Como \(\mathbf{E}[\xi ]=\int _\Omega \xi \, \d\P \), a linearidade para funções integráveis, a positividade, a monotonicidade, a desigualdade triangular e a convergência monótona são exatamente as propriedades da integral de Lebesgue demonstradas no capítulo anterior. Para explicitar o único ponto específico de uma probabilidade, se \(\xi \equiv b\), então \(\xi =b\mathbb {1}_\Omega \) e

O operador \(\xi \mapsto \int _\Omega \xi \, \d\P \) é linear, \(|\mathbf{E}[\xi ]|\leq \| \xi \| _1\) e \(\mathbf{E}[\mathbb {1}_A]=\P (A)\); portanto, possui as propriedades anunciadas.

Reciprocamente, seja \(T\) um operador com essas propriedades. Se \(s=\sum _{j=1}^m a_j\mathbb {1}_{A_j}\) é simples, a linearidade e a condição sobre indicadoras dão

As funções simples são densas em \(\L ^1\): para \(\xi \in \L ^1\), escolha simples \(s_n\) com \(\| s_n-\xi \| _1\to 0\). Pela continuidade de \(T\) e pela estimativa \(|\mathbf{E}[s_n-\xi ]|\leq \| s_n-\xi \| _1\),

Isso prova a unicidade.

1. Como \(\xi ^+=\xi ^-=0\) quase certamente, ambas as integrais são nulas e, portanto, \(\mathbf{E}[\xi ]=0\).

2. Da igualdade quase certa seguem \(\xi ^+=\eta ^+\) e \(\xi ^-=\eta ^-\) quase certamente. As integrais das partes positiva e negativa coincidem; logo a existência e o valor da esperança de \(\eta \) são os mesmos que os de \(\xi \).

3. Defina

   \[ \xi ^*=\xi \mathbb {1}_{\{ \xi \leq \eta \} }+\eta \mathbb {1}_{\{ \xi \gt \eta \} }. \]

   Então \(\xi ^*=\xi \) quase certamente e \(\xi ^*\leq \eta \) em todo ponto. Além disso, \((\xi ^*)^+\leq \eta ^+\), de modo que a parte positiva de \(\xi ^*\) é integrável. Por monotonicidade, \(\mathbf{E}[\xi ]=\mathbf{E}[\xi ^*]\leq \mathbf{E}[\eta ]\), admitindo-se o valor \(-\infty \).

4. Dado \(\epsilon \gt 0\), defina \(\eta _\epsilon =\epsilon \mathbb {1}_{\{ \xi \gt \epsilon \} }\) e observe que \(\eta _\epsilon \leq \xi \) para todo \(\epsilon \gt 0\). Segue que

   \[ \epsilon \P (\xi \gt \epsilon )=\mathbf{E}[\eta _\epsilon ]\leq \mathbf{E}[\xi ]=0, \]

   e portanto \(\P (\xi \gt \epsilon )=0\) para todo \(\epsilon \gt 0\).

   Como \(\{ \xi \gt 0\} =\bigcup _{n\geq 1}\{ \xi \gt 1/n\} \), concluímos que \(\P (\xi \gt 0)=0\). Como \(\xi \geq 0\), segue que \(\xi =0\) quase certamente.

Para uma função simples não negativa

a definição da distribuição induzida dá

Se \(\varphi \geq 0\) é mensurável, escolha funções simples \(\varphi _n\uparrow \varphi \) e aplique o Teorema da Convergência Monótona aos dois lados. Para uma função mensurável arbitrária, aplique o caso não negativo a \(\varphi ^+\) e \(\varphi ^-\). A escolha \(\varphi (x)=x\) fornece a última identidade.

As distribuições de \(\xi \) e \(\eta \) coincidem. Basta aplicar o Teorema 7.6 a \(\varphi \) e, para a integrabilidade, a \(x\mapsto |x|\).

A distribuição de \(\xi \) é

A fórmula segue do Teorema 7.6; para funções não negativas, a soma é entendida como limite das somas parciais. No caso integrável, a série é absolutamente convergente porque

Pelo Teorema 7.6,

Como \(\P _\xi (A)=\int _A f\, \d\lambda \), a integral em relação a \(\P _\xi \) é exatamente a integral de \(\varphi f\) em relação à medida de Lebesgue.

É o mesmo argumento do Teorema 7.6, agora para a medida imagem \(\P _X\) em \(\mathbb {R}^n\).

A medida \(\P _F\) é a medida atômica \(\sum _i p_i\delta _{t_i}\).

Nesse caso, \(\P _F=f\, \d\lambda \).

1. Segue da definição, pois \((\xi -\mathbf{E}[\xi ])^2\geq 0\).

2. Segue da linearidade da esperança. De fato

   \begin{align*} \operatorname {Var}[\xi ]& =\mathbf{E}[(\xi -\mathbf{E}[\xi ])^2]\\ & =\mathbf{E}[\xi ^2]-2\mathbf{E}[\xi ]^2+\mathbf{E}[\xi ]^2\\ & =\mathbf{E}[\xi ^2]-\mathbf{E}[\xi ]^2. \end{align*}

3. Se \(\operatorname {Var}[\xi ]=0\), a variável não negativa \((\xi -\mathbf{E}[\xi ])^2\) tem esperança nula; logo é nula quase certamente. A recíproca é imediata.

4. A identidade

   \[ \mathbf{E}[(\xi -x)^2] =\operatorname {Var}[\xi ]+(x-\mathbf{E}[\xi ])^2 \]

   mostra que o mínimo é atingido em \(x=\mathbf{E}[\xi ]\) e vale \(\operatorname {Var}[\xi ]\).

5. Como \(a\xi +b-\mathbf{E}[a\xi +b]=a(\xi -\mathbf{E}[\xi ])\), temos \(\operatorname {Var}[a\xi +b]=a^2\operatorname {Var}[\xi ]\).

6. Segue da linearidade da esperança que

   \begin{align*} \operatorname {Cov}[\xi ,\eta ]& =\mathbf{E}[(\xi -\mathbf{E}[\xi ])(\eta -\mathbf{E}[\eta ])]\\ & =\mathbf{E}[\xi \eta ]-\mathbf{E}[\xi ]\mathbf{E}[\eta ]. \end{align*}

7. Segue da linearidade da esperança e dos itens anteriores que

   \begin{align*} \operatorname {Var}(\xi +\eta ) & =\mathbf{E}[\xi ^2]+\mathbf{E}[\eta ^2]+2\mathbf{E}[\xi \eta ] -\mathbf{E}[\xi ]^2-\mathbf{E}[\eta ]^2-2\mathbf{E}[\xi ]\mathbf{E}[\eta ]\\ & =\operatorname {Var}[\xi ]+\operatorname {Var}[\eta ]+2\operatorname {Cov}[\xi ,\eta ]. \end{align*}

8. Segue direto da definição.

Suponha primeiro que \(\xi \) e \(\eta \) sejam simples, com valores \(x_1,\ldots ,x_n\) e \(y_1,\ldots ,y_m\). Então

Se \(\xi ,\eta \geq 0\), escolha funções simples \(\xi _n\uparrow \xi \) e \(\eta _n\uparrow \eta \), obtidas por transformações mensuráveis separadas. A independência é preservada e \(\xi _n\eta _n\uparrow \xi \eta \). Pela Convergência Monótona,

Aplicando esse caso a \(|\xi |\) e \(|\eta |\), obtemos \(\mathbf{E}|\xi \eta |=\mathbf{E}|\xi |\, \mathbf{E}|\eta |\lt \infty \). Por fim, decomponha \(\xi \) e \(\eta \) em partes positiva e negativa e use a linearidade. Se ambas pertencem a \(\L ^2\), a fórmula da covariância dá \(\operatorname {Cov}[\xi ,\eta ]=0\).

Para \(n=2\) temos

Os demais casos seguem por indução, pois \(\xi _1+\cdots +\xi _{n-1}\) é independente de \(\xi _n\).

Se \(\widetilde\xi =\xi -\mathbf{E}[\xi ]\) e \(\widetilde\eta =\eta -\mathbf{E}[\eta ]\), então \(\operatorname {Cov}[\xi ,\eta ]=\mathbf{E}[\widetilde\xi \widetilde\eta ]\). A linearidade em cada entrada e a simetria seguem da linearidade da esperança e do produto. Além disso,

de modo que a forma é positiva semidefinida. Se \(\eta =c\) quase certamente, então \(\widetilde\eta =0\) quase certamente e \(\operatorname {Cov}[\xi ,\eta ]=0\).

Aplicando Hölder, Teorema 5.18, com \(p=q=2\) às variáveis centradas

obtemos

Para o caso de igualdade, se \(\operatorname {Var}[\eta ]=0\), então \(\eta \) é constante quase certamente e a dependência afim é imediata. Se \(\operatorname {Var}[\eta ]\gt 0\), ponha

Então

Logo há igualdade se, e somente se, \(\operatorname {Var}[\xi +\theta \eta ]=0\), isto é, se \(\xi +\theta \eta \) é constante quase certamente. Isso equivale à existência de \(a,b,c\in \mathbb {R}\), não todos nulos, com \(a\xi +b\eta +c=0\) quase certamente; a recíproca é imediata.

Divida a desigualdade de Cauchy–Schwarz por \(\operatorname {Var}[\xi ]\operatorname {Var}[\eta ]\gt 0\) e use sua caracterização do caso de igualdade.

Comecemos com \(\xi \) simples. Liste seus valores positivos distintos como

e ponha \(a_0=0\). Então

Logo

Por outro lado, para \(a_{j-1}\leq t\lt a_j\),

e portanto a integral das caudas é exatamente a mesma soma.

Para \(\xi \) mensurável não negativa, escolha funções simples \(0\leq \xi _n\uparrow \xi \), como na Proposição 5.2. Pela convergência monótona,

Para cada \(t\geq 0\), os eventos \(\{ \xi _n\gt t\} \) crescem para \(\{ \xi \gt t\} \), de modo que

Aplicando novamente a convergência monótona, agora à medida de Lebesgue em \([0,\infty )\),

Como a identidade vale para cada \(\xi _n\), vale também para \(\xi \).

Como

a monotonicidade da esperança fornece

No evento \(\{ |\xi |\geq t\} \),

Logo

e basta tomar esperanças.

Aplique a desigualdade de Markov generalizada a \(\varphi (x)=x^p\).

Aplique o corolário anterior, com \(p=2\), à variável \(\xi -\mu \). Como

a primeira desigualdade segue imediatamente; a segunda é apenas uma reescrita na escala do desvio padrão.

No interior do intervalo de convergência, podemos diferenciar a série termo a termo. Assim,

Logo \(p_n=p^{(n)}(0)/n!\) para todo \(n\geq 0\), e recuperamos toda a distribuição.

Para \(0\lt z\lt 1\), a diferenciação termo a termo dá

Quando \(z\uparrow 1\), cada parcela cresce para \(rp_r\). Pelo Teorema da Convergência Monótona aplicado à medida de contagem em \(\mathbb {N}\),

A última afirmação é imediata da continuidade em \(1\).

Para \(0\lt z\lt 1\),

As parcelas são não negativas e crescem quando \(z\uparrow 1\). A Convergência Monótona fornece

Decompondo segundo os eventos \(\{ \xi _n=k\} \),

A segunda igualdade usa que as descendências da geração seguinte são independentes do evento \(\{ \xi _n=k\} \); a terceira usa a independência entre os \(k\) indivíduos.

Como \(F_0\) é a identidade, a recorrência mostra por indução que \(F_n=F^{\circ n}\). Assim,

Ponha

No evento \(A_k\),

Como as variáveis de descendência são independentes de \(A_k\) e têm média \(\mu \),

Com \(\xi _0=1\), obtemos

Para o segundo momento, a soma de \(k\) cópias independentes de \(\xi _1\) possui variância \(k\sigma ^2\) e média \(k\mu \); portanto

Decompondo novamente segundo os eventos \(A_k\),

Escrevendo \(V_n=\operatorname {Var}(\xi _n)\) e usando \(\mathbf{E}[\xi _{n-1}]=\mu ^{n-1}\),

Uma indução fornece

Já vimos que \(F(q)=q\). Se \(\alpha \in [0,1]\) é qualquer outro ponto fixo, então \(F_0(0)=0\leq \alpha \) e, pela monotonicidade de \(F\), \(F_{n+1}(0)=F(F_n(0))\leq F(\alpha )=\alpha \). Portanto,

e \(q\) é o menor ponto fixo.

A função \(G(s)=F(s)-s\) é convexa, \(G(1)=0\) e \(F'(1-)=\mu \). Se \(\mu \leq 1\), a convexidade dá, para \(s\lt 1\),

de modo que \(F(s)\geq s\). Se houvesse igualdade para algum \(s\lt 1\), a convexidade e a igualdade das inclinações forçariam \(F(t)=t\) em \([s,1]\); pela identidade de séries de potências, isso significaria \(F(t)=t\) em todo \((-1,1)\), isto é, \(\P (\xi _1=1)=1\). Fora desse caso degenerado, não há ponto fixo abaixo de \(1\), e portanto \(q=1\).

Se \(\mu \gt 1\), então \(G'(1-)\gt 0\) e, consequentemente, \(G(s)\lt 0\) para \(s\lt 1\) suficientemente próximo de \(1\). Como \(G(0)=F(0)\geq 0\), a continuidade fornece um ponto fixo em \([0,1)\); logo o menor deles satisfaz \(q\lt 1\). Finalmente, no caso degenerado \(\P (\xi _1=1)=1\), temos \(F(s)=s\) para todo \(s\); cada indivíduo tem exatamente um descendente e a população nunca se extingue, de modo que \(q=0\).

Fixe \(t\) com \(|t|\lt h\) e escolha \(\delta \gt 0\) tal que \(|t|+2\delta \lt h\). Existe \(C_{n,\delta }\) tal que \(|x|^n\leq C_{n,\delta }\mathrm e^{\delta |x|}\). Para \(s\) numa vizinhança suficientemente pequena de \(t\),

O lado direito é integrável pela hipótese sobre \(M_\xi \). O teorema de diferenciação sob o sinal de integral, obtido da Convergência Dominada, pode então ser aplicado sucessivamente e fornece a fórmula.

Completando o quadrado:

Então voltando ao cálculo da função geradora de momento

Calculamos a função geradora de momento da soma usando o teorema sobre somas de variáveis aleatórias independentes.

Essa é a função geradora de momentos de \(\mathcal N(\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2)\). Pelo Teorema 7.44, as distribuições coincidem.

Se existe \(i\) com \(p_i\gt 0=q_i\), o lado esquerdo é infinito e a desigualdade é imediata. Caso contrário, omitimos os índices com \(p_i=0\) e usamos \(\log x\leq x-1\):

Isso equivale à desigualdade anunciada. A igualdade em \(\log x\leq x-1\) ocorre apenas quando \(x=1\); portanto, ela exige \(q_i=p_i\) para todo índice com \(p_i\gt 0\). Como ambas as famílias somam \(1\), também não pode haver massa de \(Q\) fora desse suporte, e \(p_i=q_i\) para todo \(i\).