Capítulo 10

Superfícies e quádricas

Até aqui, grande parte da geometria foi descrita por pontos, retas, planos e curvas. Neste capítulo passamos às superfícies. Em geral, enquanto uma curva é percorrida fazendo variar um parâmetro, para percorrer uma superfície serão necessários dois parâmetros independentes.

Estudaremos as superfícies relacionando suas diferentes descrições: construções vetoriais, equações paramétricas, equações cartesianas e cortes por planos. A comparação dessas representações permitirá reconhecer a superfície e compreender sua forma.

Uma equação como

\[ z=x^2-y^2 \]

descreve um paraboloide hiperbólico. Sua geometria pode ser examinada pelas curvas obtidas ao fixar $x$, $y$ ou $z$. No caso de cilindros e cones, a construção a partir de uma curva permite deduzir as equações e interpretar suas propriedades.

Começaremos pelas construções de superfícies e pelo estudo de seus cortes. Esses procedimentos orientarão, em seguida, a apresentação das quádricas em posição canônica.

10.1 Da descrição vetorial à parametrização

O exemplo mais simples de superfície no espaço é um plano. Se $P_0$ é um ponto e $\boldsymbol {a},\boldsymbol {b}$ são vetores não paralelos, o plano que passa por $P_0$ e é paralelo a esses vetores pode ser descrito por

\[ X(u,v)=P_0+u\boldsymbol {a}+v\boldsymbol {b}, \qquad (u,v)\in \mathbb {R}^2. \]

Cada escolha do par $(u,v)$ determina um ponto do plano. Reciprocamente, todo ponto do plano é obtido por alguma escolha desses dois parâmetros.

Figura 10.1 Um plano descrito por dois parâmetros e duas direções independentes.

Esse exemplo sugere a linguagem que usaremos no restante do capítulo.

Definição 10.1 (Parametrização de uma superfície)

Uma parametrização de uma superfície é um conjunto de três equações

\[ x=x(u,v),\qquad y=y(u,v),\qquad z=z(u,v), \]

em que $u$ e $v$ variam num conjunto de valores permitido, de modo que os pontos

\[ X(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr) \]

percorram a superfície considerada.

Não desenvolveremos aqui uma teoria geral das expressões $x(u,v)$, $y(u,v)$ e $z(u,v)$. Para nossos objetivos elas são simplesmente fórmulas que, a cada par de parâmetros, associam um ponto do espaço. Em todos os exemplos será geometricamente claro que os dois parâmetros fazem o ponto percorrer uma superfície e não apenas uma curva ou um ponto.

Uma mesma superfície pode admitir muitas parametrizações. Também é possível que dois pares de parâmetros diferentes produzam o mesmo ponto; isso acontece, por exemplo, nas parametrizações usuais da esfera.

Além de parametrizações, usaremos equações cartesianas em três variáveis. A esfera de raio $R$ e centro na origem pode ser descrita pela equação

\[ x^2+y^2+z^2=R^2 \]

ou pelas equações paramétricas

\[ \begin{cases} x=R\operatorname {sen}\varphi \cos \theta ,\\ y=R\operatorname {sen}\varphi \operatorname {sen}\theta ,\\ z=R\cos \varphi , \end{cases} \qquad 0\leq \varphi \leq \pi , \quad 0\leq \theta \lt 2\pi . \]

As duas descrições determinam os mesmos pontos, mas cada uma favorece perguntas diferentes. A parametrização explica como gerar a superfície; a equação cartesiana costuma tornar mais simples reconhecer simetrias e estudar interseções.

Nos próximos exemplos, começaremos pela construção geométrica e veremos como ela se traduz em parametrizações e equações cartesianas. Nas duas primeiras construções, transportaremos uma curva em uma direção fixa e ligaremos seus pontos a um vértice.

10.2 Cilindros: transportar uma curva numa direção fixa

A noção de cilindro não se restringe às superfícies com diretriz circular. Tome uma curva $\gamma $ no espaço e um vetor não nulo $\boldsymbol {w}$. Por cada ponto de $\gamma $, trace uma reta paralela a $\boldsymbol {w}$. A união dessas retas forma uma superfície cilíndrica.

Definição 10.2 (Cilindro generalizado)

Se $\gamma (u)$ descreve uma curva e $\boldsymbol {w}\neq \boldsymbol {0}$, a superfície parametrizada por

\[ X(u,v)=\gamma (u)+v\boldsymbol {w}, \qquad v\in \mathbb {R}, \]

é chamada cilindro generalizado de diretriz $\gamma $. As retas obtidas mantendo $u$ fixo e variando $v$ são suas geratrizes.

Figura 10.2 Um cilindro generalizado: uma curva é transportada numa direção fixa.

Se a curva diretriz está no plano $xy$ e é parametrizada por

\[ \gamma (u)=\bigl(x(u),y(u),0\bigr), \]

e tomamos $\boldsymbol {w}=(0,0,1)$, então

\[ X(u,v)=\bigl(x(u),y(u),v\bigr). \]

É útil reconstruir essa fórmula geometricamente. Fixado um valor $u=u_0$, o ponto

\[ \bigl(x(u_0),y(u_0),0\bigr) \]

da diretriz permanece com as duas primeiras coordenadas fixas, enquanto $v$ percorre todos os valores reais. Obtemos, portanto, a reta vertical que passa por esse ponto. Ao deixar $u$ variar, fazemos a mesma construção sobre cada ponto da curva e reunimos todas essas retas.

A mesma ideia aparece diretamente numa equação cartesiana. Suponha que a diretriz no plano $xy$ seja dada por

\[ F(x,y)=0. \]

Considerada no espaço, a mesma equação continua impondo uma condição apenas sobre $x$ e $y$: se $(x_0,y_0)$ pertence à curva plana, então

\[ (x_0,y_0,z) \]

satisfaz a equação para todo $z\in \mathbb {R}$. Assim, cada ponto da curva plana gera uma reta paralela ao eixo $z$. Além disso, todo corte $z=k$ reproduz exatamente a mesma curva

\[ F(x,y)=0, \]

apenas situada em outra altura. É nesse sentido preciso que um cilindro pode ser entendido como uma curva transportada sem deformação numa direção fixa.

Exemplos 10.3 (Três cilindros fundamentais)

Para $R,a,b\gt 0$, temos

\[ \begin{array}{rclcl} x^2+y^2=R^2 & \Longleftrightarrow & X(\theta ,v)& =& (R\cos \theta ,R\operatorname {sen}\theta ,v),\\[1mm] \dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1 & \Longleftrightarrow & X(\theta ,v)& =& (a\cos \theta ,b\operatorname {sen}\theta ,v),\\[3mm] y=x^2 & \Longleftrightarrow & X(u,v)& =& (u,u^2,v). \end{array} \]

Nos dois primeiros casos podemos tomar $0\leq \theta \lt 2\pi $ e $v\in \mathbb {R}$; no terceiro, $u,v\in \mathbb {R}$. São, respectivamente, um cilindro circular, um cilindro elíptico e um cilindro parabólico, todos com geratrizes paralelas ao eixo $z$.

circular elíptico parabólico Figura 10.3 Três superfícies cilíndricas. Quando uma variável está ausente da equação, vale a pena procurar uma direção de translação livre. — Figura 10.3 Três superfícies cilíndricas. Quando uma variável está ausente da equação, vale a pena procurar uma direção de translação livre.

A ausência de uma variável é, portanto, um sinal importante, mas deve ser interpretada com cuidado. Se uma equação envolvendo apenas $x$ e $y$ descreve uma curva no plano $xy$, então a mesma relação, agora considerada no espaço, descreve o cilindro obtido transportando essa curva paralelamente ao eixo $z$. Se a equação plana degenera num ponto, numa reta ou no conjunto vazio, o objeto espacial também será degenerado.

Exemplo 10.4 (Um cilindro oblíquo)

Considere

\[ \gamma (\theta )=(2\cos \theta ,2\operatorname {sen}\theta ,0) \quad \text{e}\quad \boldsymbol {w}=(1,0,2). \]

A superfície

\[ X(\theta ,v)=(2\cos \theta +v,2\operatorname {sen}\theta ,2v) \]

é um cilindro circular oblíquo: sua diretriz é um círculo, mas as geratrizes não são perpendiculares ao plano desse círculo.

Como $z=2v$, temos $v=z/2$. Substituindo na primeira coordenada,

\[ x-\frac z2=2\cos \theta , \qquad y=2\operatorname {sen}\theta . \]

Portanto a equação cartesiana do cilindro é

\[ \left(x-\frac z2\right)^2+y^2=4. \]

Em cada plano horizontal $z=k$, o corte é o círculo

\[ \left(x-\frac k2\right)^2+y^2=4. \]

Esses planos são paralelos ao plano da diretriz. Em contraste, os cortes por planos perpendiculares a $\boldsymbol {w}$ não são círculos; neste exemplo são elipses. Assim, “cilindro circular” refere-se à forma da diretriz, enquanto “reto” ou “oblíquo” descreve a direção das geratrizes em relação ao plano da diretriz.

10.3 Cones: ligar uma curva a um vértice

No cilindro, as geratrizes são paralelas: cada ponto da diretriz é transportado na mesma direção. Para obter um cone, mudamos exatamente esse aspecto da construção. Escolhemos um ponto fixo $V$ e, em vez de retas paralelas, consideramos as retas que passam por $V$ e pelos pontos de uma curva.

Definição 10.5 (Cone generalizado)

Se $\gamma (u)$ descreve uma curva e $V$ é um ponto que não pertence a ela, a superfície parametrizada por

\[ X(u,v)=V+v\bigl(\gamma (u)-V\bigr), \qquad v\in \mathbb {R}, \]

é chamada cone generalizado de vértice $V$ e diretriz $\gamma $. Para $u$ fixado, a variação de $v$ percorre uma reta geratriz.

Se restringirmos $v\geq 0$, obtemos apenas as semirretas que partem de $V$ em direção à curva. Permitindo $v\in \mathbb {R}$, obtemos também a continuação dessas geratrizes para o outro lado do vértice.

A diferença em relação ao cilindro é importante. No cilindro, a diretriz é transladada: todas as cópias têm o mesmo tamanho. No cone, ela é dilatada a partir do vértice. Quando $V=\boldsymbol {0}$, a parametrização toma a forma particularmente simples

\[ X(u,v)=v\, \gamma (u). \]

Para $v=1$ recuperamos a diretriz; para $0\lt v\lt 1$ obtemos uma cópia reduzida entre a diretriz e o vértice; para $v\gt 1$ obtemos uma cópia ampliada; e para $v\lt 0$ passamos para o lado oposto do vértice. As geratrizes aparecem porque, com $u$ fixo, todos esses pontos são múltiplos de um mesmo vetor.

Essa observação também explica uma propriedade algébrica característica dos cones com vértice na origem. Se sua equação é homogênea, isto é, todos os termos têm o mesmo grau, substituir $(x,y,z)$ por $(tx,ty,tz)$ apenas multiplica os dois lados por uma mesma potência de $t$. Portanto, junto com um ponto da superfície, toda a reta que passa por esse ponto e pela origem permanece na superfície. A álgebra reflete exatamente a construção por geratrizes.

Figura 10.4 Uma porção de um cone generalizado, obtida ligando o vértice aos pontos da diretriz.

Como primeiro exemplo, tome $a,b,c\gt 0$, $V=(0,0,0)$ e a elipse

\[ \gamma (\theta )=(a\cos \theta ,b\operatorname {sen}\theta ,c). \]

Então

\[ X(\theta ,v)=(av\cos \theta ,bv\operatorname {sen}\theta ,cv). \]

Eliminando os parâmetros,

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=v^2 \quad \text{e}\quad \frac{z^2}{c^2}=v^2, \]

portanto

\[ \boxed {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0}. \]

Essa é a forma canônica de um cone elíptico com vértice na origem. Como permitimos $v\in \mathbb {R}$, aparecem as duas partes do cone, uma para $z\gt 0$ e outra para $z\lt 0$.

Figura 10.5 Num cone elíptico, os cortes horizontais não nulos são elipses semelhantes.

Fixando $z=k\neq 0$, obtemos

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{c^2}. \]

Logo o corte é uma elipse de semieixos

\[ \frac{a|k|}{c} \qquad \text{e}\qquad \frac{b|k|}{c}. \]

Para $k=0$, o corte degenera no vértice. A variação linear dos semieixos com $|k|$ explica a forma cônica.

10.4 Superfícies de rotação

Cilindros e cones foram construídos a partir de retas geratrizes. Outra construção consiste em girar uma curva em torno de um eixo. Suponha que uma curva situada no plano $xz$ seja parametrizada por

\[ \gamma (t)=\bigl(\rho (t),0,z(t)\bigr), \qquad \rho (t)\geq 0. \]

Girando-a em torno do eixo $z$, obtemos

\[ \boxed { X(t,\theta )= \bigl(\rho (t)\cos \theta , \rho (t)\operatorname {sen}\theta , z(t)\bigr)}, \qquad 0\leq \theta \lt 2\pi . \]

Para cada valor de $t$, variar $\theta $ produz um círculo em torno do eixo $z$; variar $t$ faz esses círculos percorrerem a superfície.

A fórmula decorre da preservação da distância ao eixo durante a rotação. Um ponto do perfil está a uma distância $\rho (t)$ do eixo $z$. Depois da rotação, essa distância ao eixo continua a mesma. Para um ponto $(x,y,z)$ do espaço, porém, a distância ao eixo $z$ é

\[ \sqrt{x^2+y^2}. \]

Assim, se o perfil no semiplano $\rho z$ é descrito implicitamente por

\[ G(\rho ,z)=0, \]

a superfície de rotação satisfaz

\[ \boxed {G\bigl(\sqrt{x^2+y^2},z\bigr)=0}. \]

Esse princípio permite passar da curva geratriz para a equação da superfície.

Por exemplo, se no semiplano $xz$, com $x\geq 0$, temos uma curva $z=f(x)$ e a giramos em torno do eixo $z$, então $x$ representa a distância ao eixo e deve ser substituído por $\sqrt{x^2+y^2}$. Se, em vez disso, uma curva $y=f(x)$ no plano $xy$ gira em torno do eixo $x$, a distância ao eixo é $\sqrt{y^2+z^2}$ e obtemos

\[ y^2+z^2=f(x)^2. \]

O ponto essencial é sempre o mesmo: a coordenada perpendicular ao eixo de rotação é substituída pela distância ao eixo.

Figura 10.6 Ao girar o perfil, a distância ρ (t) de um ponto ao eixo torna-se o raio de sua órbita circular. — Figura 10.6 Ao girar o perfil, a distância $\rho (t)$ de um ponto ao eixo torna-se o raio de sua órbita circular.

Exemplo 10.6 (A esfera como superfície de rotação)

O semicírculo

\[ \rho (t)=R\operatorname {sen}t, \qquad z(t)=R\cos t, \qquad 0\leq t\leq \pi , \]

gera a esfera

\[ X(t,\theta )= (R\operatorname {sen}t\cos \theta ,R\operatorname {sen}t\operatorname {sen}\theta ,R\cos t). \]

Nem toda superfície de rotação é uma quádrica. Um exemplo fundamental é o toro. Girando o círculo

\[ (\rho -R)^2+z^2=r^2, \qquad R\gt r\gt 0, \]

em torno do eixo $z$, obtemos

\[ X(u,v)= \bigl((R+r\cos v)\cos u, (R+r\cos v)\operatorname {sen}u, r\operatorname {sen}v\bigr), \]

com $0\leq u,v\lt 2\pi $.

Como $\rho ^2=x^2+y^2$, a equação do perfil pode ser escrita como

\[ \bigl(\sqrt{x^2+y^2}-R\bigr)^2+z^2=r^2. \]

Isolando a raiz e elevando ao quadrado, obtemos

\[ \bigl(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2\bigr)^2 =4R^2(x^2+y^2), \]

que é uma equação de grau quatro.

esfera toro Figura 10.7 Duas superfícies de rotação. A esfera é uma quádrica; o toro não é. — Figura 10.7 Duas superfícies de rotação. A esfera é uma quádrica; o toro não é.

O toro mostra que as construções geométricas e as parametrizações também se aplicam a superfícies que não são quádricas. Para prosseguir no reconhecimento das superfícies, estudaremos agora suas interseções com planos coordenados e com planos paralelos a eles.

10.5 Entender uma superfície por seus cortes

Uma das técnicas mais eficientes para visualizar uma superfície é intersectá-la com planos simples. Chamaremos de traços as interseções com os planos coordenados

\[ x=0,\qquad y=0,\qquad z=0, \]

e estudaremos também as seções por planos paralelos a eles,

\[ x=k,\qquad y=k,\qquad z=k. \]

Em cada caso, uma das coordenadas passa a ter valor fixo e a equação restante descreve uma curva no plano de corte, um conjunto degenerado ou o conjunto vazio.

Ao usar cortes, convém não olhar apenas para um plano isolado. Escolhemos uma família, por exemplo $z=k$, e acompanhamos o que acontece quando $k$ varia. Primeiro perguntamos para quais valores de $k$ o corte existe e que tipo de curva aparece. Em seguida observamos como essa curva muda de tamanho ou de orientação e procuramos valores críticos em que ela degenera num ponto, num par de retas ou desaparece.

Uma segunda família de cortes, em direção perpendicular, complementa a análise e permite identificar os perfis principais da superfície. Usaremos esse procedimento no estudo das formas canônicas a seguir.

Exemplo 10.7 (Paraboloide elíptico)

Considere

\[ z=x^2+y^2. \]

No plano $z=k$ obtemos

\[ x^2+y^2=k. \]

Para $k\gt 0$, o corte é um círculo de raio $\sqrt{k}$; para $k=0$, reduz-se à origem; para $k\lt 0$, é vazio. Já os traços nos planos $x=0$ e $y=0$ são parábolas:

\[ z=y^2 \qquad \text{e}\qquad z=x^2. \]

Figura 10.8 Cortes horizontais do paraboloide z=x^2+y^2. — Figura 10.8 Cortes horizontais do paraboloide $z=x^2+y^2$.

Exemplo 10.8 (Paraboloide hiperbólico)

Agora considere

\[ z=x^2-y^2. \]

Os traços e os cortes horizontais permitem identificar as principais características da superfície:

\[ \begin{array}{rcl} y=0 & \Longrightarrow & z=x^2,\\ x=0 & \Longrightarrow & z=-y^2,\\ z=k & \Longrightarrow & x^2-y^2=k. \end{array} \]

Assim, duas parábolas em planos perpendiculares têm concavidades opostas, enquanto os cortes horizontais são hipérboles quando $k\neq 0$. Para $k=0$, a equação

\[ x^2-y^2=0 \]

fatora-se como $(x-y)(x+y)=0$, produzindo as duas retas $y=\pm x$. Essa combinação de cortes é a geometria típica de uma sela.

Figura 10.9 O paraboloide hiperbólico visto por duas famílias de parábolas.

Nos dois exemplos, a superfície foi reconstruída a partir de famílias de curvas planas. Vamos agora aplicar a mesma estratégia de modo sistemático às quádricas mais importantes.

10.6 Superfícies quádricas em posição canônica

Definição 10.9 (Superfície quádrica)

Uma superfície quádrica é o conjunto de pontos $(x,y,z)$ que satisfazem uma equação de segundo grau

\[ Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0, \]

em que pelo menos um dos coeficientes $A,B,C,D,E,F$ é não nulo.

A definição inclui casos degenerados e até equações sem pontos reais; voltaremos a eles no final do capítulo.

Nesta seção estudaremos as quádricas em posição canônica: não há termos mistos como $xy$, $xz$ e $yz$, os eixos geométricos relevantes estão alinhados com os eixos coordenados e o centro, vértice ou ponto de sela está na origem, conforme o caso. Nas formas abaixo, $a,b,c$ serão sempre números positivos.

Em cada caso, examinaremos a equação, os sinais de seus termos e as interseções com os eixos coordenados. Acompanharemos também a variação de uma família de cortes, relacionando as curvas obtidas à forma da superfície. Esse procedimento permite reconstruir a geometria a partir da equação.

10.6.1 Elipsoides

A equação

\[ \boxed { \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 } \]

descreve um elipsoide. Uma maneira simples de entender de onde vem essa equação é partir da esfera unitária

\[ u^2+v^2+w^2=1. \]

Se alongamos o espaço por fatores $a$, $b$ e $c$ nas três direções coordenadas, isto é,

\[ x=au,\qquad y=bv,\qquad z=cw, \]

então

\[ u=\frac xa,\qquad v=\frac yb,\qquad w=\frac zc, \]

e a equação da esfera transforma-se exatamente em

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1. \]

O elipsoide é, portanto, uma esfera deformada por escalas diferentes nas três direções. Isso explica imediatamente o papel de $a$, $b$ e $c$.

A superfície é limitada e intercepta os eixos em

\[ (\pm a,0,0),\qquad (0,\pm b,0),\qquad (0,0,\pm c). \]

Esses números são os semieixos do elipsoide: são precisamente as maiores distâncias ao centro medidas ao longo dos eixos coordenados.

Fixando $z=k$, obtemos

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1-\frac{k^2}{c^2}. \]

Há elipses para $|k|\lt c$, um único ponto para $|k|=c$ e nenhum ponto para $|k|\gt c$. Quando $|k|\lt c$, podemos escrever

\[ \frac{x^2}{a^2\left(1-k^2/c^2\right)} +\frac{y^2}{b^2\left(1-k^2/c^2\right)}=1. \]

Logo os semieixos do corte são

\[ a\sqrt{1-\frac{k^2}{c^2}} \qquad \text{e}\qquad b\sqrt{1-\frac{k^2}{c^2}}. \]

Partindo do corte máximo em $z=0$, as elipses encolhem continuamente até os pontos $(0,0,\pm c)$. Essa evolução permite reconstruir mentalmente o elipsoide sem depender da figura. Os traços $x=0$ e $y=0$ também são elipses.

Figura 10.10 Um elipsoide e um de seus cortes horizontais.

Quando $a=b=c=R$, recuperamos a esfera de raio $R$. O próximo passo mostra quanto a geometria pode mudar quando apenas um dos sinais da equação é alterado.

10.6.2 Hiperboloide de uma folha

A equação

\[ \boxed { \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 } \]

descreve um hiperboloide de uma folha. Em comparação com o elipsoide, apenas o sinal do termo em $z^2$ mudou. Essa mudança basta para eliminar a limitação na direção $z$: valores grandes de $|z|$ deixam de tornar a equação impossível e, ao contrário, exigem valores maiores de $x$ e $y$.

De fato, os cortes horizontais satisfazem

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1+\frac{k^2}{c^2}, \]

portanto são elipses para todo $k$. A menor ocorre em $z=0$ e tem semieixos $a$ e $b$. Para $z=k$, os semieixos tornam-se

\[ a\sqrt{1+\frac{k^2}{c^2}} \qquad \text{e}\qquad b\sqrt{1+\frac{k^2}{c^2}}, \]

de modo que as elipses crescem continuamente quando nos afastamos do plano central. Como nenhum valor de $k$ produz um corte vazio, as seções horizontais formam uma única superfície conectada, com uma cintura em $z=0$. É essa geometria que justifica o nome uma folha.

Nos planos coordenados verticais obtemos hipérboles:

\[ y=0\Longrightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1, \qquad x=0\Longrightarrow \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1. \]

O eixo da superfície é o eixo $z$, correspondente ao termo cujo sinal difere dos outros dois.

10.6.3 Hiperboloide de duas folhas

A equação

\[ \boxed { -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 } \]

descreve um hiperboloide de duas folhas. Aqui o termo de sinal diferente é o único positivo. Antes mesmo de fazer os cortes, podemos isolar esse termo:

\[ \frac{z^2}{c^2} =1+\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\geq 1. \]

Consequentemente,

\[ |z|\geq c. \]

A própria equação já mostra que a superfície não possui pontos na faixa $-c\lt z\lt c$; há uma parte acima e outra abaixo dessa região vazia.

Fixando $z=k$, obtemos

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =\frac{k^2}{c^2}-1. \]

Para $|k|\gt c$ o corte é uma elipse; para $|k|=c$ é um ponto; para $|k|\lt c$ não há pontos. Assim, entre os planos $z=-c$ e $z=c$ existe uma região que não encontra a superfície. Os dois pontos $(0,0,\pm c)$ são os vértices das duas folhas.

Nos planos $x=0$ e $y=0$ aparecem hipérboles que se abrem na direção do eixo $z$.

uma folha duas folhas Figura 10.11 Os dois tipos de hiperboloide. Os cortes horizontais distinguem imediatamente as geometrias. — Figura 10.11 Os dois tipos de hiperboloide. Os cortes horizontais distinguem imediatamente as geometrias.

No hiperboloide de duas folhas, o eixo da superfície é determinado pelo termo positivo isolado na forma acima. Permutações das variáveis produzem as mesmas geometrias orientadas ao longo de outros eixos coordenados.

10.6.4 Cone elíptico

Retomemos agora, dentro da classificação das quádricas, o cone construído geometricamente no início do capítulo. Já encontramos a equação

\[ \boxed { \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 }. \]

Ela envolve a mesma forma quadrática indefinida que apareceu no hiperboloide de uma folha, mas agora o lado direito é zero. Essa mudança é decisiva. A equação torna-se homogênea: se $(x,y,z)$ a satisfaz, então $(tx,ty,tz)$ também a satisfaz para todo $t\in \mathbb {R}$. Geometricamente, isso significa que cada ponto da superfície determina uma reta inteira que passa pela origem. Essas retas são precisamente as geratrizes do cone.

Os cortes horizontais tornam visível a mesma estrutura. Para $z=k\neq 0$,

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{c^2}, \]

portanto o corte é uma elipse de semieixos

\[ \frac{a|k|}{c} \qquad \text{e}\qquad \frac{b|k|}{c}. \]

Todos os cortes não nulos são semelhantes, e seus semieixos crescem linearmente com a distância ao vértice. Essa proporcionalidade é outra maneira de reconhecer que a superfície é formada por retas. Para $z=0$, a soma de dois quadrados só pode ser zero quando $x=y=0$, de modo que o corte se reduz ao vértice. Já os traços $x=0$ e $y=0$ são pares de retas concorrentes.

10.6.5 Paraboloide elíptico

O paraboloide elíptico também apareceu quando introduzimos o método dos cortes. Agora podemos registrar sua forma canônica e destacar o que a distingue do cone.

A forma canônica

\[ \boxed { z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} } \]

descreve um paraboloide elíptico. A equação pode ser lida em duas direções complementares. Nos planos coordenados verticais,

\[ y=0\Longrightarrow z=\frac{x^2}{a^2}, \qquad x=0\Longrightarrow z=\frac{y^2}{b^2}, \]

aparecem duas parábolas com o mesmo vértice e a mesma direção de abertura. Elas fornecem os dois perfis principais da superfície.

Nos planos horizontais $z=k$,

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=k. \]

Para $k\gt 0$, o corte é uma elipse de semieixos

\[ a\sqrt{k} \qquad \text{e}\qquad b\sqrt{k}; \]

para $k=0$ resta apenas o vértice e para $k\lt 0$ não há pontos. Assim, as elipses nascem no vértice e aumentam como a raiz quadrada da altura. Essa lei de crescimento distingue o paraboloide do cone, cujos cortes crescem linearmente com $|k|$.

Quando $a=b$, os cortes horizontais são círculos e a superfície pode ser obtida girando uma das parábolas verticais em torno do eixo $z$. O paraboloide elíptico de revolução é, portanto, um caso particularmente simétrico dessa família.

Mudando simultaneamente os sinais,

\[ z=-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}, \]

obtemos um paraboloide elíptico que se abre no sentido negativo do eixo $z$.

10.6.6 Paraboloide hiperbólico

O segundo exemplo da seção de cortes foi o paraboloide hiperbólico. Retomamos agora essa superfície para organizar sua geometria na mesma linguagem usada nas demais quádricas.

A forma

\[ \boxed { z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} } \]

descreve um paraboloide hiperbólico. O traço $y=0$ é uma parábola que se abre para $z\gt 0$, enquanto o traço $x=0$ é uma parábola que se abre para $z\lt 0$. Portanto a origem não pode ser um mínimo nem um máximo da superfície: em uma direção a altura aumenta e, na direção perpendicular, diminui. Essa oposição entre os dois perfis verticais é a origem geométrica da forma de sela.

Os cortes horizontais refinam essa leitura. Para $z=k$,

\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=k. \]

Se $k\gt 0$, a hipérbole abre na direção do eixo $x$. Se $k\lt 0$, escrevendo

\[ \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=-k, \]

vemos que ela passa a abrir na direção do eixo $y$. Ao atravessar o nível $z=0$, portanto, a orientação das hipérboles troca. Exatamente no nível crítico $z=0$ obtemos

\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0, \]

ou seja,

\[ y=\pm \frac ba x. \]

A origem é o ponto de sela, não um vértice no mesmo sentido usado para o paraboloide elíptico.

cone elíptico paraboloide elíptico paraboloide hiperbólico Figura 10.12 Cone e paraboloides em posição canônica. No paraboloide hiperbólico, a origem é um ponto de sela. — Figura 10.12 Cone e paraboloides em posição canônica. No paraboloide hiperbólico, a origem é um ponto de sela.

10.6.7 Cilindros quádricos

Os cilindros fecham a lista retomando a primeira construção do capítulo. Também são quádricas as superfícies em que uma das variáveis está ausente. Entre elas aparecem

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \qquad \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, \qquad y=ax^2\quad (a\neq 0), \]

que são, respectivamente, cilindros elíptico, hiperbólico e parabólico, todos com geratrizes paralelas ao eixo $z$.

10.7 Um catálogo guiado pelos cortes

Depois de reconstruir cada superfície separadamente, podemos condensar o que aprendemos sem transformar a tabela numa lista para decorar. Ela funciona como um mapa de leitura: cada linha resume a equação e os cortes que justificam sua geometria.

Superfície	Forma canônica típica	Cortes característicos
Elipsoide	$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$	elipses; superfície limitada
Hiperboloide de uma folha	$x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1$	elipses para todo $z$; hipérboles verticais
Hiperboloide de duas folhas	$-x^2/a^2-y^2/b^2+z^2/c^2=1$	elipses para $\|z\|>c$; pontos em $z=\pm c$
Cone elíptico	$x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0$	elipses horizontais não nulas; retas pelo vértice
Paraboloide elíptico	$z=x^2/a^2+y^2/b^2$	elipses horizontais; parábolas verticais
Paraboloide hiperbólico	$z=x^2/a^2-y^2/b^2$	hipérboles horizontais; parábolas de concavidades opostas
Cilindro quádrico	uma variável ausente	uma curva plana transportada numa direção fixa

Algumas regras ajudam a orientar o reconhecimento quando a equação já não possui termos mistos:

três termos quadráticos com o mesmo sinal levam ao tipo elipsoidal; dependendo da constante, podemos ter um elipsoide, um ponto ou o conjunto vazio;
três termos quadráticos com sinais mistos e lado direito $1$ levam a um hiperboloide: dois sinais positivos e um negativo dão uma folha; um positivo e dois negativos dão duas folhas;
três termos quadráticos com sinais mistos e lado direito $0$ dão um cone elíptico não degenerado;
dois termos quadráticos e uma variável de primeiro grau levam a paraboloides: sinais iguais dão o tipo elíptico e sinais opostos dão o tipo hiperbólico;
a ausência de uma variável sugere um cilindro, desde que a equação nas outras duas variáveis descreva uma curva não degenerada.

Essas regras são um começo, não um substituto para os cortes. Quando houver dúvida, cortar a superfície é quase sempre a maneira mais segura de entender sua geometria.

10.8 Translações: quádricas fora da origem

As formas canônicas anteriores foram escritas com seus pontos especiais na origem apenas para tornar a geometria transparente. Uma translação desloca a superfície sem mudar sua forma.

Por exemplo,

\[ \frac{(x-x_0)^2}{a^2} +\frac{(y-y_0)^2}{b^2} +\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1 \]

é um elipsoide de centro $(x_0,y_0,z_0)$, enquanto

\[ z-z_0=\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2} \]

é um paraboloide elíptico de vértice $(x_0,y_0,z_0)$.

Quando não há termos mistos, a ferramenta algébrica natural para revelar uma translação é completar quadrados.

Exemplo 10.10 (Reconhecendo uma quádrica transladada)

Considere

\[ 4x^2+y^2-z^2-8x+2y+4z-4=0. \]

Agrupando os termos de cada variável,

\[ 4(x^2-2x)+(y^2+2y)-(z^2-4z)-4=0. \]

Como

\[ x^2-2x=(x-1)^2-1, \]

\[ y^2+2y=(y+1)^2-1, \]

\[ z^2-4z=(z-2)^2-4, \]

obtemos

\[ 4(x-1)^2+(y+1)^2-(z-2)^2=5. \]

Dividindo por $5$,

\[ \frac{(x-1)^2}{5/4} +\frac{(y+1)^2}{5} -\frac{(z-2)^2}{5}=1. \]

Trata-se de um hiperboloide de uma folha, com centro em $(1,-1,2)$ e eixo paralelo ao eixo $z$.

Figura 10.13 Completar quadrados revela o centro de uma quádrica transladada. A figura é esquemática.

10.9 Um procedimento para reconhecer superfícies

Temos agora os dois ingredientes necessários: as formas canônicas e o efeito das translações. Diante de uma equação de segundo grau em três variáveis, o roteiro abaixo organiza essas ideias numa ordem de trabalho.

Procure variáveis ausentes. Se uma delas não aparece, verifique se a equação nas outras duas descreve uma curva; nesse caso temos um cilindro.
Procure termos mistos $xy$, $xz$ ou $yz$. Se eles aparecem, a superfície pode estar simplesmente girada em relação aos eixos coordenados. Não tente eliminá-los completando quadrados separadamente.
Se não houver termos mistos, agrupe os termos por variável e complete quadrados quando houver termos lineares associados a termos quadráticos.
Translade mentalmente a origem para o centro, vértice ou ponto de sela indicado pelos quadrados completos.
Normalize a equação. Quando possível, escreva-a com lado direito $1$ ou $0$.
Observe os sinais dos termos quadráticos e compare com as formas canônicas.
Confirme por cortes, em particular nos planos coordenados e em planos paralelos a eles que passem pelo ponto especial da superfície.

Exemplo 10.11

A equação

\[ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-z=0 \]

pode ser escrita como

\[ z=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}. \]

Há dois termos quadráticos de mesmo sinal e a terceira variável aparece em primeiro grau. Isso sugere um paraboloide elíptico. De fato, $z=k\gt 0$ produz elipses e os planos $x=0$ e $y=0$ produzem parábolas.

Esse roteiro identifica as quádricas não degeneradas mais usuais, mas há uma última cautela. Nem toda equação quadrática descreve uma superfície bidimensional não vazia. Por exemplo,

\[ x^2+2y^2+3z^2=-1 \]

não possui pontos reais, enquanto

\[ x^2+2y^2+3z^2=0 \]

possui apenas a origem. Isso nos leva naturalmente aos casos degenerados.

10.10 Quádricas degeneradas

Uma equação de segundo grau pode representar um objeto de dimensão menor, uma união de objetos mais simples ou até o conjunto vazio. Alguns exemplos são particularmente instrutivos:

\[ x^2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x=0, \]

que descreve um plano;

\[ x^2=1 \quad \Longleftrightarrow \quad x=1\ \text{ ou }\ x=-1, \]

que descreve dois planos paralelos;

\[ x^2-y^2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-y)(x+y)=0, \]

que descreve a união dos planos $x=y$ e $x=-y$;

\[ x^2+y^2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x=y=0, \]

que descreve o eixo $z$;

\[ x^2+y^2+z^2=0, \]

que descreve apenas a origem; e

\[ x^2+y^2+z^2=-1, \]

que não possui pontos reais.

Esses casos não são exceções artificiais. Eles aparecem naturalmente quando uma forma canônica perde dimensão ou quando certos parâmetros atingem valores críticos.

10.11 Além da posição canônica

Até aqui, completar quadrados foi suficiente porque trabalhamos sem termos mistos. Na equação geral de uma quádrica, porém, também podem aparecer termos como $xy$, $xz$ e $yz$:

\[ Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0. \]

Eles sinalizam que os eixos coordenados escolhidos podem não estar alinhados com as direções geométricas mais simples da superfície.

Por exemplo,

\[ x^2+3y^2+2xy+z^2=1 \]

possui o termo misto $xy$. Isso não cria uma nova família de superfícies. Uma rotação apropriada dos eixos no plano $xy$ elimina esse termo e revela uma forma canônica.

O capítulo seguinte estudará detalhadamente esse mecanismo para equações quadráticas no plano. Mais adiante, no capítulo final, voltaremos ao problema em três dimensões. Usaremos então a versão espacial do teorema dos eixos principais: uma escolha adequada de eixos cartesianos elimina simultaneamente os termos mistos $xy$, $xz$ e $yz$.

O ponto geométrico essencial é simples: as formas canônicas estudadas acima são os modelos fundamentais; translações e rotações mudam sua posição em relação ao sistema de coordenadas, não sua natureza geométrica. O capítulo final mostrará que, a menos de uma mudança cartesiana de coordenadas, toda quádrica se reduz a uma dessas formas ou a um caso degenerado.

Exercício 11.1

Determine uma parametrização para cada superfície e indique intervalos naturais para os parâmetros.

$x^2+y^2=9$;
$\dfrac {x^2}{4}+y^2=1$;
$y=x^2$;
$x^2+y^2=z^2$.

Ver solução

Uma possibilidade é:

$(x,y,z)=(3\cos \theta ,3\operatorname {sen}\theta ,v)$, $0\le \theta \lt 2\pi $, $v\in \mathbb {R}$;
$(x,y,z)=(2\cos \theta ,\operatorname {sen}\theta ,v)$, $0\le \theta \lt 2\pi $, $v\in \mathbb {R}$;
$(x,y,z)=(u,u^2,v)$, $u,v\in \mathbb {R}$;
$(x,y,z)=(s\cos \theta ,s\operatorname {sen}\theta ,s)$, $s\in \mathbb {R}$, $0\le \theta \lt 2\pi $. Se $s\ge 0$, obtém-se apenas uma das folhas.

Exercício 11.2

Considere a curva

\[ \gamma (t)=(\cos t,\operatorname {sen}t,t/4), \qquad 0\le t\le 4\pi , \]

e o vetor $\boldsymbol {w}=(0,1,2)$. Escreva uma parametrização do cilindro generalizado obtido transportando $\gamma $ na direção $\boldsymbol {w}$.

Ver solução

Com $s\in \mathbb {R}$,

\[ X(t,s)=\gamma (t)+s\boldsymbol {w} =(\cos t,\operatorname {sen}t+s,t/4+2s). \]

Exercício 11.3

Para o cilindro oblíquo

\[ X(\theta ,v)=(2\cos \theta +v,2\operatorname {sen}\theta ,2v), \]

elimine os parâmetros e determine os cortes pelos planos $z=k$.

Ver solução

Como $v=z/2$,

\[ \left(x-\frac z2\right)^2+y^2=4. \]

No plano $z=k$,

\[ \left(x-\frac k2\right)^2+y^2=4, \]

um círculo de raio $2$ e centro $(k/2,0,k)$ no próprio plano de corte.

Exercício 11.4

Seja

\[ \gamma (t)=(2\cos t,\operatorname {sen}t,3) \]

e tome a origem como vértice. Parametrize o cone gerado por $\gamma $ e elimine os parâmetros para obter uma equação cartesiana.

Ver solução

Uma parametrização é

\[ X(t,s)=(2s\cos t,s\operatorname {sen}t,3s), \qquad s\in \mathbb {R}. \]

Como

\[ \frac{x^2}{4}+y^2=s^2=\frac{z^2}{9}, \]

segue

\[ \boxed {\frac{x^2}{4}+y^2-\frac{z^2}{9}=0.} \]

Exercício 11.5

Gire a parábola $z=\rho ^2$ do plano $\rho z$ em torno do eixo $z$. Determine uma parametrização da superfície e identifique a quádrica obtida.

Ver solução

Com $\rho \ge 0$ e $0\le \theta \lt 2\pi $,

\[ X(\rho ,\theta )=(\rho \cos \theta ,\rho \operatorname {sen}\theta ,\rho ^2). \]

Como $x^2+y^2=\rho ^2$,

\[ z=x^2+y^2, \]

um paraboloide elíptico de revolução.

Exercício 11.6

Verifique diretamente que a parametrização do toro dada neste capítulo satisfaz

\[ \bigl(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2\bigr)^2=4R^2(x^2+y^2). \]

Ver solução

Da parametrização,

\[ x^2+y^2=(R+r\cos v)^2, \qquad z^2=r^2\operatorname {sen}^2v. \]

Logo

\[ x^2+y^2+z^2+R^2-r^2=2R(R+r\cos v). \]

Elevando ao quadrado,

\[ \bigl(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2\bigr)^2 =4R^2(R+r\cos v)^2 =4R^2(x^2+y^2). \]

Exercício 11.7

Descreva os cortes pelos planos $x=k$, $y=k$ e $z=k$, quando relevantes, para as superfícies abaixo.

$z=x^2+4y^2$;
$z=x^2-y^2$;
$x^2+y^2-z^2=1$;
$z^2-x^2-y^2=1$.

Ver solução

$x=k$: $z=k^2+4y^2$; $y=k$: $z=x^2+4k^2$; $z=k$: $x^2+4y^2=k$, elipse para $k\gt 0$, ponto para $k=0$ e vazio para $k\lt 0$.
$x=k$: $z=k^2-y^2$; $y=k$: $z=x^2-k^2$; $z=k$: $x^2-y^2=k$, hipérbole para $k\neq 0$ e duas retas para $k=0$.
$z=k$: $x^2+y^2=1+k^2$, sempre um círculo. Se $x=k$, então $y^2-z^2=1-k^2$: há uma hipérbole para $|k|\neq 1$ e duas retas para $|k|=1$. O mesmo vale, por simetria, para $y=k$.
$x=k$: $z^2-y^2=1+k^2$; $y=k$: $z^2-x^2=1+k^2$, sempre hipérboles. Em $z=k$, $x^2+y^2=k^2-1$: círculo para $|k|\gt 1$, ponto para $|k|=1$ e vazio para $|k|\lt 1$.

Exercício 11.8

Classifique as superfícies e indique seu eixo principal quando a equação o distinguir.

$4x^2+9y^2+z^2=36$;
$x^2+y^2-z^2=4$;
$-x^2-y^2+4z^2=4$;
$x^2+4y^2-z=0$;
$x^2-y^2-z=0$;
$x^2+4y^2-9z^2=0$.

Ver solução

Respectivamente: elipsoide; hiperboloide de uma folha com eixo $z$; hiperboloide de duas folhas com eixo $z$; paraboloide elíptico com eixo $z$; paraboloide hiperbólico com eixo $z$; cone elíptico com eixo $z$.

Exercício 11.9

Complete quadrados e identifique o ponto especial da superfície, seu tipo e sua orientação principal.

$x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$;
$4x^2+y^2-z^2-8x+2y+4z-4=0$;
$z=x^2+y^2-4x+6y+7$;
$x^2-y^2-z+2x+4y-3=0$.

Ver solução

$(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16$: esfera de centro $(1,-2,3)$ e raio $4$.
$4(x-1)^2+(y+1)^2-(z-2)^2=5$: hiperboloide de uma folha, centro $(1,-1,2)$, eixo paralelo a $z$.
$z+6=(x-2)^2+(y+3)^2$: paraboloide elíptico de vértice $(2,-3,-6)$, abrindo no sentido positivo de $z$.
$z=(x+1)^2-(y-2)^2$: paraboloide hiperbólico com ponto de sela $(-1,2,0)$.

Exercício 11.10

Explique por que uma equação em três variáveis na qual $z$ não aparece é invariável por translações paralelas ao eixo $z$. Em que condições isso produz um cilindro?

Ver solução

Se $(x,y,z)$ satisfaz a equação, então $(x,y,z+t)$ também satisfaz para todo $t$, pois a equação não usa a coordenada $z$. Quando a equação restante em $x$ e $y$ descreve uma curva plana não degenerada, seu transporte paralelo ao eixo $z$ produz um cilindro.

Exercício 11.11

No hiperboloide de uma folha

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1, \]

mostre que os semieixos do corte $z=k$ são

\[ a\sqrt{1+\frac{k^2}{c^2}} \qquad \text{e}\qquad b\sqrt{1+\frac{k^2}{c^2}}. \]

Ver solução

No plano $z=k$,

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{k^2}{c^2}. \]

Dividindo pelo lado direito,

\[ \frac{x^2}{a^2(1+k^2/c^2)}+ \frac{y^2}{b^2(1+k^2/c^2)}=1, \]

e os semieixos são exatamente os indicados.

Exercício 11.12

No cone elíptico

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}, \]

mostre que dois cortes horizontais não nulos são elipses semelhantes. Determine o fator de escala que leva o corte $z=k_1$ ao corte $z=k_2$.

Ver solução

No corte $z=k$, os semieixos são

\[ \frac{a|k|}{c} \qquad \text{e}\qquad \frac{b|k|}{c}. \]

Portanto todos os cortes não nulos são semelhantes, e o fator de escala que leva o corte em $k_1$ ao corte em $k_2$ é

\[ \boxed {\frac{|k_2|}{|k_1|}}. \]

Exercício 11.13

Descreva geometricamente os conjuntos definidos por

$x^2=0$;
$x^2=1$;
$x^2+y^2=0$;
$x^2-y^2=0$;
$x^2+y^2+z^2=0$;
$x^2+y^2+z^2=-1$.

Ver solução

Respectivamente: o plano $x=0$; os dois planos paralelos $x=\pm 1$; o eixo $z$; os dois planos $x=y$ e $x=-y$; apenas a origem; o conjunto vazio.

Exercício 11.14

A equação

\[ x^2+3y^2+2xy+z^2=1 \]

não está em posição canônica por causa do termo $xy$. Sem calcular explicitamente o ângulo da rotação, explique por que uma rotação adequada no plano $xy$ deve revelar um elipsoide.

Ver solução

A parte em $x,y$ pode ser escrita como

\[ x^2+3y^2+2xy=(x+y)^2+2y^2, \]

que é positiva para todo $(x,y)\neq (0,0)$. Somando $z^2$, a parte quadrática é positiva em toda direção não nula. Pelo resultado de eixos principais que será desenvolvido adiante, uma rotação elimina o termo misto sem mudar essa positividade; restam três termos quadráticos positivos. Assim a forma canônica é a de um elipsoide.

Exercício 11.15

Parametrize o elipsoide

\[ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{25}=1 \]

a partir de uma parametrização da esfera unitária e verifique diretamente sua equação.

Ver solução

Partindo de

\[ (\operatorname {sen}\phi \cos \theta ,\operatorname {sen}\phi \operatorname {sen}\theta ,\cos \phi ), \]

tomamos

\[ X(\phi ,\theta )= (2\operatorname {sen}\phi \cos \theta , 3\operatorname {sen}\phi \operatorname {sen}\theta , 5\cos \phi ), \]

com $0\le \phi \le \pi $ e $0\le \theta \lt 2\pi $. Então

\[ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{25} =\operatorname {sen}^2\phi (\cos ^2\theta +\operatorname {sen}^2\theta )+\cos ^2\phi =1. \]

O estudo das superfícies completa uma passagem importante da geometria analítica: de objetos descritos por uma única direção ou por um único parâmetro para objetos que, em geral, exigem dois parâmetros. A partir daqui, rotações e mudanças de coordenadas deixarão de ser apenas técnicas algébricas e passarão a funcionar como instrumentos para revelar a geometria escondida numa equação.

10.12 Exemplos resolvidos adicionais

Os exemplos a seguir articulam parametrizações, equações cartesianas e cortes planos. Em cada caso, a construção geométrica orienta a escolha da representação e dos cálculos.

Exemplo 10.12 (Parametrizando um elipsoide a partir da esfera)

Encontre uma parametrização do elipsoide

\[ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1 \]

a partir da parametrização usual da esfera unitária.

Solução

A esfera unitária pode ser parametrizada por

\[ (\operatorname {sen}\varphi \cos \theta ,\operatorname {sen}\varphi \operatorname {sen}\theta ,\cos \varphi ), \qquad 0\leq \varphi \leq \pi , \quad 0\leq \theta \lt 2\pi . \]

O elipsoide é obtido esticando a esfera por fatores $3$, $2$ e $4$ nas direções dos eixos $x$, $y$ e $z$, respectivamente. Portanto tomamos

\[ \boxed { X(\varphi ,\theta )= \bigl(3\operatorname {sen}\varphi \cos \theta , 2\operatorname {sen}\varphi \operatorname {sen}\theta , 4\cos \varphi \bigr).} \]

De fato,

\begin{align*} \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16} & =\operatorname {sen}^2\varphi \cos ^2\theta +\operatorname {sen}^2\varphi \operatorname {sen}^2\theta +\cos ^2\varphi \\ & =\operatorname {sen}^2\varphi +\cos ^2\varphi =1. \end{align*}

A parametrização foi obtida a partir da esfera unitária, aplicando uma mudança de escala em cada direção coordenada. Essa construção relaciona as fórmulas à geometria do elipsoide.

Exemplo 10.13 (Um cone determinado por vértice e diretriz)

Considere o ponto

\[ V=(1,-2,3) \]

e, no plano $z=7$, a elipse

\[ \frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}=1. \]

Encontre uma parametrização e uma equação cartesiana do cone cujas geratrizes passam por $V$ e pelos pontos dessa elipse.

Solução

Uma parametrização da elipse diretriz é

\[ \gamma (\theta )= (1+3\cos \theta ,-2+2\operatorname {sen}\theta ,7). \]

Cada geratriz passa por $V$ e por $\gamma (\theta )$, logo

\[ X(\theta ,s) =V+s\bigl(\gamma (\theta )-V\bigr). \]

Como

\[ \gamma (\theta )-V=(3\cos \theta ,2\operatorname {sen}\theta ,4), \]

obtemos

\[ \boxed { X(\theta ,s)= (1+3s\cos \theta ,-2+2s\operatorname {sen}\theta ,3+4s).} \]

Para eliminar os parâmetros, observamos que

\[ \frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4} =s^2(\cos ^2\theta +\operatorname {sen}^2\theta )=s^2, \]

enquanto

\[ \frac{(z-3)^2}{16}=s^2. \]

Portanto

\[ \boxed { \frac{(x-1)^2}{9} +\frac{(y+2)^2}{4} -\frac{(z-3)^2}{16}=0.} \]

A equação permite identificar o vértice $(1,-2,3)$ e o eixo paralelo a $z$. Para $s=1$ recuperamos exatamente a elipse dada; para $s=0$ obtemos o vértice; valores negativos de $s$ produzem a outra parte do cone.

Exemplo 10.14 (De hipérboles a hiperboloides de uma e duas folhas)

Considere, no plano $\rho z$, as hipérboles

\[ \frac{\rho ^2}{4}-\frac{z^2}{9}=1 \qquad \text{e}\qquad \frac{z^2}{9}-\frac{\rho ^2}{4}=1. \]

Gire cada uma delas em torno do eixo $z$ e identifique geometricamente as superfícies obtidas.

Solução

Ao girar em torno de $z$, a distância $\rho $ ao eixo satisfaz

\[ \rho ^2=x^2+y^2. \]

A primeira hipérbole produz, portanto,

\[ \boxed { \frac{x^2+y^2}{4}-\frac{z^2}{9}=1,} \]

que é um hiperboloide de uma folha. Para entender por que existe apenas uma componente, fazemos o corte $z=k$:

\[ x^2+y^2=4\left(1+\frac{k^2}{9}\right). \]

Há um círculo para todo valor de $k$, e o menor deles ocorre em $z=0$, com raio $2$.

Para a segunda hipérbole obtemos

\[ \boxed { \frac{z^2}{9}-\frac{x^2+y^2}{4}=1,} \]

um hiperboloide de duas folhas. Agora

\[ x^2+y^2=4\left(\frac{k^2}{9}-1\right). \]

Não há pontos quando $|k|\lt 3$; para $k=\pm 3$ resta um único ponto; e para $|k|\gt 3$ aparecem círculos. A região vazia entre $z=-3$ e $z=3$ separa as duas folhas.

Assim, a diferença entre os dois hiperboloides já estava presente nas duas orientações possíveis da hipérbole geradora.

Exemplo 10.15 (Uma seção oblíqua de um paraboloide)

Determine a curva de interseção entre o paraboloide

\[ z=x^2+y^2 \]

e o plano

\[ z=2x. \]

Encontre também uma parametrização dessa curva e identifique sua forma geométrica dentro do plano de corte.

Solução

Os pontos da interseção devem satisfazer simultaneamente as duas equações. Eliminando $z$,

\[ x^2+y^2=2x, \]

\[ (x-1)^2+y^2=1. \]

A projeção da curva sobre o plano $xy$ é, portanto, o círculo de centro $(1,0)$ e raio $1$. Podemos parametrizá-lo por

\[ x=1+\cos t, \qquad y=\operatorname {sen}t. \]

Como $z=2x$,

\[ z=2+2\cos t. \]

Logo uma parametrização da curva espacial é

\[ \boxed { X(t)=(1+\cos t,\operatorname {sen}t,2+2\cos t), \qquad 0\leq t\lt 2\pi .} \]

Escrevendo

\[ X(t)=(1,0,2) +\cos t\, (1,0,2) +\operatorname {sen}t\, (0,1,0), \]

notamos que os vetores $(1,0,2)$ e $(0,1,0)$ são ortogonais e têm comprimentos $\sqrt5$ e $1$. Portanto a curva, vista dentro do próprio plano $z=2x$, é uma elipse de semieixos $\sqrt5$ e $1$.

Esse exemplo mostra por que a aparência de uma seção depende do plano em que a observamos: sua projeção no plano $xy$ é circular, mas a curva espacial é uma elipse no plano oblíquo que a contém.

Exemplo 10.16 (Completar quadrados e localizar uma sela)

Identifique a superfície

\[ x^2-4y^2-2x-8y-z+5=0 \]

e descreva os cortes pelos três planos que passam pelo seu ponto central e são paralelos aos planos coordenados.

Solução

Agrupando os termos em $x$ e $y$,

\[ (x^2-2x)-4(y^2+2y)-z+5=0. \]

Completando quadrados,

\[ x^2-2x=(x-1)^2-1 \]

\[ y^2+2y=(y+1)^2-1. \]

Logo

\[ (x-1)^2-1-4\bigl((y+1)^2-1\bigr)-z+5=0, \]

isto é,

\[ \boxed { z-8=(x-1)^2-4(y+1)^2.} \]

Trata-se de um paraboloide hiperbólico com ponto de sela

\[ S=(1,-1,8). \]

Os três cortes principais por planos que passam por $S$ permitem comparar a forma da superfície em direções distintas.

No plano $y=-1$,

\[ z-8=(x-1)^2, \]

uma parábola que se abre para cima. No plano $x=1$,

\[ z-8=-4(y+1)^2, \]

uma parábola que se abre para baixo. Finalmente, no plano horizontal $z=8$,

\[ (x-1)^2-4(y+1)^2=0, \]

que se fatora como

\[ \bigl(x-1-2(y+1)\bigr) \bigl(x-1+2(y+1)\bigr)=0. \]

O corte horizontal crítico é, portanto, a união de duas retas concorrentes. As duas parábolas de concavidades opostas e esse par de retas descrevem a configuração de sela da superfície.