Capítulo 18

Martingalas

Com a esperança condicional e as filtrações já disponíveis, podemos estudar processos cuja evolução tem média condicional controlada. As martingalas são o caso central: dado o presente, o próximo valor tem esperança igual ao valor atual.

Neste capítulo, todos os processos são indexados por $\mathbb N_0=\{ 0,1,2,\ldots \} $ e definidos em um espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},\P )$.

18.1 Martingalas, submartingalas e supermartingalas

A linguagem das filtrações permite distinguir um jogo justo daqueles que apresentam, condicionalmente à informação disponível, uma tendência favorável ou desfavorável.

Definição 18.1 (Martingala)

Um processo real $X=(X_n)_{n\geq 0}$, adaptado a $(\mathcal{F}_n)$, é uma martingala se $X_n\in L^1$ para todo $n$ e

\[ \mathbf{E}[X_{n+1}\mid \mathcal{F}_n]=X_n\qquad \text{q.c.} \]

Ele é uma submartingala se

\[ \mathbf{E}[X_{n+1}\mid \mathcal{F}_n]\geq X_n\qquad \text{q.c.}, \]

e uma supermartingala se a desigualdade é invertida.

A tendência de crescimento ou decrescimento se refere à esperança condicional, não a cada trajetória. O processo $X$ é uma martingala se, e somente se, é simultaneamente uma submartingala e uma supermartingala. Além disso, $X$ é uma supermartingala se, e somente se, $-X$ é uma submartingala. O prefixo super, portanto, não promete ganhos maiores.

Proposição 18.2 (Propriedade de vários passos)

Se $X$ é uma martingala e $0\leq m\leq n$, então

\[ \mathbf{E}[X_n\mid \mathcal{F}_m]=X_m\qquad \text{q.c.} \]

Para submartingalas, o lado esquerdo é maior ou igual a $X_m$; para supermartingalas, é menor ou igual a $X_m$.

Demonstração ▼

No caso de uma martingala, a propriedade da torre fornece

\[ \mathbf{E}[X_n\mid \mathcal{F}_m] =\mathbf{E}\! \left[\mathbf{E}[X_n\mid \mathcal{F}_{n-1}]\mid \mathcal{F}_m\right] =\mathbf{E}[X_{n-1}\mid \mathcal{F}_m]. \]

A repetição desse argumento termina em $X_m$. No caso de uma submartingala, a monotonicidade da esperança condicional substitui cada igualdade por uma desigualdade no sentido correto. O caso das supermartingalas segue aplicando o resultado a $-X$.

Tomando esperanças, obtemos

\[ \mathbf{E}X_n=\mathbf{E}X_0 \]

para martingalas. Para submartingalas, $(\mathbf{E}X_n)$ é crescente; para supermartingalas, decrescente. A recíproca não é verdadeira: a igualdade das esperanças não substitui a condição relativa à informação de cada instante.

Teorema 18.3 (Jensen para martingalas)

Se $X$ é uma martingala, $\varphi :\mathbb R\to \mathbb R$ é convexa e $\varphi (X_n)\in L^1$ para todo $n$, então $(\varphi (X_n))_{n\geq 0}$ é uma submartingala.

Mais geralmente, se $X$ é uma submartingala e $\varphi $ é convexa e não decrescente, então $(\varphi (X_n))$ é uma submartingala sempre que os termos forem integráveis.

Demonstração ▼

Pelo Teorema de Jensen condicional 14.16,

\[ \mathbf{E}[\varphi (X_{n+1})\mid \mathcal{F}_n] \geq \varphi \bigl(\mathbf{E}[X_{n+1}\mid \mathcal{F}_n]\bigr). \]

Se $X$ é uma martingala, o último membro é $\varphi (X_n)$. Se $X$ é uma submartingala, usamos também que $\varphi $ é não decrescente.

Em particular, se $X$ é uma martingala e os termos envolvidos são integráveis, então $(|X_n|)$ e $(|X_n|^p)$, para $p\geq 1$, são submartingalas.

18.2 Exemplos fundamentais

Somas centradas, produtos normalizados e esperanças condicionais fornecem três maneiras recorrentes de construir martingalas. O passeio aleatório permite vê-las em ação.

Exemplo 18.4 (Somas de variáveis independentes)

Se $Y_1,Y_2,\ldots $ são independentes, integráveis e $\mathbf{E}Y_k=0$, então

\[ S_0=0,\qquad S_n=\sum _{k=1}^nY_k \]

é uma martingala para $\mathcal{F}_n=\sigma \langle Y_1,\ldots ,Y_n\rangle $. Como $Y_{n+1}$ é independente de $\mathcal{F}_n$, a Proposição 14.19 dá $\mathbf{E}[Y_{n+1}\mid \mathcal{F}_n]=\mathbf{E}Y_{n+1}=0$. Portanto,

\[ \mathbf{E}[S_{n+1}\mid \mathcal{F}_n]=S_n. \]

Exemplo 18.5 (Produtos)

Se $Y_1,Y_2,\ldots $ são independentes, integráveis e $\mathbf{E}Y_k=1$, e se todo produto abaixo é integrável, então

\[ M_0=1,\qquad M_n=\prod _{k=1}^nY_k \]

é uma martingala para a filtração natural das variáveis $Y_k$. Pela Proposição 14.19, $\mathbf{E}[Y_{n+1}\mid \mathcal{F}_n]=1$; como $M_n$ é $\mathcal{F}_n$-mensurável, a Proposição 14.18 fornece

\[ \mathbf{E}[M_{n+1}\mid \mathcal{F}_n] =M_n\mathbf{E}[Y_{n+1}\mid \mathcal{F}_n] =M_n. \]

Exemplo 18.6 (Esperanças condicionais)

Se $Z\in L^1$, então

\[ M_n=\mathbf{E}[Z\mid \mathcal{F}_n] \]

é uma martingala. A propriedade da torre é exatamente a propriedade de martingala:

\[ \mathbf{E}[M_{n+1}\mid \mathcal{F}_n] =\mathbf{E}[Z\mid \mathcal{F}_n]=M_n. \]

Exemplo 18.7 (Passeio aleatório simples)

Se $Y_1,Y_2,\ldots $ são independentes e $\P (Y_k=1)=\P (Y_k=-1)=1/2$, o passeio $S_n=Y_1+\cdots +Y_n$ é uma martingala. Também são martingalas

\[ S_n^2-n \qquad \text{e}\qquad \frac{\exp (\theta S_n)}{(\cosh \theta )^n},\quad \theta \in \mathbb R. \]

Para a primeira, a Proposição 14.19 fornece $\mathbf{E}[Y_{n+1}\mid \mathcal{F}_n]=0$, e $Y_{n+1}^2=1$. Para a segunda, a mesma propriedade, aplicada a $e^{\theta Y_{n+1}}$, dá $\mathbf{E}[e^{\theta Y_{n+1}}\mid \mathcal{F}_n]=\cosh \theta $.

18.3 Estratégias previsíveis e processos parados

Uma estratégia só pode usar a informação disponível antes de cada aposta. A previsibilidade registra essa restrição: o que se conhece de antemão é a aposta, não o ganho.

Definição 18.8 (Processo previsível)

Um processo $H=(H_n)_{n\geq 1}$ é previsível se $H_n$ é $\mathcal{F}_{n-1}$-mensurável para todo $n\geq 1$. Sua transformada discreta de $X$ é

\[ (H\mathbin {\boldsymbol \cdot }X)_n =\sum _{k=1}^nH_k(X_k-X_{k-1}), \qquad (H\mathbin {\boldsymbol \cdot }X)_0=0. \]

Nessa interpretação, $X_k-X_{k-1}$ é o ganho unitário no passo $k$, e $H_k$, a aposta escolhida antes de esse ganho ser revelado. A transformada soma os ganhos produzidos pela estratégia.

Proposição 18.9 (Transformada de martingala)

Se $X$ é uma martingala e $H$ é previsível e limitado, então $(H\mathbin {\boldsymbol \cdot }X)_n$ é uma martingala. Se $X$ é uma submartingala e $H$ é previsível, limitado e não negativo, então a transformada é uma submartingala.

Demonstração ▼

Escrevendo $\Delta X_k=X_k-X_{k-1}$, temos

\[ \mathbf{E}[H_k\Delta X_k\mid \mathcal{F}_{k-1}] =H_k\mathbf{E}[\Delta X_k\mid \mathcal{F}_{k-1}]. \]

O último membro é zero no caso de uma martingala e é não negativo no caso de uma submartingala com $H_k\geq 0$. A limitação de $H$ garante a integrabilidade.

Recorde que um tempo de parada é uma regra cuja decisão de parar no instante $n$ depende apenas de $\mathcal{F}_n$. Para um tempo de parada $\tau $, o processo parado é

\[ X_n^\tau =X_{n\wedge \tau }, \qquad n\geq 0. \]

Se $\tau =\infty $, convencionamos $n\wedge \tau =n$. A identidade fundamental é

\begin{equation} \label{eq:processo-parado} X_{n\wedge \tau } =X_0+\sum _{k=1}^n\mathbb {1}_{\{ \tau \geq k\} } (X_k-X_{k-1}). \tag{18.1} \end{equation}

Como $\{ \tau \geq k\} =\{ \tau \leq k-1\} ^{\mathsf c}\in \mathcal{F}_{k-1}$, os indicadores formam uma estratégia previsível: mantemos os incrementos até a parada e descartamos os seguintes.

Teorema 18.10 (Processo parado)

Se $X$ é uma martingala e $\tau $ é um tempo de parada, então $X^\tau =(X_{n\wedge \tau })_{n\geq 0}$ é uma martingala. O mesmo vale para submartingalas e supermartingalas.

Demonstração ▼

A identidade (18.1) escreve $X^\tau -X_0$ como a transformada de $X$ pela estratégia previsível $H_k=\mathbb {1}_{\{ \tau \geq k\} }$, que toma valores em $\{ 0,1\} $. A Proposição 18.9 conclui a demonstração nos casos de martingalas e submartingalas. O caso das supermartingalas segue por simetria.

18.4 O teorema da parada de Doob

O processo parado conserva a propriedade de martingala em cada tempo determinístico. Para comparar diretamente os valores em dois tempos de parada, precisamos descrever a informação disponível nesses instantes aleatórios.

Definição 18.11 (Informação em um tempo de parada)

Para um tempo de parada $\tau $, definimos

\[ \mathcal{F}_\tau = \{ A\in \mathcal{F}:A\cap \{ \tau \leq n\} \in \mathcal{F}_n \text{ para todo }n\geq 0\} . \]

Essa coleção é uma $\sigma $-álgebra. De fato, $\Omega \in \mathcal{F}_\tau $, e as identidades

\[ A^{\mathsf c}\cap \{ \tau \leq n\} =\{ \tau \leq n\} \setminus \bigl(A\cap \{ \tau \leq n\} \bigr) \]

\[ \left(\bigcup _{j\geq 1}A_j\right)\cap \{ \tau \leq n\} =\bigcup _{j\geq 1}\bigl(A_j\cap \{ \tau \leq n\} \bigr) \]

mostram que $\mathcal{F}_\tau $ é fechada por complementos e uniões enumeráveis.

Se $\sigma \leq \tau $ e $A\in \mathcal{F}_\sigma $, então

\[ A\cap \{ \tau \leq n\} =\bigl(A\cap \{ \sigma \leq n\} \bigr)\cap \{ \tau \leq n\} \in \mathcal{F}_n, \]

logo $\mathcal{F}_\sigma \subseteq \mathcal{F}_\tau $. Finalmente, se $X$ é adaptado e $C\subseteq \mathbb R$ é boreliano, então

\[ \{ X_\tau \in C,\ \tau \lt \infty \} \cap \{ \tau \leq n\} =\bigcup _{k=0}^{n}\bigl(\{ \tau =k\} \cap \{ X_k\in C\} \bigr)\in \mathcal{F}_n. \]

Assim, $X_\tau $ é $\mathcal{F}_\tau $-mensurável no evento $\{ \tau \lt \infty \} $.

Teorema 18.12 (Amostragem opcional limitada)

Se $X$ é uma submartingala e $\sigma \leq \tau \leq N$ são tempos de parada, então

\[ X_\sigma \leq \mathbf{E}[X_\tau \mid \mathcal{F}_\sigma ] \qquad \text{q.c.} \]

Se $X$ é uma martingala, há igualdade; se é uma supermartingala, a desigualdade é invertida.

Demonstração ▼

Como $\sigma $ e $\tau $ são limitados, as variáveis $X_\sigma $ e $X_\tau $ são integráveis. Além disso,

\[ X_\tau -X_\sigma =\sum _{k=1}^{N} \mathbb {1}_{\{ \sigma \lt k\leq \tau \} }(X_k-X_{k-1}). \]

Se $A\in \mathcal{F}_\sigma $, então $A\cap \{ \sigma \lt k\leq \tau \} \in \mathcal{F}_{k-1}$. Logo, para uma submartingala,

\begin{align*} \mathbf{E}[\mathbb {1}_A(X_\tau -X_\sigma )] & =\sum _{k=1}^{N}\mathbf{E}\! \left[ \mathbb {1}_{A\cap \{ \sigma \lt k\leq \tau \} } \mathbf{E}[X_k-X_{k-1}\mid \mathcal{F}_{k-1}]\right]\\ & \geq 0. \end{align*}

Essa desigualdade, válida para todo $A\in \mathcal{F}_\sigma $, caracteriza $X_\sigma \leq \mathbf{E}[X_\tau \mid \mathcal{F}_\sigma ]$. No caso de uma martingala, todos os termos são zero. O caso das supermartingalas segue de $-X$.

Corolário 18.13 (Parada de Doob limitada)

Se $X$ é uma martingala e $\tau \leq N$ é um tempo de parada, então

\[ \mathbf{E}X_\tau =\mathbf{E}X_0. \]

Para uma submartingala, $\mathbf{E}X_\tau \geq \mathbf{E}X_0$; para uma supermartingala, $\mathbf{E}X_\tau \leq \mathbf{E}X_0$.

Demonstração ▼

Aplique o Teorema 18.12 aos tempos de parada $\sigma =0$ e $\tau $, e depois tome esperanças. Para uma martingala,

\[ X_0=\mathbf{E}[X_\tau \mid \mathcal{F}_0] \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{E}X_0=\mathbf{E}X_\tau . \]

Nos casos de submartingala e supermartingala, a mesma operação preserva o sentido da desigualdade correspondente.

Com tempos limitados, não foi necessária uma passagem ao limite. Para estender o resultado a tempos de parada não limitados, precisamos justificar a passagem de $X_{\tau \wedge n}$ a $X_\tau $ também nas esperanças. A integrabilidade uniforme fornece esse controle.

Definição 18.14 (Integrabilidade uniforme)

Uma família $\{ Z_i:i\in I\} \subset L^1$ é uniformemente integrável se

\[ \lim _{K\to \infty }\sup _{i\in I} \mathbf{E}\bigl[|Z_i|\mathbb {1}_{\{ |Z_i|\gt K\} }\bigr]=0. \]

Lema 18.15 (Critérios úteis)

Uma família dominada por uma variável integrável é uniformemente integrável. Além disso, se para algum $p\gt 1$

\[ \sup _{i\in I}\mathbf{E}|Z_i|^p\lt \infty , \]

então $\{ Z_i:i\in I\} $ é uniformemente integrável.

Demonstração ▼

Se $|Z_i|\leq Y\in L^1$, então

\[ |Z_i|\mathbb {1}_{\{ |Z_i|\gt K\} } \leq Y\mathbb {1}_{\{ Y\gt K\} }, \]

e o lado direito tem esperança tendendo a zero. No segundo caso,

\[ |Z_i|\mathbb {1}_{\{ |Z_i|\gt K\} } \leq K^{1-p}|Z_i|^p. \]

Lema 18.16 (Lema de Vitali)

Se $Z_n\to Z$ q.c. e a família $\{ Z_n:n\geq 1\} $ é uniformemente integrável, então $Z\in L^1$ e $Z_n\to Z$ em $L^1$.

Demonstração ▼

A integrabilidade uniforme implica $\sup _n\mathbf{E}|Z_n|\lt \infty $. Com efeito, escolhendo $K$ tão grande que

\[ \sup _n\mathbf{E}\! \left[ |Z_n|\mathbb {1}_{\{ |Z_n|\gt K\} } \right]\leq 1, \]

temos, para todo $n$,

\[ \mathbf{E}|Z_n| \leq K+\mathbf{E}\! \left[ |Z_n|\mathbb {1}_{\{ |Z_n|\gt K\} } \right] \leq K+1. \]

Pelo lema de Fatou, $Z\in L^1$. Seja $\varphi _K(x)=(-K)\vee (x\wedge K)$. Por convergência dominada,

\[ \mathbf{E}|\varphi _K(Z_n)-\varphi _K(Z)|\longrightarrow 0 \qquad (n\to \infty ). \]

Além disso,

\[ |Z_n-\varphi _K(Z_n)| \leq |Z_n|\mathbb {1}_{\{ |Z_n|\gt K\} }, \]

e vale a desigualdade análoga para $Z$. Fazendo primeiro $n\to \infty $ e depois $K\to \infty $, obtemos $\mathbf{E}|Z_n-Z|\to 0$.

Teorema 18.17 (Parada de Doob)

Seja $X$ uma martingala e seja $\tau \lt \infty $ q.c. Se a família

\[ \{ X_{\tau \wedge n}:n\geq 0\} \]

é uniformemente integrável, então

\[ \mathbf{E}X_\tau =\mathbf{E}X_0. \]

Em particular, a conclusão vale em cada uma das situações seguintes:

existe $Y\in L^1$ tal que $|X_{\tau \wedge n}|\leq Y$ para todo $n$;
os incrementos satisfazem $|X_n-X_{n-1}|\leq C$ q.c. e $\mathbf{E}\tau \lt \infty $.

Para submartingalas e supermartingalas, sob a mesma integrabilidade uniforme, valem respectivamente as desigualdades $\mathbf{E}X_\tau \geq \mathbf{E}X_0$ e $\mathbf{E}X_\tau \leq \mathbf{E}X_0$.

Demonstração ▼

Pelo Corolário 18.13, $\mathbf{E}X_{\tau \wedge n}=\mathbf{E}X_0$ para todo $n$. Como $\tau \lt \infty $ q.c., temos $X_{\tau \wedge n}\to X_\tau $ q.c. O Lema 18.16 transforma essa convergência em convergência em $L^1$, e portanto podemos passar ao limite nas esperanças. Para submartingalas e supermartingalas, fazemos a mesma passagem ao limite nas desigualdades da versão limitada.

A primeira condição particular implica integrabilidade uniforme pelo Lema 18.15. Sob a segunda,

\[ |X_{\tau \wedge n}| \leq |X_0|+\sum _{k=1}^{\tau \wedge n}|X_k-X_{k-1}| \leq |X_0|+C\tau , \]

e o último membro é integrável.

As hipóteses não são ornamento. Parar em tempo finito quase certamente não basta para preservar a esperança, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 18.18 (Uma hipótese indispensável)

Seja $S$ um passeio aleatório simples, com $S_0=0$, e ponha

\[ \tau =\inf \{ n\geq 0:S_n=1\} . \]

Então $\tau \lt \infty $ q.c., mas $\mathbf{E}\tau =\infty $. Como $S_\tau =1$,

\[ \mathbf{E}S_\tau =1\neq 0=\mathbf{E}S_0; \]

logo, a conclusão do teorema da parada falha.

Para justificar as duas afirmações sobre $\tau $, introduzimos uma segunda barreira. Para $a\geq 1$, seja

\[ \tau _a=\inf \{ n\geq 0:S_n\in \{ -a,1\} \} . \]

Em blocos de $a+1$ passos existe uma probabilidade positiva, uniforme em relação ao ponto interior inicial, de atingir uma das duas barreiras. Assim, $\tau _a$ tem cauda geométrica e $\mathbf{E}\tau _a\lt \infty $. Aplicando o teorema da parada a $S_n$,

\[ 0=\mathbf{E}S_{\tau _a} =\P (S_{\tau _a}=1)-a\P (S_{\tau _a}=-a), \]

de onde

\[ \P (S_{\tau _a}=1)=\frac{a}{a+1}. \]

Esses eventos crescem para $\{ \tau \lt \infty \} $; portanto $\P (\tau \lt \infty )=1$. Além disso,

\[ \bigl|S_{n\wedge \tau _a}^2-(n\wedge \tau _a)\bigr| \leq \max \{ a^2,1\} +\tau _a. \]

Logo, a família parada de $S_n^2-n$ é dominada por uma variável integrável, e o teorema da parada fornece

\[ \mathbf{E}\tau _a=\mathbf{E}S_{\tau _a}^2=a. \]

Como $\tau _a\leq \tau $, segue que $\mathbf{E}\tau \geq a$ para todo $a$, e portanto $\mathbf{E}\tau =\infty $.

Com duas barreiras fixas, as condições de integrabilidade voltam a valer. A mesma estratégia de prova determina tanto a probabilidade de saída por cada lado quanto o tempo médio até a saída.

Exemplo 18.19 (Ruína do jogador)

Para inteiros $a,b\geq 1$, seja

\[ \tau =\inf \{ n\geq 0:S_n\in \{ -a,b\} \} . \]

Como no exemplo anterior, $\tau $ tem cauda geométrica e esperança finita. Se $p=\P (S_\tau =b)$, a parada de $S_n$ fornece

\[ 0=bp-a(1-p), \qquad \text{logo}\qquad p=\frac{a}{a+b}. \]

Como a família parada de $S_n^2-n$ é dominada por $\max \{ a^2,b^2\} +\tau $, uma segunda aplicação do teorema fornece

\[ \mathbf{E}\tau =\mathbf{E}S_\tau ^2 =b^2\frac{a}{a+b}+a^2\frac{b}{a+b}=ab. \]

18.5 Desigualdades e convergência de Doob

A desigualdade maximal controla a probabilidade de uma trajetória atingir um nível até certo instante. Para estudar a convergência, controlaremos também suas oscilações, contando os cruzamentos de um intervalo.

Teorema 18.20 (Desigualdade maximal de Doob)

Se $X=(X_k)_{0\leq k\leq n}$ é uma submartingala não negativa e $\lambda \gt 0$, então

\[ \lambda \, \P \! \left(\max _{0\leq k\leq n}X_k\geq \lambda \right) \leq \mathbf{E}\! \left[X_n\mathbb {1}_{\{ \max _{0\leq k\leq n}X_k \geq \lambda \} }\right] \leq \mathbf{E}X_n. \]

Em particular, se $M$ é uma martingala,

\[ \P \! \left(\max _{0\leq k\leq n}|M_k|\geq \lambda \right) \leq \frac{\mathbf{E}|M_n|}{\lambda }. \]

Demonstração ▼

Seja $A=\{ \max _{0\leq k\leq n}X_k\geq \lambda \} $ e seja $T$ o primeiro instante em $\{ 0,\ldots ,n\} $ no qual $X_T\geq \lambda $, com a convenção $T=n$ em $A^{\mathsf c}$. O evento $A$ pertence a $\mathcal{F}_T$. Pela amostragem opcional entre $T$ e $n$,

\[ \lambda \P (A) \leq \mathbf{E}[X_T\mathbb {1}_A] \leq \mathbf{E}[X_n\mathbb {1}_A] \leq \mathbf{E}X_n. \]

Para uma martingala $M$, aplicamos a primeira parte à submartingala $(|M_k|)$.

Para formular a desigualdade de cruzamentos, escrevemos $x^- =\max \{ -x,0\} $. Fixados $a\lt b$, um cruzamento ascendente completo de $[a,b]$ ocorre quando a trajetória visita primeiro $(-\infty ,a]$ e, depois, $[b,\infty )$. Seja $U_n[a,b]$ o número máximo de tais cruzamentos disjuntos realizados até o instante $n$.

Figura 18.1 Três cruzamentos ascendentes completos de [a,b], destacados em vinho. Uma nova contagem começa quando a trajetória retorna a (-∞ ,a] e termina ao alcançar novamente [b,∞ ). — Figura 18.1 Três cruzamentos ascendentes completos de $[a,b]$, destacados em vinho. Uma nova contagem começa quando a trajetória retorna a $(-\infty ,a]$ e termina ao alcançar novamente $[b,\infty )$.

Teorema 18.21 (Desigualdade de cruzamentos de Doob)

Se $(X_k)_{0\leq k\leq n}$ é uma supermartingala, então

\[ (b-a)\mathbf{E}U_n[a,b]\leq \mathbf{E}[(X_n-a)^-]. \]

Demonstração ▼

Considere a estratégia que compra uma unidade imediatamente depois de a trajetória estar em $(-\infty ,a]$ e a conserva até a primeira visita a $[b,\infty )$; então repete a operação. A posição $H_k\in \{ 0,1\} $ mantida no passo $k$ é previsível. Cada operação completa produz ao menos $b-a$. Se ao final resta uma posição aberta, sua perda é no máximo $(X_n-a)^-$. Portanto, trajetória por trajetória,

\[ (H\mathbin {\boldsymbol \cdot }X)_n \geq (b-a)U_n[a,b]-(X_n-a)^-. \]

Como $X$ é uma supermartingala e $H\geq 0$, a transformada é uma supermartingala iniciada em zero; logo sua esperança é menor ou igual a zero. Tomando esperanças na desigualdade anterior, obtemos o resultado.

Se o limite inferior de uma trajetória é menor que seu limite superior, ela atravessa repetidamente algum intervalo entre os dois. A desigualdade anterior permitirá excluir essa oscilação. O controle uniforme das esperanças absolutas também impedirá que o limite seja infinito.

Teorema 18.22 (Convergência de Doob)

Se $X=(X_n)_{n\geq 0}$ é uma supermartingala e

\[ \sup _{n\geq 0}\mathbf{E}|X_n|\lt \infty , \]

então existe uma variável aleatória finita $X_\infty $ tal que

\[ X_n\longrightarrow X_\infty \qquad \text{q.c.} \]

O mesmo resultado vale para submartingalas.

Demonstração ▼

Para racionais $a\lt b$, a desigualdade de cruzamentos implica

\[ \mathbf{E}U_n[a,b] \leq \frac{\mathbf{E}[(X_n-a)^-]}{b-a} \leq \frac{\sup _k\mathbf{E}|X_k|+|a|}{b-a}. \]

Como $U_n[a,b]$ cresce com $n$, defina

\[ U_\infty [a,b]=\lim _{n\to \infty }U_n[a,b]\in [0,\infty ]. \]

Pelo Teorema da Convergência Monótona,

\[ \mathbf{E}U_\infty [a,b] =\lim _{n\to \infty }\mathbf{E}U_n[a,b] \leq \frac{\sup _k\mathbf{E}|X_k|+|a|}{b-a}\lt \infty . \]

Logo $U_\infty [a,b]\lt \infty $ q.c. Se $\liminf X_n\lt \limsup X_n$, existem racionais $a\lt b$ estritamente entre esses dois limites, e então ocorrem infinitos cruzamentos de $[a,b]$, uma contradição. Logo $X_n$ possui limite no espaço estendido q.c.

Pelo lema de Fatou,

\[ \mathbf{E}\! \left[\liminf _{n\to \infty }|X_n|\right] \leq \liminf _{n\to \infty }\mathbf{E}|X_n|\lt \infty , \]

de modo que o limite é finito q.c. Para submartingalas, aplicamos o resultado a $-X$.

Corolário 18.23 (Supermartingalas não negativas)

Toda supermartingala não negativa converge q.c. para uma variável aleatória finita.

Demonstração ▼

Como $X_n\geq 0$ e $(\mathbf{E}X_n)$ é decrescente, $\sup _n\mathbf{E}|X_n|=\mathbf{E}X_0\lt \infty $.

A convergência quase certa não garante a convergência em $L^1$. Para controlar também as esperanças, voltamos à integrabilidade uniforme. O lema seguinte será usado para verificar essa condição em famílias de esperanças condicionais.

Lema 18.24 (Continuidade absoluta da integral)

Se $Z\in L^1(\P )$, então, para todo $\varepsilon \gt 0$, existe $\delta \gt 0$ tal que

\[ \P (A)\lt \delta \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{E}[|Z|\mathbb {1}_A]\lt \varepsilon \]

para todo $A\in \mathcal{F}$.

Demonstração ▼

Escolha $K\gt 0$ tal que

\[ \mathbf{E}[|Z|\mathbb {1}_{\{ |Z|\gt K\} }]\lt \frac{\varepsilon }{2}, \]

o que é possível pela Convergência Dominada. Ponha $\delta =\varepsilon /(2K)$. Se $\P (A)\lt \delta $, então

\[ \mathbf{E}[|Z|\mathbb {1}_A] \leq K\P (A) +\mathbf{E}[|Z|\mathbb {1}_{\{ |Z|\gt K\} }] \lt \varepsilon . \]

Teorema 18.25 (Convergência em $L^1$)

Para uma martingala $M=(M_n)_{n\geq 0}$, são equivalentes:

a família $\{ M_n:n\geq 0\} $ é uniformemente integrável;
existe $M_\infty \in L^1$ tal que $M_n\to M_\infty $ q.c. e em $L^1$;
existe $M_\infty \in L^1$ tal que

\[ M_n=\mathbf{E}[M_\infty \mid \mathcal{F}_n] \qquad \text{q.c. para todo }n. \]

Demonstração ▼

Suponha primeiro que a família é uniformemente integrável. Em particular, ela é limitada em $L^1$. Pelo Teorema 18.22, $M_n\to M_\infty $ q.c.; o Lema 18.16 fornece a convergência em $L^1$.

Se vale a segunda afirmação, então, para $m\geq n$, $M_n=\mathbf{E}[M_m\mid \mathcal{F}_n]$. A contração da esperança condicional em $L^1$ permite fazer $m\to \infty $, dando $M_n=\mathbf{E}[M_\infty \mid \mathcal{F}_n]$.

Finalmente, a família de todas as esperanças condicionais de uma variável fixa $Z\in L^1$ é uniformemente integrável. De fato, para $Y=\mathbf{E}[Z\mid \mathcal{G}]$ e $A=\{ |Y|\gt K\} $,

\[ \P (A)\leq \frac{\mathbf{E}|Z|}{K}. \]

Além disso, por Jensen condicional, $|Y|\leq \mathbf{E}[|Z|\mid \mathcal{G}]$. Como $A\in \mathcal{G}$,

\[ \mathbf{E}[|Y|\mathbb {1}_A] \leq \mathbf{E}\! \left[\mathbf{E}[|Z|\mid \mathcal{G}]\mathbb {1}_A\right] =\mathbf{E}[|Z|\mathbb {1}_A]. \]

Como a primeira desigualdade torna $\P (A)$ uniformemente pequena quando $K\to \infty $, o Lema 18.24 conclui a demonstração.

No exemplo das esperanças condicionais, o crescimento da informação permite identificar o limite: ele é a esperança de $Z$ condicionada a toda a informação reunida pela filtração.

Corolário 18.26 (Teorema ascendente de Lévy)

Se $Z\in L^1$, $\mathcal{F}_n\uparrow \mathcal{F}_\infty $ e $\mathcal{F}_\infty =\sigma \langle \bigcup _n\mathcal{F}_n\rangle $, então

\[ \mathbf{E}[Z\mid \mathcal{F}_n] \longrightarrow \mathbf{E}[Z\mid \mathcal{F}_\infty ] \]

q.c. e em $L^1$.

Demonstração ▼

A martingala $M_n=\mathbf{E}[Z\mid \mathcal{F}_n]$ é uniformemente integrável pelo teorema anterior. Seu limite $M_\infty $ satisfaz $\mathbf{E}[M_\infty \mathbb {1}_A]=\mathbf{E}[Z\mathbb {1}_A]$ para todo $A\in \bigcup _n\mathcal{F}_n$. Um argumento de classe monótona estende a identidade a $A\in \mathcal{F}_\infty $, identificando $M_\infty =\mathbf{E}[Z\mid \mathcal{F}_\infty ]$.

18.6 Decomposição de Doob: o caso discreto de Doob–Meyer

Podemos separar os incrementos de um processo em sua média condicional e no desvio em relação a ela. Somando essas duas parcelas, obtemos uma parte previsível e uma martingala. Para uma submartingala, a parte previsível será crescente.

Definição 18.27 (Previsibilidade em zero)

Um processo adaptado $A=(A_n)_{n\geq 0}$ é previsível se $A_0$ é $\mathcal{F}_0$-mensurável e $A_n$ é $\mathcal{F}_{n-1}$-mensurável para $n\geq 1$.

Teorema 18.28 (Decomposição de Doob)

Se $X=(X_n)_{n\geq 0}$ é um processo adaptado e integrável, então existe uma única decomposição

\[ X_n=M_n+A_n, \]

em que $M$ é uma martingala e $A$ é previsível, integrável e $A_0=0$. Explicitamente,

\begin{align*} A_n& =\sum _{k=1}^n \mathbf{E}[X_k-X_{k-1}\mid \mathcal{F}_{k-1}],\\ M_n& =X_0+\sum _{k=1}^n \bigl(X_k-\mathbf{E}[X_k\mid \mathcal{F}_{k-1}]\bigr). \end{align*}

Além disso, $X$ é uma submartingala se, e somente se, $A$ é crescente; e $X$ é uma supermartingala se, e somente se, $A$ é decrescente.

Demonstração ▼

A fórmula mostra que $A_0=0$ e que $A_n-A_{n-1}$ é $\mathcal{F}_{n-1}$-mensurável. Como

\[ \mathbf{E}[M_n-M_{n-1}\mid \mathcal{F}_{n-1}] =\mathbf{E}[X_n-X_{n-1}\mid \mathcal{F}_{n-1}] -(A_n-A_{n-1})=0, \]

$M$ é uma martingala. Se $X=M+A=\widetilde M+\widetilde A$ são duas decomposições normalizadas, então $M-\widetilde M=\widetilde A-A$ é ao mesmo tempo uma martingala e um processo previsível iniciado em zero. Seus incrementos são $\mathcal{F}_{n-1}$-mensuráveis e têm esperança condicional zero; portanto são nulos q.c. Isso prova a unicidade.

Por fim,

\[ A_n-A_{n-1} =\mathbf{E}[X_n-X_{n-1}\mid \mathcal{F}_{n-1}], \]

que é não negativo exatamente quando $X$ é uma submartingala, e não positivo exatamente quando $X$ é uma supermartingala.

A decomposição de Doob separa a flutuação martingala da tendência previsível.

Exercício 18.1

Seja $(\mathcal F_n)_{n\geq 0}$ uma filtração e seja $Z\in L^1$. Prove diretamente, usando a propriedade da torre, que

\[ M_n=\mathbf{E}[Z\mid \mathcal F_n], \qquad n\geq 0, \]

é uma martingala. Prove também que ela é uniformemente integrável e identifique seu limite, tanto quase certamente quanto em $L^1$, tomando $\mathcal F_\infty =\sigma \langle \bigcup _{n\geq 0}\mathcal F_n\rangle $.

Ver solução

$M_n$ é $\mathcal F_n$-mensurável, integrável e, pela torre, $\mathbf{E}[M_{n+1}\mid \mathcal F_n]=\mathbf{E}[Z\mid \mathcal F_n]=M_n$. A família das esperanças condicionais de uma única variável $L^1$ é uniformemente integrável: aproxime $Z$ em $L^1$ por uma variável limitada e use a contração condicional em $L^1$. Pelo Teorema de Convergência de Doob e pela propriedade caracterizadora,

\[ M_n\longrightarrow \mathbf{E}[Z\mid \mathcal F_\infty ] \]

quase certamente e em $L^1$.

Exercício 18.2

Sejam $\xi _1,\xi _2,\ldots $ variáveis i.i.d. com $\mathbf{E}[\xi _1]=0$ e $\operatorname {Var}(\xi _1)=\sigma ^2\lt \infty $. Para $S_n=\xi _1+\cdots +\xi _n$, adote $S_0=0$ e tome $\mathcal F_n=\sigma \langle \xi _1,\ldots ,\xi _n\rangle $, com $\mathcal F_0=\{ \varnothing ,\Omega \} $. Prove que

\[ (S_n)_{n\geq 0} \quad \text{e}\quad (S_n^2-n\sigma ^2)_{n\geq 0} \]

são martingalas.

Ver solução

Como $\xi _{n+1}$ é independente de $\mathcal F_n$ e centrada, $\mathbf{E}[S_{n+1}\mid \mathcal F_n]=S_n$. Além disso,

\[ \mathbf{E}[S_{n+1}^2\mid \mathcal F_n] =S_n^2+2S_n\mathbf{E}[\xi _{n+1}\mid \mathcal F_n] +\mathbf{E}[\xi _{n+1}^2]=S_n^2+\sigma ^2, \]

o que fornece a segunda propriedade após subtrair $(n+1)\sigma ^2$.

Exercício 18.3

Sejam $\xi _1,\xi _2,\ldots $ variáveis i.i.d., defina $S_0=0$, $S_n=\xi _1+\cdots +\xi _n$ e tome a filtração natural. Suponha que $m(\theta )=\mathbf{E}[e^{\theta \xi _1}]\lt \infty $ para algum $\theta \in \mathbb {R}$. Prove que

\[ M_n=\frac{e^{\theta S_n}}{m(\theta )^n}, \qquad n\geq 0, \]

é uma martingala. Explique o que ocorre quando $m(\theta )=0$.

Ver solução

Independência do novo incremento dá

\[ \mathbf{E}[M_{n+1}\mid \mathcal F_n] =\frac{e^{\theta S_n}}{m(\theta )^{n+1}} \mathbf{E}[e^{\theta \xi _{n+1}}]=M_n. \]

Integrabilidade e adaptação são imediatas. Como $e^{\theta \xi _1}\gt 0$ quase certamente, sua esperança, quando finita, é estritamente positiva; portanto o caso $m(\theta )=0$ não pode ocorrer.

Exercício 18.4

Seja $M=(M_n)$ uma martingala em relação a uma filtração $(\mathcal F_n)$ e seja $H=(H_n)_{n\geq 1}$ um processo previsível e limitado em relação à mesma filtração. Defina

\[ (H\boldsymbol \cdot M)_n =\sum _{k=1}^{n}H_k(M_k-M_{k-1}). \]

Prove diretamente que $(H\boldsymbol \cdot M)_n$ é uma martingala. Interprete o resultado como a impossibilidade de criar ganho médio positivo por uma estratégia de apostas que usa apenas a informação passada.

Ver solução

Cada soma é adaptada e integrável, pois $H$ é previsível e limitado. Como $H_k$ é $\mathcal F_{k-1}$-mensurável,

\[ \mathbf{E}[H_k(M_k-M_{k-1})\mid \mathcal F_{k-1}] =H_k\mathbf{E}[M_k-M_{k-1}\mid \mathcal F_{k-1}]=0. \]

Logo as somas parciais formam uma martingala. Assim qualquer aposta baseada apenas no passado multiplica um incremento de média condicional zero e não cria ganho esperado.

Exercício 18.5

Seja $(S_n)$ um passeio aleatório simples iniciado em $S_0=0$, munido de sua filtração natural $\mathcal F_n=\sigma \langle S_0,\ldots ,S_n\rangle $.

Prove que para cada inteiro $a\geq 1$, $\tau _a=\inf \{ n\geq 0:S_n\geq a\} $ é um tempo de parada.
Fixe $N$ e considere

\[ \rho =\sup \{ 0\leq n\leq N:S_n=0\} , \]

com $\rho =0$ se o conjunto estiver vazio. Mostre que, em geral, $\rho $ não é um tempo de parada.

Ver solução

Temos $\{ \tau _a\leq n\} =\{ \max _{0\leq k\leq n}S_k\geq a\} \in \mathcal F_n$, logo $\tau _a$ é tempo de parada. Para $n\lt N$, decidir $\{ \rho \leq n\} $ exige saber se haverá uma visita a zero entre $n+1$ e $N$. Duas trajetórias com o mesmo prefixo até $n$ podem diferir por um retorno posterior a zero; portanto esse evento não pertence, em geral, a $\mathcal F_n$.

Exercício 18.6

Ruína do jogador por amostragem opcional. Seja $(S_n)$ um passeio aleatório simples iniciado em $0$, e sejam $a,b\geq 1$. Para

\[ \tau =\inf \{ n\geq 0:S_n\in \{ -a,b\} \} , \]

use a amostragem opcional, aplicada primeiro a $\tau \wedge N$, para calcular $\P (S_\tau =b)$. Em seguida, aplique o mesmo procedimento à martingala $S_n^2-n$ para mostrar que

\[ \mathbf{E}[\tau ]=ab. \]

Justifique cuidadosamente as hipóteses que permitem cada passagem ao limite. Esse argumento também é frequentemente chamado de parada opcional.

Ver solução

Aplique primeiro o Teorema de Amostragem Opcional Limitada a $\tau \wedge N$. O processo parado $S_{\tau \wedge N}$ fica entre $-a$ e $b$. Além disso, em cada bloco de $a+b$ passos há uma probabilidade positiva, uniforme no ponto inicial, de atingir uma das barreiras; portanto $\tau \lt \infty $ quase certamente. Logo a passagem $N\to \infty $ é justificada por convergência dominada. Se $p=\P (S_\tau =b)$, então $0=\mathbf{E}S_\tau =bp-a(1-p)$ e $p=a/(a+b)$.

Para $S_n^2-n$, a amostragem no tempo limitado $\tau \wedge N$ dá $\mathbf{E}[S_{\tau \wedge N}^2]=\mathbf{E}[\tau \wedge N]$. O lado esquerdo é dominado por $\max \{ a^2,b^2\} $; convergência dominada à esquerda e monótona à direita mostram que $\mathbf{E}\tau =\mathbf{E}S_\tau ^2\lt \infty $. Assim

\[ \mathbf{E}\tau =b^2\frac{a}{a+b}+a^2\frac{b}{a+b}=ab. \]

Exercício 18.7

Considere lançamentos independentes de uma moeda justa. Seja $\mathcal F_n$ a informação gerada pelos primeiros $n$ lançamentos e defina

\[ M_n=2^n\mathbb {1}_{\{ \text{os $n$ primeiros lançamentos são caras}\} }. \]

Prove que $(M_n)$ é uma martingala não negativa com $\mathbf{E}[M_n]=1$ para todo $n$, mas $M_n\to 0$ quase certamente. Conclua que a família $\{ M_n:n\geq 0\} $ não é uniformemente integrável e que a convergência não ocorre em $L^1$.

Ver solução

Se $H_n$ é o evento das primeiras $n$ caras, então

\[ \mathbf{E}[M_{n+1}\mid \mathcal F_n] =2^{n+1}\mathbb {1}_{H_n}(1/2)=M_n, \qquad \mathbf{E}M_n=2^n2^{-n}=1. \]

Quase toda sequência apresenta uma coroa em tempo finito; depois disso $M_n=0$, logo $M_n\to 0$ quase certamente. Se a família fosse uniformemente integrável, essa convergência implicaria convergência em $L^1$ e, portanto, $\mathbf{E}M_n\to 0$, contradizendo $\mathbf{E}M_n=1$.

Exercício 18.8

Sejam $\xi _1,\xi _2,\ldots $ variáveis i.i.d. centradas, com $\operatorname {Var}(\xi _1)=\sigma ^2\lt \infty $, e defina $S_n=\xi _1+\cdots +\xi _n$ e $\mathcal F_n=\sigma \langle \xi _1,\ldots ,\xi _n\rangle $. Calcule a decomposição de Doob da submartingala $X_n=S_n^2$. Identifique explicitamente a parte martingala e o compensador previsível crescente.

Ver solução

Como $\mathbf{E}[S_n^2-S_{n-1}^2\mid \mathcal F_{n-1}]=\sigma ^2$, o compensador é $A_n=n\sigma ^2$ (com $A_0=0$). Logo a decomposição é

\[ S_n^2=M_n+A_n, \qquad M_n=S_n^2-n\sigma ^2, \]

onde $M$ é martingala e $A$ é previsível, crescente e inicia em zero.

Exercício 18.9

Seja $S_n=\xi _1+\cdots +\xi _n$, onde os incrementos são independentes, centrados e têm variância comum $\sigma ^2\lt \infty $. Use a desigualdade maximal de Doob aplicada à submartingala $S_k^2$ para provar que, para todo $r\gt 0$,

\[ \P \left(\max _{1\leq k\leq n}|S_k|\geq r\right) \leq \frac{n\sigma ^2}{r^2}. \]

Compare o resultado com a desigualdade maximal de Kolmogorov apresentada no Capítulo 11.

Ver solução

$S_k^2$ é uma submartingala não negativa. A desigualdade maximal de Doob fornece

\[ \P \left(\max _{k\leq n}S_k^2\geq r^2\right) \leq \frac{\mathbf{E}[S_n^2]}{r^2}. \]

Independência e centramento dão $\mathbf{E}[S_n^2]=n\sigma ^2$, e o evento à esquerda é exatamente $\{ \max _{k\leq n}|S_k|\geq r\} $. Assim recuperamos, neste caso, a desigualdade maximal de Kolmogorov por uma rota mais geral.

Exercício 18.10 (title=Desigualdade de Azuma–Hoeffding,difficulty=4)

Seja $(M_k,\mathcal F_k)_{0\le k\le n}$ uma martingala com $|M_k-M_{k-1}|\le c_k$ q.c.

Prove a versão condicional do lema de Hoeffding.
Mostre que

\[ \mathbf{E}e^{t(M_n-M_0)} \le \exp \left\{ \frac{t^2}{2}\sum _{k=1}^n c_k^2\right\} . \]
Conclua

\[ \P (|M_n-M_0|\ge u) \le 2\exp \left\{ -\frac{u^2}{2\sum _{k=1}^n c_k^2}\right\} . \]

Ver solução

O lema de Hoeffding condicional aplicado a cada incremento dá, por iteração,

\[ \mathbf{E}e^{t(M_n-M_0)} \le e^{t^2\sum c_k^2/2}. \]

Markov exponencial fornece

\[ \P (M_n-M_0\ge u) \le \exp \{ -tu+t^2\sum c_k^2/2\} . \]

Otimizando em $t=u/\sum c_k^2$, obtemos a cota unilateral. Aplicando o mesmo a $-M$ e usando a união, segue a cota bilateral.

Exercício 18.11 (title=Grafos aleatórios: concentração do número de componentes,difficulty=4)

Enumere as $N=\binom n2$ arestas potenciais de $G(n,p)$ e revele seus estados uma a uma. Seja $K$ o número de componentes conexas e defina

\[ Z_k=\mathbf{E}[K\mid X_1,\ldots ,X_k], \qquad 0\le k\le N. \]

Mostre que $(Z_k)$ é uma martingala de Doob.
Prove que alterar o estado de uma única aresta pode modificar $K$ em no máximo uma unidade.
Deduza que $|Z_k-Z_{k-1}|\le 1$.
Use Azuma–Hoeffding para provar

\[ \P (|K-\mathbf{E}K|\ge t) \le 2\exp \left(-\frac{t^2}{2N}\right). \]

Ver solução

A propriedade de torre mostra que $Z_k$ é martingala. Acrescentar ou remover uma única aresta pode, no máximo, unir duas componentes ou separar uma componente em duas; assim $K$ muda em no máximo $1$. Fixadas as primeiras $k-1$ coordenadas, as duas esperanças condicionais correspondentes aos valores possíveis de $X_k$ diferem em no máximo $1$. Como $Z_{k-1}$ é uma combinação convexa dessas duas quantidades, segue $|Z_k-Z_{k-1}|\le 1$. Finalmente $Z_0=\mathbf{E}K$ e $Z_N=K$; Azuma–Hoeffding com $c_k=1$ fornece

\[ \P (|K-\mathbf{E}K|\ge t) \le 2e^{-t^2/(2N)}. \]