Capítulo 6

Distribuições

6.1 Distribuição de uma Variável Aleatória

Em muitos problemas, o espaço amostral serve de bastidor. O que observamos é o valor de uma variável aleatória e as probabilidades com que ela visita diferentes regiões da reta. Num modelo epidêmico, por exemplo, interessam o número de infectados e o número de recuperados; os detalhes de $\Omega $ podem permanecer invisíveis.

A distribuição registra exatamente essa informação e permite, quando possível, deixar o espaço de probabilidade subjacente em segundo plano. Seja $\xi $ uma variável aleatória definida em $(\Omega ,\mathcal{F},\P )$. Então

$\P (\xi \in \mathbb {R})=\P (\Omega )=1$;
se $A_1, A_2,\ldots \in \mathcal{B}(\mathbb {R})$ são disjuntos então $\xi ^{-1}(A_1), \xi ^{-1}(A_2), \ldots \in \mathcal{F}$ também são disjuntos, pois as pré-imagens preservam interseções, e

\[ \P \left(\xi ^{-1}\left(\bigcup _{n=1}^\infty A_n\right)\right) =\P \left(\bigcup _{n=1}^\infty \xi ^{-1}(A_n)\right) =\sum _{n=1}^\infty \P (\xi ^{-1}(A_n)). \]

Essas propriedades mostram que $A\mapsto \P (\xi \in A)$ é uma probabilidade na reta.

Definição 6.1 (Distribuição de uma Variável Aleatória)

Se $ \xi $ for uma variável aleatória definida em um espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F}, \P )$, então $ \xi $ induz uma medida de probabilidade $ \P _\xi $ em $ \mathbb {R}$ definida por

\begin{equation} \label{noomega1} \P _\xi (A) = \P (\xi ^{- 1} (A)) = \P (\xi \in A), \tag{6.1} \end{equation}

para $A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}) .$

Esta medida de probabilidade $ \P _\xi $ é denominada distribuição de $ \xi .$

Na Equação (6.1), toda a estrutura específica de $\Omega $ desaparece. Permanece uma probabilidade na reta, suficiente para responder a qualquer pergunta que dependa apenas do valor de $\xi $.

De maneira análoga podemos definir a distribuição de um vetor aleatório

Definição 6.2 (Distribuição de Vetores Aleatórios)

Se $ \xi $ for um vetor aleatório, então $ \xi $ induz uma medida de probabilidade $ \P _\xi $ em $ \mathbb {R}^n $ definida tomando a pré-imagem de cada conjunto de Borel $ A\subset \mathbb {R}^n : $

\begin{equation} \label{eq:distribuicao-vetor} \P _\xi (A) = \P (\xi ^{- 1} (A)) = \P (\xi \in A). \tag{6.2} \end{equation}

Esta medida de probabilidade $ \P _\xi $ é denominada distribuição do vetor $ \xi .$

Se $\xi =(\xi _1,\dots ,\xi _n)$ é um vetor aleatório, então as distribuições de cada uma das variáveis aleatórias $\xi _i$, para $i=1,\dots ,n$, são chamadas de distribuições marginais de $\xi $.

A distribuição não determina a variável aleatória ponto a ponto. Duas variáveis podem estar relacionadas de maneiras muito diferentes e ainda ter a mesma lei.

Exemplo 6.3

Considere o experimento de lançar uma moeda não viciada, e tome como espaço amostral o conjunto $\Omega =\{ H, T\} $, onde $H$ representa cara e $T$ representa coroa. Tomamos $\P $ como a medida de probabilidade equiprovável em $\Omega .$

Podemos agora definir a variável aleatória $ \xi (H) = 1, \xi (T) = 0 .$

Note que $\P (\xi =1)=\P (\xi =0)=\frac12$, e para $A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})$ temos

\[ \P (\xi \in A)=\frac12\mathbb {1}_A(0)+\frac12\mathbb {1}_A(1). \]

Em particular, essa probabilidade é $1/2$ se exatamente um dos pontos $0,1$ pertence a $A$, é $1$ se ambos pertencem a $A$ e é $0$ se nenhum deles pertence a $A$.

Por outro lado poderíamos definir a variável aleatória $ \eta (H) = 0, \eta (T) = 1 .$

As variáveis nunca coincidem (de fato $\xi =1-\eta $), mas $ \xi $ e $ \eta $ possuem a mesma distribuição.

O exemplo distingue duas noções de igualdade que usaremos repetidamente.

Definição 6.4 (Equivalências de Variáveis Aleatórias)

Dizemos que as variáveis aleatórias $\xi $ e $\eta $ são iguais quase certamente, fato que denotaremos por

\[ \xi \overset {\mathrm{q.c.}}{=} \eta , \]

se $ \P (\xi \not= \eta ) = 0. $
Dizemos que as variáveis aleatórias $ \xi $ e $ \eta $ são iguais em distribuição, fato que denotaremos por

\[ \xi \overset {\mathrm d}{=} \eta , \]

se eles tiverem a mesma distribuição. Equivalentemente,

\[ \P (\xi \in A) = \P (\eta \in A) \text{ para todo } A \text{ de Borel.} \]

Observe que se $\xi \overset {\mathrm{q.c.}}{=}\eta $, então $\xi \overset {\mathrm d}{=}\eta $, mas a recíproca não é verdadeira. De fato, se $\xi \overset {\mathrm{q.c.}}{=}\eta $, então

\[ \P (\xi \in A)=\P (\xi \in A; \xi =\eta )=\P (\eta \in A; \xi =\eta )=\P (\eta \in A). \]

Por outro lado, podemos ter $\xi \overset {\mathrm d}{=}\eta $ sem que $\xi $ e $\eta $ estejam definidas em um mesmo espaço de probabilidade.

Exemplo 6.5

Seja agora $\P $ a medida de Lebesgue em $\Omega =[0,1]$, e defina $\xi (\omega )=\omega $ e $\eta (\omega )=1-\omega .$ Note que para $x\in \mathbb {R}$

\[ \{ \xi \leq x\} =\{ \omega \in [0,1]:\omega \leq x\} =\begin{cases} \emptyset & ;\mbox{ se }x\lt 0; \\ {} [0, x] & ;\mbox{ se }0\leq x\leq 1; \\ {} [0,1] & ;\mbox{ se }x\geq 1 \end{cases}, \]

\[ \{ \eta \leq x\} =\{ \omega \in [0,1]:1-\omega \leq x\} =\begin{cases} \emptyset & ;\mbox{ se }x\lt 0; \\ {} [1-x, 1] & ;\mbox{ se }0\leq x\leq 1; \\ {} [0,1] & ;\mbox{ se }x\geq 1 \end{cases}. \]

Segue que para $x\in [0,1]$

\[ \P _\xi ((-\infty ,x])=\P (\xi \leq x)=x =\P (\eta \leq x)=\P _\eta ((-\infty ,x]), \]

e portanto

\[ \P _\xi ((-\infty , x])=\P _\eta ((-\infty , x]), \]

para todo $x\in \mathbb {R}.$

Agora, como $\{ (-\infty , x]:x\in \mathbb {R}\} $ é um $\pi $-sistema que gera $\mathcal{B}(\mathbb {R})$, então $\P _\xi =\P _\eta .$

No exemplo anterior comparamos a distribuição de duas variáveis aleatórias olhando apenas para as probabilidades em intervalos do tipo $(-\infty , x]$, $x\in \mathbb {R}$. Para tanto argumentamos que

a classe $\mathcal P=\{ (-\infty , x]: x\in \mathbb {R}\} $ é $\pi $-sistema;
$\mathcal{B}(\mathbb {R})$ é gerada por tais intervalos.

Com isso pudemos concluir que duas medidas de probabilidade em $(\mathbb {R}, \mathcal{B}(\mathbb {R}))$ que coincidam em $\mathcal P$ são de fato a mesma medida.

Isso demonstra o seguinte resultado.

Teorema 6.6

Sejam $\xi $ uma variável aleatória definida em $(\Omega _1,\mathcal{F}_1,\P _1)$ e $\eta $ uma variável aleatória definida em $(\Omega _2,\mathcal{F}_2,\P _2)$. Então $\xi \overset {\mathrm d}{=}\eta $ se, e somente se,

\[ \P _1(\xi \leq x)=\P _2(\eta \leq x) \qquad \text{para todo }x\in \mathbb {R}. \]

De maneira equivalente, a distribuição $\P _\xi $ de $\xi $ está completamente determinada pelos valores de $\P _1(\xi \leq x), x\in \mathbb {R}.$

Demonstração ▼

Se $\xi $ e $\eta $ têm a mesma distribuição, a igualdade nos intervalos $(-\infty ,x]$ é imediata. Reciprocamente, suponha que essas igualdades valham para todo $x\in \mathbb {R}$. As probabilidades induzidas $\P _\xi $ e $\P _\eta $ coincidem no $\pi $-sistema

\[ \mathcal P=\{ (-\infty ,x]:x\in \mathbb {R}\} , \]

que gera $\mathcal{B}(\mathbb {R})$. Pelo Teorema de Unicidade de Medidas (Teorema 2.14), elas coincidem em $\mathcal{B}(\mathbb {R})$. Portanto, $\xi \stackrel{\mathrm d}= \eta $.

Esse resultado permite registrar uma distribuição por meio da função que introduziremos a seguir.

6.2 A Função Distribuição

Definição 6.7 (Função de distribuição)

A função de distribuição $ F: \mathbb {R}\rightarrow [0,1] $ de uma variável aleatória $ \xi $ é definida como

\[ F (x): = \P (\xi \leq x), \qquad x \in \mathbb {R}. \]

O teorema 6.6 nos garante que a função de distribuição determina unicamente a distribuição de $ \xi .$

A função de distribuição comprime a lei de $\xi $ numa única função real. O espaço $\Omega $ desaparece da notação, mas não a informação probabilística: $F$ determina completamente a distribuição.

Exemplo 6.8

Seja $ \xi = $ número de $ H $ em dois lançamentos independentes de uma moeda justa. Então temos

\begin{equation*} \xi = \left\{ \begin{array}{cc} 0, & \text{ com probabilidade } \frac14 \\ 1, & \text{ com probabilidade } \frac12 \\ 2, & \text{ com probabilidade } \frac14 \\ \end{array} \right. \end{equation*}

Então, podemos criar a função de distribuição. Esta função apresentará descontinuidades do tipo salto nos pontos $ 0 $, $ 1 $ e $ 2 .$

\begin{equation*} F (x) = \P (\xi \leq x) = \left\{ \begin{array}{cl} 0, & \quad x \lt 0 \\ \frac14, & \quad x \in [0, 1) \\ \frac14 + \frac12, & \quad x \in [1,2) \\ \frac14 + \frac12 + \frac14 , & \quad x \in [2, + \infty ) \end{array} \right. \end{equation*}

Figura 6.1 Distribuição do Exemplo 6.8 . — Figura 6.1 Distribuição do Exemplo 6.8.

Exemplo 6.9

Considere o experimento de sortear ao acaso um ponto na bola unitária $B=\{ (a, b): a^2+b^2\leq 1\} $ em $\mathbb {R}^2$, e defina $\xi $ como a distância ao centro da bola.

Para modelar este problema podemos considerar $\P (\cdot )=\mu (\cdot )/\pi $, onde $\mu $ é a medida de Lebesgue em $B .$ Ou seja, a probabilidade de sortearmos um ponto em uma região $A\in \mathcal{B}(B)$ é proporcional à área de $A .$ Mais especificamente

\[ \P (A)=\frac{\mu (A)}{\pi }. \]

Agora, note que $\xi (a, b)=\sqrt{a^2+b^2}$ e portanto para $x\in [0,1]$

\[ \P (\xi \leq x)=\P (\{ (a, b): a^2+b^2\leq x^2\} )=\frac{\pi \, x^2}{\pi }=x^2, \]

e portanto

\[ F(x)=\begin{cases} 0 & , x\lt 0 \\ x^2 & , 0\leq x\lt 1 \\ 1 & , x\geq 1 \end{cases}. \]

Teorema 6.10 (Propriedades da Função de Distribuição)

A função de distribuição $ F (x) $ de uma variável aleatória $ \xi $ possui as seguintes propriedades:

$ F $ é não decrescente e $ 0 \leq F (x) \leq 1 .$
$ F (x) \rightarrow 0 $ quando $ x \rightarrow - \infty $ e $ F (x) \rightarrow 1 $ quando $ x \rightarrow + \infty .$
$ F $ é contínua à direita, ou seja

\[ \lim _{y \rightarrow x_+} F (y) = F (x). \]
$ F $ possui limites à esquerda em todos os pontos. Além disso,

\[ F (x^-): = \lim _{y \rightarrow x^-} F (y) = \P (\xi \lt x). \]

Em particular,

\[ \P (\xi = x) = F (x) - F (x^-). \]
$ F $ possui no máximo número enumerável de descontinuidades.

Uma função $F$ que é contínua à direita e possui limites à esquerda em todos os pontos é dita càdlàg, do francês continue à droite, limites à gauche.

Demonstração ▼

Se $x\lt y$, então $\{ \xi \leq x\} \subseteq \{ \xi \leq y\} $, de onde $F(x)\leq F(y)$. As cotas $0\leq F\leq 1$ decorrem dos axiomas da probabilidade.
Como $\{ \xi \leq -n\} \downarrow \varnothing $ e $\{ \xi \leq n\} \uparrow \Omega $, a continuidade da probabilidade por cima e por baixo dá

\[ F(-n)\longrightarrow 0, \qquad F(n)\longrightarrow 1. \]

A monotonicidade estende esses limites de sequências inteiras para $x\to -\infty $ e $x\to +\infty $.
Se $x_n\downarrow x$, então $\{ \xi \leq x_n\} \downarrow \{ \xi \leq x\} $. Pela continuidade por cima da probabilidade, $F(x_n)\to F(x)$. Para uma sequência arbitrária $y_n\gt x$ com $y_n\to x$, ponha $z_n=\sup _{k\geq n}y_k$. Então $z_n\downarrow x$ e, pela monotonicidade,

\[ F(x)\leq F(y_n)\leq F(z_n). \]

Como $F(z_n)\to F(x)$, segue que $F(y_n)\to F(x)$. Logo $F$ é contínua à direita.
Se $x_n\uparrow x$, com $x_n\lt x$, então $\{ \xi \leq x_n\} \uparrow \{ \xi \lt x\} $. Pela continuidade por baixo,

\[ F(x^-)=\lim _{n\to \infty }F(x_n)=\P (\xi \lt x). \]

A monotonicidade mostra que o valor independe da sequência escolhida. Como $\{ \xi \leq x\} $ é a união disjunta de $\{ \xi \lt x\} $ e $\{ \xi =x\} $,

\[ \P (\xi =x)=F(x)-F(x^-). \]
Pela continuidade à direita, toda descontinuidade de $F$ é um salto positivo. Para $m\geq 1$, ponha

\[ D_m=\{ x:F(x)-F(x^-)\geq 1/m\} . \]

Se $x_1\lt \cdots \lt x_r$ pertencem a $D_m$, então, pela monotonicidade,

\[ \frac rm \leq \sum _{j=1}^r\bigl(F(x_j)-F(x_j^-)\bigr) \leq 1. \]

Portanto, $D_m$ possui no máximo $m$ pontos. O conjunto de descontinuidades é $\bigcup _{m\geq 1}D_m$ e, assim, é no máximo enumerável.

Proposição 6.11

Se $a\lt b$, então $ \P (\xi \in (a, b]) = F (b) - F (a)$.

Demonstração ▼

Como $\{ \xi \leq b\} $ é a união disjunta de $\{ \xi \leq a\} $ e $\{ a\lt \xi \leq b\} $,

\[ F(b)=F(a)+\P (a\lt \xi \leq b), \]

o que prova a identidade.

Definição 6.12

Uma função $F: \mathbb {R}\to [0, 1]$ tal que

$F$ é não-decrescente;
$F$ é contínua pela direita;
$\displaystyle \lim \limits _{x\to a^-}F(x)$ existe para todo $a\in \mathbb {R}$ (possui limite pela esquerda);
$\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty } F(x)=1$ e $\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty } F(x)=0$.

é chamada de candidata a função de distribuição de probabilidade.

As condições anteriores também são suficientes. A demonstração fará mais do que garantir existência: permitirá construir variáveis com distribuições prescritas num mesmo espaço de probabilidade. Essa escolha comum será útil para comparar sequências de variáveis.

Dada uma função $F$ com as propriedades acima, construiremos uma variável aleatória $X$ num espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F}, \P )$ tal que $\P (X\leq x)=F(x),$ para todo $x\in \mathbb {R}$.

Uma maneira interessante seria definir a variável $X$ como uma função de alguma variável aleatória cuja distribuição seja conhecida. Tomemos, por exemplo, uma variável $U\sim Uniforme(0,1)$, e tentemos escrever $X=F^*(U)$ para alguma função $F^*:(0,1)\to \mathbb {R}$.

Para escolher $F^*$, lembre que o que gostaríamos é que $\P (X\le x)=\P (F^*(U)\le x)=F(x)$.

Para isso note primeiro que, como $F(x)\in [0,1]$, então $\P (U\le F(x))=F(x)$. Ou seja, queremos $F^*$ tal que

\[ \P (F^*(U)\le x)=\P (U\le F(x)). \]

Ou ainda, que $F^*(u)\le x\Leftrightarrow u\le F(x)$.

Se $F$ fosse inversível, poderíamos fazer $F^*=F^{-1}$ e, como $F$ é crescente teríamos que

\[ F^*(u)\le x\Leftrightarrow F(F^*(u))\le F(x)\Leftrightarrow u\le F(x). \]

Em geral $F$ não é inversível, mas as considerações acima nos mostram que a chave para conseguir o que queremos ainda está em, de algum modo, “inverter” a função distribuição $F:\mathbb {R}\to [0,1]$.

Como $F$ é não decrescente, as dificuldades para uma inversão clássica se concentram em dois tipos de comportamento:

intervalos $(a,b)$ onde a função é constante;
pontos de descontinuidade de $F$.

Não precisamos, porém, de uma inversa clássica. Basta uma função $F^*:(0,1)\to \mathbb {R}$ que preserve a equivalência entre as desigualdades: $F^*(\omega )\leq x$ se, e só se, $F(x)\geq \omega $.

Uma maneira de resolver esse problema é tentar definir $F^*$ de modo que

se $F$ é inversível em $(a,b)$ então queremos que $F^*(\omega )=F^{-1}(\omega )$ em $F((a,b))$;
se $F(x)=\omega $ para todo $a\lt x\lt b$, então $F^*$ é descontínua em $\omega $;
se $F(x)$ é descontínua em $x=x_0$ com $\omega _1=\lim \limits _{x\to x_0^-}F(x)\lt F(x_0)=\omega _2$, então $F^*(\omega )=x_0$ para $\omega \in (\omega _1,\omega _2)$.

Essas ideias são melhor visualizadas na Figura 6.2.

Figura 6.2 Uma função de distribuição e sua inversa generalizada. Um salto de F produz um trecho constante em F^*, enquanto um trecho constante de F produz um salto em F^*. — Figura 6.2 Uma função de distribuição e sua inversa generalizada. Um salto de $F$ produz um trecho constante em $F^*$, enquanto um trecho constante de $F$ produz um salto em $F^*$.

Existem diversas formas de definir uma função $F^*$ com tais propriedades, e a seguir apresentaremos uma das mais comuns.

Definição 6.13

Dada uma candidata a função de distribuição $F:\mathbb {R}\to [0,1]$, definimos a inversa generalizada de $F$ como a função $F^*:(0,1)\to \mathbb {R}$ dada por

\[ F^*(\omega )=\inf \{ x\in \mathbb {R}: F(x) \geq \omega \} . \]

Apesar de não ser a inversa de $F$, $F^*$ ainda herda algumas propriedades de $F$.

Proposição 6.14 (Propriedades da Inversa Generalizada)

Se $F$ é uma candidata a função de distribuição e $u\in (0,1)$, defina

\[ F^*(u):= \inf \{ x\in \mathbb {R}: F(x)\geq u\} . \]

A inversa generalizada satisfaz:

$F^*(u)=\sup \{ x\in \mathbb {R}:F(x)\lt u\} $;
$F^*$ é não decrescente;
se $0\lt F(x)\lt 1$, então $F^*(F(x))\leq x$;
$F(F^*(u))\geq u$;
$F^*(u)\leq x$ se e somente se $u\leq F(x)$.

Demonstração ▼

Para $u\in (0,1)$, o conjunto $A_u=\{ x:F(x)\geq u\} $ é não vazio e limitado inferiormente, em virtude dos limites de $F$ em $\pm \infty $. Portanto, $F^*(u)$ é um número real.

Pela monotonicidade de $F$, o complemento de $A_u$ é $B_u=\{ x:F(x)\lt u\} $, e todo elemento de $B_u$ é menor que todo elemento de $A_u$. Se $a=\inf A_u$, então $x\lt a$ implica $x\in B_u$, enquanto $x\gt a$ implica que existe $z\in A_u$ com $z\lt x$ e, pela monotonicidade, $x\in A_u$. Logo $\sup B_u=a=\inf A_u$.
Se $u_1\lt u_2$, então $A_{u_2}\subseteq A_{u_1}$, de modo que $F^*(u_1)\leq F^*(u_2)$.
O ponto $x$ pertence a $A_{F(x)}$; portanto, o ínfimo desse conjunto é menor ou igual a $x$.
Ponha $a=F^*(u)$. Para cada $n$, escolha $y_n\in A_u$ com $a\leq y_n\lt a+1/n$ e defina $x_n=\min \{ y_1,\ldots ,y_n\} $. Então $x_n\downarrow a$, pois $a\leq x_n\leq y_n\lt a+1/n$. Pela continuidade de $F$ à direita,

\[ F(a)=\lim _nF(x_n)\geq u. \]
Se $F^*(u)\leq x$, o item anterior e a monotonicidade dão $u\leq F(F^*(u))\leq F(x)$. Reciprocamente, se $u\leq F(x)$, então $x\in A_u$ e, por definição, $F^*(u)\leq x$.

Com isso, dada uma variável aleatória $U$ definida em um espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F}, \P )$, e uniformemente distribuída no intervalo $(0,1)$, podemos definir a variável aleatória

\[ X=F^*(U), \]

e perceber que para $x\in \mathbb {R}$ temos $F(x)\in [0,1]$, e portanto

\[ \P (X\le x)=\P (F^*(U)\le x)=\P (U\le F(x))=F(x) \]

onde na última igualdade usamos que a probabilidade que a uniforme seja menor que $y$ é $y$, i.e., $\P (U\leq y)=y$

Mostramos assim o seguinte resultado.

Proposição 6.15 (Distribuição prescrita)

Dada uma candidata a função de distribuição $F:\mathbb {R}\to [0,1]$, existe uma variável aleatória $X$, definida em algum espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},\P )$, tal que

\[ \P (X\leq x)=F(x)\qquad \text{para todo }x\in \mathbb {R}. \]

Demonstração ▼

Tome $\Omega =(0,1)$, $\mathcal{F}=\mathcal{B}((0,1))$, $\P =\lambda |_{(0,1)}$ e $U(\omega )=\omega $. Pelo item 5 da Proposição 6.14,

\[ \{ u\in (0,1):F^*(u)\leq x\} =(0,F(x)]\cap (0,1), \]

que é boreliano. Portanto, $F^*$ é Borel mensurável e $X=F^*(U)$ é uma variável aleatória. Novamente pelo mesmo item,

\[ \{ X\leq x\} =\{ F^*(U)\leq x\} =\{ U\leq F(x)\} . \]

Como $U$ é uniforme em $(0,1)$,

\[ \P (X\leq x)=\P (U\leq F(x))=F(x) \]

para todo $x\in \mathbb {R}$.

Portanto, toda candidata a função de distribuição é efetivamente a função de distribuição de alguma variável aleatória. A partir deste ponto, podemos usar simplesmente a expressão função de distribuição para funções com essas propriedades.

Resta examinar as descontinuidades de funções não decrescentes, como $F$ e $F^*$.

Proposição 6.16

Se $f:I\to \mathbb {R}$ é uma função não decrescente definida em um intervalo $I\subseteq \mathbb {R}$, então o conjunto $D_f$ formado pelos pontos de descontinuidade de $f$ é no máximo enumerável.

O mesmo resultado vale para $f$ não-crescente.

Demonstração ▼

Suponha primeiro que $f$ seja não decrescente. Em todo ponto interior $a$ de $I$, os limites laterais

\[ f(a-)=\lim _{x\uparrow a}f(x) \quad \text{e}\quad f(a+)=\lim _{x\downarrow a}f(x) \]

existem. Se $a\in D_f$ é interior a $I$, então $f(a-)\lt f(a+)$; logo o intervalo $I_a=(f(a-),f(a+))$ é não vazio.

Se $a_1\lt a_2$, então $f(a_1+)\leq f(a_2-)$, de modo que $I_{a_1}$ e $I_{a_2}$ são disjuntos. Escolha um racional $r(a)\in I_a$ para cada ponto de descontinuidade interior. O mapa $a\mapsto r(a)$ é injetivo e toma valores em $\mathbb {Q}$; portanto há no máximo um número enumerável desses pontos. Os extremos de $I$, quando pertencem a $I$, acrescentam no máximo dois pontos.

Para uma função não crescente, aplique o resultado a $-f$.

Corolário 6.17

Dadas uma função de distribuição $F$ e sua inversa generalizada $F^*$, os conjuntos de pontos de descontinuidade de $F$ e de $F^*$ são, no máximo, enumeráveis.

Demonstração ▼

As funções $F$ e $F^*$ são não decrescentes; basta aplicar a proposição anterior a cada uma delas.

Encerramos a seção fixando a terminologia para variáveis com a mesma distribuição.

Definição 6.18 (Variáveis Aleatórias Identicamente Distribuídas)

Duas variáveis aleatórias $ \xi $ e $ \eta $ são ditas identicamente distribuídas se

\[ \P (\xi \leq x) = \P (\eta \leq x) \quad \text{ para todo } x \in \mathbb {R}. \]

6.3 Tipos de Distribuições

Definição 6.19

Uma função de distribuição $F$ é dita

discreta se existem um conjunto enumerável de números reais $\{ x_j\} $ e massas pontuais $p_j\geq 0$, com $\sum _jp_j=1$, tais que

\[ F(x)=\sum _{x_j\leq x}p_j\quad \text{ para todo } x\in \mathbb {R} \]
contínua se for contínua para todo $x .$
absolutamente contínua se existe uma função $f$ não negativa Lebesgue integrável tal que

\[ F(b)-F(a)=\displaystyle \int _a^b f(x)dx \text{ para todo } a\lt b \]
singular contínua se $F$ é contínua e $F'$ existe e é igual a $0$ em quase todo ponto, com respeito à medida de Lebesgue.

Temos o seguinte Teorema de decomposição

Teorema 6.20 (Decomposição de Distribuição)

Toda função de distribuição pode ser decomposta em uma combinação convexa de três tipos puros, discretas, absolutamente contínuas, e contínuas singulares. Assim, se F é uma função de distribuição, então

\[ F = \alpha F_{ac} + \beta F_d + \gamma F_s, \]

onde $\alpha ,\beta ,\gamma \geq 0$ e $\alpha +\beta +\gamma =1$.

$F_{ac}(x)=\displaystyle \int _{-\infty }^x f(y)\, \d y$, com $f=F'_{ac}$ em quase todo ponto;
$F_d$ é uma função de saltos com no máximo um número enumerável de saltos;
$F_s$ é singular contínua.

Componentes com coeficiente zero podem ser omitidas.

Demonstração ▼

Pelo Teorema 6.21, demonstrado a seguir, existem $\delta \in [0,1]$ e funções de distribuição $F_d$ e $F_c$, respectivamente discreta e contínua, tais que

\[ F=\delta F_d+(1-\delta )F_c. \]

Pelo Teorema 6.22, também demonstrado abaixo, existem $r,s\geq 0$, com $r+s=1$, e funções de distribuição $F_{ac}$ e $F_s$, respectivamente absolutamente contínua e singular contínua, tais que $F_c=rF_{ac}+sF_s$. Portanto,

\[ F=(1-\delta )rF_{ac}+\delta F_d+(1-\delta )sF_s. \]

Os três coeficientes são não negativos e somam $1$, como desejado.

Começaremos provando que toda distribuição pode ser decomposta como soma de uma discreta e uma contínua.

Teorema 6.21

Toda função de distribuição pode ser decomposta em uma combinação convexa de uma discreta e uma contínua. Assim, se $F$ é uma função de distribuição, então

\[ F = \alpha F_{c} + \beta F_d \]

onde $\alpha ,\beta \geq 0$ e $\alpha +\beta =1$.

Demonstração ▼

Seja $\nu $ a medida de probabilidade cuja função de distribuição é $F$. Já provamos que $F$ possui no máximo um número enumerável de saltos; enumere seus pontos como $\{ x_j\} _{j\geq 1}$ e defina

\[ p_j=F(x_j)-F(x_j^-)=\nu (\{ x_j\} ). \]

A série $\sum _jp_j$ é no máximo $1$. A fórmula

\[ \nu _d(A)=\sum _{j:x_j\in A}p_j,\qquad A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}), \]

define uma medida finita e discreta. Além disso, $\nu _d\leq \nu $: para um conjunto $A$ e um subconjunto finito $J$ dos índices com $x_j\in A$,

\[ \sum _{j\in J}p_j =\nu \left(\bigcup _{j\in J}\{ x_j\} \right)\leq \nu (A), \]

e basta fazer os subconjuntos finitos crescerem. Logo $\nu _c:=\nu -\nu _d$ é também uma medida finita e positiva.

Ponha $\beta =\nu _d(\mathbb {R})$ e $\alpha =\nu _c(\mathbb {R})=1-\beta $. Se $\beta \gt 0$, normalize $\nu _d/\beta $ e denote sua função de distribuição por $F_d$; se $\beta =0$, escolha qualquer função de distribuição discreta para $F_d$. Analogamente, se $\alpha \gt 0$, normalize $\nu _c/\alpha $ e denote sua função de distribuição por $F_c$. A medida $\nu _c$ não possui átomos, pois retiramos precisamente todas as massas pontuais de $\nu $. Assim,

\[ F_c(x)-F_c(x^-)=\frac{\nu _c(\{ x\} )}{\alpha }=0 \]

quando $\alpha \gt 0$; pela continuidade à direita, $F_c$ é contínua. Se $\alpha =0$, escolha qualquer função de distribuição contínua para $F_c$. Finalmente,

\[ F(x)=\nu ((-\infty ,x]) =\alpha F_c(x)+\beta F_d(x), \]

e $\alpha +\beta =1$.

Teorema 6.22

Toda função de distribuição contínua pode ser decomposta em uma combinação convexa de uma absolutamente contínua e uma contínua singular. Assim, se $F$ é uma função de distribuição contínua, então

\[ F = \alpha F_{ac} + \beta F_s \]

onde $\alpha ,\beta \geq 0$ e $\alpha +\beta =1$. Componentes com coeficiente zero podem ser omitidas.

Para a demonstração desse teorema usaremos a seguinte ferramenta de análise real.

Teorema de diferenciação para funções monótonas. Se $G$ é não decrescente em $[a,b]$, então $G'$ existe e é não negativa quase certamente, e

\[ \int _a^b G'(x)\, \d x\leq G(b)-G(a). \]

Além disso, se $g$ é integrável em $\mathbb {R}$, a função $x\mapsto \int _{-\infty }^xg(y)\, \d y$ é absolutamente contínua em intervalos compactos e tem derivada $g$ quase certamente.

Esse é um resultado avançado de análise real, baseado no lema de cobertura de Vitali e no Teorema Fundamental do Cálculo de Lebesgue. Usaremos esse resultado sem demonstração.

Demonstração ▼

Aplique o teorema de diferenciação a $F$ em cada intervalo compacto e defina $g=F'$ nos pontos em que a derivada existe, tomando $g=0$ no conjunto excepcional. Então $g\geq 0$ e, para $a\lt b$,

\[ \int _a^b g(y)\, \d y\leq F(b)-F(a). \]

Em particular, fazendo $a=-n$, $b=n$ e usando o Teorema da Convergência Monótona, vemos que $g$ é integrável em $\mathbb {R}$ e $\alpha :=\int _{\mathbb {R}}g\, \d\lambda \leq 1$. Ponha

\[ G(x)=\int _{-\infty }^xg(y)\, \d y, \qquad H(x)=F(x)-G(x), \qquad \beta =1-\alpha . \]

A função $G$ é contínua e não decrescente. A desigualdade acima mostra que, se $a\lt b$,

\[ H(b)-H(a) =F(b)-F(a)-\int _a^b g(y)\, \d y\geq 0. \]

Como $F$ é contínua, $H$ também é contínua. Além disso,

\[ G(-\infty )=H(-\infty )=0,\qquad G(+\infty )=\alpha ,\qquad H(+\infty )=\beta . \]

Se $\alpha \gt 0$, a função $F_{ac}=G/\alpha $ é uma função de distribuição absolutamente contínua. Se $\beta \gt 0$, a função $F_s=H/\beta $ é uma função de distribuição contínua e

\[ F_s'=\frac{F'-G'}{\beta }=\frac{g-g}{\beta }=0 \quad \text{quase certamente}; \]

logo ela é singular contínua. Desse modo, $F=\alpha F_{ac}+\beta F_s$. Quando um coeficiente é zero, a componente correspondente é simplesmente omitida.

6.3.1 Distribuições Discretas

Seja $ \xi $ uma variável aleatória com a função de distribuição $ F $ (com probabilidade induzida $ \P $).

Definição 6.23

A distribuição de $ \xi $ (e $ \xi $ em si) é dita discreta se existir um conjunto enumerável $ S $ tal que

\[ \P (\xi \in S)=1. \]

Podemos enumerar o conjunto $S$, escrevendo $ S = \{ x_1, x_2, \ldots \} $, e definimos $ p_k: = \P (\xi = x_k) .$ Então temos

\[ F (x) = \sum _{k: \ x_k \leq x} p_k, \]

e esta é uma soma sobre um conjunto enumerável. Estes $ p_k $ às vezes são denominados massas pontuais.

Massa de um ponto em zero:

\[ \P (\xi = 0) = 1. \]

Portanto, a função de distribuição $ F $ é:

\[ F (x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & , x \lt 0 \\ 1 & , x \geq 0 \end{array} \right. \]

A distribuição correspondente é a medida de Dirac no $0$.
Qualquer variável aleatória simples é discreta. Uma variável aleatória simples é uma variável aleatória que toma um número finito de valores.
Uma distribuição discreta não precisa manter seus átomos afastados: podemos tomar $ S = \mathbb {Q}$ e atribuir massas positivas que somem $ 1 $, por exemplo, $ p_k = \frac1{2 ^k} $, após enumerar os racionais. A distribuição é discreta; o conjunto de seus átomos não tem a mesma obrigação.

Algumas Distribuições Discretas

Distribuição	Notação	Função de Probabilidade	Domínio
Um ponto	$\delta_a$	$p(a)=1$	$\{a\}$
Uniforme Discreta	$\mathrm{Unif}\{x_1,\ldots,x_n\}$	$p(x_i)=\frac{1}{n}$	$\{x_1,\ldots,x_n\}$
Bernoulli	$\operatorname{Be}(p)$	$p(0)=q$, $p(1)=p$	$\{0,1\}$
Binomial	$\operatorname{Bin}(n,p)$	$p(k)=\binom nkp^kq^{n-k}$	$k=0,1,\dots,n$
Geométrica (fracassos)	$\operatorname{Ge}_0(p)$	$p(k)=pq^k$	$k\in\N_0$
Primeiro Sucesso	$\operatorname{Ge}_1(p)$	$p(k)=pq^{k-1}$	$k\in\N$
Poisson	$\operatorname{Po}(\lambda)$	$p(k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$	$k\in\N_0$

A distribuição uniforme discreta assume os valores $x_1,\dots x_n$ e $p(x_i)=\dfrac {1}{n} .$ Aqui e nas linhas seguintes, $q=1-p$. A distribuição $\operatorname {Be}(p)$ descreve o resultado de um experimento de lançamento de moeda (não necessariamente honesta), e a distribuição $\operatorname {Bin}(n,p)$ descreve o número de sucessos em $n$ lançamentos. A distribuição $\operatorname {Ge}_0(p)$ descreve o número de fracassos antes do primeiro sucesso, enquanto $\operatorname {Ge}_1(p)$ descreve o número de lançamentos necessários até o primeiro sucesso.

A distribuição de Poisson surge como o limite da distribuição binomial quando $n \to \infty $ e $p \to 0$ e $np \to \lambda .$

Teorema 6.24 (Teorema Limite de Poisson)

Se $p_n\in [0,1]$ e $np_n\rightarrow \lambda \geq 0$, então, para cada $k\in \mathbb {N}_0$ fixo,

\[ \binom nk p_n^k (1-p_n)^{n-k} \longrightarrow e^{-\lambda }\dfrac {\lambda ^k}{k!}. \]

Demonstração ▼

Para $n$ suficientemente grande, temos $n\geq k$ e $p_n\lt 1$, e então

\[ \binom nk p_n^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k} \frac{(np_n)^k}{k!} (1-p_n)^n(1-p_n)^{-k}. \]

Os dois primeiros fatores convergem, respectivamente, para $1$ e $\lambda ^k/k!$, e o último converge para $1$. Como $p_n\to 0$,

\[ n\log (1-p_n) =-(np_n)\frac{-\log (1-p_n)}{p_n} \longrightarrow -\lambda , \]

com a razão interpretada por continuidade quando $p_n=0$. Logo $(1-p_n)^n\to e^{-\lambda }$, e o produto dos quatro limites dá a conclusão. Quando $k=0$, usa-se a convenção $\lambda ^0=1$, inclusive para $\lambda =0$.

6.3.2 Distribuições Absolutamente Contínuas

A distribuição de $\xi $ é absolutamente contínua se existir uma função $f$, denominada densidade de $\xi $, tal que

\[ F (x) = \displaystyle \int _{- \infty } ^x f (y) \ dy \qquad \text{para cada} x. \]

Claramente, é necessário que $ f \geq 0 $ e que

\[ \displaystyle \int _{- \infty } ^\infty f (x) \ dx = 1. \]

Figura 6.3 A probabilidade de um intervalo é a área sob a densidade nesse intervalo.

Em particular, se $ f $ for contínua, então

\[ F '(x) = f (x), \]

ou seja, é a derivada de uma função de distribuição.
Então, podemos dizer

\[ \P (\xi \in (a, b]) = F (b) - F (a) = \displaystyle \int _a ^b f (x) \ dx. \]
Alternativamente, podemos começar com uma função $ f $ tal que

\[ f \geq 0 \qquad \text{e} \qquad \displaystyle \int _{- \infty } ^\infty f (x) \ dx = 1, \]

e definir a função de distribuição pela fórmula

\[ F (x): = \displaystyle \int _{- \infty } ^x f (y) \ dy. \]

Exemplo 6.25 (XKCD)

Alice secretamente escolhe dois números reais diferentes por um processo desconhecido e os coloca em dois envelopes. Bob escolhe um dos dois envelopes aleatoriamente (com um lançamento de uma moeda justa) e mostra o número desse envelope. Agora você deve adivinhar se o número no outro envelope fechado é maior ou menor que o que você viu.

Existe uma estratégia que lhe dê uma chance melhor do que 50% de adivinhar corretamente, não importando o procedimento que Alice usasse para escolher seus números?

Solução:

Antes de abrir qualquer envelope, você escolhe um número $r$ de forma aleatória, independentemente da escolha de Bob, usando uma distribuição absolutamente contínua que dê probabilidade positiva a todo intervalo aberto; a distribuição normal padrão é um exemplo. Vamos chamar de $x$ o número do envelope aberto por Bob.

A estratégia agora é: se $r \lt x$, então você prevê que o número oculto $y$ é menor que $x$; Caso contrário, você adivinha que $y$ é maior do que $x .$

Para ver por que a estratégia é vencedora, denote os dois números de Alice por $a\lt b$ e ponha $\varepsilon =\P (a\lt r\lt b)\gt 0$. Existem três casos:

Se $r\lt a$, a regra sempre prevê que o número oculto é menor. Ela acerta exatamente quando Bob mostra $b$, o que ocorre com probabilidade $1/2$.
Se $r\gt b$, a regra sempre prevê que o número oculto é maior. Ela acerta exatamente quando Bob mostra $a$, novamente com probabilidade $1/2$.
Se $a\lt r\lt b$, a regra acerta qualquer que seja o envelope mostrado.

Portanto, a probabilidade de vitória é

\[ \frac12(1-\varepsilon )+\varepsilon =\frac{1+\varepsilon }{2}\gt \frac12. \]

O número auxiliar não precisa adivinhar os de Alice: basta ter uma chance positiva de cair entre eles.

Distribuição Uniforme Contínua

Uma variável aleatória $\xi $ tem distribuição uniforme no intervalo $[a,b]$, para $a\lt b$, se sua lei é absolutamente contínua e sua densidade é

\[ f(x)= \begin{cases} \frac1{b-a}, & \textrm{ se } x\in [a,b]\\ 0 & \textrm{caso contr\'ario} \end{cases} \]

e denotamos esse fato por $\xi \sim \mathrm{Uniforme}([a,b]) .$

Nesse caso, a probabilidade de $\xi $ estar num subintervalo de $[a,b]$ é proporcional ao comprimento de tal subintervalo; de fato, para $a\leq y\lt z\leq b$,

\[ \P (y\leq \xi \leq z) = \displaystyle \int _y^z \frac1{b-a}\, \mathrm{d}x = \frac{z-y}{b-a}. \]

Distribuição Exponencial

Uma variável aleatória $\xi $ tem distribuição exponencial com parâmetro $\lambda \gt 0$, e denotamos esse fato por

\[ \xi \sim \mathrm{Exponencial}(\lambda ) \]

se sua função de densidade é

\[ f_\xi (x)= \begin{cases} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, & \textrm{ se } x\geq 0\\ 0 & \textrm{caso contr\'ario.} \end{cases} \]

A função de distribuição é

\[ F_\xi (t)= \begin{cases} 0, & t\lt 0,\\ 1-\mathrm{e}^{-\lambda t}, & t\geq 0. \end{cases} \]

Portanto, $\P (\xi \gt a) = \mathrm{e}^{-\lambda a}$ para $a\geq 0$.

Distribuição Normal

Sejam $\mu \in \mathbb {R}$ e $\sigma \gt 0$. A variável aleatória $\xi $ possui distribuição normal com média $\mu $ e variância $\sigma ^2$, abreviado por $\xi \sim \mathcal{N}(\mu ;\sigma ^2)$, se sua densidade é dada por

\[ f_\xi (x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi }} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma ^2}}, \qquad x\in \mathbb {R}. \]

Em particular, a distribuição normal padrão $\mathcal{N}(0;1)$ tem densidade

\[ \varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\, \mathrm e^{-x^2/2}. \]

6.3.3 Distribuições Singulares

Distribuição uniforme no conjunto de Cantor

Seja $\mathscr K$ a família das uniões finitas de intervalos compactos disjuntos de $[0,1]$. Para $A=\bigcup _{i=1}^m[a_i,b_i]\in \mathscr K$, defina

\[ \Phi (A)=\bigcup _{i=1}^m \left( \left[a_i,\frac{2a_i+b_i}{3}\right] \cup \left[\frac{a_i+2b_i}{3},b_i\right] \right). \]

Em cada componente, $\Phi $ remove o terço central. Portanto,

\begin{equation} \lambda (\Phi ^n(A))=\left(\frac23\right)^n\lambda (A). \label{areaphi} \tag{6.3} \end{equation}

Para $n\geq 0$, defina $C_n=\Phi ^n([0,1])$. Os conjuntos $C_n$ são compactos, $C_{n+1}\subset C_n$ e $\lambda (C_n)=(2/3)^n$. O conjunto de Cantor é

\[ C=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_n. \]

Pela continuidade por cima da medida de Lebesgue, $\lambda (C)=\lim _n\lambda (C_n)=0$.

Observação 6.26

Geometricamente, começamos removendo $(1/3,2/3)$ de $[0,1]$ e, em seguida, removemos o terço central de cada intervalo remanescente. Assim,

\begin{align*} C_0 & = [0,1],\\ C_1 & = [0,1/3]\cup [2/3,1],\\ C_2 & = [0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]. \end{align*}

Equivalentemente, usando uma das duas expansões ternárias nos pontos que as possuem,

\[ C=\left\{ x\in [0,1]: x=\sum _{i=1}^{\infty }\frac{a_i}{3^i}, \ a_i\in \{ 0,2\} \right\} . \]

Figura 6.4 As quatro primeiras etapas da construção do conjunto de Cantor.

Agora construiremos uma função de distribuição que cresce sobre o conjunto de Cantor e permanece constante nos intervalos removidos. Defina

\[ f_n(x)=\left(\frac32\right)^n\mathbb {1}_{C_n}(x), \qquad F_n(x)=\int _{-\infty }^x f_n(t)\, \d t, \]

e seja $\nu _n$ a probabilidade com densidade $f_n$. Se $\mathcal I_n$ denota a coleção dos $2^n$ intervalos componentes de $C_n$, então cada $J\in \mathcal I_n$ tem comprimento $3^{-n}$ e

\[ \nu _n(J)=\left(\frac32\right)^n3^{-n}=2^{-n}. \]

Mais geralmente, para $k\geq 0$,

\[ \nu _{n+k}(J) =\left(\frac32\right)^{n+k} \lambda \bigl(C_{n+k}\cap J\bigr) =\left(\frac32\right)^{n+k}3^{-n}\left(\frac23\right)^k =2^{-n}. \]

Fixados $x\in \mathbb {R}$ e $k\geq 0$, todos os componentes de $\mathcal I_n$ inteiramente à esquerda de $x$ dão a mesma contribuição a $F_n(x)$ e $F_{n+k}(x)$. Há no máximo um componente de nível $n$ cortado pelo ponto $x$, e a massa que cada uma das duas probabilidades atribui a esse componente é no máximo $2^{-n}$. Consequentemente,

\[ \sup _{x\in \mathbb {R}}|F_{n+k}(x)-F_n(x)|\leq 2^{1-n}. \]

Logo $(F_n)$ é uniformemente de Cauchy. Seu limite uniforme $F$ é contínuo, não decrescente, vale $0$ à esquerda de $0$ e vale $1$ à direita de $1$; portanto, é uma função de distribuição.

Figura 6.5 Aproximação de terceira ordem da função de Cantor; os refinamentos convergem uniformemente para a função singular contínua.

Cada componente de $[0,1]\setminus C$ foi removida em alguma etapa. A partir dessa etapa, todas as funções $F_n$ são constantes nessa componente, e o mesmo vale para $F$. Como $\lambda (C)=0$, segue que $F'=0$ quase certamente. Assim, $F$ é uma função de distribuição singular contínua. Ela não pode ter densidade: se $F(x)=\int _{-\infty }^x h(t)\, \d t$, então $h=F'=0$ quase certamente, o que contradiz $\int _{\mathbb {R}} h\, \d\lambda =1$.

A construção probabilística correspondente, por lançamentos de moedas, é desenvolvida no Exercício 6.6, ao final do capítulo.

Outros exemplos selvagens

Exemplo 6.27 (Uma densidade uniforme nos irracionais)

A função

\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q}, \\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases} \]

é uma densidade. Como ela coincide quase certamente com $\mathbb {1}_{[0,1]}$, a distribuição correspondente é simplesmente a uniforme em $[0,1]$. Este exemplo ilustra que uma densidade só é determinada quase certamente.

Exemplo 6.28

Dada uma enumeração $\{ r_k\} _{k\geq 1}$ dos racionais, defina a função de massa

\[ p(x)= \begin{cases} \frac{6}{\pi ^2 k^2}, & x=r_k,\\ 0, & x\notin \mathbb {Q}. \end{cases} \]

Como $\sum _{k=1}^\infty 1/k^2=\pi ^2/6$, temos $\sum _{x\in \mathbb {R}}p(x)=1$; portanto, $p$ define uma distribuição discreta concentrada em $\mathbb {Q}$.

Exercício 6.1

Variáveis aleatórias discretas independentes. Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes com valores inteiros.

Prove que, para todo $n\in \mathbb {Z}$,

\[ \P (X+Y=n) =\sum _{k\in \mathbb {Z}}\P (X=k)\P (Y=n-k). \]
Se $X\sim \operatorname {Poisson}(\lambda )$ e $Y\sim \operatorname {Poisson}(\mu )$, determine a distribuição de $X+Y$.
Se $X\sim \operatorname {Binomial}(n,p)$ e $Y\sim \operatorname {Binomial}(m,p)$, determine a distribuição de $X+Y$.

Ver solução

Os eventos $\{ X=k,Y=n-k\} $ são disjuntos e cobrem $\{ X+Y=n\} $; a independência dá

\[ \P (X+Y=n)=\sum _{k\in \mathbb {Z}}\P (X=k)\P (Y=n-k). \]

Substituindo as massas de Poisson e usando o binômio de Newton, obtemos

\[ \P (X+Y=r)=e^{-(\lambda +\mu )}\frac{(\lambda +\mu )^r}{r!}, \]

logo $X+Y\sim \operatorname {Poisson}(\lambda +\mu )$. Para as binomiais, a identidade de Vandermonde (ou a interpretação como soma de ensaios de Bernoulli) dá $X+Y\sim \operatorname {Binomial}(n+m,p)$.

Exercício 6.2

A lei de uma variável aleatória. Seja $X:(\Omega ,\mathcal F,\P )\to \mathbb {R}$ uma variável aleatória. Para $A\in \mathcal B(\mathbb {R})$, defina

\[ P_X(A)=\P (X\in A) =\P \bigl(\{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in A\} \bigr). \]

Prove diretamente que $P_X$ é uma medida de probabilidade em $(\mathbb {R},\mathcal B(\mathbb {R}))$.

Ver solução

Como $X$ é mensurável, $P_X(A)$ está definida para todo boreliano. Além disso, $P_X(\varnothing )=0$ e $P_X(\mathbb {R})=1$. Se $A_j$ são disjuntos, também o são $X^{-1}(A_j)$ e

\[ P_X\left(\bigsqcup _jA_j\right) =\P \left(\bigsqcup _jX^{-1}(A_j)\right) =\sum _jP_X(A_j). \]

Logo $P_X$ é uma probabilidade.

Exercício 6.3

Seja $F:\mathbb {R}\to [0,1]$ uma função não decrescente, contínua à direita e tal que

\[ \lim _{x\to -\infty }F(x)=0, \qquad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1. \]

Construa explicitamente um espaço de probabilidade e uma variável aleatória $X$ cuja função de distribuição seja $F$.

Dica. Tome uma variável uniforme $U$ em $(0,1)$ e use uma inversa generalizada de $F$.

Ver solução

No espaço $((0,1),\mathcal B,\lambda )$, tome $U(u)=u$ e

\[ X=F^{-1}(U),\qquad F^{-1}(v)=\inf \{ x:F(x)\geq v\} . \]

Essa inversa é crescente, logo mensurável, e $\{ F^{-1}(U)\leq x\} =\{ U\leq F(x)\} $ (a continuidade à direita resolve os pontos de salto). Portanto $\P (X\leq x)=\P (U\leq F(x))=F(x)$.

Exercício 6.4

Sejam $Y_1,Y_2,\ldots $ variáveis aleatórias independentes, com

\[ \P (Y_k=0)=\P (Y_k=1)=\frac12, \qquad k\geq 1, \]

e defina

\[ U=\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}Y_k. \]

Mostre que a série converge para um valor em $[0,1]$.
Para $U_n=\sum _{k=1}^{n}2^{-k}Y_k$, calcule a função de distribuição de $U_n$ nos pontos diádicos.
Passando ao limite, prove que $U$ possui distribuição uniforme em $[0,1]$. Explique por que a dupla representação binária dos racionais diádicos não altera a conclusão.

Ver solução

A série converge absolutamente e fica entre $0$ e $\sum _{k\geq 1}2^{-k}=1$. Cada uma das $2^n$ configurações iniciais tem probabilidade $2^{-n}$, de modo que $U_n$ assume os valores $i2^{-n}$, $i=0,\ldots ,2^n-1$, todos com massa $2^{-n}$, e

\[ \P \bigl(U_n\leq i2^{-n}\bigr)=(i+1)2^{-n}, \qquad i=0,\ldots ,2^n-1 . \]

Como $0\leq U-U_n\leq 2^{-n}$ e o evento $U-U_n=2^{-n}$ (todos os dígitos seguintes iguais a $1$) tem probabilidade zero, segue que, para $j=0,\ldots ,2^n$,

\[ \P (U\lt j2^{-n})=\P \bigl(U_n\leq (j-1)2^{-n}\bigr)=j2^{-n}. \]

Passando ao limite e aproximando qualquer $x\in [0,1]$ por diádicos, $\P (U\leq x)=x$. As duas expansões de um diádico correspondem a uma cauda eventualmente toda $0$ ou toda $1$; cada evento tem probabilidade zero, por isso a ambiguidade não altera a lei.

Exercício 6.5

Escreva

\[ X=X^+-X^-, \qquad Y=Y^+-Y^-. \]

Prove, usando apenas transformações mensuráveis, que

\[ X\overset {\mathrm d}=Y \quad \Longrightarrow \quad X^+\overset {\mathrm d}=Y^+ \quad \text{e}\quad X^-\overset {\mathrm d}=Y^-. \]

Ver solução

As funções $g_+(x)=x^+=\max \{ x,0\} $ e $g_-(x)=x^-=\max \{ -x,0\} $ são contínuas. Para todo boreliano $B$,

\[ \P (g_\pm (X)\in B)=\P (X\in g_\pm ^{-1}(B)) =\P (Y\in g_\pm ^{-1}(B))=\P (g_\pm (Y)\in B). \]

Exercício 6.6 (difficulty=1)

Outra construção da distribuição de Cantor. Sejam $Y_1,Y_2,\ldots $ como no exercício da expansão binária e defina

\[ Y=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2Y_n}{3^n}. \]

Prove que $Y$ toma valores no conjunto de Cantor e que sua função de distribuição $F_Y$ é contínua.
Mostre que $F_Y$ é constante em cada componente conexa de $[0,1]\setminus C$, onde $C$ é o conjunto de Cantor. Conclua que $F_Y'(x)=0$ para Lebesgue-quase todo $x$.
Seja $\mu _Y$ a lei de $Y$ e $\lambda $ a medida de Lebesgue. Prove que $\mu _Y$ e $\lambda $ são mutuamente singulares, isto é, encontre um boreliano $A$ tal que $\lambda (A)=0$ e $\mu _Y(A^c)=0$.

Ver solução

A série converge absolutamente e sua expansão ternária usa somente $0$ e $2$, logo $Y\in C$. Para todo $y$, o evento $\{ Y=y\} $ fixa uma sequência infinita de dígitos (no máximo duas nas ambiguidades) e tem probabilidade zero; portanto $F_Y$ não tem saltos e é contínua. Em cada intervalo removido na construção de $C$ não há massa, de modo que $F_Y$ é constante; como $[0,1]\setminus C$ tem medida de Lebesgue um, $F_Y'=0$ quase em toda parte. Por fim, escolha $A=C$: $\lambda (C)=0$ e $\mu _Y(C^c)=\P (Y\notin C)=0$, provando singularidade mútua.

Exercício 6.7

Recorde que uma variável aleatória $Y$ é estocasticamente maior do que $X$ quando

\[ \P (X\leq x)\geq \P (Y\leq x) \qquad \text{para todo }x\in \mathbb {R}. \]

Prove que essa relação vale se, e somente se, existem variáveis $X^*$ e $Y^*$, definidas no mesmo espaço de probabilidade, tais que

\[ X^*\overset {\mathrm d}=X, \qquad Y^*\overset {\mathrm d}=Y, \qquad X^*\leq Y^*\quad \text{quase certamente}. \]

Dica. Para uma das implicações, use o mesmo uniforme nas inversas generalizadas das duas funções de distribuição.

Ver solução

Se existe o acoplamento ordenado, então $\{ Y^*\leq x\} \subseteq \{ X^*\leq x\} $ e, portanto, $F_X(x)\geq F_Y(x)$. Reciprocamente, tome um único $U\sim U(0,1)$ e ponha $X^*=F_X^{-1}(U)$, $Y^*=F_Y^{-1}(U)$. A desigualdade entre as funções de distribuição implica $F_X^{-1}(u)\leq F_Y^{-1}(u)$ para todo $u$, e a construção por quantis preserva as leis marginais.

Exercício 6.8

Convenções para a inversa generalizada. Seja $F$ uma função de distribuição e, para $t\in (0,1)$, defina

\begin{align*} F^{-1}_1(t)& =\sup \{ y\in \mathbb {R}:F(y)\lt t\} ,& F^{-1}_2(t)& =\inf \{ y\in \mathbb {R}:F(y)\geq t\} ,\\ F^{-1}_3(t)& =\inf \{ y\in \mathbb {R}:F(y)\gt t\} ,& F^{-1}_4(t)& =\sup \{ y\in \mathbb {R}:F(y)\leq t\} . \end{align*}

Prove que $F^{-1}_1=F^{-1}_2$ e que $F^{-1}_3=F^{-1}_4$. Dê um exemplo de função de distribuição e de $t\in (0,1)$ para os quais $F^{-1}_1(t)\neq F^{-1}_3(t)$.

Ver solução

Para um conjunto não vazio $S_t=\{ y:F(y)\geq t\} $, monotonicidade e continuidade à direita mostram que sua extremidade esquerda é simultaneamente $\inf S_t$ e $\sup \{ y:F(y)\lt t\} $; logo $F_1^{-1}=F_2^{-1}$. Aplicando o mesmo argumento a $\{ F\gt t\} $ obtém-se $F_3^{-1}=F_4^{-1}$.

Se $X$ é Bernoulli$(1/2)$ em $\{ 0,1\} $ e $t=1/2$, então $F_1^{-1}(t)=F_2^{-1}(t)=0$, enquanto $F_3^{-1}(t)=F_4^{-1}(t)=1$.