Em \(\mathbb T\), considere a relação de equivalência

Pelo axioma da escolha, existe um conjunto \(V\subset \mathbb T\) que contém exatamente um representante de cada classe de equivalência. Esse é um conjunto de Vitali.

Seja \(D=\mathbb Q\cap [0,1)\). A família \((V\oplus q)_{q\in D}\) é enumerável, disjunta duas a duas e sua união é \(\mathbb T\). De fato, todo \(x\in \mathbb T\) é equivalente a um único \(v\in V\), de modo que \(x=v\oplus q\) para algum \(q\in D\). Se \(v_1\oplus q_1=v_2\oplus q_2\), então \(v_1\sim v_2\); pela escolha de um único representante, \(v_1=v_2\), e portanto \(q_1=q_2\) em \(\mathbb T\).

Suponha, por absurdo, que \(V\in \mathcal F\). Pela invariância, todos os conjuntos \(V\oplus q\) são mensuráveis e têm a mesma medida. A \(\sigma \)-aditividade fornece

Se \(\mu (V)=0\), o lado direito é \(0\); se \(\mu (V)\gt 0\), ele é infinito. As duas possibilidades contradizem \(0\lt \mu (\mathbb T)\lt \infty \). Logo \(V\notin \mathcal F\), como queríamos.

Denotaremos por \(A=\limsup A_{n}\) e por \(B=\liminf A_{n} .\) Claramente \(B\subset A .\)

Suponha que os conjuntos \(A_n\) são não decrescentes, ou seja, \(A_{n}\subset A_{n+1} .\) Seja \(x\in A\) e seja \(I_x=\{ n\in \mathbb {N} : x\in A_n\} .\) O conjunto \(I_x\subset \mathbb {N}\) é não vazio e infinito. Seja \(n_0\in I_x\) o menor desses naturais. Se \(x\in A_{n_0}\) então \(x\in A_n \forall n\geq n_0 .\) Logo, o conjunto dos \(A_i\) em que \(x\) não está é finito e, portanto, \(x\in B\). Assim, \(A\subseteq B\).

Suponha que os conjuntos \( A_n \) sejam não crescentes, \( A_{n + 1} \subset A_{n}.\) Seja \( x \in A = \bigcap _{n = 1} ^{\infty } \bigcup _{k = n} ^{\infty } A_k .\) Para cada \( n \), \( \bigcup _{k = n} ^{\infty } A_k = A_n \) por serem não crescentes, então \( A = \bigcap _{n = 1} ^{\infty } A_n .\) Em particular, \(x\in A_n\) para todo \(n\); logo \(x\in B\) e, consequentemente, \( A \subseteq B .\)

Como \(A,B\in \mathcal L\), também \(A^\mathsf c,B^\mathsf c\in \mathcal L\). A inclusão \(B\subseteq A\) implica que \(A^\mathsf c\) e \(B\) são disjuntos. Logo \(A^\mathsf c\cup B\in \mathcal L\). Tomando novamente o complemento,

Toda \(\sigma \)-álgebra é, ao mesmo tempo, uma álgebra e uma classe monótona; também é um \(\lambda \)-sistema e um \(\pi \)-sistema. Assim, basta provar que cada uma das condições 2 e 3 implica 1.

De 3 para 1. Suponha que \(\mathcal F\) seja um \(\lambda \)-sistema e um \(\pi \)-sistema. A definição de \(\lambda \)-sistema já fornece \(\Omega \in \mathcal F\) e o fechamento por complementos. Resta obter o fechamento por uniões enumeráveis que não sejam necessariamente disjuntas.

Dados \(A_1,A_2,\ldots \in \mathcal F\), defina

Como \(\mathcal F\) é fechada por complementos e por interseções finitas, cada \(B_k\) pertence a \(\mathcal F\). Além disso, os \(B_k\) são disjuntos dois a dois e

O fechamento do \(\lambda \)-sistema por uniões enumeráveis disjuntas mostra, portanto, que \(\bigcup _kA_k\in \mathcal F\). Logo \(\mathcal F\) é uma \(\sigma \)-álgebra.

De 2 para 1. Suponha agora que \(\mathcal F\) seja uma álgebra e uma classe monótona. Se \(A_1,A_2,\ldots \in \mathcal F\), então as uniões finitas

pertencem à álgebra \(\mathcal F\) e satisfazem \(S_n\uparrow \bigcup _{k=1}^\infty A_k\). Pelo fechamento da classe monótona por limites crescentes, \(\bigcup _kA_k\in \mathcal F\). Assim, \(\mathcal F\) é uma \(\sigma \)-álgebra, e as três condições são equivalentes.

Denote \(\mathcal F=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }\mathcal F_\lambda \). Como \(\Omega \) pertence a toda \(\mathcal F_\lambda \), temos \(\Omega \in \mathcal F\). Se \(A\in \mathcal F\), então \(A\in \mathcal F_\lambda \) para todo \(\lambda \); portanto \(A^\mathsf c\in \mathcal F_\lambda \) para todo \(\lambda \), isto é, \(A^\mathsf c\in \mathcal F\). Finalmente, se \(A_1,A_2,\ldots \in \mathcal F\), então, para cada \(\lambda \),

Assim, \(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_n\) pertence à interseção de todas as \(\mathcal F_\lambda \). Os três axiomas de \(\sigma \)-álgebra estão verificados.

A demonstração é imediata do fato que:

é a menor \(\sigma \)-álgebra que contém \(\mathcal C .\)

A família

é uma \(\sigma \)-álgebra em \(\Omega _0\) e contém \(\mathcal C\vert _{\Omega _0}\). Pela minimalidade,

Para a inclusão inversa, defina

A família \(\mathcal G\) é uma \(\sigma \)-álgebra em \(\Omega \): contém \(\Omega \), é fechada por complementos e por uniões enumeráveis. Além disso, \(\mathcal C\subseteq \mathcal G\). Pelo Princípio dos Bons Conjuntos,

Tomando o traço em \(\Omega _0\), obtemos a inclusão inversa.

Escreva \(\mathcal M=\mathcal M\langle \mathcal F_0\rangle \). Faremos a prova em três passos.

1. A inclusão imediata. Como \(\sigma \langle \mathcal F_0\rangle \) é uma classe monótona que contém \(\mathcal F_0\), a minimalidade de \(\mathcal M\) dá

2. Fechamento por complementos. Considere

Se \(A_n\in \mathcal D\) e \(A_n\uparrow A\), então \(A_n^\mathsf c\in \mathcal M\) e \(A_n^\mathsf c\downarrow A^\mathsf c\); logo \(A^\mathsf c\in \mathcal M\), isto é, \(A\in \mathcal D\). O caso \(A_n\downarrow A\) é análogo, com os complementos crescendo. Portanto, \(\mathcal D\) é uma classe monótona. Como \(\mathcal F_0\) é uma álgebra, \(A\in \mathcal F_0\) implica \(A^\mathsf c\in \mathcal F_0\subseteq \mathcal M\); assim, \(\mathcal F_0\subseteq \mathcal D\). Pela minimalidade, \(\mathcal M\subseteq \mathcal D\), e \(\mathcal M\) é fechada por complementos.

3. Fechamento por uniões finitas. Fixe \(B\in \mathcal F_0\) e defina

Se \(A_n\uparrow A\), então \(A_n\cup B\uparrow A\cup B\); se \(A_n\downarrow A\), então \(A_n\cup B\downarrow A\cup B\). Isso mostra que \(\mathcal D_B\) é uma classe monótona. Além disso, \(\mathcal F_0\subseteq \mathcal D_B\), pois \(A,B\in \mathcal F_0\) implica \(A\cup B\in \mathcal F_0\subseteq \mathcal M\). Mais uma vez pela minimalidade, \(\mathcal M\subseteq \mathcal D_B\). Concluímos que

Precisamos agora permitir que também o segundo conjunto pertença a \(\mathcal M\). Para isso, considere

Para cada \(A\in \mathcal M\), as identidades do parágrafo anterior mostram que a condição \(A\cup B\in \mathcal M\) é preservada quando \(B_n\uparrow B\) ou \(B_n\downarrow B\). Logo \(\mathcal E\) é uma classe monótona. A conclusão destacada acima mostra que \(\mathcal F_0\subseteq \mathcal E\); pela minimalidade, \(\mathcal M\subseteq \mathcal E\). Portanto, \(A,B\in \mathcal M\) implica \(A\cup B\in \mathcal M\).

Como \(\Omega \in \mathcal F_0\subseteq \mathcal M\), os passos 2 e 3 mostram que \(\mathcal M\) é uma álgebra. Ela já é uma classe monótona; pelo Teorema 1.22, ela é uma \(\sigma \)-álgebra. Como contém \(\mathcal F_0\), contém também \(\sigma \langle \mathcal F_0\rangle \), o que prova a outra inclusão.

Escreva \(\mathcal L=\lambda \langle \mathcal P\rangle \). Como toda \(\sigma \)-álgebra é um \(\lambda \)-sistema,

Resta provar a inclusão inversa. Para cada \(A\subseteq \Omega \), defina

Fixe \(A\in \mathcal P\). Temos \(\Omega \in \mathcal G_A\), pois \(A=A\cap \Omega \in \mathcal L\). Se \(B\in \mathcal G_A\), então

pela propriedade de diferenças próprias. Portanto \(B^\mathsf c\in \mathcal G_A\). Se \(B_1,B_2,\ldots \) são disjuntos e pertencem a \(\mathcal G_A\), então os conjuntos \(A\cap B_n\) também são disjuntos e

Logo \(\mathcal G_A\) é um \(\lambda \)-sistema. Como \(\mathcal P\) é um \(\pi \)-sistema, \(\mathcal P\subseteq \mathcal G_A\); pela minimalidade, \(\mathcal L\subseteq \mathcal G_A\).

Considere agora

A classe \(\mathcal H\) é um \(\lambda \)-sistema. Com efeito, \(\Omega \in \mathcal H\). Se \(A\in \mathcal H\) e \(B\in \mathcal L\), então \(A\cap B\in \mathcal L\) e

de modo que \(A^\mathsf c\in \mathcal H\). Finalmente, se \(A_1,A_2,\ldots \) são disjuntos e pertencem a \(\mathcal H\), então, para cada \(B\in \mathcal L\), os conjuntos \(A_n\cap B\) são disjuntos e

Assim, \(\bigcup _n A_n\in \mathcal H\).

O parágrafo anterior mostrou que \(\mathcal P\subseteq \mathcal H\); portanto \(\mathcal L\subseteq \mathcal H\). Se \(A,B\in \mathcal L\), segue que \(B\in \mathcal G_A\), isto é, \(A\cap B\in \mathcal L\). Logo \(\mathcal L\) é também um \(\pi \)-sistema. Pelo Teorema 1.22, \(\mathcal L\) é uma \(\sigma \)-álgebra que contém \(\mathcal P\). Consequentemente, \(\sigma \langle \mathcal P\rangle \subseteq \mathcal L\), concluindo a demonstração.

Como \(\mathcal G\) é um \(\lambda \)-sistema que contém \(\mathcal P\), a minimalidade dá \(\lambda \langle \mathcal P\rangle \subseteq \mathcal G\). Pelo Teorema \(\pi \)–\(\lambda \) de Dynkin, \(\lambda \langle \mathcal P\rangle =\sigma \langle \mathcal P\rangle \). Logo \(\sigma \langle \mathcal P\rangle \subseteq \mathcal G\).

Começaremos mostrando que \( \mathcal{B}(\Omega _0) = \mathcal{B}(\Omega )\vert _{\Omega _0}\).

Considere

Do curso de topologia você deve se lembrar que:

Logo

onde a segunda igualdade é o Teorema dos Geradores Restringidos.

Agora suponha \(\Omega _0\in \mathcal B(\Omega )\). Se \(B\in \mathcal B(\Omega )\) e \(B\subseteq \Omega _0\), então \(B=B\cap \Omega _0\) pertence ao traço. Reciprocamente, se \(B=\widetilde B\cap \Omega _0\), com \(\widetilde B\in \mathcal B(\Omega )\), então \(B\in \mathcal B(\Omega )\), pois tanto \(\widetilde B\) quanto \(\Omega _0\) são borelianos, e claramente \(B\subseteq \Omega _0\).

Denote por \(\mathcal H\) a família dos ortantes inferiores

Cada elemento de \(\mathcal H\) é fechado, logo \(\sigma \langle \mathcal H\rangle \subseteq \mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Para a inclusão inversa, fixe \(j\in \{ 1,\ldots ,d\} \) e \(c\in \mathbb {R}\). O semiespaço coordenado inferior pode ser escrito como

Portanto, todos esses semiespaços pertencem a \(\sigma \langle \mathcal H\rangle \). Diferenças e interseções finitas dão

Os retângulos semiabertos desse tipo geram todos os retângulos abertos e, como os retângulos abertos com extremos racionais formam uma base enumerável da topologia euclidiana, geram \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Assim, \(\sigma \langle \mathcal H\rangle =\mathcal B(\mathbb {R}^d)\).

As bolas abertas também formam uma base: mais precisamente, as bolas com centro em \(\mathbb Q^d\) e raio racional formam uma base enumerável. Logo todo aberto é união enumerável dessas bolas. Como toda bola aberta é boreliana, segue que as bolas abertas geram \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Por definição, o mesmo vale para a família de todos os abertos. Os fechados geram a mesma \(\sigma \)-álgebra, pois são exatamente os complementos dos abertos.

Todo compacto de \(\mathbb {R}^d\) é fechado, de modo que a \(\sigma \)-álgebra gerada pelos compactos está contida em \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Reciprocamente, se \(F\) é fechado, então

e cada conjunto da união é compacto. Portanto os compactos geram todos os fechados e, consequentemente, toda a \(\sigma \)-álgebra de Borel.

Todo retângulo é boreliano, enquanto os retângulos abertos com extremos racionais formam uma base enumerável; portanto os retângulos também geram \(\mathcal B(\mathbb {R}^d)\). Todo cilindro coordenado é boreliano, pois a projeção \(\pi _j\) é contínua. Reciprocamente, todo retângulo é uma interseção finita de cilindros coordenados. Isso prova também a igualdade relativa aos cilindros.

Passemos a \(S=(0,1]\). Pelo Teorema da Restrição de Borel e pelo caso unidimensional já demonstrado, \(\mathcal B(S)\) é gerada pelos conjuntos \((0,c]\), \(0\lt c\lt 1\). Como

a família dos intervalos semiabertos \((a,b]\), \(0\leq a\lt b\leq 1\), gera a mesma \(\sigma \)-álgebra. A álgebra \(\mathcal B_0(S)\) é, por definição, a álgebra gerada por esses intervalos; aplicar primeiro um número finito de operações e depois operações enumeráveis não muda a \(\sigma \)-álgebra gerada. Logo \(\sigma \langle \mathcal B_0(S)\rangle =\mathcal B(S)\).

Os abertos de \(S\) geram \(\mathcal B(S)\) por definição, e os fechados geram a mesma classe por complementação. Para conferir diretamente as duas famílias de intervalos que aparecem no enunciado, fixe \(0\lt c\lt 1\). Escolha sequências \(a_n\downarrow 0\) e \(b_n\downarrow c\) com \(0\lt a_n\lt c\lt b_n\lt 1\). Então

Descartando os poucos pares com \(a_m\geq b_n\), todos os intervalos da última expressão têm extremos estritamente entre \(0\) e \(1\). Assim, esses intervalos abertos geram \((0,c]\). Por outro lado,

de modo que os intervalos fechados com extremos interiores também geram \((0,c]\). Como todos os intervalos mencionados são borelianos, ficam provadas todas as igualdades relativas a \(S\).

Finalmente, tome \(S_d=(0,1]^d\). Pelo Teorema da Restrição de Borel,

Como \(S_d\) é boreliano, esse traço é também \(\{ B\in \mathcal B(\mathbb {R}^d):B\subseteq S_d\} \). Intersectando os ortantes inferiores com \(S_d\), vemos que \(\mathcal B(S_d)\) é gerada pelos retângulos \((0,b_1]\times \cdots \times (0,b_d]\). Diferenças finitas em cada coordenada mostram que ela é igualmente gerada por todos os retângulos \((a_1,b_1]\times \cdots \times (a_d,b_d]\) do enunciado. A álgebra gerada por esses retângulos é \(\mathcal B_0(S_d)\), e portanto sua \(\sigma \)-álgebra gerada é novamente \(\mathcal B(S_d)\).

Se \(\Omega \) é finito ou enumerável, todo subconjunto de \(\Omega \) é uma união enumerável de singletons fechados e, portanto, é boreliano. Nesses dois casos, qualquer bijeção com um conjunto finito da mesma cardinalidade ou com \(\mathbb Z\), respectivamente, é um isomorfismo mensurável.

Suponha agora que \(\Omega \) seja não enumerável. Usaremos o seguinte lema de Lusin–Souslin: se \(X\) e \(Y\) são espaços poloneses e \(f:X\to Y\) é uma função boreliana injetiva, então \(f(X)\) é boreliano em \(Y\) e \(f:X\to f(X)\) é um isomorfismo mensurável. O mesmo resultado vale quando \(X\) é um subconjunto boreliano de um espaço polonês. Esse lema garante, em particular, que imagens de borelianos por aplicações borelianas injetivas são borelianas.

Primeiro construiremos uma injeção boreliana de \(\Omega \) em \(\mathbb {R}\). Seja \((U_n)_{n\geq 1}\) uma base enumerável da topologia de \(\Omega \) e defina

Cada coordenada de \(\Phi \) é boreliana e a base separa pontos, logo \(\Phi \) é boreliana e injetiva. A aplicação

é uma injeção contínua do espaço de Cantor \(\{ 0,1\} ^{\mathbb N}\) em \([0,1]\). Sua composição com \(\Phi \) fornece a injeção desejada.

Construiremos agora uma injeção boreliana de \(\mathbb {R}\) em \(\Omega \). Considere

O complementar de \(C\) é a união dos elementos enumeráveis da base \((U_n)\); portanto é aberto e enumerável. Assim, \(C\) é fechado, não vazio e sem pontos isolados. Como é um subespaço fechado de um espaço completamente metrizável, \(C\) é completamente metrizável.

Construindo recursivamente, dentro de cada aberto relativo não vazio de \(C\), dois abertos relativos com fechos disjuntos e diâmetros menores que \(2^{-n}\) no nível \(n\), obtemos conjuntos \((V_s)_{s\in \{ 0,1\} ^{\lt \mathbb N}}\) tais que

A completude implica que, para cada sequência \(\alpha \in \{ 0,1\} ^{\mathbb N}\), a interseção dos fechos \(\overline V_{\alpha \vert n}\) contém um único ponto. A aplicação que associa \(\alpha \) a esse ponto é contínua e injetiva. Por outro lado, compondo um homeomorfismo de \(\mathbb {R}\) em \((0,1)\) com a expansão binária escolhida de modo a não terminar em uma cauda infinita de algarismos \(1\), obtemos uma injeção boreliana de \(\mathbb {R}\) em \(\{ 0,1\} ^{\mathbb N}\). Logo existe uma injeção boreliana \(g:\mathbb {R}\to \Omega \).

Para concluir, aplicamos a versão boreliana do argumento de Cantor–Schröder–Bernstein. Se \(f:\Omega \to \mathbb {R}\) e \(g:\mathbb {R}\to \Omega \) são as injeções construídas, ponha

Pelo lema de Lusin–Souslin, todos esses conjuntos são borelianos. A função

é a bijeção usual do argumento de Cantor–Schröder–Bernstein. As duas partes são borelianas, assim como as partes correspondentes de sua inversa; logo \(h\) é um isomorfismo entre \((\Omega ,\mathcal B(\Omega ))\) e \((\mathbb {R},\mathcal B(\mathbb {R}))\).