Seja \(V\) um espaço vetorial sobre um corpo \(\mathbb {K}\). Mostre que:

1. O vetor nulo \(\vec0\) é único.

2. O vetor oposto \(-\bm {v}\) a cada vetor \(\bm {v}\in V\) é único.

3. Prove que \(-1\cdot \bm {v}=-\bm {v}\) e conclua que \(-(-\bm {v})=\bm {v}\) para todo \(\bm {v}\in V\).

4. Prove que \(\alpha \bm {v}=\vec0\) se, e somente se, \(\alpha =0\) ou \(\bm {v}=\vec0\).

5. Prove que \(\alpha \bm {v}=\bm {v}\) se, e somente se, \(\alpha =1\) ou \(\bm {v}=\vec0\).

6. Mostre que se \(\bm {x}+\bm {y}= \bm {z}+\bm {y}\) então \(\bm {x}= \bm {z}\).

7. Suponha que o neutro e o oposto sejam bilaterais, isto é, \(\vec0+\bm {x}=\bm {x}+\vec0=\bm {x}\) e, para cada \(\bm {x}\), exista \(\bm {y}\) tal que \(\bm {x}+\bm {y}=\bm {y}+\bm {x}=\vec0\). Mostre que, nessas condições, a comutatividade da soma decorre dos demais axiomas.

8. Mostre que, com os axiomas exatamente como na definição do texto, a comutatividade não pode ser deduzida. Para isso, tome um conjunto \(V\) com pelo menos dois elementos e defina \(\bm {u}+\bm {v}:=\bm {v}\) e \(\lambda \bm {x}:=\bm {x}\).

Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais sobre o corpo \(\mathbb {K}\) especificado em cada caso.

1. \(\mathbb {R}^{3}\) sobre \(\mathbb {K}=\mathbb {R}\) com as operações

   \begin{align*} (x_{1},x_{2},x_{3})+(y_{1},y_{2},y_{3}) & =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3})\\ \alpha \cdot (x_{1},x_{2},x_{3}) & =(\alpha \cdot x_{1},x_{2},x_{3}) \end{align*}

2. O conjunto \(V=\{ (a,b)\in \mathbb {R}^{2}:a,b\gt 0\} \) sobre \(\mathbb {K}=\mathbb {R}\) com as operações

   \begin{align*} (a,b)+(c,d) & =(ac,bd)\\ \alpha \cdot (a,b) & =(a^{\alpha },b^{\alpha }),\; \alpha \in \mathbb {R}\end{align*}

3. O conjunto \( \mathbb {Q}(\sqrt{2})\) dos elementos \(a+b\sqrt{2}\) com \(a,b\in \mathbb {Q}\) sobre \(\mathbb {K}=\mathbb {Q}\) com as operações:

   \begin{align*} (a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2}) & =(a+c)+(b+d)\sqrt{2}\\ \alpha \cdot (a+b\sqrt{2}) & =\alpha \cdot a+\alpha \cdot b\sqrt{2},\; \alpha \in \mathbb {Q}\end{align*}

Mostre que \(\mathbb {N}\) pode receber uma estrutura de espaço vetorial sobre \(\mathbb {Q}\). (Dica: transporte as operações de \(\mathbb {Q}\) por uma bijeção \(\mathbb {N}\to \mathbb {Q}\).)

Seja \(V\) um espaço vetorial. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que se \(\bm {v}\in V\) e \(n \in \mathbb {N}\) então

Sejam \(\bm {u},\bm {v}\) vetores não nulos de \(V\). Prove que \(\bm {v}\) é múltiplo de \(\bm {u}\) se, e somente se, \(\bm {u}\) é múltiplo de \(\bm {v}\).

Prove detalhadamente que o conjunto de funções \(\mathbb {K}(S)=\mathbb {K}^S\) é um espaço vetorial quando a adição e a multiplicação por escalares são definidas pontualmente:

• \( (f+g) (s) \mathrel {\mathop:\! =}f (s)+g (s) \) para todos os \( s \in S, \)

• \( (af) (s) \mathrel {\mathop:\! =}a f (s) \) para todos os \(a\in \mathbb {K}\) e \(s\in S\).

Se \(S\) é um conjunto finito com \(n\) elementos, quantos elementos possui o espaço vetorial \(\mathbb {Z}_2^S\)?

Suponha que \(\operatorname {char}(\mathbb {K})\neq 2\). Defina a média de dois vetores por \(\bm {u}\star \bm {v}=\frac12\bm {u}+\frac12\bm {v}\). Prove que \((\bm {u}\star \bm {v})\star \bm {w}=\bm {u}\star (\bm {v}\star \bm {w})\) se, e somente se, \(\bm {u}=\bm {w}\).

Dados os espaços vetoriais \(V_1, V_2,\) considere o conjunto \(V=V_1 \times V_2\) (produto cartesiano de \(V_1\) por \(V_2\)), cujos elementos são os pares ordenados \(v=(v_1,v_2)\), com \(v_1 \in V_1\) e \(v_2 \in V_2\). Defina operações que tornem \(V\) um espaço vetorial. Verifique a validade de cada um dos axiomas.

Em \(\mathbb {R}^2\) mantenhamos a definição de produto \(\alpha v\) de um número por um vetor mas modifiquemos, de três maneiras diferentes, a definição de soma \(u+v\) de vetores \(u=(x,y)\) e \(v=(x^{\prime }, y^{\prime })\). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:

1. \(u+v = (x+y^{\prime }, x^{\prime }+y)\),

2. \(u+v = (xx^{\prime }, yy^{\prime })\),

3. \(u+v = (3x+3x^{\prime }, 5x+5x^{\prime })\).

Seja \(\mathbb {K}\) um corpo finito com \(q\) elementos. Quantos elementos possui o espaço vetorial \(\mathbb {K}^n\)?

Seja \(W\) um subconjunto não vazio de \(V\). Prove que, se \(W\) for fechado em relação à adição e à multiplicação por escalares, então \(W\) é um subespaço de \(V\).

Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.

1. O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a \(n\)

2. O conjunto de todas as funções reais tais que \(f(0)=f(1)\)

3. O conjunto das funções tais que \(f(0)=1+f(1)\)

4. O conjunto das funções reais crescentes.

5. O conjunto das funções reais pares.

6. O conjunto das funções reais ímpares.

7. O conjunto das funções contínuas em \([0,1]\) tais que \(\displaystyle \int _0^1f(x)dx=0\)

8. O conjunto das funções contínuas em \([0,1]\) tais que \(\displaystyle \int _0^1f(x)dx\geq 0\)

9. O conjunto dos vetores \((x,y,z)\) em \(\mathbb {R}^3\) tais que \(x=0\) ou \(y=0\)

10. O conjunto das matrizes \(2\times 2\) cujo traço é zero

11. O conjunto das matrizes \(2\times 2\) cujo determinante é zero

12. O conjunto das matrizes \(2\times 2\) simétricas, isto é, tais que \(A=A^{\mathrm{t}}\).

13. O conjunto dos vetores \((x,y,z)\) que satisfaz a equação linear \(a_1x+a_2y+a_3z=0\)

Considere o subconjunto \(S\) de \(C^n(\mathbb {R})\) formado pelas funções que são soluções da equação diferencial linear homogênea de ordem \(n\) com coeficientes constantes

onde \(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1}\in \mathbb {R}\). Mostre que \(S\) é um subespaço vetorial de \(C^n(\mathbb {R})\).

Seja \(\mathcal{F}(X,\mathbb {K})\) o espaço das funções, onde \(\mathbb {K}\) é um corpo. No caso particular em que \(X=\mathbb {N}\) o espaço é denominado espaço de sequências e vamos denotá-lo por \(\mathbb {K}^{\mathbb {N}}\). Um elemento \(f\in \mathbb {K}^{\mathbb {N}}\) é uma função \(f:\mathbb {N}\to \mathbb {K}\) dada por \(n\mapsto x_{n}\in \mathbb {K}\) e será denotado por \(f=(x_{n})_{n\in \mathbb {N}}.\) Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de \(\mathbb {K}^{\mathbb {N}}\) ?

1. O conjunto das sequências com apenas um número finito de coordenadas diferentes de zero.

2. Nenhuma coordenada igual a \(1\).

   Nos próximos itens \(\mathbb {K}=\mathbb {R}\)

3. O conjunto das sequências de Cauchy, isto é, das sequências tais que, dado \(\epsilon \gt 0\) existe \(N\gt 0\) tal que \(|x_{n}-x_{m}|\lt \epsilon \) para \(n,m\gt N\).

4. As sequências tais que \(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|\lt \infty \).

5. As sequências limitadas, isto é, as sequências \((x_n)_{n\in \mathbb {N}}\) para as quais existe \(M\gt 0\) tal que \(\left|x_{n}\right|\leq M\) para todo \(n\in \mathbb {N}\).

Seja \(S\) um subespaço de \(V\) e seja \(v\in V\). O conjunto \(v+S=\{ v+s\, \mid \, s\in S\} \) é um subespaço afim de \(V\).

1. Quando um subespaço afim de \(V\) é subespaço de \(V\)?

2. Mostre que dois subespaços afins \(x+S\) e \(y+S\) ou são iguais ou são disjuntos.

Prove que

1. Se \( S_{1} \subseteq S_{2} \), \( \langle S_{1}\rangle \subseteq \langle S_{2}\rangle \).

2. Se \( \bm {x}\in \langle S\rangle \), existe um subconjunto finito \( S '\subseteq S \) de modo que \( \bm {x}\in \langle S '\rangle \).

3. \( S \subseteq \langle S\rangle \) para todos os \( S \in \mathscr {P}(V) \).

4. Para cada \( S \in \mathscr {P}(V), \langle \langle S\rangle \rangle = \langle S\rangle \).

Seja \(X\subseteq V\) um subconjunto de um espaço vetorial sobre \(\mathbb {K}\) \(V\). Mostre que \(\left\langle X\right\rangle =\{ \sum _{v\in F}\alpha _{v}\cdot v:F\subseteq X\text{ é um subconjunto finito e }\alpha _{v}\in \mathbb {K},\, \forall v\in F\} \).

Dê um contraexemplo que mostre que a união de subespaços não é necessariamente um subespaço.

Mostre que, se \(W_1\) e \(W_2\) são subespaços de \(V\), então \(W_1\cup W_2\) é um subespaço se, e somente se, \(W_1\subseteq W_2\) ou \(W_2\subseteq W_1\).

Com as operações usuais, determine se os conjuntos abaixo são subespaços reais. Nos casos afirmativos, encontre uma base e a dimensão.

1. \(\{ (0,y):y\in \mathbb {R}\} \subseteq \mathbb {R}^2\);

2. \(\left\{ \begin{bmatrix} a & a+b \\ a+b & b \end{bmatrix}:a,b\in \mathbb {R}\right\} \);

3. o conjunto das matrizes triangulares superiores de ordem \(3\).

Gabarito no Apêndice C, p. *.

Para subconjuntos arbitrários \(U,W\) de um espaço vetorial, prove ou refute: \(\langle U\rangle \cap \langle W\rangle =\langle U\cap W\rangle \) e \(\langle U\rangle +\langle W\rangle =\langle U\cup W\rangle \). Se uma igualdade falhar, indique a inclusão que permanece válida.

Gabarito no Apêndice C, p. *.

Suponha que \(S\) seja finito. Exiba uma base para o espaço de funções \(\mathbb {K}(S)=\mathbb {K}^S\).

Dado um subespaço \(L\subseteq V\), prove que, se \(\dim L=\dim V\lt \infty \), então \(L=V\).

1. Prove que os únicos subespaços de \(\mathbb {R}\) são o próprio \(\mathbb {R}\) e o subespaço nulo.

2. Prove que todos os subespaços de \(\mathbb {R}^2\) são o próprio \(\mathbb {R}^2\), o subespaço nulo ou o subespaço constituído pelos múltiplos de um vetor não nulo fixo de \(\mathbb {R}^2\).

3. Quais são todos os subespaços de \(\mathbb {R}^3\)?

Seja \(L\) um espaço \(n\)-dimensional sobre um corpo finito com \(q\) elementos.

1. Calcule o número de subespaços \(k\)-dimensionais de \(L\), para \(1\leq k\leq n\).

2. Calcule o número de pares de subespaços \(L_1\) e \(L_2\) com \(\dim L_1\), \(\dim L_2\) e \(\dim (L_1\cap L_2)\) fixos. Verifique que, quando \(q\to \infty \), a razão entre o número de pares em posição geral e o número total de pares com \(\dim L_1\) e \(\dim L_2\) fixadas tende a \(1\).

Seja \(\underline{\textsc{B}}\) um subconjunto de um espaço vetorial \(V\). Mostre que \(\underline{\textsc{B}}\) é linearmente dependente se, e somente se, existir \(v\in \underline{\textsc{B}}\) que pode ser escrito como combinação linear dos elementos de \(\underline{\textsc{B}}\setminus \{ v\} \).

Se \(\underline{\textsc{e}}=\{ \bm {e}_i\} _{i\in I}\) é uma base de \(V\) e \(\underline{\textsc{f}}=\{ \vec{f}_j\} _{j\in J}\) é uma base de \(W\), mostre que \(\{ (\bm {e}_i,0)\} _{i\in I}\cup \{ (0,\vec{f}_j)\} _{j\in J}\) é uma base de \(V\boxplus W\).

Seja \(V\) um espaço vetorial sobre \(\mathbb {K}\) de dimensão não necessariamente finita e seja \(\underline{\textsc{B}}\) um conjunto linearmente independente em \(V\). Mostre que se existir um elemento \(v\in V\) que não seja combinação linear de elementos de \(\underline{\textsc{B}}\), então o conjunto \(\underline{\textsc{B}}\cup \{ v\} \) é linearmente independente.

Seja \(V\) um espaço vetorial sobre \(\mathbb {K}\). Mostre que:

1. Dados vetores não nulos \(v_1,v_2\), prove que eles são linearmente independentes se, e somente se, \(\langle v_1\rangle \cap \langle v_2\rangle =\{ 0\} \).

2. Dados vetores \(v_{1},v_{2}, v_3\) não nulos. Prove que \(\left\langle v_{1}\right\rangle \cap \left\langle v_{2}\right\rangle \cap \left\langle v_{3}\right\rangle =\{ 0\} \) não implica que os vetores \(v_{1},v_{2},v_{3}\) sejam linearmente independentes.

3. Dado \(S=\left\{ s_{1},\ldots ,s_{n}\right\} \subset V\). Prove que \(S\) é linearmente independente se, e somente se, \(\langle S\setminus \{ s_i\} \rangle \neq \langle S\rangle \) para todo \(s_{i}\in S\).

4. Prove que, se \(A,B\subseteq V\), então \(\langle A\rangle +\langle B\rangle =\langle A\cup B\rangle \).

Mostre que se os coeficientes \(a_1 , \ldots , a_n \) não são todos iguais a zero, o hiperplano

é um subespaço vetorial de dimensão \(n-1\) em \(\mathbb {R}^n\).

Prove que em qualquer conjunto de vetores \(S\) existe um subconjunto \(S'\) linearmente independente tal que \(\left\langle S\right\rangle =\left\langle S'\right\rangle \).

Se \(\mathbb {K}=\mathbb {Z}_{2}\), o subconjunto \(\{ (\overline{1},\overline{1},\overline{0}),(\overline{1},\overline{0},\overline{1}),(\overline{0},\overline{1},\overline{1})\} \) de \(\mathbb {K}^{3}\) é linearmente dependente? E se \(\mathbb {K}=\mathbb {Z}_{13}\)?

Seja \(V=\mathcal{F}(\mathbb {R},\mathbb {C})\) o \(\mathbb {C}\)-espaço vetorial de todas as funções de \(\mathbb {R}\) em \(\mathbb {C}\). Prove que \(\{ f_{1},f_{2},f_{3}\} \) é linearmente independente, onde \(f_{1}(x)=1\), \(f_{2}(x)=e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)\) e \(f_{3}(x)=e^{-ix}\) para todo \(x\in \mathbb {R}\).

Considere o espaço das funções \(\mathcal{F}(\mathbb {R},\mathbb {R})\). Mostre que os seguintes subconjuntos são linearmente independentes:

1. \((f_{n})_{n\in \mathbb {N}}\) onde \(f_{n}:x\mapsto e^{nx}\)

2. \((f_{a})_{a\in \mathbb {R}}\) onde \(f_{a}:x\mapsto \left|x-a\right|\)

Seja \(V\) um espaço vetorial sobre \(\mathbb {R}\) e considere no conjunto \(V_{\mathbb {C}}=\{ (u,v):u,v\in V\} \) as seguintes operações de adição e multiplicação por um número complexo:

1. Mostre que \(V_{\mathbb {C}}\) é um espaço vetorial sobre \(\mathbb {C}\).

2. Seja \(\{ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\} \subseteq V\) um subconjunto linearmente independente. Mostre que \(\{ (v_{1},0),(v_{2},0),\dots ,(v_{n},0)\} \) e \(\{ (0,v_{1}),(0,v_{2}),\dots ,(0,v_{n})\} \) são subconjuntos linearmente independentes de \(V_{\mathbb {C}}\).

Para um \(\mathbb {C}\)-espaço vetorial \(V\), denotaremos por \(V_{\mathbb {R}}\) o conjunto \(V\) visto como \(\mathbb {R}\)-espaço vetorial. Mostre que se \(\{ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\} \) for um subconjunto linearmente independente de \(V\), então \(\{ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\} \) e \(\{ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\} \cup \{ iv_{1},iv_{2},\dots ,iv_{n}\} \) são subconjuntos linearmente independentes de \(V_{\mathbb {R}}\).

Seja \(V\) um espaço vetorial e seja \(\underline{\textsc{B}}\subseteq V\). Mostre que são equivalentes:

1. \(\underline{\textsc{B}}\) é uma base de \(V\);

2. \(\underline{\textsc{B}}\) é um conjunto linearmente independente maximal, isto é, a adição de qualquer vetor de \(V\setminus \underline{\textsc{B}}\) produz um conjunto linearmente dependente;

3. \(\underline{\textsc{B}}\) é um conjunto gerador minimal, isto é, a remoção de qualquer vetor de \(\underline{\textsc{B}}\) produz um conjunto que não gera \(V\).

Seja \(V=\langle X\rangle \). Mostre que existe uma base \(\underline{\textsc{B}}\) de \(V\) tal que \(\underline{\textsc{B}}\subseteq X\). Dica: Defina um conjunto parcialmente ordenado e use o lema de Zorn.

Ache uma base de \(\mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {C})\) como espaço vetorial sobre \(\mathbb {R}\). Qual é a \(\dim _{\mathbb {R}}(\mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {C}))\)?

Seja \(S\) o \(\mathbb {R}\)-espaço vetorial do Exercício 2.14. Mostre que \(\dim _{\mathbb {R}}S=n\).

Dica. Use o Teorema de Existência e Unicidade de soluções. Considere a equação

onde \(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1}\in \mathbb {R}\). Dados \(A_{0},A_{1},\dots ,A_{n-1}\in \mathbb {R}\), existe uma única solução \(y:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) da equação (2.6) verificando \(y(0)=A_{0}\), \(y'(0)=A_{1},\dots ,y^{(n-1)}(0)=A_{n-1}\) (condições iniciais da equação (2.6)).

Construa \(n\) soluções que formarão uma base do espaço das soluções de (2.6), da seguinte forma: considerando as condições iniciais \(A_{0}=1\) e \(A_{1}=\cdots =A_{n-1}=0\) o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma única solução \(y_{1}:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) de (2.6) que verifica as condições \(y_{1}(0)=1\) e \(y'_{1}(0)=\cdots =y_{1}^{(n-1)}(0)=0\). Repita o procedimento considerando as condições iniciais \(A_{i}=1\) e \(A_{j}=0\) para todo \(j\neq i\) com \(i\) variando de \(1\) a \(n-1\).

Determine se os espaços abaixo têm dimensão finita. Em caso afirmativo, determine a dimensão e uma base para o espaço:

1. O conjunto de todas as sequências reais.

2. O conjunto das sequências reais que satisfazem \(a_{k}=a_{k-1}+a_{k-2}\) para \(k\geqslant 3\).

3. \(\mathbb {C}^{n}\) visto como um espaço vetorial sobre \(\mathbb {C}\) e visto como um espaço vetorial sobre \(\mathbb {R}\).

4. O conjunto das sequências com apenas um número finito de termos não nulos.

5. O espaço das funções em \(\mathcal{F}(X,\mathbb {R})\), \(|X|\lt \infty \) que se anulam em todos os pontos de um subconjunto \(X_{0}\subset X\).

6. O espaço das funções \(C([0,1],\mathbb {R})\).

Seja \(\mathbb {F}\) um corpo. Um subcorpo \(\mathbb {K}\) é um subconjunto de \(\mathbb {F}\) que é corpo quando restringimos as operações de \(\mathbb {F}\) a \(\mathbb {K}\).

1. Mostre que \(\mathbb {F}\) é espaço vetorial sobre \(\mathbb {K}\).

2. Suponha que \(V\) seja um espaço vetorial \(m\)-dimensional sobre \(\mathbb {F}\) e que \(\mathbb {F}\) seja um espaço vetorial \(n\)-dimensional sobre \(\mathbb {K}\). Qual a dimensão de \(V\) sobre \(\mathbb {K}\)?

Seja \(W\) um subespaço de \(V\) com \(\dim (V)\lt \infty \). Prove que:

1. \(\dim (W)\leq \dim (V)\)

2. \(\dim (W)=\dim (V)\) se, e somente se, \(W=V\).

Mostre que \(\mathbb {R}\) é um espaço vetorial de dimensão infinita sobre \( \mathbb {Q}\).

Sejam \(u,v,w\) vetores linearmente independentes em um espaço vetorial complexo. Prove que \(u+v,v+w,u+w\) são linearmente independentes. A conclusão continua válida sobre um corpo de característica \(2\)?

Gabarito no Apêndice C, p. *.

Sejam \(n,p\geq 1\).

1. Determine uma base e a dimensão do espaço dos polinômios em \(n\) variáveis de grau total menor que \(p\).

2. Determine uma base e a dimensão do espaço dos polinômios homogêneos de grau exatamente \(d\geq 0\).

3. Explique por que o conjunto de todos os polinômios homogêneos, admitindo diferentes graus menores que \(p\), em geral não é um subespaço. Identifique o espaço gerado por esse conjunto.

Gabarito no Apêndice C, p. *.

Seja \(\mathbb {K}\) um corpo com \(q\) elementos e \(n\geq 1\). Quantos elementos tem \(\mathbb {K}^n\)? Para \(a_1,\ldots ,a_n\in \mathbb {K}\), determine o número de soluções de \(\sum _i a_ix_i=0\), distinguindo o caso em que todos os coeficientes são nulos.

Gabarito no Apêndice C, p. *.

Sejam \(U_1,W_1,U_2,W_2\subseteq \mathbb {R}^n\) com \(\dim U_1=\dim U_2\), \(\dim W_1=\dim W_2\) e \(\dim (U_1\cap W_1)=\dim (U_2\cap W_2)\). Prove que existe um automorfismo \(T\) de \(\mathbb {R}^n\) tal que \(T(U_1)=U_2\) e \(T(W_1)=W_2\).

Gabarito no Apêndice C, p. *.