Escolha \(m\geq 1\) tal que \(T^m=0\). Em matrizes com entradas em \(\mathbb {K}[x]\),

Tomando determinantes e usando a multiplicatividade sobre o anel comutativo \(\mathbb {K}[x]\), obtemos

Logo todo fator irredutível de \(c_T\) divide \(x\). Como \(c_T\) é mônico de grau \(n\), segue que \(c_T(x)=x^n\). A afirmação sobre o autoespaço é a identidade \(E_0=\ker (T-0\operatorname {I})=\ker T\).

Pela proposição anterior, \(c_T(x)=x^n\) se decompõe em fatores lineares. O Teorema de Schur fornece uma base na qual a matriz de \(T\) é triangular superior. As entradas de sua diagonal são as raízes do polinômio característico e, portanto, são todas nulas. A matriz é, assim, estritamente triangular superior.

Escolhemos \(R=R_{\infty }\) e \(K=K_{\infty }\).

Afirmamos que \(T\) é nilpotente em \(K_{\infty }\) e invertível em \(R_{\infty }\). De fato, \(T(R_{\infty })=R_{\infty }\); como esse espaço tem dimensão finita, a sobrejetividade da restrição implica sua invertibilidade. Além disso, \(K_{\infty }=\ker (T^r)\) para algum \(r\geq 1\), de modo que a restrição de \(T\) a \(K_{\infty }\) é nilpotente.

Afirmamos que \(V = K_{\infty } \oplus R_{\infty }\). Primeiro, \(K_{\infty }\cap R_{\infty }=\{ \vec0\} \). De fato, se \(\bm {x}\in K_{\infty }\cap R_{\infty }\), escreva \(\bm {x}=T^r\bm {y}\) e use \(T^r\bm {x}=0\). Então \(T^{2r}\bm {y}=0\); como os núcleos já se estabilizaram, \(\ker T^{2r}=\ker T^r\), de modo que \(\bm {x}=T^r\bm {y}=0\). Portanto, basta mostrar que todo \(\bm {v}\in V\) pode ser decomposto como \(k+r \) com \(k \in K_{\infty } \) e \(r \in R_{\infty }\). Sem perda de generalidade, podemos assumir que \(K_{\infty } = \ker (T^r)\) e \(R_{\infty } = T^r V\). Como \(\operatorname {im}(T^{2r}) = \operatorname {im}(T^r)\), temos \(T^r (\bm {v}) = T^{2r} (\bm {w}) \) para algum \(\bm {w}\in V\). Logo \(T^r (\bm {v}- T^{r} (\bm {w})) = T^r (\bm {v}) - T^{2r} (\bm {w}) = 0\). Então definimos

e temos a decomposição desejada de \(\bm {v}\).

Finalmente, mostramos que a decomposição \(V = K_{\infty } \oplus R_{\infty }\) é única. Suponha \(V = A \oplus B\) com \(T\) nilpotente em \(A\) e invertível em \(B\). Então \(A \subseteq \ker (T^k)\) para algum inteiro positivo \(k\) e \(B \subseteq \operatorname {im}(T^k)\) para todo inteiro positivo \(k\). Assim,

Por considerações de dimensão, devemos ter \(A = K_{\infty } \) e \(B = R_{\infty }.\)

A demonstração deste lema será deixada como exercício ao leitor.

Seja \(n=\dim V\). Como o índice de nilpotência é \(n\), existe \(\bm {v}\) tal que \(T^{n-1}\bm {v}\neq \vec0\). Logo, pelo Lema 10.9, o conjunto \(\{ \bm {v},T\bm {v},\ldots ,T^{n-1}\bm {v}\} \) é linearmente independente e, por dimensão, é uma base de \(V\).

A demonstração será deixada como exercício.

Faremos a demonstração por indução sobre \(\dim V\). Como \( T \) é nilpotente, \(\dim \operatorname {im}T \lt \dim V \). Se \(\operatorname {im}T =0\), \( T =0\) e o resultado é trivial, por isso, podemos assumir que \(\operatorname {im}T \neq 0\).

Por indução, existem \(\vec{u}_{1},\ldots ,\vec{u}_{k}\in \operatorname {im}T \), de modo que

é uma base de Jordan para \(T\).

Para \(1\leq i\leq k\) escolha \(\vec{v}_{i}\in V\) tal que \(\vec{u}_{i}= T \vec{v}_{i}\).

Como o último vetor de cada cadeia pertence ao núcleo,

Estendemos esse conjunto linearmente independente a uma base de \(\ker T\), adicionando os vetores \(\vec{w}_{1},\ldots ,\vec{w}_{l}\).

Afirmamos que os vetores

formam uma base para \(V.\)

Para verificar a independência linear, suponha que uma combinação desses vetores seja nula:

Aplicando \(T\), obtemos

Como esses vetores pertencem à base de Jordan de \(\operatorname {im}T\), segue que \(c_{ij}=0\) para \(0\leq j\leq a_i-1\). Logo a combinação inicial se reduz a uma combinação dos vetores \( T^{a_{1}}\vec{v}_{1},\dots , T^{a_{k}}\vec{v}_{k},\vec{w}_{1},\ldots ,\vec{w}_{l}\). Mas esses vetores formam uma base de \(\ker T\), logo os coeficientes restantes também são nulos. Logo a família é linearmente independente.

Para mostrar que esses vetores geram \(V\), usamos um argumento dimensional. Sabemos que \(\dim \ker T =k+l\) e \(\dim \operatorname {im}T =a_{1}+\ldots +a_{k}\). Por isso \( \dim V =(a_{1}+1)+\ldots +(a_{k}+1)+l\), que é o número de vetores acima.

Portanto, construímos cadeias que formam uma base de \(V\). Ordenando cada cadeia do vetor anulado para o seu gerador, obtemos a convenção triangular superior adotada no início do capítulo. Esquematicamente,

Os vetores em ocre formam a base de Jordan de \(\operatorname {im}T\) usada na hipótese de indução. Pode haver várias cadeias de mesmo comprimento, e o comprimento da maior é o índice de nilpotência de \(T\).

Para calcular a fórmula para \(n_i\), observe a maneira como escrevemos a base \(\underline{\textsc{J}}\) como um diagrama bidimensional. Cada bloco de Jordan em \([T]_{\underline{\textsc{J}}}\) corresponde a uma coluna de vetores nessa matriz. Os vetores nas últimas \(k\) linhas correspondem a uma base de \(\ker T^k\). Assim o número de vetores na \(k\)-ésima linha é \(\dim \ker T^k-\dim \ker T^{k-1}\). E na \(k+1\)-ésima linha é \( \dim \ker T^{k+1}- \dim \ker T^k\). A diferença desses dois números é exatamente o número de colunas de altura exatamente \(k\).

Observe que os números \(n_i\) não dependem da base específica. Portanto, a representação do bloco Jordan de \(T\) é única a menos de uma permutação dos blocos.

Pelo Teorema da Decomposição em Autoespaços Generalizados,

onde \(\lambda _1,\ldots ,\lambda _m\) são os autovalores distintos de \(T\). Em cada parcela, o operador

é nilpotente. Pelo Teorema da Decomposição Cíclica para Operadores Nilpotentes, existe uma base \(\underline{\textsc{B}}_i\) dessa parcela na qual

Como \(T\mathord {\upharpoonright }_{E^{\infty }_{\lambda _i}(T)}=\lambda _i\operatorname {I}+N_i\), na mesma base temos

Concatenando \(\underline{\textsc{B}}_1,\ldots ,\underline{\textsc{B}}_m\), obtemos uma base de \(V\) e a forma de Jordan de \(T\). Isso prova a existência.

Unicidade da forma de Jordan

Seja \(\underline{\textsc{B}}\) uma base de Jordan do operador \(T\). Nessa base, as entradas diagonais de \([T]_{\underline{\textsc{B}}}\) são os autovalores de \(T\). Fixe um autovalor \(\lambda \) e denote por \(W_\lambda \) o subespaço gerado por todas as cadeias dos blocos associados a \(\lambda \). Em cada uma dessas cadeias,

Logo alguma potência de \(T-\lambda \operatorname {I}\) anula \(W_\lambda \), e portanto \(W_\lambda \subseteq E_\lambda ^\infty \).

Como \(V=\bigoplus _i W_{\lambda _i}\) e também \(V=\bigoplus _i E^{\infty }_{\lambda _i}(T)\), com \(W_{\lambda _i}\subseteq E^{\infty }_{\lambda _i}(T)\), segue que \(W_{\lambda _i}=E^{\infty }_{\lambda _i}(T)\) para todo \(i\). Em cada uma dessas parcelas, subtrair \(\lambda _i\operatorname {I}\) reduz o problema ao caso nilpotente. A fórmula do item 2, já provada nesse caso, determina o número de blocos de cada tamanho. Portanto, a forma de Jordan é única a menos da ordem dos blocos.

a As matrizes de \(T\) e de sua complexificação \(T^{\mathbb {C}}\), na mesma base real considerada sobre \(\mathbb {C}\), têm as mesmas entradas.

b Sejam \(\lambda \) um autovalor de \(T^{\mathbb {C}}\) e \(c_T(z)\) o polinômio característico de \(T^{\mathbb {C}}\). Como \(c_T(z)\) também é o polinômio característico de \(T\), os coeficientes de \(c_T(z)\) são reais.

Tomando o conjugado na equação \(c_T(\lambda )=0\), obtemos \(c_T(\overline{\lambda })=0\), o que mostra que \(\overline{\lambda }\) também é uma raiz do polinômio característico de \(T^{\mathbb {C}}\).

c Se \(\lambda \) é raiz de multiplicidade \(d\) do polinômio característico, então

tomando o conjugado em cada uma dessas equações

mostrando que \(\overline{\lambda }\) também tem multiplicidade \(d.\)

d Seja \(\{ \bm {w}_{1},\ \ldots ,\ \bm {w}_{k}\} \) uma base de \(W'\), com \(\bm {w}_j=\bm {u}_j+i\bm {v}_j\) e \(\bm {u}_j,\bm {v}_j\in V\). Como \(W'\) é fechado por conjugação,

pertencem a \(W'\), identificando \(V\) com o subespaço dos vetores reais de \(V^{\mathbb {C}}\).

Assim, o conjunto \(S=\{ \bm {u}_{1},\ \bm {v}_{1},\ \ldots ,\ \bm {u}_{k},\ \bm {v}_{k}\} \) é um conjunto de vetores reais que gera \( W'\). Uma base formada de vetores reais é obtida tomando um subconjunto de \(S\) com \(k\) elementos linearmente independentes em \(V^{\mathbb {C}}\).

Todo vetor de \( \bm {w}\in W'\) pode ser escrito como \(\bm {w}=\bm {u}+i\bm {v}\), sendo \(\bm {u}\) e \(\bm {v}\) vetores reais. Escrevendo \(\bm {u}\) e \(\bm {v}\) em termos dos vetores da base real, segue imediatamente que \( W'\) é a complexificação do espaço real \(W\) gerado pelos vetores dessa base.

O Teorema da Decomposição em Autoespaços Generalizados, aplicado a \(T^{\mathbb {C}}\), fornece a decomposição indicada. Além disso,

de modo que a conjugação identifica \(Z_j\) com \(\overline{Z_j}\). Por fim, \(\bm {z}_h\) e \(\overline{\bm {z}_h}\) geram o mesmo espaço complexo que suas partes real e imaginária, \(\bm {u}_h\) e \(\bm {v}_h\). Isso prova a última afirmação.

Sejam \(\alpha _{1}, \ldots ,\alpha _{k}\) os autovalores reais de \(T\) e \(\lambda _{1},\overline{\lambda _{1}}, \ldots ,\lambda _{m},\overline{\lambda _{m}}\) os pares de autovalores não reais de \(T^{\mathbb {C}}\). Então \(V^{\mathbb {C}}\) admite a decomposição

onde os núcleos são tomados para \(T^{\mathbb {C}}\).

Para cada \(\alpha _j\in \mathbb {R}\), o operador \(T-\alpha _j\operatorname {I}\) restrito ao subespaço real correspondente é nilpotente, e sua base de Jordan pode ser construída como antes.

Suponhamos agora que \(T^{\mathbb {C}}\) possua um autovalor \(\lambda \in \mathbb {C}\backslash \mathbb {R}\).

Fixe um par \(\lambda ,\overline\lambda \) e escreva \(Z_{\lambda }=\ker (T^{\mathbb {C}}-\lambda \operatorname {I})^r\) e \(Z_{\overline\lambda }=\ker (T^{\mathbb {C}}-\overline\lambda \operatorname {I})^r\). Então \(\{ \bm {u}_{1},\ \bm {v}_{1},\ \bm {u}_{2},\ \bm {v}_{2},\ \ldots ,\ \bm {u}_{k},\ \bm {v}_{k}\} \) é uma base real do subespaço cuja complexificação é \(Z_{\lambda }\oplus Z_{\overline{\lambda }}\).

Finalmente, considere uma cadeia de Jordan \(\bm {w}_j=\bm {u}_j+i\bm {v}_j\), \(1\leq j\leq r\), com \(\bm {w}_0=\vec0\) e \(T^{\mathbb {C}}\bm {w}_j=\lambda \bm {w}_j+\bm {w}_{j-1}\), onde \(\lambda =a+ib\in \mathbb {C}\setminus \mathbb {R}\). Então

e logo

de onde segue que, na base real \(\{ \bm {u}_{1},\ \bm {v}_{1},\ \bm {u}_{2},\ \bm {v}_{2},\ \ldots ,\ \bm {u}_{r},\ \bm {v}_{r}\} \), o operador \(T\) é representado por um bloco aumentado da forma descrita no enunciado. Repetindo o argumento para todas as cadeias e concatenando as bases, obtemos a forma de Jordan real.