Para \(A\in \mathcal{F}_1\) e \(B\in \mathcal{F}_2\),

Logo todo retângulo mensurável pertence à \(\sigma \)-álgebra do lado direito. Reciprocamente, \(\pi _1^{-1}(A)=A\times \Omega _2\) e \(\pi _2^{-1}(B)=\Omega _1\times B\) são retângulos mensuráveis. Portanto, cada uma das duas famílias geradoras está contida em \(\mathcal{F}_1\otimes \mathcal{F}_2\), o que prova as duas inclusões.

Provaremos apenas para a seção \(E^y\); a demonstração para a seção \( E ^x \) é análoga.

Considere a família \(\mathcal{M}= \lbrace E \in \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2: E^y \in \mathcal{F}_1 \rbrace .\) Mostraremos que \(\mathcal{M}\) é uma \(\sigma \)-álgebra contendo os retângulos mensuráveis e logo deve ser \(\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2\), e isso é suficiente para demonstrar a proposição.

• Suponha que \(E = A \times B\) é um retângulo mensurável. Então \(E^y=A\) quando \(y\in B\) e \(E^y=\emptyset \) quando \(y\notin B\). Em ambos os casos \(E^y \in \mathcal{F}_1\), logo \(E \in \mathcal{M} .\)

• \(\emptyset ^y = \lbrace x \in \Omega _1: (x,y) \in \emptyset \rbrace = \emptyset \in \mathcal{F}_1\), assim \(\mathcal{M}\) contém \(\emptyset .\)

• Se \(E_1, E_2, \dotsc \in \mathcal{M}\), então \((\bigcup E_n)^y = \bigcup E_n^y \in \mathcal{F}_1 .\) Logo \(\mathcal{M}\) é fechado em relação a união enumerável.

• Se \(E \in \mathcal{M}\), e \(F = E^{\mathsf c}\), então \(F^y = \lbrace x \in \Omega _1: (x,y) \notin E \rbrace = \Omega _1 \setminus E^y \in \mathcal{F}_1 .\) Logo \(\mathcal{M}\) é fechada sob complementação.

Cada retângulo \(A\times B\), com \(A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^m)\) e \(B\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\), é boreliano em \(\mathbb {R}^{m+n}\), pois

e as projeções coordenadas são contínuas. Isso prova \(\mathcal{B}(\mathbb {R}^m)\otimes \mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\subseteq \mathcal{B}(\mathbb {R}^{m+n})\).

Na direção contrária, escolha bases enumeráveis de abertos em \(\mathbb {R}^m\) e \(\mathbb {R}^n\). Os produtos de elementos dessas bases formam uma base enumerável da topologia de \(\mathbb {R}^{m+n}\). Todo aberto de \(\mathbb {R}^{m+n}\) é, portanto, união enumerável desses retângulos e pertence a \(\mathcal{B}(\mathbb {R}^m)\otimes \mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\). Como os abertos geram a \(\sigma \)-álgebra de Borel, segue a inclusão oposta.

Provaremos apenas para \(f^y .\) Seja \(I^y\colon \Omega _1 \to \Omega _1 \times \Omega _2\) a aplicação de inclusão \(I^y(x) = (x,y) .\) Dado \(E \in \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2\), por 8.3 \((I^y)^{-1}(E) = E^y \in \mathcal{F}_1\), logo \(I^y\) é uma função mensurável. Mas \(f^y = f \circ I^y .\)

Seja \(\mathcal F_0\) a álgebra das uniões finitas disjuntas de retângulos mensuráveis. Para \(E\in \mathcal F_0\), defina

Como \(E\) é união finita de retângulos, a função \(x\mapsto \mu _2(E^x)\) é mensurável e simples; em particular, a definição faz sentido. Para um retângulo,

Se \((E_k)\) é uma sequência disjunta em \(\mathcal F_0\) cuja união \(E\) ainda pertence a \(\mathcal F_0\), então, para cada \(x\), as seções \(E_k^x\) são disjuntas e \(E^x=\bigcup _kE_k^x\). Pela aditividade de \(\mu _2\) e pela Convergência Monótona,

Logo \(\mu _0\) é uma pré-medida, e o Teorema de Extensão de Carathéodory fornece uma medida \(\mu \) em \(\sigma \langle \mathcal F_0\rangle =\mathcal{F}_1\otimes \mathcal{F}_2\).

Para a unicidade, escolha \(U_j\uparrow \Omega _1\) e \(V_j\uparrow \Omega _2\) com \(\mu _1(U_j),\mu _2(V_j)\lt \infty \). Os retângulos \(U_j\times V_j\) crescem para o espaço produto e têm medida finita. Assim, o segundo caso do Teorema de Unicidade de Medidas 2.12, aplicado ao \(\pi \)-sistema dos retângulos, mostra que a extensão é única.

Itere o teorema anterior. O produto de duas medidas \(\sigma \)-finitas é \(\sigma \)-finito, pois produtos dos conjuntos de uma exaustão por conjuntos de medida finita fornecem uma exaustão do espaço produto. Assim a construção pode ser repetida um número finito de vezes.

As diferentes parentizações produzem medidas na mesma \(\sigma \)-álgebra: todas as \(\sigma \)-álgebras iteradas são geradas pelos retângulos \(A_1\times \cdots \times A_n\). Além disso, todas as medidas obtidas atribuem a cada retângulo o valor \(\prod _j\mu _j(A_j)\). A unicidade no \(\pi \)-sistema dos retângulos, usando a \(\sigma \)-finitude, mostra que essas medidas coincidem.

Provaremos a mensurabilidade de \(y\mapsto \mu (E^y)\); a outra afirmação segue trocando os fatores. Suponha primeiro que \(\mu (\Omega _1)\lt \infty \) e ponha

\(\mathcal{M}\) é igual à \(\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2\), pois:

• Se \(E=A\times B\) é um retângulo mensurável, então \(\mu (E^y)=\mu (A)\mathbb {1}_B(y)\), que é mensurável. Se \(E\) é uma união finita disjunta de retângulos mensuráveis \(E_j\), então \(\mu (E^y)=\sum _j\mu (E_j^y)\), que também é mensurável.

  Então \(\mathcal{M}\) contém a álgebra das uniões finita disjuntas de retângulos mensuráveis.

• Se \(E_n\) são conjuntos crescentes em \(\mathcal M\), então \(\mu \bigl((\bigcup _n E_n)^y\bigr) = \mu (\bigcup _n E_n^y) = \lim \limits _{n\to \infty } \mu (E_n^y)\) é mensurável, e logo \(\bigcup _n E_n \in \mathcal{M} .\)

  De modo análogo, se \(E_n\) são conjuntos decrescentes em \(\mathcal M\), então a continuidade por cima dá

  \[ \mu \bigl((\bigcap _nE_n)^y\bigr) =\lim _n\mu (E_n^y). \]

  Aqui se usa a finitude de \(\mu (\Omega _1)\).

• Assim \(\mathcal{M}\) é uma classe monótona contendo a álgebra das uniões finitas de retângulos mensuráveis. Pelo Teorema da Classe Monótona (1.26), \(\mathcal{M} =\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 .\)

No caso \(\sigma \)-finito, escolha \(\Omega _{1,n}\uparrow \Omega _1\) com \(\mu (\Omega _{1,n})\lt \infty \) e reaplique o argumento à medida finita \(\mu _n(F)=\mu (F\cap \Omega _{1,n})\). Então

que é mensurável como limite de funções mensuráveis.

Denote por \(\lambda _1(E)\) a primeira integral iterada e por \(\lambda _2(E)\) a segunda. Essas integrais existem pelo Teorema 8.8. As medidas \(\lambda _1\) e \(\lambda _2\) são \(\sigma \)-aditivas pelo Teorema da Convergência Monótona logo ambas são medidas em \(\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 .\) Mais ainda se \(E = A \times B\), então expandindo as duas integrais temos \(\lambda _1(E) = \mu (A) \nu (B) = \lambda _2(E) .\)

As três medidas são \(\sigma \)-finitas e coincidem no \(\pi \)-sistema dos retângulos. Pelo Teorema de Unicidade de Medidas 2.12, \(\lambda _1=\lambda _2=\mu \otimes \nu \) em toda \(\mathcal{F}_1\otimes \mathcal{F}_2\).

Para funções simples não negativas, a mensurabilidade das integrais parciais segue do Teorema 8.8, e as igualdades seguem da linearidade e do Teorema 8.9. Para \(f\geq 0\) mensurável, tome funções simples \(s_n\uparrow f\). As integrais parciais de \(s_n\) crescem para as integrais parciais de \(f\); logo estas são mensuráveis. Aplicando a Convergência Monótona no espaço produto e em cada integral iterada, obtemos as duas igualdades do primeiro item.

Aplicando o primeiro item a \(|g|\), temos

e analogamente na ordem inversa. Portanto, qualquer uma dessas quantidades é finita se e somente se \(g\) é integrável.

Aplique Tonelli a \(|\xi |\). Como

as integrais de \(|\xi |\) nas seções são finitas quase em toda parte; portanto as seções de \(\xi \) são integráveis fora de conjuntos nulos. Aplicando Tonelli a \(\xi ^+\) e \(\xi ^-\) e subtraindo as duas identidades, obtemos a primeira integral iterada. O mesmo argumento na ordem inversa fornece a segunda.

Para todo \(x\in E\),

O conjunto \(\{ (x,t):f(x)\gt t\} \) é mensurável, pois

Logo o integrando no lado direito é mensurável e não negativo. Tonelli permite integrar primeiro em \(x\) ou em \(t\), produzindo a fórmula.

Se as variáveis são independentes, então, para quaisquer \(A_k\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\),

As duas probabilidades coincidem no \(\pi \)-sistema dos retângulos; pelo Teorema de Unicidade de Medidas 2.12, coincidem em toda \(\mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\).

Reciprocamente, se a distribuição conjunta é a medida produto, a mesma identidade vale para todo retângulo boreliano. Essa identidade é exatamente a definição de independência de \(\xi _1,\ldots ,\xi _n\).

Defina

Por Tonelli, \(g\geq 0\) é integrável e

Logo \(g\) define uma probabilidade \(\nu \) em \(\mathbb {R}^n\). Para todo retângulo boreliano \(A_1\times \cdots \times A_n\),

Pela unicidade da medida produto,

Se as variáveis são independentes, a distribuição conjunta é essa medida produto. Como \(\mathbf f\) e \(g\) são duas densidades da mesma medida, coincidem quase em toda parte. De fato, se \(h=\mathbf f-g\), então \(\int _A h=0\) para todo boreliano \(A\); aplicar isso aos conjuntos \(\{ h\geq 1/m\} \) e \(\{ h\leq -1/m\} \), \(m\geq 1\), mostra que \(h=0\) quase certamente em relação à medida de Lebesgue.

Reciprocamente, se \(\mathbf f=g\) quase em toda parte, então, para \(A_1,\ldots ,A_n\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\), Fubini–Tonelli fornece

Portanto, as variáveis são independentes.

A distribuição conjunta de \((\xi ,\eta )\) é \(\P _\xi \otimes \P _\eta \). Por Tonelli,

Portanto \(\xi \eta \) é integrável e Fubini pode ser aplicado:

Defina \(\mu \) na álgebra \(\mathcal A=\bigcup _{n=1}^\infty \mathcal{F}_n\) por \(\mu (E)=\mu _n(E)\) para \(E\in \mathcal{F}_n .\) A condição de consistência de Kolmogorov garante que \(\mu \) está bem definida. Também é simples ver que \(\mu (\emptyset )=0\) e \(\mu (\Omega )=1 .\)

A aditividade finita de \(\mu \) é direta. Se \(A_i\in \mathcal A\), para \(i=1,\ldots ,r\), existe \(m\) tal que \(A_i\in \mathcal{F}_m\) para todos esses índices; basta então usar a aditividade de \(\mu _m\).

Para concluir a demonstração, observamos que se \(A\in \mathcal A\), então existe \(n\) tal que \(A\in \mathcal{F}_n\) e

Assim, pelo Teorema da Classe Compacta 2.27, \(\mu \) é uma pré-medida. O Teorema de Extensão de Carathéodory fornece então uma extensão a uma probabilidade em \(\sigma \langle \mathcal A\rangle \); como a pré-medida é finita, essa extensão é única.

Como \(\mathcal C\subset \mathcal A\), temos imediatamente \(\sigma \langle \mathcal C\rangle \subset \sigma \langle \mathcal A\rangle .\) Para ver a inclusão contrária, dado \(n\geq 1\), faça \(\mathcal{G}_n=\{ A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n):A\times \mathbb {R}^{\mathbb {N}-n}\in \sigma \langle \mathcal C\rangle \} \). Como \(\mathcal{G}_n\) é uma \(\sigma \)-álgebra contendo os retângulos do tipo

então \(\mathcal{G}_n=\mathcal{B}(\mathbb {R}^n) .\) Segue que \(\mathcal{F}_n\subseteq \sigma \langle \mathcal C\rangle \) para todo \(n\geq 1\) e

Considere uma sequência \((C_i)_{i\geq 1}\) em \(\mathcal K\) e suponha que

Para cada \(i\), escolha \(r_i\) tal que \(C_i\in \mathcal K_{r_i}\) e defina \(d_m=\max \{ r_1,\ldots ,r_m\} \). Como os cilindros de menor nível são fechados e algum dos cilindros que formam \(B_m\) tem base compacta em \(\mathbb {R}^{d_m}\), existe um compacto não vazio \(L_m\subseteq \mathbb {R}^{d_m}\) tal que

A sequência \((d_m)_{m\geq 1}\) é não decrescente. Há dois casos.

Se \((d_m)\) é limitada, existe \(d\) e existe \(m_0\) tais que \(d_m=d\) para \(m\geq m_0\). Nesse caso os compactos não vazios \(L_m\subseteq \mathbb {R}^d\) são decrescentes. A compacidade de \(L_{m_0}\) implica

e portanto

Suponha agora que \(d_m\to \infty \). Escolha \(x^{(m)}\in B_m\) para cada \(m\). Fixada a coordenada \(j\), tome \(m_j\) tal que \(d_{m_j}\geq j\). Para \(m\geq m_j\), temos \(x^{(m)}\in B_m\subseteq B_{m_j}\); assim, a \(j\)-ésima coordenada de \(x^{(m)}\) pertence, a partir de \(m_j\), à projeção compacta \(\pi _j(L_{m_j})\). Extraindo subsequências sucessivamente nas coordenadas e depois tomando a diagonal, obtemos uma subsequência \((y^{(\ell )})_{\ell \geq 1}\) que converge coordenada a coordenada para algum \(y\in \mathbb {R}^{\mathbb {N}}\).

Fixe \(p\geq 1\). A partir de certo índice, \(y^{(\ell )}\in B_p=L_p\times \mathbb {R}^{\mathbb {N}-d_p}\). As primeiras \(d_p\) coordenadas de \(y^{(\ell )}\) convergem para as de \(y\); como \(L_p\) é fechado, \(y\in B_p\). Isso vale para todo \(p\), logo

Assim, a propriedade da interseção finita implica que a interseção enumerável é não vazia. Pela contrapositiva, \(\mathcal K\) é uma classe compacta.

Para começar, dado \(n\geq 1\) defina a medida de probabilidade \(Q_n\) em \((\mathbb {R}^n,\mathcal{B}(\mathbb {R}^n))\) por

Como \(Q_n\) coincide com \(\P _n\) no \(\pi \)-sistema dos retângulos \(\prod _{k=1}^n(a_k,b_k]\), o Teorema de Unicidade de Medidas 2.12 mostra que ambas coincidem em toda \(\mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\). Logo, para todo \(n\geq 1\) e \(A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\),

e por indução

Com a notação introduzida anteriormente, defina a medida \(\mu _n\) em \(({\mathbb {R}}^{\mathbb {N}},\mathcal{F}_n)\) por

Se \(m\lt n\) e \(D\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^m)\), então

Concluímos que \(\{ (\mathcal{F}_n,\mu _n)\} _{n\geq 1}\) é Kolmogorov consistente.

Pelo Lema 8.24, a classe \(\mathcal K\) definida acima é compacta.

Dado agora um conjunto \(A \in \mathcal A \) então \(A=D\times \mathbb {R}^{\mathbb {N}-n}\) com \(D \in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\), para algum \(n\geq 1\). Pela regularidade interior das probabilidades de Borel em \(\mathbb {R}^n\), para todo \(\varepsilon \gt 0\) existe um compacto \(K\subseteq D\) tal que

Em particular,

Consequentemente

e o teorema segue do Teorema 8.20.

Considere o espaço de probabilidade

e defina \(\xi _k(x_1,\ldots ,x_n)=x_k\). As projeções coordenadas são mensuráveis. Para \(A_1,\ldots ,A_n\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\),

Logo \(\xi _1,\ldots ,\xi _n\) são independentes e a distribuição de \(\xi _k\) é \(\P _k\).

Para cada \(n\geq 1\), seja \(\P _n=F^{\otimes n}\) em \(\mathbb {R}^n\). Essas probabilidades são consistentes, pois

para todo \(A\in \mathcal{B}(\mathbb {R}^n)\). Pelo Teorema de Extensão de Kolmogorov, existe uma probabilidade \(\P \) em \(({\mathbb {R}}^{\mathbb {N}},\mathcal{B}(\mathbb {R})^{\otimes \mathbb {N}})\) com essas marginais. Defina \(\xi _k(\omega )=\omega _k\). As projeções são mensuráveis e, para \(A_1,\ldots ,A_n\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\),

Logo as coordenadas são independentes e cada uma tem distribuição \(F\).

Pela independência, a distribuição conjunta de \((\xi ,\eta )\) é \(\P _\xi \otimes \P _\eta \). Tonelli aplicado à indicadora do semiplano \(\{ (x,y):x+y\leq z\} \) dá

Trocando a ordem de integração, obtemos \(H(z)=\int _{\mathbb {R}} G(z-x)\, \d F(x)\).

A função \(h\) é mensurável e não negativa, por Tonelli. Para todo \(A\in \mathcal{B}(\mathbb {R})\), novamente por Tonelli e pela mudança de variável \(z=x+y\),

Logo \(h\) é uma densidade de \(\xi +\eta \). Tomando \(A=\mathbb {R}\), vemos também que \(\int _{\mathbb {R}} h=1\).

Fixe \(A\in \mathcal E\) e \(\varepsilon \gt 0\). A álgebra dos eventos que dependem de um número finito de coordenadas gera \(\sigma \langle \xi _1,\xi _2,\ldots \rangle \). Pelo Lema 2.11, existe um evento \(C\in \sigma \langle \xi _1,\ldots ,\xi _n\rangle \) tal que

para algum \(n\). Seja \(\pi \) a permutação que troca os blocos \(\{ 1,\ldots ,n\} \) e \(\{ n+1,\ldots ,2n\} \) e fixa os demais índices, e ponha \(C'=\{ T_\pi \xi \in D\} \) quando \(C=\{ \xi \in D\} \).

Como a sequência é i.i.d., sua lei é invariante por \(\pi \); como \(A\) é simétrico,

Além disso, \(C\) depende das primeiras \(n\) coordenadas e \(C'\) das \(n\) coordenadas seguintes, logo são independentes. Portanto

Como

temos \(|\P (A)-\P (C)^2|\lt 2\varepsilon \) e \(|\P (C)-\P (A)|\lt \varepsilon \). Fazendo \(\varepsilon \downarrow 0\), obtemos \(\P (A)=\P (A)^2\), isto é, \(\P (A)\in \{ 0,1\} \).

Uma permutação finita dos incrementos não altera \(S_n\) para todo \(n\) suficientemente grande. Logo os eventos \(\{ \limsup _nS_n\leq t\} \) e \(\{ \liminf _nS_n\leq t\} \) são simétricos. Pela Lei zero–um de Hewitt–Savage, as variáveis aleatórias estendidas

são constantes quase certamente; denote essas constantes também por \(L,\ell \in [-\infty ,\infty ]\).

Considere o passeio deslocado \(S_n'=\xi _2+\cdots +\xi _{n+1}\). Ele tem a mesma lei que \((S_n)\), de modo que \(\limsup _nS_n'=L\) e \(\liminf _nS_n'=\ell \) quase certamente. Como \(S_{n+1}=\xi _1+S_n'\), se \(L\) é finito então \(L=\xi _1+L\), e se \(\ell \) é finito então \(\ell =\xi _1+\ell \). Em qualquer desses casos, \(\xi _1=0\) quase certamente e, pela distribuição idêntica, \(S_n=0\) para todo \(n\) quase certamente.

Fora desse caso degenerado, \(L\) e \(\ell \) pertencem a \(\{ -\infty ,\infty \} \). Como \(\ell \leq L\), restam somente \((\ell ,L)=(\infty ,\infty )\), \((-\infty ,-\infty )\) ou \((-\infty ,\infty )\), que correspondem às três alternativas restantes.

Seja \(\mathcal A_0\) a álgebra dos cilindros de dimensão finita:

Defina

Essa definição independe da representação. De fato, duas representações podem ser levadas ao conjunto finito comum de coordenadas \(D=B\cup C\), e a compatibilidade das marginais mostra que ambas recebem o mesmo valor. Pelo mesmo procedimento de levar uma coleção finita de cilindros a um conjunto comum de coordenadas, vemos que \(\mu _0\) é uma probabilidade finitamente aditiva em \(\mathcal A_0\).

Considere a família de cilindros com base compacta

A regularidade interior de cada \(\mu _B\) dá, para \(E=\pi _B^{-1}(E_B)\in \mathcal A_0\),

Verifiquemos cuidadosamente que \(\mathcal K\) é uma classe compacta. Se \(C_n=\pi _{B_n}^{-1}(K_n)\) possui a propriedade da interseção finita, ponha \(J=\bigcup _nB_n\), que é enumerável. Para cada \(\alpha \in J\), escolha um índice \(n(\alpha )\) com \(\alpha \in B_{n(\alpha )}\) e defina

Cada \(L_\alpha \) é compacto e não vazio. Pelo Teorema de Tychonoff, \(L=\prod _{\alpha \in J}L_\alpha \) é compacto. Para cada \(n\), o conjunto

é fechado em \(L\), pois \(K_n\) é compacto e \(\Omega _{B_n}\) é Hausdorff. A família \((D_n)\) tem a propriedade da interseção finita: para uma coleção finita de índices, acrescente também, para cada coordenada que ela envolve, os cilindros \(C_{n(\alpha )}\); a propriedade da interseção finita dos \(C_n\) fornece as coordenadas necessárias em \(L\), e as demais podem ser escolhidas arbitrariamente. Pela compacidade de \(L\), \(\bigcap _nD_n\neq \emptyset \). Estendendo um ponto dessa interseção às coordenadas de \(A\setminus J\), obtemos

Portanto \(\mathcal K\) é uma classe compacta.

Este é o ponto decisivo da construção: a classe compacta converte uma interseção enumerável vazia de aproximantes numa interseção finita já vazia. Assim, a aditividade finita de \(\mu _0\) basta para controlar sua continuidade no vazio.

O Teorema da Classe Compacta 2.27 transforma agora a aditividade finita de \(\mu _0\) em continuidade no vazio e, portanto, em \(\sigma \)-aditividade na álgebra \(\mathcal A_0\): \(\mu _0\) é uma pré-medida. O Teorema de Extensão de Carathéodory fornece uma extensão a \(\sigma \langle \mathcal A_0\rangle =\mathcal B_A\). Como \(\mu _0(\Omega _A)=1\), a extensão é única. Por construção, suas marginais finitas são exatamente as probabilidades \(\mu _B\).