Capítulo 4

Variáveis Aleatórias

Até aqui, os resultados de um experimento permaneceram no espaço abstrato \(\Omega \). Para calcular com eles, precisamos transformá-los em números, vetores ou outros objetos conhecidos. Uma variável aleatória realiza essa tradução. A exigência de mensurabilidade garante que, ao formularmos uma pergunta sobre seu valor, a resposta corresponda a um evento do modelo.

4.1 Funções Mensuráveis

Uma função entre espaços mensuráveis deve respeitar as famílias de conjuntos que escolhemos observar. Essa compatibilidade é expressa pelas pré-imagens.

Definição 4.1

Dados \((\Omega _1, \mathcal{F}_1)\) e \((\Omega _2, \mathcal{F}_2)\) espaços mensuráveis, uma função \(f : \Omega _1 \rightarrow \Omega _2\) é dita \(\mathcal{F}_{1}-\mathcal{F}_{2}\)-mensurável ou simplesmente \(\textbf{{mensurável}}\) se a pré-imagem de todo conjunto mensurável é mensurável. Ou seja, se

\[ A \in \mathcal{F}_2 \ \Longrightarrow \ f^{-1}(A) \in \mathcal{F}_1 . \]

Figura 4.1 A mensurabilidade exige que a pré-imagem f^(-1)(A) de cada conjunto mensurável A∈ mathcal F_2 pertença a mathcal F_1. — Figura 4.1 A mensurabilidade exige que a pré-imagem \(f^{-1}(A)\) de cada conjunto mensurável \(A\in \mathcal F_2\) pertença a \(\mathcal F_1\).

Observação 4.2

Dado uma função \(f : \Omega _1 \rightarrow \Omega _2\) que é \(\mathcal{F}_{1}-\mathcal{F}_{2}-\)mensurável então se \(\mathcal{F}_{1}\subset \mathcal{F}'_{1}\) claramente \(f\) é \(\mathcal{F}'_{1}-\mathcal{F}_{2}-\textbf{mensurável} .\)
O mesmo não ocorre se aumentarmos a \(\sigma \)-álgebra do contradomínio. Por exemplo, a identidade de \(\mathbb {R}\) em \(\mathbb {R}\), embora contínua, não é \(\mathcal{B}(\mathbb {R})\)–\(\overline{\mathcal{B}(\mathbb {R})}\)-mensurável: a pré-imagem de um conjunto Lebesgue mensurável não boreliano é o próprio conjunto. Em contraste, toda função contínua \(\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) é \(\overline{\mathcal{B}(\mathbb {R})}\)–\(\mathcal{B}(\mathbb {R})\)-mensurável.

A família das funções mensuráveis é ampla: para funções reais, por exemplo, a continuidade é suficiente. Verificar diretamente a pré-imagem de todo conjunto mensurável, contudo, seria impraticável. O resultado seguinte permite trabalhar apenas com uma família geradora.

Teorema 4.3

Considere uma função \(f : (\Omega _1, \mathcal{F}_1) \rightarrow (\Omega _2, \mathcal{F}_2)\), e \(\mathcal A\subset \mathcal{F}_2\) tal que \(\mathcal{F}_2 = \sigma \langle \mathcal{A}\rangle .\) Nestas condições, se \(f^{-1}(A)\in \mathcal{F}_1\) para todo \(A \in \mathcal{A}\), então \(f\) é mensurável. Ou seja, se

\[ A \in \mathcal{A} \Rightarrow f^{-1}(A) \in \mathcal{F}_1. \]

então

\[ A \in \sigma \langle \mathcal{A}\rangle \Rightarrow f^{-1}(A) \in \mathcal{F}_1, \]

Demonstração ▼

Considere \(\mathscr G := \{ A \in \sigma \langle \mathcal{A}\rangle : f^{-1}(A) \in \mathcal{F}_1 \} .\) Iremos demonstrar que \(\mathscr G = \sigma \langle \mathcal{A}\rangle .\)

Sabemos que \(\mathcal{A} \subseteq \mathscr G \subseteq \sigma \langle \mathcal{A}\rangle .\) Além disso temos que \(\sigma \langle \mathcal{A}\rangle \) é a \(\sigma \)-álgebra minimal contendo \(\mathcal{A} .\) Assim, basta demonstrar que \(\mathscr G\) é uma \(\sigma \)-álgebra.

Temos \(\Omega _2\in \mathscr G\), pois \(f^{-1}(\Omega _2)=\Omega _1\in \mathcal{F}_1\).
Demonstraremos que se \(A \in \mathscr G \Rightarrow A^\mathsf c\in \mathscr G .\)

Para isso observe que \(f^{-1}(A^\mathsf c) = (f^{-1}(A))^\mathsf c.\)
Demonstraremos que se \(A_1, A_2, \ldots \in \mathscr G\), então \(\bigcup _{n=1}^\infty A_n \in \mathscr G .\) Mas

\[ f^{-1}\left(\bigcup _n A_n\right) = \bigcup _{n=1}^\infty f^{-1}(A_n) \]

Logo, \(\mathscr G\) é uma \(\sigma \)-álgebra e \(\mathcal{A}\subseteq \mathscr G\subseteq \sigma \langle \mathcal{A}\rangle \), o que implica \(\mathscr G=\sigma \langle \mathcal{A}\rangle \).

Corolário 4.4

Sejam \((\Omega , \mathcal{F})\) um espaço mensurável e \(f:\Omega \rightarrow \mathbb {R}\) uma função real. Nestas condições são equivalentes as seguintes afirmativas:

\(f\) é \(\mathcal{F}-\mathcal{B}(\mathbb {R})\) mensurável (mensurável a Borel);
\(\{ \omega \in \Omega : f(\omega )\leq x\} =f^{-1}((-\infty , x])\in \mathcal{F}\) para todo \(x\in \mathbb {R}\);
\(\{ \omega \in \Omega : f(\omega )\lt x\} =f^{-1}((-\infty , x))\in \mathcal{F}\) para todo \(x\in \mathbb {R}\);
\(\{ \omega \in \Omega : f(\omega )\geq x\} =f^{-1}([x, +\infty ))\in \mathcal{F}\) para todo \(x\in \mathbb {R}\);
\(\{ \omega \in \Omega : f(\omega )\gt x\} =f^{-1}((x, +\infty ))\in \mathcal{F}\) para todo \(x\in \mathbb {R}\);

Demonstração ▼

Basta lembrar que

\begin{align*} \mathcal{B}(\mathbb {R}) & =\sigma \langle \{ (-\infty , x]: x\in \mathbb {R}\} \rangle \\ & =\sigma \langle \{ (-\infty , x): x\in \mathbb {R}\} \rangle \\ & =\sigma \langle \{ [x, +\infty ): x\in \mathbb {R}\} \rangle \\ & =\sigma \langle \{ (x, +\infty ): x\in \mathbb {R}\} \rangle \end{align*}

Os exemplos seguintes mostram como a mensurabilidade aparece nas construções mais simples.

Exemplo 4.5 (Função Indicadora de um Evento)

Dado um espaço mensurável \((\Omega , \mathcal{F})\) e \(A\in \mathcal{F}\), a função indicadora de \(A\), geralmente denotada por \(\mathbb {1}_A\) ou por \(I\{ A\} \) é definida por:

\[ \mathbb {1}_A(\omega ) = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & ,\quad \omega \in A \\ 0 & ,\quad \omega \not\in A.\end{array} \right. \]

Agora, dado \(B\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\) note que

\[ \mathbb {1}_A^{-1}(B) = \left\{ \begin{array}{cc} \emptyset & ,\quad 0, 1\notin B; \\ \Omega & ,\quad 0, 1\in B; \\ A & ,\quad 0\notin B\mbox{ e } 1\in B; \\ A^c & ,\quad 1\notin B\mbox{ e } 0\in B. \\ \end{array} \right. \]

E portanto, \(\mathbb {1}_A\) é uma função mensurável.

Exemplo 4.6 (Funções Simples)

Podemos modificar o exemplo anterior de modo a criar uma função \(\xi \) cuja imagem seja um conjunto finito \(\{ a_1, \ldots , a_n\} .\)

Para isso tomemos uma partição \(A_1, A_2, \ldots , A_n\in \mathcal{F}\) de \(\Omega \) e defina

\[ \xi (\omega )=\sum _{k=1}^na_k\mathbb {1}_{A_k}(\omega ). \]

Neste caso, tomando os \(a_k\)´s distintos, teríamos que \(A_k=\xi ^{-1}( \{ a_k\} )\) e a mensurabilidade de \(\xi \) pode ser verificada observando que

\[ \xi ^{-1}(B)=\bigcup _{k:a_k\in B}A_k\in \mathcal{F}, \]

onde a união acima é vazia se \(\{ k:a_k\in B\} =\emptyset .\)

A próxima proposição amplia a coleção de exemplos ao relacionar continuidade e mensurabilidade.

Proposição 4.7 (Mensurabilidade de aplicações contínuas)

Seja \((\Omega _1, d_1)\) e \((\Omega _2, d_2)\) espaços métricos e seja \(f: \Omega _1 \to \Omega _2\) uma aplicação contínua. Então \(f\) é \(\mathcal{B}(\Omega _1) - \mathcal{B}(\Omega _2)\)-mensurável.

Demonstração ▼

Da continuidade de \(f\), sabemos que \(f^{-1}(U)\) é aberto em \(\Omega _1\) sempre que \(U\) é aberto em \(\Omega _2\). Como os abertos geram \(\mathcal{B}(\Omega _2)\), o Teorema 4.3 mostra que \(f\) é \(\mathcal{B}(\Omega _1)\)–\(\mathcal{B}(\Omega _2)\)-mensurável.

Além de reconhecer funções mensuráveis, precisamos saber como combiná-las. O próximo resultado trata da composição.

Proposição 4.8

Dadas funções mensuráveis \(g : \Omega _1 \rightarrow \Omega _2\) e \(f: \Omega _2 \rightarrow \Omega _3 .\) Então a composição \(f\circ g\) é mensurável.

Demonstração ▼

Para todo conjunto mensurável \(A\) do espaço de chegada de \(f\),

\[ (f\circ g)^{-1}(A)=g^{-1}\bigl(f^{-1}(A)\bigr). \]

Como \(f\) é mensurável, \(f^{-1}(A)\) é mensurável no espaço intermediário; como \(g\) é mensurável, a pré-imagem desse conjunto por \(g\) é mensurável no espaço inicial.

Exemplo 4.9

Se \(f:(\Omega , \mathcal{F})\rightarrow (\mathbb {R}^n, \mathcal{B}(\mathbb {R}^n))\) é uma função mensurável, tal que

\[ f(\omega )=(f_1(\omega ), \ldots , f_n(\omega )), \]

com \(f_k:\Omega \rightarrow \mathbb {R}, k=1, \ldots , n\), então \(f_k\) é uma função mensurável, para cada \(k=1, \ldots , n .\)

Para ver isso tome a projeção canônica \(\pi _k:\mathbb {R}^n\rightarrow \mathbb {R}\) dada por \(\pi _k(x_1, \ldots , x_n)=x_k\) e note que

\[ \pi _k^{-1}((-\infty ,x])=\mathbb {R}^{k-1}\times (-\infty ,x]\times \mathbb {R}^{n-k}\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n), \]

e, pelo corolário 4.4, \(\pi _k\) é mensurável.

Para ver que \(f_k\) é mensurável basta notar que \(f_k=\pi _k\circ f\), e o resultado segue da proposição 4.8.

4.2 Variáveis Aleatórias

Uma variável aleatória representa uma quantidade associada a um experimento. Ao lançar um dado duas vezes, podemos observar o primeiro resultado, o segundo ou a soma dos dois. Cada escolha define uma variável aleatória sobre o mesmo espaço amostral.

Formalmente, definimos uma variável aleatória como uma função real mensurável quando colocamos em \(\mathbb {R}\) a \(\sigma \)-álgebra de Borel \(\mathcal{B}(\mathbb {R}) .\)

Definição 4.10

Uma \(\textbf{{variável aleatória}}\) é uma função mensurável que toma valores em \(\mathbb {R}\)

\[ \xi : (\Omega , \mathcal{F}) \rightarrow (\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R})). \]

Observação 4.11

Em muitas aplicações, interessa a distribuição dos valores de uma variável aleatória, enquanto a descrição particular do espaço amostral fica em segundo plano. A função continua sendo mensurável; muda o aspecto que colocamos em evidência.

No caso em que o espaço de chegada é \(\mathbb {R}^n\), a função mensurável \(\xi \) é denominada \(\textbf{{vetor aleat\'orio}} .\) Neste caso é comum denotarmos \(X=(X_1, \ldots ,X_n)\), onde cada \(X_k, k=1, \ldots , n\) é uma variável aleatória, como vimos no exemplo 4.9.

Exemplo 4.12

O primeiro exemplo que consideraremos é o lançamento de moeda. Nesse caso,temos que o espaço amostral é \(\Omega = \{ H,T\} \) e \(\mathcal{F}= \mathcal{P}(\Omega ) .\)

Considere a variável aleatória

\[ \xi : \Omega \rightarrow \mathbb {R} \]

definida como:

\begin{align*} \xi (H) & = 1, \\ \xi (T) & = 0. \end{align*}

As funções simples da seção anterior recebem, no contexto probabilístico, a denominação seguinte.

Definição 4.13 (Variável Aleatória Simples)

Seja \((\Omega , \mathcal{F})\) um espaço mensurável. Uma aplicação \( X: \Omega \to \mathbb {R}\) é dita variável aleatória simples se houver um \(n \in \mathbb {N}\) e conjuntos mensuráveis mutuamente disjuntos \(A_1,\dots , A_n \in \mathcal{F}\), assim como um conjunto finito \(\{ a_k, k=1, \ldots , n\} \subset \mathbb {R}\), tal que

\[ X=\sum _{k=1}^{n}a_{k} \mathbb {1}_{A_k}. \]

É importante observar que uma variável aleatória simples pode ser expressa de várias maneiras diferentes, bastando para isso que escolhamos diferentes conjuntos mensuráveis mutuamente disjuntos. Além disso, para transformar \(A_1,\dots , A_n \in \mathcal{F}\) em uma partição, como usamos no exemplo de função simples, basta fazer \(A_0=(\cup _{k=1}^nA_k)^\mathsf c\) e \(a_0=0 .\) Com isso teremos

\[ X=\sum _{k=1}^{n}a_{k} \mathbb {1}_{A_k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k} \mathbb {1}_{A_k}. \]

Retomamos agora o resultado da seção anterior na notação de variáveis aleatórias.

Teorema 4.14

Considere a função \(\xi :\Omega \rightarrow \mathbb {R}\) no espaço de probabilidade \((\Omega ,\mathcal{F},\P )\). Então \(\xi \) é uma variável aleatória se, e somente se, \(\{ \omega :\xi (\omega )\leq a\} \in \mathcal{F}\) para todo \(a\in \mathbb {R}\).

Demonstração ▼

A implicação direta segue da definição. Para a recíproca, use o Teorema 4.3 e a identidade

\[ \mathcal{B}(\mathbb {R})=\sigma \big\langle \{ (-\infty ,a]:a\in \mathbb {R}\} \big\rangle . \]

Com efeito, \(\xi ^{-1}((-\infty ,a])=\{ \omega :\xi (\omega )\leq a\} \in \mathcal{F}\) por hipótese.

Adotaremos uma notação que permite formular os eventos diretamente em termos dos valores das variáveis.

Para uma variável aleatória \(\xi \) e um boreliano \(A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\), escreveremos:

\[ \{ \xi \in A\} :=\{ \omega : \xi (\omega )\in A\} =\xi ^{-1}(A). \]

Do mesmo modo, para \(a, b\in \mathbb {R}\),

\[ \{ \xi \leq a\} :=\{ \omega : \xi (\omega )\leq a\} =\xi ^{-1}((-\infty ,a]), \]

\[ \{ \xi \gt b\} :=\{ \omega : \xi (\omega )\gt b\} =\xi ^{-1}((b, +\infty )), \]

\[ \{ b\leq \xi \leq a\} :=\{ \omega :b\leq \xi (\omega )\leq a\} =\xi ^{-1}([b,a]), \]

e assim por diante.

Para variáveis aleatórias \(X, Y\), faremos

\[ \{ X\in A, Y\in B\} =\{ X\in A\} \cap \{ Y\in B\} . \]

A notação destaca os valores de \(\xi \), mas continua designando eventos no espaço amostral. O domínio fica implícito, não desaparece.

4.3 Funções de Variáveis Aleatórias

Depois de construir variáveis aleatórias, queremos combiná-las sem abandonar a mensurabilidade. Vetores, somas, produtos, máximos e composições com funções borelianas preservam a estrutura necessária.

Proposição 4.15

Se \(\xi _1, \ldots , \xi _n\) são variáveis aleatórias reais, então \((\xi _1, \ldots , \xi _n)\) é um vetor aleatório.

Demonstração ▼

Utilizando o Teorema 4.3, basta verificar a mensurabilidade do mapa

\[ \omega \rightarrow (\xi _1(\omega ), \ldots , \xi _n(\omega )) \]

em uma classe de geradores da \(\sigma \)-álgebra de Borel em \(\mathbb {R}^n\) como por exemplo os geradores

\[ \{ (-\infty ,a_1] \times (-\infty , a_2] \times \cdots \times (-\infty , a_n]: a_1,a_2,\ldots ,a_n \in \mathbb {R}\} . \]

Para esse fim consideraremos as pré-imagens:

\begin{align*} & \{ (\xi _1,\ldots , \xi _n) \in (-\infty ,a_1] \times (-\infty , a_2] \times \cdots \times (-\infty , a_n]\} \\ & = \{ \xi _1 \in (-\infty , a_1], \ldots , \xi _n\in (-\infty , a_n]\} \\ & = \bigcap _{k=1}^n \{ \xi _k \in (-\infty , a_k]\} = \bigcap _{k=1}^n \{ \xi _k \leq a_k\} . \end{align*}

Logo, cada conjunto \(\{ \xi _k \leq a\} \) é mensurável (pois \(\xi _k\) é uma variável aleatória ), e suas intersecções são mensuráveis pelas propriedades de \(\sigma \)-álgebra.

Teorema 4.16 (Funções de Variáveis Aleatórias)

Dadas variáveis aleatórias reais \(\xi _1, \ldots , \xi _n\) e \(f: \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R}\) uma função mensurável. Então, \(f(\xi _1,\ldots , \xi _n)\) é a variável aleatória real.

Demonstração ▼

A função \(f(\xi _1,\ldots ,\xi _n)\) é composição de duas funções mensuráveis:

a função

\[ \omega \mapsto (\xi _1(\omega ),\ldots , \xi _n(\omega )) \]

é mensurável por 4.15.
a função

\[ (x_1,\ldots , x_n) \mapsto f(x_1,\ldots , x_n) ~ \]

é mensurável por hipótese .

Como a composição de funções mensuráveis é mensurável temos o resultado desejado.

Exemplo 4.17

Como corolário do Teorema anterior temos que se \(\xi \) é a variável aleatória, então:

[noitemsep]
\(\xi ^2\)

\(\sin (\xi )\)

\(e^\xi \)

são variáveis aleatórias.

Se \(\xi _1, \ldots , \xi _n\) são variáveis aleatórias, então:

\(\xi _1 + \cdots +\xi _n\)
\(\xi _1 \cdot \xi _2 \cdot \cdots \cdot \xi _n\)

são variáveis aleatórias.

Teorema 4.18 (Limites de Variáveis Aleatórias)

Se \(\xi _1,\xi _2,\ldots \) são variáveis aleatórias, então \(\sup _n\xi _n\), \(\inf _n\xi _n\), \(\limsup _n\xi _n\) e \(\liminf _n\xi _n\) são mensuráveis sempre que tomem valores reais. Em particular, se \(\xi _n(\omega )\) converge para um limite real \(\xi (\omega )\) para todo \(\omega \), então \(\xi \) é uma variável aleatória.

Demonstração ▼

Para todo \(a\in \mathbb {R}\),

\[ \left\{ \sup _n\xi _n\leq a\right\} =\bigcap _{n=1}^\infty \{ \xi _n\leq a\} , \]

logo o supremo é mensurável. De modo análogo,

\[ \left\{ \inf _n\xi _n\lt a\right\} =\bigcup _{n=1}^\infty \{ \xi _n\lt a\} , \]

e o Corolário 4.4 mostra que o ínfimo é mensurável. Finalmente,

\[ \limsup _{n\to \infty }\xi _n =\inf _n\sup _{k\geq n}\xi _k, \qquad \liminf _{n\to \infty }\xi _n =\sup _n\inf _{k\geq n}\xi _k, \]

de modo que ambos são mensuráveis pelas duas primeiras partes. Quando o limite pontual real existe, ele coincide com o limite superior e com o limite inferior, portanto também é mensurável.

Exemplo 4.19

Se \(\xi _1, \xi _2, \ldots \) são variáveis aleatórias e a série converge pontualmente para um valor real, então

\[ \sum _{n=1}^\infty \xi _n . \]

também o é.

Esse fato é verdadeiro porque as somas parciais são variáveis aleatórias e a soma é seu limite pontual. Se, além disso, \(\xi _n\geq 0\) para todo \(n\), a soma também é o supremo das somas parciais.

4.4 Variáveis Aleatórias Geram \(\sigma \)-álgebras

Uma variável aleatória não registra necessariamente toda a informação do experimento. Nesta seção identificaremos precisamente a informação que pode ser recuperada a partir de seus valores.

Comecemos com um exemplo simples.

Exemplo 4.20

Considere o exemplo do lançamento de uma moeda \(n\) vezes, de maneira independente. Como de costume, tomamos o espaço amostral \(\Omega =\{ 0, 1\} ^n\) (“0” representando coroa e “1” representando cara), e o munimos com a \(\sigma \)-álgebra \(2^\Omega \), uma vez que o espaço é finito.

Seja então a variável aleatória \(N=\) número de caras observadas. Explicitamente, \(N:\Omega \to \mathbb {R}\) é dada por

\[ N(\omega )=\sum _{k=1}^n\omega _k. \]

Esta variável só enxerga o número de caras, e portanto não carrega consigo nenhuma informação sobre quais lançamentos tais caras foram observadas ou se existem ou não lançamentos consecutivos de cara.

Assim, se soubermos que \(N=3\), por exemplo, sabemos apenas que o resultado está no evento

\[ \{ N=3\} =\{ \omega \in \Omega : N(\omega )=3\} =\{ \omega \in \Omega :\omega _1+\cdots +\omega _n=3\} , \]

e nada mais.

Qualquer evento cuja ocorrência possa ser decidida conhecendo apenas \(N\) tem a forma \(\{ N\in A\} \), com \(A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}) .\) Neste caso,

\[ \{ N\in A\} =\bigcup _{k\in A\cap \{ 1,\ldots , n\} }\{ N=k\} , \]

e portanto toda informação dada por \(N\) pode ser vista como união de eventos \(\{ N=k\} .\)

É interessante observar que a família \(\{ \{ N\in A\} : A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\} \), que coleciona toda a informação contida na variável \(N\), é de fato uma \(\sigma \)-álgebra. Com efeito, ela contém \(\Omega =N^{-1}(\mathbb {R})\) e, como pré-imagens preservam complementos e uniões enumeráveis,

\[ N^{-1}(A^c)=N^{-1}(A)^c, \qquad N^{-1}\left(\bigcup _jA_j\right)=\bigcup _jN^{-1}(A_j). \]

Com isso estamos prontos para a próxima definição.

Definição 4.21

Dada uma variável aleatória \(\xi \) definida em um espaço mensurável \((\Omega ,\mathcal{F})\), definimos a \(\sigma \)-álgebra gerada por \(\xi \), e denotamos por \(\sigma \langle \xi \rangle \), como a família

\begin{align*} \sigma \langle \xi \rangle & := \{ \xi ^{-1}(A) : A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\} \\ & = \{ \{ \xi \in A\} : A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}) \} \end{align*}

Analogamente, dado um vetor aleatório \(X=(X_1, X_2, \ldots , X_n)\), a \(\sigma \)-álgebra gerada por \(X_1, X_2, \ldots , X_n\) é a família

\begin{align*} \sigma \langle X_1, \ldots , X_n\rangle & := \sigma \langle X \rangle \\ & =\{ X^{-1}(A) : A \in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\} \\ & = \{ \{ (X_1, \ldots , X_n) \in A\} : A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n) \} \\ \end{align*}

Como comentamos anteriormente, \(\sigma \langle \xi \rangle \) pode ser vista como a \(\sigma \)-álgebra que carrega toda a informação encapsulada pela variável aleatória \(\xi .\) Além disso, \(\sigma \langle \xi \rangle \) é a menor \(\sigma \)-álgebra de subconjuntos de \(\Omega \) para a qual \(\xi \) é mensurável.

O próximo resultado permite obter a \(\sigma \)-álgebra gerada por uma variável a partir de uma família geradora de borelianos.

Proposição 4.22

Seja \(\xi \) uma variável aleatória e \(\mathcal A\subset \mathcal{B}(\mathbb {R})\) tal que \(\mathcal{B}(\mathbb {R})=\sigma \langle \mathcal A\rangle .\) Nestas condições

\[ \sigma \langle \xi \rangle =\sigma \langle \{ \{ \xi \in A\} : A\in \mathcal A\} \rangle . \]

O mesmo vale se \(\xi \) é um vetor aleatório e \(\mathcal A\subset \mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\) tal que \(\mathcal{B}(\mathbb {R}^n)=\sigma \langle \mathcal A\rangle .\)

Demonstração ▼

Defina

\begin{align*} \mathcal{F}& :=\sigma \langle \{ \{ \xi \in A\} : A\in \mathcal A\} \rangle , \quad \text{ e } \\ \mathcal{G}& :=\{ A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}): \{ \xi \in A\} \in \mathcal{F}\} . \end{align*}

Observe que \(\mathcal A\subseteq \mathcal{G}\subseteq \mathcal{B}(\mathbb {R})\). A classe \(\mathcal{G}\) contém \(\mathbb {R}\), pois \(\{ \xi \in \mathbb {R}\} =\Omega \in \mathcal{F}\). Se \(A\in \mathcal{G}\), então

\[ \{ \xi \in A^c\} =\{ \xi \in A\} ^c\in \mathcal{F}; \]

e, se \(A_j\in \mathcal{G}\), então

\[ \left\{ \xi \in \bigcup _jA_j\right\} =\bigcup _j\{ \xi \in A_j\} \in \mathcal{F}. \]

Logo, \(\mathcal{G}\) é uma \(\sigma \)-álgebra que contém \(\mathcal A\), donde \(\mathcal{G}=\mathcal{B}(\mathbb {R})\). Isso prova a primeira afirmação. O argumento para vetores é idêntico, substituindo \(\mathbb {R}\) por \(\mathbb {R}^n\).

Corolário 4.23

Se \(X=(X_1, X_2, \ldots , X_n)\), então

\[ \sigma \langle X_1, \ldots , X_n\rangle =\sigma \langle \{ X_1\in A_1, \ldots , X_n\in A_n\} : A_1, \ldots , A_n\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\} \rangle . \]

Demonstração ▼

Basta notar que \(\mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\) é gerada por \(\{ A_1\times \cdots \times A_n:A_k\in \mathcal{B}(\mathbb {R}), k=1, \ldots , n\} \) e que

\[ \{ X_1\in A_1, \ldots , X_n\in A_n\} =\{ X\in A_1\times \cdots \times A_n\} . \]

Exemplo 4.24

Dados \(\Omega =\{ 0,1\} ^{\mathbb N}\) e \(\omega =(\omega _1,\omega _2,\ldots )\in \Omega \), considere a variável aleatória \(\xi _n:\Omega \rightarrow \mathbb {R}\) definida por \(\xi _n(\omega )=\omega _n\) e seja \(\mathcal F_n=\sigma \langle \xi _1,\ldots ,\xi _n\rangle \).

Calcule explicitamente \(\mathcal{F}_1\) e \(\mathcal{F}_2\)

Solução: Como \(\xi _1\) só toma dois valores \(0\) ou \(1\), \(\sigma \langle \xi _1\rangle \) é gerado por

\[ \xi _1^{-1}(\{ 0\} ) = A_1 = \{ \omega : \omega _1 = 0\} \quad \text{ e } \]

\[ \xi _1^{-1}(\{ 1\} ) = B_1 = \{ \omega : \omega _1 = 1\} = A_1^\mathsf c \]

Logo \(\mathcal{F}_1 = \{ \Omega , \emptyset , A_1, A_1^\mathsf c\} \)

De modo análogo, \(\sigma \langle \xi _2\rangle \) é gerado por

\[ \xi _2^{-1}(\{ 0\} ) = A_2 = \{ \omega : \omega _2 = 0\} \quad \text{ e} \]

\[ \xi _2^{-1}(\{ 1\} ) = B_2 = \{ \omega : \omega _2 = 1\} = A_2^\mathsf c \]

Assim \(\sigma \langle \xi _2\rangle = \{ \Omega , \emptyset , A_2, A_2^\mathsf c\} \)

Os quatro átomos de \(\mathcal F_2\) são

\[ A_1\cap A_2,\quad A_1\cap A_2^c,\quad A_1^c\cap A_2,\quad A_1^c\cap A_2^c. \]

Logo, \(\mathcal F_2\) é a família de todas as uniões desses quatro átomos e possui \(2^4=16\) elementos. Essa descrição inclui, em particular, os dois eventos de paridade que faltariam numa lista formada apenas por linhas, colunas, átomos e complementos de átomos.

Proposição 4.25 (Lema de fatoração)

Dados \(\xi \) uma variável aleatória em \(\Omega \), \(\sigma \langle \xi \rangle \) a \(\sigma \)-álgebra gerada por \(\xi \) e \(\eta \) uma variável aleatória em \(\Omega .\) Então \(\eta \) é mensurável com respeito a \(\sigma \langle \xi \rangle \) se e somente se existe uma função mensurável \(f : \mathbb {R}\to \mathbb {R}\) tal que \(\eta =f(\xi ) .\)

Demonstração ▼

Se \(\eta =f(\xi )\) para alguma função boreliana \(f\), então \(\xi \) é \(\sigma \langle \xi \rangle \)–\(\mathcal{B}(\mathbb {R})\)-mensurável por definição. A composição \(f\circ \xi \) é, portanto, \(\sigma \langle \xi \rangle \)-mensurável.

Reciprocamente, suponha que \(\eta \) seja \(\sigma \langle \xi \rangle \)-mensurável. Considere a bijeção contínua

\[ h:\mathbb {R}\longrightarrow (0,1), \qquad h(t)=\frac12+\frac{1}{\pi }\arctan t, \]

e ponha \(Z=h(\eta )\). Para \(n\geq 1\), defina a aproximação diádica

\[ Z_n=2^{-n}\lfloor 2^nZ\rfloor . \]

Ela assume apenas os valores \(k2^{-n}\), \(0\leq k\lt 2^n\). Cada conjunto \(A_{n,k}:=\{ Z_n=k2^{-n}\} \) pertence a \(\sigma \langle \xi \rangle \); logo, pela definição dessa \(\sigma \)-álgebra, existe \(B'_{n,k}\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\) tal que \(A_{n,k}=\xi ^{-1}(B'_{n,k})\).

Podemos tornar esses borelianos disjuntos sem alterar suas pré-imagens: ponha \(B_{n,0}=B'_{n,0}\) e, para \(k\geq 1\),

\[ B_{n,k}=B'_{n,k}\setminus \bigcup _{j\lt k}B'_{n,j}. \]

De fato, as pré-imagens \(A_{n,k}\) já são disjuntas. A função boreliana

\[ g_n(x)=\sum _{k=0}^{2^n-1}k2^{-n}\mathbb {1}_{B_{n,k}}(x) \]

satisfaz \(g_n(\xi )=Z_n\). Como \(Z_n\to Z\), a função boreliana \(g:=\limsup _ng_n\) satisfaz \(g(\xi )=Z\) e toma valores em \((0,1)\) sobre \(\xi (\Omega )\). Finalmente, defina

\[ f(x)= \begin{cases} h^{-1}(g(x)),& 0\lt g(x)\lt 1,\\ 0,& \text{caso contrário}. \end{cases} \]

A função \(f\) é boreliana e, para todo \(\omega \in \Omega \), \(f(\xi (\omega ))=\eta (\omega )\).

A \(\sigma \)-álgebra gerada reúne a informação registrada pela variável. Para trabalhar no espaço de seus valores, falta transportar também a probabilidade. O espaço original pode sair de cena; suas probabilidades, não.

4.5 Variáveis Aleatórias Induzem Medidas de Probabilidade em \(\mathbb {R}\)

Seja \(\xi \) uma variável aleatória real. Para todo \(A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\), defina

\[ \P _\xi (A):=\P (\xi \in A)=\P \bigl(\xi ^{-1}(A)\bigr). \]

Essa função é uma probabilidade em \((\mathbb {R},\mathcal{B}(\mathbb {R}))\). De fato, \(\P _\xi (\mathbb {R})=\P (\Omega )=1\) e, para borelianos disjuntos \(A_1,A_2,\ldots \),

\[ \P _\xi \left(\bigcup _nA_n\right) =\P \left(\bigcup _n\xi ^{-1}(A_n)\right) =\sum _n\P \bigl(\xi ^{-1}(A_n)\bigr) =\sum _n\P _\xi (A_n). \]

A probabilidade \(\P _\xi \) é denominada distribuição de \(\xi \).

Na teoria da medida, o objeto central é o estudo dos espaços de medida \( (\Omega , \mathcal{F}, \mu ) .\) Na teoria da probabilidade, em muitas situações tentamos esquecer rapidamente os espaços da medida e discutir as distribuições.

Falaremos mais sobre distribuições no Capítulo 6.

4.6 Independência de Variáveis Aleatórias

A independência de variáveis aleatórias significa que a informação produzida por uma delas não altera as probabilidades associadas às demais. Formalmente, isso se traduz na independência das \(\sigma \)-álgebras que elas geram.

Definição 4.26 (Variáveis aleatórias independentes)

As variáveis aleatórias \(\xi _1,\ldots ,\xi _n\) são ditas independentes se

\[ \P (\xi _1 \in B_1, \ldots , \xi _n \in B_n) = \P (\xi _1 \in B_1) \cdot \cdots \cdot \P (\xi _n \in B_n) \]

para todos os conjuntos de Borel \(B_1, \ldots , B_n\) em \(\mathbb {R}\).

Exemplo 4.27 (Construindo duas moedas independentes)

Dado o espaço amostral de uma moeda \(\Omega =\{ 1,0\} \), considere \(\Omega _1=\Omega \times \Omega \), munido da \(\sigma \)-álgebra das partes e da probabilidade uniforme. Ou seja, para \(\omega =(\omega _1,\omega _2)\in \Omega _1\), vale \(\P (\{ \omega \} )=1/4\).

Considere as variáveis aleatórias:

\[ \xi (\omega _1,\omega _2)=\omega _1 \]

\[ \eta (\omega _1,\omega _2)=\omega _2 \]

As variáveis \(\xi \) e \(\eta \) são independentes.

Teorema 4.28

As variáveis aleatórias \(\xi _1,\dots ,\xi _n\) são independentes se e somente se \(\sigma \langle \xi _1\rangle , \dots \sigma \langle \xi _n \rangle \) são independentes.

Demonstração ▼

Para cada \(k\), a família

\[ \sigma \langle \xi _k\rangle =\bigl\{ \{ \xi _k\in B\} :B\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\bigr\} \]

é precisamente a \(\sigma \)-álgebra gerada por \(\xi _k\). Assim, a identidade que define a independência dessas \(\sigma \)-álgebras, aplicada a uma escolha \(\{ \xi _k\in B_k\} \) de cada uma, é exatamente a identidade da Definição 4.26. Isso prova as duas implicações.

Como consequência do Teorema anterior temos que:

Proposição 4.29

As variáveis aleatórias \(\xi _1,\ldots ,\xi _n\) são independentes se e somente se

\[ \P (\xi _1 \leq x_1, \ldots , \xi _n \leq x_n) = \P (\xi _1 \leq x_1) \cdot \cdots \cdot \P (\xi _n \leq x_n) \]

para todo \(x_1, \ldots , x_n \in \mathbb {R}.\)

Demonstração ▼

A implicação direta é imediata, tomando \(B_k=(-\infty ,x_k]\) na definição de independência.

Para a recíproca, suponha a identidade do enunciado. Para cada \(k\), defina

\[ \mathscr A_k:=\bigl\{ \{ \xi _k\leq x\} :x\in \mathbb {R}\bigr\} . \]

Cada \(\mathscr A_k\) é um \(\pi \)-sistema. A hipótese também implica as identidades de independência para qualquer subcoleção dos índices. De fato, para omitir os índices fora de \(H\subseteq \{ 1,\ldots ,n\} \), substitua seus limiares por \(t\) e faça \(t\to \infty \); a continuidade por baixo fornece

\[ \P \left(\bigcap _{k\in H}\{ \xi _k\leq x_k\} \right) =\prod _{k\in H}\P (\xi _k\leq x_k). \]

Portanto, as famílias \(\mathscr A_k\) são independentes. Como

\[ \sigma \langle \mathscr A_k\rangle =\sigma \langle \xi _k\rangle , \]

o teorema sobre \(\pi \)-sistemas independentes do capítulo anterior mostra que \(\sigma \langle \xi _1\rangle ,\ldots , \sigma \langle \xi _n\rangle \) são independentes. Pelo teorema precedente, as variáveis aleatórias são independentes.

Proposição 4.30

Dadas funções \(\{ f_k\} _{k=1}^n\) mensuráveis, Se \(\xi _1,\ldots ,\xi _n\) são variáveis aleatórias independentes, então \(f_1(\xi _1),\ldots , f_n(\xi _n)\) são independentes.

Demonstração ▼

Para borelianos \(B_1,\ldots ,B_n\), a mensurabilidade de cada \(f_k\) dá \(f_k^{-1}(B_k)\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\). Além disso,

\[ \{ f_k(\xi _k)\in B_k\} =\{ \xi _k\in f_k^{-1}(B_k)\} . \]

Pela independência das \(\xi _k\),

\begin{align*} & \P \bigl(f_1(\xi _1)\in B_1,\ldots ,f_n(\xi _n)\in B_n\bigr)\\ & \qquad =\prod _{k=1}^n\P \bigl(\xi _k\in f_k^{-1}(B_k)\bigr) =\prod _{k=1}^n\P \bigl(f_k(\xi _k)\in B_k\bigr), \end{align*}

que é a identidade desejada.

Como consequência da última proposição temos que se \(\xi ,\eta \) são independentes, então \(\xi ^2, \eta ^4\) são independentes.

Teorema 4.31 (Lei \(0\)-\(1\) de Kolmogorov para Variáveis Aleatórias)

Suponha que \((\xi _n : n \in \mathbb {N})\) é uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Então a \(\sigma \)-álgebra caudal \(\mathcal T\) de \((\sigma \langle \xi _n \rangle : n \in \mathbb {N})\) contém somente eventos de probabilidade \(0\) ou \(1 .\)

Mais ainda, toda variável aleatória mensurável com respeito a \(\mathcal T\) é constante quase certamente.

Demonstração ▼

Aplicando o Teorema 4.28 a cada subcoleção finita, vemos que as \(\sigma \)-álgebras \(\sigma \langle \xi _n\rangle \), \(n\geq 1\), são independentes. A primeira afirmação é, portanto, exatamente a Lei \(0\)–\(1\) de Kolmogorov aplicada a essa sequência de \(\sigma \)-álgebras.

Seja agora \(\eta \) uma variável aleatória \(\mathcal T\)-mensurável. Para todo \(y\in \mathbb {R}\), o evento \(\{ \eta \leq y\} \) pertence a \(\mathcal T\); logo,

\[ F(y):=\P (\eta \leq y)\in \{ 0,1\} . \]

Como \(F(y)\to 0\) quando \(y\to -\infty \) e \(F(y)\to 1\) quando \(y\to \infty \), o número

\[ c:=\inf \{ y\in \mathbb {R}:F(y)=1\} \]

é real. Pela monotonicidade de \(F\), temos \(F(y)=0\) para \(y\lt c\) e \(F(y)=1\) para \(y\gt c\). Escolhendo sequências racionais que se aproximam de \(c\) pelos dois lados e usando continuidade da probabilidade,

\[ \P (\eta \lt c)=0, \qquad \P (\eta \gt c)=0. \]

Consequentemente, \(\P (\eta =c)=1\).

Exercício 4.1

Sejam \((\Omega ,\mathcal F)\), \((S,\mathcal S)\) e \((T,\mathcal T)\) espaços mensuráveis. Prove que a composição de duas funções mensuráveis

\[ f:(\Omega ,\mathcal F)\to (S,\mathcal S), \qquad g:(S,\mathcal S)\to (T,\mathcal T) \]

é mensurável.

Ver solução

Para \(A\in \mathcal T\), \((g\circ f)^{-1}(A)=f^{-1}(g^{-1}(A))\). Como \(g^{-1}(A)\in \mathcal S\) e \(f\) é mensurável, essa imagem inversa pertence a \(\mathcal F\).

Exercício 4.2

Operações com variáveis aleatórias. Se \(X\) e \(Y\) são variáveis aleatórias reais no mesmo espaço de probabilidade \((\Omega ,\mathcal F,\P )\), prove que também são variáveis aleatórias:

\(|X|\);
\(X+Y\);
\(XY\);
\(\max \{ X,Y\} \);
\(\min \{ X,Y\} \).

Ver solução

O mapa \((X,Y):\Omega \to \mathbb {R}^2\) é mensurável, pois as pré-imagens de retângulos são interseções de eventos mensuráveis. Componha-o com as funções contínuas \((x,y)\mapsto x+y\), \(xy\), \(\max \{ x,y\} \) e \(\min \{ x,y\} \). Para o primeiro item, componha \(X\) com a função contínua \(x\mapsto |x|\).

Exercício 4.3

Seja \(X\) uma variável aleatória tal que \(\P (X\gt 0)\gt 0\). Prove que existe \(\delta \gt 0\) para o qual \(\P (X\gt \delta )\gt 0\).

Ver solução

Como \(\{ X\gt 0\} =\bigcup _{n\geq 1}\{ X\gt 1/n\} \), se todos os eventos da união tivessem probabilidade zero, sua união também teria. Logo algum \(\delta =1/n\) satisfaz a conclusão.

Exercício 4.4

Amostragem de uma variável exponencial. Seja \(U\sim \operatorname {U}(0,1)\) e fixe \(\lambda \gt 0\). Encontre uma função mensurável \(g:(0,1)\to [0,\infty )\) tal que \(X=g(U)\) tenha distribuição \(\operatorname {Exp}(\lambda )\). Prove sua afirmação calculando a função de distribuição de \(X\).

Ver solução

Tome \(g(u)=-\lambda ^{-1}\log u\). Para \(x\geq 0\),

\[ \P (g(U)\leq x)=\P (U\geq e^{-\lambda x})=1-e^{-\lambda x}, \]

e a probabilidade é zero para \(x\lt 0\). Essa é a função de distribuição exponencial de taxa \(\lambda \).

Exercício 4.5

A propriedade de falta de memória. Diremos que uma variável aleatória real não negativa \(X\) possui a propriedade de falta de memória quando

\[ \P (X\gt s+t\mid X\gt s)=\P (X\gt t) \]

para todos \(s,t\geq 0\) para os quais \(\P (X\gt s)\gt 0\).

Mostre que essa identidade é equivalente a

\[ \P (X\gt u\mid X\gt s)=\P (X\gt u-s), \qquad 0\leq s\lt u. \]

em todos os casos em que \(\P (X\gt s)\gt 0\).
Prove que toda variável com distribuição exponencial possui a propriedade de falta de memória.
Reciprocamente, suponha que \(X\) seja finita quase certamente, não degenerada e tenha a propriedade de falta de memória. Prove que \(X\sim \operatorname {Exp}(\lambda )\) para algum \(\lambda \gt 0\).

Dica. Para \(G(t)=\P (X\gt t)\), obtenha \(G(s+t)=G(s)G(t)\). Resolva primeiro a equação nos racionais não negativos e use a monotonicidade de \(G\) para passar aos reais.

Ver solução

No primeiro item ponha \(t=u-s\); a volta é a mesma substituição. Para uma exponencial, a razão \(\P (X\gt s+t)/\P (X\gt s)=e^{-\lambda t}\) prova a propriedade.

Na recíproca, a não degenerescência, junto com o caso \(s=0\), implica \(\P (X\gt 0)=1\). Para \(G(t)=\P (X\gt t)\), a hipótese dá \(G(s+t)=G(s)G(t)\). Como \(X\) é finita, \(G(t)\downarrow 0\). Se \(G(1)=1\), então \(G(n)=1\) para todo \(n\); se \(G(1)=0\), então \(G(1/n)=0\), contradizendo \(G(1/n)\uparrow \P (X\gt 0)=1\). Portanto \(0\lt G(1)\lt 1\). Pondo \(\lambda =-\log G(1)\gt 0\), a equação dá \(G(q)=e^{-\lambda q}\) para todo racional \(q\geq 0\). A monotonicidade e aproximações racionais por ambos os lados estendem a fórmula a todo real \(t\geq 0\).

Exercício 4.6

Seja \(X\) uma variável aleatória independente de si mesma, isto é, suponha que \(\sigma (X)\) seja independente de \(\sigma (X)\). Prove que \(X\) é constante quase certamente.

Ver solução

Para todo boreliano \(B\), o evento \(\{ X\in B\} \) é independente de si mesmo; logo sua probabilidade \(p\) satisfaz \(p=p^2\) e pertence a \(\{ 0,1\} \). Em particular a função de distribuição de \(X\) só assume \(0\) e \(1\). Se \(c=\inf \{ x:\P (X\leq x)=1\} \), continuidade à direita e limites da função de distribuição dão \(\P (X=c)=1\).

Exercício 4.7

Fixe \(\varepsilon ,\delta \gt 0\) e seja \((X_i)_{i\geq 1}\) uma sequência de variáveis aleatórias não negativas e independentes tal que

\[ \P (X_i\gt \delta )\geq \varepsilon \qquad \text{para todo }i\geq 1. \]

Prove que

\[ \sum _{i=1}^{\infty }X_i=\infty \qquad \text{quase certamente}. \]

Ver solução

Os eventos \(A_i=\{ X_i\gt \delta \} \) são independentes e \(\sum _i\P (A_i)=\infty \). Pelo segundo lema de Borel–Cantelli, infinitos \(A_i\) ocorrem quase certamente. Em cada um deles \(X_i\gt \delta \); como os termos são não negativos, as somas parciais tendem a infinito.

Exercício 4.8

Se \(X\) e \(Y\) são independentes, prove que cada uma das famílias

\[ \{ X^+,Y^+\} ,\qquad \{ X^+,Y^-\} ,\qquad \{ X^-,Y^+\} ,\qquad \{ X^-,Y^-\} \]

é independente.

Ver solução

As partes positiva e negativa são transformações borelianas: \(X^+=\max (X,0)\) e \(X^-=\max (-X,0)\). Transformações mensuráveis separadas preservam independência; aplique esse fato a cada um dos quatro pares.

Exercício 4.9

Variáveis mensuráveis numa partição enumerável. Seja \((E_n)_{n\geq 1}\) uma partição enumerável de \(\Omega \) em conjuntos não vazios e ponha \(\mathcal F=\sigma (E_n:n\geq 1)\).

Prove que

\[ \mathcal F=\left\{ \bigcup _{n\in I}E_n:I\subseteq \mathbb {N}\right\} . \]
Caracterize todas as funções \(X:(\Omega ,\mathcal F)\to (\mathbb {R},\mathcal B(\mathbb {R}))\) mensuráveis.

Ver solução

A família de todas as uniões de células contém os \(E_n\) e é uma \(\sigma \)-álgebra; pela minimalidade, ela é \(\mathcal F\). Se uma função mensurável assumisse dois valores distintos numa mesma célula, um racional entre eles produziria um conjunto \(\{ X\leq q\} \in \mathcal F\) que cortaria essa célula, o que é impossível. Logo \(X\) é constante em cada \(E_n\). Reciprocamente, escolhidos \(c_n\in \mathbb {R}\), a função

\[ X=\sum _{n\geq 1}c_n\mathbb {1}_{E_n} \]

é mensurável, pois a imagem inversa de cada boreliano é uma união das células correspondentes.