Ponha

Se \(p,q\in \mathbb {K}[x]\) e \(a,b\in \mathbb {K}\), então

de modo que \(W\) é um subespaço de \(V\). Além disso, \(\bm {v}=1(T)\bm {v}\) pertence a \(W\) e

logo \(W\) é \(T\)-invariante.

Resta verificar a minimalidade. Se \(U\) é um subespaço \(T\)-invariante que contém \(\bm {v}\), então \(T^j\bm {v}\in U\) para todo \(j\geq 0\). Como \(U\) é um subespaço, ele contém toda combinação linear desses vetores e, portanto, \(p(T)\bm {v}\in U\) para todo \(p\in \mathbb {K}[x]\). Assim, \(W\subseteq U\). Concluímos que \(W\) é o menor subespaço \(T\)-invariante que contém \(\bm {v}\), isto é, \(W=Z_{\bm {v}}\).

Se uma combinação linear de \(\bm {v},T\bm {v},\ldots ,T^{k-1}\bm {v}\) fosse nula, obteríamos um polinômio não nulo de grau menor que \(k\) que anula \(\bm {v}\). Isso contradiria a minimalidade de \(m_{\bm {v}}\). Portanto, \(\underline{\textsc{B}}_{\bm {v}}\) é linearmente independente.

A relação \(m_{\bm {v}}(T)\bm {v}=0\) fornece

Consequentemente, \(T\) leva cada vetor de \(\underline{\textsc{B}}_{\bm {v}}\) ao subespaço \(\langle \underline{\textsc{B}}_{\bm {v}}\rangle \); esse subespaço é, portanto, \(T\)-invariante. Como contém \(\bm {v}\), ele contém \(Z_{\bm {v}}\). A inclusão inversa decorre de \(T^j\bm {v}\in Z_{\bm {v}}\) para \(0\leq j\lt k\). Logo \(Z_{\bm {v}}=\langle \underline{\textsc{B}}_{\bm {v}}\rangle \), e \(\underline{\textsc{B}}_{\bm {v}}\) é uma base desse espaço.

Nessa base,

As primeiras \(k-1\) colunas da matriz são, assim, as colunas de deslocamento, e a última é \((-a_0,-a_1,\ldots ,-a_{k-1})^t\). Essa é precisamente a matriz companheira \(C_{m_{\bm {v}}}\).

Finalmente, para todo \(q\in \mathbb {K}[x]\),

A implicação da esquerda para a direita é obtida aplicando o operador a \(\bm {v}\). Reciprocamente, se \(q(T)\bm {v}=0\), então, para todo \(p(T)\bm {v}\in Z_{\bm {v}}\),

Portanto, \(T\mathord {\upharpoonright }_{Z_{\bm {v}}}\) e \(\bm {v}\) têm o mesmo ideal de polinômios anuladores. Seus geradores mônicos coincidem, e o polinômio minimal da restrição é \(m_{\bm {v}}\).

Faremos indução sobre \(n=\dim V\). Se \(n=1\), qualquer vetor não nulo gera \(V\), e o resultado é imediato. Suponha \(n\gt 1\) e que o teorema valha em dimensões menores.

Escolha \(\bm {v}_1\in V\) de modo que

seja o maior valor de \(\dim Z_{\bm {v}}\) quando \(\bm {v}\) percorre \(V\). Se \(m=n\), então \(V=Z_{\bm {v}_1}\) e nada mais há a provar. Suponha \(m\lt n\). Construiremos um complemento \(T\)-invariante de \(Z_{\bm {v}_1}\).

A base cíclica

é linearmente independente. Podemos, portanto, prolongá-la a uma base de \(V\) e escolher \(f\in V^*\) que satisfaça

Defina \(\tau :V\to \mathbb {K}^m\) por

Mostremos primeiro que \(\tau \mathord {\upharpoonright }_{Z_{\bm {v}_1}}\) é um isomorfismo. Na base cíclica acima, a entrada da linha \(i+1\) e da coluna \(j+1\) de sua matriz é \(f(T^{i+j}\bm {v}_1)\). Essa entrada é zero se \(i+j\lt m-1\) e é igual a \(1\) se \(i+j=m-1\). Assim, a matriz tem zeros de um lado da antidiagonal e entradas iguais a \(1\) na antidiagonal. Ao inverter a ordem das linhas, obtemos uma matriz triangular com diagonal formada por uns. Logo a matriz é invertível, como queríamos.

Agora provemos que \(\ker \tau \) é \(T\)-invariante. Tome \(\bm {w}\in \ker \tau \). Então

Pela escolha de \(m\), temos \(\dim Z_{\bm {w}}\leq m\). Se \(r=\deg m_{\bm {w}}\), então \(r\leq m\) e a relação \(m_{\bm {w}}(T)\bm {w}=0\) escreve \(T^r\bm {w}\) como combinação linear de \(\bm {w},T\bm {w},\ldots ,T^{r-1}\bm {w}\). Aplicando \(T^{m-r}\) a essa relação, concluímos que

Portanto, \(f(T^m\bm {w})=0\). Todas as coordenadas de \(\tau (T\bm {w})\) são nulas, e assim \(T\bm {w}\in \ker \tau \).

Como \(\tau \mathord {\upharpoonright }_{Z_{\bm {v}_1}}\) é injetiva, \(Z_{\bm {v}_1}\cap \ker \tau =\{ \vec0\} \). Ela também é sobrejetiva, de modo que \(\operatorname {im}\tau =\mathbb {K}^m\) e \(\dim \ker \tau =n-m\). Consequentemente,

e obtemos a soma direta

Se \(\ker \tau \neq \{ \vec0\} \), sua dimensão é menor que \(n\) e a hipótese de indução, aplicada a \(T\mathord {\upharpoonright }_{\ker \tau }\), decompõe esse complemento em subespaços cíclicos. Juntando essa decomposição a \(Z_{\bm {v}_1}\), obtemos a decomposição de \(V\). A reunião das bases cíclicas fornece a matriz diagonal por blocos. Por fim, o polinômio característico de uma matriz diagonal por blocos é o produto dos polinômios característicos dos blocos, e o polinômio característico de \(C_{q_i}\) é \(q_i\).

Pelo Teorema 11.11, existem vetores não nulos \(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_k\) tais que

Escreva \(q_i=m_{\bm {v}_i}\). Como \(m_T(T)\bm {v}_i=0\), a definição do aniquilador de \(\bm {v}_i\) mostra que \(q_i\mid m_T\). A hipótese \(m_T=p^t\), com \(p\) irredutível, implica

para algum inteiro \(1\leq n_i\leq t\).

Um polinômio anula \(T\) se, e somente se, anula a restrição de \(T\) a cada parcela da soma direta. Portanto,

Como todos os \(q_i\) são potências de \(p\), segue que \(t=\max _i n_i\). Reordenando as parcelas, podemos supor

Além disso, pelo Teorema 11.6,

e a soma das dimensões fornece a terceira afirmação.

Resta provar que a sequência de expoentes independe da decomposição escolhida. Ponha \(d=\deg p\). Para \(j\geq 0\), a comutatividade entre \(p(T)^j\) e \(T\) fornece

Se \(j\geq n_i\), esse espaço é nulo. Se \(j\lt n_i\), então, para \(q\in \mathbb {K}[x]\),

Logo o aniquilador de \(p(T)^j\bm {v}_i\) é \(p^{n_i-j}\) e

Como cada \(Z_{\bm {v}_i}\) é \(T\)-invariante, a aplicação \(p(T)^j\) preserva a decomposição direta. Assim,

e

Para todo \(j\geq 1\), obtemos

O lado esquerdo depende apenas de \(T\). Ele determina, para cada \(j\), o número de expoentes maiores ou iguais a \(j\). Em particular, determina \(k\) pelo caso \(j=1\) e, em seguida, toda a sequência ordenada \(n_1,\ldots ,n_k\). Isso prova a unicidade.

Escreva \(m_T=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}\), com os \(p_i\) irredutíveis e distintos. Pelo Teorema da Decomposição Primária,

e o polinômio minimal de \(T_i=T\mathord {\upharpoonright }_{V_i}\) é \(p_i^{e_i}\). A Proposição 11.12, aplicada a \(T_i\), fornece uma decomposição

A soma dessas decomposições, para \(1\leq i\leq k\), é direta porque as parcelas \(V_i\) já formam uma soma direta. Reunindo as bases cíclicas de todos os \(Z_{\bm {v}_{ij}}\), obtemos uma base de \(V\) na qual a matriz de \(T\) tem os blocos \(C_{p_i^{n_{ij}}}\).

A fatoração de \(m_T\) determina unicamente os componentes primários \(V_i\), e a Proposição 11.12 determina unicamente, em cada componente, os expoentes \(n_{ij}\). Logo a coleção de blocos é determinada por \(T\), restando apenas a liberdade de permutá-los.

Escreva

e ponha \(Q_i=q/q_i\). Como \(Q_i\) e \(q_i\) são coprimos, existem \(a_i,b_i\in \mathbb {K}[x]\) tais que

O polinômio \(e_i=a_iQ_i\) é congruente a \(1\) módulo \(q_i\) e, para \(h\neq i\), é divisível por \(q_h\). Como \(q_h(T)\bm {w}_h=0\), temos

Assim, cada gerador \(\bm {w}_i\) pertence a \(Z_{\bm {u}}\) e, como esse subespaço é \(T\)-invariante, \(Z_{\bm {w}_i}\subseteq Z_{\bm {u}}\). Portanto, \(W\subseteq Z_{\bm {u}}\). A inclusão inversa decorre de \(\bm {u}\in W\) e da \(T\)-invariância de \(W\). Logo \(Z_{\bm {u}}=W\).

Além disso, \(q_i(T)\bm {w}_i=0\) para todo \(i\), e cada \(q_i\) divide \(q\); portanto, \(q(T)\bm {u}=0\). Reciprocamente, se \(f(T)\bm {u}=0\), então

A soma direta implica \(f(T)\bm {w}_i=0\) para cada \(i\), de modo que \(q_i\mid f\) para todo \(i\). Como os \(q_i\) são dois a dois coprimos, \(q=q_1\cdots q_s\) divide \(f\). Logo o ideal dos polinômios que anulam \(\bm {u}\) é precisamente \((q)\), e \(q\) é o aniquilador mônico de \(\bm {u}\).

Para cada fator irredutível \(p_i\) do polinômio minimal, escreva os divisores elementares do componente \(p_i\)-primário na ordem

Seja \(r=\max _i r_i\) e, quando \(r_i\lt r\), complete a lista à direita com expoentes nulos. Para \(1\leq j\leq r\), defina

Para cada \(i\), o maior expoente \(n_{i1}\) é o expoente de \(p_i\) em \(m_T\). Logo

Como \(n_{i,j+1}\leq n_{ij}\) para todo \(i\), temos \(f_{j+1}\mid f_j\).

Fixe uma coluna \(j\) e some os vetores cíclicos não nulos que aparecem nessa coluna, um em cada componente primário. Seus aniquiladores são potências de polinômios irredutíveis distintos e, portanto, são dois a dois coprimos. Pelo Lema 11.18, essa soma é um vetor cíclico \(\bm {u}_j\) com aniquilador \(f_j\). Como apenas reagrupamos as parcelas da decomposição por divisores elementares, obtemos

Por fim, os divisores elementares são determinados unicamente por \(T\). Para cada irredutível \(p_i\), o expoente de \(p_i\) em \(f_j\) é exatamente \(n_{ij}\). Assim, a fatoração dos \(f_j\) recupera todas as listas de divisores elementares, inclusive seus comprimentos. Reciprocamente, essas listas determinam \(r\) e cada \(f_j\). Isso prova a unicidade.

Para \(0\leq j\lt n\) e \(0\leq \ell \lt k\), considere os polinômios

Eles são mônicos e seus graus \(jk+\ell \) percorrem, sem repetição, os inteiros de \(0\) a \(kn-1\). Portanto, formam uma base do espaço dos polinômios de grau menor que \(kn\).

Considere agora a lista ordenada

em que os blocos são concatenados na ordem decrescente de \(j\). Se houvesse uma relação linear não trivial entre esses vetores, a mesma relação entre os polinômios \(x^\ell p^j\) produziria um polinômio não nulo \(q\) de grau menor que \(kn\) tal que \(q(T)\bm {v}=0\). Isso é impossível, pois o aniquilador de \(\bm {v}\) é \(p^n\), de grau \(kn\). Logo os \(kn\) vetores de \(\underline{\textsc{B}}\) são linearmente independentes. Como \(\dim V=\deg m_{\bm {v}}=kn\), eles formam uma base de \(V\).

Para \(0\leq \ell \lt k-1\), o operador \(T\) leva \(T^\ell p(T)^j\bm {v}\) ao vetor seguinte do mesmo bloco. Como

a imagem do último vetor do bloco é

Os primeiros \(k\) termos dessa expressão fornecem o bloco companheiro \(C_p\) na diagonal. Se \(j=n-1\), o termo \(p(T)^{j+1}\bm {v}\) é nulo porque \(p(T)^n\bm {v}=0\). Se \(j\lt n-1\), ele é o primeiro vetor do bloco imediatamente anterior, pois os expoentes foram ordenados de modo decrescente. Na matriz, sua contribuição é uma entrada \(1\) na primeira linha e na última coluna do bloco situado logo acima da diagonal, isto é, o bloco \(N\) com \(N_{1k}=1\). Todas as demais entradas fora dos blocos descritos são nulas. Obtemos, assim, exatamente a matriz do enunciado.