Matrizes e Sistemas Lineares
Matrizes são tabelas de escalares que permitem representar transformações lineares e sistemas de equações. Este apêndice reúne sua notação e as operações elementares. O método de eliminação de Gauss será desenvolvido por meio de transformações que preservam o conjunto de soluções do sistema.
B.1 Matrizes
Sejam \(m,n\) dois inteiros positivos. Uma matriz \(m\times n\) sobre \(\mathbb {K}\) é uma tabela de valores \(a_{ij}\in \mathbb {K}\), com \(1\leq i\leq m\) e \(1\leq j\leq n\), agrupados em \(m\) linhas e \(n\) colunas. Ela será representada em uma das duas formas
onde \(a_{ij}\) é a entrada na interseção da \(i\)-ésima linha com a \(j\)-ésima coluna. Escreveremos \(A=[a_{ij}]\) para indicar a matriz cujas entradas são os \(a_{ij}\). Usaremos \(A[i,\ :] = \mathrm{Lin}_i(A)\) para indicar a \(i\)-ésima linha de \(A\), e \(A[:,j]=\mathrm{Col}_j(A)\) para indicar sua \(j\)-ésima coluna.
O conjunto das matrizes \(m\times n\) com entradas em \(\mathbb {K}\) é denotado por \(\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\). Se \(A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\), sua entrada \((i,j)\) será indicada por \(A_{i,j}\) ou \(a_{ij}\). A matriz identidade \(n\times n\) será denotada por \(\operatorname {I}_n\). Os elementos do corpo \(\mathbb {K}\) serão denominados escalares.
Os elementos de \(\mathcal{M}_{m, 1}(\mathbb {K})\) serão ditos vetores coluna e os de \(\mathcal{M}_{1, n}(\mathbb {K})\), vetores linha. Eles serão denotados por letras em negrito, como \(\bm {v},\vec a,\ldots \).
A diagonal principal de uma matriz \(A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) é a sequência das entradas \(A_{11},A_{22},\ldots ,A_{kk}\), onde \(k=\min \{ m,n\} \).
A soma de \(A\) e \(B\), denotada por \(A+B\), é a matriz \(C=[c_{ij}]\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) com \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\) para todos os \(i,j\).
O produto do escalar \(k\) por \(A\), denotado por \(kA\), é a matriz \(kA=[ka_{ij}]\).
\( A+B = B+A \) (comutatividade).
\( (A+B)+C = A+(B+C) \) (associatividade).
\( k (l A) = (k l) A. \)
\( (k+l) A = kA+l A. \)
1 Sejam \( A = [a_{ij}] \) e \( B = [b_{ij}] \). Então, por definição
pois a adição no corpo é comutativa. O item 2 segue, entrada a entrada, da associatividade da adição em \(\mathbb {K}\). Para os dois últimos itens, em cada posição \((i,j)\) usamos, respectivamente,
A matriz nula \(0_{m\times n}\) é o elemento neutro da adição em \(\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\). A inversa aditiva de \(A=[a_{ij}]\) é \(-A=[-a_{ij}]=(-1)A\). Em particular, com as operações acima, \(\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) é um espaço vetorial sobre \(\mathbb {K}\).
Assim, o produto \(AB\) só está definido quando o número de colunas de \(A\) é igual ao número de linhas de \(B\). Em geral, mesmo quando ambos os produtos fazem sentido, \(AB\) e \(BA\) não precisam ser iguais.
As identidades distributivas e as identidades envolvendo escalares seguem entrada a entrada. Para a associatividade, se \(A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\), \(B\in \mathcal{M}_{n, r}(\mathbb {K})\) e \(C\in \mathcal{M}_{r, s}(\mathbb {K})\), então
A afirmação sobre a identidade é imediata da definição do produto.
\( (A^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = A \)
\( (A+B)^{\mathrm{t}} = A^{\mathrm{t}}+B^{\mathrm{t}} \)
\((rA)^{\mathrm{t}}=rA^{\mathrm{t}}\);
se \(A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) e \(B\in \mathcal{M}_{n, r}(\mathbb {K})\), então \((AB)^{\mathrm{t}}=B^{\mathrm{t}}A^{\mathrm{t}}\).
Particionamento e multiplicação de matrizes
Seja \(M\) uma matriz de tamanho \(m\times n\). Se \(B\subseteq \{ 1,\ldots ,m\} \) e \(C\subseteq \{ 1,\ldots ,n\} \), a submatriz \(M[B,C]\) é obtida mantendo as linhas com índice em \(B\) e as colunas com índice em \(C\). Assim, \(M[B,C]\) tem tamanho \(|B|\times |C|\).
Suponha que \(M\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) e \(N\in \mathcal{M}_{n, k}(\mathbb {K})\). Sejam \(\mathcal P=\{ B_1,\ldots ,B_p\} \) uma partição de \(\{ 1,\ldots ,m\} \), \(\mathcal Q=\{ C_1,\ldots ,C_q\} \) uma partição de \(\{ 1,\ldots ,n\} \) e \(\mathcal R=\{ D_1,\ldots ,D_r\} \) uma partição de \(\{ 1,\ldots ,k\} \).
A multiplicação pode ser realizada com blocos, desde que suas dimensões sejam compatíveis. Com as partições acima, temos
Quando as partições em questão contêm apenas blocos de elemento único, essa é precisamente a fórmula usual para multiplicação de matrizes
Matrizes de bloco
Será conveniente introduzir o dispositivo notacional de uma matriz de blocos. Se \( B_{i, j} \) forem matrizes dos tamanhos apropriados, então por uma matriz de blocos
queremos dizer a matriz cuja submatriz superior esquerda é \(B_{1,1}\), e assim por diante. Portanto, os \(B_{i,j}\) são submatrizes de \(M\), e não entradas.
Nesse caso
Podemos, em particular, escrever a matriz como uma justaposição de suas colunas. Para isso, usaremos a notação
sendo \(\bm {e}_i=\left[\begin{array}{c} 0\\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]\) o vetor com \(0\) em todas as entradas exceto a \(i\)-ésima que é \(1\).
Uma matriz da forma
onde cada \(B_{i,i}\) é quadrada e \(0\) é uma submatriz nula, é dita uma matriz diagonal por blocos.
B.2 Sistemas de equações lineares
Na matriz aumentada \([A\ {\mathrel {\big| } \ }\vec b]\), a coluna \(j\) corresponde à variável \(x_j\), enquanto a última coluna contém os termos independentes. Essa leitura é útil porque as operações efetuadas nas equações podem ser realizadas diretamente nas linhas da matriz aumentada.
Por exemplo, o conjunto solução de \(A\bm {x}=\vec b\), com \(A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 2\\ 4 & 1 & 2 \end{array}\right]\) e \(\vec{b}=\left[\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 2 \end{array}\right]\), é \(\{ \left[\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right]\} .\)
Todo sistema homogêneo \(A\bm {x}=\vec0\) é consistente, pois \(\vec0\) é uma solução. Em contraste, o sistema \(x+y=2\), \(2x+2y=3\) é inconsistente.
Considere o sistema linear homogêneo \(A\bm {x}=\vec0\).
O vetor \(\bm {x}=\vec0\) é sempre uma solução, denominada solução trivial.
Seja \(\bm {u}\neq \vec0\) uma solução de \(A\bm {x}=\vec0\). Então \(\bm {y}=c\bm {u}\) também é solução para todo \(c\in \mathbb {K}\). Uma solução não nula é dita uma solução não trivial. Se o sistema admitir uma solução não trivial e o corpo for infinito, então \(A\bm {x}=\vec0\) possui infinitas soluções.
Sejam \(\bm {u}_1,\ldots ,\bm {u}_k\) soluções de \(A\bm {x}=\vec0\). Então \(\displaystyle \sum _{i=1}^k a_i\bm {u}_i\) também é solução, para toda escolha de \(a_i\in \mathbb {K}\), \(1\leq i\leq k\).
Se \(\bm {u}\) e \(\bm {v}\) são soluções de \(A\bm {x}=\vec b\), então \(A(\bm {u}-\bm {v})=\vec0\): duas soluções diferem por um elemento de \(\ker A\). Reciprocamente, somar a uma solução qualquer elemento de \(\ker A\) produz outra solução. Portanto, se \(\bm {x}_0\) é uma solução particular, o conjunto solução é o espaço afim
B.3 Operações elementares
A eliminação de Gauss consiste em substituir um sistema por outros, cada vez mais simples, sem modificar suas soluções. As transformações permitidas são as operações elementares por linhas.
\(E_{ij}\): trocar as linhas \(i\) e \(j\);
\(E_k(c)\), com \(c\neq 0\): multiplicar a linha \(k\) por \(c\);
\(E_{ij}(c)\): substituir a linha \(i\) por \(A[i,\ :]+cA[j,\ :]\), onde \(i\neq j\) e \(c\in \mathbb {K}\).
Cada uma dessas operações pode ser desfeita por outra operação do mesmo tipo: \(E_{ij}\) é sua própria inversa, enquanto as inversas de \(E_k(c)\) e \(E_{ij}(c)\) são, respectivamente, \(E_k(c^{-1})\) e \(E_{ij}(-c)\).
Há operações elementares análogas por colunas: trocar duas colunas, multiplicar uma coluna por um escalar não nulo e somar a uma coluna um múltiplo de outra. Enquanto uma operação por linhas corresponde à multiplicação de \(A\) à esquerda por uma matriz elementar, uma operação por colunas corresponde à multiplicação à direita.
Para uma matriz isolada, essas operações são perfeitamente legítimas e serão usadas, por exemplo, ao estudar equivalência de matrizes. Para um sistema \(A\bm {x}=\bm {b}\), porém, operações por colunas alteram as variáveis: em geral, portanto, não preservam literalmente o conjunto solução nas coordenadas originais. Por isso, a eliminação de Gauss desenvolvida neste apêndice usa apenas operações por linhas. Quando for necessário reduzir uma matriz usando linhas e colunas, a mudança nas colunas será interpretada como uma mudança invertível de coordenadas no domínio.
Basta considerar uma operação. Trocar duas equações ou multiplicar uma delas por um escalar não nulo preserva suas soluções. No terceiro tipo, substituímos a equação \(i\) por sua soma com \(c\) vezes a equação \(j\). Todo vetor que satisfaz as equações originais satisfaz a nova; a recíproca segue aplicando \(E_{ij}(-c)\). Uma sequência finita dessas operações preserva, portanto, o conjunto solução.
\(E_{ij}=\operatorname {I}_n-\bm {e}_i\bm {e}_i^{\mathrm{t}} -\bm {e}_j\bm {e}_j^{\mathrm{t}}+\bm {e}_i\bm {e}_j^{\mathrm{t}} +\bm {e}_j\bm {e}_i^{\mathrm{t}}\);
\(E_k(c)=\operatorname {I}_n+(c-1)\bm {e}_k\bm {e}_k^{\mathrm{t}}\), para \(c\neq 0\);
\(E_{ij}(c)=\operatorname {I}_n+c\bm {e}_i\bm {e}_j^{\mathrm{t}}\), para \(i\neq j\) e \(c\in \mathbb {K}\).
Multiplicar \(A\) à esquerda por uma matriz elementar produz exatamente o efeito da operação por linhas correspondente.
Após a primeira operação obtemos \(E_1A\); após a segunda, \(E_2E_1A\); e, prosseguindo, chegamos a \(E_k\cdots E_1A\).
Por exemplo, as entradas \(3\) e \(2\) são os pivôs de
logo, as colunas \(2\) e \(3\) são pivotais.
as linhas nulas estão abaixo das linhas não nulas;
o pivô de cada linha não nula, a partir da segunda, está à direita do pivô da linha anterior;
todas as entradas abaixo de cada pivô são nulas.
O escalonamento também torna visíveis as outras possibilidades. Uma linha \([0\ \cdots \ 0\mid c]\), com \(c\neq 0\), representa a equação impossível \(0=c\) e revela que o sistema é inconsistente. Se não há uma linha desse tipo e alguma coluna de variável não contém pivô, a variável correspondente é livre e o sistema possui mais de uma solução. Por exemplo,
tem \(z=t\) livre e soluções \((x,y,z)=(1+5t,1-2t,t)\), com \(t\in \mathbb {K}\).
A equivalência por linhas é uma relação de equivalência.
Cada matriz \(A\) é equivalente a uma única matriz \(R\) na forma escalonada reduzida por linhas.
Uma matriz quadrada \(A\) é invertível se, e somente se, sua forma reduzida é \(\operatorname {I}_n\); equivalentemente, \(A\) é produto de matrizes elementares.
A reflexividade é dada pela sequência vazia de operações elementares. Cada operação elementar possui uma operação elementar inversa, o que prova a simetria; concatenar duas sequências prova a transitividade.
Para a existência da forma escalonada reduzida, escolha a coluna não nula mais à esquerda, leve uma entrada não nula dessa coluna à primeira linha, normalize-a para obter um pivô igual a \(1\) e elimine as demais entradas da coluna. Repita o procedimento na submatriz situada abaixo e à direita. Como o número de linhas e colunas é finito, o processo termina; eliminando então as entradas acima dos pivôs, obtemos uma forma escalonada reduzida.
Resta provar a unicidade. Operações por linhas preservam o subespaço gerado pelas linhas, pois cada nova linha é combinação linear das anteriores e as operações são reversíveis. Além disso, se \(B=EA\) com \(E\) invertível, uma coluna de \(A\) pertence ao espaço gerado pelas colunas anteriores se, e somente se, a coluna correspondente de \(B\) pertence ao espaço gerado pelas colunas anteriores. Portanto, as posições das colunas pivotais de uma forma reduzida dependem apenas da classe de equivalência por linhas.
Sejam \(R\) e \(S\) duas formas escalonadas reduzidas equivalentes e sejam \(p_1\lt \cdots \lt p_r\) suas colunas pivotais comuns. Em \(R\), a \(i\)-ésima linha não nula é o único vetor do espaço das linhas cujas coordenadas nas posições \(p_1,\ldots ,p_r\) são
com o \(1\) na posição \(i\): numa combinação das linhas de \(R\), os coeficientes são exatamente essas coordenadas pivotais. Como \(S\) tem o mesmo espaço de linhas e as mesmas colunas pivotais, sua \(i\)-ésima linha não nula é o mesmo vetor. Logo \(R=S\).
Finalmente, suponha \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\). Se sua forma reduzida é \(\operatorname {I}_n\), então \(E_k\cdots E_1A=\operatorname {I}_n\) para certas matrizes elementares, de modo que \(A\) é invertível e é um produto de matrizes elementares. Se \(A\) é invertível, qualquer matriz equivalente por linhas a \(A\) também é invertível. Uma matriz quadrada reduzida invertível deve possuir um pivô em cada coluna e em cada linha; portanto, é \(\operatorname {I}_n\). Isso prova todas as equivalências do último item.
Se \(E_1,\ldots ,E_k\) são as matrizes elementares das operações que reduzem \(A\) a \(R\), então \(R=E_k\cdots E_1A\). Como as matrizes elementares são invertíveis e suas inversas também são elementares, essa identidade pode ser revertida.
O número de pivôs da forma escalonada reduzida de \(A\) é o posto de \(A\). Como as operações por linhas preservam as relações entre as equações, obtemos o critério
Quando o sistema é consistente, a solução é única exatamente quando todas as \(n\) colunas de variáveis são pivotais, isto é, quando \(\operatorname {posto}A=n\).
\(A\) é diagonal se \(a_{ij}=0\) para \(i\neq j\); nesse caso, escrevemos \(A=\operatorname {diag}(a_{11},\ldots ,a_{nn})\).
\(A\) é escalar se \(A=\alpha \operatorname {I}_n\) para algum \(\alpha \in \mathbb {K}\).
\(A\) é triangular superior se \(a_{ij}=0\) para \(i\gt j\), e triangular inferior se \(a_{ij}=0\) para \(i\lt j\).
O escalonamento permite determinar a consistência e a unicidade das soluções pela posição dos pivôs. Também fornece métodos para calcular bases, postos e inversas de matrizes.
Calcule \(AB\) e \(BA\), quando definidos, para Explique por que os dois produtos têm tamanhos diferentes.
Se \(A=[A[:,1]\ {\mathrel {\big| } \ }\cdots \ {\mathrel {\big| } \ }A[:,n]]\) e \(\bm {x}=(x_1,\ldots ,x_n)^{\mathrm{t}}\), prove que
Interprete, a partir dessa identidade, o conjunto de soluções de \(A\bm {x}=\vec b\).
Escalone a matriz aumentada e resolva o sistema
Indique os pivôs em cada etapa.
Determine, conforme o valor de \(a\in \mathbb {R}\), se o sistema
é inconsistente ou possui infinitas soluções. Parametrize o conjunto solução sempre que ele existir.
Encontre a forma escalonada reduzida de
e determine uma base para \(\ker A\).
Escreva as matrizes elementares que realizam, nessa ordem, as operações \(L_2\leftarrow L_2-3L_1\), \(L_1\leftrightarrow L_3\) e \(L_3\leftarrow 2L_3\) em uma matriz com três linhas. Verifique diretamente a ordem do produto que representa a sequência das três operações.
Prove que operações elementares por linhas não alteram o posto de uma matriz. Conclua que matrizes equivalentes por linhas têm o mesmo posto.
Se \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\), descreva um procedimento baseado em operações por linhas que decide se \(A\) é invertível e, quando for, calcula \(A^{-1}\). Aplique-o a \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\).
Uma fatoração \(A=LU\) tem \(L\) triangular inferior com diagonal um e \(U\) triangular superior. Obtenha essa fatoração, sem permutar linhas, nos dois casos abaixo e resolva \(A_ix=b_i\) por \(L_iy=b_i\), \(U_ix=y\): Explique a vantagem de conservar a fatoração quando se resolvem vários sistemas com a mesma matriz.