Medidas de Probabilidade
No capítulo anterior vimos por que nem todo subconjunto pode receber uma probabilidade. Agora invertemos a pergunta: dada uma atribuição de massa em uma família simples de conjuntos, quando ela determina uma medida de probabilidade?
O caminho passa por três níveis. Começaremos com probabilidades finitamente aditivas, identificaremos as condições que as transformam em pré-medidas e usaremos o Teorema de Extensão de Carathéodory para obter medidas nas \(\sigma \)-álgebras geradas. Em seguida, classes compactas condensarão essas duas etapas num critério prático de extensão. A dificuldade não está em distribuir massa finitamente; começa quando os limites entram em cena.
A medida de Lebesgue será a construção central do capítulo. Depois dela, veremos duas aplicações do mecanismo de extensão: o teorema de Borel sobre números normais e o espaço de infinitos lançamentos de uma moeda.
\(\P [\Omega ]=1\)
\(\P [A\cup B]=\P [A]+\P [B]\) para todos os conjuntos \(A, B\in \mathcal{\mathcal{F}}_0\) disjuntos.
A aditividade finita é o primeiro nível da construção. Em uma álgebra, podemos exigir também aditividade enumerável sempre que a união ainda pertença à álgebra.
Se \(\mathcal{\mathcal{F}}_0\) é uma álgebra em \(\Omega \), então \(\P :\mathcal{\mathcal{F}}_0\rightarrow [0,1]\) é dita uma pré-medida de probabilidade em \(\mathcal{\mathcal{F}}_0\) se
\(\P (\Omega )=1\)
\(\P \bigl( \bigcup _{k=1}^\infty A_k \bigr)=\sum _{k=1}^\infty \P (A_k)\) para todos conjuntos disjuntos \(A_1, A_2,\ldots \in \mathcal{\mathcal{F}}_0\) tais que \(\bigcup _{k=1}^\infty A_k \in \mathcal{\mathcal{F}}_0 .\)
\(\mu (\varnothing )=0\)
para toda sequência de eventos disjuntos \(A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}\), vale
\[ \mu \left( \bigcup _{n=1}^\infty A_n \right) = \sum _{n=1}^\infty \mu (A_n). \]Essa propriedade é chamada de \(\sigma \)-aditividade.
Se nas Definições 2.1 e 2.2 removermos a hipótese \(\P (\Omega )=1\), obtemos uma medida finitamente aditiva e uma pré-medida, respectivamente. No caso geral, quando permitimos valores em \([0,\infty ]\), incluímos na definição de pré-medida a condição \(\mu _0(\varnothing )=0\). Para pré-medidas de probabilidade essa condição é automática.
Se \(\P \) é uma medida em \((\Omega , \mathcal{F})\) tal que \(\P (\Omega ) = 1\), então \(\P \) é chamada de medida de probabilidade.
Nesse caso, a tripla \((\Omega , \mathcal{F}, \P )\) é chamada de espaço de probabilidade.
A definição é abstrata, mas inclui os experimentos aleatórios mais familiares: lançamentos de moedas e dados, sorteios em urnas e muitos outros. Em cada caso, o que muda é o espaço amostral e a família de eventos; a medida de probabilidade é a regra que atribui massa a esses eventos.
A representação seguinte explicita os três ingredientes do modelo: o espaço amostral \(\Omega \), a \(\sigma \)-álgebra \(\mathcal{F}\) e a medida \(\P \).
Se \(\mu (\Omega )\lt \infty \) então \(\mu \) é dita medida finita;
Se \(\mu (\Omega )=\infty \) então \(\mu \) é dita medida infinita;
Se existem conjuntos em \(\mathcal{F}\) \(A_1,A_2,\ldots \) tais que \(\Omega = \bigcup _{k=1}^\infty A_k\) e \(\mu (A_k)\lt \infty \) então \(\mu \) é dita medida \(\sigma \)-finita
Em particular, toda medida de probabilidade é \(\sigma \)-finita.
Muitos modelos dos cursos introdutórios são casos particulares dessa construção.
As primeiras consequências da definição serão usadas ao longo de todo o texto.
\(\P (A^\mathsf c) = 1 - \P (A) .\)
\(A \subseteq B\) implica \(\P (A) \leq \P (B) .\) (monotonicidade)
Dados eventos \(A\) e \(B\) então \(\P (A \cup B) \leq \P (A) + \P (B)\) (sub-aditividade)
\( \P \left( \bigcup _{n=1}^\infty A_n \right) \leq \sum _{n=1}^\infty \P (A_n)\) (\(\sigma \)-sub-aditividade)
\(\P [A\cup B] = \P [A]+\P [B]-\P [A\cap B]\); (Inclusão-exclusão)
\(\P (A\triangle B)\geq \max \left\{ \P (A-B),\P (B-A) \right\} \)
As identidades seguem das decomposições disjuntas usuais. Em particular, \(B=A\, \dot\cup \, (B\setminus A)\) quando \(A\subseteq B\), e
Isso fornece complemento, monotonicidade, subaditividade e inclusão–exclusão; \(A\triangle B=(A\setminus B)\, \dot\cup \, (B\setminus A)\) dá o último item. Para a \(\sigma \)-subaditividade, disjuntifique a família tomando \(B_1=A_1\) e \(B_n=A_n\setminus \bigcup _{k\lt n}A_k\). Então \(B_n\subseteq A_n\) e \(\bigcup _nB_n=\bigcup _nA_n\), e a conclusão segue da \(\sigma \)-aditividade e da monotonicidade.
2.1 Continuidade das Medidas de Probabilidade
A \(\sigma \)-aditividade também pode ser lida como compatibilidade com limites de sequências monótonas de eventos. Essa forma de continuidade será uma de nossas ferramentas principais.
Se \(A_n \uparrow A\), então \(\P (A_n) \uparrow \P (A)\) quando \(n \rightarrow \infty .\)
Se \(A_n \downarrow A\), então \(\P (A_n) \downarrow \P (A)\) quando \(n \rightarrow \infty .\)
Comecemos pela continuidade por baixo. Dada uma sequência crescente \(A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots \), defina \(B_1=A_1\) e, para \(k\geq 2\), \(B_k=A_k\setminus A_{k-1}\).
Os conjuntos \(B_n\) são disjuntos e \(\bigcup _{k=1}^jB_k=A_j\) para todo \(j\geq 1\). Além disso,
Portanto, pela aditividade finita e pela \(\sigma \)-aditividade,
Para a continuidade por cima, se \(A_n\downarrow A\), então \(A_n^{\mathsf c}\uparrow A^{\mathsf c}\). Pela primeira parte,
Dado \(A_1, A_2, \ldots \) uma sequência de eventos. Então
\(\P ( \lim \inf A_n) \leq \lim \inf \P (A_n) \leq \lim \sup \P (A_n) \leq \P (\lim \sup A_n) .\)
Se \(A_n \rightarrow A\) então \(\P (A_n) \rightarrow \P (A)\) quando \(n \rightarrow \infty .\)
Defina
Então \(B_n\uparrow \liminf _nA_n\), \(C_n\downarrow \limsup _nA_n\) e \(B_n\subseteq A_n\subseteq C_n\). Pela monotonicidade e pela continuidade da probabilidade,
e
Tomando limite inferior e limite superior na primeira desigualdade, obtemos
Se \(A_n\to A\), então \(\liminf _nA_n=\limsup _nA_n=A\), e as desigualdades anteriores implicam \(\P (A_n)\to \P (A)\).
\(\P \) é uma pré-medida de probabilidade;
\(\P \) é contínua por baixo. Isto é dados \(A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{\mathcal{F}}_0\) e \(A_n\uparrow A\in \mathcal{\mathcal{F}}_0\) então \(\P (A_n)\uparrow \P (A)\);
\(\P \) é contínua por cima. Isto é dados \(A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{\mathcal{F}}_0\) e \(A_n\downarrow A\in \mathcal{\mathcal{F}}_0\) então \(\P (A_n)\downarrow \P (A)\);
Contínua por cima em \(\varnothing .\) Isto é dados \(A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{\mathcal{F}}_0\) e \(A_n\downarrow \varnothing \) então \(\P (A_n)\downarrow 0 .\)
Já provamos que 1. \(\Longrightarrow \) 2. e é imediato que 3. \(\Longrightarrow \) 4.
( 4. \(\Longrightarrow \) 3.) Suponha que \(\P \) é contínua por cima em \(\varnothing \) e que \(A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{\mathcal{F}}_0\) e \(A_n\downarrow A\in \mathcal{\mathcal{F}}_0 .\)
( 2. \(\Longleftrightarrow \) 3.) Para provar esse fato basta observar que \(A_n\uparrow A \Longleftrightarrow A_n^\mathsf c\downarrow A^\mathsf c\) e que \(\P [A] = 1- \P [A^\mathsf c] .\)
( 2. \(\Longrightarrow \) 1.) Suponha que \(A_1,A_2,\ldots \) sejam disjuntos em \(\mathcal F_0\) e que \(A=\bigcup _{k=1}^\infty A_k\in \mathcal F_0\). Os conjuntos \(S_n=\bigcup _{k=1}^nA_k\) pertencem à álgebra e satisfazem \(S_n\uparrow A\). Pela continuidade por baixo e pela aditividade finita,
Logo \(\P \) é uma pré-medida de probabilidade.
Considere a família
Claramente \(\mathcal A\subseteq \mathcal M\). Se \(E\in \mathcal M\) e \(A\in \mathcal A\) aproxima \(E\), então
logo \(\mathcal M\) é fechada por complementos.
Se \(E_1,E_2,\ldots \in \mathcal M\) e \(E=\bigcup _{j\geq 1}E_j\), ponha \(E^{(N)}=\bigcup _{j=1}^NE_j\). Pela continuidade por baixo, \(\P (E\setminus E^{(N)})\to 0\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(N\) tal que \(\P (E\setminus E^{(N)})\lt \varepsilon /2\) e, para \(1\leq j\leq N\), escolha \(A_j\in \mathcal A\) com
Como \(A=\bigcup _{j=1}^NA_j\in \mathcal A\),
e, portanto, \(\P (E\mathbin {\triangle }A)\lt \varepsilon \). Assim \(\mathcal M\) é uma \(\sigma \)-álgebra que contém \(\mathcal A\). Consequentemente, \(\mathcal{F}=\sigma \langle \mathcal A\rangle \subseteq \mathcal M\).
\(\mu \) e \(\nu \) são medidas de probabilidade;
existem \(D_n\in \mathcal P\) tais que \(D_n\uparrow \Omega \) e \(\mu (D_n)=\nu (D_n)\lt \infty \) para todo \(n\).
No caso de probabilidades, defina
Como \(\mu (\Omega )=\nu (\Omega )=1\), a classe \(\mathcal G\) contém \(\Omega \). Se \(A\in \mathcal G\), então \(\mu (A^{\mathsf c})=1-\mu (A)=1-\nu (A)=\nu (A^{\mathsf c})\). Finalmente, se \(A_1,A_2,\ldots \in \mathcal G\) são disjuntos, a \(\sigma \)-aditividade de ambas as medidas mostra que sua união pertence a \(\mathcal G\). Portanto \(\mathcal G\) é um \(\lambda \)-sistema que contém \(\mathcal P\). Pelo Teorema \(\pi \)–\(\lambda \) de Dynkin, \(\sigma \langle \mathcal P\rangle \subseteq \mathcal G\).
No segundo caso, fixe \(n\) e considere as medidas finitas \(\mu _n(A)=\mu (A\cap D_n)\) e \(\nu _n(A)=\nu (A\cap D_n)\). Elas têm a mesma massa total e concordam em \(\mathcal P\), pois \(A\cap D_n\in \mathcal P\). A demonstração do parágrafo anterior vale para medidas finitas com a mesma massa total (se essa massa for positiva, basta normalizá-las; se for nula, ambas são identicamente nulas). Assim \(\mu (A\cap D_n)=\nu (A\cap D_n)\) para todo \(A\in \sigma \langle \mathcal P\rangle \). Como \(D_n\uparrow \Omega \), a continuidade por baixo fornece \(\mu (A)=\nu (A)\).
Dado \((\Omega ,\mathcal{F}, \mu )\) um espaço de medida. Então
Um conjunto \(A\in \mathcal{F}\) é nulo se \(\mu (A)=0\).
Um conjunto \(A\in \mathcal{P}(\Omega )\) é dito \(\mu \)-negligenciável se existe um conjunto \(\mu \)- nulo \(B\in \mathcal{F}\) tal que \(A\subset B .\)
Todo espaço de medida pode ser completado.
Sejam \((\Omega ,\mathcal{F}, \mu )\) um espaço de medida e \(\mathcal N_\mu \) a família dos conjuntos \(\mu \)-negligenciáveis.
Então
\(\bar{\mathcal{F}}:= \sigma \langle \mathcal{F}, \mathcal N_\mu \rangle = \{ F\cup N: F\in \mathcal{F}, N\in \mathcal N_\mu \} \);
A função \(\bar\mu \) em \(\bar{\mathcal{F}}\) definida por \(\bar\mu (F\cup N)= \mu (F)\) para \(F\in \mathcal{F}\) e \(N\in \mathcal N_\mu \) é a única extensão de \(\mu \) para uma medida em \((\Omega , \bar{\mathcal{F}})\);
O espaço de medida \((\Omega , \bar{\mathcal{F}}, \bar\mu )\) é completo.
A tripla \((\Omega , \bar{\mathcal{F}}, \bar\mu )\) é denominada completamento de \((\Omega , \mathcal{F}, \mu ) .\)
A família \(\mathcal N_\mu \) é um \(\sigma \)-ideal: todo subconjunto de um conjunto negligenciável é negligenciável e, se \(N_j\subseteq Z_j\in \mathcal{F}\) com \(\mu (Z_j)=0\), então \(\bigcup _jN_j\subseteq \bigcup _jZ_j\) e \(\mu (\bigcup _jZ_j)=0\).
Seja \(\mathcal C=\{ F\cup N:F\in \mathcal{F},\ N\in \mathcal N_\mu \} \). Essa classe contém \(\mathcal{F}\) e \(\mathcal N_\mu \) e é fechada por uniões enumeráveis. Para verificar complementos, escreva \(N\subseteq Z\in \mathcal{F}\) com \(\mu (Z)=0\); então
onde o primeiro conjunto pertence a \(\mathcal{F}\) e o segundo é negligenciável. Logo \(\mathcal C\) é uma \(\sigma \)-álgebra e, pela minimalidade da \(\sigma \)-álgebra gerada, \(\bar{\mathcal{F}}=\sigma \langle \mathcal{F},\mathcal N_\mu \rangle =\mathcal C\).
A definição de \(\bar\mu \) independe da representação. De fato, se \(F\cup N=G\cup M\), com \(N\) e \(M\) negligenciáveis, então \(F\setminus G\subseteq M\) e \(G\setminus F\subseteq N\). Esses dois conjuntos têm medida zero, e portanto \(\mu (F)=\mu (G)\).
Para provar a \(\sigma \)-aditividade, sejam \(E_j=F_j\cup N_j\) disjuntos. As interseções \(F_i\cap F_j\), \(i\ne j\), são negligenciáveis. Defina \(G_1=F_1\) e \(G_j=F_j\setminus \bigcup _{i\lt j}F_i\) para \(j\geq 2\). Então os \(G_j\) são disjuntos, \(\mu (G_j)=\mu (F_j)\), e \(\bigcup _jE_j\) difere de \(\bigcup _jG_j\) apenas por um conjunto negligenciável. Consequentemente,
Além disso, \(\bar\mu (F)=\mu (F)\) para \(F\in \mathcal{F}\).
Se \(E=F\cup N\in \bar{\mathcal{F}}\) e \(\bar\mu (E)=0\), então \(\mu (F)=0\); logo todo subconjunto de \(E\) é negligenciável e pertence a \(\bar{\mathcal{F}}\). Assim o espaço completado é completo. Por fim, qualquer extensão de \(\mu \) a \(\bar{\mathcal{F}}\) deve atribuir medida zero a cada \(N\in \mathcal N_\mu \) e, portanto, deve atribuir a \(F\cup N\) o valor \(\mu (F)\). Isso prova a unicidade.
2.2 Teorema de Extensão de Carathéodory
O Teorema de Extensão de Carathéodory transforma uma pré-medida definida numa álgebra \(\mathcal F_0\) em uma medida na \(\sigma \)-álgebra gerada por ela. É a ponte que permite começar com comprimentos de intervalos e terminar com a medida de Lebesgue nos borelianos.
Seguiremos a construção em três etapas: associar uma medida exterior à função inicial, identificar os conjuntos mensuráveis para essa medida exterior e restringi-la a eles. A exposição será feita para probabilidades e medidas finitas; o caso \(\sigma \)-finito exige apenas os cuidados indicados nos enunciados.
2.2.1 Medidas Exteriores
Partimos de uma função de conjuntos \(\P \) definida apenas em uma família \(\mathcal A\). Para atribuir um custo a um conjunto arbitrário, cobrimo-lo por elementos de \(\mathcal A\) e tomamos o menor custo total possível. A fórmula funciona para quase toda função não negativa; as hipóteses de aditividade entram depois, quando queremos recuperar a função original e obter uma medida.
![Figura 2.3 Os intervalos (a_1,b_1],ldots ,(a_8,b_8] cobrem U. A extremidade esquerda é aberta e a direita é fechada.](figures/inl-c02-tikz-002.png)
As propriedades básicas de \( \P ^* \) motivam a definição seguinte.
\( \mathbf{Q}(\varnothing ) = 0 .\)
Monotonicidade \( \mathbf{Q}(E) \leq \mathbf{Q}(F) \) quando \( E \subseteq F \subseteq \Omega .\)
Subaditividade enumerável Se \( E_1, E_2, \dotsc \subseteq \Omega \), então \( \mathbf{Q}(\bigcup _n E_n) \leq \sum _n \mathbf{Q}(E_n) .\)
A cobertura vazia dá \(\P ^*(\varnothing )=0\), e toda cobertura de um conjunto também cobre seus subconjuntos, o que prova a monotonicidade. Para \(A\in \mathcal A\), o próprio conjunto \(A\) é uma cobertura admissível; logo \(\P ^*(A)\leq \P (A)\).
A propriedade 3 é demonstrada por argumentos de aproximação. Se \(\sum _n\P ^*(E_n)=+\infty \), a desigualdade é automática. Suponha, portanto, que essa soma seja finita. Seja \( \varepsilon \gt 0 .\) Para cada \( E_n \), pela definição de \( \P ^* \), existem conjuntos \( \{ A_{n, m} \} _m \subseteq \mathcal{A} \) cobrindo \( E_n \), com
Todos os conjuntos \( A_{n, m} \) juntos cobrem \( \bigcup _n E_n \), então temos
Como \( \varepsilon \gt 0 \) é arbitrário, temos \( \P ^* (\bigcup _n E_n) \leq \sum _n \P ^* (E_n) .\)
Precisamos agora identificar um domínio no qual \( \mathbf{Q}= \P ^* \) seja \(\sigma \)-aditiva. Em geral, precisaremos restringir o domínio, mas isso não basta: a família resultante deve ser uma \(\sigma \)-álgebra suficientemente ampla para o modelo que queremos construir.
O critério de Carathéodory fornece essa escolha de domínio para \( \mathbf{Q}\):
Seja \( \mathbf{Q}\colon \mathcal{P}(\Omega ) \to [0, \infty ] \) uma medida exterior. Então
é a família de conjuntos mensuráveis para a medida exterior \( \mathbf{Q} .\)
Aplicando a subaditividade de \( \mathbf{Q}\), a seguinte definição é equivalente:
Suponha, por um momento, que \(\mathbf Q^*\) seja uma medida exterior finita em \(\Omega \). Podemos então associar a cada \(A\subseteq \Omega \) a quantidade
que desempenha o papel de uma medida interna.
Quando \(\mathbf Q^*\) é induzida por uma medida \(\sigma \)-aditiva definida inicialmente numa álgebra, o critério de Carathéodory pode ser lido como a igualdade entre as aproximações externa e interna; o Exercício 2.2 torna essa relação precisa.
A analogia com a integral de Riemann é útil. Para medir uma região, aproximamo-la por fora e por dentro; a mensurabilidade aparece quando essas duas aproximações concordam. A construção de Carathéodory conserva essa ideia, mas a formula apenas em termos da medida exterior: a quantidade interna é redundante, pois pode ser recuperada pelo complemento.
A hipótese de finitude foi usada apenas para essa interpretação. A construção de Carathéodory e o critério de mensurabilidade continuam válidos no caso geral.
A denominação “conjunto mensurável” é justificada pelo seguinte resultado sobre \( \mathcal{M}\):
É imediato a partir da definição que \( \mathcal{M} \) é fechado em relação ao complementar, e que \( \varnothing \in \mathcal{M} .\) Primeiro mostramos que \( \mathcal{M} \) é fechado sob interseções finitas e, portanto, sob união finita. Considere \( A, B \in \mathcal{M} \) então:
Portanto, \( A \cap B \in \mathcal{M} .\)
Resta mostrar que, se \( B_1, B_2, \dotsc \in \mathcal{M} \), então \( \bigcup _n B_n \in \mathcal{M} .\) Podemos assumir que os conjuntos \( B_n \) são disjuntos, caso contrário, considere em vez \( B'_n = B_n \setminus (B_1 \cup \dotsb \cup B_{n-1}) .\)
Para conveniência de notação, seja:
Precisamos também do seguinte fato
que pode ser demonstrado por indução direta. O caso inicial \( N = 1 \) é trivial. Para \( N\gt 1 \),
Assim
Tomando \( N \to \infty \), obtemos
Mas isso implica \( D_\infty = \bigcup _{n = 1} ^{\infty } B_n \in \mathcal{M} .\)
O caso finito \( \mathbf{Q}(\bigcup _{n = 1} ^N B_n) = \sum _{n = 1} ^N \mathbf{Q}(B_n) \) já foi provado, bastando substituir \( E = \Omega \) na equação.
Por monotonicidade, \( \sum _{n = 1} ^N \mathbf{Q}(B_n) \leq \mathbf{Q}(\bigcup _{n = 1} ^\infty B_n) .\) Fazendo \( N \to \infty \) temos \( \sum _{n = 1} ^{\infty } \mathbf{Q}(B_n) \leq \mathbf{Q}(\bigcup _{n = 1} ^\infty B_n) .\)
A desigualdade na outra direção está implícita na subaditividade.
Resumimos o que obtivemos até agora
2.2.2 Definindo uma Medida por Extensão
A medida exterior já está definida em todos os subconjuntos de \(\Omega \), mas não é aditiva em todos eles. O critério de Carathéodory seleciona exatamente a \(\sigma \)-álgebra na qual essa aditividade reaparece.
Considere a medida exterior \(\mu ^*\) induzida por \(\mu _0\). A prova tem três passos.
1. Os conjuntos da álgebra inicial são mensuráveis para \(\mu ^*\). Fixe \(A\in \mathcal F_0\) e \(E\subseteq \Omega \). Pela subaditividade de \(\mu ^*\), sempre temos
Para obter a desigualdade inversa, se \(\mu ^*(E)=+\infty \) não há nada a provar. Suponha, então, que \(\mu ^*(E)\lt \infty \). Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(B_1,B_2,\dotsc \in \mathcal F_0\) que cubram \(E\) e satisfaçam
As famílias \((A\cap B_n)_n\) e \((A^\mathsf c\cap B_n)_n\) cobrem, respectivamente, \(A\cap E\) e \(A^\mathsf c\cap E\). Além disso, todos esses conjuntos pertencem a \(\mathcal F_0\). Para todo \(C\in \mathcal F_0\), a cobertura formada pelo próprio \(C\) mostra, diretamente da definição de \(\mu ^*\), que \(\mu ^*(C)\leq \mu _0(C)\). Portanto, sem usar ainda a igualdade que será provada no passo seguinte,
Como \(\varepsilon \) é arbitrário, obtemos a desigualdade inversa e, assim, \(A\) satisfaz o critério de Carathéodory. Logo \(\mathcal F_0\) está contida na \(\sigma \)-álgebra \(\mathcal M\) dos conjuntos mensuráveis para \(\mu ^*\); como \(\mathcal M\) é uma \(\sigma \)-álgebra,
Consequentemente, \(\mu ^*\) restrita a \(\sigma \langle \mathcal F_0\rangle \) já é uma medida.
2. A medida construída prolonga \(\mu _0\). Fixe \(A\in \mathcal F_0\) e considere uma cobertura arbitrária de \(A\) por \(B_1,B_2,\dotsc \in \mathcal F_0\). Disjuntifique essa cobertura dentro de \(A\), definindo
Os conjuntos \(G_n\) pertencem a \(\mathcal F_0\), são disjuntos, têm união \(A\) e satisfazem \(G_n\subseteq B_n\). Como \(\mu _0\) é uma pré-medida e a união \(A\) pertence a \(\mathcal F_0\),
Tomando o ínfimo sobre todas as coberturas, obtemos \(\mu _0(A)\leq \mu ^*(A)\). A cobertura \((A,\varnothing ,\varnothing ,\ldots )\) fornece a desigualdade contrária. Portanto \(\mu ^*(A)=\mu _0(A)\) em \(\mathcal F_0\), e a medida do passo 1 é a extensão procurada.
3. Unicidade no caso \(\sigma \)-finito. Substituindo \(D_n\) por \(H_n=\bigcup _{j=1}^nD_j\), podemos supor que \(H_n\uparrow \Omega \) e \(\mu _0(H_n)\lt \infty \) para todo \(n\). Se \(\mu \) e \(\nu \) são duas extensões, fixe \(n\) e defina, para \(E\in \sigma \langle \mathcal F_0\rangle \),
Essas são medidas finitas com a mesma massa total \(\mu _0(H_n)\). Elas concordam em \(\mathcal F_0\), pois, para \(A\in \mathcal F_0\), também \(A\cap H_n\in \mathcal F_0\) e
Pelo Teorema 2.12, \(\mu _n\) e \(\nu _n\) concordam em toda \(\sigma \langle \mathcal F_0\rangle \). Portanto, para cada \(E\in \sigma \langle \mathcal F_0\rangle \),
Como \(E\cap H_n\uparrow E\), a continuidade por baixo fornece \(\mu (E)=\nu (E)\). No caso de uma pré-medida de probabilidade, basta tomar \(H_1=\Omega \); além disso, a extensão construída tem massa total \(\mu (\Omega )=\mu _0(\Omega )=1\).
2.3 Classes Compactas
O Teorema de Extensão de Carathéodory começa com uma pré-medida. Nas construções concretas, porém, o objeto que aparece primeiro costuma ser apenas uma função finitamente aditiva. A classe compacta fornece um critério simples para vencer exatamente essa distância.
A ideia é finita: se uma interseção enumerável de conjuntos da classe é vazia, essa vacuidade já aparece numa subfamília finita. Aproximando os conjuntos da álgebra por elementos de uma classe compacta, a aditividade finita passa então a controlar um fenômeno enumerável.
Adicionar \(\varnothing \) a uma classe compacta preserva a propriedade. Por isso, quando for conveniente, suporemos que \(\varnothing \in \mathcal K\).
A família dos conjuntos compactos de um espaço métrico é uma classe compacta. De fato, suponha que \((C_n)_{n\geq 1}\) seja uma sequência de compactos para a qual toda interseção finita é não vazia. Os conjuntos
são compactos não vazios e formam uma sequência decrescente. Escolhendo \(x_n\in B_n\), a sequência \((x_n)\) possui uma subsequência convergente em \(C_1\). Seu limite pertence a todo \(C_r\), pois os \(C_r\) são fechados. Logo \(\bigcap _r C_r\neq \varnothing \).
O mesmo argumento vale em qualquer espaço de Hausdorff: uma sequência de compactos com interseção vazia já possui uma subfamília finita com interseção vazia.
A estabilidade das classes compactas sob operações simples é tratada no Exercício 2.19, ao final do capítulo.
O resultado seguinte é a forma operacional do Teorema de Carathéodory que usaremos nas construções deste capítulo.
Basta mostrar que \(\P _0\) é uma pré-medida. Pelo Teorema 2.10, é suficiente verificar a continuidade por cima em \(\varnothing \).
Seja \(A_n\downarrow \varnothing \) em \(\mathcal A\) e fixe \(\varepsilon \gt 0\). Para cada \(n\), escolha \(B_n\in \mathcal A\) e \(K_n\in \mathcal K\) tais que
Como
a propriedade da classe compacta fornece \(m\) tal que \(K_1\cap \cdots \cap K_m=\varnothing \).
Para \(n\geq m\), todo ponto de \(A_n\) deixa de pertencer a pelo menos um dos \(B_1,\ldots ,B_m\). Como \(A_n\subseteq A_i\) para \(i\leq m\),
Pela subaditividade finita,
Logo \(\P _0(A_n)\downarrow 0\), e \(\P _0\) é uma pré-medida. O Teorema de Extensão de Carathéodory fornece então uma extensão a \(\sigma \langle \mathcal A\rangle \); como \(\P _0\) é uma probabilidade, essa extensão é única.
2.4 Medida de Lebesgue
No capítulo anterior construímos a \(\sigma \)-álgebra de Borel de \(\mathbb {R}^d\) e vimos, em particular, que intervalos e retângulos semiabertos fornecem geradores naturais. Agora atribuímos comprimento e volume a esses conjuntos elementares. O Teorema da Classe Compacta fará a extensão para os borelianos; medidas em todo o espaço serão obtidas colando as construções feitas em cubos de volume finito.
2.4.1 Medida de Lebesgue em \(\mathbb {R}\)
No Capítulo 1 vimos que a álgebra \(\mathcal B_0((0,1])\) das uniões finitas de intervalos semiabertos gera \(\mathcal B((0,1])\). Começamos atribuindo comprimento a esses conjuntos.
Se
definimos
Duas decomposições finitas de um mesmo conjunto podem ser refinadas simultaneamente pelos seus extremos. Em cada intervalo da partição comum, a função indicadora de \(A\) é constante; as duas decomposições somam, portanto, exatamente os mesmos comprimentos. Isso mostra que \(\P _0\) está bem definida. O mesmo refinamento prova a aditividade finita em conjuntos disjuntos, e \(\P _0((0,1])=1\).
e essa propriedade caracteriza \(\P \) entre as medidas de probabilidade em \(\mathcal B((0,1])\).
Seja \(\mathcal K\) a família formada por \(\varnothing \) e pelas uniões finitas de intervalos fechados contidos em \((0,1]\). Como seus elementos são compactos em \(\mathbb {R}\), \(\mathcal K\) é uma classe compacta.
Para
e \(\varepsilon \gt 0\), escolhem-se \(0\lt \delta _j\lt b_j-a_j\) com \(\sum _j\delta _j\lt \varepsilon \) e definem-se
Então
Pelo Teorema da Classe Compacta, Teorema 2.27, \(\P _0\) possui uma única extensão a uma probabilidade em \(\mathcal B((0,1])\).
Para a caracterização, a família \(\{ (0,x]:0\lt x\leq 1\} \) é um \(\pi \)-sistema que gera \(\mathcal B((0,1])\); o Teorema 2.12 conclui.
A medida de Lebesgue na reta é obtida colando cópias dessa probabilidade. Para \(k\in \mathbb Z\), seja \(Q_k=(k,k+1]\) e denote por \(\P _k\) a translação de \(\P \) para \(\mathcal B(Q_k)\). Para \(A\in \mathcal B(\mathbb {R})\), definimos
Cada \(\P _k\) é uma medida. Se \(A_1,A_2,\ldots \) são borelianos disjuntos, a não negatividade permite trocar a ordem das duas somas:
A fórmula para \((a,b]\) resulta da decomposição do intervalo pelos \(Q_k\). Em particular, \(\mu _{\mathcal L}((-n,n])=2n\), o que dá a \(\sigma \)-finitude.
Para a unicidade, usa-se o \(\pi \)-sistema formado por \(\varnothing \) e pelos intervalos semiabertos limitados. Ele gera \(\mathcal B(\mathbb {R})\), e os conjuntos \((-n,n]\) crescem para \(\mathbb {R}\) com medida finita. O Teorema 2.12 conclui.
A probabilidade \(\P \) construída acima é exatamente a restrição de \(\mu _{\mathcal L}\) a \((0,1]\).
2.4.2 Medida de Lebesgue em \(\mathbb {R}^d\)
O mesmo argumento funciona em dimensão arbitrária. Seja \(Q=(0,1]^d\) e considere a álgebra \(\mathcal B_0(Q)\) gerada pelos retângulos semiabertos
Se
definimos
Um refinamento simultâneo por todos os hiperplanos coordenados que contêm faces dos retângulos mostra que \(v_0\) está bem definida e é finitamente aditiva; além disso, \(v_0(Q)=1\).
Para obter a aditividade enumerável, usa-se novamente a classe compacta. Seja \(\mathcal K_d\) a família formada por \(\varnothing \) e pelas uniões finitas de caixas fechadas contidas em \(Q\). Cada elemento de \(\mathcal K_d\) é compacto em \(\mathbb {R}^d\); portanto \(\mathcal K_d\) é uma classe compacta.
Dado \(A\in \mathcal B_0(Q)\) e \(\varepsilon \gt 0\), cada retângulo de uma decomposição disjunta de \(A\) pode ser ligeiramente recuado em suas faces esquerdas. Assim existem uma união \(B\) de retângulos semiabertos e um conjunto \(C\in \mathcal K_d\) tais que
O Teorema da Classe Compacta, Teorema 2.27, fornece diretamente uma única medida de probabilidade \(\P _Q\) em \(\mathcal B(Q)\) que coincide com o volume nos retângulos.
Para \(\boldsymbol i=(i_1,\ldots ,i_d)\in \mathbb Z^d\), escreva
Os conjuntos \(Q_{\boldsymbol i}\) formam uma partição enumerável de \(\mathbb {R}^d\). Seja \(\P _{\boldsymbol i}\) a translação de \(\P _Q\) para \(Q_{\boldsymbol i}\) e, para \(A\in \mathcal B(\mathbb {R}^d)\), defina
A \(\sigma \)-aditividade segue da mesma troca de somas usada em dimensão um. Com efeito, para borelianos disjuntos \(A_1,A_2,\ldots \),
A fórmula para um retângulo limitado é obtida decompondo-o pelos cubos \(Q_{\boldsymbol i}\) e somando os volumes das partes.
Para a unicidade, seja \(\nu \) outra medida com a mesma propriedade e tome o \(\pi \)-sistema formado por \(\varnothing \) e pelos retângulos semiabertos limitados. Ele gera \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Além disso, \(D_n=(-n,n]^d\) cresce para \(\mathbb {R}^d\) e
A versão \(\sigma \)-finita do Teorema 2.12 implica \(\nu =\mu _{\mathcal L}^d\).
Para \(d=1\), essa construção coincide com \(\mu _{\mathcal L}\).
2.4.3 Propriedades da medida de Lebesgue
Para todo \(A\in \mathcal B(\mathbb {R}^d)\) e \(x\in \mathbb {R}^d\), o conjunto \(A+x:=\{ a+x:a\in A\} \) está em \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\) e
A translação \(\tau _x(y)=y+x\) é um homeomorfismo de \(\mathbb {R}^d\), com inversa \(\tau _{-x}\). Portanto leva borelianos em borelianos. Defina \(\mu _x(A)=\mu _{\mathcal L}^d(A+x)\). Como a translação preserva uniões disjuntas, \(\mu _x\) é uma medida em \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Para cada retângulo semiaberto limitado \(R\), o transladado \(R+x\) é outro retângulo com os mesmos comprimentos laterais; logo \(\mu _x(R)=\mu _{\mathcal L}^d(R)\). Pela unicidade provada no Teorema 2.33, as duas medidas coincidem em toda a \(\sigma \)-álgebra de Borel.
Dado \((\Omega , \mathcal{F},\mu )\) uma medida \(\sigma \)-finita. Então \(\mathcal{F}\) não pode conter uma família de conjuntos disjuntos não enumeráveis de \( \mu \)-medida positiva
Seja \(\{ B_i:i\in \mathcal I\} \) uma família disjunta com \(\mu (B_i)\gt 0\). Escolha \(A_k\in \mathcal{F}\) tais que \(\Omega =\bigcup _kA_k\) e \(\mu (A_k)\lt \infty \). Para \(k,m\geq 1\), defina
Esse conjunto é finito: se contivesse \(N\) índices distintos, a aditividade finita daria \(\mu (A_k)\gt N/m\), o que é impossível para \(N\) arbitrariamente grande. Portanto \(I_k=\{ i:\mu (A_k\cap B_i)\gt 0\} =\bigcup _{m=1}^\infty I_{k,m}\) é enumerável.
Para cada \(i\in \mathcal I\), a \(\sigma \)-subaditividade e \(B_i=\bigcup _k(A_k\cap B_i)\) mostram que algum \(k\) satisfaz \(\mu (A_k\cap B_i)\gt 0\); caso contrário, \(\mu (B_i)=0\). Logo \(\mathcal I=\bigcup _k I_k\), uma união enumerável de conjuntos enumeráveis.
Escreva \(A=a+V\), onde \(V\) é um subespaço linear de dimensão \(k\lt d\), e escolha \(v\notin V\). Os conjuntos \(A+tv\), \(t\in \mathbb {R}\), são fechados, dois a dois disjuntos e têm todos a mesma medida, pela invariância por translação. Como a medida de Lebesgue é \(\sigma \)-finita, o Teorema 2.35 impede que essa família não enumerável seja formada por conjuntos de medida positiva. Logo \(\mu _{\mathcal L}^d(A)=0\).
Como \(T\) é um homeomorfismo, leva borelianos em borelianos. Usaremos primeiro o seguinte fato geométrico: se \(R\) é um retângulo semiaberto limitado, então
Eis uma justificativa compatível com a construção anterior. A fronteira do paralelepípedo \(TR\) está contida numa união finita de hiperplanos afins, que têm medida nula pela Proposição 2.36. Considere as uniões finitas \(I_m\) e \(O_m\) dos cubos da malha \(2^{-m}\mathbb Z^d\) que, respectivamente, estão contidos em \(TR\) e encontram \(TR\). Então \(I_m\subseteq TR\subseteq O_m\), e \(O_m\setminus I_m\) fica contido numa vizinhança de raio \(\sqrt d\, 2^{-m}\) da fronteira, dentro de um conjunto limitado fixo. Pela continuidade por cima e pela nulidade da fronteira, \(\mu (O_m\setminus I_m)\to 0\). As medidas de \(I_m\) e \(O_m\) são as somas dos volumes dos cubos que os compõem; essas são precisamente as somas interna e externa de Jordan. Neste ponto usamos um resultado clássico da Álgebra Linear: o volume euclidiano de um paralelepípedo obtido pela transformação linear \(T\) é \(|\det T|\) vezes o volume do paralelepípedo original. Assim, o limite comum das somas de Jordan é \(|\det T|\, \mu _{\mathcal L}^d(R)\), e (2.21) segue. Essa relação determinante–volume é tomada aqui como resultado prévio de Álgebra Linear.
Defina agora
A bijetividade de \(T\) mostra que \(\nu \) é uma medida. Pela equação (2.21), ela concorda com \(\mu _{\mathcal L}^d\) em todos os retângulos semiabertos limitados. A unicidade do Teorema 2.33 dá \(\nu =\mu _{\mathcal L}^d\), que é a identidade desejada.
2.5 Aplicações
As construções anteriores deixam duas ferramentas disponíveis: a medida de Lebesgue em \((0,1]\) e o mecanismo de extensão a partir de uma álgebra. A primeira será usada para estudar dígitos de números reais; a segunda, para construir diretamente o espaço de infinitos lançamentos de uma moeda.
2.5.1 Teorema dos Números Normais de Borel
Nesta subseção,
Em particular, se \(A=\dot\bigcup _{j=1}^m(a_j,b_j]\in \mathcal B_0((0,1])\), então
Podemos ver um número real \(\omega \in (0,1]\) como a realização do lançamento de uma moeda infinitas vezes. Para isso considere a expansão binária desse número. Nos pontos diádicos, que admitem duas expansões, adotaremos a expansão que não é eventualmente nula; em particular, representamos \(1\) por \(0{,}111\ldots \). Dessa forma \(\omega \in (0,1]\) determina uma sequência de dígitos em \(\{ 0,1\} ^{\mathbb {N}}\), omitindo-se o dígito inicial antes da vírgula.
Nosso primeiro resultado será sobre a distribuição de dígitos \(0\) e \(1\) num número qualquer \(\omega \in (0,1] .\) Para realizar essa contagem faremos inicialmente uma conversão dos dígitos dessa sequência. Converteremos os \(0\to -1\) obtendo a sequência de funções de Rademacher \(z_k .\)
A sequencia \(s_n(\omega )\) definida acima pode ser vista como um passeio aleatório simétrico nos pontos de coordenadas inteiras da reta, isto é, em \(\mathbb {Z}\), que começa em \(0\) e a cada passo move para a direita ou esquerda, +1 ou -1, com probabilidade igual. Este passeio pode ser ilustrado da seguinte maneira. Um ponto é colocado no zero e uma moeda justa é jogada. Se sair cara, o marcador é movido uma unidade para a direita e se sair coroa o marcador é movido uma unidade para a esquerda.
Provaremos que
Na expressão acima, o limite está fora da probabilidade. O evento dentro da probabilidade pertence à álgebra elementar \(\mathcal B_0((0,1])\), de modo que sua probabilidade pode ser calculada diretamente pelos comprimentos dos intervalos diádicos.
Qualquer evento baseado nos valores \(z_1(\omega ), \ldots , z_n(\omega )\) pode ser descrito como uma união disjunta de intervalos diádicos da forma \(\left(\dfrac {k-1}{2^n}, \dfrac {k}{2^n}\right] .\) Logo \(\bigl\{ \omega \in (0,1]: \left|{s_n(\omega )}/n \right| \geq \varepsilon \bigr\} \in \mathcal{B}_0((0,1]) .\)
Nesta prova, a integral de uma função constante em intervalos de \(\mathcal B_0((0,1])\) denota simplesmente a soma dos valores constantes multiplicados pelos comprimentos correspondentes. Cada intervalo diádico de nível \(i-1\) se divide em dois no nível \(i\). Logo \(z_i\) toma valor \(+1\) em metade do intervalo e valor \(-1\) na outra metade. Se \(i\lt j\), então, em cada intervalo diádico de nível \(j-1\), \(z_i\) é constante, enquanto \(z_j\) vale \(-1\) numa metade e \(+1\) na outra. O produto \(z_i z_j\), portanto, tem integral zero em cada um desses intervalos, e
Isso implica que \(\displaystyle \int _0^1 s^2_n(\omega )\, d\omega = \displaystyle \int _0^1 \sum _{k,j=1}^n z_k(\omega )z_j(\omega ) \, d\omega = n\) e logo
Logo \(\P \bigl[|s_n/n|\geq \varepsilon \bigr]\leq 1/(n\varepsilon ^2)\rightarrow 0\) quando \(n\rightarrow \infty .\)
Fixada uma base \(b\), um número normal é um número real cujos algarismos aparecem todos com a mesma frequência, ou seja, cuja sequência infinita de dígitos na base \(b\) é distribuída uniformemente no sentido de que cada um dos valores algarismos tem a mesma frequência \(\frac{1}{b}.\) Também significa que nenhum algarismo, ou combinação (finita) de algarismos, ocorre com mais frequência do que qualquer outra. No que se segue trataremos apenas de números normais na base 2, mas os argumentos podem ser adaptados facilmente para outras bases.
Como cada evento da forma
depende apenas dos primeiros \(n\) dígitos, ele pertence a \(\mathcal B_0((0,1])\). Portanto
é boreliano, assim como \(A_1=(0,1]\setminus N_1\). Mostraremos que \(A_1\) tem medida de Lebesgue nula.
O próximo teorema também é conhecido como a Lei Forte dos Grandes Números para o Lançamento de Moedas
O conjunto \(A_1\) dos números que não são simplesmente normais na base 2 tem medida de Lebesgue nula.
Começaremos notando as seguintes inclusões:
Dado \(\varepsilon _k\downarrow 0\) quando \(k\rightarrow \infty .\) Então
Para justificar a última inclusão, se \(k^2\leq n\lt (k+1)^2\), então
Logo a convergência ao longo dos quadrados implica a convergência da sequência inteira.
Pelo item (1),
\begin{align*} A_1 = N_1^\mathsf c& \subset \{ \omega \colon \left|\dfrac {s_{k^2}(\omega )}{k^2}\right| \geq \varepsilon _k\, \text{ para infinitos $k$} \} \\ & \subset \bigcup _{k=j}^\infty \underbrace{\{ \omega \colon \left|\dfrac {s_{k^2}(\omega )}{k^2}\right| \geq \varepsilon _k \} }_{=: B_k},\quad \text{para todo $j$} \end{align*}
onde \(B_k\in \mathcal B_0((0,1])\). Da demonstração da Lei Fraca,
se tomarmos \(\varepsilon _k:= k^{-1/4} .\) Logo \(\sum _{k=1}^\infty \P [B_k]\lt \infty \) e \(\sum _{k=j}^\infty \P [B_k]\to 0\) quando \(j\to \infty \). Como, para todo \(j\),
a \(\sigma \)-subaditividade fornece
Portanto \(\P (A_1)=0\).
Para cada palavra finita \(u\), a variável \(N_n(u,\cdot )\) depende de um número finito de dígitos. Assim, para todo \(m\geq 1\),
A condição de convergência que define a normalidade é obtida por uniões e interseções enumeráveis desses eventos. Como há apenas uma quantidade enumerável de palavras finitas, \(N\) e \(A=(0,1]\setminus N\) são borelianos.
Fixe \(r\geq 1\), uma palavra \(u\in \{ 0,1\} ^r\) e uma classe de resíduos \(\ell \in \{ 1,\ldots ,r\} \). Para \(m\geq 0\), seja \(Y_m(\omega )\) a indicadora do evento em que a palavra \(u\) começa na posição \(\ell +mr\). Esses eventos dependem de blocos disjuntos de \(r\) dígitos. Pela definição de \(\P \) nos intervalos diádicos,
Escrevendo \(p=2^{-r}\) e \(S_n=\sum _{m=0}^{n-1}Y_m\), a mesma soma finita usada na prova da Lei Fraca dá
Consequentemente,
Aplicando o argumento dos índices quadrados do Teorema 2.43, concluímos que o conjunto boreliano em que \(S_n/n\) não converge para \(p\) tem medida zero.
Há apenas uma quantidade enumerável de trios \((r,u,\ell )\). A união dos conjuntos excepcionais correspondentes tem, portanto, medida zero.
Fora dessa união excepcional, para cada palavra \(u\) as frequências ao longo das \(r\) classes de posições módulo \(r\) convergem todas para \(2^{-r}\). Somando as classes e desprezando no máximo \(r-1\) posições na extremidade, obtemos \(N_n(u,\omega )/n\to 2^{-r}\). Isso vale para toda palavra finita, e portanto \(\omega \in N\). Como \(A\) é boreliano, segue que \(\P (A)=0\).
A mensurabilidade de \(N\) foi observada antes do Teorema 2.45. Como seu complemento tem medida zero, \(\P (N)=1\).
As leis fraca e forte dos grandes números diferem pela ordem em que probabilidade e limite aparecem. Na notação usada acima,
Na lei fraca, para cada \(n\) observamos a proporção dos pontos \(\omega \in (0,1]\) em que \(|s_n(\omega )/n|\) ainda é grande; essa proporção tende a zero. A lei forte acompanha cada \(\omega \) ao longo de toda a sequência e afirma que, para quase todo \(\omega \),
A segunda afirmação controla, portanto, trajetórias inteiras, e não apenas a distribuição do erro em cada instante.
2.5.2 Moedas II - Medida de Probabilidade em \(\{ 0, 1\} ^\infty \)
Construiremos o mesmo experimento diretamente no espaço das sequências. Para infinitos lançamentos de moedas honestas, queremos que cada configuração possível dos primeiros \(n\) resultados tenha probabilidade \(2^{-n}\).
O espaço amostral é \(\{ 0,1\} ^\infty \), o conjunto de todas as sequências infinitas de zeros e uns.
Como já vimos, não se pode em geral atribuir uma probabilidade a todo subconjunto do espaço amostral. Começaremos, portanto, com os eventos que dependem de um número finito de coordenadas, definiremos neles uma pré-medida e depois a estenderemos à \(\sigma \)-álgebra gerada.
Álgebras determinadas pelos primeiros lançamentos
Seja \(\mathcal{F}_n\) a coleção dos eventos cuja ocorrência pode ser decidida observando apenas os primeiros \(n\) lançamentos. Por exemplo, o evento \(\{ \omega | \omega _1 = 1 \text{ e }\omega _2 = \omega _6\} \) pertence a \(\mathcal{F}_6\) (e, portanto, pertence a \(\mathcal{F}_k\) para todo \(k\geq 6\)).
Para \(B\subseteq \{ 0,1\} ^n\), defina
Podemos expressar \(A \subset \{ 0, 1\} ^\infty \) na forma
Isto é, uma sequência em \(A\) é determinada por um prefixo de comprimento \(n\) pertencente a \(B\), seguido por uma cauda arbitrária. O conjunto \(B\) é a base do cilindro \(A\).
Os elementos de \(\mathcal{F}_n\) são precisamente os cilindros dessa forma. A representação também permite verificar que \(\mathcal{F}_n\) é uma \(\sigma \)-álgebra.
O Exercício 2.20, ao final do capítulo, formaliza a verificação de que \(\mathcal{F}_n\) é uma \(\sigma \)-álgebra.
Cada \(\sigma \)-álgebra \(\mathcal{F}_n\) descreve apenas os primeiros \(n\) lançamentos. Para reunir os eventos que podem ser decididos após algum número finito de lançamentos, sem fixar esse número de antemão para toda a família, definimos
a coleção dos conjuntos que pertencem a \(\mathcal{F}_n\) para algum \(n .\) Assim, \(A \in \mathcal{F}_0\) quando sua ocorrência pode ser decidida após um número fixo de lançamentos, que depende do evento.
O exemplo anterior mostra que \(\mathcal{F}_0\) não é uma \(\sigma \)-álgebra. Ainda assim, \(\mathcal{F}_0\) é uma álgebra.
A estrutura algébrica de \(\mathcal{F}_0\) é verificada no Exercício 2.21, ao final do capítulo.
Para tratar simultaneamente todos esses eventos, precisamos de uma \(\sigma \)-álgebra que contenha \(\mathcal{F}_0\). A escolha natural é a menor possível: ela inclui os eventos que dependem de um número finito de coordenadas e apenas os subconjuntos de \(\{ 0,1\} ^\infty \) exigidos pelas operações da teoria. Tomamos, assim, \(F\) como a \(\sigma \)-álgebra gerada por \(\mathcal{F}_0 .\)
Definindo a medida de Probabilidade
Definimos agora \(\P _0\) em \(\mathcal{F}_0\). Se \(A=B\times \{ 0,1\} ^\infty \) com \(B\subseteq \{ 0,1\} ^n\), pomos
Em particular, \(\P _0(\{ 0,1\} ^\infty )=1\).
Assim, cada configuração particular dos primeiros \(n\) lançamentos recebe probabilidade \(2^{-n}\); todas as configurações de mesmo comprimento são equiprováveis.
Resta verificar que a definição independe da representação, pois o mesmo conjunto \(A\) pode pertencer a \(\mathcal{F}_n\) para vários valores de \(n\). Suponha que \(A\in \mathcal{F}_m\subseteq \mathcal{F}_n\) com \(n\gt m\). Então
onde \(B\subseteq \{ 0,1\} ^n\) e \(C\subseteq \{ 0,1\} ^m\). Necessariamente, \(B=C\times \{ 0,1\} ^{n-m}\), e portanto \(|B|=|C|2^{n-m}\). Logo
de modo que \(\P _0(A)\) está bem definida.
A contagem fornece \(\P _0(\Omega )=1\) e mostra que \(\P _0\) é finitamente aditiva. Na topologia produto discreta, \(\Omega =\{ 0,1\} ^{\infty }\) é um espaço compacto de Hausdorff, e cada elemento de \(\mathcal{F}_0\) é um cilindro fechado, portanto compacto. Pelo exemplo da Seção 2.3, \(\mathcal{F}_0\) é uma classe compacta. Além disso, como o próprio \(A\) participa do supremo,
Logo o Teorema da Classe Compacta, Teorema 2.27, fornece diretamente uma única medida de probabilidade em \(\mathcal{F}\), a \(\sigma \)-álgebra gerada por \(\mathcal{F}_0\), que concorda com \(\P _0\) em \(\mathcal{F}_0\). Essa medida atribui probabilidade \(2^{-n}\) a cada configuração possível dos primeiros \(n\) lançamentos, conforme desejado.
Os dois modelos de lançamentos de moedas que construímos são equivalentes.
2.6 Medidas em Espaços Métricos
Em espaços métricos separáveis e completos, a topologia permite aproximar conjuntos mensuráveis por abertos e compactos. Essa regularidade será útil sempre que precisarmos controlar medidas por objetos geometricamente mais simples.
Seja \((S,d)\) polonês e escolha um conjunto enumerável denso. Para cada \(n\geq 1\), as bolas de raio \(2^{-n}\) centradas nesse conjunto cobrem \(S\). Como \(\mu (S)=1\), uma união finita dessas bolas, denotada por \(U_n\), pode ser escolhida de modo que \(\mu (U_n)\gt 1-\varepsilon /2^{n+1}\). Seja \(F_n\) a união das bolas fechadas com os mesmos centros e raios e defina \(K=\bigcap _nF_n\). Então
O conjunto \(K\) é fechado em um espaço completo e, para cada \(n\), pode ser coberto por um número finito de bolas de raio \(2^{-n}\). Logo é completo e totalmente limitado, portanto compacto. Isso prova a tightness.
Provemos agora a regularidade. Se \(F\) é fechado, os abertos \(U_n=\{ x:d(x,F)\lt 1/n\} \) decrescem para \(F\). Pela continuidade por cima da medida finita, \(\mu (U_n)\downarrow \mu (F)\); logo todo fechado é regular por fora. A finitude mostra, por complementação, que todo aberto é regular por dentro por conjuntos fechados.
Seja \(\mathcal R\) a classe dos borelianos que são regulares por fora por abertos e por dentro por fechados. Ela contém abertos e fechados e é fechada por complementos. Se \(A_j\in \mathcal R\), escolha abertos \(U_j\supseteq A_j\) com \(\mu (U_j\setminus A_j)\lt \varepsilon /2^j\); então \(\bigcup _jU_j\) dá regularidade externa para \(\bigcup _jA_j\). Para a regularidade interna, escolha primeiro \(m\) de modo que \(\mu (\bigcup _jA_j)-\mu (\bigcup _{j=1}^mA_j)\lt \varepsilon /2\) e aproxime cada \(A_j\), \(j\leq m\), por um fechado; a união finita desses fechados dá o aproximante desejado. Assim \(\mathcal R\) é uma \(\sigma \)-álgebra que contém os abertos, e portanto \(\mathcal R=\mathcal B(S)\).
Finalmente, dado \(A\in \mathcal B(S)\), escolha um fechado \(F\subseteq A\) com \(\mu (A\setminus F)\lt \varepsilon /2\) e, pela tightness, um compacto \(K\) com \(\mu (K^{\mathsf c})\lt \varepsilon /2\). O conjunto \(F\cap K\) é compacto, está contido em \(A\) e satisfaz \(\mu (A\setminus (F\cap K))\lt \varepsilon \). Logo a regularidade interna pode ser feita por compactos.
2.7 Borelianos: como se formam e quantos são?
Até aqui os conjuntos borelianos apareceram como o domínio natural das medidas construídas no capítulo. Nesta seção mudamos a pergunta. Em vez de perguntar como medir um boreliano, perguntamos como esses conjuntos se formam e quão grande é a coleção de todos eles.
O conjunto de Cantor, que reaparecerá no capítulo de distribuições, serve como primeiro exemplo. Depois dele, a hierarquia de Borel e a comparação de cardinalidades formam um aprofundamento independente da cadeia principal.
Conjunto de Cantor
Partimos de \(C_0=[0,1]\) e removemos o terço central. Resta
Repetindo a operação em cada intervalo remanescente,
Iterando o procedimento, obtemos uma sequência encaixante de compactos
em que \(C_n\) é a união de \(2^n\) intervalos fechados. O conjunto de Cantor é
A Figura 2.6 mostra as primeiras etapas da construção.
\(C\) é fechado, e logo é um Boreliano.
\(C\) é não enumerável. De fato, \(| C | = | \mathbb {R}| .\)
\(\mu _{\mathcal L}(C)=0\).
Como \(C=\bigcap _nC_n\) e cada \(C_n\) é fechado, \(C\) é fechado. A aplicação
é uma bijeção de \(\{ 0,1\} ^{\mathbb {N}}\) sobre \(C\); logo \(|C|=|\{ 0,1\} ^{\mathbb {N}}|=|\mathbb {R}|\). Finalmente, \(C_n\) é a união de \(2^n\) intervalos de comprimento \(3^{-n}\), e portanto
Fazendo \(n\to \infty \), obtemos \(\mu _{\mathcal L}(C)=0\).
2.7.1 ↯Hierarquia de Borel e cardinalidade
\(\Sigma _1\) é a coleção de todos os conjuntos abertos em \(\mathbb {R}\) e \(\Pi _1\) é a coleção de todos os conjuntos fechados em \(\mathbb {R}.\)
Para cada \(n \geq 1\), a coleção \(\Sigma _{n + 1}\) consiste de todas as uniões enumeráveis de conjuntos de \(\Pi _n\), e a coleção \(\Pi _{n + 1}\) consiste de todas as interseções enumeráveis de conjuntos de \(\Sigma _n .\)
Obtemos, portanto, \( \Sigma _{1} \subseteq \Sigma _{2}, \Sigma _{1} \subseteq \Pi _{2}, \Pi _{1} \subseteq \Sigma _{2} \) e \( \Pi _{1} \subseteq \Pi _{2}. \) Todas as quatro inclusões são próprias.
Para cada \(n\in \mathbb {N}\), as seguintes afirmações são válidas.
Para todo \( S \subseteq \mathbb {R}\), temos \( S \in \Sigma _{n} \) se e somente se \( S ^{c} \in \Pi _{n}. \)
\( \Sigma _{n} \subseteq \Sigma _{n + 1}, \Sigma _{n} \subseteq \Pi _{n + 1}, \Pi _{n} \subseteq \Sigma _{n + 1} \), e \( \Pi _{n} \subseteq \Pi _{n + 1}. \)
Além disso, todas as inclusões são próprias.
A primeira afirmação segue por indução das leis de De Morgan. Para as inclusões, observe inicialmente que, em \(\mathbb {R}\), todo aberto é uma união enumerável de fechados: se \(U\) é aberto, tome, por exemplo,
Logo \(\Sigma _1\subseteq \Sigma _2\); tomando complementos, \(\Pi _1\subseteq \Pi _2\). As inclusões cruzadas seguem repetindo o mesmo conjunto numa união ou interseção enumerável. A indução nas definições de \(\Sigma _{n+1}\) e \(\Pi _{n+1}\) fornece todas as inclusões do item 2.
Registramos também por que nenhuma delas é uma igualdade. No espaço de Baire \(\mathcal N=\mathbb {N}^{\mathbb {N}}\) existe, para cada \(n\), um conjunto universal \(U_n\in \Sigma _n(\mathcal N\times \mathcal N)\): cada conjunto de \(\Sigma _n(\mathcal N)\) é uma seção \((U_n)_x\). Para \(n=1\), basta enumerar os cilindros básicos e usar as coordenadas de \(x\) para indicar quais entram na união. Passar de \(n\) para \(n+1\) consiste em tomar complementos e uniões enumeráveis; uma única sequência de naturais codifica uma sequência enumerável de parâmetros, pois \(\mathcal N\cong \mathcal N^{\mathbb {N}}\). Essa é uma indução explícita da propriedade universal.
O conjunto diagonal
pertence a \(\Pi _n\), mas não a \(\Sigma _n\): se \(D_n=(U_n)_y\) para algum \(y\), teríamos \(y\in D_n\) se e somente se \(y\notin D_n\). Portanto \(\Sigma _n\ne \Pi _n\). Como \(\mathcal N\) é homeomorfo ao conjunto dos irracionais, uma subclasse \(G_\delta \) de \(\mathbb {R}\), a igualdade de qualquer uma das inclusões em \(\mathbb {R}\) forçaria a igualdade correspondente nas classes relativas de \(\mathcal N\). A contradição diagonal, juntamente com as inclusões já provadas e a passagem aos complementos, mostra que as quatro inclusões são próprias.
Se \(B\subseteq \mathbb {R}\) for boreliano e pertencer a algum nível finito, sua classificação de Borel finita é o menor \(n\) tal que \(B\in \Sigma _n\cup \Pi _n\). Assim, conjuntos abertos ou fechados têm classificação no máximo \(1\).
Nem todo boreliano tem classificação finita. A hierarquia prossegue pelos ordinais contáveis. Para um sucessor \(\alpha +1\), define-se \(\Sigma _{\alpha +1}\) por uniões enumeráveis de conjuntos de \(\Pi _\alpha \), e \(\Pi _{\alpha +1}\) por complementação. Se \(\lambda \) é um ordinal limite contável, \(\Sigma _\lambda \) é formada pelas uniões enumeráveis de conjuntos que pertencem a classes \(\Pi _\alpha \) com \(\alpha \lt \lambda \), e novamente \(\Pi _\lambda \) é a classe dos complementos. A mesma construção universal e diagonal usada acima mostra que a hierarquia é própria em cada nível contável; em particular, existem borelianos de classificação não finita. Além disso,
onde \(\omega _1\) é o primeiro ordinal não contável.
Como todo singleton é fechado, a aplicação \(x\mapsto \{ x\} \) injeta \(\mathbb {R}\) em \(\mathcal B(\mathbb {R})\); portanto \(|\mathbb {R}|\leq |\mathcal B(\mathbb {R})|\). Para a desigualdade contrária, fixe uma base enumerável de intervalos com extremos racionais. Todo boreliano pode ser descrito por um código: uma árvore bem fundada e enumerável cujas folhas são elementos da base e cujos vértices registram complementos ou uniões enumeráveis. Essas árvores podem ser vistas como subconjuntos de \(\mathbb {N}^{\lt \mathbb {N}}\) com rótulos naturais. Há no máximo \(2^{\aleph _0}=|\mathbb {R}|\) códigos desse tipo. Logo \(|\mathcal B(\mathbb {R})|\leq |\mathbb {R}|\), e a igualdade segue.
Claramente \(|\L |\leq |\mathcal P(\mathbb {R})|\). Como o conjunto de Cantor \(C\) tem medida de Lebesgue nula, todo subconjunto de \(C\) é Lebesgue mensurável, isto é, \(\mathcal P(C)\subseteq \L \). Como \(|C|=|\mathbb {R}|\), temos \(|\mathcal P(C)|=|\mathcal P(\mathbb {R})|\) e, portanto, \(|\mathcal P(\mathbb {R})|\leq |\L |\). O teorema de Cantor–Bernstein conclui a igualdade.
Comparando a Proposição 2.56 com o Teorema 2.55, obtemos o seguinte corolário.
A primeira inclusão é própria porque todo singleton é boreliano, enquanto nenhum singleton é uma união finita de intervalos semiabertos não degenerados.
A segunda é própria pela comparação de cardinalidades: um conjunto de Cantor de medida zero contém tantos pontos quanto \(\mathbb {R}\), de modo que sua coleção de subconjuntos tem cardinalidade \(|\mathcal P(\mathbb {R})|\), ao passo que a \(\sigma \)-álgebra de Borel tem cardinalidade \(|\mathbb {R}|\).
Por fim, a medida de Lebesgue completada continua invariante por translações módulo \(1\). Se ela estivesse definida em todo \(\mathcal P((0,1])\), a construção de Vitali do Capítulo 1 produziria a mesma contradição obtida para uma medida de probabilidade invariante por translações. Logo a última inclusão também é própria.
2.7.2 Espaços borelianos poloneses
A estrutura boreliana de um espaço polonês é, do ponto de vista mensurável, surpreendentemente rígida. Um isomorfismo de espaços mensuráveis é uma bijeção mensurável cuja inversa também é mensurável.
um espaço finito, se \(\Omega \) é finito;
\(\mathbb Z\), se \(\Omega \) é infinito enumerável;
\(\mathbb {R}\), se \(\Omega \) é não enumerável.
Se \(\Omega \) é finito ou enumerável, todo subconjunto de \(\Omega \) é uma união enumerável de singletons fechados e, portanto, é boreliano. Nesses dois casos, qualquer bijeção com um conjunto finito da mesma cardinalidade ou com \(\mathbb Z\), respectivamente, é um isomorfismo mensurável.
Suponha agora que \(\Omega \) seja não enumerável. Usaremos o seguinte lema de Lusin–Souslin: se \(X\) e \(Y\) são espaços poloneses e \(f:X\to Y\) é uma função boreliana injetiva, então \(f(X)\) é boreliano em \(Y\) e \(f:X\to f(X)\) é um isomorfismo mensurável. O mesmo resultado vale quando \(X\) é um subconjunto boreliano de um espaço polonês. Esse lema garante, em particular, que imagens de borelianos por aplicações borelianas injetivas são borelianas.
Primeiro construiremos uma injeção boreliana de \(\Omega \) em \(\mathbb {R}\). Seja \((U_n)_{n\geq 1}\) uma base enumerável da topologia de \(\Omega \) e defina
Cada coordenada de \(\Phi \) é boreliana e a base separa pontos, logo \(\Phi \) é boreliana e injetiva. A aplicação
é uma injeção contínua do espaço de Cantor \(\{ 0,1\} ^{\mathbb N}\) em \([0,1]\). Sua composição com \(\Phi \) fornece a injeção desejada.
Construiremos agora uma injeção boreliana de \(\mathbb {R}\) em \(\Omega \). Considere
O complementar de \(C\) é a união dos elementos enumeráveis da base \((U_n)\); portanto é aberto e enumerável. Assim, \(C\) é fechado, não vazio e sem pontos isolados. Como é um subespaço fechado de um espaço completamente metrizável, \(C\) é completamente metrizável.
Construindo recursivamente, dentro de cada aberto relativo não vazio de \(C\), dois abertos relativos com fechos disjuntos e diâmetros menores que \(2^{-n}\) no nível \(n\), obtemos conjuntos \((V_s)_{s\in \{ 0,1\} ^{\lt \mathbb N}}\) tais que
A completude implica que, para cada sequência \(\alpha \in \{ 0,1\} ^{\mathbb N}\), a interseção dos fechos \(\overline V_{\alpha \vert n}\) contém um único ponto. A aplicação que associa \(\alpha \) a esse ponto é contínua e injetiva. Por outro lado, compondo um homeomorfismo de \(\mathbb {R}\) em \((0,1)\) com a expansão binária escolhida de modo a não terminar em uma cauda infinita de algarismos \(1\), obtemos uma injeção boreliana de \(\mathbb {R}\) em \(\{ 0,1\} ^{\mathbb N}\). Logo existe uma injeção boreliana \(g:\mathbb {R}\to \Omega \).
Para concluir, aplicamos a versão boreliana do argumento de Cantor–Schröder–Bernstein. Se \(f:\Omega \to \mathbb {R}\) e \(g:\mathbb {R}\to \Omega \) são as injeções construídas, ponha
Pelo lema de Lusin–Souslin, todos esses conjuntos são borelianos. A função
é a bijeção usual do argumento de Cantor–Schröder–Bernstein. As duas partes são borelianas, assim como as partes correspondentes de sua inversa; logo \(h\) é um isomorfismo entre \((\Omega ,\mathcal B(\Omega ))\) e \((\mathbb {R},\mathcal B(\mathbb {R}))\).
O primeiro seis: construção da probabilidade. Retome o espaço amostral \(\Omega \) do Exercício 1.14. Denote por \(W\) o conjunto das palavras finitas que terminam no primeiro \(6\) e, para todo \(A\subseteq \Omega \), defina onde \(|w|\) é o comprimento da palavra \(w\). Prove que \(\P \) é uma medida de probabilidade em \((\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ))\). Se \(T\) é o instante do primeiro \(6\), com \(T=\infty \) nas trajetórias infinitas, determine a lei de \(T\) e prove que \(T\lt \infty \) quase certamente. Seja \(\mu _0\) uma pré-medida numa álgebra \(\mathcal A\) de subconjuntos de \(X\), com \(X\in \mathcal A\) e \(\mu _0(X)\lt \infty \), e seja \(\mu ^*\) a medida exterior induzida por \(\mu _0\). Prove que um conjunto \(E\subseteq X\) é mensurável no sentido de Carathéodory se, e somente se, onde o complemento é tomado em \(X\). Considere a álgebra de subconjuntos de \(\mathbb {R}\), e seja \(P\) uma probabilidade finitamente aditiva em \(\mathcal A_0\). Defina Prove que \(P\) é uma pré-medida em \(\mathcal A_0\) se, e somente se, \(F\) é não decrescente, contínua à direita e satisfaz Conclua que, nessas condições, \(P\) possui uma única extensão a uma probabilidade em \(\mathcal B(\mathbb {R})\). Subaditividade enumerável. Se \((A_n)_{n\geq 1}\) é uma sequência de eventos, prove que Continuidade da probabilidade. Sejam \(A_1,A_2,\ldots \) eventos. Prove as afirmações abaixo. Se \(A_n\uparrow A\), então \(\P (A_n)\uparrow \P (A)\). Se \(A_n\downarrow A\), então \(\P (A_n)\downarrow \P (A)\). Se \(A_n\to A\) no sentido de que \(\liminf A_n=\limsup A_n=A\), então \(\P (A_n)\to \P (A)\). Um precursor do primeiro lema de Borel–Cantelli. Se \((A_n)_{n\geq 1}\) é uma sequência de eventos e prove que Faça a prova usando apenas subaditividade enumerável e continuidade da probabilidade. Considere um espaço de probabilidade cujo espaço amostral é \(\mathbb {R}\). Use a continuidade da probabilidade para provar que Uma condição insuficiente. Sejam Mostre que \(\sigma \langle \mathcal A\rangle =\mathcal{P}(\Omega )\). Construa duas probabilidades distintas \(P_1\) e \(P_2\) em \(\mathcal{P}(\Omega )\) tais que Este exercício mostra que a coincidência em uma família geradora não basta para garantir a igualdade de duas medidas. Compare-o com o Teorema de Unicidade de Medidas, no qual a família geradora é um \(\pi \)-sistema. Desigualdades de Bonferroni. Dados eventos \(A_1,\ldots ,A_n\), defina, para \(1\leq j\leq n\), Prove que, para \(1\leq k\leq n\), e Como aquecimento, os casos \(k=2\) e \(k=3\) já contêm a ideia central. Ao final do dia, \(n\) pais chegam a uma escola para buscar seus \(n\) filhos. Suponha que as crianças sejam entregues segundo uma permutação uniforme das \(n\) crianças entre os \(n\) pais. Use a fórmula de inclusão–exclusão para provar que a probabilidade de pelo menos um pai receber o próprio filho é Mostre que essa probabilidade converge para \(1-e^{-1}\) quando \(n\to \infty \). Escolha um ponto uniformemente no interior de um triângulo equilátero. Qual é a probabilidade de que sua distância ao centro do triângulo seja menor do que sua distância à borda? Justifique geometricamente o valor obtido. Agulha de Buffon. Um plano é dividido por retas paralelas consecutivas, separadas por uma distância \(d\gt 0\). Uma agulha de comprimento \(d\) é lançada ao acaso sobre o plano. Modele precisamente o experimento por meio da distância do centro da agulha à reta mais próxima e do ângulo que a agulha forma com as retas. Especifique o espaço amostral e a medida de probabilidade. Prove que a probabilidade de a agulha interceptar alguma das retas é \(2/\pi \). Conclua que a probabilidade de não haver interseção é \(1-2/\pi \). Fixe uma base inteira \(b\geq 2\). Expresse, por meio de uniões e interseções enumeráveis de eventos determinados por um número finito de dígitos, o conjunto dos números de \((0,1]\) normais na base \(b\). Conclua que tanto o conjunto dos números normais quanto o dos números não normais na base \(b\) pertencem a \(\mathcal B((0,1])\). Mostre também que o conjunto dos números absolutamente normais é boreliano. Prove que todo subconjunto enumerável, todo subconjunto coenumerável e todo subconjunto perfeito de \((0,1]\) é boreliano. Conclua, em particular, que o conjunto dos irracionais de \((0,1]\) é boreliano. Seja \((\Omega ,d)\) um espaço métrico. Recorde que \(\Omega \) é separável quando possui um subconjunto enumerável e denso. Mostre que Se \(\Omega \) é separável, prove a inclusão inversa e conclua que as bolas abertas geram \(\mathcal B(\Omega )\). Mostre que \(\mathbb {Q}\) é denso em \(\mathbb {R}\) com a métrica usual. Conclua que \(\sigma \langle \text{bolas abertas de }\mathbb {R}\rangle =\mathcal B(\mathbb {R})\). Sejam \(\mu _1\) e \(\mu _2\) medidas em \(\sigma \langle \mathcal F_0\rangle \). Suponha que \(\mathcal F_0\) seja uma álgebra, que ambas as medidas sejam \(\sigma \)-finitas em \(\mathcal F_0\) e que
Prove que a mesma desigualdade vale para todo \(A\in \sigma \langle \mathcal F_0\rangle \). Dica. Trate primeiro o caso em que \(\mu _1+\mu _2\) é finita e use aproximação em diferença simétrica por elementos da álgebra. Depois localize o argumento numa exaustão de medida finita. Construa contraexemplos mostrando que a conclusão pode falhar nas situações abaixo: \(\mathcal F_0\) é uma álgebra, mas as medidas não são \(\sigma \)-finitas em \(\mathcal F_0\); as medidas são finitas, mas \(\mathcal F_0\) é apenas um \(\pi \)-sistema gerador, e não uma álgebra. No caso finito, ponha \(\rho =\mu _1+\mu _2\). Todo conjunto da \(\sigma \)-álgebra gerada pode ser aproximado em diferença simétrica, para \(\rho \), por elementos de \(\mathcal F_0\) (a classe dos conjuntos aproximáveis é uma classe monótona que contém a álgebra). Se \(F_n\in \mathcal F_0\) e \(\rho (F_n\triangle A)\to 0\), então \(\mu _i(F_n)\to \mu _i(A)\); passe ao limite na desigualdade. No caso \(\sigma \)-finito, faça isso nas partes de uma exaustão comum por conjuntos de \(\mathcal F_0\) de medida finita e depois use convergência monótona. Sem \(\sigma \)-finitude, em \(\mathbb {R}\) tome a álgebra das uniões finitas de intervalos semiabertos \((a,b]\), admitindo intervalos ilimitados, e as medidas de contagem em \(\mathbb {R}\) e em \(\mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}\). Elas valem \(0\) no vazio e \(\infty \) em todo elemento não vazio da álgebra, mas em \(\{ 0\} \) a primeira vale \(1\) e a segunda, \(0\). Para o segundo caso, em \(\Omega =\{ 1,2,3,4\} \) use o \(\pi \)-sistema \(\{ \Omega ,\{ 1\} ,\{ 1,2\} ,\{ 1,3\} \} \), que gera \(\mathcal{P}(\Omega )\). Se \(\mu _1\) e \(\mu _2\) têm, respectivamente, as massas então \(\mu _1\leq \mu _2\) no \(\pi \)-sistema, mas \(\mu _1(\{ 2\} )\gt \mu _2(\{ 2\} )\). Princípio de Littlewood. Seja \(\mathcal F_0\) uma álgebra, e seja \(\mu \) uma medida \(\sigma \)-finita em \(\mathcal F_0\), definida em \(\sigma \langle \mathcal F_0\rangle \). Dados \(B\in \sigma \langle \mathcal F_0\rangle \) e \(\varepsilon \gt 0\), prove que existem conjuntos dois a dois disjuntos \(A_1,A_2,\ldots \in \mathcal F_0\) tais que Se, além disso, \(\mu (B)\lt \infty \), prove que existe \(A\in \mathcal F_0\) tal que \(\mu (A\mathbin {\triangle } B)\leq \varepsilon \). Dê um exemplo mostrando que a conclusão do item anterior pode falhar quando \(\mu (B)=\infty \). Escolha uma exaustão por conjuntos da álgebra nos quais \(\mu \) é finita e disjunte-a. Em cada peça, a caracterização de Carathéodory fornece uma cobertura de \(B\) por elementos de \(\mathcal F_0\) com excesso menor que \(\varepsilon 2^{-k}\); disjuntando todos os termos obtemos \(A_n\) e, por aditividade, excesso total no máximo \(\varepsilon \). Se \(\mu (B)\lt \infty \), escolha \(N\) tal que \(\mu (B\setminus \bigcup _{n\leq N}A_n)\lt \varepsilon /2\) e faça a primeira construção com excesso \(\varepsilon /2\). Então \(A=\bigcup _{n\leq N}A_n\in \mathcal F_0\) satisfaz \(\mu (A\triangle B)\leq \varepsilon \). Para mostrar a necessidade da finitude, use Lebesgue em \(\mathbb {R}\) e a álgebra das uniões finitas de intervalos semiabertos, admitindo intervalos ilimitados. Para \(B=\bigcup _{k\in \mathbb {Z}}[2k,2k+1)\), tanto \(B\) quanto \(B^c\) ocupam comprimento infinito nas caudas, enquanto todo elemento da álgebra é eventualmente constante em cada cauda. Logo \(\lambda (A\triangle B)=\infty \) para todo \(A\in \mathcal F_0\). Seja \(I\) um conjunto arbitrário e \(f:I\to [0,\infty ]\). Defina Prove as afirmações abaixo. Se \(I=\bigcup _{k\in K}I_k\) é uma partição de \(I\) em conjuntos não vazios, então onde a soma sobre \(K\) é entendida pela mesma definição. Se \(I\) é infinito enumerável e \((i_m)_{m\geq 1}\) é uma enumeração de \(I\) sem repetições, então No caso finito, a definição coincide com a soma finita usual. Mostre que define uma medida em \((I,\mathcal{P}(I))\). Se \(\mathcal K\) é uma classe compacta, denote por \(\widehat{\mathcal K}\) a menor família de subconjuntos de \(\Omega \) que contém \(\mathcal K\) e é fechada sob uniões finitas e interseções enumeráveis. Prove que \(\widehat{\mathcal K}\) também é uma classe compacta. Dica. Mostre primeiro que todo elemento de \(\widehat{\mathcal K}\) é uma interseção enumerável de uniões finitas de elementos de \(\mathcal K\); depois use a árvore finitamente ramificada das escolhas possíveis. Seja \(\mathcal D\) a classe dos conjuntos \(\bigcap _nU_n\), com cada \(U_n\) uma união finita de elementos de \(\mathcal K\). A distributividade mostra que \(\mathcal D\) contém \(\mathcal K\) e é fechada pelas duas operações; logo \(\widehat{\mathcal K}=\mathcal D\). Dada uma sequência em \(\mathcal D\) com a propriedade da interseção finita, enumere todas as uniões finitas de uma representação de seus termos. As escolhas de um elemento de \(\mathcal K\) em cada união que mantêm a propriedade da interseção finita formam uma árvore finitamente ramificada com nós em todos os níveis. Para justificar o passo usado do lema de König, parta da raiz e escolha sucessivamente um filho que tenha descendentes em níveis arbitrariamente altos; tal filho existe porque há apenas finitos filhos. As escolhas formam um ramo infinito. A compacidade de \(\mathcal K\) dá um ponto comum aos conjuntos desse ramo e, portanto, a todos os conjuntos da sequência original. No espaço \(\Omega =\{ 0,1\} ^{\mathbb {N}}\), seja \(\mathcal{F}_n\) a família dos eventos cuja ocorrência é determinada pelas primeiras \(n\) coordenadas. Prove que \(\mathcal{F}_n\) é uma \(\sigma \)-álgebra, identificando-a com a família das imagens inversas de subconjuntos de \(\{ 0,1\} ^n\) pela projeção nas primeiras \(n\) coordenadas. Com a notação do exercício anterior, prove que é uma álgebra. Explique também por que esse argumento não prova fechamento sob uniões enumeráveis. Probabilidade enumerável–coenumerável. Seja \(\Omega \) um conjunto não enumerável e defina Prove que \(\mathcal F\) é uma \(\sigma \)-álgebra e que \(\P \) é uma medida de probabilidade bem definida em \(\mathcal F\). A não enumerabilidade de \(\Omega \) torna as duas alternativas disjuntas. Complementos apenas as trocam. Numa união enumerável, se todos os termos são enumeráveis, a união é enumerável; se algum é coenumerável, o complemento da união é enumerável. Logo \(\mathcal F\) é uma \(\sigma \)-álgebra. Para conjuntos disjuntos \((A_j)\), no máximo um pode ser coenumerável. Se nenhum o é, tanto \(\P (\bigcup _jA_j)\) quanto \(\sum _j\P (A_j)\) valem zero. Se \(A_{j_0}\) é coenumerável, todos os outros estão contidos em seu complemento e são enumeráveis; ambos os lados valem um. Assim \(\P \) é enumeravelmente aditiva e \(\P (\Omega )=1\).
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Prove que \(\P _p\) é uma probabilidade.
Para cada aresta potencial \(e\), seja \(X_e(g)=g_e\). Mostre que \((X_e)_e\) são Bernoulli\((p)\) independentes.
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Prove que \(M\sim \operatorname {Binomial}(N,p)\).
Para \(0\lt p\lt 1\), mostre que, condicionado a \(\{ M=m\} \), todos os grafos com exatamente \(m\) arestas têm a mesma probabilidade.
Calcule essa probabilidade condicional e observe que ela não depende de \(p\).