Eventos e sigma-álgebras
1.1 O que queremos de uma probabilidade?
Há fenômenos para os quais um modelo determinístico descreve com grande precisão o que será observado. Fixadas as condições iniciais, a lei da gravitação, por exemplo, determina a posição e a velocidade de um corpo em queda.
Em outras situações, a previsão individual deixa de ser uma linguagem razoável. Não sabemos quantas partículas um material radioativo emitirá no próximo intervalo de tempo. Mesmo o lançamento de uma moeda, determinístico em princípio, depende de condições iniciais que não controlamos na prática. Ainda assim, ambos os fenômenos exibem regularidades que podem ser descritas por uma lei probabilística. É nesse ponto — quando o resultado isolado escapa, mas o conjunto dos resultados conserva estrutura — que começa a probabilidade.
Para construir um modelo desse tipo, supomos que o resultado do experimento é desconhecido, mas que seus resultados possíveis são conhecidos. O conjunto desses resultados é o espaço amostral, geralmente denotado por \(\Omega \).
Espaços amostrais podem ser finitos, enumeráveis ou contínuos; ao longo do texto aparecerão naturalmente exemplos de cada tipo.
Em geral, a pergunta não é qual resultado ocorreu, mas se ele possui certa propriedade. Ao retirar uma carta de um baralho, por exemplo, podemos querer saber apenas se ela é vermelha. Uma propriedade desse tipo corresponde a um subconjunto de \(\Omega \): o conjunto dos resultados que a satisfaz.
Chamaremos de eventos os subconjuntos de \(\Omega \) aos quais o modelo permite atribuir probabilidade. A ressalva é importante: como veremos em breve, nem todo subconjunto poderá receber uma probabilidade.
Uma probabilidade deve atribuir a cada evento \(A\) um número \(\P (A)\in [0,1]\), com \(\P (\Omega )=1\). Além disso, se dois eventos disjuntos \(A\) e \(B\) não podem ocorrer simultaneamente, é natural exigir que
Em espaços finitos, essa propriedade se estende por indução a qualquer união finita. Em espaços gerais, porém, precisamos controlar também uniões enumeráveis. Se \(A_1,A_2,\ldots \) são eventos disjuntos dois a dois, exigimos
Essa propriedade é a \(\sigma \)-aditividade. Sua força ficará clara ao longo do texto: ela é a ponte entre operações finitas e fenômenos definidos por passagem ao limite.
Provisoriamente, portanto, uma probabilidade é uma função \(\P \) definida sobre uma família de eventos e tal que
\(\Pr {\Omega }=1\);
se \(A_1, A_2,\ldots \subset \Omega \) são eventos disjuntos, então
\[ \Pr {\bigcup _{k=1}^\infty A_k}=\sum _{k=1}^\infty \Pr {A_k}. \]
1.2 Nem sempre podemos atribuir probabilidades
Tentemos agora construir um modelo para uma situação aparentemente simples: o sorteio uniforme de um ponto no intervalo \([0,1)\).
Que condições esse modelo deveria satisfazer? Atribuir probabilidades apenas aos pontos não basta: cada ponto deverá ter probabilidade zero, embora o intervalo inteiro tenha probabilidade um. Precisamos, portanto, atribuir probabilidades a subconjuntos \(A\subset [0,1)\).
Para expressar a uniformidade, pedimos invariância por translações módulo \(1\). Se insistirmos em medir todos os subconjuntos, procuraremos uma função \(\mu :\mathcal P([0,1))\to [0,1]\) que satisfaça:
\(\mu ([0,1))=1\);
para toda sequência de conjuntos disjuntos \(A_1,A_2,\ldots \),
\[ \mu \left(\bigcup _{n=1}^\infty A_n\right) =\sum _{n=1}^\infty \mu (A_n); \]seja uniforme, isto é, invariante por translações módulo \(1\): se \(A\oplus b:=\{ \mathrm{dec}(x+b):x\in A\} \), então \(\mu (A\oplus b)=\mu (A)\).
Uma função não negativa e \(\sigma \)-aditiva será chamada de medida; os conjuntos aos quais ela pode ser aplicada serão os conjuntos mensuráveis. Essas definições serão precisadas no Capítulo 2.
As três exigências acima parecem modestas. Juntas, porém, pedem demais: tal modelo não existe.
Em \(\mathbb T\), considere a relação de equivalência
Pelo axioma da escolha, existe um conjunto \(V\subset \mathbb T\) que contém exatamente um representante de cada classe de equivalência. Esse é um conjunto de Vitali.
Seja \(D=\mathbb Q\cap [0,1)\). A família \((V\oplus q)_{q\in D}\) é enumerável, disjunta duas a duas e sua união é \(\mathbb T\). De fato, todo \(x\in \mathbb T\) é equivalente a um único \(v\in V\), de modo que \(x=v\oplus q\) para algum \(q\in D\). Se \(v_1\oplus q_1=v_2\oplus q_2\), então \(v_1\sim v_2\); pela escolha de um único representante, \(v_1=v_2\), e portanto \(q_1=q_2\) em \(\mathbb T\).
Suponha, por absurdo, que \(V\in \mathcal F\). Pela invariância, todos os conjuntos \(V\oplus q\) são mensuráveis e têm a mesma medida. A \(\sigma \)-aditividade fornece
Se \(\mu (V)=0\), o lado direito é \(0\); se \(\mu (V)\gt 0\), ele é infinito. As duas possibilidades contradizem \(0\lt \mu (\mathbb T)\lt \infty \). Logo \(V\notin \mathcal F\), como queríamos.
Que estrutura deve ter a família de eventos?
O exemplo de Vitali mostra que pedimos demais. Para escapar da contradição, alguma das exigências deve ser abandonada:
a sigma aditividade \(\mu \left( \bigcup _{n=1}^\infty A_n \right) = \sum _{n=1}^\infty \mu (A_n)\) para conjuntos disjuntos;
a invariância por translação;
o Axioma da Escolha;
ou que todos os subconjuntos sejam mensuráveis.
A \(\sigma \)-aditividade é útil demais para ser descartada. A invariância por translações não é necessária em todo modelo, mas é inseparável da ideia de uniformidade neste exemplo. Manteremos também o axioma da escolha.
Aceitaremos, então, que alguns subconjuntos não são mensuráveis. Em troca, preservamos a noção de probabilidade numa família ampla de eventos, estável pelas operações de conjuntos de que precisaremos.
1.3 Álgebras e \(\sigma \)-álgebras
Fixado o espaço amostral \(\Omega \), denotaremos por \(\mathcal F\) a família dos eventos aos quais podemos atribuir probabilidade. O exemplo de Vitali mostrou que, em geral, \(\mathcal F\) não pode conter todos os subconjuntos de \(\Omega \).
Essa família deve, contudo, ser estável pelas operações naturais entre eventos. Se podemos perguntar se \(A\) ou \(B\) ocorreu, devemos também poder perguntar se \(A\) não ocorreu e se ocorreu ao menos um dos dois. Comecemos pela estrutura finita correspondente.
ao complementar
\[ A \in \mathcal{F}\ \Rightarrow \ A^\mathsf c\in \mathcal{F} \]à união finita
\[ A, B \in \mathcal{F}\Rightarrow A\cup B \in \mathcal{F}. \]
Essas duas condições também garantem o fechamento por interseções finitas:
De fato, pela Lei de De Morgan \((A \cap B)^\mathsf c= A^\mathsf c\cup B^\mathsf c.\) Logo, \(A\cap B = (A^\mathsf c\cup B^\mathsf c)^\mathsf c.\)
A primeira álgebra distingue pouco; a segunda, no caso dos reais, distingue demais. A estrutura útil costuma estar entre esses extremos.
A álgebra gerada pelos intervalos contém apenas uniões finitas de intervalos. Isso é pouco para a probabilidade: não permite descrever limites de eventos. Admitir uniões arbitrárias, por outro lado, seria demais, pois todo subconjunto dos reais é união de seus pontos:
O compromisso é admitir uniões enumeráveis.
ao complementar
\[ A \in \mathcal{F}\ \Rightarrow \ A^\mathsf c\in \mathcal{F} \]a união enumerável
\[ A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}\Longrightarrow \bigcup _{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{F}. \]
Dado \(\Omega \) e \(\mathcal{F}\) uma \(\sigma \)-álgebra de \(\Omega \), dizemos que \((\Omega ,\mathcal{F})\) é um espaço mensurável.
Se voltarmos aos nossos exemplos, quais são \(\sigma \)-álgebras? Os Exemplos 1.3, 1.4 e 1.6 são, mas a álgebra elementar de intervalos apresentada no Exemplo 1.5 não é.
A família \(\{ \emptyset , A, A^\mathsf c, \Omega \} \) é uma \(\sigma \)-álgebra simples gerada pelo subconjunto \(A .\)
A família dos subconjuntos de \(X\) que são enumeráveis ou cujos complementos são enumeráveis é uma \(\sigma \)-álgebra.
Considere \(\Omega = \mathbb {R}.\) A menor \(\sigma \)-álgebra que contém todos os intervalos existe, como mostraremos na Seção 1.5.
Essa \(\sigma \)-álgebra é denominada \(\sigma \)-álgebra de Borel. Veremos que ela não contém todos os subconjuntos de \(\mathbb {R}\), conforme exigia o exemplo de Vitali.
Em espaços enumeráveis, podemos em geral tomar o conjunto das partes como \(\sigma \)-álgebra; a dificuldade aparece sobretudo nos espaços não enumeráveis.
1.4 Eventos e passagem ao limite
Uma \(\sigma \)-álgebra organiza as perguntas que o modelo permite fazer. Se \(A\in \mathcal{F}\), dizer que \(A\) ocorreu significa simplesmente que o resultado observado pertence a \(A\). Essa tradução entre operações de conjuntos e afirmações sobre o experimento será usada continuamente.
Neste contexto, dados eventos \(A, B\in \mathcal{F}\) também dizemos que
\(A\) não ocorreu ou não foi observado para nos referirmos a \(A^c\);
ocorreu ou observamos \(A\) ou \(B\) para nos referirmos a \(A\cup B\);
ocorreram ou observamos \(A\) e \(B\) para nos referirmos a \(A\cap B .\)
Analogamente, dada uma sequência de eventos \(A_1, A_2,\ldots \in \mathcal{F}\)
\(\bigcup _{k=1}^\infty A_k\) é o mesmo que ocorreu \(A_n\) para algum \(n\geq 1\);
\(\bigcap _{k=1}^\infty A_k\) é o mesmo que ocorreu \(A_n\) para todo \(n\geq 1\);
Consideremos o experimento de lançar infinitas moedas. Representaremos coroas por \(0\) e caras por \(1\), de modo que o espaço amostral é
Assim, o evento \(A_k=\{ \)observamos cara no \(k\)-ésimo lançamento\(\} \) é dado por
Deste modo, valem as seguintes descrições.
\(\bigcup _{k=1}^n A_k\) é o mesmo que ocorreu ao menos uma cara nos \(n\) primeiros lançamentos;
\(\bigcap _{k=1}^n A_k\) é o mesmo que ocorreu cara em todos os \(n\) primeiros lançamentos;
\(\bigcup _{k=1}^\infty A_k\) é o mesmo que ocorreu ao menos uma cara;
\(\bigcap _{k=1}^\infty A_k\) é o mesmo que ocorreu cara em todos os lançamentos;
O fechamento enumerável das \(\sigma \)-álgebras permite ainda descrever eventos que dependem do comportamento de uma sequência inteira.
Suponha que \(\mathcal{F}\) é uma \(\sigma \)-álgebra. E considere \(A_1, A_2, \ldots \subseteq \Omega .\)
Então o limite superior é o conjunto definido como
Por outro lado, o limite inferior é o conjunto definido como
Denote por \(A_n\) o conjunto das pessoas que visitaram uma biblioteca na \(n\)-ésima semana. Algumas aparecem apenas nas primeiras semanas; outras retornam infinitas vezes, mas com intervalos; outras, a partir de certo momento, passam a comparecer toda semana. Então
\(\limsup A_n\) reúne quem retorna em infinitas semanas;
\(\liminf A_n\) reúne quem, depois de alguma semana, não volta a faltar.
A diferença entre os dois limites é a diferença entre voltar sempre e, depois de algum instante, estar sempre presente.
Sempre é verdade que \(\liminf A_n \subset \limsup A_n \) e quando estes conjuntos coincidem, dizemos que o limite existe:
A sequência de eventos \(A_1, A_2, \ldots \) é dita não crescente se \(A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq \cdots .\) Nesse caso escreveremos que \(A_n \downarrow .\)
De modo análogo, a sequência de eventos \(A_1, A_2, \ldots \) é dita não decrescente se \(A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \cdots .\) Nesse caso escreveremos que \(A_n \uparrow .\)
Se \(A_n \uparrow \), então \(A_n\) converge para
\[ A:=\bigcup _{n=1}^\infty A_n. \]Denotaremos esse fato por \(\displaystyle \lim \limits _{n}\! \! \uparrow A_n=A\) (ou \(A_n\uparrow A\)).
Se \(A_n \downarrow \), então \(A_n\) converge para
\[ A:=\bigcap _{n=1}^\infty A_n. \]Denotaremos esse fato por \(\displaystyle \lim \limits _{n}\! \! \downarrow A_n=A\) (ou \(A_n\downarrow A\)).
Denotaremos por \(A=\limsup A_{n}\) e por \(B=\liminf A_{n} .\) Claramente \(B\subset A .\)
Suponha que os conjuntos \(A_n\) são não decrescentes, ou seja, \(A_{n}\subset A_{n+1} .\) Seja \(x\in A\) e seja \(I_x=\{ n\in \mathbb {N} : x\in A_n\} .\) O conjunto \(I_x\subset \mathbb {N}\) é não vazio e infinito. Seja \(n_0\in I_x\) o menor desses naturais. Se \(x\in A_{n_0}\) então \(x\in A_n \forall n\geq n_0 .\) Logo, o conjunto dos \(A_i\) em que \(x\) não está é finito e, portanto, \(x\in B\). Assim, \(A\subseteq B\).
Suponha que os conjuntos \( A_n \) sejam não crescentes, \( A_{n + 1} \subset A_{n}.\) Seja \( x \in A = \bigcap _{n = 1} ^{\infty } \bigcup _{k = n} ^{\infty } A_k .\) Para cada \( n \), \( \bigcup _{k = n} ^{\infty } A_k = A_n \) por serem não crescentes, então \( A = \bigcap _{n = 1} ^{\infty } A_n .\) Em particular, \(x\in A_n\) para todo \(n\); logo \(x\in B\) e, consequentemente, \( A \subseteq B .\)
1.5 Como gerar uma \(\sigma \)-álgebra
Uma \(\sigma \)-álgebra pode ser enorme, e quase nunca é conveniente descrevê-la listando seus elementos. O procedimento natural é começar com uma coleção pequena de conjuntos que queremos considerar como eventos e fechar essa coleção pelas operações exigidas.
As três propriedades de uma \(\sigma \)-álgebra são preservadas por interseções. De fato, \(\Omega \) pertence a todas as \(\mathcal F_\lambda \); se \(A\) pertence a todas elas, o mesmo vale para \(A^\mathsf c\); e, se \(A_1,A_2,\ldots \) pertencem a todas elas, então \(\bigcup _nA_n\) pertence a todas elas.
A mesma observação vale para interseções de álgebras. Isso permite definir a menor estrutura que contém uma classe dada.
A \(\sigma \)-álgebra gerada por \(\mathcal C\) é
\[ \sigma \langle \mathcal C\rangle := \bigcap _{\shortstack {\text{\small $\mathcal F$ é $\sigma $-álgebra}\\ \text{\small $\mathcal C\subseteq \mathcal F$}}}\mathcal F. \]A álgebra gerada por \(\mathcal C\) é
\[ f\langle \mathcal C\rangle := \bigcap _{\shortstack {\text{\small $\mathcal F$ é álgebra}\\ \text{\small $\mathcal C\subseteq \mathcal F$}}}\mathcal F. \]
Assim, \(\sigma \langle \mathcal C\rangle \) é a menor \(\sigma \)-álgebra que contém \(\mathcal C\). A definição é implícita: ela contém exatamente os conjuntos que somos obrigados a acrescentar ao permitir complementos e operações enumeráveis. Em aplicações, essa descrição por geradores é muito mais útil do que uma tentativa de listar todos os elementos.
A geração de \(\sigma \)-álgebras é compatível com a restrição a subespaços de \(\Omega .\)
A família
é uma \(\sigma \)-álgebra em \(\Omega _0\) e contém \(\mathcal C\vert _{\Omega _0}\). Pela minimalidade,
Para a inclusão inversa, defina
A família \(\mathcal G\) é uma \(\sigma \)-álgebra em \(\Omega \): contém \(\Omega \), é fechada por complementos e por uniões enumeráveis. Além disso, \(\mathcal C\subseteq \mathcal G\). Como \(\mathcal G\) é uma \(\sigma \)-álgebra que contém \(\mathcal C\), a minimalidade da \(\sigma \)-álgebra gerada fornece
Tomando o traço em \(\Omega _0\), obtemos a inclusão inversa.
1.6 Classes de conjuntos e princípios de identificação
Gerar uma \(\sigma \)-álgebra é simples de definir; provar propriedades para todos os seus elementos pode ser difícil. A estratégia recorrente será trabalhar com classes menores, estáveis apenas pelas operações necessárias, e deixar que um teorema estrutural propague a propriedade até a \(\sigma \)-álgebra gerada.
Uma família de eventos \(\mathcal F\subset \mathcal{P}(\Omega )\) é denominada \(\lambda \)-sistema se
\(\Omega \in \mathcal F\)
\(A\in \mathcal F\Longrightarrow A^\mathsf c\in \mathcal F\)
\(\underbrace{A_1, A_2, \ldots }_{\text{disjuntos}} \in \mathcal F \Longrightarrow \bigcup _{k=1}^\infty A_k \in \mathcal F .\)
Na definição acima, a condição \( \Omega \in \mathcal F \) garante que a classe \( \mathcal F \) não seja vazia.
Como \(A,B\in \mathcal L\), também \(A^\mathsf c,B^\mathsf c\in \mathcal L\). A inclusão \(B\subseteq A\) implica que \(A^\mathsf c\) e \(B\) são disjuntos. Logo \(A^\mathsf c\cup B\in \mathcal L\). Tomando novamente o complemento,
\(A_1, A_2,\ldots \in \mathcal M\) e \(A_n\uparrow A \Longrightarrow A\in \mathcal M\)
\(A_1, A_2,\ldots \in \mathcal M\) e \(A_n\downarrow A \Longrightarrow A\in \mathcal M .\)
Temos a seguinte relação entre as classes de conjuntos
\(\mathcal F\) é uma \(\sigma \)-álgebra
\(\mathcal F\) é uma álgebra e classe monótona
\(\mathcal F\) é um \(\lambda \)-sistema e um \(\pi \)-sistema.
Toda \(\sigma \)-álgebra é, ao mesmo tempo, uma álgebra e uma classe monótona; também é um \(\lambda \)-sistema e um \(\pi \)-sistema. Assim, basta provar que cada uma das condições 2 e 3 implica 1.
De 3 para 1. Suponha que \(\mathcal F\) seja um \(\lambda \)-sistema e um \(\pi \)-sistema. A definição de \(\lambda \)-sistema já fornece \(\Omega \in \mathcal F\) e o fechamento por complementos. Resta obter o fechamento por uniões enumeráveis que não sejam necessariamente disjuntas.
Dados \(A_1,A_2,\ldots \in \mathcal F\), defina
Como \(\mathcal F\) é fechada por complementos e por interseções finitas, cada \(B_k\) pertence a \(\mathcal F\). Além disso, os \(B_k\) são disjuntos dois a dois e
O fechamento do \(\lambda \)-sistema por uniões enumeráveis disjuntas mostra, portanto, que \(\bigcup _kA_k\in \mathcal F\). Logo \(\mathcal F\) é uma \(\sigma \)-álgebra.
De 2 para 1. Suponha agora que \(\mathcal F\) seja uma álgebra e uma classe monótona. Se \(A_1,A_2,\ldots \in \mathcal F\), então as uniões finitas
pertencem à álgebra \(\mathcal F\) e satisfazem \(S_n\uparrow \bigcup _{k=1}^\infty A_k\). Pelo fechamento da classe monótona por limites crescentes, \(\bigcup _kA_k\in \mathcal F\). Assim, \(\mathcal F\) é uma \(\sigma \)-álgebra, e as três condições são equivalentes.
As interseções de classes monótonas e de \(\lambda \)-sistemas preservam, respectivamente, essas duas estruturas. Podemos, portanto, definir
Escreva \(\mathcal M=\mathcal M\langle \mathcal F_0\rangle \). Faremos a prova em três passos.
1. A inclusão imediata. Como \(\sigma \langle \mathcal F_0\rangle \) é uma classe monótona que contém \(\mathcal F_0\), a minimalidade de \(\mathcal M\) dá
2. Fechamento por complementos. Considere
Se \(A_n\in \mathcal D\) e \(A_n\uparrow A\), então \(A_n^\mathsf c\in \mathcal M\) e \(A_n^\mathsf c\downarrow A^\mathsf c\); logo \(A^\mathsf c\in \mathcal M\), isto é, \(A\in \mathcal D\). O caso \(A_n\downarrow A\) é análogo, com os complementos crescendo. Portanto, \(\mathcal D\) é uma classe monótona. Como \(\mathcal F_0\) é uma álgebra, \(A\in \mathcal F_0\) implica \(A^\mathsf c\in \mathcal F_0\subseteq \mathcal M\); assim, \(\mathcal F_0\subseteq \mathcal D\). Pela minimalidade, \(\mathcal M\subseteq \mathcal D\), e \(\mathcal M\) é fechada por complementos.
3. Fechamento por uniões finitas. Fixe \(B\in \mathcal F_0\) e defina
Se \(A_n\uparrow A\), então \(A_n\cup B\uparrow A\cup B\); se \(A_n\downarrow A\), então \(A_n\cup B\downarrow A\cup B\). Isso mostra que \(\mathcal D_B\) é uma classe monótona. Além disso, \(\mathcal F_0\subseteq \mathcal D_B\), pois \(A,B\in \mathcal F_0\) implica \(A\cup B\in \mathcal F_0\subseteq \mathcal M\). Mais uma vez pela minimalidade, \(\mathcal M\subseteq \mathcal D_B\). Concluímos que
Precisamos agora permitir que também o segundo conjunto pertença a \(\mathcal M\). Para isso, considere
Para cada \(A\in \mathcal M\), as identidades do parágrafo anterior mostram que a condição \(A\cup B\in \mathcal M\) é preservada quando \(B_n\uparrow B\) ou \(B_n\downarrow B\). Logo \(\mathcal E\) é uma classe monótona. A conclusão destacada acima mostra que \(\mathcal F_0\subseteq \mathcal E\); pela minimalidade, \(\mathcal M\subseteq \mathcal E\). Portanto, \(A,B\in \mathcal M\) implica \(A\cup B\in \mathcal M\).
Como \(\Omega \in \mathcal F_0\subseteq \mathcal M\), os passos 2 e 3 mostram que \(\mathcal M\) é uma álgebra. Ela já é uma classe monótona; pelo Teorema 1.25, ela é uma \(\sigma \)-álgebra. Como contém \(\mathcal F_0\), contém também \(\sigma \langle \mathcal F_0\rangle \), o que prova a outra inclusão.
Escreva \(\mathcal L=\lambda \langle \mathcal P\rangle \). Como toda \(\sigma \)-álgebra é um \(\lambda \)-sistema,
Resta provar a inclusão inversa. Para cada \(A\subseteq \Omega \), defina
Fixe \(A\in \mathcal P\). Temos \(\Omega \in \mathcal G_A\), pois \(A=A\cap \Omega \in \mathcal L\). Se \(B\in \mathcal G_A\), então
pela propriedade de diferenças próprias. Portanto \(B^\mathsf c\in \mathcal G_A\). Se \(B_1,B_2,\ldots \) são disjuntos e pertencem a \(\mathcal G_A\), então os conjuntos \(A\cap B_n\) também são disjuntos e
Logo \(\mathcal G_A\) é um \(\lambda \)-sistema. Como \(\mathcal P\) é um \(\pi \)-sistema, \(\mathcal P\subseteq \mathcal G_A\); pela minimalidade, \(\mathcal L\subseteq \mathcal G_A\).
Considere agora
A classe \(\mathcal H\) é um \(\lambda \)-sistema. Com efeito, \(\Omega \in \mathcal H\). Se \(A\in \mathcal H\) e \(B\in \mathcal L\), então \(A\cap B\in \mathcal L\) e
de modo que \(A^\mathsf c\in \mathcal H\). Finalmente, se \(A_1,A_2,\ldots \) são disjuntos e pertencem a \(\mathcal H\), então, para cada \(B\in \mathcal L\), os conjuntos \(A_n\cap B\) são disjuntos e
Assim, \(\bigcup _n A_n\in \mathcal H\).
O parágrafo anterior mostrou que \(\mathcal P\subseteq \mathcal H\); portanto \(\mathcal L\subseteq \mathcal H\). Se \(A,B\in \mathcal L\), segue que \(B\in \mathcal G_A\), isto é, \(A\cap B\in \mathcal L\). Logo \(\mathcal L\) é também um \(\pi \)-sistema. Pelo Teorema 1.25, \(\mathcal L\) é uma \(\sigma \)-álgebra que contém \(\mathcal P\). Consequentemente, \(\sigma \langle \mathcal P\rangle \subseteq \mathcal L\), concluindo a demonstração.
O teorema de Dynkin fornece a forma operacional que usaremos repetidamente.
Como \(\mathcal G\) é um \(\lambda \)-sistema que contém \(\mathcal P\), a minimalidade fornece
Pelo Teorema \(\pi \)–\(\lambda \) de Dynkin, \(\lambda \langle \mathcal P\rangle =\sigma \langle \mathcal P\rangle \).
O princípio resume uma técnica: definimos \(\mathcal G\) como a classe dos conjuntos para os quais uma propriedade é verdadeira, verificamos essa propriedade num \(\pi \)-sistema gerador e mostramos que \(\mathcal G\) é um \(\lambda \)-sistema. O trabalho feito nos geradores passa então automaticamente para toda a \(\sigma \)-álgebra.
1.7 \(\sigma \)-álgebra de Borel
As \(\sigma \)-álgebras de Borel permeiam a teoria da medida e a probabilidade. Seu traço distintivo é admitir muitos geradores equivalentes: abertos, fechados, bolas, retângulos ou cilindros. A liberdade de escolher o gerador adequado simplifica demonstrações e construções; em \((0,1]^d\), por exemplo, retângulos serão a linguagem natural para construir a medida de Lebesgue.
Recordemos apenas que um espaço métrico \((\Omega ,d)\) vem munido da topologia gerada pelas bolas abertas. Usaremos sem nova revisão as noções usuais de aberto, fechado, separabilidade e completude; um espaço polonês é um espaço topológico separável e completamente metrizável.
A definição se aplica, em particular, às \(\sigma \)-álgebras de Borel \(\mathcal{B}(\mathbb {R}^d)\) e \(\mathcal{B}((0,1]^d) .\) Para uma classe \(\mathcal C\) de subconjuntos de \(\Omega \), usaremos a notação
Começaremos mostrando que \( \mathcal{B}(\Omega _0) = \mathcal{B}(\Omega )\vert _{\Omega _0}\).
Considere
Pela definição da topologia de subespaço,
Logo
onde a segunda igualdade é o Teorema dos Geradores Restringidos.
Agora suponha \(\Omega _0\in \mathcal B(\Omega )\). Se \(B\in \mathcal B(\Omega )\) e \(B\subseteq \Omega _0\), então \(B=B\cap \Omega _0\) pertence ao traço. Reciprocamente, se \(B=\widetilde B\cap \Omega _0\), com \(\widetilde B\in \mathcal B(\Omega )\), então \(B\in \mathcal B(\Omega )\), pois tanto \(\widetilde B\) quanto \(\Omega _0\) são borelianos, e claramente \(B\subseteq \Omega _0\).
Por retângulo em \(\mathbb {R}^d\) entenderemos um produto de \(d\) intervalos; por cilindro coordenado, um conjunto da forma \(\pi _j^{-1}(I)=\{ x\in \mathbb {R}^d:x_j\in I\} \), onde \(I\subseteq \mathbb {R}\) é um intervalo.
onde \(\mathcal{B}_0((0,1]^d):= f\bigl\langle (a_1,b_1]\times \cdots \times (a_d,b_d] : 0\leq a_k\lt b_k\leq 1 \bigr\rangle \) é a álgebra elementar de retângulos semiabertos em \((0,1]^d .\)
Para o capítulo seguinte, a consequência decisiva é
Construiremos primeiro a medida na álgebra elementar de retângulos e depois a estenderemos à \(\sigma \)-álgebra que ela gera.
Denote por \(\mathcal H\) a família dos ortantes inferiores
Cada elemento de \(\mathcal H\) é fechado, logo \(\sigma \langle \mathcal H\rangle \subseteq \mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Para a inclusão inversa, fixe \(j\in \{ 1,\ldots ,d\} \) e \(c\in \mathbb {R}\). O semiespaço coordenado inferior pode ser escrito como
Portanto, todos esses semiespaços pertencem a \(\sigma \langle \mathcal H\rangle \). Diferenças e interseções finitas dão
Os retângulos semiabertos desse tipo geram todos os retângulos abertos e, como os retângulos abertos com extremos racionais formam uma base enumerável da topologia euclidiana, geram \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Assim, \(\sigma \langle \mathcal H\rangle =\mathcal B(\mathbb {R}^d)\).
As bolas abertas também formam uma base: mais precisamente, as bolas com centro em \(\mathbb Q^d\) e raio racional formam uma base enumerável. Logo todo aberto é união enumerável dessas bolas. Como toda bola aberta é boreliana, segue que as bolas abertas geram \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Por definição, o mesmo vale para a família de todos os abertos. Os fechados geram a mesma \(\sigma \)-álgebra, pois são exatamente os complementos dos abertos.
Todo compacto de \(\mathbb {R}^d\) é fechado, de modo que a \(\sigma \)-álgebra gerada pelos compactos está contida em \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Reciprocamente, se \(F\) é fechado, então
e cada conjunto da união é compacto. Portanto os compactos geram todos os fechados e, consequentemente, toda a \(\sigma \)-álgebra de Borel.
Todo retângulo é boreliano, enquanto os retângulos abertos com extremos racionais formam uma base enumerável; portanto os retângulos também geram \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Todo cilindro coordenado é boreliano, pois a projeção \(\pi _j\) é contínua. Reciprocamente, todo retângulo é uma interseção finita de cilindros coordenados. Isso prova também a igualdade relativa aos cilindros.
Passemos a \(S=(0,1]\). Pelo Teorema da Restrição de Borel e pelo caso unidimensional já demonstrado, \(\mathcal B(S)\) é gerada pelos conjuntos \((0,c]\), \(0\lt c\lt 1\). Como
a família dos intervalos semiabertos \((a,b]\), \(0\leq a\lt b\leq 1\), gera a mesma \(\sigma \)-álgebra. A álgebra \(\mathcal B_0(S)\) é, por definição, a álgebra gerada por esses intervalos; aplicar primeiro um número finito de operações e depois operações enumeráveis não muda a \(\sigma \)-álgebra gerada. Logo \(\sigma \langle \mathcal B_0(S)\rangle =\mathcal B(S)\).
Os abertos de \(S\) geram \(\mathcal B(S)\) por definição, e os fechados geram a mesma classe por complementação. Para conferir diretamente as duas famílias de intervalos que aparecem no enunciado, fixe \(0\lt c\lt 1\). Escolha sequências \(a_n\downarrow 0\) e \(b_n\downarrow c\) com \(0\lt a_n\lt c\lt b_n\lt 1\). Então
Descartando os poucos pares com \(a_m\geq b_n\), todos os intervalos da última expressão têm extremos estritamente entre \(0\) e \(1\). Assim, esses intervalos abertos geram \((0,c]\). Por outro lado,
de modo que os intervalos fechados com extremos interiores também geram \((0,c]\). Como todos os intervalos mencionados são borelianos, ficam provadas todas as igualdades relativas a \(S\).
Finalmente, tome \(S_d=(0,1]^d\). Pelo Teorema da Restrição de Borel,
Como \(S_d\) é boreliano, esse traço é também \(\{ B\in \mathcal B(\mathbb {R}^d):B\subseteq S_d\} \). Intersectando os ortantes inferiores com \(S_d\), vemos que \(\mathcal B(S_d)\) é gerada pelos retângulos \((0,b_1]\times \cdots \times (0,b_d]\). Diferenças finitas em cada coordenada mostram que ela é igualmente gerada por todos os retângulos \((a_1,b_1]\times \cdots \times (a_d,b_d]\) do enunciado. A álgebra gerada por esses retângulos é \(\mathcal B_0(S_d)\), e portanto sua \(\sigma \)-álgebra gerada é novamente \(\mathcal B(S_d)\).
A \(\sigma \)-álgebra de Borel é vasta, mas não contém todos os subconjuntos de \(\mathbb {R}\). Exibir diretamente um não boreliano não é simples; a medida de Lebesgue fornecerá uma maneira eficiente de provar que eles existem.
A mesma construção define a \(\sigma \)-álgebra de Borel em qualquer espaço topológico.
A teoria dos espaços borelianos poloneses será retomada na seção opcional sobre a estrutura dos borelianos, no Capítulo 2.
Sejam \(\mathcal A_1\) e \(\mathcal A_2\) duas álgebras de subconjuntos do mesmo conjunto \(\Omega \). Prove que \(\mathcal A_1\cap \mathcal A_2\) também é uma álgebra de subconjuntos de \(\Omega \). Considere \(\Omega =(0,1]\) e a família Prove que \(\mathcal A\) é uma álgebra de subconjuntos de \(\Omega \). Prove que a família é uma álgebra de subconjuntos de \(\Omega \). Suponha que \(\Omega \) seja infinito. Mostre que a álgebra não é uma \(\sigma \)-álgebra. Construa explicitamente uma sequência \((A_n)_{n\geq 1}\) em \(\mathcal A\) cuja união não pertence a \(\mathcal A\). Suponha que \(\Omega \) seja infinito e não enumerável. Prove que é uma \(\sigma \)-álgebra de subconjuntos de \(\Omega \). Sejam \((A_n)_{n\geq 1}\) conjuntos de \(\Omega \). Suponha que \(A_n\uparrow A\), isto é, \(A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots \) e \(A=\bigcup _{n\geq 1}A_n\). Prove que Suponha que \(A_n\downarrow A\), isto é, \(A_1\supseteq A_2\supseteq \cdots \) e \(A=\bigcap _{n\geq 1}A_n\). Prove que Conjunto de Cantor. Seja \(C\subseteq [0,1]\) o conjunto de Cantor. Prove que \(C\) é fechado e, portanto, boreliano. Em seguida, usando representações na base \(3\), construa uma injeção de \(\{ 0,1\} ^{\mathbb {N}}\) em \(C\) e conclua que \(C\) não é enumerável. Prove o Princípio dos Bons Conjuntos: se \(\mathcal C\subseteq \mathcal G\subseteq \mathcal{P}(\Omega )\) e \(\mathcal G\) é uma \(\sigma \)-álgebra, então Indique precisamente onde é usada a minimalidade de \(\sigma \langle \mathcal C\rangle \). Conjunto de Vitali no plano. Seja \(\mathcal F\) uma \(\sigma \)-álgebra de subconjuntos de \(\mathbb {R}^2\) que contém os borelianos, e seja \(\mu \) uma medida não nula em \((\mathbb {R}^2,\mathcal F)\), invariante por translações, tal que Adapte a construção de Vitali, usando translações por vetores de \(\mathbb {Q}^2\), para provar que existe um conjunto \(V\subseteq [0,1]^2\) que não pertence a \(\mathcal F\). Prove novamente o Teorema da Classe Monótona de Halmos 1.26. Mais precisamente, dada uma álgebra \(\mathcal F_0\), escreva \(\mathcal M=\mathcal M\langle \mathcal F_0\rangle \) e: prove primeiro que \(\mathcal M\subseteq \sigma \langle \mathcal F_0\rangle \); mostre, por um argumento de classe monótona, que \(A\in \mathcal M\) implica \(A^c\in \mathcal M\); use duas vezes o mesmo tipo de argumento para provar que \(A,B\in \mathcal M\) implica \(A\cup B\in \mathcal M\); conclua, pelo Teorema 1.25, que \(\mathcal M\langle \mathcal F_0\rangle =\sigma \langle \mathcal F_0\rangle \). Ver solução
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(λ_2’) A,BL, A⊆B B∖AL;
(λ_4) A,BL, A∩B=A∪BL;
(λ_5) A_nA, A_nL AL;
(λ_6) A_nA, A_nL AL.
Prove as afirmações abaixo.
\(\mathcal L\) é um \(\lambda \)-sistema se, e somente se, satisfaz \((\lambda _1)\), \((\lambda _2')\) e \((\lambda _3)\).
Todo \(\lambda \)-sistema satisfaz também \((\lambda _4)\), \((\lambda _5)\) e \((\lambda _6)\).
\(\mathcal L\) é um \(\lambda \)-sistema se, e somente se, satisfaz \((\lambda _1)\), \((\lambda _2')\) e \((\lambda _6)\).
Se \(\mathcal L\) é não vazia e satisfaz \((\lambda _2)\) e \((\lambda _3)\), então \(\mathcal L\) é um \(\lambda \)-sistema.
De \((\lambda _1)\) e \((\lambda _2')\) segue \(A^c=\Omega \setminus A\in \mathcal L\); junto com \((\lambda _3)\), isso é a definição de \(\lambda \)-sistema. Reciprocamente, se \(A\subseteq B\), então \(B\setminus A=(B^c\sqcup A)^c\), usando união disjunta e complementos.
Num \(\lambda \)-sistema, \((\lambda _4)\) é o caso finito de \((\lambda _3)\). Para \(A_n\uparrow A\), escreva \(A=A_1\sqcup \bigsqcup _{n\geq 2}(A_n\setminus A_{n-1})\); complementos dão o caso decrescente. Se valem \((\lambda _1),(\lambda _2'),(\lambda _6)\), obtemos complementos e uniões finitas disjuntas; por complementação, também limites crescentes, e as uniões parciais fornecem \((\lambda _3)\). Por fim, se \(\mathcal L\neq \varnothing \) satisfaz \((\lambda _2)\) e \((\lambda _3)\), escolha \(A\in \mathcal L\): de \(A\sqcup A^c=\Omega \) segue \((\lambda _1)\).
Seja \(\varnothing \neq \mathcal A\subseteq \mathcal{P}(\Omega )\). Defina
Prove que a álgebra gerada por \(\mathcal A\) é \(\mathcal U\), isto é,
Ao longo da prova, explique como \(\varnothing \) e \(\Omega \) aparecem em \(\mathcal U\).
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Seja \(S=(0,1]\) e
Usando o exercício anterior, prove que todo elemento de \(\mathcal B_0(S)\) pode ser escrito como união finita de intervalos semiabertos \((a_i,b_i]\). Mostre ainda que essa representação pode ser escolhida com os intervalos dois a dois disjuntos.
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Um dado lançado até o primeiro seis. Um dado equilibrado é lançado repetidamente até aparecer a face \(6\). O experimento deve contemplar também a possibilidade de que isso nunca ocorra. Descreva um espaço amostral que registre exatamente a trajetória observada: uma palavra finita terminada em \(6\), quando o primeiro \(6\) aparece, ou uma trajetória infinita, quando ele nunca aparece. Não atribua probabilidades ainda; essa etapa será retomada no capítulo seguinte.
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Três modelos de ocupação. Distribua \(k\) partículas por \(n\) células distinguíveis. Descreva o espaço de configurações e calcule sua cardinalidade em cada um dos modelos:
Maxwell–Boltzmann: partículas distinguíveis e ocupação múltipla permitida;
Bose–Einstein: partículas indistinguíveis e ocupação múltipla permitida;
Fermi–Dirac: partículas indistinguíveis e no máximo uma partícula por célula. No último caso, trate separadamente a possibilidade \(k\gt n\).
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Três espaços amostrais para uma urna colorida. Uma urna contém \(N=n_1+\cdots +n_r\) bolas fisicamente distintas, das quais \(n_i\) têm a cor \(i\). Retiram-se \(k\leq N\) bolas sem reposição.
Descreva e conte os resultados quando se registra a ordem e a identidade das bolas.
Faça o mesmo quando se registram as identidades, mas não a ordem.
Se somente as quantidades retiradas de cada cor são registradas, descreva o espaço de resultados e determine a probabilidade de cada vetor de contagens sob amostragem uniforme.