Uma aplicação linear recebe um vetor por vez. Muitas operações naturais, entretanto, dependem linearmente de várias entradas: o produto de polinômios, a multiplicação de matrizes, o determinante e as formas bilineares estudadas no Capítulo 14 são exemplos fundamentais. O produto tensorial é a construção que permite tratar essas operações multilineares por meio das ferramentas usuais da álgebra linear.
A propriedade que caracteriza o produto tensorial é a correspondência entre aplicações bilineares e transformações lineares. Uma aplicação bilinear
\[ B:V\times W\longrightarrow Z \]
passará a ser representada por uma única transformação linear
O símbolo \(\bm {v}\otimes \bm {w}\) não representa um par ordenado nem um produto numérico. Ele é um vetor de um novo espaço, construído precisamente para que a igualdade acima faça sentido.
Neste capítulo trabalharemos sempre sobre um mesmo corpo \(\mathbb {K}\). Quando tratarmos da decomposição entre partes simétrica e alternada, suporemos \(\operatorname {char}(\mathbb {K})\neq 2\). Salvo indicação em contrário, os espaços envolvidos serão de dimensão finita; a construção do produto tensorial, contudo, não depende dessa hipótese.
15.1 Aplicações Multilineares
O ponto de partida é ampliar a bilinearidade para qualquer número finito de variáveis.
Definição 15.1 (Aplicação Multilinear)
Sejam \(V_1,\ldots ,V_r\) e \(Z\) espaços vetoriais sobre \(\mathbb {K}\). Uma aplicação
\[ F:V_1\times \cdots \times V_r\longrightarrow Z \]
é denominada aplicação multilinear, ou \(r\)-linear, se for linear em cada variável quando as demais permanecem fixas. Explicitamente, para \(1\leq k\leq r\),
Quando \(Z=\mathbb {K}\), a aplicação é chamada de forma multilinear.
Definição 15.2 (Aplicação Alternada)
Uma aplicação \(r\)-linear \(F:V^r\to Z\) é alternada quando \(F(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_r)=\vec0\) sempre que duas entradas coincidem. Para \(r=2\), recuperamos a noção introduzida na Definição 14.25.
Se \(F\) é alternada, trocar duas entradas troca o sinal de seu valor. De fato, expandindo por multilinearidade uma entrada duplicada, obtemos
Em característica diferente de \(2\), vale a recíproca; em característica \(2\), ela pode falhar, como já vimos na Proposição 14.28.
Para \(r=1\), recuperamos as transformações lineares; para \(r=2\), recuperamos as aplicações bilineares. Como na situação bilinear, uma aplicação multilinear se anula sempre que uma de suas entradas é o vetor nulo.
Exemplo 15.3 (Produto de polinômios)
Para inteiros não negativos \(m_1,\ldots ,m_r\), a aplicação
também é \(r\)-linear, pela regra de Leibniz, mas seu valor pertence a \(C([a,b])\), e não ao corpo de escalares. Trata-se, portanto, de uma aplicação multilinear que não é uma forma.
é uma forma \(n\)-linear. Além disso, ela é alternada: seu valor é zero quando duas entradas coincidem. Essa propriedade voltará a aparecer na construção das potências exteriores.
Exemplo 15.6 (Multiplicação sucessiva de matrizes)
é trilinear. A associatividade da multiplicação permite escrever \(ABC\) sem ambiguidade, mas não é responsável pela trilinearidade: esta decorre da distributividade em cada fator.
Em dimensão finita, os valores de uma aplicação multilinear nos vetores de bases determinam todos os seus valores.
Teorema 15.7 (Extensão Multilinear)
Para cada \(k\), seja \(\underline{\textsc{v}}_k=(\bm {v}_{k1},\ldots ,\bm {v}_{kn_k})\) uma base de \(V_k\). Escolhidos arbitrariamente vetores
Essa fórmula define uma aplicação multilinear com os valores prescritos e, como qualquer outra aplicação com a mesma propriedade teria de satisfazer a mesma expansão, também prova a unicidade.
Exemplo 15.8 (Reconstrução pelas coordenadas)
Uma forma trilinear \(F:(\mathbb {R}^2)^3\to \mathbb {R}\) fica determinada por oito números \(c_{ijk}=F(\bm {e}_i,\bm {e}_j,\bm {e}_k)\), com \(i,j,k\in \{ 1,2\} \). Se \(\bm {x}=(x_1,x_2)\), \(\bm {y}=(y_1,y_2)\) e \(\bm {z}=(z_1,z_2)\), então
Assim, os vários índices não introduzem uma nova espécie de álgebra: eles apenas registram uma coordenada para cada entrada.
15.2 O Problema que o Produto Tensorial Resolve
Considere uma aplicação bilinear \(B:V\times W\to Z\). Embora \(V\times W\) seja um espaço vetorial, \(B\) não é em geral linear nesse espaço. De fato,
\[ B(\bm {v}_1+\bm {v}_2,\bm {w}_1+\bm {w}_2) \]
contém quatro termos, enquanto a linearidade no par produziria apenas dois. Queremos substituir \(V\times W\) por um espaço no qual a bilinearidade de \(B\) se torne linearidade ordinária.
Definição 15.9 (Produto Tensorial)
Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais sobre \(\mathbb {K}\). Um produto tensorial de \(V\) e \(W\) é um par \((V\otimes W,\tau )\), formado por um espaço vetorial \(V\otimes W\) e uma aplicação bilinear
\[ \tau :V\times W\longrightarrow V\otimes W, \]
com a seguinte propriedade: para todo espaço vetorial \(Z\) e toda aplicação bilinear \(B:V\times W\to Z\), existe uma única transformação linear \(\widetilde B:V\otimes W\to Z\) tal que
No diagrama, a propriedade afirma que toda aplicação bilinear definida em \(V\times W\) se fatora de maneira única pelo produto tensorial:
A correspondência \(B\mapsto \widetilde B\) é bijetiva: sua inversa envia \(L:V\otimes W\to Z\) em \(L\circ \tau \). Ela também é linear, pois a unicidade da fatoração implica
\[ \widetilde{aB+bC}=a\widetilde B+b\widetilde C. \]
Portanto, a propriedade universal pode ser escrita como o isomorfismo natural
Isso não torna a multiplicação de matrizes comutativa. O produto tensorial lineariza uma operação; ele não acrescenta propriedades que a operação original não possuía.
Teorema 15.13 (Unicidade do Produto Tensorial)
Dois produtos tensoriais de \(V\) e \(W\) são canonicamente isomorfos. Mais precisamente, se \((T,\tau )\) e \((T',\tau ')\) satisfazem a Definição 15.9, existe um único isomorfismo \(S:T\to T'\) tal que \(S\circ \tau =\tau '\).
Demonstração▼
Pela universalidade de \((T,\tau )\) aplicada a \(\tau '\), existe uma única transformação linear \(S:T\to T'\) tal que \(S\circ \tau =\tau '\). Analogamente, existe uma única transformação linear \(R:T'\to T\) tal que \(R\circ \tau '=\tau \).
A unicidade na propriedade universal implica \(RS=\operatorname {I}_T\). Da mesma forma, \(SR=\operatorname {I}_{T'}\). Logo, \(S\) é um isomorfismo, com inversa \(R\), e sua própria unicidade já foi obtida na primeira aplicação da propriedade universal.
Esse resultado permite falar em o produto tensorial sem escolher uma realização particular. Ainda precisamos mostrar que ele existe.
15.3 Construção e Cálculo com Tensores
A construção seguinte começa com símbolos formais e impõe exatamente as relações necessárias para que o mapa \((\bm {v},\bm {w})\mapsto \bm {v}\otimes \bm {w}\) seja bilinear.
Seja \(F(V\times W)\) o espaço vetorial livre sobre o conjunto \(V\times W\): concretamente, seus elementos são combinações lineares finitas de símbolos \([\bm {v},\bm {w}]\), e esses símbolos formam uma base. Seja \(R\) o subespaço gerado pelos vetores
A bilinearidade de \(B\) mostra que cada gerador de \(R\) pertence a \(\ker L\). Assim, \(R\subseteq \ker L\), e a Propriedade Universal do Quociente, Teorema 4.17, fornece uma única transformação linear
\[ \widetilde B:F(V\times W)/R\longrightarrow Z \]
com \(\widetilde B(\bm {v}\otimes \bm {w})=B(\bm {v},\bm {w})\). Como os tensores \(\bm {v}\otimes \bm {w}\) geram o quociente, essa condição também garante a unicidade de \(\widetilde B\).
Da construção obtemos imediatamente as regras de cálculo fundamentais:
normalmente não pode ser escrito como um único tensor puro. A notação \(\otimes \) sugere um produto porque é bilinear, não porque possua todas as propriedades da multiplicação de números.
Exemplo 15.17 (O corpo como unidade)
A aplicação \(\mu :\mathbb {K}\times V\to V\) dada por \(\mu (a,\bm {v})=a\bm {v}\) é bilinear. Ela induz
Uma das implicações segue das regras de cálculo. Para a recíproca, suponha \(\bm {v}\neq \vec0\) e \(\bm {w}\neq \vec0\). Escolha funcionais \(f\in V^*\) e \(g\in W^*\) tais que \(f(\bm {v})=g(\bm {w})=1\). A forma bilinear \((\bm {x},\bm {y})\mapsto f(\bm {x})g(\bm {y})\) induz um funcional em \(V\otimes W\) que assume o valor \(1\) em \(\bm {v}\otimes \bm {w}\). Logo, \(\bm {v}\otimes \bm {w}\neq \vec0\).
15.4 Bases e Tensores Puros
O próximo resultado descreve uma base de \(V\otimes W\) a partir de bases de \(V\) e de \(W\). Ele permite calcular a dimensão do produto tensorial e escrever seus elementos em coordenadas.
Teorema 15.19 (Base do Produto Tensorial)
Se \(\underline{\textsc{v}}=(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_m)\) é uma base de \(V\) e \(\underline{\textsc{w}}=(\bm {w}_1,\ldots ,\bm {w}_n)\) é uma base de \(W\), então
As regras de cálculo mostram que todo tensor puro é combinação linear dos vetores \(\bm {v}_i\otimes \bm {w}_j\). Como os tensores puros geram \(V\otimes W\), essa família gera o espaço.
Para provar a independência linear, sejam \(\bm {v}_1^\ast ,\ldots ,\bm {v}_m^\ast \) e \(\bm {w}_1^\ast ,\ldots ,\bm {w}_n^\ast \) as bases duais. Para cada par \((k,\ell )\), a forma bilinear
Os coeficientes \(a_{ij}\) podem ser organizados em uma matriz. Essa observação fornece nosso exemplo recorrente.
Exemplo 15.20 (\(\mathbb {R}^2\otimes \mathbb {R}^3\) como espaço de matrizes)
Sejam \(\underline{\textsc{e}}=(\bm {e}_1,\bm {e}_2)\) e \(\underline{\textsc{f}}=(\vec f_1,\vec f_2,\vec f_3)\) as bases canônicas. A aplicação bilinear
que tem posto um porque é o produto de um vetor-coluna por um vetor-linha.
Definição 15.21 (Tensor Puro e Posto Tensorial)
Um tensor da forma \(\bm {v}\otimes \bm {w}\) é chamado de tensor puro, tensor simples ou tensor decomponível. O posto tensorial de \(z\in V\otimes W\) é o menor inteiro \(r\) para o qual existem vetores \(\bm {v}_k\in V\) e \(\bm {w}_k\in W\) tais que
\[ z=\sum _{k=1}^r\bm {v}_k\otimes \bm {w}_k. \]
Por convenção, o tensor nulo tem posto zero.
Proposição 15.22 (Posto Tensorial, Matrizes e SVD)
No caso de dois fatores, o posto tensorial de \(z\in V\otimes W\) coincide com o posto de sua matriz de coeficientes em quaisquer bases. Se \(V\) e \(W\) são espaços com produto interno real e as bases são ortonormais, a decomposição em valores singulares fornece uma expressão mínima
na qual \(s_k\gt 0\) e as famílias \((\bm {u}_k)\) e \((\bm {w}_k)\) são ortonormais.
Demonstração▼
Na identificação com matrizes, um tensor puro \(\bm {u}\otimes \bm {w}\) corresponde ao produto de um vetor-coluna por um vetor-linha e, portanto, tem posto no máximo um. Assim, uma soma de \(r\) tensores puros produz uma matriz de posto no máximo \(r\). Reciprocamente, uma matriz de posto \(r\) é soma de \(r\) matrizes de posto um; pela identificação inversa, o tensor é soma de \(r\) tensores puros. Os dois postos são, portanto, iguais.
Quando as bases são ortonormais, aplicamos o Teorema 13.36 à matriz de coeficientes. A decomposição \(A=Q\Sigma P^{\mathrm{t}}\) se traduz exatamente na expressão exibida, com os vetores singulares como fatores. A minimalidade decorre da primeira parte.
O produto interno dos fatores induz em \(V\otimes W\) o produto interno caracterizado por
Assim, os termos da decomposição anterior são ortogonais. Essa é a ligação entre o posto tensorial e a decomposição em valores singulares estudada no Capítulo 13. Para três ou mais fatores, a situação se torna consideravelmente mais delicada: não existe uma forma canônica análoga à SVD.
Exemplo 15.23 (Nem todo tensor é puro)
Em \(\mathbb {R}^2\otimes \mathbb {R}^2\), considere
Sob a identificação com \(\mathcal{M}_{2, 2}(\mathbb {R})\), esse tensor corresponde à matriz identidade. Como essa matriz tem posto dois, \(z\) não pode ser escrito na forma \(\bm {u}\otimes \bm {v}\).
Proposição 15.24 (Critério de Igualdade por Formas Bilineares)
Dois tensores \(z,z'\in V\otimes W\) são iguais se, e somente se,
\[ \widetilde B(z)=\widetilde B(z') \]
para toda forma bilinear \(B:V\times W\to \mathbb {K}\).
Demonstração▼
Uma implicação é imediata. Para a outra, escreva \(z-z'\) na base \(\bm {v}_i\otimes \bm {w}_j\) e use as formas \(B_{ij}\) construídas na prova do Teorema 15.19. Elas recuperam individualmente todos os coeficientes de \(z-z'\).
15.5 Transformações Lineares e Produtos Tensoriais
Se \(S:V\to V'\) e \(T:W\to W'\) são transformações lineares, a aplicação
pois ambos os lados são gerados pelos tensores \(S(\bm {v})\otimes T(\bm {w})\). O Teorema 15.19 fornece então \(\dim \operatorname {im}(S\otimes T)=\dim \operatorname {im}(S)\dim \operatorname {im}(T)\), que é a igualdade desejada.
Em bases, o produto tensorial de transformações aparece como o produto de Kronecker de matrizes.
Definição 15.27 (Produto de Kronecker)
Se \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) e \(B\in \mathcal{M}_{p, q}(\mathbb {K})\), o produto de Kronecker de \(A\) e \(B\) é a matriz em blocos
Sejam \(A=[S]_{\underline{\textsc{v}},\underline{\textsc{v}}'}\) e \(B=[T]_{\underline{\textsc{w}},\underline{\textsc{w}}'}\). Ordene a base \(\underline{\textsc{v}}\otimes \underline{\textsc{w}}\) lexicograficamente, isto é,
e faça o mesmo com \(\underline{\textsc{v}}'\otimes \underline{\textsc{w}}'\). Nessas bases, a matriz de \(S\otimes T\) é o produto de Kronecker \(A\otimes B\).
Demonstração▼
A coluna de índice \((j,\ell )\) é o vetor de coordenadas de
A associatividade requer duas aplicações sucessivas da propriedade universal. Fixado \(\bm {u}\in U\), a aplicação \((\bm {v},\bm {w})\mapsto \bm {v}\otimes (\bm {w}\otimes \bm {u})\) é bilinear e induz uma transformação \(L_{\bm {u}}:V\otimes W\to V\otimes (W\otimes U)\). A dependência de \(L_{\bm {u}}\) em \(\bm {u}\) é linear; logo \((z,\bm {u})\mapsto L_{\bm {u}}(z)\) é bilinear e induz a transformação do primeiro isomorfismo. Repetindo o argumento com os parênteses invertidos, obtemos sua inversa.
Nos outros três casos, cada fórmula e sua fórmula inversa provêm diretamente de aplicações bilineares. As composições fixam todos os tensores puros; como estes geram os espaços envolvidos, são as identidades. No terceiro isomorfismo, escrevemos os elementos da soma direta externa \(V\oplus W\) como pares \((\bm {v},\bm {w})\).
Graças ao primeiro isomorfismo, escreveremos produtos com três ou mais fatores sem indicar parênteses. O segundo isomorfismo não afirma que \(\bm {v}\otimes \bm {w}=\bm {w}\otimes \bm {v}\): em geral, esses vetores pertencem a espaços diferentes. Ele afirma que existe uma identificação natural entre os dois espaços.
15.6 Dualidade, Operadores e Contrações
O produto tensorial permite descrever relações entre espaços duais, formas bilineares e operadores por meio de isomorfismos independentes de bases.
Teorema 15.31 (Tensores como Transformações Lineares)
A aplicação \((f,\bm {w})\mapsto (\bm {v}\mapsto f(\bm {v})\bm {w})\) é bilinear e, portanto, induz \(\Phi \). Se \(\underline{\textsc{v}}=(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_m)\) é uma base de \(V\), com base dual \((\bm {v}_1^\ast ,\ldots ,\bm {v}_m^\ast )\), e \(\underline{\textsc{w}}=(\bm {w}_1,\ldots ,\bm {w}_n)\) é uma base de \(W\), então \(\Phi (\bm {v}_i^\ast \otimes \bm {w}_j)\) é a transformação que leva \(\bm {v}_i\) a \(\bm {w}_j\) e anula os demais vetores da base. Essas transformações são as que correspondem às matrizes elementares e, pelo Teorema 3.47, formam uma base de \(\operatorname {Hom}(V,W)\). Assim, \(\Phi \) leva uma base em uma base e é um isomorfismo.
Exemplo 15.32 (Operadores de posto um)
Um tensor puro \(f\otimes \bm {w}\in V^*\otimes W\) corresponde ao operador
\[ \bm {v}\longmapsto f(\bm {v})\bm {w}, \]
cuja imagem está contida na reta gerada por \(\bm {w}\). Se \(f\neq 0\) e \(\bm {w}\neq \vec0\), esse operador tem posto um. Assim, decompor uma transformação linear como soma de operadores de posto um equivale a decompor o tensor correspondente como soma de tensores puros.
Exemplo 15.33 (A matriz de uma transformação reaparece)
Os mesmos coeficientes formam a matriz de \(T\); o produto tensorial apenas revela o objeto intrínseco que essa matriz representa depois da escolha de bases.
que envia um funcional \(\lambda \) à forma \((\bm {v},\bm {w})\mapsto \lambda (\bm {v}\otimes \bm {w})\). Em dimensão finita, o Teorema 15.31 e o Teorema 14.17 fornecem a cadeia
Para um operador de posto um \(T(\bm {x})=f(\bm {x})\bm {v}\), o caso \(\bm {v}=\vec0\) é imediato. Se \(\bm {v}\neq \vec0\), escolha uma base cujo primeiro vetor seja \(\bm {v}\). A soma dos elementos diagonais da matriz de \(T\) é \(f(\bm {v})\). O resultado geral segue pela linearidade do traço e da contração.
Exemplo 15.36 (O tensor identidade)
Se \(\underline{\textsc{v}}=(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_n)\) tem base dual \((\bm {v}_1^\ast ,\ldots ,\bm {v}_n^\ast )\), o operador identidade corresponde ao tensor
Embora a expressão use uma base, o tensor obtido não depende dela: ele é o único tensor que corresponde ao operador identidade. Sua contração é \(\dim V\).
Aplicamos repetidamente a propriedade universal bilinear e o isomorfismo associativo do Teorema 15.30. Equivalentemente, podemos repetir a construção por quociente do Teorema 15.14, impondo linearidade em cada uma das \(r\) entradas. Em ambos os casos, os tensores puros \(\bm {v}_1\otimes \cdots \otimes \bm {v}_r\) geram o domínio e garantem a unicidade.
Definição 15.38 (Tensores Covariantes e Contravariantes)
Um tensor de tipo \((p,q)\) em \(V\) é um elemento de
Os fatores em \(V\) são chamados de contravariantes e os fatores em \(V^*\), de covariantes. Alguns autores invertem a ordem dos índices; por isso, a definição do espaço deve sempre acompanhar a notação.
Exemplo 15.39 (Objetos já conhecidos como tensores)
Com a convenção anterior:
vetores são tensores de tipo \((1,0)\);
funcionais são tensores de tipo \((0,1)\);
formas bilineares são tensores de tipo \((0,2)\);
operadores lineares são tensores de tipo \((1,1)\);
formas \(r\)-lineares são tensores de tipo \((0,r)\).
O vocabulário novo reúne objetos que já apareceram separadamente ao longo do livro.
Exemplo 15.40 (Coordenadas de um tensor de tipo \((1,2)\))
Se \(\underline{\textsc{e}}=(\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n)\) e \((\bm {e}_1^\ast ,\ldots ,\bm {e}_n^\ast )\) é a base dual, todo \(T\in \mathcal T^1_2(V)\) se escreve de modo único como
Um índice superior transforma-se por \(Q\) e um inferior, por \(P\). Essa lei não é uma definição de tensor: é consequência da mudança simultânea das bases de \(V\) e de \(V^*\).
A avaliação entre um fator \(V^*\) e um fator \(V\) permite contrair qualquer tensor de tipo \((p,q)\), produzindo um tensor de tipo \((p-1,q-1)\). Em termos intrínsecos, usamos os isomorfismos de troca e associatividade para aproximar os dois fatores escolhidos e aplicamos \(\operatorname {contr}:V^*\otimes V\to \mathbb {K}\). Como todas essas transformações são canônicas, a operação não depende de bases. Em coordenadas, ela corresponde a igualar um índice superior e um inferior e somar sobre esse índice.
Suponha nesta primeira parte que \(\operatorname {char}(\mathbb {K})\neq 2\). Como \(\sigma ^2=\operatorname {I}_{V\otimes V}\), seus autovalores possíveis são \(1\) e \(-1\), que são distintos nessa característica.
Definição 15.41 (Tensores Simétricos e Antissimétricos)
Um tensor \(z\in V\otimes V\) é simétrico se \(\sigma (z)=z\) e antissimétrico se \(\sigma (z)=-z\). Denotamos os subespaços correspondentes por \(\operatorname {Sym}^2(V)\) e \(\operatorname {Alt}^2(V)\).
A primeira parcela é simétrica e a segunda é antissimétrica. Um tensor que pertence aos dois subespaços satisfaz \(z=-z\), portanto \(2z=0\) e \(z=0\).
Para uma base \((\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n)\), escreva \(z=\sum _{i,j}a_{ij}\bm {e}_i\otimes \bm {e}_j\). A igualdade \(\sigma (z)=z\) equivale a \(a_{ij}=a_{ji}\); portanto, a parte simétrica é gerada por
Em cada lista, a comparação dos coeficientes na base \((\bm {e}_i\otimes \bm {e}_j)\) mostra imediatamente a independência linear. As listas são, portanto, bases, e sua contagem fornece as dimensões.
Essa decomposição é especial do grau dois. Se, em potências maiores, chamarmos de totalmente simétricos os tensores fixados por todas as permutações e de totalmente antissimétricos os que mudam pelo sinal da permutação, em geral esses dois subespaços não esgotam \(V^{\otimes r}\). Por exemplo, para \(V=\mathbb {R}^2\),
para alguma transformação linear \(\widetilde F:\bigwedge ^rV\to Z\).
Teorema 15.44 (Existência da Potência Exterior)
A potência exterior \(\bigwedge ^rV\) existe para todo \(r\geq 1\).
Demonstração▼
Seja \(R_r\) o subespaço de \(V^{\otimes r}\) gerado pelos tensores puros \(\bm {v}_1\otimes \cdots \otimes \bm {v}_r\) nos quais duas entradas são iguais. Tome
\[ \bigwedge ^rV=V^{\otimes r}/R_r \]
e denote por \(\bm {v}_1\wedge \cdots \wedge \bm {v}_r\) a classe de \(\bm {v}_1\otimes \cdots \otimes \bm {v}_r\). A aplicação que envia uma \(r\)-upla nessa classe é multilinear e alternada.
Se \(F:V^r\to Z\) é multilinear e alternada, o Teorema 15.37 fornece uma transformação linear \(L:V^{\otimes r}\to Z\) com \(L(\bm {v}_1\otimes \cdots \otimes \bm {v}_r)=F(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_r)\). A alternância implica \(R_r\subseteq \ker L\); pelo Teorema 4.17, \(L\) se fatora de modo único pelo quociente. Essa é a propriedade universal da Definição 15.43.
formam uma base de \(\bigwedge ^rV\). Em particular,
\[ \dim \bigwedge ^rV=\binom nr. \]
Se \(r\gt n\), então \(\bigwedge ^rV=\{ \vec0\} \).
Demonstração▼
Pela multilinearidade, os produtos exteriores dos vetores da base geram \(\bigwedge ^rV\). Um produto com índice repetido é nulo; trocando fatores, podemos ordenar os índices ao custo do sinal da permutação. Logo, os vetores indicados geram.
Para a independência linear, para cada sequência \(I=(i_1\lt \cdots \lt i_r)\) considere a forma alternada que associa a \((\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_r)\) o determinante da submatriz formada pelas coordenadas nas linhas \(i_1,\ldots ,i_r\). A transformação linear induzida em \(\bigwedge ^rV\) vale \(1\) no vetor de índice \(I\) e \(0\) nos demais vetores da família. Portanto, todos os coeficientes de uma relação linear são nulos.
Definição 15.46 (Álgebra Exterior)
Adotamos \(\bigwedge ^0V=\mathbb {K}\) e reunimos todas as potências exteriores em
e o ideal bilateral gerado pelos elementos \(\bm {v}\otimes \bm {v}\). O quociente por esse ideal possui multiplicação induzida pela concatenação; sua componente homogênea de grau \(r\) satisfaz a mesma propriedade universal que \(\bigwedge ^rV\) e, portanto, identifica-se canonicamente com a potência exterior construída acima. Assim, a concatenação de representantes induz uma operação associativa em \(\bigwedge V\), independentemente dos representantes escolhidos.
Se \(\alpha \in \bigwedge ^pV\) e \(\beta \in \bigwedge ^qV\) são homogêneos, mover os \(p\) fatores de \(\alpha \) através dos \(q\) fatores de \(\beta \) fornece
Além disso, o Teorema 15.45 e o binômio de Newton dão
\[ \dim \bigwedge V =\sum _{r=0}^n\binom nr=2^n. \]
Observação 15.47 (Uma origem comum)
A construção anterior também põe lado a lado duas operações fundamentais. A álgebra exterior é o quociente de \(\mathcal T(V)\) pelas relações \(\bm {v}\otimes \bm {v}=0\), enquanto a álgebra simétrica \(\operatorname {Sym}(V)\) é o quociente pelas relações \(\bm {u}\otimes \bm {v}-\bm {v}\otimes \bm {u}=0\). Assim, ambas nascem da mesma álgebra tensorial, mas impõem relações diferentes.
Exemplo 15.48 (Bivetores e menores de ordem dois)
Em \(\mathbb {R}^3\), sejam \(\bm {u}=(u_1,u_2,u_3)\) e \(\bm {v}=(v_1,v_2,v_3)\). Então
Os coeficientes são os menores de ordem dois da matriz com colunas \(\bm {u}\) e \(\bm {v}\). O bivetor é nulo exatamente quando essas colunas são linearmente dependentes.
O determinante aparece como a única coordenada de \(\bigwedge ^2\mathbb {R}^2\), que é unidimensional. Seu módulo é a área do paralelogramo; o sinal registra a orientação.
A aplicação \(V^r\to \bigwedge ^rW\) que envia \((\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_r)\) em \(T\bm {v}_1\wedge \cdots \wedge T\bm {v}_r\) é multilinear e alternada. Pela propriedade universal, ela induz uma única transformação linear
Escolha uma base \((\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n)\) de \(V\). Pelo Teorema 15.45, \(\bm {e}_1\wedge \cdots \wedge \bm {e}_n\) é uma base de \(\bigwedge ^nV\), e basta calcular a imagem desse vetor. Escrevendo \(A=[T]_{\underline{\textsc{e}}}=(a_{ij})\), temos \(T\bm {e}_j=\sum _i a_{ij}\bm {e}_i\); logo, a multilinearidade fornece
Pela alternância, as parcelas com algum índice repetido se anulam. Restam as que correspondem a uma permutação \(\sigma \in S_n\), e reordenar os fatores custa \(\operatorname {sgn}(\sigma )\). Portanto,
pela fórmula de Leibniz. Como \(\det A=\det T\), concluímos que \(\bigwedge ^nT=(\det T)\operatorname {I}_{\bigwedge ^nV}\).
O determinante, introduzido como uma função de matrizes, admite assim uma descrição intrínseca: é o escalar pelo qual o operador induzido age na potência exterior de grau máximo, que tem dimensão um. Essa descrição relaciona a construção multilinear às propriedades do determinante estudadas anteriormente.
Se \(z\in V\otimes W\) tem posto tensorial \(r\) e \(a\neq 0\), prove que \(az\) também tem posto \(r\).
Exercício 15.7
Se \(S:V\to V'\) e \(T:W\to W'\) são sobrejetivas, prove que \(S\otimes T\) é sobrejetiva. Faça o mesmo para injetividade em dimensão finita.
Exercício 15.8
Se \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\) e \(B\in \mathcal{M}_{q, q}(\mathbb {K})\), a fórmula geral é \(\det (A\otimes B)=\det (A)^q\det (B)^n\). Calcule \(A\otimes B\) e verifique a fórmula no caso \(n=q=2\), para
Mostre que \(\bm {u}_1\wedge \cdots \wedge \bm {u}_r=0\) se os vetores \(\bm {u}_1,\ldots ,\bm {u}_r\) são linearmente dependentes. Prove a recíproca usando o Teorema 15.45.
Exercício 15.14
Se \(T:V\to V\) tem posto menor que \(r\), prove que \(\bigwedge ^rT=0\).
Exercício 15.15
Seja \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\) e, para \(1\leq i\leq n\), defina
Mostre que a matriz de \(\bigwedge ^{n-1}A\) na base \((\omega _1,\ldots ,\omega _n)\) é a matriz dos cofatores de \(A\). Conclua que sua transposta é a matriz adjugada de \(A\).
