Estruturas Algébricas e Polinômios
Estruturas algébricas são conjuntos munidos de operações que satisfazem certos axiomas. Anéis e corpos são exemplos dessas estruturas, e suas propriedades determinam quais regras de cálculo podemos empregar. Na Álgebra Linear, os elementos de um corpo servem de escalares, enquanto os polinômios de \(\mathbb {K}[x]\) permitem estudar operadores lineares.
A teoria de grupos e os grupos de permutações serão tratados no capítulo de determinantes, em conexão com a paridade das permutações e a fórmula de Leibniz.
1.1 Operações e estruturas algébricas
Para definir uma estrutura algébrica, especificamos as operações em um conjunto e as leis que elas devem satisfazer. Esse procedimento se aplica à adição de números, à composição de aplicações, à multiplicação de matrizes e às operações de um espaço vetorial.
Em geral, escrevemos \(a\cdot b\), \(a+b\) ou simplesmente \(ab\) em lugar de \(\mu (a,b)\). O par \((A,\mu )\) indica que o conjunto \(A\) está sendo considerado juntamente com a operação \(\mu \).
A adição, a multiplicação e a subtração são operações binárias em \(\mathbb {Z}\). A divisão não é: além de \(1/2\notin \mathbb {Z}\), a expressão \(1/0\) nem sequer está definida.
A união e a interseção são operações binárias no conjunto das partes \(\mathscr P(X)\).
Se \(X^X\) denota o conjunto das aplicações de \(X\) em \(X\), a composição é uma operação binária em \(X^X\).
A multiplicação usual não é uma operação binária no conjunto das matrizes retangulares \(m\times n\) quando \(m\neq n\), mas é uma operação em \(M_n(\mathbb {K})\).
Quando \(A\) é finito, uma operação binária pode ser apresentada por uma tabela de Cayley. Adotaremos a convenção de colocar \(\mu (a,b)\) na linha de \(a\) e na coluna de \(b\).
1.1.1 Leis algébricas
A associatividade permite escrever \(a_1a_2\cdots a_n\) sem especificar a posição dos parênteses. Ela não permite, contudo, alterar a ordem dos fatores: essa possibilidade depende da comutatividade.
A adição e a multiplicação de números são associativas e comutativas.
A composição de aplicações e a multiplicação de matrizes são associativas, mas em geral não são comutativas.
A subtração não é associativa, pois normalmente \((a-b)-c\neq a-(b-c)\).
Se \(e\) e \(e'\) são identidades, então \(e=ee'=e'\). Agora suponha que \(b\) e \(c\) sejam inversos de \(a\). Pela associatividade,
Logo, tanto a identidade quanto o inverso, quando existem, são únicos.
1.1.2 Estruturas e aplicações que as preservam
Escolhas diferentes de operações e axiomas dão origem a estruturas distintas. Estudaremos aqui aquelas que intervêm na descrição dos escalares e dos polinômios.
A definição anterior é frequentemente chamada de transporte de estrutura. Ela é expressa pelo diagrama comutativo 
Comutatividade significa que os dois caminhos de \(A\times A\) até \(B\) produzem o mesmo resultado.
Seja \(\circ \) uma operação associativa em \(A\) e fixe \(x\in A\). Defina \(a\circ _x b=a\circ (x\circ b)\). Mostre que \(\circ _x\) é associativa.
Construa uma operação em um conjunto de três elementos que possua identidade, mas não seja associativa. Apresente-a por meio de uma tabela de Cayley.
Seja \((A,\cdot )\) um conjunto com uma operação associativa e com identidade. Mostre que \(ab=e\) não implica necessariamente \(ba=e\). Dê um exemplo usando composição de aplicações de um conjunto infinito em si mesmo.
Seja \(\phi :A\to B\) uma bijeção e transporte para \(B\) uma operação associativa em \(A\). Mostre que a operação induzida em \(B\) também é associativa. Verifique o mesmo para comutatividade, identidade e inversos.
1.2 Anéis
Os anéis reúnem duas operações, adição e multiplicação, sem exigir que todo elemento não nulo possua inverso multiplicativo. Essa é a estrutura natural dos números inteiros, das matrizes quadradas e, sobretudo, dos polinômios.
a adição é associativa e comutativa;
existe \(0\in R\) tal que \(a+0=0+a=a\) para todo \(a\in R\);
para cada \(a\in R\), existe \(-a\in R\) tal que \(a+(-a)=0\);
a multiplicação é associativa;
\(1a=a1=a\) para todo \(a\in R\);
a multiplicação é distributiva em relação à adição:
\[ a(b+c)=ab+ac, \qquad (a+b)c=ac+bc. \]
Neste livro, a palavra anel sempre significará anel com identidade. Não exigiremos, contudo, que um homomorfismo entre anéis preserve a identidade, a menos que isso seja mencionado explicitamente.
Os inteiros, com as operações usuais, formam o anel comutativo \(\mathbb {Z}\).
Se \(\mathbb {K}\) é um corpo, então \(M_n(\mathbb {K})\) é um anel com a adição e a multiplicação de matrizes. Para \(n\geq 2\), esse anel não é comutativo.
O conjunto \(2\mathbb {Z}\) é fechado por adição e multiplicação, mas não é um subanel de \(\mathbb {Z}\) segundo nossa convenção, pois não contém a identidade \(1\).
Assim, \(\mathbb {Z}\) é um domínio de integridade. O anel \(M_n(\mathbb {K})\), para \(n\geq 2\), possui divisores de zero: por exemplo, em \(M_2(\mathbb {K})\),
Um subconjunto \(S\subseteq R\) é um subanel quando contém \(1\) e é fechado por subtração e multiplicação.
Um subconjunto não vazio \(I\subseteq R\) é um ideal bilateral quando é fechado por subtração e
\[ r a\in I, \qquad a r\in I \]para quaisquer \(a\in I\) e \(r\in R\).
Para cada inteiro \(m\), o conjunto \(m\mathbb {Z}\) é um ideal de \(\mathbb {Z}\).
Os conjuntos \(\{ 0\} \) e \(R\) são ideais de qualquer anel \(R\).
Se \(\mathbb {K}\) é um corpo, seus únicos ideais são \(\{ 0\} \) e \(\mathbb {K}\). De fato, se um ideal \(I\) contém \(a\neq 0\), então contém \(a^{-1}a=1\) e, consequentemente, contém todo elemento de \(\mathbb {K}\).
Quando \(A=\{ a\} \), escrevemos simplesmente \(\langle a\rangle \) e dizemos que esse ideal é principal.
Mais adiante provaremos que \(\mathbb {K}[x]\) é um domínio de ideais principais. Essa propriedade permitirá interpretar o máximo divisor comum de dois polinômios como o gerador de um ideal.
1.3 Corpos
Os corpos são os sistemas de escalares da Álgebra Linear. Neles podemos realizar as quatro operações aritméticas, com a única restrição habitual de que não se pode dividir por zero.
Os conjuntos \(\mathbb {Q}\), \(\mathbb {R}\) e \(\mathbb {C}\), com as operações usuais, são corpos e \(\mathbb {Q}\subseteq \mathbb {R}\subseteq \mathbb {C}\).
Os inteiros não formam um corpo: por exemplo, \(2\) não possui inverso multiplicativo em \(\mathbb {Z}\).
Para \(n\geq 2\), o anel \(M_n(\mathbb {K})\) não é um corpo. Sua multiplicação não é comutativa e existem matrizes não nulas que não são invertíveis.
\(a0=0a=0\);
\(a(-b)=(-a)b=-(ab)\);
\((-a)(-b)=ab\);
se \(ab=0\), então \(a=0\) ou \(b=0\);
se \(a\neq 0\) e \(ab=ac\), então \(b=c\).
Pela distributividade,
Somando o oposto de \(a0\) aos dois lados, obtemos \(a0=0\); analogamente, \(0a=0\). Além disso,
de modo que \(a(-b)=-(ab)\). A igualdade \((-a)b=-(ab)\) é semelhante, e aplicá-la duas vezes fornece \((-a)(-b)=ab\).
Se \(ab=0\) e \(a\neq 0\), multiplicar por \(a^{-1}\) dá \(b=0\). Finalmente, de \(ab=ac\) segue \(a(b-c)=0\); se \(a\neq 0\), a propriedade anterior implica \(b-c=0\), isto é, \(b=c\).
Por exemplo, \(\mathbb {Q}\) é subcorpo de \(\mathbb {R}\), que é subcorpo de \(\mathbb {C}\). As identidades aditiva e multiplicativa de um subcorpo coincidem com as do corpo que o contém.
Suponha que a característica seja \(n\gt 0\). Se \(n=rs\), com \(1\lt r,s\lt n\), então
Pela minimalidade de \(n\), os dois fatores são não nulos, contradizendo a ausência de divisores de zero. Logo, \(n\) é primo.
Os corpos \(\mathbb {Q}\), \(\mathbb {R}\) e \(\mathbb {C}\) têm característica zero, enquanto \(\mathbb F_p\) tem característica \(p\).
Em característica \(p\), um inteiro \(m\) representa o escalar \(m\cdot 1\). Assim, uma divisão por \(m\) só é permitida quando \(p\) não divide \(m\).
Considere o conjunto \(\mathbb {K}=\{ 0,1\} \) com as operações dadas pelas tabelas Verifique que \(\mathbb {K}\) é um corpo e identifique sua característica.
Seja \(\mathbb {K}\) um corpo. Demonstre diretamente que:
\(-a=(-1)a\);
\((-a)(-b)=ab\);
se \(a\neq 0\) e \(ab=ac\), então \(b=c\);
\((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\) quando \(a,b\neq 0\).
Prove que \(\mathbb {Q}(\sqrt2)\) é um corpo. Em seguida, determine o inverso de \(3+2\sqrt2\).
Seja \(d\) um inteiro positivo que não é quadrado perfeito. Mostre que \(\mathbb {Q}(\sqrt d)=\{ a+b\sqrt d:a,b\in \mathbb {Q}\} \) é um corpo.
Mostre que todo subcorpo de \(\mathbb {C}\) contém uma cópia de \(\mathbb {Q}\).
Mostre que um corpo de característica zero é infinito.
Seja \(\mathbb {K}\) um corpo de característica \(p\gt 0\). Mostre que a aplicação \(\mathbb F_p\to \mathbb {K}\), definida por \(\overline m\mapsto m\cdot 1\), é um homomorfismo injetivo. Assim, todo corpo de característica \(p\) contém uma cópia de \(\mathbb F_p\).
Determine quais dos anéis \(\mathbb {Z}/4\mathbb {Z}\), \(\mathbb {Z}/5\mathbb {Z}\) e \(\mathbb {Z}/6\mathbb {Z}\) são corpos. Nos demais casos, exiba divisores de zero não nulos.
1.4 O anel de polinômios
Seja \(\mathbb {K}\) um corpo. Um polinômio com coeficientes em \(\mathbb {K}\) é uma soma formal
na qual apenas um número finito de coeficientes é não nulo. Dois polinômios são iguais quando possuem os mesmos coeficientes. O conjunto de todos eles é denotado por \(\mathbb {K}[x]\).
A soma e o produto são definidos coeficiente a coeficiente por
e
As somas são finitas porque os polinômios têm apenas um número finito de coeficientes não nulos.
As propriedades de anel seguem diretamente das propriedades das operações em \(\mathbb {K}\) e das definições dos coeficientes da soma e do produto. Se os termos principais de \(f\) e \(g\) são \(a_mx^m\) e \(b_nx^n\), o termo principal de \(fg\) é \(a_mb_nx^{m+n}\). Como \(\mathbb {K}\) não possui divisores de zero, \(a_mb_n\neq 0\). Portanto, \(fg\neq 0\) e \(\deg (fg)=m+n\).
Se \(fg=1\), a igualdade dos graus fornece \(\deg f+\deg g=0\); logo, ambos são constantes não nulas. Reciprocamente, toda constante não nula é invertível porque pertence ao corpo \(\mathbb {K}\).
Para \(m\geq 0\), denotaremos por \(\mathbb {K}_{(m)}[x]\) o conjunto dos polinômios de grau no máximo \(m\), incluindo o polinômio zero. No próximo capítulo veremos que esse conjunto é um espaço vetorial de dimensão \(m+1\).
1.5 Divisão euclidiana e máximo divisor comum
Nos inteiros, a divisão com resto sustenta o algoritmo de Euclides. A mesma estrutura existe em \(\mathbb {K}[x]\), com o grau ocupando o papel desempenhado pelo valor absoluto.
Provaremos a existência por indução forte sobre \(\deg f\). Se \(f=0\) ou \(\deg f\lt \deg g\), podemos tomar, respectivamente, \((q,r)=(0,0)\) ou \((q,r)=(0,f)\).
Suponha agora que \(f\) e \(g\) tenham termos principais \(a_nx^n\) e \(b_mx^m\), com \(n\geq m\). O polinômio
é nulo ou possui grau menor que \(n\). Pela hipótese de indução, \(h=gq_1+r\), com \(r=0\) ou \(\deg r\lt m\). Assim,
o que prova a existência.
Para a unicidade, suponha que \(f=gq_1+r_1=gq_2+r_2\), com \(r_i=0\) ou \(\deg r_i\lt \deg g\), para \(i=1,2\). Então
Se \(q_1\neq q_2\), o lado esquerdo tem grau pelo menos \(\deg g\), enquanto o lado direito é nulo ou tem grau menor que \(\deg g\), uma contradição. Logo, \(q_1=q_2\) e, em seguida, \(r_1=r_2\).
Seja \(I\neq \{ 0\} \) um ideal de \(\mathbb {K}[x]\) e escolha em \(I\) um polinômio não nulo \(d\) de grau mínimo. Para cada \(f\in I\), escreva \(f=dq+r\) pela divisão euclidiana. Como \(r=f-dq\in I\) e \(r=0\) ou \(\deg r\lt \deg d\), a minimalidade de \(d\) força \(r=0\). Portanto, \(d\) divide todo elemento de \(I\) e \(I=\langle d\rangle \). O ideal nulo é gerado por \(0\).
\(d\) divide \(f\) e \(g\);
todo divisor comum de \(f\) e \(g\) divide \(d\).
Como \(\mathbb {K}[x]\) é um PID, o ideal \(\langle f,g\rangle \) possui um gerador \(d_0\). Multiplicando-o por uma constante não nula, podemos supor que \(d_0\) é mônico. Como \(f,g\in \langle d_0\rangle \), o polinômio \(d_0\) divide ambos. Se \(c\) é outro divisor comum, então divide toda combinação \(rf+sg\) e, portanto, divide \(d_0\). Logo, \(d_0=\operatorname {mdc}(f,g)\).
Essa caracterização também prova a unicidade: dois polinômios mônicos com as propriedades do máximo divisor comum dividem um ao outro e, portanto, são iguais.
Finalmente, \(d_0\in \langle f,g\rangle \), de modo que existem \(r,s\) com \(d_0=rf+sg\).
Um polinômio divide simultaneamente \(f\) e \(g\) se, e somente se, divide simultaneamente \(g\) e \(r=f-gq\). Os dois pares têm, portanto, os mesmos divisores comuns e o mesmo máximo divisor comum mônico.
Aplicando repetidamente a divisão euclidiana, obtemos uma sequência de restos cujos graus decrescem estritamente. O processo termina, e o último resto não nulo, depois de dividido por seu coeficiente principal, é o máximo divisor comum. Esse procedimento é o algoritmo de Euclides.
1.6 Raízes e multiplicidades
Pela divisão euclidiana, existem \(q\in \mathbb {K}[x]\) e uma constante \(r\) tais que
Substituindo \(x=\alpha \), obtemos \(r=p(\alpha )\). Portanto, o resto é nulo se, e somente se, \(\alpha \) é raiz de \(p\).
Procedemos por indução sobre \(n\). Um polinômio constante não nulo não possui raízes. Se \(n\geq 1\) e \(p\) não possui raízes, nada há a provar. Caso contrário, seja \(\alpha \) uma raiz. Pelo Teorema do Fator, \(p=(x-\alpha )q\), com \(\deg q=n-1\). Se \(\beta \neq \alpha \) é outra raiz de \(p\), então
Como \(\beta -\alpha \neq 0\) e um corpo não possui divisores de zero, \(q(\beta )=0\). Assim, toda raiz de \(p\) diferente de \(\alpha \) é raiz de \(q\), que possui no máximo \(n-1\) raízes pela hipótese de indução. Assim, \(p\) possui no máximo \(n\) raízes.
A multiplicidade está bem definida: o Teorema do Fator garante ao menos um fator \(x-\alpha \), e o grau de \(p\) impede que as potências divisoras \((x-\alpha )^k\) tenham expoentes arbitrariamente grandes.
A derivada formal de \(p(x)=\sum _{j=0}^{n}a_jx^j\) é
Essa definição é puramente algébrica e continua válida em qualquer característica.
Escreva \(p=(x-\alpha )^r s\), com \(s(\alpha )\neq 0\), onde \(r\) é a multiplicidade de \(\alpha \). Pela regra de Leibniz, todas as derivadas de ordem menor que \(r\) ainda contêm um fator \(x-\alpha \) e se anulam em \(\alpha \). Na derivada de ordem \(r\), o único termo que não contém esse fator fornece
A última desigualdade usa a hipótese de característica zero. Portanto, \(r\) é exatamente a ordem da primeira derivada que não se anula em \(\alpha \), o que prova as duas implicações.
1.7 Irredutibilidade e fatoração
Suponha que \(p\) não divida \(a\). Como \(p\) é irredutível, seus únicos divisores mônicos são \(1\) e \(p\); logo, \(\operatorname {mdc}(p,a)=1\). Pela identidade de Bézout, existem \(r,s\in \mathbb {K}[x]\) tais que \(rp+sa=1\). Multiplicando por \(b\),
As duas parcelas do lado direito são divisíveis por \(p\), pois \(p\) divide \(ab\). Portanto, \(p\) divide \(b\).
A existência é demonstrada por indução sobre \(\deg f\). Se \(f\) é irredutível, basta dividir \(f\) por seu coeficiente principal. Se é redutível, escrevemos \(f=gh\), com \(0\lt \deg g,\deg h\lt \deg f\), e aplicamos a hipótese de indução aos dois fatores.
Para a unicidade, suponha
com todos os fatores irredutíveis e mônicos. O Lema de Euclides implica que \(p_1\) divide algum \(q_j\). Como ambos são irredutíveis e mônicos, \(p_1=q_j\). Cancelando esse fator e repetindo o argumento, obtemos \(r=s\) e, após uma reordenação, \(p_i=q_i\) para todo \(i\). A comparação dos coeficientes principais fornece \(c=d\).
Se \(f\) possui uma raiz \(\alpha \), o Teorema do Fator produz a fatoração não trivial \(f=(x-\alpha )q\). Reciprocamente, se \(f\) é redutível e tem grau \(2\) ou \(3\), numa fatoração não trivial ao menos um dos fatores tem grau \(1\). Todo polinômio linear possui uma raiz em \(\mathbb {K}\), que também é raiz de \(f\).
O resultado não se estende ao grau \(4\): o polinômio \(x^4+3x^2+2=(x^2+1)(x^2+2)\) não possui raízes reais, mas é redutível em \(\mathbb {R}[x]\).
1.8 Polinômios sobre os reais e os complexos
Por indução sobre \(n\). Como \(\mathbb {K}\) é algebricamente fechado, \(f\) possui uma raiz \(\alpha _1\). Pelo Teorema do Fator, \(f=(x-\alpha _1)g\), com \(\deg g=n-1\). Aplicamos a hipótese de indução a \(g\). O caso inicial \(n=1\) é imediato.
A demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra utiliza ferramentas que não fazem parte deste livro. O resultado será usado aqui como teorema clássico; a fatoração em fatores lineares segue da proposição anterior.
Como os coeficientes de \(f\) são reais,
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, \(f\) se fatora em fatores lineares sobre \(\mathbb {C}\). Como \(f\) tem coeficientes reais, \(\overline{f(z)}=f(\overline z)\); portanto, as raízes não reais aparecem em pares conjugados com a mesma multiplicidade. Se \(\alpha =a+bi\), com \(b\neq 0\), então
um polinômio real de discriminante \(-4b^2\lt 0\) e, portanto, irredutível em \(\mathbb {R}[x]\). Agrupando cada par conjugado e mantendo os fatores associados às raízes reais, obtemos a fatoração desejada.
Todo polinômio linear é irredutível. Um quadrático é irredutível se, e somente se, não possui raiz real, o que equivale a ter discriminante negativo. Por outro lado, o teorema anterior mostra que todo polinômio real de grau maior que \(2\) se decompõe em fatores de graus \(1\) e \(2\) e, portanto, é redutível.
Em particular, todo polinômio real de grau ímpar maior que \(1\) possui uma raiz real e é redutível. A ressalva sobre o grau é necessária: polinômios lineares são irredutíveis.
Anéis e operações com polinômios
Seja \(R\) um anel. Prove que, para quaisquer \(a,b\in R\),
\(0a=a0=0\);
\(a(-b)=(-a)b=-(ab)\);
\((-a)(-b)=ab\);
\((-1)a=-a\) e \((-1)(-1)=1\).
Seja \(R\) um anel comutativo. Mostre que
é um ideal de \(R\) para todo \(a\in R\).
Verifique diretamente, a partir das definições das operações, que \(\mathbb {K}[x]\) é um anel comutativo com identidade.
Sejam \(p,q\in \mathbb {K}[x]\) não nulos.
Se \(p\neq -q\), mostre que \(\deg (p+q)\leq \max \{ \deg p,\deg q\} \) e determine quando ocorre igualdade.
Prove que \(\deg (pq)=\deg p+\deg q\).
Seja \(S\subseteq \mathbb {K}[x]\) não vazio. Mostre que
é o ideal gerado por \(S\).
Divisão e máximo divisor comum
Efetue a divisão euclidiana de \(f\) por \(g\) nos casos seguintes.
\(f=x^4-1\) e \(g=x-1\);
\(f=2x^4+x^3-3x+1\) e \(g=x^2+1\);
\(f=x^5+1\) e \(g=x^2+x+1\).
Use o algoritmo de Euclides para determinar o máximo divisor comum dos pares abaixo. Em cada caso, faça a retro-substituição e obtenha uma identidade de Bézout.
\(2x^{5}-x^{3}-3x^{2}-6x+4\) e \(x^{4}+x^{3}-x^{2}-2x-2\);
\(3x^{4}+8x^{2}-3\) e \(x^{3}+2x^{2}+3x+6\);
\(x^{4}-2x^{3}-2x^{2}-2x-3\) e \(x^{3}+6x^{2}+7x+1\).
Sejam \(p_1,\ldots ,p_n\in \mathbb {K}[x]\) coprimos dois a dois. Se cada \(p_i\) divide \(q\), prove que \(p_1\cdots p_n\) divide \(q\).
Mostre que \(x-\alpha \) e \(x-\beta \) são coprimos se, e somente se, \(\alpha \neq \beta \).
Raízes e multiplicidades
Sejam \(p,q\in \mathbb {K}[x]\) e sejam \(a_1,\ldots ,a_m\) elementos distintos de \(\mathbb {K}\). Suponha que \(p(a_i)=q(a_i)\) para todo \(i\) e que
Prove que \(p=q\).
Determine quais dos subconjuntos de \(\mathbb {Q}[x]\) abaixo são ideais. Quando houver um ideal, determine seu gerador mônico.
Os polinômios de grau ímpar;
os polinômios de grau pelo menos \(5\);
os polinômios \(p\) tais que \(p(0)=0\);
os polinômios \(p\) tais que \(p(2)=p(4)=0\);
os polinômios da forma
\[ \sum _{i=0}^{n}\frac{c_i}{i+1}x^{i+1}, \qquad c_0,\ldots ,c_n\in \mathbb {Q}. \]
Em um corpo de característica zero, considere \(p(x)=(x-1)^3(x+2)^2\). Determine as multiplicidades de suas raízes e verifique o resultado calculando derivadas formais sucessivas nos pontos \(1\) e \(-2\).
Seja \(\mathbb {K}\) um corpo de característica zero e seja \(D:\mathbb {K}[x]\to \mathbb {K}[x]\) a derivada formal. Se \(\deg p\leq n\), prove a fórmula de Taylor
Dica: faça a mudança de variável \(y=x-a\) e compare os coeficientes de \(p(a+y)\).
Seja \(p\in \mathbb {C}[x]\). Prove que \(p\) possui apenas raízes simples se, e somente se, \(\operatorname {mdc}(p,p')=1\).
Irredutibilidade e fatoração
Mostre que, se \(p\) é irredutível e não divide \(q\), então \(\operatorname {mdc}(p,q)=1\).
Dizemos que um polinômio não constante \(p\) é primo quando \(p\mid ab\) implica \(p\mid a\) ou \(p\mid b\). Prove que, em \(\mathbb {K}[x]\), um polinômio é primo se, e somente se, é irredutível.
Seja \(p\in \mathbb {K}[x]\) não constante.
Mostre que todo polinômio de grau \(1\) é irredutível.
Mostre que, nos graus \(2\) e \(3\), irredutibilidade equivale à ausência de raízes em \(\mathbb {K}\).
Dê um polinômio de grau \(4\) sem raízes em \(\mathbb {K}\) que seja redutível.
Use o Teorema Fundamental da Álgebra para provar que:
todo polinômio complexo não constante se fatora em fatores lineares;
se \(p\in \mathbb {R}[x]\) e \(\alpha \in \mathbb {C}\) é raiz de \(p\), então \(\overline\alpha \) também é raiz;
\((x-\alpha )(x-\overline\alpha )\) é um quadrático real irredutível quando \(\alpha \notin \mathbb {R}\);
todo polinômio real é produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis;
todo polinômio real de grau ímpar possui ao menos uma raiz real.
Admita o seguinte caso do critério de Eisenstein: se um primo \(q\) divide todos os coeficientes não líderes de um polinômio inteiro, não divide o coeficiente líder e \(q^2\) não divide o termo constante, então o polinômio é irredutível em \(\mathbb {Q}[x]\). Use-o para provar que \(x^n-q\) é irredutível para todo \(n\geq 1\). Conclua que existem polinômios irredutíveis de qualquer grau em \(\mathbb {Q}[x]\).
Assumindo o Teorema Fundamental da Álgebra, prove que dois polinômios complexos são coprimos se, e somente se, não possuem raiz comum.
Para retomada posterior. Os problemas seguintes utilizam conceitos de matrizes e determinantes desenvolvidos em outros capítulos.
Suponha que \(\operatorname {char}\mathbb {K}\neq 2\).
Mostre que, para cada \(n\geq 2\), existe \(p\in \mathbb {K}[x]\), com \(\deg p\leq n-1\), tal que \(x^n\) divide \(1+x-p^2\).
Deduza que, se \(N\in M_n(\mathbb {K})\) é nilpotente, então \(I+N\) possui uma raiz quadrada.
Dê um exemplo explícito para \(n=3\).
Sejam \(A,B\in M_n(\mathbb {Z})\) matrizes não singulares cujos determinantes são coprimos. Prove que existem \(U,V\in M_n(\mathbb {Z})\) tais que
Dica: use a identidade de Bézout para \(\det A\) e \(\det B\) e as matrizes adjugadas de \(A\) e \(B\).