Capítulo 12

Aplicações

As formas canônicas permitem calcular potências e funções de operadores. Em tempo discreto, as potências de uma matriz descrevem recorrências e sistemas lineares; em tempo contínuo, a exponencial do operador fornece as soluções de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. O estudo dos limites e o teorema de Perron–Frobenius permitem relacionar essas expressões ao comportamento assintótico das soluções.

12.1 Equações de Recorrência

Quando o tempo é discreto, o estado seguinte é calculado a partir de estados anteriores. Essa regra produz uma relação de recorrência; sua versão linear será estudada por meio de potências de matrizes.

Definição 12.1 (Relação de recorrência)

Uma relação de recorrência expressa cada termo de uma sequência em função de termos anteriores. Ela é de primeira ordem quando tem a forma

\[ u_n=\varphi (n,u_{n-1}),\qquad n\gt 0, \]

com \(\varphi :\mathbb {N}\times \mathbb {K}\to \mathbb {K}\). Fixado \(u_0\), a relação determina sucessivamente todos os demais termos.

Mais geralmente, uma recorrência de ordem \(k\) tem a forma

\[ u_n=\varphi (n,u_{n-1},u_{n-2},\ldots ,u_{n-k}),\qquad n\geq k, \]

onde \(\varphi :\mathbb {N}\times \mathbb {K}^k\to \mathbb {K}\). Nesse caso, são necessários \(k\) valores iniciais.

Exemplo 12.2 (Fibonacci)

A sequência de Fibonacci é definida recursivamente pela fórmula

\[ F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}, \]

e valores iniciais

\[ F_{1}=1,\; F_{2}=1. \]

Os primeiros valores são: \(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,\ldots \)

Exemplo 12.3 (Mapa Logístico)

\[ \displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}) \]

com uma constante \(r\) dada; fixado o termo inicial \(x_0\), cada termo subsequente é determinado pela relação.

Figura 12.1 x_n= 3.8 x_(n-1)(1-x_(n-1)) — Figura 12.1 \(x_n= 3.8 x_{n-1}(1-x_{n-1})\)

Numa equação a diferenças finitas, a incógnita é uma sequência \((u_0,u_1,\ldots ,u_k,\ldots )\) cujos termos devem satisfazer uma relação de recorrência dada.

Uma equação a diferenças finitas é dita linear de ordem \(k\) se puder ser escrita em termos dos parâmetros \(a_1, \ldots , a_k\) e \(b\) como

\[ u_{n} = a_{1} u_{n-1}+\cdots +a_{k} u_{n-k}+b \]

A equação é dita homogênea se \(b = 0\) e não homogênea se \(b \neq 0\).

Dado o valor inicial \(u_0\), uma recorrência de primeira ordem determina sucessivamente \(u_1,u_2,\ldots \). De modo análogo, fixados \(u_0\) e \(u_1\), uma recorrência de segunda ordem determina todos os termos seguintes.

Teorema 12.4 (Existência e Unicidade)

Uma relação de recorrência de ordem \(k\)

\[ u_n = \varphi (n, u_{n-1}, u_{n-2}, \ldots , u_{n-k}) \quad \text{ para } \quad n \ge k, \]

juntamente com \(k\) valores iniciais \(u_0, u_1,\ldots u_{k-1}\) possui uma única solução.

Demonstração ▼

Os valores iniciais determinam os termos de índices \(0,\ldots ,k-1\). Depois disso, \(u_k\) é determinado por esses valores, \(u_{k+1}\) é determinado pelos \(k\) termos anteriores, e assim sucessivamente. Esse procedimento constrói uma solução. Ele também prova a unicidade por indução: duas soluções com os mesmos valores iniciais coincidem nos primeiros \(k\) índices e, se coincidem até o índice \(n-1\), a recorrência obriga que coincidam também no índice \(n\).

Teorema 12.5

O conjunto das soluções de uma equação linear homogênea de ordem \(k\)

\[ u_{n} = a_{1} u_{n-1}+\cdots +a_{k} u_{n-k} \]

é um espaço vetorial de dimensão \(k\).

Demonstração ▼

As operações são feitas termo a termo, por isso a soma de duas soluções e o produto de uma solução por um escalar ainda satisfazem a recorrência homogênea. Considere

\[ \Phi :\mathcal S\longrightarrow \mathbb {K}^k,\qquad \Phi ((u_n))=(u_0,\ldots ,u_{k-1}), \]

onde \(\mathcal S\) é o espaço das soluções. Pelo teorema anterior, cada escolha de valores iniciais determina uma única solução. Logo \(\Phi \) é um isomorfismo linear e \(\dim \mathcal S=k\).

Exemplo 12.6 (Progressão Aritmética)

A solução da equação de primeira ordem \(u_{k+1}=u_k+b\), com valor inicial \(u_0\), é a sequência \((u_0,u_0+b,u_0+2b,\ldots )\), cujo termo geral é \(u_k=u_0+kb\). Trata-se, portanto, de uma progressão aritmética de razão \(b\).

Exemplo 12.7 (Progressão Geométrica)

A equação \(u_{k+1}=au_{k}\) com valor inicial \(u_{0}\) tem como solução a sequência

\[ (u_{0},\ au_{0},\ a^{2}u_{0},\ \ldots ,\ a^{k}u_{0},\ \ldots ) \]

cujo termo geral é \(u_{k}=a^{k}u_{0}\), ou seja, uma progressão geométrica de razão \(a\).

Exemplo 12.8

Seja \(u_{k+1}=au_k+b\) uma equação linear não homogênea de primeira ordem, com coeficientes constantes. A partir do valor inicial \(u_0\), obtemos sucessivamente:

\begin{align*} u_{1} & =au_{0}+b, \\ u_{2} & =au_{1}+b=a^{2}u_{0}+(1+a)b, \\ u_{3} & =a u_{2}+b=a^{3}u_{0}+(1+a+a^{2})b, \\ & \vdots \\ u_{k} & =au_{k-1}+b=a^{k}u_{0}+(1+a+\cdots +a^{k-1})b \end{align*}

Portanto a solução geral da equação \(u_{k+1}=au_{k}+b\) é

\[ u_k=\begin{cases} a^ku_0+\dfrac {1-a^k}{1-a}\, b,& a\neq 1,\\[4pt] u_0+kb,& a=1. \end{cases} \]

No caso geral, \( a \) e \( c \) serão funções de \( n \) e temos o seguinte resultado.

Teorema 12.9

Sejam \( a (n) \) e \( c (n), n \in \mathbb {N}\), sejam sequências reais. Então a equação da diferença linear de primeira ordem

\[ u (n+1) = a (n) u (n)+c (n) \text{ com condição inicial} u (0) = u_{0} \]

tem solução

\[ u (n) = (\displaystyle \prod _{k = 0}^{n-1} a (k)) u_{0}+\sum _{k = 0}^{n-1} (\prod _{j = k+1}^{n-1} a (j)) c (k) \]

E a solução é única.

Demonstração ▼

Substituindo \(n=0\) na fórmula e adotando a convenção de que o produto vazio vale \(1\), obtemos \(u(0)=u_0\). Para o passo seguinte, isolamos o termo \(k=n\) da soma e fatoramos \(a(n)\) nos demais termos; isso fornece diretamente

\[ u(n+1)=a(n)u(n)+c(n). \]

Logo a fórmula define uma solução. A unicidade segue por indução: duas soluções com o mesmo valor inicial coincidem em \(n=0\) e, se coincidem em \(n\), a recorrência mostra que coincidem em \(n+1\).

A equação \(u_{k+1}=au_k+b\) também pode ser vista como uma equação linear no espaço das sequências. Defina \(L(\bm {u})_k=u_{k+1}-au_k\). Então a recorrência equivale a \(L(\bm {u})=\vec b\), onde \(\vec b=(b,b,\ldots )\).

Teorema 12.10

A solução geral da equação \(A\vec{x}=\vec{b}\) é a soma de uma solução particular com um elemento qualquer do núcleo de \(A\), isto é, com uma solução da equação homogênea \(A\vec{x}=\vec{0}\).

Demonstração ▼

Se \(\bm {x}_p\) é uma solução particular, então \(A\bm {x}=\vec b\) equivale a \(A(\bm {x}-\bm {x}_p)=\vec0\). Portanto, \(\bm {x}=\bm {x}_p+\bm {z}\) com \(\bm {z}\in \ker A\), e todo vetor dessa forma é solução.

Se \(a\neq 1\), a sequência constante \(\widehat c=(c,c,\ldots )\) é uma solução particular quando \((1-a)c=b\), isto é, \(c=b/(1-a)\). O núcleo de \(L\) é formado pelas progressões geométricas \((p,ap,a^2p,\ldots )\). Somando a solução particular e impondo o valor inicial, recuperamos

\[ u_k=a^ku_0+\frac{1-a^k}{1-a}\, b. \]

12.1.1 Sistemas Lineares

Num espaço vetorial \(V\), uma recorrência linear de primeira ordem é determinada por um operador \(T:V\to V\) e pela regra

\[ \bm {v}_{k+1}=T\bm {v}_{k} \]

Esse é um sistema linear homogêneo de equações a diferenças com coeficientes constantes.

Dado \(\bm {v}_0\in V\), a única solução é \(\bm {v}_k=T^k\bm {v}_0\).

O problema prático reduz-se, portanto, ao cálculo das potências sucessivas de \(T\). Se \(T\) for diagonalizável, escrevemos o vetor inicial como

\[ \bm {v}_{0}=c_{1}\bm {u}_{1}+\cdots +c_{n}\bm {u}_{n}, \]

onde \(T\bm {u}_i=\lambda _i\bm {u}_i\). Segue-se que

\[ T^{k}\bm {v}_{0}=c_{1}\lambda _{1}^{k}\bm {u}_{1}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{k}\bm {u}_{n}. \]

Teorema 12.11

Um sistema linear não homogêneo de \(k\) equações de diferenças de primeira ordem, com coeficientes constantes e termo independente constante, pode ser escrito como

\begin{align*} u_{1} (n+1) & = a_{11} u_{1} (n)+a_{12} u_{2} (n)+\cdots +a_{1k} u_{k} (n)+c_{1} \\ u_{2} (n+1) & = a_{21} u_{1} (n)+a_{22} u_{2} (n)+\cdots +a_{2k} u_{k} (n)+c_{2} \\ & \vdots \\ u_{k} (n+1) & = a_{k1} u_{1} (n)+a_{k2} u_{2} (n)+\cdots +a_{kk} u_{k} (n)+c_{ k}. \end{align*}

Usando a notação matricial

\[ \bm {u}(n) = \left[\begin{array}{c} u_{1} (n) \\ u_{2} (n) \\ \vdots \\ u_{k} (n) \end{array} \right],\qquad A = \left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 k} \\ a_{21} & a_{22} & & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & & \\ a_{k 1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{array} \right],\qquad \vec{c} = \left[\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{k} \end{array} \right] \]

Então a solução do sistema escrito como

\[ \bm {u}(n+1) = A \bm {u}(n)+\vec{c} \]

\[ \displaystyle \bm {u}(n) = A^{n} \bm {u}(0)+\sum _{j = 0}^{n-1} A^{n-1-j} \vec{c}, \qquad n\in \mathbb {N}. \]

Demonstração ▼

A forma matricial decorre diretamente da definição do produto de matrizes. Para a fórmula da solução, o caso \(n=0\) é imediato. Se ela vale para \(n\), então

\begin{align*} \bm {u}(n+1) & =A\bm {u}(n)+\vec c\\ & =A^{n+1}\bm {u}(0)+\sum _{j=0}^{n-1}A^{n-j}\vec c+\vec c\\ & =A^{n+1}\bm {u}(0)+\sum _{j=0}^{n}A^{n-j}\vec c, \end{align*}

que é a fórmula desejada no índice \(n+1\). A mesma indução mostra que a solução é única para cada valor inicial.

Quando \(A\) não é diagonalizável, a forma de Jordan ainda torna o cálculo de \(A^n\) explícito: em cada bloco \(J=\lambda \operatorname {I}+N\), usamos o binômio e a nilpotência de \(N\),

\[ J^n=\sum _{j=0}^{s-1}\binom {n}{j}\lambda ^{n-j}N^j, \]

onde \(s\) é o tamanho do bloco.

12.2 Limites de Operadores

Para definir limites de operadores em dimensão finita, basta escolher bases e acompanhar a convergência das entradas de suas matrizes. Começamos, portanto, com matrizes sobre \(\mathbb {R}\) ou \(\mathbb {C}\).

Definição 12.12

Seja \(\mathbb {K}=\mathbb {R}\) ou \(\mathbb {C}\). Uma sequência \((A_r)\) em \(\mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\) converge para \(A\) quando cada entrada de \(A_r\) converge para a entrada correspondente de \(A\):

\[ | a_{ij}^{(r)} - a_{ij} | \rightarrow 0 \text{ quando } r \rightarrow \infty \]

para \(1\leq i,j\leq n\), onde \(A_r=[a_{ij}^{(r)}]\).

Essa definição equivale à convergência na norma

\[ \left\| A \right\| _{\infty } = \max \{ |a_{ij}|\, \mid \, 1\leq i,j\leq n\} \]

cuja distância associada é \(d(A,B)=\left\| A-B\right\| _{\infty }\). De fato,

\[ A_{n} \rightarrow A \text{ quando } n \rightarrow \infty \Leftrightarrow \left\| A_{n} -A \right\| _{\infty } \rightarrow 0 \text{ quando } n \rightarrow \infty \]

A norma do supremo possui as seguintes propriedades.

Proposição 12.13

Se \( A, B \in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K}) \) então:

\( \Vert \cdot \Vert _{\infty }\) é uma norma.
Propriedade multiplicativa: \( \Vert AB \Vert _{\infty } \leq n \cdot \Vert A \Vert _{\infty } \cdot \Vert B \Vert _{\infty }.\)
Se \( A_{r} \rightarrow A \) e \( B_{r} \rightarrow B \) na norma do \( \sup \) e \( \lambda _{r} \rightarrow \lambda \) em \( \mathbb {C}\), então:
1. \( \lambda _{r} A_{r} \rightarrow \lambda A\);
2. \( A_{r}+B_{r} \rightarrow A+B\);
3. \( A_{r} B \rightarrow AB \) e \( AB_{r} \rightarrow AB\);
4. \( A_{r} B_{r} \rightarrow AB \). Assim, a multiplicação de matrizes é uma operação contínua;
5. se \( Q \) for uma matriz invertível, \( QA_{r} Q^{- 1} \rightarrow QAQ^{- 1} \). Portanto, toda transformação de similaridade \( A \mapsto QAQ^{-1} \) é uma operação contínua no espaço das matrizes.

Demonstração ▼

As propriedades de norma seguem das propriedades do módulo em \(\mathbb {R}\) ou \(\mathbb {C}\). Para cada \(i,j\),

\[ |(AB)_{ij}|\leq \sum _{h=1}^n|a_{ih}||b_{hj}| \leq n\left\| A\right\| _\infty \left\| B\right\| _\infty , \]

o que prova a desigualdade multiplicativa. As afirmações sobre soma e produto por escalar seguem das desigualdades triangular e multiplicativa. Para o produto, note que uma sequência convergente \((A_r)\) é limitada e escreva

\[ A_rB_r-AB=A_r(B_r-B)+(A_r-A)B. \]

Os dois termos tendem a zero. O caso da similaridade é obtido tomando os fatores fixos \(Q\) e \(Q^{-1}\).

12.3 Funções de Operadores

12.3.1 Exponencial de Matrizes

Definiremos a exponencial de uma matriz por meio da série de Taylor para a exponencial real:

Definição 12.14

Seja \(A\) uma matriz \(n\times n\). Definimos \(e^{A}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\dfrac {A^{k}}{k!}\).

Teorema 12.15 (Critério de Convergência de Cauchy)

Uma sequência \( \{ A_n \} \) em \( \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\) converge para algum limite \( A_{0} = \lim _{n \rightarrow \infty } A_{ n} \) na norma \( \Vert \cdot \Vert _{\infty } \) se, e somente se, a sequência tiver a propriedade Cauchy: dado \( \epsilon \gt 0 \), podemos encontrar um \( M\gt 0 \) tal que

\[ \Vert A_{m} -A_{n} \Vert _{\infty } \lt \epsilon \text{ para todos os } m, n \geq M \]

Demonstração ▼

Se \((A_r)\) converge, a desigualdade triangular mostra que ela é de Cauchy. Reciprocamente, se \((A_r)\) é de Cauchy nessa norma, então cada sequência de entradas \((a_{ij}^{(r)})\) é de Cauchy em \(\mathbb {R}\) ou \(\mathbb {C}\) e, portanto, converge para um escalar \(a_{ij}\). Como há apenas um número finito de entradas, para cada \(\epsilon \gt 0\) existe um mesmo índice a partir do qual todas elas estão a menos de \(\epsilon \) de seus limites. Assim, \(A_r\to A=(a_{ij})\) na norma do supremo.

Teorema 12.16

A série \(e^{A}\) converge para toda matriz \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K}) \).

Demonstração ▼

Se \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\), a desigualdade multiplicativa implica \(\left\| A^k\right\| _\infty \leq n^{k-1}\left\| A\right\| _\infty ^k\) para \(k\geq 1\). Logo a série matricial é absolutamente dominada, entrada a entrada, por uma constante vezes a série escalar \(\sum _{k\geq 0}(n\left\| A\right\| _\infty )^k/k!\), que converge. Portanto, suas somas parciais formam uma sequência de Cauchy e \(e^A\) está bem definida.

Exemplo 12.17 (Exponencial da matriz nula)

Seja \(\vec0\) a matriz nula então

\[ e^{\vec0}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\dfrac {0^{n}}{n!}=I \]

Exemplo 12.18 (Exponencial da Matriz Identidade)

Como \(I^k=I\) para \(k\geq 1\), temos \(e^I=eI\).

Exemplo 12.19 (Exponencial de uma Matriz Diagonal)

De modo análogo ao exemplo anterior se

\[ D=\left[\begin{array}{rrrr} a_{1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{2} & \ldots & 0 \\ \ldots & & \ddots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{n} \end{array}\right] \text{ então } e^{D}=\left[\begin{array}{rrrr} e^{a_{1}} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e^{a_{2}} & \ldots & 0 \\ \ldots & & \ddots \\ 0 & 0 & \ldots & e^{a_{n}} \end{array}\right]\ . \]

Ou seja, para uma matriz diagonal, calcular a sua exponencial é equivalente a exponenciar cada elemento da diagonal.

Exemplo 12.20 (Matrizes Nilpotentes)

Observe que se uma matriz é nilpotente, os elementos do somatório a partir de um certo ponto são nulos, isso implica que a série de \(e^{B}\) é finita. Vejamos um exemplo:

Seja \(B=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]\), então \( B^{2}=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \) e \(B^{3}=0\) , logo:

\[ e^{B}=I+B+\frac{B^{2}}{2}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \frac12 & 1 & 1 \end{array}\right] \]

Teorema 12.21

Se \( Q = P A P^{- 1} \), então \( e^{Q } = P e^{A} P^{- 1}.\)
Se \( AB= B A \), \( e^{A+B} = e^{A} e^{B}.\)
\( e^{- A} = (e^{A})^{- 1}.\)
se \( A =\left[\begin{array}{cc} a & b \\ - b & a \end{array}\right] \) então \( e^{A} = e^{a}\left[\begin{array}{cc} \cos b & \sin b \\ - \sin b & \cos b \end{array}\right] \)
\(\dfrac { d (e^{t A})}{ d t} = A e^{t A}.\)

Demonstração ▼

No item 1, basta observar que \(Q^k=PA^kP^{-1}\) e passar ao limite das somas parciais. Se \(AB=BA\), o binômio usual vale para \((A+B)^k\); reorganizando o produto das duas séries absolutamente convergentes, obtemos o item 2. Aplicando-o a \(A\) e \(-A\), segue \(e^Ae^{-A}=e^0=\operatorname {I}\), o que prova 3.

Para 4, escreva \(A=a\operatorname {I}+bR\), onde \(R=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\right]\) e \(R^2=-\operatorname {I}\). Separando os termos pares e ímpares na série de \(e^{bR}\), obtemos \(e^{bR}=\cos (b)\operatorname {I}+\sin (b)R\); o item 2 conclui o cálculo. Finalmente, a série de \(e^{tA}\) pode ser derivada termo a termo em qualquer intervalo limitado, e

\[ \frac{d}{dt}e^{tA} =\sum _{k=1}^{\infty }\frac{k t^{k-1}A^k}{k!} =A\sum _{j=0}^{\infty }\frac{t^jA^j}{j!} =Ae^{tA}, \]

o que prova 5.

Cálculo da Exponencial usando a Forma de Jordan

Se \(A=MJM^{-1}\), então \(e^A=Me^JM^{-1}\). Em cada bloco de Jordan, escrevemos \(J=\lambda \operatorname {I}+N\), com \(N\) nilpotente. O termo escalar \(\lambda \operatorname {I}\) comuta com \(N\), logo

\[ e^J=e^{\lambda }e^N=e^{\lambda }\sum _{k=0}^{s-1}\frac{N^k}{k!}, \]

onde \(s\) é o tamanho do bloco. Aplicamos essa fórmula bloco a bloco.

12.4 Equações Diferenciais Ordinárias

A passagem do tempo discreto ao contínuo substitui potências de \(A\) pela exponencial \(e^{tA}\). Seja \(I\subseteq \mathbb {R}\) um intervalo aberto que contém a origem e sejam \(x_1(t),\ldots ,x_n(t)\in C^1(I)\). Consideremos o sistema linear

\begin{equation} \begin{cases} \dfrac {d x_{1}}{d t} = a_{11} x_{1} +\cdots +a_{1n} x_{n} \\ \vdots \\ \dfrac {d x_{n}}{d t} = a_{n 1} x_{1} +\cdots +a_{n n} x_{n} \end{cases} \label{eq:sisdiff} \tag{12.1} \end{equation}

Os coeficientes \(a_{ij}\) são reais, e procuramos a solução sujeita à condição inicial \(x_1(0)=c_1,\ldots ,x_n(0)=c_n\).

Para escrevê-lo em notação vetorial, definimos \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})(\mathbb {R})\), \(\bm {x}=(x_1,\ldots ,x_n)^{\mathrm{t}}\) e \(\vec c=(c_1,\ldots ,c_n)^{\mathrm{t}}\). Com essa notação, o Sistema 12.1 torna-se

\begin{equation} \bm {x}'= A \bm {x}\text{ com } \bm {x}(0)= \vec{c} \label{eq:sisdiff2} \tag{12.2} \end{equation}

Para resolver o sistema, substituímos \(A\) por uma matriz semelhante mais simples. Suponha \(J=PAP^{-1}\), com \(P\) invertível, e defina \(\bm {y}=P\bm {x}\). Então \(\bm {y}'=P\bm {x}'\) e \(\bm {y}(0)=P\vec c\); além disso, \(J\bm {y}=PAP^{-1}(P\bm {x})=PA\bm {x}=P\bm {x}'=\bm {y}'\). O problema reduz-se a

\begin{equation} \bm {y}' = J \bm {y}\text{ com } \bm {y}(0)= P \vec{c} \label{eq:sisdiff3} \tag{12.3} \end{equation}

Se \(\bm {y}\) é uma solução para 12.3, então \(\bm {x}=P^{-1}\bm {y}\) é uma solução para 12.2, pois \(\bm {x}'=P^{-1}\bm {y}'=P^{-1}J\bm {y}=A\bm {x}\). Além disso, \(\bm {x}(0)=P^{-1}\bm {y}(0)=\vec c\).

Escolheremos a matriz \( J \) como a Forma Normal de Jordan Real de \( A \) e nesse caso as equações que obtemos na versão 12.2 serão fáceis de resolver.

Em primeiro lugar, vimos no Teorema 10.27 que \(J\) é uma matriz diagonal por blocos:

\begin{equation} J =\left[\begin{array}{ccc} B_{1}& & 0 \\ & \vdots & \\ 0 & & B_{K} \end{array}\right] \label{eq:jordan2} \tag{12.4} \end{equation}

Cada bloco em 12.4 possui uma das duas formas possíveis:

\begin{equation} B_{j} =\left[\begin{array}{lll} c & 1 & 0 \\ & \ddots & 1 \\ 0 & & c \end{array}\right] \text{ ou } B_{j} =\left[ \begin{array}{cccc} D& I_2& & 0\\ & D& \ddots & \\ & & \ddots & I_2\\ 0& & & D \end{array} \right] \label{eq:jordan3} \tag{12.5} \end{equation}

Na equação 12.5, \( D \) é uma matriz \( 2 \times 2 \) da forma

\[ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right] \]

Suponha que o tamanho de cada \( B_{j} \) seja \( n_{j} \times n_{j } \). Então \(\bm {y}'=J\bm {y}\) se decompõe em \(K\) sistemas independentes,

\[ \bm {y}_{j}' = B_{j} \bm {y}_{j},\quad j = 1,\ldots , K. \]

Com \( \bm {y}_{ 1} = (y_{1},\ \ldots ,\ y_{n_1}) , \bm {y}_{2} = ( y_{n_1 {+ 1}},\ \ldots ,\ y_{n_{1}+n_2}) \), etc.

Assim, para encontrar uma solução para a equação 12.2, basta saber resolver as equações dos dois tipos a seguir:

\begin{equation*} \left[\begin{array}{c} x_{1} ’\\ \vdots \\ x_{n} ’ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} c & 1 & 0 \\ & \ddots & 1 \\ 0 & & c \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right] \tag {Tipo 1} \label{eq:5.28} \end{equation*}

com \( x_{i} (0) = c_{i}, i = 1,\ldots , n \) e

\begin{equation*} \left[\begin{array}{c} x_{1} ’\\ \vdots \\ \vdots \\ x_{2 n} \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{cccc} D& I_2& & 0\\ & D& \ddots & \\ & & \ddots & I_2\\ 0& & & D \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ \vdots \\ x_{2 n} \end{array}\right] \tag {Tipo 2} \label{eq:5.29} \end{equation*}

com \( x_{i} (0) = c_{i}, i = 1 ,\ldots , 2 n, \) e \( D =\left[\begin{array}{cc} a & b \\ - b& a \end{array}\right]\)

O item 5 do Teorema 12.21 fornece a solução da equação 12.2, a saber \(\bm {x}=e^{tA}\vec c\).

Teorema 12.22 (Existência e Unicidade para EDO’s Lineares)

O sistema \(\bm {x}'= A \bm {x}\text{ com } \bm {x}(0)= \vec{c} \) possui uma única solução:

\[ \bm {x}= e^{t A} \vec{c} \]

Demonstração ▼

Verificaremos que \(\bm {x}= e^{t A} \vec{c}\) é solução. Como \( \bm {x}'= \dfrac {d (e^{t A} \vec{c}) }{ d t} = A e^{t A} \vec{c}= A \bm {x}\) e \( \bm {x}(0 ) = e^{0 A} \vec{c}= \vec{c}\).

Para a unicidade, se \(\bm {y}\) é qualquer solução, então

\[ \frac{d}{dt}\bigl(e^{-tA}\bm {y}(t)\bigr)=-Ae^{-tA}\bm {y}(t)+e^{-tA}A\bm {y}(t)=0. \]

Logo \(e^{-tA}\bm {y}(t)=\bm {y}(0)=\vec c\) e, portanto, \(\bm {y}(t)=e^{tA}\vec c\).

Queremos ver a forma que essa solução assume nos dois casos especiais Tipo 1 e Tipo 2.

Vamos considerar a equação Tipo 1 primeiro. Para isso considere:

\[ B =\left[\begin{array}{lll} c & 1& 0 \\ & \ddots & 1 \\ 0 & & c \end{array}\right] \quad \text{ e } \quad N =\left[\begin{array}{lll} 0 & 1& 0 \\ & \ddots & 1 \\ 0 & & 0 \end{array}\right] \]

Então, \(B,N\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})(\mathbb {R})\) e \(N\) é nilpotente de índice \(n\). Como \(c\operatorname {I}_n\) comuta com \(N\), o Teorema 12.21, item 2, implica

\[ e^{t B} = e^{t c\operatorname {I}_{n}} e^{t N} = e^{c t} e^{t N} . \]

Portanto, a solução para Tipo 1 é \(\bm {x}=e^{tB}\vec c=e^{ct}e^{tN}\vec c\). Usando a definição de \(e^{tN}\), temos

\begin{equation} \displaystyle e^{t N} =\sum _{k = 0}^{n -1}\dfrac {(t N)^{k}}{k!}= \left[ \begin{array}{ccccccc} 1 & t & \dfrac {t^2}{2!} & \cdots & \dfrac {t^{n-2}}{(n-2)!} & \dfrac {t^{n-1}}{(n-1)!}\\ 0 & 1 & t & \cdots & \dfrac {t^{n-3}}{(n-3)!} & \dfrac {t^{n-2}}{(n-2)!}\\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & t & \dfrac {t^2}{2!}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\label{eq:5.32} \tag{12.6} \end{equation}

Substituindo 12.6 em \(\bm {x}=e^{ct}e^{tN}\vec c\), obtemos

\begin{equation} \displaystyle x_j(t)=e^{ct}\sum _{k=0}^{n-j}\dfrac {t^k}{k!}c_{j+k} \quad \text{para }j=1,\ldots ,n. \label{eq:5.33} \tag{12.7} \end{equation}

Agora vamos considerar a equação Tipo 2. Se a matriz nessa equação é apenas \(D\), então o Teorema 12.21, item 4, implica que a solução é

\begin{equation} x = e^{t D} \vec{c}= e^{t a}\left[\begin{array}{cc} \cos b t & \sin b t \\ - \sin b t & \cos b t \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \end{array}\right] \label{eq:5.34} \tag{12.8} \end{equation}

Portanto, podemos assumir \( n\gt 1 \) e prosseguir com o caso geral.

Defina \(\mu = a - b i \). Para \(j = 1,\ldots , n \), seja \( z_{j} = x_{2 j -1}+i x_{2 j} \) e \( w_{j} = c_{2 j -1}+i c_{2 j}.\) Então a equação Tipo 2 se torna o seguinte sistema:

\begin{equation} \left[\begin{array}{ccccc} \mu & 1 & & 0 & 0\\ 0 & \mu & \ddots & & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 & \vdots \\ 0 & & 0 & \mu & 1\\ 0 & & & 0 & \mu \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} z_{1} \\ \vdots \\ z_{n} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} z_{1} ’\\ \vdots \\ z_{n}’ \end{array}\right] \label{eq:5.35} \tag{12.9} \end{equation}

com \(z_i(0)=w_i\) para \(i=1,\ldots ,n\). As equações em 12.9 são resolvidas da mesma maneira que a equação Tipo 1. Portanto,

\begin{equation} \displaystyle z_j(t)=e^{\mu t}\sum _{k=0}^{n-j}\dfrac {t^k}{k!}w_{j+k}, \qquad j=1,\ldots ,n. \label{eq:5.36} \tag{12.10} \end{equation}

Como \(e^{\mu t}=e^{(a-bi)t}=e^{at}(\cos bt-i\sin bt)\), a Equação 12.10, com \(w_j=c_{2j-1}+ic_{2j}\), fornece a solução real:

\begin{equation} \displaystyle x_{2j-1}(t)=e^{at}\sum _{k=0}^{n-j}\dfrac {t^k}{k!} \bigl[c_{2(j+k)-1}\cos (bt)+c_{2(j+k)}\sin (bt)\bigr] \label{eq:5.37} \tag{12.11} \end{equation}

\[ x_{2j}(t)=e^{at}\sum _{k=0}^{n-j}\dfrac {t^k}{k!} \bigl[c_{2(j+k)}\cos (bt)-c_{2(j+k)-1}\sin (bt)\bigr], \qquad j=1,\ldots ,n. \]

Observe que, nos casos Tipo 1 e Tipo 2, as coordenadas da solução são combinações lineares de produtos de polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Assim, temos o seguinte teorema:

Teorema 12.23

Sejam \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {R})\) e \(\bm {x}(t)\) uma solução de \(\bm {x}'=A\bm {x}\). Então cada coordenada de \(\bm {x}\) é uma combinação linear de funções da forma \(t^ke^{at}\cos (bt)\) e \(t^ke^{at}\sin (bt)\), onde \(a+bi\) percorre os autovalores complexos de \(A\) e \(k\) é um inteiro não negativo menor que o tamanho do bloco correspondente.

Exemplo 12.24 (Um sistema de rotação)

Considere

\[ \bm {x}'=A\bm {x},\qquad A=\left[\begin{array}{rr}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right],\qquad \bm {x}(0)=\left[\begin{array}{c}c_1\\ c_2\end{array}\right]. \]

Como \(A^2=-\operatorname {I}\), a separação dos termos pares e ímpares da série exponencial dá

\[ e^{tA}=\cos (t)\operatorname {I}+\sin (t)A =\left[\begin{array}{rr}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right]. \]

Portanto,

\[ \bm {x}(t)= \left[\begin{array}{c} c_1\cos t-c_2\sin t\\ c_1\sin t+c_2\cos t \end{array}\right]. \]

Além de verificar concretamente a fórmula \(\bm {x}(t)=e^{tA}\bm {x}(0)\), o exemplo mostra que o fluxo preserva a norma euclidiana: as trajetórias são círculos centrados na origem.

12.5 Teorema de Perron–Frobenius

Usaremos a seguinte forma finito-dimensional do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. Sua demonstração é topológica e foge ao escopo deste texto.

Teorema 12.25 (Ponto Fixo de Brouwer)

Toda aplicação contínua de um simplex compacto em si mesmo possui um ponto fixo.

Definição 12.26

Uma matriz \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {R})\) é positiva se \(a_{ij}\gt 0\) para todos \(i,j\), e é não negativa se \(a_{ij}\geq 0\). A mesma terminologia será usada para vetores, coordenada a coordenada.

O resultado seguinte caracteriza o autovalor dominante de uma matriz positiva.

Teorema 12.27 (Perron–Frobenius para matrizes positivas)

Se \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {R})\) é positiva, então existe \(r\gt 0\) tal que:

\(r\) é autovalor de \(A\) e possui um autovetor positivo \(\bm {u}\);
o autoespaço de \(r\) é unidimensional e \(r\) é uma raiz simples de \(c_A\);
todo outro autovalor \(\lambda \in \mathbb {C}\) satisfaz \(|\lambda |\lt r\);
todo autovetor não negativo está associado a \(r\).

Demonstração ▼

Considere o simplex \(\Delta =\{ \bm {x}\geq 0\, \mid \, \sum _i x_i=1\} \). A aplicação contínua

\[ F(\bm {x})=\frac{A\bm {x}}{\sum _i(A\bm {x})_i} \]

leva \(\Delta \) em si. Pelo Teorema 12.25, existe \(\bm {u}\in \Delta \) com \(F(\bm {u})=\bm {u}\). Assim, \(A\bm {u}=r\bm {u}\) para algum \(r\gt 0\); como \(A\) é positiva, \(\bm {u}\gt 0\).

Se \(A\bm {z}=\lambda \bm {z}\), escolha \(c=\max _i|z_i|/u_i\) e um índice \(i_0\) em que o máximo é atingido. Então

\[ |\lambda |c u_{i_0}=|(A\bm {z})_{i_0}|\leq \sum _j a_{i_0j}|z_j|\leq cr u_{i_0}, \]

logo \(|\lambda |\leq r\). Se houver igualdade, todas as desigualdades triangulares acima são igualdades. Como \(a_{ij}\gt 0\), todas as coordenadas de \(\bm {z}\) têm a mesma fase e \(\bm {z}\) é múltiplo complexo de \(\bm {u}\); em particular, \(\lambda =r\). Isso prova a dominância estrita e a unicidade do autoespaço.

Aplicando o argumento a \(A^{\mathrm{t}}\), obtemos um autovetor positivo à esquerda \(\bm {w}\), com \(\bm {w}^{\mathrm{t}}A=r\bm {w}^{\mathrm{t}}\). Se existisse um vetor generalizado \(\bm {y}\) com \((A-r\operatorname {I})\bm {y}=\bm {u}\), então \(0=\bm {w}^{\mathrm{t}}(A-r\operatorname {I})\bm {y}=\bm {w}^{\mathrm{t}}\bm {u}\gt 0\), contradição. Logo \(r\) é simples. Finalmente, se \(A\bm {z}=\lambda \bm {z}\) com \(\bm {z}\geq 0\) e \(\bm {z}\neq 0\), então

\[ \lambda \bm {w}^{\mathrm{t}}\bm {z}=\bm {w}^{\mathrm{t}}A\bm {z}=r\bm {w}^{\mathrm{t}}\bm {z}. \]

Como \(\bm {w}^{\mathrm{t}}\bm {z}\gt 0\), segue que \(\lambda =r\).

12.6 Matrizes Estocásticas

Definição 12.28

Uma matriz \(A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {R})\) é estocástica por linhas se \(a_{ij}\geq 0\) e \(\sum _j a_{ij}=1\) para todo \(i\). Ela é regular ou primitiva se \(A^m\) é positiva para algum \(m\geq 1\).

Proposição 12.29

Se \(A\) é estocástica por linhas, então \(1\) é autovalor de \(A\) e todo autovalor \(\lambda \) satisfaz \(|\lambda |\leq 1\).

Demonstração ▼

Para \(\boldsymbol {1}=(1,\ldots ,1)^{\mathrm{t}}\), temos \(A\boldsymbol {1}=\boldsymbol {1}\). Se \(A\bm {z}=\lambda \bm {z}\) e \(|z_{i_0}|=\max _i|z_i|\), então

\[ |\lambda ||z_{i_0}|=\left|\sum _j a_{i_0j}z_j\right|\leq \sum _j a_{i_0j}|z_j|\leq |z_{i_0}|. \]

Como \(\bm {z}\neq 0\), segue que \(|\lambda |\leq 1\).

Teorema 12.30 (Convergência de matrizes estocásticas regulares)

Se \(A\) é estocástica por linhas e regular, então \(1\) é um autovalor simples, todos os demais autovalores têm módulo menor que \(1\) e existe um único vetor positivo \(\boldsymbol {\pi }\) tal que

\[ A^{\mathrm{t}}\boldsymbol {\pi }=\boldsymbol {\pi },\qquad \sum _i\pi _i=1. \]

Além disso,

\[ \lim _{k\to \infty }A^k=\boldsymbol {1}\boldsymbol {\pi }^{\mathrm{t}}, \]

uma matriz estocástica positiva cujas linhas são todas iguais a \(\boldsymbol {\pi }^{\mathrm{t}}\).

Demonstração ▼

Escolha \(m\) com \(A^m\gt 0\). A matriz \(A^m\) também é estocástica, logo seu autovalor de Perron é \(1\). Pelo Teorema 12.27, ele é simples e domina estritamente os demais autovalores de \(A^m\). Se \(A\bm {v}=\lambda \bm {v}\), então \(A^m\bm {v}=\lambda ^m\bm {v}\). Assim, ou \(|\lambda |\lt 1\), ou \(|\lambda |=1\) e necessariamente \(\lambda ^m=1\). Neste último caso, \(\bm {v}\) pertence ao autoespaço de \(A^m\) associado a \(1\), que é unidimensional e gerado por \(\boldsymbol {1}\). Como \(A\boldsymbol {1}=\boldsymbol {1}\), segue que \(\lambda =1\). Portanto, \(1\) é o único autovalor de \(A\) no círculo unitário. A simplicidade de \(1\) para \(A^m\) também exclui blocos de Jordan não triviais para \(1\) em \(A\).

Aplicando Perron–Frobenius a \((A^{\mathrm{t}})^m\), obtemos o vetor positivo \(\boldsymbol {\pi }\), único após a normalização indicada. Na forma de Jordan complexa de \(A\), o bloco associado a \(1\) é \([1]\) e todos os demais blocos tendem a zero quando elevados à \(k\)-ésima potência. Assim, \(A^k\) converge para a projeção espectral sobre \(\langle \boldsymbol {1}\rangle \) ao longo de \(\ker (\boldsymbol {\pi }^{\mathrm{t}})\), que é precisamente \(\boldsymbol {1}\boldsymbol {\pi }^{\mathrm{t}}\).