Posições Relativas
Neste capítulo estudaremos as posições relativas de retas e planos. As equações obtidas no capítulo anterior permitem estabelecer critérios algébricos para distinguir coincidência, paralelismo e interseção; no caso de retas no espaço, permitem também identificar a posição reversa.
5.1 Posições Relativas entre Retas
5.1.1 Posições Relativas entre Retas no Plano
Começaremos com o estudo da posição relativa de duas retas no plano. Lembremos primeiro que duas retas em um mesmo plano podem ser:
Tomemos então duas retas dadas em forma vetorial como \(r:A+\boldsymbol {v}t\) e \(s:B+\boldsymbol {u}t\).
Como a direção de uma reta é dada pelo seu vetor direcional, temos que as retas \(r\) e \(s\) são paralelas se seus vetores diretores \(v\) e \(u\) são paralelos, ou seja, se um é múltiplo do outro.
Duas retas \(r\) e \(s\) são coincidentes quando possuem os mesmos pontos. Para verificar essa condição, comparamos primeiro suas direções. Se forem paralelas, basta verificar se um ponto de uma delas pertence à outra. Podemos, por exemplo, testar se o ponto inicial de \(r\) (o ponto \(A\)) pertence à reta \(s\). Se não houver ponto comum, as retas serão paralelas distintas.
Duas retas de um mesmo plano que não são paralelas se intersectam em um único ponto; nesse caso, são concorrentes.
Resumindo,
Paralelas se e somente se seus vetores diretores são múltiplos um do outro.
Neste caso elas podem ser:
Coincidentes: se o lugar geométrico de \(r\) e de \(s\) são o mesmo. Neste casos as retas são paralelas e passam pelo mesmo ponto. Para verificar se suas retas paralelas são coincidentes é suficiente verificar se elas possuem um ponto em comum. Por exemplo se o ponto \(B\) pertence a reta \(r\).
Paralelas não coincidentes, se não possuem pontos em comum.
Concorrentes, ou seja, se interceptam em um único ponto. Neste caso os vetores diretores não são paralelos.
\(r:(1,2)+(3,-1)t\) e \(s:(4,1)+(\dfrac {3}{2},-\dfrac {1}{2})t\)
\(r:(1,2)+(3,-1)t\) e \(s:(2,2)+(1,-\dfrac {1}{3})t\)
\(r:(1,2)+(3,-1)t\) e \(s:(2,2)+(0,1)t\)
Os vetores diretores são paralelos, pois
\[ \left(\dfrac 32,-\dfrac 12\right)=\dfrac 12(3,-1). \]Além disso, \((4,1)=(1,2)+(3,-1)\) pertence a \(r\). Portanto as retas são coincidentes.
Os vetores diretores são paralelos, pois
\[ \left(1,-\dfrac 13\right)=\dfrac 13(3,-1). \]Entretanto \((2,2)\) não pertence a \(r\): a primeira coordenada exigiria \(t=1/3\), que produziria \(y=5/3\). Logo as retas são paralelas distintas.
Os vetores diretores \((3,-1)\) e \((0,1)\) não são paralelos. Portanto as retas são concorrentes.
No plano, também é conveniente comparar retas dadas por equações cartesianas. Considere
com \((a,b)\neq (0,0)\) e \((a',b')\neq (0,0)\). Os vetores \((a,b)\) e \((a',b')\) são normais às retas.
\(r\) e \(s\) são coincidentes se e somente se existe \(\lambda \neq 0\) tal que
\[ (a',b',c')=\lambda (a,b,c). \]\(r\) e \(s\) são paralelas distintas se e somente se \((a',b')=\lambda (a,b)\) para algum \(\lambda \neq 0\), mas \(c'\neq \lambda c\).
\(r\) e \(s\) são concorrentes se e somente se \((a,b)\) e \((a',b')\) não são proporcionais.
5.1.2 Posições Relativas entre Retas no Espaço
No espaço, duas retas podem ou não estar contidas em um mesmo plano. Quando estão em um mesmo plano, são chamadas de retas coplanares, e sua posição relativa pode ser analisada como na seção anterior. Duas retas paralelas são necessariamente coplanares. Retas não coplanares são chamadas de reversas. Assim, duas retas no espaço podem ser
Reversas, se as duas retas não estiverem contidas num mesmo plano.
Coplanares, se as duas retas estiverem contidas num mesmo plano. Neste caso, valem as classificações vistas até agora, e as retas podem ser:
Coincidentes;
Paralelas;
Concorrentes.
Precisamos então encontrar um critério para determinar se duas retas são ou não coplanares. Para tanto, considere duas retas \(r:A+\boldsymbol {v}t\) e \(s:B+\boldsymbol {u}s\), com \(A\neq B\). Se \(r\) e \(s\) forem coplanares, então necessariamente o vetor \(\overrightarrow {AB}\) deve ser coplanar aos vetores \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\), ou seja, os vetores \(\overrightarrow {AB}, \boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) são linearmente dependentes. Do mesmo modo, se \(\overrightarrow {AB}, \boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) forem coplanares então a reta \(s\) está contida no mesmo plano determinado pela reta \(r\) e pelo ponto \(B\). Isso nos dá o seguinte resultado.
\(r:(1,2,0)+t(2,2,2)\) e \(s:(1,3,3)+t(2,2,3)\)
\(r:(1,0,0)+t(2,2,2)\) e \(s:(2,3,0)+t(1,-1,2)\)
\(r:(1,0,0)+t(1,1,1)\) e \(s:(2,3,0)+t(1,1,1)\)
\(r:(1,0,0)+t(1,1,1)\) e \(s:(2,1,1)+t(1,1,1)\)
Para determinar se \(r\) e \(s\) são coplanares precisamos estudar a dependência linear dos vetores \((2,2,2)\), \((2,2,3)\) e \((0,1,3)=(1,3,3)-(1,2,0)\). Como o determinante formado pelas coordenadas destes vetores vale
\[ \left\vert \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right\vert =-2\neq 0, \]concluímos que as retas não são coplanares, sendo portanto reversas.
Como o determinante formado pelas coordenadas dos vetores \((2,2,2)\), \((1,-1,2)\) e \((1,3,0)\)
\[ \left\vert \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2\\ 1 & -1 & 2\\ 1 & 3 & 0 \end{array} \right\vert =0 \]as retas são coplanares. Como os vetores diretores não são múltiplos, as retas são concorrentes.
As retas acima possuem o mesmo vetor diretor, de onde concluímos que são coplanares e paralelas. Como o ponto \((1,0,0)\) não pertence a \(s\), as retas são paralelas e não coincidentes.
Assim como no item anterior, as retas são coplanares e paralelas. Como o ponto \((1,0,0)\) pertence a reta \(s\) (basta fazer \(t=-1\) na equação de \(s\)) obtemos que \(r\) e \(s\) são de fato coincidentes.
5.2 Posições Relativas entre Retas e Planos
Sejam \(r:X=P+t\boldsymbol {v}\) uma reta e \(\pi \) um plano de vetor normal \(\boldsymbol {n}\). Há três possibilidades: \(r\) pode estar contida em \(\pi \), ser paralela e disjunta de \(\pi \), ou intersectar \(\pi \) em um único ponto.
A distinção entre os casos depende do produto escalar \(\boldsymbol {v}\cdot \boldsymbol {n}\).
Se \(\boldsymbol {v}\cdot \boldsymbol {n}\neq 0\), a reta é transversal ao plano e existe exatamente um ponto de interseção.
Se \(\boldsymbol {v}\cdot \boldsymbol {n}=0\), a direção da reta é paralela ao plano. Nesse caso, se \(P\in \pi \), toda a reta está contida em \(\pi \); se \(P\notin \pi \), reta e plano são paralelos e disjuntos.
Em coordenadas, se
e
então
Um vetor normal ao plano é
Como
a reta é transversal ao plano.
Para determinar o ponto de interseção, resolvemos
O sistema fornece
Logo
5.3 Posições Relativas entre Planos
Considere
com vetores normais
\(\pi _1\) e \(\pi _2\) são transversais se e somente se \(\boldsymbol {n}_1\) e \(\boldsymbol {n}_2\) não são paralelos.
São coincidentes se e somente se existe \(\lambda \neq 0\) tal que
\[ (a_2,b_2,c_2,d_2)=\lambda (a_1,b_1,c_1,d_1). \]São paralelos distintos se e somente se
\[ (a_2,b_2,c_2)=\lambda (a_1,b_1,c_1) \]para algum \(\lambda \neq 0\), mas \(d_2\neq \lambda d_1\).
Se os planos são transversais e \(P\in \pi _1\cap \pi _2\), então
é uma equação vetorial da reta de interseção.
Os planos \(\pi _1:2x+3y+4z=5\) e \(\pi _2:6x+2y+2z=3\) são transversais. E assim a sua interseção, ou seja, o sistema
\[ \left\{ \begin{array}{c} 2x+3y+4z=5 \\ 6x+2y+2z=3 \end{array}\right. \]determina uma reta.
Os planos \(\pi _1:2x+3y+4z=5\) e \(\pi _2:4x+6y+8z=2\) são paralelos distintos. Portanto o sistema
\[ \left\{ \begin{array}{c} 2x+3y+4z=5,\\ 4x+6y+8z=2 \end{array}\right. \]não possui solução.
Os planos \(\pi _1:2x+3y+4z=5\) e \(\pi _2:4x+6y+8z=10\) são coincidentes. E assim a sua interseção é o plano \(\pi _1=\pi _2\). Ou seja, o sistema
\[ \left\{ \begin{array}{c} 2x+3y+4z=5 \\ 4x+6y+8z=10 \end{array}\right. \]tem como solução um plano.
Tomemos \(z=t\). Da equação \(x-z=1\) obtemos
Substituindo em \(x+y+2z=0\),
e portanto
Logo
Equivalentemente,
Como verificação, para \(z=0\) obtemos \((1,-1,0)\) e, para \(z=-1\), obtemos \((0,2,-1)\). O vetor entre esses pontos é \((-1,3,-1)\), múltiplo de \((1,-3,1)\).
Determine quando \(r\) e \(s\) se interceptam em um único ponto. Discuta também os casos em que \(r\) está contida em \(s\) ou é paralela distinta de \(s\). Substituindo a parametrização de \(r\) em \(s\), Se \(\alpha a+\beta k\neq 0\), há um único ponto, com Se \(\alpha a+\beta k=0\), então \(r\subset s\) quando \(\alpha b+\beta d=\gamma \); caso contrário, são paralelas distintas. \(r:X=(1,1,0)+\lambda (1,2,3)\) e \(s:X=(2,3,3)+\mu (3,2,1)\). \(r:X=(1,0,1)+\lambda (2,1,3)\) e \(s:X=(-1,-1,-2)+\mu (4,2,6)\). \(r:X=(2,4,11)+\lambda (-4,5,0)\) e \(s:X=(0,1,0)+\mu (2,-2,1)\). \(r:X=(2,-2,0)+\lambda (3,4,1)\) e \(s:X=(0,0,3)+\mu (4,2,2)\). Concorrentes em \((2,3,3)\). Coincidentes: o segundo vetor diretor é duas vezes o primeiro e \((-1,-1,-2)\) pertence a \(r\). Concorrentes em \((22,-21,11)\). Reversas: os vetores diretores não são paralelos e o sistema para a interseção é incompatível. A interseção de \(r\) e \(s\) fornece Se \(M=(A+C)/2\) é o ponto médio de \(AC\), então \(M\in s\); além disso, como \(r\) é altura, \(\overrightarrow {AC}\cdot (3,2,0)=0\). Essas condições dão Num ponto comum existe \(z\) tal que Como \((m,n)\neq (m',n')\), pelo menos um dos denominadores é não nulo. A compatibilidade dessas duas equações é exatamente \(r:(1,4,4)+(1,2,3)t\) e \(s:(2,5,1)+(2,4,6)u\). \(r:(1,4,4)+(1,2,3)t\) e \(s:(2,5,1)+(1,4,1)u\). \(r:\dfrac {x+1}{2}=\dfrac {y}{3}=\dfrac {z+1}{2}\) e \(s:X=u(1,2,0)\). \(r:X=(8,1,9)+t(2,-1,3)\) e \(s:X=(3,-4,4)+u(1,-2,2)\). \(r:\dfrac {x-1}{3}=\dfrac {y-5}{3}=\dfrac {z+2}{5}\) e \(s:x=-y=\dfrac {z-1}{4}\). \(r:x+3=\dfrac {2y-4}{4}=\dfrac {z-1}{3}\) e \(s:X=(0,2,2)+u(1,1,-1)\). Respectivamente: paralelas distintas; reversas; reversas; concorrentes em \((-2,6,-6)\); concorrentes em \((-2,2,-7)\); reversas. Nos casos não paralelos, o produto misto \((\boldsymbol {v}\times \boldsymbol {w})\cdot \overrightarrow {AB}\) decide entre coplanares e reversas. Os vetores diretores nunca são paralelos. O produto misto é Logo, para \(m=2/3\), as retas são concorrentes; o ponto comum é Para \(m\neq 2/3\), são reversas. Se \(P\in r\), \(Q\in s\) e \(Q-P\) é múltiplo de \((1,-5,-1)\), a solução é Assim uma resposta é As direções podem ser tomadas como \((2,0,-2)\) e \((-1,1,0)\). O sistema de interseção é incompatível; equivalentemente, o produto misto com o vetor entre pontos das retas é não nulo. Portanto as retas são reversas. A reta \(s\), quando não degenerada, é vertical: seu vetor diretor é paralelo a \((0,0,1)\). Para que \(r\) tivesse essa direção, o produto vetorial dos seus vetores normais deveria ter as duas primeiras componentes nulas. Isso força logo \(a=5/2\). Mas então também a terceira componente do produto vetorial se anula: os dois planos que definem \(r\) tornam-se paralelos/coincidentes e \(r\) deixa de ser uma reta. Portanto não existem tais valores. O vetor diretor é \((3,-4,4)\) e um normal do plano é \((4,-3,-6)\). Como a direção da reta é paralela ao plano. A reta não está contida nele, pois, por exemplo, \((-2,1,-5)\) não satisfaz a equação do plano. Um vetor diretor da primeira reta é e a segunda direção é \((1,-6,7)\). Um normal do plano procurado é, portanto, proporcional a \((6,1,0)\). Usando um ponto da primeira reta, obtemos Pondo todas as razões iguais a \(t\), Em ambos os planos resulta \(t=-3/2\). O ponto comum é Como as duas retas têm esse ponto em comum, são coplanares. \(\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y+1}{-2}=\dfrac {z}{6}\) e \(2x+3y+z-1=0\). \(\dfrac {x+3}{3}=\dfrac {y-2}{-1}=\dfrac {z+1}{-5}\) e \(x-2y+z-15=0\). \(\dfrac {x+2}{-2}=\dfrac {y-1}{3}=\dfrac {z-3}{2}\) e \(x+2y+2z+6=0\). \((2,-3,6)\). Não há interseção: a reta é paralela ao plano e não está contida nele. \((1,-7/2,0)\). Os vetores diretores são \((2,-3,3)\) e \((3,-2,-1)\). Seu produto vetorial é \((9,11,5)\), logo O determinante é o produto misto de \(\overrightarrow {P_0P}\) com os dois vetores diretores. Ele se anula exatamente quando esses três vetores são coplanares, isto é, quando \(P\) pertence ao plano gerado pelas duas direções a partir de \(P_0\). É novamente o critério de coplanaridade: o vetor \(\overrightarrow {P_0P}\) deve pertencer ao plano gerado por \(\overrightarrow {P_0P_1}\) e pelo vetor diretor dado. Os vetores diretores são \((2,-3,4)\) e \((3,2,-2)\), e podemos tomar pontos \(A=(1,-2,5)\) e \(B=(-7,2,1)\). Então Logo as retas são reversas. Os vetores normais são \((b,-a,0)\), \((0,c,-b)\) e \((-c,0,a)\) e satisfazem uma dependência linear. Eliminando \(x,y,z\) das três equações, a condição de compatibilidade é precisamente Quando ela vale, há apenas duas equações independentes, logo a interseção é uma reta (salvo degenerescências triviais, que devem ser tratadas separadamente se \(a,b,c\) anularem simultaneamente as equações). A equação do plano é a soma das duas equações que definem a reta: Logo todo ponto da reta satisfaz a equação do plano. A interseção comum é um único ponto. A interseção comum é uma reta. As interseções dois a dois são três retas distintas e paralelas. O determinante da matriz dos coeficientes é Logo: \(\boxed {a\neq 2}\), com \(b\) arbitrário. Para \(a=2\), as linhas dos coeficientes satisfazem \(-31L_1+3L_2+11L_3=0\). A compatibilidade exige portanto \(\boxed {a=2,\ b=91/31}\). Se \(a=2\) e \(b\neq 91/31\), não há ponto comum aos três planos; como os normais têm posto \(2\), as interseções dois a dois são três retas paralelas. Assim
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