Espaços Duais
Um funcional linear transforma vetores em escalares. O espaço dual é formado por todos esses funcionais. Seu estudo relaciona as coordenadas dos vetores, as equações que definem subespaços e as transformações lineares entre espaços. Essas relações são descritas pelas bases duais, pelos aniquiladores e pela transformação transposta.
5.1 Espaços Duais
Como \(\operatorname {im}f\) é um subespaço de \(\mathbb {K}\), há apenas duas possibilidades:
\(\operatorname {im}f=\{ 0\} \), caso em que \(f\) é o funcional nulo;
\(\operatorname {im}f=\mathbb {K}\), caso em que \(f\) é sobrejetivo.
Portanto, todo funcional linear não nulo é sobrejetivo. Se, além disso, \(V\) tem dimensão finita, o teorema do núcleo e da imagem fornece
Para cada vetor não nulo \(\bm {v}\in V\), existe \(f\in V^{\ast }\) tal que \(f(\bm {v})\neq 0\).
Um vetor \(\bm {v}\in V\) é nulo se, e somente se, \(f(\bm {v})=0\) para todo \(f\in V^{\ast }\).
Se \(f\in V^{\ast }\) e \(f(\bm {x})\neq 0\), então
\[ V=\langle \bm {x}\rangle \oplus \ker f. \]Dois funcionais não nulos \(f,g\in V^{\ast }\) têm o mesmo núcleo se, e somente se, existe \(\lambda \in \mathbb {K}\), com \(\lambda \neq 0\), tal que \(f=\lambda g\).
a Estenda o conjunto linearmente independente \(\{ \bm {v}\} \) a uma base \(\underline{\textsc{B}}\) de \(V\). Existe um único funcional \(f\) que assume o valor \(1\) em \(\bm {v}\) e o valor \(0\) nos demais vetores de \(\underline{\textsc{B}}\). Em particular, \(f(\bm {v})=1\neq 0\).
b Se \(\bm {v}=\vec0\), então \(f(\bm {v})=0\) para todo \(f\in V^{\ast }\). A recíproca é a contrapositiva do item a.
c Para qualquer \(\bm {v}\in V\),
e o termo entre parênteses pertence a \(\ker f\). Além disso, se \(a\bm {x}\in \ker f\), então \(af(\bm {x})=0\) e, portanto, \(a=0\). Logo, a soma é direta.
d Se \(f=\lambda g\), com \(\lambda \neq 0\), então \(\ker f=\ker g\). Reciprocamente, suponha que \(K=\ker f=\ker g\) e escolha \(\bm {x}\notin K\). Pelo item c, \(V=\langle \bm {x}\rangle \oplus K\). Tomando \(\lambda =f(\bm {x})/g(\bm {x})\), os funcionais \(f\) e \(\lambda g\) coincidem em \(\bm {x}\) e se anulam em \(K\); logo, coincidem em todo \(V\).
5.1.1 Bases duais
Seja \(V\) um espaço vetorial com base \(\underline{\textsc{B}}=\{ \bm {x}_i\, \mid \, i\in \Delta \} \). Para cada \(i\in \Delta \), definimos o funcional coordenada \(\bm {x}_i^{\ast }\in V^{\ast }\) por
onde \(\delta _{ij}\) é o delta de Kronecker: vale \(1\) se \(i=j\) e \(0\) caso contrário. Como todo vetor de \(V\) é combinação linear de um número finito de elementos de \(\underline{\textsc{B}}\), esses valores determinam \(\bm {x}_i^{\ast }\) de maneira única por linearidade.
O conjunto \(\underline{\textsc{B}}^{\ast }=\{ \bm {x}_i^{\ast }\, \mid \, i\in \Delta \} \) é linearmente independente.
Se \(V\) tem dimensão finita, então \(\underline{\textsc{B}}^{\ast }\) é uma base de \(V^{\ast }\), denominada base dual de \(\underline{\textsc{B}}\).
a Considere uma combinação linear finita
Aplicando ambos os lados a \(\bm {x}_{i_k}\), obtemos \(a_k=0\). Portanto, \(\underline{\textsc{B}}^{\ast }\) é linearmente independente.
b Escreva \(\underline{\textsc{B}}=(\bm {x}_1,\ldots ,\bm {x}_n)\). Para todo \(f\in V^{\ast }\), temos
pois os dois lados assumem o mesmo valor em cada vetor da base \(\underline{\textsc{B}}\). Assim, \(\underline{\textsc{B}}^{\ast }\) também gera \(V^{\ast }\).
Segue-se do teorema anterior que, se \(V\) tem dimensão finita, então
Em dimensão infinita, os funcionais coordenada continuam linearmente independentes, mas em geral não geram todo o espaço dual.
Leitura opcional: o dual em dimensão infinita.
O restante desta subseção compara cardinalidades em dimensão infinita e pode ser omitido numa primeira leitura.
Os funcionais coordenada associados a uma base de \(V\) formam um conjunto linearmente independente em \(V^{\ast }\); portanto, \(\dim (V)\leq \dim (V^{\ast })\). A igualdade no caso de dimensão finita foi provada no Teorema 5.8.
Em dimensão infinita, a desigualdade é sempre estrita. Esse fato é uma consequência do teorema de Erdős–Kaplansky sobre a dimensão do espaço de todas as funções de uma base em \(\mathbb {K}\). Como sua demonstração exige resultados de aritmética cardinal que não serão usados adiante, registramos aqui o resultado, mas não o incluímos no enunciado demonstrado.
Se \(0\neq f\in V^{\ast }\), então \(\ker f\) é um hiperplano.
Todo hiperplano de \(V\) é o núcleo de algum funcional não nulo em \(V^{\ast }\).
O primeiro item decorre do teorema do núcleo e da imagem, pois \(\dim (\operatorname {im}f)=1\). Para o segundo, seja \((\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_{n-1})\) uma base de um hiperplano \(H\) e complete-a com \(\bm {v}_n\) para obter uma base de \(V\). O funcional definido por \(f(\bm {v}_i)=0\) para \(i\lt n\) e \(f(\bm {v}_n)=1\) satisfaz \(\ker f=H\).
5.1.2 Bidual
Aplicando novamente a construção do dual, obtemos o espaço dos funcionais lineares definidos em \(V^{\ast }\).
Cada vetor \(\bm {v}\in V\) determina um elemento de \(V^{**}\) por avaliação. Isso define a aplicação natural
A notação \(\tau _V\) ressalta que a aplicação depende apenas do espaço \(V\), e não da escolha de uma base.
Para \(a,b\in \mathbb {K}\), \(\bm {u},\bm {v}\in V\) e \(f\in V^{\ast }\), temos
Logo, \(\tau _V\) é linear. Se \(\tau _V(\bm {v})=0\), então \(f(\bm {v})=0\) para todo \(f\in V^{\ast }\); pelo Teorema 5.7, \(\bm {v}=\vec0\). Portanto, \(\tau _V\) é injetiva. Quando \(V\) tem dimensão finita,
de modo que a injetividade implica a sobrejetividade.
Um espaço \(V\) é denominado algebricamente reflexivo quando a aplicação natural \(\tau _V\) é sobrejetiva. Em dimensão finita, podemos então identificar canonicamente \(V\) e \(V^{**}\). O teorema anterior, junto com a desigualdade estrita de Erdős–Kaplansky registrada acima, mostra que um espaço vetorial é algebricamente reflexivo se, e somente se, tem dimensão finita.
Seja \(V=\mathbb {R}_2[x]\) o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a dois. Mostre que os funcionais \(f_1(p)=\displaystyle \int _0^1p(x)\, dx\), \(f_2(p)=\displaystyle \int _0^2p(x)\, dx\) e \(f_3(p)=\displaystyle \int _0^3p(x)\, dx\) formam uma base de \(V^{\ast }\). Encontre a base de \(V\) dual à base \((f_1,f_2,f_3)\) de \(V^{\ast }\).
Seja \(V\) um espaço vetorial e sejam \(\bm {v}_1\neq \bm {v}_2\) em \(V\). Prove que existe \(f\in V^{\ast }\) tal que \(f(\bm {v}_1)\neq f(\bm {v}_2)\).
Sejam \(f,g\in V^{\ast }\) não nulos. Suponha que \(f(\bm {v})=0\) se, e somente se, \(g(\bm {v})=0\). Prove que \(f=\lambda g\) para algum \(\lambda \in \mathbb {K}\) não nulo.
Sejam \(\bm {y}\in V\setminus \{ \vec0\} \) e \(f\in V^{\ast }\setminus \{ 0\} \). Defina \(T\colon V\to V\) por \(T(\bm {x})=f(\bm {x})\bm {y}\). Uma transformação definida dessa maneira é denominada díade.
Mostre que \(\dim (\operatorname {im}T)=1\).
Se \(S\in \operatorname {Hom}(V,V)\) satisfaz \(\dim (\operatorname {im}S)=1\), mostre que \(S\) é uma díade.
Seja \(V=C([0,1])\) o espaço real das funções contínuas em \([0,1]\). Defina
Mostre que \(\phi \) é linear e injetiva.
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão finita e seja \(W=V\oplus V^{\ast }\). Usando a aplicação natural \(\tau _V\colon V\to V^{**}\) e a identificação \(W^{\ast }\cong V^{\ast }\oplus V^{**}\), mostre que
é um isomorfismo.
Prove que \((V_1\oplus \cdots \oplus V_n)^{\ast }\cong V_1^{\ast }\oplus \cdots \oplus V_n^{\ast }\).
Seja \(\bm {v}\in V\) fixo. Prove que a aplicação de avaliação
é um elemento de \(V^{**}\).
Seja \(V=\mathbb {R}[x]\). Quais das aplicações a seguir são elementos de \(V^{\ast }\)?
\( T(p)=\displaystyle \int _{0}^{1}p(x)dx. \)
\( T( p)=\displaystyle \int _{0}^{1}p(x)^{2}dx. \)
\( T(p)=\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}p(x)dx. \)
\( T(p)=p'. \)
\( T(p)=p'(0). \)
Suponha que \(\mathbb {K}\) seja um corpo finito e que \(\dim (V)=n\). Para cada \(m\leq n\), mostre que o número de subespaços de \(V\) de dimensão \(m\) é igual ao número de subespaços de dimensão \(n-m\).
Defina \(\operatorname {tr}(A)=\displaystyle \sum _{i=1}^n a_{ii}\) para \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\). Mostre que
Mostre que \(\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)\) para todo \(A, B\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K}) .\)
Sejam \(m,n\in \mathbb {N}\) e \(f_1,\ldots ,f_m\in (\mathbb {K}^n)^{\ast }\). Defina \(T\colon \mathbb {K}^n\to \mathbb {K}^m\) por
Mostre que \(T\in \operatorname {Hom}_{\mathbb {K}}(\mathbb {K}^{n},\ \mathbb {K}^{m})\).
Mostre que todo \(T\in \operatorname {Hom}_{\mathbb {K}}(\mathbb {K}^{n},\ \mathbb {K}^{m})\) é dado desta maneira para alguns \(f_{1}, \ldots , f_{m}.\)
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão finita sobre \(\mathbb {C}\). Dados vetores não nulos \(\bm {x}_1,\ldots ,\bm {x}_n\in V\), mostre que existe \(f\in V^{\ast }\) tal que \(f(\bm {x}_k)\neq 0\) para todo \(k=1,\ldots ,n\).
5.2 Aniquiladores
Assim, \(M^{\perp }\) reúne os funcionais que anulam todos os vetores de \(M\). Ele é um subespaço de \(V^{\ast }\) mesmo quando \(M\) não é um subespaço de \(V\).
\(M^{\perp }=(\langle M\rangle )^{\perp }\).
Se \(M\subseteq N\subseteq V\), então \(N^{\perp }\subseteq M^{\perp }\).
Se \(V\) tem dimensão finita, então
\[ \tau _V(\langle M\rangle )=M^{\perp \perp }. \]Em particular, sob a identificação natural entre \(V\) e \(V^{**}\), temos \(S^{\perp \perp }=S\) para todo subespaço \(S\subseteq V\).
Se \(S,T\subseteq V\) são subespaços, então
\[ (S\cap T)^{\perp }=S^{\perp }+T^{\perp } \quad \text{e}\quad (S+T)^{\perp }=S^{\perp }\cap T^{\perp }. \]
a Um funcional se anula em \(M\) se, e somente se, pela linearidade, se anula em todas as combinações lineares de elementos de \(M\).
b Se \(f\) se anula em \(N\), então se anula no subconjunto \(M\).
c Ponha \(S=\langle M\rangle \). Se \(\bm {s}\in S\) e \(f\in S^{\perp }\), então \(\tau _V(\bm {s})(f)=f(\bm {s})=0\); logo, \(\tau _V(S)\subseteq S^{\perp \perp }\). Como \(V\) tem dimensão finita, todo elemento de \(V^{**}\) é da forma \(\tau _V(\bm {v})\). Se \(\bm {v}\notin S\), estenda uma base de \(S\) acrescentando \(\bm {v}\) e defina \(g\in V^{\ast }\) de modo que \(g\) se anule em \(S\) e \(g(\bm {v})=1\). Então \(g\in S^{\perp }\), mas \(\tau _V(\bm {v})(g)\neq 0\). Portanto, \(\tau _V(\bm {v})\notin S^{\perp \perp }\), o que prova a inclusão inversa.
d Um funcional se anula em \(S+T\) se, e somente se, anula \(S\) e \(T\); daí
Além disso, \(S^{\perp }+T^{\perp }\subseteq (S\cap T)^{\perp }\). Para provar a inclusão inversa, escolha decomposições
e um complemento \(U\) tais que
Se \(f\in (S\cap T)^{\perp }\), defina \(g\) como \(f\) em \(S'\oplus U\) e como zero em \((S\cap T)\oplus T'\). Defina \(h\) como \(f\) em \(T'\) e como zero nos demais termos. Então \(g\in T^{\perp }\), \(h\in S^{\perp }\) e \(f=g+h\).
5.2.1 Aniquiladores e Somas Diretas
A extensão por zero em \(S\) define um isomorfismo \(T^{\ast }\cong S^{\perp }\).
Se \(V\) tem dimensão finita, então
\[ \dim (S^{\perp })=\mathrm{codim}\, _V(S)=\dim (V)-\dim (S). \]
Dado \(f\in T^{\ast }\), defina \(\widetilde f\in V^{\ast }\) por
A aplicação \(f\mapsto \widetilde f\) é linear, tem imagem em \(S^{\perp }\) e sua inversa é a restrição a \(T\). Isso prova o primeiro item. Se \(V\) tem dimensão finita, então
O aniquilador fornece uma maneira de descrever o espaço dual de uma soma direta.
Como \(S\cap T=\{ \vec0\} \), o Teorema 5.18 dá
Além disso, um funcional que pertence a \(S^{\perp }\cap T^{\perp }\) anula \(S+T=V\) e, portanto, é nulo. A soma é, assim, direta.
Seja \(A=\{ f_1,\ldots ,f_r\} \subseteq V^{\ast }\). Defina o aniquilador de \(A\) em \(V\) por Mostre que \(A^{\perp }=\displaystyle \bigcap _{i=1}^r\ker f_i\).
Seja \(V\) de dimensão finita, seja \(A=\{ f_1,\ldots ,f_r\} \subseteq V^{\ast }\) e suponha que \(g\in V^{\ast }\) se anule em \(A^{\perp }\). Mostre que \(g\in \langle A\rangle \).
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão finita. Para subespaços \(W_1,W_2\subseteq V\), mostre que:
\(\operatorname {Aniq}(W_1\cap W_2)=\operatorname {Aniq}(W_1)+\operatorname {Aniq}(W_2)\).
\(\operatorname {Aniq}(W_1+W_2)=\operatorname {Aniq}(W_1)\cap \operatorname {Aniq}(W_2)\).
Seja \(U\subseteq V\) um subespaço. Mostre diretamente que \(U^{\perp }\) é um subespaço de \(V^{\ast }\).
Determine os aniquiladores de \(\{ \vec0\} \) e de \(V\).
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão finita e seja \(U\subseteq V\) um subespaço não nulo. Mostre que \(U^{\perp }\neq V^{\ast }\).
Seja \(V\) de dimensão finita e seja \(U\subseteq V\) um subespaço. Mostre que \(\dim V=\dim U+\dim U^{\perp }\).
Sejam \(U,W\subseteq V\) subespaços. Mostre que \(U\subseteq W\) implica \(W^{\perp }\subseteq U^{\perp }\).
Suponha que \(m\lt n\) e que \(f_1,\ldots ,f_m\) sejam funcionais em um espaço \(n\)-dimensional \(V\). Prove que existe \(\bm {x}\neq \vec0\) tal que \(f_j(\bm {x})=0\) para todo \(j=1,\ldots ,m\). O que esse resultado afirma sobre sistemas lineares homogêneos?
Suponha que \(m\lt n\) e que \(f_1,\ldots ,f_m\in V^{\ast }\), onde \(\dim (V)=n\). Determine as condições sobre \(\alpha _1,\ldots ,\alpha _m\in \mathbb {K}\) para que exista \(\bm {x}\in V\) tal que \(f_j(\bm {x})=\alpha _j\) para todo \(j\). Interprete o resultado em termos de sistemas lineares.
Seja \(V_0\subset V_1\subset \cdots \subset V_n\) uma bandeira maximal em \(V\). Mostre que
é uma bandeira maximal em \(V^{\ast }\).
Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão \(n\) e seja \(W\subsetneq V\) um subespaço de dimensão \(k\).
Mostre que existem funcionais \(f_1,\ldots ,f_{n-k}\in V^{\ast }\) tais que
\[ W=\bigcap _{i=1}^{n-k}\ker f_i. \]Conclua, usando o Teorema 5.13, que \(W\) é a interseção de \(n-k\) hiperplanos.
5.3 Transposta de uma Transformação Linear
Para \(T,S\in \operatorname {Hom}(V,W)\) e \(a,b\in \mathbb {K}\),
\[ (aT+bS)^{\ast }=aT^{\ast }+bS^{\ast }. \]Para \(S\in \operatorname {Hom}(V,W)\) e \(T\in \operatorname {Hom}(W,U)\),
\[ (T\circ S)^{\ast }=S^{\ast }\circ T^{\ast }. \]Se \(T\colon V\to W\) é invertível, então
\[ (T^{-1})^{\ast }=(T^{\ast })^{-1}. \]
As igualdades seguem diretamente da definição. Para \(f\in W^{\ast }\),
Para \(f\in U^{\ast }\),
Por fim,
e, analogamente, \((T^{-1})^{\ast }\circ T^{\ast }=\operatorname {I}_{W^{\ast }}\).
Aplicando duas vezes a construção anterior, obtemos \(T^{**}\colon V^{**}\to W^{**}\). Embora \(T\) e \(T^{**}\) tenham domínios e contradomínios diferentes, eles são compatíveis com as aplicações naturais.
Se \(V\) e \(W\) têm dimensão finita, as aplicações naturais identificam \(T^{**}\) com \(T\). Para \(\bm {v}\in V\) e \(f\in W^{\ast }\),
Isso prova a igualdade das transformações.
O próximo resultado descreve o núcleo e a imagem da transposta de uma transformação linear.
\(\ker (T^{\ast })=(\operatorname {im}T)^{\perp }\);
\(\operatorname {im}(T^{\ast })=(\ker T)^{\perp }\).
a Um funcional \(g\in W^{\ast }\) pertence a \(\ker (T^{\ast })\) se, e somente se, \(g\circ T=0\), isto é, se, e somente se, \(g\) se anula em \(\operatorname {im}T\).
b Se \(f=T^{\ast }(g)=g\circ T\), então \(f\) se anula em \(\ker T\). Logo, \(\operatorname {im}(T^{\ast })\subseteq (\ker T)^{\perp }\).
Reciprocamente, seja \(f\in (\ker T)^{\perp }\) e escolha um complemento \(S\) de \(\ker T\) em \(V\). A restrição \(T\mathord {\upharpoonright }_S\colon S\to \operatorname {im}T\) é um isomorfismo. Defina \(g_0\colon \operatorname {im}T\to \mathbb {K}\) por
Essa definição é válida, e \(g_0\) pode ser estendido a um funcional \(g\in W^{\ast }\). Se \(\bm {v}=\bm {u}+\bm {s}\), com \(\bm {u}\in \ker T\) e \(\bm {s}\in S\), então
Portanto, \(f=T^{\ast }(g)\).
Pelo teorema anterior e pelo Teorema 5.19,
Escreva \(T(\vec b_j)=\sum _{i=1}^m a_{ij}\vec c_i\). Para todo \(i\) e \(j\),
Portanto, as coordenadas de \(T^{\ast }(\vec c_i^{\ast })\) na base \(\underline{\textsc{B}}^{\ast }\) formam a \(i\)-ésima linha de \([T]_{\underline{\textsc{B}},\underline{\textsc{C}}}\), o que prova a fórmula.
Se \(V=S\oplus T\), prove que \(V^{\ast }=S^{\perp }\oplus T^{\perp }\).
Mostre que a transposta da transformação nula é nula e que \((\operatorname {I}_V)^{\ast }=\operatorname {I}_{V^{\ast }}\).
Seja \(S\subseteq V\) um subespaço. Prove que \((V/S)^{\ast }\cong S^{\perp }\).
Verifique as seguintes identidades:
\((T+S)^{\ast }=T^{\ast }+S^{\ast }\), para \(T,S\in \operatorname {Hom}(V,W)\).
\((\lambda T)^{\ast }=\lambda T^{\ast }\), para \(\lambda \in \mathbb {K}\) e \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\).
Sejam \(V\) e \(W\) de dimensões finitas e \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\). Prove que \(\operatorname {posto}(T)=\operatorname {posto}(T^{\ast })\).
Se \(T\colon U\to V\) e \(S\colon V\to W\) são lineares, prove que
Observe a inversão da ordem na transposta de uma composição.
Se \(T\colon V\to W\) é invertível, prove que \(T^{\ast }\colon W^{\ast }\to V^{\ast }\) também é invertível e que \((T^{-1})^{\ast }=(T^{\ast })^{-1}\).
Se \(T\) é uma díade em \(V\), mostre que \(T^{\ast }\) é uma díade em \(V^{\ast }\).
Sejam \(\tau _V\colon V\to V^{**}\) e \(\tau _W\colon W\to W^{**}\) as aplicações naturais. Mostre que, para todo \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\), o diagrama a seguir é comutativo: 
Se 
é uma sequência exata curta de espaços vetoriais, mostre que 
é exata.
Sejam \(V,W\) espaços vetoriais de dimensão finita e \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\). Mostre que:
\(T\) é injetiva se, e somente se, \(T^{\ast }\) é sobrejetiva.
\(T\) é sobrejetiva se, e somente se, \(T^{\ast }\) é injetiva.
\(T\) é bijetiva se, e somente se, \(T^{\ast }\) é bijetiva.
5.4 Sistemas de Equações
Um sistema de \(m\) equações lineares em \(n\) variáveis pode ser escrito como
onde \(A\) é a matriz dos coeficientes. Nesta seção, usaremos funcionais lineares para interpretar o sistema homogêneo \(A\bm {x}=\vec0\).
Seja \(\underline{\textsc{e}}=(\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n)\) a base padrão de \(\mathbb {K}^n\), e seja \(\underline{\textsc{e}}^{\ast }\) sua base dual. Todo funcional \(f\in (\mathbb {K}^n)^{\ast }\) pode ser escrito como
Para \(\bm {x}=x_1\bm {e}_1+\cdots +x_n\bm {e}_n\), temos
Assim, uma equação linear homogênea é precisamente a condição de pertencer ao núcleo de um funcional.
A \(i\)-ésima coordenada de \(A\bm {x}\) é \(f_i(\bm {x})\). Portanto, \(A\bm {x}=\vec0\) se, e somente se, \(f_i(\bm {x})=0\) para todo \(i\).
Logo, resolver um sistema homogêneo equivale a determinar a interseção dos núcleos dos funcionais associados às linhas de sua matriz.
As operações elementares sobre as linhas admitem a seguinte interpretação na lista \((f_1,\ldots ,f_m)\):
trocar duas linhas corresponde a permutar dois funcionais;
multiplicar uma linha por \(\lambda \neq 0\) corresponde a substituir \(f_i\) por \(\lambda f_i\);
somar \(\lambda \) vezes a linha \(i\) à linha \(j\) corresponde a substituir \(f_j\) por \(f_j+\lambda f_i\).
Cada operação preserva o subespaço gerado pelos funcionais. Portanto, se \(U\) é obtida de \(A\) por operações elementares, os funcionais associados às linhas de \(A\) e de \(U\) geram o mesmo subespaço de \((\mathbb {K}^n)^{\ast }\). Como as linhas não nulas de uma matriz escalonada reduzida são linearmente independentes, elas formam uma base desse subespaço.
Já demonstramos no Teorema 2.80, por meio de operações elementares, que os postos por linhas e por colunas coincidem. A dualidade fornece agora uma segunda demonstração.
Se \(T_A\) é a transformação representada por \(A\), então \(\operatorname {posto}_c A=\operatorname {posto}(T_A)\). A matriz da transposta \(T_A^*\) nas bases duais é \(A^{\mathrm{t}}\); portanto, \(\operatorname {posto}_l A=\operatorname {posto}_c(A^{\mathrm{t}})=\operatorname {posto}(T_A^*)\). Pelo corolário anterior, \(\operatorname {posto}(T_A^*)=\operatorname {posto}(T_A)\), e o resultado segue.
Sejam \(f_1,\ldots ,f_m\) os funcionais associados às linhas de \(A\) e \(g_1,\ldots ,g_r\) os associados às linhas não nulas de \(U\). As operações elementares preservam o espaço gerado pelas linhas; logo,
Os dois espaços gerados têm o mesmo aniquilador em \(\mathbb {K}^n\). Pelo Teorema 5.28, esse aniquilador é o conjunto de soluções tanto de \(A\bm {v}=\vec0\) quanto de \(U\bm {v}=\vec0\).