Capítulo 13

Teoremas Espectrais e Decomposições

As potências, o núcleo e a imagem de uma matriz diagonal podem ser calculados diretamente a partir de suas entradas. Para obter uma descrição semelhante de um operador, procuramos uma base de autovetores. Quando essa base é ortonormal, a representação em coordenadas também preserva o produto interno do espaço.

O teorema espectral caracteriza os operadores que admitem tal base. Sobre os complexos, são exatamente os operadores normais; sobre os reais, são os operadores autoadjuntos. Desse resultado decorrem a forma canônica dos operadores normais reais, a descrição das isometrias, a raiz quadrada de um operador positivo, a decomposição polar e a decomposição em valores singulares.

Em todo o capítulo, \(V\) e \(W\) serão espaços com produto interno de dimensão finita sobre \(\mathbb {K}=\mathbb {R}\) ou \(\mathbb {K}=\mathbb {C}\). Mantemos a convenção do Capítulo 6: o produto interno é linear na primeira variável e conjugado-linear na segunda. Para uma matriz complexa \(A\), escreveremos

\[ A^\ast =\overline{A}^{\mathrm{t}}. \]

No caso real, essa operação se reduz à transposição.

13.1 Operadores Autoadjuntos e Normais

A adjunta relaciona um operador ao produto interno do espaço. As classes introduzidas a seguir são definidas por relações entre o operador e sua adjunta.

Definição 13.1 (Operadores Autoadjuntos e Normais)

Seja \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\). Dizemos que \(T\) é

autoadjunto se \(T^\ast =T\);
anti-autoadjunto se \(T^\ast =-T\);
normal se \(T^\ast T=TT^\ast \).

Em espaços complexos, os operadores autoadjuntos também são chamados de hermitianos. Em espaços reais, suas matrizes em bases ortonormais são simétricas. Todo operador autoadjunto ou anti-autoadjunto é normal, mas a classe dos operadores normais é maior.

Exemplo 13.2

Em \(\mathbb {C}^2\), os operadores representados na base canônica pelas matrizes

\[ A=\begin{bmatrix} 2 & i \\ -i & 3 \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \]

são normais. O primeiro é autoadjunto, pois \(A^\ast =A\). O segundo não é autoadjunto, mas é normal porque \(B\) e \(B^\ast \) são diagonais e, portanto, comutam.

Teorema 13.3 (Caracterização Matricial)

Seja \(\underline{\textsc{v}}\) uma base ortonormal de \(V\) e seja \(A=[T]_{\underline{\textsc{v}}}\). Então:

\(T\) é autoadjunto se, e somente se, \(A=A^\ast \);
\(T\) é anti-autoadjunto se, e somente se, \(A=-A^\ast \);
\(T\) é normal se, e somente se, \(A^\ast A=AA^\ast \).

Demonstração ▼

Em uma base ortonormal, a matriz da adjunta é \([T^\ast ]_{\underline{\textsc{v}}}=A^\ast \). As duas primeiras equivalências seguem imediatamente dessa identidade. Para a terceira, observamos que

\[ [T^\ast T]_{\underline{\textsc{v}}}=A^\ast A \qquad \text{e}\qquad [TT^\ast ]_{\underline{\textsc{v}}}=AA^\ast . \]

Como operadores são iguais se, e somente se, têm a mesma matriz em uma base fixada, o resultado segue.

Observação 13.4

A condição de normalidade depende do produto interno, pois a adjunta também depende dele. Já a diagonalizabilidade usual depende apenas da estrutura de espaço vetorial. O teorema espectral relacionará essas duas informações ao exigir uma diagonalização por uma base ortonormal.

Proposição 13.5

Para todo \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\), os operadores \(T^\ast T\) e \(TT^\ast \) são autoadjuntos. Além disso,

\[ \langle T^\ast T\bm {v},\bm {v}\rangle =\lVert T\bm {v}\rVert ^2 \qquad \text{e}\qquad \langle TT^\ast \bm {v},\bm {v}\rangle =\lVert T^\ast \bm {v}\rVert ^2. \]

Demonstração ▼

Das propriedades da adjunta,

\[ (T^\ast T)^\ast =T^\ast (T^\ast )^\ast =T^\ast T. \]

A prova para \(TT^\ast \) é idêntica. Finalmente, pela definição de adjunta,

\[ \langle T^\ast T\bm {v},\bm {v}\rangle =\langle T\bm {v},T\bm {v}\rangle =\lVert T\bm {v}\rVert ^2, \]

e a segunda identidade é obtida trocando \(T\) por \(T^\ast \).

Os próximos resultados descrevem as restrições que a adjunta impõe aos autovalores e aos autovetores. Essas relações serão usadas nas demonstrações dos teoremas espectrais.

Teorema 13.6 (Autovalores de Operadores Autoadjuntos)

Todo autovalor de um operador autoadjunto é real. Além disso, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.

Demonstração ▼

Suponha \(T\bm {v}=\lambda \bm {v}\), com \(\bm {v}\neq \vec0\). Como \(T=T^\ast \),

\begin{align*} \lambda \lVert \bm {v}\rVert ^2 & =\langle T\bm {v},\bm {v}\rangle =\langle \bm {v},T\bm {v}\rangle =\overline{\lambda }\lVert \bm {v}\rVert ^2. \end{align*}

Como \(\lVert \bm {v}\rVert \gt 0\), temos \(\lambda =\overline\lambda \); portanto, \(\lambda \in \mathbb {R}\).

Agora sejam \(T\bm {v}=\lambda \bm {v}\) e \(T\bm {w}=\mu \bm {w}\), com \(\lambda \neq \mu \). Os dois autovalores são reais, e

\[ \lambda \langle \bm {v},\bm {w}\rangle =\langle T\bm {v},\bm {w}\rangle =\langle \bm {v},T\bm {w}\rangle =\mu \langle \bm {v},\bm {w}\rangle . \]

Logo \((\lambda -\mu )\langle \bm {v},\bm {w}\rangle =0\), o que implica \(\langle \bm {v},\bm {w}\rangle =0\).

Para operadores normais, a relação entre os autovetores de \(T\) e de \(T^\ast \) é dada pelo lema seguinte.

Lema 13.7 (Autovetores de um Operador Normal)

Se \(T\) é normal, então, para todo \(\lambda \in \mathbb {K}\),

\[ \ker (T-\lambda I)=\ker (T^\ast -\overline\lambda I). \]

Em particular, se \(T\bm {v}=\lambda \bm {v}\), então \(T^\ast \bm {v}=\overline\lambda \bm {v}\).

Demonstração ▼

O operador \(S=T-\lambda I\) é normal, pois \(S^\ast =T^\ast -\overline\lambda I\) e os termos cruzados nas expressões \(S^\ast S\) e \(SS^\ast \) coincidem. Para todo \(\bm {v}\in V\), a normalidade fornece

\begin{align*} \lVert S\bm {v}\rVert ^2 & =\langle S^\ast S\bm {v},\bm {v}\rangle =\langle SS^\ast \bm {v},\bm {v}\rangle =\lVert S^\ast \bm {v}\rVert ^2. \end{align*}

Assim, \(S\bm {v}=\vec0\) se, e somente se, \(S^\ast \bm {v}=\vec0\), o que é exatamente a igualdade dos núcleos anunciada.

Corolário 13.8 (Ortogonalidade dos Autoespaços Normais)

Se \(T\) é normal, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.

Demonstração ▼

Se \(T\bm {v}=\lambda \bm {v}\) e \(T\bm {w}=\mu \bm {w}\), o lema anterior dá \(T^\ast \bm {w}=\overline\mu \bm {w}\). Portanto,

\[ \lambda \langle \bm {v},\bm {w}\rangle =\langle T\bm {v},\bm {w}\rangle =\langle \bm {v},T^\ast \bm {w}\rangle =\mu \langle \bm {v},\bm {w}\rangle . \]

Se \(\lambda \neq \mu \), segue que \(\bm {v}\perp \bm {w}\).

Corolário 13.9

Se \(T\) é normal, então \(\ker T=\ker T^\ast \) e \(\operatorname {im}T=\operatorname {im}T^\ast \).

Demonstração ▼

A igualdade dos núcleos é o Lema 13.7 com \(\lambda =0\). Usando as relações entre núcleo, imagem e adjunta demonstradas no Capítulo 6, obtemos

\[ \operatorname {im}T=(\ker T^\ast )^\perp =(\ker T)^\perp =\operatorname {im}T^\ast . \]

13.2 Teoremas Espectrais

Diagonalizar um operador significa decompor o espaço em retas invariantes. Os teoremas a seguir caracterizam os operadores para os quais essas retas podem ser escolhidas mutuamente ortogonais. Normalizando um vetor em cada reta, obtemos uma base ortonormal de autovetores.

Definição 13.10 (Diagonalização Ortonormal)

Um operador \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\) é diagonalizável por uma base ortonormal se existe uma base ortonormal de \(V\) formada por autovetores de \(T\). Equivalentemente, a matriz de \(T\) nessa base é diagonal.

Teorema 13.11 (Teorema Espectral Complexo)

Se \(V\) é complexo, um operador \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\) é normal se, e somente se, \(V\) possui uma base ortonormal formada por autovetores de \(T\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(T\) possua uma base ortonormal de autovetores. Nessa base, \(T\) e \(T^\ast \) são representados, respectivamente, por

\[ \operatorname {diag}(\lambda _1,\ldots ,\lambda _n) \quad \text{e}\quad \operatorname {diag}(\overline\lambda _1,\ldots , \overline\lambda _n). \]

As duas matrizes comutam; logo \(T\) é normal.

Reciprocamente, suponha que \(T\) seja normal. A prova será por indução em \(n=\dim V\). O caso \(n=1\) é imediato. Como o corpo é \(\mathbb {C}\), o polinômio característico de \(T\) possui uma raiz. Portanto, existem \(\lambda \in \mathbb {C}\) e um vetor unitário \(\bm {e}_1\) tais que \(T\bm {e}_1=\lambda \bm {e}_1\). Pelo Lema 13.7, \(T^\ast \bm {e}_1=\overline\lambda \bm {e}_1\).

A reta \(L=\langle \bm {e}_1\rangle \) e seu complemento ortogonal \(L^\perp \) são invariantes por \(T\) e por \(T^\ast \). De fato, se \(\bm {w}\in L^\perp \), então

\[ \langle T\bm {w},\bm {e}_1\rangle =\langle \bm {w},T^\ast \bm {e}_1\rangle =0, \]

e o mesmo argumento, trocando \(T\) por \(T^\ast \), mostra a outra invariância. Assim, a restrição \(T_1=T|_{L^\perp }\) é normal; sua adjunta é justamente \(T^\ast |_{L^\perp }\). Pela hipótese de indução, \(L^\perp \) possui uma base ortonormal \(\bm {e}_2,\ldots ,\bm {e}_n\) formada por autovetores de \(T_1\). Juntando \(\bm {e}_1\) a essa base, obtemos a base ortonormal desejada de \(V\).

No caso real, um operador normal pode conter planos invariantes nos quais atua como uma rotação. Por isso, normalidade não basta para garantir uma base real de autovetores. A diagonalização em uma base ortonormal real é caracterizada pela autoadjunção.

Teorema 13.12 (Teorema Espectral Real)

Se \(V\) é real, um operador \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\) é autoadjunto se, e somente se, \(V\) possui uma base ortonormal formada por autovetores de \(T\).

Demonstração ▼

Se existe uma base ortonormal de autovetores, a matriz de \(T\) nessa base é diagonal e real. Ela é, portanto, simétrica, e o Teorema 13.3 mostra que \(T\) é autoadjunto.

Para a recíproca, começamos justificando a existência de um autovetor real. Escolha uma base ortonormal e seja \(A\) a matriz real simétrica de \(T\). Vista como matriz complexa, \(A\) é hermitiana e, pelo teorema espectral complexo, possui um autovetor \(\bm {z}=\bm {x}+i\bm {y}\) associado a um autovalor real \(\lambda \). Da igualdade

\[ A(\bm {x}+i\bm {y})=\lambda (\bm {x}+i\bm {y}) \]

seguem \(A\bm {x}=\lambda \bm {x}\) e \(A\bm {y}=\lambda \bm {y}\). Como \(\bm {z}\neq \vec0\), pelo menos um dos vetores \(\bm {x},\bm {y}\) é não nulo. Assim, \(T\) possui um autovetor real, que podemos normalizar e denotar por \(\bm {e}_1\).

Agora procedemos por indução em \(\dim V\). Como \(T=T^\ast \), o complemento ortogonal de \(\langle \bm {e}_1\rangle \) é invariante por \(T\), e a restrição de \(T\) a esse complemento continua autoadjunta. A hipótese de indução fornece uma base ortonormal de autovetores no complemento. Acrescentando \(\bm {e}_1\), obtemos uma base ortonormal de autovetores de \(V\).

Definição 13.13 (Matrizes Unitárias e Ortogonais)

Uma matriz complexa \(Q\) é unitária se \(Q^\ast Q=I\). Uma matriz real \(Q\) é ortogonal se \(Q^{\mathrm{t}}Q=I\).

Corolário 13.14 (Versões Matriciais)

Valem as seguintes afirmações:

uma matriz complexa \(A\) é normal se, e somente se, existe uma matriz unitária \(Q\) tal que \(Q^\ast AQ\) é diagonal;
uma matriz real \(A\) é simétrica se, e somente se, existe uma matriz ortogonal \(Q\) tal que \(Q^{\mathrm{t}}AQ\) é diagonal.

Demonstração ▼

As colunas de \(Q\) são os vetores de uma base ortonormal escritos na base canônica. A expressão \(Q^{-1}AQ\) é a matriz do mesmo operador na nova base. Como \(Q^{-1}=Q^\ast \) no caso complexo e \(Q^{-1}=Q^{\mathrm{t}}\) no caso real, as afirmações são exatamente as versões matriciais dos dois teoremas espectrais.

Exemplo 13.15 (Diagonalização de uma Matriz Hermitiana)

Considere

\[ A=\begin{bmatrix} 2 & i \\ -i & 2 \end{bmatrix}. \]

Seus autovalores são \(1\) e \(3\). Autovetores unitários correspondentes são

\[ \bm {v}_1=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix} -i \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \bm {v}_2=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix}. \]

Eles são ortogonais. Se \(Q=[\, \bm {v}_1\ \bm {v}_2\, ]\), então \(Q\) é unitária e

\[ Q^\ast AQ=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}. \]

O exemplo ilustra a diferença entre diagonalizar e diagonalizar unitariamente: a segunda operação controla também os comprimentos e os ângulos.

13.2.1 Decomposição Espectral e Cálculo Funcional

O teorema espectral pode ser escrito sem escolher vetores dentro de cada autoespaço. Essa formulação é especialmente útil quando um autovalor tem multiplicidade maior que um.

Teorema 13.16 (Decomposição Espectral)

Se \(T\) é normal em um espaço complexo e \(\lambda _1,\ldots ,\lambda _r\) são seus autovalores distintos, então

\[ V=E_{\lambda _1}\odot \cdots \odot E_{\lambda _r}, \]

onde \(E_{\lambda _j}=\ker (T-\lambda _jI)\). Se \(P_j\) denota a projeção ortogonal sobre \(E_{\lambda _j}\), então

\[ T=\sum _{j=1}^r\lambda _jP_j, \qquad I=\sum _{j=1}^rP_j, \qquad P_iP_j=0\quad (i\neq j). \]

As mesmas conclusões valem para operadores autoadjuntos reais.

Demonstração ▼

Escolha uma base ortonormal de autovetores e agrupe seus elementos segundo o autovalor. O Corolário 13.8 mostra que os autoespaços associados a autovalores distintos são ortogonais. Se \(\bm {v}=\bm {v}_1+\cdots +\bm {v}_r\), com \(\bm {v}_j=P_j\bm {v}\in E_{\lambda _j}\), então

\[ T\bm {v}=\sum _{j=1}^rT\bm {v}_j =\sum _{j=1}^r\lambda _jP_j\bm {v}. \]

Como essa igualdade vale para todo \(\bm {v}\), obtemos a fórmula para \(T\). As demais identidades seguem das propriedades das projeções ortogonais.

Se \(f\) é uma função definida no conjunto finito \(\{ \lambda _1,\ldots ,\lambda _r\} \), definimos

\[ f(T)=\sum _{j=1}^r f(\lambda _j)P_j. \]

Quando \(f\) é um polinômio, essa definição coincide com a substituição usual de \(T\) no polinômio. A vantagem é que também podemos usar funções como \(f(t)=\sqrt t\) ou \(f(t)=1/t\), desde que estejam definidas no espectro de \(T\).

Exemplo 13.17

Se \(T\) é autoadjunto e possui espectro \(\{ -2,1,4\} \), então

\[ T^2=4P_{-2}+P_1+16P_4. \]

Se \(T\) for invertível,

\[ T^{-1}=-\frac12P_{-2}+P_1+\frac14P_4. \]

Essas fórmulas são independentes da escolha de bases dentro dos autoespaços.

Proposição 13.18 (Diagonalização Simultânea)

Se \(S\) e \(T\) são operadores autoadjuntos e \(ST=TS\), então existe uma base ortonormal formada por autovetores simultâneos de \(S\) e de \(T\).

Demonstração ▼

Pelo teorema espectral, \(V\) é a soma ortogonal dos autoespaços de \(T\). A comutação mostra que cada um desses autoespaços é invariante por \(S\): se \(T\bm {v}=\lambda \bm {v}\), então

\[ T(S\bm {v})=S(T\bm {v})=\lambda S\bm {v}. \]

A restrição de \(S\) a cada autoespaço de \(T\) é autoadjunta. Diagonalizando essas restrições e reunindo as bases ortonormais obtidas, construímos uma base de autovetores simultâneos.

13.2.2 Triangularização Unitária

Leitura opcional.

Esta subseção pode ser omitida em uma primeira leitura. A decomposição de Schur não é necessária para os resultados posteriores do capítulo. Ela estabelece que todo operador complexo admite uma matriz triangular em uma base ortonormal, mesmo quando não admite diagonalização.

O teorema seguinte vale para qualquer operador complexo, sem a hipótese de normalidade. A representação obtida é, em geral, triangular, e não diagonal.

Teorema 13.19 (Decomposição de Schur)

Se \(A\in \mathcal M_{n,n}(\mathbb {C})\), existe uma matriz unitária \(Q\) tal que \(Q^\ast AQ\) é triangular superior.

Demonstração ▼

Apresentamos a versão para operadores. A prova é por indução em \(n\). Escolha um autovetor unitário \(\bm {e}_1\) de \(T\) e escreva \(V=\langle \bm {e}_1\rangle \odot \langle \bm {e}_1\rangle ^\perp \). Seja \(P\) a projeção ortogonal sobre \(\langle \bm {e}_1\rangle ^\perp \) e considere o operador comprimido

\[ S=P\circ T|_{\langle \bm {e}_1\rangle ^\perp }. \]

Pela hipótese de indução, existe uma base ortonormal \(\bm {e}_2,\ldots ,\bm {e}_n\) do complemento na qual \(S\) é triangular superior. Como a reta gerada por \(\bm {e}_1\) é \(T\)-invariante, a matriz de \(T\) na base \(\bm {e}_1,\ldots ,\bm {e}_n\) também é triangular superior. Tomando para colunas de \(Q\) os vetores dessa base, obtemos \(Q^\ast AQ\) triangular superior.

Para uma matriz normal, a forma triangular de Schur é necessariamente diagonal. De fato, se \(R=(r_{ij})\) é triangular superior e normal, então \(\lVert R\bm {e}_1\rVert =\lVert R^\ast \bm {e}_1\rVert \) implica

\[ |r_{11}|^2=|r_{11}|^2+|r_{12}|^2+\cdots +|r_{1n}|^2. \]

Logo a primeira linha não possui entradas fora da diagonal. O argumento se repete no bloco restante. Assim, a decomposição de Schur também oferece uma prova matricial do teorema espectral complexo.

13.3 Operadores Normais Reais

Uma rotação não trivial do plano real é normal, mas não possui autovetores reais. Em vez de uma diagonalização, devemos esperar uma decomposição em retas e planos ortogonais invariantes.

Ideia geométrica.

Ao complexificar o espaço, cada autovalor real ainda fornece uma direção real. Já um par de autovalores não reais conjugados \(a\pm ib\) fornece um plano real: nesse plano, o operador é a composição de uma rotação com uma dilatação. A prova consiste em recuperar essas retas e esses planos a partir de uma base ortonormal complexa e verificar que continuam mutuamente ortogonais no espaço real.

Teorema 13.20 (Forma Canônica dos Operadores Normais Reais)

Se \(V\) é real, um operador \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\) é normal se, e somente se, existe uma base ortonormal na qual sua matriz é diagonal por blocos, sendo cada bloco de um dos tipos

\[ [\lambda ] \qquad \text{ou}\qquad \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}, \quad b\gt 0. \]

Demonstração ▼

Suponha que \(T\) seja normal e estenda os escalares de \(\mathbb {R}\) para \(\mathbb {C}\). O operador complexificado \(T_{\mathbb {C}}\) continua normal e, pelo teorema espectral complexo, possui uma base ortonormal de autovetores.

Se \(\lambda \) é real, o autoespaço complexo correspondente é a complexificação de \(\ker (T-\lambda I)\). Escolhendo uma base ortonormal nesse autoespaço real, obtemos blocos unidimensionais \([\lambda ]\).

Os autovalores não reais aparecem em pares conjugados. Fixe \(\lambda =a+ib\), com \(b\gt 0\), e escolha uma base ortonormal \(\bm {z}_1,\ldots ,\bm {z}_k\) de seu autoespaço. Escreva \(\bm {z}_j=\bm {x}_j-i\bm {y}_j\), com \(\bm {x}_j,\bm {y}_j\in V\). Da igualdade \(T_{\mathbb {C}}\bm {z}_j=\lambda \bm {z}_j\) obtemos

\[ T\bm {x}_j=a\bm {x}_j+b\bm {y}_j, \qquad T\bm {y}_j=-b\bm {x}_j+a\bm {y}_j. \]

Como \(\overline{\bm {z}_1},\ldots ,\overline{\bm {z}_k}\) são autovetores associados a \(\overline\lambda \), a ortogonalidade dos autoespaços de um operador normal fornece

\[ \langle \bm {z}_j,\bm {z}_\ell \rangle =\delta _{j\ell }, \qquad \langle \bm {z}_j,\overline{\bm {z}_\ell }\rangle =0. \]

Separando partes real e imaginária nessas duas identidades, obtemos

\[ \langle \bm {x}_j,\bm {x}_\ell \rangle =\langle \bm {y}_j,\bm {y}_\ell \rangle =\frac12\delta _{j\ell }, \qquad \langle \bm {x}_j,\bm {y}_\ell \rangle =0. \]

Portanto, os vetores \(\sqrt2\, \bm {x}_j,\sqrt2\, \bm {y}_j\) formam um conjunto ortonormal real. Em cada plano gerado pelo par correspondente, a matriz da restrição de \(T\) é

\[ \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}. \]

Autoespaços correspondentes a diferentes pares conjugados são ortogonais; logo o mesmo cálculo produz planos reais mutuamente ortogonais. Agrupando esses planos com os autoespaços reais, obtemos uma decomposição ortogonal de \(V\) e a matriz anunciada.

Reciprocamente, cada bloco exibido comuta com sua transposta. Uma matriz diagonal por blocos desse tipo também comuta com sua transposta e, pelo Teorema 13.3, representa um operador normal.

Exemplo 13.21 (Rotação e Dilatação)

A matriz

\[ A=\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \]

representa, no plano, uma rotação seguida de uma dilatação de fator \(\sqrt{13}\). Ela é normal, pois \(A^{\mathrm{t}}A=AA^{\mathrm{t}}=13I\), mas não é simétrica. Seus autovalores complexos são \(2\pm 3i\); por isso, não há uma base real de autovetores.

Pelo Teorema 13.20, um operador normal real é autoadjunto se, e somente se, não aparecem blocos bidimensionais na forma canônica. Nesse caso, a matriz na base ortonormal é diagonal.

13.4 Operadores Unitários e Ortogonais

As isometrias lineares são as transformações que preservam comprimentos. A identidade de polarização mostra que, para uma transformação linear, preservar todos os comprimentos equivale a preservar todo o produto interno.

Definição 13.22 (Isometria Linear)

Um operador \(U\in \operatorname {Hom}(V,V)\) é uma isometria linear se

\[ \lVert U\bm {v}\rVert =\lVert \bm {v}\rVert \qquad \text{para todo }\bm {v}\in V. \]

Em espaços complexos, uma isometria linear é chamada de operador unitário; em espaços reais, de operador ortogonal.

Teorema 13.23 (Caracterizações das Isometrias)

Para \(U\in \operatorname {Hom}(V,V)\), são equivalentes:

\(U\) é uma isometria;
\(\langle U\bm {v},U\bm {w}\rangle =\langle \bm {v},\bm {w}\rangle \) para todos \(\bm {v},\bm {w}\in V\);
\(U^\ast U=I\);
\(U\) é invertível e \(U^{-1}=U^\ast \);
\(U\) envia toda base ortonormal de \(V\) em uma base ortonormal.

Demonstração ▼

A implicação de a para b segue das identidades de polarização: todos os termos do lado direito dessas identidades são normas, e \(U\) preserva somas e multiplicações por escalares por ser linear. A implicação inversa é obtida tomando \(\bm {w}=\bm {v}\).

Além disso,

\[ \langle U\bm {v},U\bm {w}\rangle =\langle \bm {v},U^\ast U\bm {w}\rangle . \]

Logo b equivale a \(U^\ast U=I\), o que prova a equivalência com c. Essa identidade mostra que \(U\) é injetivo; como \(V\) tem dimensão finita, \(U\) é invertível e \(U^\ast =U^{-1}\). Isso fornece d, cuja recíproca é imediata.

Finalmente, a preservação do produto interno mostra que a imagem de qualquer base ortonormal é ortonormal. Como \(U\) é invertível, essa imagem é uma base. Reciprocamente, se \(U\) envia uma base ortonormal em outra, a expansão de um vetor nessa base e a identidade de Parseval mostram que \(U\) preserva sua norma.

Pela Definição 13.13, as matrizes de um operador unitário ou ortogonal em bases ortonormais são, respectivamente, unitárias ou ortogonais. As colunas dessas matrizes formam uma base ortonormal do espaço coordenado.

Exemplo 13.24 (Rotação e Reflexão)

Para todo \(\theta \in \mathbb {R}\), a matriz

\[ R_\theta = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\operatorname {sen}\theta \\ \operatorname {sen}\theta & \cos \theta \end{bmatrix} \]

é ortogonal e tem determinante \(1\). Já

\[ H=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \]

é ortogonal e tem determinante \(-1\); geometricamente, representa a reflexão em relação ao eixo horizontal.

Corolário 13.25 (Caracterização Espectral das Isometrias Complexas)

Um operador complexo \(U\) é unitário se, e somente se, possui uma base ortonormal de autovetores e todos os seus autovalores têm módulo \(1\).

Demonstração ▼

Um operador unitário é normal, pois \(U^\ast U=UU^\ast =I\). Pelo teorema espectral complexo, ele possui uma base ortonormal de autovetores. Se \(U\bm {v}=\lambda \bm {v}\), então

\[ \lVert \bm {v}\rVert =\lVert U\bm {v}\rVert =|\lambda |\lVert \bm {v}\rVert , \]

de modo que \(|\lambda |=1\). A recíproca segue diretamente: em uma base ortonormal de autovetores, a matriz de \(U\) é diagonal e suas entradas têm módulo \(1\), logo \(U^\ast U=I\).

Corolário 13.26 (Forma Canônica das Isometrias Reais)

Todo operador ortogonal real admite uma base ortonormal na qual sua matriz é diagonal por blocos dos tipos

\[ [1],\qquad [-1],\qquad \begin{bmatrix} \cos \theta & -\operatorname {sen}\theta \\ \operatorname {sen}\theta & \cos \theta \end{bmatrix}, \quad 0\lt \theta \lt \pi . \]

Demonstração ▼

Um operador ortogonal é normal. Na forma do Teorema 13.20, cada bloco deve ser ortogonal. Nos blocos unidimensionais isso força \(\lambda =\pm 1\). Em um bloco bidimensional, \(a^2+b^2=1\); portanto, \(a=\cos \theta \) e \(b=\operatorname {sen}\theta \) para algum \(0\lt \theta \lt \pi \).

Em particular, o determinante de uma matriz ortogonal é \(1\) ou \(-1\). Os blocos de rotação têm determinante \(1\); assim, o sinal do determinante registra a paridade do número de blocos \([-1]\).

13.5 Operadores Positivos e Raízes Quadradas

Para números reais, a condição \(a\geq 0\) pode ser reconhecida pela existência de uma raiz quadrada real. O análogo para operadores exige a autoadjunção e será obtido diretamente do teorema espectral.

Definição 13.27 (Operador Positivo)

Um operador \(A\in \operatorname {Hom}(V,V)\) é positivo semidefinido, ou semipositivo, se \(A=A^\ast \) e

\[ \langle A\bm {v},\bm {v}\rangle \geq 0 \qquad \text{para todo }\bm {v}\in V. \]

Ele é positivo definido se a desigualdade é estrita para todo \(\bm {v}\neq \vec0\). Escreveremos \(A\geq 0\) e \(A\gt 0\), respectivamente.

Exemplo 13.28

Se \(P\) é a projeção ortogonal sobre um subespaço \(S\), então

\[ \langle P\bm {v},\bm {v}\rangle =\langle P\bm {v},P\bm {v}\rangle =\lVert P\bm {v}\rVert ^2\geq 0. \]

Logo \(P\geq 0\). Também vimos na Proposição 13.5 que \(T^\ast T\geq 0\) para todo operador \(T\).

Teorema 13.29 (Critérios de Positividade)

Para um operador \(A\in \operatorname {Hom}(V,V)\), são equivalentes:

\(A\geq 0\);
\(A\) é autoadjunto e todos os seus autovalores são não negativos;
existe um operador \(S\) tal que \(A=S^\ast S\).

Além disso, \(A\gt 0\) se, e somente se, \(A\) é autoadjunto e todos os seus autovalores são positivos.

Demonstração ▼

Se \(A\geq 0\) e \(A\bm {v}=\lambda \bm {v}\), com \(\bm {v}\neq \vec0\), então

\[ 0\leq \langle A\bm {v},\bm {v}\rangle =\lambda \lVert \bm {v}\rVert ^2. \]

Como \(A\) é autoadjunto, \(\lambda \) é real, e a desigualdade implica \(\lambda \geq 0\).

Reciprocamente, suponha que \(A\) seja autoadjunto. Sejam \(\lambda _1,\ldots ,\lambda _n\) seus autovalores, repetidos de acordo com suas multiplicidades, e suponha que todos sejam não negativos. Escolha uma base ortonormal de autovetores e defina \(S\) nessa base por

\[ S\bm {e}_j=\sqrt{\lambda _j}\, \bm {e}_j. \]

Então \(S=S^\ast \) e \(A=S^2=S^\ast S\).

Por fim, se \(A=S^\ast S\), então \(A\) é autoadjunto e

\[ \langle A\bm {v},\bm {v}\rangle =\langle S\bm {v},S\bm {v}\rangle =\lVert S\bm {v}\rVert ^2\geq 0. \]

Isso fecha o ciclo de equivalências. A afirmação sobre positividade definida segue pelo mesmo cálculo: em uma base ortonormal de autovetores, \(\langle A\bm {v},\bm {v}\rangle \) é uma soma dos termos \(\lambda _j|x_j|^2\).

Teorema 13.30 (Raiz Quadrada Positiva)

Todo operador \(A\geq 0\) possui uma única raiz quadrada positiva semidefinida. Ela é denotada por \(\sqrt A\).

Demonstração ▼

\[ A=\sum _{j=1}^r\lambda _jP_j, \qquad \lambda _j\geq 0, \]

é a decomposição espectral de \(A\), defina

\[ \sqrt A=\sum _{j=1}^r\sqrt{\lambda _j}\, P_j. \]

Esse operador é autoadjunto, positivo semidefinido e seu quadrado é \(A\).

Para a unicidade, suponha que \(R\geq 0\) e \(R^2=A\). Como \(R\) comuta com \(A=R^2\), cada autoespaço \(E_\lambda (A)\) é invariante por \(R\). A restrição de \(R\) a esse autoespaço é positiva semidefinida e satisfaz \(R^2=\lambda I\). Seus autovalores são, portanto, não negativos e têm quadrado igual a \(\lambda \); todos são iguais a \(\sqrt\lambda \). Pelo teorema espectral, a restrição é \(\sqrt\lambda I\). Logo \(R\) coincide com o operador construído em cada autoespaço de \(A\).

Exemplo 13.31 (Cálculo de uma Raiz Quadrada)

A matriz

\[ A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]

tem autovalores \(3\) e \(1\), com autovetores unitários \(2^{-1/2}(1,1)\) e \(2^{-1/2}(1,-1)\). Aplicando a função raiz quadrada aos autovalores, obtemos

\[ \sqrt A=\frac12 \begin{bmatrix} \sqrt3+1 & \sqrt3-1 \\ \sqrt3-1 & \sqrt3+1 \end{bmatrix}. \]

A multiplicação direta confirma que \((\sqrt A)^2=A\).

13.6 Decomposição Polar

Todo número complexo não nulo pode ser escrito como \(z=u|z|\), em que \(|u|=1\). A decomposição polar substitui o módulo por um operador positivo e a fase por uma isometria.

Definição 13.32 (Módulo de um Operador)

Para \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\), definimos

\[ |T|=\sqrt{T^\ast T}. \]

Lema 13.33

Para todo \(\bm {v}\in V\),

\[ \lVert T\bm {v}\rVert =\lVert |T|\bm {v}\rVert . \]

Consequentemente, \(\ker T=\ker |T|\).

Demonstração ▼

Como \(|T|\) é autoadjunto e \(|T|^2=T^\ast T\),

\begin{align*} \lVert T\bm {v}\rVert ^2 & =\langle T^\ast T\bm {v},\bm {v}\rangle =\langle |T|^2\bm {v},\bm {v}\rangle =\langle |T|\bm {v},|T|\bm {v}\rangle =\lVert |T|\bm {v}\rVert ^2. \end{align*}

A igualdade dos núcleos segue porque um vetor tem norma zero se, e somente se, é o vetor nulo.

Teorema 13.34 (Decomposição Polar)

Para todo \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\), existe uma isometria \(U\) tal que

\[ T=U|T|. \]

Se \(T\) é invertível, então \(U\) é única e \(U=T|T|^{-1}\). Se \(T\) não é invertível, a extensão de \(U\) aos complementos ortogonais, e portanto a decomposição, pode não ser única.

Demonstração ▼

Defina inicialmente

\[ U_0:\operatorname {im}|T|\longrightarrow \operatorname {im}T, \qquad U_0(|T|\bm {v})=T\bm {v}. \]

O Lema 13.33 mostra simultaneamente que essa aplicação é bem definida e preserva normas. Ela é sobrejetiva por construção. Escolha uma base ortonormal de \(\operatorname {im}|T|\) e transporte-a por \(U_0\) para uma base ortonormal de \(\operatorname {im}T\). Como esses subespaços têm a mesma dimensão, podemos completar as duas bases nos respectivos complementos ortogonais e definir uma isometria \(U:V\to V\) que estende \(U_0\). Para todo \(\bm {v}\in V\),

\[ U|T|\bm {v}=U_0|T|\bm {v}=T\bm {v}. \]

Se \(T\) é invertível, então \(|T|\) também é invertível e a igualdade \(T=U|T|\) força \(U=T|T|^{-1}\). No caso singular, a construção deixa livre a escolha da isometria entre os complementos ortogonais.

Exemplo 13.35

Considere a matriz real

\[ A=\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}. \]

Temos

\[ A^{\mathrm{t}}A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}, \qquad |A|=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}. \]

Portanto,

\[ A= \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{U} \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}}_{|A|}. \]

O primeiro fator é uma rotação de \(90^\circ \); o segundo alonga duas direções ortogonais por fatores \(1\) e \(2\).

13.7 Decomposição em Valores Singulares

A diagonalização espectral se aplica a operadores normais e atua no mesmo espaço na partida e na chegada. A decomposição em valores singulares não exige normalidade e vale também para transformações \(T:V\to W\) entre espaços de dimensões diferentes. Em vez de usar uma única base de autovetores, ela escolhe uma base ortonormal no domínio e outra no contradomínio.

Teorema 13.36 (Decomposição em Valores Singulares)

Seja \(T:V\to W\) uma transformação linear, com \(\dim V=n\), \(\dim W=m\) e \(r=\operatorname {posto}T\). Existem bases ortonormais

\[ \underline{\textsc{v}}=(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_n) \quad \text{e}\quad \underline{\textsc{u}}=(\bm {u}_1,\ldots ,\bm {u}_m) \]

e números unicamente determinados

\[ s_1\geq s_2\geq \cdots \geq s_r\gt 0 \]

tais que

\[ T\bm {v}_j=s_j\bm {u}_j\quad (1\leq j\leq r), \qquad T\bm {v}_j=\vec0\quad (r\lt j\leq n). \]

Os números \(s_1,\ldots ,s_r\) são os valores singulares de \(T\).

Demonstração ▼

O operador \(T^\ast T\) em \(V\) é positivo semidefinido. Pelo teorema espectral, existe uma base ortonormal \(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_n\) de autovetores, ordenada de modo que

\[ T^\ast T\bm {v}_j=s_j^2\bm {v}_j \quad (1\leq j\leq r), \qquad T^\ast T\bm {v}_j=\vec0 \quad (j\gt r), \]

onde \(s_1\geq \cdots \geq s_r\gt 0\). O número de autovalores positivos é \(r\), pois \(\ker (T^\ast T)=\ker T\).

Para \(1\leq j\leq r\), defina

\[ \bm {u}_j=\frac1{s_j}T\bm {v}_j. \]

Esses vetores são ortonormais. De fato,

\begin{align*} \langle \bm {u}_i,\bm {u}_j\rangle & =\frac1{s_is_j}\langle T\bm {v}_i,T\bm {v}_j\rangle \\ & =\frac1{s_is_j}\langle T^\ast T\bm {v}_i,\bm {v}_j\rangle =\frac{s_i}{s_j}\langle \bm {v}_i,\bm {v}_j\rangle . \end{align*}

A última expressão vale \(1\) se \(i=j\) e \(0\) caso contrário. Complete \(\bm {u}_1,\ldots ,\bm {u}_r\) a uma base ortonormal de \(W\).

Se \(j\gt r\), então

\[ \lVert T\bm {v}_j\rVert ^2 =\langle T^\ast T\bm {v}_j,\bm {v}_j\rangle =0, \]

logo \(T\bm {v}_j=\vec0\). Isso prova a existência da decomposição. Finalmente, os quadrados dos valores singulares positivos são exatamente os autovalores positivos de \(T^\ast T\), contados com multiplicidade; por isso, a lista ordenada \(s_1,\ldots ,s_r\) é única.

Corolário 13.37 (Forma Matricial da SVD)

Para toda matriz \(A\in \mathcal M_{m,n}(\mathbb {K})\), existem matrizes unitárias — ortogonais, no caso real — \(Q\in \mathcal M_{m,m}(\mathbb {K})\) e \(P\in \mathcal M_{n,n}(\mathbb {K})\) tais que

\[ A=Q\Sigma P^\ast , \]

onde \(\Sigma \) é a matriz \(m\times n\) cuja diagonal começa com os valores singulares \(s_1,\ldots ,s_r\) e cujas demais entradas são nulas.

Demonstração ▼

Tome para colunas de \(P\) os vetores da base ortonormal do domínio e para colunas de \(Q\) os vetores da base ortonormal do contradomínio fornecidas pelo Teorema 13.36. Nessa escolha de bases, \(Q^\ast AP=\Sigma \). Multiplicando à esquerda por \(Q\) e à direita por \(P^\ast \), obtemos a fatoração anunciada.

Exemplo 13.38

Para

\[ A=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}, \qquad A^{\mathrm{t}}A=\begin{bmatrix} 25 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

Os valores singulares são \(5\) e \(0\). Podemos escolher

\[ P=I, \qquad Q=\begin{bmatrix} 3/5 & -4/5 \\ 4/5 & 3/5 \end{bmatrix}, \qquad \Sigma =\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

Então \(A=Q\Sigma P^{\mathrm{t}}\). A primeira direção do domínio é transformada em uma direção do contradomínio com fator de alongamento \(5\); a segunda pertence ao núcleo.

Exemplo 13.39 (Uma SVD de posto completo)

Considere agora

\[ A=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}. \]

Aqui as direções singulares não são os vetores da base canônica. Primeiro,

\[ A^{\mathrm{t}}A =\begin{bmatrix} 25 & 20 \\ 20 & 25 \end{bmatrix}. \]

Os autovalores são \(45\) e \(5\), com autovetores unitários

\[ \bm {v}_1=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \bm {v}_2=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}. \]

Logo os valores singulares são \(s_1=3\sqrt5\) e \(s_2=\sqrt5\). As direções correspondentes no contradomínio são

\[ \bm {u}_1=\frac{A\bm {v}_1}{s_1} =\frac1{\sqrt{10}}\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \qquad \bm {u}_2=\frac{A\bm {v}_2}{s_2} =\frac1{\sqrt{10}}\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}. \]

Portanto,

\[ A= \underbrace{\frac1{\sqrt{10}} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}}_{Q} \underbrace{\begin{bmatrix} 3\sqrt5 & 0 \\ 0 & \sqrt5 \end{bmatrix}}_{\Sigma } \underbrace{\frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}}_{P^{\mathrm{t}}}. \]

Este exemplo separa as três etapas geométricas da SVD. Primeiro mudam-se ortonormalmente as direções do domínio; depois se aplicam dois alongamentos distintos; por fim, mudam-se ortonormalmente as direções do contradomínio.

A construção da decomposição em valores singulares parte do operador positivo \(T^\ast T\). O teorema espectral fornece uma base ortonormal de autovetores desse operador, e os valores singulares descrevem os fatores de alongamento de \(T\) nas direções correspondentes. Assim, a representação de \(T\) se reduz a mudanças ortonormais de coordenadas e a uma matriz diagonal, possivelmente retangular.

Fundamentos

Exercício 13.1

Classifique cada matriz abaixo como autoadjunta, normal, unitária ou ortogonal e positiva semidefinida, quando essas expressões fizerem sentido. Uma matriz pode pertencer a mais de uma classe.

\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix}. \]

Nos três primeiros casos, trabalhe sobre \(\mathbb {R}\); nos dois últimos, sobre \(\mathbb {C}\).

Exercício 13.2

Seja \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\). Prove que \(T\) é normal se, e somente se,

\[ \lVert T\bm {v}\rVert =\lVert T^\ast \bm {v}\rVert \qquad \text{para todo }\bm {v}\in V. \]

Sugestão. Aplique a identidade de polarização ao operador \(T^\ast T-TT^\ast \).

Exercício 13.3

Seja \(T\) normal.

Prove que, se \(T\) é nilpotente, então \(T=0\).
Prove que, se \(T^2=T\), então \(T\) é a projeção ortogonal sobre \(\operatorname {im}T\).

Exercício 13.4

Considere

\[ A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}. \]

Encontre uma base ortonormal de autovetores, escreva a decomposição espectral de \(A\) e obtenha uma fórmula fechada para \(A^m\), com \(m\geq 1\).

Exercício 13.5

Seja \(U\in \operatorname {Hom}(V,V)\). Prove que \(U\) é simultaneamente autoadjunto e unitário — ortogonal, no caso real — se, e somente se, existe uma projeção ortogonal \(P\) tal que

\[ U=2P-I. \]

Interprete geometricamente a ação de \(U\) sobre \(\operatorname {im}P\) e \(\ker P\).

Consolidação

Exercício 13.6

Seja \(T\) normal complexo, ou autoadjunto real, com autovalores distintos \(\lambda _1,\ldots ,\lambda _r\). Prove que a projeção espectral sobre \(E_{\lambda _j}\) é dada por

\[ P_j=\prod _{k\neq j} \frac{T-\lambda _kI}{\lambda _j-\lambda _k}. \]

Conclua que toda função definida no espectro de \(T\) pode ser representada por um polinômio em \(T\).

Exercício 13.7

Sejam \(T_1,\ldots ,T_s\) operadores autoadjuntos que comutam dois a dois. Prove, por indução em \(s\), que existe uma base ortonormal formada por autovetores simultâneos de todos eles.

Exercício 13.8

Se \(A\geq 0\), prove que \(\sqrt A\) comuta com todo operador que comuta com \(A\). Mostre também que

\[ \ker \sqrt A=\ker A \qquad \text{e}\qquad \operatorname {im}\sqrt A=\operatorname {im}A. \]

Exercício 13.9

Use a forma canônica real do Teorema 13.20 para provar:

o determinante de um operador normal real é o produto dos escalares \(\lambda \) dos blocos unidimensionais pelos números \(a^2+b^2\) dos blocos bidimensionais; conclua que o operador é invertível se, e somente se, nenhum bloco unidimensional é \([0]\);
ele é ortogonal se, e somente se, os blocos unidimensionais são \([1]\) ou \([-1]\) e, em cada bloco bidimensional, \(a^2+b^2=1\).

Exercício 13.10

Na construção da decomposição polar, prove que

\[ \operatorname {im}|T|=(\ker T)^\perp . \]

Descreva todas as escolhas possíveis para o fator unitário ou ortogonal \(U\) quando \(T\) é singular e conclua que esse fator é único se, e somente se, \(T\) é invertível.

Aprofundamento

Exercício 13.11

Calcule uma decomposição em valores singulares da matriz

\[ A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}. \]

Determine explicitamente matrizes ortogonais \(Q\) e \(P\) e uma matriz \(\Sigma \) tais que \(A=Q\Sigma P^{\mathrm{t}}\).

Exercício 13.12

Prove que \(T\) e \(T^\ast \) têm os mesmos valores singulares positivos, com as mesmas multiplicidades. Relacione as bases singulares de um operador com as de sua adjunta.

Exercício 13.13

\[ T\bm {v}_j=s_j\bm {u}_j\quad (1\leq j\leq r) \]

é uma SVD de \(T\), defina o operador \(T^+:W\to V\) por

\[ T^+\bm {u}_j=s_j^{-1}\bm {v}_j\quad (1\leq j\leq r) \]

e por zero no complemento ortogonal de \(\operatorname {im}T\). Prove que \(TT^+\) é a projeção ortogonal sobre \(\operatorname {im}T\), que \(T^+T\) é a projeção ortogonal sobre \((\ker T)^\perp \) e que

\[ TT^+T=T, \qquad T^+TT^+=T^+. \]

O operador \(T^+\) é chamado de pseudoinversa de Moore–Penrose.

Exercício 13.14

Seja \(A=Q\Sigma P^\ast \) uma SVD e sejam \(s_1\geq \cdots \geq s_r\gt 0\) seus valores singulares. Para \(k\lt r\), substitua em \(\Sigma \) os valores \(s_{k+1},\ldots ,s_r\) por zero e denote por \(A_k\) a matriz resultante. Prove que \(A_k\) tem posto \(k\) e minimiza \(\lVert A-B\rVert _{\mathrm F}\) entre todas as matrizes \(B\) de posto no máximo \(k\), onde

\[ \lVert C\rVert _{\mathrm F}^2=\sum _{i,j}|c_{ij}|^2. \]

Além disso, mostre que o valor mínimo é \(\sqrt{s_{k+1}^2+\cdots +s_r^2}\). Sugestão. Use a invariância da norma de Frobenius por multiplicação unitária. Se \(R\) é a projeção ortogonal sobre \(\operatorname {im}B\), compare \(B\) com \(RA\) e use \(\sum _j\lVert R\bm {u}_j\rVert ^2\leq k\) para uma base de vetores singulares à esquerda.

Exercício 13.15

Sejam \(S\) e \(T\) operadores normais em um espaço complexo e suponha que \(ST=TS\). Prove que existe uma base ortonormal de autovetores simultâneos de \(S\) e \(T\). Estenda o argumento a uma família finita de operadores normais que comutam dois a dois.