Capítulo 14

Esperança Condicional

Uma sub-$\sigma $-álgebra $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$ representa informação parcial. Em $L^2$, as variáveis que usam apenas essa informação formam um subespaço fechado, e condicionar será projetar sobre esse subespaço. Depois, o Teorema de Radon–Nikodým permitirá estender a mesma construção para $L^1$.

14.1 Condicionamento como projeção em $\L ^2$

No espaço de Hilbert $\L ^2(\Omega , \mathcal{F}, \P )$, a norma é

\[ \| \xi \| _2 = (\mathbf{E}[ \xi ^2]) ^{1/2}. \]

Ela é induzida pelo produto interno

\[ \langle \xi , \eta \rangle = \mathbf{E}[ \xi \eta ]. \]

Lema 14.1

$\L ^2(\Omega ,\mathcal{G},\P )$ é um subespaço fechado de $\L ^2(\Omega ,\mathcal{F},\P )$.

Demonstração ▼

Seja $(X_n)$ uma sequência em $\L ^2(\Omega ,\mathcal{G},\P )$ que converge em $\L ^2$ para $X\in \L ^2(\Omega ,\mathcal{F},\P )$. Escolha uma subsequência $(X_{n_k})$ tal que

\[ \left\lVert X_{n_k}-X\right\rVert _2^2\leq 2^{-k}. \]

Para todo $\varepsilon \gt 0$, a desigualdade de Markov dá

\[ \sum _{k=1}^\infty \P (|X_{n_k}-X|\gt \varepsilon ) \leq \frac1{\varepsilon ^2}\sum _{k=1}^\infty \left\lVert X_{n_k}-X\right\rVert _2^2\lt \infty . \]

Pelo primeiro lema de Borel–Cantelli, para cada $\varepsilon \gt 0$, o evento $\{ |X_{n_k}-X|\gt \varepsilon \} $ ocorre apenas um número finito de vezes, quase certamente. Aplicando essa afirmação a $\varepsilon =1/m$, $m\geq 1$, e intersectando os correspondentes eventos de probabilidade um, obtemos

\[ X_{n_k}\longrightarrow X \qquad \text{quase certamente}. \]

Como cada $X_{n_k}$ é $\mathcal{G}$-mensurável, a variável $\widetilde X=\limsup _kX_{n_k}$ também é $\mathcal{G}$-mensurável e satisfaz $\widetilde X=X$ quase certamente. Assim, a classe de equivalência de $X$ pertence a $\L ^2(\Omega ,\mathcal{G},\P )$, que é, portanto, fechada.

$Ilustração: Condicionamento como projeção em $\L ^2$$

Definição 14.2 (Esperança condicional em $\L ^2$)

Seja $\xi \in \L ^2(\Omega ,\mathcal{F},\P )$ e seja $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$ uma sub-$\sigma $-álgebra. Definimos

\[ \mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}] := P_{\mathcal{G}}\xi , \]

onde $P_{\mathcal{G}}$ é a projeção ortogonal de $\L ^2(\Omega ,\mathcal{F},\P )$ sobre o subespaço fechado $\L ^2(\Omega ,\mathcal{G},\P )$.

Proposição 14.3 (Ortogonalidade)

Se $\xi \in \L ^2(\Omega ,\mathcal{F},\P )$, então

\[ \xi -\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\perp \L ^2(\Omega ,\mathcal{G},\P ). \]

Isto é, para todo $\zeta \in \L ^2(\Omega ,\mathcal{G},\P )$,

\[ \mathbf{E}\! \left[\zeta \bigl(\xi -\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\bigr)\right]=0. \]

Demonstração ▼

Pela definição em $\L ^2$, $\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]$ é a projeção ortogonal de $\xi $ sobre $\L ^2(\Omega ,\mathcal{G},\P )$. Logo o erro $\xi -\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]$ é ortogonal a todo elemento desse subespaço.

Teorema 14.4 (A esperança condicional é o melhor preditor quadrático)

Se $\xi \in \L ^2(\Omega ,\mathcal{F},\P )$, então, para toda $\eta \in \L ^2(\Omega ,\mathcal{G},\P )$,

\begin{equation} \label{cond_exp_MELHOR} \mathbf{E}\! \left[\bigl(\xi -\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\bigr)^2\right] \leq \mathbf{E}[(\xi -\eta )^2]. \tag{14.1} \end{equation}

Demonstração ▼

Ponha $Z=\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]$ e $\zeta =Z-\eta \in \L ^2(\Omega ,\mathcal{G},\P )$. Então

\[ \xi -\eta =(\xi -Z)+\zeta . \]

Pela Proposição 14.3, o produto cruzado tem esperança zero. Portanto, a identidade de Pitágoras dá

\begin{align*} \mathbf{E}[(\xi -\eta )^2] & =\mathbf{E}[(\xi -Z)^2]+\mathbf{E}[\zeta ^2] +2\mathbf{E}[\zeta (\xi -Z)]\\ & =\mathbf{E}[(\xi -Z)^2]+\mathbf{E}[\zeta ^2]\\ & \geq \mathbf{E}[(\xi -Z)^2], \end{align*}

que é (14.1).

O termo melhor tem aqui um sentido preciso: entre os preditores quadrado-integráveis que usam apenas a informação de $\mathcal{G}$, a esperança condicional minimiza o erro quadrático médio.

Proposição 14.5 (Caracterização integral em $\L ^2$)

Para todo $\xi \in \L ^2(\Omega ,\mathcal{F},\P )$ e todo $G\in \mathcal{G}$,

\[ \int _G\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\, \d\P = \int _G\xi \, \d\P . \]

Demonstração ▼

Ponha $\eta =P_{\mathcal{G}}\xi $. Como $\mathbb {1}_G\in \L ^2(\Omega ,\mathcal{G},\P )$, a ortogonalidade do erro à imagem da projeção fornece

\[ 0 = \langle \xi -\eta ,\mathbb {1}_G\rangle = \int _G\xi \, \d\P -\int _G\eta \, \d\P . \]

A identidade integral não menciona produto interno nem distância. Ela diz apenas que a variável condicionada é $\mathcal{G}$-mensurável e preserva as médias em todos os eventos observáveis. Essas duas propriedades continuam fazendo sentido quando $\xi $ é apenas integrável.

14.2 Da projeção em $\L ^2$ à esperança condicional em $\L ^1$

Definição 14.6 (Esperança condicional)

Seja $\xi \in \L ^1(\Omega ,\mathcal{F},\P )$ e seja $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$ uma sub-$\sigma $-álgebra. Uma esperança condicional de $\xi $ dada $\mathcal{G}$ é uma variável aleatória integrável $\eta $ tal que

$\eta $ é $\mathcal{G}$-mensurável;
para todo $G\in \mathcal{G}$,

\[ \int _G\xi \, \d\P = \int _G\eta \, \d\P . \]

Quando existir, denotaremos qualquer versão por $\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]$.

Para $\xi \in \L ^2$, a Proposição 14.5 mostra que esta definição coincide com a projeção ortogonal introduzida acima.

Teorema 14.7

A esperança condicional de uma variável aleatória integrável $\xi $, se existir, é única quase certamente.

Demonstração ▼

Suponha que $\eta $ e $\eta '$ satisfaçam as propriedades da esperança condicional. Pela segunda propriedade da definição,

\[ \displaystyle \int _A \eta \ d \P = \displaystyle \int _A \eta '\ d \P \text{ para todo } A \in \mathcal{G}. \]

Logo, $\int _A(\eta -\eta ')\, d\P =0$ para todo $A\in \mathcal{G}$. Para $\varepsilon \gt 0$, considere $A_\varepsilon =\{ \eta -\eta '\gt \varepsilon \} \in \mathcal{G}$. Então

\[ 0 = \displaystyle \int _{A_\epsilon } (\eta -\eta ') \ d \P \geq \P (A_\epsilon ) \cdot \epsilon . \]

Portanto, $\P (A_\varepsilon )=0$ para todo $\varepsilon \gt 0$. Como

\[ \{ \eta -\eta '\gt 0\} =\bigcup _{n=1}^\infty A_{1/n}, \]

a subaditividade enumerável implica

\[ \P (\eta -\eta '\gt 0) = 0. \]

Da mesma forma, trocando $\eta $ e $\eta '$, obtemos $\P (\eta '-\eta \gt 0)=0$. Logo, $\eta =\eta '$ quase certamente.

Teorema 14.8

A esperança condicional de uma variável aleatória integrável $\xi $ existe e é única quase certamente.

Demonstração ▼

Suponha primeiro $\xi \geq 0$. No espaço mensurável $(\Omega ,\mathcal{G})$, considere as medidas finitas

\[ \mu =\P |_{\mathcal{G}}, \qquad \nu (A)=\int _A\xi \, d\P , \quad A\in \mathcal{G}. \]

A medida $\nu $ é finita porque $\xi $ é integrável, e $\nu \ll \mu $: se $\P (A)=0$, então $\int _A\xi \, d\P =0$. Pelo Teorema de Radon–Nikodým, existe uma função $\mathcal{G}$-mensurável $f\geq 0$ tal que

\[ \nu (A)=\int _A f\, d\P \qquad \text{para todo }A\in \mathcal{G}. \]

Além disso, $\int f\, d\P =\nu (\Omega )=\mathbf{E}\xi \lt \infty $. Portanto, $f$ é integrável e satisfaz as duas propriedades da esperança condicional.

Para $\xi $ arbitrária, escreva $\xi =\xi ^+-\xi ^-$. Pelo caso não negativo, existem

\begin{align*} \eta _+& =\mathbf{E}[\xi ^+\mid \mathcal{G}],\\ \eta _-& =\mathbf{E}[\xi ^-\mid \mathcal{G}]. \end{align*}

A variável $\eta =\eta _+-\eta _-$ é $\mathcal{G}$-mensurável e integrável. Para todo $A\in \mathcal{G}$,

\[ \int _A\eta \, d\P =\int _A\eta _+\, d\P -\int _A\eta _-\, d\P =\int _A\xi ^+\, d\P -\int _A\xi ^-\, d\P =\int _A\xi \, d\P . \]

Isso prova a existência. A unicidade é o conteúdo do Teorema 14.7.

Os casos extremos esclarecem o papel da informação:

\[ \mathbf{E}[\xi \mid \{ \emptyset ,\Omega \} ]=\mathbf{E}\xi , \qquad \mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{F}]=\xi \]

quase certamente. Entre esses extremos, partições tornam visível o efeito do condicionamento.

Exemplo 14.9

Seja $G$ um evento tal que $0\lt \P (G)\lt 1$ e seja $\mathcal{G}=\sigma \langle G\rangle =\{ \emptyset ,G,G^c,\Omega \} $. Então,

\[ \mathbf{E}[\xi | \mathcal{G}] (\omega ) = \left\{ \begin{array}{ll} \mathbf{E}[\xi | G], & \text{ se } \omega \in G \\ \mathbf{E}[\xi | G ^c], & \text{ se } \omega \in G ^c. \end{array} \right\} = \eta (\omega ) \]

onde $\mathbf{E}[\xi \mid G]=\mathbf{E}[\xi \mathbb {1}_G]/\P (G)$. A variável aleatória definida acima é uma esperança condicional.

Demonstração ▼

A variável $ \eta $ é $ \mathcal{G}$-mensurável, porque $ \{ \omega : \eta (\omega ) \in B \} $ está em $ \mathcal{G}$ para todo conjunto de Borel $ B $ em $ \mathbb {R}$.

Pela definição das médias condicionadas aos eventos,

\[ \displaystyle \int _G \xi \ d \P = \displaystyle \int _G \eta \ d \P \]

\[ \displaystyle \int _{G ^c} \xi \ d \P = \displaystyle \int _{G ^c} \eta \ d \P . \]

As identidades para $\emptyset $ e $\Omega $ seguem dessas duas por aditividade. Logo, a igualdade das integrais vale para todo elemento de $\mathcal{G}$.

A mesma construção vale para uma partição enumerável: em cada parte, tomamos a média correspondente.

Exemplo 14.10

Considere $(\Omega ,\mathcal{F},\P )$ e uma variável aleatória integrável $\xi $. Seja $\mathcal P=\{ A_k:k\geq 1\} $ uma partição enumerável de $\Omega $, com $\P (A_k)\gt 0$ para todo $k$, e seja $\sigma \langle \mathcal P\rangle $ a $\sigma $-álgebra por ela gerada.

Então uma versão da esperança condicional é constante em cada elemento da partição e dada por

\[ \mathbf{E}[\xi \mid \sigma \langle \mathcal P\rangle ] =\sum _{k\geq 1}\mathbf{E}[\xi \mid A_k]\mathbb {1}_{A_k}. \]

A Figura 14.1 ilustra essa construção no caso unidimensional.

Heurística 14.11

Suponha que $\xi $ seja o saldo de uma conta no fim do dia, mas que a informação disponível revele apenas a faixa em que ele caiu. A esperança condicional atribui, em cada faixa, a média compatível com a informação observada. Ela não recupera o saldo exato nem altera a média em qualquer união de faixas conhecidas. Faz médias, não adivinhações.

Figura 14.1 No espaço [0,1] com medida de Lebesgue, as esperanças condicionais de xi (x)=x^2 dadas pelas partições em quartos e em metades são as médias de xi em cada átomo. — Figura 14.1 No espaço $[0,1]$ com medida de Lebesgue, as esperanças condicionais de $\xi (x)=x^2$ dadas pelas partições em quartos e em metades são as médias de $\xi $ em cada átomo.

14.3 Propriedades da esperança condicional

As propriedades seguintes decorrem da caracterização integral e da unicidade quase certa. Em cada caso, a estratégia será verificar a mensurabilidade e a igualdade das integrais nos eventos de $\mathcal{G}$.

Proposição 14.12 (Linearidade)

Se $\xi $ e $\eta $ são integráveis e $a,b\in \mathbb {R}$, então

\[ \mathbf{E}[a\xi +b\eta \mid \mathcal{G}] =a\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]+b\mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}] \]

quase certamente.

Demonstração ▼

A variável $a\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]+b\mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}]$ é $\mathcal{G}$-mensurável e integrável. Além disso, para todo $A\in \mathcal{G}$,

\begin{align*} \int _A\bigl(a\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]+b\mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}]\bigr)\, \d\P & =a\int _A\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\, \d\P +b\int _A\mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}]\, \d\P \\ & =a\int _A\xi \, \d\P +b\int _A\eta \, \d\P \\ & =\int _A(a\xi +b\eta )\, \d\P . \end{align*}

Portanto, ela satisfaz a definição de $\mathbf{E}[a\xi +b\eta \mid \mathcal{G}]$; a unicidade quase certa conclui a prova.

Corolário 14.13

A aplicação $X\mapsto \mathbf{E}[X\mid \mathcal{G}]$ é um operador linear de $\L ^1(\Omega ,\mathcal{F},\P )$ em $\L ^1(\Omega ,\mathcal{G},\P )$.

Demonstração ▼

A Proposição anterior fornece a linearidade. A existência, a integrabilidade e a $\mathcal{G}$-mensurabilidade da imagem seguem do Teorema 14.8 e da definição.

A esperança associa um número a cada variável integrável: é um funcional linear. A esperança condicional associa outra variável aleatória, mensurável em relação à informação disponível: é um operador linear.

Proposição 14.14 (Monotonicidade)

Se $\xi $ e $\eta $ são integráveis e $\xi \leq \eta $ quase certamente, então

\[ \mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\leq \mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}] \]

quase certamente.

Demonstração ▼

Para todo $A\in \mathcal{G}$,

\begin{align*} \displaystyle \int _A \mathbf{E}[\xi | \mathcal{G}] \ d \P & = \displaystyle \int _A \xi \ d \P \\ & \leq \displaystyle \int _A \eta \ d \P \\ & = \displaystyle \int _A \mathbf{E}[\eta | \mathcal{G}] \ d \P \end{align*}

Ponha $Z=\mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}]-\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]$. A variável $Z$ é $\mathcal{G}$-mensurável e $\int _AZ\, d\P \geq 0$ para todo $A\in \mathcal{G}$. Se $\{ Z\lt 0\} $ tivesse probabilidade positiva, algum conjunto $\{ Z\leq -1/m\} $ também teria probabilidade positiva, e a integral de $Z$ nesse conjunto seria estritamente negativa, uma contradição. Logo, $Z\geq 0$ quase certamente.

Corolário 14.15

Se $\xi $ é integrável, então

\[ \big|\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\big|\leq \mathbf{E}[|\xi |\mid \mathcal{G}] \]

quase certamente.

Demonstração ▼

Como $\xi \leq |\xi |$ e $-\xi \leq |\xi |$, a monotonicidade e a linearidade dão

\[ \mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\leq \mathbf{E}[|\xi |\mid \mathcal{G}], \qquad -\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\leq \mathbf{E}[|\xi |\mid \mathcal{G}]. \]

As duas desigualdades equivalem à conclusão.

Teorema 14.16 (Jensen condicional)

Se $Y\in L^1$ e $\varphi :\mathbb R\to \mathbb R$ é convexa, com $\varphi (Y)\in L^1$, então

\[ \varphi \bigl(\mathbf{E}[Y\mid \mathcal{G}]\bigr) \leq \mathbf{E}[\varphi (Y)\mid \mathcal{G}] \]

quase certamente.

Demonstração ▼

Uma função convexa real é o supremo de uma família enumerável de minorantes afins. Para ver isso, escolha uma reta de suporte em cada ponto racional. Se $q_k\in \mathbb Q$ converge para $x$, a convexidade mantém limitadas as inclinações dessas retas em qualquer intervalo compacto que contenha $x$ no interior; pela continuidade de $\varphi $, os valores das retas em $x$ convergem para $\varphi (x)$. Logo o supremo enumerável dessas retas coincide com $\varphi $ em todo ponto.

Escreva os minorantes como $\ell _j(x)=a_jx+b_j$. Pela linearidade e pela monotonicidade da esperança condicional,

\[ \ell _j\bigl(\mathbf{E}[Y\mid \mathcal{G}]\bigr) =\mathbf{E}[\ell _j(Y)\mid \mathcal{G}] \leq \mathbf{E}[\varphi (Y)\mid \mathcal{G}] \]

para todo $j$. Tomando o supremo sobre $j$, obtemos a desigualdade.

A convergência dominada também admite uma versão condicional.

Teorema 14.17 (Teorema da Convergência Dominada)

Suponha que $\xi _n\to \xi $ quase certamente e que $|\xi _n|\leq \eta $ quase certamente para todo $n$, onde $\eta $ é integrável. Então,

\[ \mathbf{E}[\xi _n\mid \mathcal{G}]\longrightarrow \mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}] \qquad \text{quase certamente.} \]

Demonstração ▼

Como $|\xi |\leq \eta $ quase certamente, $\xi $ é integrável. Defina

\[ Z_n=\sup _{k\geq n}|\xi _k-\xi |. \]

Então $0\leq Z_n\leq 2\eta $ e $Z_n\downarrow 0$ quase certamente. Pela linearidade, pelo corolário da monotonicidade e pela própria monotonicidade,

\begin{align*} \big|\mathbf{E}[\xi _n\mid \mathcal{G}]-\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\big| & =\big|\mathbf{E}[\xi _n-\xi \mid \mathcal{G}]\big|\\ & \leq \mathbf{E}[|\xi _n-\xi |\mid \mathcal{G}]\\ & \leq \mathbf{E}[Z_n\mid \mathcal{G}]. \end{align*}

Pela monotonicidade, e modificando todas as versões numa única união enumerável de conjuntos nulos, podemos escolher $W_n=\mathbf{E}[Z_n\mid \mathcal{G}]$ de modo que $W_n\downarrow W$ quase certamente, com $W\geq 0$. Para todo $n$,

\[ 0\leq \mathbf{E}W\leq \mathbf{E}W_n=\mathbf{E}Z_n. \]

Pelo Teorema da Convergência Dominada, $\mathbf{E}Z_n\to 0$. Logo, $\mathbf{E}W=0$ e $W=0$ quase certamente. A estimativa anterior conclui a prova.

Um fator já conhecido a partir de $\mathcal{G}$ pode ser retirado da esperança condicional, sob as condições de integrabilidade do enunciado seguinte.

Proposição 14.18 (Retirada do que é conhecido)

Se $\eta $ é integrável, $\xi $ é $\mathcal{G}$-mensurável e $\xi \eta $ é integrável, então

\[ \mathbf{E}[\xi \eta \mid \mathcal{G}]=\xi \mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}] \]

quase certamente.

Demonstração ▼

Primeiro suponha que $\xi =\mathbb {1}_B$ para algum $B\in \mathcal{G}$. Para todo $A\in \mathcal{G}$,

\[ \int _A\xi \mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}]\, d\P =\int _{A\cap B}\mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}]\, d\P =\int _{A\cap B}\eta \, d\P =\int _A\xi \eta \, d\P . \]

Por linearidade, a identidade vale quando $\xi $ é $\mathcal{G}$-mensurável simples.

Suponha agora $\xi \geq 0$ e $\eta \geq 0$. Tome funções simples $\mathcal{G}$-mensuráveis $\xi _n\uparrow \xi $. A identidade já provada para $\xi _n$ e o Teorema da Convergência Monótona, aplicado aos dois lados, dão, para todo $A\in \mathcal{G}$,

\[ \int _A\xi \mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}]\, d\P =\int _A\xi \eta \, d\P . \]

Aplicando esse caso a $|\xi |$ e $|\eta |$, com $A=\Omega $, obtemos

\[ \mathbf{E}\bigl[|\xi |\mathbf{E}(|\eta |\mid \mathcal{G})\bigr] =\mathbf{E}[|\xi |\, |\eta |]\lt \infty . \]

Como $|\mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}]|\leq \mathbf{E}[|\eta |\mid \mathcal{G}]$, o produto $\xi \mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}]$ é integrável. Finalmente, decompondo $\xi $ e $\eta $ em partes positiva e negativa e usando a linearidade, a identidade integral vale para toda $A\in \mathcal{G}$. Como $\xi \mathbf{E}[\eta \mid \mathcal{G}]$ é $\mathcal{G}$-mensurável, esse produto é uma versão de $\mathbf{E}[\xi \eta \mid \mathcal{G}]$.

Usaremos essa propriedade no estudo de martingalas, ao separar o que já é conhecido da informação que ainda será observada.

Proposição 14.19 (Condicionamento e independência)

Se $\xi \in L^1$ é independente de $\mathcal{G}$, isto é, $\sigma \langle \xi \rangle $ e $\mathcal{G}$ são independentes, então

\[ \mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]=\mathbf{E}[\xi ] \]

quase certamente.

Demonstração ▼

A constante $\mathbf{E}[\xi ]$ é $\mathcal{G}$-mensurável. Para $A\in \mathcal{G}$, a variável $\mathbb {1}_A$ é independente de $\xi $; portanto,

\[ \mathbf{E}[\xi \mathbb {1}_A] = \mathbf{E}[\xi ]\P (A) = \int _A \mathbf{E}[\xi ]\, \d\P . \]

Pela caracterização integral da esperança condicional, a conclusão segue.

A mesma ideia admite uma forma que será usada em processos de Markov.

Proposição 14.20 (Condicionamento com ruído independente)

Se $Y$ é $\mathcal{G}$-mensurável, $Z$ é independente de $\mathcal{G}$ e $f:\mathbb {R}^2\to \mathbb {R}$ é boreliana com $f(Y,Z)\in L^1$, defina

\[ g(y)=\mathbf{E}[f(y,Z)] \]

nos pontos em que a integral está definida. Então $g(Y)$ é integrável e

\[ \mathbf{E}[f(Y,Z)\mid \mathcal{G}]=g(Y) \]

quase certamente.

Demonstração ▼

Pela fórmula de integração em medidas produto,

\[ g(y)=\int _{\mathbb {R}}f(y,z)\, \P _Z(\d z) \]

é boreliana nos pontos em que a integral está definida. Como $Z$ é independente de $\mathcal{G}$, para todo $A\in \mathcal{G}$ o vetor $(\mathbb {1}_A,Y)$ é independente de $Z$. Logo, novamente por integração em produto,

\[ \mathbf{E}[\mathbb {1}_A f(Y,Z)] = \mathbf{E}[\mathbb {1}_A g(Y)]. \]

Aplicando a mesma identidade a $|f|$, vemos que $g(Y)$ é integrável. Assim, $g(Y)$ satisfaz a caracterização integral de $\mathbf{E}[f(Y,Z)\mid \mathcal{G}]$.

Proposição 14.21 (Propriedade da torre e condicionamento sucessivo)

Se $\xi $ é integrável e $\mathcal{G}_1\subseteq \mathcal{G}_2\subseteq \mathcal{F}$, então

$\mathbf{E}[\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}_1]\mid \mathcal{G}_2]=\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}_1]$;
$\mathbf{E}[\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}_2]\mid \mathcal{G}_1]=\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}_1]$,

quase certamente.

Demonstração ▼

Seja $\mathcal{G}_1\subseteq \mathcal{G}_2$.

A variável $\eta =\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}_1]$ é $\mathcal{G}_1$-mensurável e, portanto, também é $\mathcal{G}_2$-mensurável. Como uma variável integrável mensurável em relação à álgebra condicionante é sua própria esperança condicional,

\[ \mathbf{E}[\eta | \mathcal{G}_2] = \eta \]
Mostraremos que $\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}_1]$ é a esperança condicional de $\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}_2]$ dada $\mathcal{G}_1$.
1. Por definição, $\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}_1]$ é $\mathcal{G}_1$-mensurável.
2. Para $ A \in \mathcal{G}_1 $, queremos mostrar que
  
  \begin{equation} \label{cond_proj_2} \int _A\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}_1]\, d\P =\int _A\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}_2]\, d\P . \tag{14.2} \end{equation}
  
  Como $A\in \mathcal{G}_1\subseteq \mathcal{G}_2$, a definição de esperança condicional mostra que ambos os lados de (14.2) são iguais a
  
  \[ \displaystyle \int _A \xi \ d \P . \]
Isso prova o segundo item.

Corolário 14.22

Se $\xi $ é integrável, então

\[ \mathbf{E}[\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}]\mid \mathcal{G}]=\mathbf{E}[\xi \mid \mathcal{G}] \]

quase certamente.

Demonstração ▼

Aplique o primeiro item da proposição com $\mathcal{G}_1=\mathcal{G}_2=\mathcal{G}$.

Em particular, para uma $\sigma $-álgebra fixa, o operador

\[ P_{\mathcal{G}}:X\longmapsto \mathbf{E}[X\mid \mathcal{G}] \]

satisfaz $P_{\mathcal{G}}^2=P_{\mathcal{G}}$ em $\L ^1$. Quando $\mathcal{G}_1\subseteq \mathcal{G}_2$ e $X\in \L ^2$, a geometria reaparece:

\[ \L ^2(\Omega ,\mathcal{G}_1,\P ) \subseteq \L ^2(\Omega ,\mathcal{G}_2,\P ) \subseteq \L ^2(\Omega ,\mathcal{F},\P ), \]

e a propriedade da torre é exatamente

\[ P_{\mathcal{G}_1}P_{\mathcal{G}_2}=P_{\mathcal{G}_1}. \]

Assim, o condicionamento sucessivo em $\L ^2$ é a regra usual para projeções sobre subespaços fechados encaixados.

14.4 Esperança condicional em relação a uma variável aleatória

Observar uma variável aleatória significa conhecer os eventos que ela permite distinguir. Por isso, condicionar em uma variável é condicionar na $\sigma $-álgebra por ela gerada.

Definição 14.23

Dadas duas variáveis aleatórias $\xi $ e $\eta $, com $\xi $ integrável, definimos

\[ \mathbf{E}[\xi \mid \eta ]:=\mathbf{E}[\xi \mid \sigma \langle \eta \rangle ], \]

onde

\[ \sigma \langle \eta \rangle =\{ \eta ^{-1}(B):B\in \mathcal B(\mathbb {R})\} . \]

Proposição 14.24 (Esperança condicional como função da informação)

Se $\xi \in L^1$ e $\eta $ é uma variável aleatória real, existe uma função boreliana $h:\mathbb {R}\to \mathbb {R}$ tal que

\[ \mathbf{E}[\xi \mid \eta ]=h(\eta ) \]

quase certamente. A função $h$ é determinada $\P _\eta $-quase certamente.

Demonstração ▼

A variável $\mathbf{E}[\xi \mid \eta ]$ é $\sigma \langle \eta \rangle $-mensurável. Pelo Lema de fatoração de Doob–Dynkin, Proposição 4.23, existe uma função boreliana $h$ tal que $\mathbf{E}[\xi \mid \eta ]=h(\eta )$ quase certamente. Se $h_1(\eta )=h_2(\eta )$ quase certamente, então

\[ \P _\eta (\{ y:h_1(y)\neq h_2(y)\} ) = \P (h_1(\eta )\neq h_2(\eta )) =0, \]

o que dá a unicidade $\P _\eta $-quase certa.

Assim, condicionar em $\eta $ produz uma quantidade que depende de $\omega $ apenas por meio do valor observado de $\eta $.

Exemplo 14.25

Suponha que $\eta $ tome os valores $y_1,\ldots ,y_n$, todos com probabilidade positiva. Então $\sigma \langle \eta \rangle =\sigma \langle \Omega _1,\ldots ,\Omega _n\rangle $, onde $\Omega _k=\{ \eta =y_k\} $. Logo,

\[ \mathbf{E}[\xi \mid \eta ](\omega )=\mathbf{E}[\xi \mid \eta =y_k] \qquad \text{para }\omega \in \Omega _k. \]

14.5 Distribuições condicionais regulares

A esperança condicional de uma função de $X$ resume uma quantidade condicionada à informação fornecida por $Y$. Em muitos problemas, porém, queremos condicionar a própria distribuição de $X$.

Definição 14.26 (Distribuição condicional regular)

Sejam $X:\Omega \to S$ e $Y:\Omega \to T$ variáveis aleatórias com valores em espaços mensuráveis. Um núcleo de probabilidade

\[ K:T\times \mathcal S\longrightarrow [0,1] \]

é uma distribuição condicional regular de $X$ dado $Y$ se, para todo $A\in \mathcal S$,

\[ K(Y,A) \]

é uma versão de

\[ \P (X\in A\mid Y) =\mathbf{E}[\mathbb {1}_{\{ X\in A\} }\mid Y]. \]

Assim, para cada valor $y$, a aplicação $A\mapsto K(y,A)$ é uma probabilidade em $S$, enquanto, para cada evento $A$, a aplicação $y\mapsto K(y,A)$ é mensurável. A mesma estrutura reaparecerá no capítulo de processos de Markov, onde $K(x,\cdot )$ descreverá a distribuição do próximo estado a partir do estado atual.

A existência não é automática em espaços mensuráveis arbitrários. Ela é, porém, garantida na classe que cobre praticamente todos os espaços usuais da probabilidade.

Teorema 14.27 (Existência em espaços de Borel padrão)

Suponha que $S$ e $T$ sejam espaços de Borel padrão, isto é, mensuravelmente isomorfos a subconjuntos borelianos de espaços métricos completos e separáveis. Se $X:\Omega \to S$ e $Y:\Omega \to T$ são mensuráveis, então existe uma distribuição condicional regular de $X$ dado $Y$.

Duas versões $K$ e $K'$ podem ser escolhidas de modo que

\[ K(y,\cdot )=K'(y,\cdot ) \]

para $\P _Y$-quase todo $y$.

Espaços finitos ou enumeráveis, $\mathbb R^d$ e, mais geralmente, todos os espaços poloneses munidos de suas $\sigma $-álgebras de Borel pertencem a essa classe. A demonstração geral exige um argumento de regularização e seleção mensurável; aqui usaremos o teorema como a forma padrão de existência.

A principal utilidade do núcleo é permitir condicionar qualquer função de $X$, e não apenas indicadoras.

Proposição 14.28

Se $K$ é uma distribuição condicional regular de $X$ dado $Y$ e $f:S\to \mathbb R$ é mensurável, com $f(X)\in L^1$, então

\[ \mathbf{E}[f(X)\mid Y] = \int _S f(x)\, K(Y,\d x) \qquad \text{q.c.} \]

Demonstração ▼

Para $f=\mathbb {1}_A$, a identidade é a definição. Por linearidade, ela vale para funções simples. Para $f\geq 0$, tome funções simples $f_n\uparrow f$ e aplique o Teorema da Convergência Monótona aos dois lados. O caso integrável segue decompondo $f=f^+-f^-$.

Exemplo 14.29 (Caso discreto)

Se $Y$ toma valores num conjunto enumerável e $\P (Y=y)\gt 0$, então

\[ K(y,A) = \P (X\in A\mid Y=y) = \frac{\P (X\in A,\ Y=y)}{\P (Y=y)}. \]

A distribuição condicional regular recupera, portanto, a noção elementar de probabilidade condicional em cada fibra $\{ Y=y\} $.

Exemplo 14.30 (Densidade conjunta)

Se $(X,Y)$ possui densidade conjunta $f_{X,Y}$ e

\[ f_Y(y)=\int _{\mathbb R}f_{X,Y}(x,y)\, \d x\gt 0, \]

então

\[ K(y,\d x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\, \d x \]

é uma distribuição condicional regular de $X$ dado $Y$ para $\P _Y$-quase todo $y$. Em particular,

\[ \mathbf{E}[h(X)\mid Y] = \int _{\mathbb R} h(x)\frac{f_{X,Y}(x,Y)}{f_Y(Y)}\, \d x. \]

Exercício 14.1

Seja $\mathcal G=\sigma \langle A_1,\ldots ,A_m\rangle $, onde $A_1,\ldots ,A_m$ formam uma partição mensurável de $\Omega $ e $\P (A_j)\gt 0$ para todo $j$. Se $X\in L^1$, prove que

\[ \mathbf{E}[X\mid \mathcal G] =\sum _{j=1}^{m} \frac{\mathbf{E}[X\mathbb {1}_{A_j}]}{\P (A_j)} \mathbb {1}_{A_j} \qquad \text{quase certamente}. \]

Ver solução

O lado direito é $\mathcal G$-mensurável. Se $G\in \mathcal G$, então $G$ é união de algumas células $A_j$, e a integral do lado direito sobre $G$ é

\[ \sum _{A_j\subseteq G} \frac{\mathbf{E}[X\mathbb {1}_{A_j}]}{\P (A_j)}\P (A_j) =\mathbf{E}[X\mathbb {1}_G]. \]

Isso caracteriza a esperança condicional.

Exercício 14.2

Se $Y$ assume os valores distintos $y_1,y_2,\ldots $ e $\P (Y=y_j)\gt 0$, prove que, para $X\in L^1$,

\[ \mathbf{E}[X\mid Y] =g(Y), \qquad g(y_j)=\mathbf{E}[X\mid Y=y_j]. \]

Explique como a fórmula deve ser interpretada nos valores $y$ que têm probabilidade zero.

Ver solução

$g(Y)$ é $\sigma \langle Y\rangle $-mensurável. Para cada átomo $\{ Y=y_j\} $,

\[ \int _{\{ Y=y_j\} }g(Y)\, \d P =g(y_j)\P (Y=y_j)=\mathbf{E}[X\mathbb {1}_{\{ Y=y_j\} }]. \]

Somando átomos obtemos a identidade para todo evento de $\sigma \langle Y\rangle $. Nos valores que $Y$ assume com probabilidade zero, $g$ pode ser definida arbitrariamente, pois isso não altera $g(Y)$ quase certamente.

Exercício 14.3

Seja $X\in L^1$ e seja $\mathcal G\subseteq \mathcal F$ uma $\sigma $-álgebra independente de $\sigma \langle X\rangle $. Prove que

\[ \mathbf{E}[X\mid \mathcal G]=\mathbf{E}[X] \qquad \text{quase certamente}. \]

Ver solução

A constante $\mathbf{E}X$ é $\mathcal G$-mensurável. Para $G\in \mathcal G$, a independência de $G$ e $X$ (primeiro para simples e depois por aproximação) dá $\mathbf{E}[X\mathbb {1}_G]=\mathbf{E}X\, \P (G)=\int _G\mathbf{E}X\, \d P$. A caracterização da esperança condicional conclui.

Exercício 14.4

Sejam $\mathcal G_1\subseteq \mathcal G_2\subseteq \mathcal F$ e $X\in L^1$. Prove a propriedade da torre

\[ \mathbf{E}\bigl[\mathbf{E}[X\mid \mathcal G_2]\mid \mathcal G_1\bigr] =\mathbf{E}[X\mid \mathcal G_1]. \]

Dê um exemplo mostrando que, em geral, $\mathbf{E}[\mathbf{E}[X\mid \mathcal G_1]\mid \mathcal G_2]$ não recupera $X$.

Ver solução

$Y=\mathbf{E}[X\mid \mathcal G_2]$ é integrável. Para $G\in \mathcal G_1\subseteq \mathcal G_2$, $\int _GY\, \d P=\int _GX\, \d P$; logo $\mathbf{E}[Y\mid \mathcal G_1]=\mathbf{E}[X\mid \mathcal G_1]$. Para a recíproca, tome $\mathcal G_1=\{ \varnothing ,\Omega \} $, $\mathcal G_2=\sigma \langle X\rangle $ e $X$ integrável não constante. Então $\mathbf{E}[\mathbf{E}[X\mid \mathcal G_1]\mid \mathcal G_2]=\mathbf{E}X\neq X$.

Exercício 14.5

Sejam $X_1,\ldots ,X_n$ variáveis de Bernoulli i.i.d. de parâmetro $p$ e $S_n=X_1+\cdots +X_n$. Use a simetria entre as coordenadas para provar que

\[ \mathbf{E}[X_k\mid S_n]=\frac{S_n}{n} \qquad \text{quase certamente}, \quad k=1,\ldots ,n. \]

Ver solução

Condicionado a $S_n=m$, todas as configurações com $m$ sucessos têm a mesma probabilidade. Por simetria, $\P (X_k=1\mid S_n=m)=m/n$; portanto $\mathbf{E}[X_k\mid S_n=m]=m/n$. Equivalentemente, as $n$ esperanças condicionais são iguais e sua soma é $\mathbf{E}[S_n\mid S_n]=S_n$.

Exercício 14.6

Seja $X\in L^2$ e $\mathcal G\subseteq \mathcal F$. Prove a decomposição da variância

\[ \operatorname {Var}(X) =\mathbf{E}[\operatorname {Var}(X\mid \mathcal G)] +\operatorname {Var}(\mathbf{E}[X\mid \mathcal G]), \]

onde

\[ \operatorname {Var}(X\mid \mathcal G) =\mathbf{E}\bigl[(X-\mathbf{E}[X\mid \mathcal G])^2\mid \mathcal G\bigr]. \]

Ver solução

Ponha $M=\mathbf{E}[X\mid \mathcal G]$. Como $X-\mathbf{E}X=(X-M)+(M-\mathbf{E}X)$, ao elevar ao quadrado o termo cruzado tem esperança zero: $\mathbf{E}[(X-M)(M-\mathbf{E}X)]=\mathbf{E}[(M-\mathbf{E}X)\mathbf{E}[X-M\mid \mathcal G]]=0$. Logo $\operatorname {Var}X=\mathbf{E}[(X-M)^2]+\mathbf{E}[(M-\mathbf{E}X)^2]$, que são os dois termos exibidos.

Exercício 14.7

Prove que a esperança condicional é uma contração:

se $X\in L^1$, então $\| \mathbf{E}[X\mid \mathcal G]\| _1\leq \| X\| _1$;
se $X\in L^2$, então $\| \mathbf{E}[X\mid \mathcal G]\| _2\leq \| X\| _2$. Indique em cada item se você está usando Jensen condicional ou a interpretação como projeção.

Ver solução

Em $L^1$ bastam a linearidade e a positividade da esperança condicional: de $\mathbf{E}[X\mid \mathcal G]=\mathbf{E}[X^+\mid \mathcal G]-\mathbf{E}[X^-\mid \mathcal G]$, com as duas parcelas não negativas, segue

\[ \bigl|\mathbf{E}[X\mid \mathcal G]\bigr| \leq \mathbf{E}[X^+\mid \mathcal G]+\mathbf{E}[X^-\mid \mathcal G] =\mathbf{E}[|X|\mid \mathcal G], \]

e integrando obtemos $\| \mathbf{E}[X\mid \mathcal G]\| _1\leq \| X\| _1$. (É a desigualdade de Jensen condicional aplicada a $|\cdot |$, aqui obtida diretamente.) Em $L^2$ usa-se a interpretação como projeção: como $\mathbf{E}[\cdot \mid \mathcal G]$ é a projeção ortogonal sobre $L^2(\mathcal G)$, a decomposição $X=\mathbf{E}[X\mid \mathcal G]+\bigl(X-\mathbf{E}[X\mid \mathcal G]\bigr)$ é ortogonal e o teorema de Pitágoras dá

\[ \| X\| _2^2=\bigl\| \mathbf{E}[X\mid \mathcal G]\bigr\| _2^2 +\bigl\| X-\mathbf{E}[X\mid \mathcal G]\bigr\| _2^2 \geq \bigl\| \mathbf{E}[X\mid \mathcal G]\bigr\| _2^2 . \]

Exercício 14.8

Sejam $X$ e $Y$ independentes, ambos com distribuição $N(0,1)$, e ponha $S=X+Y$.

Prove que

\[ \mathbf{E}[X\mid S]=\frac S2. \]

Dica. Mostre que $X-S/2=(X-Y)/2$ é independente de $S$.
Calcule o erro quadrático médio de $S/2$ como estimador de $X$ e compare-o com o erro do estimador constante $0$.

Ver solução

Ponha $U=X-Y$ e $V=X+Y=S$. Como $X$ e $Y$ são independentes e normais padrão, a densidade conjunta de $(X,Y)$ é

\[ f_{X,Y}(x,y)=\frac1{2\pi }\exp \! \left\{ -\frac{x^2+y^2}{2}\right\} . \]

A transformação inversa é

\[ x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{v-u}{2}, \]

cujo jacobiano tem módulo $1/2$. Além disso, $x^2+y^2=(u^2+v^2)/2$. Pela fórmula de mudança de variáveis,

\[ f_{U,V}(u,v) =\frac1{4\pi }\exp \! \left\{ -\frac{u^2+v^2}{4}\right\} =\left(\frac1{\sqrt{4\pi }}e^{-u^2/4}\right) \left(\frac1{\sqrt{4\pi }}e^{-v^2/4}\right). \]

Portanto $U$ e $V$ são independentes, ambos com distribuição $N(0,2)$. Em particular, $(X-Y)/2=U/2$ é independente de $S=V$ e tem média zero. Como

\[ X=\frac S2+\frac{X-Y}{2}, \]

segue que

\[ \mathbf{E}[X\mid S]=\frac S2. \]

Finalmente,

\[ \mathbf{E}[(X-S/2)^2] =\operatorname {Var}\! \left(\frac{X-Y}{2}\right) =\frac14\bigl(\operatorname {Var}X+\operatorname {Var}Y\bigr)=\frac12, \]

enquanto o estimador constante $0$ tem erro quadrático $\mathbf{E}[X^2]=1$.

Exercício 14.9

Seja $A\in \mathcal F$, com $0\lt \P (A)\lt 1$, e $\mathcal G=\sigma \langle A\rangle $. Para $X\in L^1$, prove que

\[ \mathbf{E}[X\mid \mathcal G] =\mathbf{E}[X\mid A]\mathbb {1}_A +\mathbf{E}[X\mid A^c]\mathbb {1}_{A^c}. \]

Use essa fórmula para calcular uma esperança condicional concreta de sua escolha num espaço amostral finito.

Ver solução

As variáveis $\mathcal G$-mensuráveis são constantes em $A$ e em $A^c$. Impor a igualdade das integrais sobre esses dois átomos determina as constantes como $\mathbf{E}[X\mid A]$ e $\mathbf{E}[X\mid A^c]$. Por exemplo, em $\Omega =\{ 1,2,3,4\} $ equiprovável, tome $A=\{ 1,2\} $ e $X(1),\ldots ,X(4)=(1,3,0,2)$. Então $\mathbf{E}[X\mid \sigma \langle A\rangle ]=2\mathbb {1}_A+1\mathbb {1}_{A^c}$.

Exercício 14.10 (title=Cauchy–Schwarz condicional,difficulty=3)

Se $X,Y\in L^2$ e $\mathcal G\subseteq \mathcal F$, prove que

\[ |\mathbf{E}[XY\mid \mathcal G]|^2 \le \mathbf{E}[X^2\mid \mathcal G]\, \mathbf{E}[Y^2\mid \mathcal G] \qquad \text{q.c.} \]

Sugestão: condicione $(X+tY)^2$ para $t\in \mathbb Q$.

Ver solução

Para cada $t\in \mathbb Q$,

\[ 0\le \mathbf{E}[(X+tY)^2\mid \mathcal G]=A+2tB+t^2C, \]

onde $A=\mathbf{E}[X^2\mid \mathcal G]$, $B=\mathbf{E}[XY\mid \mathcal G]$ e $C=\mathbf{E}[Y^2\mid \mathcal G]$. Intersectando os eventos de probabilidade um sobre os racionais, a desigualdade vale para todo $t\in \mathbb R$. O discriminante é não positivo, logo $B^2\le AC$ q.c.

Exercício 14.11 (title=Esperança condicional por densidade conjunta,difficulty=3)

Suponha que $(X,Y)$ tenha densidade conjunta $f_{X,Y}$ e

\[ f_Y(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\, dx. \]

Para $f_Y(y)\gt 0$, defina

\[ g(y)=\frac{\int h(x)f_{X,Y}(x,y)\, dx}{f_Y(y)}. \]

Prove que $g(Y)$ é uma versão de $\mathbf{E}[h(X)\mid Y]$.
Se $X,Y$ são exponenciais independentes de mesma taxa e $S=X+Y$, mostre que $X\mid S=s$ é uniforme em $(0,s)$ e conclua $\mathbf{E}[X\mid S]=S/2$.

Ver solução

Para todo boreliano $B$, Fubini dá

\[ \mathbf{E}[h(X)\mathbb {1}_{\{ Y\in B\} }] =\int _B\int h(x)f_{X,Y}(x,y)\, dx\, dy =\mathbf{E}[g(Y)\mathbb {1}_{\{ Y\in B\} }], \]

que caracteriza a esperança condicional. No caso exponencial, a mudança $(x,y)\mapsto (x,s=x+y)$ produz, para $0\lt x\lt s$, densidade proporcional a $e^{-\lambda s}$, constante em $x$ quando $s$ é fixado. Logo $f_{X\mid S}(x\mid s)=1/s$ e $\mathbf{E}[X\mid S=s]=s/2$.

Exercício 14.12 (title=Raio e ângulo no disco,difficulty=3)

Escolha $(X,Y)$ uniformemente no disco unitário e escreva

\[ R=\sqrt{X^2+Y^2},\qquad \Theta =\operatorname {Arg}(X+iY)\in [0,2\pi ). \]

Determine a densidade conjunta de $(R,\Theta )$, as marginais e a lei condicional de $\Theta $ dado $R=r$. O raio e o ângulo são independentes?

Ver solução

A densidade cartesiana é $1/\pi $ no disco e o jacobiano polar é $r$. Portanto

\[ f_{R,\Theta }(r,\theta )=\frac r\pi ,\qquad 0\lt r\lt 1,\ 0\lt \theta \lt 2\pi . \]

Assim,

\[ f_R(r)=2r,\qquad f_\Theta (\theta )=\frac1{2\pi }. \]

A densidade conjunta é o produto das marginais, logo $R$ e $\Theta $ são independentes e $f_{\Theta \mid R}(\theta \mid r)=1/(2\pi )$.

Exercício 14.13 (title=Grafos aleatórios: triângulos condicionados ao número de arestas,difficulty=3)

Em $G(n,p)$, ponha $N=\binom n2$, seja $M$ o número total de arestas e $T$ o número de triângulos. Use o fato de que, condicionado a $M=m$, o grafo tem lei $G(n,m)$ para provar

\[ \mathbf{E}[T\mid M=m] = \binom n3\frac{(m)_3}{(N)_3}. \]

Conclua que

\[ \mathbf{E}[T\mid M] = \binom n3\frac{(M)_3}{(N)_3}. \]

Ver solução

Fixe um triângulo. Sob $G(n,m)$, a probabilidade de suas três arestas pertencerem ao conjunto uniforme de $m$ arestas é

\[ \frac{\binom {N-3}{m-3}}{\binom Nm} =\frac{(m)_3}{(N)_3}. \]

Somando as indicadoras dos $\binom n3$ triângulos e usando linearidade da esperança condicional,

\[ \mathbf{E}[T\mid M=m] =\binom n3\frac{(m)_3}{(N)_3}. \]

Substituir $m$ pela variável $M$ fornece a segunda identidade.

Esperança Condicional

14.1 Condicionamento como projeção em \(\L ^2\)

14.2 Da projeção em \(\L ^2\) à esperança condicional em \(\L ^1\)

14.3 Propriedades da esperança condicional

14.4 Esperança condicional em relação a uma variável aleatória

14.5 Distribuições condicionais regulares