Como $\lambda ([0,1])\lt \infty $, continuidade por cima dá $\lambda (\limsup A_n)=\lim _N\lambda (B_N)\geq \eta $. Em particular o limsup não é vazio, e qualquer de seus pontos pertence a infinitos $A_n$.

Exercício 3.7 (title=Lema de Fatou para conjuntos,difficulty=2)

Seja $(E_n)_{n\geq 1}$ uma sequência de eventos. Prove que

\[ \P \left(\liminf _{n\to \infty }E_n\right) \leq \liminf _{n\to \infty }\P (E_n) \leq \limsup _{n\to \infty }\P (E_n) \leq \P \left(\limsup _{n\to \infty }E_n\right). \]

Ver solução

Defina

\[ B_n=\bigcap _{k\geq n}E_k, \qquad C_n=\bigcup _{k\geq n}E_k. \]

Então

\[ B_n\uparrow \liminf _{n\to \infty }E_n, \qquad C_n\downarrow \limsup _{n\to \infty }E_n. \]

Além disso, para todo $k\geq n$,

\[ B_n\subseteq E_k\subseteq C_n. \]

Logo

\[ \P (B_n) \leq \inf _{k\geq n}\P (E_k), \qquad \sup _{k\geq n}\P (E_k) \leq \P (C_n). \]

Fazendo $n\to \infty $ e usando a continuidade da probabilidade por baixo e por cima, obtemos as desigualdades extremas. A desigualdade central vale para qualquer sequência real.

Exercício 3.8

Para $k=1,\ldots ,n$, seja $\mathcal P_k$ uma partição enumerável de $\Omega $ formada por eventos. Prove que as $\sigma $-álgebras

\[ \sigma \langle \mathcal P_1\rangle ,\ldots , \sigma \langle \mathcal P_n\rangle \]

são independentes se, e somente se,

\[ \P \left(\bigcap _{k=1}^{n}A_k\right) =\prod _{k=1}^{n}\P (A_k) \]

para toda escolha de uma célula $A_k\in \mathcal P_k$, $k=1,\ldots ,n$.

Ver solução

A necessidade é imediata. Para a suficiência, todo $E_k\in \sigma \langle \mathcal P_k\rangle $ é união de células da partição. As interseções correspondentes às diferentes escolhas de células são disjuntas; pela aditividade enumerável e pela distributividade do produto sobre séries de termos não negativos,

\[ \P \left(\bigcap _kE_k\right) =\sum _{A_k\subseteq E_k}\prod _k\P (A_k) =\prod _k\sum _{A_k\subseteq E_k}\P (A_k) =\prod _k\P (E_k). \]

Logo as $\sigma $-álgebras são independentes.

Exercício 3.9

Sejam $\mathscr A_1,\ldots ,\mathscr A_n$ $\pi $-sistemas contidos em $\mathcal F$ e suponha que

\begin{equation} \P \left(\bigcap _{k=1}^{n}A_k\right) =\prod _{k=1}^{n}\P (A_k) \qquad \text{para toda escolha }A_k\in \mathscr A_k. \label{iee} \tag{3.1} \end{equation}

Dê um exemplo mostrando que, sem hipóteses adicionais, (3.1) não garante a independência das $\sigma $-álgebras $\sigma \langle \mathscr A_k\rangle $.
Suponha agora que, para cada $k$, o espaço $\Omega $ seja união enumerável de elementos de $\mathscr A_k$. Prove que $\sigma \langle \mathscr A_1\rangle ,\ldots , \sigma \langle \mathscr A_n\rangle $ são independentes.

Dica. Fixe todas as coordenadas menos uma, passe primeiro a uniões finitas usando inclusão–exclusão e depois use o Teorema $\pi $–$\lambda $.

Ver solução

Para a primeira parte use $\Omega =\{ 1,\ldots ,8\} $ equiprovável, $A_1=A_2=\{ 1,2,3,4\} $ e $A_3=\{ 1,5,6,7\} $, e ponha $\mathscr A_k=\{ A_k\} $. A identidade tripla vale, mas as duas primeiras $\sigma $-álgebras não são independentes.

Sob a hipótese de cobertura, fixe as demais coordenadas. Inclusão–exclusão estende a identidade a uniões finitas disjuntas de elementos de um $\pi $-sistema; a cobertura enumerável e continuidade por baixo permitem inserir $\Omega $. A classe dos conjuntos da primeira coordenada para os quais a identidade vale é então um $\lambda $-sistema contendo $\mathscr A_1$. O Teorema $\pi $–$\lambda $ a amplia para $\sigma \langle \mathscr A_1\rangle $. Repita coordenada por coordenada para obter a independência das $n$ $\sigma $-álgebras.

Exercício 3.10

Seja $(A_n)_{n\geq 1}$ uma sequência de eventos e defina

\[ N(\omega )=\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {1}_{A_n}(\omega ). \]

Prove diretamente que

\[ \P (A_n\ \mathrm{i.v.})\lt 1 \]

se, e somente se, existe um evento $B$ com $\P (B)\gt 0$ e um inteiro $r\geq 0$ tais que $N\leq r$ em $B$. Deduza a equivalência

\[ \P (A_n\ \mathrm{i.v.})=1 \quad \Longleftrightarrow \quad \sum _{n=1}^{\infty }\P (A_n\mid B)=\infty \quad \text{para todo }B\text{ com }\P (B)\gt 0. \]

Ver solução

$\{ N\lt \infty \} =(\limsup A_n)^c$. Se esse evento tem probabilidade positiva, como $\{ N\lt \infty \} =\bigcup _{r\geq 0}\{ N\leq r\} $, algum $B=\{ N\leq r\} $ tem probabilidade positiva. A recíproca é imediata, pois $B\subseteq \{ N\lt \infty \} $.

Para a segunda equivalência, lembre que $\P (\cdot \mid B)$ é ela mesma uma probabilidade. Se $\sum _n\P (A_n\mid B)\lt \infty $ para algum $B$ com $\P (B)\gt 0$, o primeiro lema de Borel–Cantelli aplicado a $\P (\cdot \mid B)$ dá $\P (\limsup A_n\mid B)=0$ e portanto $\P (\limsup A_n)\leq 1-\P (B)\lt 1$. Reciprocamente, se $\P (\limsup A_n)\lt 1$, tome $B=\{ N\leq r\} $ como acima e particione $B$ pelos conjuntos $B_S$ em que ocorrem exatamente os índices de um conjunto finito $S$, necessariamente com $|S|\leq r$. Como $\P (A_n\cap B_S)=0$ para $n\notin S$, a aditividade dá $\sum _n\P (A_n\cap B)=\sum _S|S|\, \P (B_S)\leq r\, \P (B)$, isto é, $\sum _n\P (A_n\mid B)\leq r\lt \infty $.

Exercício 3.11

Medida de Lebesgue. Construa a medida de Lebesgue em $\mathbb {R}$ a partir da pré-medida comprimento na álgebra das uniões finitas de intervalos semiabertos. Na etapa em que é preciso provar a continuidade no vazio, use o Teorema da Classe Compacta e explicite a classe compacta escolhida.

Ver solução

Na álgebra $\mathcal A$ das uniões finitas disjuntas de intervalos semiabertos, admitindo intervalos ilimitados, defina $\ell $ pela soma dos comprimentos; refinamentos por extremos mostram que ela é bem definida e finitamente aditiva. Para $m\geq 1$, ponha $I_m=(-m,m]$ e

\[ \ell _m(E):=\ell (E\cap I_m),\qquad E\in \mathcal A. \]

Em $I_m$, a classe dos compactos é compacta no sentido do Teorema de Extensão Compacta. Encolhendo ligeiramente cada componente de $E\cap I_m$, obtemos a aproximação interior exigida pelo teorema; logo cada $\ell _m$ é uma pré-medida.

Resta passar das restrições à reta inteira. Se $E=\dot\bigcup _{n\geq 1}E_n$, com $E,E_n\in \mathcal A$, então, para todo $m$,

\[ \ell _m(E)=\sum _{n\geq 1}\ell _m(E_n). \]

Como $I_m\uparrow \mathbb {R}$, temos $\ell _m(E)\uparrow \ell (E)$ e, para cada $n$, $\ell _m(E_n)\uparrow \ell (E_n)$. Fazendo $m\to \infty $ e usando convergência monótona para a soma de termos não negativos,

\[ \ell (E)=\sum _{n\geq 1}\ell (E_n). \]

Portanto $\ell $ é uma pré-medida em $\mathcal A$. O Teorema de Extensão de Carathéodory a estende a $\sigma \langle \mathcal A\rangle =\mathcal B(\mathbb {R})$; a extensão é a medida de Lebesgue e é única pela $\sigma $-finitude.

Exercício 3.12

Infinitas moedas I. Seja $\Omega =\{ 0,1\} ^{\mathbb {N}}$ e, para $\varepsilon _1,\ldots ,\varepsilon _n\in \{ 0,1\} $, defina o cilindro

\[ C_n(\varepsilon _1,\ldots ,\varepsilon _n) =\{ \omega \in \Omega : \omega _1=\varepsilon _1,\ldots ,\omega _n=\varepsilon _n\} . \]

Seja $\mathcal F_0$ a álgebra das uniões finitas desses cilindros. Fixe $p\in [0,1]$ e prescreva

\[ \P _p\bigl(C_n(\varepsilon _1,\ldots ,\varepsilon _n)\bigr) =p^{\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _i} (1-p)^{n-\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _i}. \]

Mostre que essa prescrição é consistente quando um mesmo cilindro é representado em níveis diferentes e que sua extensão por aditividade finita está bem definida em $\mathcal F_0$.
Equipe $\Omega $ com a topologia produto discreta. Mostre que $\Omega $ é compacto e que os elementos de $\mathcal F_0$ são abertos e fechados. Use o Teorema da Classe Compacta para concluir que $\P _p$ é uma pré-medida em $\mathcal F_0$.
Aplique o Teorema de Extensão de Carathéodory para provar que $\P _p$ possui uma única extensão a $\sigma \langle \mathcal F_0\rangle $.
Mostre que as projeções coordenadas

\[ X_n(\omega )=\omega _n,\qquad n\geq 1, \]

formam uma sequência i.i.d. de variáveis de Bernoulli de parâmetro $p$.

Ver solução

Refinar um cilindro de nível $n$ para o nível $n+1$ multiplica seus pesos por $p$ e $1-p$, cuja soma é um; por indução, a prescrição independe do nível. Refinando simultaneamente finitos cilindros, define-se de modo único uma probabilidade finitamente aditiva na álgebra.

O espaço produto é compacto (ou use diagonalização com a métrica produto). Cilindros são clopen; suas uniões finitas são compactas. A própria álgebra é, portanto, uma classe compacta e satisfaz a aproximação interior. O Teorema da Classe Compacta dá a pré-medida e Carathéodory, a única extensão. Finalmente, para índices distintos e valores $\varepsilon _i$,

\[ \P _p(X_{i_1}=\varepsilon _1,\ldots ,X_{i_r}=\varepsilon _r) =\prod _{j=1}^rp^{\varepsilon _j}(1-p)^{1-\varepsilon _j}, \]

o que prova que as coordenadas são i.i.d. Bernoulli$(p)$.

Exercício 3.13

Percolação de elos. Seja $G=(V,E)$ um grafo infinito e $\Omega =\{ 0,1\} ^{E}$, onde $\omega _e=1$ significa que a aresta $e$ está aberta. Para $F\subseteq E$ finito e $\tau \in \{ 0,1\} ^{F}$, defina

\[ C(F,\tau ) =\{ \omega \in \Omega :\omega _e=\tau _e \text{ para todo }e\in F\} . \]

Seja $\mathcal F_0$ a álgebra dos cilindros e prescreva

\[ \P _p(C(F,\tau )) =\prod _{e\in F:\, \tau _e=1}p \prod _{e\in F:\, \tau _e=0}(1-p), \qquad p\in [0,1]. \]

Mostre que a prescrição é consistente e se estende de maneira única a uma probabilidade finitamente aditiva em $\mathcal F_0$.
Use cilindros com base compacta e o Teorema da Classe Compacta para mostrar que essa função é uma pré-medida.
Conclua, pelo Teorema de Extensão de Carathéodory, que existe uma única probabilidade em $\sigma \langle \mathcal F_0\rangle $ com as probabilidades cilíndricas acima.

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Dados finitos cilindros, refine todos para o cilindro determinado pela união de suas bases. Somar sobre as configurações das novas arestas usa $p+(1-p)=1$, provando consistência e aditividade finita.

Com a topologia produto em $\{ 0,1\} ^E$, os cilindros são clopen. A base de cada cilindro é um produto finito, portanto compacta; Tychonoff mostra que o espaço produto e esses cilindros são compactos. A álgebra dos cilindros é assim uma classe compacta e satisfaz a aproximação interior. O Teorema de Extensão Compacta torna a função uma pré-medida. Como sua massa total é um, Carathéodory fornece uma extensão única à $\sigma $-álgebra gerada.

Exercício 3.14

Em uma sequência infinita de lançamentos independentes de uma moeda justa, seja

\[ B_n=\{ \text{os lançamentos }n,n+1,\ldots ,n+99\text{ são caras}\} . \]

Calcule $\P (B_n\ \mathrm{i.v.})$. Como os blocos consecutivos se sobrepõem, comece por uma subsequência de blocos disjuntos.

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Os eventos $B_{100k+1}$, $k\geq 0$, dependem de blocos disjuntos, são independentes e têm probabilidade $2^{-100}$. A soma dessas probabilidades diverge. Pelo segundo lema de Borel–Cantelli, $B_{100k+1}$ ocorre infinitas vezes quase certamente; logo também $B_n$ ocorre infinitas vezes e $\P (B_n\ \mathrm{i.v.})=1$.

Exercício 3.15

Raio de convergência de uma série aleatória. Sejam $Z_0,Z_1,\ldots $ variáveis aleatórias reais e considere a série de potências

\[ \sum _{n=0}^{\infty }Z_nz^n. \]

Com as convenções $1/0=\infty $ e $1/\infty =0$, defina

\[ R=\left(\limsup _{n\to \infty }|Z_n|^{1/n}\right)^{-1}. \]

Prove que $R$, com valores em $[0,\infty ]$, é uma variável aleatória e coincide com o raio de convergência da série.
Suponha agora que os $Z_n$ sejam independentes. Prove que existe $r\in [0,\infty ]$ tal que $R=r$ quase certamente.

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Cada $|Z_n|^{1/n}$ é mensurável, e supremos e ínfimos enumeráveis mostram que seu limite superior também o é. A fórmula de Cauchy–Hadamard identifica $R$ com o raio de convergência.

Alterar finitos coeficientes não muda o limite superior; portanto $R$ é mensurável em relação à $\sigma $-álgebra caudal dos $Z_n$. Para cada racional $q$, o evento $\{ R\leq q\} $ é caudal e, pela lei $0$–$1$ de Kolmogorov, tem probabilidade zero ou um. Esses eventos crescentes determinam um único limiar $r$; usando racionais que se aproximam de $r$ por ambos os lados, conclui-se que $R=r$ quase certamente.

Exercício 3.16 (title=Grafos aleatórios: independência de blocos de arestas,difficulty=3)

No modelo $G(n,p)$, sejam $E_1$ e $E_2$ conjuntos disjuntos de arestas potenciais. Prove que as $\sigma $-álgebras

\[ \mathcal F_1=\sigma \langle X_e:e\in E_1\rangle , \qquad \mathcal F_2=\sigma \langle X_e:e\in E_2\rangle \]

são independentes.

Faça primeiro a prova para eventos cilíndricos que fixam um número finito de coordenadas e depois estenda-a às $\sigma $-álgebras geradas.

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Se $A$ fixa coordenadas de $E_1$ e $B$ fixa coordenadas de $E_2$, os conjuntos de coordenadas envolvidos são disjuntos. Pela independência das arestas,

\[ \P (A\cap B)=\P (A)\P (B). \]

Os cilindros formam $\pi $-sistemas que geram $\mathcal F_1$ e $\mathcal F_2$. Aplicando o argumento $\pi $–$\lambda $ em cada variável, a fatoração se estende a todos os eventos dessas duas $\sigma $-álgebras.

Exercício 3.17 (title=Grafos aleatórios: a propriedade de extensão,difficulty=4)

No grafo aleatório sobre $\mathbb N$, inclua cada aresta independentemente com probabilidade fixa $p\in (0,1)$. Se $A,B\subset \mathbb N$ são finitos e disjuntos, chame um vértice $v\notin A\cup B$ de adequado se ele está ligado a todos os vértices de $A$ e a nenhum de $B$.

Calcule a probabilidade de um vértice candidato ser adequado.
Mostre que, para $A,B$ fixos, existem quase certamente infinitos vértices adequados.
Conclua que, quase certamente, a afirmação vale simultaneamente para todos os pares finitos disjuntos $(A,B)$.

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Cada candidato é adequado com probabilidade

\[ q=p^{|A|}(1-p)^{|B|}\gt 0. \]

Para candidatos distintos, os conjuntos de arestas usados são disjuntos, logo os eventos são independentes. Como a soma de suas probabilidades diverge, o segundo Borel–Cantelli fornece infinitos sucessos quase certamente. Há apenas uma quantidade enumerável de pares de subconjuntos finitos de $\mathbb N$. Intersectando os correspondentes eventos de probabilidade um, a propriedade vale simultaneamente para todos eles.