Capítulo 6

Distribuições

6.1 Distribuição de uma variável aleatória

Uma variável aleatória induz uma probabilidade na reta,

\[ \P _\xi (A)=\P (\xi \in A), \qquad A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}). \]

Neste capítulo, essa lei passa a ser o objeto central. O espaço amostral fica em segundo plano e estudamos diretamente como uma distribuição pode ser descrita.

Definição 6.1 (Equivalências de Variáveis Aleatórias)

Dizemos que as variáveis aleatórias $\xi $ e $\eta $ são iguais quase certamente, fato que denotaremos por

\[ \xi \overset {\mathrm{q.c.}}{=} \eta , \]

se $\P (\xi \neq \eta )=0$.
Dizemos que $\xi $ e $\eta $ são iguais em distribuição, fato que denotaremos por

\[ \xi \overset {\mathrm d}{=} \eta , \]

se tiverem a mesma lei, isto é,

\[ \P (\xi \in A)=\P (\eta \in A) \qquad \text{para todo }A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}). \]

Se $\xi \overset {\mathrm{q.c.}}{=}\eta $, então $\xi \overset {\mathrm d}{=}\eta $, mas a recíproca não vale em geral. A igualdade quase certa compara duas variáveis no mesmo espaço de probabilidade; a igualdade em distribuição compara apenas suas leis.

A mesma construção vale em dimensão finita. Se $\xi =(\xi _1,\ldots ,\xi _n)$ é um vetor aleatório, sua distribuição é a medida-imagem em $\mathbb {R}^n$,

\begin{equation} \P _\xi (A)=\P (\xi \in A), \qquad A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n). \label{eq:distribuicao-vetor} \tag{6.1} \end{equation}

As distribuições de cada coordenada $\xi _i$ são as distribuições marginais do vetor.

No restante do capítulo desenvolveremos descrições cada vez mais econômicas dessas leis, começando pela função de distribuição.

6.2 A função de distribuição

Definição 6.2 (Função de distribuição)

A função de distribuição $ F: \mathbb {R}\rightarrow [0,1] $ de uma variável aleatória $ \xi $ é definida como

\[ F (x): = \P (\xi \leq x), \qquad x \in \mathbb {R}. \]

A função de distribuição comprime a lei de $\xi $ numa única função real. O espaço $\Omega $ desaparece da notação, mas a informação probabilística permanece. Veremos abaixo que $F$ determina completamente a distribuição.

Teorema 6.3 (Propriedades da Função de Distribuição)

A função de distribuição $ F (x) $ de uma variável aleatória $ \xi $ possui as seguintes propriedades:

$ F $ é não decrescente e $ 0 \leq F (x) \leq 1 .$
$ F (x) \rightarrow 0 $ quando $ x \rightarrow - \infty $ e $ F (x) \rightarrow 1 $ quando $ x \rightarrow + \infty .$
$ F $ é contínua à direita, ou seja

\[ \lim _{y \rightarrow x_+} F (y) = F (x). \]
$ F $ possui limites à esquerda em todos os pontos. Além disso,

\[ F (x^-): = \lim _{y \rightarrow x^-} F (y) = \P (\xi \lt x). \]

Em particular,

\[ \P (\xi = x) = F (x) - F (x^-). \]
$ F $ possui no máximo número enumerável de descontinuidades.

Uma função $F$ que é contínua à direita e possui limites à esquerda em todos os pontos é dita càdlàg, do francês continue à droite, limites à gauche.

Demonstração ▼

Se $x\lt y$, então $\{ \xi \leq x\} \subseteq \{ \xi \leq y\} $, de onde $F(x)\leq F(y)$. As cotas $0\leq F\leq 1$ decorrem dos axiomas da probabilidade.
Como $\{ \xi \leq -n\} \downarrow \varnothing $ e $\{ \xi \leq n\} \uparrow \Omega $, a continuidade da probabilidade por cima e por baixo dá

\[ F(-n)\longrightarrow 0, \qquad F(n)\longrightarrow 1. \]

A monotonicidade estende esses limites de sequências inteiras para $x\to -\infty $ e $x\to +\infty $.
Se $x_n\downarrow x$, então $\{ \xi \leq x_n\} \downarrow \{ \xi \leq x\} $. Pela continuidade por cima da probabilidade, $F(x_n)\to F(x)$. Para uma sequência arbitrária $y_n\gt x$ com $y_n\to x$, ponha $z_n=\sup _{k\geq n}y_k$. Então $z_n\downarrow x$ e, pela monotonicidade,

\[ F(x)\leq F(y_n)\leq F(z_n). \]

Como $F(z_n)\to F(x)$, segue que $F(y_n)\to F(x)$. Logo $F$ é contínua à direita.
Se $x_n\uparrow x$, com $x_n\lt x$, então $\{ \xi \leq x_n\} \uparrow \{ \xi \lt x\} $. Pela continuidade por baixo,

\[ F(x^-)=\lim _{n\to \infty }F(x_n)=\P (\xi \lt x). \]

A monotonicidade mostra que o valor independe da sequência escolhida. Como $\{ \xi \leq x\} $ é a união disjunta de $\{ \xi \lt x\} $ e $\{ \xi =x\} $,

\[ \P (\xi =x)=F(x)-F(x^-). \]
Pela continuidade à direita, toda descontinuidade de $F$ é um salto positivo. Para $m\geq 1$, ponha

\[ D_m=\{ x:F(x)-F(x^-)\geq 1/m\} . \]

Se $x_1\lt \cdots \lt x_r$ pertencem a $D_m$, então, pela monotonicidade,

\[ \frac rm \leq \sum _{j=1}^r\bigl(F(x_j)-F(x_j^-)\bigr) \leq 1. \]

Portanto, $D_m$ possui no máximo $m$ pontos. O conjunto de descontinuidades é $\bigcup _{m\geq 1}D_m$ e, assim, é no máximo enumerável.

Proposição 6.4

Se $a\lt b$, então $ \P (\xi \in (a, b]) = F (b) - F (a)$.

Demonstração ▼

Como $\{ \xi \leq b\} $ é a união disjunta de $\{ \xi \leq a\} $ e $\{ a\lt \xi \leq b\} $,

\[ F(b)=F(a)+\P (a\lt \xi \leq b), \]

o que prova a identidade.

Os intervalos $(-\infty ,x]$ formam um $\pi $-sistema que gera $\mathcal B(\mathbb {R})$. Por isso, os valores de $F$ já determinam toda a lei.

Teorema 6.5

Sejam $\xi $ uma variável aleatória definida em $(\Omega _1,\mathcal{F}_1,\P _1)$ e $\eta $ uma variável aleatória definida em $(\Omega _2,\mathcal{F}_2,\P _2)$. Então $\xi \overset {\mathrm d}{=}\eta $ se, e somente se,

\[ \P _1(\xi \leq x)=\P _2(\eta \leq x) \qquad \text{para todo }x\in \mathbb {R}. \]

De maneira equivalente, a distribuição $\P _\xi $ de $\xi $ está completamente determinada pelos valores de $\P _1(\xi \leq x), x\in \mathbb {R}.$

Demonstração ▼

Se $\xi $ e $\eta $ têm a mesma distribuição, a igualdade nos intervalos $(-\infty ,x]$ é imediata. Reciprocamente, suponha que essas igualdades valham para todo $x\in \mathbb {R}$. As probabilidades induzidas $\P _\xi $ e $\P _\eta $ coincidem no $\pi $-sistema

\[ \mathcal P=\{ (-\infty ,x]:x\in \mathbb {R}\} , \]

que gera $\mathcal{B}(\mathbb {R})$. Pelo Teorema de Unicidade de Medidas (Teorema 2.12), elas coincidem em $\mathcal{B}(\mathbb {R})$. Portanto, $\xi \stackrel{\mathrm d}= \eta $.

O resultado distingue claramente igualdade em distribuição de igualdade quase certa. No espaço $([0,1],\mathcal B([0,1]),\lambda )$, por exemplo, defina $\xi (\omega )=\omega $ e $\eta (\omega )=1-\omega $. Para todo $x\in [0,1]$,

\[ \P (\xi \leq x)=x=\P (\eta \leq x), \]

e as duas funções de distribuição coincidem também fora de $[0,1]$. Pelo Teorema 6.5, $\xi \overset {\mathrm d}= \eta $. Entretanto, $\P (\xi =\eta )=\P (\{ 1/2\} )=0$, de modo que elas não são iguais quase certamente.

6.3 Construindo uma distribuição a partir de uma função

Até aqui partimos de uma variável aleatória e obtivemos sua função de distribuição. Podemos inverter a pergunta: dadas as propriedades que acabamos de provar, elas são suficientes para construir uma distribuição?

Definição 6.6

Uma função $F:\mathbb {R}\to [0,1]$ é uma candidata a função de distribuição se

$F$ é não decrescente;
$F$ é contínua à direita;
\[ \lim _{x\to -\infty }F(x)=0, \qquad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1. \]

Toda função de distribuição satisfaz essas condições. Mostraremos agora a recíproca, e a demonstração será construtiva: uma única variável uniforme em $(0,1)$ será suficiente para produzir qualquer lei na reta.

Dada uma candidata $F$, procuraremos uma variável aleatória $X$ tal que

\[ \P (X\leq x)=F(x),\qquad x\in \mathbb {R}. \]

A ideia é partir de uma variável $U\sim \mathrm{Uniforme}(0,1)$ e procurar uma transformação $F^*:(0,1)\to \mathbb {R}$ para a qual $X=F^*(U)$ tenha a lei prescrita.

Para escolher $F^*$, lembre que o que gostaríamos é que $\P (X\le x)=\P (F^*(U)\le x)=F(x)$.

Para isso note primeiro que, como $F(x)\in [0,1]$, então $\P (U\le F(x))=F(x)$. Ou seja, queremos $F^*$ tal que

\[ \P (F^*(U)\le x)=\P (U\le F(x)). \]

Ou ainda, que $F^*(u)\le x\Leftrightarrow u\le F(x)$.

Se $F$ fosse inversível, poderíamos fazer $F^*=F^{-1}$ e, como $F$ é crescente teríamos que

\[ F^*(u)\le x\Leftrightarrow F(F^*(u))\le F(x)\Leftrightarrow u\le F(x). \]

Em geral $F$ não é inversível, mas a construção ainda depende de “inverter” de algum modo a função de distribuição $F:\mathbb {R}\to [0,1]$.

Como $F$ é não decrescente, as dificuldades para uma inversão clássica se concentram em dois tipos de comportamento:

intervalos $(a,b)$ onde a função é constante;
pontos de descontinuidade de $F$.

Não precisamos, porém, de uma inversa clássica. Basta uma função $F^*:(0,1)\to \mathbb {R}$ que preserve a equivalência entre as desigualdades: $F^*(\omega )\leq x$ se, e só se, $F(x)\geq \omega $.

Uma maneira de resolver esse problema é tentar definir $F^*$ de modo que

se $F$ é inversível em $(a,b)$ então queremos que $F^*(\omega )=F^{-1}(\omega )$ em $F((a,b))$;
se $F(x)=\omega $ para todo $a\lt x\lt b$, então $F^*$ é descontínua em $\omega $;
se $F(x)$ é descontínua em $x=x_0$ com $\omega _1=\lim \limits _{x\to x_0^-}F(x)\lt F(x_0)=\omega _2$, então $F^*(\omega )=x_0$ para $\omega \in (\omega _1,\omega _2)$.

Essas ideias são melhor visualizadas na Figura 6.1.

Figura 6.1 Uma função de distribuição e sua inversa generalizada. Um salto de F produz um trecho constante em F^*, enquanto um trecho constante de F produz um salto em F^*. — Figura 6.1 Uma função de distribuição e sua inversa generalizada. Um salto de $F$ produz um trecho constante em $F^*$, enquanto um trecho constante de $F$ produz um salto em $F^*$.

Existem diversas formas de definir uma função $F^*$ com tais propriedades, e a seguir apresentaremos uma das mais comuns.

Definição 6.7

Dada uma candidata a função de distribuição $F:\mathbb {R}\to [0,1]$, definimos a inversa generalizada de $F$ como a função $F^*:(0,1)\to \mathbb {R}$ dada por

\[ F^*(\omega )=\inf \{ x\in \mathbb {R}: F(x) \geq \omega \} . \]

Apesar de não ser a inversa de $F$, $F^*$ ainda herda algumas propriedades de $F$.

Proposição 6.8 (Propriedades da Inversa Generalizada)

Se $F$ é uma candidata a função de distribuição e $u\in (0,1)$, defina

\[ F^*(u):= \inf \{ x\in \mathbb {R}: F(x)\geq u\} . \]

A inversa generalizada satisfaz:

$F^*(u)=\sup \{ x\in \mathbb {R}:F(x)\lt u\} $;
$F^*$ é não decrescente;
se $0\lt F(x)\lt 1$, então $F^*(F(x))\leq x$;
$F(F^*(u))\geq u$;
$F^*(u)\leq x$ se e somente se $u\leq F(x)$.

Demonstração ▼

Para $u\in (0,1)$, o conjunto $A_u=\{ x:F(x)\geq u\} $ é não vazio e limitado inferiormente, em virtude dos limites de $F$ em $\pm \infty $. Portanto, $F^*(u)$ é um número real.

Pela monotonicidade de $F$, o complemento de $A_u$ é $B_u=\{ x:F(x)\lt u\} $, e todo elemento de $B_u$ é menor que todo elemento de $A_u$. Se $a=\inf A_u$, então $x\lt a$ implica $x\in B_u$, enquanto $x\gt a$ implica que existe $z\in A_u$ com $z\lt x$ e, pela monotonicidade, $x\in A_u$. Logo $\sup B_u=a=\inf A_u$.
Se $u_1\lt u_2$, então $A_{u_2}\subseteq A_{u_1}$, de modo que $F^*(u_1)\leq F^*(u_2)$.
O ponto $x$ pertence a $A_{F(x)}$; portanto, o ínfimo desse conjunto é menor ou igual a $x$.
Ponha $a=F^*(u)$. Para cada $n$, escolha $y_n\in A_u$ com $a\leq y_n\lt a+1/n$ e defina $x_n=\min \{ y_1,\ldots ,y_n\} $. Então $x_n\downarrow a$, pois $a\leq x_n\leq y_n\lt a+1/n$. Pela continuidade de $F$ à direita,

\[ F(a)=\lim _nF(x_n)\geq u. \]
Se $F^*(u)\leq x$, o item anterior e a monotonicidade dão $u\leq F(F^*(u))\leq F(x)$. Reciprocamente, se $u\leq F(x)$, então $x\in A_u$ e, por definição, $F^*(u)\leq x$.

Com isso, dada uma variável aleatória $U$ definida em um espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F}, \P )$, e uniformemente distribuída no intervalo $(0,1)$, podemos definir a variável aleatória

\[ X=F^*(U), \]

e perceber que para $x\in \mathbb {R}$ temos $F(x)\in [0,1]$, e portanto

\[ \P (X\le x)=\P (F^*(U)\le x)=\P (U\le F(x))=F(x) \]

onde na última igualdade usamos que a probabilidade que a uniforme seja menor que $y$ é $y$, i.e., $\P (U\leq y)=y$

Mostramos assim o seguinte resultado.

Proposição 6.9 (Distribuição prescrita)

Dada uma candidata a função de distribuição $F:\mathbb {R}\to [0,1]$, existe uma variável aleatória $X$, definida em algum espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},\P )$, tal que

\[ \P (X\leq x)=F(x)\qquad \text{para todo }x\in \mathbb {R}. \]

Demonstração ▼

Tome $\Omega =(0,1)$, $\mathcal{F}=\mathcal{B}((0,1))$, $\P =\lambda |_{(0,1)}$ e $U(\omega )=\omega $. Pelo item 5 da Proposição 6.8,

\[ \{ u\in (0,1):F^*(u)\leq x\} =(0,F(x)]\cap (0,1), \]

que é boreliano. Portanto, $F^*$ é Borel mensurável e $X=F^*(U)$ é uma variável aleatória. Novamente pelo mesmo item,

\[ \{ X\leq x\} =\{ F^*(U)\leq x\} =\{ U\leq F(x)\} . \]

Como $U$ é uniforme em $(0,1)$,

\[ \P (X\leq x)=\P (U\leq F(x))=F(x) \]

para todo $x\in \mathbb {R}$.

Portanto, toda candidata a função de distribuição é efetivamente a função de distribuição de alguma variável aleatória. A partir deste ponto, podemos usar simplesmente a expressão função de distribuição para funções com essas propriedades.

A função $F$ já possui no máximo um número enumerável de descontinuidades. Para usar a construção acima mais adiante, convém registrar que o mesmo vale para a inversa generalizada $F^*$. O fato é uma propriedade geral de funções monótonas.

Proposição 6.10

Se $f:I\to \mathbb {R}$ é uma função não decrescente definida em um intervalo $I\subseteq \mathbb {R}$, então o conjunto $D_f$ formado pelos pontos de descontinuidade de $f$ é no máximo enumerável.

O mesmo resultado vale para $f$ não-crescente.

Demonstração ▼

Suponha primeiro que $f$ seja não decrescente. Em todo ponto interior $a$ de $I$, os limites laterais

\[ f(a-)=\lim _{x\uparrow a}f(x) \quad \text{e}\quad f(a+)=\lim _{x\downarrow a}f(x) \]

existem. Se $a\in D_f$ é interior a $I$, então $f(a-)\lt f(a+)$; logo o intervalo $I_a=(f(a-),f(a+))$ é não vazio.

Se $a_1\lt a_2$, então $f(a_1+)\leq f(a_2-)$, de modo que $I_{a_1}$ e $I_{a_2}$ são disjuntos. Escolha um racional $r(a)\in I_a$ para cada ponto de descontinuidade interior. O mapa $a\mapsto r(a)$ é injetivo e toma valores em $\mathbb {Q}$; portanto há no máximo um número enumerável desses pontos. Os extremos de $I$, quando pertencem a $I$, acrescentam no máximo dois pontos.

Para uma função não crescente, aplique o resultado a $-f$.

Corolário 6.11

Dadas uma função de distribuição $F$ e sua inversa generalizada $F^*$, os conjuntos de pontos de descontinuidade de $F$ e de $F^*$ são, no máximo, enumeráveis.

Demonstração ▼

As funções $F$ e $F^*$ são não decrescentes; basta aplicar a proposição anterior a cada uma delas.

A construção também permite fixar uma terminologia que usaremos repetidamente.

Observação 6.12

Quando duas variáveis satisfazem $\xi \overset {\mathrm d}= \eta $, também dizemos que são identicamente distribuídas. Para uma família $(X_i)_{i\in I}$, a mesma expressão significa que todas as variáveis têm a mesma distribuição.

6.4 Distribuições discretas

A primeira possibilidade é que toda a massa da distribuição esteja concentrada num conjunto enumerável.

Definição 6.13

A distribuição de $ \xi $ (e $ \xi $ em si) é dita discreta se existir um conjunto enumerável $ S $ tal que

\[ \P (\xi \in S)=1. \]

Podemos enumerar o conjunto $S$, escrevendo $ S = \{ x_1, x_2, \ldots \} $, e definimos $ p_k: = \P (\xi = x_k) .$ Então temos

\[ F (x) = \sum _{k: \ x_k \leq x} p_k, \]

e esta é uma soma sobre um conjunto enumerável. Estes $ p_k $ às vezes são denominados massas pontuais.

Massa de um ponto em zero:

\[ \P (\xi = 0) = 1. \]

Portanto, a função de distribuição $ F $ é:

\[ F (x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & , x \lt 0 \\ 1 & , x \geq 0 \end{array} \right. \]

A distribuição correspondente é a medida de Dirac no $0$.
Qualquer variável aleatória simples é discreta. Uma variável aleatória simples é uma variável aleatória que toma um número finito de valores.
Uma distribuição discreta não precisa manter seus átomos afastados: podemos tomar $ S = \mathbb {Q}$ e atribuir massas positivas que somem $ 1 $, por exemplo, $ p_k = \frac1{2 ^k} $, após enumerar os racionais. A distribuição é discreta; o conjunto de seus átomos não tem a mesma obrigação.

Algumas Distribuições Discretas

Distribuição	Notação	Função de Probabilidade	Domínio
Um ponto	$\delta_a$	$p(a)=1$	$\{a\}$
Uniforme Discreta	$\mathrm{Unif}\{x_1,\ldots,x_n\}$	$p(x_i)=\frac{1}{n}$	$\{x_1,\ldots,x_n\}$
Bernoulli	$\operatorname{Be}(p)$	$p(0)=q$, $p(1)=p$	$\{0,1\}$
Binomial	$\operatorname{Bin}(n,p)$	$p(k)=\binom nkp^kq^{n-k}$	$k=0,1,\dots,n$
Geométrica (fracassos)	$\operatorname{Ge}_0(p)$	$p(k)=pq^k$	$k\in\N_0$
Primeiro Sucesso	$\operatorname{Ge}_1(p)$	$p(k)=pq^{k-1}$	$k\in\N$
Poisson	$\operatorname{Poisson}(\lambda)$	$p(k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$	$k\in\N_0$

A distribuição uniforme discreta assume os valores $x_1,\dots x_n$ e $p(x_i)=\dfrac {1}{n} .$ Aqui e nas linhas seguintes, $q=1-p$. A distribuição $\operatorname {Be}(p)$ descreve o resultado de um experimento de lançamento de moeda (não necessariamente honesta), e a distribuição $\operatorname {Bin}(n,p)$ descreve o número de sucessos em $n$ lançamentos. A distribuição $\operatorname {Ge}_0(p)$ descreve o número de fracassos antes do primeiro sucesso, enquanto $\operatorname {Ge}_1(p)$ descreve o número de lançamentos necessários até o primeiro sucesso.

A distribuição de Poisson surge como o limite da distribuição binomial quando $n \to \infty $ e $p \to 0$ e $np \to \lambda .$

Teorema 6.14 (Teorema Limite de Poisson)

Se $p_n\in [0,1]$ e $np_n\rightarrow \lambda \geq 0$, então, para cada $k\in \mathbb {N}_0$ fixo,

\[ \binom nk p_n^k (1-p_n)^{n-k} \longrightarrow e^{-\lambda }\dfrac {\lambda ^k}{k!}. \]

Demonstração ▼

Para $n$ suficientemente grande, temos $n\geq k$ e $p_n\lt 1$, e então

\[ \binom nk p_n^k(1-p_n)^{n-k} = \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k} \frac{(np_n)^k}{k!} (1-p_n)^n(1-p_n)^{-k}. \]

Os dois primeiros fatores convergem, respectivamente, para $1$ e $\lambda ^k/k!$, e o último converge para $1$. Como $p_n\to 0$,

\[ n\log (1-p_n) =-(np_n)\frac{-\log (1-p_n)}{p_n} \longrightarrow -\lambda , \]

com a razão interpretada por continuidade quando $p_n=0$. Logo $(1-p_n)^n\to e^{-\lambda }$, e o produto dos quatro limites dá a conclusão. Quando $k=0$, usa-se a convenção $\lambda ^0=1$, inclusive para $\lambda =0$.

6.5 Densidades e distribuições absolutamente contínuas

A distribuição de $\xi $ é absolutamente contínua se existir uma função $f$, denominada densidade de $\xi $, tal que

\[ F (x) = \displaystyle \int _{- \infty } ^x f (y) \ dy \qquad \text{para cada} x. \]

Claramente, é necessário que $ f \geq 0 $ e que

\[ \displaystyle \int _{- \infty } ^\infty f (x) \ dx = 1. \]

Figura 6.2 A probabilidade de um intervalo é a área sob a densidade nesse intervalo.

Em particular, se $ f $ for contínua, então

\[ F '(x) = f (x), \]

ou seja, é a derivada de uma função de distribuição.
Então, podemos dizer

\[ \P (\xi \in (a, b]) = F (b) - F (a) = \displaystyle \int _a ^b f (x) \ dx. \]
Alternativamente, podemos começar com uma função $ f $ tal que

\[ f \geq 0 \qquad \text{e} \qquad \displaystyle \int _{- \infty } ^\infty f (x) \ dx = 1, \]

e definir a função de distribuição pela fórmula

\[ F (x): = \displaystyle \int _{- \infty } ^x f (y) \ dy. \]

Uma densidade não é determinada ponto a ponto, mas apenas quase certamente. O exemplo seguinte torna isso explícito.

Exemplo 6.15 (Uma densidade uniforme nos irracionais)

A função

\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q}, \\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases} \]

é uma densidade. Como ela coincide quase certamente com $\mathbb {1}_{[0,1]}$, a distribuição correspondente é simplesmente a uniforme em $[0,1]$. Este exemplo ilustra que uma densidade só é determinada quase certamente.

Exemplo 6.16 (XKCD)

Alice secretamente escolhe dois números reais diferentes por um processo desconhecido e os coloca em dois envelopes. Bob escolhe um dos dois envelopes aleatoriamente (com um lançamento de uma moeda justa) e mostra o número desse envelope. Agora você deve adivinhar se o número no outro envelope fechado é maior ou menor que o que você viu.

Existe uma estratégia que lhe dê uma chance melhor do que 50% de adivinhar corretamente, não importando o procedimento que Alice usasse para escolher seus números?

Solução:

Antes de abrir qualquer envelope, você escolhe um número $r$ de forma aleatória, independentemente da escolha de Bob, usando uma distribuição absolutamente contínua que dê probabilidade positiva a todo intervalo aberto; a distribuição normal padrão é um exemplo. Vamos chamar de $x$ o número do envelope aberto por Bob.

A estratégia agora é: se $r \lt x$, então você prevê que o número oculto $y$ é menor que $x$; Caso contrário, você adivinha que $y$ é maior do que $x .$

Para ver por que a estratégia é vencedora, denote os dois números de Alice por $a\lt b$ e ponha $\varepsilon =\P (a\lt r\lt b)\gt 0$. Existem três casos:

Se $r\lt a$, a regra sempre prevê que o número oculto é menor. Ela acerta exatamente quando Bob mostra $b$, o que ocorre com probabilidade $1/2$.
Se $r\gt b$, a regra sempre prevê que o número oculto é maior. Ela acerta exatamente quando Bob mostra $a$, novamente com probabilidade $1/2$.
Se $a\lt r\lt b$, a regra acerta qualquer que seja o envelope mostrado.

Portanto, a probabilidade de vitória é

\[ \frac12(1-\varepsilon )+\varepsilon =\frac{1+\varepsilon }{2}\gt \frac12. \]

O número auxiliar não precisa adivinhar os de Alice: basta ter uma chance positiva de cair entre eles.

Distribuição Uniforme Contínua

Uma variável aleatória $\xi $ tem distribuição uniforme no intervalo $[a,b]$, para $a\lt b$, se sua lei é absolutamente contínua e sua densidade é

\[ f(x)= \begin{cases} \frac1{b-a}, & \textrm{ se } x\in [a,b]\\ 0 & \textrm{caso contr\'ario} \end{cases} \]

e denotamos esse fato por $\xi \sim \mathrm{Uniforme}([a,b]) .$

Nesse caso, a probabilidade de $\xi $ estar num subintervalo de $[a,b]$ é proporcional ao comprimento de tal subintervalo; de fato, para $a\leq y\lt z\leq b$,

\[ \P (y\leq \xi \leq z) = \displaystyle \int _y^z \frac1{b-a}\, \mathrm{d}x = \frac{z-y}{b-a}. \]

Distribuição Exponencial

Uma variável aleatória $\xi $ tem distribuição exponencial com parâmetro $\lambda \gt 0$, e denotamos esse fato por

\[ \xi \sim \mathrm{Exponencial}(\lambda ) \]

se sua função de densidade é

\[ f_\xi (x)= \begin{cases} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, & \textrm{ se } x\geq 0\\ 0 & \textrm{caso contr\'ario.} \end{cases} \]

A função de distribuição é

\[ F_\xi (t)= \begin{cases} 0, & t\lt 0,\\ 1-\mathrm{e}^{-\lambda t}, & t\geq 0. \end{cases} \]

Portanto, $\P (\xi \gt a) = \mathrm{e}^{-\lambda a}$ para $a\geq 0$.

Distribuição Normal

Sejam $\mu \in \mathbb {R}$ e $\sigma \gt 0$. A variável aleatória $\xi $ possui distribuição normal com média $\mu $ e variância $\sigma ^2$, abreviado por $\xi \sim \mathcal{N}(\mu ;\sigma ^2)$, se sua densidade é dada por

\[ f_\xi (x) = \frac1{\sigma \sqrt{2\pi }} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma ^2}}, \qquad x\in \mathbb {R}. \]

Em particular, a distribuição normal padrão $\mathcal{N}(0;1)$ tem densidade

\[ \varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\, \mathrm e^{-x^2/2}. \]

6.6 Distribuições singulares contínuas

As distribuições discretas concentram massa em pontos; as absolutamente contínuas espalham a massa segundo uma densidade. Existe ainda um terceiro comportamento. Diremos que uma distribuição é singular contínua quando sua medida de probabilidade é singular em relação à medida de Lebesgue e não possui átomos. Assim, toda a massa fica concentrada num conjunto de medida de Lebesgue zero, mas nenhum ponto individual carrega massa positiva.

Em termos da função de distribuição, a ausência de átomos equivale à continuidade. A caracterização analítica usual por derivada nula quase certamente será retomada depois da decomposição de Lebesgue–Radon–Nikodým. No exemplo de Cantor, porém, essa propriedade será visível diretamente.

O exemplo canônico é a distribuição de Cantor.

Distribuição uniforme no conjunto de Cantor

Retomemos a construção do conjunto de Cantor do Capítulo 2; veja a Figura 2.6. Escreva $C_n$ para a união dos $2^n$ intervalos restantes após $n$ etapas e

\[ C=\bigcap _{n\geq 0}C_n. \]

Cada componente de $C_n$ tem comprimento $3^{-n}$; portanto

\[ \lambda (C_n)=\left(\frac23\right)^n, \qquad \lambda (C)=0. \]

O que nos interessa agora não é reconstruir $C$, mas colocar sobre ele uma lei contínua sem densidade.

Construiremos uma função de distribuição que cresce sobre o conjunto de Cantor e permanece constante nos intervalos removidos. Defina

\[ f_n(x)=\left(\frac32\right)^n\mathbb {1}_{C_n}(x), \qquad F_n(x)=\int _{-\infty }^x f_n(t)\, \d t, \]

e seja $\nu _n$ a probabilidade com densidade $f_n$. Se $\mathcal I_n$ denota a coleção dos $2^n$ intervalos componentes de $C_n$, então cada $J\in \mathcal I_n$ tem comprimento $3^{-n}$ e

\[ \nu _n(J)=\left(\frac32\right)^n3^{-n}=2^{-n}. \]

Mais geralmente, para $k\geq 0$,

\[ \nu _{n+k}(J) =\left(\frac32\right)^{n+k} \lambda \bigl(C_{n+k}\cap J\bigr) =\left(\frac32\right)^{n+k}3^{-n}\left(\frac23\right)^k =2^{-n}. \]

Fixados $x\in \mathbb {R}$ e $k\geq 0$, todos os componentes de $\mathcal I_n$ inteiramente à esquerda de $x$ dão a mesma contribuição a $F_n(x)$ e $F_{n+k}(x)$. Há no máximo um componente de nível $n$ cortado pelo ponto $x$, e a massa que cada uma das duas probabilidades atribui a esse componente é no máximo $2^{-n}$. Consequentemente,

\[ \sup _{x\in \mathbb {R}}|F_{n+k}(x)-F_n(x)|\leq 2^{1-n}. \]

Logo $(F_n)$ é uniformemente de Cauchy. Seu limite uniforme $F$ é contínuo, não decrescente, vale $0$ à esquerda de $0$ e vale $1$ à direita de $1$; portanto, é uma função de distribuição.

Figura 6.3 Aproximação de terceira ordem da função de Cantor; os refinamentos convergem uniformemente para a função singular contínua.

Cada componente de $[0,1]\setminus C$ foi removida em alguma etapa. A partir dessa etapa, todas as funções $F_n$ são constantes nessa componente, e o mesmo vale para $F$. Como $\lambda (C)=0$, segue que $F'=0$ quase certamente. Assim, $F$ é uma função de distribuição singular contínua. Ela não pode ter densidade: se $F(x)=\int _{-\infty }^x h(t)\, \d t$, então $h=F'=0$ quase certamente, o que contradiz $\int _{\mathbb {R}} h\, \d\lambda =1$.

A construção probabilística correspondente, por lançamentos de moedas, é desenvolvida no Exercício 6.6, ao final do capítulo.

6.7 Decomposição de distribuições

Vimos três mecanismos distintos: massa concentrada em pontos, massa descrita por uma densidade e massa contínua concentrada num conjunto de medida de Lebesgue zero. O resultado desta seção mostra que não falta um quarto tipo: toda distribuição é obtida combinando exatamente esses três comportamentos.

Começamos separando os átomos da parte contínua.

Teorema 6.17

Toda função de distribuição pode ser decomposta em uma combinação convexa de uma discreta e uma contínua. Assim, se $F$ é uma função de distribuição, então

\[ F = \alpha F_{c} + \beta F_d \]

onde $\alpha ,\beta \geq 0$ e $\alpha +\beta =1$.

Demonstração ▼

Seja $\nu $ a medida de probabilidade cuja função de distribuição é $F$. Já provamos que $F$ possui no máximo um número enumerável de saltos; enumere seus pontos como $\{ x_j\} _{j\geq 1}$ e defina

\[ p_j=F(x_j)-F(x_j^-)=\nu (\{ x_j\} ). \]

A série $\sum _jp_j$ é no máximo $1$. A fórmula

\[ \nu _d(A)=\sum _{j:x_j\in A}p_j,\qquad A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}), \]

define uma medida finita e discreta. Além disso, $\nu _d\leq \nu $: para um conjunto $A$ e um subconjunto finito $J$ dos índices com $x_j\in A$,

\[ \sum _{j\in J}p_j =\nu \left(\bigcup _{j\in J}\{ x_j\} \right)\leq \nu (A), \]

e basta fazer os subconjuntos finitos crescerem. Logo $\nu _c:=\nu -\nu _d$ é também uma medida finita e positiva.

Ponha $\beta =\nu _d(\mathbb {R})$ e $\alpha =\nu _c(\mathbb {R})=1-\beta $. Se $\beta \gt 0$, normalize $\nu _d/\beta $ e denote sua função de distribuição por $F_d$; se $\beta =0$, escolha qualquer função de distribuição discreta para $F_d$. Analogamente, se $\alpha \gt 0$, normalize $\nu _c/\alpha $ e denote sua função de distribuição por $F_c$. A medida $\nu _c$ não possui átomos, pois retiramos precisamente todas as massas pontuais de $\nu $. Assim,

\[ F_c(x)-F_c(x^-)=\frac{\nu _c(\{ x\} )}{\alpha }=0 \]

quando $\alpha \gt 0$; pela continuidade à direita, $F_c$ é contínua. Se $\alpha =0$, escolha qualquer função de distribuição contínua para $F_c$. Finalmente,

\[ F(x)=\nu ((-\infty ,x]) =\alpha F_c(x)+\beta F_d(x), \]

e $\alpha +\beta =1$.

A etapa restante consiste em decompor a parte contínua. Esse passo é estruturalmente uma decomposição de medidas e ficará mais natural quando dispormos do teorema de Lebesgue–Radon–Nikodým.

Teorema 6.18 (Decomposição da parte contínua)

Toda função de distribuição contínua pode ser decomposta em uma combinação convexa de uma distribuição absolutamente contínua e uma distribuição singular contínua. Assim, se $F$ é contínua, então

\[ F=\alpha F_{ac}+\beta F_s, \]

onde $\alpha ,\beta \geq 0$ e $\alpha +\beta =1$. Componentes com coeficiente zero podem ser omitidas.

A demonstração será dada no Capítulo 13, como consequência da decomposição de Lebesgue–Radon–Nikodým da medida associada a $F$ em relação à medida de Lebesgue.

Combinando esse enunciado com a separação elementar dos átomos, obtemos a classificação completa.

Teorema 6.19 (Decomposição de distribuições)

Toda função de distribuição pode ser decomposta em uma combinação convexa de três tipos puros:

\[ F=\alpha F_{ac}+\beta F_d+\gamma F_s, \]

onde $\alpha ,\beta ,\gamma \geq 0$ e $\alpha +\beta +\gamma =1$. Aqui:

$F_{ac}$ é absolutamente contínua;
$F_d$ é discreta;
$F_s$ é singular contínua.

Componentes com coeficiente zero podem ser omitidas.

Demonstração ▼

Pelo Teorema 6.17, escrevemos

\[ F=\delta F_d+(1-\delta )F_c, \]

com $F_d$ discreta e $F_c$ contínua. Aplicando o Teorema 6.18 a $F_c$, obtemos $F_c=rF_{ac}+sF_s$, com $r+s=1$. Substituindo,

\[ F=(1-\delta )rF_{ac}+\delta F_d+(1-\delta )sF_s. \]

A existência da decomposição de $F_c$, usada neste argumento, será provada no Capítulo 13.

Toda distribuição na reta se decompõe, portanto, nesses três tipos fundamentais.

Exercício 6.1

Variáveis aleatórias discretas independentes. Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias independentes com valores inteiros.

Prove que, para todo $n\in \mathbb {Z}$,

\[ \P (X+Y=n) =\sum _{k\in \mathbb {Z}}\P (X=k)\P (Y=n-k). \]
Se $X\sim \operatorname {Poisson}(\lambda )$ e $Y\sim \operatorname {Poisson}(\mu )$, determine a distribuição de $X+Y$.
Se $X\sim \operatorname {Binomial}(n,p)$ e $Y\sim \operatorname {Binomial}(m,p)$, determine a distribuição de $X+Y$.

Ver solução

Os eventos $\{ X=k,Y=n-k\} $ são disjuntos e cobrem $\{ X+Y=n\} $; a independência dá

\[ \P (X+Y=n)=\sum _{k\in \mathbb {Z}}\P (X=k)\P (Y=n-k). \]

Substituindo as massas de Poisson e usando o binômio de Newton, obtemos

\[ \P (X+Y=r)=e^{-(\lambda +\mu )}\frac{(\lambda +\mu )^r}{r!}, \]

logo $X+Y\sim \operatorname {Poisson}(\lambda +\mu )$. Para as binomiais, a identidade de Vandermonde (ou a interpretação como soma de ensaios de Bernoulli) dá $X+Y\sim \operatorname {Binomial}(n+m,p)$.

Exercício 6.2

A lei de uma variável aleatória. Seja $X:(\Omega ,\mathcal F,\P )\to \mathbb {R}$ uma variável aleatória. Para $A\in \mathcal B(\mathbb {R})$, defina

\[ P_X(A)=\P (X\in A) =\P \bigl(\{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in A\} \bigr). \]

Prove diretamente que $P_X$ é uma medida de probabilidade em $(\mathbb {R},\mathcal B(\mathbb {R}))$.

Ver solução

Como $X$ é mensurável, $P_X(A)$ está definida para todo boreliano. Além disso, $P_X(\varnothing )=0$ e $P_X(\mathbb {R})=1$. Se $A_j$ são disjuntos, também o são $X^{-1}(A_j)$ e

\[ P_X\left(\bigsqcup _jA_j\right) =\P \left(\bigsqcup _jX^{-1}(A_j)\right) =\sum _jP_X(A_j). \]

Logo $P_X$ é uma probabilidade.

Exercício 6.3

Seja $F:\mathbb {R}\to [0,1]$ uma função não decrescente, contínua à direita e tal que

\[ \lim _{x\to -\infty }F(x)=0, \qquad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1. \]

Construa explicitamente um espaço de probabilidade e uma variável aleatória $X$ cuja função de distribuição seja $F$.

Dica. Tome uma variável uniforme $U$ em $(0,1)$ e use uma inversa generalizada de $F$.

Ver solução

No espaço $((0,1),\mathcal B,\lambda )$, tome $U(u)=u$ e

\[ X=F^{-1}(U),\qquad F^{-1}(v)=\inf \{ x:F(x)\geq v\} . \]

Essa inversa é crescente, logo mensurável, e $\{ F^{-1}(U)\leq x\} =\{ U\leq F(x)\} $ (a continuidade à direita resolve os pontos de salto). Portanto $\P (X\leq x)=\P (U\leq F(x))=F(x)$.

Exercício 6.4

Sejam $Y_1,Y_2,\ldots $ variáveis aleatórias independentes, com

\[ \P (Y_k=0)=\P (Y_k=1)=\frac12, \qquad k\geq 1, \]

e defina

\[ U=\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}Y_k. \]

Mostre que a série converge para um valor em $[0,1]$.
Para $U_n=\sum _{k=1}^{n}2^{-k}Y_k$, calcule a função de distribuição de $U_n$ nos pontos diádicos.
Passando ao limite, prove que $U$ possui distribuição uniforme em $[0,1]$. Explique por que a dupla representação binária dos racionais diádicos não altera a conclusão.

Ver solução

A série converge absolutamente e fica entre $0$ e $\sum _{k\geq 1}2^{-k}=1$. Cada uma das $2^n$ configurações iniciais tem probabilidade $2^{-n}$, de modo que $U_n$ assume os valores $i2^{-n}$, $i=0,\ldots ,2^n-1$, todos com massa $2^{-n}$, e

\[ \P \bigl(U_n\leq i2^{-n}\bigr)=(i+1)2^{-n}, \qquad i=0,\ldots ,2^n-1 . \]

Como $0\leq U-U_n\leq 2^{-n}$ e o evento $U-U_n=2^{-n}$ (todos os dígitos seguintes iguais a $1$) tem probabilidade zero, segue que, para $j=0,\ldots ,2^n$,

\[ \P (U\lt j2^{-n})=\P \bigl(U_n\leq (j-1)2^{-n}\bigr)=j2^{-n}. \]

Passando ao limite e aproximando qualquer $x\in [0,1]$ por diádicos, $\P (U\leq x)=x$. As duas expansões de um diádico correspondem a uma cauda eventualmente toda $0$ ou toda $1$; cada evento tem probabilidade zero, por isso a ambiguidade não altera a lei.

Exercício 6.5

Escreva

\[ X=X^+-X^-, \qquad Y=Y^+-Y^-. \]

Prove, usando apenas transformações mensuráveis, que

\[ X\overset {\mathrm d}=Y \quad \Longrightarrow \quad X^+\overset {\mathrm d}=Y^+ \quad \text{e}\quad X^-\overset {\mathrm d}=Y^-. \]

Ver solução

As funções $g_+(x)=x^+=\max \{ x,0\} $ e $g_-(x)=x^-=\max \{ -x,0\} $ são contínuas. Para todo boreliano $B$,

\[ \P (g_\pm (X)\in B)=\P (X\in g_\pm ^{-1}(B)) =\P (Y\in g_\pm ^{-1}(B))=\P (g_\pm (Y)\in B). \]

Exercício 6.6 (difficulty=1)

Outra construção da distribuição de Cantor. Sejam $Y_1,Y_2,\ldots $ como no exercício da expansão binária e defina

\[ Y=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2Y_n}{3^n}. \]

Prove que $Y$ toma valores no conjunto de Cantor e que sua função de distribuição $F_Y$ é contínua.
Mostre que $F_Y$ é constante em cada componente conexa de $[0,1]\setminus C$, onde $C$ é o conjunto de Cantor. Conclua que $F_Y'(x)=0$ para Lebesgue-quase todo $x$.
Seja $\mu _Y$ a lei de $Y$ e $\lambda $ a medida de Lebesgue. Prove que $\mu _Y$ e $\lambda $ são mutuamente singulares, isto é, encontre um boreliano $A$ tal que $\lambda (A)=0$ e $\mu _Y(A^c)=0$.

Ver solução

A série converge absolutamente e sua expansão ternária usa somente $0$ e $2$, logo $Y\in C$. Para todo $y$, o evento $\{ Y=y\} $ fixa uma sequência infinita de dígitos (no máximo duas nas ambiguidades) e tem probabilidade zero; portanto $F_Y$ não tem saltos e é contínua. Em cada intervalo removido na construção de $C$ não há massa, de modo que $F_Y$ é constante; como $[0,1]\setminus C$ tem medida de Lebesgue um, $F_Y'=0$ quase em toda parte. Por fim, escolha $A=C$: $\lambda (C)=0$ e $\mu _Y(C^c)=\P (Y\notin C)=0$, provando singularidade mútua.

Exercício 6.7

Recorde que uma variável aleatória $Y$ é estocasticamente maior do que $X$ quando

\[ \P (X\leq x)\geq \P (Y\leq x) \qquad \text{para todo }x\in \mathbb {R}. \]

Prove que essa relação vale se, e somente se, existem variáveis $X^*$ e $Y^*$, definidas no mesmo espaço de probabilidade, tais que

\[ X^*\overset {\mathrm d}=X, \qquad Y^*\overset {\mathrm d}=Y, \qquad X^*\leq Y^*\quad \text{quase certamente}. \]

Dica. Para uma das implicações, use o mesmo uniforme nas inversas generalizadas das duas funções de distribuição.

Ver solução

Se existe o acoplamento ordenado, então $\{ Y^*\leq x\} \subseteq \{ X^*\leq x\} $ e, portanto, $F_X(x)\geq F_Y(x)$. Reciprocamente, tome um único $U\sim U(0,1)$ e ponha $X^*=F_X^{-1}(U)$, $Y^*=F_Y^{-1}(U)$. A desigualdade entre as funções de distribuição implica $F_X^{-1}(u)\leq F_Y^{-1}(u)$ para todo $u$, e a construção por quantis preserva as leis marginais.

Exercício 6.8

Convenções para a inversa generalizada. Seja $F$ uma função de distribuição e, para $t\in (0,1)$, defina

\begin{align*} F^{-1}_1(t)& =\sup \{ y\in \mathbb {R}:F(y)\lt t\} ,& F^{-1}_2(t)& =\inf \{ y\in \mathbb {R}:F(y)\geq t\} ,\\ F^{-1}_3(t)& =\inf \{ y\in \mathbb {R}:F(y)\gt t\} ,& F^{-1}_4(t)& =\sup \{ y\in \mathbb {R}:F(y)\leq t\} . \end{align*}

Prove que $F^{-1}_1=F^{-1}_2$ e que $F^{-1}_3=F^{-1}_4$. Dê um exemplo de função de distribuição e de $t\in (0,1)$ para os quais $F^{-1}_1(t)\neq F^{-1}_3(t)$.

Ver solução

Para um conjunto não vazio $S_t=\{ y:F(y)\geq t\} $, monotonicidade e continuidade à direita mostram que sua extremidade esquerda é simultaneamente $\inf S_t$ e $\sup \{ y:F(y)\lt t\} $; logo $F_1^{-1}=F_2^{-1}$. Aplicando o mesmo argumento a $\{ F\gt t\} $ obtém-se $F_3^{-1}=F_4^{-1}$.

Se $X$ é Bernoulli$(1/2)$ em $\{ 0,1\} $ e $t=1/2$, então $F_1^{-1}(t)=F_2^{-1}(t)=0$, enquanto $F_3^{-1}(t)=F_4^{-1}(t)=1$.

Exercício 6.9

Distribuição induzida por geometria. Um ponto é escolhido uniformemente na bola unitária

\[ B=\{ (a,b)\in \mathbb {R}^2:a^2+b^2\leq 1\} , \]

isto é, a probabilidade de uma região boreliana $A\subseteq B$ é $\lambda _2(A)/\pi $. Se $X$ é a distância do ponto escolhido à origem, determine a função de distribuição de $X$.

Ver solução

Para $0\leq x\leq 1$, o evento $\{ X\leq x\} $ é o disco de raio $x$. Logo

\[ \P (X\leq x)=\frac{\pi x^2}{\pi }=x^2. \]

Portanto

\[ F_X(x)= \begin{cases} 0,& x\lt 0,\\ x^2,& 0\leq x\lt 1,\\ 1,& x\geq 1. \end{cases} \]

Exercício 6.10 (title=Marginais normais sem normalidade conjunta,difficulty=2)

Seja $X\sim N(0,1)$ e seja $\varepsilon $ independente de $X$, com $\P (\varepsilon =\pm 1)=1/2$. Ponha $Y=\varepsilon X$. Mostre que $X$ e $Y$ são normais padrão, mas que $(X,Y)$ não é normal bidimensional.

Ver solução

A simetria da normal mostra que $Y\sim N(0,1)$. Além disso,

\[ \operatorname {Cov}(X,Y)=\mathbf{E}[\varepsilon X^2]=0. \]

Se $(X,Y)$ fosse gaussiano, covariância nula implicaria independência. Mas $Y^2=X^2$ quase certamente, logo não há independência. Portanto o vetor não é normal bidimensional.

Exercício 6.11 (title=Grafos aleatórios: lei conjunta de dois graus,difficulty=3)

Em $G(n,p)$, seja $D_v$ o grau do vértice $v$.

Prove que $D_v\sim \operatorname {Binomial}(n-1,p)$.
Para $u\ne v$, escreva

\[ D_u=X_{uv}+A,\qquad D_v=X_{uv}+B, \]

com $A,B,X_{uv}$ independentes, e determine suas leis.
Calcule $\operatorname {Cov}(D_u,D_v)$ e $\operatorname {Corr}(D_u,D_v)$.

Ver solução

O grau $D_v$ soma as $n-1$ Bernoullis das arestas incidentes a $v$. Para $u\ne v$,

\[ X_{uv}\sim \operatorname {Bernoulli}(p),\qquad A,B\sim \operatorname {Binomial}(n-2,p), \]

e essas três variáveis usam conjuntos disjuntos de arestas. Assim

\[ \operatorname {Cov}(D_u,D_v)=\operatorname {Var}(X_{uv})=p(1-p). \]

Como $\operatorname {Var}(D_u)=\operatorname {Var}(D_v)=(n-1)p(1-p)$,

\[ \operatorname {Corr}(D_u,D_v)=\frac1{n-1}. \]