A aplicação nula é bilinear. Se \(F,G\in \operatorname {Bil}(V,W;Z)\) e \(c\in \mathbb {K}\), devemos verificar que \(F+G\) e \(cF\) continuam lineares em cada variável. Para a primeira variável, por exemplo,

e

Os mesmos cálculos na segunda variável completam a verificação. As demais propriedades de espaço vetorial são herdadas do espaço de todas as funções de \(V\times W\) em \(Z\).

Para a primeira variável,

A demonstração para a segunda variável é idêntica.

Se \(\pi _k:Z\to \mathbb {K}\) é o funcional que fornece a \(k\)-ésima coordenada na base \(\underline{\textsc{z}}\), então \(F_k=\pi _k\circ F\). Logo, se \(F\) é bilinear, a Proposição 14.8 mostra que cada \(F_k\) é bilinear.

Reciprocamente, se todas as funções \(F_k\) são bilineares, a linearidade em cada variável de \(F\) segue da linearidade de cada coordenada e da unicidade da representação na base \(\underline{\textsc{z}}\).

Escreva

A bilinearidade permite expandir uma variável de cada vez:

Essa soma dupla é precisamente o produto matricial \([\bm {v}]_{\underline{\textsc{v}}}^{\mathrm{t}}G[\bm {w}]_{\underline{\textsc{w}}}\).

Reciprocamente, dado \(G\), o Exemplo 14.4 mostra que a fórmula define uma forma bilinear. Seus valores nos pares \((\bm {v}_i,\bm {w}_j)\) são as entradas de \(G\), de modo que a forma é única.

Escolhidas bases de \(V\), \(W\) e \(Z\), uma aplicação bilinear \(F:V\times W\to Z\) fica determinada pelos coeficientes das imagens \(F(\bm {v}_i,\bm {w}_j)\) na base de \(Z\). Há \((\dim V)(\dim W)(\dim Z)\) coeficientes, que podem ser escolhidos arbitrariamente. O critério por coordenadas garante que cada escolha produz uma aplicação bilinear.

Pela definição das matrizes de mudança de base,

Substituindo essas relações na representação matricial de \(g\), obtemos

Pela unicidade da matriz que representa a forma nas novas bases, \(G'=P^{\mathrm{t}}GQ\).

A uma forma \(g\in \operatorname {Bil}(V,W)\) associamos a transformação

Para cada \(\bm {v}\), a função \(g_L(\bm {v})\) é um funcional em \(W\) porque \(g\) é linear na segunda variável. A linearidade de \(g_L\) segue da linearidade de \(g\) na primeira variável.

Reciprocamente, se \(T\in \operatorname {Hom}(V,W^\ast )\), definimos

A linearidade de \(T\) fornece a linearidade na primeira variável, e o fato de \(T(\bm {v})\) ser um funcional fornece a linearidade na segunda. Logo, \(g_T\) é bilinear. As construções \(g\mapsto g_L\) e \(T\mapsto g_T\) são lineares e inversas entre si.

O segundo isomorfismo é obtido do mesmo modo, associando a \(g\) a

Um vetor \(\bm {v}\) pertence ao radical esquerdo se, e somente se,

para toda coluna \([\bm {w}]_{\underline{\textsc{w}}}\). Isso equivale a \(G^{\mathrm{t}}[\bm {v}]_{\underline{\textsc{v}}}=\vec0\). A afirmação sobre o radical direito é análoga. As fórmulas das dimensões seguem do teorema do núcleo e da imagem.

Em uma base qualquer, os radicais correspondem aos núcleos de \(G^{\mathrm{t}}\) e \(G\). Como \(G\) é quadrada,

Além disso, \(\ker g_L=\operatorname {Rad}_{\! E}(g)\) e \(\dim V=\dim V^\ast \); assim, \(g_L\) é injetiva se, e somente se, é um isomorfismo. Isso prova todas as equivalências.

Se \(g\) é alternada, então

pois os termos diagonais são nulos. Logo, \(g(\bm {u},\bm {v})=-g(\bm {v},\bm {u})\).

Reciprocamente, se \(g\) é antissimétrica,

e, portanto, \(2g(\bm {v},\bm {v})=0\). Quando a característica é diferente de \(2\), segue que \(g(\bm {v},\bm {v})=0\).

Em característica \(2\), temos \(-1=1\), de modo que simetria e antissimetria expressam a mesma igualdade, mas essa igualdade não força os valores diagonais a serem nulos. Por exemplo, a forma em \(\mathbb {K}^2\) dada por

tem matriz \(\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]\). Ela é simétrica e, portanto, também antissimétrica em característica \(2\), mas \(g(\bm {e}_1,\bm {e}_1)=1\); logo não é alternada.

As identidades \(g_s^{\mathrm{t}}=g_s\) e \(g_a^{\mathrm{t}}=-g_a\) seguem diretamente das definições; pela Proposição 14.28, \(g_a\) é alternada. Além disso, \(g_s+g_a=g\).

Se \(g=s+a\) com \(s\) simétrica e \(a\) antissimétrica, então \(g^{\mathrm{t}}=s-a\). Somando e subtraindo as duas igualdades, obtemos necessariamente \(s=g_s\) e \(a=g_a\).

A entrada \((i,j)\) da matriz de \(g^{\mathrm{t}}\) é \(g^{\mathrm{t}}(\bm {v}_i,\bm {v}_j)=g(\bm {v}_j,\bm {v}_i)\), que é a entrada \((j,i)\) de \(G\). Isso prova o primeiro item, e os dois itens seguintes seguem imediatamente.

Se \(g\) é alternada, ela é antissimétrica e \(g(\bm {v}_i,\bm {v}_i)=0\) para todo \(i\). Reciprocamente, se \(G^{\mathrm{t}}=-G\) e sua diagonal é nula, então, para \(\bm {x}=(x_1,\ldots ,x_n)^{\mathrm{t}}\), os termos \(g_{ij}x_ix_j\) e \(g_{ji}x_jx_i\) se cancelam aos pares, enquanto os termos diagonais são nulos. Logo \(\bm {x}^{\mathrm{t}}G\bm {x}=0\).

No caso sesquilinear, a mesma comparação de entradas mostra que a matriz da forma adjunta é \(\overline H^{\mathrm{t}}\).

Considere a aplicação

No caso bilinear, \(T\) é linear; no caso hermitiano, é conjugado-linear. Neste último caso, podemos considerar \(T\) como uma transformação linear do espaço conjugado \(\overline V\) em \(U^\ast \); as dimensões de \(V\) e \(\overline V\) são iguais. Em ambos os casos, portanto, seu núcleo é \(U^\perp \) e vale a fórmula do núcleo e da imagem.

Se a restrição de \(g\) a \(U\) é não degenerada, a restrição de \(T\) a \(U\) é uma bijeção de \(U\) em \(U^\ast \) — conjugado-linear no caso hermitiano. Logo, \(T\) é sobrejetiva e

Como \(U\cap U^\perp =\{ \vec0\} \), as dimensões mostram que \(V=U\oplus U^\perp \).

Agora suponha que a forma em \(V\) seja não degenerada. A aplicação associada de \(V\) em \(V^\ast \) é uma bijeção; compondo-a com a restrição \(V^\ast \to U^\ast \), vemos que \(T\) é sobrejetiva para qualquer \(U\). Portanto, \(\dim U^\perp =\dim V-\dim U\). A inclusão \(U\subseteq (U^\perp )^\perp \) é imediata, e

A inclusão entre subespaços de mesma dimensão é uma igualdade.

A ideia é a mesma nos três casos: encontrar um pequeno subespaço não degenerado, separá-lo por meio do Teorema 14.38 e aplicar indução ao complemento ortogonal.

No caso simétrico, suponha que \(g\) não seja nula. A identidade de polarização mostra que existe \(\bm {v}\in V\) com \(g(\bm {v},\bm {v})\neq 0\); caso contrário, \(g\) seria identicamente nula. A reta \(U=\langle \bm {v}\rangle \) é não degenerada. Logo \(V=U\oplus U^\perp \), e repetimos o argumento em \(U^\perp \). Quando a restrição restante se torna nula, completamos a base com uma base de seu radical. Isso produz a matriz diagonal do item a.

Para uma forma hermitiana não nula, também existe \(\bm {v}\) com \(h(\bm {v},\bm {v})\neq 0\). De fato, se todos os valores diagonais fossem nulos, as expansões de \(h(\bm {u}+\bm {v},\bm {u}+\bm {v})\) e \(h(\bm {u}+i\bm {v},\bm {u}+i\bm {v})\) mostrariam, respectivamente, que as partes real e imaginária de \(h(\bm {u},\bm {v})\) são nulas. A reta gerada por \(\bm {v}\) é, portanto, não degenerada. Após multiplicar \(\bm {v}\) por um escalar adequado, fazemos \(h(\bm {v},\bm {v})\) igual a \(1\) ou \(-1\). Decompomos novamente \(V=U\oplus U^\perp \) e aplicamos indução.

Finalmente, suponha que \(\omega \) seja alternada e não nula. Existem \(\bm {u},\bm {v}\) com \(\omega (\bm {u},\bm {v})\neq 0\). Reescalando \(\bm {u}\), podemos supor que \(\omega (\bm {u},\bm {v})=1\). Os vetores \(\bm {u},\bm {v}\) são linearmente independentes, e a matriz da restrição ao plano \(U=\langle \bm {u},\bm {v}\rangle \) é \(J\); em particular, \(U\) é não degenerado. Assim, \(V=U\oplus U^\perp \), e a indução fornece os demais blocos. A parte restante, quando nula, é o radical.

Se a forma alternada é não degenerada, não há bloco nulo na decomposição do Teorema 14.41. Como cada bloco \(J\) tem dimensão dois, \(\dim V=2s\).

A existência das formas normais segue do Teorema 14.41. No caso real simétrico, cada coeficiente diagonal não nulo pode ser normalizado para \(1\) ou \(-1\). No caso hermitiano, os coeficientes diagonais são reais e a mesma normalização é possível. No caso bilinear simétrico complexo, todo número complexo não nulo possui raiz quadrada, de modo que todos os coeficientes não nulos podem ser normalizados para \(1\). A forma alternada já aparece em blocos \(J\).

Resta justificar a unicidade de \(p\) e \(q\) nos dois primeiros casos. Considere uma decomposição

na qual a forma é positiva definida em \(V_+\), negativa definida em \(V_-\) e nula em \(V_0\). Se \(L\subseteq V\) é um subespaço no qual a forma é positiva definida, a projeção \(L\to V_+\) é injetiva. De fato, um vetor não nulo no núcleo dessa projeção pertenceria a \(V_-\oplus V_0\) e teria valor quadrático menor ou igual a zero, uma contradição. Logo, \(\dim L\leq \dim V_+=p\). Como \(V_+\) tem dimensão \(p\), esse número é a maior dimensão possível de um subespaço positivo definido e, portanto, é intrínseco à forma. O mesmo argumento aplicado a \(-g\) mostra que \(q\) também é intrínseco. Por fim, \(r=\dim \operatorname {Rad}(g)\).

Nos itens c e d, o posto determina o número de blocos não nulos: um por coordenada no caso simétrico complexo e metade do posto no caso alternado. A dimensão determina então o tamanho do bloco nulo. Formas com os mesmos invariantes possuem a mesma matriz normal e, por isso, são isométricas.