Capítulo 1

Estrutura Vetorial do Plano e do Espaço

"Meça o que for mensurável, e torne mensurável o que não o for."
Galileu Galilei

1.1 Definições Elementares

A linguagem vetorial permite descrever de forma unificada muitos dos principais resultados da geometria euclidiana e, ao mesmo tempo, estabelece uma ponte natural entre a geometria sintética e sua descrição em coordenadas.

Neste capítulo introduziremos os elementos básicos dessa linguagem. A distinção entre grandezas escalares e vetoriais fornece uma motivação para a definição de vetor.

Algumas grandezas físicas ficam completamente determinadas por um único número real, uma vez fixada a unidade de medida. É o caso, por exemplo, da massa, da temperatura, do volume, da carga elétrica e da energia. Essas grandezas são chamadas de grandezas escalares.

Outras grandezas exigem, além de uma magnitude, uma direção e um sentido. É o caso do deslocamento, da velocidade, da aceleração, da força e da quantidade de movimento. Grandezas desse tipo são chamadas de grandezas vetoriais.

Figura 1.1 Os caminhos ligando dois pontos correspondem, todos, ao mesmo vetor deslocamento.

O deslocamento é o exemplo mais simples. Se um corpo se move de um ponto \(A\) para um ponto \(B\), não basta saber apenas quanto ele se deslocou: é necessário conhecer também a direção e o sentido do movimento. O vetor deslocamento registra precisamente essas informações, independentemente do caminho percorrido entre \(A\) e \(B\).

As operações com números reais permitem somar, subtrair, comparar e multiplicar grandezas escalares, respeitadas suas unidades. Para trabalhar com grandezas vetoriais, precisamos definir operações compatíveis com sua interpretação geométrica. Essas operações serão estudadas neste capítulo e no seguinte.

A construção dos vetores e de suas operações será predominantemente geométrica. Suporemos conhecidos os conceitos e resultados elementares da geometria euclidiana plana e espacial, em particular os que envolvem ângulos, retas, planos, comprimentos de segmentos e distâncias entre pontos.

Notação 1.1

Ao longo deste texto, \(\mathbb {E}^2\) denotará o plano euclidiano e \(\mathbb {E}^3\) o espaço euclidiano tridimensional. Usaremos letras latinas maiúsculas, como \(A\) e \(B\), para pontos; letras latinas minúsculas, como \(r\) e \(s\), para retas; e letras gregas minúsculas, como \(\pi \), para planos. Letras latinas ou gregas minúsculas também poderão representar escalares ou parâmetros; o significado ficará claro pelo contexto.

A definição de vetor será construída a partir da noção de vetor aplicado.

Definição 1.2

Um vetor aplicado ou segmento orientado é um segmento de reta no qual se escolheu um dos extremos \(A\), como ponto inicial. Nesse caso o outro extremo \(B\) do segmento será denominado ponto final e o vetor aplicado com ponto inicial \(A\) e final \(B\) será denotado por \(\overline{AB}\). Para nossas considerações um ponto \(A\) é considerado um segmento que denominaremos segmento nulo. Esse segmento será denotado por \(\overline{AA}\) ou por \(\overline{0}\).

O comprimento de um segmento \(\overline{AB}\) será denotado por \(\left\lvert \overline{AB}\right\rvert \) e será denominado também tamanho, intensidade, magnitude ou norma do vetor.

Os vetores aplicados servem apenas parcialmente ao propósito de representar grandezas que possuem intensidade, direção e sentido, pois embora possamos representar grandezas com esses atributos como vetores aplicados, essa representação não é única. Ou seja, existem vários vetores aplicados com pontos iniciais e finais distintos, mas que possuem intensidade, direção e sentido iguais. Para eliminarmos esse problema, identificaremos, isto é, diremos que são iguais, todos esses vetores. Assim diremos que dois vetores aplicados são equivalentes (ou equipolentes) se e somente se possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido ou ainda se ambos são nulos.

Uma identificação análoga ocorre com as frações: numeradores e denominadores diferentes podem representar o mesmo número. Por exemplo,

\[ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{23}{46}. \]

As frações acima representam um mesmo número, cuja representação decimal é \(0,5\). Também na notação decimal, as escritas \(0,5\) e \(0,50\) representam o mesmo número.

Quando identificamos os vetores aplicados equivalentes obtemos vetores livres ou simplesmente vetores.

Definição 1.3

Um vetor é uma classe de equivalência de vetores aplicados equipolentes, isto é, de segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. Os vetores aplicados pertencentes a essa classe são chamados de representantes do vetor.

Uma consequência importante dessa definição é que um vetor livre não possui posição fixa no espaço. Dado um vetor \(\boldsymbol {v}\) e um ponto \(A\), podemos escolher o representante de \(\boldsymbol {v}\) que começa em \(A\). Assim, segmentos orientados distintos podem representar o mesmo vetor sempre que tiverem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

O vetor cujos representantes são segmentos orientados nulos, ou seja com pontos iniciais e finais coincidentes será denominado vetor nulo. O vetor nulo será denotado por \(\overrightarrow {AA}\) ou por \({\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

Denotaremos os vetores utilizando fontes minúsculas em negrito \(\boldsymbol {a}\), através de uma flecha superior: \(\overrightarrow {a}\) ou ainda no caso em que tivermos dois pontos \(A\) e \(B\), denotaremos por \(\overrightarrow {AB}\) o vetor que tem como representante o vetor aplicado \(\overline{AB}\). Graficamente vetores são representados como flechas, nos quais a ponta da flecha aponta no sentido do vetor.

Dado um vetor e um segmento que o representa, teremos que a direção do vetor é a direção desse segmento, o sentido vem de termos escolhido uma orientação no segmento, ou seja de termos escolhido um ponto inicial e final e o comprimento de um vetor é o comprimento do segmento que o representa.

Como consequência dos axiomas de congruência da geometria euclidiana, temos que dado um segmento (ou um representante de um vetor) e um ponto podemos construir um segmento paralelo e de mesmo comprimento iniciando em \(A\). Se denotarmos por \(B\) o ponto final desse segmento, então teremos provado o seguinte resultado.

Proposição 1.4

Dados um vetor \(\boldsymbol {v}\) e um ponto \(A\), existe um único ponto \(B\) tal que o vetor aplicado \(\overline{AB}\) é representante de \(\boldsymbol {v}\), ou seja, tal que \(\boldsymbol {v} = \overrightarrow {AB}\).

O comprimento de um vetor \(\boldsymbol {v}=\overrightarrow {AB}\) será também denominado norma do vetor e será denotado por \(\lVert \boldsymbol {v}\rVert \) ou ainda por \(\lVert \boldsymbol {\overrightarrow {AB}}\rVert \).

Notação 1.5

O conjunto de todos os vetores de \(\mathbb {E}^{3}\) será denotado por \(\mathbb {V}^{3}\). De modo análogo, denotaremos por \(\mathbb {V}^{2}\) o conjunto de vetores associados a \(\mathbb {E}^{2}\), isto é, classe de equivalência de segmentos de retas no plano.

Os conceitos geométricos relativos a vetores serão definidos por meio de seus representantes, como nas definições a seguir:

Diremos que dois vetores são paralelos quando seus representantes tiverem a mesma direção ou quando um desses vetores for o vetor nulo \({\boldsymbol {\displaystyle 0}}\). O termo vetores paralelos inclui o caso especial onde os vetores estão sobre a mesma reta ou mesmo o caso em que coincidem. Como consequência da definição anterior temos que o vetor nulo é paralelo a todo vetor e também que todo vetor é paralelo a si mesmo.

Diremos que um conjunto de vetores são coplanares se esses vetores possuem representantes contidos no mesmo plano.

Figura 1.3 boldsymbol u, boldsymbol v e boldsymbol w são coplanares. — Figura 1.3 \(\boldsymbol {u}\), \(\boldsymbol {v}\) e \(\boldsymbol {w}\) são coplanares.

Se \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) são não nulos, definimos o ângulo entre os vetores como o único ângulo \(\theta \), com \(0\leq \theta \leq \pi \), formado por representantes de \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) com a mesma origem. Essa definição independe dos representantes escolhidos.

Finalmente, dois vetores \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) são ditos ortogonais, se um dos vetores for o vetor nulo, ou se ao escolhermos dois representantes para esses vetores que iniciam no mesmo ponto, \(\overline{AB}\) e \(\overline{AC}\) esses segmentos forem ortogonais, ou seja, se o ângulo determinado por esses segmentos for um ângulo reto (\(\pi /2\) radianos ou \(90^\circ \)).

Observação 1.6

Note que, segundo nossa definição, o vetor nulo \({\boldsymbol {\displaystyle 0}}\) é o único vetor paralelo e ortogonal a qualquer outro vetor, e coplanar a qualquer par de vetores.

1.1.1 Operações com Vetores

Por tradição, grandezas que possuem apenas magnitude, ou seja, grandezas que são representadas por números reais são denominadas grandezas escalares. Seguindo essa tradição denominamos um número real \(\lambda \) de escalar .

Vamos definir duas operações envolvendo vetores: a soma de vetores e a multiplicação por escalares.

Multiplicação por Escalar

Definição 1.7

Multiplicação por Escalar: Dado um vetor \(\boldsymbol {v}\) e um escalar \(\lambda \) podemos realizar a multiplicação de \(\lambda \) e \(\boldsymbol {v}\) obtendo o vetor \(\lambda \boldsymbol {v}\) definido do seguinte modo:

Se o vetor \(\boldsymbol {v}\) é nulo ou o escalar \(\lambda \) é zero então \(\lambda \boldsymbol {v}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\)
Se \(\lambda \gt 0,\) o vetor \(\lambda \boldsymbol {v}\) é o vetor com o mesmo sentido, mesma direção e com comprimento \(\left\vert \lambda \right\vert \lVert \boldsymbol {v}\rVert \).
Se \(\lambda \lt 0\) então vetor \(\lambda \boldsymbol {v}\) tem a mesma direção e sentido oposto ao vetor \(\boldsymbol {v}\) e comprimento \(\left\vert \lambda \right\vert \lVert \boldsymbol {v}\rVert .\)

Figura 1.6 Multiplicação de um vetor por um escalar.

Observação 1.8

Dados um vetor \(\boldsymbol {v}\) e um escalar não nulo \(\lambda \) denotaremos usualmente o vetor \(\left(\dfrac {1}{\lambda }\right)\boldsymbol {v}\) por \(\left(\dfrac {\boldsymbol {v}}{\lambda }\right)\). A equação anterior pode ser vista como uma definição da divisão de um vetor por um escalar.

Um vetor de comprimento \(1\) é denominado vetor unitário. Dado um vetor \(\boldsymbol {v}\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), temos que o vetor:

\[ \dfrac {1}{\lVert \boldsymbol {v}\rVert }\cdot \boldsymbol {v} = \dfrac {\boldsymbol {v}}{\lVert \boldsymbol {v}\rVert } \]

é unitário e possui a mesma direção e sentido que \(\boldsymbol {v}\) e é denominado versor associado a \(\boldsymbol {v}\). Para maiores detalhes veja exercício 2.11.

Um termo que usaremos ocasionalmente é o de vetor direcional ou vetor diretor. Muito frequentemente estaremos interessados apenas na direção de um vetor e não no seu tamanho. Por exemplo, como veremos posteriormente, uma reta é completamente determinada por um ponto \(P\) e um vetor \(\boldsymbol {v}\). Nesse caso o tamanho de \(\boldsymbol {v}\) não é importante e podemos multiplicá-lo livremente por um escalar.

Através da multiplicação de vetores por escalares podemos dar uma caracterização algébrica para o paralelismo de vetores:

Teorema 1.9

Se dois vetores \(\boldsymbol {u,v}\) são paralelos e \(\boldsymbol {v} \neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\) então \(\boldsymbol {u} = \lambda \boldsymbol {v}\) para algum \(\lambda \in \mathbb {R}\).

Demonstração ▼

Iremos considerar primeiramente o caso em que \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) têm mesmo sentido. Neste caso, visto que \(\lVert \boldsymbol {v}\rVert \neq 0\), podemos escolher

\[ \lambda =\dfrac {\left\Vert \boldsymbol {u}\right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol {v}\right\Vert } \]

Com essa escolha, provaremos que \(\boldsymbol {u}=\lambda \boldsymbol {v}.\)

Como \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) são paralelos, \(\boldsymbol {u}\) e \(\lambda \boldsymbol {v}\) possuem a mesma direção. E como estamos assumindo que \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) possuem o mesmo sentido e como \(\lambda \) é maior que zero então pela definição de multiplicação por escalares \(\boldsymbol {u}\) e \(\lambda \boldsymbol {v}\) possuem o mesmo sentido. Finalmente

\[ \lVert \lambda \boldsymbol {v}\rVert =\lambda \lVert \boldsymbol {v}\rVert =\dfrac {\lVert \boldsymbol {u}\rVert }{\lVert \boldsymbol {v}\rVert }\lVert \boldsymbol {v}\rVert =\lVert \boldsymbol {u}\rVert \]

O que prova que eles tem o mesmo comprimento. Logo, como os vetores \(\boldsymbol {u}\) e \(\lambda \boldsymbol {v}\) possuem mesma direção, sentido e comprimento eles são iguais.

Se \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) têm sentidos opostos, o argumento é análogo: escolhemos \(\lambda =-\dfrac {\lVert \boldsymbol {u}\rVert }{\lVert \boldsymbol {v}\rVert }\), de modo que \(\lambda \boldsymbol {v}\) tenha o mesmo sentido e a mesma norma de \(\boldsymbol {u}\).

Proposição 1.10

Dois vetores \(\boldsymbol {u,v}\) são paralelos se e somente se \(\boldsymbol {u=}\lambda \boldsymbol {v}\) para algum \(\lambda \in \mathbb {R}\) ou \(\boldsymbol {v=}\theta \boldsymbol {u}\) para algum \(\theta \in \mathbb {R}\).

Demonstração ▼

Suponha que \(\boldsymbol {u,v}\) são paralelos.

Caso \(\boldsymbol {v}\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), pelo teorema acima, temos que \(\boldsymbol {u=} \lambda \boldsymbol {v}\) para algum \(\lambda \in \mathbb {R}\). Caso contrário, isto é, se \(\boldsymbol {v} = {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\) então \(\boldsymbol {v=}\theta \boldsymbol {u}\) para \(\theta = 0\).

A implicação contrária segue da definição de multiplicação por escalar. Se \(\boldsymbol {u}=\lambda \boldsymbol {v}\) ou \(\boldsymbol {v}=\theta \boldsymbol {u}\), então um vetor é múltiplo do outro; portanto são paralelos. Isso inclui os casos em que um deles é nulo.

Como consequência da proposição anterior, temos:

Teorema 1.11

Três pontos \(A,B,C\) pertencem à mesma reta se e somente se \(\overrightarrow {AB}=\lambda \overrightarrow {BC}\) ou \(\overrightarrow {BC}=\theta \overrightarrow {AB}\).

Demonstração ▼

Se \(A,B,C\) pertencem à mesma reta, então \(\overrightarrow {AB}\) e \(\overrightarrow {BC}\) são paralelos. Pela Proposição 1.10, existe uma relação da forma

\[ \overrightarrow {AB}=\lambda \overrightarrow {BC}\qquad \text{ou}\qquad \overrightarrow {BC}=\theta \overrightarrow {AB}. \]

Reciprocamente, suponha que uma dessas relações seja válida. Se dois dos pontos coincidem, a colinearidade é imediata. Caso os três pontos sejam distintos, os vetores \(\overrightarrow {AB}\) e \(\overrightarrow {BC}\) são paralelos; como os segmentos correspondentes têm o ponto \(B\) em comum, as retas que os contêm coincidem. Logo \(A,B,C\) são colineares.

Soma de Vetores

Definição 1.12

Soma de vetores Dois ou mais vetores podem ser somados do seguinte modo: a soma, \(\boldsymbol {v}+\boldsymbol {u }\), de dois vetores \(\boldsymbol {v}\) e \(\boldsymbol {u}\) é determinada da seguinte forma: A partir de um segmento orientado \(\overline{AB}\), representante arbitrário de \(\boldsymbol {v}\), tome um segmento orientado \(\overline{BC}\) que representa \(\boldsymbol {u}\), isto é, tome um representante de \(\boldsymbol {u}\) com origem na extremidade final do representante de \(\boldsymbol {v}\), desta forma o vetor \(\boldsymbol {v} +\boldsymbol {u}\) é definido como vetor representado pelo segmento orientado \(\overline{AC}\), ou seja, pelo segmento que vai da origem do representante de \(\boldsymbol {v}\) até a extremidade final do representante de \(\boldsymbol {u}\).

A soma de vetores também pode ser feita através da regra do paralelogramo. Para somar dois vetores \(\boldsymbol {v} \) e \(\boldsymbol {u}\) através dessa regra tomamos representantes desses vetores que começam num ponto comum \(O\), como na figura 1.8. Então, a partir do ponto final de cada vetor traçamos uma reta paralela ao outro vetor. Essas retas se interceptam no ponto \(P\). E logo um paralelogramo é formado. O vetor diagonal \(\overrightarrow {OP}\) é a soma dos vetores \(\boldsymbol {v} \) e \(\boldsymbol {u}\). O vetor \(\boldsymbol {v} +\boldsymbol {u}\) obtido por esse método é o mesmo que o obtido pelo método anterior, pois o segmento \(\overline{OP}\) divide o paralelogramo em triângulos congruentes que representam a soma dos vetores \(\boldsymbol {v}\) e \(\boldsymbol {u}\).

A soma em coordenadas oferece outra maneira de calcular a soma de vetores. O exemplo a seguir introduz esse procedimento, que será desenvolvido no Capítulo 3.

Exemplo 1.13

Suponha que sobre um corpo material agem duas forças, \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\), de módulos \(2,00\)N e \(4,00\)N respectivamente, nas direções indicadas na Figura 1.9. Qual o módulo da força resultante, ou seja, qual o comprimento de \((\boldsymbol {u+v})\)?

Solução

Soma pela lei do paralelogramo:

Como acabamos de ver, uma forma de encontrar \((\boldsymbol {u+v})\) é usar a regra do paralelogramo. Considere então o paralelogramo \(ABCD\) conforme a Figura 1.10. Como ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é \(360^\circ \) obtemos que o ângulo \(\angle ADC\) é de \(150^o\). Como \(\boldsymbol {u} = \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\), podemos aplicar a lei dos cossenos no triângulo \(ADC\) para obter o comprimento de \(AC\), ou seja, o módulo de \(\boldsymbol {u+v}\):

\[ \begin{array}{rl} \Vert \boldsymbol {u+v}\Vert ^2 = |AC|^2 & = |AD|^2 + |DC|^2 - 2|AD||DC|\cos (150^o)\\ & = 16 + 4 - 2\cdot 4\cdot 2\cdot (-\sqrt{3}/2) = 20 + 8\sqrt{3}. \end{array} \]

Logo \(\Vert \boldsymbol {u+v}\Vert = \sqrt{20 + 8\sqrt{3}}\approxeq 5,82\)N.

Figura 1.10 Exemplo 1.13: Paralelogramo
Soma em coordenadas cartesianas:

Uma segunda abordagem seria decompor as forças em componentes horizontais e verticais e fazer, então, a soma dessas componentes. A vantagem desse modo de resolução está na não necessidade do estudo de ângulos (como fizemos para encontrar o ângulo \(\angle ADC\) na resolução anterior), e na troca da lei dos cossenos pelas definições de seno e cosseno de um ângulo junto com o teorema de Pitágoras.

Se \(\boldsymbol {u} = \boldsymbol {u_x} + \boldsymbol {u_y}\), onde \(\boldsymbol {u_x}\) e \(\boldsymbol {u_y}\) são as componentes horizontal e vertical de \(\boldsymbol {u}\) respectivamente, e \(\boldsymbol {v} = \boldsymbol {v_x} + \boldsymbol {v_y}\) (adotando a mesma notação) vemos que:

\[ \boldsymbol {u+v} = (\boldsymbol {u_x} + \boldsymbol {u_y}) +(\boldsymbol {v_x} + \boldsymbol {v_y}) = (\boldsymbol {u_x} + \boldsymbol {v_x}) +(\boldsymbol {u_y} + \boldsymbol {v_y}). \]

Daí, por Pitágoras:

\[ \Vert \boldsymbol {u+v}\Vert ^2 = \Vert \boldsymbol {u_x} + \boldsymbol {v_x}\Vert ^2 +\Vert \boldsymbol {u_y} + \boldsymbol {v_y}\Vert ^2 \]

(ver Figura 1.11).

Desse modo obtemos \(\Vert \boldsymbol {u_x}\Vert = 2\cos (30^\circ ) =\sqrt{3}\), \(\Vert \boldsymbol {u_y}\Vert = 2\operatorname {sen}(30^\circ ) = 1\), \(\Vert \boldsymbol {v_x}\Vert = 4\cos (60^\circ ) =2\) e \(\Vert \boldsymbol {v_y}\Vert = 4\operatorname {sen}(60^\circ ) = 2\sqrt{3}\). Daí:

\[ \begin{array}{rl} \Vert \boldsymbol {u+v}\Vert ^2 & = (\sqrt{3} + 2)^2 +(1 + 2\sqrt{3})^2= (3 + 4\sqrt{3} + 4) + (1 + 4\sqrt{3} +12)\\ & = 20 +8\sqrt{3}. \end{array} \]

E, da mesma forma que na resolução anterior, \(\Vert \boldsymbol {u+v}\Vert = \sqrt{20 + 8\sqrt{3}}= 5,82\)N.

Figura 1.11 Exemplo 1.13: Coordenadas cartesianas

Essa última resolução, conforme veremos mais adiante, é essencialmente o cálculo da soma de dois vetores num sistema de coordenadas cartesiano.

Propriedades Vetoriais

Pela definição da soma de vetores, temos que em geral o comprimento de \(\boldsymbol {w}=\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}\) é diferente da soma dos comprimentos dos vetores \(\boldsymbol {u}\) \(\boldsymbol {v}\), isto é,

\[ \lVert \boldsymbol {w}\rVert =\lVert \boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}\rVert \neq \lVert \boldsymbol {u}\rVert +\lVert \boldsymbol {v}\rVert . \]

Figura 1.12 comprimento e direção de boldsymbol w=boldsymbol u+boldsymbol v — Figura 1.12 comprimento e direção de \(\boldsymbol {w}=\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}\)

Para determinarmos o comprimento de \(\boldsymbol {w}=\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}\) podemos utilizar a lei dos cossenos para o triângulo da figura:

Considerando \(\gamma \) o ângulo indicado na Figura 1.12, pela Lei dos Cossenos temos:

\begin{equation} \lVert \boldsymbol {w}\rVert =\sqrt{\lVert \boldsymbol {u}\rVert ^2+\lVert \boldsymbol {v}\rVert ^2-2\lVert \boldsymbol { u } \rVert \lVert \boldsymbol {v}\rVert \cos \gamma } \label{leidoscossenos} \tag{1.1} \end{equation}

Considerando, \(\alpha \), \(\beta \) e \(\gamma \) os ângulos indicados na Figura 1.12, pela Lei dos Senos segue:

\begin{equation} \dfrac {\left\lvert \boldsymbol {w}\right\rvert }{\operatorname {sen}\gamma }=\dfrac {\left\lvert \boldsymbol {u}\right\rvert }{\operatorname {sen}\alpha }=\dfrac {\left\lvert \boldsymbol {v}\right\rvert }{\operatorname {sen}\beta } \label{leidossenos} \tag{1.2} \end{equation}

As equações 1.1 e 1.2 são a formulação vetorial das Leis dos Cossenos e dos Senos respectivamente.

Observação 1.14

Note que o ângulo \(\gamma \) representado na Figura 1.12 é na verdade o suplementar do ângulo entre \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\).

Notamos que, como \(-1 \leq \cos \gamma \leq 1\), um resultado imediato de (1.1) é:

Teorema 1.15 (Desigualdade Triangular)

Dados dois vetores \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) temos que:

\begin{equation} \label{eq:desigtriang} \lVert \boldsymbol {u} + \boldsymbol {v}\rVert \leq \lVert \boldsymbol {u}\rVert + \lVert \boldsymbol {v}\rVert . \tag{1.3} \end{equation}

Além disso, vale a igualdade em (1.3) se e somente se um dos vetores é um múltiplo não negativo do outro. Em particular, para vetores não nulos, isso equivale a terem a mesma direção e o mesmo sentido.

Observamos também que, a partir da definição de soma vetorial, é fácil ver que \(\boldsymbol {v+}{\boldsymbol {\displaystyle 0}}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\boldsymbol {+v}=\boldsymbol {v}\), ou seja, o vetor nulo é um elemento neutro para a adição. Mais, podemos definir o vetor oposto a um vetor dado. Para isso consideremos a seguinte propriedade, cuja demonstração deixamos como exercício (2.7):

Para cada vetor \(\boldsymbol {u}\) existe um único vetor \(-\boldsymbol {u}\) tal que \(\boldsymbol {u}+(-\boldsymbol {u})={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

O vetor \(-\boldsymbol {u}\) é denominado como o vetor oposto de \(\boldsymbol {u}\) e é o vetor com o mesmo comprimento e direção de \(\boldsymbol {u}\), mas com sentido oposto.

A partir do vetor oposto podemos definir subtração de vetores: , definimos a subtração \(\boldsymbol {v-u}\) como a soma do vetor \(\boldsymbol {v}\) com o vetor \(-\boldsymbol {u}\).

De modo equivalente podemos definir o vetor \(\boldsymbol {v-u}\) como o vetor que adicionado a \(\boldsymbol {u}\) dá o vetor \(\boldsymbol {v}\). Consequentemente, se representarmos os vetores \(\boldsymbol {v}\) e \(\boldsymbol {u}\) começando no mesmo ponto, o vetor \(\boldsymbol {v-u}\) será o vetor que liga a extremidade final de \(\boldsymbol {u}\) a extremidade final de \(\boldsymbol {v}\) (vide figura 1.14).

Uma observação importante é que, sempre que representantes consecutivos de vetores formam um polígono fechado, sua soma é nula. Como caso particular dessa regra é a soma de um vetor com seu oposto, isto é, \(\boldsymbol {v+(-v)=}{\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

Figura 1.15 A soma de vetores que formam um polígono fechado é nula: boldsymbol v+u+r+s=0 — Figura 1.15 A soma de vetores que formam um polígono fechado é nula: \(\boldsymbol {v+u+r+s}=\mathbf{0}\)

As propriedades a seguir resultam das definições geométricas de soma e multiplicação por escalar. Elas caracterizam os espaços de vetores \(\mathbb {V}^2\) e \(\mathbb {V}^3\) como espaços vetoriais, que, como eles, são conjuntos munidos de duas operações (multiplicação por escalar e soma). O estudo desses e outros espaços vetoriais (como o espaço de polinômios de grau n, por exemplo), bem como de transformações lineares, é conteúdo de cursos de Álgebra Linear na maioria das universidades.

Proposição 1.16

Sejam \(\boldsymbol {u,v,w}\) vetores e \(\lambda ,\lambda _1,\lambda _2\) escalares. As operações com vetores possuem as seguintes propriedades:

Propriedades da soma:

Propriedade Comutativa: \(\boldsymbol {v+u}=\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}\)
Propriedade associativa: \((\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v})+\boldsymbol {w}=\boldsymbol {u}+(\boldsymbol {v}+\boldsymbol {w})\)
Elemento Neutro: \({\boldsymbol {\displaystyle 0}}+\boldsymbol {u}=\boldsymbol {u}\)
Elemento oposto: Para cada vetor \(\boldsymbol {u}\) existe um único vetor \(-\boldsymbol {u}\) tal que \(\boldsymbol {u}+(-\boldsymbol {u})={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\)

Propriedades da multiplicação de vetor por escalar:

Propriedade distributiva de escalares em relação aos vetores: \(\lambda (\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v})=\lambda \boldsymbol {u}+\lambda \boldsymbol {v}\)
Multiplicação por zero \(0\boldsymbol {u}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\)
Associatividade da multiplicação por escalares \((\lambda _{1}\lambda _{2})\boldsymbol {u}=\lambda _{1}(\lambda _{2}\boldsymbol {u})\)
Distributiva dos vetores em relação aos escalares \((\lambda _{1}+\lambda _{2})\boldsymbol {u}=\lambda _{1}\boldsymbol {u}+\lambda _{2}\boldsymbol {u}\)
Elemento neutro multiplicativo \(1\boldsymbol {u}=\boldsymbol {u}\)

Demonstração ▼

Esboçaremos a demonstração de algumas dessas propriedades:

A propriedade comutativa segue da regra do paralelogramo para a adição dos vetores \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\), veja a figura 1.16. A diagonal representa simultaneamente \(\boldsymbol {u+v}\) e \(\boldsymbol {v+u}\).

Figura 1.16 Propriedade Comutativa da Soma

A propriedade associativa segue de imediato do fato que quando três vetores são adicionados, o mesmo vetor fecha o polígono, como na figura 1.17.

Figura 1.17 Propriedade Associativa da Soma

As propriedades S3 e S4 são deixadas como exercício ao leitor.

A propriedade M1 segue de modo simples a partir da regra do paralelogramo. Deixamos os detalhes a cargo do leitor. M2 e M5 são resultados imediatos da definição de multiplicação de vetor por escalar.

Para demonstrarmos a propriedade M3, isto é, a associatividade da multiplicação por escalares \((\lambda _{1}\lambda _{2})\boldsymbol {u}=\lambda _{1}(\lambda _{2}\boldsymbol {u})\) observamos inicialmente que os vetores \((\lambda _{1}\lambda _{2})\boldsymbol {u}\) e \(\lambda _{1}(\lambda _{2}\boldsymbol {u})\) possuem a mesma direção e sentido independentemente do sinal de \(\lambda _1\) e \(\lambda _2\) (terão o mesmo sentido de \(\boldsymbol {u}\) se \(\lambda _1\) e \(\lambda _2\) tiverem o mesmo sinal, e sentido oposto a \(\boldsymbol {u}\) se \(\lambda _1\) e \(\lambda _2\) tiverem sinais contrários).

Além disso, os comprimentos de \((\lambda _{1}\lambda _{2})\boldsymbol {u}\) e \(\lambda _{1}(\lambda _{2}\boldsymbol {u})\) são os mesmos pois:

\[ \lVert \lambda _{1}(\lambda _{2}\boldsymbol {u})\rVert =\left\lvert \lambda _1\right\rvert \cdot \lVert \lambda _2\boldsymbol {u}\rVert = \left\lvert \lambda _1\right\rvert \cdot (\left\lvert \lambda _2\right\rvert \lVert \boldsymbol {u}\rVert )= \left\lvert \lambda _1\lambda _2\right\rvert \cdot \lVert \boldsymbol {u}\rVert = \lVert (\lambda _{1}\lambda _{2})\boldsymbol {u}\rVert . \]

A propriedade M4, isto é, a distributiva dos vetores em relação aos escalares

\[ (\lambda _{1}+\lambda _{2})\boldsymbol {u}=\lambda _{1}\boldsymbol {u}+\lambda _{2}\boldsymbol {u}, \]

segue da observação de que a direção e o sentido dos vetores \((\lambda _{1}+\lambda _{2})\boldsymbol {u}\) e \(\lambda _{1}\boldsymbol {u}+\lambda _{2}\boldsymbol {u}\) é a mesma. Esse fato é claro se \(\lambda _1\) e \(\lambda _2\) tiverem o mesmo sinal, ou se \(\lambda _1+\lambda _2=0\), no outros casos o sentido é determinado pelo escalar de maior módulo \(\left\lvert \lambda _1\right\rvert \) e \(\left\lvert \lambda _2\right\rvert \) .

Se o sinal de \(\lambda _1\) e \(\lambda _2\) forem o mesmo, teremos que

\[ \lVert (\lambda _{1}+\lambda _{2})\boldsymbol {u}\rVert =\left\lvert (\lambda _{1}+\lambda _{2})\right\rvert \lVert \boldsymbol {u}\rVert = (\left\lvert \lambda _{1}\right\rvert +\left\lvert \lambda _{2}\right\rvert )\lVert \boldsymbol {u}\rVert = \lVert \lambda _{1}\boldsymbol {u}\rVert +\lVert \lambda _{2}\boldsymbol {u}\rVert . \]

Pela definição de adição de vetores é fácil ver que a soma de dois vetores de mesmo sentido é um vetor também de mesmo sentido e com o comprimento igual a soma do comprimento dos vetores somados. Daí temos:

\[ \lVert \lambda _{1}\boldsymbol {u}\rVert +\lVert \lambda _{2}\boldsymbol {u}\rVert = \lVert \lambda _{1}\boldsymbol {u}+\lambda _{2}\boldsymbol {u}\rVert . \]

Por outro lado, caso os sinais de \(\lambda _1\) e \(\lambda _2\) sejam contrários, teremos:

\[ \lVert (\lambda _{1}+\lambda _{2})\boldsymbol {u}\rVert =\big|(\lambda _{1}+\lambda _{2})\big|\lVert \boldsymbol {u}\rVert = \big|\left\lvert \lambda _{1}\right\rvert -\left\lvert \lambda _{2}\right\rvert \big|\lVert \boldsymbol {u}\rVert = \big|\lVert \lambda _{1}\boldsymbol {u}\rVert -\lVert \lambda _{2}\boldsymbol {u}\rVert \big|. \]

Novamente, pela definição de soma vetorial, segue que:

\[ \big|\lVert \lambda _{1}\boldsymbol {u}\rVert -\lVert \lambda _{2}\boldsymbol {u}\rVert \big| = \lVert \lambda _{1}\boldsymbol {u}+\lambda _{2}\boldsymbol {u}\rVert . \]

Todas as propriedades algébricas dos vetores podem ser deduzidas das 9 propriedades acima. Essas propriedades são análogas as propriedades dos números reais e grande parte da álgebra desenvolvida para números reais se estende para as operações vetoriais. De modo mais geral podemos definir um espaço vetorial como um conjunto com uma operação \(+\) e uma operação de multiplicação por escalares satisfazendo os nove axiomas acima. Essa definição será estudada em maior generalidade em Álgebra Linear.

Vejamos algumas propriedades algébricas dos vetores:

Exemplo 1.17

\(\boldsymbol {v+v=2v}\)

Demonstração ▼

Pela propriedade \(M5\) temos que \(\boldsymbol {v+v}\) \(=1\boldsymbol {v} +1\boldsymbol {v}\) e pela propriedade \(M4\) temos que\(1\boldsymbol {v}+1\boldsymbol {v}=(1+1)\boldsymbol {v}=2\boldsymbol {v}\) e logo \(\boldsymbol {v}+\boldsymbol {v=}2\boldsymbol {v}\).

Exemplo 1.18

\(\boldsymbol {v}+(-1\boldsymbol {v})={\boldsymbol {\displaystyle 0}},\) ou seja o vetor oposto a \(\boldsymbol {v}\) é \(-1\boldsymbol {v.}\)

Demonstração ▼

Pela propriedade \(M5\) temos que \(\boldsymbol {v}+(-1\boldsymbol {v})=\) \(1\boldsymbol {v}+(-1\boldsymbol {v})\) e pela propriedade \(M4\) temos que \(1\boldsymbol {v}+(-1\boldsymbol {v})=\left( 1-1\right) \boldsymbol {v}=0\boldsymbol {v}\). Finalmente a propriedade \(M2\) nos diz que \(0\boldsymbol {v=}{\boldsymbol {\displaystyle 0}}\)

Como vetor oposto é único temos que o vetor oposto a \(\boldsymbol {v}\) é \(-1\boldsymbol {v.}\)

Exemplo 1.19

\(\boldsymbol {u+v=w}\) se, e somente se, \(\boldsymbol {u=w-v}\).

Demonstração ▼

Se \(\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}=\boldsymbol {w}\), somamos \(-\boldsymbol {v}\) aos dois lados e usamos a associatividade:

\[ \boldsymbol {u}+(\boldsymbol {v}-\boldsymbol {v})=\boldsymbol {w}-\boldsymbol {v}. \]

Como \(\boldsymbol {v}-\boldsymbol {v}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), obtemos \(\boldsymbol {u}=\boldsymbol {w}-\boldsymbol {v}\).

Reciprocamente, se \(\boldsymbol {u}=\boldsymbol {w}-\boldsymbol {v}\), então

\[ \boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}=\boldsymbol {w}-\boldsymbol {v}+\boldsymbol {v}=\boldsymbol {w}. \]

O exemplo a seguir mostra como expressar e demonstrar uma propriedade geométrica utilizando a linguagem vetorial.

Exemplo 1.20

Os segmentos que unem os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado.

Solução

Seja o triângulo \(\Delta ABC\) e seja \(M_{1}\) o ponto médio do lado \(\overline{AB}\) e \(M_{2}\) o ponto médio do lado \(\overline{AC}\).

Como \(M_{1}\) é ponto médio do lado \(\overline{AB}\) temos que vetor \(\overrightarrow {AM_{1}}\) é igual a metade do vetor \(\overrightarrow {AB}\). Analogamente, temos que \(\overrightarrow {AM_2}\) é metade do vetor \(\overrightarrow {AC}\), isto é,

\begin{eqnarray} \overrightarrow {AM_{1}} = \dfrac {1}{2}\overrightarrow {AB} \tag{1.4} \\ \overrightarrow {AM_2} = \dfrac {1}{2}\overrightarrow {AC} \tag{1.5} \end{eqnarray}

e consequentemente:

\begin{eqnarray} \overrightarrow {AB}= 2\overrightarrow {AM_{1}} \label{eqme1} \tag{1.6} \\ \overrightarrow {CA} =2\overrightarrow {M_2A} \label{eqme2} \tag{1.7} \end{eqnarray}

Então como:

\begin{eqnarray} \overrightarrow {CB}= \overrightarrow {CA}+\overrightarrow {AB} \label{eqme3} \tag{1.8} \end{eqnarray}

substituindo 1.6 e 1.7 em 1.8 temos:

\begin{eqnarray} \overrightarrow {CB}=2\overrightarrow {M_2A} + 2\overrightarrow {AM_{1}} \tag{1.9} \\ \overrightarrow {CB} = 2( \overrightarrow {M_{2}A} +\overrightarrow {AM_{1}}) = 2\overrightarrow {M_{2}M_{1}} \tag{1.10} \end{eqnarray}

e consequentemente:

\[ \overrightarrow {M_{2}M_{1}}= \dfrac {1}{2} \overrightarrow {CB} \]

E assim o segmento \(\overline{M_{2}M_{1}}\) é paralelo ao segmento \( \overline{CB}\) e seu comprimento é metade do último.

Exemplo 1.21

Dado um triângulo de vértices \(A,B,C.\) Dado \(P\) o ponto de encontro da bissetriz do ângulo \(\widehat{C}\) com o lado \(\overline{AB}\) Então vetor \(CP\) é paralelo ao vetor \(\dfrac {\overrightarrow {CA}}{\left\Vert \overrightarrow {CA}\right\Vert }+\dfrac {\overrightarrow {CB}}{\left\Vert \overrightarrow {CB}\right\Vert }\), ou seja,

\begin{equation} \label{eq:bissetriz} \overrightarrow {CP}=\lambda \left( \dfrac {\overrightarrow {CA}}{\left\Vert \overrightarrow {CA}\right\Vert }+\dfrac {\overrightarrow {CB}}{\left\Vert \overrightarrow {CB}\right\Vert }\right) \tag{1.11} \end{equation}

Solução

Note primeiramente que, para provarmos a equação (1.11), basta mostrarmos que, se \(F\) é tal que:

\[ \overrightarrow {CF} = \dfrac {\overrightarrow {CA}}{\left\Vert \overrightarrow {CA}\right\Vert } +\dfrac {\overrightarrow {CB}}{\left\Vert \overrightarrow {CB}\right\Vert }, \]

então \(F\) está sob a bissetriz do ângulo \(\widehat{C}\).

Faremos isso observando que a diagonal \(CF\) de um losango \(CEFD\) divide os ângulos \(\widehat{C}\) e \(\widehat{F}\) em ângulos iguais, ou seja é bissetriz de \(\widehat{C}\) e \(\widehat{F}\). Isso segue do caso LLL de congruência de triângulos (\(\triangle CFD \cong \triangle CEF\)).

Considere agora os vetores \(\boldsymbol {u}=\dfrac {\overrightarrow {CA}}{\left\Vert \overrightarrow {CA}\right\Vert }\) e \(\boldsymbol {v}=\dfrac {\overrightarrow {CB}}{\left\Vert \overrightarrow {CB}\right\Vert }\). Como os vetores \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) possuem o mesmo comprimento, pois são unitários, o paralelogramo determinado por estes vetores é um losango. Consequentemente, como \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) são paralelos aos lados \(CA\) e \(CB\) do triângulo \(\triangle ABC\), e a regra do paralelogramo nos diz que a soma de dois vetores é a diagonal do paralelogramo por eles formado, temos que, se \(\overrightarrow {CF} = (\boldsymbol {u} + \boldsymbol {v})\), então o segmento \(CF\) divide o ângulo \(\hat{C}\) em ângulos iguais.

Finalmente, se \(P\) é um ponto qualquer da bissetriz de \(\widehat C\), o vetor \(\overrightarrow {CP}\) é paralelo ao vetor \(\overrightarrow {CF}\), isto é,

\[ \overrightarrow {CP}=\lambda \left( \dfrac {\overrightarrow {CA}}{\left\Vert \overrightarrow {CA}\right\Vert }+\dfrac {\overrightarrow {CB}}{\left\Vert \overrightarrow {CB}\right\Vert }\right) \]

1.2 Soma de Ponto com Vetor

A soma do ponto com o vetor \(\boldsymbol {v}\) nos retorna a translação do ponto \(P\) ao ser transportado pela direção, sentido e comprimento de \(\boldsymbol {v}\).

Definição 1.22

Dado um ponto \(P\) e um vetor \(\overrightarrow {v}\) podemos definir a soma de ponto com vetor do seguinte modo.

Seja um representante de \(\overrightarrow {v}\) que começa em \(P\) e seja \(Q\) o ponto final desse representante. Definimos então:

\[ P+\boldsymbol {v}:=Q \]

Podemos reescrever a definição de soma de ponto com vetor de outra forma: diremos que \(P+\boldsymbol {v}=Q\) se e somente se \(\overrightarrow {PQ}=\boldsymbol {v}\).

Se escolhermos um ponto fixo no espaço \(O\) que chamaremos de origem, cada ponto \(P\) do espaço (ou plano) pode ser escrito como

\[ P=O+\overrightarrow {OP} \]

Nesse caso vetor \(\overrightarrow {OP}\) é dito vetor posição de \(P\).

Proposição 1.23

A soma de ponto com vetor tem as seguintes propriedades:

\(P+{\boldsymbol {\displaystyle 0}}=P\)
\(P+\boldsymbol {u}=P+\boldsymbol {v}\) se e somente se \(\boldsymbol {u}=\boldsymbol {v}\)
\((P+\boldsymbol {u})+\boldsymbol {v}=P+\boldsymbol {(u+v)}\)
\((P+\boldsymbol {u})-\boldsymbol {u}=P\)
\(P+\overrightarrow {PQ}=Q\)

Demonstração ▼

Faremos a demonstração dos três primeiras propriedades e deixaremos as outras como exercício ao leitor.

É imediata pois \(\overrightarrow {PP}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\)
Se \(P+\boldsymbol {u}=P+\boldsymbol {v}\), seja \(Q=P+\boldsymbol {u}\), então \(\boldsymbol {u}=\overrightarrow {PQ}=\boldsymbol {v}\) e assim \(\boldsymbol {u}=\boldsymbol {v}\). A recíproca é imediata.
Seja \(Q_1= P +\boldsymbol {u}\), \(Q_2=Q_1+\boldsymbol {v}\) e \(Q_3=P+\boldsymbol {(u+v)}\). Para demonstrar que \((P+\boldsymbol {u})+\boldsymbol {v}=P+\boldsymbol {(u+v)}\) basta mostrarmos que \(Q_2=Q_3\).

Por definição \(Q_1= P +\boldsymbol {u}\) implica que \(\boldsymbol {u}=\overrightarrow {PQ_1}\). De modo análogo, \(Q_2=Q_1+\boldsymbol {v}\), implica que \(\boldsymbol {v}=\overrightarrow {Q_1Q_2}\) e \(Q_3=P+\boldsymbol {(u+v)}\) implica que \(\boldsymbol {(u+v)}=\overrightarrow {PQ_3}\).

Logo

\begin{eqnarray} \overrightarrow {PQ_3}=\boldsymbol {(u+v)}= \overrightarrow {PQ_1}+ \overrightarrow {Q_1Q_2} \tag{1.12} \\ \Rightarrow \overrightarrow {PQ_3} = \overrightarrow {PQ_2} \tag{1.13}\\ \Rightarrow Q_3=Q_2 \tag{1.14} \end{eqnarray}

Exemplo 1.24

Dado \(\Delta ABC\) um triângulo e \(P\) um ponto sobre \(BC\). Se \(Q=P+\overrightarrow {AP}+\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}\) demonstre que \(ABQC\) é um paralelogramo e assim \(Q\) não depende da escolha de \(P\).

Solução

Como \(Q=P+\overrightarrow {AP}+\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}\) então

\[ \overrightarrow {PQ}=\overrightarrow {AP}+\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC} \]

e logo

\[ \overrightarrow {AQ}-\overrightarrow {AP}=\overrightarrow {AP}+\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AP}+\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AP} \]

e logo

\[ \overrightarrow {AQ}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC} \]

E assim \(\overrightarrow {CQ}=\overrightarrow {AQ}-\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AB}\). De modo análogo podemos provar que \(\overrightarrow {BQ}=\overrightarrow {AC}\) e assim \(ABQC\) é um paralelogramo.

Exercício 2.1

Considere um paralelepípedo \(ABCDEFGH\) em que \(ABCD\) e \(EFGH\) são faces opostas e \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\) são arestas paralelas. Expresse, em função de \(\overrightarrow {AB}\), \(\overrightarrow {AC}\) e \(\overrightarrow {AF}\):

\(\overrightarrow {BF}\);
\(\overrightarrow {AG}\);
\(\overrightarrow {AE}\);
\(\overrightarrow {BG}\);
\(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {FG}\);
\(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {HG}\);
\(2\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {FG}-\overrightarrow {BH}+\overrightarrow {GH}\).

Ver solução

Como \(\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}\) e \(\overrightarrow {AE}=\overrightarrow {AF}-\overrightarrow {AB}\),

\(\overrightarrow {BF}=\overrightarrow {AF}-\overrightarrow {AB}\);
\(\overrightarrow {AG}=\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AF}-\overrightarrow {AB}\);
\(\overrightarrow {AE}=\overrightarrow {AF}-\overrightarrow {AB}\);
\(\overrightarrow {BG}=\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AF}-2\overrightarrow {AB}\);
\(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {FG}=\overrightarrow {AC}\);
\(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {HG}=\overrightarrow {AC}\);
\(2\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {FG}-\overrightarrow {BH}+\overrightarrow {GH}=\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AF}\).

Exercício 2.2

Seja \(ABCDEF\) um hexágono regular, com os vértices nessa ordem, e seja \(O\) seu centro. Defina

\[ \boldsymbol {u}=\overrightarrow {DC},\qquad \boldsymbol {v}=\overrightarrow {DE}. \]

Expresse em função de \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\):

\(\overrightarrow {DF}\);
\(\overrightarrow {DA}\);
\(\overrightarrow {DB}\);
\(\overrightarrow {DO}\);
\(\overrightarrow {EC}\);
\(\overrightarrow {EB}\);
\(\overrightarrow {OB}\).

Ver solução

\(\boldsymbol {u}+2\boldsymbol {v}\);
\(2\boldsymbol {u}+2\boldsymbol {v}\);
\(2\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}\);
\(\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}\);
\(\boldsymbol {u}-\boldsymbol {v}\);
\(2\boldsymbol {u}\);
\(\boldsymbol {u}\).

Exercício 2.3

No mesmo hexágono regular, simplifique:

\(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OE}+\overrightarrow {OF}\);
\(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DE}+\overrightarrow {EF}+\overrightarrow {FA}\);
\(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DE}+\overrightarrow {EF}\);
\(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OE}\);
\(\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {AF}+\overrightarrow {EF}\).

Ver solução

\({\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), pois os vetores correspondentes a vértices opostos se cancelam dois a dois;
\({\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), pois os representantes formam um polígono fechado;
\(\overrightarrow {AF}\);
\({\boldsymbol {\displaystyle 0}}\);
\({\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

Exercício 2.4

Se \(\lVert \boldsymbol {a}\rVert =3\) e \(\lVert \boldsymbol {b}\rVert =2\), determine o menor e o maior valor possíveis de \(\lVert \boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}\rVert \). Diga quando cada extremo ocorre.

Ver solução

Pelas desigualdades triangular e triangular reversa,

\[ 1=|3-2|\leq \lVert \boldsymbol {a}+\boldsymbol {b}\rVert \leq 3+2=5. \]

O valor \(5\) ocorre quando os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido; o valor \(1\), quando têm a mesma direção e sentidos opostos.

Exercício 2.5

Seja \(ABCDEF\) um hexágono regular. A partir do vértice \(A\), defina

\[ \boldsymbol {f}_1=\overrightarrow {AB},\quad \boldsymbol {f}_2=\overrightarrow {AC},\quad \boldsymbol {f}_3=\overrightarrow {AD},\quad \boldsymbol {f}_4=\overrightarrow {AE},\quad \boldsymbol {f}_5=\overrightarrow {AF}. \]

Determine \(\boldsymbol {f}_1+\boldsymbol {f}_2+\boldsymbol {f}_3+\boldsymbol {f}_4+\boldsymbol {f}_5\) em função de \(\boldsymbol {f}_3\).

Ver solução

Pela simetria do hexágono em relação à reta \(AD\),

\[ \boldsymbol {f}_1+\boldsymbol {f}_5=\boldsymbol {f}_3, \qquad \boldsymbol {f}_2+\boldsymbol {f}_4=\boldsymbol {f}_3. \]

Portanto a soma é \(3\boldsymbol {f}_3\).

Exercício 2.6

No triângulo \(ABC\), sejam \(M,N,P\) os pontos médios de \(AB,BC,CA\), respectivamente. Expresse \(\overrightarrow {BP}\), \(\overrightarrow {AN}\) e \(\overrightarrow {CM}\) em função de \(\overrightarrow {AB}\) e \(\overrightarrow {AC}\).

Ver solução

\[ \overrightarrow {BP}=-\overrightarrow {AB}+\frac12\overrightarrow {AC}, \]

\[ \overrightarrow {AN}=\frac12\overrightarrow {AB}+\frac12\overrightarrow {AC}, \]

\[ \overrightarrow {CM}=\frac12\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}. \]

Exercício 2.7

Prove que, para cada vetor \(\boldsymbol {u}\), existe um único vetor \(-\boldsymbol {u}\) tal que

\[ \boldsymbol {u}+(-\boldsymbol {u})={\boldsymbol {\displaystyle 0}}. \]

Ver solução

A existência faz parte das propriedades da soma vetorial. Para a unicidade, se \(\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\) e \(\boldsymbol {u}+\boldsymbol {w}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), então

\[ \boldsymbol {v}=\boldsymbol {v}+(\boldsymbol {u}+\boldsymbol {w})=(\boldsymbol {v}+\boldsymbol {u})+\boldsymbol {w}=\boldsymbol {w}. \]

Exercício 2.8

No triângulo \(ABC\), seja \(M\in AB\) tal que

\[ \overrightarrow {AM}=\lambda \overrightarrow {MB}, \qquad \lambda \geq 0. \]

Expresse \(\overrightarrow {CM}\) em função de \(\overrightarrow {CA}\) e \(\overrightarrow {CB}\).

Ver solução

Da relação dada,

\[ \overrightarrow {AM}=\frac{\lambda }{1+\lambda }\overrightarrow {AB}. \]

Logo

\[ \boxed { \overrightarrow {CM}=\frac{1}{1+\lambda }\overrightarrow {CA} +\frac{\lambda }{1+\lambda }\overrightarrow {CB}.} \]

Exercício 2.9

Num quadrilátero \(ABCD\), suponha

\[ \overrightarrow {AD}=5\boldsymbol {u}, \qquad \overrightarrow {BC}=3\boldsymbol {u}, \qquad \overrightarrow {AB}=\boldsymbol {v}. \]

Determine \(\overrightarrow {CD}\), \(\overrightarrow {BD}\) e \(\overrightarrow {CA}\) em função de \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\).
Prove que \(ABCD\) é um trapézio.

Ver solução

Como \(\overrightarrow {AC}=\boldsymbol {v}+3\boldsymbol {u}\),

\[ \overrightarrow {CD}=2\boldsymbol {u}-\boldsymbol {v}, \qquad \overrightarrow {BD}=5\boldsymbol {u}-\boldsymbol {v}, \qquad \overrightarrow {CA}=-3\boldsymbol {u}-\boldsymbol {v}. \]
\(\overrightarrow {AD}\) e \(\overrightarrow {BC}\) são múltiplos de \(\boldsymbol {u}\), portanto os lados \(AD\) e \(BC\) são paralelos.

Exercício 2.10

Mostre que a soma de vetores cujos representantes, colocados sucessivamente, formam um polígono fechado é \({\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

Ver solução

Se os vértices são \(P_1,\ldots ,P_n\), a aplicação repetida da regra do triângulo dá

\[ \overrightarrow {P_1P_2}+\overrightarrow {P_2P_3}+\cdots +\overrightarrow {P_nP_1} =\overrightarrow {P_1P_1}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}. \]

Exercício 2.11

Seja \(\boldsymbol {v}\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\). Prove que

\[ \frac{\boldsymbol {v}}{\lVert \boldsymbol {v}\rVert } \]

é unitário e tem a mesma direção e o mesmo sentido de \(\boldsymbol {v}\).

Ver solução

O escalar \(1/\lVert \boldsymbol {v}\rVert \) é positivo, portanto preserva direção e sentido. Além disso,

\[ \left\Vert \frac{\boldsymbol {v}}{\lVert \boldsymbol {v}\rVert }\right\Vert =\frac{1}{\lVert \boldsymbol {v}\rVert }\lVert \boldsymbol {v}\rVert =1. \]

Exercício 2.12

Resolva as equações vetoriais, escrevendo \(\boldsymbol {x}\) e \(\boldsymbol {y}\) em função de \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\).

\[ \begin{cases} \boldsymbol {x}+3\boldsymbol {y}=\boldsymbol {u},\\ 3\boldsymbol {x}-5\boldsymbol {y}=\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}; \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \boldsymbol {x}+2\boldsymbol {y}=\boldsymbol {u},\\ 3\boldsymbol {x}-2\boldsymbol {y}=\boldsymbol {u}+2\boldsymbol {v}. \end{cases} \]

Ver solução

\[ \boldsymbol {x}=\frac47\boldsymbol {u}+\frac{3}{14}\boldsymbol {v}, \qquad \boldsymbol {y}=\frac17\boldsymbol {u}-\frac1{14}\boldsymbol {v}. \]
\[ \boldsymbol {x}=\frac12(\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}), \qquad \boldsymbol {y}=\frac14(\boldsymbol {u}-\boldsymbol {v}). \]

Exercício 2.13

Se \(\boldsymbol {w}=\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}\) e \(\boldsymbol {u}\) é paralelo a \(\boldsymbol {z}\), prove que \(\boldsymbol {w}\) é paralelo a \(\boldsymbol {z}\) se, e somente se, \(\boldsymbol {v}\) é paralelo a \(\boldsymbol {z}\).

Ver solução

Se \(\boldsymbol {z}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), ambos os lados são verdadeiros pela convenção adotada. Suponha \(\boldsymbol {z}\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\). Como \(\boldsymbol {u}\) é paralelo a \(\boldsymbol {z}\), existe \(a\) tal que \(\boldsymbol {u}=a\boldsymbol {z}\). Se \(\boldsymbol {v}=b\boldsymbol {z}\), então \(\boldsymbol {w}=(a+b)\boldsymbol {z}\). Reciprocamente, se \(\boldsymbol {w}=c\boldsymbol {z}\), então

\[ \boldsymbol {v}=\boldsymbol {w}-\boldsymbol {u}=(c-a)\boldsymbol {z}. \]

Exercício 2.14

Usando as propriedades da soma e da multiplicação por escalares, prove:

\((-\alpha )\boldsymbol {v}=-(\alpha \boldsymbol {v})\);
\(\alpha (-\boldsymbol {v})=-(\alpha \boldsymbol {v})\);
\((-\alpha )(-\boldsymbol {v})=\alpha \boldsymbol {v}\).

Ver solução

\((-\alpha )\boldsymbol {v}+\alpha \boldsymbol {v}=(-\alpha +\alpha )\boldsymbol {v}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).
\(\alpha (-\boldsymbol {v})+\alpha \boldsymbol {v}=\alpha (-\boldsymbol {v}+\boldsymbol {v})={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).
Aplicando os dois itens anteriores duas vezes, \((-\alpha )(-\boldsymbol {v})=-\bigl(\alpha (-\boldsymbol {v})\bigr)=\alpha \boldsymbol {v}\).

Exercício 2.15

Prove que, se \(\alpha \boldsymbol {v}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), então \(\alpha =0\) ou \(\boldsymbol {v}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

Ver solução

Se \(\alpha \neq 0\), multiplicando a igualdade por \(1/\alpha \), obtemos \(\boldsymbol {v}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

Exercício 2.16

Prove que, se \(\alpha \boldsymbol {v}=\beta \boldsymbol {v}\) e \(\boldsymbol {v}\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), então \(\alpha =\beta \).

Ver solução

Temos \((\alpha -\beta )\boldsymbol {v}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}\). Pelo exercício anterior e pela hipótese \(\boldsymbol {v}\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), segue \(\alpha -\beta =0\).

Exercício 2.17

Seja \(ABCDE\) um pentágono regular e \(O\) seu centro. Mostre que

\[ \overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OE}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}. \]

Ver solução

A rotação de \(72^\circ \) em torno de \(O\) apenas permuta os cinco vetores da soma. Logo a soma é um vetor fixo por essa rotação; o único vetor com essa propriedade é \({\boldsymbol {\displaystyle 0}}\).

Exercício 2.18

Prove que, se \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) não são paralelos e

\[ \lambda _1\boldsymbol {u}+\lambda _2\boldsymbol {v}={\boldsymbol {\displaystyle 0}}, \]

então \(\lambda _1=\lambda _2=0\).

Ver solução

Se \(\lambda _1\neq 0\), então

\[ \boldsymbol {u}=-\frac{\lambda _2}{\lambda _1}\boldsymbol {v}, \]

contradizendo a hipótese. Logo \(\lambda _1=0\); como \(\boldsymbol {v}\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), também \(\lambda _2=0\).

Exercício 2.19

Seja \(EFG\) um triângulo e sejam \(P,Q,R\) os pontos médios de \(EF,FG,GE\), respectivamente. Prove que \(EPQR\) é um paralelogramo.

Ver solução

Como

\[ \overrightarrow {EP}=\frac12\overrightarrow {EF} \]

\[ \overrightarrow {RQ}=\frac12\overrightarrow {EF}, \]

temos \(\overrightarrow {EP}=\overrightarrow {RQ}\). Analogamente,

\[ \overrightarrow {ER}=\frac12\overrightarrow {EG}=\overrightarrow {PQ}. \]

Logo os lados opostos são iguais e paralelos.

Exercício 2.20

Prove as propriedades da soma de ponto com vetor deixadas ao leitor no texto:

\((P+\boldsymbol {u})-\boldsymbol {u}=P\);
\(P+\overrightarrow {PQ}=Q\);
se \(P+\boldsymbol {u}=Q+\boldsymbol {v}\), então \(\boldsymbol {u}=\overrightarrow {PQ}+\boldsymbol {v}\).

Ver solução

\((P+\boldsymbol {u})-\boldsymbol {u}=P+(\boldsymbol {u}-\boldsymbol {u})=P\).
É a própria definição de soma de ponto com vetor.
Se \(R=P+\boldsymbol {u}=Q+\boldsymbol {v}\), então \(\boldsymbol {u}=\overrightarrow {PR}=\overrightarrow {PQ}+\overrightarrow {QR}=\overrightarrow {PQ}+\boldsymbol {v}\).

Exercício 2.21

Sejam \(P'=P+\boldsymbol {u}\) e \(Q'=Q+\boldsymbol {u}\). Prove que

\[ \overrightarrow {P’Q’}=\overrightarrow {PQ}. \]

Conclua que a mesma translação aplicada aos vértices de um triângulo equilátero produz outro triângulo equilátero.

Ver solução

\[ \overrightarrow {P’Q’}=\overrightarrow {P’P}+\overrightarrow {PQ}+\overrightarrow {QQ’} =-\boldsymbol {u}+\overrightarrow {PQ}+\boldsymbol {u}=\overrightarrow {PQ}. \]

Portanto os três lados preservam seus vetores e, em particular, seus comprimentos.