Capítulo 4

Espaços Quocientes

Fixado um subespaço \(S\) de um espaço vetorial \(V\), podemos considerar equivalentes dois vetores cuja diferença pertence a \(S\). O espaço quociente \(V/S\) tem essas classes de equivalência como elementos. Geometricamente, cada translação de \(S\) corresponde a um único elemento do novo espaço.

As translações de subespaços, ou subespaços afins, permitem descrever essas classes. A estrutura linear do quociente é compatível com a de \(V\): toda transformação linear que anula \(S\) induz uma transformação em \(V/S\). Os teoremas de isomorfismo descrevem as relações daí decorrentes entre núcleos, imagens e quocientes.

4.1 Espaços Afins

Começamos com uma generalização da noção de subespaço vetorial. Um subespaço afim é obtido pela translação de um subespaço vetorial e, por isso, preserva suas direções, mas não precisa conter o vetor zero.

Definição 4.1 (Subespaço Afim)
Um subconjunto não vazio \(X\) de \(V\) é um subespaço afim de \(V\) paralelo ao subespaço \(U\subseteq V\) se existe \(\bm {x}_0\in X\) tal que
\[ X=\bm {x}_0+U=\{ \bm {x}_0+\bm {u}\, \mid \, \bm {u}\in U\} . \]
O subespaço \(U\) é chamado de espaço diretor de \(X\).

Se \(X=\bm {x}_0+U\) e \(\bm {x}_1\in X\), então \(\bm {x}_1-\bm {x}_0\in U\) e, portanto, \(X=\bm {x}_1+U\). Assim, qualquer ponto de \(X\) pode servir de origem afim. Além disso, o espaço diretor é único: se \(X=\bm {x}_0+U=\bm {x}_0+W\), então \(U=W\). Podemos, portanto, definir

\[ \dim X\coloneqq \dim U. \]
Ilustração: Espaços Afins

Proposição 4.2
Seja \(X\) um subespaço afim paralelo a \(U\). Se \(\bm {x}_0\in X\) e \(\{ \bm {u}_1,\ldots ,\bm {u}_n\} \) é uma base de \(U\), então cada \(\bm {x}\in X\) admite uma única expressão da forma
\[ \bm {x}=\bm {x}_0+\sum _{i=1}^{n}c_i\bm {u}_i, \qquad c_i\in \mathbb {K}. \]

Demonstração ▼

Se \(\bm {x}\in X=\bm {x}_0+U\), então \(\bm {x}-\bm {x}_0\in U\). As coordenadas desse vetor na base \(\{ \bm {u}_1,\ldots ,\bm {u}_n\} \) existem e são únicas, o que fornece a expressão desejada.

Exemplo 4.3
Se for não vazio, o conjunto solução do sistema linear \(A\bm {x}=\vec{b}\), com \(A\in \mathcal{M}_{m, n}(\mathbb {K})\) e \(\vec{b}\in \mathbb {K}^m\), é um subespaço afim de \(\mathbb {K}^n\) paralelo a \(\ker A\). De fato, escolhida uma solução \(\bm {x}_0\), temos
\[ \{ \bm {x}\in \mathbb {K}^n\, \mid \, A\bm {x}=\vec{b}\} =\bm {x}_0+\ker A. \]

Definição 4.4
Denotaremos por \(\operatorname {Afim}[V]\) o conjunto dos subespaços afins de \(V\) e por \(\operatorname {Afim}[V,U]\) o conjunto daqueles cujo espaço diretor é \(U\).

Assim, \(A\in \operatorname {Afim}[V]\) se, e somente se, \(A=\bm {x}+W\) para algum subespaço \(W\subseteq V\) e algum \(\bm {x}\in V\).

Teorema 4.5
Sejam \(V\) e \(V'\) espaços vetoriais sobre \(\mathbb {K}\).

  1. A interseção de uma família de subespaços afins de \(V\) é vazia ou é um subespaço afim de \(V\).

  2. Se \(A,B\in \operatorname {Afim}[V]\), então \(A+B\in \operatorname {Afim}[V]\).

  3. Se \(A\in \operatorname {Afim}[V]\) e \(\lambda \in \mathbb {K}\), então \(\lambda A\in \operatorname {Afim}[V]\).

  4. Se \(A\in \operatorname {Afim}[V]\) e \(\bm {x}\in V\), então \(\bm {x}+A\in \operatorname {Afim}[V]\).

  5. Se \(A\in \operatorname {Afim}[V]\) e \(T\in \operatorname {Hom}(V,V')\), então \(T(A)\in \operatorname {Afim}[V']\).

Demonstração ▼

Para a, escreva \(A_i=\bm {x}_i+W_i\) e suponha que \(\bigcap _{i\in \Delta }A_i\) seja não vazia. Escolha \(\bm {y}\in \bigcap _{i\in \Delta }A_i\). Como \(\bm {y}\in A_i\), temos \(A_i=\bm {y}+W_i\) para todo \(i\) e, portanto,

\[ \bigcap _{i\in \Delta }A_i =\bigcap _{i\in \Delta }(\bm {y}+W_i) =\bm {y}+\bigcap _{i\in \Delta }W_i. \]

A última igualdade decorre diretamente de \(\bm {x}\in \bm {y}+W_i\Longleftrightarrow \bm {x}-\bm {y}\in W_i\).

Os demais itens seguem das identidades

\begin{align*} (\bm {x}+U)+(\bm {y}+W)& =(\bm {x}+\bm {y})+(U+W),\\ \lambda (\bm {x}+U)& = \begin{cases} \lambda \bm {x}+U,& \lambda \neq 0,\\ \{ \vec0\} ,& \lambda =0, \end{cases}\\ \bm {y}+(\bm {x}+U)& =(\bm {y}+\bm {x})+U,\\ T(\bm {x}+U)& =T(\bm {x})+T(U). \end{align*}

Em particular, se fixarmos o espaço diretor, obtemos o seguinte resultado.

Corolário 4.6
Seja \(U\) um subespaço de \(V\).

  1. Se \(A,B\in \operatorname {Afim}[V,U]\), então \(A+B\in \operatorname {Afim}[V,U]\).

  2. Se \(A\in \operatorname {Afim}[V,U]\) e \(\lambda \in \mathbb {K}\) é não nulo, então \(\lambda A\in \operatorname {Afim}[V,U]\).

  3. Se \(A\in \operatorname {Afim}[V,U]\) e \(\bm {x}\in V\), então \(\bm {x}+A\in \operatorname {Afim}[V,U]\).

Os conjuntos solução de sistemas lineares são casos particulares do próximo resultado.

Teorema 4.7 (Imagem Inversa)
Sejam \(T:V\to W\) uma transformação linear e \(\bm {w}_0\in W\). Se \(T^{-1}(\bm {w}_0)\) for não vazio, então esse conjunto é um subespaço afim de \(V\) paralelo a \(\ker T\).

Demonstração ▼

Escolha \(\bm {v}_0\in V\) tal que \(T(\bm {v}_0)=\bm {w}_0\). Para todo \(\bm {v}\in V\),

\[ T(\bm {v})=\bm {w}_0 \Longleftrightarrow T(\bm {v}-\bm {v}_0)=\vec0 \Longleftrightarrow \bm {v}-\bm {v}_0\in \ker T. \]

Logo \(T^{-1}(\bm {w}_0)=\bm {v}_0+\ker T\).

Podemos generalizar o Teorema 4.7 por meio de transformações afins. Para \(\bm {x}\in V\), a translação por \(\bm {x}\) é a aplicação \(S_{\bm {x}}:V\to V\) dada por \(S_{\bm {x}}(\bm {y})=\bm {x}+\bm {y}\). Assim, \(\bm {x}+W=S_{\bm {x}}(W)\). Se \(\bm {x}\neq \vec0\), essa translação não é linear.

Definição 4.8
Sejam \(V\) e \(V'\) espaços vetoriais sobre \(\mathbb {K}\). Uma aplicação \(f:V\to V'\) é uma transformação afim se existem \(T\in \operatorname {Hom}_{\mathbb {K}}(V,V')\) e \(\bm {x}\in V'\) tais que
\[ f(\bm {v})=T(\bm {v})+\bm {x} \]
para todo \(\bm {v}\in V\). Denotaremos o conjunto dessas transformações por \(\operatorname {Afim}_{\mathbb {K}}(V,V')\).

Temos \(\operatorname {Hom}_{\mathbb {K}}(V,V')\subseteq \operatorname {Afim}_{\mathbb {K}}(V,V')\subseteq (V')^V\). O Teorema 4.5e admite então a seguinte extensão.

Teorema 4.9
Se \(A\in \operatorname {Afim}[V]\) e \(f\in \operatorname {Afim}_{\mathbb {K}}(V,V')\), então \(f(A)\in \operatorname {Afim}[V']\).

Demonstração ▼

Se \(A=\bm {v}+U\) e \(f(\bm {z})=T(\bm {z})+\bm {x}\), então

\[ f(A)=\bigl(T(\bm {v})+\bm {x}\bigr)+T(U), \]

que é um subespaço afim de \(V'\).

Exercício 4.1

Seja \(U\) um subespaço de \(V\) e seja \(X\subseteq V\) não vazio. Mostre que, se \(X=\bm {x}_0+U\) para algum \(\bm {x}_0\in X\), então \(X=\bm {x}+U\) para todo \(\bm {x}\in X\).

Exercício 4.2

Seja \(X\) um subespaço afim paralelo a \(U\). Fixe \(\bm {x}_0\in X\) e uma base \(\{ \bm {u}_1,\ldots ,\bm {u}_n\} \) de \(U\). Mostre que a aplicação

\[ \mathbb {K}^n\longrightarrow X, \qquad (c_1,\ldots ,c_n)\longmapsto \bm {x}_0+\sum _{i=1}^n c_i\bm {u}_i \]

é bijetiva. Explique por que ela não precisa ser uma transformação linear.

Exercício 4.3

Prove as seguintes afirmações.

  1. Se \(A\in \operatorname {Afim}[V]\) e \(\bm {x}\in V\), então \(\bm {x}+A\in \operatorname {Afim}[V]\).

  2. Se \(A\in \operatorname {Afim}[V]\) e \(T\in \operatorname {Hom}(V,V')\), então \(T(A)\in \operatorname {Afim}[V']\).

  3. Se \(A'\in \operatorname {Afim}[V']\) e \(T\in \operatorname {Hom}(V,V')\), então \(T^{-1}(A')\) é vazio ou é um subespaço afim de \(V\). Determine seu espaço diretor quando \(A'\) é paralelo a \(U'\subseteq V'\).

Exercício 4.4

Sejam \(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_r\in V\). Mostre que o conjunto das combinações afins desses vetores,

\[ \left\{ \sum _{i=1}^r\lambda _i\bm {v}_i \, \mid \, \lambda _i\in \mathbb {K}\ \text{e}\ \sum _{i=1}^r\lambda _i=1 \right\} , \]

é o menor subespaço afim de \(V\) que contém \(\bm {v}_1,\ldots ,\bm {v}_r\).

4.2 Espaço Quociente

Seja \(S\) um subespaço de \(V\). Dois vetores serão considerados equivalentes quando diferirem por um elemento de \(S\). Mais precisamente, definimos

\[ \bm {u}\equiv \bm {v}\pmod{S} \Longleftrightarrow \bm {u}-\bm {v}\in S. \]

Essa é uma relação de equivalência em \(V\). Quando o subespaço estiver claro, escreveremos apenas \(\bm {u}\equiv \bm {v}\).

As classes de equivalência são precisamente as translações de \(S\), pois

\[ [\bm {v}] =\{ \bm {u}\in V\, \mid \, \bm {u}-\bm {v}\in S\} =\{ \bm {v}+\bm {s}\, \mid \, \bm {s}\in S\} =\bm {v}+S. \]

O conjunto \(\bm {v}+S\) é a classe lateral de \(\bm {v}\) módulo \(S\), e \(\bm {v}\) é um de seus representantes. Dois vetores representam a mesma classe se, e somente se, sua diferença pertence a \(S\).

Definição 4.10 (Espaço Quociente)
O conjunto das classes laterais de \(S\) em \(V\),
\[ V/S=\{ \bm {v}+S\, \mid \, \bm {v}\in V\} , \]
é denominado espaço quociente de \(V\) por \(S\).

Ilustração: Espaço Quociente

As operações naturais entre classes são

\[ (\bm {u}+S)+(\bm {v}+S)\coloneqq (\bm {u}+\bm {v})+S, \qquad \lambda (\bm {u}+S)\coloneqq \lambda \bm {u}+S. \]

Como uma classe possui muitos representantes, é necessário verificar que o resultado não depende dos representantes escolhidos.

Teorema 4.11
As operações acima estão bem definidas e tornam \(V/S\) um espaço vetorial sobre \(\mathbb {K}\). Seu vetor zero é a classe \(\vec0+S=S\) e o oposto de \(\bm {v}+S\) é \(-\bm {v}+S\).

Demonstração ▼

Suponha que \(\bm {u}_1+S=\bm {u}_2+S\) e \(\bm {v}_1+S=\bm {v}_2+S\). Então \(\bm {u}_1-\bm {u}_2,\bm {v}_1-\bm {v}_2\in S\). Como \(S\) é um subespaço, para quaisquer \(\lambda _1,\lambda _2\in \mathbb {K}\),

\[ (\lambda _1\bm {u}_1+\lambda _2\bm {v}_1) -(\lambda _1\bm {u}_2+\lambda _2\bm {v}_2) \in S. \]

Portanto,

\[ \lambda _1\bm {u}_1+\lambda _2\bm {v}_1+S =\lambda _1\bm {u}_2+\lambda _2\bm {v}_2+S, \]

o que prova, simultaneamente, que a adição e a multiplicação por escalares estão bem definidas. Os axiomas de espaço vetorial são herdados das operações em \(V\); por exemplo,

\[ (\bm {u}+S)+(\bm {v}+S)=(\bm {u}+\bm {v})+S=(\bm {v}+\bm {u})+S. \]

Os demais axiomas são verificados da mesma maneira.

Exemplo 4.12 (Quociente do plano por uma reta)
Considere \(V=\mathbb {R}^2\) e \(S=\langle (1,0)\rangle \). Como
\[ (x,y)+S=(0,y)+S, \]
toda classe é determinada apenas pela segunda coordenada. A aplicação
\[ \Phi :V/S\longrightarrow \mathbb {R}, \qquad \Phi \bigl((x,y)+S\bigr)=y, \]
está bem definida, é linear e bijetiva. Portanto, \(\mathbb {R}^2/S\cong \mathbb {R}\). Geometricamente, cada reta horizontal é comprimida a um único ponto, e o quociente conserva apenas a altura.

Exemplo 4.13 (Polinômios módulo os termos de grau menor)
Seja \(V=\mathbb {R}_2[x]\) e \(S=\mathbb {R}_1[x]\). Para \(p(x)=a+bx+cx^2\), temos
\[ p+S=cx^2+S, \]
pois \(a+bx\in S\). Assim, a classe de \(p\) registra somente o coeficiente quadrático. A transformação
\[ \Psi :V/S\longrightarrow \mathbb {R}, \qquad \Psi (p+S)=c, \]
é um isomorfismo. Em particular, \(\dim (V/S)=1\).

Definição 4.14 (Projeção Canônica)
Seja \(S\) um subespaço de \(V\). A aplicação
\[ \pi _S:V\longrightarrow V/S, \qquad \pi _S(\bm {v})=\bm {v}+S, \]
é denominada projeção canônica, ou projeção natural, de \(V\) sobre \(V/S\).

Quando não houver risco de confusão, escreveremos simplesmente \(\pi \).

Proposição 4.15
A projeção canônica \(\pi _S:V\to V/S\) é linear, sobrejetiva e satisfaz \(\ker \pi _S=S\).

Demonstração ▼

Para \(\lambda _1,\lambda _2\in \mathbb {K}\) e \(\bm {x},\bm {y}\in V\),

\[ \pi _S(\lambda _1\bm {x}+\lambda _2\bm {y}) =\lambda _1(\bm {x}+S)+\lambda _2(\bm {y}+S), \]

logo \(\pi _S\) é linear. Toda classe \(\bm {v}+S\) é a imagem de \(\bm {v}\), de modo que \(\pi _S\) é sobrejetiva. Por fim,

\[ \bm {v}\in \ker \pi _S \Longleftrightarrow \bm {v}+S=S \Longleftrightarrow \bm {v}\in S. \]

Teorema 4.16 (Teorema da Correspondência)
Seja \(S\) um subespaço de \(V\). A atribuição
\[ T\longmapsto T/S \]
é uma bijeção, que preserva inclusões, entre os subespaços \(T\) de \(V\) que contêm \(S\) e os subespaços de \(V/S\).

Figura 4.1 Correspondência entre os subespaços de V que contêm S e os subespaços de V/S.

Figura 4.1 Correspondência entre os subespaços de \(V\) que contêm \(S\) e os subespaços de \(V/S\).
Demonstração ▼

Se \(S\subseteq T\subseteq V\), então \(T/S=\pi _S(T)\) é um subespaço de \(V/S\). Reciprocamente, se \(X\) é um subespaço de \(V/S\), então \(\pi _S^{-1}(X)\) é um subespaço de \(V\) que contém \(S\). Além disso,

\[ \pi _S^{-1}(T/S)=T \quad \text{e}\quad \pi _S\bigl(\pi _S^{-1}(X)\bigr)=X, \]

pois \(\pi _S\) é sobrejetiva. As duas construções são, portanto, inversas e ambas preservam inclusões.

Exercício 4.5

Seja \(V=\langle \{ (1,-1)\} \rangle \subseteq \mathbb {R}^2\).

  1. Represente geometricamente \(V\) em \(\mathbb {R}^2\).

  2. Represente as classes

    \[ C_1=(1,1)+V, \qquad C_2=(2,1)+V. \]

  3. Descreva o espaço quociente \(\mathbb {R}^2/V\).

  4. Represente a classe \(C_3=(-2)C_1+C_2\).

  5. Determine se \(C_3=(-1,0)+V\).

Exercício 4.6

Seja

\[ V=\left\{ p\in \mathbb {R}_2[x]\, \mid \, \displaystyle \int _{-1}^{1}p(t)\, \mathrm{d}t=0\right\} . \]

  1. Determine uma base de \(V\).

  2. Determine uma base de \(\mathbb {R}_2[x]/V\).

Exercício 4.7

Considere o espaço \(\mathbb {K}^\infty \) das sequências de escalares e o subespaço

\[ U=\{ (0,a_2,a_3,\ldots )\, \mid \, a_i\in \mathbb {K}\} . \]

Descreva \(\mathbb {K}^\infty /U\) e exiba um isomorfismo desse quociente com um espaço conhecido.

Exercício 4.8

Suponha que \(V\) e seu subespaço \(S\) tenham dimensão infinita. A dimensão de \(V/S\) precisa ser finita? Dê um exemplo em que seja finita e outro em que seja infinita.

Exercício 4.9

Demonstre o Teorema da Correspondência construindo explicitamente as duas aplicações inversas entre os conjuntos de subespaços.

Exercício 4.10

Seja \(S\) um subespaço de \(V\). Partindo de uma base de \(S\), descreva como obter uma base de \(V/S\). Justifique por que as classes encontradas são linearmente independentes e geram o quociente.

Exercício 4.11

Sejam \(V\subseteq W\) subespaços de \(U\). Para \(\bm {u}\in U\), denote por \([\bm {u}]_V\) e \([\bm {u}]_W\) as classes \(\bm {u}+V\) e \(\bm {u}+W\), respectivamente. Mostre que, se

\[ [\bm {u}_1]_V,\ldots ,[\bm {u}_k]_V \]

são linearmente dependentes em \(U/V\), então \([\bm {u}_1]_W,\ldots ,[\bm {u}_k]_W\) são linearmente dependentes em \(U/W\). Conclua que, se \(U\) tem dimensão finita, então

\[ \dim (U/V)\geq \dim (U/W). \]

Exercício 4.12

Seja \(W\) um subespaço de dimensão finita de \(V\). Se \(V/W\) também tem dimensão finita, mostre que \(V\) tem dimensão finita.

4.3 Teoremas de Isomorfismo

Os teoremas de isomorfismo descrevem como núcleos, imagens, somas e quocientes interagem. Sua forma básica é a propriedade universal a seguir: toda transformação linear que anula \(S\) pode ser definida diretamente sobre \(V/S\).

Teorema 4.17 (Propriedade Universal do Quociente)
Sejam \(S\) um subespaço de \(V\) e \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\) tais que \(S\subseteq \ker T\). Existe uma única transformação linear \(\overline{T}:V/S\to W\) que torna comutativo o diagrama Ilustração: Teoremas de Isomorfismo isto é, \(\overline{T}\circ \pi _S=T\). Essa transformação satisfaz
\[ \ker \overline{T}=(\ker T)/S \qquad \text{e}\qquad \operatorname {im}\overline{T}=\operatorname {im}T. \]

Demonstração ▼

Para que \(\overline{T}\circ \pi _S=T\), é necessário definir

\[ \overline{T}(\bm {v}+S)=T(\bm {v}). \]

Essa definição não depende do representante escolhido, pois

\begin{align*} \bm {v}+S=\bm {u}+S & \Longleftrightarrow \bm {v}-\bm {u}\in S\\ & \Longrightarrow \bm {v}-\bm {u}\in \ker T\\ & \Longleftrightarrow T(\bm {v})=T(\bm {u}). \end{align*}

Além disso, para \(\lambda _1,\lambda _2\in \mathbb {K}\),

\[ \overline{T}\bigl(\lambda _1(\bm {u}+S)+\lambda _2(\bm {v}+S)\bigr) =\lambda _1T(\bm {u})+\lambda _2T(\bm {v}), \]

de modo que \(\overline{T}\) é linear. Pela definição,

\begin{align*} \operatorname {im}\overline{T} & =\{ T(\bm {v})\, \mid \, \bm {v}\in V\} =\operatorname {im}T,\\ \ker \overline{T} & =\{ \bm {v}+S\, \mid \, T(\bm {v})=\vec0\} =(\ker T)/S. \end{align*}

Por fim, se \(R:V/S\to W\) também satisfaz \(R\circ \pi _S=T\), então

\[ R(\bm {v}+S)=R(\pi _S(\bm {v}))=T(\bm {v})=\overline{T}(\bm {v}+S) \]

para toda classe \(\bm {v}+S\). Logo \(R=\overline{T}\).

Tomando \(S=\ker T\), obtemos a forma mais conhecida do resultado.

Teorema 4.18 (Primeiro Teorema de Isomorfismo)
Se \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\), então
\[ V/\ker T\cong \operatorname {im}T. \]

Demonstração ▼

Considere \(T\) com contradomínio restrito a \(\operatorname {im}T\). Pelo Teorema 4.17, a aplicação induzida

\[ \overline{T}:V/\ker T\longrightarrow \operatorname {im}T, \qquad \overline{T}(\bm {v}+\ker T)=T(\bm {v}), \]

é sobrejetiva e tem núcleo \((\ker T)/(\ker T)=\{ \vec0\} \). Portanto, \(\overline{T}\) é um isomorfismo.

Proposição 4.19
Se Ilustração: Teoremas de Isomorfismo é uma sequência exata, então a aplicação induzida por \(B\) fornece um isomorfismo \(Y/\operatorname {im}A\cong Z\).

Demonstração ▼

Pela exatidão, \(B\) é sobrejetiva e \(\ker B=\operatorname {im}A\). O Primeiro Teorema de Isomorfismo fornece

\[ Y/\operatorname {im}A=Y/\ker B\cong \operatorname {im}B=Z. \]

O Segundo Teorema de Isomorfismo relaciona soma, interseção e quociente de dois subespaços.

Teorema 4.20 (Segundo Teorema de Isomorfismo)
Se \(W\) e \(W'\) são subespaços de \(V\), então
\[ \frac{W+W'}{W}\cong \frac{W'}{W\cap W'}. \]

Demonstração ▼

Considere a transformação linear

\[ T:W'\longrightarrow (W+W')/W, \qquad T(\bm {y})=\bm {y}+W. \]

Seu núcleo é \(W\cap W'\). Ela é sobrejetiva: se \(\bm {z}+W\in (W+W')/W\), escreva \(\bm {z}=\bm {x}+\bm {y}\), com \(\bm {x}\in W\) e \(\bm {y}\in W'\). Então \(\bm {z}+W=\bm {y}+W=T(\bm {y})\). O Primeiro Teorema de Isomorfismo fornece

\[ \frac{W'}{W\cap W'}=\frac{W'}{\ker T}\cong \operatorname {im}T=\frac{W+W'}{W}. \]

O resultado seguinte mostra que tomar quocientes em duas etapas equivale a tomar um único quociente pelo maior dos subespaços.

Teorema 4.21 (Terceiro Teorema de Isomorfismo)
Se \(W\subseteq W'\) são subespaços de \(V\), então
\[ \frac{V/W}{W'/W}\cong \frac{V}{W'}. \]

Demonstração ▼

Sejam \(\pi _W:V\to V/W\) e \(\pi _{W'/W}:V/W\to (V/W)/(W'/W)\) as projeções canônicas. A composição

\[ T=\pi _{W'/W}\circ \pi _W:V\longrightarrow \frac{V/W}{W'/W} \]

é sobrejetiva. Além disso,

\begin{align*} \bm {v}\in \ker T & \Longleftrightarrow \bm {v}+W\in W’/W\\ & \Longleftrightarrow \bm {v}\in W’. \end{align*}

Logo \(\ker T=W'\), e o Primeiro Teorema de Isomorfismo dá

\[ \frac{V}{W'}=\frac{V}{\ker T} \cong \operatorname {im}T=\frac{V/W}{W'/W}. \]

Proposição 4.22
Se \(V=V_1\oplus \cdots \oplus V_n\), então, para cada \(i\),
\[ \frac{V}{V_i} \cong V_1\oplus \cdots \oplus \widehat{V_i}\oplus \cdots \oplus V_n, \]
em que o acento circunflexo indica a omissão do termo correspondente.

Demonstração ▼

Ponha \(U_i=\bigoplus _{j\neq i}V_j\). Então \(V=V_i\oplus U_i\) e \(V_i\cap U_i=\{ \vec0\} \). Pelo Segundo Teorema de Isomorfismo,

\[ V/V_i=(V_i+U_i)/V_i\cong U_i/(V_i\cap U_i)=U_i. \]

Definição 4.23 (Codimensão)
Se \(W\) é um subespaço de \(V\), a codimensão de \(W\) em \(V\) é
\[ \mathrm{codim}\, _V W\coloneqq \dim (V/W). \]

Proposição 4.24
Se \(W_2\) é um complemento de \(W_1\) em \(V\), então \(\mathrm{codim}\, _V W_1=\dim W_2\).

Demonstração ▼

Como \(V=W_1\oplus W_2\), a proposição anterior fornece \(V/W_1\cong W_2\). Portanto, esses espaços têm a mesma dimensão.

Corolário 4.25
Se \(V\) tem dimensão \(n\) e \(W\subseteq V\) tem dimensão \(k\), então
\[ \dim (V/W)=\mathrm{codim}\, _V W=n-k. \]

Demonstração ▼

Estenda uma base de \(W\) a uma base de \(V\). Os \(n-k\) vetores acrescentados geram um complemento de \(W\), ao qual se aplica a proposição anterior.

Outra construção natural de espaços quocientes é o conúcleo de uma transformação linear.

Definição 4.26 (Conúcleo)
Seja \(T:V\to W\) uma transformação linear. O conúcleo de \(T\) é
\[ \mathrm{coker}\, T\coloneqq W/\operatorname {im}T. \]

Corolário 4.27
Se \(V\) tem dimensão finita e \(T:V\to V\) é linear, então
\[ \dim (\ker T)=\dim (\mathrm{coker}\, T). \]

Demonstração ▼

Pelo Teorema do Posto,

\[ \dim (\ker T)=\dim V-\dim (\operatorname {im}T) =\dim (V/\operatorname {im}T)=\dim (\mathrm{coker}\, T). \]

4.3.1 Somas diretas e sequências exatas cindidas

Considere \(Z=X\oplus Y\). Todo \(\bm {z}\in Z\) possui uma decomposição única \(\bm {z}=\bm {x}+\bm {y}\), com \(\bm {x}\in X\) e \(\bm {y}\in Y\). Se \(i:X\to Z\) é a inclusão e \(\pi :Z\to Y\) é a projeção dada por \(\pi (\bm {x}+\bm {y})=\bm {y}\), então Ilustração: Somas diretas e sequências exatas cindidas é uma sequência exata. A inclusão \(j:Y\to Z\) satisfaz \(\pi \circ j=\operatorname {I}_Y\) e escolhe, de maneira linear, um representante em \(Z\) para cada vetor de \(Y\).

Motivados por esse exemplo, dizemos que uma sequência exata curta Ilustração: Somas diretas e sequências exatas cindidas é cindida se \(\pi \) possui uma inversa à direita linear, isto é, se existe \(j:Y\to Z\) tal que \(\pi \circ j=\operatorname {I}_Y\). A aplicação \(j\) é chamada de seção de \(\pi \); ela é necessariamente injetiva.

Proposição 4.28
A sequência (4.1) é cindida se, e somente se, existe um isomorfismo \(\Phi :X\oplus Y\to Z\) tal que
\[ \Phi (\bm {x},\vec0)=i(\bm {x}) \qquad \text{e}\qquad \pi \bigl(\Phi (\bm {x},\bm {y})\bigr)=\bm {y} \]
para todos \(\bm {x}\in X\) e \(\bm {y}\in Y\).

Demonstração ▼

Suponha que a sequência seja cindida e escolha uma seção \(j:Y\to Z\). Defina

\[ \Phi :X\oplus Y\longrightarrow Z, \qquad \Phi (\bm {x},\bm {y})=i(\bm {x})+j(\bm {y}). \]

Para todo \(\bm {z}\in Z\),

\[ \bm {z}-j(\pi (\bm {z}))\in \ker \pi =\operatorname {im}i, \]

logo \(\Phi \) é sobrejetiva. Se \(\Phi (\bm {x},\bm {y})=\vec0\), a aplicação de \(\pi \) fornece \(\bm {y}=\vec0\); então \(i(\bm {x})=\vec0\) e, como \(i\) é injetiva, \(\bm {x}=\vec0\). Portanto, \(\Phi \) é também injetiva. Por construção, \(\Phi (\bm {x},\vec0)=i(\bm {x})\) e \(\pi (\Phi (\bm {x},\bm {y}))=\bm {y}\).

Reciprocamente, dado um isomorfismo \(\Phi \) com essas propriedades, defina \(j:Y\to Z\) por \(j(\bm {y})=\Phi (\vec0,\bm {y})\). Então \(\pi \circ j=\operatorname {I}_Y\), e a sequência é cindida.

Exercício 4.13

Use o Primeiro Teorema de Isomorfismo para demonstrar o Teorema do Posto:

\[ \dim (\ker T)+\operatorname {posto}T=\dim V, \]

para \(T\in \operatorname {Hom}(V,W)\) e \(\dim V\lt \infty \).

Exercício 4.14

Sejam \(T\in \operatorname {Hom}(V,V)\) e \(S\) um subespaço de \(V\). Considere a fórmula

\[ T'(\bm {v}+S)=T(\bm {v})+S. \]

  1. Determine a condição necessária e suficiente para que essa fórmula defina uma aplicação \(T':V/S\to V/S\).

  2. Quando bem definida, prove que \(T'\) é linear e determine \(\ker T'\) e \(\operatorname {im}T'\) em termos de \(T\) e \(S\).

Exercício 4.15

Sejam \(M\) e \(N\) subespaços de \(L\). Prove diretamente que a aplicação

\[ \frac{M+N}{N}\longrightarrow \frac{M}{M\cap N}, \qquad m+n+N\longmapsto m+(M\cap N), \]

é um isomorfismo linear. Em particular, verifique que ela está bem definida.

Exercício 4.16

Seja \(L\) um subespaço unidimensional de \(\mathbb {R}^n\). Prove que \(\mathbb {R}^n/L\cong \mathbb {R}^{n-1}\).

Exercício 4.17

Seja \(V=C([a,b],\mathbb {R})\) e seja \(W\subseteq V\) o subespaço das funções constantes.

  1. Prove que \(W\cong \mathbb {R}\).

  2. Considere \(T:V\to V\) dada por \(T(f)=f-f(a)\). Determine seu núcleo e sua imagem e conclua que \(V/W\) é isomorfo ao espaço das funções contínuas em \([a,b]\) que se anulam em \(a\).

Exercício 4.18

Se \(L=M\oplus N\), prove que a aplicação canônica

\[ M\longrightarrow L/N, \qquad m\longmapsto m+N, \]

é um isomorfismo.

Exercício 4.19

Mostre que a lei de cancelamento para somas diretas pode falhar em dimensão infinita. Mais precisamente, construa espaços isomorfos

\[ V=S\oplus B \qquad \text{e}\qquad W=S\oplus D \]

para os quais \(B\not\cong D\). Conclua que \(V\cong W\) não implica, em geral, \(V/S\cong W/S\).

Exercício 4.20

Suponha que

\[ V=S_1\oplus T_1=S_2\oplus T_2 \]

e que \(S_1\) e \(S_2\) tenham codimensão finita em \(V\). Prove que \(S_1\cap S_2\) também tem codimensão finita e que

\[ \mathrm{codim}\, _V(S_1\cap S_2)\leq \dim T_1+\dim T_2. \]

Exercício 4.21

Sob as hipóteses do exercício anterior, construa uma decomposição \(V=W\oplus X\) tal que

  1. \(W\) tenha codimensão finita;

  2. \(W\subseteq S_1\cap S_2\);

  3. \(X\supseteq T_1+T_2\).

Exercício 4.22

Seja \(f\in \operatorname {Hom}_{\mathbb {K}}(V,\mathbb {K})\) não nulo. Mostre que \(V/\ker f\cong \mathbb {K}\).

Exercício 4.23

Seja \(f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0\in \mathbb {R}[x]\) e considere

\[ W=f\mathbb {R}[x]=\{ p(x)f(x)\, \mid \, p(x)\in \mathbb {R}[x]\} . \]

  1. Mostre que \(W\) é um subespaço de \(\mathbb {R}[x]\).

  2. Use o algoritmo da divisão para mostrar que \(\dim (\mathbb {R}[x]/W)=n\).