Capítulo 12
Mudanças de Coordenadas no Espaço
No Capítulo 3 vimos que uma base ordenada fornece coordenadas para vetores e que, escolhendo também uma origem, obtemos coordenadas para pontos. Na Seção 3.4 apareceu ainda um primeiro exemplo de mudança de base. Neste capítulo, desenvolveremos esse procedimento no espaço e distinguiremos as mudanças de coordenadas de vetores e de pontos.
Há duas situações distintas:
para mudar as coordenadas de um vetor, precisamos apenas relacionar duas bases;
para mudar as coordenadas de um ponto, precisamos relacionar também as origens dos dois sistemas.
Essa distinção será mantida ao longo de todo o capítulo.
12.1 Mudança de Base
Sejam
\[ \mathcal{B}=(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2,\boldsymbol {e}_3) \qquad \text{e}\qquad \mathcal{C}=(\boldsymbol {f}_1,\boldsymbol {f}_2,\boldsymbol {f}_3) \]
duas bases de \(\mathbb {V}^3\). Escreva os vetores de \(\mathcal{B}\) em coordenadas da base \(\mathcal{C}\):
\[ \boldsymbol {e}_1:(a_{11},a_{21},a_{31})_{\mathcal{C}}, \quad \boldsymbol {e}_2:(a_{12},a_{22},a_{32})_{\mathcal{C}}, \quad \boldsymbol {e}_3:(a_{13},a_{23},a_{33})_{\mathcal{C}}. \]
Definição 12.1
A
matriz de mudança de base de \(\mathcal{B}\) para \(\mathcal{C}\) é
\[ M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} = \begin{pmatrix} a_{11}
& a_{12}
& a_{13}
\\ a_{21}
& a_{22}
& a_{23}
\\ a_{31}
& a_{32}
& a_{33}
\end{pmatrix}. \]
As colunas de \(M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\) são, portanto, as coordenadas dos vetores de \(\mathcal{B}\) na base \(\mathcal{C}\).
A seta indica o sentido da mudança: a matriz transforma as coordenadas na base \(\mathcal{B}\) em coordenadas na base \(\mathcal{C}\).
Continuaremos usando como notação principal a já adotada no livro,
\[ \boldsymbol {v}:(x_1,x_2,x_3)_{\mathcal{B}}. \]
Quando um cálculo matricial exigir a coluna de coordenadas, usaremos a abreviação
\[ [\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}:= \begin{pmatrix} x_1
\\ x_2
\\ x_3
\end{pmatrix}. \]
Os colchetes indicam a coluna de coordenadas do vetor \(\boldsymbol {v}\) na base especificada.
Proposição 12.2
Se
\[ \boldsymbol {v}:(x_1,x_2,x_3)_{\mathcal{B}} \qquad \text{e}\qquad \boldsymbol {v}:(y_1,y_2,y_3)_{\mathcal{C}}, \]
então
\[ \boxed { \begin{pmatrix} y_1
\\ y_2
\\ y_3
\end{pmatrix} = M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} \begin{pmatrix} x_1
\\ x_2
\\ x_3
\end{pmatrix}.} \]
Em forma abreviada,
\[ [\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}=M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}. \]
Demonstração
▼
Como
\[ \boldsymbol {v}=x_1\boldsymbol {e}_1+x_2\boldsymbol {e}_2+x_3\boldsymbol {e}_3, \]
basta substituir as expressões dos vetores \(\boldsymbol {e}_i\) na base \(\mathcal{C}\). O coeficiente de \(\boldsymbol {f}_1\) será
\[ a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, \]
e analogamente para \(\boldsymbol {f}_2\) e \(\boldsymbol {f}_3\). Esses três coeficientes são exatamente o produto matricial acima.
Observação 12.3
No exemplo de mudança de base do Capítulo
3, a matriz
\[ M= \begin{pmatrix} 1
& 1
& 0
\\ 1
& 0
& -1
\\ 1
& 1
& 1
\end{pmatrix} \]
tinha como colunas as coordenadas de \(\boldsymbol {f}_1,\boldsymbol {f}_2,\boldsymbol {f}_3\) na base \(\mathcal{B}\). Na notação deste capítulo, ela é precisamente
\[ M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}. \]
Assim, a convenção atual apenas torna explícita uma direção que já estava presente naquele exemplo.
Exemplo 12.4
Suponha que
\begin{align*} \boldsymbol {e}_1& =2\boldsymbol {f}_1+3\boldsymbol {f}_2+4\boldsymbol {f}_3,\\ \boldsymbol {e}_2& =\boldsymbol {f}_1+\boldsymbol {f}_2+\boldsymbol {f}_3,\\ \boldsymbol {e}_3& =\boldsymbol {f}_2. \end{align*}
Então
\[ M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2
& 1
& 0
\\ 3
& 1
& 1
\\ 4
& 1
& 0
\end{pmatrix}. \]
Se
\[ \boldsymbol {v}:(1,-2,3)_{\mathcal{B}}, \]
então
\[ \begin{pmatrix} y_1
\\ y_2
\\ y_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2
& 1
& 0
\\ 3
& 1
& 1
\\ 4
& 1
& 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1
\\ -2
\\ 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
\\ 4
\\ 2
\end{pmatrix}. \]
Portanto
\[ \boldsymbol {v}:(0,4,2)_{\mathcal{C}}. \]
12.2 Composição e Inversa
Mudanças de base podem ser compostas sem voltar aos vetores geométricos.
Proposição 12.5
Se \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{C}\) e \(\mathcal D\) são bases de \(\mathbb {V}^3\), então
\[ \boxed {M_{\mathcal D\leftarrow \mathcal{B}} =M_{\mathcal D\leftarrow \mathcal{C}} M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}.} \]
Em particular,
\[ \boxed {M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}} =M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}^{-1}.} \]
Demonstração
▼
Para qualquer vetor \(\boldsymbol {v}\),
\[ [\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}=M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}} \]
e
\[ [\boldsymbol {v}]_{\mathcal D}=M_{\mathcal D\leftarrow \mathcal{C}}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}. \]
Substituindo a primeira igualdade na segunda,
\[ [\boldsymbol {v}]_{\mathcal D} =M_{\mathcal D\leftarrow \mathcal{C}}M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}, \]
o que prova a fórmula de composição. Tomando \(\mathcal D=\mathcal{B}\), obtemos a fórmula da inversa.
No Exemplo 12.4,
\[ M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}} =M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2
& 0
& 1/2
\\ 2
& 0
& -1
\\ -1/2
& 1
& -1/2
\end{pmatrix}. \]
12.3 Mudança de Sistemas de Coordenadas
Para os pontos, a mudança de coordenadas deve considerar também a origem. Considere dois sistemas
\[ \Sigma _1=(O,\mathcal{B}) \qquad \text{e}\qquad \Sigma _2=(O',\mathcal{C}). \]
Suponha que
\[ O':(s_1,s_2,s_3)_{\Sigma _1}. \]
Isso significa que
\[ \overrightarrow {OO’}:(s_1,s_2,s_3)_{\mathcal{B}}. \]
Se um ponto \(P\) possui coordenadas
\[ P:(x_1,x_2,x_3)_{\Sigma _1} \qquad \text{e}\qquad P:(y_1,y_2,y_3)_{\Sigma _2}, \]
então
\[ \overrightarrow {O’P}=\overrightarrow {OP}-\overrightarrow {OO’}. \]
Na base \(\mathcal{B}\), portanto,
\[ \overrightarrow {O’P}:(x_1-s_1,x_2-s_2,x_3-s_3)_{\mathcal{B}}. \]
Convertendo essas coordenadas para a base \(\mathcal{C}\), obtemos a fórmula fundamental:
\begin{equation} \label{eq:mudcoordespaco} \boxed { \begin{pmatrix} y_1
\\ y_2
\\ y_3
\end{pmatrix} = M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} \left[ \begin{pmatrix} x_1
\\ x_2
\\ x_3
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} s_1
\\ s_2
\\ s_3
\end{pmatrix} \right].} \tag{12.1} \end{equation}
A transformação inversa é
\begin{equation} \label{eq:mudcoordespaco-inversa} \boxed { \begin{pmatrix} x_1
\\ x_2
\\ x_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_1
\\ s_2
\\ s_3
\end{pmatrix} + M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}} \begin{pmatrix} y_1
\\ y_2
\\ y_3
\end{pmatrix}.} \tag{12.2} \end{equation}
A fórmula separa as duas operações: primeiro mudamos a origem por uma translação; depois mudamos a base.
Exemplo 12.6
Considere
\[ \Sigma _1=(O,\mathcal{B}), \qquad \Sigma _2=(O',\mathcal{C}), \]
com
\[ O':(1,2,1)_{\Sigma _1} \]
e
\[ \boldsymbol {f}_1=\boldsymbol {e}_1, \qquad \boldsymbol {f}_2=\boldsymbol {e}_3, \qquad \boldsymbol {f}_3=\boldsymbol {e}_1+2\boldsymbol {e}_2-\boldsymbol {e}_3. \]
Como as colunas abaixo são as coordenadas dos vetores da base \(\mathcal{C}\) na base \(\mathcal{B}\),
\[ M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1
& 0
& 1
\\ 0
& 0
& 2
\\ 0
& 1
& -1
\end{pmatrix}. \]
Logo
\[ M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1
& -1/2
& 0
\\ 0
& 1/2
& 1
\\ 0
& 1/2
& 0
\end{pmatrix}. \]
Se
\[ P:(2,1,-3)_{\Sigma _1}, \]
então, pela Equação (12.1),
\begin{align*} \begin{pmatrix} y_1
\\ y_2
\\ y_3
\end{pmatrix}& = \begin{pmatrix} 1
& -1/2
& 0
\\ 0
& 1/2
& 1
\\ 0
& 1/2
& 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1
\\ -1
\\ -4
\end{pmatrix}\\ & = \begin{pmatrix} 3/2
\\ -9/2
\\ -1/2
\end{pmatrix}. \end{align*}
Portanto
\[ \boxed {P:(3/2,-9/2,-1/2)_{\Sigma _2}.} \]
12.4 Retas e Planos em Novas Coordenadas
Para transformar uma equação paramétrica, consideramos separadamente o ponto inicial e o vetor diretor. Considere uma reta dada em \(\Sigma _1\) por
\[ X(t)=P_0+t\boldsymbol {v}. \]
Suponha que
\[ P_0:(p_1,p_2,p_3)_{\Sigma _1}, \qquad \boldsymbol {v}:(v_1,v_2,v_3)_{\mathcal{B}}. \]
Se
\[ P_0:(q_1,q_2,q_3)_{\Sigma _2} \qquad \text{e}\qquad \boldsymbol {v}:(w_1,w_2,w_3)_{\mathcal{C}}, \]
então
\[ \begin{pmatrix} q_1
\\ q_2
\\ q_3
\end{pmatrix} =M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} \left[ \begin{pmatrix} p_1
\\ p_2
\\ p_3
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} s_1
\\ s_2
\\ s_3
\end{pmatrix} \right] \]
e
\[ \begin{pmatrix} w_1
\\ w_2
\\ w_3
\end{pmatrix} =M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} \begin{pmatrix} v_1
\\ v_2
\\ v_3
\end{pmatrix}. \]
Assim a mesma reta, em \(\Sigma _2\), é
\[ X(t)=Q_0+t\boldsymbol {w}, \]
onde \(Q_0:(q_1,q_2,q_3)_{\Sigma _2}\) e \(\boldsymbol {w}:(w_1,w_2,w_3)_{\mathcal{C}}\).
O procedimento para planos paramétricos é idêntico: transformamos um ponto do plano pela mudança completa de sistema e os vetores diretores apenas pela mudança de base.
Exemplo 12.7
No contexto do Exemplo
12.6, considere a reta
\[ r:X=(0,2,0)_{\Sigma _1}+t(1,2,3)_{\mathcal{B}}. \]
Para o ponto inicial,
\[ \begin{pmatrix} 0
\\ 2
\\ 0
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1
\\ 2
\\ 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1
\\ 0
\\ -1
\end{pmatrix}, \]
e portanto
\[ M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} \begin{pmatrix} -1
\\ 0
\\ -1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1
\\ -1
\\ 0
\end{pmatrix}. \]
Para o vetor diretor,
\[ M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} \begin{pmatrix} 1
\\ 2
\\ 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
\\ 4
\\ 1
\end{pmatrix}. \]
Logo, em \(\Sigma _2\),
\[ \boxed {r:X=(-1,-1,0)_{\Sigma _2}+t(0,4,1)_{\mathcal{C}}.} \]
12.4.1 Equações cartesianas de planos
Há uma diferença importante entre transformar vetores diretores e transformar os coeficientes de uma equação cartesiana. Suponha que, em \(\Sigma _1\), um plano tenha equação
\[ a x+b y+c z=d. \]
Escrevendo
\[ N=\begin{pmatrix} a
\\ b
\\ c
\end{pmatrix}, \]
a equação é
\[ N^T X=d, \]
onde \(X=(x,y,z)^T\) é a coluna de coordenadas em \(\Sigma _1\).
Pela Equação (12.2),
\[ X=S+M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}Y, \]
onde \(S=(s_1,s_2,s_3)^T\) e \(Y\) é a coluna de coordenadas em \(\Sigma _2\). Substituindo,
\[ N^TM_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}Y=d-N^TS. \]
Portanto a coluna de coeficientes da equação do plano no novo sistema é
\begin{equation} \label{eq:normalmudanca} \boxed {N’=M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}^{T}N.} \tag{12.3} \end{equation}
A transposta expressa a diferença entre a transformação dos coeficientes de uma equação linear e a transformação das coordenadas de um vetor.
12.5 Sistemas Cartesianos e Mudanças Ortogonais
Suponha agora que \(\mathcal{B}\) e \(\mathcal{C}\) sejam bases ortonormais. Então a matriz de mudança de base é ortogonal:
\[ M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}^{-1} =M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}^{T}. \]
Isso explica por que comprimentos e ângulos têm as mesmas fórmulas em qualquer sistema cartesiano.
Se, além disso,
\[ \det M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=1, \]
a mudança linear entre as bases preserva orientação e corresponde a uma rotação do espaço. Se o determinante vale \(-1\), há também uma reflexão.
Exemplo 12.8
Considere
\[ \mathcal{B}=(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2,\boldsymbol {e}_3) \]
e a base obtida girando os dois primeiros vetores de um ângulo \(\alpha \) em torno da direção de \(\boldsymbol {e}_3\):
\begin{align*} \boldsymbol {f}_1& =\cos \alpha \, \boldsymbol {e}_1+\operatorname {sen}\alpha \, \boldsymbol {e}_2,\\ \boldsymbol {f}_2& =-\operatorname {sen}\alpha \, \boldsymbol {e}_1+\cos \alpha \, \boldsymbol {e}_2,\\ \boldsymbol {f}_3& =\boldsymbol {e}_3. \end{align*}
Então
\[ M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}} = \begin{pmatrix} \cos \alpha
& -\operatorname {sen}\alpha
& 0
\\ \operatorname {sen}\alpha
& \cos \alpha
& 0
\\ 0
& 0
& 1
\end{pmatrix}, \]
e
\[ M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} =M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}^{T} = \begin{pmatrix} \cos \alpha
& \operatorname {sen}\alpha
& 0
\\ -\operatorname {sen}\alpha
& \cos \alpha
& 0
\\ 0
& 0
& 1
\end{pmatrix}. \]
Essa é exatamente a versão tridimensional da mudança passiva de eixos estudada no capítulo anterior.
12.6 Resumo
As fórmulas centrais podem ser lidas sem introduzir uma notação adicional para as coordenadas de pontos. Para vetores,
\[ \boxed { [\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}} =M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}.} \]
Para pontos, escrevendo
\[ S=\begin{pmatrix} s_1
\\ s_2
\\ s_3
\end{pmatrix}, \]
temos
\[ \boxed { \begin{pmatrix} y_1
\\ y_2
\\ y_3
\end{pmatrix} =M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}} \left( \begin{pmatrix} x_1
\\ x_2
\\ x_3
\end{pmatrix}-S \right),} \]
e, inversamente,
\[ \boxed { \begin{pmatrix} x_1
\\ x_2
\\ x_3
\end{pmatrix} =S+M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}} \begin{pmatrix} y_1
\\ y_2
\\ y_3
\end{pmatrix}.} \]
A distinção decorre dos dados necessários à representação: uma base determina coordenadas para vetores; para pontos, é preciso fixar também uma origem.
Exercício 6.1
Sejam
\[ \mathcal{B}=(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2,\boldsymbol {e}_3) \qquad \text{e}\qquad \mathcal{C}=(\boldsymbol {f}_1,\boldsymbol {f}_2,\boldsymbol {f}_3), \]
com
\[ \boldsymbol {f}_1=\boldsymbol {e}_1+\boldsymbol {e}_2, \quad \boldsymbol {f}_2=\boldsymbol {e}_2+\boldsymbol {e}_3, \quad \boldsymbol {f}_3=\boldsymbol {e}_1+\boldsymbol {e}_3. \]
Verifique primeiro que \(\mathcal{C}\) é uma base. Determine \(M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}\) e \(M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\). Converta o vetor \(\boldsymbol {v}:(2,-1,3)_{\mathcal{C}}\) para a base \(\mathcal{B}\) e depois recupere suas coordenadas em \(\mathcal{C}\).
Ver solução
As colunas de \(M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}\) são as coordenadas de \(\boldsymbol {f}_1,\boldsymbol {f}_2,\boldsymbol {f}_3\) na base \(\mathcal{B}\):
\[ M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=\begin{pmatrix} 1
& 0
& 1
\\ 1
& 1
& 0
\\ 0
& 1
& 1
\end{pmatrix}. \]
Como \(\det M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=2\neq 0\), os vetores \(\boldsymbol {f}_1,\boldsymbol {f}_2,\boldsymbol {f}_3\) são linearmente independentes e \(\mathcal{C}\) é de fato uma base. Invertendo,
\[ M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=\frac12\begin{pmatrix} 1
& 1
& -1
\\ -1
& 1
& 1
\\ 1
& -1
& 1
\end{pmatrix}. \]
Se \(\boldsymbol {v}:(2,-1,3)_{\mathcal{C}}\), então
\[ [\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}=M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}=(5,1,2)_{\mathcal{B}}. \]
Aplicando \(M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\) a esse resultado recuperamos \([\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}=(2,-1,3)_{\mathcal{C}}\), como esperado.
Exercício 6.2
Considere dois sistemas \(\Sigma _1=(O,\mathcal{B})\) e \(\Sigma _2=(O',\mathcal{C})\), com
\[ O':(1,2,3)_{\Sigma _1}, \]
\[ \boldsymbol {f}_1=\boldsymbol {e}_1, \quad \boldsymbol {f}_2=\boldsymbol {e}_1-\boldsymbol {e}_3, \quad \boldsymbol {f}_3=\boldsymbol {e}_2. \]
Determine as coordenadas em \(\Sigma _2\) dos pontos \(P:(0,2,0)_{\Sigma _1}\) e \(Q:(2,-1,4)_{\Sigma _1}\).
Ver solução
As colunas de \(M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}\) são as coordenadas de \(\boldsymbol {f}_1,\boldsymbol {f}_2,\boldsymbol {f}_3\) na base \(\mathcal{B}\):
\[ M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=\begin{pmatrix} 1
& 1
& 0
\\ 0
& 0
& 1
\\ 0
& -1
& 0
\end{pmatrix}, \qquad M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=\begin{pmatrix} 1
& 0
& 1
\\ 0
& 0
& -1
\\ 0
& 1
& 0
\end{pmatrix}. \]
Como \(O':(1,2,3)_{\Sigma _1}\), a Equação (12.1) dá \([P]_{\Sigma _2}=M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\bigl([P]_{\Sigma _1}-(1,2,3)\bigr)\). Para \(P:(0,2,0)_{\Sigma _1}\),
\[ [P]_{\Sigma _1}-(1,2,3)=(-1,0,-3), \qquad [P]_{\Sigma _2}=(-4,3,0). \]
Para \(Q:(2,-1,4)_{\Sigma _1}\),
\[ [Q]_{\Sigma _1}-(1,2,3)=(1,-3,1), \qquad [Q]_{\Sigma _2}=(2,-1,-3). \]
Portanto \(P:(-4,3,0)_{\Sigma _2}\) e \(Q:(2,-1,-3)_{\Sigma _2}\).
Exercício 6.3
No sistema \(\Sigma _1\) do exercício anterior, considere a reta
\[ r:X=(0,2,0)_{\Sigma _1}+t(1,2,3)_{\mathcal{B}}. \]
Escreva sua equação paramétrica em \(\Sigma _2\).
Ver solução
O ponto inicial da reta é exatamente o ponto \(P\) do exercício anterior, já convertido: \(Q_0:(-4,3,0)_{\Sigma _2}\). Para o vetor diretor, usamos apenas \(M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\) (sem subtrair a origem):
\[ M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}(1,2,3)^T=(4,-3,2)^T. \]
Logo, em \(\Sigma _2\),
\[ \boxed {r:X=(-4,3,0)_{\Sigma _2}+t(4,-3,2)_{\mathcal{C}}.} \]
Exercício 6.4
Ainda no mesmo par de sistemas, transforme para \(\Sigma _2\) o plano
\[ \pi :2x-4y+z=4 \]
dado em \(\Sigma _1\). Determine a nova equação de duas maneiras: usando a Equação (
12.3) e transformando três pontos do plano.
Ver solução
Pela Equação (12.3), com \(N=(2,-4,1)^T\),
\[ N'=M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}^TN=\begin{pmatrix} 1
& 0
& 0
\\ 1
& 0
& -1
\\ 0
& 1
& 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2
\\ -4
\\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2
\\ 1
\\ -4
\end{pmatrix}, \]
e o novo termo independente é
\[ d'=d-N^TS=4-\bigl(2\cdot 1-4\cdot 2+1\cdot 3\bigr)=4-(-3)=7. \]
Portanto, em \(\Sigma _2\),
\[ \boxed {\pi :2y_1+y_2-4y_3=7.} \]
Para confirmar, tomamos três pontos do plano em \(\Sigma _1\), por exemplo \((0,0,4)\), \((2,0,0)\) e \((0,-1,0)\). Convertendo cada um para \(\Sigma _2\) pela Equação (12.1) obtemos, respectivamente, \((0,-1,-2)\), \((-2,3,-2)\) e \((-4,3,-3)\); os três satisfazem de fato \(2y_1+y_2-4y_3=7\).
Exercício 6.5
Seja
\[ \pi :X=P_0+t\boldsymbol {v}+s\boldsymbol {w} \]
um plano. Escolha um sistema de coordenadas \(\Sigma =(P_0,\mathcal{B})\) de modo que, nesse sistema, o plano tenha equação
\[ z=0. \]
Que condições a base \(\mathcal{B}\) deve satisfazer? É sempre possível escolher \(\Sigma \) cartesiano?
Ver solução
Basta escolher \(\boldsymbol {e}_1=\boldsymbol {v}\), \(\boldsymbol {e}_2=\boldsymbol {w}\) e \(\boldsymbol {e}_3\) qualquer vetor fora do plano gerado por \(\boldsymbol {v},\boldsymbol {w}\) (isto é, \(\{ \boldsymbol {v},\boldsymbol {w},\boldsymbol {e}_3\} \) linearmente independente), com origem em \(P_0\). Um ponto genérico do plano é \(P_0+t\boldsymbol {v}+s\boldsymbol {w}\), cujas coordenadas em \(\Sigma =(P_0,\mathcal{B})\) são exatamente \((t,s,0)_{\mathcal{B}}\) — logo o plano tem equação \(z=0\) nesse sistema.
É sempre possível escolher \(\Sigma \) cartesiano: aplicando o processo de Gram-Schmidt a \(\boldsymbol {v},\boldsymbol {w}\) obtemos vetores ortonormais \(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2\) que geram o mesmo plano, e tomamos \(\boldsymbol {e}_3=\boldsymbol {e}_1\times \boldsymbol {e}_2\) (unitário e ortogonal a ambos). O sistema \(\Sigma =(P_0,\mathcal{B})\) com \(\mathcal{B}=(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2,\boldsymbol {e}_3)\) é cartesiano e o plano continua tendo equação \(z=0\).
Exercício 6.6
São dados os pontos
\[ A=(1,2,1),\qquad B=(3,4,0),\qquad C=(2,3,4) \]
num sistema cartesiano. Construa um novo sistema cartesiano no qual os três pontos pertençam ao plano \(z=0\). Descreva explicitamente uma possível origem e uma possível base ortonormal.
Ver solução
Tomamos a origem em \(A\). Como
\[ \overrightarrow {AB}=(2,2,-1), \qquad \overrightarrow {AC}=(1,1,3), \]
definimos
\[ \boldsymbol {e}_1=\frac{\overrightarrow {AB}}{\lVert \overrightarrow {AB}\rVert }=\left(\frac23,\frac23,-\frac13\right). \]
Aplicando Gram-Schmidt a \(\overrightarrow {AC}\),
\[ \overrightarrow {AC}-(\overrightarrow {AC}\cdot \boldsymbol {e}_1)\, \boldsymbol {e}_1=\left(\frac79,\frac79,\frac{28}9\right)\parallel (1,1,4), \]
logo
\[ \boldsymbol {e}_2=\frac{(1,1,4)}{\lVert (1,1,4)\rVert }=\left(\frac1{3\sqrt2},\frac1{3\sqrt2},\frac{4}{3\sqrt2}\right). \]
Finalmente, como \(\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}=(7,-7,0)\parallel (1,-1,0)\), tomamos
\[ \boldsymbol {e}_3=\left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2},0\right). \]
Com origem \(A=(1,2,1)\) e base ortonormal \(\mathcal{B}=(\boldsymbol {e}_1,\boldsymbol {e}_2,\boldsymbol {e}_3)\), os três pontos têm coordenadas
\[ A:(0,0,0), \qquad B:(3,0,0), \qquad C:\left(\frac13,\frac{7\sqrt2}3,0\right), \]
todas com terceira coordenada nula, como pedido.
Exercício 6.7
Se \(\mathcal{B}\) e \(\mathcal{C}\) são bases ortonormais e
\[ [\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}=M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}, \]
mostre que
\[ [\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}^{T}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}=[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}^{T}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}. \]
Interprete essa igualdade geometricamente como invariância da fórmula da norma. Estabeleça a igualdade análoga para o produto escalar de dois vetores e conclua que ângulos também são preservados.
Ver solução
Como \(\mathcal{B}\) e \(\mathcal{C}\) são ortonormais, a matriz \(M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\) é ortogonal: escrevendo \(\boldsymbol {f}_i=\sum _k(M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}})_{ki}\boldsymbol {e}_k\) e usando que ambas as bases são ortonormais obtém-se \(M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}^TM_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=I\); como \(M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}^{-1}=M_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}^T\) (Proposição 12.5 junto com esse fato), segue que \(M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\) também satisfaz \(M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}^TM_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=I\).
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\[ [\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}^T[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}} =\bigl(M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}\bigr)^T\bigl(M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}\bigr) =[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}^TM_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}^TM_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}} =[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}^T[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}. \]
Como \([\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}^T[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}=x_1^2+x_2^2+x_3^2\) é a fórmula usual da norma ao quadrado nas coordenadas \(\mathcal{B}\) (e analogamente em \(\mathcal{C}\)), a igualdade mostra que essa fórmula dá o mesmo valor em qualquer das duas bases ortonormais — a norma de \(\boldsymbol {v}\) não depende do sistema ortonormal escolhido, confirmando algebricamente o que já sabíamos geometricamente.
Aplicando o mesmo argumento a \(\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}\) no lugar de \(\boldsymbol {v}\), obtemos \([\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}^T[\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}=[\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}^T[\boldsymbol {u}+\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}\); expandindo ambos os lados e cancelando os termos de norma de \(\boldsymbol {u}\) e de \(\boldsymbol {v}\) (já provados invariantes), resta
\[ [\boldsymbol {u}]_{\mathcal{C}}^T[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{C}}=[\boldsymbol {u}]_{\mathcal{B}}^T[\boldsymbol {v}]_{\mathcal{B}}, \]
isto é, o produto escalar \(\boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}\) também não depende da base ortonormal usada para calculá-lo. Como
\[ \cos \theta =\frac{\boldsymbol {u}\cdot \boldsymbol {v}}{\lVert \boldsymbol {u}\rVert \, \lVert \boldsymbol {v}\rVert } \]
depende apenas de produtos escalares e normas — ambos invariantes —, o ângulo \(\theta \) entre \(\boldsymbol {u}\) e \(\boldsymbol {v}\) também é o mesmo em qualquer base ortonormal.