Capítulo 6

Ângulos e Distâncias

6.1 Ângulos

No capítulo anterior classificamos as possíveis posições relativas entre retas e planos. Agora acrescentaremos informação métrica: primeiro estudaremos ângulos entre esses objetos e, em seguida, distâncias. Ao longo do capítulo trabalharemos em sistemas cartesianos de coordenadas.

6.1.1 Ângulo entre duas Retas

Como uma reta não possui orientação preferencial, trocar um vetor diretor \(\boldsymbol {v}\) por \(-\boldsymbol {v}\) não deve alterar o ângulo entre duas retas. Definimos, portanto, o ângulo entre duas retas como o menor ângulo formado por suas direções.

\[ r:X=A+t\boldsymbol {v}, \qquad s:X=B+u\boldsymbol {w}, \]

com \(\boldsymbol {v},\boldsymbol {w}\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}\), definimos \(\theta \in [0,\pi /2]\) por

\begin{equation} \label{costeta} \cos \theta = \dfrac {|\boldsymbol {v}\cdot \boldsymbol {w}|} {\lVert \boldsymbol {v}\rVert \, \lVert \boldsymbol {w}\rVert }. \tag{6.1} \end{equation}

Logo

\[ \theta =\arccos \left( \dfrac {|\boldsymbol {v}\cdot \boldsymbol {w}|} {\lVert \boldsymbol {v}\rVert \, \lVert \boldsymbol {w}\rVert } \right). \]

Assim, retas paralelas têm ângulo \(0\) e retas com direções ortogonais têm ângulo \(\pi /2\).

Exemplo 6.1

Encontre o ângulo entre as retas \(r:X=(1,2,1)+(1,1,0)t\) e \(s: \dfrac {x-2}{\frac{1}{2}}=\dfrac {y+3}{\frac{1}{2}}=\dfrac {z+7}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\).

Solução

A reta \(r\) tem vetor diretor \((1,1,0)\) e a reta \(s\) tem vetor diretor \((1/2,1/2,1/\sqrt{2})\). E assim

\[ \cos \theta =\dfrac {(1,1,0)\cdot (1/2,1/2,\frac{1}{\sqrt{2}})}{\lVert (1,1,0)\rVert \lVert (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}})\rVert }=\dfrac {1}{\sqrt{2}}= \dfrac {\sqrt{2}}{2} \]

e logo \(\theta =\dfrac {\pi }{4}\).

A definição de ângulo entre retas depende de suas direções, e não da existência de um ponto de interseção. Por isso, aplica-se também a retas reversas. Para retas paralelas, coincidentes ou não, o ângulo é \(0\).

Também neste sentido, duas retas são ditas ortogonais se seus vetores diretores são perpendiculares. E duas retas são ditas perpendiculares se elas se interceptam e são ortogonais.

Figura 6.1 As retas AB e FG são ortogonais mas não perpendiculares. — Figura 6.1 As retas \(AB\) e \(FG\) são ortogonais mas não perpendiculares.

Exemplo 6.2

Verifique se as retas \(r:(1,2,1)+(1,1,0)t\) e \(s:(1,3,4)+(1,-1,3)t\) são ortogonais e/ou se são perpendiculares.

Solução

Como \((1,1,0)\cdot (1,-1,3) =0\) elas são ortogonais.

Para verificar se elas se intersectam, resolvemos o sistema linear:

\[ (1,2,1)+(1,1,0)t_1=(1,3,4)+(1,-1,3)t_2 \]

Como o sistema acima não possui solução, as retas não se interceptam e assim elas não são perpendiculares.

No plano, quando as retas não são verticais, escreva

\[ r:y=m_1x+b_1, \qquad s:y=m_2x+b_2. \]

Para o ângulo geométrico \(\theta \in [0,\pi /2]\),

\[ \cos \theta =\dfrac {|1+m_1m_2|}{\sqrt{1+m_1^2}\sqrt{1+m_2^2}}, \]

\[ \sin \theta =\dfrac {|m_2-m_1|}{\sqrt{1+m_1^2}\sqrt{1+m_2^2}}. \]

Se \(1+m_1m_2\neq 0\),

\[ \tan \theta =\left|\dfrac {m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|. \]

Quando \(1+m_1m_2=0\), temos \(\theta =\pi /2\).

Se escolhermos orientações para as direções, podemos definir separadamente o ângulo orientado \(\delta \), módulo \(\pi \), e então

\[ \tan \delta =\dfrac {m_2-m_1}{1+m_1m_2}. \]

O sinal dessa expressão pertence à informação de orientação; ele não aparece no ângulo geométrico.

Figura 6.2 Ângulo orientado entre duas direções no plano.

Para o ângulo geométrico \(\theta \in [0,\pi /2]\) entre duas retas não verticais,

\[ \cos \theta =\dfrac {|1+m_1m_2|}{\sqrt{1+m_1^2}\sqrt{1+m_2^2}}, \qquad \sin \theta =\dfrac {|m_2-m_1|}{\sqrt{1+m_1^2}\sqrt{1+m_2^2}}. \]

Se \(1+m_1m_2\neq 0\),

\[ \tan \theta =\left|\dfrac {m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|. \]

Exemplo 6.3

Ache o ângulo entre as retas \(2x-y=3\) e \(x+3y=4\).

Solução

Os coeficientes angulares são \(m_1=2\) e \(m_2=-1/3\). Portanto

\[ \tan \theta =\left|\dfrac {-\frac13-2}{1+2(-\frac13)}\right|=7. \]

Logo

\[ \theta =\arctan 7\approx 81{,}87\textrm{^\circ }. \]

Para o ângulo orientado de \(r\) para \(s\), a tangente vale \(-7\).

Exemplo 6.4

Ache duas retas que passem pelo ponto \((2,2)\) e façam um ângulo de \(45\textrm{^\circ }\) com a reta \(2x-3y=4\)

Solução

Inicialmente vamos encontrar o coeficiente angular dessas retas. Para isso, observamos que:

\[ \tan 45\textrm{^\circ } =1= \dfrac {\dfrac {2}{3}-m}{1+\dfrac {2}{3}m} \]

E dessa forma \(1+\dfrac {2}{3}m=\dfrac {2}{3}-m\) e logo \(\dfrac {5}{3}m=-\dfrac {1}{3}\) e assim \(m=-\dfrac {1}{5}\). Logo a equação da reta é \(y-2=-\dfrac {1}{5}(x-2)\)

No caso

\[ \tan 45\textrm{^\circ } =1= \dfrac {m-\dfrac {2}{3}}{1+\dfrac {2}{3}m} \]

E dessa forma \(m=5\). Logo a equação da reta é \(y-2=5(x-2)\)

6.1.2 Ângulo entre uma Reta e um Plano

O ângulo \(\theta \) entre uma reta \(r\) e um plano \(\pi \) é o menor ângulo entre a reta e as direções contidas no plano; portanto \(0\leq \theta \leq \pi /2\). Se \(\boldsymbol {v}\) é diretor de \(r\) e \(\boldsymbol {n}\) é normal a \(\pi \), então

\[ \sin \theta = \dfrac {|\boldsymbol {v}\cdot \boldsymbol {n}|} {\lVert \boldsymbol {v}\rVert \, \lVert \boldsymbol {n}\rVert }. \]

Figura 6.3 Ângulo θ entre uma reta e um plano. — Figura 6.3 Ângulo \(\theta \) entre uma reta e um plano.

Dizemos que um plano \(\pi \) com vetor normal \(\boldsymbol {n}\) e uma reta \(r\) com vetor diretor \(\boldsymbol {v}\), são ortogonais se o ângulo entre eles é \(\dfrac {\pi }{2}\), ou equivalentemente se os vetores \(\boldsymbol {v}\) e \(\boldsymbol {n}\) são paralelos.

Exemplo 6.5

Determine o ângulo entre a reta \(X=(6,7,0)+(1,1,0)t\) e o plano de equação vetorial \(X=(8, -4, 2) + (-1, 0, 2) t + (1,- 2, 0) s\).

Solução

Vamos encontrar inicialmente um vetor normal a esse plano:

\[ \boldsymbol {n}=(-1, 0, 2)\times (1, -2, 0)=(4,2,2) \]

Logo o ângulo entre a reta e o plano é dado por:

\[ \sin (\theta )=\dfrac {(1, 1, 0)\cdot (4, 2, 2)}{\sqrt{2} \sqrt{24}}=\dfrac {\sqrt{3}}{2} \]

e assim \(\theta =\dfrac {\pi }{3}\)

Exemplo 6.6

Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto \((1,2,1)\) e que é perpendicular a reta \(X=(1,0,0)+(1,3,-1)t\)

Solução

O vetor normal ao plano pode ser escolhido como \((1,3,-1)\) e, assim, a equação geral desse plano é: \(x+3y-z=d\). Como o ponto \((1,2,1)\) pertence ao plano, ele satisfaz a equação do plano, i.e, \(1+3\cdot 2-1=d\). Logo \(d=6\) e a equação geral do plano é \(x+3y-z=6\).

6.1.3 Ângulo entre dois Planos

O ângulo entre dois planos \(\pi _1\) e \(\pi _2\) é definido como o menor ângulo entre seus vetores normais; portanto \(0\leq \theta \leq \pi /2\).

\[ \cos (\theta )=\dfrac {\left\lvert \boldsymbol {n_1} \cdot \boldsymbol {n_2}\right\rvert }{\left\Vert \boldsymbol {n_1}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol {n_2}\right\Vert } \]

Dois planos \(\pi _1\) e \(\pi _2\) com vetores normais \(\boldsymbol {n}_1\) e \(\boldsymbol {n}_2\) respectivamente, são ditos ortogonais se o ângulo entre eles é \(\dfrac {\pi }{2}\), o que equivale a dizer que seus vetores normais são perpendiculares, i.e,

\[ \boldsymbol {n}_1\cdot \boldsymbol {n}_2=0 \]

Exemplo 6.7

Determine a equação do plano que contém o ponto \((1,0,1)\) e que é perpendicular aos planos \(2x+y+z=2\) e \(-x+z=7\).

Solução

O vetor \(\boldsymbol {n}\) normal ao plano, será ortogonal aos vetores \((2,1,1)\) e \((-1,0,1)\). E assim

\[ \boldsymbol {n}=(2,1,1)\times (-1,0,1)=(1, -3, 1) \]

Logo a equação geral do plano é da forma \(x-3y+z=d\). Como o ponto \((1,0,1)\) pertence ao plano:

\[ d=1+3\cdot 0+1=2 \]

E a equação geral é \(x-3y+z=2\).

6.2 Distâncias

Estudaremos agora a distância entre pontos, retas e planos no espaço.

A distância entre dois pontos é a norma do vetor que os liga. Para estender essa noção a retas e planos, consideraremos segmentos que ligam pontos dos objetos e identificaremos aqueles de menor comprimento.

6.2.1 Distância de um ponto a uma reta

Seja

\[ r:X=A+t\boldsymbol {v}, \qquad \boldsymbol {v}\neq {\boldsymbol {\displaystyle 0}}, \]

e seja \(P\) um ponto. A distância de \(P\) à reta é o comprimento do segmento perpendicular que liga \(P\) a \(r\).

A área do paralelogramo gerado por \(\overrightarrow {AP}\) e \(\boldsymbol {v}\) é \(\lVert \overrightarrow {AP}\times \boldsymbol {v}\rVert \). Tomando \(\lVert \boldsymbol {v}\rVert \) como base e \(d(P,r)\) como altura, obtemos

\[ \boxed { d(P,r)=\dfrac {\lVert \overrightarrow {AP}\times \boldsymbol {v}\rVert }{\lVert \boldsymbol {v}\rVert } }. \]

Exemplo 6.8

Calcule a distância do ponto \(P=(1,0,2)\) a reta \(r:(1,0,1)+(2,0,1)t\).

Solução

Tomamos \(A=(1,0,1)\) e \(\boldsymbol {v}=(2,0,1)\). Então

\[ \overrightarrow {AP}=(0,0,1) \]

\[ d(P,r)= \dfrac {\lVert (0,0,1)\times (2,0,1)\rVert }{\lVert (2,0,1)\rVert } =\dfrac {2}{\sqrt5}. \]

Distância de um ponto a uma reta no plano: o caso bidimensional

Considere \(P=(p,q)\) e a reta

\[ r:Ax+By+C=0, \qquad (A,B)\neq (0,0). \]

Um vetor diretor é \(\boldsymbol {v}=(B,-A)\). Se \(A\neq 0\), escolha

\[ R=\left(-\dfrac CA,0\right)\in r. \]

Então

\[ \overrightarrow {RP}=\left(p+\dfrac CA,q\right) \]

e, em \(\mathbb {R}^3\),

\[ \overrightarrow {RP}\times \boldsymbol {v}=(0,0,-Ap-Bq-C). \]

Logo

\[ \boxed { d(P,r)=\dfrac {|Ap+Bq+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} }. \]

A fórmula permanece válida se \(A=0\) ou \(B=0\).

Exemplo 6.9

Calcule a distância do ponto \((1,3)\) a reta \(4x-2y-3=0\).

Solução

\[ d=\dfrac {\left\lvert 4\cdot 1-2\cdot 3-3\right\rvert }{\sqrt{16+4}}= \dfrac {5}{\sqrt{20}} \]

Exemplo 6.10

Existem dois pontos cujas coordenadas \(x\) são iguais a \(-3\) e que distam \(6\) da reta \(r:5x-12y-3=0\). Ache as coordenadas \(y\) desses pontos.

Solução

Ambos os pontos podem ser representados como \((-3,s)\). Para esses pontos temos que:

\[ d=\dfrac {\left\lvert 5(-3)-12s-3\right\rvert }{13}=6 \]

e logo \(\left\lvert 18+12s\right\rvert =78\) e logo \(s=5\) ou \(s=-8\). E os pontos são \((-3,5)\) e \((-3,-8)\)

6.2.2 Distância de um ponto a um plano

A distância entre um ponto \(P\) e um plano \(\pi \) é o comprimento do segmento perpendicular que liga \(P\) ao plano. Se \(\boldsymbol {n}\) é normal a \(\pi \) e \(A\in \pi \),

\[ d(P,\pi )=\dfrac {|\overrightarrow {AP}\cdot \boldsymbol {n}|}{\lVert \boldsymbol {n}\rVert }. \]

Ilustração: Distância de um ponto a um plano

\[ P=(x_0,y_0,z_0), \qquad \pi :ax+by+cz=d, \]

e \(A=(x_1,y_1,z_1)\in \pi \), então

\begin{align*} d(P,\pi ) & =\dfrac {|a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)+c(z_0-z_1)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ & =\dfrac {|ax_0+by_0+cz_0-(ax_1+by_1+cz_1)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \end{align*}

Como \(ax_1+by_1+cz_1=d\),

\[ \boxed { d(P,\pi )=\dfrac {|ax_0+by_0+cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} }. \]

6.2.3 Distância entre Duas Retas

Seguindo as ideias utilizadas nos casos anteriores, a distância entre duas retas \(r\) e \(s\) será definida como a menor distância entre um ponto de \(r\) e um ponto de \(s\).

Sejam então \(r,s\) duas retas no espaço tais que \(r:A+\boldsymbol {u}t\) e \(s:B+\boldsymbol {v}t\).

Se as retas forem coincidentes ou concorrentes, a distância entre elas é nula, pois possuem pontos em comum. Se forem paralelas distintas, a distância entre elas é igual à distância de um ponto \(P\) qualquer de \(r\) a \(s\). Nesse caso, aplica-se a fórmula para a distância de um ponto a uma reta.

Se as retas \(r\) e \(s\) forem reversas começamos escolhendo um ponto \(P\) sobre \(r\) e um ponto \(Q\) sobre \(s\). Projetamos então o vetor \(\overrightarrow {PQ}\) sobre o vetor \(\boldsymbol {n}=\boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v}\) que é ortogonal às retas \(r\) e \(s\). A norma dessa projeção é a distância entre as retas.

Figura 6.5 Distância entre retas reversas.

A projeção vetorial de \(\overrightarrow {PQ}\) sobre \(\boldsymbol {n}\) é

\[ \operatorname *{Proj}\nolimits _{ {\boldsymbol {n}}}{\overrightarrow {PQ}} =\dfrac {\overrightarrow {PQ}\cdot \boldsymbol {n}}{\lVert \boldsymbol {n}\rVert ^2}\boldsymbol {n}. \]

Tomando a norma e usando \(\boldsymbol {n}=\boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v}\),

\[ \boxed { d(r,s)= \dfrac {|\overrightarrow {PQ}\cdot (\boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v})|} {\lVert \boldsymbol {u}\times \boldsymbol {v}\rVert } }. \]

6.3 Retas em Coordenadas Polares

Considere um sistema polar cujo polo coincide com a origem e cujo eixo polar coincide com o semieixo positivo de \(x\). Para um ponto de coordenadas polares \((r,\theta )\), com \(r\geq 0\),

\begin{equation} \label{coordpor} x=r\cos \theta , \qquad y=r\sin \theta . \tag{6.2} \end{equation}

Reciprocamente,

\[ r=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \cos \theta =\dfrac {x}{r}, \qquad \sin \theta =\dfrac {y}{r}, \]

quando \(r\gt 0\). O ângulo \(\theta \) deve ser escolhido de acordo com o quadrante de \((x,y)\); computacionalmente, isso corresponde a \(\operatorname {atan2}(y,x)\), módulo \(2\pi \).

Para a reta cartesiana

\[ Ax+By=C, \qquad (A,B)\neq (0,0), \]

substituindo (6.2) obtemos

\begin{equation} \label{etanois} r(A\cos \theta +B\sin \theta )=C. \tag{6.3} \end{equation}

Exemplo 6.11

A reta \(3x+2y=7\) tem equação polar

\[ r(3\cos \theta +2\sin \theta )=7. \]

Defina \(\rho =\sqrt{A^2+B^2}\). Trocando simultaneamente os sinais de \(A,B,C\), se necessário, podemos supor \(C\geq 0\). Escolha \(\alpha \) tal que

\[ \cos \alpha =\dfrac A\rho , \qquad \sin \alpha =\dfrac B\rho . \]

Dividindo (6.3) por \(\rho \) e usando

\[ \cos (\theta -\alpha )=\cos \theta \cos \alpha +\sin \theta \sin \alpha , \]

obtemos

\[ r\cos (\theta -\alpha )=h, \qquad h=\dfrac {C}{\sqrt{A^2+B^2}}. \]

Essa é a forma normal da reta em coordenadas polares. O número \(h\) é a distância da origem à reta e \(\alpha \) é a direção do segmento perpendicular que parte da origem e encontra a reta.

Exemplo 6.12

Determine o comprimento e a direção do segmento perpendicular que liga a origem à reta

\[ \dfrac 1r=8\cos \theta +6\sin \theta . \]

Solução

A equação equivale a

\[ r(8\cos \theta +6\sin \theta )=1. \]

Como \(\sqrt{8^2+6^2}=10\), escrevemos

\[ 8\cos \theta +6\sin \theta =10\left(\dfrac 45\cos \theta +\dfrac 35\sin \theta \right) =10\cos (\theta -\alpha ), \]

onde

\[ \cos \alpha =\dfrac 45, \qquad \sin \alpha =\dfrac 35. \]

Logo

\[ r\cos (\theta -\alpha )=\dfrac 1{10}. \]

Portanto

\[ h=\dfrac 1{10}, \qquad \alpha =\arctan \left(\dfrac 34\right) \]

com \(\alpha \) no primeiro quadrante.

6.4 Exercícios

Os exercícios alternam cálculo direto, interpretação geométrica e problemas de construção. Nas questões de demonstração, os gabaritos indicam a ideia central do argumento.

Exercício 4.1

Determine o ângulo agudo entre as retas

\[ 3x-4y+2=0 \qquad \text{e}\qquad 2x+3y=7. \]

Ver solução

Podemos usar vetores diretores \((4,3)\) e \((3,-2)\). Assim

\[ \cos \theta =\frac{|(4,3)\cdot (3,-2)|}{5\sqrt{13}} =\frac6{5\sqrt{13}}. \]

Logo

\[ \boxed {\theta =\arccos \! \left(\frac6{5\sqrt{13}}\right)}. \]

Exercício 4.2

Encontre as duas retas que passam por \((1,-1)\) e fazem ângulo de \(45\textrm{^\circ }\) com a reta

\[ 3x-4y=7. \]

Ver solução

A reta dada tem coeficiente angular \(3/4\). Se \(m\) é a inclinação procurada,

\[ \left|\frac{m-3/4}{1+3m/4}\right|=1, \]

o que fornece

\[ m=7\qquad \text{ou}\qquad m=-\frac17. \]

Portanto

\[ \boxed {y+1=7(x-1)} \qquad \text{ou}\qquad \boxed {y+1=-\frac17(x-1)}. \]

Exercício 4.3

Calcule os três ângulos do triângulo de vértices

\[ A=(2,1),\qquad B=(-1,2),\qquad C=(3,-2). \]

Verifique a soma dos ângulos.

Ver solução

Usando produtos escalares entre os vetores dos lados,

\[ \angle A=\arccos \! \left(-\frac35\right), \]

\[ \angle B=\angle C=\arccos \! \left(\frac2{\sqrt5}\right). \]

Numericamente,

\[ 126{,}87\textrm{^\circ }+26{,}565\textrm{^\circ }+26{,}565\textrm{^\circ }=180\textrm{^\circ }. \]

Exercício 4.4

Considere as retas

\[ r:(1,2,1)+t(1,1,0), \qquad s:(1,3,4)+u(1,-1,3). \]

Decida se elas são ortogonais, perpendiculares, ambas ou nenhuma das duas coisas.

Ver solução

Os vetores diretores satisfazem

\[ (1,1,0)\cdot (1,-1,3)=0, \]

portanto as retas são ortogonais. Para serem perpendiculares precisariam também se interceptar. O sistema

\[ (1,2,1)+t(1,1,0)=(1,3,4)+u(1,-1,3) \]

não possui solução. Logo são ortogonais, mas não perpendiculares.

Exercício 4.5

Determine uma reta que passe pelo ponto \(P=(1,-2,1)\) e seja ortogonal às retas

\[ r:(1,-3,0)+t(1,2,1), \qquad s:(-2,1,0)+u(1,-1,1). \]

Ver solução

Um vetor ortogonal aos dois vetores diretores é

\[ (1,2,1)\times (1,-1,1)=(3,0,-3), \]

paralelo a \((1,0,-1)\). Assim uma resposta é

\[ \boxed {X=(1,-2,1)+\lambda (1,0,-1)}. \]

Exercício 4.6

Determine o ângulo entre a reta

\[ r:(1,-1,2)+t(2,-1,2) \]

e o plano

\[ \pi :x+2y+2z=4. \]

Ver solução

Com \(\boldsymbol {v}=(2,-1,2)\) e \(\boldsymbol {n}=(1,2,2)\),

\[ \sin \theta = \frac{|\boldsymbol {v}\cdot \boldsymbol {n}|}{\lVert \boldsymbol {v}\rVert \lVert \boldsymbol {n}\rVert } =\frac4{9}. \]

Portanto

\[ \boxed {\theta =\arcsin (4/9)}. \]

Exercício 4.7

Considere

\[ r:(0,0,1)+t(1,1,-1) \]

e o plano

\[ \pi :x+y+2z=0. \]

Determine o ângulo entre a reta e o plano e decida se a reta é paralela ao plano, está contida nele ou o intercepta.

Ver solução

Como

\[ (1,1,-1)\cdot (1,1,2)=0, \]

o ângulo é \(0\). O ponto \((0,0,1)\) não pertence ao plano, pois \(2\neq 0\). Logo a reta é paralela ao plano e não está contida nele.

Exercício 4.8

Determine os ângulos entre os pares de planos:

\(3x-y+z=2\) e \(x-y=6\);
\(x+2y-3z=8\) e \(2x+4y-6z+31=0\);
\(x=0\) e \(y=0\);
\(x=1\) e \(x+y=1\).

Ver solução

Usando os vetores normais:

\(\displaystyle \theta =\arccos \frac4{\sqrt{22}}\);
\(\theta =0\);
\(\theta =\pi /2\);
\(\theta =\pi /4\).

Exercício 4.9

Determine a equação do plano que passa por \((1,0,1)\) e é perpendicular aos planos

\[ 2x+y+z=2 \qquad \text{e}\qquad -x+z=7. \]

Ver solução

As normais dos planos dados são \((2,1,1)\) e \((-1,0,1)\). Uma normal do plano procurado deve ser ortogonal a ambas, logo podemos tomar

\[ (2,1,1)\times (-1,0,1)=(1,-3,1). \]

Portanto

\[ \boxed {x-3y+z=2}. \]

Exercício 4.10

Determine os planos que passam por \(P=(1,2,3)\), são perpendiculares ao plano \(xz\) e fazem ângulo \(\pi /4\) com o plano

\[ 3x+2y+z=1. \]

Ver solução

Como o plano procurado é perpendicular a \(xz\), sua normal tem a forma \((a,0,c)\). A condição de ângulo fornece

\[ (3a+c)^2=7(a^2+c^2). \]

Uma escolha é \(a=6\) e

\[ c=3\pm \sqrt{21}. \]

Assim os dois planos são

\[ \boxed {6(x-1)+(3+\sqrt{21})(z-3)=0} \]

\[ \boxed {6(x-1)+(3-\sqrt{21})(z-3)=0}. \]

Exercício 4.11

Para o ponto \(A=(3,1)\) e a reta

\[ r:x+2y=3, \]

determine o pé da perpendicular traçada de \(A\) a \(r\) e a distância de \(A\) a \(r\).

Ver solução

A normal é \((1,2)\) e

\[ 1\cdot 3+2\cdot 1-3=2. \]

O pé da perpendicular é

\[ B=A-\frac{2}{1^2+2^2}(1,2) =\left(\frac{13}{5},\frac15\right). \]

Logo

\[ \boxed {d(A,r)=\frac2{\sqrt5}}. \]

Exercício 4.12

Prove que a distância entre as retas paralelas

\[ Ax+By+C=0 \qquad \text{e}\qquad Ax+By+C'=0 \]

\[ \frac{|C-C'|}{\sqrt{A^2+B^2}}. \]

Ver solução

Escolha qualquer ponto \(P\) da primeira reta. Então

\[ AP+BQ+C=0 \]

para suas coordenadas \((P,Q)\). Aplicando a fórmula de distância ponto–reta à segunda reta,

\[ d=\frac{|AP+BQ+C'|}{\sqrt{A^2+B^2}} =\frac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}. \]

Exercício 4.13

Calcule a distância do ponto \(P=(2,-1,3)\) ao plano

\[ 2x-y+2z=7 \]

e determine o pé da perpendicular traçada de \(P\) ao plano.

Ver solução

A distância é

\[ d=\frac{|4+1+6-7|}{3}=\frac43. \]

Como \(\boldsymbol {n}=(2,-1,2)\) e \(\lVert \boldsymbol {n}\rVert ^2=9\), o pé é

\[ Q=P-\frac49(2,-1,2) =\left(\frac{10}{9},-\frac59,\frac{19}{9}\right). \]

Exercício 4.14

Um plano intercepta os eixos coordenados em

\[ (a,0,0),\qquad (0,b,0),\qquad (0,0,c), \]

com \(abc\neq 0\). Se sua distância à origem é \(d\), prove que

\[ \frac1{d^2}=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}. \]

Ver solução

A equação do plano é

\[ \frac xa+\frac yb+\frac zc=1. \]

Logo

\[ d=\frac1{\sqrt{1/a^2+1/b^2+1/c^2}}, \]

e a identidade segue ao elevar ao quadrado e inverter.

Exercício 4.15

Determine as distâncias entre os seguintes pares de planos paralelos:

\(4x+8y+z=9\) e \(4x+8y+z+18=0\);
\(3x-2y+6z+8=0\) e \(6x-4y+12z+12=0\).

Ver solução

No primeiro caso,

\[ d=\frac{|9-(-18)|}{\sqrt{4^2+8^2+1}}=3. \]

No segundo, dividindo a segunda equação por \(2\),

\[ d=\frac{|8-6|}{\sqrt{3^2+(-2)^2+6^2}}=\frac27. \]

Exercício 4.16

Determine a distância do ponto \(P=(2,2,2)\) à reta

\[ r:(1,2,1)+t(2,3,5). \]

Ver solução

Com \(A=(1,2,1)\),

\[ \overrightarrow {AP}=(1,0,1) \]

\[ \overrightarrow {AP}\times (2,3,5)=(-3,-3,3). \]

Portanto

\[ \boxed {d(P,r)=\frac{3\sqrt3}{\sqrt{38}}}. \]

Exercício 4.17

Considere as retas

\[ r:(1,2,1)+t(2,3,5), \qquad s:(1,2,5)+u(4,2,1). \]

Verifique que são reversas e calcule a distância entre elas.

Ver solução

Os vetores diretores não são paralelos e

\[ (2,3,5)\times (4,2,1)=(-7,18,-8). \]

Tomando \(A=(1,2,1)\) e \(B=(1,2,5)\),

\[ (B-A)\cdot ((-7,18,-8))=-32\neq 0, \]

logo as retas não são coplanares. Assim

\[ \boxed {d(r,s)=\frac{32}{\sqrt{437}}}. \]

Exercício 4.18

Considere as retas reversas

\[ r:(-7,4,4)+t(3,-2,3), \qquad s:(1,-9,-12)+u(1,2,-1). \]

Determine a perpendicular comum, isto é, a reta que intercepta ambas e é perpendicular às duas.

Ver solução

\[ A=(-7,4,4)+t(3,-2,3), \qquad B=(1,-9,-12)+u(1,2,-1), \]

impomos

\[ (B-A)\cdot (3,-2,3)=0, \qquad (B-A)\cdot (1,2,-1)=0. \]

Daí

\[ t=\frac1{29},\qquad u=\frac9{29}. \]

Um ponto da perpendicular comum é

\[ A=\left(-\frac{200}{29},\frac{114}{29},\frac{119}{29}\right), \]

e \(B-A\) é paralelo a \((2,-3,-4)\). Portanto

\[ \boxed { X=A+\lambda (2,-3,-4).} \]

Exercício 4.19

A reta, em coordenadas polares, é dada por

\[ \frac6r=\cos \theta +\sqrt3\sin \theta . \]

Coloque-a na forma normal polar e determine sua distância à origem.

Ver solução

Como

\[ \cos \theta +\sqrt3\sin \theta =2\cos (\theta -\pi /3), \]

temos

\[ 2r\cos (\theta -\pi /3)=6, \]

\[ \boxed {r\cos (\theta -\pi /3)=3}. \]

Logo a distância à origem é \(3\).

Exercício 4.20

Converta para coordenadas cartesianas e identifique as retas:

\(r\cos \theta =3\);
\(r\sin \theta =3\);
\(r(5\cos \theta +\sin \theta )=3\sqrt2\);
\(r(5\cos \theta -12\sin \theta )=39\).

Ver solução

Usando \(x=r\cos \theta \) e \(y=r\sin \theta \), obtemos, respectivamente,

\[ \boxed {x=3}, \qquad \boxed {y=3}, \]

\[ \boxed {5x+y=3\sqrt2}, \qquad \boxed {5x-12y=39}. \]

Exercício 4.21

Se uma reta tem equação polar

\[ r\cos (\theta -\alpha )=h, \qquad h\gt 0, \]

mostre diretamente que \(h\) é sua distância à origem e que \(\alpha \) é a direção de um vetor normal à reta.

Ver solução

Expandindo,

\[ r\cos \theta \cos \alpha +r\sin \theta \sin \alpha =h, \]

portanto

\[ x\cos \alpha +y\sin \alpha =h. \]

O vetor \((\cos \alpha ,\sin \alpha )\) é normal unitário. Logo \(h\) é a coordenada assinada dos pontos da reta nessa direção e, como \(h\gt 0\), a distância à origem é exatamente \(h\).