Capítulo 4

Variáveis Aleatórias

Até aqui, os resultados de um experimento permaneceram no espaço abstrato \(\Omega \). Para calcular com eles, precisamos transformá-los em números, vetores ou outros objetos conhecidos. Uma variável aleatória realiza essa tradução. A exigência de mensurabilidade garante que, ao formularmos uma pergunta sobre seu valor, a resposta corresponda a um evento do modelo.

4.1 Funções Mensuráveis

Uma função entre espaços mensuráveis deve respeitar as famílias de conjuntos que escolhemos observar. Essa compatibilidade é expressa pelas pré-imagens.

Definição 4.1

Dados \((\Omega _1, \mathcal{F}_1)\) e \((\Omega _2, \mathcal{F}_2)\) espaços mensuráveis, uma função \(f : \Omega _1 \rightarrow \Omega _2\) é dita \(\mathcal{F}_{1}-\mathcal{F}_{2}\)-mensurável ou simplesmente \(\textbf{{mensurável}}\) se a pré-imagem de todo conjunto mensurável é mensurável. Ou seja, se

\[ A \in \mathcal{F}_2 \ \Longrightarrow \ f^{-1}(A) \in \mathcal{F}_1 . \]

Figura 4.1 A mensurabilidade exige que a pré-imagem f^(-1)(A) de cada conjunto mensurável A∈ mathcal F_2 pertença a mathcal F_1. — Figura 4.1 A mensurabilidade exige que a pré-imagem \(f^{-1}(A)\) de cada conjunto mensurável \(A\in \mathcal F_2\) pertença a \(\mathcal F_1\).

Observação 4.2

Se \(f:\Omega _1\to \Omega _2\) é \(\mathcal{F}_1\)–\(\mathcal{F}_2\)-mensurável e \(\mathcal{F}_1\subseteq \mathcal{F}'_1\), então \(f\) também é \(\mathcal{F}'_1\)–\(\mathcal{F}_2\)-mensurável. Aumentar a \(\sigma \)-álgebra do domínio só torna a condição de mensurabilidade mais fácil de satisfazer.
O mesmo não ocorre quando aumentamos a \(\sigma \)-álgebra do contradomínio. Por exemplo, a identidade de \(\mathbb {R}\) em \(\mathbb {R}\), embora contínua, não é \(\mathcal{B}(\mathbb {R})\)–\(\overline{\mathcal{B}(\mathbb {R})}\)-mensurável: a pré-imagem de um conjunto Lebesgue mensurável não boreliano é o próprio conjunto. Em contraste, toda função contínua \(\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) é \(\overline{\mathcal{B}(\mathbb {R})}\)–\(\mathcal{B}(\mathbb {R})\)-mensurável.

A família das funções mensuráveis é ampla: para funções reais, por exemplo, a continuidade é suficiente. Verificar diretamente a pré-imagem de todo conjunto mensurável, contudo, seria impraticável. O resultado seguinte permite trabalhar apenas com uma família geradora.

Teorema 4.3

Seja \(f:(\Omega _1,\mathcal{F}_1)\to (\Omega _2,\mathcal{F}_2)\) e suponha que \(\mathcal{F}_2=\sigma \langle \mathcal A\rangle \) para alguma \(\mathcal A\subseteq \mathcal{F}_2\). Se

\[ f^{-1}(A)\in \mathcal{F}_1 \qquad \text{para todo }A\in \mathcal A, \]

então \(f\) é mensurável.

Demonstração ▼

Defina

\[ \mathscr G = \{ A\in \sigma \langle \mathcal A\rangle :f^{-1}(A)\in \mathcal{F}_1\} . \]

Por hipótese, \(\mathcal A\subseteq \mathscr G\). Além disso, \(\Omega _2\in \mathscr G\), pois \(f^{-1}(\Omega _2)=\Omega _1\in \mathcal{F}_1\). Se \(A\in \mathscr G\), então

\[ f^{-1}(A^\mathsf c) = \bigl(f^{-1}(A)\bigr)^\mathsf c\in \mathcal{F}_1, \]

e, se \(A_1,A_2,\ldots \in \mathscr G\),

\[ f^{-1}\left(\bigcup _nA_n\right) = \bigcup _n f^{-1}(A_n)\in \mathcal{F}_1. \]

Logo \(\mathscr G\) é uma \(\sigma \)-álgebra que contém \(\mathcal A\). Como \(\sigma \langle \mathcal A\rangle \) é a menor \(\sigma \)-álgebra com essa propriedade, segue que \(\mathscr G=\sigma \langle \mathcal A\rangle \).

Corolário 4.4

Sejam \((\Omega , \mathcal{F})\) um espaço mensurável e \(f:\Omega \rightarrow \mathbb {R}\) uma função real. Nestas condições são equivalentes as seguintes afirmativas:

\(f\) é \(\mathcal{F}-\mathcal{B}(\mathbb {R})\) mensurável (mensurável a Borel);
\(\{ \omega \in \Omega : f(\omega )\leq x\} =f^{-1}((-\infty , x])\in \mathcal{F}\) para todo \(x\in \mathbb {R}\);
\(\{ \omega \in \Omega : f(\omega )\lt x\} =f^{-1}((-\infty , x))\in \mathcal{F}\) para todo \(x\in \mathbb {R}\);
\(\{ \omega \in \Omega : f(\omega )\geq x\} =f^{-1}([x, +\infty ))\in \mathcal{F}\) para todo \(x\in \mathbb {R}\);
\(\{ \omega \in \Omega : f(\omega )\gt x\} =f^{-1}((x, +\infty ))\in \mathcal{F}\) para todo \(x\in \mathbb {R}\);

Demonstração ▼

Basta lembrar que

\begin{align*} \mathcal{B}(\mathbb {R}) & =\sigma \langle \{ (-\infty , x]: x\in \mathbb {R}\} \rangle \\ & =\sigma \langle \{ (-\infty , x): x\in \mathbb {R}\} \rangle \\ & =\sigma \langle \{ [x, +\infty ): x\in \mathbb {R}\} \rangle \\ & =\sigma \langle \{ (x, +\infty ): x\in \mathbb {R}\} \rangle \end{align*}

Os exemplos seguintes mostram como a mensurabilidade aparece nas construções mais simples.

Exemplo 4.5 (Função Indicadora de um Evento)

Se \((\Omega ,\mathcal{F})\) é um espaço mensurável e \(A\in \mathcal{F}\), a função indicadora de \(A\), denotada por \(\mathbb {1}_A\), é definida por

\[ \mathbb {1}_A(\omega ) = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & ,\quad \omega \in A \\ 0 & ,\quad \omega \not\in A.\end{array} \right. \]

Para \(B\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\), temos

\[ \mathbb {1}_A^{-1}(B) = \left\{ \begin{array}{cc} \emptyset & ,\quad 0, 1\notin B; \\ \Omega & ,\quad 0, 1\in B; \\ A & ,\quad 0\notin B\mbox{ e } 1\in B; \\ A^c & ,\quad 1\notin B\mbox{ e } 0\in B. \\ \end{array} \right. \]

Em todos os casos, a pré-imagem pertence a \(\mathcal{F}\); portanto, \(\mathbb {1}_A\) é mensurável.

Exemplo 4.6 (Funções Simples)

O exemplo anterior se estende imediatamente a funções com imagem finita.

Se \(A_1,\ldots ,A_n\in \mathcal{F}\) formam uma partição de \(\Omega \) e \(a_1,\ldots ,a_n\in \mathbb {R}\), então

\[ \xi (\omega )=\sum _{k=1}^na_k\mathbb {1}_{A_k}(\omega ). \]

Quando os \(a_k\) são distintos, \(A_k=\xi ^{-1}(\{ a_k\} )\). Mais geralmente, para todo boreliano \(B\),

\[ \xi ^{-1}(B)=\bigcup _{k:a_k\in B}A_k\in \mathcal{F}, \]

onde a união acima é vazia se \(\{ k:a_k\in B\} =\emptyset .\)

A próxima proposição amplia a coleção de exemplos ao relacionar continuidade e mensurabilidade.

Proposição 4.7 (Mensurabilidade de aplicações contínuas)

Seja \((\Omega _1, d_1)\) e \((\Omega _2, d_2)\) espaços métricos e seja \(f: \Omega _1 \to \Omega _2\) uma aplicação contínua. Então \(f\) é \(\mathcal{B}(\Omega _1) - \mathcal{B}(\Omega _2)\)-mensurável.

Demonstração ▼

Da continuidade de \(f\), sabemos que \(f^{-1}(U)\) é aberto em \(\Omega _1\) sempre que \(U\) é aberto em \(\Omega _2\). Como os abertos geram \(\mathcal{B}(\Omega _2)\), o Teorema 4.3 mostra que \(f\) é \(\mathcal{B}(\Omega _1)\)–\(\mathcal{B}(\Omega _2)\)-mensurável.

Além de reconhecer funções mensuráveis, precisamos saber como combiná-las. O próximo resultado trata da composição.

Proposição 4.8

Dadas funções mensuráveis \(g : \Omega _1 \rightarrow \Omega _2\) e \(f: \Omega _2 \rightarrow \Omega _3 .\) Então a composição \(f\circ g\) é mensurável.

Demonstração ▼

Para todo conjunto mensurável \(A\) do espaço de chegada de \(f\),

\[ (f\circ g)^{-1}(A)=g^{-1}\bigl(f^{-1}(A)\bigr). \]

Como \(f\) é mensurável, \(f^{-1}(A)\) é mensurável no espaço intermediário; como \(g\) é mensurável, a pré-imagem desse conjunto por \(g\) é mensurável no espaço inicial.

Exemplo 4.9

Se \(f:(\Omega , \mathcal{F})\rightarrow (\mathbb {R}^n, \mathcal{B}(\mathbb {R}^n))\) é uma função mensurável, tal que

\[ f(\omega )=(f_1(\omega ), \ldots , f_n(\omega )), \]

com \(f_k:\Omega \rightarrow \mathbb {R}, k=1, \ldots , n\), então \(f_k\) é uma função mensurável, para cada \(k=1, \ldots , n .\)

Para ver isso tome a projeção canônica \(\pi _k:\mathbb {R}^n\rightarrow \mathbb {R}\) dada por \(\pi _k(x_1, \ldots , x_n)=x_k\) e note que

\[ \pi _k^{-1}((-\infty ,x])=\mathbb {R}^{k-1}\times (-\infty ,x]\times \mathbb {R}^{n-k}\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n), \]

e, pelo corolário 4.4, \(\pi _k\) é mensurável.

Para ver que \(f_k\) é mensurável basta notar que \(f_k=\pi _k\circ f\), e o resultado segue da proposição 4.8.

4.2 Variáveis Aleatórias

Uma variável aleatória representa uma quantidade associada a um experimento. Ao lançar um dado duas vezes, podemos observar o primeiro resultado, o segundo ou a soma dos dois. Cada escolha define uma variável aleatória sobre o mesmo espaço amostral.

Formalmente, uma variável aleatória é simplesmente uma função real mensurável, tomando em \(\mathbb {R}\) a \(\sigma \)-álgebra de Borel \(\mathcal B(\mathbb {R})\).

Definição 4.10

Uma \(\textbf{{variável aleatória}}\) é uma função mensurável que toma valores em \(\mathbb {R}\)

\[ \xi : (\Omega , \mathcal{F}) \rightarrow (\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R})). \]

Observação 4.11

Em muitas aplicações, interessa a distribuição dos valores de uma variável aleatória, enquanto a descrição particular do espaço amostral fica em segundo plano. A função continua sendo mensurável; muda o aspecto que colocamos em evidência.

Quando o espaço de chegada é \(\mathbb {R}^n\), uma aplicação mensurável é chamada de vetor aleatório. Escrevemos usualmente \(X=(X_1,\ldots ,X_n)\); cada coordenada \(X_k\) é então uma variável aleatória, como no Exemplo 4.9.

As funções simples da seção anterior recebem, no contexto probabilístico, a denominação seguinte.

Definição 4.12 (Variável Aleatória Simples)

Seja \((\Omega ,\mathcal{F})\) um espaço mensurável. Uma variável aleatória \(\xi :\Omega \to \mathbb {R}\) é simples se assume apenas um número finito de valores. Equivalentemente, existem conjuntos mensuráveis dois a dois disjuntos \(A_1,\ldots ,A_n\) e números \(a_1,\ldots ,a_n\) tais que

\[ \xi =\sum _{k=1}^n a_k\mathbb {1}_{A_k}. \]

A representação não é única. Se os conjuntos \(A_1,\ldots ,A_n\) não cobrem \(\Omega \), podemos acrescentar

\[ A_0=\left(\bigcup _{k=1}^nA_k\right)^\mathsf c, \qquad a_0=0, \]

e obter uma partição sem alterar a variável:

\[ \xi =\sum _{k=1}^n a_k\mathbb {1}_{A_k} =\sum _{k=0}^n a_k\mathbb {1}_{A_k}. \]

Retomamos agora o resultado da seção anterior na notação de variáveis aleatórias.

Teorema 4.13

Seja \(\xi :\Omega \to \mathbb {R}\) definida no espaço de probabilidade \((\Omega ,\mathcal{F},\P )\). Então \(\xi \) é uma variável aleatória se, e somente se, \(\{ \omega :\xi (\omega )\leq a\} \in \mathcal{F}\) para todo \(a\in \mathbb {R}\).

Demonstração ▼

A implicação direta segue da definição. Para a recíproca, use o Teorema 4.3 e a identidade

\[ \mathcal{B}(\mathbb {R})=\sigma \big\langle \{ (-\infty ,a]:a\in \mathbb {R}\} \big\rangle . \]

Com efeito, \(\xi ^{-1}((-\infty ,a])=\{ \omega :\xi (\omega )\leq a\} \in \mathcal{F}\) por hipótese.

Adotaremos uma notação que permite formular os eventos diretamente em termos dos valores das variáveis.

Para uma variável aleatória \(\xi \) e um boreliano \(A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\), escreveremos:

\[ \{ \xi \in A\} :=\{ \omega : \xi (\omega )\in A\} =\xi ^{-1}(A). \]

Do mesmo modo, para \(a, b\in \mathbb {R}\),

\[ \{ \xi \leq a\} :=\{ \omega : \xi (\omega )\leq a\} =\xi ^{-1}((-\infty ,a]), \]

\[ \{ \xi \gt b\} :=\{ \omega : \xi (\omega )\gt b\} =\xi ^{-1}((b, +\infty )), \]

\[ \{ b\leq \xi \leq a\} :=\{ \omega :b\leq \xi (\omega )\leq a\} =\xi ^{-1}([b,a]), \]

e assim por diante.

Para variáveis aleatórias \(\xi , \eta \), faremos

\[ \{ \xi \in A, \eta \in B\} =\{ \xi \in A\} \cap \{ \eta \in B\} . \]

A notação destaca os valores de \(\xi \), mas continua designando eventos no espaço amostral. O domínio fica implícito, não desaparece.

4.3 Funções de Variáveis Aleatórias

Depois de construir variáveis aleatórias, queremos combiná-las sem abandonar a mensurabilidade. Vetores, somas, produtos, máximos e composições com funções borelianas preservam a estrutura necessária.

Proposição 4.14

Se \(\xi _1, \ldots , \xi _n\) são variáveis aleatórias reais, então \((\xi _1, \ldots , \xi _n)\) é um vetor aleatório.

Demonstração ▼

Utilizando o Teorema 4.3, basta verificar a mensurabilidade do mapa

\[ \omega \rightarrow (\xi _1(\omega ), \ldots , \xi _n(\omega )) \]

em uma classe de geradores da \(\sigma \)-álgebra de Borel em \(\mathbb {R}^n\) como por exemplo os geradores

\[ \{ (-\infty ,a_1] \times (-\infty , a_2] \times \cdots \times (-\infty , a_n]: a_1,a_2,\ldots ,a_n \in \mathbb {R}\} . \]

Para esse fim consideraremos as pré-imagens:

\begin{align*} & \{ (\xi _1,\ldots , \xi _n) \in (-\infty ,a_1] \times (-\infty , a_2] \times \cdots \times (-\infty , a_n]\} \\ & = \{ \xi _1 \in (-\infty , a_1], \ldots , \xi _n\in (-\infty , a_n]\} \\ & = \bigcap _{k=1}^n \{ \xi _k \in (-\infty , a_k]\} = \bigcap _{k=1}^n \{ \xi _k \leq a_k\} . \end{align*}

Logo, cada conjunto \(\{ \xi _k \leq a\} \) é mensurável (pois \(\xi _k\) é uma variável aleatória ), e suas intersecções são mensuráveis pelas propriedades de \(\sigma \)-álgebra.

Teorema 4.15 (Funções de Variáveis Aleatórias)

Dadas variáveis aleatórias reais \(\xi _1, \ldots , \xi _n\) e \(f: \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R}\) uma função mensurável. Então, \(f(\xi _1,\ldots , \xi _n)\) é a variável aleatória real.

Demonstração ▼

A função \(f(\xi _1,\ldots ,\xi _n)\) é composição de duas funções mensuráveis:

a função

\[ \omega \mapsto (\xi _1(\omega ),\ldots , \xi _n(\omega )) \]

é mensurável por 4.14.
a função

\[ (x_1,\ldots , x_n) \mapsto f(x_1,\ldots , x_n) ~ \]

é mensurável por hipótese .

Como a composição de funções mensuráveis é mensurável temos o resultado desejado.

Em particular, se \(\xi \) é uma variável aleatória, então \(\xi ^2\), \(\sin (\xi )\) e \(e^\xi \) também são variáveis aleatórias; se \(\xi _1,\ldots ,\xi _n\) são variáveis aleatórias, o mesmo vale para \(\xi _1+\cdots +\xi _n\) e \(\xi _1\cdots \xi _n\).

Teorema 4.16 (Limites de Variáveis Aleatórias)

Se \(\xi _1,\xi _2,\ldots \) são variáveis aleatórias, então \(\sup _n\xi _n\), \(\inf _n\xi _n\), \(\limsup _n\xi _n\) e \(\liminf _n\xi _n\) são mensuráveis sempre que tomem valores reais. Em particular, se \(\xi _n(\omega )\) converge para um limite real \(\xi (\omega )\) para todo \(\omega \), então \(\xi \) é uma variável aleatória.

Demonstração ▼

Para todo \(a\in \mathbb {R}\),

\[ \left\{ \sup _n\xi _n\leq a\right\} =\bigcap _{n=1}^\infty \{ \xi _n\leq a\} , \]

logo o supremo é mensurável. De modo análogo,

\[ \left\{ \inf _n\xi _n\lt a\right\} =\bigcup _{n=1}^\infty \{ \xi _n\lt a\} , \]

e o Corolário 4.4 mostra que o ínfimo é mensurável. Finalmente,

\[ \limsup _{n\to \infty }\xi _n =\inf _n\sup _{k\geq n}\xi _k, \qquad \liminf _{n\to \infty }\xi _n =\sup _n\inf _{k\geq n}\xi _k, \]

de modo que ambos são mensuráveis pelas duas primeiras partes. Quando o limite pontual real existe, ele coincide com o limite superior e com o limite inferior, portanto também é mensurável.

Exemplo 4.17

Se \(\xi _1, \xi _2, \ldots \) são variáveis aleatórias e a série converge pontualmente para um valor real, então

\[ \sum _{n=1}^\infty \xi _n . \]

também o é.

Esse fato é verdadeiro porque as somas parciais são variáveis aleatórias e a soma é seu limite pontual. Se, além disso, \(\xi _n\geq 0\) para todo \(n\), a soma também é o supremo das somas parciais.

4.4 Variáveis Aleatórias Geram \(\sigma \)-álgebras

Uma variável aleatória não registra necessariamente toda a informação do experimento. Nesta seção identificaremos precisamente a informação que pode ser recuperada a partir de seus valores.

Comecemos com um exemplo simples.

Exemplo 4.18

Considere \(n\) lançamentos independentes de uma moeda e tome \(\Omega =\{ 0,1\} ^n\), com “0” para coroa e “1” para cara. Como \(\Omega \) é finito, usamos a \(\sigma \)-álgebra \(2^\Omega \).

\[ N(\omega )=\sum _{k=1}^n\omega _k, \]

então \(N\) registra apenas o número de caras. Conhecer \(N\) não permite recuperar em quais lançamentos elas ocorreram nem, por exemplo, decidir se houve duas caras consecutivas.

Se \(N=3\), sabemos apenas que o resultado pertence ao evento

\[ \{ N=3\} = \{ \omega \in \Omega :\omega _1+\cdots +\omega _n=3\} . \]

De modo geral, os eventos cuja ocorrência pode ser decidida conhecendo apenas \(N\) são precisamente os eventos da forma \(\{ N\in A\} \), \(A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\).

A família \(\{ \{ N\in A\} : A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\} \), que coleciona toda a informação contida na variável \(N\), é de fato uma \(\sigma \)-álgebra. Com efeito, ela contém \(\Omega =N^{-1}(\mathbb {R})\) e, como pré-imagens preservam complementos e uniões enumeráveis,

\[ N^{-1}(A^c)=N^{-1}(A)^c, \qquad N^{-1}\left(\bigcup _jA_j\right)=\bigcup _jN^{-1}(A_j). \]

Isso motiva a definição seguinte.

Definição 4.19

Se \(\xi :\Omega \to \mathbb {R}\) é uma variável aleatória, a \(\sigma \)-álgebra gerada por \(\xi \) é

\[ \sigma \langle \xi \rangle = \{ \xi ^{-1}(A):A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\} = \{ \{ \xi \in A\} :A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\} . \]

Analogamente, para um vetor aleatório \(X=(X_1,\ldots ,X_n)\),

\begin{align*} \sigma \langle X_1,\ldots ,X_n\rangle & :=\sigma \langle X\rangle \\ & =\{ X^{-1}(A):A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\} . \end{align*}

A \(\sigma \)-álgebra \(\sigma \langle \xi \rangle \) reúne exatamente os eventos que podem ser decididos conhecendo o valor de \(\xi \). Ela é também a menor \(\sigma \)-álgebra de subconjuntos de \(\Omega \) para a qual \(\xi \) é mensurável.

O próximo resultado permite obter a \(\sigma \)-álgebra gerada por uma variável a partir de uma família geradora de borelianos.

Proposição 4.20

Seja \(\xi \) uma variável aleatória e \(\mathcal A\subseteq \mathcal{B}(\mathbb {R})\) tal que \(\mathcal{B}(\mathbb {R})=\sigma \langle \mathcal A\rangle \). Então

\[ \sigma \langle \xi \rangle =\sigma \langle \{ \{ \xi \in A\} : A\in \mathcal A\} \rangle . \]

O mesmo vale para vetores aleatórios, substituindo \(\mathcal{B}(\mathbb {R})\) por \(\mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\).

Demonstração ▼

Defina

\begin{align*} \mathcal{F}& :=\sigma \langle \{ \{ \xi \in A\} : A\in \mathcal A\} \rangle , \quad \text{ e } \\ \mathcal{G}& :=\{ A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}): \{ \xi \in A\} \in \mathcal{F}\} . \end{align*}

Observe que \(\mathcal A\subseteq \mathcal{G}\subseteq \mathcal{B}(\mathbb {R})\). A classe \(\mathcal{G}\) contém \(\mathbb {R}\), pois \(\{ \xi \in \mathbb {R}\} =\Omega \in \mathcal{F}\). Se \(A\in \mathcal{G}\), então

\[ \{ \xi \in A^c\} =\{ \xi \in A\} ^c\in \mathcal{F}; \]

e, se \(A_j\in \mathcal{G}\), então

\[ \left\{ \xi \in \bigcup _jA_j\right\} =\bigcup _j\{ \xi \in A_j\} \in \mathcal{F}. \]

Logo, \(\mathcal{G}\) é uma \(\sigma \)-álgebra que contém \(\mathcal A\), donde \(\mathcal{G}=\mathcal{B}(\mathbb {R})\). Isso prova a primeira afirmação. O argumento para vetores é idêntico, substituindo \(\mathbb {R}\) por \(\mathbb {R}^n\).

Corolário 4.21

Se \(X=(X_1, X_2, \ldots , X_n)\), então

\[ \sigma \langle X_1, \ldots , X_n\rangle =\sigma \langle \{ X_1\in A_1, \ldots , X_n\in A_n\} : A_1, \ldots , A_n\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\} \rangle . \]

Demonstração ▼

Basta notar que \(\mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\) é gerada por \(\{ A_1\times \cdots \times A_n:A_k\in \mathcal{B}(\mathbb {R}), k=1, \ldots , n\} \) e que

\[ \{ X_1\in A_1, \ldots , X_n\in A_n\} =\{ X\in A_1\times \cdots \times A_n\} . \]

Exemplo 4.22

Dados \(\Omega =\{ 0,1\} ^{\mathbb N}\) e \(\xi _n(\omega )=\omega _n\), ponha \(\mathcal F_n=\sigma \langle \xi _1,\ldots ,\xi _n\rangle \). Então

\[ \mathcal F_1=\{ \Omega ,\emptyset ,\{ \xi _1=0\} ,\{ \xi _1=1\} \} . \]

Já \(\mathcal F_2\) possui os quatro cilindros \(\{ \xi _1=i,\xi _2=j\} \), \(i,j\in \{ 0,1\} \), como átomos; portanto é a família de todas as suas uniões e tem \(2^4=16\) elementos. Em geral, \(\mathcal F_n\) é gerada pelos \(2^n\) cilindros determinados pelas primeiras \(n\) coordenadas. A descrição por átomos inclui automaticamente, por exemplo, os eventos de paridade.

Proposição 4.23 (Lema de fatoração)

Dados \(\xi \) uma variável aleatória em \(\Omega \), \(\sigma \langle \xi \rangle \) a \(\sigma \)-álgebra gerada por \(\xi \) e \(\eta \) uma variável aleatória em \(\Omega .\) Então \(\eta \) é mensurável com respeito a \(\sigma \langle \xi \rangle \) se e somente se existe uma função mensurável \(f : \mathbb {R}\to \mathbb {R}\) tal que \(\eta =f(\xi ) .\)

Demonstração ▼

Se \(\eta =f(\xi )\) para alguma função boreliana \(f\), então \(\xi \) é \(\sigma \langle \xi \rangle \)–\(\mathcal{B}(\mathbb {R})\)-mensurável por definição. A composição \(f\circ \xi \) é, portanto, \(\sigma \langle \xi \rangle \)-mensurável.

Reciprocamente, suponha que \(\eta \) seja \(\sigma \langle \xi \rangle \)-mensurável. Considere a bijeção contínua

\[ h:\mathbb {R}\longrightarrow (0,1), \qquad h(t)=\frac12+\frac{1}{\pi }\arctan t, \]

e ponha \(Z=h(\eta )\). Para \(n\geq 1\), defina a aproximação diádica

\[ Z_n=2^{-n}\lfloor 2^nZ\rfloor . \]

Ela assume apenas os valores \(k2^{-n}\), \(0\leq k\lt 2^n\). Cada conjunto \(A_{n,k}:=\{ Z_n=k2^{-n}\} \) pertence a \(\sigma \langle \xi \rangle \); logo, pela definição dessa \(\sigma \)-álgebra, existe \(B'_{n,k}\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\) tal que \(A_{n,k}=\xi ^{-1}(B'_{n,k})\).

Podemos tornar esses borelianos disjuntos sem alterar suas pré-imagens: ponha \(B_{n,0}=B'_{n,0}\) e, para \(k\geq 1\),

\[ B_{n,k}=B'_{n,k}\setminus \bigcup _{j\lt k}B'_{n,j}. \]

De fato, as pré-imagens \(A_{n,k}\) já são disjuntas. A função boreliana

\[ g_n(x)=\sum _{k=0}^{2^n-1}k2^{-n}\mathbb {1}_{B_{n,k}}(x) \]

satisfaz \(g_n(\xi )=Z_n\). Como \(Z_n\to Z\), a função boreliana \(g:=\limsup _ng_n\) satisfaz \(g(\xi )=Z\) e toma valores em \((0,1)\) sobre \(\xi (\Omega )\). Finalmente, defina

\[ f(x)= \begin{cases} h^{-1}(g(x)),& 0\lt g(x)\lt 1,\\ 0,& \text{caso contrário}. \end{cases} \]

A função \(f\) é boreliana e, para todo \(\omega \in \Omega \), \(f(\xi (\omega ))=\eta (\omega )\).

A \(\sigma \)-álgebra gerada reúne a informação registrada pela variável. Para trabalhar no espaço de seus valores, falta transportar também a probabilidade. O espaço original pode sair de cena; suas probabilidades, não.

4.5 Variáveis Aleatórias Induzem Medidas de Probabilidade em \(\mathbb {R}\)

Seja \(\xi \) uma variável aleatória real. A aplicação \(\xi \) transporta a probabilidade do espaço amostral para a reta: para todo \(A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\), defina

\begin{equation} \P _\xi (A) := \P (\xi \in A) = \P \bigl(\xi ^{-1}(A)\bigr). \label{eq:lei-variavel} \tag{4.1} \end{equation}

Essa função é uma probabilidade em \((\mathbb {R},\mathcal{B}(\mathbb {R}))\). De fato, \(\P _\xi (\mathbb {R})=1\) e, para borelianos disjuntos \(A_1,A_2,\ldots \),

\[ \P _\xi \left(\bigcup _nA_n\right) = \sum _n\P _\xi (A_n). \]

A probabilidade \(\P _\xi \) é chamada de lei ou distribuição de \(\xi \). A construção é a medida-imagem de \(\P \) por \(\xi \): ela conserva todas as probabilidades que dependem apenas do valor da variável e permite que o espaço amostral original saia de cena.

No Capítulo 6, retomaremos essa medida para estudar as diferentes maneiras de descrevê-la: função de distribuição, quantis, probabilidades discretas, densidades e distribuições singulares.

4.6 Independência de Variáveis Aleatórias

A independência de variáveis aleatórias significa que a informação produzida por uma delas não altera as probabilidades associadas às demais. Formalmente, isso se traduz na independência das \(\sigma \)-álgebras que elas geram.

Definição 4.24 (Variáveis aleatórias independentes)

As variáveis aleatórias \(\xi _1,\ldots ,\xi _n\) são ditas independentes se

\[ \P (\xi _1 \in B_1, \ldots , \xi _n \in B_n) = \P (\xi _1 \in B_1) \cdot \cdots \cdot \P (\xi _n \in B_n) \]

para todos os conjuntos de Borel \(B_1, \ldots , B_n\) em \(\mathbb {R}\).

Exemplo 4.25 (Construindo duas moedas independentes)

Se \(\Omega =\{ 0,1\} \) representa um lançamento de moeda, tome

\[ \Omega _1=\Omega \times \Omega \]

com a \(\sigma \)-álgebra das partes e a probabilidade uniforme. Para \(\omega =(\omega _1,\omega _2)\), defina

\[ \xi (\omega )=\omega _1, \qquad \eta (\omega )=\omega _2. \]

As variáveis \(\xi \) e \(\eta \) registram, respectivamente, o primeiro e o segundo lançamento e são independentes.

Teorema 4.26

As variáveis aleatórias \(\xi _1,\ldots ,\xi _n\) são independentes se e somente se as \(\sigma \)-álgebras \(\sigma \langle \xi _1\rangle ,\ldots ,\sigma \langle \xi _n\rangle \) são independentes.

Demonstração ▼

Para cada \(k\), a família

\[ \sigma \langle \xi _k\rangle =\bigl\{ \{ \xi _k\in B\} :B\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\bigr\} \]

é precisamente a \(\sigma \)-álgebra gerada por \(\xi _k\). Assim, a identidade que define a independência dessas \(\sigma \)-álgebras, aplicada a uma escolha \(\{ \xi _k\in B_k\} \) de cada uma, é exatamente a identidade da Definição 4.24. Isso prova as duas implicações.

O critério anterior pode ser verificado apenas por eventos do tipo \(\{ \xi _k\leq x_k\} \).

Proposição 4.27

As variáveis aleatórias \(\xi _1,\ldots ,\xi _n\) são independentes se e somente se

\[ \P (\xi _1 \leq x_1, \ldots , \xi _n \leq x_n) = \P (\xi _1 \leq x_1) \cdot \cdots \cdot \P (\xi _n \leq x_n) \]

para todo \(x_1, \ldots , x_n \in \mathbb {R}.\)

Demonstração ▼

A implicação direta é imediata, tomando \(B_k=(-\infty ,x_k]\) na definição de independência.

Para a recíproca, suponha a identidade do enunciado. Para cada \(k\), defina

\[ \mathscr A_k:=\bigl\{ \{ \xi _k\leq x\} :x\in \mathbb {R}\bigr\} . \]

Cada \(\mathscr A_k\) é um \(\pi \)-sistema. A hipótese também implica as identidades de independência para qualquer subcoleção dos índices. De fato, para omitir os índices fora de \(H\subseteq \{ 1,\ldots ,n\} \), substitua seus limiares por \(t\) e faça \(t\to \infty \); a continuidade por baixo fornece

\[ \P \left(\bigcap _{k\in H}\{ \xi _k\leq x_k\} \right) =\prod _{k\in H}\P (\xi _k\leq x_k). \]

Portanto, as famílias \(\mathscr A_k\) são independentes. Como

\[ \sigma \langle \mathscr A_k\rangle =\sigma \langle \xi _k\rangle , \]

o teorema sobre \(\pi \)-sistemas independentes do capítulo anterior mostra que \(\sigma \langle \xi _1\rangle ,\ldots , \sigma \langle \xi _n\rangle \) são independentes. Pelo teorema precedente, as variáveis aleatórias são independentes.

Proposição 4.28

Dadas funções \(\{ f_k\} _{k=1}^n\) mensuráveis, Se \(\xi _1,\ldots ,\xi _n\) são variáveis aleatórias independentes, então \(f_1(\xi _1),\ldots , f_n(\xi _n)\) são independentes.

Demonstração ▼

Para borelianos \(B_1,\ldots ,B_n\), a mensurabilidade de cada \(f_k\) dá \(f_k^{-1}(B_k)\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\). Além disso,

\[ \{ f_k(\xi _k)\in B_k\} =\{ \xi _k\in f_k^{-1}(B_k)\} . \]

Pela independência das \(\xi _k\),

\begin{align*} & \P \bigl(f_1(\xi _1)\in B_1,\ldots ,f_n(\xi _n)\in B_n\bigr)\\ & \qquad =\prod _{k=1}^n\P \bigl(\xi _k\in f_k^{-1}(B_k)\bigr) =\prod _{k=1}^n\P \bigl(f_k(\xi _k)\in B_k\bigr), \end{align*}

que é a identidade desejada.

Em particular, funções mensuráveis de variáveis independentes continuam independentes; por exemplo, se \(\xi \) e \(\eta \) são independentes, então \(\xi ^2\) e \(\eta ^4\) também são independentes.

Teorema 4.29 (Lei \(0\)-\(1\) de Kolmogorov para Variáveis Aleatórias)

Se \((\xi _n)_{n\geq 1}\) é uma sequência de variáveis aleatórias independentes, então a \(\sigma \)-álgebra caudal \(\mathcal T\) de \((\sigma \langle \xi _n\rangle )_{n\geq 1}\) contém apenas eventos de probabilidade \(0\) ou \(1\).

Além disso, toda variável aleatória \(\mathcal T\)-mensurável é constante quase certamente.

Demonstração ▼

Aplicando o Teorema 4.26 a cada subcoleção finita, vemos que as \(\sigma \)-álgebras \(\sigma \langle \xi _n\rangle \), \(n\geq 1\), são independentes. A primeira afirmação é, portanto, exatamente a Lei zero–um de Kolmogorov aplicada a essa sequência de \(\sigma \)-álgebras.

Considere então uma variável aleatória \(\eta \) \(\mathcal T\)-mensurável. Para todo \(y\in \mathbb {R}\), o evento \(\{ \eta \leq y\} \) pertence a \(\mathcal T\); logo,

\[ F(y):=\P (\eta \leq y)\in \{ 0,1\} . \]

Como \(F(y)\to 0\) quando \(y\to -\infty \) e \(F(y)\to 1\) quando \(y\to \infty \), o número

\[ c:=\inf \{ y\in \mathbb {R}:F(y)=1\} \]

é real. Pela monotonicidade de \(F\), temos \(F(y)=0\) para \(y\lt c\) e \(F(y)=1\) para \(y\gt c\). Escolhendo sequências racionais que se aproximam de \(c\) pelos dois lados e usando continuidade da probabilidade,

\[ \P (\eta \lt c)=0, \qquad \P (\eta \gt c)=0. \]

Consequentemente, \(\P (\eta =c)=1\).

Uma variável aleatória é, ao mesmo tempo, uma função mensurável e portadora de uma lei.

Exercício 4.1

Sejam \((\Omega ,\mathcal F)\), \((S,\mathcal S)\) e \((T,\mathcal T)\) espaços mensuráveis. Prove que a composição de duas funções mensuráveis

\[ f:(\Omega ,\mathcal F)\to (S,\mathcal S), \qquad g:(S,\mathcal S)\to (T,\mathcal T) \]

é mensurável.

Ver solução

Para \(A\in \mathcal T\), \((g\circ f)^{-1}(A)=f^{-1}(g^{-1}(A))\). Como \(g^{-1}(A)\in \mathcal S\) e \(f\) é mensurável, essa imagem inversa pertence a \(\mathcal F\).

Exercício 4.2

Operações com variáveis aleatórias. Se \(X\) e \(Y\) são variáveis aleatórias reais no mesmo espaço de probabilidade \((\Omega ,\mathcal F,\P )\), prove que também são variáveis aleatórias:

\(|X|\);
\(X+Y\);
\(XY\);
\(\max \{ X,Y\} \);
\(\min \{ X,Y\} \).

Ver solução

O mapa \((X,Y):\Omega \to \mathbb {R}^2\) é mensurável, pois as pré-imagens de retângulos são interseções de eventos mensuráveis. Componha-o com as funções contínuas \((x,y)\mapsto x+y\), \(xy\), \(\max \{ x,y\} \) e \(\min \{ x,y\} \). Para o primeiro item, componha \(X\) com a função contínua \(x\mapsto |x|\).

Exercício 4.3

Seja \(X\) uma variável aleatória tal que \(\P (X\gt 0)\gt 0\). Prove que existe \(\delta \gt 0\) para o qual \(\P (X\gt \delta )\gt 0\).

Ver solução

Como \(\{ X\gt 0\} =\bigcup _{n\geq 1}\{ X\gt 1/n\} \), se todos os eventos da união tivessem probabilidade zero, sua união também teria. Logo algum \(\delta =1/n\) satisfaz a conclusão.

Exercício 4.4

Amostragem de uma variável exponencial. Seja \(U\sim \operatorname {U}(0,1)\) e fixe \(\lambda \gt 0\). Encontre uma função mensurável \(g:(0,1)\to [0,\infty )\) tal que \(X=g(U)\) tenha distribuição \(\operatorname {Exp}(\lambda )\). Prove sua afirmação calculando a função de distribuição de \(X\).

Ver solução

Tome \(g(u)=-\lambda ^{-1}\log u\). Para \(x\geq 0\),

\[ \P (g(U)\leq x)=\P (U\geq e^{-\lambda x})=1-e^{-\lambda x}, \]

e a probabilidade é zero para \(x\lt 0\). Essa é a função de distribuição exponencial de taxa \(\lambda \).

Exercício 4.5

A propriedade de falta de memória. Diremos que uma variável aleatória real não negativa \(X\) possui a propriedade de falta de memória quando

\[ \P (X\gt s+t\mid X\gt s)=\P (X\gt t) \]

para todos \(s,t\geq 0\) para os quais \(\P (X\gt s)\gt 0\).

Mostre que essa identidade é equivalente a

\[ \P (X\gt u\mid X\gt s)=\P (X\gt u-s), \qquad 0\leq s\lt u. \]

em todos os casos em que \(\P (X\gt s)\gt 0\).
Prove que toda variável com distribuição exponencial possui a propriedade de falta de memória.
Reciprocamente, suponha que \(X\) seja finita quase certamente, não degenerada e tenha a propriedade de falta de memória. Prove que \(X\sim \operatorname {Exp}(\lambda )\) para algum \(\lambda \gt 0\).

Dica. Para \(G(t)=\P (X\gt t)\), obtenha \(G(s+t)=G(s)G(t)\). Resolva primeiro a equação nos racionais não negativos e use a monotonicidade de \(G\) para passar aos reais.

Ver solução

No primeiro item ponha \(t=u-s\); a volta é a mesma substituição. Para uma exponencial, a razão \(\P (X\gt s+t)/\P (X\gt s)=e^{-\lambda t}\) prova a propriedade.

Na recíproca, a não degenerescência, junto com o caso \(s=0\), implica \(\P (X\gt 0)=1\). Para \(G(t)=\P (X\gt t)\), a hipótese dá \(G(s+t)=G(s)G(t)\). Como \(X\) é finita, \(G(t)\downarrow 0\). Se \(G(1)=1\), então \(G(n)=1\) para todo \(n\); se \(G(1)=0\), então \(G(1/n)=0\), contradizendo \(G(1/n)\uparrow \P (X\gt 0)=1\). Portanto \(0\lt G(1)\lt 1\). Pondo \(\lambda =-\log G(1)\gt 0\), a equação dá \(G(q)=e^{-\lambda q}\) para todo racional \(q\geq 0\). A monotonicidade e aproximações racionais por ambos os lados estendem a fórmula a todo real \(t\geq 0\).

Exercício 4.6

Seja \(X\) uma variável aleatória independente de si mesma, isto é, suponha que \(\sigma \langle X\rangle \) seja independente de \(\sigma \langle X\rangle \). Prove que \(X\) é constante quase certamente.

Ver solução

Para todo boreliano \(B\), o evento \(\{ X\in B\} \) é independente de si mesmo; logo sua probabilidade \(p\) satisfaz \(p=p^2\) e pertence a \(\{ 0,1\} \). Em particular a função de distribuição de \(X\) só assume \(0\) e \(1\). Se \(c=\inf \{ x:\P (X\leq x)=1\} \), continuidade à direita e limites da função de distribuição dão \(\P (X=c)=1\).

Exercício 4.7

Fixe \(\varepsilon ,\delta \gt 0\) e seja \((X_i)_{i\geq 1}\) uma sequência de variáveis aleatórias não negativas e independentes tal que

\[ \P (X_i\gt \delta )\geq \varepsilon \qquad \text{para todo }i\geq 1. \]

Prove que

\[ \sum _{i=1}^{\infty }X_i=\infty \qquad \text{quase certamente}. \]

Ver solução

Os eventos \(A_i=\{ X_i\gt \delta \} \) são independentes e \(\sum _i\P (A_i)=\infty \). Pelo segundo lema de Borel–Cantelli, infinitos \(A_i\) ocorrem quase certamente. Em cada um deles \(X_i\gt \delta \); como os termos são não negativos, as somas parciais tendem a infinito.

Exercício 4.8

Se \(X\) e \(Y\) são independentes, prove que cada uma das famílias

\[ \{ X^+,Y^+\} ,\qquad \{ X^+,Y^-\} ,\qquad \{ X^-,Y^+\} ,\qquad \{ X^-,Y^-\} \]

é independente.

Ver solução

As partes positiva e negativa são transformações borelianas: \(X^+=\max (X,0)\) e \(X^-=\max (-X,0)\). Transformações mensuráveis separadas preservam independência; aplique esse fato a cada um dos quatro pares.

Exercício 4.9

Variáveis mensuráveis numa partição enumerável. Seja \((E_n)_{n\geq 1}\) uma partição enumerável de \(\Omega \) em conjuntos não vazios e ponha \(\mathcal F=\sigma \langle E_n:n\geq 1\rangle \).

Prove que

\[ \mathcal F=\left\{ \bigcup _{n\in I}E_n:I\subseteq \mathbb {N}\right\} . \]
Caracterize todas as funções \(X:(\Omega ,\mathcal F)\to (\mathbb {R},\mathcal B(\mathbb {R}))\) mensuráveis.

Ver solução

A família de todas as uniões de células contém os \(E_n\) e é uma \(\sigma \)-álgebra; pela minimalidade, ela é \(\mathcal F\). Se uma função mensurável assumisse dois valores distintos numa mesma célula, um racional entre eles produziria um conjunto \(\{ X\leq q\} \in \mathcal F\) que cortaria essa célula, o que é impossível. Logo \(X\) é constante em cada \(E_n\). Reciprocamente, escolhidos \(c_n\in \mathbb {R}\), a função

\[ X=\sum _{n\geq 1}c_n\mathbb {1}_{E_n} \]

é mensurável, pois a imagem inversa de cada boreliano é uma união das células correspondentes.

Exercício 4.10 (title=Igualdade quase certa e completude,difficulty=3)

Considere \(([0,1],\mathcal B([0,1]),\lambda )\), com \(\lambda \) a medida de Lebesgue restrita aos borelianos. Seja \(C\) o conjunto de Cantor e escolha \(N\subseteq C\) que não seja boreliano. Defina

\[ f(x)=0,\qquad g(x)=\mathbb {1}_N(x). \]

Mostre que \(f\) é mensurável, \(g\) não é mensurável e, no entanto, \(f=g\) fora do boreliano nulo \(C\). Explique por que isso desaparece na completação.

Ver solução

A função \(f\) é mensurável. Se \(g\) fosse boreliana, \(N=g^{-1}(\{ 1\} )\) seria boreliano, contradição. Como \(N\subseteq C\) e \(\lambda (C)=0\), as funções coincidem em \(C^c\). Na completação, todo subconjunto de um conjunto mensurável nulo é mensurável; logo \(N\) e \(g\) tornam-se mensuráveis.

Exercício 4.11 (title=Grafos aleatórios: eventos globais são mensuráveis,difficulty=3)

Seja \(G=(V,E)\) um grafo determinístico enumerável e considere \(\Omega =\{ 0,1\} ^E\) com a \(\sigma \)-álgebra produto. Para \(x,y\in V\), prove que o evento

\[ \{ x\leftrightarrow y\} \]

de existência de um caminho aberto de \(x\) a \(y\) é mensurável. Fixado \(o\in V\), mostre também que

\[ |C(o)|:\Omega \to \mathbb N\cup \{ \infty \} \]

é uma variável aleatória.

Sugestão: escreva conexão como união enumerável sobre caminhos finitos e \(\{ |C(o)|\ge m\} \) como união sobre escolhas de \(m\) vértices e caminhos.

Ver solução

Há apenas uma quantidade enumerável de caminhos finitos em um grafo enumerável. Se \(\Gamma _{x,y}\) é o conjunto desses caminhos,

\[ \{ x\leftrightarrow y\} =\bigcup _{\gamma \in \Gamma _{x,y}} \bigcap _{e\in \gamma }\{ X_e=1\} , \]

logo o evento é mensurável. Para \(m\ge 1\), \(\{ |C(o)|\ge m\} \) é a união, sobre escolhas de \(m-1\) vértices distintos e sobre famílias finitas de caminhos ligando-os a \(o\), do evento de que todas as arestas desses caminhos estejam abertas. Essa união é enumerável, logo mensurável. Portanto \(|C(o)|\) é mensurável.