Antes de calcular uma integral, precisamos decidir o que integrar. Uma faixa estreita pode contribuir para uma área; uma fatia, para um volume; um pequeno deslocamento, para o trabalho de uma força. A ideia é a mesma: descrever uma contribuição pequena, somar e passar ao limite.
Neste capítulo, vamos construir as integrais que representam áreas, volumes, trabalho, forças hidrostáticas, comprimentos, áreas de superfícies e centros de massa. A escolha da variável e da contribuição elementar faz parte da solução, não é apenas uma preparação para a conta.
14.1 Construção de fórmulas integrais
Como representar uma grandeza total, como volume ou trabalho, quando conhecemos apenas a contribuição de cada pequena parte? Precisamos identificar essas contribuições e justificar que sua soma, ao refinar a divisão, fornece a grandeza procurada.
No capítulo anterior, as somas de Riemann forneceram a passagem de contribuições locais para uma acumulação. Para uma função limitada e contínua por partes em \([a,b]\), o Teorema 13.5 garante
Nas aplicações, devemos justificar por que \(f(c_i)\Delta x_i\) aproxima a contribuição procurada e por que o erro total tende a zero com o refinamento.
Construção de uma fórmula integral
Identifique a variável e o intervalo que descrevem o objeto.
Divida o intervalo, a região ou o caminho em partes pequenas.
Expresse a contribuição de cada parte por \(f(c_i)\Delta x_i\), conferindo as unidades e controlando o erro da aproximação.
Some as contribuições. Se o erro total tende a zero quando a malha diminui, o limite fornece \(Q=\int _a^b f(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Exemplo 14.1 (Quantas pessoas moram na cidade?)
Uma cidade é modelada por um disco de raio \(20\, \mathrm{km}\). A densidade populacional depende apenas da distância \(r\) ao centro, medida em quilômetros:
\[ \rho (r)=12000e^{-r/5}\quad \text{habitantes por }\mathrm{km}^2. \]
Divida a cidade em anéis finos e construa uma integral para a população total, explicitando as unidades de cada fator. Avalie essa integral. Depois, determine o raio em que a contribuição por unidade de espessura radial é máxima. Esse raio coincide com o local de maior densidade por área?
[figuras/proposta-20261016-x9-1.tex Figura14.1À esquerda, a cidade circular e um anel em torno de \(5\, \mathrm{km}\). À direita, a densidade por área decresce, mas a contribuição por unidade de raio atinge um máximo fora do centro.
Solução
Uma faixa radial entre \(r\) e \(r+\Delta r\) tem área aproximada \(2\pi r\, \Delta r\). Sua população é aproximadamente \(\rho (r)\, 2\pi r\, \Delta r\), cuja unidade é
A densidade por área \(\rho (r)\) é maior no centro. Mas a contribuição por unidade de raio é
\[ p(r)=2\pi r\rho (r)=24000\pi r e^{-r/5} \qquad \text{habitantes por km de raio}. \]
Como \(p'(r)=24000\pi e^{-r/5}(1-r/5)\), essa contribuição atinge seu máximo em \(r=5\, \mathrm{km}\). Para anéis de largura pequena, a contribuição é aproximadamente \(p(r)\, \Delta r\). Como comparação ilustrativa de anéis de largura finita, anéis de largura \(1\, \mathrm{km}\) próximos de \(r=5\, \mathrm{km}\) contêm mais pessoas que o anel central: o anel de \(4{,}5\) a \(5{,}5\, \mathrm{km}\) contém aproximadamente \(138\) mil pessoas; o de \(0\) a \(1\, \mathrm{km}\), cerca de \(33\) mil.
A integral \(\int _0^{20}\rho (r)\mathop{}\! \mathrm{d} r\) não forneceria uma população, pois sua unidade seria habitantes por quilômetro.
Ideia
Construir uma integral exige identificar as contribuições locais e conferir unidades. A densidade máxima e a maior população por anel podem ocorrer em distâncias diferentes.
Exercício 14.1 (Duas médias não substituem o produto)
Num escoamento, a concentração \(c(t)\) é medida em mg/L e a vazão \(q(t)\) em L/min. Durante duas etapas de um minuto cada, os valores são:
Alguém usa a concentração média \(2\) mg/L e a vazão média \(2\) L/min e obtém \(8\) mg. Compare com a massa real e explique a diferença.
Ver solução
O produto \(cq\) tem unidade mg/min; multiplicado por \(\mathop{}\! \mathrm{d} t\), fornece massa. A expressão correta é a integral do produto, que vale \(1\cdot 3\cdot 1+ 3\cdot 1\cdot 1=6\) mg. O produto das duas integrais tem unidade mg\(\cdot \)min. Já o cálculo com as duas médias tem unidade correta, mas valor incorreto: as maiores concentrações ocorrem quando passa menos líquido. A média do produto não é, em geral, o produto das médias.
Exercício 14.2 (As unidades bastam para conferir uma fórmula?)
Determine as unidades de cada integral, supondo \(t\) em segundos, \(x\) e \(y\) em metros e \(\rho g\) em N/m\(^3\).
\[ \begin{gathered} \int _0^{10}v(t)\mathop{}\! \mathrm{d} t\ \ (v\text{ em m/s}),\\ \int _0^2F(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\ \ (F\text{ em N}),\\ \int _0^3A(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\ \ (A\text{ em m}^2),\\ \int _0^H\rho g\, (H-y)\, w(y)\mathop{}\! \mathrm{d} y\ \ (w\text{ em m}). \end{gathered} \]
Em seguida, explique o erro de um estudante que escreveu o volume de um cilindro de raio \(R\) e altura \(h\) como \(\int _0^h\pi r^2\mathop{}\! \mathrm{d} r\). Essa expressão tem unidade de volume? O exame das unidades permite decidir se ela representa o cilindro descrito? Justifique. Ver solução
Metros (deslocamento); N\(\cdot \)m \(=\) J (trabalho); m\(^3\) (volume); N (força). O integrando deve ser a contribuição por unidade da variável de integração. No cilindro, as seções perpendiculares ao eixo têm área constante \(\pi R^2\) e a variável é a altura \(x\): \(V=\int _0^h\pi R^2\mathop{}\! \mathrm{d} x=\pi R^2h\). O estudante integrou na variável errada e trocou \(R\) por uma variável; sua expressão vale \(\pi h^3/3\), que nem depende de \(R\). Essa expressão tem unidade de volume. Portanto, o exame das unidades não basta para garantir que ela represente o cilindro descrito.
Exercício 14.3 (A massa de um cabo)
Um cabo de comprimento \(4\) m tem densidade linear
Sua massa é aproximada por \(\rho (r)\, 2\pi r\Delta r\). Como \(\rho \) é contínua, e a soma dos termos de ordem \((\Delta r)^2\) tende a zero quando a malha da partição diminui, obtemos
Exercício 14.5 (A massa do ar sobre um metro quadrado)
Em um modelo idealizado, a densidade do ar à altitude \(z\) metros é \(\rho (z)=\rho _0e^{-z/H}\), onde \(\rho _0=1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}\) e \(H=8400\ \mathrm m\). Considere uma coluna de base \(A=1\ \mathrm{m^2}\) e altura \(L=100000\ \mathrm m\). A pressão exercida pelo peso de uma coluna de massa \(M\) sobre sua base de área \(A\) é \(p=Mg/A\).
Divida a coluna em camadas horizontais finas e construa uma integral para a massa até \(L\). Verifique as unidades.
Calcule a massa e a pressão exercida pelo peso sobre a base (usando \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\)). Compare com \(1{,}013\times 10^5\ \mathrm{Pa}\).
Que fração da massa da coluna está abaixo de \(8849\) m? Abaixo de que altitude está metade da massa da coluna?
Ver solução
A massa aproximada de uma camada fina é \(\rho (z)A\Delta z\). Ao refinar a divisão,
\[ M(L)=A\int _0^L\rho _0e^{-z/H}\mathop{}\! \mathrm{d} z =A\rho _0H(1-e^{-L/H}). \]
As unidades são \(\mathrm{m^2}\cdot \mathrm{kg/m^3}\cdot \mathrm m=\mathrm{kg}\). Para \(L=100\) km, \(M\approx 1{,}008\times 10^4\) kg, e a pressão exercida pelo peso sobre a base é \(Mg/A\approx 9{,}878\times 10^4\) Pa, cerca de \(2{,}5\% \) abaixo do valor de referência. O modelo é aproximado e supõe \(g\) constante. A fração de massa abaixo de \(z\) é
\[ \frac{1-e^{-z/H}}{1-e^{-L/H}}, \]
que para \(z=8849\) m vale aproximadamente \(0{,}651\). Metade da massa fica abaixo de
A primeira decisão, ao calcular a área entre curvas, é geométrica: qual gráfico está acima do outro? Uma faixa vertical tem altura igual à diferença dessas ordenadas. Depois de determinar a altura e o intervalo corretos, a integral soma as contribuições sem cancelá-las.
Sejam \(f\) e \(g\) funções contínuas em \([a,b]\), tais que \(g(x) \leq f(x)\) para todo \(x \in [a,b]\); então, \(f(x) - g(x)\) é contínua em \([a,b]\) e \(f(x) - g(x)\geq 0\). Considere uma partição \(P=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \) de \([a,b]\) em subintervalos de igual comprimento e escolha marcas \(x_i^\star \in [x_{i-1},x_i]\). A soma de Riemann
aproxima a área entre os gráficos de \(f\) e \(g\).
Figura14.2Quando \(f\geq g\), uma faixa vertical entre as curvas tem altura \(f(x)-g(x)\).
Figura14.3Aproximação da área entre duas curvas por retângulos.
Como \(f-g\) é contínua e não negativa em \([a,b]\), o limite das somas de Riemann existe e fornece a definição seguinte.
Definição 14.1 (Área entre curvas — faixas verticais)
Sejam \(f\) e \(g\) contínuas em \([a,b]\), com \(f(x)\geq g(x)\) em todo o intervalo. A área da região limitada por \(y=f(x)\), \(y=g(x)\), \(x=a\) e \(x=b\) é
Calcule a área da região limitada por \(y=xe^{-x^2}\), \(y=e^x\), \(x=-1\) e \(x=1\).
Figura14.4Região limitada por \(y=xe^{-x^2}\), \(y=e^x\), \(x=-1\) e \(x=1\).
Solução
Antes de integrar, identificamos a fronteira superior. Em \([-1,0]\), temos \(xe^{-x^2}\leq 0\lt e^x\); em \((0,1]\), vale \(xe^{-x^2}\leq x\leq 1\lt e^x\). A altura das faixas é, portanto, \(e^x-xe^{-x^2}\) em todo o intervalo.
A função \(xe^{-x^2}\) é ímpar, porque \(x\) troca de sinal e \(e^{-x^2}\) é par. Assim, suas contribuições nos dois lados da origem se cancelam:
\[ A=\int _{-1}^{1}(e^x-xe^{-x^2})\mathop{}\! \mathrm{d} x =\int _{-1}^{1}e^x\mathop{}\! \mathrm{d} x =\left[e^x\right]_{-1}^{1} =e-\frac1e. \]
Também poderíamos integrar a parcela ímpar por substituição, obtendo a primitiva \(-e^{-x^2}/2\). A simetria permite antecipar o cancelamento sem essa conta.
Exemplo 14.3
Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de \(y=x^2\) e \(y=\sqrt{x}\).
Figura14.5Área entre os gráficos de \(y=x^2\) e \(y=\sqrt{x}\).
Solução
O domínio de \(\sqrt x\) exige \(x\geq 0\). Nessa condição, os dois lados de \(x^2=\sqrt x\) são não negativos, e elevar ao quadrado é uma transformação equivalente:
\[ x^4=x,\qquad x(x^3-1)=0. \]
As curvas se encontram em \(x=0\) e \(x=1\). Para \(0\lt x\lt 1\), temos \(x^2\lt x^{1/2}\), de modo que \(\sqrt x\) é a fronteira superior e \(x^2\), a inferior.
Uma faixa vertical tem altura \(\sqrt x-x^2\) e largura \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Logo,
\[ A=\int _0^1(\sqrt x-x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\left[\frac23x^{3/2}-\frac13x^3\right]_0^1 =\frac13. \]
A ordem das curvas determina o integrando não negativo que representa a área.
Exemplo 14.4
Mostre que a área do círculo de raio \(r\) é \(\pi r^2\).
Figura14.6No disco de raio \(r\), uma faixa vertical tem altura \(2\sqrt{r^2-x^2}\). O desenho está reescalado pelo raio.
Solução
Suponha \(r\gt 0\). A semicircunferência superior tem equação \(y=\sqrt{r^2-x^2}\); a inferior, \(y=-\sqrt{r^2-x^2}\). Logo,
Em vez de recorrer à substituição trigonométrica, calcularemos uma primitiva por partes. Essa escolha aproveita a primitiva já conhecida de \(1/\sqrt{r^2-x^2}\).
No intervalo aberto \((-r,r)\), escrevamos simbolicamente \(I=\int \sqrt{r^2-x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Com \(u=\sqrt{r^2-x^2}\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\mathop{}\! \mathrm{d} x\), temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-x/\sqrt{r^2-x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(v=x\). Pela fórmula de integração por partes,
Embora tenhamos integrado no intervalo aberto, a expressão se estende continuamente aos extremos \(-r\) e \(r\). Podemos avaliá-la ali pelo Teorema Fundamental do Cálculo, sem aplicar a integração por partes nos pontos em que a derivada do radical não existe:
Para \(r=0\), a área é nula, como afirma a fórmula.
Observação 14.5
O cálculo usa as propriedades trigonométricas estabelecidas anteriormente, incluindo \(\operatorname {arcsen}1=\pi /2\). Ele explicita a dependência da área em \(r^2\) e confirma a concordância entre a definição integral de área e a fórmula geométrica do círculo; não é uma construção independente da constante \(\pi \).
14.2.2 Integrando em relação a \(y\)
A escolha das faixas deve acompanhar a forma da região. Considere a região \(R\) entre as retas \(y=c\) e \(y=d\), limitada à esquerda por \(x=g(y)\) e à direita por \(x=f(y)\), com \(f(y)\geq g(y)\) para \(c\leq y\leq d\). Uma faixa horizontal na altura \(y\) tem comprimento \(f(y)-g(y)\). Nesse caso, integramos esse comprimento em relação a \(y\) para obter a área.
Definição 14.2 (Área entre curvas — faixas horizontais)
Sejam \(f\) e \(g\) contínuas em \([c,d]\), com \(f(y)\geq g(y)\) em todo o intervalo. A área da região limitada por \(x=f(y)\), \(x=g(y)\), \(y=c\) e \(y=d\) é
\[ A=\int _c^d\bigl(f(y)-g(y)\bigr)\mathop{}\! \mathrm{d} y. \]
Exemplo 14.6
Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de \(y=x-2\) e \(x=y^2\).
Figura14.7Região limitada por \(y=x-2\) e \(x=y^2\).
Solução
As curvas são \(x=y^2\) e \(x=y+2\). As interseções satisfazem \(y^2-y-2=0\), portanto ocorrem em \(y=-1\) e \(y=2\).
Escolhemos faixas horizontais porque elas descrevem a região com uma única expressão: a fronteira esquerda é \(x=y^2\), e a direita é \(x=y+2\). De fato, para \(-1\leq y\leq 2\),
\[ (y+2)-y^2=(2-y)(y+1)\geq 0. \]
Com faixas verticais, seria necessário tratar os dois ramos da parábola e dividir o cálculo. Integrando a largura de cada faixa horizontal,
\[ A=\int _{-1}^{2}(y+2-y^2)\mathop{}\! \mathrm{d} y =\left[\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2} =\frac92. \]
14.2.3 Curvas que se entrelaçam
Até aqui, identificamos uma curva superior e uma inferior em todo o intervalo. Se os gráficos se cruzam e trocam de posição, essa ordem precisa ser examinada por trechos. Para calcular a área entre \(f\) e \(g\), dividimos a região nos pontos de troca e, em cada sub-região, integramos a diferença entre a função que está acima e a que está abaixo.
Exemplo 14.7
Encontre a área da região \(R\) limitada pelos gráficos das funções \(f(x)=\cos x\) e \(g(x)=\dfrac {2}{\pi }x-1\) e pelas retas verticais \(x=0\) e \(x=\pi \).
Figura14.8Regiões entre \(y=\cos x\) e \(y=2x/\pi -1\) no intervalo \([0,\pi ]\).
Solução
Como \(\cos x\) é decrescente e \(2x/\pi -1\) é crescente em \([0,\pi ]\), as curvas se encontram uma única vez, em \(x=\pi /2\), onde ambas valem zero. O cosseno está acima da reta antes dessa interseção e abaixo dela depois. Assim,
Exercício 14.6 (Deslocar cada faixa por uma quantidade diferente)
Na primeira região, \(-1\leq x\leq 1\) e \(0\leq y\leq 2-x^2\). Na segunda, o mesmo intervalo de \(x\) é usado, mas as duas bordas são elevadas de \(h(x)=x+1\): \(x+1\leq y\leq 3+x-x^2\).
As regiões têm a mesma área, embora uma não seja uma translação rígida da outra? Justifique olhando para cada faixa vertical.
O que mudaria se apenas a borda superior fosse elevada de \(x+1\)? Determine a variação de área sem integrar a parábola.
Ver solução
No primeiro caso, a altura de cada faixa permanece \(2-x^2\); portanto, as áreas são iguais. Se apenas a borda superior subir, acrescenta-se a área sob \(y=x+1\) entre \(-1\) e \(1\): um triângulo de base \(2\) e altura \(2\), com área \(2\). Elevar as duas bordas conserva as diferenças; elevar uma só altera-as.
Exercício 14.7 (A mesma mudança nas bordas)
As funções contínuas \(f\geq g\) delimitam uma região de área \(A\gt 0\) em \(0\leq x\leq 2\). Uma nova região, em \(0\leq x\leq 1\), tem bordas \(y=3f(2x)+5\) e \(y=3g(2x)+5\).
Qual é a área da nova região em função de \(A\)? Explique separadamente o efeito de cada número \(2\), \(3\) e \(5\).
Qual fator positivo de escala vertical substituiria \(3\) para conservar a área original?
Ver solução
O fator \(2\) no argumento comprime as larguras pela metade; o fator \(3\) multiplica as alturas das faixas por \(3\); a adição de \(5\) às duas bordas não altera suas diferenças. A área é \(3A/2\). Para conservá-la, o fator vertical deve ser \(2\). Por substituição, a mesma conta é \(\int _0^1 3[f(2x)-g(2x)]\mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac32\int _0^2[f(u)-g(u)]\mathop{}\! \mathrm{d} u\).
Exercício 14.8 (Área não é cancelamento)
Para calcular a área da região limitada por \(y=x^3\) e \(y=x\), um estudante escreveu
\[ A=\int _{-\sqrt2}^{\sqrt2}(4-2x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac{16\sqrt2}{3}. \]
Como \(1/x\geq 1/x^2\) em \([1,3]\),
\[ A=\int _1^3\left(\frac1x-\frac1{x^2}\right)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\ln 3-\frac23. \]
Exercício 14.10
Em cada item, esboce as regiões limitadas pelas curvas e retas indicadas. Escolha entre faixas verticais e horizontais, desenhe uma faixa típica com suas dimensões e calcule a área total. Quando necessário, represente um ponto de interseção pela equação que o determina ou use uma aproximação numérica.
\(y=x+1, \quad y=9-x^2, \quad x=-1, \quad x=2\)
\(y=\operatorname {sen}(x), \quad y=x^2\)
\(y=x^2, y=x^4\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \quad x+y=1\)
\(y=1/x, \quad y=1/x^2, \quad x=2 \)
\(x=2y^2 \quad x+y=1\)
\(y=\cos x,\quad y=1-2x/\pi \)
\(y=\operatorname {sen}(\pi x) \quad y=x^2-x \quad x=2\), considerando as duas partes no intervalo \(0\leq x\leq 2\).
Seja \(a\) o único número em \((0,1)\) que satisfaz \(\operatorname {sen}a=a^2\); numericamente, \(a\approx 0{,}876726\). Para justificar a unicidade, observe que \(h(x)=\operatorname {sen}x-x^2\) tem \(h(0)=0\), \(h'(0)=1\), \(h(1)\lt 0\) e \(h''(x)=-\operatorname {sen}x-2\lt 0\) em \([0,1]\). Assim, o seno é a curva superior em \([0,a]\), e a área é
\[ A=\int _0^a(\operatorname {sen}x-x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x =1-\cos a-\frac{a^3}{3}\approx 0{,}135698. \]
No primeiro quadrante, \(y=(1-\sqrt x)^2\) e \(y=1-x\), para \(0\leq x\leq 1\). Então \(A=\int _0^1[1-x-(1-\sqrt x)^2]\mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac{1}{3}\).
As curvas se encontram em \(x=1\). Para \(1\leq x\leq 2\), \(1/x\geq 1/x^2\). Assim, \(A=\int _1^2(x^{-1}-x^{-2})\mathop{}\! \mathrm{d} x=\ln 2-1/2\).
Faixas horizontais, \(-1\leq y\leq 1/2\), entre \(x=2y^2\) e \(x=1-y\). Portanto \(A=\int _{-1}^{1/2}(1-y-2y^2)\mathop{}\! \mathrm{d} y=\frac{9}{8}\).
As interseções ocorrem em \(0\), \(\pi /2\) e \(\pi \). A área das duas regiões é \(A=2\int _0^{\pi /2}(\cos x-1+2x/\pi )\mathop{}\! \mathrm{d} x=2-\pi /2\). Em \([0,\pi /2]\), a concavidade do cosseno o coloca acima da corda; a simetria em torno de \((\pi /2,0)\) descreve a outra metade.
As fronteiras trocam de ordem em \(x=1\). No intervalo \([0,1]\), o seno é não negativo e \(x^2-x\) é não positivo; em \([1,2]\), ocorre o contrário. Assim, \(A=\int _0^1[\operatorname {sen}(\pi x)-x^2+x]\mathop{}\! \mathrm{d} x+\int _1^2[x^2-x-\operatorname {sen}(\pi x)]\mathop{}\! \mathrm{d} x=1+\frac{4}{\pi }\).
Faixas verticais entre \(\cos x\) e \(\sec ^2x\), para \(-\pi /3\leq x\leq \pi /3\). Portanto \(A=2\int _0^{\pi /3}(\sec ^2x-\cos x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=\sqrt3\).
Nos esboços a seguir, o segmento tracejado indica a altura (ou a largura, no item 6) de uma faixa típica; sua espessura é \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\) (ou \(\mathop{}\! \mathrm{d} y\)). As curvas e os intervalos usados no cálculo estão identificados em cada item.
Figura não resolvida: figuras/gabarito-12-2-regioes.tex
Exercício 14.11
Ache a área da região delimitada pela parábola \(y=x^2\), pela reta tangente a essa parábola no ponto \((1,1)\) e pelo eixo \(x\). Ver solução
A tangente é \(y=2x-1\), que encontra o eixo \(x\) em \(x=1/2\). A região tem fronteira superior \(x^2\); a inferior é \(0\) em \([0,1/2]\) e \(2x-1\) em \([1/2,1]\). Logo, \(A=\int _0^{1/2}x^2\mathop{}\! \mathrm{d} x+\int _{1/2}^1[x^2-(2x-1)]\mathop{}\! \mathrm{d} x=1/12\).
Exercício 14.12
Ache o número \(b\) tal que a reta \(y=b\) divida a região limitada pelas curvas \(y=x^2\) e \(y=4\) em duas regiões de áreas iguais. Ver solução
A região tem \(0\leq y\leq 4\) e \(-\sqrt y\leq x\leq \sqrt y\). Uma faixa horizontal tem largura \(2\sqrt y\), de modo que sua área total é
Portanto, \(\frac43 b^{3/2}=\frac{16}{3}\) e \(b=4^{2/3}\).
Exercício 14.13
Determine todos os valores reais de \(c\) para os quais a área da região delimitada pelas parábolas \(y=x^2-c^2\) e \(y=c^2-x^2\) seja 576. Ver solução
As curvas se encontram em \(x=\pm |c|\). A área é \(\int _{-|c|}^{|c|}2(c^2-x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x=8|c|^3/3\). Igualando a \(576\), obtemos \(|c|^3=216\), portanto \(c=6\) ou \(c=-6\). Se \(c\) for convencionado como parâmetro positivo, a resposta é \(6\).
Fazemos apenas uma mudança de escala, \(u=x/a\). Então \(x=au\), \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=a\mathop{}\! \mathrm{d} u\), e o intervalo \([0,a]\) se transforma em \([0,1]\):
\[ A=4ab\int _0^1\sqrt{1-u^2}\mathop{}\! \mathrm{d} u. \]
A integral é a área de um quarto do disco unitário, já calculada no exemplo do círculo. Logo,
\[ \boxed {A=4ab\cdot \frac\pi 4=\pi ab.} \]
Os fatores \(a\) e \(b\) expressam o alongamento horizontal e o vertical do círculo unitário.
Exercício 14.15
Calcule cada área de duas maneiras: primeiro com faixas verticais e depois com faixas horizontais.
A região entre \(y=x^2\) e \(y=x\), para \(0\leq x\leq 1\).
A região entre \(y=\sqrt x\) e \(y=x^2\), para \(0\leq x\leq 1\).
O triângulo limitado pelos eixos coordenados e pela reta \(x+y=2\).
A região limitada pelas parábolas \(x=y^2\) e \(x=2-y^2\).
Ver solução
\[ A=\int _0^1(x-x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\int _0^1(\sqrt y-y)\mathop{}\! \mathrm{d} y =\frac16. \]
\[ A=\int _0^1(\sqrt x-x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\int _0^1(\sqrt y-y^2)\mathop{}\! \mathrm{d} y =\frac13. \]
\[ A=\int _0^2(2-x)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\int _0^2(2-y)\mathop{}\! \mathrm{d} y =2. \]
As parábolas se encontram em \((1,\pm 1)\). Horizontalmente,
Para calcular o volume de um sólido, podemos dividi-lo em fatias finas e aproximar o volume de cada uma pela área de sua base multiplicada pela espessura.
Considere um sólido \(S\) situado entre os planos \(x=a\) e \(x=b\). Ao cortá-lo por um plano perpendicular ao eixo \(x\), obtemos uma região plana denominada seção transversal (Figura 14.9).
Figura14.9Um plano perpendicular ao eixo \(x\) corta o sólido \(S\) em uma região de área \(A(x)\).
Seja \(A(x)\) a área da seção transversal na abscissa \(x\), para \(x\in [a,b]\). Escolhemos uma partição \(P=(x_i)\) de \([a,b]\); os planos correspondentes aos pontos da partição dividem \(S\) em fatias, como na Figura 14.10a. Em cada intervalo, escolhemos uma marca \(x_i^*\in [x_{i-1},x_i]\) e aproximamos a fatia por um cilindro reto de base com área \(A(x_i^*)\) e altura \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\). A Figura 14.10b ilustra essa aproximação.
(a)Fatias do sólido
(b)Aproximação do sólido por cilindros
Assim, o volume da \(i\)-ésima fatia \(S_i\) é aproximado por
Figura14.10A fatia de espessura \(\Delta x_i\) tem volume aproximado \(A(x_i^*)\Delta x_i\).
\[ V(S_i) \approx A(x^*_i) \Delta x_i. \]
Somando os volumes dessas fatias, obtemos uma aproximação para o volume total:
\[ V \approx \displaystyle \sum _{i=1}^n A(x^*_i) \Delta x_i. \]
Se \(A\) é contínua, essas somas convergem quando a malha da partição tende a zero:
Seja \(S\) um sólido limitado pelos planos perpendiculares ao eixo \(x\) em \(x=a\) e \(x=b\). Se a área da seção transversal perpendicular ao eixo é \(A(x)\), com \(A\) contínua em \([a,b]\), definimos o volume de \(S\) por
\[ V=\int _a^b A(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x. \]
Exemplo 14.8 (Formas distintas, mesmo volume)
Dois sólidos estão entre os planos \(x=0\) e \(x=1\), com todas as medidas na mesma unidade de comprimento. Em cada posição \(x\), a seção perpendicular ao eixo \(x\) é um quadrado de lado \(\sqrt{1+x}\) no primeiro sólido e um círculo de raio \(\sqrt{(1+x)/\pi }\) no segundo.
Compare as áreas das seções correspondentes. O que essa comparação permite concluir sobre os volumes? Calcule-os pelo método das seções transversais e indique a unidade do resultado.
[figuras/proposta-20261016-e14-3-1.tex Figura14.12Esquemas de dois sólidos com cortes quadrados e circulares. Na mesma posição \(x\), as áreas das seções são iguais; os contornos dos cortes são diferentes.
O resultado é \(\frac32\) unidades cúbicas. Não houve necessidade de encontrar uma correspondência entre cada ponto de um sólido e um ponto do outro. A informação relevante foi a igualdade das áreas das seções em toda posição \(x\).
Ideia
O método das seções determina o volume pela área de cada fatia, não pela forma do contorno dessa fatia. Este é o princípio geométrico por trás de comparar volumes por cortes correspondentes.
Exemplo 14.9
Determine o volume de uma pirâmide com base quadrada de lado \(l\) e altura \(h\).
Figura não resolvida: ./figuras/volume-piramide-secao
Figura14.13A seção à altura \(y\) é um quadrado de lado \(2x\); a semelhança fornece \(x/(l/2)=(h-y)/h\).
Solução
Uma fatia da pirâmide à altura \(y\) é um quadrado de lado \(2x\). Por semelhança de triângulos,
Mostre que o volume da esfera de raio \(r\) é \(\dfrac {4 \pi r^3} 3\).
Figura não resolvida: ./figuras/volume-esfera-secao
Figura14.14Na posição \(x\), a seção da esfera é um círculo de raio \(R(x)=\sqrt{r^2-x^2}\).
Solução
A seção da esfera por um plano perpendicular ao eixo \(x\), na abscissa \(x\), é um disco de raio \(R(x)=\sqrt{r^2-x^2}\), pelo Teorema de Pitágoras. Sua área é \(\pi (r^2-x^2)\). Como essa função é par, podemos integrar apenas na metade positiva e dobrar o resultado:
Calcule o volume da região delimitada pela intersecção de dois cilindros, ambos de raio \(r\), se os eixos dos cilindros se intersectam perpendicularmente.
Figura14.15Sólido de Steinmetz e suas seções transversais quadradas.
Solução
Escolha os eixos dos cilindros como os eixos \(x\) e \(y\). Suas regiões são descritas por
\[ y^2+z^2\leq r^2,\qquad x^2+z^2\leq r^2. \]
Fixada uma altura \(z\), com \(|z|\leq r\), as duas condições da intersecção equivalem a
A seção perpendicular ao eixo \(z\) é, portanto, o produto de dois intervalos iguais: um quadrado de lado \(2\sqrt{r^2-z^2}\). Sua área é \(A(z)=4(r^2-z^2)\).
Somando as contribuições das seções ao longo de \(-r\leq z\leq r\),
\[ V=\int _{-r}^{r}4(r^2-z^2)\mathop{}\! \mathrm{d} z =8\int _0^r(r^2-z^2)\mathop{}\! \mathrm{d} z =\frac{16}{3}r^3. \]
A forma quadrada da seção decorre das duas restrições, não apenas da aparência do sólido na figura.
14.3.2 Sólidos de revolução
Como calcular o volume de um sólido obtido ao girar uma região plana em torno de um eixo? Cortes perpendiculares a esse eixo permitem reconhecer discos ou arruelas cujos volumes podemos somar por integração.
O método das seções transversais se aplica ao sólido \(S\) obtido pela rotação, em torno do eixo \(x\), da região situada sob o gráfico de uma função contínua e não negativa \(f\) em \([a,b]\):
Figura não resolvida: ./figuras/solido-revolucao-discos
Figura14.16Uma fatia perpendicular ao eixo de rotação é aproximada por um disco de raio \(f(x_i^*)\) e espessura \(\Delta x_i\).
A seção transversal perpendicular ao eixo \(x\) é um disco de raio \(f(x)\) e área
\[ A(x)=\pi [f(x)]^2. \]
Integrando essas áreas, obtemos o volume do sólido \(S\) gerado pela rotação do conjunto \(A\) em torno do eixo \(x\):
Seja \(f\) contínua e não negativa em \([a,b]\). Seja \(S\) o sólido obtido pela rotação da região entre \(y=0\) e \(y=f(x)\), para \(a\leq x\leq b\), em torno do eixo \(x\). O volume do sólido \(S\) é dado por
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo \(x\) da região sob a curva \( y = \sqrt{x} \) de \(0\) até \(4\).
Figura14.17Cada seção perpendicular ao eixo \(x\) é um disco de raio \(\sqrt{x}\).
Solução
A seção do sólido por um plano perpendicular ao eixo \(x\), na abscissa \(x\in [0,4]\), é um disco de raio \(\sqrt{x}\). Logo a área da seção transversal é
\[ A(x) = \pi (\sqrt{x})^2 = \pi x . \]
Portanto, o volume do sólido é
\[ V = \displaystyle \int _0^4 A(x) \mathop{}\! \mathrm{d} x = \pi \displaystyle \int _0^4 x \mathop{}\! \mathrm{d} x = \pi \dfrac {x^2}{2}\bigg|_0^4 = 8\pi . \]
De modo similar, para determinar o volume de um sólido obtido com a rotação, em torno do eixo \(y\), de uma região compreendida entre o eixo \(y\) e a curva \( x = f(y), c \leq y \leq d,\) observamos que a seção transversal é um círculo de área \(A(y) = \pi [f(y)]^2\quad \) e, consequentemente, o volume é dado por
\[ V = \displaystyle \displaystyle \int _c^d A(y)\mathop{}\! \mathrm{d} y. \]
Método das Arruelas
Sejam \(r\) e \(R\) contínuas em \([a,b]\), com \(a\lt b\) e \(0\leq r(x)\leq R(x)\). Ao girar a região \(r(x)\leq y\leq R(x)\), para \(a\leq x\leq b\), em torno do eixo \(x\), cada seção transversal é uma coroa circular, ou arruela, de raio externo \(R(x)\) e raio interno \(r(x)\). Assim,
Para rotações em torno do eixo \(y\), usamos seções horizontais e integramos em relação a \(y\). Os raios são distâncias ao eixo: subtraímos as áreas dos dois discos, não elevamos a diferença dos raios ao quadrado.
Exemplo 14.13
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo \(y\), da região compreendida entre a parábola \( y = x^2 \) e a reta \( y = 2x \) no primeiro quadrante.
Figura14.18Arruelas horizontais, com raio externo \(\sqrt y\) e raio interno \(y/2\).
Solução
As interseções satisfazem \(x^2=2x\), logo \(x=0\) ou \(x=2\), correspondendo a \(y=0\) e \(y=4\). Para uma altura \(0\leq y\leq 4\), a faixa horizontal da região vai de \(x=y/2\) até \(x=\sqrt y\), pois \(y/2\leq \sqrt y\) nesse intervalo.
Ao girar a faixa em torno do eixo \(y\), obtemos uma arruela com raio externo \(R(y)=\sqrt y\) e raio interno \(r(y)=y/2\). Sua área é
Deduza a fórmula do volume do toro sólido obtido pela rotação do disco \(x^2+(y-R)^2\leq r^2\), com \(R\gt r\gt 0\), em torno do eixo \(x\).
Figura não resolvida: figuras/toro-secoes-vetorial.tex
Figura14.19Toro obtido pela rotação de um círculo em torno do eixo \(x\).
Solução
Escreva \(K(x)=\sqrt{r^2-x^2}\), para \(-r\leq x\leq r\). Como \(R\gt r\), a seção perpendicular ao eixo \(x\) é uma arruela com raios \(R+K(x)\) e \(R-K(x)\), ambos positivos. Na diferença das áreas, os quadrados de \(K(x)\) se cancelam:
A última integral é a área do semicírculo de raio \(r\), conhecida da seção de áreas: \(\pi r^2/2\). Portanto,
\[ \boxed {V=2\pi ^2Rr^2=(2\pi R)(\pi r^2).} \]
O produto final sugere uma interpretação geométrica: área do círculo gerador vezes percurso de seu centro. Ela voltará no Teorema de Pappus.
14.3.3 Cascas cilíndricas
A escolha da decomposição pode simplificar um volume de revolução. Cortes perpendiculares ao eixo de rotação produzem discos ou arruelas; faixas paralelas ao eixo produzem cascas cilíndricas.
Considere o sólido \( S\) obtido pela rotação, em torno do eixo \(y,\) da região limitada por \( y = f(x), \) onde \(f(x) \geq 0,\) e pelas retas \(y=0\), \(x=a\) e \(x=b\), com \(0\leq a\lt b\) e \(f\) contínua.
Figura14.20Sólido \(S\) obtido pela rotação, em torno do eixo \(y\), da região limitada por \(y=f(x)\), \(y=0\), \(x=a\) e \(x=b\).
Seja \(P=(x_i)\) uma partição de \([a,b]\). Em cada subintervalo, tomamos o ponto médio \(x_i^*=(x_{i-1}+x_i)/2\) e escrevemos \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\). Ao girar em torno do eixo \(y\) o retângulo de base \([x_{i-1},x_i]\) e altura \(f(x_i^*)\), obtemos uma casca cilíndrica de raios \(x_{i-1}\) e \(x_i\). Seu volume é a diferença entre os volumes de dois cilindros:
Esta aproximação torna-se melhor quando \(\left\lvert P\right\rvert =\displaystyle \max _{1\leq i\leq n}\Delta x_i \to 0.\) A passagem ao limite nessa soma de Riemann conduz à definição seguinte.
Definição 14.4 (Volume por cascas cilíndricas)
Seja \(f\) contínua e não negativa em \([a,b]\), com \(0\leq a\lt b\), e seja \(S\) o sólido obtido pela rotação, em torno do eixo \(y\), da região entre \(y=0\) e \(y=f(x)\). Com raio \(r(x)=x\) e altura \(h(x)=f(x)\), definimos
Se a região está entre os gráficos de duas funções contínuas, \(g(x)\leq y\leq f(x)\), para \(0\leq a\leq x\leq b\), com \(a\lt b\), a altura de cada casca é a diferença \(h(x)=f(x)-g(x)\). O raio continua sendo \(r(x)=x\), e a mesma construção fornece
Exemplo 14.15 (O mesmo sólido por cascas cilíndricas)
Calcule, utilizando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo \(y\), da região do primeiro quadrante limitada pela parábola \(y=x^2\) e pela reta \(y=2x\).
Figura14.22Cascas cilíndricas de raio \(x\) e altura \(2x-x^2\), obtidas de faixas verticais.
Solução
Já calculamos esse volume pelo método das arruelas. Agora usamos faixas verticais: as curvas se encontram em \(x=0\) e \(x=2\), e cada faixa, situada em \(0\leq x\leq 2\), gera uma casca de raio \(x\) e altura \(2x-x^2\). Portanto,
Como esperado, os dois métodos fornecem o mesmo volume. A diferença está na decomposição do sólido: arruelas horizontais no primeiro cálculo e cascas cilíndricas neste.
Exemplo 14.16
Encontre o volume do sólido formado pela rotação da região limitada por \(y=0\), \(y=1/(1+x^2)\), \(x=0\) e \(x=2\) em torno do eixo \(y\).
Figura14.23Região e cascas cilíndricas do sólido de revolução.
Solução
A faixa vertical na posição \(x\) tem altura \(h(x)=1/(1+x^2)\). Ao girar em torno do eixo \(y\), ela gera uma casca de raio \(x\). A soma dos volumes dessas cascas fornece
A substituição \(u=1+x^2\) aproveita o fator \(x\) do numerador, pois \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Os novos limites são \(1\) e \(5\). Assim,
Esse é o valor exato, obtido apenas por substituição usual.
Exercício 14.18 (Comparar volumes pelas seções)
Dois sólidos têm altura \(2\) cm. As áreas de suas seções horizontais, em cm\(^2\), são \(A(z)=1+z\) e \(B(z)=3-z\), para \(0\leq z\leq 2\) cm.
Compare os volumes usando a figura e a mudança \(z\mapsto 2-z\), sem encontrar primitivas.
A igualdade dos volumes obriga as áreas das seções na mesma altura a ser iguais? E obriga os sólidos a ter a mesma forma?
Ver solução
Temos \(B(z)=A(2-z)\): as áreas se apresentam na ordem inversa, e por isso suas integrais são iguais. Cada área sob o gráfico é um trapézio de base \(2\) e alturas \(1\) e \(3\), dando volume \(4\) cm\(^3\). Na mesma altura, as áreas só coincidem em \(z=1\). Nem mesmo áreas iguais em todas as alturas determinariam a forma das seções: um disco e um quadrado podem ter a mesma área.
Exercício 14.19 (Uma região atravessa o eixo de rotação)
O retângulo \(0\leq x\leq 1\), \(-1\leq y\leq 1\) gira em torno do eixo \(x\). Um estudante calcula \(V=\pi \int _0^1\bigl(1^2-(-1)^2\bigr)\mathop{}\! \mathrm{d} x=0\).
Esboce a seção produzida pela rotação de uma faixa vertical: é um disco ou uma coroa? Quais são seus raios?
Corrija a integral e explique por que as duas metades do retângulo não devem ser contadas como volumes distintos.
Ver solução
A faixa cruza o eixo e gera um disco de raio \(1\), sem furo. Logo \(V=\pi \int _0^1 1\mathop{}\! \mathrm{d} x=\pi \). Os raios são distâncias ao eixo, não as ordenadas superior e inferior com seus sinais. Cada metade do retângulo, ao girar, gera o mesmo cilindro; somá-las contaria o mesmo volume duas vezes.
Exercício 14.20 (Uma arruela não é um disco)
A região entre \(y=x\) e \(y=x^2\), \(0\le x\le 1\), gira em torno do eixo \(x\). Um estudante calculou o volume como \(\pi \int _0^1(x-x^2)^2\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Calcule o valor obtido pelo estudante e o volume correto.
Explique, com o desenho de uma arruela de raios \(0\lt r\lt R\), por que \(\pi (R^2-r^2)\neq \pi (R-r)^2\).
Ver solução
O estudante obteve \(\pi \left(\tfrac 13-\tfrac 12+\tfrac 15\right)=\tfrac \pi {30}\). O correto é \(\pi \int _0^1(x^2-x^4)\mathop{}\! \mathrm{d} x=\tfrac {2\pi }{15}\).
A arruela tem área \(\pi R^2-\pi r^2\) (disco externo menos disco interno). A expressão \(\pi (R-r)^2\) é a área de um disco cujo raio é a espessura da arruela, que não tem relação com o sólido.
Exercício 14.21
Use discos ou arruelas para calcular os volumes dos sólidos obtidos pelas rotações em torno do eixo \(x\).
A região sob \(y=x(1-x)\), para \(0\leq x\leq 1\).
A região sob \(y=\sqrt{4-x^2}\), para \(0\leq x\leq 2\).
A região entre \(y=x\) e \(y=x^2\), para \(0\leq x\leq 1\).
A região sob \(y=e^{-x}\), para \(0\leq x\leq \ln 2\).
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo \(y,\) da região compreendida entre o eixo \( y \) e a curva \(x = \dfrac {2}{y}, 1 \leq y \leq 4.\)
Figura14.24As seções agora são horizontais: discos de raio \(2/y\), para \(1\leq y\leq 4\).
Ver solução
As seções perpendiculares ao eixo de rotação são horizontais. Na altura \(y\), para \(1\leq y\leq 4\), a região vai do eixo até \(x=2/y\); a rotação produz um disco de raio \(2/y\) e área \(4\pi /y^2\). Somando as áreas das seções ao longo de \(y\),
A escolha da variável \(y\) evita precisar inverter a curva.
Exercício 14.24
Nos próximos itens, uma região do plano cartesiano é descrita. Encontre o volume do sólido de revolução formado pela rotação da região em torno de cada um dos eixos dados.
Região limitada por: \(y=\sqrt{x}\), \(y=0\) e \(x=1\). Rotação em torno:
do eixo \(x\);
da reta \(y=1\);
do eixo \(y\);
da reta \(x=1\).
Região limitada por: \(y=4-x^2\) e \(y=0\). Rotação em torno:
do eixo \(x\);
da reta \(y=4\);
da reta \(y=-1\);
da reta \(x=2\).
O triângulo de vértices \((1,1)\), \((1,2)\) e \((2,1)\). Rotação em torno:
do eixo \(x\);
da reta \(y=2\);
do eixo \(y\);
da reta \(x=1\).
Região limitada por \(y=x^2-2x+2\) e \(y=2x-1\). Rotação em torno:
do eixo \(x\);
da reta \(y=1\);
da reta \(y=5\).
Região limitada por \(y=1/\sqrt{x^2+1}\), \(x=-1\), \(x=1\) e o eixo \(x\). Rotação em torno:
do eixo \(x\);
da reta \(y=1\);
da reta \(y=-1\).
Região limitada por \(y=2x\), \(y=x\) e \(x=2\). Rotação em torno:
do eixo \(x\);
da reta \(y=4\);
do eixo \(y\);
da reta \(x=2\).
Ver solução
Em torno do eixo \(x\), \(V=\pi \int _0^1x\mathop{}\! \mathrm{d} x=\pi /2\).
Em torno de \(y=1\), as arruelas têm área \(\pi [1-(1-\sqrt x)^2]=\pi (2\sqrt x-x)\); portanto, \(V=5\pi /6\).
Em torno do eixo \(y\), arruelas horizontais têm raio externo \(1\) e raio interno \(y^2\); assim, \(V=\pi \int _0^1(1-y^4)\mathop{}\! \mathrm{d} y=4\pi /5\).
Em torno de \(x=1\), usamos discos horizontais de raio \(1-y^2\): \(V=\pi \int _0^1(1-y^2)^2\mathop{}\! \mathrm{d} y=8\pi /15\).
Em torno do eixo \(x\), \(V=\pi \int _{-2}^{2}(4-x^2)^2\mathop{}\! \mathrm{d} x=512\pi /15\).
Em torno de \(y=4\), \(V=\pi \int _{-2}^{2}(16-x^4)\mathop{}\! \mathrm{d} x=256\pi /5\).
Em torno de \(y=-1\), \(V=\pi \int _{-2}^{2}[(5-x^2)^2-1]\mathop{}\! \mathrm{d} x=832\pi /15\).
Em torno de \(x=2\), use seções horizontais. Para \(0\leq y\leq 4\), os raios externo e interno são \(2+\sqrt{4-y}\) e \(2-\sqrt{4-y}\); portanto,
Em torno do eixo \(x\), \(V=\pi \int _1^2[(3-x)^2-1]\mathop{}\! \mathrm{d} x=4\pi /3\).
Em torno de \(y=2\), \(V=\pi \int _1^2[1-(x-1)^2]\mathop{}\! \mathrm{d} x=2\pi /3\).
Em torno do eixo \(y\), as seções horizontais são arruelas de raio externo \(3-y\) e raio interno \(1\): \(V=\pi \int _1^2[(3-y)^2-1]\mathop{}\! \mathrm{d} y=4\pi /3\).
Em torno de \(x=1\), discos horizontais de raio \(2-y\) fornecem \(V=\pi \int _1^2(2-y)^2\mathop{}\! \mathrm{d} y=\pi /3\).
Aqui \(f(x)=1/\sqrt{1+x^2}\) satisfaz \(0\lt f(x)\leq 1\) em \([-1,1]\). Para as rotações em torno de \(y=1\) e \(y=-1\), os raios externo e interno são, respectivamente, \(1\) e \(1-f(x)\), ou \(1+f(x)\) e \(1\). O cálculo exige apenas duas primitivas já conhecidas do capítulo de integral indefinida:
A ordem dos subitens é a dos eixos em cada enunciado. As integrais foram montadas com raios externos e internos não negativos; quando a descrição da seção horizontal muda com a altura, dividimos a integral nos intervalos correspondentes.
Exercício 14.25 (O anel de guardanapo)
Um furo cilíndrico de raio \(r\), com \(0\lt r\lt R\), atravessa uma esfera de raio \(R\) ao longo de um diâmetro. O sólido que resta é chamado anel de guardanapo. Sua altura, medida na direção do furo, é \(h\). Meça a coordenada \(z\) ao longo desse eixo, com origem no centro da esfera. A figura mostra uma seção transversal do anel, em forma de coroa circular.
Mostre que \(h^2/4=R^2-r^2\) e que, para \(|z|\le h/2\), a área da seção do anel é
\[ A(z)=\pi \left(\frac{h^2}{4}-z^2\right). \]
Calcule o volume do anel. Ele depende do raio \(R\) da esfera original?
Duas esferas de raios diferentes são perfuradas de modo que os anéis restantes tenham a mesma altura. Por que seus volumes são iguais, apesar de os sólidos terem aparências diferentes?
Ver solução
O furo encontra a superfície da esfera nos pontos de altura \(\pm \sqrt{R^2-r^2}\). Assim, \(h=2\sqrt{R^2-r^2}\) e \(h^2/4=R^2-r^2\). Na altura \(z\), a coroa tem raio externo \(\sqrt{R^2-z^2}\) e raio interno \(r\). Logo,
Na mesma altura relativa \(z\), os dois anéis têm seções de igual área, \(\pi (h^2/4-z^2)\). Pelo princípio de Cavalieri, têm volumes iguais, mesmo que seus raios externos e os furos sejam diferentes.
Exercício 14.26
Calcule o volume de um cone circular reto com altura 10 e raio da base 5. Ver solução
Medindo \(x\) a partir do vértice, a seção a distância \(x\in [0,10]\) tem raio \(x/2\) e área \(A(x)=\pi x^2/4\). Portanto, \(V=\int _0^{10}\pi x^2/4\mathop{}\! \mathrm{d} x=250\pi /3\) unidades cúbicas.
Exercício 14.27
Calcule o volume de um cone circular oblíquo com altura 10 e raio da base 5. (Dica: as seções transversais paralelas à base são círculos). Ver solução
As seções paralelas à base, a uma mesma distância perpendicular do vértice, têm o mesmo raio que no cone do Exercício 14.26. Pelo princípio de Cavalieri, ou integrando \(A(x)=\pi x^2/4\) de \(0\) a \(10\), obtemos \(V=250\pi /3\) unidades cúbicas.
Exercício 14.28
Calcule o volume de uma pirâmide de altura 10 cuja base é um triângulo retângulo isósceles com catetos de comprimento 4. Ver solução
A distância perpendicular \(x\) ao vértice varia de \(0\) a \(10\). Por semelhança, cada seção tem catetos \(2x/5\) e área \(A(x)=\tfrac 12(2x/5)^2=2x^2/25\). Logo, \(V=\int _0^{10}2x^2/25\mathop{}\! \mathrm{d} x=80/3\) unidades cúbicas.
Exercício 14.29 (Do quadrado ao triângulo)
Um sólido tem comprimento \(10\). Suas seções transversais perpendiculares ao comprimento são trapézios de altura \(5\) e base inferior de comprimento \(5\). A base superior diminui linearmente ao longo do sólido: na extremidade inicial, a seção é um quadrado de lado \(5\); na extremidade final, é um triângulo de base e altura \(5\). A figura mostra essas duas extremidades e a seção intermediária.
Meça \(x\) a partir da extremidade quadrada, com \(0\le x\le 10\). Determine a área \(A(x)\) da seção nessa posição e calcule o volume do sólido.
Ver solução
Por ser linear, o comprimento da base superior diminui de \(5\) para \(0\) quando \(x\) vai de \(0\) a \(10\). Logo, essa base mede \(5-x/2\). A área do trapézio (também válida no caso limite triangular) é
\[ V=\int _0^{10}\left(25-\frac{5x}{4}\right)\mathop{}\! \mathrm{d} x =250-\frac{125}{2}=\boxed {\frac{375}{2}} \]
unidades cúbicas. Na extremidade inicial, a área vale \(25\); na final, vale \(25/2\), como se espera das seções exibidas.
Exercício 14.30 (Volume do tronco de cone)
Um tronco de cone circular reto tem altura \(h\), raio da base inferior \(R\) e raio da base superior \(r\). Considere a região plana limitada pelo eixo \(x\), pelas retas \(x=0\) e \(x=h\) e pelo segmento que liga \((0,R)\) a \((h,r)\). Gire essa região em torno do eixo \(x\) e use uma integral definida para deduzir uma fórmula para o volume do tronco. Verifique o resultado nos casos \(r=R\) e \(r=0\). Ver solução
O raio da seção em \(x\) é \(\rho (x)=R+\dfrac {r-R}{h}\, x\). Assim,
\[ V=2\pi \int _0^1xe^{-x}\mathop{}\! \mathrm{d} x =2\pi \left(1-\frac2e\right). \]
Exercício 14.32
Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo \(y,\) da região limitada por \( y = 2x^2-x^3 \) e \( y = 0.\)
Figura14.25Rotação da região sob \(y=2x^2-x^3\) em torno do eixo \(y\).
Ver solução
A função é \(x^2(2-x)\), não negativa em \([0,2]\); nesse intervalo delimita a região com o eixo \(x\). Cada faixa vertical gera uma casca de raio \(x\) e altura \(x^2(2-x)\):
A parte decisiva foi escolher as cascas; depois disso, resta integrar um polinômio.
Exercício 14.33 (Cunha retirada de um tronco)
Um tronco de árvore tem a forma de um cilindro circular reto de raio \(0{,}6\) m e está deitado, com o eixo na horizontal. Retira-se uma cunha com dois cortes planos que descem do topo até o eixo e se encontram ao longo de um diâmetro horizontal de uma seção transversal. Um corte é vertical, perpendicular ao eixo; o outro forma um ângulo de \(60^\circ \) com a horizontal.
Calcule o volume da cunha. Sugestão: use seções perpendiculares ao diâmetro comum aos dois cortes. Ver solução
Ponha o diâmetro comum sobre o eixo \(u\), com \(|u|\le 0{,}6\). Como o corte oblíquo forma \(60^\circ \) com a horizontal, ele forma \(30^\circ \) com o corte vertical. Em cada \(u\), a seção da cunha é um triângulo retângulo de catetos \(\sqrt{0{,}36-u^2}\) (vertical) e \(\sqrt{0{,}36-u^2}\, \operatorname {tg}30^\circ \) (ao longo do eixo). Logo
A acumulação de pequenas contribuições também aparece em grandezas físicas. Quando uma força varia com a posição, dividimos o deslocamento em trechos nos quais ela pode ser aproximada por uma força constante; a soma dos trabalhos nesses trechos conduz à integral. Fixado um sentido positivo no eixo do movimento, denotamos por \(F\) a componente algébrica da força nesse eixo. Quando ela é constante, o trabalho realizado em um deslocamento orientado \(d\) é
\[ W=Fd. \]
O trabalho é positivo quando força e deslocamento têm o mesmo sentido e negativo quando têm sentidos opostos. No Sistema Internacional, sua unidade é o joule: \(1\, \mathrm J=1\, \mathrm{N\, m}\).
Consideremos uma partícula que se desloca de \(x=a\) até \(x=b\), com \(a\lt b\), sob a ação de uma força \(F=F(x)\) contínua em \([a,b]\). Escolhemos uma partição \(P=(x_i)\) desse intervalo, com marcas \(x_i^*\in [x_{i-1},x_i]\) e \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\), para \(i=1,\ldots ,n\). Em cada intervalo suficientemente pequeno, a continuidade permite aproximar a força pelo valor constante \(F(x_i^*)\). O trabalho nesse trecho é, portanto, aproximado por
Se o deslocamento ocorrer no sentido contrário, a integral com limites invertidos incorpora seu sinal. Nos problemas de levantamento e deformação, calcularemos o trabalho externo em processos lentos, desprezando atrito e variações de energia cinética, salvo indicação em contrário.
Exemplo 14.17
Calcule o trabalho realizado pela força gravitacional quando um corpo de massa \(m\) kg é deslocado radialmente da superfície da Terra até uma altura \(h\gt 0\) m. Determine também o trabalho necessário para elevá-lo lentamente, desprezando outras forças e a rotação da Terra. Utilize o modelo esfericamente simétrico para a Terra: se \(M\) é sua massa, \(G\) é a constante gravitacional e \(r\) é a distância ao seu centro, a componente radial da força gravitacional é
\[ F(r)=-\frac{GMm}{r^2}. \]
Figura não resolvida: ./figuras/forcagravitacional
Figura14.26Força gravitacional ao longo do deslocamento radial.
Solução
Escolhemos a coordenada radial positiva para fora da Terra. A força gravitacional aponta no sentido oposto, de modo que sua componente é \(F(r)=-GMm/r^2\).
Em um deslocamento curto, aproximamos a força pelo valor em uma marca do subintervalo. Como \(F\) é contínua em \([r_0,r_1]\), o refinamento da partição conduz à integral do trabalho:
\[ W=\int _{r_0}^{r_1}-\frac{GMm}{r^2}\mathop{}\! \mathrm{d} r =\left[\frac{GMm}{r}\right]_{r_0}^{r_1} =GMm\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_0}\right), \]
onde \(r_0\) é o raio da Terra e \(r_1=r_0+h\). Como \(r_1\gt r_0\), o trabalho da gravidade é negativo.
Para uma elevação lenta, desprezamos a variação da energia cinética. O agente externo equilibra a gravidade em cada posição e realiza trabalho \(W_{\mathrm{ext}}=GMm(1/r_0-1/r_1)\gt 0\). Com as grandezas em unidades do Sistema Internacional, esses trabalhos são medidos em joules. Colocar o corpo em órbita exigiria considerar também sua energia cinética orbital, que não faz parte deste deslocamento radial.
Exemplo 14.18 (Trabalho para recolher uma corda)
Uma corda uniforme de escalada, com \(50\, \mathrm m\) de comprimento, pende verticalmente da beira de um precipício. Quanto trabalho é realizado ao recolhê-la inteiramente até o topo? Sua massa linear é \(66\, \mathrm{g/m}\). Use \(g=9{,}8\, \mathrm{m/s^2}\) e despreze o atrito na borda.
Figura14.27Modelo para o trabalho realizado ao erguer uma corda.
Solução
Denotemos por \(x\) o comprimento já recolhido, em metros. Restam \(50-x\) metros pendurados; a parte que já chegou ao topo deixa de contribuir para o peso que precisa ser sustentado. Como \(66\, \mathrm{g/m}=0{,}066\, \mathrm{kg/m}\), a massa suspensa é \(0{,}066(50-x)\) kg. No levantamento lento, a força aplicada equilibra esse peso:
Ao recolher um pequeno comprimento adicional \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\), realizamos trabalho \(\mathop{}\! \mathrm{d} W=F(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\). O processo começa em \(x=0\) e termina em \(x=50\); portanto,
\[ W=\int _0^{50}0{,}6468(50-x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=808{,}5\, \mathrm J. \]
Podemos conferir o resultado pelas distâncias de elevação. As partes da corda uniforme sobem distâncias distribuídas entre \(0\) e \(50\, \mathrm m\), com média de \(25\, \mathrm m\). Como a massa total é \(3{,}3\, \mathrm{kg}\), o produto \(3{,}3\cdot 9{,}8\cdot 25\) fornece o mesmo trabalho.
Exemplo 14.19 (Relação entre trabalho e energia cinética)
Uma partícula de massa \(m\) desloca-se sobre o eixo \(x\) com função de posição \(x=x(t)\), com \(x_0=x(t_0)\) e \(x_1=x(t_1)\). Suponha que \(m\gt 0\) seja constante, que \(x(t)\) tenha duas derivadas contínuas em \([t_0,t_1]\) e que a força resultante \(f\) seja contínua em um intervalo que contenha toda a trajetória, com \(f(x(t))=mx''(t)\). Seja \(v=v(t)\) a função que descreve a velocidade da partícula, com \(v_0=v(t_0)\) e \(v_1=v(t_1)\). Mostre que o trabalho realizado pela resultante de \(x_0\) até \(x_1\) é igual à variação na energia cinética, isto é,
Se \(\Phi \) é uma primitiva de \(f\) em um intervalo que contém toda a trajetória, a regra da cadeia dá \(\frac{\mathop{}\! \mathrm{d}}{\mathop{}\! \mathrm{d} t}\Phi (x(t))=f(x(t))x'(t)\). Integrando no tempo e usando \(x(t_0)=x_0\) e \(x(t_1)=x_1\), obtemos
onde \(a(t)=v'(t)\) é a aceleração. Agora reconhecemos a derivada de \([v(t)]^2/2\) no produto \(v(t)v'(t)\). A substituição \(v=v(t)\) abaixo é outra aplicação da regra da cadeia e também não exige que a velocidade seja injetora. Assim, de (14.1) e (14.2),
Quanto trabalho é necessário para levar uma mola de uma deformação a outra, se a força exigida muda ao longo do deslocamento? Precisamos primeiro descrever essa força em função da deformação para então somar suas contribuições ao trabalho.
No regime elástico linear, a lei de Hooke relaciona a força à deformação da mola em relação ao comprimento natural. Se \(x\) é a deformação orientada, a própria mola exerce a componente \(-kx\), com \(k\gt 0\): a força tende a restaurar o comprimento natural. Para manter a mola deformada ou variar lentamente a deformação, a força externa tem componente
\[ F(x)=kx. \]
A constante \(k\), medida em \(\mathrm{N/m}\), expressa a rigidez da mola. Por exemplo, se uma força de \(1\, \mathrm N\) mantém uma extensão de \(2\, \mathrm{cm}=0{,}02\, \mathrm m\), então \(k=1/0{,}02=50\, \mathrm{N/m}\). Uma extensão de \(10\, \mathrm{cm}\) exige \(5\, \mathrm N\), desde que a mola permaneça no regime em que essa relação é válida.
Exemplo 14.20
Uma mola tem comprimento natural de \(7\, \mathrm{cm}\) e requer uma força de \(90\, \mathrm N\) para ser mantida com \(12\, \mathrm{cm}\). Quanto trabalho externo é realizado ao alongá-la lentamente do comprimento natural até essa configuração?
Figura14.28Comparação entre o comprimento natural e uma configuração alongada da mola. A força alonga a mola de \(7\) cm para \(12\) cm; a variável da Lei de Hooke é a extensão \(x=5\) cm.
Solução
Na Lei de Hooke, a variável é a deformação em relação ao comprimento natural, e não o comprimento total da mola. Neste caso, a extensão é \(12-7=5\, \mathrm{cm}=0{,}05\, \mathrm m\), como indica a Figura 14.28.
Como \(F(x)=kx\) e \(F(0{,}05)=90\), temos \(k=1800\, \mathrm{N/m}\). Durante o alongamento, a força aplicada cresce de zero a \(90\, \mathrm N\); esse último valor não atua ao longo de todo o deslocamento. Uma deformação adicional \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\) exige trabalho \(1800x\mathop{}\! \mathrm{d} x\), de modo que
\begin{align*} W & = \int _0^{0{,}05}1800x\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & =900x^2\Big|_0^{0{,}05} =2{,}25\, \mathrm J. \end{align*}
14.4.2 Bombeamento de líquidos
Ao bombear um líquido, somamos o trabalho necessário para elevar cada camada até a saída. A área da camada determina seu peso, enquanto sua posição determina a distância que ela precisa subir.
Exemplo 14.21
Considere um tanque de água em forma de cone circular reto, com o vértice voltado para baixo, altura de \(10\) metros e raio da base de \(2\) metros. Se o tanque está cheio, quanto trabalho é necessário para bombear toda a água para fora por cima do tanque?
Figura não resolvida: ./figuras/tanque-conico-trabalho
Figura14.29Uma lâmina à profundidade \(h\) tem raio \(r(h)=(10-h)/5\) e precisa ser elevada a distância \(h\).
Solução
Adotamos um bombeamento ideal, sem perdas por atrito nem variação apreciável da energia cinética da água. Medimos a profundidade \(h\) para baixo a partir do topo do tanque: \(0\leq h\leq 10\). Essa escolha faz com que uma lâmina na profundidade \(h\) precise ser elevada exatamente a distância \(h\) até a borda.
Por semelhança de triângulos, o raio da seção é \(r(h)=2(10-h)/10=(10-h)/5\). Para uma lâmina de espessura \(\Delta h\), as etapas de modelagem são:
Grandeza
Expressão aproximada
Unidade
Área
$\pi(10-h)^2/25$
$\mathrm{m^2}$
Volume
$\pi(10-h)^2\Delta h/25$
$\mathrm{m^3}$
Massa
$\rho\pi(10-h)^2\Delta h/25$
$\mathrm{kg}$
Peso
$\rho g\pi(10-h)^2\Delta h/25$
$\mathrm{N}$
Distância
$h$
$\mathrm{m}$
Trabalho
$\rho g\pi h(10-h)^2\Delta h/25$
$\mathrm{J}$
Aqui, \(\rho \) é a densidade da água. Somando os trabalhos das lâminas e tomando o limite, com \(\rho =1000\, \mathrm{kg/m^3}\) e \(g=9{,}8\, \mathrm{m/s^2}\), obtemos
\[ W=\frac{9800\pi }{25}\int _0^{10}h(10-h)^2\mathop{}\! \mathrm{d} h. \]
Esse é o trabalho para elevar a água até a borda, sem perdas adicionais. Uma saída acima da borda alteraria a distância de elevação de cada lâmina.
Exercício 14.34 (Força final e trabalho total)
Dois mecanismos deslocam um objeto no sentido positivo de \(x\), de \(0\) a \(2\) m. As forças, em newtons, são \(F_A(x)=4\) e \(F_B(x)=2x\), com \(x\) expresso em metros.
As forças finais são iguais. Os trabalhos também? Compare-os por áreas.
Se a coordenada passar a ser \(u=x+3\), escreva a integral do trabalho de \(B\) na nova coordenada. Uma mudança da origem pode alterar o trabalho físico?
Ver solução
O trabalho de \(A\) é a área de um retângulo, \(8\) J; o de \(B\), a de um triângulo, \(4\) J. Conhecer apenas a força final não determina o trabalho. Com \(u=x+3\), os limites são \(3\) e \(5\), e a força passa a \(2(u-3)\): \(W_B=\int _3^5 2(u-3)\mathop{}\! \mathrm{d} u=4\) J. Transformar corretamente função e limites preserva a quantidade física.
Exercício 14.35
Uma força variável \(F(x)=10+x\) newtons atua na direção do movimento enquanto um corpo se desloca de \(x=0\) a \(x=4\) metros. Calcule o trabalho realizado. Ver solução
A força aponta no sentido do deslocamento em todo o intervalo; as contribuições \((10+x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\) são positivas. Assim,
\[ W=\int _0^4(10+x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=\left[10x+\frac{x^2}{2}\right]_0^4=48\ \mathrm J. \]
Exercício 14.36
Uma força atrativa radial tem intensidade \(F(r)=k/r^2\), com \(k\gt 0\). Calcule o trabalho necessário para afastar lentamente uma partícula da distância \(r=a\) até \(r=b\) do centro de atração, com \(0\lt a\lt b\). Ver solução
Para afastar a partícula lentamente, a força externa deve ter intensidade \(k/r^2\) no sentido do deslocamento. Assim,
\[ W=\int _a^b\frac{k}{r^2}\mathop{}\! \mathrm{d} r =k\left(\frac1a-\frac1b\right). \]
O resultado é positivo porque \(b\gt a\): o agente externo fornece energia ao sistema ao afastar a partícula contra a atração.
Exercício 14.37 (Uma carga entre duas cargas fixas)
Pela lei de Coulomb, duas partículas com cargas \(q_1\) e \(q_2\), a uma distância \(d\), exercem uma sobre a outra uma força de intensidade \(k|q_1q_2|/d^2\), em que \(k\gt 0\) é constante; cargas de sinais opostos se atraem. Duas partículas de carga \(-1\) estão fixas em \(x=0\) e \(x=4\), e uma partícula de carga \(+1\) se move sobre o eixo, entre elas.
Mostre que a força resultante sobre a partícula de carga \(+1\), na posição \(x\in (0,4)\), é
\[ F(x)=-\frac{k}{x^2}+\frac{k}{(x-4)^2}, \]
em que o sinal indica o sentido no eixo.
Para \(k=1\), esboce o gráfico de \(F\) em \((0,4)\). Estude o sinal, o crescimento, a concavidade e os limites nos extremos do intervalo.
Para \(k=1\), calcule o trabalho realizado por \(F\) quando a partícula se desloca de \(x=1\) até \(x=2\) e interprete o sinal.
Ver solução
A carga em \(0\) atrai a partícula para a esquerda, com intensidade \(k/x^2\); a carga em \(4\) a atrai para a direita, com intensidade \(k/(4-x)^2=k/(x-4)^2\). Somando com sinais, obtém-se \(F\).
\(F(2)=0\), \(F\lt 0\) em \((0,2)\) e \(F\gt 0\) em \((2,4)\). Além disso,
Logo \(F\) é crescente; \(F''\) é negativa em \((0,2)\) e positiva em \((2,4)\), e a inflexão é \((2,0)\). \(F\to -\infty \) quando \(x\to 0^+\) e \(F\to +\infty \) quando \(x\to 4^-\). O gráfico é simétrico em relação a \((2,0)\): \(F(4-x)=-F(x)\).
\(W=\displaystyle \int _1^2F(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=\left[\frac1x-\frac1{x-4}\right]_1^2=1-\frac43=-\frac13\). O trabalho é negativo porque, em \((1,2)\), a força aponta para a esquerda, contra o deslocamento. Para conduzir a partícula lentamente, sem alterar sua energia cinética, um agente externo realiza trabalho \(1/3\). Esses valores estão na unidade de trabalho correspondente às unidades escolhidas para a força e a posição, com a normalização \(k=1\).
Exercício 14.38
Uma mola obedece à lei de Hooke \(F(x)=kx\). Para \(k=40\, \mathrm{N/m}\), calcule o trabalho necessário para aumentar sua deformação de \(0{,}10\) m para \(0{,}25\) m. Ver solução
A variável \(x\) já mede a deformação; por isso o processo começa em \(0{,}10\, \mathrm m\), e não no comprimento natural. A força externa é \(40x\) newtons, logo
\[ W=\int _{0{,}10}^{0{,}25}40x\mathop{}\! \mathrm{d} x =20\bigl(0{,}25^2-0{,}10^2\bigr)=1{,}05\ \mathrm J. \]
Exercício 14.39
Uma mola que obedece à lei de Hooke requer \(18\, \mathrm N\) para ser alongada \(0{,}12\, \mathrm m\) além do comprimento natural. Determine o trabalho necessário para alongá-la de \(0{,}05\, \mathrm m\) a \(0{,}20\, \mathrm m\). Ver solução
Pela lei de Hooke, \(k=18/0{,}12=150\, \mathrm{N/m}\). Integrando a força externa entre as deformações inicial e final, obtemos
\[ W=\int _{0{,}05}^{0{,}20}150x\mathop{}\! \mathrm{d} x =75\bigl(0{,}20^2-0{,}05^2\bigr) =2{,}8125\, \mathrm J. \]
Exercício 14.40
Uma corda de \(20\, \mathrm m\) tem densidade linear constante \(0{,}5\, \mathrm{kg/m}\) e pende verticalmente do alto de um edifício. Calcule o trabalho necessário para recolhê-la inteiramente, usando \(g=9{,}8\, \mathrm{m/s^2}\). Ver solução
Um elemento de comprimento \(\mathop{}\! \mathrm{d} y\), situado à distância \(y\) do topo, tem peso \(0{,}5g\mathop{}\! \mathrm{d} y\) e precisa subir \(y\) metros. Aqui somamos o trabalho para elevar cada parte da corda até o topo:
\[ W=0{,}5g\int _0^{20}y\mathop{}\! \mathrm{d} y =4{,}9\cdot 200 =980\, \mathrm J. \]
Exercício 14.41 (Balde furado)
Um balde de massa \(10\, \mathrm{kg}\) é içado verticalmente, com velocidade constante, ao longo de \(12\, \mathrm m\). A corda tem densidade linear \(0{,}8\, \mathrm{kg/m}\): no início, seus \(12\, \mathrm m\) estão suspensos e, durante a subida, ela é recolhida no topo. O balde contém inicialmente \(36\, \mathrm{kg}\) de água, que vaza a uma taxa constante no tempo e se esgota justamente ao final da subida. Despreze a resistência do ar.
Explique por que a massa de água restante varia linearmente com a altura percorrida. Expresse essa massa em função da altura \(y\) já percorrida.
Escreva a força de levantamento em função de \(y\), distinguindo as contribuições do balde, da água restante e da corda ainda suspensa.
Calcule o trabalho total contra a gravidade, usando \(g=9{,}8\, \mathrm{m/s^2}\).
Ver solução
Se \(T\) é o tempo total da subida, a velocidade constante implica \(y=12t/T\). Como o vazamento é constante no tempo,
Portanto, \(m_{\text{água}}(y)=36(1-y/12)=36-3y\) kg, para \(0\leq y\leq 12\). É a proporcionalidade entre tempo e altura que torna a massa uma função afim de \(y\).
O comprimento de corda ainda suspenso é \(12-y\) metros. Assim, a força que equilibra os pesos durante a subida é
\[ \begin{aligned} W& =g(120+216+57{,}6)\\ & =3857{,}28\, \mathrm J. \end{aligned} \]
Os três termos correspondem, respectivamente, ao balde, à água e à corda.
Exercício 14.42
Um tanque cilíndrico de eixo vertical, raio \(2\, \mathrm m\) e altura \(5\, \mathrm m\) está cheio de água. Calcule o trabalho necessário para bombear toda a água até a borda superior, usando \(\rho g=9800\, \mathrm{N/m^3}\). Ver solução
Medindo \(y\) a partir do fundo, uma lâmina horizontal tem volume \(4\pi \mathop{}\! \mathrm{d} y\), peso \(9800\cdot 4\pi \mathop{}\! \mathrm{d} y\) e precisa subir \(5-y\) metros até a borda. Portanto,
\[ W=9800\cdot 4\pi \int _0^5(5-y)\mathop{}\! \mathrm{d} y =490000\pi \, \mathrm J. \]
Exercício 14.43 (Esvaziando uma cisterna)
Uma cisterna subterrânea tem a forma de um hemisfério de raio \(3\) m, com a face plana no nível do solo. Ela está cheia de água. Calcule o trabalho necessário para bombear toda a água até um ponto situado \(1\) m acima do nível do solo. Use \(\rho =1000\ \mathrm{kg/m^3}\) e \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). Ver solução
Seja \(y\) a profundidade abaixo do solo, \(0\le y\le 3\). A fatia de espessura \(\mathop{}\! \mathrm{d} y\) tem raio \(\sqrt{9-y^2}\), peso \(\rho g\pi (9-y^2)\mathop{}\! \mathrm{d} y\) e sobe \(y+1\) metros. Logo
Como calcular a força total exercida por um fluido em repouso sobre uma placa submersa, se a pressão varia com a profundidade? Vamos determinar a força sobre pequenas faixas da placa e somá-las por integração.
A pressão em um fluido em repouso aumenta com a profundidade. Admitindo densidade \(\rho \) e aceleração da gravidade \(g\) constantes, e uma superfície livre exposta à atmosfera, a diferença entre a pressão do fluido e a pressão atmosférica é
\[ p(y)=\rho gy, \]
onde \(y\) mede a profundidade abaixo da superfície livre. Essa diferença é chamada pressão manométrica. Sua unidade é o pascal: \(1\, \mathrm{Pa}=1\, \mathrm{N/m^2}\). Nos cálculos numéricos desta seção, usaremos \(g=9{,}8\, \mathrm{m/s^2}\) e, para a água, \(\rho =1000\, \mathrm{kg/m^3}\), salvo indicação em contrário.
Calcularemos a força que essa pressão produz sobre uma face de uma placa plana. Quando a outra face está em contato com ar à pressão atmosférica, essa também é a força resultante sobre a placa. Se houver líquido dos dois lados, é preciso considerar a diferença entre as pressões, como faremos no exemplo da porta de um carro submerso.
Em uma placa vertical, uma faixa horizontal de largura \(w(y)\) e pequena espessura \(\Delta y\) tem área aproximadamente \(w(y)\Delta y\). Como a pressão varia pouco nessa faixa, sua força é aproximadamente \(\rho gy\, w(y)\Delta y\). Somando as contribuições e refinando a divisão, obtemos
\[ F=\int _a^b\rho gy\, w(y)\mathop{}\! \mathrm{d} y, \]
se a placa ocupa profundidades entre \(a\) e \(b\). Também escreveremos a contribuição elementar como \(\mathop{}\! \mathrm{d} F=\rho gy\, w(y)\mathop{}\! \mathrm{d} y\): pressão em \(\mathrm{N/m^2}\) multiplicada por área em \(\mathrm{m^2}\) produz força em newtons.
Exemplo 14.22 (Força sobre uma comporta retangular)
Uma comporta retangular vertical tem \(2\, \mathrm m\) de largura e \(3\, \mathrm m\) de altura, com a borda superior ao nível da água. A uma profundidade \(y\), em metros, a pressão é \(p(y)=9800y\) Pa. Modele uma faixa horizontal de espessura \(\mathop{}\! \mathrm{d} y\), escreva a integral da força hidrostática total sobre a comporta e calcule seu valor.
Solução
Como a comporta tem largura constante, a faixa situada à profundidade \(y\) tem área elementar
\[ \mathop{}\! \mathrm{d} A=2\mathop{}\! \mathrm{d} y. \]
Consequentemente, a força exercida sobre ela é
\[ \mathop{}\! \mathrm{d} F=p(y)\mathop{}\! \mathrm{d} A=9800y\cdot 2\mathop{}\! \mathrm{d} y. \]
Integrando da superfície até a borda inferior da comporta, obtemos
\[ F=\int _0^3 19600y\mathop{}\! \mathrm{d} y =19600\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^3 =88200\, \mathrm N. \]
Como conferência, a pressão média é \(9800\cdot 1{,}5\, \mathrm{Pa}\), pois ela cresce linearmente entre as profundidades \(0\) e \(3\). Multiplicando-a pela área \(2\cdot 3=6\, \mathrm{m^2}\), recuperamos a mesma força.
Exemplo 14.23 (É possível abrir a porta de um carro submerso?)
Um experimento popularizado pelo programa MythBusters3 investigou se uma pessoa conseguiria abrir a porta de um automóvel submerso antes que a cabine se enchesse de água.
Considere o seguinte modelo idealizado. O carro permanece na posição normal e uma de suas portas é representada por um retângulo vertical de largura \(b=1{,}00\, \mathrm m\) e altura \(H=1{,}20\, \mathrm m\). A borda superior da porta está à profundidade \(a=0{,}40\, \mathrm m\). A porta abre para fora, suas dobradiças formam um eixo vertical em uma das bordas e o puxador está na borda oposta. Tome a densidade da água como \(\rho =1000\, \mathrm{kg/m^3}\) e \(g=9{,}8\, \mathrm{m/s^2}\).
Inicialmente, a cabine contém apenas ar à pressão atmosférica. Trate a água como estando em equilíbrio hidrostático em cada configuração considerada. Despreze a compressão do ar, o atrito nas dobradiças e a resistência da vedação.
O momento de uma força perpendicular ao braço que a liga a um eixo é o produto da força pela distância ao eixo (o braço de alavanca). Para forças distribuídas, somamos os momentos de suas parcelas. Para iniciar a abertura, o momento da força no puxador deve ao menos equilibrar o momento da pressão em torno das dobradiças.
Mostre que a força resultante exercida pela água sobre a porta é
\[ F_0=\rho g b\int _a^{a+H}y\mathop{}\! \mathrm{d} y =\rho g bH\left(a+\frac H2\right), \]
e calcule seu valor.
A profundidade \(y_R\) do ponto de aplicação da força resultante é definida pela igualdade entre os momentos em torno de um eixo horizontal na superfície:
\[ y_RF_0=\rho gb\int _a^{a+H}y^2\mathop{}\! \mathrm{d} y. \]
Calcule \(y_R\) e compare-o com a profundidade do centro geométrico da porta.
Calcule o momento da pressão em relação ao eixo vertical das dobradiças. Em seguida, determine a força perpendicular que uma pessoa precisaria exercer no puxador para iniciar a abertura. Seria possível abrir a porta se a pessoa conseguisse exercer no máximo \(600\, \mathrm N\)?
A água começa agora a entrar na cabine. Seja \(c\) a profundidade, medida a partir da superfície exterior, em que se encontra a superfície da água no interior. Assim, \(c\) diminui à medida que a cabine se enche e \(c=0\) corresponde à igualdade entre os níveis interno e externo. Suponha que a pressão do ar no interior continue igual à atmosférica. Determine a força resultante \(F(c)\) para \(0\leq c\leq a+H\).
Determine quão próximos devem estar os dois níveis para que a força necessária no puxador não ultrapasse \(600\, \mathrm N\). Interprete o resultado à luz do experimento.
Figura14.30Modelo da porta e diferença \(c\) entre os níveis de água. A ilustração apresenta a situação física; o esquema identifica as grandezas do modelo.
Solução
1. Força resultante. À profundidade \(y\), a pressão exterior é \(p_{\mathrm{atm}}+\rho gy\), enquanto a pressão interior inicial é \(p_{\mathrm{atm}}\). A pressão atmosférica atua dos dois lados e se cancela. Uma faixa horizontal da porta, de altura \(\mathop{}\! \mathrm{d} y\), tem área \(b\mathop{}\! \mathrm{d} y\); portanto,
\[ \mathop{}\! \mathrm{d} F=\rho gyb\mathop{}\! \mathrm{d} y. \]
Somando as contribuições desde a borda superior até a inferior,
\[ F_0=1000\cdot 9{,}8\cdot 1\cdot 1{,}2\cdot 1 =11760\, \mathrm N. \]
2. Centro de pressão. A igualdade dos momentos em torno do eixo horizontal determina a profundidade da força resultante. Dividindo o momento total por \(F_0\), obtemos
O centro geométrico está à profundidade \(a+H/2=1{,}00\, \mathrm m\). O centro de pressão fica abaixo dele porque as faixas inferiores recebem maior pressão.
3. Força no puxador. Para iniciar a abertura, interessa agora o momento em torno do eixovertical das dobradiças. A pressão é uniforme ao longo de cada faixa horizontal. Por isso, a resultante da faixa atua no ponto médio de sua largura, a uma distância \(b/2\) do eixo vertical das dobradiças. Assim,
Uma força \(P_0\) aplicada perpendicularmente no puxador possui braço \(b\), de modo que
\[ P_0b=\tau _0 \quad \Longrightarrow \quad P_0=\frac{F_0}{2}=5880\, \mathrm N. \]
Esse valor é quase dez vezes o limite de \(600\, \mathrm N\) estipulado no enunciado. No modelo, a porta não pode ser aberta nessa etapa.
4. Água no interior da cabine. Quando a superfície interna está à profundidade \(c\), a parte da porta situada acima desse nível ainda tem ar no lado interior; nela, a diferença de pressão é \(\rho gy\). Abaixo do nível interno, as pressões são
As duas expressões coincidem em \(c=a\), e para \(c=a+H\) recuperamos \(F_0\). Quando \(c=0\), as pressões hidrostáticas dos dois lados coincidem ponto a ponto e a força resultante se anula.
5. Diferença máxima entre os níveis. Como a distribuição continua uniforme na direção horizontal, a força necessária no puxador é \(P(c)=F(c)/2\). Para escolher o ramo em que está o limiar, avaliamos o ponto de transição \(c=a=0{,}4\, \mathrm m\):
\[ P(a)=\frac{\rho gbHa}{2}=2352\, \mathrm N\gt 600\, \mathrm N. \]
No segundo ramo, \(F'(c)=\rho gb(a+H-c)\geq 0\), de modo que a força não diminui quando \(c\) cresce. Nenhum \(c\gt a\) satisfaz o limite de \(600\, \mathrm N\). Resta, portanto, o primeiro ramo:
O valor \(0{,}102\, \mathrm m\) é menor que \(a=0{,}4\, \mathrm m\), confirmando sua compatibilidade com o ramo utilizado. Assim, dentro das hipóteses do modelo, os níveis interno e externo precisam diferir por no máximo aproximadamente \(10\, \mathrm{cm}\). Isso explica por que a porta permanece praticamente bloqueada durante boa parte do enchimento e se torna manejável somente quando as pressões estão quase equalizadas.
Observação 14.24
O cálculo descreve apenas uma situação idealizada; não estabelece procedimentos para emergências. Na prática, o movimento do veículo, a compressão do ar, a vedação, os vazamentos e a dinâmica do enchimento podem alterar as forças e os tempos envolvidos. As conclusões numéricas valem somente sob as hipóteses adotadas.
Exercício 14.44 (A mesma chapa, virada ao contrário)
Duas chapas triangulares verticais têm a mesma área e ocupam profundidades entre \(1\) e \(3\) m num líquido de densidade constante \(\rho \). Na chapa \(A\), a largura à profundidade \(z\) é \(z-1\); na chapa \(B\), é \(3-z\), em metros.
Em qual chapa a força hidrostática resultante é maior? Explique pela distribuição das áreas nas diferentes profundidades, antes de integrar.
Se ambas forem abaixadas mais \(1\) m, os aumentos das forças serão iguais? Expresse esse aumento em função da área da chapa.
Ver solução
A chapa \(A\) concentra mais área em maior profundidade, onde a pressão é maior, e recebe a maior força. De fato,
Abaixar \(d=1\) m acrescenta a mesma pressão \(\rho gd\) em cada ponto; portanto \(\Delta F=\rho gd\, \mathcal A\) em ambas, pois têm a mesma área \(\mathcal A=2\) m\(^2\).
Exercício 14.45 (O paradoxo dos três recipientes)
Três recipientes têm fundos planos de mesma área e estão cheios de água até a mesma altura \(h\): um é cilíndrico, outro se alarga para cima e o terceiro se estreita para cima.
Compare as forças da água sobre os três fundos.
As massas de água são diferentes. Isso contradiz o item anterior?
Ver solução
A pressão no fundo é \(\rho gh\) nos três, e a força é \(\rho ghA\): as três são iguais.
Não: as paredes inclinadas também exercem forças sobre a água, com componentes verticais. No recipiente que se alarga para cima, elas sustentam parte do peso; no que se estreita, exercem uma componente para baixo. Assim, a força manométrica sobre o fundo não precisa ser igual ao peso da água, embora coincida com ele no recipiente cilíndrico. Ela depende apenas de \(\rho \), \(g\), da profundidade e da área do fundo. Esse resultado é conhecido como paradoxo hidrostático.
Exercício 14.46
Nos itens a seguir, use \(g=9{,}8\, \mathrm{m/s^2}\) e \(\rho =1000\, \mathrm{kg/m^3}\) para a água. Calcule a força devida à pressão manométrica sobre a face em contato com o líquido; a outra face está sob pressão atmosférica.
Uma comporta retangular vertical tem \(1{,}5\, \mathrm m\) de largura, com a borda superior a \(0{,}5\, \mathrm m\) e a inferior a \(2{,}5\, \mathrm m\) de profundidade. Calcule a força hidrostática resultante.
Uma janela retangular vertical de \(2\, \mathrm m\) de largura estende-se da profundidade de \(2\, \mathrm m\) à de \(4\, \mathrm m\) em água. Calcule a força hidrostática resultante.
Uma placa triangular vertical tem o vértice na superfície da água e base horizontal de \(2\, \mathrm m\) a \(3\, \mathrm m\) de profundidade. Calcule a força hidrostática sobre a placa.
Uma comporta retangular vertical de \(1{,}2\, \mathrm m\) de largura e \(2\, \mathrm m\) de altura tem sua borda superior a \(1\, \mathrm m\) da superfície de um óleo de densidade \(850\, \mathrm{kg/m^3}\). Calcule a força resultante.
Ver solução
Adotando \(\rho =1000\, \mathrm{kg/m^3}\) para a água:
\(F=1000\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5\int _{0{,}5}^{2{,}5}y\mathop{}\! \mathrm{d} y =44100\, \mathrm N\).
\(F=1000\cdot 9{,}8\cdot 2\int _2^4y\mathop{}\! \mathrm{d} y =117600\, \mathrm N\).
Por semelhança de triângulos, a largura cresce de zero a \(2\) m enquanto a profundidade cresce de zero a \(3\) m: \(w(y)=2y/3\). Logo, \(F=1000\cdot 9{,}8\int _0^3y(2y/3)\mathop{}\! \mathrm{d} y=58800\, \mathrm N\).
\(F=850\cdot 9{,}8\cdot 1{,}2\int _1^3y\mathop{}\! \mathrm{d} y =39984\, \mathrm N\).
Exercício 14.47
Uma escotilha circular horizontal de raio \(0{,}5\, \mathrm m\) está a \(3\, \mathrm m\) abaixo da superfície da água. Calcule a força hidrostática sobre ela. Ver solução
A pressão é constante em toda a escotilha: \(p=1000\cdot 9{,}8\cdot 3\). Como a área é \(\pi (0{,}5)^2=\pi /4\),
\[ F=7350\pi \, \mathrm N. \]
Exercício 14.48
Uma placa retangular vertical de largura \(L\gt 0\) e altura \(H\gt 0\) tem a borda superior à profundidade \(d\geq 0\). Mostre que a força hidrostática é
\[ F=\rho g\, LH\left(d+\frac H2\right). \]
Ver solução
À profundidade \(y\), a faixa tem área \(L\mathop{}\! \mathrm{d} y\). Logo,
O resultado é a área \(LH\) multiplicada pela pressão na profundidade do centro geométrico, \(d+H/2\).
Exercício 14.49
Uma placa triangular vertical tem base horizontal de \(3\, \mathrm m\) na superfície da água e vértice a \(4\, \mathrm m\) de profundidade. Calcule a força hidrostática resultante. Ver solução
A largura diminui linearmente de \(3\) m na superfície até zero no vértice. Logo, \(w(y)=3(1-y/4)\), para \(0\leq y\leq 4\), e
\[ F=9800\int _0^4 y\, 3\left(1-\frac y4\right)\mathop{}\! \mathrm{d} y =78400\, \mathrm N. \]
Exercício 14.50
Uma janela semicircular vertical de raio \(1\, \mathrm m\) tem o diâmetro sobre a superfície da água e o semicírculo abaixo dela. Calcule a força hidrostática. Ver solução
Tomando a origem no centro do diâmetro e medindo \(y\) para baixo, a borda satisfaz \(x^2+y^2=1\). À profundidade \(y\), a faixa se estende de \(-\sqrt{1-y^2}\) até \(\sqrt{1-y^2}\), com largura \(2\sqrt{1-y^2}\). Assim,
\[ F=9800\int _0^1 2y\sqrt{1-y^2}\mathop{}\! \mathrm{d} y =\frac{19600}{3}\, \mathrm N. \]
Para avaliar a integral, a substituição \(u=1-y^2\) é sugerida pelo fator \(y\mathop{}\! \mathrm{d} y\) que acompanha a raiz: \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-2y\mathop{}\! \mathrm{d} y\) e os limites passam de \(y=0,1\) a \(u=1,0\). Portanto, \(\int _0^1 2y\sqrt{1-y^2}\mathop{}\! \mathrm{d} y=\int _0^1u^{1/2}\mathop{}\! \mathrm{d} u=2/3\).
Exercício 14.51
Uma placa retangular vertical de \(2\, \mathrm m\) de largura e \(3\, \mathrm m\) de altura tem centro geométrico a \(4\, \mathrm m\) de profundidade. Calcule a força hidrostática e verifique que ela é \(\rho g\) vezes a área vezes a profundidade do centro. Ver solução
A placa ocupa as profundidades \(2{,}5\leq y\leq 5{,}5\). Logo,
\[ F=9800\cdot 2\int _{2{,}5}^{5{,}5}y\mathop{}\! \mathrm{d} y =235200\, \mathrm N. \]
Como a área é \(6\, \mathrm{m^2}\), o mesmo valor é \(1000\cdot 9{,}8\cdot 6\cdot 4\).
Exercício 14.52
Uma comporta quadrada vertical de lado \(1{,}5\, \mathrm m\) tem a borda superior a \(0{,}5\, \mathrm m\) da superfície de um óleo de densidade \(800\, \mathrm{kg/m^3}\). Calcule a força hidrostática. Ver solução
A largura de cada faixa é \(1{,}5\) m; a borda inferior está à profundidade \(0{,}5+1{,}5=2\) m. Usando a densidade do óleo, obtemos
\[ F=800\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5\int _{0{,}5}^{2}y\mathop{}\! \mathrm{d} y =22050\, \mathrm N. \]
14.6 Comprimento de arco e área superficial
14.6.1 Comprimento de arco
Podemos aproximar uma curva por uma poligonal e somar os comprimentos de seus segmentos. Seja \(C\) o gráfico de \(y=f(x)\), com \(f\) de derivada contínua em \([a,b]\). A cada partição \(P=(x_i)\) de \([a,b]\), associamos a poligonal de vértices \((x_i,f(x_i))\). Vamos determinar o limite de seu comprimento quando a malha \(\left\lvert P\right\rvert \) tende a zero.
Figura não resolvida: ./figuras/comprimento-poligonal
Figura14.31Aproximação de uma curva por uma poligonal inscrita.
O comprimento da poligonal é
A expressão sob o radical é afim em \(x\): a substituição \(u=1+\frac94x\) transforma o integrando numa potência de \(u\). Temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\frac94\mathop{}\! \mathrm{d} x\); os extremos \(x=1\) e \(x=4\) correspondem a \(u=13/4\) e \(u=10\). Assim,
\[ L=\frac49\int _{13/4}^{10}\sqrt{u}\mathop{}\! \mathrm{d} u =\frac8{27}\left[10^{3/2}-\left(\frac{13}{4}\right)^{3/2}\right] \approx 7{,}634. \]
O resultado está em unidades de comprimento. Como verificação geométrica, é maior que a corda entre \((1,1)\) e \((4,8)\), cujo comprimento é \(\sqrt{58}\approx 7{,}616\).
14.6.2 Comprimento de uma curva paramétrica
Como medir o comprimento de uma curva que não pode ser descrita como o gráfico de uma única função de \(x\)? Usaremos a variação das duas coordenadas ao longo de um parâmetro para somar os comprimentos dos pequenos trechos percorridos.
Uma curva plana pode ser descrita por duas funções de um parâmetro,
Essa descrição também permite tratar curvas que não são gráficos de uma única função de \(x\), como uma circunferência. Suponhamos que \(x\) e \(y\) tenham derivadas contínuas em \([\alpha ,\beta ]\). As duas coordenadas variam com taxas \(x'(t)\) e \(y'(t)\). Pelo Teorema de Pitágoras, a velocidade escalar com que o ponto percorre a curva é
\[ \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}. \]
O comprimento percorrido, contando cada trecho tantas vezes quantas a parametrização o percorra, é
\[ L=\int _\alpha ^\beta \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathop{}\! \mathrm{d} t. \]
Se a curva é percorrida uma única vez, essa integral é o comprimento geométrico de seu traçado. A fórmula também vale para curvas continuamente deriváveis por partes, somando-se os comprimentos dos trechos.
Para justificar a fórmula, tome uma partição \(\alpha =t_0\lt \cdots \lt t_n=\beta \). O comprimento da poligonal inscrita é
Pelo Teorema do Valor Médio, os incrementos de \(x\) e \(y\) são suas respectivas derivadas em pontos do subintervalo, multiplicadas por \(\Delta t_i\). Esses pontos não precisam coincidir, mas a continuidade uniforme das derivadas em \([\alpha ,\beta ]\) permite substituí-los por uma mesma marca, com um erro total que tende a zero quando a norma da partição tende a zero. O limite das somas é, portanto, a integral da velocidade escalar.
Exemplo 14.26
Para a circunferência \(x(t)=R\cos t\), \(y(t)=R\operatorname {sen}t\), com \(R\gt 0\) e \(0\leq t\leq 2\pi \), temos
Assim, seu comprimento é \(\int _0^{2\pi }R\mathop{}\! \mathrm{d} t=2\pi R\). Esse cálculo confirma a concordância da expressão integral com a fórmula geométrica já utilizada; não é uma demonstração independente dessa fórmula. Se tomarmos \(x(t)=t\) e \(y(t)=f(t)\), recuperamos a fórmula anterior para o comprimento do gráfico de \(f\). Se mantivermos as mesmas equações no intervalo \(0\leq t\leq 4\pi \), o traço geométrico continua sendo a mesma circunferência, mas ela é percorrida duas vezes; por isso a integral vale \(4\pi R\).
14.6.3 Área superficial
A aproximação de uma curva por uma poligonal também permite estudar a superfície gerada por sua rotação. Já usamos a rotação de uma região para calcular volumes; ao girar apenas sua curva de fronteira, o comprimento de cada pequeno segmento passa a contribuir para a área superficial.
Figura não resolvida: ./figuras/superficie-troncos
Figura14.32Ao girar a poligonal inscrita em torno do eixo \(x\), cada segmento gera um tronco de cone.
A área procurada é aproximada pela soma das áreas laterais dos troncos de cone gerados pela rotação de uma poligonal inscrita na curva em torno do eixo de revolução. Consideremos \(f\) não negativa em \([a,b]\), com derivada contínua nesse intervalo fechado. Seja \(P=(x_i)\) uma partição de \([a,b].\) Consideremos a poligonal com vértices \( (x_i, f(x_i)) \) e, girando-a ao redor do eixo \( x\), obtemos uma aproximação para a superfície.
Lembramos que a área lateral de um tronco de raios \(r_1\) e \(r_2\) e geratriz \(g\) é
\[ A_T=\pi (r_1+r_2)g=2\pi r g, \qquad r=\frac{r_1+r_2}{2}. \]
A geratriz acompanha a inclinação do segmento; por isso seu comprimento não pode ser substituído apenas pela largura horizontal.
Denotemos por \(L_i\) o comprimento da geratriz \(g_i\), isto é, do segmento entre os pontos \((x_{i-1},f(x_{i-1}))\) e \((x_i,f(x_i))\). Pelo Teorema de Pitágoras,
Como \(f\) é contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante um ponto \(d_i\in [x_{i-1},x_i]\) no qual \(f\) assume a média dos valores nas extremidades. Portanto,
As marcas \(d_i\) e \(x_i^*\) podem ser diferentes, mas estão no mesmo subintervalo. Quando a malha diminui, a continuidade uniforme de \(f\) permite substituir \(f(d_i)\) por \(f(x_i^*)\) sem alterar o limite.
Observação 14.27 (Controle do erro na troca das marcas)
Para explicitar essa passagem, usamos três estimativas:
Se o gráfico de \(y=f(x)\) gira ao redor do eixo \(y\), com \(0\leq a\lt b\), o raio de cada faixa é \(x\). Mantendo a hipótese de derivada contínua, obtemos
\[ \text{Área Superficial}=2\pi \int _a^b x\sqrt{1+[f'(x)]^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x.\index{area superficial@área superficial!revolucao em torno do eixo vertical@revolução em torno do eixo vertical|hyperpage} \]
Em ambos os casos, calculamos apenas a superfície gerada pela curva. Eventuais discos que fechem o sólido nas extremidades devem ser tratados separadamente se o problema pedir a área total.
Exemplo 14.28
Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva \(y=x^3\), \(0\leq x\leq 2\), em torno do eixo \(x\).
Figura14.33Curva geradora e superfície de revolução de \(y=x^3\) em torno do eixo \(x\). A área calculada não inclui o disco de fechamento em \(x=2\).
Solução
Em uma faixa estreita, o raio de rotação é \(y=x^3\) e o fator de comprimento é \(\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{1+9x^4}\). Portanto,
O fator \(x^3\mathop{}\! \mathrm{d} x\) que acompanha o radical é proporcional à diferencial de \(1+9x^4\). Isso sugere \(u=1+9x^4\), com \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=36x^3\mathop{}\! \mathrm{d} x\); os extremos passam a ser \(1\) e \(145\). Assim,
Essa é a área da superfície curva, em unidades de área.
Exemplo 14.29
Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva \(y=x^2\), \(0\leq x\leq 1\), em torno do eixo \(y\).
Figura não resolvida: figuras/parabola-superficie-y.tex
Figura14.34Arco de \(y=x^2\), entre \((0,0)\) e \((1,1)\), e a superfície gerada por sua rotação em torno do eixo \(y\). O disco superior não faz parte da área calculada.
Solução
A distância de um ponto da curva ao eixo \(y\) é \(x\); esse é o raio da faixa circular. Como \(y'=2x\), seu comprimento inclinado fornece o fator \(\sqrt{1+4x^2}\), e a área é
A presença de \(x\mathop{}\! \mathrm{d} x\) junto ao radical sugere \(u=1+4x^2\): temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=8x\mathop{}\! \mathrm{d} x\) e os extremos tornam-se \(1\) e \(5\). Logo,
O resultado mede a área da superfície curva do paraboloide, em unidades de área.
Exemplo 14.30
Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva \( y = \sqrt{4-x^2}, \) \( -1 \leq x \leq 1, \) ao redor do eixo \(x.\)
Solução
A curva faz parte da circunferência de raio \(2\). Ao girar, ela produz uma zona esférica entre os planos \(x=-1\) e \(x=1\). Nesse intervalo a derivada é contínua, pois \(4-x^2\geq 3\); portanto podemos aplicar diretamente a fórmula. Como \(f'(x)=-x/\sqrt{4-x^2}\),
O cancelamento mostra que faixas de mesma largura horizontal têm a mesma área nessa esfera, embora seus raios sejam diferentes.
Exercício 14.53 (A curva e o percurso)
Uma parametrização é dada por \(x(t)=\cos t\), \(y(t)=\operatorname {sen}t\), com \(0\leq t\leq 4\pi \).
A fórmula \(\int _0^{4\pi }\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathop{}\! \mathrm{d} t\) fornece \(4\pi \), mas a circunferência unitária tem comprimento \(2\pi \). Há uma contradição? O que cada número mede?
Que restrição do parâmetro permite usar a fórmula para medir cada arco da circunferência uma única vez? Explique o cuidado necessário ao passar da imagem de uma curva ao percurso que a descreve.
Ver solução
A velocidade tem módulo \(1\) e o percurso dá duas voltas, totalizando \(4\pi \). A imagem geométrica é uma única circunferência, de comprimento \(2\pi \). Restringir a \([0,2\pi ]\) descreve-a uma vez, exceto pela coincidência dos extremos, que não acrescenta comprimento. A integral da velocidade conta todas as passagens por um arco, inclusive repetições.
Exercício 14.54 (Medir uma curva sem resolver a integral)
Seja \(L\) o comprimento do gráfico de \(y=x^2\) para \(0\le x\le 1\).
Sem calcular a integral de comprimento, mostre que \(\sqrt2\le L\le 2\). Para a primeira desigualdade, compare a curva com a corda entre seus extremos; para a segunda, use que \(f'(x)=2x\ge 0\) e compare \(\sqrt{1+4x^2}\) com \(1+2x\). Interprete geometricamente ambas as cotas.
Mostre que, para toda função \(f\) de classe \(C^1\) em \([a,b]\), com \(a\lt b\), \(\int _a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x\ge b-a\). Quando há igualdade?
Ver solução
A corda de \((0,0)\) a \((1,1)\) tem comprimento \(\sqrt2\), e o segmento é o caminho mais curto entre dois pontos. Para a cota superior, \(\sqrt{1+4x^2}\le 1+2x\), pois \((1+2x)^2=1+4x+4x^2\); logo, \(L\le \int _0^1(1+2x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=2\), o comprimento do caminho que vai por \((1,0)\). (De fato, \(L\approx 1{,}479\).)
\(\sqrt{1+(f')^2}\ge 1\); há igualdade se, e somente se, \(f'\equiv 0\), isto é, se o gráfico é um segmento horizontal.
Exercício 14.55 (Comprimento de arco)
Escreva uma integral para o comprimento do arco da curva
\[ 3y^3-5y+4x=10 \]
entre os pontos \(A(-1,2)\) e \(B(3,1)\). Sugestão: expresse \(x\) como função de \(y\). Estime numericamente o valor da integral e compare-o com a distância entre \(A\) e \(B\). Para tornar a estimativa reproduzível, use somas de Riemann com pontos médios em uma partição uniforme de \([1,2]\), por exemplo com \(100\) e \(1000\) subintervalos, e informe como os valores mudam ao refinar a partição. Ver solução
Escrever \(x\) em função de \(y\) evita resolver uma equação cúbica para obter \(y\) em função de \(x\). Na curva,
Os extremos correspondem a \(y=1\) e \(y=2\); o sentido de percurso não altera o comprimento. Aplicando a fórmula com as coordenadas trocadas,
\[ L=\int _1^2\sqrt{1+\left(\frac{5-9y^2}{4}\right)^2}\mathop{}\! \mathrm{d} y. \]
Essa expressão integral é exata. Para estimá-la, denote seu integrando por \(F(y)\) e divida \([1,2]\) em \(n\) partes iguais. A soma nos pontos médios é
Uma calculadora ou planilha que avalie essa soma fornece \(M_{100}\approx 4{,}160404\) e \(M_{1000}\approx 4{,}160428\). A estabilidade desses valores sugere a aproximação, mas, isoladamente, não fornece uma cota rigorosa de erro. Aqui podemos conferir duas casas decimais: \(F\) é crescente em \([1,2]\), de modo que as somas com extremos esquerdos e direitos, com \(n=1000\), dão
\[ 4{,}1572\lt L\lt 4{,}1637. \]
Portanto, \(L\approx 4{,}16\). Não precisamos encontrar uma primitiva elementar para calcular essa estimativa. A distância entre os extremos é \(\sqrt{17}\approx 4{,}12\): o arco é um pouco mais longo que a corda, como era esperado geometricamente.
Exercício 14.56 (Derivada ilimitada e comprimento finito)
Considere o gráfico de \(y=\frac34x^{3/4}\), para \(0\leq x\leq 1\).
Mostre que \(y'(x)\to +\infty \) quando \(x\to 0^+\). Esse fato, por si só, permite concluir que o comprimento da curva é infinito?
Para \(0\lt \varepsilon \lt 1\), considere o comprimento \(L_\varepsilon \) do arco com \(\varepsilon \leq x\leq 1\). Use \(\sqrt{1+u^2}\leq 1+u\), para \(u\geq 0\), para mostrar que esses comprimentos permanecem limitados quando \(\varepsilon \to 0^+\). Conclua que a curva tem comprimento finito \(L\) e prove que
\[ \frac54\leq L\leq \frac74. \]
Interprete geometricamente as duas cotas.
Extensão de cálculo. Reparametrize a curva com \(x=u^4\), \(0\leq u\leq 1\), e calcule \(L\) exatamente. Confira se o resultado respeita as cotas anteriores.
Ver solução
Temos \(y'(x)=\frac9{16}x^{-1/4}\to +\infty \). Uma inclinação ilimitada perto de um extremo não implica comprimento infinito: é necessário estudar a acumulação do elemento de comprimento.
Para \(\varepsilon \gt 0\), a derivada é contínua no intervalo truncado e
Ao diminuir \(\varepsilon \), o comprimento \(L_\varepsilon \) aumenta e permanece limitado. Seu limite \(L\) é, portanto, finito e não excede \(7/4\). A curva liga \((0,0)\) a \((1,3/4)\); o segmento entre esses pontos tem comprimento \(5/4\) e fornece a cota inferior. A cota superior é a soma das variações horizontal e vertical, isto é, o comprimento do caminho que passa por \((1,0)\).
A parametrização é \((x,y)=(u^4,3u^3/4)\) e descreve o arco uma única vez. Assim,
Numericamente, \(L\approx 1{,}262\), entre \(1{,}25\) e \(1{,}75\). A parametrização também fornece diretamente uma integral com integrando contínuo em \([0,1]\), apesar da derivada ilimitada na representação por \(y(x)\).
Exercício 14.57 (O paradoxo da escada)
Para cada inteiro \(n\ge 1\), construa uma poligonal \(E_n\) que liga \((0,0)\) a \((1,1)\) por \(n\) degraus. Cada degrau é formado, nesta ordem, por um segmento horizontal de comprimento \(1/n\) e um segmento vertical de comprimento \(1/n\). A figura compara duas dessas poligonais com a diagonal tracejada do quadrado unitário.
Calcule o comprimento de \(E_n\).
Mostre que cada ponto de \(E_n\) está a uma distância de, no máximo, \(1/(n\sqrt2)\) da diagonal \(y=x\).
A diagonal tem comprimento \(\sqrt2\), enquanto o resultado de a) não depende de \(n\). Explique por que não há contradição com a definição de comprimento de arco por poligonais inscritas.
Ver solução
Há \(n\) segmentos horizontais e \(n\) verticais, cada qual de comprimento \(1/n\). Logo, \(L(E_n)=2n/n=2\).
Em qualquer degrau, as coordenadas de seus pontos satisfazem \(|x-y|\le 1/n\). A distância perpendicular à reta \(y=x\) é \(|x-y|/\sqrt2\), portanto não excede \(1/(n\sqrt2)\). A projeção pertence à diagonal dentro do quadrado unitário.
As poligonais \(E_n\) aproximam a diagonal em posição, mas mantêm segmentos horizontais e verticais. A aproximação de um traçado não implica, por si só, convergência dos comprimentos. Na definição do livro, as poligonais são inscritas na própria curva: seus vértices pertencem à diagonal e seus segmentos seguem essa reta, com comprimento \(\sqrt2\). Os cantos intermediários dos degraus de \(E_n\) não pertencem à diagonal.
Exercício 14.58
Calcule o comprimento do arco de \(y=\frac23x^{3/2}\) para \(0\leq x\leq 1\). Ver solução
A rotação do segmento \(y=x\), \(0\leq x\leq R\), em torno do eixo \(x\) gera a superfície lateral de um cone. Calcule sua área pela integral e confira-a pela fórmula geométrica. Ver solução
O cone tem raio \(R\) e geratriz \(R\sqrt2\), logo sua área lateral é também \(\pi R(R\sqrt2)\).
Exercício 14.60
Encontre o comprimento do arco de \(y=\tfrac 23(x+1)^{3/2}\) entre \(x=0\) e \(x=3\). Ver solução
Como \(y'=\sqrt{x+1}\),
\[ L=\int _0^3\sqrt{x+2}\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac23\left(5^{3/2}-2^{3/2}\right). \]
Exercício 14.61
Considere uma função \(f:[a,b]\to [0,\infty )\) derivável, com derivada contínua, cujo gráfico gira em torno do eixo \(x\). Explique, a partir de pequenos troncos de cone, por que a área da superfície envolve o fator \(2\pi f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\). Ver solução
Um pequeno segmento tem comprimento aproximado \(\Delta s\approx \sqrt{1+[f'(x)]^2}\, \Delta x\). Ao girar, ele gera um tronco de cone cujos dois raios estão próximos de \(f(x)\). Sua área lateral é a geratriz multiplicada pela média dos comprimentos das duas circunferências, aproximadamente \(2\pi f(x)\, \Delta s\). Daí resulta a contribuição \(2\pi f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\, \Delta x\); a soma limite produz a integral.
Exercício 14.62
A curva paramétrica \(x=R\cos t\), \(y=R\operatorname {sen}t\), \(0\leq t\leq \pi /2\), descreve um quarto de circunferência. Calcule seu comprimento pela fórmula paramétrica. Ver solução
Como \(x'(t)=t^2\) e \(y'(t)=t\), a velocidade escalar é \(\sqrt{t^4+t^2}=t\sqrt{1+t^2}\), pois \(t\geq 0\). Assim,
\[ L=\int _0^1 t\sqrt{1+t^2}\mathop{}\! \mathrm{d} t =\frac13\left(2^{3/2}-1\right). \]
Exercício 14.64
Faça o semicírculo \(y=\sqrt{R^2-x^2}\), \(-R\leq x\leq R\), girar em torno do eixo \(x\) e recupere a área \(4\pi R^2\) da esfera. Ver solução
A derivada de \(y=\sqrt{R^2-x^2}\) não é finita nos extremos. Por isso, fixamos primeiro \(0\lt c\lt R\) e calculamos a área gerada pelo arco com \(-c\leq x\leq c\), onde as hipóteses da fórmula estão satisfeitas. Como
O centro de massa é uma média ponderada pela distribuição de massa. Para massas \(m_1,\ldots ,m_n\) concentradas nas posições \(x_1,\ldots ,x_n\), essa média é
O numerador é o momento de massa em relação à origem: cada posição contribui com seu valor multiplicado pela massa correspondente. Se reunirmos toda a massa \(M=m_1+\cdots +m_n\) em \(\bar x\), esse momento não muda, pois \(M\bar x=\sum _{i=1}^n x_im_i\). Para distribuições contínuas, as somas dão lugar a integrais. Começaremos por uma barra e passaremos às placas planas; ao final, um tópico opcional relacionará o centroide ao volume de sólidos de revolução.
14.7.1 Centro de massa de uma barra
Considere uma barra no intervalo \([a,b]\), com densidade linear \(\lambda (x)\geq 0\), contínua por partes. Em um pequeno trecho de comprimento \(\Delta x\), a massa é aproximadamente \(\lambda (x)\Delta x\) e seu momento em relação à origem é aproximadamente \(x\lambda (x)\Delta x\). Somando essas contribuições e passando ao limite, obtemos
A identidade \(M\bar x=\int _a^bx\lambda (x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\) diz que concentrar toda a massa em \(\bar x\) preserva o momento da barra. Se \(x\) é medido em metros e \(\lambda \) em quilogramas por metro, o numerador tem unidade \(\mathrm{kg}\cdot \mathrm m\) e \(\bar x\) é medido em metros. Para densidade constante, a fórmula fornece \((a+b)/2\); uma densidade maior em uma das partes desloca o centro em sua direção.
14.7.2 Centro de massa de uma placa homogênea
Consideremos uma placa fina com densidade uniforme \(\rho \gt 0\) que ocupa uma região \(R\) do plano. Desejamos encontrar o centro de massa da placa. Suponha que a região seja da forma
onde \(f\) é função definida e contínua em \([a,b]\), com \(f(x)\geq 0\) em \([a,b]\) e \(\int _a^bf(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\gt 0\).
Figura14.35Região \(R\) ocupada por uma placa de densidade uniforme.
Consideremos uma partição \(P=(x_i)\) de \([a,b]\) e escolhamos o ponto \( x^*_i \) como o ponto médio do intervalo \([x_{i-1},x_i],\) isto é, \( x^*_i = \dfrac {x_i+x_{i-1}}{2}.\) Isto determina uma aproximação por retângulos de \(R\).
Figura não resolvida: ./figuras/centroide
Figura14.36Retângulos que aproximam \(R\) e cujos centros aproximam a distribuição de massa.
O centro de massa do retângulo \(R_i\) é seu centro geométrico, \(\left(x_i^*,\dfrac {f(x_i^*)}{2}\right)\). Como sua área é \(f(x_i^*)\Delta x_i\), a massa do \(i\)-ésimo retângulo é
Para partições suficientemente finas, a área da aproximação por retângulos é positiva. Denotemos por \((\bar{x}_P,\bar{y}_P)\) as coordenadas de seu centro de massa:
Quando a malha \(|P|\) tende a zero, as somas de Riemann nos quocientes acima convergem para as integrais correspondentes. Os limites desses quocientes fornecem as coordenadas do centro de massa da região \(R\) e motivam a definição seguinte:
Definição 14.6
Para uma placa de densidade uniforme \(\rho \gt 0\) que ocupa a região sob \(f\geq 0\) em \([a,b]\), com \(f\) contínua e área \(A_0=\int _a^bf(x)\mathop{}\! \mathrm{d} x\gt 0\), o centro de massa (ou centroide da região) é o ponto \((\bar x,\bar y)\) definido por
A densidade constante cancela nos quocientes; por isso o ponto depende apenas da geometria da região.
Exemplo 14.31
Calcule o centro de massa da região limitada pelas curvas \( y = \cos x, \) \( y = 0, x=0\) e \( x= \pi /2.\)
Solução
A densidade uniforme cancela nos quocientes; podemos trabalhar com áreas e momentos de área. Como \(\cos x\geq 0\) em \([0,\pi /2]\), a região está sob o gráfico e sua área é
No momento em relação ao eixo \(y\), o fator \(x\) representa a distância da faixa vertical àquele eixo. A integração por partes, com \(u=x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\), dá
Para a outra coordenada, cada faixa tem seu centro à altura \(\cos x/2\). Usando a identidade \(\cos ^2x=(1+\cos 2x)/2\), já empregada no estudo das primitivas, obtemos
Portanto, o centro de massa é \(\left(\frac\pi 2-1,\frac\pi 8\right)\). A coordenada horizontal é menor que \(\pi /4\), o ponto médio do intervalo, o que está de acordo com a maior concentração de área junto ao eixo \(y\).
Exemplo 14.32
Determine o centro de massa de uma lâmina homogênea que ocupa o semidisco \(x^2+y^2\leq r^2\), \(y\geq 0\), com \(r\gt 0\).
Figura14.37Semidisco homogêneo usado no cálculo do centro de massa.
Solução
Por simetria em relação ao eixo \(y\), temos \(\bar x=0\). A área da lâmina é \(A=\pi r^2/2\).
Uma faixa vertical tem altura \(f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\), e seu centro está à altura \(f(x)/2\). Cancelando a densidade constante na razão entre momento e massa, podemos calcular o momento de área em relação ao eixo \(x\):
\[ M_x=\frac12\int _{-r}^{r}[f(x)]^2\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac12\int _{-r}^{r}(r^2-x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac{2r^3}{3}. \]
O centro de massa fica sobre o eixo de simetria, dentro da lâmina, a uma altura menor que \(r\). Calculamos o centro de uma região preenchida, não o de um fio semicircular, que exigiria a distribuição de massa ao longo de uma curva.
14.7.3 Centro de massa da região entre duas curvas
Para uma placa de densidade uniforme e área total \(A_0\gt 0\), se a região \(R\) está entre os gráficos de funções contínuas \( y = f(x) \) e \( y = g(x) ,\) onde \( f(x)\index{centroide!regiao entre curvas@região entre curvas|hyperpage} \geq g(x), \) cada faixa vertical tem altura \(f(x)-g(x)\) e centro à altura \([f(x)+g(x)]/2\). Seu momento de área em relação ao eixo \(x\) contém, portanto, o produto
Figura14.38Região plana entre duas curvas, de densidade uniforme.
Exemplo 14.33
Determine o centro de massa da região \(A\) limitada pela reta \(y=x\) e pela parábola \(y=x^2\).
Solução
As curvas se encontram em \(x=0\) e \(x=1\), e a reta fica acima da parábola nesse intervalo. Uma faixa vertical tem altura \(x-x^2\) e centro à altura \((x+x^2)/2\). Começamos pela área total:
\[ A_0=\int _0^1(x-x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac16. \]
Ponderando a posição horizontal pela área de cada faixa,
\[ \bar x=6\int _0^1x(x-x^2)\mathop{}\! \mathrm{d} x =6\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac12. \]
Para a posição vertical, o produto entre a altura da faixa e a altura de seu centro é \((x^2-x^4)/2\). Logo,
\[ \bar y=3\int _0^1(x^2-x^4)\mathop{}\! \mathrm{d} x =3\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac25. \]
O centro de massa é \(\left(\frac12,\frac25\right)\). Na abscissa \(1/2\), sua altura está entre \(1/4\) e \(1/2\), de modo que o ponto pertence à região.
Exercício 14.65 (Mudar a distribuição sem mudar a massa)
Uma barra ocupa \(0\leq x\leq 2\) m. Sua densidade linear é \(1\) kg/m na metade esquerda e \(3\) kg/m na direita.
Sem integrar, localize o centro de massa em relação ao ponto médio \(x=1\). Depois confira sua posição exata.
Em um modelo de massas concentradas, transfere-se uma massa \(m\) da posição \(a\) para a posição \(b\gt a\), mantendo a massa total \(M\). De quanto o centro de massa se desloca? É necessário conhecer o restante da distribuição?
Ver solução
O centro fica à direita do ponto médio. A massa é \(M=4\) kg e o momento é \(\int _0^1x\mathop{}\! \mathrm{d} x+3\int _1^2x\mathop{}\! \mathrm{d} x=5\) kg\(\cdot \)m, logo \(\bar x=5/4\) m. No segundo item, o momento aumenta em \(m(b-a)\), enquanto \(M\) se conserva: \(\Delta \bar x=m(b-a)/M\gt 0\). O restante da distribuição não precisa ser conhecido para calcular essa variação.
Exercício 14.66 (Dividir a massa ao meio não garante equilíbrio)
Uma barra fina ocupa o intervalo \(0\le x\le 1\) m e tem densidade linear
\[ \lambda (x)=2x\quad \text{kg/m}, \]
em que \(x\) representa a medida numérica da distância, em metros, à extremidade esquerda. Despreze a espessura da barra.
Uma proposta é apoiá-la no ponto \(b\) que deixa metade da massa de cada lado, sob o argumento de que pesos iguais garantiriam equilíbrio.
Determine a massa total e a posição \(b\).
Calcule o centro de massa \(c\). A barra fica equilibrada se for apoiada em \(b\)? Justifique pelo momento de massa em relação a \(b\).
Calcule as massas à esquerda e à direita de \(c\). Verifique que seus momentos, em relação a \(c\), têm o mesmo módulo, e explique por que igualar massas não equivale a equilibrar momentos.
A condição de metade da massa à esquerda é \(\int _0^b2x\mathop{}\! \mathrm{d} x=b^2=1/2\). Logo, \(b=1/\sqrt2\) m.
O momento em relação à origem vale \(\int _0^1x\lambda (x)\mathop{}\! \mathrm{d} x=2/3\) kg\(\cdot \)m. Portanto, \(c=2/3\) m. O momento de massa em relação a \(b\) é
\[ \int _0^1(x-b)\lambda (x)\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac23-\frac1{\sqrt2}\lt 0. \]
Não é zero; a barra não está equilibrada nesse apoio.
Em relação ao apoio correto \(c=2/3\), as massas são
\[ \begin{gathered} \int _0^{2/3}\left(\frac23-x\right)2x\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac8{81}, \\ \int _{2/3}^1\left(x-\frac23\right)2x\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac8{81} \quad (\mathrm{kg}\cdot \mathrm m). \end{gathered} \]
O equilíbrio exige compensação de massa ponderada pela distância ao apoio, não massas iguais em ambos os lados.
Exercício 14.67 (Um centro de massa fora da placa)
Uma placa homogênea em forma de L é a união dos retângulos \([0,4]\times [0,1]\) e \([0,1]\times [1,4]\).
Use os centros de massa dos dois retângulos e uma média ponderada pelas áreas para localizar o centro de massa da placa.
O centro de massa pertence à placa?
Por simetria, que relação entre \(\bar x\) e \(\bar y\) era esperada?
Ver solução
Áreas \(4\) e \(3\), centros \((2;\, 0{,}5)\) e \((0{,}5;\, 2{,}5)\): \(\bar x=\dfrac {4\cdot 2+3\cdot 0{,}5}7=\dfrac {19}{14}\) e \(\bar y=\dfrac {4\cdot 0{,}5+3\cdot 2{,}5}7=\dfrac {19}{14}\).
Não: \(\bar x\gt 1\) e \(\bar y\gt 1\), e a placa não contém pontos com as duas coordenadas maiores que \(1\). O centro de massa pode estar fora do corpo.
\(\bar x=\bar y\): a placa é simétrica em relação à reta \(y=x\).
Exercício 14.68
Determine o centro de massa da região sob a reta \(y=1-x\) em \(0\leq x\leq 1\), supondo densidade uniforme. Ver solução
Exercício 14.73 (O trabalho de bombear e o centro de massa)
Um tanque contém líquido de densidade constante \(\rho \gt 0\) entre as alturas \(0\) e \(c\gt 0\). A seção horizontal à altura \(y\) tem área \(A(y)\), e todo o líquido é bombeado até a altura \(H\ge c\). Seja \(V\gt 0\) seu volume e seja
\[ \bar y=\frac1V\int _0^c yA(y)\mathop{}\! \mathrm{d} y \]
a altura de seu centro de massa.
Mostre que o trabalho necessário é
\[ W=\rho gV(H-\bar y). \]
Interprete fisicamente essa identidade.
Confira a fórmula nos tanques dos Exercícios 14.42 e 14.43, tomando cuidado com a origem das alturas.
No tanque cilíndrico do Exercício 14.42, suponha agora que a água ocupe apenas a metade inferior do tanque. Bombeá-la até a borda exige metade do trabalho necessário quando o tanque está cheio?
Ver solução
Uma lâmina de altura \(\mathop{}\! \mathrm{d} y\) tem peso \(\rho gA(y)\mathop{}\! \mathrm{d} y\) e deve subir \(H-y\). Assim,
Com a metade inferior cheia, \(V=10\pi \) m\(^3\) e \(\bar y=1{,}25\) m, mas a borda continua em \(H=5\) m. Daí
\[ W=9800(10\pi )(5-1{,}25) =367500\pi \ \mathrm J. \]
Esse trabalho é \(3/4\) do valor do tanque cheio, não \(1/2\): a água remanescente precisa ser elevada por uma distância média maior.
14.8 \(\star \) Teorema de Pappus
O centroide estabelece uma nova conexão com os sólidos de revolução. Conhecendo sua distância ao eixo de rotação e a área da região, podemos calcular o volume por meio do Teorema de Pappus, sob as condições enunciadas a seguir.
Teorema 14.34 (Teorema de Pappus)
Seja \(R\) uma região plana limitada, de área \(A_0\gt 0\) e com centroide bem definido, contida em um dos semiplanos fechados determinados por uma reta \(L\) no mesmo plano. O eixo \(L\) pode tocar a fronteira de \(R\), mas não atravessa seu interior. Se \(r\) é a distância entre o centroide de \(R\) e \(L\), então o volume do sólido obtido pela rotação de \(R\) ao redor de \(L\) é
\[ V=2\pi r A_0. \]
O teorema vale na generalidade enunciada. Demonstraremos apenas o caso que usaremos neste curso: depois de escolher coordenadas em que \(L\) é o eixo \(y\), a região é descrita entre dois gráficos contínuos,
Por cascas cilíndricas, o volume gerado pela rotação da mesma região é
\[ V=2\pi \int _a^b x\, [f(x)-g(x)]\mathop{}\! \mathrm{d} x =2\pi \bar x A_0. \]
Como a região está de um único lado do eixo, \(\bar x\) é precisamente a distância do centroide a \(L\), e a fórmula de Pappus segue nesse caso.
Figura não resolvida: ./figuras/pappus-geral
Figura14.39Ao girar em torno de \(L\), o centroide \(C\) percorre \(2\pi r\); o volume gerado é essa distância vezes a área de \(R\).
Exemplo 14.35 (Volume do toro)
Calcule o volume do toro obtido ao rotacionar o disco de raio \(r\), cujo centro é \((R,0)\), com \(R\gt r\gt 0\), em torno do eixo \(y\), usando o Teorema de Pappus.
Figura não resolvida: ./figuras/pappus-toro
Figura14.40O disco gerador tem área \(\pi r^2\), e seu centroide percorre uma circunferência de raio \(R\).
Solução
Por simetria, o centroide do disco é seu centro \((R,0)\) e está à distância \(R\) do eixo \(y\). A condição \(R\gt r\) garante que o disco fica inteiramente de um lado do eixo, sem tocá-lo. Sua área é \(\pi r^2\), enquanto seu centroide percorre uma circunferência de comprimento \(2\pi R\). Pappus fornece
\[ V=(2\pi R)(\pi r^2)=2\pi ^2Rr^2. \]
É o mesmo valor obtido pelo método das seções transversais no Exemplo 14.14; aqui, a simetria do disco permite encontrá-lo sem uma nova integração.
Exemplo 14.36 (Volume da esfera)
Calcule o volume da esfera usando o Teorema de Pappus.
Solução
Figura não resolvida: ./figuras/pappus-esfera
Figura14.41O semidisco gira em torno de seu diâmetro; seu centroide está a \(4r/(3\pi )\) do eixo.
No Exemplo 14.32, calculamos por momentos que o centroide do semidisco está à distância \(\dfrac {4r}{3\pi }\) do diâmetro. Esse diâmetro pertence à fronteira da região, e o semidisco fica de um só lado dele: as hipóteses de Pappus estão satisfeitas. Como sua área é \(\pi r^2/2\), o teorema fornece
Esse resultado coincide com o cálculo por seções transversais do Exemplo 14.10.
Exercício 14.74 (Quando Pappus não se aplica)
\(\star \) Em sua forma usual, o Teorema de Pappus fornece o volume \(V=2\pi dA\) quando uma região plana de área \(A\) gira em torno de um eixo que a deixa em um único semiplano e não atravessa seu interior. Aqui \(d\) é a distância do centroide ao eixo.
Um estudante aplica a fórmula ao disco de raio \(r\) que gira em torno de um diâmetro e obtém \(V=0\), embora o sólido seja uma esfera. Explique o erro geométrico e identifique a hipótese que não foi respeitada.
Que parte do disco devemos girar em torno do mesmo diâmetro para poder aplicar corretamente o Teorema de Pappus? Explique por que a região escolhida satisfaz as hipóteses e ainda gera a esfera inteira.
Ver solução
O eixo atravessa o interior do disco, contrariando a hipótese do teorema. As duas metades giram e recobrem o mesmo sólido; não se pode tratar os volumes gerados pelas duas partes como contribuições independentes com distâncias orientadas que se cancelam.
Basta girar um dos semidiscos. Ele fica em um único semiplano, e o eixo de rotação coincide com parte de sua fronteira, sem atravessar seu interior. A rotação já produz toda a esfera, sem sobrepor volumes de duas regiões geradoras.
Exercício 14.75
\(\star \) O volume de uma esfera de raio \(r\) foi calculado por seções transversais no Exemplo 14.10. Use esse volume e o Teorema de Pappus, aplicado a um semidisco de raio \(r\), para determinar a distância de seu centroide ao diâmetro. Compare esse procedimento com o cálculo por momentos do Exemplo 14.32: quais grandezas precisamos conhecer em cada método? Ver solução
A área do semidisco é \(A_0=\pi r^2/2\). Como o volume da esfera já foi obtido independentemente por seções transversais, \(V=4\pi r^3/3\), podemos determinar a distância \(d\) do centroide ao diâmetro pela fórmula de Pappus:
Na aplicação inversa de Pappus, usamos o volume \(V\) e a área \(A_0\) para recuperar \(d\). Os métodos fornecem a mesma distância por caminhos diferentes.
Exercício 14.76
\(\star \) O retângulo \(R\leq x\leq R+a\), \(0\leq y\leq h\), com \(R\gt 0\), \(a\gt 0\) e \(h\gt 0\), gira em torno do eixo \(y\). Use Pappus para calcular o volume e confira multiplicando a área da coroa circular pela altura \(h\). Ver solução
O retângulo tem área \(ah\) e centroide a distância \(R+a/2\) do eixo. Assim,
![Figura 14.8 Regiões entre y=cos x e y=2x/π -1 no intervalo [0,π ].](figures/inl-c14-aplicacoesdeintegracao-004.png)
