Capítulo 7

Álgebras

Uma álgebra é um espaço vetorial no qual também podemos multiplicar vetores. Essa estrutura reúne exemplos já estudados: polinômios, matrizes e operadores lineares. A multiplicação nem sempre é comutativa, como ocorre com matrizes e com a composição de operadores.

Os quatérnios, descobertos por William Rowan Hamilton em 1843, constituem outro exemplo. Eles formam um sistema numérico real de dimensão quatro cuja multiplicação é associativa, mas não comutativa. O conceito de álgebra permite estudar as propriedades comuns a esses sistemas, relacionando a multiplicação à estrutura de espaço vetorial.

7.1 Definições e exemplos

Definição 7.1 (Álgebra associativa)
Uma álgebra associativa sobre um corpo \(\mathbb {K}\) é um espaço vetorial \(\mathfrak A\) sobre \(\mathbb {K}\), munido de uma multiplicação
\[ \mathfrak A\times \mathfrak A\longrightarrow \mathfrak A, \qquad (a,b)\longmapsto ab, \]
que é bilinear e associativa. Assim, para todos \(a,b,c\in \mathfrak A\) e \(\alpha \in \mathbb {K}\),
\begin{align*} a(b+c)& =ab+ac, & (a+b)c& =ac+bc,\\ (\alpha a)b& =\alpha (ab)=a(\alpha b), & (ab)c& =a(bc). \end{align*}

Neste capítulo, a palavra álgebra significará sempre álgebra associativa. Não exigiremos comutatividade nem a existência de identidade multiplicativa, a menos que isso seja dito explicitamente. Uma álgebra é comutativa quando \(ab=ba\) para todos \(a,b\in \mathfrak A\).

Definição 7.2 (Álgebra unital)
Uma álgebra \(\mathfrak A\) é unital se existe um elemento \(1_{\mathfrak A}\in \mathfrak A\) tal que
\[ 1_{\mathfrak A}a=a1_{\mathfrak A}=a \]
para todo \(a\in \mathfrak A\).

Quando não houver risco de confusão, escreveremos apenas \(1\). A identidade é única: se \(e\) e \(e'\) são identidades de \(\mathfrak A\), então \(e=ee'=e'\).

Definição 7.3 (Elemento invertível)
Se \(\mathfrak A\) é unital, um elemento \(a\in \mathfrak A\) é invertível se existe \(b\in \mathfrak A\) tal que \(ab=ba=1\). Nesse caso, escrevemos \(b=a^{-1}\).

O inverso também é único. Com efeito, se \(ab=ba=1\) e \(ac=ca=1\), então

\[ b=b(ac)=(ba)c=c. \]

Exemplo 7.4 (Álgebra de polinômios)
O espaço \(\mathbb {K}[x]\), com as operações usuais, é uma álgebra comutativa unital. Se
\[ f(x)=\sum _{i=0}^{r}\alpha _i x^i, \qquad g(x)=\sum _{j=0}^{s}\beta _j x^j, \]
então
\[ (fg)(x)=\sum _{k=0}^{r+s} \left(\sum _{i+j=k}\alpha _i\beta _j\right)x^k. \]
A família \(\{ 1,x,x^2,\ldots \} \) é uma base de \(\mathbb {K}[x]\); portanto, essa álgebra tem dimensão infinita. Seus elementos invertíveis são precisamente os polinômios constantes não nulos.

Exemplo 7.5 (Álgebra de matrizes)
O espaço \(\mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\), com a multiplicação de matrizes, é uma álgebra unital. Sua identidade é a matriz \(I_n\). Para \(n\gt 1\), ela não é comutativa. As unidades matriciais \(E_{ij}\), com \(1\leq i,j\leq n\), formam uma base e satisfazem
\[ E_{ij}E_{k\ell }=\delta _{jk}E_{i\ell }. \]

Exemplo 7.6 (Álgebra de operadores)

Para qualquer espaço vetorial \(V\), o espaço \(\operatorname {Hom}(V,V)\) é uma álgebra com o produto dado pela composição:

\[ (ST)(v)=S(T(v)). \]

A identidade é o operador identidade \(I_V\). Se \(\dim V\gt 1\), em geral \(ST\neq TS\). Os elementos invertíveis dessa álgebra são exatamente os isomorfismos de \(V\) em \(V\).

Quando \(V\) tem dimensão finita e uma base é escolhida, o isomorfismo \(\operatorname {Hom}(V,V)\cong \mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\) transforma composição de operadores em multiplicação de matrizes. Assim, a álgebra de matrizes é uma representação concreta da álgebra de operadores.

Exemplo 7.7
Todo corpo \(L\) que contém \(\mathbb {K}\) é uma álgebra comutativa unital sobre \(\mathbb {K}\). Em particular, \(\mathbb {C}\) é uma álgebra real de dimensão dois, com base \(\{ 1,i\} \).

7.2 Subálgebras, ideais e centro

Definição 7.8 (Subálgebra)
Uma subálgebra de \(\mathfrak A\) é um subespaço vetorial \(\mathfrak B\subseteq \mathfrak A\) fechado para a multiplicação. Se \(\mathfrak A\) é unital, dizemos que \(\mathfrak B\) é uma subálgebra unital quando \(1_{\mathfrak A}\in \mathfrak B\).

Uma subálgebra pode possuir identidade própria sem ser uma subálgebra unital. Por exemplo,

\[ \mathfrak B= \left\{ \begin{bmatrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}:a,b,c,d\in \mathbb {K}\right\} \subseteq \mathcal{M}_{3, 3}(\mathbb {K}) \]

tem identidade \(\operatorname {diag}(1,1,0)\), diferente de \(I_3\).

Se \(S\subseteq \mathfrak A\), a subálgebra gerada por \(S\), denotada por \(\operatorname {Alg}(S)\), é a interseção de todas as subálgebras que contêm \(S\). Equivalentemente,

\[ \operatorname {Alg}(S)= \operatorname {span}\{ s_1s_2\cdots s_m:m\geq 1,\ s_i\in S\} . \]

Se \(\mathfrak A\) é unital, a subálgebra unital gerada por \(S\) é \(\operatorname {Alg}(S\cup \{ 1\} )\). Em particular,

\[ \operatorname {Alg}(1,a)=\{ f(a):f\in \mathbb {K}[x]\} . \]

Definição 7.9 (Ideal bilateral)
Um ideal bilateral de uma álgebra \(\mathfrak A\) é um subespaço vetorial \(J\subseteq \mathfrak A\) tal que
\[ ax\in J\quad \text{e}\quad xa\in J \]
para todos \(a\in \mathfrak A\) e \(x\in J\).

Neste capítulo, ideal significará sempre ideal bilateral. Se \(\mathfrak A\) é unital, o ideal gerado por um subconjunto \(S\) é

\[ \langle S\rangle = \left\{ \sum _{j=1}^{m}a_js_jb_j: m\geq 0,\ a_j,b_j\in \mathfrak A,\ s_j\in S\right\} , \]

onde, para \(m=0\), a soma é por convenção o elemento nulo. De fato, o conjunto à direita é um ideal que contém \(S\) — para \(s\in S\), tome \(m=1\), \(a_1=b_1=1\) e \(s_1=s\) — e está contido em todo ideal que contém \(S\). Em particular, \(\langle \emptyset \rangle =\{ 0\} \).

Definição 7.10 (Centro)
O centro de \(\mathfrak A\) é a subálgebra
\[ Z(\mathfrak A)=\{ a\in \mathfrak A:ab=ba\text{ para todo }b\in \mathfrak A\} . \]

Se \(\mathfrak A\) é unital, então \(\mathbb {K}1\subseteq Z(\mathfrak A)\). A álgebra é denominada central quando \(Z(\mathfrak A)=\mathbb {K}1\).

Definição 7.11 (Álgebra simples)
Uma álgebra \(\mathfrak A\) é simples se \(\mathfrak A^2\neq \{ 0\} \) e seus únicos ideais são \(\{ 0\} \) e \(\mathfrak A\). Uma álgebra unital que é simples e central é chamada álgebra simples central.

Aqui, \(\mathfrak A^2\) denota o subespaço gerado pelos produtos \(ab\), com \(a,b\in \mathfrak A\). A condição \(\mathfrak A^2\neq \{ 0\} \) exclui a álgebra não nula cuja multiplicação é identicamente zero.

Exemplo 7.12
A álgebra \(\mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\) é simples. Para provar isso, seja \(J\neq \{ 0\} \) um ideal e escolha \(A=[a_{rs}]\in J\) com \(a_{ij}\neq 0\). Para quaisquer \(k,\ell \),
\[ E_{ki}AE_{j\ell }=a_{ij}E_{k\ell }\in J. \]
Logo, todas as unidades matriciais pertencem a \(J\) e, portanto, \(J=\mathcal{M}_{n, n}(\mathbb {K})\).

Se \(\mathfrak A_1,\ldots ,\mathfrak A_r\) são álgebras sobre \(\mathbb {K}\), o produto cartesiano \(\mathfrak A_1\times \cdots \times \mathfrak A_r\) é uma álgebra com operações componente a componente. Cada fator se identifica com um ideal do produto. Quando os fatores são unitais, a identidade é \((1_{\mathfrak A_1},\ldots ,1_{\mathfrak A_r})\).

7.3 Homomorfismos e álgebras quocientes

Definição 7.13 (Homomorfismo de álgebras)
Se \(\mathfrak A\) e \(\mathfrak B\) são álgebras sobre \(\mathbb {K}\), um mapa \(\varphi :\mathfrak A\to \mathfrak B\) é um homomorfismo de álgebras se é linear e
\[ \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b) \]
para todos \(a,b\in \mathfrak A\). Se as duas álgebras são unitais, o homomorfismo é unital quando \(\varphi (1_{\mathfrak A})=1_{\mathfrak B}\).

Um homomorfismo bijetivo é um isomorfismo. Quando \(\mathfrak A=\mathfrak B\), um isomorfismo é chamado automorfismo.

Proposição 7.14
Se \(\varphi :\mathfrak A\to \mathfrak B\) é um homomorfismo de álgebras, então \(\ker \varphi \) é um ideal de \(\mathfrak A\) e \(\operatorname {im}\varphi \) é uma subálgebra de \(\mathfrak B\).

Demonstração ▼

Como \(\varphi \) é linear, seu núcleo é um subespaço de \(\mathfrak A\) e sua imagem é um subespaço de \(\mathfrak B\). Se \(x\in \ker \varphi \) e \(a\in \mathfrak A\), então

\[ \varphi (ax)=\varphi (a)\varphi (x)=0, \qquad \varphi (xa)=\varphi (x)\varphi (a)=0. \]

Logo, \(ax,xa\in \ker \varphi \). Se \(y=\varphi (a)\) e \(z=\varphi (b)\) pertencem à imagem, então \(yz=\varphi (ab)\) também pertence à imagem. Isso prova as duas afirmações.

Exemplo 7.15 (Cálculo funcional polinomial)
Se \(\mathfrak A\) é unital e \(a\in \mathfrak A\), a avaliação
\[ \operatorname {ev}_a:\mathbb {K}[x]\longrightarrow \mathfrak A, \qquad \sum _{j=0}^{m}\alpha _jx^j\longmapsto \sum _{j=0}^{m}\alpha _ja^j \]
é um homomorfismo unital. A linearidade é imediata. Para monômios, \(\operatorname {ev}_a(x^r x^s)=a^{r+s}=a^ra^s\); pela distributividade, a igualdade se estende a quaisquer polinômios. Sua imagem é precisamente \(\operatorname {Alg}(1,a)\).

Se \(J\) é um ideal de \(\mathfrak A\), definimos em \(\mathfrak A\) a relação

\[ x\sim y\quad \Longleftrightarrow \quad x-y\in J. \]

Ela é uma relação de equivalência, e a classe de \(x\) é \([x]=x+J\). O conjunto das classes será denotado por \(\mathfrak A/J\).

Proposição 7.16 (Álgebra quociente)
As operações
\[ [x]+[y]=[x+y], \qquad \alpha [x]=[\alpha x], \qquad [x][y]=[xy] \]
estão bem definidas e tornam \(\mathfrak A/J\) uma álgebra sobre \(\mathbb {K}\). Se \(\mathfrak A\) é unital e \(J\neq \mathfrak A\), então \(\mathfrak A/J\) é unital, com identidade \([1]\).

Demonstração ▼

As duas primeiras operações são as operações usuais do espaço vetorial quociente. Para verificar a multiplicação, suponha que \([x]=[x']\) e \([y]=[y']\). Então \(x-x',y-y'\in J\) e

\[ xy-x'y'=x(y-y')+(x-x')y'\in J, \]

pois \(J\) é um ideal bilateral. Logo, \([xy]=[x'y']\). A bilinearidade e a associatividade são herdadas de \(\mathfrak A\). No caso unital, \([1][x]=[x][1]=[x]\).

Teorema 7.17 (Primeiro Teorema do Isomorfismo)
Se \(\varphi :\mathfrak A\to \mathfrak B\) é um homomorfismo de álgebras, então
\[ \mathfrak A/\ker \varphi \cong \operatorname {im}\varphi . \]

Demonstração ▼

Defina

\[ \widetilde\varphi :\mathfrak A/\ker \varphi \longrightarrow \operatorname {im}\varphi , \qquad \widetilde\varphi ([a])=\varphi (a). \]

Se \([a]=[a']\), então \(a-a'\in \ker \varphi \) e, portanto, \(\varphi (a)=\varphi (a')\); logo, o mapa está bem definido. Além disso,

\begin{align*} \widetilde\varphi (\alpha [a]+\beta [b]) & =\alpha \widetilde\varphi ([a])+\beta \widetilde\varphi ([b]),\\ \widetilde\varphi ([a][b]) & =\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b), \end{align*}

de modo que \(\widetilde\varphi \) é um homomorfismo de álgebras. Ele é sobrejetivo pela definição de \(\operatorname {im}\varphi \). Por fim,

\[ \widetilde\varphi ([a])=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a\in \ker \varphi \quad \Longleftrightarrow \quad [a]=[0], \]

o que prova a injetividade.

Aplicando o teorema ao homomorfismo do Exemplo 7.15, obtemos

\[ \mathbb {K}[x]/\ker (\operatorname {ev}_a)\cong \operatorname {Alg}(1,a). \]

Em dimensão finita, o núcleo é um ideal não nulo de \(\mathbb {K}[x]\); seu gerador mônico é o polinômio minimal de \(a\).

7.4 Constantes de estrutura

Se \(\mathfrak A\) tem dimensão finita e \(\mathcal B=\{ z_1,\ldots ,z_n\} \) é uma base, existem escalares únicos \(\gamma _{ij}^{k}\in \mathbb {K}\) tais que

\[ z_i z_j=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{ij}^{k}z_k. \]

Os \(n^3\) escalares \(\gamma _{ij}^{k}\) são chamados constantes de estrutura de \(\mathfrak A\) na base \(\mathcal B\). Eles determinam toda a multiplicação, pois, se \(a=\sum _i\alpha _i z_i\) e \(b=\sum _j\beta _jz_j\), então

\[ ab=\sum _{i,j,k=1}^{n}\alpha _i\beta _j\gamma _{ij}^{k}z_k. \]

Reciprocamente, uma escolha de constantes de estrutura define, por bilinearidade, uma multiplicação no espaço vetorial. A condição de associatividade pode ser verificada apenas nos elementos da base.

Proposição 7.18
A multiplicação determinada por \(\gamma _{ij}^{k}\) é associativa se, e somente se,
\[ \sum _{r=1}^{n}\gamma _{ij}^{r}\gamma _{r\ell }^{k} = \sum _{r=1}^{n}\gamma _{j\ell }^{r}\gamma _{ir}^{k} \]
para todos \(i,j,\ell ,k\). Ela é comutativa se, e somente se, \(\gamma _{ij}^{k}=\gamma _{ji}^{k}\) para todos \(i,j,k\).

Demonstração ▼

Pela definição da multiplicação,

\begin{align*} (z_i z_j)z_\ell & =\sum _{r=1}^{n}\gamma _{ij}^{r}z_rz_\ell =\sum _{k=1}^{n}\left( \sum _{r=1}^{n}\gamma _{ij}^{r}\gamma _{r\ell }^{k} \right)z_k,\\ z_i(z_j z_\ell ) & =\sum _{r=1}^{n}\gamma _{j\ell }^{r}z_iz_r =\sum _{k=1}^{n}\left( \sum _{r=1}^{n}\gamma _{j\ell }^{r}\gamma _{ir}^{k} \right)z_k. \end{align*}

Como \(\mathcal B\) é uma base, essas expressões são iguais precisamente quando os coeficientes indicados coincidem. Pela trilinearidade, a associatividade nos elementos da base equivale à associatividade em toda a álgebra. De modo análogo, \(z_i z_j=z_j z_i\) equivale às igualdades entre as constantes, e a bilinearidade estende a comutatividade a todos os elementos.

Exemplo 7.19 (Quatérnios)

Se \(\mathbb {K}\) é um subcorpo de \(\mathbb {R}\), o espaço vetorial

\[ \mathbb H_{\mathbb {K}}=\mathbb {K}1\oplus \mathbb {K}i\oplus \mathbb {K}j\oplus \mathbb {K}k \]

torna-se uma álgebra quando a multiplicação é determinada por

\[ i^2=j^2=k^2=-1, \qquad ij=k,\quad jk=i,\quad ki=j, \]

e pela troca de sinal ao inverter a ordem de dois entre \(i,j,k\). Essa multiplicação é associativa e não comutativa.

Para \(q=a_0+a_1i+a_2j+a_3k\), defina \(\overline q=a_0-a_1i-a_2j-a_3k\). Um cálculo direto fornece

\[ q\overline q=\overline q q =(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)1. \]

Como \(\mathbb {K}\subseteq \mathbb {R}\), essa soma é não nula quando \(q\neq 0\). Portanto, todo quatérnio não nulo é invertível e

\[ q^{-1}=\frac{\overline q}{a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2}. \]

Para \(\mathbb {K}=\mathbb {R}\), escrevemos simplesmente \(\mathbb H\).

7.5 Álgebras de grupo

Se \(G\) é um grupo finito, a álgebra de grupo \(\mathbb {K}G\) é o espaço vetorial que possui \(G\) como base:

\[ \mathbb {K}G= \left\{ \sum _{g\in G}\alpha _g g:\alpha _g\in \mathbb {K}\right\} . \]

A multiplicação é a extensão bilinear da multiplicação de \(G\). Assim,

\[ \left(\sum _{g\in G}\alpha _g g\right) \left(\sum _{h\in G}\beta _h h\right) = \sum _{u\in G} \left(\sum _{h\in G}\alpha _{uh^{-1}}\beta _h\right)u. \]

A associatividade vem da associatividade em \(G\), e o elemento neutro de \(G\) é a identidade da álgebra. Além disso, \(\mathbb {K}G\) é comutativa se, e somente se, \(G\) é abeliano.

Exemplo 7.20
Considere \(C_4=\{ 1,\omega ,\omega ^2,\omega ^3\} \), com \(\omega ^4=1\), e sejam, em \(\mathbb {Q}C_4\),
\[ x=\omega +\omega ^2, \qquad y=\omega +\frac12\omega ^2+\frac13\omega ^3. \]
Então
\begin{align*} xy & =\omega ^2+\frac12\omega ^3+\frac13 +\omega ^3+\frac12+\frac13\omega \\ & =\frac56+\frac13\omega +\omega ^2+\frac32\omega ^3. \end{align*}

O comportamento de uma álgebra de grupo pode depender do corpo de escalares, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 7.21

Seja \(C_3=\{ 1,\omega ,\omega ^2\} \) e defina

\[ e=1+\omega +\omega ^2, \qquad J=\mathbb {K}e\subseteq \mathbb {K}C_3. \]

Para \(y=\alpha +\beta \omega +\gamma \omega ^2\), temos

\[ ey=ye=(\alpha +\beta +\gamma )e. \]

Logo, \(J\) é um ideal unidimensional. Como \(e^2=3e\), se \(\operatorname {char}\mathbb {K}\neq 3\), o elemento \(e/3\) é a identidade de \(J\). Em particular, sobre \(\mathbb {Q}\), temos \(J\cong \mathbb {Q}\) como álgebras.

Se \(\operatorname {char}\mathbb {K}=3\), então \(e^2=0\) e o produto de quaisquer dois elementos de \(J\) é zero. O mesmo subespaço, portanto, possui comportamentos algébricos radicalmente diferentes conforme o corpo base.

As álgebras de grupo relacionam a teoria de representações à álgebra linear: uma representação de \(G\) em um espaço vetorial \(V\) estende-se, por linearidade, a um homomorfismo de álgebras \(\mathbb {K}G\to \operatorname {Hom}(V,V)\). Desse modo, uma ação de grupo pode ser estudada por meio de operadores lineares.