Nos capítulos anteriores, aprendemos a construir integrais e a relacioná-las com primitivas. Resta uma dificuldade prática: diante de um integrando, como reconhecer uma transformação que torne a conta possível, ou ao menos mais simples?
Começaremos pelas identidades trigonométricas e pelas substituições que simplificam radicais. Depois estudaremos frações parciais e reuniremos os métodos numa discussão de estratégias. A escolha será guiada pela estrutura do integrando, e às vezes precisaremos combinar técnicas já conhecidas. Os dois tópicos finais são aprofundamentos opcionais.
15.1 Integrais trigonométricas
Como calcular primitivas de produtos e potências de funções trigonométricas quando não reconhecemos de imediato uma fórmula básica? Procuraremos reescrever o integrando para tornar visível uma substituição ou reduzir as potências presentes.
As identidades trigonométricas reorganizam as potências de seno, cosseno, tangente e secante de modo que uma substituição ou uma fórmula básica possa ser aplicada. Antes de desenvolver uma potência, convém procurar um fator que seja a derivada de uma das funções presentes. Quando esse fator não aparece, uma identidade pode revelá-lo ou reduzir a potência.
Exemplo 15.1
Calcule \(\displaystyle \int \operatorname {sen}^5 x \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x \)
Solução
O fator \(\cos x\) é a derivada de \(\operatorname {sen}x\), o que sugere a substituição \(u=\operatorname {sen}x\). Como \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\cos x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\),
Calcule \( \displaystyle \int \cos ^5 x \mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Solução
A substituição \(u=\cos x\) exigiria um fator \(\operatorname {sen}x\) que não aparece no integrando. Podemos, porém, escolher \(u=\operatorname {sen}x\): separamos um fator cosseno e convertemos o fator \(\cos ^4 x\) restante em uma expressão que envolva o seno, usando a identidade trigonométrica fundamental \(\operatorname {sen}^2x+\cos ^2x=1\). Assim, \(\cos ^5x=\cos ^4x\cos x=(1-\operatorname {sen}^2x)^2\cos x\). Fazemos \(u=\operatorname {sen}x\), com \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
\begin{align*} \displaystyle \int \cos ^5 x \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int ( 1 - \operatorname {sen}^2x )^2 \cos x \mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \displaystyle \int (1-u^2)^2 \mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \displaystyle \int (1-2u^2+u^4)\mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & =u-\dfrac {2}{3}u^3+\dfrac {u^5}{5}+C \\ & = \operatorname {sen}x-\dfrac {2}{3}\operatorname {sen}^3 x+\dfrac {\operatorname {sen}^5 x}{5}+C \end{align*}
Exemplo 15.3 (Uma área orienta a escolha da substituição)
Determine a área da região sob o gráfico de \(y=\operatorname {sen}^5x\cos ^2x\), entre \(x=0\) e \(x=\pi /2\). Para avaliá-la, calcule primeiro a integral
Para encontrar uma primitiva, observamos a paridade das potências. O expoente do seno é ímpar e o do cosseno é par. Separamos um fator seno, que comporá o diferencial de \(u=\cos x\), e expressamos os fatores restantes em termos do cosseno.
\begin{align*} \operatorname {sen}^5 x \cos ^2 x & = (\operatorname {sen}^2x)^2 \cos ^2 x \operatorname {sen}(x) \\ & = (1- \cos ^2 x)^2 \cos ^2 x \operatorname {sen}x . \end{align*}
Fazendo a substituição \( u = \cos x \) temos \( \mathop{}\! \mathrm{d} u = - \operatorname {sen}x \mathop{}\! \mathrm{d} x \) e assim
Também poderíamos transformar os limites diretamente: \(u\) vai de \(1\) a \(0\), e o sinal negativo de \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-\operatorname {sen}x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) inverte essa orientação.
Nos exemplos anteriores, havia uma potência ímpar de seno ou cosseno, da qual pudemos separar um fator para formar o diferencial da substituição. Quando ambos os expoentes são pares, essa estratégia não funciona diretamente; recorremos às identidades de redução de potência:
\begin{align*} \cos ^2 x & =\dfrac {1}{2}\left[ 1+\cos (2x)\right] \\ \operatorname {sen}^2 x & =\dfrac {1}{2}\left[ 1-\cos (2x)\right] \end{align*}
O termo \(\cos (2x)\) tem primitiva conhecida. Para \(\cos ^2(2x)\), reduzimos a potência mais uma vez; para \(\cos ^3(2x)\), separamos um fator de cosseno e usamos uma substituição. Assim, cada parcela pede uma escolha diferente.
A região sob \(y=\operatorname {sen}^2x\), para \(0\leq x\leq \pi \), gira em torno do eixo \(x\). Determine o volume do sólido. Para isso, calcule a integral
O quadrado do raio explica por que precisamos da quarta potência do seno. Essa integral já foi calculada por recorrência no capítulo de integral indefinida. Aqui, as identidades de redução de potência oferecem outra abordagem, associada à interpretação como volume. Nesse caso o expoente do seno é par (e podemos considerar o fator \(\cos ^0x\)) e utilizaremos as identidades \( \operatorname {sen}^2(x) = \dfrac {1}{2}\left[ 1 - \cos (2x) \right] \) e \( \cos ^2 x = \dfrac {1}{2} \left[1 + \cos (2x)\right].\) Assim,
Esse volume, em unidades cúbicas, é menor que \(\pi ^2\), o volume do cilindro de raio \(1\) e comprimento \(\pi \) que contém o sólido. A comparação é coerente com \(0\leq \operatorname {sen}^2x\leq 1\).
Exemplo 15.6 (Treino intervalado: um cálculo com redução de potência)
Durante um treino de um minuto, a velocidade de uma corredora, em metros por segundo, é modelada por
Como \(v(t)\geq 3\gt 0\), a distância percorrida é \(s(60)=300\) m. O período é \(2\pi /(\pi /15)=30\) s, e a velocidade oscila entre \(3\) e \(7\) m/s.
Estratégia para avaliar \( \displaystyle \int \operatorname {sen}^m x \, \cos ^n x\mathop{}\! \mathrm{d} x\)
Para \(m,n\) inteiros não negativos,
Se \( n \) for ímpar,
\begin{align*} \displaystyle \int \operatorname {sen}^m x \, \cos ^{(2k+1)} x\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int \operatorname {sen}^m x \, (\cos ^2 x)^k \cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \displaystyle \int \operatorname {sen}^m x (1- \operatorname {sen}^2 x)^k\, \cos x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \end{align*}
Podemos usar uma estratégia semelhante para avaliar integrais envolvendo potências de tangente e secante. Nesses casos, trabalhamos em um intervalo em que \(\cos x\neq 0\); as constantes de integração podem ser escolhidas independentemente nos diferentes intervalos do domínio.
Exemplo 15.8
Calcule \(\displaystyle \int \sec ^3 x \mathop{}\! \mathrm{d} x \).
Solução
Começamos por integração por partes, pois a derivada da tangente fornece \(\sec ^2x\), enquanto a derivada da secante mantém um fator secante. A identidade \(\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x-1\) fará reaparecer a integral original e permitirá isolá-la. Escrevemos
\[ \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \int u\, \mathop{}\! \mathrm{d} v \]
com
\begin{align*} \mathop{}\! \mathrm{d} v & = \sec ^2 x\mathop{}\! \mathrm{d} x, \\ v & = \operatorname {tg}x, \\ u & = \sec x, \\ \mathop{}\! \mathrm{d} u & = \sec x \operatorname {tg}x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \end{align*}
Então
\begin{align*} \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int u\, \mathop{}\! \mathrm{d} v \\ & = uv - \displaystyle \int v\, \mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \sec x \operatorname {tg}x - \displaystyle \int \sec x \operatorname {tg}^2 x\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \sec x \operatorname {tg}x - \displaystyle \int \sec x\, (\sec ^2 x - 1)\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \sec x \operatorname {tg}x - \left(\displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x - \displaystyle \int \sec x\mathop{}\! \mathrm{d} x\right) \\ & = \sec x \operatorname {tg}x - \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x + \displaystyle \int \sec x\mathop{}\! \mathrm{d} x. \end{align*}
Dessa forma
\begin{align*} 2 \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \sec x \operatorname {tg}x + \displaystyle \int \sec x\mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \sec x \operatorname {tg}x + \ln |\sec x + \operatorname {tg}x| + C. \end{align*}
E logo
\[ \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac {1}{2}\sec x \operatorname {tg}x + \dfrac {1}{2}\ln |\sec x + \operatorname {tg}x| + C_1. \]
Uma segunda abordagem começa convertendo a secante em senos e cossenos:
A forma \(\cos x/(1-\operatorname {sen}^2x)^2\) permite usar \(u=\operatorname {sen}x\) e transformar a integral em uma integral de função racional:
\[ \displaystyle \int \sec ^3 x \, \mathop{}\! \mathrm{d} x = \displaystyle \int \dfrac {\mathop{}\! \mathrm{d} u}{(1-u^2)^2} \]
A determinação sistemática de uma decomposição em frações parciais será estudada na Seção 15.3. Aqui, podemos conferir a identidade abaixo colocando as quatro parcelas no mesmo denominador: o numerador resultante é \(1\). Assim, essa segunda abordagem usa somente uma igualdade algébrica que já podemos verificar:
Como \(u=\operatorname {sen}x\) e \(\cos x\neq 0\), temos \(-1\lt u\lt 1\); por isso, \(1-u\) e \(1+u\) são positivos. Calculando as antiderivadas termo a termo, temos
Logo, um quarto do logaritmo desse quociente é \(\frac12\ln |\sec x+\operatorname {tg}x|\) nos intervalos considerados.
Observação 15.9 (Uma terceira substituição)
Em um intervalo em que \(\cos x\) não se anula, seu sinal \(\sigma \in \{ -1,1\} \) é constante. Com \(u=\operatorname {tg}x\), temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\sec ^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e \(\sec x=\sigma \sqrt{1+u^2}\), portanto
A integral do lado direito será calculada por substituição trigonométrica na próxima seção. Sua primitiva é \(\frac\sigma 2[u\sqrt{1+u^2}+\ln (u+\sqrt{1+u^2})]\). Ao voltar a \(x\), ela fornece a mesma fórmula dos dois métodos anteriores. Quando \(\sigma =-1\), usamos \((\sqrt{1+u^2}-u)(\sqrt{1+u^2}+u)=1\) para simplificar o logaritmo. Assim, o método também respeita os intervalos em que a secante é negativa.
Como a potência da secante é par, separamos \(\sec ^2x\), que forma o diferencial de \(u=\operatorname {tg}x\). Pela identidade \(\sec ^2x=1+\operatorname {tg}^2x\),
A potência ímpar da tangente permite separar o fator \(\sec x\operatorname {tg}x\), que é a derivada de \(\sec x\). Reescrevemos a potência par restante usando \(\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x-1\):
Se \(m\) for par e \(n\) for ímpar, use \(\operatorname {tg}^2x=\sec ^2x-1\) para escrever o integrando como uma soma de potências de secante. Essa identidade também ajuda a reduzir integrais que envolvem apenas potências de tangente.
Exercício 15.1 (Prever o efeito de elevar a potência)
Ordene \(0\), \(I_2\) e \(I_4\) sem encontrar primitivas. Por que a desigualdade entre as duas integrais é estrita, embora as curvas se encontrem?
Ao trocar o intervalo por \([0,2\pi ]\), um estudante espera que as áreas de \(\operatorname {sen}^4x\) se cancelem, como ocorre para \(\operatorname {sen}x\). O que ele deixou de considerar?
Ver solução
Como \(0\leq \operatorname {sen}^4x\leq \operatorname {sen}^2x\), temos \(0\lt I_4\lt I_2\). A desigualdade entre os integrandos é estrita em intervalos inteiros onde \(0\lt \operatorname {sen}x\lt 1\), e não apenas em pontos isolados. Em \([0,2\pi ]\), a quarta potência continua não negativa; as contribuições das duas metades se somam. O cancelamento de \(\operatorname {sen}x\) depende da mudança de sinal que a potência par elimina.
Exercício 15.2 (Simetria antes de integrar)
Sem calcular primitivas, decida quais integrais em \([-\pi ,\pi ]\) são nulas. Para as demais, calcule o valor.
A primeira e a última são nulas: os integrandos são ímpares. A segunda também: \(\operatorname {sen}(3x)\operatorname {sen}(5x)=\tfrac 12[\cos (2x)-\cos (8x)]\), e cada cosseno percorre períodos completos. A terceira vale \(\pi \): \(\operatorname {sen}^2(3x)=\tfrac 12[1-\cos (6x)]\) e a parte oscilante tem integral nula.
No item 4, as frequências são diferentes: use \(\cos ^4(5x)=[3+4\cos (10x)+\cos (20x)]/8\) e transforme cada produto em soma.
Exercício 15.6 (Corrente alternada: média em meio período)
A corrente \(I(t)=I_0\cos (\omega t+\alpha )\), com \(I_0\gt 0\) e \(\omega \gt 0\), oscila periodicamente.
Determine seu valor médio no intervalo \(0\le t\le \pi /\omega \).
Para qual fase \(\alpha \) essa média é máxima? Qual é a média num período completo?
Ver solução
No meio período, \(\overline I=\frac{\omega }{\pi }\int _0^{\pi /\omega } I_0\cos (\omega t+\alpha )\, \mathop{}\! \mathrm{d} t=-\frac{2I_0}{\pi }\operatorname {sen}\alpha \). A média máxima é \(2I_0/\pi \) e ocorre quando \(\alpha =-\pi /2+2k\pi \). Num período inteiro a média é zero.
Exercício 15.7 (Seno ao quadrado e volume de revolução)
A região sob \(y=2\operatorname {sen}^2(x/2)\), para \(0\le x\le 2\pi \), gira em torno do eixo \(x\). Calcule seu volume usando uma identidade de arco duplo. Ver solução
Como \(y=1-\cos x\), \(V=\pi \int _0^{2\pi }(1-2\cos x+\cos ^2x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\pi (2\pi +\pi )=3\pi ^2\).
Exercício 15.8 (Arruelas com secante)
Calcule o volume obtido girando em torno do eixo \(x\) as regiões entre as curvas indicadas, em \(-\pi /4\le x\le \pi /4\):
\(y=3\) e \(y=2\sec x\);
\(y=4\cos x\) e \(y=2\sec x\).
Antes de integrar, determine qual curva fornece o raio externo. Ver solução
No item (a), \(2\sec x\le 2\sqrt2\lt 3\) e \(V=\pi \int _{-\pi /4}^{\pi /4}(9-4\sec ^2x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\pi (9\pi /2-8)\). No item (b), \(4\cos x\ge 2\sec x\) no intervalo; logo \(V=\pi \int _{-\pi /4}^{\pi /4}(16\cos ^2x-4\sec ^2x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=4\pi ^2\).
Exercício 15.9 (Uma faixa de altura constante)
A região \(R\) está compreendida entre \(y=\operatorname {tg}^2(2x)\) e \(y=\sec ^2(2x)\), com \(0\le x\le \pi /8\).
Mostre que a distância vertical entre as duas curvas é constante e calcule a área de \(R\).
Calcule o volume ao girar \(R\) em torno do eixo \(x\).
Para uma arruela de raio externo \(R_e\) e raio interno \(R_i\), com \(0\lt R_i\lt R_e\), explique por que sua área não é \(\pi (R_e-R_i)^2\).
Ver solução
A identidade \(\sec ^2u-\operatorname {tg}^2u=1\) dá \(A=\pi /8\). Como \(R^2-r^2=\sec ^4(2x)-\operatorname {tg}^4(2x)=2\sec ^2(2x)-1\),
A área de uma arruela é \(\pi (R^2-r^2)=\pi (R-r)(R+r)\), e não \(\pi (R-r)^2\).
Exercício 15.10 (Cascas sob o seno ao cubo)
A região sob \(y=2\operatorname {sen}^3x\), \(0\le x\le \pi \), gira em torno do eixo \(y\). Determine o volume. Procure explorar a simetria \(x\mapsto \pi -x\). Ver solução
Pelas cascas, \(V=4\pi \int _0^\pi x\operatorname {sen}^3x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). A simetria implica \(\int _0^\pi x\operatorname {sen}^3x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac{\pi }{2}\int _0^\pi \operatorname {sen}^3x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =2\pi /3\), pois \(\int _0^\pi \operatorname {sen}^3x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=4/3\). Portanto \(V=8\pi ^2/3\).
Exercício 15.11 (Uma peça torneada)
Um torno produz uma peça de revolução cujo raio, em centímetros, varia segundo \(r(x)=1+\operatorname {sen}^2x\), para \(0\le x\le \pi \). Aqui \(x\) é o valor numérico da distância axial em centímetros, e o argumento do seno está em radianos.
Calcule seu volume exato.
Compare-o com o volume do cilindro de raio \(1\) cm e mesmo comprimento.
Por que não se pode calcular o volume usando apenas o raio médio?
O cilindro tem volume \(\pi ^2\) cm\(^3\); a razão é \(19/8\). O volume usa \(r^2\), e em geral a média de \(r^2\) não é o quadrado da média de \(r\).
15.2 Substituição trigonométrica
As identidades trigonométricas também podem simplificar integrais cujo integrando original não contém funções trigonométricas. Ao escolher uma nova variável, podemos transformar certas expressões com raízes quadradas em expressões trigonométricas para as quais já dispomos de métodos de integração. Em particular, fixado \(a\gt 0\), queremos calcular integrais que contêm expressões da forma:
A ideia é escolher uma substituição que transforme a expressão sob a raiz em um quadrado perfeito, cuidando dos sinais no intervalo escolhido. O primeiro exemplo mostra como proceder; o quadro a seguir reunirá os três casos usuais.
Exemplo 15.12 (Uma faixa de um semidisco)
O gráfico \(y=\sqrt{9-x^2}\) é o semicírculo superior de raio \(3\). Determine a área da faixa situada sob esse gráfico, acima do eixo \(x\), entre \(x=0\) e \(x=2\). Para isso, calcule
Figura15.3A área procurada ocupa somente a faixa \(0\leq x\leq 2\) do semidisco.
Solução
A simetria usada para obter a área do círculo inteiro não determina diretamente a área desta faixa. Cada faixa vertical tem altura \(\sqrt{9-x^2}\). Somando suas contribuições entre \(x=0\) e \(x=2\), obtemos a área procurada:
A expressão \(9-x^2\) sugere escrever \(x=3\operatorname {sen}t\); assim, a identidade pitagórica transforma a diferença em um quadrado. Como \( 1 - \operatorname {sen}^2 t = \cos ^2 t,\) então \( 9 - 9\operatorname {sen}^2 t = 9\cos ^2 t,\) a mudança \( x = 3\operatorname {sen}t \, , -\dfrac {\pi }{2}\lt t \lt \dfrac {\pi }{2} ,\) elimina a raiz do integrando. Temos \( \mathop{}\! \mathrm{d} x = 3\cos t \mathop{}\! \mathrm{d} t .\) Então,
\begin{align*} \displaystyle \int \sqrt{9 - x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x & = 3\displaystyle \int \sqrt{9 - 9\operatorname {sen}^2t} \cos t \, \mathop{}\! \mathrm{d} t \\ & = 3\displaystyle \int \sqrt{9\cos ^2 t} \cos t \mathop{}\! \mathrm{d} t \\ & = 9\displaystyle \int | \cos t | \cos t\mathop{}\! \mathrm{d} t = 9\displaystyle \int \cos ^2 t \mathop{}\! \mathrm{d} t \end{align*}
pois \( \cos t \geq 0 \) se \( -\dfrac {\pi }{2}\lt t \lt \dfrac {\pi }{2} .\) Assim,
\begin{align*} \displaystyle \int \sqrt{9 - x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x & = 9\displaystyle \int \cos ^2 t \mathop{}\! \mathrm{d} t \\ & = 9\displaystyle \int \left( \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2}\, \cos (2t )\right) \mathop{}\! \mathrm{d} t \\ & = \dfrac {9}{2} t + \dfrac {9}{4}\, \operatorname {sen}(2t) + C = \dfrac {9}{2} t + \dfrac {9}{2} \, \operatorname {sen}t\, \cos t + C \end{align*}
Devemos retornar à variável \( x \) original. Como \( x = 3\operatorname {sen}t\) e \(-\dfrac {\pi }{2}\lt t \lt \dfrac {\pi }{2}\), segue que \(t=\operatorname {arcsen}(x/3)\) e \(\cos t=\sqrt{9-x^2}/3\); logo,
O valor está em unidades de área. A substituição permitiu avaliar uma porção delimitada por uma reta vertical, além do caso simétrico da área total do círculo estudado no capítulo de aplicações.
Substituição Trigonométrica
Para integrandos contendo \(\sqrt{a^2-x^2}\): Faça \(x=a\operatorname {sen}\theta \), \(\mathop{}\! \mathrm{d} x = a\cos \theta \ \mathop{}\! \mathrm{d}\theta \) Logo \(\theta = \operatorname {arcsen}(x/a)\), para \(-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2\). No intervalo, \(\cos \theta \geq 0\), logo \(\sqrt{a^2-x^2} = a\cos \theta \)
Figura15.4Triângulo auxiliar para \(x=a\operatorname {sen}\theta \), mostrado no caso \(0\lt x\lt a\).
Para integrandos contendo \(\sqrt{x^2+a^2}\): Faça \(x=a\operatorname {tg}\theta \), \(\mathop{}\! \mathrm{d} x = a\sec ^2\theta \ \mathop{}\! \mathrm{d}\theta \) Logo \(\theta = \operatorname {arctg}(x/a)\), para \(-\pi /2 \lt \theta \lt \pi /2\). No intervalo, \(\sec \theta \gt 0\), logo \(\sqrt{x^2+a^2} = a\sec \theta \)
Figura15.5Triângulo auxiliar para \(x=a\operatorname {tg}\theta \), mostrado no caso \(x\gt 0\).
Para integrandos contendo \(\sqrt{x^2-a^2}\): Faça \(x=a\sec \theta \), \(\mathop{}\! \mathrm{d} x = a\sec \theta \operatorname {tg}\theta \ \mathop{}\! \mathrm{d}\theta \) No ramo \(x\geq a\), tomamos \(0\leq \theta \lt \pi /2\), com \(\theta =\operatorname {arcsec}(x/a)\). Para \(x\leq -a\), usamos \(x=-a\sec \theta \) no mesmo intervalo; o sinal negativo deve aparecer também em \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\). No intervalo, \(\operatorname {tg}\theta \geq 0\); logo, \(\sqrt{x^2-a^2} = a\operatorname {tg}\theta \)
Figura15.6Triângulo auxiliar para \(x=a\sec \theta \), no ramo \(x\gt a\).
Se o radical estiver no denominador, a substituição deve ser feita nos intervalos abertos em que ele não se anula. Um extremo problemático só pode ser incluído por meio de um limite.
O radical \(\sqrt{5+x^2}\) tem a forma \(\sqrt{a^2+x^2}\), com \(a=\sqrt5\).
\(\alpha =|\theta |\) para \(x\neq 0\); \(\theta \) tem o sinal de \(x\).
A substituição \(x=\sqrt5\operatorname {tg}\theta \) transforma \(5+x^2\) em \(5(1+\operatorname {tg}^2\theta )=5\sec ^2\theta \). Escolhemos \(-\pi /2\lt \theta \lt \pi /2\), intervalo no qual \(\sec \theta \gt 0\), para escrever a raiz sem ambiguidade de sinal. Assim,
Resta expressar a primitiva em termos de \(x\), a variável do problema original. O triângulo de referência (b) da substituição trigonométrica ajuda. Como \(x=\sqrt{5}\operatorname {tg}\theta \), temos
o termo \(\ln \big(1/\sqrt{5}\big)\) é absorvido na constante \(C\).
Além disso, \(\sqrt{x^2+5}\gt |x|\) para todo \(x\in \mathbb {R}\). Portanto, \(x+\sqrt{x^2+5}\) é positivo e o módulo pode ser omitido sem restringir o domínio da primitiva.
Observação 15.14 (Retomando uma primitiva usada em volumes)
O mesmo argumento vale para qualquer \(a\gt 0\). Pela escala \(x=au\),
pois o termo constante \(-\ln a\) é incorporado a \(C\). Para \(a=1\), obtemos a primitiva de \(1/\sqrt{1+x^2}\) usada nos problemas de rotação do capítulo de aplicações. Naquele momento, a fórmula podia ser reconhecida na tabela e verificada por derivação; agora compreendemos como a substituição trigonométrica a produz. Seu argumento é positivo para todo \(x\in \mathbb {R}\), inclusive quando \(x\lt 0\).
Exemplo 15.15 (Raiz de uma diferença de quadrados)
Assim, temos que \(a=1/2\) e, seguindo a ideia da substituição trigonométrica (c), começamos pelo ramo \(x\gt 1/2\) e fazemos \(x=\dfrac 12\sec \theta \), com \(0\lt \theta \lt \pi /2\). Logo, \(\mathop{}\! \mathrm{d} x = \dfrac 12\sec \theta \operatorname {tg}\theta \ \mathop{}\! \mathrm{d}\theta \).
Retornamos à variável inicial. Como \(\sec \theta =2x\) e \(\operatorname {tg}\theta =2\sqrt{x^2-1/4}=\sqrt{4x^2-1}\), encontramos
\[ \boxed {\int \sqrt{4x^2-1}\mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac{x}{2}\sqrt{4x^2-1} -\frac14\ln \left|2x+\sqrt{4x^2-1}\right|+C.} \]
A expressão é também uma primitiva em \(x\lt -1/2\), como se verifica por diferenciação: a derivada de \(\ln |2x+\sqrt{4x^2-1}|\) é \(2/\sqrt{4x^2-1}\) nos dois ramos. As constantes podem ser escolhidas independentemente em cada intervalo.
Exemplo 15.16 (Raiz no numerador e potência no denominador)
O numerador contém \(\sqrt{2^2-x^2}\), e o denominador exige \(x\neq 0\).
\(\alpha =|\theta |\), para \(0\lt |x|\lt 2\).
Trabalhamos separadamente em \((-2,0)\) ou \((0,2)\); a substituição deve respeitar essa exclusão. Usamos a substituição trigonométrica (a) com \(a=2\): \(x=2\operatorname {sen}\theta \), com \(-\pi /2\lt \theta \lt \pi /2\) e \(\theta \neq 0\). Então \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=2\cos \theta \, \mathop{}\! \mathrm{d}\theta \) e, como \(\cos \theta \gt 0\), temos \(\sqrt{4-x^2}=2\cos \theta \). Consequentemente
No triângulo marginal, a hipotenusa mede \(2\) e o cateto oposto mede \(|x|\), com \(\alpha =|\theta |\). Se \(x\lt 0\), então \(\theta =-\alpha \); o sinal negativo entra em \(\operatorname {cotg}\theta \), enquanto os comprimentos permanecem positivos.
Para reescrever a resposta em termos de \(x\), utilizaremos o triângulo de referência da substituição trigonométrica (a); assim, \(\operatorname {cotg}\theta = \sqrt{4-x^2}/x\) e \(\theta = \operatorname {arcsen}(x/2)\). Logo,
\[ \displaystyle \int \dfrac {\sqrt{4-x^2}}{x^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x = -\dfrac {\sqrt{4-x^2}}x-\operatorname {arcsen}\left(\dfrac x2\right) + C. \]
Já sabemos que a integral anterior é \(\operatorname {arctg}x+C\). Aplicamos a substituição trigonométrica para mostrar que obtemos a mesma resposta sem depender do conhecimento da derivada da função arco-tangente. Fazendo a substituição (b), tome \(x=\operatorname {tg}\theta \), com \(-\pi /2\lt \theta \lt \pi /2\), e \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=\sec ^2\theta \ \mathop{}\! \mathrm{d}\theta \). Nesse intervalo, a tangente é invertível. Note que \(x^2+1 = \operatorname {tg}^2\theta +1 = \sec ^2\theta \). Logo,
Como \(x=\operatorname {tg}\theta \) e \(\theta = \operatorname {arctg}x\), concluímos que \(\displaystyle \int \dfrac 1{x^2+1}\mathop{}\! \mathrm{d} x = \operatorname {arctg}x+C.\)
Exemplo 15.18 (Avaliação exata de um comprimento já estimado)
No Exercício 14.54, o comprimento do arco de \(y=x^2\), para \(0\leq x\leq 1\), foi limitado por \(\sqrt2\leq L\leq 2\). Agora determine seu valor exato, avaliando
Figura15.7O arco de parábola, a corda tracejada e o percurso horizontal seguido do vertical.
Solução
A fórmula de comprimento já está estabelecida; a nova questão é avaliar a integral. Não há no integrando um fator \(x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) que torne imediata a substituição \(u=1+4x^2\). Em contrapartida, a identidade \(1+\operatorname {tg}^2\theta =\sec ^2\theta \) elimina a raiz. Tomamos
De fato, no extremo superior temos \(\operatorname {tg}\theta =2\) e \(\sec \theta =\sqrt5\). O resultado, em unidades de comprimento, satisfaz \(\sqrt2\lt L\lt 2\): supera o comprimento da corda e é menor que o percurso horizontal seguido do vertical usados nas estimativas anteriores. As cotas permitiam interpretar e controlar a resposta antes de obtermos uma expressão exata.
Exemplo 15.19 (Iluminação média entre dois postes)
Dois postes idênticos, de altura \(h\gt 0\), estão separados por uma distância \(d\gt 0\). Cada lâmpada tem intensidade luminosa \(I\gt 0\). Neste modelo, a iluminância no chão a uma distância horizontal \(s\) da base é
\[ E_0(s)=\frac{Ih}{(h^2+s^2)^{3/2}}. \]
Determine a iluminância média no segmento que une as bases dos postes.
Solução
Figura15.8Cada lâmpada contribui para iluminar \(P\). A iluminância média entre os postes depende de \(I\), da altura \(h\) e da distância \(d\).
Num ponto a distância \(x\) do primeiro poste, as contribuições somam-se:
Observe que o valor médio não é, em geral, o valor no ponto médio.
Exercício 15.12 (A raiz escolhe um sinal)
Na substituição \(x=2\operatorname {sen}\theta \), deseja-se reescrever \(\sqrt{4-x^2}\).
Explique por que a identidade geral é \(\sqrt{4-x^2}=2|\cos \theta |\). Qual intervalo usual para \(\theta \) permite retirar o módulo com sinal positivo e representar todos os \(x\in [-2,2]\)?
Também é possível usar \(\theta \in [\pi /2,3\pi /2]\)? Indique o sinal correto da raiz e o sentido em que \(x\) percorre \([-2,2]\) quando \(\theta \) aumenta.
Ver solução
A raiz quadrada é não negativa: \(\sqrt{4\cos ^2\theta }=2|\cos \theta |\). Em \([-\pi /2,\pi /2]\), \(\cos \theta \geq 0\) e \(x\) cresce de \(-2\) a \(2\). No outro intervalo, \(\cos \theta \leq 0\), portanto a raiz vale \(-2\cos \theta \), e \(x\) decresce de \(2\) a \(-2\). Essa escolha também funciona, desde que tanto o sinal da raiz quanto a orientação dos limites sejam respeitados.
Exercício 15.13 (Uma integral vista como setor circular)
Seja \(a\gt 0\).
Explique, sem calcular primitivas, por que \(\displaystyle \int _0^a\sqrt{a^2-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac{\pi a^2}4\).
Decompondo a região sob o gráfico em um setor circular e um triângulo, calcule
Confira o item anterior com a substituição \(x=a\operatorname {sen}\theta \). Qual é o significado geométrico de \(\theta \)?
Ver solução
É a área de um quarto do disco de raio \(a\).
A região é a união do triângulo de vértices \((0,0)\), \((a/2,0)\) e \((a/2,a\sqrt3/2)\), de área \(\tfrac {\sqrt3}8a^2\), com o setor de ângulo \(\pi /6\) entre o eixo \(y\) e o raio que passa por \((a/2,a\sqrt3/2)\), de área \(\tfrac {\pi a^2}{12}\). Total: \(\tfrac {\pi a^2}{12}+\tfrac {\sqrt3}8a^2\).
\(\int _0^{\pi /6}a^2\cos ^2\theta \, \mathop{}\! \mathrm{d}\theta =\tfrac {a^2}2\left[\theta +\tfrac {\operatorname {sen}(2\theta )}2\right]_0^{\pi /6}\), o mesmo valor. O número \(\theta \) é o ângulo, medido a partir do eixo \(y\), do raio que vai ao ponto \((x,\sqrt{a^2-x^2})\).
Exercício 15.14
Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado, indicando seus lados e o domínio utilizado.
Para os triângulos de referência abaixo, o cateto horizontal é adjacente ao ângulo agudo de referência \(\alpha \). Nos itens 1 e 3, desenhamos o ramo \(x\gt 0\); quando \(x\lt 0\), os comprimentos usam \(|x|\) e os sinais vêm do quadrante escolhido. No item 6, usamos \(|x+2|\) para o comprimento. As substituições e os domínios são:
Calcule as integrais, escolhendo uma substituição trigonométrica quando ela for útil. Algumas admitem uma mudança de variável mais simples. Nos itens com extremos de integração, calcule o valor da integral definida; nos demais, apresente uma primitiva em cada intervalo do domínio.
Cada primitiva vale nos intervalos do domínio real do integrando. No item 9, o módulo no logaritmo permite usar a fórmula nos dois ramos \(|x|\gt 1/5\). No item 14, a forma com \(\operatorname {arctg}(\sqrt{x^2-13}/\sqrt{13})\) vale nos dois ramos \(|x|\gt \sqrt{13}\). No item 17, completar o quadrado dá \((x+3)^2+4\), de modo que o argumento correto é \((x+3)/2\).
Exercício 15.16
Calcule as integrais definidas usando uma substituição trigonométrica adequada. Antes de começar, observe se a simetria permite reduzir o intervalo de integração; ao mudar de variável, transforme também os extremos.
Em ambas, a substituição \(4x=\operatorname {tg}\theta \) reduz a raiz a \(\sec \theta \).
Exercício 15.19 (Um arco logarítmico)
Considere o gráfico \(y=2\ln x\), para \(1\le x\le e\).
Calcule seu comprimento.
Determine a área da superfície produzida ao girar o arco em torno do eixo \(y\).
Para o comprimento, experimente a substituição \(u=\sqrt{x^2+4}\). Ver solução
Temos \(y'=2/x\) e \(x\gt 0\). Para calcular o comprimento, tomamos \(u=\sqrt{x^2+4}\). Como \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x/u\), obtemos
A relação \(V=2\pi \bar y\, A\) confirma o valor do volume (Teorema de Pappus, visto nas aplicações da integral).
Exercício 15.22 (Uma lei de força postulada)
Um mecanismo idealizado empurra uma peça ao longo de um trilho horizontal. Admitimos que a força, no sentido positivo do deslocamento \(x\ge 0\), obedeça à lei postulada
em que \(a\) é uma escala de comprimento. Calcule o trabalho realizado por essa força quando a peça se desloca de \(x=0\) a \(x=3a\). Determine também o limite do trabalho de \(0\) até \(x=b\) quando \(b\to \infty \). Que fração desse trabalho total corresponde ao deslocamento de \(0\) a \(3a\)? Ver solução
A substituição \(x=a\operatorname {tg}\theta \) fornece \(\int (x^2+a^2)^{-3/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =x/(a^2\sqrt{x^2+a^2})+C\). Logo
Uma pipa está a \(150\) m de altura e a \(30\) m, na horizontal, do ponto onde seu fio está preso ao chão. A forma final do fio é descrita por \(y=x^2/6\), para \(0\le x\le 30\), em metros. A densidade linear do fio é \(\lambda =0{,}01\) kg/m. Suponha que, inicialmente, todo o fio esteja ao nível do chão e que seja erguido lentamente até a posição indicada.
Explique por que o trabalho externo necessário para erguer o fio contra a gravidade é \(W=\lambda g\int _0^{30}y\sqrt{1+y'^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Calcule o trabalho, com \(g=9{,}8\) m/s\(^2\).
Ver solução
Um elemento de fio tem massa \(\lambda \, \mathop{}\! \mathrm{d} s\) e termina na altura \(y\). O trabalho externo é o aumento de sua energia potencial; o trabalho da gravidade tem sinal oposto. Como \(y'=x/3\),
\[ W=\frac{\lambda g}{6}\int _0^{30}x^2 \sqrt{1+\frac{x^2}{9}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \approx 1{,}11\times 10^3\ \mathrm J. \]
Para a integral exata, pode-se usar \(x=3\operatorname {tg}\theta \); não é necessário arredondar antes da avaliação final.
Exercício 15.24
A elipse \(x^2/a^2+y^2/b^2=1\), com \(a,b\gt 0\), gira em torno do eixo \(x\).
Se \(a\gt b\), mostre que a área da superfície é \(S=2\pi b^2+2\pi ab\, \operatorname {arcsen}(e)/e\), onde \(e=\sqrt{a^2-b^2}/a\).
Se \(b\gt a\), prove que \(S=2\pi b^2+\frac{\pi a^2}{e}\ln \frac{1+e}{1-e}\), com \(e=\sqrt{b^2-a^2}/b\).
Mostre que as duas fórmulas tendem à área da esfera quando \(b\to a\).
Ver solução
Na semielipse superior, \(y=(b/a)\sqrt{a^2-x^2}\). Para \(|x|\lt a\), o produto \(y\sqrt{1+y'^2}\) se reduz a \(\frac{b}{a^2}\sqrt{a^4-(a^2-b^2)x^2}\). Embora \(y'\) seja ilimitada nas extremidades, esse produto se estende continuamente a \([-a,a]\). Calculamos a área para \(-c\le x\le c\), com \(0\lt c\lt a\), e fazemos \(c\to a^-\); as contribuições dos trechos restantes tendem a zero pela continuidade do integrando simplificado. Assim,
Os limites \(\operatorname {arcsen}(e)/e\to 1\) e \(\frac1e\ln \frac{1+e}{1-e}\to 2\) dão \(S\to 4\pi a^2\).
15.3 Frações parciais
Como encontrar uma primitiva de um quociente de polinômios quando nenhuma substituição direta resolve o cálculo? Queremos decompor esse quociente em uma soma de frações mais simples, cujas primitivas possamos reconhecer.
O método das frações parciais obtém essa decomposição a partir da fatoração do denominador. Considere a função racional
\[ f(x) = \dfrac {P(x)}{Q(x)} \]
onde \(P\) e \(Q\) são polinômios reais, \(Q\) não é o polinômio nulo e consideramos os pontos em que \(Q(x)\neq 0\). Se o grau de \(P\) é maior ou igual ao de \(Q\), começamos pela divisão polinomial:
onde \(S\) e \(R\) são polinômios e o resto \(R\) é nulo ou tem grau menor que o de \(Q\). Quando o grau de \(P\) é menor que o grau de \(Q\), dizemos que \(P(x)/Q(x)\) é uma função racional própria. Nesse caso, dispensamos a divisão polinomial e passamos diretamente à fatoração do denominador e à decomposição.
Para decompor o denominador, admitiremos um resultado que decorre do Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio real não constante pode ser escrito como o produto de uma constante não nula por fatores lineares e quadráticos irredutíveis. Um fator quadrático é irredutível sobre os reais quando não tem raízes reais, isto é, quando \(\Delta \lt 0\). Agrupando os fatores repetidos, obtemos potências da forma:
\[ (ax+b)^{m} \qquad (cx^2+dx+k)^{n} \]
O seguinte quadro estabelece como decompor uma função racional como uma soma de funções racionais cujos denominadores são potências dos fatores lineares ou quadráticos irredutíveis de \(Q(x)\).
Decomposição em Frações Parciais
Seja \(\displaystyle \dfrac {P(x)}{Q(x)}\) uma função racional na qual o grau de \(P\) é menor que o grau de \(Q\). Para obtermos a decomposição em frações parciais, repetimos os passos abaixo para cada fator linear e para cada fator quadrático irredutível de \(Q(x)\).
Termos Lineares: Se \((x-a)\) divide \(Q(x)\), seja \((x-a)^n\) a maior potência de \((x-a)\) que divide \(Q(x)\). Então a decomposição de \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\) conterá a soma de termos
Termos quadráticos: Se \(x^2+bx+c\) é irredutível e divide \(Q(x)\), seja \((x^2+bx+c)^n\) a maior potência de \(x^2+bx+c\) que divide \(Q(x)\). Então a decomposição de \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\) conterá a soma de termos
De posse dos termos que aparecem na decomposição em frações parciais, para determinar os coeficientes \(A_i\), \(B_i\) e \(C_i\):
Multiplique os dois membros da identidade por \(Q(x)\) para eliminar os denominadores. Depois, agrupe os termos de mesmo grau.
Iguale os coeficientes das mesmas potências de \( x \) e resolva o sistema de equações lineares resultante.
O método de Heaviside, apresentado abaixo, pode ajudar a simplificar o sistema.
Estudaremos agora como montar e integrar a decomposição nos casos principais. A justificativa algébrica de sua existência será desenvolvida na seção opcional 15.5. Em todos os cálculos, as igualdades entre funções racionais valem nos pontos em que o denominador original não se anula.
15.3.1 Fatores lineares
Quando o denominador contém fatores lineares, quais frações devemos usar na decomposição e como determinar seus coeficientes? Um fator repetido exige considerar todas as potências, como mostra o quadro anterior.
Exemplo 15.21 (Dois fatores lineares simples)
Encontre a Decomposição em Frações Parciais de \(\displaystyle \dfrac {1}{x^2-1}\).
Solução
O denominador fatora-se em um produto de termos lineares: \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\). Logo, temos a seguinte expansão:
Para comparar os coeficientes, escrevemos o lado esquerdo como
\[ 0x+1=(A+B)x+(A-B). \]
Essa igualdade deve valer para todo \(x\), pois se trata de uma identidade entre polinômios. O coeficiente de \(x\) é \(0\) à esquerda e \(A+B\) à direita; portanto, \(A+B=0\). Os termos constantes são \(1\) e \(A-B\), de modo que \(A-B=1\). Obtemos um sistema linear de duas equações em duas incógnitas. Sua solução é
Observe que \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). A função não está definida em \(x=1\) e \(x=2\), mas esses pontos não pertencem ao intervalo escolhido. Em \([3,4]\), os dois fatores do denominador e o numerador são positivos. Portanto, a área é
A expressão encontrada define uma primitiva em cada um dos intervalos \((-\infty ,1)\), \((1,2)\) e \((2,+\infty )\). A constante de integração pode ser escolhida independentemente em cada um deles. Para a área, trabalhamos inteiramente em \((2,\infty )\) e aplicamos os limites:
O resultado positivo está em unidades de área. A escolha dos limites é parte da modelagem: uma integral que atravessasse um polo exigiria uma análise diferente, que não ocorre neste problema.
Observação 15.23 (Método de Heaviside)
O método de Heaviside facilita o cálculo dos coeficientes: depois de eliminar os denominadores, avaliamos a identidade polinomial nas raízes dos fatores lineares.
Multiplicando por \((x+3)(x+1)\), obtemos a identidade polinomial
\[ 3x+1=A(x+1)+B(x+3). \]
A escolha \(x=-1\) elimina o termo com \(A\) e dá \(-2=2B\), portanto \(B=-1\). A escolha \(x=-3\) elimina o termo com \(B\) e dá \(-8=-2A\), portanto \(A=4\).
Exemplo 15.24 (Divisão polinomial antes das frações parciais)
Utilize a decomposição em frações parciais para integrar
A estratégia de decomposição apresentada acima pressupõe que o grau do numerador seja menor que o do denominador. Como esse não é o caso, começamos usando a divisão polinomial para reduzir o grau do numerador.
Utilize a decomposição em frações parciais para integrar \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {2x+1}{x^3-x^2-x+1}\mathop{}\! \mathrm{d} x \).
Solução
Este exemplo introduz um fator linear repetido. Para ele, devemos incluir todas as potências até a multiplicidade do fator, pois um único termo não oferece liberdade suficiente para representar a fração original. Como \(1\) é raiz do denominador, dividimos por \(x-1\) e obtemos
\[ x^3-x^2-x+1=(x-1)(x^2-1)=(x-1)^2(x+1). \]
A decomposição em frações parciais tem, portanto, a forma
Eliminando os denominadores, chegamos à identidade
\[ 2x+1=A(x-1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x+1). \]
Pelo método de Heaviside, substituímos \(x=1\) na identidade polinomial e obtemos \(3=2C\), logo \(C=\dfrac 32\). Com \(x=-1\), temos \(-1=4A\), portanto \(A=-\dfrac 14\). Finalmente, \(x=0\) fornece \(1=-\dfrac 14-B+\dfrac 32\), de onde \(B=\dfrac 14\). Consequentemente
Nem sempre o método de frações parciais é o método mais simples, como ilustra o exemplo a seguir:
Exemplo 15.27
Calcule \(\displaystyle \displaystyle \int \dfrac {x^3+2}{(x-1)^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x \).
Solução
A mudança \(u=x-1\) transforma o denominador em \(u^2\) e permite escrever o quociente como uma soma de potências de \(u\). Assim, evitamos determinar coeficientes de frações parciais. Com \(x=u+1\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=\mathop{}\! \mathrm{d} x\), obtemos:
\begin{align*} \displaystyle \int \dfrac {x^3+2}{(x-1)^2}\mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int \dfrac {(u+1)^3+2}{u^2} \mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \displaystyle \int \dfrac {u^3 + 3u^2 + 3 u + 3 }{u^2}\mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = \dfrac {u^2}{2} + 3 u + 3\ln |u| - \dfrac {3}{u} + C \\ & =\dfrac {(x-1)^2}{2} + 3 (x-1) + 3 \ln |x-1| - \dfrac {3}{x-1} + C. \end{align*}
Exemplo 15.28 (Uma reação que se aproxima do equilíbrio)
Numa reação idealizada \(A+B\to C\), as concentrações iniciais dos reagentes são \(a\) e \(b\), com \(0\lt a\lt b\). Se \(x(t)\) denota a concentração de produto formado, admita que
Determine o tempo necessário para atingir uma concentração \(0\lt x\lt a\). Depois, considere \(a=2\), \(b=5\) e \(k=0{,}2\) (unidades compatíveis) e calcule o tempo para atingir \(90\% \) e \(99\% \) da concentração máxima possível \(a\).
Solução
Figura15.9A concentração do produto aproxima-se de \(a\) (\(a=2\), \(b=5\), \(k=0{,}2\)).
Enquanto \(0\leq x\lt a\), a concentração aumenta, pois \(k(a-x)(b-x)\gt 0\). Podemos, portanto, considerar o tempo como função da concentração. Pela derivada da função inversa,
Com os valores dados, \(x=1{,}8\) leva \(\frac53\ln (6{,}4)\approx 3{,}09\) unidades de tempo; \(x=1{,}98\) leva \(\frac53\ln (60{,}4)\approx 6{,}83\). Atingir concentrações cada vez mais próximas de \(a\) exige tempos maiores. No próximo capítulo, analisaremos esse comportamento por meio de uma integral imprópria.
15.3.2 Fatores quadráticos
Nem todo polinômio se decompõe em fatores lineares reais. Quando aparecem fatores quadráticos sem raízes reais, precisamos ampliar a decomposição e reconhecer como integrar os novos termos. Completar quadrados será a ligação com as primitivas já conhecidas.
O termo constante dentro dos colchetes é positivo, pois \(\Delta \lt 0\). O fator \(a\) preserva o sinal do denominador, inclusive quando \(a\lt 0\). Essa forma orienta a mudança de variável que reduz a integral a primitivas já conhecidas. Antes de ampliar a decomposição em frações parciais para esse caso, mostraremos como integrar os termos que ela produz.
Exemplo 15.31 (Fatores lineares e quadráticos repetidos)
Decomponha \(\displaystyle f(x)=\dfrac {1}{(x+5)(x-2)^3(x^2+x+2)(x^2+x+7)^2}\) em frações parciais, mas não determine os coeficientes resultantes.
Solução
O denominador já se encontra fatorado, já que \(x^2+x+2\) e \(x^2+x+7\) são irredutíveis. Como \((x+5)\) é um termo linear que divide o denominador, teremos o termo
\[ \dfrac {A}{x+5} \]
na decomposição. Como \((x-2)^3\) divide o denominador, teremos os seguintes termos na decomposição :
O fator \(x^2+x+2\) no denominador fornece o termo \(\displaystyle \dfrac {Ex+F}{x^2+x+2}\). Finalmente, o termo \((x^2+x+7)^2\) gera os seguintes termos na decomposição
\[ \dfrac {Gx+H}{x^2+x+7}\quad \text{ e }\quad \dfrac {Ix+J}{(x^2+x+7)^2}. \]
O primeiro termo tem primitiva \(5\ln |x+1|\). No segundo, procuramos escrever o numerador como a derivada do denominador mais um termo constante. O integrando \(\displaystyle \dfrac {2x-1}{x^2+6x+11}\) possui um termo quadrático no denominador e um termo linear no numerador. Isso nos leva a tentar uma substituição. Faremos a substituição \(u = x^2+6x+11\), logo \(\mathop{}\! \mathrm{d} u = (2x+6)\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Como o numerador é \(2x-1\), e não \(2x+6\), podemos obter o termo \(2x+6\) no numerador adicionando e subtraindo \(7\).
Podemos agora integrar o primeiro termo por substituição, obtendo \(\ln (x^2+6x+11)\). O módulo no logaritmo anterior é dispensável, pois \(x^2+6x+11=(x+3)^2+2\gt 0\) em toda a reta. O termo final pode ser integrado usando arco-tangente. Em primeiro lugar, completamos o quadrado no denominador:
Multiplicando pelos denominadores, obtemos a identidade polinomial
\[ 8x^2+x+1=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2). \]
Em \(x=2\), ela fornece \(35=12A\), logo \(A=35/12\). Comparando os coeficientes de \(x^2\) e os termos constantes, temos \(A+B=8\) e \(4A-2C=1\). Portanto,
Como \(q(x)\gt 0\) em toda a reta, somente \(x=2\) é excluído. A fórmula vale nos intervalos \((-\infty ,2)\) e \((2,\infty )\), com constantes independentes. Para verificar o resultado, sua derivada é
Sem resolver o sistema de coeficientes, explique por que \(A+B=0\). Compare o comportamento das duas parcelas com o da soma quando \(x\to +\infty \).
A primitiva em \((1,\infty )\) pode envolver uma diferença de dois logaritmos que, separadamente, crescem sem limite. Isso obriga a primitiva a crescer sem limite? Use a forma \(\frac12\ln \frac{x-1}{x+1}\).
Ver solução
Multiplicando a identidade por \(x\) e tomando o limite, o lado esquerdo tende a \(0\), enquanto o direito tende a \(A+B\). As parcelas de ordem \(1/x\) se cancelam, restando uma função de ordem \(1/x^2\). Na primitiva, o quociente \((x-1)/(x+1)\) tende a \(1\), logo o logaritmo tende a \(0\). A diferença pode ter limite finito mesmo quando cada logaritmo diverge; somar uma constante apenas altera esse limite.
Sejam \(\alpha ,\beta ,m,n\in \mathbb {R}\), com \(\alpha \ne \beta \). Mostre que existem constantes reais \(A\) e \(B\) tais que, para todo \(x\ne \alpha ,\beta \), vale a identidade
Os coeficientes da decomposição são \(1/t\) e \(-1/t\). Avalie a afirmação de que \(I(t)\) cresce sem limite quando \(t\to 0^+\) porque os coeficientes crescem em módulo. Sem usar a fórmula logarítmica, mostre que
\[ \frac1{2(1+t)}\le I(t)\le \frac12 \]
e determine \(\lim _{t\to 0^+}I(t)\).
Calcule diretamente \(I(0)=\int _0^1(1+x)^{-2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Por que dois fatores distintos se tornarem um fator repetido não obriga a integral a crescer sem limite?
Integrando e usando \(\int _0^1(1+x)^{-2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=1/2\), obtemos
\[ \frac1{2(1+t)}\le I(t)\le \frac12. \]
Pelo confronto, \(\lim _{t\to 0^+}I(t)=1/2\). Os termos da decomposição se compensam quando os fatores se aproximam.
\(I(0)=[-1/(1+x)]_0^1=1/2\). O integrando permanece positivo e limitado quando os fatores coincidem. Não é permitido substituir \(t=0\) na decomposição obtida para \(t\gt 0\).
Exercício 15.40
Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
Em cada item, encontre a área compreendida entre a curva e o eixo \(x\) no intervalo indicado. Verifique antes o sinal de \(y\):
\(y=\dfrac {x-8}{x^2-2x}\), para \(3\le x\le 4\);
\(y=\dfrac {x+4}{4+3x-x^2}\), para \(0\le x\le 3\);
\(y=\dfrac {x^2+8x+12}{x^3+6x^2+8x}\), para \(2\le x\le 5\).
Figura não resolvida: figuras/lista-ap-regiao3
Ver solução
(a) A função é negativa e \(y=4/x-3/(x-2)\), portanto \(A=\ln (81/32)\). (b) A função é positiva e \(y=\frac{3}{5(x+1)}+\frac{8}{5(4-x)}\); logo \(A=\frac{22}{5}\ln 2\). (c) Cancelando o fator \(x+2\) e decompondo, \(y=\frac3{2x}-\frac1{2(x+4)}\gt 0\); \(A=\ln (5\sqrt{15}/6)\).
Exercício 15.44 (Os mesmos perfis, agora como cascas)
Gire em torno do eixo \(y\) as três regiões do exercício anterior. Calcule seus volumes por cascas cilíndricas. Explique em que passo é necessário considerar o módulo da função. Ver solução
Para cada item, \(V=2\pi \int x|y(x)|\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) no intervalo indicado. Os resultados, respectivamente, são
O módulo é indispensável no primeiro item, em que \(y\lt 0\): a altura física da casca é \(|y|\), nunca negativa.
Exercício 15.45 (Quadrado de uma fração)
A região sob \(y=2/[x(x+2)]\), para \(1\le x\le 2\), gira em torno do eixo \(x\). Encontre seu volume. É mais eficiente decompor a função racional antes ou depois de elevar ao quadrado? Ver solução
Assim, \(V=\pi \int _1^2\frac4{x^2(x+2)^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\pi \bigl(\frac7{12}+\ln \frac23\bigr)\). A decomposição antes do quadrado reduz o trabalho algébrico.
Exercício 15.46 (O laço de uma estrofoide)
A curva
\[ y^2=x^2\frac{2-x}{2+x},\qquad 0\le x\le 2, \]
possui um laço simétrico em relação ao eixo \(x\). Encontre o volume obtido girando a região interior ao laço em torno desse eixo.
Figura não resolvida: figuras/lista-ap-laco
Ver solução
Ao girar a região inteira, cada seção é um disco de raio \(|y|\). Efetuando a divisão polinomial,
Conhecer várias técnicas não significa aplicá-las em uma ordem fixa. O primeiro passo é olhar para o integrando: há fatores que se simplificam? A derivada de alguma expressão aparece ao lado dela? Uma identidade revela uma primitiva conhecida? Essas perguntas ajudam a escolher um caminho antes de começar as contas.
Orientação para escolher uma técnica
Simplificar. Verifique se uma identidade, fatoração ou divisão revela uma primitiva conhecida ou uma substituição direta.
Classificar. Se a simplificação não basta, identifique a estrutura que sugere uma técnica: função racional, produto, potência trigonométrica ou radical.
Modificar. Quando nenhum padrão aparece diretamente, procure uma transformação que aproxime o integrando de uma forma conhecida. Depois, reavalie a escolha.
Essas etapas são diretrizes, não um algoritmo rígido. Uma mesma integral pode admitir métodos diferentes, e uma transformação pode devolver o problema a uma etapa anterior.4
Simplificar
O exemplo seguinte compara quatro operações: distribuição, identidade trigonométrica, separação de uma constante e divisão polinomial. Cada uma delas remove uma dificuldade específica do integrando.
Exemplo 15.34
Antes de escolher uma técnica, simplifique os seguintes integrandos:
O numerador é metade da derivada do denominador. Por isso, a mudança \(u=x^2+1\) reúne as duas partes do quociente: \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e
Como \(x^2+1\gt 0\), a fórmula vale em toda a reta.
Exemplo 15.36
Calcule \(\displaystyle \int x^3\sqrt{x^2-1} \mathop{}\! \mathrm{d} x \)
Solução
A presença de uma raiz não obriga a usar uma substituição trigonométrica. Aqui, escrever \(x^3=x^2\cdot x\) permite aproveitar o fator \(x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Faça \(u=\sqrt{x^2-1}\), de modo que \(x\mathop{}\! \mathrm{d} x=u\mathop{}\! \mathrm{d} u\) e \(x^2=u^2+1\). A integral inteira se transforma em um polinômio em \(u\):
Antes de aplicar as regras para potências de tangente e secante, escrevemos o quociente em senos e cossenos. Essa simplificação revela imediatamente a derivada de \(\cos x\). Mantemos o domínio original, \(\cos x\neq 0\). Com \(u=\cos x\), temos \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-\operatorname {sen}x\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
\begin{align*} \displaystyle \int \frac{ \operatorname {tg}x }{\sec ^4 x} \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \displaystyle \int \frac{ \operatorname {sen}x}{\cos x} \cos ^4 x \mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & = \displaystyle \int \operatorname {sen}x \cos ^3 x \mathop{}\! \mathrm{d} x \\ & =-\displaystyle \int u^3 \mathop{}\! \mathrm{d} u \\ & = -\frac{1}{4} \cos ^4 x +C \end{align*}
O termo \(x\) do numerador combina com a derivada de \(x^2+1\), mas a constante \(1\) não faz parte dela. Separar o numerador produz duas formas conhecidas:
A raiz está no denominador, portanto precisamos de \(\ln x\gt 0\), isto é, \(x\gt 1\). Nesse domínio, o fator \(\mathop{}\! \mathrm{d} x/x\) é exatamente o diferencial de \(\ln x\). Com \(u=\ln x\), obtemos
a Como o integrando possui uma raiz \(\sqrt{4x^2-9}\), que pode ser simplificada para \(2\sqrt{x^2-9/4}\), uma boa escolha é fazer uma substituição trigonométrica. b Com \(u=x^2\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), obtemos
\[ \frac12\displaystyle \int u\operatorname {sen}u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u, \]
integral que calculamos por partes. c O integrando é um produto de seno e cosseno. Podemos reescrevê-lo como soma usando a identidade:
d Como o grau do numerador é maior que o do denominador, fazemos a divisão polinomial e aplicamos frações parciais à fração própria restante. e A potência do cosseno está acompanhada de \(\operatorname {sen}(5x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Tomamos \(u=\cos (5x)\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-5\operatorname {sen}(5x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), reduzindo a integral a \(-\frac15\int u^4\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\). f A integração por partes conserva a forma da exponencial e alterna seno e cosseno. Após duas aplicações, a integral original reaparece e pode ser isolada.
Exemplo 15.41 (Cascas cilíndricas e integração por partes)
A região sob o gráfico de \(y=\ln x\), entre \(x=1\) e \(x=e\), gira em torno do eixo \(y\). Determine o volume do sólido. Para isso, calcule
Figura não resolvida: figuras/tecnicas-cascas-logaritmo
Figura15.10A faixa vertical gera uma casca de raio \(x\), altura \(\ln x\) e espessura \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Solução
Uma faixa vertical situada na posição \(x\) gera uma casca de raio \(x\), altura \(\ln x\) e espessura \(\mathop{}\! \mathrm{d} x\). Como \(\ln x\geq 0\) em \([1,e]\), o volume é
A integral \(\int _1^e x\ln x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) já apareceu como uma área no capítulo de integração definida. Agora o mesmo produto tem uma interpretação diferente: \(x\) é o raio da casca e \(\ln x\) é sua altura; o fator \(2\pi \) completa a contribuição de volume. Na integral indefinida, temos um produto em que derivar o logaritmo o simplifica e integrar \(x\) continua sendo imediato. Por isso, escolhemos \(u=\ln x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). A integração por partes fornece
\[ \int x\ln x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac{x^2}2\ln x-\frac12\int x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac{x^2}2\ln x-\frac{x^2}4+C,\qquad x\gt 0. \]
em unidades cúbicas. A descrição por cascas torna visíveis os dois fatores \(x\) e \(\ln x\); a estrutura desse produto, por sua vez, orienta a técnica de avaliação.
Modificar
Quando nenhum padrão se apresenta diretamente, identifique o que impede um método conhecido de funcionar. Fatoração, racionalização, divisão ou introdução compensada de um termo podem produzir a estrutura desejada. Nem toda semelhança garante sucesso: algumas integrais não são calculáveis pelas técnicas elementares desenvolvidas neste livro.
Separar uma soma só é vantajoso quando torna seus termos reconhecíveis. Compare:
Na primeira, conservar o numerador inteiro revela a derivada do denominador e fornece \(\ln (x^2+2x+5)+C\). Na segunda, separar o numerador produz \(x/(x^2+1)\) e \(1/(x^2+1)\), com primitivas logarítmica e trigonométrica inversa, respectivamente. Portanto, a escolha deve preservar ou revelar um padrão, não apenas aumentar o número de integrais.
Para uma função racional cujo numerador tenha grau maior ou igual ao denominador, a divisão polinomial deve preceder as frações parciais. A fração restante é própria: o grau do numerador é menor que o do denominador.
Exemplo 15.42
Calcule
\[ \displaystyle \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
Solução
Para \(-1\lt x\lt 1\), multiplicamos o numerador e o denominador por \(\sqrt{1-x}\). Assim, retiramos a fração do interior da raiz e encontramos primitivas conhecidas:
Portanto, \(\int \sqrt{(1-x)/(1+x)}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\operatorname {arcsen}x+\sqrt{1-x^2}+C\). A expressão do integrando também se estende continuamente a \(x=1\).
Exemplo 15.43
Calcule
\[ \displaystyle \int \cos \sqrt{x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
Solução
A raiz aparece como argumento do cosseno. Tomá-la como nova variável remove a composição: faça \(u=\sqrt{x}\), inicialmente para \(x\gt 0\). Então \(x=u^2\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} x=2u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\). O preço dessa simplificação é um fator \(u\), que podemos tratar por partes:
\begin{align*} \displaystyle \int \cos \sqrt{x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x & = 2\displaystyle \int u \cos u \mathop{}\! \mathrm{d} u. \end{align*}
Por partes, \(\int u\cos u\, \mathop{}\! \mathrm{d} u=u\operatorname {sen}u+\cos u+C\). Logo, a integral procurada é \(2\sqrt x\, \operatorname {sen}\sqrt x+2\cos \sqrt x+C\), para \(x\gt 0\), com extensão ao extremo \(0\).
Exemplo 15.44
Calcule
\[ \displaystyle \int \frac{2}{3+2x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
Solução
Colocamos \(3\) em evidência no denominador para obter uma expressão do tipo \(1/(1+u^2)\), cuja primitiva é conhecida. A substituição \(u=\sqrt{2/3}\, x\) ajusta o coeficiente de \(x^2\):
\begin{align*} \displaystyle \int \frac{2}{3+2x^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x & = \frac{2}{3} \displaystyle \int \frac{1}{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}x\right)^2} \mathop{}\! \mathrm{d} x \end{align*}
Uma identidade ainda pode revelar uma primitiva conhecida. No próximo exemplo, multiplicar numerador e denominador por \(1-\operatorname {sen}x\) fará aparecer \(\cos ^2x\), simplificando a integração.
O fator \(1-\operatorname {sen}x\) é útil porque seu produto com o denominador produz \(1-\operatorname {sen}^2x=\cos ^2x\). Fazemos essa transformação inicialmente onde \(\cos x\neq 0\); ao final, voltaremos ao domínio original.
Essa expressão vale onde \(\cos x\neq 0\). Para cobrir também os pontos em que \(\operatorname {sen}x=1\), escrevemos \(\operatorname {tg}x-\sec x=-\cos x/(1+\operatorname {sen}x)\) e usamos a extensão contínua. A derivada dessa última expressão é \(1/(1+\operatorname {sen}x)\) em todo o domínio original.
Expressões exatas, cálculo simbólico e aproximações
Encontrar uma primitiva elementar é uma forma poderosa de avaliar uma integral: a expressão obtida mostra como o resultado depende dos limites e pode revelar relações que uma aproximação decimal não evidencia. Um sistema de cálculo simbólico pode auxiliar nessa tarefa, mas sua saída deve ser interpretada no domínio do problema e conferida por derivação. Expressões aparentemente distintas podem representar a mesma primitiva, até uma constante, em um intervalo.
Por outro lado, uma função contínua sempre admite uma primitiva dada por \(F(x)=\int _a^x f(t)\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\), embora essa primitiva possa não ser expressa por uma combinação finita das funções elementares. É o que acontece, por exemplo, com \(f(x)=e^{-x^2}\). O insucesso de uma tentativa de substituição não basta para demonstrar essa impossibilidade.
Uma integral definida continua representando uma quantidade exata mesmo quando não dispomos de uma primitiva elementar. Podemos aproximá-la por somas de Riemann ou por métodos numéricos, registrando o procedimento e a precisão adotados. Comparar refinamentos ajuda a avaliar a estabilidade dos algarismos, mas uma cota rigorosa de erro requer uma justificativa adicional. Em problemas de área, volume ou trabalho, formular a integral, verificar seus limites e unidades e obter estimativas coerentes continuam sendo partes essenciais da solução.
Exercício 15.49 (O fracasso de uma tentativa não é uma conclusão)
Como a substituição simplifica \(I\), ele conclui que também resolve \(J\); depois, ao encontrar uma dificuldade, afirma que \(J\) não possui primitiva.
Identifique o fator que torna a substituição imediata em \(I\) e explique o que acontece com ele em \(J\).
Qual das conclusões sobre \(J\) é refutada pelo Teorema Fundamental do Cálculo? Escreva uma primitiva válida sem exigir uma expressão em funções elementares.
Ver solução
Em \(I\), o fator \(2x\mathop{}\! \mathrm{d} x\) é exatamente \(du\). Em \(J\), esse fator não está presente; para \(x\gt 0\), a mudança produz \(\frac12\int u^{-1/2}\cos u\mathop{}\! \mathrm{d} u\), sem a simplificação pretendida. Mas o integrando de \(J\) é contínuo, logo \(F(x)=\int _0^x\cos (t^2)\mathop{}\! \mathrm{d} t\) é uma primitiva em toda a reta. A dificuldade de obter uma fórmula por uma técnica não demonstra inexistência de primitiva. Não é necessário decidir aqui se há uma expressão elementar.
No domínio original, \(x\neq 3\), o integrando é \(x+3\). Portanto,
\[ \frac{x^2}{2}+3x+C \]
em cada intervalo do domínio.
Exercício 15.51
Calcule
\[ \int \frac{e^{2x}-1}{e^x+1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
começando por fatorar o numerador. Ver solução
Como \(e^{2x}-1=(e^x-1)(e^x+1)\), o integrando é \(e^x-1\). Logo,
\[ e^x-x+C. \]
Exercício 15.52
Calcule
\[ \int \frac{x^3+x^2+x+1}{x+1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x \]
sem usar frações parciais. Ver solução
Por agrupamento,
\[ x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1), \]
portanto a integral é
\[ \frac{x^3}{3}+x+C, \]
em cada intervalo do domínio original \(x\neq -1\).
Exercício 15.53
Qual substituição você escolheria para calcular \(\int x\sqrt{x^2+4}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\): uma direta ou uma trigonométrica? Justifique. Ver solução
A derivada de \(x^2+4\) já aparece no integrando, a menos do fator constante \(2\). Com \(u=x^2+4\), a integral se torna \(\frac12\int u^{1/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\), que é imediata.
Exercício 15.54
Para cada integrando, indique uma técnica inicial plausível e justifique em uma frase: \(x^2e^x\), \(\operatorname {sen}^4x\), \(1/(x^2-9)\), \(x/\sqrt{16-x^2}\) e \(\ln x\). Não calcule as integrais. Ver solução
Na ordem: integração por partes repetida; redução de potência por identidades trigonométricas; frações parciais; substituição \(u=16-x^2\); integração por partes com \(u=\ln x\) e \(\mathop{}\! \mathrm{d} v=\mathop{}\! \mathrm{d} x\).
Nos itens 1 e 4, \(x\gt -3\); no item 2, \(t\gt 0\); no item 7, conservam-se as exclusões \(x=-1,0,2\) do integrando original; no item 13, \(|x|\gt 3/2\); no item 16, \(y\gt 0\); no item 17, a fórmula vale para \(x\gt 2\) e se estende ao extremo \(2\); no item 21, \(x\gt 0\). As outras restrições são as dos denominadores e funções trigonométricas.
Exercício 15.56
Calcule as integrais, escolhendo uma estratégia para cada item. Verifique se uma simplificação inicial permite evitar uma técnica mais longa.
No item 1, a fórmula vale para \(x\gt 0\) e admite extensão derivável pela direita em \(0\). No item 2, mantemos \(\cos x\neq 0\), mesmo após simplificar o integrando. No item 3, \(t\neq 0\). Nos demais, consideram-se os intervalos do domínio real do integrando.
Exercício 15.57
Calcule \(\int x^2\cos (3x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) aplicando duas vezes a fórmula de integração por partes. Ver solução
Calcule \(\int \operatorname {cotg}^3x\operatorname {cossec}^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) e explique por que a substituição \(u=\operatorname {cotg}x\) é mais direta que a expansão em senos e cossenos. Ver solução
Como \(\mathop{}\! \mathrm{d} u=-\operatorname {cossec}^2x\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), a integral se torna \(-\int u^3\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\). Logo, o resultado é \(-\operatorname {cotg}^4x/4+C\); não é necessário converter nem simplificar quocientes trigonométricos.
Exercício 15.59
Calcule \(\int \frac{1}{x^2-6x+13}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) completando o quadrado e usando uma substituição trigonométrica ou a fórmula correspondente. Ver solução
portanto a integral é \(2\ln |x-1|+3\ln |x+2|+C\).
Exercício 15.61
Calcule \(\int \sqrt{36-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) por substituição trigonométrica e interprete geometricamente a constante \(36\). Ver solução
Com \(x=6\operatorname {sen}\theta \),
\[ \int \sqrt{36-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x =\frac x2\sqrt{36-x^2}+18\operatorname {arcsen}(x/6)+C. \]
O número \(36=6^2\) corresponde ao quadrado do raio do semicírculo \(y=\sqrt{36-x^2}\).
Exercício 15.62
Uma lente semicircular de raio \(6\) cm tem área dada por \(\int _{-6}^6\sqrt{36-x^2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\). Escolha uma técnica de integração para confirmar sua área e compare-a com a fórmula geométrica conhecida. Ver solução
Usando a primitiva do exercício anterior ou a simetria do círculo,
Avalie a afirmação: “se um integrando contém uma raiz quadrada, a substituição trigonométrica é sempre a melhor escolha”. Dê um contraexemplo e explique uma alternativa melhor. Ver solução
A afirmação é falsa. Por exemplo, \(\int \sqrt{x}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\int x^{1/2}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x=\frac23x^{3/2}+C\) é resolvida diretamente pela regra da potência. Também em \(\int x\sqrt{x^2+1}\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\), a substituição algébrica \(u=x^2+1\) é mais direta.
Exercício 15.64 (Duas expressões para primitivas)
Calcule \(\displaystyle \int \operatorname {tg}(2x)\sec ^4(2x)\, \mathop{}\! \mathrm{d} x\) de duas maneiras: usando \(u=\sec (2x)\) e \(u=\operatorname {tg}(2x)\). Fixe em zero as constantes de integração dos dois representantes obtidos. Mostre que esses representantes diferem por uma constante e determine-a. Ver solução
A primeira escolha fornece \(\sec ^4(2x)/8+C\). A segunda produz \(\operatorname {tg}^2(2x)/4+\operatorname {tg}^4(2x)/8+C\). Com \(C=0\) nos dois representantes, como \(\sec ^2u=1+\operatorname {tg}^2u\), as expressões diferem por \(1/8\).
Exercício 15.65 (Um arco de seno e meia elipse)
Prove que o comprimento do arco \(y=2\operatorname {sen}(x/2)\), para \(0\le x\le 2\pi \), coincide com a metade do comprimento da elipse
\[ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1. \]
Compare as integrais apropriadas sem tentar encontrar primitivas em funções elementares.
Figura não resolvida: figuras/fuv-arco-elipse
Ver solução
Para a curva seno, com \(u=x/2\), \(L=2\int _0^\pi \sqrt{1+\cos ^2u}\, \mathop{}\! \mathrm{d} u\). Parametrizando a elipse por \(x(t)=2\sqrt2\cos t\), \(y(t)=2\operatorname {sen}t\), o comprimento de meia elipse é \(2\int _0^\pi \sqrt{1+\operatorname {sen}^2t}\, \mathop{}\! \mathrm{d} t\). As integrais coincidem por translação de \(\pi /2\) e periodicidade. Não é necessário calculá-las explicitamente.
Exercício 15.66 (Repulsão por um segmento carregado)
Uma carga total \(Q\gt 0\) está distribuída uniformemente ao longo de um segmento de comprimento \(2c\) do eixo \(y\), centrado na origem. Segundo o modelo eletrostático, o módulo da força sobre uma carga \(q\gt 0\) em \((x,0)\), \(x\gt 0\), é
Aqui, \(\varepsilon _0\gt 0\) é a permissividade elétrica do vácuo, considerada constante. Como as cargas são positivas, a força é repulsiva e aponta no sentido positivo do eixo \(x\); portanto, \(F(x)\) também representa a componente da força nesse eixo. Calcule o trabalho realizado por essa força ao deslocar \(q\) de \(x=2c\) a \(x=4c\). Justifique sua escolha de substituição. Ver solução
Pode-se usar \(x=c\operatorname {tg}\theta \) ou \(x=c/u\). Uma primitiva é
Calcule a área da superfície obtida ao girar o arco \(y=2\operatorname {sen}(x/2)\), \(0\le x\le 2\pi \), em torno do eixo \(x\). Antes de integrar, escolha a variável que simplifica a raiz \(\sqrt{1+[y'(x)]^2}\). Ver solução
Na Seção 15.3, usamos a fatoração do denominador para montar e integrar decomposições em frações parciais. Agora justificaremos por que elas existem e por que seus numeradores e denominadores assumem aquelas formas. Esse aprofundamento algébrico é opcional: os procedimentos de integração já estudados podem ser utilizados independentemente de sua demonstração.
Nesta seção, denotaremos por \(\mathbb {R}[x]\) o conjunto dos polinômios com coeficientes reais. As identidades polinomiais que obteremos valem para todo número real; ao dividir pelos denominadores, passamos a igualdades entre funções racionais apenas nos pontos em que eles não se anulam.
Teorema 15.46 (Teorema do Fator)
Sejam \(P\in \mathbb {R}[x]\) e \(c\in \mathbb {R}\) tais que \(P(c)=0\). Então existe \(Q(x)\in \mathbb {R}[x]\) tal que \(P(x)=(x-c)Q(x)\).
Demonstração▼
Pelo algoritmo da divisão de polinômios, a divisão de \(P(x)\) por \(x-c\) terá como resto uma constante (possivelmente nula), isto é, \(P(x)=Q(x)(x-c) + S\). Como \(P(c)=0=Q(c)(c-c)+S=S=0\), logo \(P(x)=Q(x)(x-c)\).
Teorema 15.47 (Frações parciais – raízes reais)
Sejam \(P(x)\) e \(Q(x) \in \mathbb {R}[x]\), \(a\in \mathbb {R}\) com \(Q(a)\neq 0\) e \(n\in \mathbb {N}\), \(n\geq 1\). Então existem \(B\in \mathbb {R}\) e \(R(x)\in \mathbb {R}[x]\) tais que
Colocando os dois lados sobre o mesmo denominador, queremos \(R\) e \(B\) tais que \(P(x)=R(x)(x-a) +BQ(x)\). Como \(P(a)=BQ(a)\), e \(Q(a)\neq 0\), defina \(B=P(a)/Q(a)\). Defina \(h(x)=P(x)-BQ(x)\). Pela definição de \(B\), é claro que \(h(a)=0\). Pelo Teorema 15.46, existe \(R\in \mathbb {R}[x]\) tal que \(h(x)=R(x)(x-a)=P(x)-BQ(x)\). Logo, \(P(x)=R(x)(x-a) +BQ(x)\).
Como consequência, temos:
Corolário 15.48
Sejam \(P(x)\) e \(Q(x) \in \mathbb {R}[x]\), \(a\in \mathbb {R}\) com \(Q(a)\neq 0\) e \(n\in \mathbb {N}\), \(n\geq 1\). Então existem \(B_1, \ldots , B_n\in \mathbb {R}\) e \(R\in \mathbb {R}[x]\) tais que
Assim, se \(b\in \mathbb {R}\) é raiz de \(Q(x)\) do corolário acima, podemos aplicar o próprio corolário a \(\dfrac {R(x)}{Q(x)}\) e prosseguir na expansão em frações parciais. Para tratar fatores quadráticos sem raízes reais, continuaremos inteiramente em \(\mathbb {R}\). A ideia é determinar diretamente o numerador linear que corresponde a um fator quadrático.
Teorema 15.49 (Frações parciais – fatores quadráticos sem raízes reais)
Sejam \(P,Q\in \mathbb {R}[x]\) e
\[ q(x)=x^2+bx+c,\qquad b^2-4c\lt 0, \]
com \(q\) não dividindo \(Q\). Se \(n\in \mathbb {N}\), \(n\geq 1\), então existem \(B,C\in \mathbb {R}\) e \(R(x)\in \mathbb {R}[x]\) tais que
com \(p,r,u,v\in \mathbb {R}\). Como \(q\) não divide \(Q\), temos \((u,v)\neq (0,0)\).
Queremos escolher \(B\) e \(C\) de modo que
\[ P(x)-(Bx+C)Q(x) \]
seja divisível por \(q\). Ao dividir \((Bx+C)(ux+v)\) por \(q(x)=x^2+bx+c\), podemos substituir o termo \(x^2\) por \(-bx-c\) ao calcular o resto. Assim, esse resto é
De fato, \(b^2-4c\lt 0\) e \((u,v)\neq (0,0)\). Assim, \(B\) é unicamente determinado. Se \(u\neq 0\), a primeira equação determina \(C\); se \(u=0\), então \(v\neq 0\) e a segunda equação determina \(C\). A igualdade usada para determinar \(B\) é \(v\) vezes a primeira equação menos \(u\) vezes a segunda. Assim, o par \((B,C)\) também satisfaz a equação restante: se \(u\neq 0\), a primeira implica a segunda; se \(u=0\), a segunda implica a primeira, pois \(v\neq 0\).
Com essa escolha, o polinômio
\[ h(x)=P(x)-(Bx+C)Q(x) \]
tem resto zero na divisão por \(q\). Logo existe \(R\in \mathbb {R}[x]\) tal que
\[ P(x)=R(x)q(x)+(Bx+C)Q(x). \]
Dividindo por \(Q(x)q(x)^n\), obtemos a fórmula anunciada.
Aplicando o teorema repetidamente, obtemos o análogo do corolário anterior.
Corolário 15.50
Sejam \(P,Q\in \mathbb {R}[x]\) e \(q(x)=x^2+bx+c\), com \(b^2-4c\lt 0\) e \(q\) não dividindo \(Q\). Para \(n\geq 1\), existem \(B_1,\ldots ,B_n,C_1,\ldots ,C_n\in \mathbb {R}\) e \(R\in \mathbb {R}[x]\) tais que
Os resultados anteriores retiram, uma a uma, as potências de cada fator linear ou quadrático irredutível. Repetindo o processo para todos os fatores do denominador, obtemos a forma geral usada na Seção 15.3. Se houver uma parte polinomial, ela é separada pela divisão antes da integração. Nos exemplos seguintes, reconheceremos a estrutura das decomposições e determinaremos seus coeficientes, sem repetir o cálculo das primitivas. O último exemplo retoma explicitamente a construção usada na demonstração.
Da identidade obtida ao eliminar os denominadores, \(x=0\) fornece \(A=1\) e \(x=1\) fornece \(C=2\). Comparando o coeficiente de \(x^2\), obtemos \(B=-1\). Assim,
Na notação da demonstração, temos \(p=1\), \(r=3\), \(u=1\), \(v=1\), \(b=0\) e \(c=1\). Queremos escolher \(B,C\) para que \(P(x)-(Bx+C)Q(x)\) seja múltiplo de \(q(x)\). O sistema para os restos fica
Neste caso, o quociente \(R(x)\) da demonstração é o polinômio constante \(1\). O cálculo mostra concretamente por que o numerador associado ao fator quadrático é linear.
Exercício 15.68 (Por que os coeficientes são únicos?)
Explique por que isso garante unicidade dos coeficientes de uma decomposição com esses denominadores.
Em quais passos é legítimo usar \(x=1\)? Por que não na igualdade inicial?
Ver solução
Eliminando os denominadores para \(x\ne 1\),
\[ 0=A(x-1)(x^2+1)+B(x^2+1) +(Cx+D)(x-1)^2. \]
Essa identidade entre polinômios se estende a \(x=1\), portanto \(2B=0\). Com \(B=0\), cancelamos \(x-1\) para \(x\ne 1\):
\[ 0=A(x^2+1)+(Cx+D)(x-1). \]
A nova identidade também vale em \(1\), donde \(2A=0\). Resta \(Cx+D=0\) para todo \(x\ne 1\), portanto \(C=D=0\).
Subtraindo duas decomposições da mesma função, obtemos a igualdade inicial para as diferenças dos coeficientes, que devem ser todas nulas.
Não se pode usar \(x=1\) nas frações de partida, pois não estão definidas ali. A substituição só é válida nas identidades polinomiais, após justificar sua extensão por continuidade.
15.6 \(\star \) Substituição de Weierstrass
Há uma ligação adicional entre os métodos estudados: certas integrais trigonométricas podem ser transformadas em integrais de funções racionais. A substituição de Weierstrass estabelece essa ligação e permite recorrer, quando necessário, às frações parciais. Ela fornece um procedimento geral para expressões racionais em seno e cosseno, embora identidades ou substituições mais simples possam ser preferíveis em casos particulares.
Se um integrando é uma função racional de \(\operatorname {sen}x\) e \(\cos x\), ele pode ser reduzido a uma função racional de \(u\) pela substituição de Weierstrass \( u = \operatorname {tg}(x/2) \). Trabalhamos em intervalos que não contêm pontos \(x=(2k+1)\pi \), onde a substituição não está definida. Nesses intervalos, o fato pode ser verificado observando que
Essa primitiva vale em cada intervalo \(k\pi \lt x\lt (k+1)\pi \), onde \(\operatorname {sen}x\neq 0\). Os pontos excluídos pela substituição já estão excluídos pelo integrando neste exemplo; as constantes podem variar entre esses intervalos.
A expressão em \(\operatorname {tg}(x/2)\) foi obtida nos intervalos em que a substituição está definida. Neste exemplo, porém, \(x=(2k+1)\pi \) pertence ao domínio original, pois \(\cos x+\operatorname {sen}x=-1\) nesses pontos. Quando \(u\to \pm \infty \),
Assim, a fórmula tem uma extensão contínua nesses pontos, tomando o valor \(C\). É preciso usar a mesma constante nas duas partes de uma mesma componente do domínio original.
Podemos também evitar a interrupção da expressão ao reconhecer
válida em cada intervalo que não contém um zero de \(\cos x+\operatorname {sen}x\). Sua derivada confirma que a extensão anterior é uma primitiva através dos pontos em que apenas a substituição de Weierstrass falha.
A resposta é válida inicialmente onde \(\operatorname {tg}(x/2)\) está definida; como o integrando original é contínuo, podemos compatibilizar as constantes entre intervalos vizinhos.
Exercício 15.72 (Treino: simplificar uma fração racional)
Substituir \(u=\operatorname {tg}(x/2)\) dá uma primitiva nos intervalos de validade; sua derivada recupera o integrando original.
Exercício 15.73 (Da trigonometria às funções racionais)
Use \(u=\operatorname {tg}(x/2)\) para transformar as integrais em integrais racionais. Calcule-as e confira por derivação, indicando os intervalos de validade.
Aqui a mudança produz diretamente uma integral racional conhecida.
A derivação recupera os dois integrandos. A expressão para \(J\) vale inicialmente onde \(\operatorname {tg}(x/2)\) está definida, embora o integrando original seja contínuo em toda a reta.
Exercício 15.75 (Uma substituição, dois intervalos?)
Mostre que o integrando é contínuo e positivo em \([0,2\pi ]\).
Uma resolução usa \(u=\operatorname {tg}(x/2)\) e, como \(u(0)=u(2\pi )=0\), conclui que \(I=0\). Identifique o erro. Aplique a substituição em intervalos nos quais ela é válida e calcule a integral.
Que constante devemos acrescentar à mesma expressão em \(\pi \lt x\lt 3\pi \) para obter uma primitiva contínua através de \(x=\pi \)? Que valor devemos definir em \(\pi \)? Verifique que a função resultante é derivável nesse ponto.
Ver solução
De \(-1\le \cos x\le 1\) segue \(1\le 2+\cos x\le 3\). O integrando é, portanto, contínuo e positivo.
O ponto \(x=\pi \) pertence ao domínio do integrando, mas não ao de \(\operatorname {tg}(x/2)\). Não é possível transformar todo o intervalo pela substituição sem dividi-lo. Onde a mudança é válida, temos
Para \(0\lt \varepsilon \lt \pi \), escreva \(A_\varepsilon =\operatorname {cotg}(\varepsilon /2)\gt 0\). Nos intervalos fechados \([0,\pi -\varepsilon ]\) e \([\pi +\varepsilon ,2\pi ]\), as duas mudanças são regulares e fornecem
A contribuição do trecho omitido \([\pi -\varepsilon ,\pi +\varepsilon ]\) é no máximo \(2\varepsilon \), pois o integrando não excede \(1\). Como \(A_\varepsilon \to +\infty \), passando ao limite obtemos
\[ \boxed {I=\frac{2\pi }{\sqrt3}}. \]
Todas as substituições foram feitas em intervalos fechados nos quais são válidas.
Para \(x\ne \pi \) nesses intervalos, temos \(F'(x)=1/(2+\cos x)\). A função também é contínua em \(\pi \). Aplicando o Teorema do Valor Médio no intervalo entre \(\pi \) e \(\pi +h\), para \(h\) positivo ou negativo, obtemos
