Basta mostrar que

A convergência em probabilidade seguirá da convergência em \(\L ^2\), pela desigualdade de Chebyshev.

Pela linearidade da esperança, \(\mathbf{E}\left[\dfrac {S_n}{n}\right] = \mu .\) A independência permite somar as variâncias:

Escreva \(\boldsymbol {\xi }^{(i)}=(\xi ^{(i)}_1,\ldots ,\xi ^{(i)}_d)\). Cada sequência de coordenadas \(\xi ^{(1)}_j,\xi ^{(2)}_j,\ldots \) satisfaz as hipóteses do Teorema 11.1; logo, para todo \(j\),

Para a norma do máximo e qualquer \(\varepsilon \gt 0\), a probabilidade de que o vetor se afaste de sua média por mais de \(\varepsilon \) é limitada pela soma das \(d\) probabilidades correspondentes às coordenadas. Como \(d\) é finito, essa soma tende a zero.

Se \(\xi _k\) é a indicadora de sucesso no \(k\)-ésimo ensaio, então as variáveis \(\xi _k\) são independentes, \(S_n=\sum _{k=1}^n\xi _k\), \(\mathbf{E}[\xi _k]=p\) e \(\operatorname {Var}(\xi _k)=p(1-p)\leq 1/4\). Basta aplicar o Teorema 11.1.

As duas primeiras afirmações seguem diretamente da definição. Além disso, para todo \(r\gt 0\), \(|\xi ^{(M)}|^r\leq M^r\), de modo que todos os momentos são finitos.

Por fim, \(|\xi ^{(M)}|\leq |\xi |\) e \(\xi ^{(M)}\to \xi \); como \(\xi \) é integrável, o Teorema da Convergência Dominada dá a convergência das esperanças. Aplicando-o também a \(|\xi ^{(M)}-\xi |=|\xi |\mathbb {1}_{\{ |\xi |\gt M\} }\), obtemos (11.1).

Pela definição do truncamento,

A conclusão é exatamente (11.1).

Para \(M\gt 1\), defina

As variáveis \(\xi _k^{(M)}\) continuam i.i.d. e

Pelo Teorema 11.1,

Em particular, por Cauchy–Schwarz,

Pela desigualdade triangular e pela distribuição comum,

Portanto, para todo \(M\) fixo,

Fazendo \(M\to \infty \) e usando (11.1), concluímos na verdade que \(S_n/n\to \mu \) em \(\L ^1\) e, portanto, em probabilidade.

O evento \( \{ \max _{1 \le k \le n} | S_k | \ge \lambda \} \) é a união disjunta dos eventos

Para cada \(k=1,\ldots ,n\), \(S_n-S_k=\xi _{k+1}+\cdots +\xi _n\), que é independente da \(\sigma \)-álgebra gerada por \(\xi _1,\ldots ,\xi _k\). Em particular, é independente de \(S_k\mathbb {1}_{A_k}\).

Como \(\mathbf{E}[S_n-S_k]=0\), a independência fornece

No evento \(A_k\), vale \(\lambda ^{-2}S_k^2\geq 1\), de modo que \(\mathbb {1}_{A_k}\leq \lambda ^{-2}S_k^2\mathbb {1}_{A_k} \), e

onde a última igualdade decorre do termo misto nulo calculado acima.

Portanto,

Somando sobre os eventos disjuntos \(A_k\), encontramos

Como \(\mathbf{E}[S_n]=0\), temos \(\mathbf{E}[S_n^2]=\operatorname {Var}(S_n)\), e a conclusão segue.

Comecemos pelo caso \(\mu =0\). O caso geral segue ao aplicar esse caso às variáveis centradas \(\xi _k-\mu \), que ainda são i.i.d. e têm quarto momento finito.

Na expansão

todo termo em que algum índice aparece uma única vez é nulo, por independência e pelo fato de \(\mathbf{E}[\xi _i]=0\). Restam os \(n\) termos com os quatro índices iguais e, para cada par de índices distintos, as seis ordenações que os fazem aparecer duas vezes cada. Portanto,

Como a independência dá \(\mathbf{E}[\xi _1^2\xi _2^2]=(\mathbf{E}[\xi _1^2])^2\leq \mathbf{E}[\xi _1^4]\), existe \(C\lt \infty \) tal que

Consequentemente, pela desigualdade de Markov aplicada a \(S_n^4\),

A série do lado direito é convergente. Pelo primeiro lema de Borel–Cantelli, para cada \(m\geq 1\),

Fora da união enumerável desses eventos nulos, para cada \(m\) existe um índice a partir do qual \(|S_n/n|\leq 1/m\). Portanto \(S_n/n\to 0\) quase certamente.

Cada coordenada satisfaz a versão escalar precedente. Como há apenas \(d\) coordenadas, a interseção dos \(d\) eventos de probabilidade um em que as convergências coordenada a coordenada ocorrem ainda tem probabilidade um. Em dimensão finita, convergência coordenada a coordenada equivale à convergência em qualquer norma.

A fórmula das caudas, Proposição 7.24, aplicada a \(|\xi _1|\) implica

Como as variáveis são identicamente distribuídas, a mesma série é \(\sum _n\P (|\xi _n|\gt n)\). Os eventos \(\{ |\xi _n|\gt n\} \) são independentes; portanto, o segundo lema de Borel–Cantelli dá

Por outro lado, se \(S_n/n\) convergisse em um ponto \(\omega \), então

Isso é incompatível com \(|\xi _n|/n\gt 1\) infinitas vezes. Logo o evento de convergência está contido no complementar de um evento de probabilidade um e, portanto, tem probabilidade zero.

Combinaremos o truncamento com o controle das médias ao longo de uma subsequência geométrica.

Passo 1: redução ao caso não negativo. Suponha primeiro que \(\xi _k\geq 0\). Ao final, o caso geral seguirá de \(\xi _k=\xi _k^+-\xi _k^-\), pois as partes positiva e negativa são integráveis e cada uma forma uma sequência i.i.d.

Passo 2: truncamento. Defina

Pela representação por camadas do Corolário 8.12,

O primeiro lema de Borel–Cantelli mostra que \(Y_k=\xi _k\) para todo \(k\) suficientemente grande, quase certamente. Assim, \((S_n-T_n)/n\to 0\) quase certamente.

Os truncamentos \(Y_k\) são independentes, mas seus níveis de corte variam com \(k\), de modo que já não são identicamente distribuídos. Suas médias e variâncias devem, por isso, conservar esse índice. Como \(0\leq Y_k\leq k\), a mesma representação por camadas, agora com \(r=2\), dá

Por Tonelli,

De fato, a soma interna é limitada por uma constante para \(0\leq t\lt 1\) e por \(2/t\) para \(t\geq 1\); a última integral é, portanto, dominada por uma constante mais \(4\mathbf{E}[\xi _1]\).

Passo 3: uma subsequência geométrica. Para \(\alpha \gt 1\), ponha \(m_j=\lfloor \alpha ^j\rfloor \). Descartar um número finito de termos permite supor que \((m_j)\) é estritamente crescente e que \(m_j\geq \alpha ^j/2\). Se \(R_n=T_n-\mathbf{E}[T_n]\), então Chebyshev, a independência e Tonelli dão

pois a soma geométrica interna é no máximo \(C_\alpha /k^2\). Aplicando Borel–Cantelli a \(\varepsilon =1/r\), \(r\in \mathbb {N}\), obtemos

Além disso, \(\| Y_k-\xi _k\| _1=\mathbf{E}[\xi _1\mathbf1_{\{ \xi _1\gt k\} }]\to 0\). Como \(\mathbf{E}[\xi _k]=\mu \), segue que \(\mathbf{E}[Y_k]\to \mu \) e, pelo lema de Cesàro,

Concluímos que \(T_{m_j}/m_j\to \mu \) quase certamente.

Passo 4: preenchimento das lacunas. Como \(T_n\) é crescente, se \(m_j\leq n\leq m_{j+1}\), então

Como \(m_{j+1}/m_j\to \alpha \), segue que, quase certamente,

Repetindo o argumento para a sequência enumerável \(\alpha _r=1+1/r\) e fazendo \(r\to \infty \), obtemos \(T_n/n\to \mu \) quase certamente. Pelo Passo 2, o mesmo vale para \(S_n/n\).

Finalmente, para variáveis de sinal arbitrário, aplicamos o caso não negativo separadamente a \(\xi _k^+\) e \(\xi _k^-\) e subtraímos os limites.

As variáveis \(f(U_k)\) são i.i.d. e integráveis. Como \(U_k\) tem distribuição uniforme,

A conclusão segue da Lei Forte dos Grandes Números de Kolmogorov.

Fixe \(\mathbf{x}=(x_1,\ldots ,x_d)\in [0,1]^d\). Para \(1\leq k\leq d\) e \(1\leq j\leq n\), sejam \(\xi _{k,j}\) variáveis independentes de Bernoulli com parâmetro \(x_k\). Ponha

A independência e a fórmula da distribuição binomial mostram, pela definição da esperança, que

Use a norma do máximo em \(\mathbb {R}^d\). Como

a desigualdade da união e a desigualdade de Chebyshev dão, para todo \(\delta \gt 0\),

Essa cota não depende de \(\mathbf{x}\).

Seja \(M=\max _{\mathbf{y}\in [0,1]^d}|f(\mathbf{y})|\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), a continuidade uniforme de \(f\) fornece \(\delta \gt 0\) tal que \(|f(\mathbf{y})-f(\mathbf{x})|\lt \varepsilon /2\) sempre que \(\| \mathbf{y}-\mathbf{x}\| _\infty \lt \delta \). Separando a esperança conforme esse evento e seu complementar, obtemos

Para \(n\) suficientemente grande, o último termo é menor que \(\varepsilon /2\), uniformemente em \(\mathbf{x}\). Logo \(\| B_n[f]-f\| _\infty \to 0\).

Escreva \(S_n=\sum _{k\leq n}X_k\). Para \(m\lt n\), a desigualdade maximal aplicada à cauda fornece

Fazendo \(n\to \infty \) e usando continuidade da probabilidade,

Se \(C_m(r)=\{ \sup _{j,\ell \geq m}|S_j-S_\ell |\gt r\} \), então \(C_m(r)\subseteq \{ \sup _{j\geq m}|S_j-S_m|\gt r/2\} \); portanto \(\P (C_m(r))\to 0\). Como \(C_m(r)\) decresce em \(m\), segue que, para cada \(r\gt 0\), quase toda trajetória é eventualmente \(r\)-Cauchy. Intersectando sobre \(r\in \mathbb {Q}_{\gt 0}\), \((S_n)\) é Cauchy quase certamente e, portanto, converge.

Ponha \(T_n=\sum _{k=1}^n x_k/k\) e \(T_0=0\). Como \(x_k=k(T_k-T_{k-1})\), uma soma por partes dá

Se \(T_n\to T\), a média de Cesàro à direita também converge a \(T\); a diferença, portanto, tende a zero.