Capítulo 13

Classificação das Quádricas

No Capítulo 10 estudamos as principais superfícies quádricas em posição canônica. Vimos como reconhecê-las por suas equações, por parametrizações e, sobretudo, por seus cortes. Nos Capítulos 11 e 12 aprendemos a mudar o sistema de coordenadas.

Esses resultados permitem formular o problema de classificação:

identificar o conjunto descrito por uma equação geral de segundo grau em três variáveis.

Uma equação geral tem a forma

\begin{equation} \label{eq:quadrica-geral-final} Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0, \tag{13.1} \end{equation}

onde pelo menos um dos coeficientes dos termos quadráticos é não nulo. A forma da equação depende do sistema de coordenadas. Escolhendo eixos adequados e transladando a origem, podemos reduzi-la a uma das formas já estudadas.

Começaremos escolhendo eixos que eliminem os termos mistos. Em seguida, completaremos os quadrados e interpretaremos essa operação como uma translação da origem. Por fim, os sinais dos coeficientes e os cortes planos permitirão reconhecer a geometria da forma reduzida.

13.1 Eixos principais no espaço

No plano, o Teorema 11.4 mostrou que uma rotação elimina o termo misto $xy$. Em três dimensões podem aparecer três termos mistos: $xy$, $xz$ e $yz$. O fato correspondente é o seguinte.

A parte quadrática da Equação (13.1) pode ser escrita como $\boldsymbol {x}^TM\boldsymbol {x}$, com

\[ \boldsymbol {x}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad M=\begin{pmatrix} A & D/2 & E/2 \\ D/2 & B & F/2 \\ E/2 & F/2 & C \end{pmatrix}. \]

Assim como no plano, cada coeficiente misto foi dividido entre duas entradas simétricas. Uma mudança ortogonal $\boldsymbol {x}=R\boldsymbol {x}'$ transforma essa matriz em $R^TMR$. Eliminar os termos mistos equivale a escolher uma base ortonormal na qual essa nova matriz seja diagonal. O teorema a seguir garante que essa escolha é sempre possível.

Teorema 13.1 (Eixos principais no espaço)

Dada uma equação quadrática em três variáveis, é possível escolher um sistema cartesiano com a mesma origem e eixos ortogonais de modo que, nas novas coordenadas, desapareçam simultaneamente os termos mistos $xy$, $xz$ e $yz$.

Assim, depois de uma rotação apropriada dos eixos, a Equação (13.1) assume a forma

\begin{equation} \label{eq:quadrica-sem-mistos} a x^2+b y^2+c z^2+d x+e y+f z+g=0. \tag{13.2} \end{equation}

Não demonstraremos o Teorema 13.1. Ele é a versão tridimensional do fenômeno que provamos diretamente no plano. Em um curso de Álgebra Linear, sua demonstração é obtida a partir do teorema espectral para matrizes simétricas. Para a classificação geométrica, usaremos apenas sua consequência: existem eixos cartesianos nos quais não há termos mistos.

Observação 13.2

O teorema é um resultado de existência. Quando a equação possui apenas um termo misto, muitas vezes podemos encontrar a rotação explicitamente usando a fórmula planar do Capítulo 11. Para uma equação com os três termos mistos, determinar numericamente os eixos principais é um problema de Álgebra Linear e não será exigido neste livro.

13.2 Depois da rotação: completar quadrados

Uma vez eliminados os termos mistos, resta a Equação (13.2). Se $a\neq 0$, então

\[ a x^2+d x =a\left(x+\frac{d}{2a}\right)^2-\frac{d^2}{4a}. \]

Fazemos o mesmo para cada variável que aparece ao quadrado. Isso corresponde geometricamente a transladar a origem.

Na variável $x$, por exemplo, a nova coordenada é $X=x+d/(2a)$. Quando $X=0$, estamos no plano $x=-d/(2a)$: é essa a posição da nova origem na direção correspondente. A identidade do quadrado completo registra tanto o deslocamento quanto a mudança do termo constante.

Por exemplo, se $a,b,c$ são todos não nulos, uma translação produz uma equação da forma

\begin{equation} \label{eq:quadrica-tres-quadrados} aX^2+bY^2+cZ^2=k. \tag{13.3} \end{equation}

A classificação passa então a depender apenas dos sinais de $a,b,c$ e de $k$.

Explicitamente, usamos

\[ X=x+\frac{d}{2a},\qquad Y=y+\frac{e}{2b},\qquad Z=z+\frac{f}{2c}, \]

e a constante do lado direito é

\[ k=-g+\frac{d^2}{4a}+\frac{e^2}{4b}+\frac{f^2}{4c}. \]

Os coeficientes $a,b,c$ continuam os mesmos: a translação remove os termos lineares sem alterar a parte quadrática.

Se um dos coeficientes quadráticos é zero, a variável correspondente pode aparecer apenas em primeiro grau ou pode estar ausente. Essa distinção produzirá os paraboloides e cilindros.

Escolhidos os eixos principais, o completamento de quadrados permite organizar os casos e interpretar geometricamente as equações resultantes.

13.3 Três termos quadráticos

Suponha inicialmente que, após escolher os eixos principais e transladar a origem, obtivemos

\[ aX^2+bY^2+cZ^2=k, \qquad abc\neq 0. \]

13.3.1 Os três sinais iguais

Multiplicando a equação por $-1$, se necessário, podemos supor

\[ a\gt 0,\qquad b\gt 0,\qquad c\gt 0. \]

Há três possibilidades.

Se $k\gt 0$, dividimos por $k$. O primeiro termo fica $(a/k)X^2=X^2/(k/a)$, e o mesmo vale para os outros dois. Como os três quocientes são positivos, podemos definir

\[ \alpha =\sqrt{\frac ka},\qquad \beta =\sqrt{\frac kb},\qquad \gamma =\sqrt{\frac kc}. \]

A equação torna-se

\[ \frac{X^2}{\alpha ^2} +\frac{Y^2}{\beta ^2} +\frac{Z^2}{\gamma ^2}=1, \]

um elipsoide.

Esses denominadores têm significado geométrico: ao fixar $Y=Z=0$, encontramos $X=\pm \alpha $. As outras interseções com os eixos fornecem $\pm \beta $ e $\pm \gamma $. Recuperamos, portanto, os semieixos estudados no Capítulo 10.

Se $k=0$, a soma de três termos não negativos só pode ser zero quando

\[ X=Y=Z=0. \]

A quádrica degenera num único ponto.

Se $k\lt 0$, não existem soluções reais: obtemos o conjunto vazio.

13.3.2 Sinais mistos

Suponha agora que nem todos os coeficientes tenham o mesmo sinal. Trocando todos os sinais, se necessário, basta considerar dois positivos e um negativo:

\[ a\gt 0,\qquad b\gt 0,\qquad c\lt 0. \]

Se $k\gt 0$, dividimos por $k$ e definimos $\alpha ^2=k/a$, $\beta ^2=k/b$ e $\gamma ^2=k/(-c)$, todos positivos. A equação fica

\[ \frac{X^2}{\alpha ^2} +\frac{Y^2}{\beta ^2} -\frac{Z^2}{\gamma ^2}=1, \]

um hiperboloide de uma folha.

Se $k\lt 0$, escreva $K=-k\gt 0$. Multiplicar a equação por $-1$ dá $-aX^2-bY^2+(-c)Z^2=K$. Agora dividimos por $K$ e tomamos $\alpha ^2=K/a$, $\beta ^2=K/b$ e $\gamma ^2=K/(-c)$, obtendo

\[ -\frac{X^2}{\alpha ^2} -\frac{Y^2}{\beta ^2} +\frac{Z^2}{\gamma ^2}=1, \]

um hiperboloide de duas folhas.

Se $k=0$, não podemos dividir pelo lado direito. Em vez disso, escrevemos cada coeficiente como o inverso de um quadrado positivo: $\alpha ^2=1/a$, $\beta ^2=1/b$ e $\gamma ^2=1/(-c)$. Assim,

\[ \frac{X^2}{\alpha ^2} +\frac{Y^2}{\beta ^2} -\frac{Z^2}{\gamma ^2}=0, \]

um cone elíptico.

A distinção entre uma e duas folhas pode ser verificada pelos cortes $Z=h$. No primeiro caso,

\[ \frac{X^2}{\alpha ^2}+\frac{Y^2}{\beta ^2} =1+\frac{h^2}{\gamma ^2}, \]

e há elipses para todo $h$. No segundo, o lado direito é $h^2/\gamma ^2-1$, que se torna negativo quando $|h|\lt \gamma $. Essa faixa sem pontos separa as duas folhas. Quando $k=0$, os semieixos dos cortes crescem proporcionalmente a $|h|$, recuperando a construção do cone.

13.4 Dois termos quadráticos

Suponha agora que, após a rotação, apenas duas variáveis aparecem ao quadrado. Completando quadrados nessas duas variáveis, chegamos a

\begin{equation} \label{eq:rank2-sem-rank} aX^2+bY^2+\ell Z=k, \qquad ab\neq 0. \tag{13.4} \end{equation}

Há duas situações geometricamente distintas.

13.4.1 A terceira variável aparece em primeiro grau

Se $\ell \neq 0$, isolamos $Z$:

\[ Z=\alpha X^2+\beta Y^2+\gamma . \]

Aqui $\alpha =-a/\ell $, $\beta =-b/\ell $ e $\gamma =k/\ell $. Ao tomar a nova coordenada $\widetilde Z=Z-\gamma $, a equação passa a ser $\widetilde Z=\alpha X^2+\beta Y^2$. Essa translação coloca na origem o vértice ou o ponto de sela. A seguir escrevemos novamente $Z$ para a coordenada transladada.

Para chegar aos denominadores das formas canônicas, definimos $p^2=1/|\alpha |$ e $q^2=1/|\beta |$. Os módulos determinam as escalas; os sinais determinam a geometria.

Se $\alpha $ e $\beta $ têm o mesmo sinal, obtemos um paraboloide elíptico:

\[ Z=\frac{X^2}{p^2}+\frac{Y^2}{q^2}, \]

possivelmente após inverter a orientação do eixo $Z$.

Se os sinais são opostos, obtemos um paraboloide hiperbólico:

\[ Z=\frac{X^2}{p^2}-\frac{Y^2}{q^2}. \]

No caso de sinais opostos, podemos trocar os nomes dos eixos $X$ e $Y$, juntamente com suas escalas, para escrever primeiro o termo positivo. Os cortes $Z=h$ distinguem os dois tipos: no paraboloide elíptico voltado para cima há elipses para $h\gt 0$, um ponto para $h=0$ e nenhum ponto para $h\lt 0$; no hiperbólico há hipérboles para $h\neq 0$ e duas retas para $h=0$. Pelos planos coordenados verticais aparecem parábolas.

13.4.2 A terceira variável está ausente

Se $\ell =0$, a equação não envolve $Z$:

\[ aX^2+bY^2=k. \]

O conjunto descrito no plano $XY$ é transportado paralelamente ao eixo $Z$. Obtemos, portanto, um cilindro quádrico ou um caso degenerado.

Quando $a$ e $b$ têm o mesmo sinal:

$k$ com o sinal adequado: cilindro elíptico;
$k=0$: uma reta, o eixo do cilindro degenerado;
sinal incompatível: conjunto vazio.

Quando $a$ e $b$ têm sinais opostos:

$k\neq 0$: cilindro hiperbólico;
$k=0$: dois planos concorrentes.

13.5 Um único termo quadrático

Resta o caso em que, nos eixos principais, apenas uma variável aparece ao quadrado. Depois de completar o quadrado correspondente, a equação tem a forma

\begin{equation} \label{eq:um-quadrado} aX^2+\ell Y+mZ=k, \qquad a\neq 0. \tag{13.5} \end{equation}

Se pelo menos um entre $\ell $ e $m$ é não nulo, a expressão $\ell Y+mZ$ indica uma direção privilegiada no plano $YZ$: a direção do vetor $(\ell ,m)$. Escolhemos um eixo nessa direção e outro perpendicular a ele. Para escrever a mudança, ponha $h=\sqrt{\ell ^2+m^2}\gt 0$ e defina

\[ U=\frac{\ell Y+mZ}{h}, \qquad V=\frac{-mY+\ell Z}{h}. \]

As duas linhas de coeficientes têm comprimento $1$ e produto escalar $0$, de modo que a mudança é uma rotação no plano $YZ$. Além disso, $\ell Y+mZ=hU$. Mantendo $X$ como antes, a equação se reduz a

\[ aX^2+hU=k. \]

Isolando $U$ e transladando essa coordenada, obtemos

\[ U=\frac kh-\frac ahX^2, \qquad \widetilde U=U-\frac kh=-\frac ahX^2. \]

No plano $X\widetilde U$, essa é uma parábola. A coordenada $V$ está ausente e fica livre: cada ponto da parábola gera uma reta paralela ao novo eixo $V$. Temos, portanto, um cilindro parabólico. A rotação revelou a direção das geratrizes que não era imediatamente visível na equação original.

Se $\ell =m=0$, obtemos simplesmente

\[ aX^2=k. \]

Nesse caso:

se $k/a\gt 0$, temos dois planos paralelos;
se $k=0$, temos um plano contado duas vezes na equação quadrática;
se $k/a\lt 0$, o conjunto é vazio.

13.6 A tabela de classificação

Toda a classificação pode ser resumida pela forma obtida depois de escolher eixos principais e completar quadrados.

Forma reduzida	Geometria
$+X^2+Y^2+Z^2=1$	elipsoide
$+X^2+Y^2-Z^2=1$	hiperboloide de uma folha
$-X^2-Y^2+Z^2=1$	hiperboloide de duas folhas
$+X^2+Y^2-Z^2=0$	cone elíptico
$Z=+X^2+Y^2$	paraboloide elíptico
$Z=+X^2-Y^2$	paraboloide hiperbólico
$+X^2+Y^2=1$ com $Z$ livre	cilindro elíptico
$+X^2-Y^2=1$ com $Z$ livre	cilindro hiperbólico
$Y=X^2$ com $Z$ livre	cilindro parabólico
formas-limite	ponto, reta, plano, dois planos ou conjunto vazio

Os coeficientes positivos que foram omitidos na primeira coluna apenas alteram escalas nos eixos. O que determina o tipo geométrico são o número de termos quadráticos, seus sinais e a presença ou ausência de termos lineares nas direções sem termo quadrático.

13.7 Exemplos completos

Exemplo 13.3 (Uma quádrica apenas transladada)

Classifique

\[ 4x^2+y^2-z^2-8x+2y+4z-4=0. \]

Solução

Não há termos mistos, portanto os eixos já são principais. Completando quadrados,

\[ 4(x-1)^2+(y+1)^2-(z-2)^2=5. \]

Dividindo por $5$,

\[ \frac{(x-1)^2}{5/4} +\frac{(y+1)^2}{5} -\frac{(z-2)^2}{5}=1. \]

Há dois termos positivos e um negativo com lado direito positivo. Logo a superfície é um hiperboloide de uma folha, de centro $(1,-1,2)$.

Exemplo 13.4 (Um termo misto que desaparece com $45^\circ $)

Classifique

\[ 5x^2+5y^2+6xy+2z^2=1. \]

Solução

No plano $xy$, tome

\[ u=\frac{x+y}{\sqrt2}, \qquad v=\frac{-x+y}{\sqrt2}. \]

Essa é uma rotação de $45^\circ $ dos eixos. Temos

\[ x^2+y^2=u^2+v^2 \]

\[ xy=\frac{u^2-v^2}{2}. \]

Portanto

\[ 5(u^2+v^2)+3(u^2-v^2)+2z^2=1, \]

\[ 8u^2+2v^2+2z^2=1. \]

Assim

\[ \frac{u^2}{1/8}+ \frac{v^2}{1/2}+ \frac{z^2}{1/2}=1, \]

e a quádrica é um elipsoide.

Exemplo 13.5 (Um paraboloide escondido por uma rotação)

Classifique

\[ (x+y)^2+z^2-2(x-y)=0. \]

Solução

Use novamente

\[ u=\frac{x+y}{\sqrt2}, \qquad v=\frac{-x+y}{\sqrt2}. \]

Então

\[ x+y=\sqrt2\, u, \qquad x-y=-\sqrt2\, v. \]

A equação se torna

\[ 2u^2+z^2+2\sqrt2\, v=0, \]

\[ v=-\frac{u^2}{\sqrt2}-\frac{z^2}{2\sqrt2}. \]

Os dois termos quadráticos têm o mesmo sinal. Portanto temos um paraboloide elíptico, cujo eixo é paralelo à direção da coordenada $v$.

Exemplo 13.6 (Uma degenerescência)

Classifique

\[ x^2-y^2=0. \]

Solução

Fatorando,

\[ (x-y)(x+y)=0. \]

Logo a quádrica é a união dos dois planos

\[ x=y \qquad \text{e}\qquad x=-y. \]

A variável $z$ é livre. Este é um caso degenerado do tipo hiperbólico.

13.8 O que significa classificar

A classificação não afirma que todas as equações de segundo grau são visualmente simples nas coordenadas originais. Ela afirma algo mais geométrico: depois de mudar a origem e orientar adequadamente os eixos, não aparecem novas famílias além das formas fundamentais já estudadas.

Em outras palavras, uma equação complicada como (13.1) pode esconder uma superfície familiar simplesmente porque estamos olhando para ela a partir de um sistema de coordenadas pouco conveniente.

Teorema 13.7 (Classificação geométrica das quádricas)

Toda quádrica real em $\mathbb E^3$ pode ser levada, por uma mudança cartesiana de coordenadas, a uma das formas canônicas deste capítulo ou a um dos casos degenerados correspondentes.

O teorema sintetiza o percurso de todo o livro. Começamos escolhendo vetores e coordenadas para descrever a geometria. Terminamos entendendo que uma boa escolha de coordenadas pode revelar a geometria que uma equação aparentemente complicada estava escondendo.

Exercício 8.1

Classifique, completando quadrados,

\[ 9x^2+4y^2+z^2-18x+8y-4z-22=0. \]

Determine o centro e os semieixos quando a superfície for não degenerada.

Ver solução

Completando quadrados,

\[ 9(x-1)^2+4(y+1)^2+(z-2)^2=39. \]

Logo

\[ \frac{(x-1)^2}{13/3} +\frac{(y+1)^2}{39/4} +\frac{(z-2)^2}{39}=1. \]

É um elipsoide de centro $(1,-1,2)$, com semieixos

\[ \sqrt{\frac{13}{3}},\qquad \frac{\sqrt{39}}{2},\qquad \sqrt{39} \]

nas direções dos eixos $x,y,z$, respectivamente.

Exercício 8.2

Classifique

\[ 4x^2+9y^2-z^2+8x-18y+2z-4=0. \]

Confirme a resposta estudando os cortes por planos paralelos aos planos coordenados que passam pelo centro.

Ver solução

Completando quadrados,

\[ 4(x+1)^2+9(y-1)^2-(z-1)^2=16, \]

\[ \frac{(x+1)^2}{4} +\frac{(y-1)^2}{16/9} -\frac{(z-1)^2}{16}=1. \]

É um hiperboloide de uma folha, de centro $(-1,1,1)$ e eixo paralelo a $z$. No plano $z=1$ o corte é a elipse

\[ \frac{(x+1)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{16/9}=1. \]

Nos planos $x=-1$ e $y=1$ os cortes são hipérboles, confirmando a classificação.

Exercício 8.3

Use a rotação

\[ u=\frac{x+y}{\sqrt2}, \qquad v=\frac{-x+y}{\sqrt2} \]

para classificar

\[ 3x^2+3y^2+2xy-z^2=1. \]

Ver solução

Como

\[ x^2+y^2=u^2+v^2, \qquad xy=\frac{u^2-v^2}{2}, \]

a equação se torna

\[ 4u^2+2v^2-z^2=1. \]

Portanto é um hiperboloide de uma folha, com eixo paralelo ao eixo $z$.

Exercício 8.4

Classifique

\[ (x-y)^2+z^2-4(x+y)=0. \]

Identifique o eixo da superfície nas coordenadas originais.

Ver solução

Tome

\[ u=\frac{x-y}{\sqrt2}, \qquad v=\frac{x+y}{\sqrt2}. \]

Então

\[ 2u^2+z^2-4\sqrt2\, v=0, \]

isto é,

\[ v=\frac{u^2}{2\sqrt2}+\frac{z^2}{4\sqrt2}. \]

Logo é um paraboloide elíptico de vértice na origem. Seu eixo é a direção positiva da coordenada $v$, isto é, a direção do vetor

\[ (1,1,0). \]

Exercício 8.5

Classifique os casos degenerados:

$x^2+y^2+z^2=0$;
$x^2+y^2+z^2=-1$;
$x^2-y^2=0$;
$x^2=4$;
$x^2=0$.

Ver solução

Respectivamente:

apenas a origem;
conjunto vazio;
os dois planos concorrentes $x=y$ e $x=-y$;
os dois planos paralelos $x=2$ e $x=-2$;
o plano $x=0$, contado duas vezes pela equação quadrática.

Exercício 8.6

Explique por que uma equação da forma

\[ aX^2+bY^2=k \]

com $Z$ ausente representa o transporte, paralelamente ao eixo $Z$, da cônica descrita no plano $XY$.

Ver solução

A equação não impõe nenhuma condição sobre $Z$. Assim, se $(X,Y,Z_0)$ é solução, então $(X,Y,Z)$ é solução para todo $Z\in \mathbb {R}$. Cada ponto da cônica

\[ aX^2+bY^2=k \]

no plano $XY$ gera uma reta paralela ao eixo $Z$. A união dessas retas é o cilindro correspondente, ou um caso degenerado quando a cônica plana degenera.

Exercício 8.7

Mostre, usando apenas cortes, que

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 \]

\[ -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \]

não podem representar o mesmo tipo de superfície.

Ver solução

No primeiro caso, o corte $z=k$ satisfaz

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{k^2}{c^2}, \]

e portanto é uma elipse para todo $k\in \mathbb {R}$. A superfície tem uma única folha.

No segundo caso,

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{c^2}-1. \]

O corte é vazio para $|k|\lt c$, reduz-se a um ponto para $|k|=c$ e é uma elipse para $|k|\gt c$. Há, portanto, duas folhas separadas por uma faixa sem pontos.

Exercício 8.8

Uma equação geral com os três termos mistos $xy$, $xz$ e $yz$ pode exigir técnicas de Álgebra Linear para encontrar explicitamente os eixos principais. Explique por que o Teorema 13.1 ainda é suficiente para concluir que nenhuma nova família de quádricas aparece.

Ver solução

O teorema garante a existência de uma rotação cartesiana que elimina simultaneamente os termos mistos. Depois dessa rotação, completar quadrados e transladar a origem levam a uma das formas reduzidas classificadas no capítulo. Como mudanças cartesianas não alteram o tipo geométrico da superfície, nenhuma nova família pode surgir apenas da presença dos termos mistos nas coordenadas originais.