Apêndice B

Matrizes e Sistemas Lineares

Matrizes são tabelas de escalares que permitem representar transformações lineares e sistemas de equações. Este apêndice reúne sua notação e as operações elementares. O método de eliminação de Gauss será desenvolvido por meio de transformações que preservam o conjunto de soluções do sistema.

B.1 Matrizes

Sejam \(m,n\) dois inteiros positivos. Uma matriz \(m\times n\) sobre \(\mathbb {K}\) é uma tabela de valores \(a_{ij}\in \mathbb {K}\), com \(1\leq i\leq m\) e \(1\leq j\leq n\), agrupados em \(m\) linhas e \(n\) colunas. Ela será representada em uma das duas formas

\(A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{mn} \end{array}\right]\) ou \(A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{mn} \end{array}\right),\)

onde \(a_{ij}\) é a entrada na interseção da \(i\)-ésima linha com a \(j\)-ésima coluna. Escreveremos \(A=[a_{ij}]\) para indicar a matriz cujas entradas são os \(a_{ij}\). Usaremos \(A[i,\ :] = \mathrm{Lin}_i(A)\) para indicar a \(i\)-ésima linha de \(A\), e \(A[:,j]=\mathrm{Col}_j(A)\) para indicar sua \(j\)-ésima coluna.

O conjunto das matrizes \(m\times n\) com entradas em \(\mathbb {K}\) é denotado por \(\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\). Se \(A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\), sua entrada \((i,j)\) será indicada por \(A_{i,j}\) ou \(a_{ij}\). A matriz identidade \(n\times n\) será denotada por \(\operatorname {I}_n\). Os elementos do corpo \(\mathbb {K}\) serão denominados escalares.

Os elementos de \(\mathcal{M}_{m, 1}(\mathbb {K})\) serão ditos vetores coluna e os de \(\mathcal{M}_{1, n}(\mathbb {K})\), vetores linha. Eles serão denotados por letras em negrito, como \(\bm {v},\vec a,\ldots \).

A diagonal principal de uma matriz \(A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) é a sequência das entradas \(A_{11},A_{22},\ldots ,A_{kk}\), onde \(k=\min \{ m,n\} \).

Definição B.1

Diz-se que duas matrizes \(A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) são iguais se \(a_{ij}=b_{ij}\) para todos os índices \(i\) e \(j\).

Em outras palavras, duas matrizes são consideradas iguais se tiverem a mesma ordem e suas entradas correspondentes forem iguais.

Definição B.2

Sejam \(A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) e \(k\in \mathbb {K}\).

A soma de \(A\) e \(B\), denotada por \(A+B\), é a matriz \(C=[c_{ij}]\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) com \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\) para todos os \(i,j\).
O produto do escalar \(k\) por \(A\), denotado por \(kA\), é a matriz \(kA=[ka_{ij}]\).

Proposição B.3

Sejam \(A,B,C\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) e \(k,l\in \mathbb {K}\). Então

\( A+B = B+A \) (comutatividade).
\( (A+B)+C = A+(B+C) \) (associatividade).
\( k (l A) = (k l) A. \)
\( (k+l) A = kA+l A. \)

Demonstração ▼

1 Sejam \( A = [a_{ij}] \) e \( B = [b_{ij}] \). Então, por definição

\[ A+B = [a_{ij}]+[b_{ij}] = [a_{ij}+b_{ij}] = [b_{ij}+a_{ij}] = [b_{ij}]+[ a_{ij}] = B+A \]

pois a adição no corpo é comutativa. O item 2 segue, entrada a entrada, da associatividade da adição em \(\mathbb {K}\). Para os dois últimos itens, em cada posição \((i,j)\) usamos, respectivamente,

\[ k(la_{ij})=(kl)a_{ij} \quad \text{e}\quad (k+l)a_{ij}=ka_{ij}+la_{ij}. \]

A matriz nula \(0_{m\times n}\) é o elemento neutro da adição em \(\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\). A inversa aditiva de \(A=[a_{ij}]\) é \(-A=[-a_{ij}]=(-1)A\). Em particular, com as operações acima, \(\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) é um espaço vetorial sobre \(\mathbb {K}\).

Definição B.4

Sejam \(A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) e \(B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n, r}(\mathbb {K})\). O produto de \(A\) e \(B\), denotado por \(AB\), é a matriz \(C=[c_{ij}]\in \mathcal{M}_{m, r}(\mathbb {K})\) definida por

\[ c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj} =a_{i1}b_{1j}+\cdots +a_{in}b_{nj}. \]

Assim, o produto \(AB\) só está definido quando o número de colunas de \(A\) é igual ao número de linhas de \(B\). Em geral, mesmo quando ambos os produtos fazem sentido, \(AB\) e \(BA\) não precisam ser iguais.

Proposição B.5

Para matrizes de tamanhos compatíveis e \(c\in \mathbb {K}\), valem

\[ (AB)C=A(BC),\qquad A(B+C)=AB+AC,\qquad (A+B)C=AC+BC, \]

\[ c(AB)=(cA)B=A(cB),\qquad \operatorname {I}_mA=A=A\operatorname {I}_n \quad \text{se }A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K}). \]

Demonstração ▼

As identidades distributivas e as identidades envolvendo escalares seguem entrada a entrada. Para a associatividade, se \(A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\), \(B\in \mathcal{M}_{n, r}(\mathbb {K})\) e \(C\in \mathcal{M}_{r, s}(\mathbb {K})\), então

\[ ((AB)C)_{ij} =\sum _{\ell =1}^{r}\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{k\ell }c_{\ell j} =\sum _{k=1}^{n}\sum _{\ell =1}^{r}a_{ik}b_{k\ell }c_{\ell j} =(A(BC))_{ij}. \]

A afirmação sobre a identidade é imediata da definição do produto.

Definição B.6

A transposta de \( A \in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K}) \) é a matriz \( A^{\mathrm{t}} \in \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb {K})\) definida por

\[ (A^{\mathrm{t}})_{i, j} = A_{j, i} \]

Uma matriz \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\) é dita simétrica se \(A=A^{\mathrm{t}}\) e antissimétrica se \(A^{\mathrm{t}}=-A\).

Proposição B.7

Sejam \(A,B\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) e \(r\in \mathbb {K}\). Então

\( (A^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = A \)
\( (A+B)^{\mathrm{t}} = A^{\mathrm{t}}+B^{\mathrm{t}} \)
\((rA)^{\mathrm{t}}=rA^{\mathrm{t}}\);
se \(A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) e \(B\in \mathcal{M}_{n, r}(\mathbb {K})\), então \((AB)^{\mathrm{t}}=B^{\mathrm{t}}A^{\mathrm{t}}\).

Particionamento e multiplicação de matrizes

Seja \(M\) uma matriz de tamanho \(m\times n\). Se \(B\subseteq \{ 1,\ldots ,m\} \) e \(C\subseteq \{ 1,\ldots ,n\} \), a submatriz \(M[B,C]\) é obtida mantendo as linhas com índice em \(B\) e as colunas com índice em \(C\). Assim, \(M[B,C]\) tem tamanho \(|B|\times |C|\).

Suponha que \(M\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) e \(N\in \mathcal{M}_{n, k}(\mathbb {K})\). Sejam \(\mathcal P=\{ B_1,\ldots ,B_p\} \) uma partição de \(\{ 1,\ldots ,m\} \), \(\mathcal Q=\{ C_1,\ldots ,C_q\} \) uma partição de \(\{ 1,\ldots ,n\} \) e \(\mathcal R=\{ D_1,\ldots ,D_r\} \) uma partição de \(\{ 1,\ldots ,k\} \).

A multiplicação pode ser realizada com blocos, desde que suas dimensões sejam compatíveis. Com as partições acima, temos

\[ (MN)[B_i,D_j]=\sum _{h=1}^{q}M[B_i,C_h]N[C_h,D_j]. \]

Quando as partições em questão contêm apenas blocos de elemento único, essa é precisamente a fórmula usual para multiplicação de matrizes

\[ (MN)_{i,j}=\sum _{h=1}^{n}M_{i,h}N_{h,j}. \]

Matrizes de bloco

Será conveniente introduzir o dispositivo notacional de uma matriz de blocos. Se \( B_{i, j} \) forem matrizes dos tamanhos apropriados, então por uma matriz de blocos

\[ M = \left[\begin{array}{cccc} B_{1,1} & B_{1,2} & \cdots & B_{1, n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ B_{m, 1} & B_{m, 2} & \cdots & B_{m, n} \end{array} \right] \]

queremos dizer a matriz cuja submatriz superior esquerda é \(B_{1,1}\), e assim por diante. Portanto, os \(B_{i,j}\) são submatrizes de \(M\), e não entradas.

Exemplo B.8

\[ \left[\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc|ccc} 1 & 2 & 3 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2\\ \hline 1 & 2 & 1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 0 & 2 & 3 \end{array}\right] \]

Nesse caso

\[ A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right]\quad B=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right]\quad D=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 3 \end{array}\right] \]

Podemos, em particular, escrever a matriz como uma justaposição de suas colunas. Para isso, usaremos a notação

\[ A=\left[\begin{array}{c|c|c|c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{array}\right] = [A[:,1]\ {\mathrel {\big| } \ }A[:,2] \ {\mathrel {\big| } \ }\cdots \ {\mathrel {\big| } \ }A[:,n] ] =[A\bm {e}_1\ {\mathrel {\big| } \ }A \bm {e}_2 \ {\mathrel {\big| } \ }\cdots \ {\mathrel {\big| } \ }A\bm {e}_n ] \]

sendo \(\bm {e}_i=\left[\begin{array}{c} 0\\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]\) o vetor com \(0\) em todas as entradas exceto a \(i\)-ésima que é \(1\).

Uma matriz da forma

\[ M = \left[\begin{array}{cccc} B_{1,1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & B_{m,m} \end{array} \right] \]

onde cada \(B_{i,i}\) é quadrada e \(0\) é uma submatriz nula, é dita uma matriz diagonal por blocos.

B.2 Sistemas de equações lineares

Definição B.9

Um sistema de \(m\) equações lineares nas \(n\) variáveis \(x_1,x_2,\ldots ,x_n\) é um conjunto de equações da forma

\begin{align} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\ & =\ b_{1} \label{eq:sistema} \tag{B.1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\ & =\ b_{2} \nonumber \\ \quad \quad \vdots & \nonumber \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\ & =\ b_{m}\nonumber \end{align}

onde \(a_{ij},b_i\in \mathbb {K}\), para \(1\leq i\leq m\) e \(1\leq j\leq n\). Um sistema linear é dito homogêneo se \(b_1=\cdots =b_m=0\), e não homogêneo caso contrário.

Definição B.10

Sejam

\[ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right], \quad \bm {x}=\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]\quad \text{ e }\vec{b}=\left[\begin{array}{c} b_{1}\\ \vdots \\ b_{m} \end{array}\right]. \]

Então, o sistema (B.1) pode ser escrito de modo compacto como \(A\bm {x}=\vec b\). A matriz \(A\) é a matriz de coeficientes, e \([A\ {\mathrel {\big| } \ }\vec b]\) é a matriz aumentada do sistema.

Na matriz aumentada \([A\ {\mathrel {\big| } \ }\vec b]\), a coluna \(j\) corresponde à variável \(x_j\), enquanto a última coluna contém os termos independentes. Essa leitura é útil porque as operações efetuadas nas equações podem ser realizadas diretamente nas linhas da matriz aumentada.

Definição B.11

Uma solução de \(A\bm {x}=\vec b\) é um vetor \(\bm {x}_0\) tal que \(A\bm {x}_0=\vec b\). O conjunto de todas as soluções é o conjunto solução do sistema.

Por exemplo, o conjunto solução de \(A\bm {x}=\vec b\), com \(A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 2\\ 4 & 1 & 2 \end{array}\right]\) e \(\vec{b}=\left[\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 2 \end{array}\right]\), é \(\{ \left[\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right]\} .\)

Definição B.12

Um sistema linear é consistente se admite ao menos uma solução e inconsistente se não admite solução.

Todo sistema homogêneo \(A\bm {x}=\vec0\) é consistente, pois \(\vec0\) é uma solução. Em contraste, o sistema \(x+y=2\), \(2x+2y=3\) é inconsistente.

Definição B.13

O sistema homogêneo associado a \(A\bm {x}=\vec b\) é o sistema \(A\bm {x}=\vec0\).

Proposição B.14

Considere o sistema linear homogêneo \(A\bm {x}=\vec0\).

O vetor \(\bm {x}=\vec0\) é sempre uma solução, denominada solução trivial.
Seja \(\bm {u}\neq \vec0\) uma solução de \(A\bm {x}=\vec0\). Então \(\bm {y}=c\bm {u}\) também é solução para todo \(c\in \mathbb {K}\). Uma solução não nula é dita uma solução não trivial. Se o sistema admitir uma solução não trivial e o corpo for infinito, então \(A\bm {x}=\vec0\) possui infinitas soluções.
Sejam \(\bm {u}_1,\ldots ,\bm {u}_k\) soluções de \(A\bm {x}=\vec0\). Então \(\displaystyle \sum _{i=1}^k a_i\bm {u}_i\) também é solução, para toda escolha de \(a_i\in \mathbb {K}\), \(1\leq i\leq k\).

Exemplo B.15

Seja \(A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right]\). Então, \(\bm {x}=\left[\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right]\) é uma solução não trivial de \(A\bm {x}=\vec0\).

Se \(\bm {u}\) e \(\bm {v}\) são soluções de \(A\bm {x}=\vec b\), então \(A(\bm {u}-\bm {v})=\vec0\): duas soluções diferem por um elemento de \(\ker A\). Reciprocamente, somar a uma solução qualquer elemento de \(\ker A\) produz outra solução. Portanto, se \(\bm {x}_0\) é uma solução particular, o conjunto solução é o espaço afim

\[ \{ \bm {x}_0+\bm {x}_h\, \mid \, \bm {x}_h\in \ker A\} . \]

B.3 Operações elementares

A eliminação de Gauss consiste em substituir um sistema por outros, cada vez mais simples, sem modificar suas soluções. As transformações permitidas são as operações elementares por linhas.

Definição B.16

Seja \(A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\). As operações elementares por linhas são:

\(E_{ij}\): trocar as linhas \(i\) e \(j\);
\(E_k(c)\), com \(c\neq 0\): multiplicar a linha \(k\) por \(c\);
\(E_{ij}(c)\): substituir a linha \(i\) por \(A[i,\ :]+cA[j,\ :]\), onde \(i\neq j\) e \(c\in \mathbb {K}\).

Cada uma dessas operações pode ser desfeita por outra operação do mesmo tipo: \(E_{ij}\) é sua própria inversa, enquanto as inversas de \(E_k(c)\) e \(E_{ij}(c)\) são, respectivamente, \(E_k(c^{-1})\) e \(E_{ij}(-c)\).

Definição B.17

Duas matrizes são equivalentes por linhas se uma pode ser obtida da outra mediante uma sequência finita de operações elementares por linhas. Dois sistemas são equivalentes por linhas quando suas matrizes aumentadas o são.

Proposição B.18

Sistemas lineares equivalentes por linhas possuem o mesmo conjunto solução.

Demonstração ▼

Basta considerar uma operação. Trocar duas equações ou multiplicar uma delas por um escalar não nulo preserva suas soluções. No terceiro tipo, substituímos a equação \(i\) por sua soma com \(c\) vezes a equação \(j\). Todo vetor que satisfaz as equações originais satisfaz a nova; a recíproca segue aplicando \(E_{ij}(-c)\). Uma sequência finita dessas operações preserva, portanto, o conjunto solução.

Definição B.19

Uma matriz \(E\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\) é elementar se for obtida aplicando uma operação elementar por linhas à identidade \(\operatorname {I}_n\). As três famílias são

\(E_{ij}=\operatorname {I}_n-\bm {e}_i\bm {e}_i^{\mathrm{t}} -\bm {e}_j\bm {e}_j^{\mathrm{t}}+\bm {e}_i\bm {e}_j^{\mathrm{t}} +\bm {e}_j\bm {e}_i^{\mathrm{t}}\);
\(E_k(c)=\operatorname {I}_n+(c-1)\bm {e}_k\bm {e}_k^{\mathrm{t}}\), para \(c\neq 0\);
\(E_{ij}(c)=\operatorname {I}_n+c\bm {e}_i\bm {e}_j^{\mathrm{t}}\), para \(i\neq j\) e \(c\in \mathbb {K}\).

Multiplicar \(A\) à esquerda por uma matriz elementar produz exatamente o efeito da operação por linhas correspondente.

Proposição B.20

Se as operações que levam \(A\) a uma matriz equivalente por linhas \(B\) correspondem, nessa ordem, a \(E_1,\ldots ,E_k\), então

\[ B=E_k\cdots E_2E_1A. \]

Demonstração ▼

Após a primeira operação obtemos \(E_1A\); após a segunda, \(E_2E_1A\); e, prosseguindo, chegamos a \(E_k\cdots E_1A\).

Definição B.21

Em cada linha não nula de uma matriz, a entrada não nula mais à esquerda é o pivô da linha. Uma coluna que contém um pivô é uma coluna pivotal.

Por exemplo, as entradas \(3\) e \(2\) são os pivôs de

\[ \begin{bmatrix} 0 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}; \]

logo, as colunas \(2\) e \(3\) são pivotais.

Definição B.22

Uma matriz está na forma escalonada por linhas se:

as linhas nulas estão abaixo das linhas não nulas;
o pivô de cada linha não nula, a partir da segunda, está à direita do pivô da linha anterior;
todas as entradas abaixo de cada pivô são nulas.

Ela está na forma escalonada reduzida por linhas se, além disso, cada pivô é \(1\) e é a única entrada não nula de sua coluna.

Exemplo B.23 (Eliminação de Gauss)

Considere o sistema

\[ \begin{aligned} x+2y-z& =3,\\ 2x+5y+z& =7,\\ -x-y+2z& =-2. \end{aligned} \]

Escalonamos sua matriz aumentada, registrando ao lado de cada seta as operações realizadas:

\begin{align*} \left[\begin{array}{rrr|r} 1& 2& -1& 3\\ 2& 5& 1& 7\\ -1& -1& 2& -2 \end{array}\right] & \xrightarrow [\, L_3\leftarrow L_3+L_1,] {\, L_2\leftarrow L_2-2L_1,} \left[\begin{array}{rrr|r} 1& 2& -1& 3\\ 0& 1& 3& 1\\ 0& 1& 1& 1 \end{array}\right]\\ & \xrightarrow {\, L_3\leftarrow L_3-L_2,} \left[\begin{array}{rrr|r} 1& 2& -1& 3\\ 0& 1& 3& 1\\ 0& 0& -2& 0 \end{array}\right]\\ & \longrightarrow \left[\begin{array}{rrr|r} 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0 \end{array}\right]. \end{align*}

Na última passagem dividimos a terceira linha por \(-2\) e eliminamos as entradas acima dos pivôs. A forma reduzida mostra imediatamente que a única solução é \((x,y,z)=(1,1,0)\).

O escalonamento também torna visíveis as outras possibilidades. Uma linha \([0\ \cdots \ 0\mid c]\), com \(c\neq 0\), representa a equação impossível \(0=c\) e revela que o sistema é inconsistente. Se não há uma linha desse tipo e alguma coluna de variável não contém pivô, a variável correspondente é livre e o sistema possui mais de uma solução. Por exemplo,

\[ \left[\begin{array}{rrr|r} 1& 2& -1& 3\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0 \end{array}\right] \]

tem \(z=t\) livre e soluções \((x,y,z)=(1+5t,1-2t,t)\), com \(t\in \mathbb {K}\).

Teorema B.24

Para a equivalência por linhas em \(\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\), valem as propriedades:

A equivalência por linhas é uma relação de equivalência.
Cada matriz \(A\) é equivalente a uma única matriz \(R\) na forma escalonada reduzida por linhas.
Uma matriz quadrada \(A\) é invertível se, e somente se, sua forma reduzida é \(\operatorname {I}_n\); equivalentemente, \(A\) é produto de matrizes elementares.

Demonstração ▼

A reflexividade é dada pela sequência vazia de operações elementares. Cada operação elementar possui uma operação elementar inversa, o que prova a simetria; concatenar duas sequências prova a transitividade.

Para a existência da forma escalonada reduzida, escolha a coluna não nula mais à esquerda, leve uma entrada não nula dessa coluna à primeira linha, normalize-a para obter um pivô igual a \(1\) e elimine as demais entradas da coluna. Repita o procedimento na submatriz situada abaixo e à direita. Como o número de linhas e colunas é finito, o processo termina; eliminando então as entradas acima dos pivôs, obtemos uma forma escalonada reduzida.

Resta provar a unicidade. Operações por linhas preservam o subespaço gerado pelas linhas, pois cada nova linha é combinação linear das anteriores e as operações são reversíveis. Além disso, se \(B=EA\) com \(E\) invertível, uma coluna de \(A\) pertence ao espaço gerado pelas colunas anteriores se, e somente se, a coluna correspondente de \(B\) pertence ao espaço gerado pelas colunas anteriores. Portanto, as posições das colunas pivotais de uma forma reduzida dependem apenas da classe de equivalência por linhas.

Sejam \(R\) e \(S\) duas formas escalonadas reduzidas equivalentes e sejam \(p_1\lt \cdots \lt p_r\) suas colunas pivotais comuns. Em \(R\), a \(i\)-ésima linha não nula é o único vetor do espaço das linhas cujas coordenadas nas posições \(p_1,\ldots ,p_r\) são

\[ (0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0), \]

com o \(1\) na posição \(i\): numa combinação das linhas de \(R\), os coeficientes são exatamente essas coordenadas pivotais. Como \(S\) tem o mesmo espaço de linhas e as mesmas colunas pivotais, sua \(i\)-ésima linha não nula é o mesmo vetor. Logo \(R=S\).

Finalmente, suponha \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\). Se sua forma reduzida é \(\operatorname {I}_n\), então \(E_k\cdots E_1A=\operatorname {I}_n\) para certas matrizes elementares, de modo que \(A\) é invertível e é um produto de matrizes elementares. Se \(A\) é invertível, qualquer matriz equivalente por linhas a \(A\) também é invertível. Uma matriz quadrada reduzida invertível deve possuir um pivô em cada coluna e em cada linha; portanto, é \(\operatorname {I}_n\). Isso prova todas as equivalências do último item.

Se \(E_1,\ldots ,E_k\) são as matrizes elementares das operações que reduzem \(A\) a \(R\), então \(R=E_k\cdots E_1A\). Como as matrizes elementares são invertíveis e suas inversas também são elementares, essa identidade pode ser revertida.

O número de pivôs da forma escalonada reduzida de \(A\) é o posto de \(A\). Como as operações por linhas preservam as relações entre as equações, obtemos o critério

\[ A\bm {x}=\vec b\text{ é consistente} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname {posto}A=\operatorname {posto}[A\ {\mathrel {\big| } \ }\vec b]. \]

Quando o sistema é consistente, a solução é única exatamente quando todas as \(n\) colunas de variáveis são pivotais, isto é, quando \(\operatorname {posto}A=n\).

Definição B.25

Seja \(A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\).

\(A\) é diagonal se \(a_{ij}=0\) para \(i\neq j\); nesse caso, escrevemos \(A=\operatorname {diag}(a_{11},\ldots ,a_{nn})\).
\(A\) é escalar se \(A=\alpha \operatorname {I}_n\) para algum \(\alpha \in \mathbb {K}\).
\(A\) é triangular superior se \(a_{ij}=0\) para \(i\gt j\), e triangular inferior se \(a_{ij}=0\) para \(i\lt j\).

Exemplo B.26

As matrizes

\[ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \quad \text{e}\quad \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]

são, respectivamente, triangular superior e triangular inferior. Toda matriz diagonal — em particular, \(0\) e \(\operatorname {I}_n\) — é dos dois tipos.

O escalonamento permite determinar a consistência e a unicidade das soluções pela posição dos pivôs. Também fornece métodos para calcular bases, postos e inversas de matrizes.

Exercício B.1

Calcule \(AB\) e \(BA\), quando definidos, para

\[ A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}. \]

Explique por que os dois produtos têm tamanhos diferentes.

Exercício B.2

Se \(A=[A[:,1]\ {\mathrel {\big| } \ }\cdots \ {\mathrel {\big| } \ }A[:,n]]\) e \(\bm {x}=(x_1,\ldots ,x_n)^{\mathrm{t}}\), prove que

\[ A\bm {x}=x_1A[:,1]+\cdots +x_nA[:,n]. \]

Interprete, a partir dessa identidade, o conjunto de soluções de \(A\bm {x}=\vec b\).

Exercício B.3

Escalone a matriz aumentada e resolva o sistema

\[ \begin{aligned} x-y+2z& =4,\\ 2x+y+z& =1,\\ 3x+3z& =5. \end{aligned} \]

Indique os pivôs em cada etapa.

Exercício B.4

Determine, conforme o valor de \(a\in \mathbb {R}\), se o sistema

\[ x+y+z=1,\qquad 2x+2y+2z=2,\qquad x+y+az=0 \]

é inconsistente ou possui infinitas soluções. Parametrize o conjunto solução sempre que ele existir.

Exercício B.5

Encontre a forma escalonada reduzida de

\[ A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \]

e determine uma base para \(\ker A\).

Exercício B.6

Escreva as matrizes elementares que realizam, nessa ordem, as operações \(L_2\leftarrow L_2-3L_1\), \(L_1\leftrightarrow L_3\) e \(L_3\leftarrow 2L_3\) em uma matriz com três linhas. Verifique diretamente a ordem do produto que representa a sequência das três operações.

Exercício B.7

Prove que operações elementares por linhas não alteram o posto de uma matriz. Conclua que matrizes equivalentes por linhas têm o mesmo posto.

Exercício B.8

Se \(A\in \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\), descreva um procedimento baseado em operações por linhas que decide se \(A\) é invertível e, quando for, calcula \(A^{-1}\). Aplique-o a \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\).